Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^...

29
Multimodularity, Convexity and Optimization Properties Eitan Altman, Bruno Gaujal, Arie Hordijk To cite this version: Eitan Altman, Bruno Gaujal, Arie Hordijk. Multimodularity, Convexity and Optimization Properties. RR-3181, INRIA. 1997. <inria-00073508> HAL Id: inria-00073508 https://hal.inria.fr/inria-00073508 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es.

Transcript of Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^...

Page 1: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

Multimodularity, Convexity and Optimization

Properties

Eitan Altman, Bruno Gaujal, Arie Hordijk

To cite this version:

Eitan Altman, Bruno Gaujal, Arie Hordijk. Multimodularity, Convexity and OptimizationProperties. RR-3181, INRIA. 1997. <inria-00073508>

HAL Id: inria-00073508

https://hal.inria.fr/inria-00073508

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

Page 2: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Multimodularity, Convexity and OptimizationProperties

Eitan ALTMAN Bruno GAUJAL and Arie HORDIJK

N˚ 3181

Juin, 1997

THÈME 1

Page 3: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~
Page 4: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

� �������� ���� ����������������������� ����� �!��� "$#%���� �&'�(���!�)*���#+�'�������-,

.0/2143�57698;:%<=69>@? A�BDCE5�FHG�6�I%JK698$?L? 3�5EM76�BD/ON+P%QSR T UVJXW ?L?Y?Z'[K\]_^a`cb d-egfh^gikjml ^�nofqprfsnt\]_^gf

uwvhxzyq^�n0{ |}fqntvtiz~O�Y�m~�xrx��doiz�K�Lxkvsn'�K^�vs^g��[K^vh��[K^�������`���`%b �kjK|}���;`��k����b ������ik��^f

� ����������k�� ¢¡ ^w|���£�^fsnt|���iznh^¤|��(nt[K|�f¥��ik�Y^gv¦nh[K^w�Kvhxk�L^vsnt|�^gf¥xk§r]!jK~�nh|}]_xr�KjK~}ikv;§2jK�K��nt|�x��Kfg¨�©ª���Kx�|��K�fhx0«¤^-��|¬£�^-ik~¬nt^vh��iznh|�£k^'�Kvhxrxk§2fE§2xkv­�Kvhxk�L^vsnt|�^gf®iz~}vs^Dik��p!^gfqn�ik¯�~}|�fh[K^�°¯�p�±oi4yq^g²���ik����«�^-^�lrnh^g�K�_[K|�fvh^fhjK~¬ntf¨®©ª�%��ikvsnh|}�jK~}ikvg��«�^(fs[Kx�«7nt[K^0vs^g~}iznt|�x�� ¯Y^nª«¤^g^���gx���£�^Vlm|�nªp�iz�K� ]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikvh|¬nªp���«-[�|}��[ik~�~}x�«-f®jKfwntx�vs^gfsnhvh|��n®nt[�^³fqntjK�mp�xk§L]�jK~¬nt|�]_xm�Kj�~´ikvw§2jK���nt|�x��Kfwnhx��x���£�^Vl°fsjK¯Kfs^ntfµxk§L¶�·'¨ ¡ ^¸nt[�^g�x�¯�ntik|��a��^�K^gvhik~�x���nh|}]_|�¹Diznh|}x���vh^fhjK~¬ntfµ§2x�vµiD£�^gvhik��^³�gx�fqntfµvh^~´iznh^g��ntx!i�fs^gº�jK^g���g^cxz§¦]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikv§2jK�K��nt|�x��Kf¨�©ª����izvsnt|��gj�~´ikv�;«�^_^gfqn�ik¯�~}|�fh[»~}x�«¤^gv�¯LxkjK�K�Kf��iz�K�¼fh[Kx�«½nh[�izn(nh[K^_^�lm�L^�nh^g�¾iD£k^gvtiz��^�Kvsx�¯K~�^g]¿|}f(x��mnt|�]�|�¹g^�¼¯�pÀjKfs|}�K�%¯Kik~´iz�K�g^�»fs^gº�jK^�K�g^fg¨ ¡ ^�Á��Kik~}~¬pS|�~�~}jKfqntvhiznt^�nh[K^�jKfs^§2jK~��K^fhf�xk§nt[�|}f�nh[K^gx�vqp¾|��Âik�K]_|}fsfh|�x��Â�gx���ntvsx�~�|���ntx»i+Ã(ÄkÃ0Äm`�ºrj�^gjK^%«-|¬nt[ÅÁ�lm^g�¯�iznh��[Hizvhvh|¬£zik~�fg�w«-|�nh[Æ�Kxfsntiznt^�|���§2x�vh]�iznh|}xk�¦¨ ¡ ^�fh[�x�«*nh[�izn³nt[K^�¯�ik~}ik�K�^g�S�Yx�~�|}��p ]�|��K|�]_|}¹^gfcnh[K^�iD£k^gvtiz��^�º�jK^jK^�~�^g�K�knh[§2x�v�nt[K^'�gikfh^¸xz§Xiz��|}�mÁ��K|¬nt^'º�jK^gj�^k��¯Kj�nw��xkn­§2x�v�nt[K^¸�gikfh^'xz§YicÁ��K|¬nt^¸º�jK^jK^k¨ ¡ [K^��§2jKvsnh[K^gvwiz�K�K|��K�i��x��Kfsnhvtik|���n'x��°nh[K^c~�x�fsfh^gf��|�n�|}f¤fh[Kx�«-�%nt[Kizn'i�¯Kik~´iz�K�g^�%�Lx�~�|��p�|}f¸ik~}fsx�x���nh|}]�ik~�§2x�vµnt[K^o�Dikfs^0xk§Á��K|¬nt^�º�jK^jK^k¨ÇÀÈ�ÉXÊsË�Ì �4Í��k  {ÀjK~¬nt|�]�xr�KjK~}ikv¸§2jK���nt|�x��Kf�K�gxk��£k^�lm|¬nªp��Y¯�ik~}ik�K�g^��fh^gº�jK^�K�g^fg�Yik�K]_|�fhfs|}x�� �gxk��nhvhx�~|���nhx°i�º�jK^jK^k¨

ÎÐÏ�ѪҪÓ�Ô'Ñ®Õ�Ö�Òª×OØ�Ù

Ú-Û2Ü�Ý;Û2޵߮à¦áãâä�ß'åVæ�æ�ç Ý;èé�êOë ì�ësí�îré4ïñðòè�óòësísß�æô�âæå�õDèö�÷�ðùøÀÞ�úgêOðòözèóûðùí_üLësì�ëqý�ß'þ4ÿ ø�ú4ïñë � ����� øVðòó���øVóûê �� øVú�EíOè�ö4÷�ðòø � ðòú�ÿ ðòø � ÿ ��� Ý¥î � ÷gê ê ö������������ � ðòú�ÿOðùø � ÿ�� �æ�� � ðùí2ê ÿ ø�ó���özësÿ íOè�ú4ú�ëqó�� � ðûê ø�ú � Þ¥óûê � øVú� � ë � ÷ê � óÚ�Ú'Û2Ü�Ý;Û2ÞµßEà¦á7âä�ßµå�æ�æVç�Ý¥è�é�ê ë�ì�ësí!î�é4ïqðûèóûëhíqߤæ�ô�âæå õDèö�÷�ðùø%Þ¥úgêOðòözèóûðùí�üLësì�ëqý�ߤþ�ÿ øVú4ïqë � ����� ø�ðûó����øVé �� øVó��EíOè�ö�÷�ðùø � ðòú�ÿOðùø � ÿ � àXÿ é�ú�è��­øVé � ø�ó�ðòí;ø � ë �! ësÿ¥è ø¸ïñè �"� è�úcö�ÿ è � ëhïªê ëqê#�Lësëqú�üXÜ�Ý�õ�ß � ÜEõ�Þ+øVúzìoÛ2Ü�Ý;Û2Þ �Ú�Ú�Ú%$�ësö�ê � è �& ø�êO÷4ë � ø�ê ðòïsí;øVú4ì(üLè � ö�é�ê ëqÿ�õ�ïqðûësú4ïñëß�î�ësðòì�ësú � ú�ð('�ësÿ íOð ê#)ß�á ��*!� àLètý³â�+-,tå�ß�åVäæ�æ�Ý�ÞÀîrëqðùì�ëqú�ß/.¦÷4ëÜ¥ëqêO÷�ësÿOóùøVúzì�í � ����� ø�ðûó��E÷�è�ÿ ì�ð �#0 �1�;ð � óûësðòì�ësúDé�ú�ð(' � ú�ó � .¦÷�ë¸ÿ ësíOësøVÿ ï ÷�è Þ¥ÿ ðûë�2�è�ÿ ì�ð �#0 �¦ø�í­ì�èú�ë3�;÷�ðûóòë¸÷�ë"�Xøí�èúí ø / øVêOðùïqø�ózóòësø�'ëEøVêXÛ2Ü�Ý;Û2Þ®ßzõ�è�ö�÷�ðùø � Þ¥úgê ðûökè�óòðòí54Dð ê;÷4øí ësëqúcö4øVÿOêOðùøVóòó6)-íOé�ö�ökè�ÿOêOëhì )¸êO÷4ë & ðûú�ðùí ê87qÿ ëwþ�ÿ øVú:9søVðùíLì�ëó�; <�ì�é4ïqøVêOðòè�ú(Ü�øVêOðòè�ú4ø�óûë­ëñê¥ì�ëwó�; � ú4íOëqð(��ú�ë � ësúgê�õDé�ö=qÿ ðûësé�ÿ;ëñê�ì�ëwóùø¸Ý;ësï ÷4ëqÿ ï ÷�ë �

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)

Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65

Page 5: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

� �������� �� �����������������!�_�����%�V��� �¸� #���!#������¸���-, ���ª�#%���g� �,��(���!�

�� �� � �   Ã0ik�Kfc�g^n0ikvsnh|}�~}^z�X�KxkjKfc�KxkjKfc|���ntegvs^gfsfhx��Kf�izjmlÀ�Kvhx���vh|�entef0�K^fo§2x��K��nt|�x��Kf0]!jK~¬nt|�]�x���KjK~}ik|�vh^fg¨���^c§ ik|�ftik��ng���Kx�j�f�]_x���ntvsx��Kf¸�K^c�Kx�j�£k^g~�~}^f'�Kvh^j�£�^f'�K^gf'�Kvsx��Kvs|}e�ntegf�en�iz¯K~}|�^gf���ikv¸±oi4yq^g²^n��KxkjKf!e�nt^�K�Kx��Kf!�g^vsn�iz|}�Kf��K^_fh^f�vsegfhj�~�ntizntf¨�w� ��izvsnt|��gj�~}|�^gv���KxkjKf!]_x���nhvhx��Kf�~}i vs^g~}iznt|�x��»ºrj�|^�lm|�fsnh^o^��nhvh^-]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikvh|¬nte³^nµ�gxk��£k^�lm|¬ntecº�jK|���x�jKf®�L^vh]_^nµ��� enhjK�K|�^gvµ~´i(]!jK~�nh|}]_xr�KjK~}ikvh|¬nte-fsjKv�K^f'��ikvsnh|}^f'�gx���£k^�lm^gf³�K^(¶�·'¨��w�KfsjK|¬nt^k����x�jKf'x�¯�nh^g�Kxk�Kf'�K^gf-vsegfhj�~�ntizntf'��e�Kegvhikjml ���ûxk��nt|�]_|}fhiznt|�x���Yx�jKvw~�^'�gx���nµ]_x�p�^�a��� jK�K^-fsjK|�nh^-�K^'§2x��K�nh|}xk�Kf®]�jK~¬nt|�]_xm�Kj�~´ik|�vh^fg¨��w�_��ikvqnt|��gjK~�|}^vg�rx��_^�lm[K|�¯L^-�K^f¯Yx�vh�K^f(|}�m§2egvh|�^gj�vh^gf�^�n(x��+]_x���ntvs^�ºrj��û^~}~�^gf�fhxk��n�i4nhnt^|}��nh^gf(�Yx�jKv0~�^gf(fsjK|�nh^gf�egº�jK|�~�|}¯Kvseg^fg¨���|}��iz~}^��]_^g��nD�mx��°|�~�~}jKfqntvs^c~��ûj�nh|}~�|¬ntec��^c�g^�nhnh^ont[�egx�vs|}^o�Lx�j�v¤~�^c�x���ntv��k~}^³���ûik�K]_|}fsfh|�x��%��ik��f�jK�K^³Á�~�^0Ã(ÄkÃ0Äm`iD£�^���K^gfcikvhvs|�£keg^f0��ikv³��ikº�jK^�ntf0�K^�n�ik|�~�~}^�Á�lm^k�Lftik�Kfc|}��§2xkvh]�iznt|�x��¦¨ �0�S]_x���nhvh^�º�jK^!~´i��Lxk~}|¬nt|�º�jK^egº�jK|�~�|}¯Kvseg^�]_|}��|}]_|�fh^�~´i�~�x��K�kjK^gjKv�]�x�pk^g�K�K^��K^(~}i�Á�~�^0�Yx�jKv¸jK��^(�Dik��iz�g|¬nte0|���Á��K|�^(]�ik|�f'��ikf¸��iz�Kf~�^��Dizfo��� jK�K^�Á�~�^�!a�gik��ik�|�nhe!Á���|}^z¨oÃcik�Kfc�^!�gikfg�¦�m|¥~"� x��9i4yqx�j�nh^!jK��^��gxk��nhvtik|���nt^!fhjKvo~}^fc�Y^gvsnh^gf�x���]_x���ntvs^�ikj�fhfh|;º�j�� jK�K^��Yx�~}|¬nt|�º�jK^�egº�jK|�~}|�¯Kvseg^�^fsn³x���nh|}]�ik~�^k¨#*Ì ��� Ê �%$ �   {ÀjK~¬nt|�]_xm�Kj�~´ikvs|�nhek���gxk��£k^�lm|¬ntek�Y�gxk��nhv���~�^����ûik�K]_|}fsfh|�x��¦��fhj�|�nh^gf³egº�jK|�~}|�¯Kvhe^gf¨

Page 6: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 �

1 2 ���¥������ �¤���!�

Z'[K^®]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikvh|¬nªp(�Kvsx��L^vsnªpcxk§�§2jK�K�nh|}xk�Kf;«¸ikf¥]!jK��[!|���£�^fsnt|���iznh^g�!|}�(nt[�^w�gx���nt^Vlrn�xz§mº�jK^jK^g|��K�fsprfqnt^g]_f¨¤Z'[K^vh^(izvh^cfs^£k^gvtiz~¦�Dikfs^gf'|��°nt[Kizn�Á�^~}�%|��°«-[K|���[%nt[K|�f���vhx��Y^gvqnªpa«�ikf¸^Vl���~}x�|¬nt^�%ntx�fsx�~�£k^fsnhxm��[Kikfsnh|}�À�gx���ntvsx�~ ¨ �0��nt|�]�ik~-ik�K]_|�fhfs|}x�� �gx���ntvsx�~'jK�K��^gv��Kx º�jK^jK^À|���§2x�vs]�iznt|�x��Æ«¸ikfafsnhjK�K|�^g�¯�p»±ci4yq^²43ò��5 ¨�Z'[K^°��vh^g�|}fs^a��vhx�¯K~�^g] «�ikf�ntxÀik�K]_|¬n��jKfsnhx�]_^gvhf�ntx i�fh|��K��~�^aº�jK^jK^k�­j��K�K^gv�nt[�^�gxk�Kfsnhvtik|���nonh[�izn-nt[K^�~�x��K��vhjK� §2vtik��nt|�x��Àxz§­�gj�fsntxk]�^vhfcik�K]_|�nsnt^�9¯Y^�izn³~�^Dikfqn�6¦¨�Z'[K^�x���nh|}]�ik~�|�nªpxk§®i��Lxk~}|��p ¯�ikfs^g�+x��9i°¯�ik~}ik�K�^g�Sfs^gº�jK^�K�g^�xk§wik�K]_|}fsfh|�x��¼ik��nt|�x��Kfo«�ikfox�¯�n�iz|}�K^�S|��73ò��5�§2x�v-nt[�^��jK]�¯Y^gv³xk§E�gjKfqntx�]_^gvsfo|��Si�x���^ �ªfs^gvq£�^gvoº�jK^gjK^�«-|¬nt[9^Vlm�Lx���^g��nt|}ik~¥fh^vs£r|}�^�ik���9i_vh^�K^«�ik~�ikvhvs|�£zik~�Kvsxm�^gfhf¨

8 �Kxznt[K^v®ik�K�K~�|}�giznt|�x���xk§�]!jK~¬nt|�]�xr�KjK~}ikv­§2jK���nt|�x��Kfw|�f­|���nt[K^'�x���ntvsx�~�xk§�º�jK^jK^gfw«-|¬nt[�§2jK~�~�fqn�iznh^|���§2x�vh]�iznh|}xk�¦¨ ¡ ^g¯Y^gv¥iz�K�!�rnt|��K[�ik]93û��5":Oik����~}iznh^gv<;(~´ikfsfh^vh]�ik�!ik�K�>=¤ikx?3A@�5BXxk¯�n�ik|��K^��]_x���xkntx���^�Kvsx��L^vsnh|}^f�xk§¦nh[K^cxk��nt|�]�ik~��gx���ntvsx�~Y�Lx�~�|��g|�^gf¸izf�i!§2j��K�nh|}x��axk§¦nh[K^cfqn�iznh^k�r|}�%i��Kvhxk¯K~}^]�xk§;�gxk��nhvhx�~xk§�fh^vs£r|}�^�vhiznt^f³|��Ài�fqpmfqnt^]¿xz§DC ºrj�^gjK^fc|�� ntik�K�K^] ¨µZ'[K^�]_^nt[�xm�Kxk~}x��zp «¸izfofqntvhxk�K��~¬p%¯�ikfs^g�x��%nt[�^�]!jK~¬nt| �ª]_xm��jK~´izvh|¬nªp��Kvhx��Y^gvqnt|�^gf-xk§�nt[K^�|�]_]�^�K|}iznt^��gx�fqntfoik�K�%nt[�^��x�fsn � nhx �ª��x�§2jK���nt|�x��Kf¨Z'[K^¸�Kj�vh�Yx�fh^¸xz§Knt[K|�f­��iz�L^vE|�f�ntxcfsntj���p!nh[K^¸�Kvsx��Y^gvsnh|}^fExk§�]!jK~¬nt|�]�xr�KjK~}ikv�§2jK�K�nh|}xk�Kfg��ikfEiontxrx�~

§2x�v­§2jKvqnt[K^v¤|���£�^fsnt|���iznh|}���!nt[�^o�x���ntvhxk~�xk§Xº�jK^jK^g|��K��fqprfsnt^]_fg¨ ¡ ^³�Kvsx�£r|��K^oik~�nh^gvs��iznt|¬£�^³�Kvsxmxk§2fw§2x�v�Kvsx��L^vsnh|}^f0ik~�vh^gik��p ^gfqn�ik¯K~�|�fh[K^�»¯�pÀ±ci�yq^g²�¨ ¡ ^!§2j�vsnt[�^gvcfs[Kx�«*nt[K^!vh^~´iznh|}xk�S¯L^�nª«�^^g�+�x���£�^�lm|¬nªpik�K��]�jK~¬nt|�]_xm��jK~´izvh|¬nªp���«-[�|}��[Åiz~}~�x�«-f!jKf�ntxÀvh^fsntvs|}��n!nh[K^�fsntj���p»xk§¸]!jK~�nh|}]_xr�KjK~}ikv�§2jK�K�nh|}xk�Kf�nhx�gxk��£k^�lÀfhj�¯Kfh^�ntf³xk§E¶ · ¨¡ ^ nh[K^g�Æ�K^�£�^~}x��Ư�izfh|��%x���nt|�]_|}¹giznt|�x��Åntxrx�~�f!§2x�v�i�£k^gvhik��^%�gxkfsntf�®vh^g~}iznh^g�Åntx¼iSfs^gº�jK^g���g^�xk§

]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikv�§2j��K�nh|}x���fg¨ ©ª����ikvsnh|}�jK~}ikvg��«�^�^gfqn�ik¯K~�|�fh[¾~�x�«�^v�¯Yx�jK�K�Kf�«-[K|���[Åikvs^aiz��[K|}^�£�^�ů�p¯�ik~}ik�K�^g� fh^ºrj�^g�K�^gfg¨¡ ^0ÁK��ik~�~�p°|}~�~}j�fsntvhiznt^(nh[K^0jKfs^§2jK~��K^gfsfoxz§�nh[K|�f¸nt[K^x�vsp%|���ik�K]_|�fhfs|}x�� �gxk��nhvhx�~X|}��ntx_i�º�jK^jK^�EK«¤^

�g|¬nt^-fsx�]_^³vs^gfsjK~�nhfµ§2xkv­nt[K^�;�Ä!;!Är`'ºrj�^gjK^z��ik���a�Kvsx�£m|��K^³i��K^ntik|}~�^g�aik��iz~�prfh|�fµxk§Lnh[K^³Ã(ÄkÃ(Är`³º�jK^jK^«-|¬nt[�Á�lm^��¯�iznh��[�ikvhvs|�£zik~�fg�4«-|�nh[��Kxofsntiznt^¤|}��§2xkvh]�iznt|�x��¦¨ ¡ ^�fh[�x�«��z§2x�v�nh[K^µ~´iznsnt^vg�znh[�izn�nt[K^µ�Yx�~}|��p«-[K|���[S|�fc�K^�Á��K^g�Ànt[Kvsx�jK��[9i�¯�iz~´ik���g^g�9fh^gº�jK^�K�g^�]_|��K|�]�|�¹g^fonh[K^�iD£�^vtik�k^�º�jK^gj�^�~�^g�K�knh[À§2x�v-nt[�^�Dizfh^ xk§'ik� |���Á��K|¬nt^°ºrj�^gjK^z�w¯Kj�n���xkn!§2xkv�nh[K^°�gikfh^ xz§-iÀÁ��K|¬nt^a¯KjGFL^gv¨9±³x�«¤^£k^gv�®«-[�^g�¾§2jKvqnt[K^vvh^fsnhvh|��nt|��K�9nhxÀnh[Kx�fh^a�Lxk~}|��g|�^gf�§2x�v(«-[K|}��[Å��x9~�x�fhfs^gf�xr�g�jKvg��«�^ax�¯�n�iz|}� ik��ik|���nh[K^axk��nt|�]�ik~}|¬nªp»xk§¯�ik~}ik�K�^g� �Yx�~�|}�|}^fg¨®Z�x��gx����g~�jK�K^cnh[�izn¤^�l�ik]_�K~�^k��«¤^cfqntjK��p°ik~�fhx�nh[K^c�gikfh^³«-[K^gvs^0|¬n�|�f��Yx�fhfs|}¯�~}^cnhxik�K]_|¬noi_�Kikvsn-xk§Eik�Àikvhvs|�£r|��K��¯�iznt��[X¨©ª�À§2x�~�~�x�« � jK�9�Kik�L^vhf�Y«¤^�fs[�ik~�~�]�ik²z^�jKfs^!xz§­nt[K^�nt[�^gx�vs^nt|��Diz~�vs^gfsjK~�nhfcxk§Ent[K|�fo�Kik�L^vo|��9xkvh�K^v

ntx�fqntjK��p�]�xkvh^'��^�K^gvhik~�ik�K]_|�fhfs|}x��°ik�K�_fh^vs£r|��g^³�gx���ntvsx�~K�Kvsx�¯K~�^g]_f®|}�_��pr��iz]�|��³fsprfsnh^g]_fµnh[�izn®�gik�¯Y^���^gfh�vh|�¯L^�9jKfs|}����nh[K^�]ai�l � �K~�jKfciz~}��^¯Kvtim��«-|�nh[À�k^g�K^vtik~;|���nt^gv �ñikvsvh|¬£zik~¥ik�K��fh^vs£r|��g^!nh|}]_^fg¨

H )¢���#+�'�������-, JI=�@���V���g� ������g���KIk��� �¤���!��,

¡ ^c�Kvs^gfh^��n'|}�ant[K|�f�fs^g�nh|}xk��i!fh[�x�vsn�x�£k^gvq£m|�^« ik�K�°^�lrnt^�Kfh|�x��%xk§¥±oi4yq^g² � f�nt[�^gx�vqpaxz§¥]�jK~¬nt|�]_xm�Kj �~}ikv�§2jK�K��nt|�x��Kf¨ ¡ ^�¯L^��|��%¯�p �Kvh^fh^g��nh|}�K�_nt[�^(�K^Á���|�nh|}x�� xk§�]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikvh|¬nªp���ik��� fsx�]_^���^g�K^vtik~�Kvsx��L^vsnh|}^f(: �rjK¯Kfh^�nh|}x��»�r¨}`�BV¨ ¡ ^�nt[K^�S�Kvs^gfh^��n(|}�S�mjK¯Kfs^g��nt|�x��»�m¨ò�_nt[�^�vh^~´i4nt|�x��9¯Y^nª«¤^g^�»]!jK~ �nt|�]_xm��jK~´izvh|¬nªpSik���+�gx���£�^Vlm|�nªpk¨�Z'[K^���vhx��Y^gvqnt|�^gf(�Kvs^gfh^��nt^g�»|��»�mjK¯Kfs^g�nh|}xk� �r¨ù�°izvh^�nh[Kx�fh^��K^g^�K^g�|�� nh[K^(§2x�~}~�x�«-|}���afs^g�nh|}xk�Kfoxk� xk��nt|�]_|}¹giznt|�x��Àik�K� �gx���ntvsx�~ ¨

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 7: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

@ ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

�;^n����! #"w·!�%$'&)(�*,+-+.+.*-C �K^�Kxknh^!nt[�^!£�^�nhx�vc[�iD£r|��K� ik~�~¥^g��ntvs|}^f0¹g^vhxa^�lm�g^��n0§2x�voi `!|}�9|�nhf$Onh[9^��nhvspk¨oÃo^Á��K^0/1�2&3���5476�89��� �:$�&;(<*�+-+.+-* C :2§2x�voik�À|}��nt^��^gv�$¤ntik²�|}���a£zik~�jK^gfo¯L^�nª«�^^g�>=°iz�K�C+�K«¤^!jK���K^gvsfsn�iz�K� nh[KvhxkjK��[Kx�jmn?$28@(?& C¿§2x�vA$�&CB BV¨

�;^nEDF&HG18?�I6J*K/ML�*,+.+-+.*K/ · *N� ·�O ¨®Ãc^ÁK�K^0PQ&HG����R*�8����S*K/T�R*,8�/T�R*E$U&CBV*,(<*�+-+.+-* C O ¨W%ÈTX'Y�Z � Z Ì:Y\[^]`_badc �1e È1fUgh]i�bj����lk/���+���nm ����¶ · � 0�(���������� ���������o ��qp��-�.0 %��Nk/�&� ��D � jrj ��������s 9¶�· ��tu*Kvw xD �rtxy&zv �

m'{ s}| t�~ | m'{ s}| v�~��zm'{ s ~ | m'{ s�| t | v~J+ :q`*B�o�K~�^gfsf-xknt[K^vs«-|�fh^(fqn�iznh^g�¦��«¤^(fh[Kik~}~LftiDp°nh[�izn�m9|�f¸]!jK~�nh|}]_xr�KjK~}ikv'|¬§¥|�n'|�f']�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikv�«-|¬nt[

vh^fh�Y^g��nonhx�DÀ¨

����� �\�r�?�2�V���}���������2�1���d�2���x�v-i�§2jK�K��nt|�x����°�K^ÁK�K^g�Àx���¶�·'���K^�Á��K^

� ���l{ s ~�& ����� �^{ s ~�&z�l{ s�| ���q~!8��^{ s ~J* ���d� & � �5476d�08 � �-�%+¡ ^µ§2jKvqnt[K^v���^Á��K^ � 4 �S� &�8 �}��� � � 4 � � &¡8 ���d� ¨!¢³xknt^®nt[Kizn ���d� �l{ s ~�&z�l{ s�| ��� | /T��~h8��l{ sr| ���£~�¨© n³|}f-^Dizfsp%ntx_��[K^��²%nt[�izn

¤®È ��� � [2]`_7] ��¥ � 0 � ���� � ����j����lk/���+���0j ���J�����¦t� §PE¨�©<��� �����tu*Kv3 §P�� ��¥ª�}« & ��«^��¥ ¨¤®È ��� � [2]-[^]im � 0?(� �������� ��������?� j ���" ������� � j

�}¥ª��« m>¬­B : ��Bj ���J�����tu*Kv3 ®D �rv)y&¯t%¨° � ÌXÌ:±²] ��xk�Kfh|��K^gv-Á�vsfsn�vz&z/T�R*²t}&¯/�³ :£t§y&zv>B�¨wZ'[K^���¥���« m!{ s ~´& { � �5476!8 � �£~ª{ � ³�476U8 � ³�~�m'{ s ~

& { � �5476!8 � �£~ª{Sm'{ s}| �N³�476�~!89m'{ s}| �N³�~�~& m'{ s�| �N³N476 | ���5476�~!89m!{ s�| �N³�476 | ���`~!8bm'{ s�| �N³ | ���5476²~ | m'{ s�| �N³ | ���`~& m'{`µ | /I³ | /T�£~!89m!{�µ | /�³ª~!8bm'{�µ | /T�q~ | m'{`µT~ :O�!B

«-[K^vh^�µ�¶& s�| �N³ | ���ª¨�;^n�t}&C�N³h*Kv­&H8����ª¨wZ'[�^g���¥���« m'{ s ~·& 8 � ³ � �`m!{ s ~

& 8 � ³�{�m'{ s�| ���£~!8bm'{ s ~�~& 8�m'{ s�| ��� | �N³�~ | m'{ s�| ���£~ | m'{ s}| �N³�~!8bm!{ s ~& 8�m'{`µ | �N³�~ | m'{�µT~ | m'{�µ |C¸ 8?����¹ | �N³ª~!89m'{`µ |¯¸ 8?����¹�~ :�@ B

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 8: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 �

«-[K^vh^�µ ¶& s�| ��� ¨�;^n�t}&C���S*Kvz&¯/�³ :��xy&¯$ | (�B�¨�}¥ª��« m'{ s ~·& � � { � ³N476U8 � ³�~�m'{ s ~

& � � {�m'{ s�| �N³N476�~!8bm'{ s�| �N³J~�~& m'{ s}| �N³�476 | ���£~!89m'{ s�| �N³N476�~!8bm'{ s�| �N³ | ���`~ | m'{ s�| �N³ª~& m'{`µ | /�³ | ���q~'8bm'{�µ | /�³J~!89m'{`µ | ���`~ | m!{�µT~ : ��B

«-[K^vh^�µ0& s�| �N³�¨�;^n�t}&¡8?��� *Kvz&­/�³(:�� y&¯$ BV¨��¥ª��« m'{ s ~·& 8 � � { � ³�476U8 � ³�~�m'{ s ~

& 8 � � {�m'{ s�| �N³N476�~!89m'{ s}| �N³�~�~& 8m!{ s�| �N³�476 | ���q~ | m'{ s�| �N³�476�~ | m'{ s�| �N³ | ���£~!89m'{ s}| �N³�~& 8m!{�µ | /�³J~ | m'{�µ | /I³ |C¸ 8����5¹q~ | m!{�µT~ | m'{�µ |C¸ 8����5¹q~ :��!B

«-[K^vh^�µ0& s�| �N³ | ���ª¨Z'[K^!ik¯Lx�£k^�^º�j�iznt|�x��Kf³^Dizfh|�~�p�|�]_�K~�p°nt[K^i�;^g]_]�i�¨

¤®È ��� � [2]��^]�� ��}��jEm � 0 (� ���'���� �� ����� �£p��/�� ���©<��� ����7$²*�G�� � � ³�m§�­BV* : ��B

���" � ����©<��� ����7$²*�G�� ³ � ³ªmx� � � � ³ªm:+ :O�!B

° � ÌXÌ:±²]�:2| B ¡ |¬nt[�x�j�n³~}xkfhf-xk§���^g�K^vtik~�|¬nªp��YikfhfsjK]_^�nh[�iznE$�¬���¨®Z'[K^g�� � � ³Jm�& �!8 � 4 �� 8 �� ���

L �}����� � ·�� � ³��%6 �}��� | ������� m

Z'[K^��Kvsxmxk§�xk§ : | B¸|}f-^gfqn�ik¯�~}|�fh[K^�9¯�p ik�K��~�pr|��K� �;^]�]�ia�m¨ò�m¨��x�vA$�����«¤^![Ki�£k^

� ³ � ³�m & { � ³�8 � �£~ � ³Jm | � � � ³�mx�H{ � ³�8 � �q~ � ³�m& �!8 ³����

� �%6 ������� � ·�� � ³��%6 ���!� | �}����� m

ik�K� : |�| B�|}f-^gfqn�ik¯�~}|�fh[K^�S¯�p�ik�K��~�pr|��K� �;^]�]�i°�m¨ù�r¨���xkv�$�"���«¤^![Ki�£k^� ³E& � �:8 ·

476��#��$�%6 �}� � 8 � · 8 � 4 � � 8 ³� �#�

L ��+

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 9: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

� ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

±o^�K�g^� ³ � ³ªm & � ³�{ � ³�8 � �`~²m | � ³ � �`mx� � ³�{ � ³�8 � �`~²m

& � 8 � 4 � � 8 ³� �#�L ����� � � 8 ·��#�

� �%6 �}��� 8 � · 8 � 4 �� 8 ³� ���L �

� � m:+

8 ��ik|}�X�<: |�| B�|�f-^gfsntik¯K~�|}fs[K^g�9¯�p%ik�K�K~¬pr|}�K�n�;^g]_]�i°�r¨ù�m¨� È � �K� f [^]`_u](Z'[�^��x���£�^vhfh^axk§µnt[K^_ik¯Yx�£�^n�;^g]_]�i�[�x�~}��f�§2xkv0nt[K^a� � �K|}]_^�Kfh|�x���ik~w�gikfh^ � D &G18?�I6J*K/ML�*N� L O ¨ ©ª�K��^g^g�X��ikfhfsjK]_^»nh[�izn : �!B iz�K� :O� B [Kx�~��¦¨ Z'[K^� � 4 ������ � ¬ BÆ�KjK^+nhx :O�!B/E� 4 ��²�}� � & � 4 � � { �}� � 8 �}� � ~�¬wB��Lik�K� �}� � �}� � & �}� � { �}�� 8 �}� � ~?¬3B��KjK^ : � B�¨³±³^g�K�^�m»|�f]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikv-¯�p��;^]�]�ia�m¨ò�m¨

¤®È ��� � [2]��r]0��jEm � 0 (���������� �� ����� �£p��/��j ��� ����7$U&H(�*,+-+.+.*-C$�� �� �}�S�`�}�d� m§�zB �� ��� �}�S�`�}��� m§¬­B � � � $ ���" �}���£����� m§�­B � � "\$ �� ���� �}���K�}� � mx¬­B ��$�y&H(��� ���� �}�d�`���d� m§�­B7¨� ��� �}�d�`����� m§¬­Bij ����$�y& � ��$�y&�( � �®y&¡(T¨° � ÌXÌ:±²]��µp n�ik²�|��K��$U& ��8@(�|��®�;^g]_]�ia�m¨ò� :2|}| B��K«¤^�x�¯�n�iz|}� : | B�¨: |�| B ��x�v�� � $s�

�}�S�£�}��� m & � ·� �#�� �}� � | �}� � � �}��� m:+

��x�v�� " $h�

�}�S�`�}��� m & �!8 � 4 � � 8 �� �#�L �}� � � �}��� m:+

��x�v'¯Yxknt[��Dizfh^gf��nt[K^��Kvsxmxk§�|�f³^fsntik¯K~�|}fs[K^g�À¯�p iz�K�K~¬pm|��K�n�;^g]_]�i°�m¨ò�m¨: |�|�| B

�}� � ���d� m�& { �}� � | � 4 � � ~ �}� � mu+Z'[K^��Kvsxmxk§�|�f³^fsntik¯K~�|}fs[K^g�S¯�p�iz�K�K~¬pm|��K�n�;^g]_]�i �m¨ò�m¨: |¬£GB

�}� �`�}�d� m & ���d� �!8 �³�� �}��� � m

��x�vE$y&;(���nt[�^��Kvsxmxk§E|}f³^gfqn�ik¯�~}|�fh[K^�+¯�p9iz�K�K~¬pm|��K� �;^]�]�i°�m¨ù�r¨ ��x�vE$�& (�|¬no§2xk~}~�x�«-fo§2vhxk] ��ikvqn: |�|�| B¸xk§�nt[K|�f��;^g]_]�i�¨

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 10: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 �

���R� � �?� �V���)�������d�����R���)�����l��� �����E� ���©ª��nt[K^�fh�Kik�g^��®·���C | (�^�lrnhvh^g]_^��Lxk|}��ntf³|�� ¶¤·H§2x�vs] i�fh|�]_�K~�^�lL¨

8 fs|}]_�K~�^�l �gx��Kfs|}fqnt|��K��xk§;nh[K^c^Vlmnhvh^]�^(�Yx�|���ntfªG s�� *�+-+.+-* s · O xk§¦¶�·Å|�f��Diz~}~�^g��ik� ��� �� :2�K^Á���^g�|�� 3û��5��t� BX|�§�ik�K��x���~�p(|¬§r§2x�v;fhx�]_^®x�vs�K^gvs|}�K�-xk§rnt[�^wfhjK¯Kfs^nEik�K��§2x�v¦fsx�]_^µ�Y^gvs]�j�ntiznt|�x���Gh$ 6�*������2*K$ ·EOxk§�{�BV*�(<*,+.+-+.*-C�~��

s 6 & s � | ��� �s L & s 6 | ��� �+

++

s · & s · 476 | ��� �s � & s · | �����

:O�!B

«-[K^vh^0m � *,+.+.+-*�m · ikvs^�nh[K^�^g~�^g]_^g��nhfoxk§�DÀ¨¢o^Vlmn�«�^��Kvh^fh^g��n®i³��[�ikvhik�nh^gvh|�¹Di4nt|�x���xk§�iz��iznhx�] 3ò��5 �4«-[K|}��[�|�fE^fhfs^g��nt|}ik~m§2xkv�nh[K^�x��mnt|�]�|�¹Di4nt|�x��vh^fhjK~¬n0nh[�iznc«¤^�x�¯�ntik|��S|}�Ànt[K^�§2xk~}~�x�«-|}�K�%fs^g��nt|�x��Kfg¨�Ão^g�Kxknh^�¯�p�� s�� nh[K^�~}ikvs��^gfqn(|}��nh^g��^v0fh]�ik~�~}^vnt[Kik�Àxkv'^gº�j�ik~¦nhx s ¨®Z'[K^�Ành[K^(§2x�~}~�x�«-|}����nhvh|¬£m|}ik~�~�p [Kx�~��Kf

� 6�� s�|! "� / & s + :q` = B

;�|¬£�^�xµ� #�®·�� #�³�¥�K^�Á��K^�nt[K^(£�^�nhx�v%$'&,{ ~¸|��À¶¤· �$ &� { ~�&(� E| µI6 | +.+-+ | µ�� � 8)� �| µI6 | +.+.+ | µ��5476 � *

$U&H(<*�+-+.+-* C+¨µZ'[�^g� ¯�p :ñ` = BV�� 6�$ & { ~d/ &¯µV+ :q`�`�B

�m|��K�g^� 6�� E| µI6 | +-+.+ | µ�� � / &¯µI6 | +.+-+ | µ��R*

� 6�� E| µI6 | +-+.+ | µ��5476 � / &¯µI6 | +.+-+ | µ��5476�+

$*&h{ ~�|�f'�Y^gvh|�xr�K|}��|�� «-|�nh[À�Y^gvs|}xr�¼`���ik�K���K|�^g�^«-|�¹g^��gx���fsn�iz��n-«-|¬nt[Àizn']_x�fqn�C | (¸yqjK]_�Kf�Y^gvc�Y^gvs|}xr�¦¨oZ'[rj�fg�Xnh[K^�fs^n�G"$ & { ~�+�B ¬ ¬ ( O �gx���ntik|}��f(izno]�xkfsn C | (�£�^�ntxkvhfg�¦ik~}~�|���nh^g��^v£zik~�jK^g�¦¨®Z'[K^��K^Vlmn?�;^g]_]�i�§2x�~}~�x�«-f'§2vhx�] 3û��5 �¤®È ��� � [2]-,^]i� %�������?µ � 0®k.����� ���� � �� ��� ��� �� k ���� � /.E{�µT~ � j ���" 4������� � j �£p�� � �!���-�/��%�������0 �dj0.E{�µT~�k.����� ���� G"$ & { ~1+1B}¬ ¬3( O ¨�� %��������µ � 0?�� �qp�� ���� �/���+��� �dj ��� ��� ��2.E{�µ<~ � j���" ������� � j?�£p�� � �!�'�-�/�� %�������0 �dj.E{�µT~ �43�� ���lG"$ & { ~1+1B}¬ ¬H( O ¨

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 11: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

� ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

�®ik��[ �Yx�|���nnµ\ �®· |}f��gxk��ntik|��K^g�Â|}f�fhxk]�^ iznhx�] .E{�µ<~�¨Æ© n��Dik�Ænt[�jKf�¯L^�^Vl���vh^gfsfh^�=ikf�i�gxk��£k^�lÀ�gxk]�¯K|���iznh|}x�� xk§�nt[K^�^Vlmnhvh^]�^��Yx�|}��nhf³xz§ .E{�µ<~�¨

��x�v�ik��pS§2jK�K��nt|�x�� mÅx��»¶�·'�;«�^��K^�Á��K^anh[K^_�gx�vsvh^fh�Yx��K�K|��K�À§2j��K�nh|}x�� �m¾x�� �®· ikf(§2x�~�~}x�«-f¨© n(iz��vh^^gfc«-|¬nt[ m�xk�S¶ · �Xik�K�S|¬ntf³£kiz~}jK^�x��+ik�+izvh¯K|¬ntvhikvsp �Yx�|}��nc|}�>µ �®· |�f0x�¯mn�ik|��K^g�Sikfcnt[�^�gxkvhvh^fh�Yx��K�K|��K�+~�|}��^Dikv�|���nt^vh�Yx�~´i4nt|�x��Åxk§'nt[�^°£zik~}j�^gf�xk§?mHxk�¾nt[K^ ^Vlrntvh^]_^%�Lx�|���ntf�xz§'nt[K^%i4ntx�].E{�µT~V¨��� È�Ì � È � [^]`_u]im � 0?(���������� �� ����� � j?���" ������� � j �m4� 0}k.������� �1¨° � ÌXÌ:±²]��ñxk�K~�p |�§�� �¡ ^_��[K^��²+�gx���£k^�lm|�nªp�izn�i%�Yx�|���niµ�EE|¬n�|}f�^gfqn�ik¯�~}|�fh[K^� ¯�p+fs[Kx�«-|}�K��nt[Kizn�izn��Yx�|}��niµ���izn�iz��p�K|�vh^�nt|�x���/���nt[K^(vs|}�k[�n³�K^vh|¬£ziznt|¬£�^�|�f³�kvh^Di4nt^gv¸nh[�izn-x�v'^º�j�ik~¦ntx�nh[K^�~}^�§ n-�K^gvs|�£ziznh|�£k^k¨µ© n-x�¯�£r|}x�j�fh~¬pfhja�^gf0nhx°��[K^��²+izno�Lx�|���ntfcnh[�izncikvh^!x��9nh[K^�¯Yx�jK�K�Kikvsp xk§µik�9izntxk] �Lfh|��K�g^z�¦¯�p �K^Á���|�nh|}x��X� �m»|�f~�|}�K^gikv�|��°nh[K^c|���nt^gvs|}xkv¸xk§¥iznhx�]_fg¨®±³^g�K�^k�m«¤^cÁ�vsfsn-izfhfhj�]�^ont[�iznµnt[�^0�Lxk|}��n�µ�|}f¤x��°nt[�^c|���nh^gvs|}x�v¤xk§i�§ iz�g^�: xk§E�K|}]_^�Kfh|�x�� C 8z(*B¸«-[�|}��[+|�fo�x�]_]_x��9¯Y^nª«¤^g^�Snª«�x°ik�zysik�^g��n(iznhx�]_fg¨ ¡ |¬nt[�x�j�no~}x�fsfxk§���^g��^gvtiz~}|¬nªp��YikfsfhjK]_^�nt[�izn'nh[K^�izntxk]�fJ:2�K^Á���^g�9¯Y^g~�x�« ¯�p nh[K^g|�v-^�lrntvs^g]_^!�Yx�|���ntf.B-ikvs^

� & � { s � * s 6�*,+.+.+-* s · ~ ik�K� � & � { s � * s � 6 *,+.+.+-* s · ~J+«-[K^vh^ s ��fhiznt|�fs§ p :O� B¸ik���

s � 6 & s � | ��� � * s L�& s �� | ��� � +�¸ikfs^a` � �I� � &¡8?�I6�&;{ 8i(<*NBV*�+-+.+-*KBT~��V��� � &¯� · &¡{�BV*KBV*,+.+-+.*,(h~V¨

� 6

��xk]�]_x��§ ik�^

8?�I6

� ·� ·

� �

� �6� L

µxk§E��|}]_^g��fh|�x��$C 8\(

8��I6�E|���jKvs^_` � ��[K^g��²�|��K�°�x���£�^Vl�|¬nªp9izn³i��Lx�|���n?µ�� �¸ikfh^�`�¨

Ãc^g�x�]_�Lxkfh^��K|�vh^�nt|�x��x/%|��S|¬ntfo�Kvhxzyq^�nh|}x��®/ ���mx�£�^gvont[K^!�gx�]_]_x��9§ ik�^�ik���9|��9nt[K^!�K|�vh^g��nt|�x��/��S�L^vh�Y^g�K��|}�jK~´izv-nhx�nt[�i4n¸§ ik�g^z¨®©ª� nt[K^(�K|�vh^�nh|}x���/����ò�rnt[K^(~�^§ n³ik��� vs|}�k[�n¸�K^gvs|�£ziznh|�£k^gfoikvh^0^º�j�ik~ ¨¢oxznt^�nh[�izn0nh[K^�[�pr�L^v �ª��~´ik��^�nt[Kvsx�jK��[ s 6J* s � * s L,* s � 6 |�f(�L^vh�Y^g�K�K|��gj�~´ikv0nhx°nt[�^��gx�]_]_x��+§ ik�^k¨�©ª�nt[�^o�K|�vh^�nh|}x��n/ � ��nt[K^³vh|���[�n���^gvh|¬£ziznt|¬£�^o|}f¤i!�x��Kfqn�ik��n���nt|�]�^f �m'{ s � 6 ~u8 �m'{`µT~�¨EZ'[K^c~�^§ n¤�K^gvs|�£ziznh|�£k^

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 12: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 �

|�f �I{ �m!{�µT~!8 �m'{ s 6²~²~V¨ �(]_|¬nhnh|}�K�_nt[�^��x��Kfqn�ik��n �4�m«�^���^n-§2x�v¸nh[K^��K| FX^vh^g���g^{ �m!{ s � 6 ~!8 �m'{`µT~²~'8z{ �m!{�µ<~�8 �mU{ s 6²~�~& (� � {Sm'{ s � 6 ~!89m'{ s � ~�~!8z{Sm'{ s LN~!89m'{ s 6�~²~�� :q`��!B

| (� � {�m'{ s 6²~!8 m'{ s � ~�~!8z{Sm'{ s LN~!89m'{ s � 6 ~²~ � :q`�� BZ'[K^¸§ ik��n­nt[Kiznw¯Yxknt[ :ñ`��!BEizfE«�^~}~Kikf :q`D� BEikvs^¸�Kx��K��^g��iznh|�£k^¸§2x�~�~}x�«-fw¯�p�iz�K�K~¬pm|��K� :q`*B�«-|�nh[ s & s � ¨Z'[K^�¦�

{d( � ~��­B fs|}���g^ ���� s � 6 & s � | � ·s L�& s � 8b�I6 | � ·s 6�& s � 8b�I6

{d(T~��­B fs|}���g^ �� � s 6�& s � 8b�I6s L�& s � 8b�I6 | � ·s � 6 & s � | � ·�¸ikfs^�� � �I� � &C� · ik�K� �I� � &�8��I6�¨®© n-|�f³[Kik�K�K~�^g�9ikf �¸ikfh^_`�¨�¸ikfs^�� � ��� � &3/MLA&){ (<*�8�(<*KBV*,+.+-+.*NBT~V���I� � &)8?�I6�¨ ¡ ^�nt[�jKfcfh^n s & s � �Xik��� s � 6 & s � 89�I6�* s LE&s � 8z�I6 | /ML�* s 6 & s � | /MLg¨ ©ª�Ånh[K|}f��gikfh^z� s L�8 s 6�|�f��L^vh�Y^g�K��|}�jK~´izv_nhxSnt[K^%�x�]_]_x��§ iz�g^k¨¡ ^��K^�gx�]_�Yx�fh^�iz��ik|��®/%ntx�nt[K^!�Kvhxzyq^�nh|}x��9x��9nt[�^��gxk]�]_x��À§ ik�g^�/ ���û�¦ik���Àntxant[K^!�K|}vs^g��nt|�x��x/���Y^gvh�Y^g���K|}�jK~}ikv³nhx�nt[K^(§ ik�^k¨ 8 f-|�� �¸izfh^_`���|¬n-fhj ��g^f³nhxa�x��Kfs|}�K^v'nt[K^��K|�vh^�nt|�x���/��E¨wZ'[K^�vh|���[�n�K^vh|¬£ki4nt|¬£�^�|}� nt[K|�f-�K|}vs^g��nt|�x��9|�fm!{ s � 6 ~'89m'{ s � ~���ik��� nh[K^!~�^§ n³�K^vh|¬£ziznt|¬£�^�|}f�m'{ s L�~!89m'{ s 6�~?:2¯Lxknh[jK��ntx�i�]�jK~¬nt|��K~�|}�giznt|¬£�^!�gx���fsn�iz��n.B�¨Z'[K^%�K| FX^vh^�K�g^%¯Y^nª«¤^g^�Ænh[K^ vs|}��[�n_iz�K�¾~�^§ n��K^vh|¬£ziznt|¬£�^f�|}f�|��K�K^^g�Æ�Kx����K^g��i4nt|¬£�^ � m'{ s � 6 ~A8m'{ s � ~!8­{Sm'{ s L�~!8bm'{ s 6²~²~��zB�¨wZ'[K|�fo|�f-x�¯�ntik|}��^g�Àik��ik|���¯�p%ik�K�K~¬pr|}�K�$:q`*B�¨

� �/ML

��x�]_]_x��À§ iz�g^

� �6

xk§E�K|�]�^�Kfh|�x���C 8@(

8?�I6

�nL 8?�I6 � 6

/ML

��|}��j�vh^!� � ��[K^��²r|��K� �x���£�^Vl�|¬nªpÀizn³i��Lxk|}��n³x���nt[K^��gxk]�]_x���§ ik�^k� �¸ikfs^��

�¸ikfs^J@ � �I� � & /ML�& { (�*,8�(�*NBV*,+.+-+.*NBT~V�%��� � & /��D¨!©ª�+nt[K|�f(�Dikfs^k� s � 6 8 s 60|�f(�Y^gvh�Y^g���K|}�jK~}ikv0ntx%nt[�^�gxk]�]_x���§ ik�^k��ik�K��nt[�^!iz��ik~¬pmfs|}f-|�f³ikf'§2x�v �¸ikfh^�`�¨8 ~�~wxknt[�^gv(�Dizfh^gf��|��+«-[K|���[�µ�|}f(|��»nh[K^�|���nh^gvs|}x�v�xk§¤i § ik�^$:2xk§µ�K|�]�^�Kfh|�x�� C 8z(�BV�;�gx�]_]_x��

ntx nª«�xSik�zysik�^g��n�iznhx�]_fg�wizvh^�fh|�]�|�~}ikv!nhx9x��K^axk§¸nh[Kx�fh^a�gx���fh|��K^gvs^g�Æik¯Yx�£�^k¨ © n���x�«�vs^g]�ik|��Kf!nhx

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 13: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

` = ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

�gxk�Kfh|��K^gvµnt[K^³�Dizfh^o«-[�^gvh^?µ�~�|}^f¤xk� i�fhjK¯Kfs��ik�^0xk§ ��� � xz§¦�K|�]_^g�Kfs|}x�� izn�]_x�fqn CC8 � ¨ ¡ ^³�Kxknh^nt[Kizn0nt[�^��Lx�|���n¦µ%�Dik�+¯Y^�^�lm�Kvs^gfsfh^g��ikf0nh[K^�~�|}]_|¬n�xk§¤i fh^gº�jK^�K�g^ µ��%xz§¤�Yx�|���ntfcnh[�izn�ikvs^�x��+nt[�^¯Yx�jK�K��izvspÀ¯L^�nª«�^^g�¼nª«�x iznhx�]_fc«-[K|���[»[Ki�£k^_i°§ ik�g^ : xk§®�K|�]_^g�Kfs|}xk� C 8z(�Bo|��+�gxk]�]_x��X¨��r|}�K�^m |�f(�gx���nt|���jKx�jKf�:2nh[K|�f0§2x�~}~�x�«-f0§2vhx�] nt[�^�~}|��K^Dizv(|}��nt^vh�Yx�~}iznt|�x�� BV�¥ik�K�¼fh|��K�g^�nh[K^�~}|�]_|�n�xz§¤�x���£�^Vl§2jK�K��nt|�x��Kf-|�fcik~�fhx_�x���£�^�lL��nt[K^��x���£�^�lm|¬nªpÀizn'nt[K^��Yx�|���n?µ_|}f-^fsn�iz¯K~}|�fh[�^g�+ikf'«¤^g~�~O¨�ª|�§�� � ��x���fh|��K^gv³ik��ikvs¯K|¬ntvtizvspa�Lx�|���n s � ik�K� ik��p�nª«�x_�K|�fsnh|}���n-^g~�^g]_^��nhfA�I�S*²�,³-|���D9¨ ¡ ^0[�iD£�^0nhxfh[�x�« nt[�izn

m'{ s � ~ | m'{ s LN~!89m'{ s 6�~'8bm'{ s � 6 ~�¬­B�* :q` @ B

«-[K^vh^ s 6�¶& s � | ��� � s � 6 ¶& s � | ��³�� s L¶& s 6 | �,³A& s � 6 | �I� ¨Ãc^ÁK�K^�µ�¶& BV+���{ s 6 | s � 6 ~¦& BV+���{ s � |\s L�~(ik�K�»�gx���fh|��K^gv�nt[K^�~}|��K^�fh^��]_^g��n s 6�� µ�� s � 6 ¨Z'[K^�~�^§ n³�K^gvs|�£ziznh|�£k^ :2~O¨ �¦¨ B�iz�K��vh|���[�no��^gvh|¬£ziznt|¬£�^�: v¨û�X¨ B�|}��µaikvh^(��|¬£�^�9¯�p� + /u+1& �m!{ (� { s 6 | s � 6 ~²~!8 �m'{ s 6�~�& (� m!{ s � ~ | (� m'{ s LN~!89m!{ s 6�~�* + /u+M& �m'{ s � 6 ~!8 �m!{ (� { s � | s L�~²~�&wm'{ s � 6 ~!8 (� m'{ s � ~!8 (� m'{ s LN~J+

�m|��K�g^ �mS|}f-�x���£�^�lL� + /u+<8 � + /:+�|}f-�Kx�� �ª�Yx�fh|¬nt|¬£�^z�Liz�K�À[�^g�K�^�:ñ` @ B�[Kxk~}�Kf¨� È � �K� f [^]-[2]���� �.0/�����Sk/�'�+��� �dj ��� ���'���� �� ��������'� � ����k.������� � 0*�/� ��.� � 0?k/� � ���^j��.�� �£p��D%"�.�*�dj �£pG���ro �?k ��� �-�.0/�'���Sk/� �£p�� �� ���� �dj�m ��Q�^p��.���-�/�M¨ ��¨��-�" �.� �� � �/� �� � ��k.������� �(0*�/��o!p �SkNp�� 0 � �����+��� �dj?� 0*�/� �dj?��� �� 0�¨ �^p�� �43��������� �/�lk.� �dj>�qp�� (� ���'���� �� ��������'��dj¦m ���" �qp�� k.������� �!����$�dj �m 0/�'���rp����� �0(� j}o � �.�.0/�����Sk/� �£p���j����lk/���+���§m � � � �����" �-�.0/�����Sk/� �qp�� ��� ������+��� �dj (���������� �� �����/���� � � ���-�Nk/�'�+���G0(�£pG����� � � �� � %�������0 �� � ¨ �-� ���£p��/��o ��� �0.��m � 0(� ���'���� �� ����� �� � � j �qp��Uj ���� ��o �����p����� �0�¨���j s � * s � | ���R* s � | ��³h* s � | ��� | ��³(���-� ���� �/� �/��/���0�dj � �qp��/�

m'{ s � ~ | m'{ s � | ��� | ��³�~!8bm!{ s � | ���£~!8bm'{ s � | �,³J~�¬­BV+

¢o^Vlmn-«¤^(�gx���fh|��K^gv'nt[�^(|}��nt^��^gv'�x���£�^Vl�|¬nªp �Kvhxk�L^vsnt|�^gf'xz§Ei�§2jK���nt|�x�� m�¨ 8 §2j��K�nh|}x�� m9|�f'ftik|��ntx_¯Y^�|}��nt^��^gv-�x���£�^�lÀ|¬§�nh[K^(§2x�~�~}x�«-|��K�a[�x�~}��fg¨ ��x�v¸£�^�ntxkvhf s ik�K��/°|�� ¶�·'��«¤^![Ki�£k^

m'{ s}| /�~!89m'{ s ~��¯m'{ s ~!8bm'{ s 8�/�~J+��� È�Ì � È � [^]-[2]0� �/�!m � �?(� ���'���� �� �����ª¨n�^p��/�$���� 0?���� �����/��k.������� �1¨° � ÌXÌ:±²]SÃc^�Á��K^�� �� { s ~ ��� nh[K^�vs|}��[�n��K^vh|¬£ziznt|¬£�^�xk§ �m¾izn s |��Snt[K^���|}vs^g�nh|}xk� /Àik�K��� 4� { s ~ ��� nt[�^~�^§ n³�K^gvs|�£ziznh|�£k^!xz§ �m+izn s |}��nt[K^��K|�vh^�nh|}x���/�¨µ�m|��K�g^ �mS|}f-�gxk��£k^�l : Z'[�^gx�vs^g]¿�m¨�`�B¤nt[�^g�

� �� { s ~���� 4� { s ~�+ :q`��!B

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 14: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 `�`

�m|��K�g^ �m!{���~�&Cm'{��V~�izn'nh[K^�|}��nt^��^gv-�Yx�|���nhfg�Yik�K��fs|}�K�^ �mS|�f-�gx���£�^VlL�Y«¤^![Ki�£k^� �� { s ~�¬ m'{ s�| /�~!89m'{ s ~

� / � * � 4� { s ~�� m!{ s ~!8bm'{ s 8�/�~� / � +

Z'[K|�fg��ntxk��^nh[K^gv¸«-|¬nt[ :q`��!B�|�]_�K~¬p nt[K^�|���nt^g�k^gv-�gx���£k^�lm|�nªpÀxk§'m�¨Z'[K^��gx���£�^vhfs^�xk§�nt[K^�ik¯Yx�£�^(nt[�^gx�vs^g] |�f-�Kxkn-ntvsjK^ �

� Ì Y � È � ÊhÈ�� � ��� $ Èx[^]�_7] ��x���fh|��K^gv�nt[K^+�x���£�^Vlã§2j��K�nh|}x��¯m +�" · � � ��|�£k^g�ã¯�p­m'{ s ~§&� � �

�6���������� · s �ª¨%© n�|�f�|}��nt^��^gv!�gx���£k^�lÅfs|}���g^°|¬n!|}f�nt[K^�]�i4lm|}]!jK] xz§¸�gxk��£k^�l : ~�|}�K^gikv.B0§2jK�K��nt|�x��Kf¨

±ox�«¤^£k^gvg��|¬n-|}f'��xkn']�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikvg¨®©ª�K�K^^g�¦���x��Kfh|��K^v C & � � s & {£$ | (<*K$R~¤§2x�v¸fhxk]�^(|���nt^��^gvE$h¨Z'[K^�

� $ | � &Cm!{ s 8��I6 | � · ~ | m'{ s ~ "@m!{ s 8b�I6²~ | m'{ s}| � L�~�& � $ | (�+±o^�K�g^0mS|}f-�Kxzno]!jK~¬nt|�]�xr�KjK~}ikv¨��� È�Ì � È � [^]��2]0� �/��m � � (���������� �� �����.� ���" � �/��� +*� � � � ��k.������� ��� ���" �Nk/�-� ��0/����1¨�� 0��0/� �� �qpG���lm!{ s�| /1�£~�¬Cm!{ s ~J*²$�& � *,+.+-+.*-C$�&���" ?m'{ s 8�� · ~�¬zm'{ s ~�¨��^p��/���r{Sm^~ � 0 (� ���'���� �� �����ª¨

° � ÌXÌ:±²]��;^�nA�� ®DÀ���xy&z/1� ¨µ�m|��K�g^0mS|}f-]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikvg��«¤^�[Ki�£k^ �m'{ s�| /T�q~!89m'{ s ~��zm'{ s�| /1� | �V~U89m'{ s�| �V~�& +���+ :q` � B

±o^�K�g^z��r{Sm'{ s}| /T� | �V~²~!8��r{�m'{ s}| �V~²~·& �r{Sm!{ s�| /T�q~ | �U~U8��r{Sm'{ s}| /T�£~²~�¬��r{Sm!{ s ~ | �U~!8��r{Sm'{ s ~²~

& �r{Sm!{ s ~ | m'{ s}| /T� | �V~U89m'{ s}| ��~�~U8��r{Sm'{ s ~²~¬ �r{Sm!{ s�| /T�q~�~!8���{�m'{ s ~�~J+

Z'[K^ Á�vhfqn°|��K^gº�j�iz~}|¬nªpH§2xk~}~�x�«-f�§2vsx�] nt[K^ �gxk��£k^�lm|¬nªp xk§��;��ik�K�Hfh|��K�g^>m!{ s�| /T�£~®¬·m!{ s ~�¨ Z'[K^fh^�gx����Â|��K^ºrjKik~}|¬nªp¾§2x�~�~�x�«-f�§2vsx�] nt[K^ § ik��n�nt[Kizn��Æ|�n�|�f��Kx����K^g�vh^Dizfh|��K�K�µik�K�Ånt[�^°§ ik�n�nt[�izn�¯�p:q` � B��um!{ s�| /T�£~��zm'{ s ~ | m'{ s}| /1� | �V~!8bm'{ s}| �V~�¨Z'[K^�ftik]_^�ikvh�kjK]_^g��n³[Kx�~��Kf'§2x�vE� · vh^�K~´iz�g|��K�n/T� ��«-[K|���[9^gfqn�ik¯�~}|�fh[K^fonh[K^��Kvhxrxk§ñ¨

� �! � �#����� ���g����� JI ���#"����g��� #+!�g���¸��-, I4!�ã�¿,���$"���� ���E�V�¥�'�E����

©ª��nt[�|}f­fs^g��nt|�x��¦��«�^¤«-|}~�~KjKfs^']�jK~¬nt|�]_xm�Kj�~´ikvs|�nªp!ntx0xk��nt|�]_|}¹^-ic�gx�fqn­§2jK�K��nt|�x��_¯�ikfs^g��x��_icfs^gº�jK^�K�g^xk§¥§2jK�K��nt|�x��Kf'«-[K|���[ «-|�~�~¦vh^�Kvh^fh^g��nci�º�j�ik��nt|¬nªp%xk§�|���nh^gvs^gfsn³|�� i_�k|�£k^g��]_xm�K^~O��fhjK��[Àikf¸«¤x�vh²�~�x�ik�|��9i�º�jK^gj�^�§2x�v'^Vl�ik]_�K~}^�: fs^g^ � ��§2xkv-i_]_x�vs^��Kvh^�g|�fh^�|}�Kfqn�ik���g^�xk§�nh[K^��Kvhxk¯K~}^] B�¨

��x��Kfs|}�K^v�i fh^gº�jK^�K�g^°xk§¸�Kxk�K�K^g��iznt|¬£�^�§2jK�K�nh|}xk�Kf}m� +�" �

� ��nh[�izn�ftiznh|}fq§ p¼nt[K^_§2x�~�~}x�«-|��K�ikfsfhjK]_��nh|}x���f �

%'& `)(wm�|�f³]!jK~¬nt|�]�xr�KjK~}ikv¨

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 15: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

`�� ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

%'& � (wm�{ � 6�*,+.+-+.* �

�~��zm

�476ª{ � L,*,+.+.+-* �

�~J*���� "¯(!E

��x�v-i���|¬£�^g�Àfh^ºrj�^g�K�^nG ��O ��«¤^��K^Á���^�nh[K^��gx�fqnE�^{ � ~¸ikf

�^{ � ~�& ��� � �

(�

���6 m ��{ � 6J*,+.+-+.* � �T~�+

�;^n 6Àik�K� ¯L^0nª«¤x��Lx�fs|�nh|�£k^�vh^Diz~}f¨ ¡ ^(�K^�Á��K^(nt[K^ � �������lk.� 0*�43�� �/�lk.��G ��� � { ~ O «-|¬nt[ vtiznh^ 6ik�K� |��K|�nh|´iz~¦�K[�ikfs^ ikf�

���

�{ ~�& ����6 |! "� 8)�d{���8@(h~ 6 | � * :q`��!B

«-[K^vh^ � s�� |�fonh[K^�~}ikvs��^gfqn(|}��nh^g��^vcfh]�ik~�~�^gvcnh[�ik�Sx�v³^gº�j�iz~�ntx s ¨�¢³xknt^�nt[�iznont[K^!fh^�n�G ��� � { ~J*KB ¬ ¬3( O ikvh^�^�lrnhvh^g]_^��Lxk|}��ntf-xk§Eik� iznhx�] �gxk��ntik|��K|}����nh[K^��Lx�|���n�{ 62*'62*,+.+-+.*+6:~V¨Z'[K^aik|}] xk§µnt[K|�f�fh^g��nt|�x���«-|�~�~w¯L^�ntx��Kvsx�£�^_nt[�izn(nh[K|�f�fs^gº�jK^�K�g^a]�|��K|�]_|}¹^gf!nh[K^�§2jK�K��nt|�x�� �Y��Kvsx�£r|��K^g�Snh[�izncfhx�]_^��x��K�K|¬nt|�x��Kf :2|}���g~�jK�K|��K� & `)(�ik�K� & � (�B-ik¯Lx�£k^�[Kx�~��¦¨cZ'[�|}f0fs^gº�jK^�K�g^�«�ikfjKfs^g� ¯�p¼±oi4yq^g²9|}� 3ò��5 �¥ik���»«¤^_jKfh^�fh^�£�^gvhik~®�Kvhxk�L^vsnt|�^gf�xk§µnt[�^�¯Kik~´iz�K�g^��fs^gº�jK^g���g^°^fsntik¯K~�|}fs[K^g�nt[�^gvh^|}�X¨EZ�xo^fsn�iz¯K~}|�fh[�nt[K^®]�ik|��!xk��nt|�]_|}¹giznt|�x���vh^gfsjK~¬ntfg�4«�^µ�K^^g�!nh[K^w§2x�~�~}x�«-|��K�³nh^g��[K��|}�gik~M�¥^]_]aim¨¤®È ��� � �2]`_7]0��j�m � 0������ 0�� �.0���0.0/� %"�'�+����� ���� �qp��/� �qp��¦j����lk/���+��� �m

�0����'� 0�� �.0 ��0.0/�� %"���+���

� �� j ��� %��*0/�������?�-� ��� ���� � �/�-0�¨° � ÌXÌ:±²]@�;^nnµ & {�µI6J* �����l*Nµ � ~ �

�� ¨ÆZ'[K|�f_�Lxk|}��n�¯L^~}xk�K��f�ntx»ik�Hizntxk] .E{�µT~�]�ik�K^�¯�pÅnt[�^^�lrnhvh^g]_^��Yx�|}��nhf s � * s 6 * �����^* s

�¨wZ'[K^(��jK]�¯Y^gvs|}���axk§¥nh[K^(^�lrntvs^g]_^��Lxk|}��ntf'xz§�nh[K^�iznhx�] |�f'��[Kx�fs^g�

fhj���[Ânh[�izn�ik��gx�vs�K|}���¼nhx+nt[K^%¯�izfh^ D�& {d8��

�6 *K/

�6 *������^*K/

��476 *N�

��~�� s 6 & s�� 8z�

�6 ¨ Z'[�^ xznt[K^v

|��K�K|��g^gf�izvh^�izvh¯K|¬ntvhikvspk¨0Z'[K|�f0|}]_�K~�|�^gf0nt[Kizn s��³ & s 6³ §2x�voik~�~ � " � ¨0© §w«¤^��Diz~}~���nh[K^��Kvsxzyq^g��nt|�x��xk§ �

�� x���ntx � �476� ik~�x��K��nt[K^(Á�vsfsn³�gxrx�vs�K|}�Kiznt^z�

�n{`/�³ ~´& � {£/

�476³ ~�|¬§�( ��� ���

�n{`/�6 ~´& 8��

�4766

�n{���6 ~´& B

�n{����~´& �

�476�

�n{ s � ~´& { s � L * �����^* s ��~

Z'[K^gfs^gfa^gº�j�ik~�|�nh|}^fa|�]_�K~¬p¾nt[�i4n�� { s�� ~n&��n{ s 6 ~�iz�K���n{ s 6 ~J* �����^*�� { s�~!§2x�vs]@ik�Âiznhx�] |���

�476� �KjKfs|}���ant[�^���^Á��K|¬nt|�x�� xk§Eik�9i4ntx�]�¨ 8 ~�fhx���u�:2¹*B¸¯Y^g~�x��K��f'ntx�nh[K|}f³iznhx�]���ik�K��|¬§

{`µI6J*Nµ L�* �����2*Kµ � ~�& �U(�8 ����6 �^� � s � | �!6 s 6 | ����� | �

�s

�*

nt[�^g�{�µ L,* �����^*Kµ � ~·& �n{�µI6�*Nµ Lª* �����^*Nµ � ~

& �U(E8 ����6 �^� � �n{ s � ~ | �!6��n{ s 6 ~ | ����� | �

�� { s

�~

& �U(E8 ����L �^� � �n{ s 6 ~ | ����� | �

��n{ s

�~J+

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 16: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 `��

¢ox�«���m�{�µI6J*Nµ L�*������2*Nµ � ~´& �!(E8 ��

��6 �^� � m

�{ s � ~ | �'6²m

�{ s 6 ~ | ����� | �

�m�{ s

�~

� �!(E8 ����6 �^� � m

�476ª{ �n{ s � ~�~ | �!6�m

�476J{ �n{ s 6 ~�~ | ����� | �

�m�476J{ �n{ s

�~�~

& �!(E8 ����L �^� � m

�476ª{ �n{ s 6 ~�~ | ����� | �

�m�476J{ �n{ s

�~²~

& �m�476ª{�µ L�*������2*Nµ � ~�+

��� È�Ì � È � �^]`_u]> �" �/�?��0.0/� %"�'�+���G0 � � � ���" � ����D� �/� � � � � � ���" �� �����/��� � � �.�D� ��� j ���/(��� �� 0/���/� � � � � ��� ¸ B�*,(�¹ � ���" �/� ��� � �£p��(� � %��Nk/�+���'�+���®o�¨ ��¨ �S¨ � � ������¨ �^p��/�

��� � �

���rm { � � 6 { � ~J*,+.+.+-* � � � { � ~�~�& � � � �

�m { 62*+6^*,+-+.+.*+6:~J+ :q`�� B

° � ÌXÌ:± ¡ ^�[�iD£�^�§2x�v-ik~�~��E����2m �7{ � � 6 { � ~J*,+.+-+.* � � � { � ~²~�& �m �7{�62*,+.+-+.*+6:~�+ :q`�� B

: Z'[�|}f�§2x�~�~}x�«-f :q`�`*B��;§2vhx�] �;^g]_]�iS�m¨ò�m��ik�K�¼§ ik�n(nh[�izn �m ��|�f�i ��K^_x��»^Dik��[ izntx�]��¥ik��� ik�kvh^g^f«-|¬nt[ m �S§2x�v!nt[K^�^�lrnhvh^g]_^��Yx�|}��nhf�xz§³nh[K^ izntxk] ¨ B �m|��K�^ �m {�62*+62*,+.+.+-*+6u~!|}f�|��K�vh^Dizfh|��K��|�� � ¯�p�;^g]_]�ia�m¨}`��mnt[K^�~�|}]_|¬no|�� � ^Vlm|}fqntf : |¬no|�f-�Lxkfhfh|�¯K~¬p�|}�mÁ��K|¬nt^*BV¨¡ ^��gik~}~¦nh[K^�fh^ºrj�^g�K�^nG � � { � ~ O nt[�^�vhik�K�Kxk]�|�¹g^�À¯Kik~´iz�K�g^�9�Yx�~}|��pk¨

��� È�Ì � È � �^]-[2]> �" �/�J��0.0/�� %"���+���G0 � � � ���" � ����7j ��� �/���/��� ¸ BV*,(�¹ ���� � �

(�

���6 m ��{ � � 6 { ~J*,+.+-+.* � � � { ~²~�¬ � �

� �

�m { 62*+6^*,+-+.+.*+6:~J+ : ��= B

° � ÌXÌ:±²]'Ãc^ÁK�K^m · { *+6:~ ¶&¯m · { ��� 6 { ~J*,+.+-+.* � � · { ~²~J+

m · |}f-�Y^gvh|�xr�K|}� :2|}� B¤«-|¬nt[À�L^vh|�xm�¼`�¨®Ãc^�Á��K^m· { *'6:~�¶&wm · { � � 4 · �%6 { ~J*,+.+.+-* � � � { ~²~�+

Z'[K^�À«¤^�[Ki�£k^m· { �*'6:~�&wm · { *+6:~ «-[K^gvs^ �& 87C 6^* : �m`�B

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 17: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

` @ ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

©ª�K�K^^g�¦�m· { �*'6:~·& m · { ��� 4 · �%6 { .~J*,+.+.+-* ��� � { .~�~& m · { ��� 4 · �%6 { �| C 6u~J*,+.+-+.* ��� � { ?| C 6:~²~�&¯m · { *'6:~J*

«-[K^vh^0nt[�^0~´izfsn¸^º�j�ik~�|�nªpa§2x�~}~�x�«-f¸§2vhx�] nh[K^c§ ik��n�nt[Kizn � � 4 · � �{ �| C 6u~�& � �

�{ ~�� �n&¡(�*,+-+.+.*-C+¨�m ·|�foiz��ik|��%�L^vh|�xm�K|��(«�¨ûv¨ ng¨ ��«-|¬nt[ �L^vh|�xm�¼`��Kik�K��|}f-|��K�gvs^Dikfs|}���a|���C¿fhx_nt[Kizn'nt[K^0§2xk~}~�x�«-|}�K��~�|}]_|¬n

^�lm|�fsnhf :2�Lx�fsfh|�¯K~¬p�|}��ÁK�K|�nh^*B �m �{ *+6:~E¶& ��� · �

m · { *+6u~J+{Àx�vs^gx�£�^vg�®«�^%[Ki�£k^ nt[�i4n ���^m · { � *+6:~}& �m · { 62*�+-+.+-*'6:~��­«-[K^vh^ � ¯L^�iÀvtik�K��x�] £zikvs|´ik¯�~}^z�wjK�K| �§2x�vs]�~¬p��K|�fsntvs|}¯�j�nt^� |}� ¸ BV*�(�¹D:2nt[�|}fµ§2x�~}~�x�«-f :ñ`�`�B���§2vsx�])�;^g]_]�i��m¨ò�m�rik�K�°§ ik��n¤nh[�izn �m ��|�f¸i ��K^ox��^Diz��[9iznhx�]���ik�K� ik��vs^g^f³«-|¬nt[®m ��§2xkv¸nt[K^�^�lrnhvh^g]_^��Lxk|}��ntf-xk§�nt[K^�i4ntx�] B�¨µ±³^g�K�^k�

���rm�{ � *+6:~�& ���

�m {�62*+62*,+.+.+-*+6u~J+ : ���!B��x��Kfs|}�K^vo��x�«ãnt[K^�¯�iz~´ik���g^g�Àfh^ºrj�^g�K�^!§2x�v¸Á�lm^� ¨wZ'[�^g�

(�

�·

�6 m · { ��� 6 { ~J*�+-+.+-* � � · { ~²~

¬ (�

�·

�6 m { � � 4 � 4 ·�� { ~�*,+-+.+.* � � � { ~J*,+.+-+.* � � · { ~�~

¬ (�

�·

�6 m� { 8 C 6 | *+6:~�+

Z'[K^�~´izfsn³|}��^gº�j�ik~�|�nªp�§2x�~�~�x�«-f'§2vsx�] ikfsfhjK]_��nh|}x�� & � (ã§2x�v'nh[K^(§2jK�K�nh|}xk�Kfm���ikf'«¤^g~�~�ikf³ik�9izvh��j �

]_^g��nofh|�]�|�~}ikv'ntx�nt[K^�x���^�j�fh^g� |�� :O�m`�B�¨© § 6Æ|}f�|�vhvhiznt|�x���ik~ �®ik�K��~�pr|��K�+nt[K^ ^vh��xr�K|��°nt[�^gx�vs^g] xz§ ¡ ^pr~'iz�K���®x��b¢o^jK]�ik�K� : 3û��5 B��­«¤^

[�iD£�^

��� � �

(�

�·

�6 m� {d8�C 6 |! *+6:~�& ���2m

�{ � *+6:~J+

��vhx�] �wº�j�iznt|�x�� :O���!B���«¤^([�iD£�^ ���2m � { � *+6:~�& ��� � �m {�62*+62*�+-+.+-*'6:~J+rZ'[K|�f¸|}]_�K~�|�^gf�nh[�izn¸|¬§6 |}f³|�vhvti4nt|�x���ik~ �

� � �

(�

�·

�6 m � { 8 C 6 | *+6u~�& ���

� �

�m { 62*+6^*,+-+.+.*+6:~ : �k� B

© § 6�|}f¸vhiznt|�x���iz~O�rnt[K^� 6 &���I/�«¤^gvh^��ik�K� /aikvh^cvh^g~}iznh|�£k^g~¬p �Kvs|}]_^�ik�K� / �3(�¨­Z'[K|�f'|}]_�K~�|�^gfnt[Kizn®nt[K^ofh^gº�jK^�K�g^}{ � � 4 � 4 ·�� { ~J*,+.+.+-* � � � { ~J*�+-+.+-* � � · { ~²~­|�f¤�x��Kfsntik��n¸|¬§ ]_xm� (¦ ¸ ����/:* {�� | (h~ �I/T¹ �

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 18: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 `��

§2x�vµik~�~ ��¨­Z'[K^gvs^§2x�vs^k�Vm · { *+6:~­|}f¤ik~�fhx��gx���fsn�iz��n¤x��_nt[K^fh^o|}��nt^vs£zik~�f�iz�K�°¯�p_��ikfsftik�k^³nhx�nh[K^-~}|�]_|�ng�m � { *+6u~!|}f��gx��Kfqn�ik��n_x��¾nh[K^gfs^�|}��nt^vs£zik~�fg¨#¢ox�«��®�Kxknh^°nt[�i4n ��vtik�<{ 8 C 6:~� ¸ ����/:* {�� | (h~ �I/T¹§2x�v³^�l�ik��nt~¬p9x���^!£zik~�jK^�xk§ C x�j�noxk§�/��gx���fh^g�j�nt|¬£�^�£zik~�jK^fcxk§ C ¯Y^g�gikjKfs^ �°izvh^i/Àizvh^�vh^g~}iznh|�£k^g~¬p�Kvs|}]_^k¨

¢ox�«��K«¤^![�iD£k^

��� �

(�

�·

�6 m � { 8 C 6 | *+6:~�& (

/� 476�·

�6 m � {�C �I/u*+6u~�& ���rm

�{ � *+6u~J+

�wºrjKiznt|�x��7:O���!B¤�x��K�~}jK��^gfonh[K|�f³�gikfh^�ikf'«¤^g~�~O¨

�E��� �����#�2��� � �?��?�©ª��nt[K|�f®fhjK¯�fh^g��nt|�x��¦��«�^-^fsn�iz¯K~}|�fh[�~�x�«¤^gv®¯Yx�jK�K��f®§2xkvEnt[K^-�K|�fh�x�jK��nt^�°�x�fsnw§2x�v­ik~}~�fh^gº�jK^�K�g^f?G �

�O ¨Z'[K|�f�nh[K^g��fs^gvq£�^gf�§2x�v¥x�¯�n�iz|}�K|��K�cio~�x�«¤^gv�¯LxkjK�K��xk�!nt[�^�iD£�^vtik�k^��gxkfsnD¨E±o^vh^k�4«�^¤jKfh^µnt[K^µ§2x�~�~}x�«-|��K�

ikfsfhjK]_��nh|}x�� §2x�v¸nt[�^�§2j��K�nh|}x���f�m�¨

%'& � ( ��xkv-ik��p%fh^ºrj�^g�K�^nG ��O�� i�fh^º�jK^g�K�^nG

�O fhjK��[ nt[�i4n

� �%* C§* � " C§*?m�{��6J* �����^*� � 4 · * � 6J*�+-+.+-* � · ~�&Cm · { � 6�*,+.+-+.* � · ~V¨

¡ ^�jKfs^�nh[K^��Kxknh|}x���f³��^Á��K^�9|��%nt[K^��Kvs^£r|}xkjKfofs^g��nt|�x��Kfg¨�;^n�jKf�Áml nh[K^ fh^º�jK^g�K�^ G �

�O �wikf�«¤^g~�~-ikf�fsx�]_^%ikvh¯�|�nhvtikvqp |���nt^g�k^gvg� �»¨ ¡ ^ �K^�Á��K^ 6� ¶&

{ (E8��U~�� ��#�6 �

�476�

�¨

¢ox�«���jKfs|}�K�°ikfhfsjK]_��nt|�x��Kf & `)(ãnh[KvhxkjK��[ & � (���«�^�[�iD£�^����6 {d(�8��U~ �

�I476 m �7{ � 6J* � L�+-+.+.* � �1~

� ���6 { (A8��U~ �

�I476 m {�,6J*������� 4��V* � 6�* � L�+.+-+.* � �1~ | ���� �%6 { (A8��!~ � ��476 m { � �I4 �%6�* � L�+.+-+.* � �1~

� �m ���6 476���6 { (E8��!~ �

�I476 | � 6� 7*��L 4�L���6 {d(�8��U~ �

�I476 | � 476 6� 7* �����^*+6� �&�� {�� * ��*+6� 1~�* : � @ B

«-[K^vh^

� {�� * ��*+6:~ ¶& �m ���6 476���6 { (E8��U~ �

�I476 | � 62*�JL 4�L���6 { (E8��!~ �

�I476 | � 476 62* �����2*+6 � : ���!B

¢oxknh^anh[�izn�� |�f��K^�Á��K^g��§2x�v�i�Á�lm^g�Åfs^gº�jK^g���g^®G ��O ¨ 8 ~}fsx9�Kxknh^anh[�izn�� { ��* ��*+6u~(|�f�~�x�«�^v

fh^]_| � �gx���nt|���jKx�jKfo|}� ��§2x�vEB}¬�� �C(!ik�K��|�� 6;¨

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 19: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

` � ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

�ofs|}�K�n�;^g]_]�i �m¨�`�|}�%nh[K^ 8 �K�Y^g�K��|¬lL��«�^�Á��K�X�

� � · �(C·���6 m ��{ � 6�*������^* � �T~ � ��� �� 6 { (E8��U~

���I476 �

��476 m ��{ � 6J* �����^* � �<~� ��� �� 6 � { ��* ��*+6� 1~� |���§������ � {�� *,(�* �<~�* : � � B

«-[K^gvs^�7|�f'nt[K^�fh^�ncxz§­ik~�~¦~�|}]_|¬n³�Lx�|���ntf-xk§"6� aikf ���(�¨

�E�R� �b�E�V� � �����R��� �� n����� �#���d���l� ���A���1�?�r�%�2���� È�Ì � È � �^]��2]> �" �/����0.0/�� %"���+���G0 � � ��� � ��K���" ��� ���?���" �!����/� 0*���� 6 ¸ BV*,(ª¹�� ���" ����� ¸ BV*,(ª¹�� � j��£p���j�� �lk/���+���G0 m

�{ � 6�* �����l* �

�~ ���-� ��lk/�-� ��0/���� �� ���� � �+� �qp��/� �£p�� � �������lk.�

0*�43����/�lk.� � � { ~ (����(��)��.0M�qp�� �����/� � ���Ak.�*0/���^{ � ~ �����/� ����!0*�43����/�lk.�.0M�£pG���"0����'� 0£j����£p���k.���G0/�'� ��������

��� � �

(�

���6 � ��� 6^+

° � ÌXÌ:±²]¡ ^���^g�Kxknh^�¯�p

6 ¶& ��� � �

(�

���6 � �

�¤p%j�fh|��K� �;^]�]�ia�m¨�`�|���nt[K^ 8 ���L^�K�K|ÐlX�6®¬ 6 ¬ � � �� 6 6� �&7|}��§ G �M* �� �� O +

© §�nt[K^(§2jK�K��nt|�x��Kf¦GIm�O ikvs^(|}���gvh^gikfh|��K�K��nh[K^g� �$|�f-|}���gvh^gikfh|��K�a|}�(6;�Knh[K^gvs^§2x�vs^k�

�l{ � ~��=|���§������ � {�� *,(�* �<~�� ��{ � *�(<*+6:~�* : ���!B

¯�p �wº�j�iznt|�x�� : � � B�¨�¢oxznt^­nt[Kizn;§2x�v;ik��pc��|�£k^g� 6;��¯�p0�K^�Á��K|¬nt|�x��!xz§ �a� ��{ � *�(<*+6:~�& �m {�62*+62*������^*+6:~V¨© §�«�^�~}^�n � �kx_nhx_|}��ÁK�K|�nªpk��«�^���^n

�l{ � ~�& ��� · �(C·��I476 m ��{ � 6�* �����^* � �<~�� ���

� �

�m { 62*+6^*+6:~J+ : �k� B

Z'[K^x�vh^] ��¨ù��fs[Kx�«-f³nh[�izn ��� � � �m { 62*'62*+6:~��\�l{ � � { ~�~�¨®Z'[�jKf��l{ � ~��\�l{ � � { ~�~�¨¡ [K^g� nt[K^(§2jK���nt|�x��Kf?m�ikvh^��K^�gvh^gikfh|��K�K��«¤^![Ki�£k^(nt[K^�ik��iz~}x��kx�jKf-vh^fhjK~¬nD¨

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 20: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 `��

��� È�Ì � È � �^]���]> �" �/����0.0/�� %"���+���G0 � � ��� � ��K���" ��� ���?���" �!����/� 0*���� 6 ¸ BV*,(ª¹�� ���" ����� ¸ B�*,(�¹ � � j �qp���j����lk/���+���G0}m

�{ � 6J* �����^* �

�~����-� �Nk/�-� ��0/���� �� ���� � �+� �£p��/� �£p�� � �������lk.�

0*�43����/�lk.� � � { ~ (����(��)��.0M�qp�� �����/� � ���Ak.�*0/���^{ � ~ �����/� ����!0*�43����/�lk.�.0M�£pG���"0����'� 0£j����£p���k.���G0/�'� ��������

��� � �

(�

���6 � ��¬ 6^+

° � ̦Ìu±K]�Z'[K^!��vhxrxk§E|�f-fh|�]_|}~}ikv'ntx�nt[�^���vh^£r|�x�jKf³x��K^z��jKfh|��K�_nt[K^(§ ik��n'nt[�izn³|¬§

6§¶& � � � �

(�

���6 � ��*

nt[�^g�6 � 6®� ��� �� 6 6� 0&������^G ��* �� � O +

� �! � !#%���� �!������ I�� ���g��� ���-� #+!�g���¸��-, I4!�½�@� �V���# �� �������¥��E��

©ª� nt[�|}f¸fs^g��nt|�x��¦��«¤^0^gfqn�ik¯�~}|�fh[���^�K^gvhik~X�x��K�K|¬nt|�x��Kf¸j��K�K^gv¤«-[K|}��[%nh[K^0¯�ik~}ik�K�^g�%�Yx�~�|}��p°|�f¸x���nh|}]�ik~«-[K^� nt[K^ �gxkfsn�§2jK�K�nh|}xk� �K^�L^�K�Kf°xk�H]!jK~�nh|}��~}^À�gvh|¬nt^vh|}i�¨ Z'[K|�f°[Kikf°iz�K�K~�|}�giznt|�x��Kf_§2x�v_vhx�jmnt|��K��gxk��nhvhx�~¤|}�Åfs^£k^gvtiz~'ºrj�^gjK^f�vhiznt[�^gv�nh[�ik�Æik�K]_|�fhfs|}x��Æ�x���ntvhxk~¸|}�Åxk�K^ º�jK^gj�^Àizf�|}�¾nh[K^%�Kvs^£r|}xkjKffh^�nh|}x��X¨

¢ox�«��¥«�^_fsnhjK��p+nh[K^�§2x�~}~�x�«-|}��� �k^g�K^vtik~wx��mnt|�]�|�¹Di4nt|�x�����vhx�¯K~�^g]�¨ ��x��Kfs|}��^gv � fs^gº�jK^g���g^gf!xk§§2jK�K��nt|�x��Kf�m � � �� *K$�& (<*,+.+.+-* �¾¨ �®ik��[¾fs^n�xk§¸§2jK�K��nt|�x��Kf�m � � �� «-|�~}~µfti4nt|�fs§ p�ikfhfsjK]_��nt|�x��Kf & ` (�� & � (ik�K� & � (���ikf'|��S�r^g�nh|}xk�S��¨

8 �Yx�~�|}��p¼|}f�i fs^gº�jK^�K�g^ � & { � 6�* � L,*,+.+-+ ~��¥«-[K^vh^ � � |�f�i�£�^g��ntx�v�n�iz²r|��K� £kiz~}jK^f�|�� G�BV*�( O�� ¨¡ ^0�gx���fh|��K^gv�nh[K^(ik���K|�nh|}xk��ik~Y�gx��Kfqntvhik|}��n¸nh[�izn¤§2x�v�^�£�^gvqp |���nt^g�k^gv ����xk�K~�pax��K^oxk§;nt[�^0�gx�]_�Yx��K^��nhfxk§ � ³c]�i�p�¯Y^(�K| FX^vh^��n³nt[Kik�®=m¨ 8 �Lx�~�|��p�fti4nt|�fs§ pr|}����nh[K|}f-�x��Kfsnhvtik|���nc|�f-�Dik~�~�^g��§2^Dikfs|}¯K~�^k¨�;^n �À¯Y^�i��x���£�^�l |��K�vh^Dizfh|��K�a§2jK���nt|�x���§2vhx�] � � nhx �³¨oÃc^ÁK�K^

�l{ � ~�¶& ��� � �

(�

���6 �r{Sm

6� { � ~�*,+.+-+.*�m �� { � ~²~�*

��x�~}~�x�«-|}���Å�Kxkn�i4nt|�x��Kf°|���ntvsxm�Kj��g^g�7|�� �m^g��nt|�x��7���'«¤^+��^n i ¯LxkjK�K�=�Diz~}~�^g� �?�d{ � * ��*+6���~�§2x�vfh^º�jK^g�K�^0$s¨¤±³^gvs^k�K«¤^!�K^�Kxknh^�¯�p

�?�d{ ��*+6���~E¶&������

���d{ ��* ��*'6��q~�*

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 21: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

`�� ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

ik�K����d{ 6V�£~?¶& � � � � 6 ���d{ ��*+6��q~J+

¢oxknh^(nt[�izn-¯�p��x���£�^�lm|¬nªp xk§�m � � �� � �?� { 6��q~�|}f-�gxk��nh|}��jKxkjKfo§2vsx�] ¯Y^g~�x�«�¨�0jKv-x�¯myq^g��nt|¬£�^�|}f'nhxa]_|��K|}]_|�¹g^¦�l{ � ~ :2«-|¬nt[ �Kx_�gx���fsntvhik|���nhfoxk��nh[K^�ikfspr]_��nhxknt|���§2vhik�nh|}xk�Kf.BV¨

��� È�Ì � È � �r]`_u]i� 0.0/� �� �£pG���Tj ��� ����I$ �<�qp��2j����lk/���+���G0�m � � �� 0������ 0£j��J��0.0/�� %"���+���G0 � � ��� � �� ���" ��� �¦¨ �^p���j ���� ��o ���� � ��o �/� � �����" �p����� �0'j ��� ���� %������Sk/�+�.0��

�^{ � ~�� �����

�� � ����� �

���

�6 ��{��i6ª{�6l6²~J*,+.+.+-*�� � { 6 � ~²~�+

° � ÌXÌ:±²](ÃcjK^³ntx��¥^]_]ai��m¨�`c|���nh[K^ 8 �K�L^�K�K|ÐlL�K�k^�Kfh^���ûf�|}�K^º�j�ik~�|�nªp°ik�K� �®º�j�i4nt|�x��%� @���«¤^c[Ki�£k^

��� � �

(�

���6 ��{�m

6� *,+.+.+-*�m �� ~

� � � 6 { (E8��U~����6 ���476 �r{Sm 6� *�+-+.+-*Nm �� ~

� � � 6 � �'{d(E8��!~ ����6 ��I476 m 6� *,+-+.+.*h{ (E8��!~ ��

��6 ��I476 m �� �

� � � 6 �0{ �i6�{ ��*+6� 6 { �U~²~J*�+-+.+-*�� � { ��*+6� �{ �U~²~�~ : �k� B

«-[K^vh^

6�� { �!~A¶&¡{ (E8��!~ �� �#�6 �

�476�� � + :O�<= B

¡ ^°�Kxknh^�nh[�izn � ���6 6 �� { �U~�& (�¨�±³^g�K�^k�­xk�K^a]�iDp»��[Kxrx�fh^°iÀfh^º�jK^g�K�^ � � Q(°fhj���[¾nt[�izn�nt[�^

§2x�~�~}x�«-|��K��~}|�]_|�nhf³^Vlm|}fqn ���� � � 6�� { � �T~�&76��R* $U&¡(�*,+-+.+.* � :O��`�B

ik�K� � ���6 6��l&H(k¨���vsx�] nh[K^��gx���nh|}��jK|¬nªp xk§ ���d{ ��*+6��q~�|}� 6Àik�K� ��«�^���^n'§2vsx�] :O�k� B

�l{ � ~ � �r{��i6�{d(<*+6l6d~J*,+.+.+-*,*���{d(<*+6

�~²~ :O���!B

� �����

�� � ����� �

���

�6 �r{��i6J{ (<*+6%6�~J*,+.+.+-*�� � { (�*+6 � ~�~J+

¢oxknh^(nt[�izn'nh[K^gvs^�^�lm|}fqntfofhx�]_^ 6 � nt[�izn³iz��[K|}^�£�^font[�^�|���Á�]!jK]�����

�� � ����� �

���

�6 �r{��¦6�{ (<*+6%6�~J*,+.+.+-*�� � { (�*+6 � ~²~J*

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 22: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 `��

fh|��K�^��r{��¦6�{ (<*+6%6 ~J*�+-+.+-*���{d(<*+6

�~²~¸|}f-�x���nt|��rj�x�jKf³|}� 6 &;{ 6l6N* �����^*+6

�~�¨

��x��Kfs|}�K^v³nh[K^��Lxk~}|��p � ��� { ~¸��|�£k^g� ¯�p��� �

�� � { ~�& � ��6 �� |! � � 8)�d{���8@(h~ 6 �� | � � + :O��� B

Z'[K^gvs^�ikvh^cfhx�]_^ 6 � §2x�vµ«-[K|���[ nh[K^0�gxk�K�K|¬nt|�x��%xk§¥§2^Dikfs|}¯�|}~�|�nªp°xk§¥nt[K^c�Lx�~�|��p � � � { ~¤|�f¸fti4nt|�fsÁ�^�¦�nt[Kizn�|}f�4nh[K^gvs^¤^Vl�|�fsnhfEfsx�]_^ & { 6J*,+.+-+.* � ~V�zfsjK��[!nh[�izn¥nt[K^µ�Yx�~}|��p � � � { ~¦��|¬£�^g�!|}� :O���!BX|}f¥§2^Dikfs|}¯�~}^z¨Z'[K^fh^ 6 � izvh^��gik~�~}^� � �������lk.� ¤ik�K��ikvh^¤]�xkvh^¸^Vl�[KikjKfsnh|�£k^g~¬p�fsnhjK�K|�^g��|�� 3 � 5Kiz�K��vh^�§2^gvs^g�K�^gf­nt[�^gvh^|}�X¨��� È�Ì � È � �r]-[2]i� 0.0/� �� �qpG��� � � 0 ���� � ��� � ���" �Nk/�-� ��0/���� ���" ?�qpG��� 6 � � 0 � �������lk.� T¨0�^p��/� � � � { ~� 0(�.%"��� ����j ��� �£p�� �����/� � ����k.�*0/��M�`¨���¨���M(����(��)��.0��l{ � ~ �����/�J�����j � ��0/� � � � %������Sk/�+�.0�¨° � ÌXÌ:±²]�Z'[�^���vhxrxk§�§2xk~}~�x�«-f³��|}vs^g�nh~�p%§2vsx�] Z'[�^gx�vs^g] ��¨ò��ntx���^�nt[K^v'«-|�nh[ÀZ'[K^x�vh^]K@K¨�`�¨Z'[K^¼¯�ik~}ik�K�^»�x��K�K|¬nt|�x��7x��76 � |�f%fsnt|�~�~(�Kxkn%�x�]_�K~}^�nt^~�p7��[�izvtik��nt^gvs|}¹^g�¦�c[Kx�«�^�£�^gv�0«�^¼�gik�]_^g��nt|�x���nª«¤x(fh|�]���~}^-�Dizfh^gf­§2xkv�«-[K|���[ 6 � |}f­¯Kik~´iz�K�g^�¦¨w|O¨ ^k¨�§2x�vE«-[K|���[�nt[K^vh^'^Vl�|�fsn®fsx�]_^ 6�*,+.+-+.* � �fhj���[Ànt[Kizn � � � { ~¸|�f-§2^gikfh|�¯K~�^k¨% °n_   � & � ¨% °0[   � �vh|¬nt^gvs|´i�«-|¬nt[Àfspr]_]�^�ntvs|}���gx�fqntf : �r{ s ~�& � � s �Eiz�K�9iz~}~rm � izvh^(^gº�j�iz~ BV¨

� Ì � Ì $�$ ��� É �r]`_7]�� �� �����G0/�� �/� %"�-� � � �/ , ��¨��^p��/�.� � �!� 0/�0 0*���� 6 0/�ukNpJ�qpG��� �qp�� � �������lk.� %������Sk/�� 0(�.%"��� ����j ��� ����� ������������%7pG��0*� ¨� ���$�����G0/�� �/� %"�-� � � �/ , M¨� � 0/��(��/�'���*� �qp�� � �������lk.� %������Sk/��o ��qp 6®&F( � � � 0 �.%"�'� ���Tj �������� �����'������%7pG��0*� ¨

¢o^Vlmng�E«¤^avs^gfsnhvh|��n�ik��ik|��»nhxÀnh[K^a�gikfh^axk§'i�fh|��K��~�^°xk¯myq^g��nt|¬£�^ :�� & (�BV�Eiz�K� fs[Kx�« nt[�izn�nt[�^vh^fhjK~¬ntf�xz§'nt[K^a�Kvh^�£m|�x�jKf�fs^g��nt|�x��Å�Dik�ůY^°^Vlrnt^g���K^g�¦¨�{Àxkvh^ �Kvs^g�|}fs^g~¬p��w«�^%fs[Kx�«�nt[�izn�¯�ik~}ik�K�^g��Yx�~}|��p |}f-x���nh|}]�ik~;|��Ài_fqntvsx��K��^v³fs^g�Kfs^k¨� Ì � Ì $�$ ��� É �r]-[^] � ����/��0*���� 6 ¸ BV*,(�¹ �����" ����� ¸ BV*,(�¹ � � �������lk.� >%������Sk/� � � { ~?(����(��)��.0�qp�� �����/� � ���0k.�*0/�r�l{ � ~ �����/� �����%������Sk/�+�.0?�qpG��� 0������ 0£j�� �£p��}k.���G0/��� ������ �

��� 6 6l6J{ �!~��76l6N+ :O��@ B

o!p��/�-� 6 � 6 { �U~?� 0 ��� � � ���� ��� ��¨¢oxknh^¸nt[�i4nwnt[K^-�gxk�Kfsnhvtik|���n ��� � 6

� �

�6 � ��� 6%6 :2|}�_Z'[K^x�vh^]���¨û� B�|�]���~}|�^gf :O��@ B����KjK^¸nhx

�;^g]_]�i��r¨}`³|}�_nt[�^ 8 �K�Y^g�K�K|ÐlL¨wZ'[K^gvs^§2x�vs^³nh[K^-]_|}�K|�]_|}¹giznt|�x��a|}��Z'[K^gxkvh^g]��m¨ò��|}f®x�£�^v�i(fsjK¯L�~´izfhfxk§¦nh[K^³fh^n�xk§;�Yx�~�|}�|}^f¸x��a«-[�|}��[%]_|��K|}]_|�¹Diznh|}xk� |}f¤�L^vs§2x�vs]_^g�°|�� ��x�vsx�~�~´ikvqp @K¨ò�m¨­Z'[�jKfg� ��x�vhx�~�~}ikvsp@K¨ò�_|�]_�K~�|}^font[Kiznoi��Yx�~�|}��p � nt[�izn³fhiznt|�fsÁ�^f(: ��@ B¸�Kxr^gf³�Kxkn³�L^vs§2x�vs] ¯Y^nhnh^gv-nt[�iz�9±oi4yq^g² � fc�Yx�~}|��p:2«-|¬nt[ 6�&46l6 B�^�£�^g�À|�§�� � � � 6

� �

�6 � � � 6l6�¨

° � ÌXÌ:±�Ìu± � Ì � Ì $�$ �K� É �r]-[   ��[Kxmxkfh^+ik� ikvh¯K|¬ntvhikvspÂ�Yx�~�|}��p � nt[�i4n fti4nt|�fsÁ�^f :O��@ BV¨ ��[Kxrx�fs^+ifhj�¯Kfh^ºrj�^g�K�^ � � (�fsjK��[�nh[�izn ��� � � 6 � 6 { � ��~& 6l6�¨�Z'[K^_�Kvhxrxk§µ�Kx�«½§2xk~}~�x�«-f!¯�p+�x�]�¯K|��K|��K�Z'[K^x�vh^] ��¨ù��«-|¬nt[ :O����B�¨

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 23: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

��= ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

� � ��� �g,¥,¥�!� �¤����¥��!�Å�g� � �����-�%�

©ª�+nt[K|�f�fh^�nt|�x��¼«�^_��|¬£�^ai°nªpr�K|��Dik~µik�K��~}|��Diznh|}xk�»xz§¤nh[K^�]�jK~¬nt|�]_xm��jK~´izvh|¬nªp+nt[K^x�vsp9¯�pS~}xrx�²�|}���Ài4ni ;�Ä!;!Är`�º�jK^gj�^�«-|�nh[»¯Kiznt��[¼ikvsvh|¬£zik~}f0ik�K�¼ik�¼ik��]�|�fhfs|}xk�»�x���ntvsx�~ � nt[�iznc]�jKfqn�ik�g�^g��n�i �k|�£k^g��Kvsx��Lxkvsnt|�x��$6Æxz§'nt[K^%izvhvh|¬£r|}���+�gjKfqntx�]_^gvsfg¨ 8 ]_x�vh^°�K^ntik|}~�^g�Æiz��ik~¬pmfs|}f�xz§³nh[K|�f�fsprfsnh^g] �gik�ůY^§2x�jK���À|�� 3ò��5O¨®Z'[K^�]_xm�K^~;|}f-|�~}~�jKfqntvti4nt^g�À|}� �E|���jKvs^���¨

~�x�fqn

ikvhvs|�£zik~�f

¨ùÄ!;�Äm`�º�jK^gj�^

�E|���jKvs^�� � 8 �K]_|�fhfh|�x��S�x���ntvsx�~¦|��9i%¨òÄ!;!Är`�º�jK^jK^k¨

�;^nAG��:� O � ����¯Y^�nt[�^'fh^gº�jK^�K�g^³xk§Likvsvh|¬£kiz~rnh|}]_^gf��«-|�nh[_nh[K^¸�x���£�^g��nh|}x���nt[�i4n���6�&CB��znt[K^¸º�jK^jK^¯Y^g|��K��^g]_��nªp izn�nh|}]_^�Bm¨­Z'[K^�ik�K]_|�fhfs|}x��%�x���ntvsx�~X|�f��K^�Á��K^��nh[KvhxkjK��[%ik� ���/���������0*�43�� �/�lk.��¨EZ'[K^ikvsvh|¬£kiz~¦fh^ºrj�^g�K�^�|}f³i�fh^º�jK^g�K�^�xk§�|}��nh^g��^v³��jK]!¯L^vhf� � & { � 6J* � L�* �����^* � * �����K~��K«-[K^vh^ � ����|¬£�^fnt[�^��rj�]�¯Y^gv�xk§µ�gjKfqntx�]_^vhf!ik�K]_|�nsnt^�¼nhx%nt[K^�º�jK^jK^�izn0nt|�]_^��%� ¨ ¡ ^_ik~}fsx��K^g�Kxznt^�¯�p�G

�O nt[�^fh^º�jK^g�K�^�xk§�fh^vs£r|��g^!nh|}]_^f³|���nt[K^�fh^vs£k^gvg¨

¡ ^'��^g�Kxknh^'¯�p���{ � 6J* �����l* �

�~�nh[K^¸«�xkvh²�~}x�ik�_|}��nt[�^¸º�jK^gjK^³iznEnt|�]�^ �

�jK�K��^gv­nt[�^-ik�K]_|}fsfh|�x��

�gxk��nhvhx�~ � ¨®±³^gvh^z����«-|�~}~;��~´iDp%nt[�^�vsx�~�^(xk§�nh[K^(§2jK�K��nt|�x��Kf�m

�¨

Z'[K^�§2x�~�~�x�«-|��K�avh^gfsjK~¬n0|�fc�Kvsx�£k^g�+|�� 3û��5O¨ :2Z'[K^�fs�L^�g|}ik~��Dikfs^�xk§®Ã0ÄkÃ(Äm`�º�jK^jK^�|�fciz��ik~¬pm¹^g�+|���K^�n�ik|�~}f-|�� nh[K^��K^�lrnofh^�nt|�x�� BV¨��� È�Ì � È � ,^]`_u]x�^p���j����lk/���+������� � ��� �

{ � 6�* �����^* ��~ �Ro!p��/�-����� � �� �/� ��� �.0 �qp�� � � %��Nk/�+���'�+����o�¨ �ª¨ �S¨

�qp�� 0*�/�/�*�Sk.� �'���.0J���" ��qp��?���� �/� � ���/�������� �����.0�}pG��0?�qp���j ���� ��o ����?%"�-�.%��/���'�+�.0��

% ��� � ����{ � 6�* �����l* �

�~ � 0 (���������� ��������ª¨

% ��� � ����{ � 6�* �����l* �

�~�������� ��� · { �

�4 · �%6J* �����^* � �

~��?�uj ��� � " C ¨% ��� � ���

�{ � 6�* �����l* �

�~�&���� � ��� · {�B�* �����^*NBV* � 6K* �����2* �

�~.�uj ��� � � C ¨

% ��� � ����{ � 6�* �����l* �

�~ � 0 ��lk/�.� ��0/���� �� � � ¨

Z'[K^S^Vl��Y^g��n�iznh|}xk� xk§ : ik��p �Kxk�K�K^g�vh^gikfh|��K�Å�gxk��£k^�lH§2jK�K��nt|�x�� � xk§-B�nh[K^À«¤x�vh²�~�x�ik� fhiznt|�fsÁK^gf�gxk�K�K|¬nt|�x��Kf & `)(�� & � (ãik�K� & � (�¨­Z'[K^���^�K^gvhik~¦nt[K^x�vh^] ��¨û�_ik�K�K~�|�^gf³ik�K�%nt[�^(¯�ik~}ik�K�g^�9iz�K]_|}f �fh|�x�� �Lxk~}|��p � � { ~�«-|�nh[Àvhiznt^ 6À]_|}��|}]_|�¹g^gf-nt[�^ ��^¹Dikvsxa~�|�]�|¬n

�^{ � ~�& ��� � �

(�

���6 ����� ��� �7{ � 6�*,+.+-+.* � �T~�*

ik]_x��K��ik~�~;�Yx�~}|��g|�^gf'«-|¬nt[ vtiznh^�izn-~}^gikfsn 6;¨

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 24: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 �m`

Z'[K|�fw^�l�ik]_�K~�^'�Dik��¯Y^¸��^�K^gvhik~}|�¹g^�¦¨­©ª� 3û��5O�knt[K^¤ntvtiD£k^g~�|}�K�0nh|}]_^'xk§Yio�gjKfqntx�]_^gvw|��_ik��izvh¯K|¬ntvhikvsp�K^�nª«�x�vs²Àxz§wº�jK^gjK^fc«-[K|���[S§2x�vh]_fcik�9^�£�^g��n���vhik�K[À|}fofh[Kx�«-�Sntxa¯L^!]�jK~¬nt|�]_xm��jK~´izvo«-|¬nt[Svs^gfh�Y^g��nntx�nh[K^�ik�K]_|�fhfh|�x�� fh^ºrj�^g�K�^k¨�Z'[�^(x���nt|�]�ik~�|�nªp%xz§�nh[K^(¯�ik~}ik�K�^g��fh^ºrj�^g�K�^�|���nh[K|�f'�Dikfs^�|�f-�Kvhx�£k^g�|�� 3ò��5O¨µ{Àx�vs^0��^�K^gvhik~¦ik���K~}|��Di4nt|�x��Kf'xk§;nh[K^gfs^(vh^gfsjK~¬ntf-�Dik��iz~}fsx�¯L^c§2xkjK�K� |�� i!§2x�vsnh[K�gxk]�|��K����iz�L^v3 � 5 ¨

� � #�# �g���¸���������,Æ�g� � " �,;#+�'�-� �¥�-�� �¤�� �@����� ���������� ,¦� ,¦�¥�-� ,

©ª��nt[K|�f-fh^g��nt|�x���«�^��Kvs^gfh^��n0ik��xknt[K^v'|}~�~�jKfsnhvtiznh|}x�� xk§�nt[K^(nh[K^gx�vs^g]_f'nt[�i4n³ikvh^(��|¬£�^�9|���fh^g��nt|�x��Kfo�ik�K� @ nh[�izn(«¤^�§2jK~}~¬p+�K^�£�^~}x��X¨�±o^vh^k�;«¤^��gx���fh|��K^gv�i%fh|�]_�K~}^_]_xr�K^g~­�x�]_�Lxkfh^g�¼xk§�i �gxk��nhvhx�~�~�^g�Ã(ÄkÃ0Äm`_ºrj�^gjK^_«-|�nh[�fs^gvq£m|��g^_nt|�]_^gf � & Æik�K�»|}��nh^gv �ªikvhvs|�£zik~�nt|�]�^f�� � &���ik~�~­�K^�nt^gvs]_|}�K|�fsnh|}�z¨8 fsfhjK]_^�nt[�izn'nh[K^�iD£kiz|}~}ik¯K~�^�ik�nh|}x���fcikvs^¦=$:2�gx�vsvh^fh�Yx��K�K|��K�_ntx�vh^qyq^�nh|}�K�aik�Àikvhvs|�£r|��K���gjKfqntx�]_^gv-Bik�K�»` : �x�vhvs^gfh�Yx��K��|}�K�_ntx�ik��g^��n�ik���g^�xk§wik� ikvsvh|¬£r|}�K���gj�fsntxk]�^v.BV¨Z'[K^onªpr�Y^oxz§;�Kvhxk¯K~}^] «�^o�gx���fh|��K^gv¤|}f®nªpr�K|}�gik~Y|}�a[K|}�k[°fh�Y^g^�°nt^~}^�gx�]_]!jK�K|��Diznh|}x���f¸�K^nª«¤x�vs²rf�

ik�K�a|}�a��ikvqnt|��gjK~}ikvg��ntx�nt[�^ 8 Z³{ : 8 fqpm����[Kvhx���x�jKf¸Z�vtik��fs§2^gv�{Àxr�K^*BV¨­Z'[K^o~´iznsnt^v¤[�izf¤¯Y^g^�°��[Kx�fs^g�¯�p(nt[K^µfsntik�K��izvh�K|�¹Diznh|}xk���gx�]_]_|¬nhnt^^¤©ªZE� �ªZ 3¬` 5mikf¥nt[K^µ]�ik|���fsntik�K��izvh�!§2xkv�|���nt^��vtiznh|}xk�!xk§Kfh^gvq£r|}�^gf|���¯Kvhx�ik�K¯�ik�����K^nª«¤x�vs²rf¨w©ª��x�vs�K^gv�ntxc[Kik�K�K~�^�^ a�|}^��nt~¬p_io~}ikvh�k^¤£zikvh|�^nªp�xk§�ik�K�K~�|}�giznt|�x��Kf��fhjK��[_izf£�xk|}�^k�r��izn�im��£r|��K^gx�ik�K�_Á�~�^-nhvtik��fs§2^gv�m�^g~�~}fµxk§LÁ�lm^g�°fs|}¹^cizvh^-jKfh^�¦�r��|�£r|��K��vs|}fs^'ntx�x�jKv®]_xm�K^~Knt[�i4njKfs^gfcÁ�lm^�+fh^gvq£r|}�^�nt|�]�^fg¨ �E|¬lm^�+|}��nt^v �ªikvhvs|�£zik~;nt|�]_^gf(izvh^!nªpr�K|��Diz~�§2x�v³|}fsxm��[�vhx��KxkjKf(ik�K��~}|��Diznh|}xk�Kf:2£kx�|��g^k��£r|��K^gx B'ik���9ik~�fhx�§2x�v'~}ikvs��^(Á�~}^(nhvtik�Kfq§2^gv¨Z�«¤x%|�]��Yx�vqn�ik��n0]_^gikfhjKvs^gf0xz§®ºrjKik~}|¬nªpÀxk§wfh^vs£r|��g^gf�|�� 8 Z³{ �K^�nª«�xkvh²�f�ikvh^!~}xkfhf0�Kvsx�¯�ik¯�|}~�|�nh|}^f

: ���¥d � ��^~}~��;x�fsf�doiznh|}xkf.B0ik�K�¼�K^~´iDprfg¨ 8 �g�x�vh��|}�K��ntx%nh[K^ 8 Z³{ fqn�ik����ikvh� 3¬`�5 �¦«-[�^g�¾i � �¸d: ��xk�Kfsntik��n ��|¬n�d³iznh^*B(fh^gfsfh|�x��¾|�f�^fsn�iz¯K~}|�fh[�^g�¦�­nh[K^a��^nª«¤x�vh²»fh[KxkjK~}� �Kvhx�£r|}��^ iÀ�kj�ikvtiz��nh^g^_nt[�i4nnt[�^gfh^'nª«¤x!]_^gikfhjKvs^gfµikvs^'¯Lx�j��K�K^g��¯�p���|¬£�^�a�x��Kfsntik��ntf¨µ�m|}���g^'nt[K^-iD£zik|�~´iz¯K~}^-fsx�jKvh�^gfµikvs^'~}|�]_|�nh^g�ik�K�X�m]_x�vs^gx�£�^vg�K]_|���[�n¸¯Y^ofs[�ikvh^�°«-|¬nt[ xknh[K^gv�ik�K�K~�|��Diznh|}x���fg�Ki�nªpr�K|}�gik~Yx�¯myq^g��nt|¬£�^(xk§Xnt[K^³�K^nª«¤x�vs²|�f�nhxÅ]_|}�K|�]_|}¹^»nh[K^¼�K^g~}iDp=xk§�nt[�^�� ��d fh^fhfh|�x�� «-[K|}~�^¼]_^g^nh|}���Ânh[K^¼�gx��Kfqntvhik|}��n x��=nt[�^+~}x�fsf�Kvsx�¯�ik¯K|�~�|�nh|}^fg¨ �¥xkfhfh^f�]_|}�k[�n�¯L^a�KjK^a^g|¬nt[K^v!ntxÀx�£�^gv���x�«��wx�v�ntxS�K^~}|�¯Y^gvti4nt^°�Kik��²k^�n��K|�fh�Dizvh�K|��K�¯�p¼nt[K^a�K^nª«¤x�vh² : ^z¨û��¨�nhxSik~�~�x�« nh[K^°vs^gfsx�jKvh�^gf�nhx9¯Y^°iD£zik|�~´iz¯K~}^�§2x�v�xknt[K^v�iz�K�K~�|}�giznt|�x��Kf-B�¨ Z'[K^�Kvsx�¯K~�^g]¿�Dik�+¯Y^!§2x�vs]�jK~}iznh^g�+|��+x�jKvo§2vhik]_^«¤x�vh²9ikfcxk�K^�xk§®�K|�fh�gikvh��|}�K�%�^g~�~}f(fsx�ikfonhx ]_|}��|}]_|�¹g^nt[�^ciD£�^vtik�k^cº�jK^gj�^cfh|�¹g^ : | ¨ ^k¨­nt[�^³«¤x�vh²�~�x�ik�a|}��nt[K^³fsprfsnh^g] Bµ«-[K|���[ |�f¤²��Kx�«-�°nhx!¯Y^³�Kvhx��Yx�vqnt|�x���ik~ntx(nh[K^-iD£�^gvhik��^-fhx4yqx�jKvh��nh|}]_^ : ��jK^'ntx¦�;|�nsnt~�^ � f®~´iD«�B���fsjK¯myq^g��n®ntx�i0~}x�«¤^gv®¯Yx�jK�K� 6�x���nt[K^-iD£k^gvtiz��^�g^~}~;��|}fs�Dikvs�K|}���°vti4nt^k¨¡ ^®�Kx�« �K^gfs�gvh|�¯Y^¤nt[�^µfqn�iznh^w^£kx�~}jmnt|�x���xk§rnt[�^µfqprfsnt^]�¨­© § s �-�K^�Kxknh^gf;nt[K^µik]_x�j���n�xk§r«¤x�vh²�~�x�ik�

|��Snt[K^�fqpmfqnt^] |}]_]_^g��|´iznh^g~¬p¼iz§ nh^gvcnh[K^ �Lnh[¼ikvhvs|�£zik~�nt[�izn0xm��gjKvsf�iz§ nt^vcnt|�]_^}B��;ik���Snt[K^�fqpmfqnt^]|�f³|��K|¬nt|}ik~�~�p%^]_��nªp :Oizn-nh|}]_^i= B��mnt[K^�

s � �%6�& � � { s �¦8���*NBT~ | � � :+Z'[K^�fhxk~}j�nh|}xk�Àxk§�nt[K|�f-vh^�gjKvsfh|�x��À|�f³��|�£k^g� ¯�p%nt[K^�^�lm��iz�Kfh|�x��9xz§�nh[K^i�¥|��K�K~�^p ^gº�j�iznh|}x�� �

s � �%6�&wm ��{ � 6J*,+.+.+-* � �<~�& � �� B�* �I476� �#�

³ { � ³ 8��u~�*�}&H(�*,+-+.+.* � 8@( | � � :+ :O���!B

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 25: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

��� ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

¡ ^�fh[Kx�« ¯�p+i°fs|}]_�K~�^_|}�K��jK�nh|�£k^_ikvh��j�]�^��n(nt[�izn�m · |}f0|��K�K^^g�¼]�j�~�nh|}]_xr�KjK~}ikv0§2x�v0iz~}~�|}��nt^��^gvsfC x�£k^gv�¶�·'¨_Z'[K^_§2jK�K�nh|}xk� s � { � ~}¶& B�� � ¯G�BV*,( O |}f��~}^gikvh~¬p¼]�jK~¬nt|�]_xm��jK~´izvg��ikf(«�^~}~µikf(nt[�^§2jK�K��nt|�x�� s 6ª{ � ~�& � 6 E¨ 8 fsfhjK]_^9nh[�izn s � & m ��{ � ~_|}f�]�jK~¬nt|�]_xm��jK~´izvg¨ s � �%6�{ � ~�|�f i��x���£�^Vl|��K�gvs^Dikfs|}�K� §2jK�K��nt|�x�� xk§Am �m�Eiz�K��|�f�nt[K^vh^§2xkvh^�]�jK~¬nt|�]_xm�Kj�~´ikv�¯�p¼Z'[K^gxkvh^g] �m¨û��¨n¢oxknh^�nt[�izn�nt[�^ikfsfhjK]_��nh|}x���fm'{ s0| /T��~A¬zm!{ s ~J*²$!& � *,+.+-+.* �»��ik�K� m'{ s 8Q� ~�¬zm'{ s ~�|}�K��^g^g�À[Kx�~���fh|��K�g^ � �­B�¨©ª� ��ikvsnh|}�jK~}ikvg�Knh[K^�ikfhfsjK]_��nt|�x��®m'{ s}| /T�£~�¬zm'{ s ~J*K$U& � *,+-+.+.* ����§2xk~}~�x�«-f-§2vsx�] nh[K^(§ ik�n'nh[�izn

s � �7L�& � � {�BV* � � 8��V* s �u8 � � | � � 2~ | � � �%6 :+�0jKv!�kx�ik~w|�f�nhxÀx�¯mn�ik|�� i��Yx�~}|��p � � nt[�izn!]_|}��|}]_|�¹g^gf�ik� ^Vlm�L^�nt^�ÅiD£�^vtik��^��gxkfsn!vh^g~}iznh^g��nhxnt[�^!iz]�xkjK��noxz§�«¤x�vh²°|}��nt[K^�fqpmfqnt^] i4n³ikvhvs|�£zik~¦^�Lxr��[Kf¨µZ'[�^!�x�fsn-ntx_¯Y^�]�|��K|�]_|}¹^g�9|�f'nt[�jKf

�^{ � ~�¶& ��� � �

(�

���6 m ��{ � 6J*,+.+-+.* � �T~�*

fhj�¯myq^g��nonhx_nh[K^��gx���fsntvhik|���n �

��� � �

(�

���6 � ��� 6 � +

��x��Kfs|}��^gv!ÁKvhfsn�nt[�^��gikfh^axk§'i�º�jK^gj�^a«-|¬nt[ |���Á���|�nh^a�gik��ik�|�nªpk¨ Z'[K^g�X�E|¬n!§2x�~�~�x�«-f�§2vhxk] Z'[K^gxkvh^g]��¨û��nt[�i4n-i�¯�ik~}ik�K�^g���Lxk~}|��p :2«-|¬nt[ ikvs¯K|�nhvtikvqp B�|}f�x���nt|�]�ik~ ¨wZ'[K^�ikfhfsjK]_��nt|�x��Kf-xk§¥nh[K^(Z'[K^gxkvh^g]|��K�K^g^�9[Kxk~}� �

% m � : |�� : ���!B B�|}f-|��K�K^g^�9]_x��Kxzntx��K^�|��K�gvs^Dikfs|}���a|�� � �+E% uwvhxk�L^vsnªp & � ( : |��S�mj�¯Kfh^�nt|�x��9��¨}`*B�[Kx�~��Kf-¯�p���[�xmx�fs|}���

�&¯B���fs|}���g^

m�{ � 6�*,+.+-+.* �

�~�&wm · {�BV*,+.+.+-*NB� ��� �· 4

� * � 6�*,+.+-+.* ��~�* � � C�� :O� � B

% �¤p �gx�]!¯K|}��|}�K� :O� �!Bµ«-|�nh[Ành[K^(Á�vhfqno]_x���xkntx���|}�|�nªp%��vhx��Y^gvqnªp��K«¤^!��^�nm�476ª{ � Lª*,+-+.+.* �

�~�&wm

�{�B�* � L�*,+.+-+.* �

�~�¬zm

�{ � 6�*�+-+.+-* �

�~J*

«-[K|���[9^fsntik¯K~�|}fs[K^gfcu®vsx��Y^gvsnªp & � ( : |���nt[K^�¯Y^g��|��K�K|��K��xk§w�r^g�nh|}xk�9� BV¨��x��Kfs|}�K^v¸�Kx�«7i�ºrj�^gjK^³«-|�nh[%i�ÁK�K|�nh^cfqntx�vhik��^³�Dik��iz�g|¬nªp�§2xkv®nh[K^o«¤x�vs²r~�x�ik�X�m| ¨û^z¨­nt[K^-«¤x�vh²�~�x�ik�

iznont[K^!ºrj�^gjK^_izno^Diz��[Snt|�]�^�|}�Kfqn�ik��n(|�f0¯Yx�jK�K��^g�S¯�p���¨ ¡ [K^g�Snh[K^�º�jK^gj�^�|}fo§2jK~}~ �Lnh[K^�x�£k^gv �Kx�««¤x�vh²�~�x�ik� |�f�~}x�fqnD¨a±ci4yq^² �ûf!�Lx�~�|��p¼�K^^g� ��xkn�¯L^�x���nh|}]�ik~®ik��pr]_x�vh^z�­ikf(nh[K^�§2xk~}~�x�«-|}�K�À^�l�ik]_�K~�^fh[�x�«-f¨� Ì Y � È � ÊhÈ�� � ��� $ È^]�_7]���� ��� �.%"�'� �������� �dj � � �������lk.� %������Sk/� ��;^n � & (�� & ( B<Bm��� & ( B�B���6 � & B�+ BV(k¨ 8 fsfhjK]_^°nh[�izn�nt[K^a�gx�fqn!nhxÀ¯Y^°]_|��K|�]�|�¹g^�¾|�f!nt[�^iD£�^vtik��^�º�jK^jK^_~}^�K�knh[¦¨�±oi4yq^g² � f(�Lxk~}|��pSik��[K|�^£�^f�iz�¼i�£k^gvhik��^�º�jK^gj�^�~�^g���knt[¼xk§ ��BV+���§2x�v0ik��p ¨

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 26: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 �k�

��x��Kfs|}��^gv0�Kx�«¢nt[�^��Y^gvh|�xr�K|}�!�Lxk~}|��p xk§®�Y^gvs|}xr�+��=�=ant[�i4n0ik��g^��ntf����gx��Kfs^g�j�nt|¬£�^��jKfsnhx�]_^gvhf�iz�K�vh^ñyq^g��ntfoik~}~;§2x�~�~�x�«-|��K��x��K^fg¨ 8 § nt^gv'nh[K^!fs^g�x��K�+ik��g^��n�ik���g^k��nt[�^�ik]_x�j���noxk§�«�xkvh²�|}��nt[�^!fqpmfqnt^]|�f�` =<=��KjK^�ntxant[K^!~}|�]_|�n(xk�9nt[K^�ºrj�^gjK^��gik��ik�|�nªpk�;ik�K�Snh[K^gvs^�|}fo~}xkfhf(xk§­«¤x�vs²r~�x�ik� :2xk§µ���°j��K|�nhf.BV¨Z'[K^!iD£�^gvhik��^�º�jK^gj�^�~�^g�K�knh[À|�fo���m¨ò���m¨wZ'[�jKf-nt[K^��K^�«*�Yx�~}|��p%ik��[K|�^£�^f0[�ik~¬§�nt[K^�º�jK^gj�^�~�^g�K�knh[9izfnt[�^���vh^£r|�x�jKf³x��K^z¨

8 ~¬nt[KxkjK��[anh[K^³¯�ik~}ik�K�g^�°�Yx�~�|}��p_|}��nt[K^oik¯Yx�£k^o�x�jK��nt^v�^VlKiz]���~}^ovh^gfsjK~¬ntf�|�� i�~}ikvh��^v®ºrj�^gjK^z��|¬n[�ikfwnh[K^³ik��£zik��n�ik�k^³x�£k^gv®nt[K^-xknh[K^gvw�Yx�~�|}��p_xk§X��xkn®�gvs^Diznh|}�K��~�x�fhfs^gfg¨ 8 f®«¤^³�Kx�« fh[�x�«��mi(¯�ik~}ik�K�^g��Yx�~}|��p |}f�x���nt|�]�ik~¸|¬§-«�^%vs^gfsnhvh|��n�nhx+�Lx�~�|��g|�^gf�«-|¬nt[¾nt[�^ §2jKvsnh[K^gv��x��Kfqntvtiz|}��n�nt[Kizn��Kx+~�x�fhfs^gf�ikvs^ik~�~}x�«¤^g�¦¨µZ'[�jKfg���x��Kfh|��K^v³nh[K^��g~}ikfhf-xk§��Lxk~}|��g|�^gf-nt[�i4n-ftiznh|}fq§ p%nt[K^��gxk�Kfsnhvtik|���n �

s ��{ � 6J*,+.+-+.* � �T~�¬ �«-[K^vh^ s �_|}f-��|¬£�^�À¯�p :O���!B�¨�m|��K�g^ s �_|}f-]!jK~�nh|}]_xr�KjK~}ikv'§2x�v-ik~�~ �E��nh[K^�fh^�n

G�{ � 6�*,+.+.+-* � �<~1+ �m ��{ � 6J*,+.+-+.* � �<~�¬ � O|�fE�gxk��£k^�l!§2x�v�ik~�~ ��¨'�³fh|��K�c�Kx�«Ånh[K^¤vs^g]�ikvs²��r¨ù�³ik�K��Z'[�^gx�vs^g]���¨û���4«¤^��x��K�~}jK��^�nt[�i4nEi³¯�ik~}ik�K�^g��Yx�~}|��p |}f³ik��iz|}��x���nh|}]�ik~ ¨©ª� nt[�^ ik¯Yx�£�^ iz�K]_|}fsfh|�x��Å�gx���nhvhx�~w«¤^ �gx���fh|��K^gvs^g�Åx��K~¬p¼nt[K^a�Lxkfhfh|�¯K|�~}|¬nªp�xk§-ik��g^g�mnt|��K�Sx�v�vh^��

yq^g��nt|��K�_nt[K^(«-[Kx�~�^�ikvhvs|�£r|��K��¯�iznt��[ : xz§�` =�= B�¨­©ª� �Kvhik�nh|}�^k��ikvsvh|¬£m|��K��¯�iznh��[K^gf³]�i�p �gx�vsvh^gfs�Lxk�K� nhx�g^~}~�f³x�vh|���|���iznt|��K��§2vhxk] �K| FX^vh^g��n³fhxkjKvh�^gfg�Lik�K��|¬n³|}f-xk§ nh^g� �Lx�fsfh|�¯K~�^�nhx�vs^qyq^�n³x��K~¬p i���ikvsn-xz§Ent[�^¯�iznh��[¦¨

8 fsfhjK]_^k�ont[�jKfg�ont[�izn°nt[K^¼iD£zik|�~´ik¯�~}^¼ik��nt|�x��Kf ikvs^ � G�BV*,(<*,+.+.+-* � O �³«-[�^gvh^ � & $�]_^Diz�Kfik��g^g�mnt|��K�#$K{ ( B�B � �x~�jK�K|¬ntf_xk§-«�xkvh²�~}x�ik�¦¨ 8 fhfhj�]�^�nt[Kizn�nt[K^%¯Kiznt��[Æfh|�¹g^ xk§�` =<=S|�f_ik�Æ|���nh^g��^v]�j�~�nh|}�K~�^�xk§ � ¨ ¡ ^��Dik�¼nt[�jKf�fh��~}|¬n!ik�»ikvhvs|�£zik~�¯�iznt��[�ik�K�»ik��g^��n�x��K~¬p¼i §2vtik��nt|�x��¼xk§µ|�n�E�]_x�vs^�Kvs^g�g|�fh^~�pk�'«�^À�Dik�H^g|¬nt[K^v°vh^ñyq^g��n |¬nD�¸x�vaik��g^g�mnx( � ��nt[Hxk§cnh[K^9¯�i4nt��[¦�¸xkv � � � nt[X�¸^nh�k¨�¨}¨�¨7Z'[K^fh]�ik~�~�^gfsnojK�K|¬n³xk§�¯�iznt��[�«-[K|���[À«¤^!�gik�Àik�g�^g��n : | ¨ ^k¨ � 476 |}f-�gik~}~�^g�9i�]�|��K|;¯�i4nt��[¦¨

��x��Kfs|}�K^v¤��x�«Ânt[�^³¯Kik~´iz�K�g^���Yx�~�|}��p � � ¸ � ¹Knt[Kizn®|}f®��|¬£�^�a|���:q`���B��gx�vsvh^fh�Yx��K�K|��K��ntx 6 & 6 � � ¨©ª�_xknt[�^gvE«¤x�vh��fg��|}��fsnt^gik�_xk§Y�gx���fh|��K^gvs|}�K�!icn�izvh��^�n­§2vtik��nt|�x��>6�xk§�nt[K^¸«-[�x�~}^'¯Kiznt��[�ntx(¯Y^'ik��g^��nt^�¦�«-[K|���[ |�f�fh]�ik~�~�^gv¤nh[�ik� : x�v®^gº�j�iz~Ynhx B-`k��nh[K^c��^« ntikvh��^�n��x�vhvs^gfs�Lx����Kf¤nhx!nt[�^ciD£�^vtik�k^c��jK]�¯Y^gv¤xk§]_|}��|¦¯�iznh��[K^gf¸nhx�¯L^�ik��g^��nt^�¦��ik�K�%�gik�%¯L^�iz��p°vh^gik~X��jK]!¯L^v'¯L^�nª«�^^g�x=�ik�K� � : |�����ikvqnt|��gjK~}ikvg�6�& � «-|}~�~;�gxkvhvh^fh�Yx��K� ntx�ik�g�^g��nh|}��� � ]_|}��| � ¯�iznt��[�^gfg�Y| ¨û^z¨®nh[K^(«-[Kx�~�^�x�vh|���|���ik~¦¯�i4nt��[ BV¨¡ ^o]�i�pavh^�L^gizn�nh[K^0iz¯Lx�£�^o�Dik~��gj�~´iznh|}xk�%ik�K� fs[Kx�«7nt[�iznµnt[�|}f¤�Lx�~�|��pa|}f¤x���nt|�]�ik~�§2x�v¤nh[K^c�gikfh^f

xk§ : | B�nt[K^ |}�mÁ��K|¬nt^ ºrj�^gjK^Àik�K� : |�| B�nh[K^�¯Lx�j��K�K^g�Hº�jK^gjK^z�¸vh^fsnhvh|��nt|��K�»ntx»�Lx�~�|��g|�^gf_nt[�izn_��x��Kxzn��^�K^gvhiznt^�~�x�fsfh^gf¨�{Àx�vs^gx�£�^vg�¦§2x�vo¯Lxknh[S�Dizfh^gf�Xnt[�|}f0�Yx�~�|}��p9|�f0¯Y^nsnt^gvont[�ik�Ànt[K^�xk�K^!nh[�izn0�x��Kfs|}fqntfxk§�ik�g�^g��nh|}���Àx�v(vs^qyq^�nt|��K��nt[K^�«-[Kxk~}^_¯�iznh��[ iz�g�gxkvh�K|��K��ntx%nt[K^_�Yx�~�|}��p � � ��^Á��K^�¾ik¯Yx�£�^z��fs|}�K�^� � |�f³i�§2^Dikfs|}¯K~�^��Lx�~�|��p%|��ÀxkjKv'�K^« �Kvhx�¯�~}^] �K§2xkv¸«-[K|}��[ � � ¸ � ¹¦|}f-x���nh|}]�ik~M:2Z'[K^gxkvh^g] �m¨ò� BV¨©ª�°x�vs�K^gvwnhx!|�~}~�jKfqntvti4nt^-nt[K^³~´izfsnµ�Lxk|}��nD�r�gxk�Kfh|��K^gv � &¡( B�¨ 8 ¯Kik~´iz�K�g^�°�Yx�~}|��p_�x�vhvs^gfs�Lx����Kfµnhx

ik��g^g�mn�ik�K�^cxk§;i!]_|}��| � ¯�iznt��[axk§w` =�jK�K|¬ntf��x����g^c^�£�^vsp ` =�nh|}]_^³fh~�xkntf¨wZ'[K^0iD£k^gvtiz��^cº�jK^jK^0~�^g�K�knh[x�¯�ntik|��K^g�»¯�pSnt[�i4n��Lx�~�|��p+|�f!�m¨ù�r�;|O¨ ^k¨_ik¯Yx�j�n(nh^g�¼nt|�]_^gf�~}^fhf�nt[�iz�¼nh[K^_x��K^�x�¯mn�ik|��K^g�¼«-[K^��nt[�^«-[Kx�~�^�¯�iznh��[À«�ikf'ntx_¯L^�ik��g^��nt^�9x�v'vs^qyq^g��nt^�¦¨

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 27: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

� @ ���� ��������� ���� ����� ������ ����� ���" �� ���+��� #����������

� � #�#+�-�����V�

Z'[K^�§2xk~}~�x�«-|}�K���¥^]_]aia|}foxk§ nt^�SjKfh^�+|}�Sik�K�K~�|}�giznt|�x��Kfcxk§wx���nh|}]�ik~��gxk��nhvhx�~ : xkvo��iz]�^f.B³«-|¬nt[Sik�iD£�^vtik��^(�x�fsn¸�gvh|¬nt^vh|}i : fs^g^(^k¨ �K¨ 3 ��5 Bµp�^�n-|�n'|�f'�Kxkn�^Dikfqp°nhx�Á��K�%|¬ntf'�Kvsxmxk§¥|�� nt[�^0~}|¬nt^vtiznhjKvh^c|}�%nt[�^§2x�vs]ai4n-|}��«-[K|���[9|¬n-[�ikf-¯L^^g�9ik�K�K~�|}^�¦¨¤®È ��� ��� ]`_7] �����G0/�� �/� � 0*�43����/�lk.� � � �dj?�-� ��� ��� � �/�-0 ����%pG���*������qp�� 0�����>0/� �!�:¨ �^p��/�

��� � �(�

���6 � ��� ��� 6 { (E8��!~

�� �#�6 �

�476�

�:O���!B

� ��� 6 {d(E8��!~�� �#�6 �

�476�

�� � � � �

(�

���6 � �n¶&76 :O��� B

° � ÌXÌ:±²]�¢³xknt^0nh[�izn(

(E8���� �#�6 �

�476�

�& �� �#�

6 � �� � � 6 � � � ��476 :O��� B

({d(�8 �!~ L &

�� �#�6 � �

�476 + :�@T= B

±o^�K�g^

{ (E8��U~ �� �#�6 �

�476�

�8$6�& {d(E8��!~ L �� �#�

6 � (�

�� � � 6 � � 8 6 � � ��476 + :�@K`�B

��x�v-ik��p�� "@B��K��[�xmx�fs^ ���wfhjK��[ nt[�i4n(�

���6 � ��� 6 8��

§2x�v-ik~�~ �·� ���q¨wZ'[K^g� nt[K^�vh|���[�n � [�ik�K��fs|}�K^�xk§ :�@K`*B�|}f-¯Yx�jK�K�K^�À¯Y^g~�x�« ¯�p

{ (E8��U~ L � � 476� ���6 � (

�� � � 6 � � 8 6 � � ��476 8� �����

� � ��476 �

� {d(E8��!~ L�� � ��� �6 ��� ��

�� � � 6 � � 8 ��6 � 8� {d(E8�N~ 4�L�� �38 � �

§2x�v � fsj ��g|�^g��nt~¬p �g~�x�fh^�ntx�`�¨wZ'[K|�f³^gfsntik¯K~�|}fs[K^gf :O���!B�¨ :O���!B�|}f-x�¯mn�ik|��K^g� fh|�]_|}~}ikvs~�pk¨

Û2Ü�Ý;Û2Þ

Page 28: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

������������ ������������������������� �!��������" $#&%"�'�(��)*�����+����,��-�.%��/���'�+�.0 ���

� � I4�'���-� ���-,

3�` 5!©ªZE� �ªZ�d-^g�gxk]�]_^�K��iznh|}x��¼©ñ���r`����ªZ�vhi ����gxk��nhvhx�~Eik�K�+�x��K��^fsnt|�x��+�x���ntvhxk~E|�� � �ª©q��Ã�¢ ���u�^gvqnt[¦�:¢ox�£Y¨;`������

3ò��5 �'¨ 8 ~¬nt]�ik�X� �c¨�;�izjzysik~(ik��� 8 ¨o±³x�vh��| yq²�� � 8 �K]_|}fsfh|�x�� ��x���ntvsx�~(|��*�rnhxm��[�izfsnt|�� �w£k^g��n;(vtiz�K[��� ����%"� � ��� 0Np�� k�X`��k���m¨

3û��5 �'¨ 8 ~¬nt]�ik�¦� �c¨�;�ikjzysik~Lik�K� 8 ¨�±³x�vh��| yq²���� �¸ik~}ik�K�g^� �m^gº�jK^�K�g^f³ik�K� �0��nt|�]�ik~¦d-x�j�nh|}��� ���� ��%"� � ��� 0Np�� k�¦`������r¨

3 @ 5�u�¨ ;(~´ikfsfh^vh]�ik� ik�K��Ã�¨ûÃ�¨�=¤izxK� �q{Àx��Kxknhx��K^ �0��nh|}]�ik~ ��x���ntvhxk~Xxk§�u�^vh]!j�n�ik¯�~}^ ;!��{9uwf ���� ���qpV¨M�dj #&%��/��¨2� �.0�¨r_�� �K�X¨�@!@���� @�� ���X`D����@K¨

3ò��5?=�¨ ;�¨��r|}��iz|O� �ª©ª��ntvhxr�KjK��nt|�x���ntx �®vs��xr�K|}��Z'[K^gx�vqp � ,�����lk.�/� ���Q <������/�-0/���� , �-�.0.0Euwvh|��K�g^�ntx��X�¢�¨ù��¨��;`���� ��¨

3 ��5�d�¨��m¹��i4yq�K^v�ik�K� ��¨ 8 ¨��E|�~}ikvg� �s�mxk]�^_�x�]_]�^��ntf�xk�¾i%nt[K^x�vh^] xk§'±oikvh��p»iz�K�Q�;|¬nhnh~}^��«¤xrxm��t�2�M¨M�dj #&%"���(��)*���'�+��� �^p��.����� ���" }� % %"�.¨ � ,¦�u¢oxK¨X`��¦`������m�K�K�¦¨Y�I=�` ����=����¦`D�����m¨

3ò��5 �o¨¥±ci4yq^²Y� � �Elrntvs^g]�ik~wfs�K~}|¬nhnh|}���Àxk§¤�Yx�|}��n��Kvsxm�^gfhfs^gf������ ���£p��/ �����Sk.0 �dj #&%��/� �����+���G00� ���0*� ���KkNpr�2_��;�K�K�X¨Y� @����ñ��� ���L`������m¨

3û��5�d�¨Ld�¨ ¡ ^¯L^v(ik�K�+�rnt|��K[�ik]��¥�kv¨}�¦�L¨���� �0��nh|}]�ik~ ��x���ntvsx�~�xk§¤�m^gvq£r|}�^_doiznh^gf0|��§¢³^nª«¤x�vh²�fxz§�0jK^jK^gf����%�� ������lk.�.0 �dj�� % %"���+� (, �-� � � � ��������_��;���K�¦¨Y��=�����m`����L`������r¨

ݥݿúML�ä:,5�/,

Page 29: Multimodularity, Convexity and Optimization Properties · ^ Á Kik~}~¬pS| ~ ~}jKfqntvhiznt^ nh[K^ jKfs^ §2jK~ K^ fhf xk§ nt[ |}f nh[K^gx vqp¾| Âik K]_|}fsfh| x  gx ntvsx ~

Unité de recherche INRIA Lorraine, Technopôle de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LÈS NANCY

Unité de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnité de recherche INRIA Rhône-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN

Unité de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnité de recherche INRIA Sophia Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex

ÉditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

ISSN 0249-6399