Calculul Regimurilor Raţionale de Aşchiere Se Va Face Utilizând Relaţiile de Calcul Din
Mulţimidenumere(naturale,raţionale,...
Transcript of Mulţimidenumere(naturale,raţionale,...
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimi de numere (naturale, raţionale,iraţionale, reale)
Lect. univ. dr.Anca GRADoctombrie 2018
1
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie.Fie M o mulţime nevidă. Se numeşte operaţie internăpe M, orice funcţie f : M ×M → M.
Definiţie: Se numeşte corp orice triplet (K , +, ·) format dintr-omulţime nevidă K şi două operaţii interne
+, · : K × K → K
care se bucură de proprietăţile:1. (K , +) este un grup comutativ2. (K ∗, ·) este un grup3. oricare ar fi x , y , z ∈ K au log egalităţile
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
(x + y) · z = (x · z) + (y · z)
4
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie.Fie M o mulţime nevidă. Se numeşte operaţie internăpe M, orice funcţie f : M ×M → M.
Definiţie: Se numeşte corp orice triplet (K , +, ·) format dintr-omulţime nevidă K şi două operaţii interne
+, · : K × K → K
care se bucură de proprietăţile:1. (K , +) este un grup comutativ2. (K ∗, ·) este un grup3. oricare ar fi x , y , z ∈ K au log egalităţile
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
(x + y) · z = (x · z) + (y · z)
4
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimi ordonateDefiniţie: Se numeşte mulţime ordonată orice pereche (A,≤) undeA este o mulţime iar ≤ este o relaţie de ordine pe mulţimea A.
Definiţie: Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem cămulţimea B este total ododonată în raport cu relaţia ≤ dacăoricare ar fi x , y ∈ B avem x ≤ y sau y ≤ x .
Definiţie:Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem căelementul a ∈ A este:I cel mai mic element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem a ≤ x ;I cel mai mare element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem x ≤ a;I minorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem a ≤ x ;I majorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem x ≤ a;I infimum al mulţimii B, dacă este cel mai mare minorant al lui
B;I supremum al mulţimii B, dacă este cel mai mic majorant al lui
B.6
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimi ordonateDefiniţie: Se numeşte mulţime ordonată orice pereche (A,≤) undeA este o mulţime iar ≤ este o relaţie de ordine pe mulţimea A.
Definiţie: Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem cămulţimea B este total ododonată în raport cu relaţia ≤ dacăoricare ar fi x , y ∈ B avem x ≤ y sau y ≤ x .
Definiţie:Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem căelementul a ∈ A este:I cel mai mic element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem a ≤ x ;I cel mai mare element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem x ≤ a;I minorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem a ≤ x ;I majorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem x ≤ a;I infimum al mulţimii B, dacă este cel mai mare minorant al lui
B;I supremum al mulţimii B, dacă este cel mai mic majorant al lui
B.6
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimea numerelor realeDefiniţie: Se numeşte corp comuttiv total ordonat orice sistem(K , +, ·,≤) unde (K , +, ·) este un corp comuativ iar ≤ este orelaţie de ordine totală pe K .Definiţie: Fie (K , +, ·,≤) un corp comutativ total ordonat. Senumeşte mulţime inductivă a lui K orice submulţime I ⊆ K a.i.:I 1 ∈ I;I dacă x ∈ I, atunci x + 1 ∈ I.
Definiţie: Mulţimea tuturor mulţimilor inductive ale lui K senumeşte mulţimea numerelor naturale ale lui K .Definiţie: Mulţimea
Z := N ∪ {0} ∪ {x ∈ K : −x ∈ N}
s.n. mulţimea numerelor întregi ale lui K .Definiţie: Mulţimea numerelor raţionale este
Q := {x ∈ K : ∃p, q ∈ Z, q 6= 0 a.î.x = p · q−1}.
7
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie: Fie (K , +, ·,≤) un corp comutativ total ordonat.Afirmaţia: "Pentru orice pereche ordonată (A,B) de submulţiminevide ale lui K , care are proprietatea că
x ≤ y , ∀x ∈ A, y ∈ B
există cel puţin un element z ∈ K a.i.
x ≤ z ≤ y ,∀x ∈ A, y ∈ B”
se numeşte axioma elementului separator (AES).
Afirmaţia: "Orice submulţime nevidă şi minorată a lui K areinfimum în K" s.n. axioma existenţei infimumului. (AI)
Teoremă: În orice CCTO
AES ⇐⇒ AI ⇐⇒ AS.
8
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie: Se numeşte mulţime a numerelor reale, şi se notează cuR orice CCTO, care satisface AES (AI, AS)
Teoremă:Fie ∅ 6= A ⊆ R şi m ∈ R. Atunci
m = sup A
dacă şi numai dacăm ≥ A,∀a ∈ A
şi∀ε > 0,∃aε ∈ A a. i. m − ε < aε.
m = inf A
dacă şi numai dacăm ≤ a,∀a ∈ A
şi∀ε > 0,∃aε ∈ A a. i. aε < m + ε.
9
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Axioma lui Arhimede: Fie (K , +, ·,≤) un corp comutativ totalordonat. Pentru fiecare x , y ∈ K cu y > 0 există un număr naturaln a.i.
x < n · y .
Teoremă: Pentru orice număr real ε > 0 există un număr naturaln a.i.
1n < ε.
Teoremă: Orice submulţime nevidă şi minorată ⊆ Z are un celmai mic element.Teoremă: Orice submulţime nevidă şi majorată ⊆ Z are un celmai mare element.Teoremă: ∀x ∈ R există un număr natural n şi unul singur a.i.
n ≤ x < n + 1.
10