Multi-Objective Optimization in CFD by Genetic Algorithms

8/14/2019 Multi-Objective Optimization in CFD by Genetic Algorithms

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ISSN0

249-6399

appor t

de r ec h er c he

THME 4

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Multi-Objective Optimization in CFD by Genetic

Algorithms

Nathalie Marco Jean-Antoine Dsidri Stphane Lanteri

N 3686

Avril 1999


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Unit de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, B.P. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Tlphone : 04 92 38 77 77 - International : +33 4 92 38 77 77 Fax : 04 92 38 77 65 - International : +33 4 92 38 77 65

M u l t i - O b j e c t i v e O p t i m i z a t i o n i n C F D b y G e n e t i c

A l g o r i t h m s

N a t h a l i e M a r c o

, J e a n - A n t o i n e D s i d r i , S t p h a n e L a n t e r i

T h m e 4 S i m u l a t i o n e t o p t i m i s a t i o n

d e s y s t m e s c o m p l e x e s

P r o j e t S i n u s

R a p p o r t d e r e c h e r c h e n 3 6 8 6 A v r i l 1 9 9 9 4 0 p a g e s

A b s t r a c t : T h i s r e p o r t a p p r o a c h e s t h e q u e s t i o n o f m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n f o r

o p t i m u m s h a p e d e s i g n i n a e r o d y n a m i c s . T h e e m p l o y e d o p t i m i z e r i s a s e m i - s t o c h a s t i c

m e t h o d , m o r e p r e c i s e l y a G e n e t i c A l g o r i t h m G A . G A s a r e v e r y r o b u s t o p t i m i z a t i o n

a l g o r i t h m s p a r t i c u l a r l y w e l l s u i t e d f o r p r o b l e m s i n w h i c h 1 t h e i n i t i a l i z a t i o n i s n o t

i n t u i t i v e , 2 t h e p a r a m e t e r s t o b e o p t i m i z e d a r e n o t a l l o f t h e s a m e t y p e b o o l e a n ,

i n t e g e r , r e a l , f u n c t i o n n a l , 3 t h e c o s t f u n c t i o n a l m a y p r e s e n t s e v e r a l l o c a l m i n i m a , 4

s e v e r a l c r i t e r i a s h o u l d b e a c c o u n t e d f o r s i m u l t a n e o u s l y m u l t i p h y s i c s , e c i e n c y , c o s t ,

q u a l i t y , . . . . I n a m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t h e r e i s n o u n i q u e o p t i m a l

s o l u t i o n b u t a w h o l e s e t o f p o t e n t i a l s o l u t i o n s s i n c e i n g e n e r a l n o s o l u t i o n i s o p t i m a l

w . r . t . a l l c r i t e r i a s i m u l t a n e o u s l y ; i n s t e a d , o n e i d e n t i e s a s e t o f n o n - d o m i n a t e d s o -

l u t i o n s , r e f e r r e d t o a s t h e P a r e t o o p t i m a l f r o n t . A f t e r m a k i n g t h e s e c o n c e p t s p r e c i s e ,

g e n e t i c a l g o r i t h m s a r e i m p l e m e n t e d a n d r s t t e s t e d o n a c a d e m i c e x a m p l e s ; t h e n a

n u m e r i c a l e x p e r i m e n t a t i o n i s c o n d u c t e d t o s o l v e a m u l t i - o b j e c t i v e s h a p e o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m f o r t h e d e s i g n o f a n a i r f o i l i n E u l e r i a n o w .

K e y - w o r d s : O p t i m i z a t i o n - M u l t i - O b j e c t i v e O p t i m i z a t i o n - P a r e t o f r o n t - C r i t e r i o n

o f n o n i n f e r i o r i t y - G e n e t i c A l g o r i t h m s - E u l e r E q u a t i o n s - S h a p e p a r a m e t r i z a t i o n -

P a r a l l e l c o m p u t i n g

I N R I A , 2 0 0 4 R o u t e d e s L u c i o l e s , B P . 9 3 , 0 6 9 0 2 S o p h i a A n t i p o l i s C d e x - F r a n c e


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O p t i m i s a t i o n m u l t i c r i t r e e n m c a n i q u e d e s u i d e s

n u m r i q u e p a r A l g o r i t h m e s G n t i q u e s

R s u m : C e r a p p o r t t r a i t e d ' o p t i m i s a t i o n m u l t i c r i t r e p o u r l a c o n c e p t i o n o p t i m a l e

d e f o r m e e n a r o d y n a m i q u e . L ' o p t i m i s e u r u t i l i s e s t u n e m t h o d e s e m i - s t o c h a s t i q u e ,

p l u s p r c i s m e n t u n A l g o r i t h m e G n t i q u e A G . L e s A G s o n t d e s a l g o r i t h m e s d ' o p t i m -

i s a t i o n t r s r o b u s t e s p a r t i c u l i r e m e n t a d a p t s a u x p r o b l m e s o 1 l ' i n i t i a l i s a t i o n n ' e s t

p a s i n t u i t i v e , 2 l e s p a r a m t r e s o p t i m i s e r n e s o n t p a s t o u s d u m m e t y p e b o o l e n ,

e n t i e r , r e l , f o n c t i o n n e l , 3 l a f o n c t i o n n e l l e c o t p e u t p r s e n t e r p l u s i e u r s m i n i m a l o -

c a u x , 4 p l u s i e u r s c r i t r e s s o n t p r e n d r e e n c o n s i d r a t i o n m u l t i p h y s i q u e , q u a l i t ,

e c a c i t , c o t , . . . . D a n s u n p r o b l m e d ' o p t i m i s a t i o n m u l t i c r i t r e , i l n ' y a p a s u n e

s o l u t i o n o p t i m a l e u n i q u e , m a i s u n e n s e m b l e d e s o l u t i o n s p o t e n t i e l l e s c a r e n g n r a l a u -

c u n e s o l u t i o n n ' e s t l a m e i l l e u r e v i s - - v i s d e t o u s l e s c r i t r e s s i m u l t a n m e n t ; o n i d e n t i e

a l o r s u n e n s e m b l e d e s o l u t i o n s n o n d o m i n e s q u i d n i s s e n t u n f r o n t o p t i m a l d e P a r e t o .

A p r s a v o i r p r c i s c e s c o n c e p t s , o n m e t e n u v r e d e s a l g o r i t h m e s g n t i q u e s e t o n

l e s t e s t e d ' a b o r d s u r d e s e x e m p l e s a c a d m i q u e s ; p u i s o n c o n d u i t u n e e x p r i m e n t a t i o n

n u m r i q u e d a n s l e c a s d e l ' o p t i m i s a t i o n m u l t i c r i t r e d ' u n p r o l d ' a i l e p l o n g d a n s u n

c o u l e m e n t e u l r i e n .

M o t s - c l s : O p t i m i s a t i o n - O p t i m i s a t i o n m u l t i c r i t r e - F r o n t d e P a r e t o - C r i t r e d e

n o n - d o m i n a n c e - A l g o r i t h m e g n t i q u e - E q u a t i o n s d ' E u l e r - P a r a m t r i s a t i o n d e f o r m e

- C a l c u l p a r a l l l e


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M u l t i - O b j e c t i v e O p t i m i z a t i o n b y G e n e t i c A l g o r i t h m s 3

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 4

2 A b r i e f p r e s e n t a t i o n o f G A s 5

2 . 1 A d e n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 . 2 H o w d o t h e y w o r k ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 . 3 T h e g e n e t i c o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 M u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m 8

3 . 1 A g e n e r a l m u l t i - o b j e c t i v e p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 2 A c l a s s i c a l m e t h o d t o s o l v e a m u l t i - o b j e c t i v e p r o b l e m . . . . . . . . . . 8

3 . 3 I m p l e m e n t a t i o n b y G e n e t i c A l g o r i t h m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 . 3 . 1 R a n k i n g b y f r o n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 . 3 . 2 A n e a r l y e x p e r i m e n t o f a p p l i c a t i o n o f G A s t o a m u l t i - o b j e c t i v e

p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

3 . 4 N o n d o m i n a t e d S o r t i n g G e n e t i c A l g o r i t h m s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

4 M u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n o f a n a l y t i c a l f u n c t i o n s 1 4

4 . 1 O p t i m i z a t i o n p r o b l e m f r o m S c h a e r ' s d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n . . . . . . . 1 4

4 . 2 A t w o - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

4 . 3 A t h r e e - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

5 M u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n f o r S h a p e O p t i m u m D e s i g n 2 5

5 . 1 T h e 2 D E u l e r o w s o l v e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

5 . 2 T i m e i n t e g r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

5 . 3 S h a p e p a r a m e t r i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

5 . 4 T h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

5 . 5 M e s h u p d a t e p r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

5 . 6 P a r a l l e l i z a t i o n s t r a t e g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

5 . 7 R e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

5 . 8 C o a r s e m e s h r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

5 . 8 . 1 P a r a l l e l p e r f o r m a n c e r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

5 . 8 . 2 N u m e r i c a l r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

5 . 9 F i n e m e s h r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

5 . 9 . 1 P a r a l l e l p e r f o r m a n c e r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

5 . 9 . 2 N u m e r i c a l r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

6 C o n c l u d i n g r e m a r k s 3 6

R R n 3 6 8 6


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4 N a t h a l i e M a r c o , J e a n - A n t o i n e D s i d r i , S t p h a n e L a n t e r i

R e f e r e n c e s 4 0

1 I n t r o d u c t i o n

I n e v e r y d a y ' s l i f e , w e c o m m o n l y f a c e m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s s u c h a s

b u y i n g a n e w t e l e v i s i o n s e t c o m p r o m i s i n g q u a l i t y a n d l o w c o s t , o r e l e c t i n g t h e o p t i m a l

w a y t o g o t o w o r k m i n i m i z i n g b o t h t i m e s p e n t a n d d i s t a n c e . I n t h e a e r o s p a c e e n g i n e e r -

i n g c o m m u n i t y , s c i e n t i s t s t r y t o b u i l d p e r f o r m a n t a i r c r a f t m i n i m a l w e i g h t , m a x i m a l

s e c u r i t y , . . . a t l o w c o s t . I n e c o n o m i c s , e c o n o m i s t s t r y t o c o n c i l i a t e t h e u t i l i t i e s a n d

t h e c o n s u m p t i o n o f c o m m o d i t i e s t o m a x i m i z e t h e s o c i a l w e l f a r e o f e a c h i n d i v i d u a l . T h e

c o m m o n p a r t o f t h e s e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i s t h a t t h e y r e q u i r e s e v e r a l c r i t e r i a t o b e

t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n s i m u l t a n e o u s l y . I n t h e s e c a s e s , m e t h o d s o f s i n g l e o b j e c t i v e

o p t i m i z a t i o n a r e n o m o r e s u i t a b l e . M u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n s h o u l d b e c o n s i d e r e d

i n s t e a d . A l a r g e n u m b e r o f a p p l i c a t i o n a r e a s o f m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n h a v e b e e n

p r e s e n t e d i n t h e l i t e r a t u r e . T h e b o o k o f C o h o n 1 i s a g o o d r e f e r e n c e f o r a t h e o r e t i c a l

b a c k g r o u n d o n t h i s s u b j e c t .

I n a s i m p l e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t h e n o t i o n o f o p t i m a l i t y i s s t r a i g h t f o r w a r d . W e

s e e k f o r t h e b e s t t h e m i n i m u m o r t h e m a x i m u m v a l u e o f a n o b j e c t i v e f u n c t i o n . I n

a m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t h e n o t i o n o f o p t i m a l i t y i s n o t s o o b v i o u s . I f

w e a g r e e i n a d v a n c e t h a t w e c a n n o t l i n k t h e v a l u e s o f t h e d i e r e n t o b j e c t i v e s i . e . i f

w e r e f u s e t o c o m p a r e a p p l e s a n d o r a n g e s , w e m u s t n d a n e w d e n i t i o n o f o p t i m a l i t y ,

a d e n i t i o n t h a t a c c o u n t s f o r a l l t h e c r i t e r i a . T h e n , t h e c o n c e p t o f P a r e t o o p t i m a l i t y

a r i s e s : a l t h o u g h , i n g e n e r a l , n o s o l u t i o n i s b e s t w . r . t . a l l t h e c r i t e r i a s i m u l t a n e o u s l y ,

t h e r e e x i s t a s e t o f s o l u t i o n s t h a t a r e s t r i c t l y b e t t e r t h a n t h e r e m a i n i n g o n e s i n t h e

w h o l e s e a r c h s p a c e w h e n c o n s i d e r i n g a l l t h e o b j e c t i v e s s i m u l t a n e o u s l y . T h i s s e t o f

s o l u t i o n s i s k n o w n a s t h e P a r e t o o p t i m a l s e t o r s e t o f t h e n o n - d o m i n a t e d s o l u t i o n s .

T h e c o m p l e m e n t a r y s e t o f s o l u t i o n s i s c a l l e d t h e d o m i n a t e d s o l u t i o n s s e t . A s o l u t i o n

b e l o n g i n g t o t h e P a r e t o s e t i s n o t b e t t e r t h a n a n o t h e r o n e b e l o n g i n g t o t h e s a m e s e t ,

t h e y a r e n o t c o m p a r a b l e . E a c h o f t h e m i s c a l l e d a f e a s i b l e s o l u t i o n s e e f o r e x a m p l e

1 . T h e c h o i c e o f a s o l u t i o n r a t h e r t h a n a n o t h e r r e q u i r e s a t h o r o u g h k n o w l e d g e o n t h e

p r o b l e m t o b e s o l v e d a n d a g o o d k n o w l e d g e o f a l o t o f f a c t o r s l i n k e d t o t h e p r o b l e m .

T h e n , a s o l u t i o n c h o s e n b y a d e c i s i o n m a k e r m a y b e d i e r e n t f r o m a n o t h e r d e c i s i o n

m a k e r ' s c h o i c e .

T h e r e a r e t w o d i e r e n t w a y s t o s o l v e a m u t l i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . T h e

r s t o n e i s t o m a k e a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e d i e r e n t c r i t e r i a w i t h d i e r e n t w e i g h t s

a n d t o m i n i m i z e t h e r e s u l t i n g f u n c t i o n . T h e r e a r e t w o m a i n d r a w b a c k s w i t h t h i s

m e t h o d : 1 n o t a l l t h e s o l u t i o n s a r e f o u n d , 2 i n a p e n a l t y - f u n c t i o n a p p r o a c h ,

I N R I A


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8/43


2 . 2 H o w d o t h e y w o r k ?

A p o p u l a t i o n o f c h r o m o s o m e s e v o l v e s i n t h e c o u r s e o f s u c c e s s i v e g e n e r a t i o n s t o w a r d

t h e b e s t i n d i v i d u a l , s o l u t i o n o f t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . T h e p o p u l a t i o n i s s u b m i t t e d

t o t h r e e g e n e t i c o p e r a t o r s : s e l e c t i o n , c r o s s o v e r a n d m u t a t i o n . T h e i n d i v i d u a l s c a n

e i t h e r s u r v i v e , r e p r o d u c e o r d i e , a c c o r d i n g t o t h e i r t n e s s v a l u e w h i c h i s r e l a t e d t o t h e

v a l u e o f t h e c o s t f u n c t i o n a l t o b e o p t i m i z e d .

2 . 3 T h e g e n e t i c o p e r a t o r s

S e l e c t i o n o p e r a t o r A c c o r d i n g t o i t s t n e s s v a l u e , a c h r o m o s o m e m a y e i t h e r r e -

p r o d u c e , s u r v i v e o r d i e . T h e r e a r e t w o t y p e s o f s e l e c t i o n :

R o u l e t t e - w h e e l : a t n e s s v a l u e i s a s s i g n e d t o e a c h i n d i v i d u a l . A b i a s e d r o u l e t t e -

w h e e l i s s i m u l a t e d . E a c h c u r r e n t s t r i n g i n t h e p o p u l a t i o n h a s a r o u l e t t e w h e e l

s l o t s i z e d i n p r o p o r t i o n t o i t s t n e s s . I n o r d e r t o c r e a t e a n e w p o p u l a t i o n , t h e

w e i g h t e d r o u l e t t e - w h e e l i s s p u n n t i m e s , w h e r e n i s t h e p o p u l a t i o n s i z e . I n t h e

c a s e o f a m a x i m i z a t i o n p r o b l e m , i t i s c l e a r t h a t t h e i n d i v i d u a l a s s o c i a t e d w i t h

g r e a t e r r o u l e t t e - w h e e l s l o t s i z e w i l l h a v e m o r e c h a n c e s t o s u r v i v e o r r e p r o d u c e

t h a n o t h e r s s e e F i g . 1 .

T o u r n a m e n t : t h e m o s t p o p u l a r s t r a t e g y i s t h e b i n a r y t o u r n a m e n t , a l s o c a l l e d

t w o - p o i n t t o u r n a m e n t . I t c o n s i s t s i n p i c k i n g a t r a n d o m t w o i n d i v i d u a l s i n t h e

p o p u l a t i o n a n d i n c o m p a r i n g t h e m . T h e b e s t o n e i s s t o r e d a n d b o t h a r e r e -

i n t r o d u c e d i n t h e p o p u l a t i o n . T h i s p r o c e d u r e i s s t a r t e d a g a i n u n t i l a n e w p o p u -

l a t i o n o f a p p r o p r i a t e s i z e h a s b e e n o b t a i n e d .

C r o s s o v e r o p e r a t o r A s s e l e c t i o n d o e s n o t c r e a t e n e w i n d i v i d u a l s , c r o s s o v e r i s

n e e d e d t o i n c r e a s e d i v e r s i t y a m o n g t h e p o p u l a t i o n . I t i s a p p l i e d w i t h a p r o b a b i l i t y p

c

,

c l o s e t o 1 . T w o i n d i v i d u a l s a r e s e l e c t e d a t r a n d o m f o r c r o s s i n g o v e r . T h e n , a n i n t e g e r

k i s c h o s e n a t r a n d o m , b e t w e e n 1 a n d l , 1 l i s t h e s t r i n g l e n g t h o f t h e c h r o m o s o m e s

a n d k i s t h e p o s i t i o n o f c r o s s o v e r . T w o n e w s t r i n g s c a l l e d t h e o s p r i n g s a r e c r e a t e d

b y s w a p p i n g a l l b i t s b e t w e e n p o s i t i o n s k + 1 a n d l i n c l u s i v e l y s e e F i g . 2 .

M u t a t i o n o p e r a t o r A m u t a t i o n o p e r a t o r i s n e e d e d b e c a u s e i m p o r t a n t g e n e t i c

i n f o r m a t i o n 1 ' s o r 0 ' s a t s p e c i a l l o c a t i o n s m a y o c c a s i o n a l y b e l o s t a s a r e s u l t o f

s e l e c t i o n a n d c r o s s o v e r . I t i s i n t r o d u c e d w i t h a v e r y s m a l l p r o b a b i l i t y p

m

c l o s e t o

0 . 0 0 1 a n d a p p l i e d a t t h e b i t l e v e l ; i t c o n s i s t s i n c h a n g i n g a 1 r e s p . 0 i n t o a 0 r e s p .

a 1 .

I N R I A


9/43


49,2%

5,5%

30,9%14,4%

1

2

3

4

String 1

String 2

String 3

String 4

fitness value : 169

fitness value : 576

fitness value : 64

fitness value : 361

1170

probability : 0.144

probability : 0.492

probability :

probability :

0.055

0.309

1.000

selection

selection

selection

selection

Roulette wheel :

Step 2

Step 1

after selection :New population

Step 3

F i g u r e 1 : E x a m p l e o f t h e r o u l e t t e - w h e e l s e l e c t i o n i n t h e c a s e o f 4 i n d i v i d u a l s

Parent 1

Parent 2 Crossover

offspring 1

offspring 2

1 2

1 2

1 2

1 2

k k

F i g u r e 2 : C r o s s i n g o v e r o f t w o c h r o m o s o m e s

R R n 3 6 8 6


10/43


3 M u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m

3 . 1 A g e n e r a l m u l t i - o b j e c t i v e p r o b l e m

A g e n e r a l m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m c o n s i s t s o f a n u m b e r o f o b j e c t i v e s t o

b e o p t i m i z e d s i m u l t a n e o u s l y a n d i s a s s o c i a t e d w i t h a n u m b e r o f i n e q u a l i t y a n d e q u a l i t y

c o n s t r a i n t s f o r a t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d , s e e f o r e x a m p l e t h e b o o k o f C o h o n 1 . S u c h

a p r o b l e m c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s :

M i n i m i z e o r M a x i m i z e f

i

x i = 1 ; ; N

s u b j e c t t o :

g

j

x = 0 j = 1 ; ; M

h

k

x 0 k = 1 ; ; K

T h e f

i

a r e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n s , N i s t h e n u m b e r o f o b j e c t i v e s , x i s a v e c t o r w h o s e

p c o m p o n e n t s a r e t h e d e s i g n o r d e c i s i o n v a r i a b l e s .

I n a m i n i m i z a t i o n p r o b l e m , a v e c t o r x

1

i s s a i d t o b e p a r t i a l l y l e s s t h a n a n o t h e r

v e c t o r x

2

w h e n :

8 i f

i

x

1

f

i

x

2

i = 1 ; ; N

a n d t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e i s u c h t h a t f

i

x

1

f

i

x

2

W e t h e n s a y t h a t s o l u t i o n x

1

d o m i n a t e s s o l u t i o n x

2

.

F o r e x a m p l e , i n t h e c a s e o f m i n i m i z a t i o n o f 2 c r i t e r i a ,

8

:

M i n i m i z e f x = f

1

x ; f

2

x

s u c h t h a t x 2 X t h e f e a s i b l e r e g i o n

a p o t e n t i a l s o l u t i o n x

1

i s s a i d t o d o m i n a t e x

2

i :

f

1

x

1

f

1

x

2

a n d f

2

x

1

f

2

x

2

o r f

1

x

1

f

1

x

2

a n d f

2

x

1

f

2

x

2

3 . 2 A c l a s s i c a l m e t h o d t o s o l v e a m u l t i - o b j e c t i v e p r o b l e m

A c o m m o n d i c u l t y w i t h a m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s t h e c o n i c t b e -

t w e e n t h e o b j e c t i v e s : i n g e n e r a l , n o n e o f t h e f e a s i b l e s o l u t i o n s i s o p t i m a l w . r . t . a l l t h e

o b j e c t i v e s . T h e n , a s o l u t i o n o f t h e P a r e t o s e t i s a s o l u t i o n w h i c h o e r s t h e l e a s t o b j e c -

t i v e c o n i c t . O n e o f t h e m o s t c l a s s i c a l m e t h o d s i s t h e m e t h o d o f o b j e c t i v e w e i g h t i n g ,

I N R I A


11/43


u s e d i n t h e 1 9 0 0 ' s b y t h e w e l f a r e e c o n o m i s t s s e e C o h o n 1 . T h e m u l t i p l e o b j e c t i v e

f u n c t i o n s f

i

x a r e c o m b i n e d i n o n e f u n c t i o n F x s u c h t h a t :

8

:

F x =

N

X

i = 1

!

i

f

i

x

w h e r e x 2 X ; X i s t h e f e a s i b l e r e g i o n

0 !

i

1 a n d

N

X

i = 1

!

i

= 1

I t i s c l e a r t h a t t h e p r e f e r e n c e g i v e n t o o n e o b j e c t i v e c a n b e m o d i e d b y c h a n g i n g

t h e c o r r e s p o n d i n g w e i g h t . O n t h e o t h e r h a n d , t h e f a c t t h a t w e w e i g h t a l l t h e o b j e c t i v e s

i m p l i e s t h e w a s t e o f a l o t o f i n f o r m a t i o n s . T h e o n l y a d v a n t a g e o f s u c h a m e t h o d i s t h a t

a n o b j e c t i v e c a n b e c o n t r o l l e d b y c o m p a r i n g i t t o a n o t h e r o n e a n d t h a t t h e o b t a i n e d

o p t i m u m b e l o n g s t o t h e o p t i m a l P a r e t o s e t . T h e m a i n d r a w b a c k s a r e t h a t w e d o n o t

n d a l l t h e s o l u t i o n s , a n d t h a t i t i s p o s s i b l e t o g i v e s o m e w e i g h t s t h a t a r e t o t a l l y

i l l o g i c a l w i t h t h e s t u d i e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m .

O t h e r c l a s s i c a l m e t h o d s w h e r e t h e o b j e c t i v e s a r e w e i g h t e d a r e d e s c r i b e d , f o r e x a m -

p l e , b y S r i n i v a s a n d D e b 2 0 .

3 . 3 I m p l e m e n t a t i o n b y G e n e t i c A l g o r i t h m s

3 . 3 . 1 R a n k i n g b y f r o n t s

G A s s e l e c t i n d i v i d u a l s a c c o r d i n g t o t h e v a l u e s o f t h e t n e s s f u n c t i o n . H o w e v e r , i n a

m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , s e v e r a l c r i t e r i a b e i n g c o n s i d e r e d , t h e e v a l u a t i o n

o f t h e i n d i v i d u a l s r e q u i r e s t h a t a u n i q u e t n e s s v a l u e , r e f e r r e d t o a s a d u m m y t n e s s

b e d e n e d i n s o m e a p p r o p r i a t e w a y . T o a c h i e v e t h i s , b y a p p l i c a t i o n o f t h e d e n i t i o n

o f n o n - d o m i n a n c e , t h e c h r o m o s o m e s a r e r s t c l a s s i e d b y f r o n t s . T h e n o n - d o m i n a t e d

i n d i v i d u a l s o f t h e e n t i r e p o p u l a t i o n d e n e f r o n t 1 ; i n t h e s u b s e t o f r e m a i n i n g i n d i v i d -

u a l s , t h e n o n - d o m i n a t e d o n e s d e n e f r o n t 2 , a n d s o o n ; t h e w o r s t i n d i v i d u a l s d e n e

f r o n t f , w h e r e f i s t h e n u m b e r o f f r o n t s .

T o i l l u s t r a t e t h i s , c o n s i d e r a s i t u a t i o n w h e r e a p o p u l a t i o n o f 3 0 i n d i v i d u a l s i s s o r t e d

a c c o r d i n g t o t w o c r i t e r i a J

1

; J

2

. T o b e s p e c i c , r a n d o m l y - d r a w n v a l u e s f o r t h e c r i t e r i a

J

1

a n d J

2

h a v e b e e n a s s i g n e d t o t h e 3 0 i n d i v i d u a l s . T h e r e s u l t i n g f r o n t s h a v e t h e n b e e n

i d e n t i e d a n d a r e s h o w n o n F i g . 3 . I n t h i s e x a m p l e , t h e p o i n t s b e l o n g i n g t o f r o n t s

I ; I I ; I I I ; I V h a v e g r e a t e r c h a n c e s t o b e r e p r o d u c e d t h a n p o i n t s b e l o n g i n g t o f r o n t s

V I I ; V I I I .

R R n 3 6 8 6


12/43

1 0 N a t h a l i e M a r c o , J e a n - A n t o i n e D s i d r i , S t p h a n e L a n t e r i

2

10

9

8

7

6

5

3

4

1

00 1 2 4 5 6 9 103 87

J

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

1

J

2

F i g u r e 3 : R a n k i n g o f a p o p u l a t i o n b y f r o n t s

I N R I A


13/43

M u l t i - O b j e c t i v e O p t i m i z a t i o n b y G e n e t i c A l g o r i t h m s 1 1

O n c e t h e i n d i v i d u a l s h a v e b e e n r a n k e d b y f r o n t s , t h e y a r e a s s i g n e d t h e f o l l o w i n g

d u m m y t n e s s v a l u e s :

f

i

=

1 = r i n c a s e o f a m i n i m i z a t i o n

r i n c a s e o f a m a x i m i z a t i o n

w h e r e r i s t h e r a n k o f t h e f r o n t .

3 . 3 . 2 A n e a r l y e x p e r i m e n t o f a p p l i c a t i o n o f G A s t o a m u l t i - o b j e c t i v e p r o b -

l e m

B e c a u s e G A s u s e a p o p u l a t i o n o f i n d i v i d u a l s , t h e i r f r a m e w o r k p e r m i t s t o i d e n t i f y a

w h o l e s e t o f o p t i m a l , o r m o r e p r e c i s e l y n o n d o m i n a t e d s o l u t i o n s t h a t d e n e t h e P a r e t o

s e t . T o o u r k n o w l e d g e , a r s t a p p l i c a t i o n o f G A s t o m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m s h a s b e e n r e p o r t e d b y S c h a e r i n 1 9 8 4 i n h i s d i s s e r t a t i o n 1 8 . L a t e r , H o r n

a n d N a f p l i o t i s 9 , S r i n i v a s a n d D e b 2 0 a n d G o l d b e r g 6 m a d e r e f e r e n c e t o t h e S c h a e r

m e t h o d , c a l l e d V e c t o r E v a l u a t e d G A V E G A . S c h a e r ' s o b j e c t i v e w a s t o m i n i m i z e a

c o s t a n d m a x i m i z e a r e l i a b i l i t y . I n o r d e r t o p e r f o r m t h i s , h e s e p a r a t e d t h e o r i g i n a l

p o p u l a t i o n i n t o t w o s u b - p o p u l a t i o n s o f e q u a l s i z e a n d d i s t r i b u t e d t h e o p t i m i z a t i o n o f

t h e t w o o b j e c t i v e s o n t h e s e s u b - p o p u l a t i o n s . A f t e r n u m e r o u s g e n e r a t i o n s , b o t h s u b -

p o p u l a t i o n s c o n v e r g e d t o w a r d s o n e o p t i m u m . T h i s s t r a t e g y o p e n e d a n e w a v e n u e i n t h e

r e s e a r c h o f a m e t h o d t o s o l v e a m u l t i - o b j e c t i v e p r o b l e m . T h e r e s u l t s w e r e e n c o u r a g i n g

b u t t h e o b t a i n e d s o l u t i o n s h a d c o n v e r g e d t o o n l y t h e e x t r e m e p o i n t s o f t h e P a r e t o s e t .

E a c h o f t h e s e t w o p o i n t s c o r r e s p o n d s t o t h e o p t i m u m o f a g i v e n c r i t e r i o n r e g a r d l e s s

o f t h e o t h e r . T h u s , t h e r e s u l t s b y V E G A p r o v i d e d a n e v i d e n c e t h a t t h e p o p u l a t i o n

s h o u l d b e c h a r a c t e r i z e d b y s p e c i e s i n o r d e r t o o b t a i n a w h o l e s e t o f t r a d e - o s a m o n g

t h e o b j e c t i v e s . I n o r d e r t o g e t d i v e r s i t y i . e . m a i n t a i n i n d i v i d u a l s a l l a l o n g t h e P a r e t o

f r o n t , a n o n d o m i n a t e d s o r t i n g p r o c e d u r e i n c o n j u n c t i o n w i t h a s h a r i n g t e c h n i q u e

h a s b e e n i m p l e m e n t e d , r s t b y G o l d b e r g i n 6 a n d m o r e r e c e n t l y b y H o r n i n 9 , a n d

S r i n i v a s i n 2 0 . T h e n , t h e o b j e c t i v e i s t o n d a r e p r e s e n t a t i v e s a m p l i n g o f s o l u t i o n s

a l l a l o n g t h e P a r e t o f r o n t .

O u r r e s u l t s o n m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n a r e b a s e d o n t h e a l g o r i t h m o f S r i n i v a s

a n d D e b 2 0 , c a l l e d t h e N o n d o m i n a t e d S o r t i n g G e n e t i c A l g o r i t h m N S G A . I n t h e

n e x t p a r a g r a p h w e d e s c r i b e t h e N S G A m e t h o d .

3 . 4 N o n d o m i n a t e d S o r t i n g G e n e t i c A l g o r i t h m s

T h e n o n d o m i n a t e d s o r t i n g p r o c e d u r e m a k e s u s e o f a s e l e c t i o n m e t h o d b y r a n k i n g w h i c h

e m p h a s i z e s t h e o p t i m a l p o i n t s . T h e s h a r i n g t e c h n i q u e o r n i c h e m e t h o d i s u s e d t o

R R n 3 6 8 6


14/43


s t a b l i l i z e t h e s u b - p o p u l a t i o n s o f t h e g o o d p o i n t s . W e u s e s u c h a s t r a t e g y b e c a u s e o n e

o f t h e m a i n d e f e c t s o f G A s i n a m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s t h e p o s s i b l e

p r e m a t u r e c o n v e r g e n c e . I n s o m e c a s e s , G A s m a y c o n v e r g e v e r y q u i c k l y t o a p o i n t o f

t h e o p t i m a l P a r e t o s e t a n d a s t h e a s s o c i a t e d s o l u t i o n i s b e t t e r t h a n t h e o t h e r s i t i s

c a l l e d a s u p e r i n d i v i d u a l , i t b r e e d s i n t h e p o p u l a t i o n a n d , a f t e r a c e r t a i n n u m b e r

o f g e n e r a t i o n s , a p o p u l a t i o n c o m p o s e d b y c o p i e s o f t h i s s o l u t i o n o n l y i s o b t a i n e d !

L i k e w i s e , i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n a P a r e t o s e t c o m p o s e d o n l y o f a f e w e l e m e n t s a s i n

t h e c a s e o f t h e V E G A m e t h o d w h i c h y i e l d e d o n l y t w o p o i n t s . I t i s t o a v o i d s u c h a

s i t u a t i o n t h a t t h e n o n d o m i n a t e d s o r t i n g t e c h n i q u e i s c o m b i n e d w i t h t h e n i c h e m e t h o d

a n y t i m e a s o l u t i o n i s f o u n d i n m u l t i p l e c o p i e s ; t h e n , i t s t n e s s v a l u e i s d e c r e a s e d

a n d , i n t h e n e x t g e n e r a t i o n , n e w d i e r e n t s o l u t i o n s a p p e a r , e v e n i f t h e y a r e n o t s o

p e r f o r m a n t . T h e t n e s s v a l u e s d e c r e a s e b e c a u s e t h e d i e r e n t n i c h e s t o w h i c h b e l o n g

t h e d i e r e n t o p t i m a l s o l u t i o n s h a v e b e e n i d e n t i e d a n d t r e a t e d .

T h e v a r i o u s s t e p s o f t h e m e t h o d a r e t h e f o l l o w i n g :

B e f o r e p e r f o r m i n g t h e s e l e c t i o n s t e p o n t h e a v a i l a b l e p o p u l a t i o n o f s o l u t i o n s ,

w e r s t i d e n t i f y t h e n o n d o m i n a t e d i n d i v i d u a l s a c c o r d i n g t o t h e c r i t e r i a a s

e x p l a i n e d i n p a r a g r a p h 3 . 1 . T h e s e i n d i v i d u a l s d e n e f r o n t 1 . T h e p r o b a b i l i t y o f

r e p r o d u c t i o n o f t h e s e i n d i v i d u a l s i s v e r y h i g h .

W e t h e n a s s i g n t h e s a m e d u m m y t n e s s f

i

t o t h e n o n d o m i n a t e d i n d i v i d u a l s i o f

f r o n t 1 g e n e r a l l y , t h e d u m m y t n e s s f

i

i s e q u a l t o 1 .

T o m a i n t a i n t h e d i v e r s i t y , t h e d u m m y t n e s s o f t h e i n d i v i d u a l s i s t h e n s h a r e d :

i t i s d i v i d e d b y a q u a n t i t y p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f i n d i v i d u a l s a r o u n d i t ,

a c c o r d i n g t o a g i v e n r a d i u s . I f t h e i n d i v i d u a l h a s n u m e r o u s n e i g h b o u r s , a l a r g e

n u m b e r o f s i m i l a r s o l u t i o n s e x i s t a n d t h e t n e s s v a l u e i s s p l i t i n o r d e r t o f a v o r

d i v e r s i t y i n t h e n e x t g e n e r a t i o n . W e c a l l t h i s p h e n o m e n o n a n i c h e a n d i t i s

q u a n t i e d a s f o l l o w s :

m

i

=

M

X

j = 1

S h d i ; j

w h e r e i i s t h e i n d e x o f t h e i n d i v i d u a l , M i s t h e n u m b e r o f i n d i v i d u a l s b e l o n g i n g

t o t h e c u r r e n t f r o n t ; S h d i s t h e s h a r i n g f u n c t i o n w h i c h i s a l i n e a r d e c r e a s i n g

f u n c t i o n o f d d e n e d b y :

I N R I A


15/43


8

:

S h 0 = 1

S h d i ; j =

8

:

1 ,

d i ; j

s h a r e

i f d i ; j

s h a r e

0 i f d i ; j

s h a r e

w h e r e :

s h a r e

i s t h e m a x i m u m p h e n o t y p i c d i s t a n c e a l l o w e d b e t w e e n a n y t w o i n d i v i d -

u a l s t o b e c o m e m e m b e r s o f a n i c h e . I t s v a l u e i s p r o b l e m - d e p e n d e n t a n d m u s t

b e a s s i g n e d b y t h e u s e r . I n 8 , G o l d b e r g p r o p o s e s t o i m p l e m e n t a n a d a p t i v e

n i c h i n g s c h e m e t o o v e r c o m e t h e l i m i t a t i o n s o f x e d s h a r i n g s c h e m e s .

d i ; j i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n d i v i d u a l s i a n d j . I n s o m e m u l t i -

o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s , t h e H a m m i n g d i s t a n c e i s u s e d . I t i s a

g e n o t y p i c a t t h e s t r i n g l e v e l d i s t a n c e a n d i t c o n s i s t s i n c o u n t i n g t h e n u m -

b e r o f d i e r e n t b i t s i n t h e t w o s t r i n g s , d i v i d e d b y t h e s t r i n g l e n g t h . S u c h a

d i s t a n c e h a s b e e m u s e d i n e l e c t r o m a g n e t i c s y s t e m d e s i g n o p t i m i z a t i o n s e e

1 2 a n d i n p r o b l e m s o f n d i n g a n o p t i m a l d i s t r i b u t i o n o f a c t i v e c o n t r o l

e l e m e n t s i n o r d e r t o m i n i m i z e t h e b a c k s c a t t e r i n g o f a r e e c t o r i n c o m p u -

t a t i o n n a l e l e c t r o m a g n e t i c s s e e 5 . I n t h i s c a s e , t h e H a m m i n g d i s t a n c e

h a s a n a c t u a l s i g n i c a n c e b e c a u s e t h e b i t s 1 a n d 0 d o n o t c o r r e s p o n d t o

a r e a l c o d i n g b u t t o t h e f a c t t h a t t h e c o n t r o l e l e m e n t s a r e a c t i v e o r n o t .

W h e n w o r k i n g w i t h b i n a r y - c o d e d r e a l - v a l u e s , t h e H a m m i n g d i s t a n c e m a y

b e b i a s e d b e c a u s e t w o n e i g h b o u r i n g s o l u t i o n s m a y h a v e a v e r y i m p o r t a n t

H a m m i n g d i s t a n c e e . g : 0 1 1 1 a n d 1 0 0 0 c o r r e s p o n d t o 7 a n d 8 , w h i c h a r e

n e i g h b o u r s b u t t h e i r H a m m i n g d i s t a n c e i s m a x i m a l ! . T h e n , i n t h e s e c a s e s ,

a p h e n o t y p i c a t t h e r e a l p a r a m e t e r l e v e l d i s t a n c e i s u s e d , t h e E u c l i d i a n

d i s t a n c e , o f t h e f o r m :

d i ; j =

v

u

u

t

n p

X

k = 1

x

i

k

, x

j

k

m a x k , m i n k

2

n p i s t h e n u m b e r o f p a r a m e t e r s d e n i n g t h e c h r o m o s o m e s i a n d j ; x

i

k

i s

t h e r e a l v a l u e o f p a r a m e t e r k o f c h r o m o s o m e i ; m a x k = m a x

i = 1 ; ; M

x

i

k

a n d

m i n k = m i n

i = 1 ; ; M

x

i

k

, M i s t h e n u m b e r o f i n d i v i d u a l s b e l o n g i n g t o t h e

c u r r e n t f r o n t .

T h e n a f t e r a n i c h e h a s b e e n i s o l a t e d a n d t r e a t e d f o r e a c h i n d i v i d u a l o f t h e c u r r e n t

f r o n t , w e a s s i g n a n e w d u m m y t n e s s v a l u e , n a m e l y

f

i

m

i

.

R R n 3 6 8 6


16/43


17/43


fitness

non dominated individualsIgnore temporarily the current

gen = 0

front = 1

gen < gen_max ?

Mutation

Stop

gen = gen + 1

populationInitialize

Is

population

classified ?

Nonon dominated

Identify

individuals

Assign a dummyfitness

method (niche method)

dummy fitness

according to

Reproduction

Crossover

Is

No

Yes

Yes

Apply the sharing

Assign a new dummy

front = front + 1

F i g u r e 4 : F l o w - c h a r t o f t h e N o n d o m i n a t e d S o r t i n g G A

R R n 3 6 8 6


18/43


S o l u t i o n b y G A T h e d e c i s i o n v a r i a b l e x h a s b e e n c o d e d i n a b i n a r y s t r i n g o f l e n g t h

e q u a l t o 2 4 t h e a c c u r a c y i s t h e n e q u a l t o 1 0

, 6

. W o r k i n g w i t h a p o p u l a t i o n o f 2 0

c h r o m o s o m e s , s e t t i n g t h e p r o b a b i l i t y o f c r o s s o v e r t o p

c

= 0 : 9 , t h e p r o b a b i l i t y o f m u t a -

t i o n t o p

m

= 0 : 0 5 a n d

s h a r e

= 0 : 2 , a n e l i t i s t s t r a t e g y a n d a 2 - p o i n t t o u r n a m e n t h a v e

b e e n e m p l o y e d .

F i g . 5 r e p r e s e n t s t h e t w o o b j e c t i v e s i n t h e d e c i s i o n s p a c e f u n c t i o n o f t h e v a r i a b l e x

a f t e r t h e r s t g e n e r a t i o n . T h e P a r e t o f r o n t t a k e s p l a c e i n t h e i n t e r v a l x 2 0 ; 2 : w h i l e

J

2

i s d e c r e a s i n g t o i t s m i n i m a l v a l u e , J

1

i s i n c r e a s i n g f r o m i t s m i n i m a l v a l u e a c e r t a i n

n u m b e r o f t r a d e - o p o i n t s a p p e a r b e t w e e n t h e t w o e x t r e m e o p t i m a . F i g . 6 d e p i c t s t h e

e v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n i n t h e o b j e c t i v e s p l a n e f r o m t h e r s t g e n e r a t i o n t o t h e l a s t

o n e . I t i s c l e a r t h a t t h e o p t i m a l P a r e t o s e t i s l o c a t e d b e t w e e n f

1

2 0 ; 4 a n d f

2

2 0 ; 4 .

S o , a f t e r 3 0 g e n e r a t i o n s , a l l t h e i n d i v i d u a l s h a v e c o n v e r g e d i n t h e r e g i o n x 2 0 ; 2 s e e

F i g . 7 . T h e o p t i m a l P a r e t o s e t i s s h o w n i n F i g . 8 .

0

10

20

30

40

50

60

70

-6 -4 -2 0 2 4 6

J1(x)andJ

2(x)

x

First generation

J1(x)

J2(x)

F i g u r e 5 : O b j e c t i v e s f

1

a n d f

2

i n t h e d e c i s i o n s p a c e a t t h e r s t g e n e r a t i o n .

4 . 2 A t w o - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m

W e n o w c o n s i d e r t w o a c a d e m i c a n a l y t i c a l f u n c t i o n s d e p e n d i n g o n t w o p a r a m e t e r s . W e

s e e k f o r t h e s o l u t i o n s m i n i m i z i n g s i m u l t a n e o u s l y f

1

a n d f

2

:

f

1

x ; y = x , 1

2

+ y , 3

2

f

2

x ; y = x , 4

2

+ y , 2

2

w i t h x ; y 2 , 5 ; 5 , 5 ; 5

I N R I A


19/43


0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution of the population during the generations

F i g u r e 6 : E v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n i n t h e o b j e c t i v e s p l a n e f r o m t h e r s t g e n e r a t i o n

t o t h e l a s t o n e .

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x, f1(x)x, f2(x)

F i g u r e 7 : C o n v e r g e n c e o f t h e p o p u l a t i o n a f t e r 3 0 g e n e r a t i o n s t o t h e r e g i o n w h e r e t h e r e

e x i s t t r a d e - o s b e t w e e n t h e t w o o b j e c t i v e s x 2 0 ; 2 .

R R n 3 6 8 6


20/43


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Optimal Pareto front

F i g u r e 8 : O p t i m a l P a r e t o s e t a f t e r 3 0 g e n e r a t i o n s . T h e r e a r e 4 7 3 i n d i v i d u a l s o n t h e

P a r e t o f r o n t . N o t e t h a t i n d i v i d u a l s a r e r a t h e r u n i f o r m e l y d i s t r i b u t e d o n t h e P a r e t o

f r o n t .

A n a l y t i c a l s o l u t i o n A s p r e v i o u s l y , t h e t e c h n i q u e i s t o m i n i m i z e f x ; y = f

1

x ; y +

1 , f

2

x ; y i n w h i c h 2 0 ; 1 i s a p a r a m e t e r . T h u s , t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

o f t h e o p t i m a l P a r e t o f r o n t i s o b t a i n e d b y s o l v i n g :

8

:

@ f x ; y

@ x

= 0

@ f x ; y

@ y

= 0

2 x , 1 + 2 1 , x , 4 = 0

2 y , 3 + 2 1 , y , 2 = 0

x = 4 , 3

y = 2 +

A s v a r i e s i n 0 ; 1 , x v a r i e s i n 1 ; 4 a n d y v a r i e s i n 2 ; 3 . T h e n , f

1

a n d f

2

v a r y i n

0 ; 1 0 .

S o l u t i o n b y G A T h e d e c i s i o n v a r i a b l e s x a n d y h a v e b o t h b e e n c o d e d i n a b i n a r y

s t r i n g o f l e n g t h e q u a l t o 2 7 t h e a c c u r a c y i s t h e n e q u a l t o 1 0

, 7

. W o r k i n g w i t h a

p o p u l a t i o n o f 2 6 c h r o m o s o m e s , s e t t i n g t h e p r o b a b i l i t y o f c r o s s o v e r t o p

c

= 0 : 9 , t h e

p r o b a b i l i t y o f m u t a t i o n t o p

m

= 0 : 0 8 a n d

s h a r e

= 0 : 8 , a n e l i t i s t s t r a t e g y a n d a s e l e c t i o n

b y 2 - p o i n t t o u r n a m e n t h a v e b e e n u s e d .

F i g . 9 r e p r e s e n t s t h e t w o o b j e c t i v e s f

1

a n d f

2

i n t h e d e c i s i o n s p a c e x ; y . F i g . 1 0

d e p i c t s t h e e v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n i n t h e o b j e c t i v e s p l a n e f r o m t h e r s t g e n e r a t i o n

t o t h e l a s t o n e . I t i s c l e a r t h a t t h e o p t i m a l P a r e t o s e t i s l o c a t e d b e t w e e n f

1

2 0 ; 1 0

a n d f

2

2 0 ; 1 0 . A f t e r 1 0 0 g e n e r a t i o n s , w e o b t a i n t h e o p t i m a l P a r e t o s e t s h o w n o n F i g .

I N R I A


21/43


1 1 . T h e r e a r e 2 1 8 i n d i v i d u a l s o n t h e s e t . T h e o p t i m a l i n d i v i d u a l s , f u n c t i o n s o f f

1

a n d

f

2

, a r e s h o w n o n F i g . 1 2 - a a n d 1 2 - b . T h e G A s s o l u t i o n i s t h e s a m e a s t h e a n a l y t i c a l

s o l u t i o n : x v a r i e s i n 1 ; 4 a n d y v a r i e s i n 2 ; 3 .

R e m a r k s

1 . I f w e d o n o t a p p l y t h e n o n d o m i n a t e d s o r t i n g G A t e c h n i q u e s e e s e c t i o n 3 . 4

i . e . i f t h e t n e s s v a l u e s o f t h e i n d i v i d u a l s a r e o f t h e f o r m f

i

=

1

r a n k o f i

, t h e

p o p u l a t i o n c o n v e r g e s t o w a r d s o n l y t w o s o l u t i o n s o f t h e P a r e t o f r o n t . T h i s r e s u l t

i s p r e s e n t e d o n F i g . 1 3 .

2 . T h e n o t i o n o f P a r e t o e q u i l i b r i u m o r i g i n a t e s f r o m g a m e t h e o r y , o r i g i n a l l y i n t r o -

d u c e d i n e c o n o m i c s . G a m e s a r e u s u a l l y c l a s s i e d i n t w o t y p e s : c o o p e r a t i v e

g a m e s a n d n o n - c o o p e r a t i v e g a m e s . P a r e t o g a m e s a r e c o o p e r a t i v e , w h i c h m e a n s

t h a t t h e p l a y e r s c o - o p e r a t e i n t h e e v o l u t i o n p r o c e s s . I n v e r s e l y , N a s h a n d S t a c k -

e l b e r g g a m e s a r e n o n - c o o p e r a t i v e w h i c h m e a n s t h a t t h e r e i s n o c o m m u n i c a t i o n

b e t w e e n t h e p l a y e r s , a l t h o u g h e a c h p l a y e r ' s s t r a t e g y d e p e n d s o n t h e o t h e r s . I n h i s

i n t e r e s t i n g t h e s i s , S e f r i o u i 1 9 i l l u s t r a t e d t h e t h r e e d i e r e n t t y p e s o f e q u i l i b r i u m

P a r e t o , N a s h a n d S t a c k e l b e r g b y m e a n s o f a c a d e m i c e x a m p l e s .

4 . 3 A t h r e e - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m

N o w , w e c o n s i d e r t h r e e a c a d e m i c a n a l y t i c a l f u n c t i o n s d e p e n d i n g o n t w o p a r a m e t e r s .

T h e o b j e c t i v e i s t o m i n i m i z e s i m u l t a n e o u s l y t h e f o l l o w i n g t h r e e f u n c t i o n s :

8

:

f

1

x ; y = x

2

+ y , 1

2

f

2

x ; y = x

2

+ y + 1

2

+ 1 w i t h x ; y 2 , 2 ; 2 , 2 ; 2

f

3

x ; y = x , 1

2

+ y

2

+ 2

A n a l y t i c a l s o l u t i o n H e r e , t h e t e c h n i q u e i s t o m i n i m i z e f x ; y = f

1

x ; y + f

2

x ; y +

f

3

x ; y i n w h i c h ; ; 2 0 ; 1 a r e p a r a m e t e r s s u c h t h a t + + = 1 . T h e o p t i m a l

P a r e t o f r o n t i s t h u s o b t a i n e d b y s o l v i n g :

8

:

@ f x ; y

@ x

= 0

@ f x ; y

@ y

= 0

2 x + 2 x + 2 x , 1 = 0

2 y , 1 + 2 y + 1 + 2 y = 0

x =

y = ,

t h e n , x

o p t

2 0 ; 1 a n d y

o p t

2 , 1 ; 1 , t h a t m e a n s , f

o p t

1

2 0 ; 5 ; f

o p t

2

2 1 ; 6 ; f

o p t

3

2 2 ; 4 .

R R n 3 6 8 6


22/43


24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

5

4

3

2

1

0

5

4

3

2

1

0

Function f1(x,y)

25

20

15

10

5

0

543

210

5 4

3 2

1 0

Function f2(x,y)

F i g u r e 9 : O b j e c t i v e s f

1

a n d f

2

i n t h e d e c i s i o n s p a c e x ; y .

I N R I A


23/43


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Evaluations from the 1st to the 100th generation.

F i g u r e 1 0 : E v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n i n t h e o b j e c t i v e s p l a n e f r o m t h e r s t g e n e r a t i o n

t o t h e l a s t o n e 1 0 0 g e n e r a t i o n s .

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10


F i g u r e 1 1 : O p t i m a l P a r e t o s e t a f t e r 1 0 0 g e n e r a t i o n s . T h e r e a r e 2 1 8 i n d i v i d u a l s f a i r l y

u n i f o r m e l y d i s t r i b u t e d o n t h e f r o n t .

R R n 3 6 8 6


24/43


0

2

4

0

2

40

5

10

15

xopt

Optimal solutions for f1(x,y) = (x1)

2+(y3)

2

yopt

f1

(xopt,yopt

)

0

2

4

0

2

40

5

10

15

xopt

Optimal solutions for f2(x,y) = (x4)

2+(y2.)

2

yopt

f2

(xopt,yopt

)

O p t i m a l i n d i v i d u a l s , f u n c t i o n o f f

1

O p t i m a l i n d i v i d u a l s , f u n c t i o n o f f

2

F i g u r e 1 2 : T h e o p t i m a l i n d i v i d u a l s a r e p l o t t e d f o r f

1

a n d f

2

a f t e r 1 0 0 g e n e r a t i o n s .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7

Criterio

nf2

Criterion f1

Pareto front without sharing

F i g u r e 1 3 : P a r e t o s e t w i t h o u t s h a r i n g . T h e r e a r e o n l y t w o s o l u t i o n s .

I N R I A


25/43


S o l u t i o n b y G A T h e d e c i s i o n v a r i a b l e s x a n d y h a v e b o t h b e e n c o d e d i n a b i n a r y

s t r i n g o f l e n g t h e q u a l t o 2 6 t h e a c c u r a c y i s t h e n e q u a l t o 1 0

, 7

. W o r k i n g w i t h a

p o p u l a t i o n o f 4 0 c h r o m o s o m e s , s e t t i n g t h e p r o b a b i l i t y o f c r o s s o v e r t o p

c

= 0 : 9 , t h e

p r o b a b i l i t y o f m u t a t i o n t o p

m

= 0 : 0 5 a n d

s h a r e

= 1 2 : , a n e l i t i s t s t r a t e g y a n d a s e l e c t i o n

b y 2 - p o i n t t o u r n a m e n t h a v e b e e n u s e d .

F i g . 1 4 d e p i c t s t h e e v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n i n t h e o b j e c t i v e s s p a c e f r o m t h e

r s t g e n e r a t i o n t o t h e l a s t o n e . W e n o t e t h a t t h e o p t i m a l P a r e t o s e t i s b o u n d e d b y t h e

i n t e r v a l s f

1

2 0 ; 5 , f

2

2 1 ; 6 a n d f

3

2 2 ; 4 . F i g . 1 5 p r o v i d e s t h e r e p r e s e n t a t i o n o f

f

1

; f

2

a n d f

3

f o r t h e o p t i m a l s o l u t i o n s a s w e l l a s t h e P a r e t o s e t a s o b t a i n e d a f t e r 1 0 0

g e n e r a t i o n s ; t h i s s e t i s m a d e o f 1 6 9 2 i n d i v i d u a l s . F i n a l l y , F i g . 1 6 d e p i c t s t h e o p t i m a l

i n d i v i d u a l s x

o p t

; y

o p t

.

0

2

4

6

8

10

12

0

2

4

6

8

10

12

14

2

4

6

8

10

12

14

f1(x,y)

Evolution of the population in the criteria set

f2(x,y)

f3(x,y)

F i g u r e 1 4 : E v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n f r o m t h e r s t t o t h e 1 0 0

t h

g e n e r a t i o n .

R R n 3 6 8 6


26/43


1

01

2

2

0

20

2

4

x

Optimal solution for f1

y

f1

(x,y)

1

01

2

1

0

1

20

2

4

6

x

Optimal solutions for f2

y

f2

(x,y)

2

0

2

2

0

22

2.5

3

3.5

4

x

Optimal solutions for f3

y

f3

(x,y)

0

24

0

5

102

3

4

f1(x,y)


f2(x,y)

f3

(x,y)

F i g u r e 1 5 : T h e o p t i m a l i n d i v i d u a l s f o r e a c h c r i t e r i o n a n d t h e P a r e t o s e t i n t h e s p a c e

o f t h e o b j e c t i v e s .

I N R I A


27/43


-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

F i g u r e 1 6 : T h e o p t i m a l i n d i v i d u a l s .

5 M u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n f o r S h a p e O p t i m u m

D e s i g n

W e c o n s i d e r h e r e t h e a p p l i c a t i o n o f G A s t o t h e m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n o f a i r f o i l

p r o l e s . T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n s i n v o l v e a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s t h a t a r e d e d u c e d

f r o m t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f t h e c o m p r e s s i b l e o w a r o u n d a n a i r f o i l g e o m e t r y . W e

r s t d e s c r i b e t h e m a i n i n g r e d i e n t s o f t h e u n d e r l y i n g o w s o l v e r r e s t r i c t i n g o u r s e l v e s t o

i n v i s c i d o w s m o d e l l e d b y t h e E u l e r e q u a t i o n s .

5 . 1 T h e 2 D E u l e r o w s o l v e r

T h e u n d e r l y i n g o w s o l v e r s o l v e s t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s :

@ W

@ t

+

~

r :

~

F W = 0 ; W =

;

~

U ; E

T

;

~

r =

@

@ x

;

@

@ y

!

T

1

w h e r e

~

F W = F

1

W ; F

2

W

T

i s t h e v e c t o r o f c o n v e c t i v e u x e s w h o s e c o m p o n e n t s

a r e g i v e n b y :

F

1

W =

0

B

B

B

@

u

u

2

+ p

u v

u E + p

1

C

C

C

A

; F

2

W =

0

B

B

B

@

v

u v

v

2

+ p

v E + p

1

C

C

C

A

R R n 3 6 8 6


28/43


I n t h e a b o v e e x p r e s s i o n s , i s t h e d e n s i t y ,

~

U = u ; v

T

i s t h e v e l o c i t y v e c t o r , E i s

t h e t o t a l e n e r g y p e r u n i t o f v o l u m e a n d p d e n o t e s t h e p r e s s u r e w h i c h i s o b t a i n e d u s i n g

t h e p e r f e c t g a s s t a t e e q u a t i o n p =

p

, 1 E ,

1

2

k

~

U k

2

w h e r e

p

= 1 : 4 i s t h e r a t i o

o f s p e c i c h e a t s . T h e o w d o m a i n i s a s s u m e d t o b e a p o l y g o n a l b o u n d e d r e g i o n o f

I R

2

. L e t

h

b e a s t a n d a r d t r i a n g u l a t i o n o f . A v e r t e x o f t h e m e s h i s d e n o t e d b y S

i

,

a n d t h e s e t o f i t s n e i g h b o r i n g v e r t i c e s b y N S

i

. A t e a c h v e r t e x S

i

, a c o n t r o l v o l u m e

C

i

i s c o n s t r u c t e d b y j o i n i n g t h e m i d d l e o f t h e e d g e s f S

i

; S

j

g f o r S

j

2 N S

i

w i t h t h e

c e n t r o i d s o f t h e t r i a n g l e s s h a r i n g S

i

a s a c o m m o n v e r t e x ; s e e F i g . 1 7 . T h e b o u n d a r y

o f C

i

i s d e n o t e d b y @ C

i

, a n d t h e u n i t v e c t o r o f t h e o u t w a r d n o r m a l t o @ C

i

b y ~

i

. T h e

u n i o n o f a l l t h e s e c o n t r o l v o l u m e s c o n s t i t u t e s a d u a l d i s c r e t i z a t i o n o f .

T h e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n m e t h o d a d o p t e d h e r e u s e s a n i t e v o l u m e u p w i n d f o r m u -

l a t i o n . B r i e y s p e a k i n g , f o r e a c h c o n t r o l v o l u m e C

i

a s s o c i a t e d w i t h a v e r t e x S

i

, o n e

h a s t o s o l v e f o r n

i

o n e - d i m e n s i o n a l R i e m a n n p r o b l e m s a t t h e c o n t r o l v o l u m e b o u n d a r y ,

n

i

b e i n g t h e n u m b e r o f n e i g h b o r s o f S

i

. T h e s p a t i a l a c c u r a c y o f t h e R i e m a n n s o l v e r

d e p e n d s o n t h e a c c u r a c y o f t h e i n t e r p o l a t i o n o f t h e p h y s i c a l q u a n t i t i e s a t t h e c o n t r o l

v o l u m e b o u n d a r y . F o r r s t o r d e r a c c u r a c y , t h e v a l u e s o f t h e p h y s i c a l q u a n t i t i e s a t t h e

c o n t r o l v o l u m e b o u n d a r y a r e s e t e q u a l t o t h e v a l u e s i n t h e c o n t r o l v o l u m e i t s e l f . A n

e x t e n s i o n t o s e c o n d o r d e r a c c u r a c y c a n b e p e r f o r m e d v i a a M o n o t o n i c U p w i n d S c h e m e

f o r C o n s e r v a t i v e L a w s M U S C L t e c h n i q u e o f V a n L e e r 2 1 . I t c o n s i s t s i n p r o v i d i n g

t h e R i e m a n n s o l v e r w i t h a n i n t e r p o l a t e d v a l u e , t a k i n g i n t o a c c o u n t s o m e g r a d i e n t o f

t h e p h y s i c a l q u a n t i t i e s . O n e c a n u s e a n i t e e l e m e n t g r a d i e n t P

1

- G a l e r k i n c o m p u t e d

o n a p a r t i c u l a r t r i a n g l e , o r a n a v e r a g e d n o d a l g r a d i e n t , w h i c h i s t a k e n a s a p a r t i c u l a r

a v e r a g e o f t h e n i t e e l e m e n t g r a d i e n t s o n t h e s e t o f t r i a n g l e s s h a r i n g a g i v e n v e r t e x .

i

j

G1

G2

I

F i g u r e 1 7 : A 2 D c o n t r o l v o l u m e C

i

I n t e g r a t i n g E q . 1 o v e r C

i

y i e l d s :

I N R I A


29/43


Z Z

C

i

@ W

@ t

~x +

X

j 2 N S

i

Z

@ C

i j

~

F W : ~

i

d 1

+

Z

@ C

i

,

w

~

F W : ~

i

d +

Z

@ C

i

,

1

~

F W : ~

i

d = 0 2

2

w h e r e @ C

i j

= @ C

i

@ C

j

; ,

w

a n d ,

1

r e s p e c t i v e l y d e n o t e t h e w a l l b o u n d a r y a n d t h e

d o w n s t r e a m u p s t r e a m b o u n d a r y . A r s t o r d e r n i t e v o l u m e d i s c r e t i s a t i o n o f 1

i s :

1 = W

n + 1

i

, W

n

i

+ t

X

j 2 N S

i

F

W

n

i

; W

n

j

; ~

i j

3

w h e r e

F

d e n o t e s a n u m e r i c a l u x f u n c t i o n s u c h t h a t :

F

W

i

; W

j

; ~

i j

Z

@ C

i j

~

F W : ~

i

d ; ~

i j

=

Z

@ C

i j

~

i

d 4

U p w i n d i n g i s i n t r o d u c e d h e r e i n t h e c o m p u t a t i o n o f E q . 4 b y u s i n g R o e ' s 1 7

a p p r o x i m a t e R i e m a n n s o l v e r t h u s c o m p u t i n g

F

a s f o l l o w s :

F

W

i

; W

j

; ~

i j

=

~

F W

i

+

~

F W

j

2

: ~

i j

, j A

R

W

i

; W

j

; ~

i j

j

W

j

, W

i

2

5

w h e r e A

R

i s R o e ' s m e a n v a l u e o f t h e u x J a c o b i a n m a t r i x

@

~

F W

@ W

: ~ . F o l l o w i n g t h e

M U S C L t e c h n i q u e 2 1 , s e c o n d o r d e r a c c u r a c y i s a c h i e v e d i n E q . 4 v i a a p i e c e w i s e

l i n e a r i n t e r p o l a t i o n o f t h e s t a t e s W

i j

a n d W

j i

a t t h e i n t e r f a c e @ C

i j

s e e F i g . 1 8 :

~

W

i j

=

~

W

i

+

1

2

~

r

~

W

i

:

~

S

i

S

j

;

~

W

j i

=

~

W

j

,

1

2

~

r

~

W

j

:

~

S

i

S

j

6

w h e r e

~

W =

;

~

U ; p

T

. A n a v e r a g e d n o d a l g r a d i e n t

~

r

~

W

i

i s o b t a i n e d b y a v e r a g i n g

t h e P

1

- G a l e r k i n g r a d i e n t s c o m p u t e d o n e a c h t r i a n g l e o f C

i

. F i n a l l y , t h e V a n A l b a d a

l i m i t a t i o n p r o c e d u r e 4 i s i n t r o d u c e d i n t h e i n t e r p o l a t i o n 6 i n o r d e r t o p r e s e r v e t h e

m o n o t o n y o f t h e a p p r o x i m a t i o n .

5 . 2 T i m e i n t e g r a t i o n

A s s t a t e d e a r l i e r , w e a r e o n l y i n t e r e s t e d h e r e i n s t e a d y s o l u t i o n s t o t h e E u l e r e q u a t i o n s .

T h e r e f o r e , t i m e i n t e g r a t i o n i s o n l y i n t r o d u c e d a s a n a r t i c e t o s e t u p a n i t e r a t i v e

s o l u t i o n a l g o r i t h m a n d i t m u s t b e a s e c i e n t a s p o s s i b l e r e g a r d l e s s o f t i m e a c c u r a c y .

F o r t h i s p u r p o s e , a n i m p l i c i t f o r m u l a t i o n t h a t a l l o w s t h e u s e o f l a r g e p s e u d o - t i m e s t e p s

R R n 3 6 8 6


30/43


31/43


w h e r e t 2 0 ; 1 ; P

i

= x

i

; y

i

a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c o n t r o l p o i n t s . I n t h i s w o r k ,

a B z i e r r e p r e s e n t a t i o n o f o r d e r 8 h a s b e e n u s e d : 2 x e d p o i n t s , P

0

a n d P

8

, a n d 7

c o n t r o l p o i n t s .

8

:

x t =

8

X

i = 0

C

i

8

t

i

1 , t

8 , i

x

i

y t =

8

X

i = 0

C

i

8

t

i

1 , t

8 , i

y

i

T w o B z i e r c u r v e s a r e d e n e d f o r t h e u p p e r a n d l o w e r s u r f a c e s r e s p e c t i v e l y ; t h e

p o i n t s P

0

= 0 ; 0 a n d P

8

= 1 ; 0 c o r r e s p o n d i n g t o t h e l e a d i n g a n d t r a i l i n g e d g e s o f t h e

a i r f o i l a r e x e d . A l l t h e v a l u e s x

i

2 0 ; 1 a r e x e d , a n d o n l y t h e o r d i n a t e s y

1

; ; y

7

u p p e r s u r f a c e a n d y

9

; ; y

1 5

l o w e r s u r f a c e a r e a l l o w e d t o v a r y s e e F i g . 1 9 . B e f o r e

c o d i n g a c h r o m o s o m e i n a b i n a r y s t r i n g , i t i s d e n e d b y a v e c t o r i n I R

1 4

:

c h r o m o s o m e = y

1

; ; y

7

| z

u p p e r

; y

9

; ; y

1 5

| z

l o w e r

M o r e o v e r , w e h a v e u s e d a g e o m e t r i c a l c o n s t r a i n t o n t h e o r d i n a t e s : t h e y

i

' s v a r y

o n i n t e r v a l s o f t h e f o r m m i n

i

; m a x

i

; t h i s h a s a d i r e c t i m p l i c a t i o n o n t h e s e a r c h

s p a c e . T h e p a r a m e t e r s c o n s t i t u t i n g t h e c h r o m o s o m e s a r e t h e n c o d e d a s b i n a r y s t r i n g s

f o r d e c o d i n g a b i n a r y s t r i n g i n t o t h e r e a l p a r a m e t e r s s e e , f o r e x a m p l e , t h e b o o k o f

M i c h a l e w i c z 1 1 p p . 1 8 - 2 0 .

xx

x x x x x x1

0 2 3 4 5 6 7

y

yy y

y

y

y

y

y

yyy

y

1

23 4

5

6

y7

8

9

10

111213

14

max4

min4

max 5

min5

max

min

12

12

0 1

F i g u r e 1 9 : R e p r e s e n t a t i o n o f a n a i r f o i l u s i n g c o n t r o l p o i n t s o f B z i e r t h e y

i

' s .

5 . 4 T h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m

F i r s t , w e e v a l u a t e a s u b s o n i c E u l e r o w a t a M a c h n u m b e r e q u a l t o 0 . 2 a n d a n i n c i d e n c e

e q u a l t o 1 0 : 8

o n a h i g h - l i f t p r o l e s e e F i g . 2 0 ; w e c a l c u l a t e t h e p r e s s u r e , P

1

.

R R n 3 6 8 6


32/43


S e c o n d , w e e v a l u a t e a t r a n s o n i c E u l e r o w a t a M a c h n u m b e r e q u a l t o 0 . 7 7 a n d a n

i n c i d e n c e e q u a l t o 1

o n a l o w - d r a g p r o l e s e e F i g . 2 0 , a n d w e c a l c u l a t e t h e p r e s s u r e

P

2

. T h e o b j e c t i v e i s t o m i n i m i z e s i m u l t a n e o u s l y t h e t w o f o l l o w i n g c o s t f u n c t i o n a l s :

8

:

J

1

W =

Z

P W , P

1

2

d a t M a = 0 : 2 a n d = 1 0 : 8

J

2

W =

Z

P W , P

2

2

d a t M a = 0 : 7 7 a n d = 1

W e w a n t t o n d a l l t h e p r o l e s e x i s t i n g b e t w e e n t h e l o w - d r a g p r o l e a n d t h e h i g h -

l i f t p r o l e . F o r e a c h c h r o m o s o m e d e t e r m i n i n g t h e p r o l e o f a n a i r f o i l , w e e v a l u a t e

t h e t w o E u l e r o w s a t t h e t w o p r e v i o u s l y m e n t i o n e d r e g i m e s . O n F i g . 2 1 w e v i s u a l i z e

t h e s t e a d y i s o - m a c h l i n e s o n t h e t w o p r o l e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o o w r e g i m e s .

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

F i g u r e 2 0 : H i g h - l i f t a n d l o w - d r a g p r o l e s .

5 . 5 M e s h u p d a t e p r o c e d u r e

O n c e a n e w s h a p e h a s b e e n d e t e r m i n e d , t h e o v e r a l l c o m p u t a t i o n a l m e s h h a s t o b e u p -

d a t e d p r i o r t o a n e w o w c a l c u l a t i o n . I n t h i s w o r k , a n u n s t r u c t u r e d d y n a m i c m e s h i s

r e p r e s e n t e d b y a p s e u d o s t r u c t u r a l m o d e l w h e r e a c t i t i o u s l i n e a r s p r i n g i s a s s o c i a t e d

w i t h e a c h e d g e c o n n e c t i n g t w o v e r t i c e s S

i

a n d S

j

. T h e v e r t i c e s l o c a t e d o n t h e d o w n -

s t r e a m a n d u p s t r e a m b o u n d a r i e s a r e h e l d x e d w h i l e t h e n e w p o s i t i o n s o f t h o s e p o i n t s

l o c a t e d o n t h e w a l l b o u n d a r y a r e d e t e r m i n e d f r o m s h a p e p a r a m e t r i z a t i o n p r o c e d u r e .

T h e n , t h e n e w p o s i t i o n o f t h e i n t e r i o r v e r t i c e s i s d e t e r m i n e d f r o m t h e s o l u t i o n o f a

d i s p l a c e m e n t d r i v e n p s e u d o s t r u c t u r a l p r o b l e m v i a a J a c o b i i t e r a t i v e p r o c e d u r e p e r -

f o r m e d o n a p p r o p r i a t e s t a t i c e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s . T h i s p r o c e d u r e i s a d a p t e d f r o m

t h e w o r k p r e s e n t e d i n F a r h a t a n d L a n t e r i 3 f o r u n s t e a d y o w s i m u l a t i o n o n d y n a m i c

m e s h e s .

I N R I A


33/43


F i g u r e 2 1 : S t e a d y i s o - m a c h l i n e s o n t h e h i g h l i f t a n d l o w d r a g p r o l e s .

5 . 6 P a r a l l e l i z a t i o n s t r a t e g y

O n e i m p o r t a n t c o n c e r n r e l a t e d w i t h t h e u s e o f G A s i n s h a p e o p t i m u m d e s i g n i s t h e

c o m p u t a t i o n a l e o r t n e e d e d . I n h a r d p r o b l e m s , G A s r e q u i r e l a r g e p o p u l a t i o n s a n d t h i s

t r a n s l a t e s d i r e c t l y i n t o h i g h e r c o m p u t a t i o n a l e o r t . I n t h e c a s e o f t h e m u l t i - o b j e c t i v e

o p t i m i z a t i o n p r o b l e m c o n s i d e r e d h e r e , w e h a v e t o s o l v e f o r t w o E u l e r o w s f o r e a c h

i n d i v i d u a l , w h i c h m e a n s t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l e o r t i s v e r y h i g h . O n e o f t h e m a i n

a d v a n t a g e s o f G A s i s t h a t t h e y c a n e a s i l y b e p a r a l l e l i z e d . A t e a c h g e n e r a t i o n , t h e t n e s s

v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h e a c h i n d i v i d u a l c a n b e e v a l u a t e d i n p a r a l l e l . W e w i l l n o t g o i n t o

t h e d e t a i l s f o r t h e p a r a l l e l i z a t i o n s t r a t e g y w e h a v e a d o p t e d a s t h i s i s n o t t h e m a j o r

t o p i c o f t h i s r e p o r t . A c o m p l e t e d e s c r i p t i o n c a n b e f o u n d i n 1 0 . I n b r i e f , w e h a v e

e m p l o y e d a t w o - l e v e l p a r a l l e l i z a t i o n s t r a t e g y : t h e r s t l e v e l i s t h e p a r a l l e l i z a t i o n o f

t h e o w s o l v e r , w h i c h c o m b i n e s d o m a i n p a r t i t i o n i n g t e c h n i q u e s w i t h a m e s s a g e - p a s s i n g

p r o g r a m m i n g m o d e l w h e r e c a l l s t o t h e M P I l i b r a r y a r e u s e d . T h e s e c o n d l e v e l i s t h e

p a r a l l e l i z a t i o n o f G A s . W e h a v e c h o s e n t o e x p l o i t t h e n o t i o n o f p r o c e s s g r o u p s w h i c h i s

o n e o f t h e m a i n f e a t u r e s o f t h e M P I e n v i r o n m e n t . T w o g r o u p s a r e d e n e d , e a c h g r o u p

b e i n g r e s p o n s i b l e f o r t h e e v a l u a t i o n o f t h e c r i t e r i a f o r o n e i n d i v i d u a l , a n d e a c h g r o u p

c o n t a i n s t h e s a m e n u m b e r o f p r o c e s s e s . T h e n , t w o i n d i v i d u a l s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t

i n p a r a l l e l .

R R n 3 6 8 6


34/43


5 . 7 R e s u l t s

T h e r e f e r e n c e p r o l e i s a N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l . R e s u l t s h a v e b e e n o b t a i n e d u s i n g a c o a r s e

a n d a n e m e s h o f t h e N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l . T h e c o a r s e m e s h i s c o m p o s e d o f 1 3 5 1 n o d e s

a n d t h e n e o n e i s c o m p o s e d o f 1 4 4 9 8 n o d e s . O n F i g . 2 2 , w e v i s u a l i z e t h e s t e a d y

i s o - m a c h l i n e s a t t h e t w o d i e r e n t r e g i m e s f o r b o t h m e s h e s .

T h e o w s o l v e r F o r e a c h o w s i m u l a t i o n , s t e a d y - s t a t e i s a s s u m e d t o b e r e a c h e d

w h e n t h e i n i t i a l n o r m a l i z e d d e n s i t y r e s i d u a l h a s b e e n r e d u c e d b y a f a c t o r 1 0

3

. A t e a c h

p s e u d o t i m e - s t e p , t h e l i n e a r s y s t e m s o l u t i o n i s i n t e r r u p t e d w h e n t h e r e s i d u a l h a s b e e n

r e d u c e d t o o n e p e r c e n t o f t h e i n i t i a l v a l u e .

T h e G A R e s u l t s h a v e b e e n o b t a i n e d w i t h a p o p u l a t i o n o f 4 0 i n d i v i d u a l s , s e t t i n g

t h e p r o b a b i l i t y o f c r o s s o v e r t o p

c

= 0 : 8 , t h e p r o b a b i l i t y o f m u t a t i o n t o p

m

= 0 : 0 0 7 a n d

s h a r e

= 0 : 7 . T h e s e l e c t i o n o p e r a t o r w a s c h o s e n t o b e t h e b i n a r y t o u r n a m e n t w i t h a n

e l i t i s t s t r a t e g y .

5 . 8 C o a r s e m e s h r e s u l t s

5 . 8 . 1 P a r a l l e l p e r f o r m a n c e r e s u l t s

R e s u l t s h a v e b e e n o b t a i n e d o n a n S G I O r i g i n 2 0 0 0 M I M D p a r a l l e l c o m p u t i n g p l a t -

f o r m e q u i p p e d w i t h M i p s R 1 0 0 0 0 1 9 5 M h z p r o c e s s o r s . W e c o m p a r e t i m i n g m e a s u r e -

m e n t s f o r t h e o v e r a l l o p t i m i z a t i o n u s i n g o n e a n d t w o p r o c e s s g r o u p s . T i m i n g s a r e

g i v e n f o r 1 0 0 g e n e r a t i o n s i n T a b . 1 a n d T a b . 2 w h e r e N

g

a n d N

p

r e s p e c t i v e l y d e n o t e

t h e n u m b e r o f p r o c e s s g r o u p s a n d t h e t o t a l n u m b e r o f p r o c e s s e s N

g

= 2 a n d N

p

= 4

m e a n s 2 p r o c e s s e s f o r e a c h g r o u p , T o t a l i s t h e t o t a l e x e c u t i o n t i m e a n d F l o w i s t h e

a c c u m u l a t e d o w s o l v e r t i m e ; n a l l y , S N

p

i s t h e c a l c u l a t e d s p e e d - u p . A s c o u l d b e

a n t i c i p a t e d , t h e p r e s e n t m e s h i s t o o c o a r s e t o d e m o n s t r a t e r e a s o n a b l e p a r a l l e l s p e e d - u p

o f t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s ; t h i s p o i n t w i l l b e f u r t h e r i l l u s t r a t e d l a t e r w i t h c o m p a r i s o n s

b e t w e e n c o a r s e a n d n e m e s h c a l c u l a t i o n s .

5 . 8 . 2 N u m e r i c a l r e s u l t s

F i g . 2 3 v i s u a l i z e s t h e e v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n u n t i l a s t e a d y s t a t e i s r e a c h e d . W e

n o t e t h e f o r m a t i o n o f t h e c l o u d o f p o i n t s a n d i t s c o n v e x h u l l . T h e o p t i m a l P a r e t o s e t

i s s h o w n o n F i g . 2 4 , i t d e s c r i b e s t h e c o n v e x h u l l . A f t e r 1 0 0 g e n e r a t i o n s , t h e r e a r e 1 3 1

i n d i v i d u a l s o n t h e P a r e t o f r o n t . A l l t h e s e i n d i v i d u a l s c o r r e s p o n d t o o p t i m a l s o l u t i o n s

I N R I A


35/43


F i g u r e 2 2 : T o p - l e f t : n e m e s h - h i g h l i f t r e g i m e . T o p - r i g h t : n e m e s h - l o w d r a g

r e g i m e . B o t t o m - l e f t : c o a r s e m e s h - h i g h l i f t r e g i m e . B o t t o m - r i g h t : c o a r s e m e s h -

l o w d r a g r e g i m e .

R R n 3 6 8 6


36/43


T a b l e 1 : P a r a l l e l p e r f o m a n c e r e s u l t s o n t h e S G I O r i g i n 2 0 0 0 s y s t e m

C o a r s e m e s h c a l c u l a t i o n s a n d o n e p r o c e s s g r o u p

N

g

N

p

T o t a l s e c F l o w s e c S N

p

1 2 5 h 4 5 m n 5 h 2 0 m n 1 . 0

1 4 4 h 0 1 m n 3 h 2 8 m n 1 . 4


C o a r s e m e s h c a l c u l a t i o n s a n d t w o p r o c e s s g r o u p s

N

g

N

p

T o t a l s e c F l o w s e c S N

p

2 2 4 h 4 3 m n 4 h 2 5 m n 1 . 0

2 4 3 h 3 4 m n 3 h 1 3 m n 1 . 3

o f t h e m u t l i - o b j e c t i v e m i n i m i z a t i o n T h i s o p t i m i z a t i o n h a s r e q u i r e d 7 7 3 0 c o s t f u n c t i o n a l

e v a l u a t i o n s .

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Evaluations between the 1st and 100th generations

F i g u r e 2 3 : E v o l u t i o n o f t h e i n d i v i d u a l s i n t h e o b j e c t i v e s p l a n e , f r o m t h e r s t g e n e r a t i o n

t o t h e l a s t o n e 1 0 0 g e n e r a t i o n s .

I N R I A


37/43


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6


F i g u r e 2 4 : T h e o p t i m a l P a r e t o s e t w i t h 1 3 1 i n d i v i d u a l s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d , a f t e r

1 0 0 g e n e r a t i o n s .

5 . 9 F i n e m e s h r e s u l t s

5 . 9 . 1 P a r a l l e l p e r f o r m a n c e r e s u l t s

T h e c o m p l e t e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s r e q u i r e d 5 1 g e n e r a t i o n s a n d , f o r N

g

= 2 g r o u p s

a n d N

p

= 8 p r o c e s s o r s , 2 2 h o u r s o n t h e S G I O r i g i n 2 0 0 0 s y s t e m . W e h a v e d e c i d e d

t o c o m p a r e t h e p a r a l l e l p e r f o r m a n c e s b e t w e e n c o a r s e a n d n e m e s h e s , f o r o n l y 1 0

g e n e r a t i o n s , f o r t h e s a m e d a t a . R e s u l t s a r e g i v e n i n T a b . 3 .


F i n e a n d c o a r s e m e s h c a l c u l a t i o n s , t w o p r o c e s s g r o u p s

N

p

T o t a l F l o w C o m

C o a r s e m e s h 8 1 8 m i n 4 3 s e c 1 3 m i n 5 6 s e c 5 m i n 1 0 s e c

C o a r s e m e s h 1 6 1 7 m i n 2 6 s e c 1 1 m i n 5 0 s e c 7 m i n 1 0 s e c

F i n e m e s h 8 3 h 5 8 m i n 2 0 s e c 3 h 9 m i n 4 6 s e c 1 7 m i n 1 9 s e c

F i n e m e s h 1 6 1 h 5 0 m i n 5 s e c 1 h 2 4 m i n 5 6 s e c 1 3 m i n 3 2 s e c

T h e c o a r s e m e s h o p t i m i z a t i o n h a s r e q u i r e d 7 7 2 c o s t f u n c t i o n a l e v a l u a t i o n s f o r t h e

1 0 g e n e r a t i o n s , w h i l e f o r t h e n e m e s h , 7 0 2 c o s t f u n c t i o n a l s h a v e b e e n e v a l u a t e d . A s

p r e v i o u s l y , w e n o t e t h a t o n t h e c o a r s e m e s h , i t i s n o t w o r t h t o u s e a l o t o f p r o c e s s o r s .

R R n 3 6 8 6


38/43


C l e a r l y , t h e s i t u a t i o n i s m o r e f a v o r a b l e f o r t h e n e m e s h c a l c u l a t i o n s ; a q u a s i - i d e a l

s p e e d - u p i s o b t a i n e d w h e n s w i t c h i n g f r o m 8 t o 1 6 p r o c e s s o r s .

5 . 9 . 2 N u m e r i c a l r e s u l t s

R e s u l t s o n t h e n e m e s h a r e m o r e a c c u r a t e t h a n t h e o n e s o b t a i n e d o n t h e c o a r s e

o n e . W e i l l u s t r a t e t h i s p o i n t b y c o m p a r i n g t h e c l o u d s c o m p o s e d b y t h e d i e r e n t c o s t

e v a l u a t i o n s f o r b o t h m e s h e s a n d a l s o b y c o m p a r i n g t h e o p t i m a l P a r e t o f r o n t s f o r b o t h

m e s h e s F i g . 2 5 a n d 2 6 . W h e n u s i n g t h e n e s t m e s h , t h e t w o c o s t f u n c t i o n a l s h a v e

b e e n b e t t e r e v a l u a t e d a n d t h e l o c a l o p t i m a h a v e b e e n b e t t e r c a p t u r e d . O n F i g . 2 7 a

s a m p l e o f d i e r e n t p r o l e s b e t w e e n t h e h i g h - l i f t a n d l o w - d r a g p r o l e s i s p r e s e n t e d . W e

n o t e t h a t t h e s e p r o l e s a r e s l i g h t l y d i e r e n t t h a n t h o s e r e s u l t i n g f r o m t h e c o a r s e m e s h

o p t i m i z a t i o n .

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

J2

J1

Population for the fine meshPopulation for the fine mesh

F i g u r e 2 5 : E v o l u t i o n o f t h e i n d i v i d u a l s i n t h e o b j e c t i v e s p l a n e , f o r b o t h r u n s o n t h e

t w o m e s h e s 5 1 g e n e r a t i o n s a n d 3 9 1 8 e v a l u a t i o n s f o r t h e n e m e s h a n d 1 0 0 g e n e r a t i o n s

a n d 7 7 3 0 e v a l u a t i o n s f o r t h e c o a r s e o n e .

6 C o n c l u d i n g r e m a r k s

T h e m u l t i - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n w i t h G e n e t i c A l g o r i t h m s i s i n d e p e n d e n t o f t h e d e -

c i s i o n m a k e r s : G A s w o r k w i t h a p o p u l a t i o n o f p o i n t s , a n d t h e y a r e a b l e t o n d t h e

P a r e t o o p t i m a l s o l u t i o n s s i m u l t a n e o u s l y ; i n e e c t , t h e y c o l l e c t a k i n d o f d a t a b a s e

I N R I A


39/43


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

J2

J1

Optimal front for the fine meshOptimal front for the coarse mesh

F i g u r e 2 6 : O p t i m a l P a r e t o s e t s ; t h e o n e o b t a i n e d w i t h t h e n e s t m e s h 5 1 g e n e r a -

t i o n s a n d 5 1 i n d i v i d u a l s i s d o m i n a t i n g t h e o n e o b t a i n e d w i t h t h e c o a r s e m e s h 1 0 0

g e n e r a t i o n s a n d 1 3 1 i n d i v i d u a l s .

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

F i g u r e

Multi-Objective Optimization in CFD by Genetic Algorithms

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