Muestreo Probabilistico. Estim (1)

8/17/2019 Muestreo Probabilistico. Estim (1)

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MUESTREOPROBABILÍSTICO

Y ESTIMADORES


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Diseño muestralFunción p(·) tal que p(s) denota la probabilidad de selección de la muestra

s.Se llamará diseño de muestreo al conjunto de probabilidades deselección de todas las muestras posibles.

Debido a que p(s) es una distribución de probabilidad en S, se tiene que

p(s) , para todo s ϵ S

y

!ara un dise"o muestral dado p(·), se puede considerar a cada muestra s como el resultado de una #ariable aleatoria S, con distribución deprobabilidad especi$cada por p(·). %s&, si S es el conjunto de todas las

muestras posibles s, entonces !r(S ' s) ' p(s) para cada s ϵ S.

n eneral puede ocurrir que no todas las muestras s del espaciomuestral S puedan ser eleidas. Sin embaro consideraremos sólométodos de muestreo no restrinidos* es decir, m+todos demuestreo en los que todas las muestras puedan ser seleccionadas* esdecir, p(s) , para todo s ϵ S!

I"#ERE"CIA ESTADÍSTICA


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Si asumimos que se tiene una población , una muestra de tama"on puede ser considerada como un subconjunto , que puede serordenado donde representa el elemento que ocupa el luar en lamuestra sin embaro, lo eneral es que no se considere el orden(muestras sin reposición).

Dado lo anterior, el cálculo de la probabilidad de una muestradada, puede realiarse en eneral como siue-

$C%mo &al&ular la 'ro(a(ilidad de )ue una muestra

sea sele&&ionada*

E+em'lo!Dada la población U'/,2,0,1,3, en la siuiente tabla se de$ne un

dise"o muestral asociado con la población Us ,-./

0,-.1

0,-.2

0,-.3

0,/.1

0,/.2

0,/.3

0,1.2

0,1.3

0,2.3

0

!(s) 4,/ 4,/ 4,/ 4,/ 4,/ 4,/ 4,/ 4,/ 4,/ 4,/


Dado )ue 4arias muestras del es'a&io muestral S enerado 'or elmétodo de muestreo 'ueden oriinar el mismo 4alor del estimador.la 'ro(a(ilidad de ese 4alor del estimador se de5ne &omo la sumade las 'ro(a(ilidades de todas las muestras )ue lo oriinan!


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Supuestos/. 5ni#erso Finito

2. Se debe disponer de un marco de muestreo0. 6odas las unidades de selección tienen probabilidad conocida

y mayor que cero de ser incluidas en la muestra.1. l mecanismo de selección de la muestra corresponde con las

probabilidades asinadas con anterioridad a cada objeto.

7a probabilidad de selección o de inclusión de un elemento es loque permite el paso de la obser#ación en la muestra a lain8erencia de lo buscado en la poblaciónl 9ec9o de conocer las probabilidades de selección de loselementos debe ir acompa"ado del proceso de selecciónaleatoria que le corresponda.7a in8erencia que se realice con base en probabilidades no ciertasconducirá a decisiones equi#ocadas.



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M6TODO DEESTIMACI7"


:on base en una muestra que 9a sido seleccionadamediante un m+todo de muestreo se pueden estimar las&ara&ter8sti&as 'o(la&ionales (media, total, proporción,etc.) con un error &uanti5&a(le 9 &ontrola(le.

Estimadores. Funciones matemáticas de la muestra. Se

asumen como #ariables aleatorias al considerar la#ariabilidad de selección

de las muestras y por lo tanto cumplen lascondiciones de

una 8unción de medida.

7os errores se cuanti$can mediante 4arian:as,des4ia&iones t8'i&as o errores &uadr;ti&os medios delos estimadores que miden la precisión de los mismos.


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Sea una muestra de tama"o n seleccionada de la población . Se pretende

estimar el parámetro poblacional mediante una 8unción de los #aloresdenominado estad8sti&o. estimador o medida de la muestra-%s& por ejemplo-

#ormali:ando el 'ro(lema de estima&i%n en 'o(la&iones5nitasSea una caracter&stica de$nida en una población que toma el #alor

num+rico sobre la 5nidad con Sea una 8unción de los #alores

denominada parámetro o medida poblacional. %s& por ejemplo-

7a 8unción

Se denomina estimador del parámetro poblacional% los #alores para se les denomina estimaciones


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DISTRIBUCI7" DE U"ESTIMADOR

Sea

el conjunto de #alores delestimador

7ey de probabilidad de la #ariable aleatoria -

Dado )ue 4arias muestras del es'a&io muestral S enerado 'or elmétodo de muestreo 'ueden oriinar el mismo 4alor del estimador.la 'ro(a(ilidad de ese 4alor del estimador se de5ne &omo la sumade las 'ro(a(ilidades de todas las muestras )ue lo oriinan!

7a 8unción

Se le denomina distri(u&i%n del estimador en el muestreo.


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PROPIEDADES DE LOSESTIMADORES

Es'eran:a matem;ti&a del estimador del 'ar;metro


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PROPIEDADES DE LOSESTIMADORES

Consisten&ia del estimador del 'ar;metrol estimador es consistente como estimador para , cuando al aumentar eltama"o de muestra, su seso tiende a cero, es decir, cuando

PRECISI7" Y COMPARACI7" DE ESTIMADORES! Y SUSCOMPO"E"TES

7a precisión de un estimador se analia esencialmente en 8unción de los

conceptos-• Des#iación estándar del estimador o error estándar

• %curacidad

• Seso

A&ura&idad del estimador del 'ar;metro


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Contri(u&i%n del

seso 9 lades4ia&i%n a

debe ser lo más peque"a posible para minimiar por lo tanto entre máspeque"o sea el cociente menos in


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COMPARACI7" DE ESTIMADORES I"SES>ADOS ?@

!ara &om'arar #arios estimadores insesados del parámetro encuanto a 're&isi%n bastará &onsiderar sus errores de muestreo

(des#iaciones estándar de los estimadores) siendo m;s 're&iso elestimador que menor error de muestreo presente.

COMPARACI7" DE ESTIMADORES SES>ADOS ?@

Si un estimador del parámetro poblacional es sesado, la manitudeneral para analiar su precisión es su , por lo tanto, para comparar #arios

estimadores sesados del parámetro en cuanto a su precisión se utiliaráel . Será más preciso el estimador con menor .n la práctica calcular el puede ser di8&cil por lo que para este caso sepodrá utiliar tambi+n el resultado de la contribución del seso y el errorestándar a la ra& del .

%s& entonces, mientras más peque"o sea el cociente de la contribución,más preciso será el estimador, es decir, menor será la contribución delseso.=tra alternati#a es 9acer la comparación utiliando el error relati#o de

muestreo o coe$ciente de #ariación. n este caso será más preciso elestimador con menor coe$ciente.


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COMPARACI7" DE ESTIMADORES SES>ADOS EI"SES>ADOS

Si se pretende comparar en cuanto a la precisión #arios estimadores de unparámetro unos sesados y otros insesados, se utilia el del estimador.Será más preciso aquel estimador cuyo sea menor.

Si no es posible el cálculo del , entonces se puede optar por el error relati#ode muestreo o coe$ciente de #ariación. Será más preciso el estimador demenor .

Si los estimadores sesados tienen todos seso despreciable, es decir, , lacomparación se 9ace a partir del error de muestreo o des#iación t&pica delestimador .

COMPARACI7" DE ESTIMADORES PARA DISTI"TOSPARMETROS

!ara comparar #arios estimadores de distintos parámetros en cuanto aprecisión se puede utiliar el que corresponde con el criterio de precisión

más eneral, sin embaro, las di$cultades de su cálculo, 9acen que en lapráctica se utilice el . s más preciso el estimador con menor .l presenta las #entajas-• s adimensional• >ecoe el posible e8ecto del seso


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O(ser4a&i%n

!ara poder realiar las &om'ara&iones en &uanto a're&isi%n, es decir, para poder obtener lasmanitudes , contribución del seso y la des#iaciónestándar , etc., como normalmente no se conocen los#alores de seso del estimador , el error estándar del

estimador , el #alor esperado del estimador , etc.,porque en sus cálculos inter#ienen datos poblacionalesque no son conocidos, se utilia en su luar susestimaciones- , , , etc., que dependen sólo de datos de

la muestra* as&, las comparaciones se 9arán $nalmentea partir de , , etc.


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CUA"TI#ICACI7" DE LA >A"A"CIA E" PRECISI7" DELOS ESTIMADORES

Tasa de 4aria&i%n relati4a entre las manitudes

utili:adas-! Con (ase en el

/! Con (ase en el

1! Con (ase en el error de muestreo


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EERCICIOS

/. !ara medir la #ariable ?'ni#el de precipitación atmos8+rica en una

determinada reión se dispone de un marco de cuatro onas climáticasde la misma cuyos ni#eles de precipitación actual son de @4, 14, 04 y A4, siendo sus probabilidades iniciales de selección en el muestreo de /B@,/B0, /B0, /B@ respecti#amente. Se trata de estimar en el ni4ela&tual medio de 're&i'ita&i%n atmos=éri&a en la reión eCtrayendomuestras de la #ariable ? de tama"o 2 sin reposición y sin tener en

cuenta el orden de sus elementos. !ara ello se consideran losestimadores alternati#os- media aritm+tica, media eom+trica, mediacuadrática y media armónica.a. speci$car el espacio muestral de$nido por este procedimiento de

muestreob. :alcular las probabilidades asociadas a las muestras

c. :onstruya las distribuciones muestrales de los cuatro estimadores.d. son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesose. :alcule las #arianas de todos los estimadores.8. Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableE. aa un análisis de su precisión. :uál de ellos es mejorE9. >aonar la respuesta y cuanti$car las anancias en precisión.


6ena en cuenta-


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Gonas?'Hi#el de

precipitaciónatmos8+rica ltBm2

!r(?)

G/ @4 /B@G2 14 /B0

G0 04 /B0G1 A4 /B@'2 sin tener en cuenta el orden

Estimadores Iedia %ritm+tica

Iedia;eom+tricaIedia

:uadráticaIedia %rmónica

b)

0B24

0B24

/B/

/B0

0B24

0B24

0B24

0B24

/B/

/B0

0B24

0B24Tena en &uenta


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0 /B01 0B244 0B24 0B24@4 0B24J4 /B/

01 2B0K /B012/KJB1@2 0B24

1A KJBKA 0B/4@0K1B@K0 0B24@K //B0K /B/

0/A0B/ /B01J

/22B2A/ 0B244/4/B/42 0B24@42AKB@K@ 0B24@0@KB2A/ 0B24J4@/KBAJ/ /B/

01 2BJ /B014 0B24

10 BA 0B24

1A 0B240 /B0 0B24@A 1BJ /B/

c) :onstruya las distribuciones muestrales de los cuatroestimadores.

d.son insesadosE, en el caso que no lo sean, calculelos sesosSeso del estimador del 'ar;metro

Se requiere entonces calcular y para poder 9allar el seso.

@2F /G1

@*

!rimero se calcula el parámetro que se pretende estimar, dado que seconoce la in8ormación de la población.

2H 3GF

23 JG-/3

2J -HHG/-

21 2-G33

stimador

/,/@@J

L4,K1J

0,/10

L2,K2/2

stimador

/,/@@J

L4,K1J

0,/10

L2,K2/2


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8.Se puede asumir que el seso de los estimadores esdespreciableE

Contri(u&i%n del seso 9 la des4ia&i%na

n la práctica se considera que el seso no es in


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9. >aonar la respuesta y cuanti$car las anancias enprecisión.

stimadorstimador

stimadorstimador


//K,1J22 /,/@@J /24,A001/44,1/1/ L4,K1J /4/,02@/10,JJ/@ 0,/10 /0,@@1

AK, L2,K2/2 KA,4001

//K,1J22 /,/@@J /24,A001/44,1/1/ L4,K1J /4/,02@/10,JJ/@ 0,/10 /0,@@1

AK, L2,K2/2 KA,4001

20,2@N0,0@N

@,JNL

20,2@N0,0@N

@,JNL

l uso de la media %>IOHP:% mejora en un QQQQQQQN la estimación conrespecto al estimador QQQQQQQQQQQQQQQ

:on estos resultados, sepuede concluir que elestimador )ue'resenta me+or

're&isi%n es la mediaarm%ni&a, dado que esel estimador &onmenor error&uadr;ti&o medio.


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2. !ara la población consideramos el siuiente proceso de selección de

muestras de tama"o 0. Se selecciona un entero al aar en el conjunto ysiendo ese nMmero se 8orma la muestra . :onsiderando la #ariable se pidela distribución, esperana y #ariana de los estimadores y .

a. speci$car el espacio muestral de$nido por este procedimiento demuestreo y :alcular las probabilidades asociadas a las muestras

a. :onstruya las distribuciones muestrales de los dos estimadores.b. son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesosc. :alcule las #arianas de todos los estimadores.d. Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableEe. aa un análisis de su precisión. :uál de ellos es mejorE8. >aonar la respuesta y cuanti$car las anancias en precisión.



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EERCICIOS0. n una población de H'/4 unidades se encuentran estas 8ormando

cuatro subconjuntos . 7os #alores de una caracter&stica ? medida sobre

los elementos de la población se presentan en la tabla adjunta-


/, 2,0

1, @ K, @/ 2, 2,

/, 2,0

1, @ K, @/ 2, 2,

Se considera un procedimiento de muestreo que consiste en eleir cadasubconjunto con probabilidades proporcionales a sus tama"os. Se considera elestimador ' media de los subconjuntos, para estimar la media poblacional, y seconsidera el estimador ' total de los subconjuntos, para estimar el totalpoblacional. Se pide-a) speci$car el espacio muestral relati#o a este procedimiento de muestreo y

las probabilidades asociadas a las muestras. allar tambi+n las distribucionesde probabilidad en el muestreo de los estimadores y

b) son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesosc) :alcule las #arianas de todos los estimadores.d) Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableEe) Ru+ estimación es mejorE8) :uanti$car la anancia en precisión. >aonar la respuesta


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EERCICIOS

1. !ara la población consideramos el siuiente proceso de selección de

muestras de tama"o 0. De una urna con tres bolas numeradas del / al 0 seeCtraen al aar y sin reposición 2 bolas. % continuación de otra urna con dosbolas numeradas con el 1 y el se eCtrae una bola.

:onsideramos los estimadores por analo&a suma de los sub&ndices deunidades de las muestras para estimar la caracter&stica poblacional suma de lossub&ndices de las unidades de la población y analo&a ' media de lossub&ndices de unidades de las muestras para estimar la caracter&sticapoblacional 'media de los sub&ndices de las unidades de la población. Se pide-a. spacio muestral asociado a este eCperimento de muestreo y probabilidades

de las muestras.b. allar tambi+n las distribuciones de probabilidad en el muestreo de los

estimadores y

c. son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesosd. :alcule las #arianas de todos los estimadores.e. Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableE8. Ru+ estimación es mejorE. :uanti$car la anancia en precisión. >aonar la respuesta



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EERCICIOS

. n un población con unidades la #ariable medida sobre cada unidad toma

los #alores . Se considera un proceso de muestreo sin reposición conprobabilidades iniciales de selección y tama"o muestral sin tener encuenta el orden de colocación de las unidades en las muestras. Se pide-

Sean los estimadores , , . Si con estimamos el total poblacional, con el menor#alor de la población y con G la media poblacional, se pide-

a. spacio muestral asociado a este eCperimento de muestreo y probabilidadesde las muestras.

b. allar tambi+n las distribuciones de probabilidad en el muestreo de losestimadores

c. son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesosd. :alcule las #arianas de todos los estimadores.

e. Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableE8. Ru+ estimación es mejorE. :uanti$car la anancia en precisión. >aonar la respuesta



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ESTIMACI7" POR I"TER


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O(ser4a&i%n!n este caso no se puede aseurar con eCactitud que el inter#alo cubra acon probabilidad pero en la mayor&a de los casos toma la 8orma de unasuma de #ariables normales, con lo que podrá in8erirse su normalidad.


Si realmente es dudoso que entonces se puede utiliar la distribución tLstudent con rados de libertad para el cálculo del inter#alo. n este caso

queda-

7a distribución tLStudent es una distribución de probabilidad que sure delproblema de estimar la media de una 'o(la&i%n normalmentedistri(uida &uando el tamaño de la muestra es 'e)ueño

I"TERADO!

Caso -! La distri(u&i%n del estimador es normal

!ara un ni#el de con$ana el inter#alo de con$ana del parámetro estádado por-

Dado que es usual que no se conoca debido a que en su cálculointer#ienen datos poblacionales no conocidos, en su luar se utilia

Í


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Distribución t - Student


Suponamos que son #ariables aleatorias independientes distribuidasnormalmente con media y #ariana .

Sea . ntonces el cociente siue una distribución normal con media 4 y#ariana /.

qu+ pasa si no es conocidaE (!reunta que 8ormuló . S. ;osset)

. S. ;osset demostró que la 8unción de densidad de es

7a distribución depende de , no de ni de . es denominado radosde libertad.

1,,1

2.

2

1

)(2

1

2

−=∈

+

Γ

+

Γ =

+

−n Rt

t t f ν

ν ν νπ

ν ν

( ) ∫ ∞ −−=Γ0

1 dxe xn xn

Í


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/. t es una #ariable aleatoria continua

2. !ara cada tama"o de muestra posible, eCiste unadistribución t. TCiste una distribución t para cada uno delos posibles rados de libertadU

0. 7a distribución t es sim+trica con respecto a la media, con

la condición que a mayor tama"o de muestra (mayornMmero de rados de libertad) tiende a ser como lanormal.

1. 6eóricamente, la #ariable t toma #alores desde L∝ a V∝

. 7a distribución t es una distribución de probabilidadcontinua, por lo tanto el área bajo la cur#a es iual a /.

@. 7a media de la distribución t está dada por para / y la#ariana está dada por


Í


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C S ÍS C


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Distribución t - Student I"#ERE"CIA ESTADÍSTICA


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33/111

α

Grados de

Libertad

0,25

0,5

0,10

0,2

0,05

0,1

0,025

0,05

0,01

0,02

0,005

0,01

0,0025

0,005

0,001

0,002

0,0005

0.001

1c

2c

1

2

3..

..

n -1. . .

n

. . . . . .

.

.

.

.

.

.

• Valor t

Para (n-1) grados de libertad y . α=5% y 2,

α=2,5% y 1

Tabla de Valores t





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O(ser4a&iones./. ste inter#alo suele ser más anc9o que el obtenido cuando la

distribución de es normal. A medida )ue se ale+a de lanormalidad, la anc9ura de este inter#alo es muc9o mayor respecto delobtenido para normalidad.

2. Se sabe que Tuna estima&i%n 'or es me+or &uanto m;s redu&idosea el U de a9& que la propiedad de normalidad sea muy deseable, puesen este caso los inter#alos obtenidos son muy estrec9os, lo que implicauna buena estimación por inter#alos.


a distri(u&i%n del estimador no siue una distri(u&i%n normal

Desiualdad de 6c9ebys9e#

l inter#alo de con$ana para el ni#el del () de con$ana en este casoqueda-



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I"#LUE"CIA DEL SES>O E" LOS I"TERADOS

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

Dada una población y en ella una variable X que se distribuye decualquier or!a uncional" Nor!al# No nor!al o Desconocida con

!edia y varian$a % # la distribución del esti!ador a partir detodas las posibles !uestras de ta!a&o 'rande (n)*+, de esta población estar- distribuida en or!a apro.i!ada!ente nor!al/

Si es sesado para entonces . !or teorema del 7&mite :entral y para un

tama"o de muestra lo su$cientemente rande se cumple que

!or lo tanto para un ni#el de con$ana el se calcula mediante

"otar )ue- es un inter#alo no centrado en y desplaado en la cantidadrespecto del inter#alo sin seso, que debe centrarse situándonos en la

peor de las circunstancias.7a presencia de seso conduce a una estimación por menos precisa.7a presencia del seso oriina que el para basado en el estimador ycentrado en tena una lonitud superior al inter#alo cuando no 9ayseso.



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"ORMALIDAD DE LOS ESTIMADORES

/. :omo la distribución normal es continua, en 'o(la&iones 5nitas no es'osi(le en rior a(lar de normalidad* sin embaro, se asume el

su'uesto de normalidad cuando la distri(u&i%n de =re&uen&ias dela 4aria(le N medida so(re los elementos de la 'o(la&i%n sea+usta a la distri(u&i%n normal.

2. Si un estimador está 8ormado por una suma o combinación lineal de lospara una población de base normal, tendrá distribución normal en el

muestreo porque una &om(ina&i%n lineal de normales es normal.

1! Si la distri(u&i%n de la 'o(la&i%n no es normal, sen el ladistri(u&i%n de estimadores lineales &on4ere a la distri(u&i%nnormal &uando . s importante tener en cuenta que &uanto m;sale+ada se en&uentre la 'o(la&i%n (ase de la distri(u&i%n

normal, ma9or ser; el tamaño de la muestra re)uerido 'ara )ueesta sea re'resentati4a.

1. !ara comprobar la 9ipótesis de normalidad de los #alores de ? en lapoblación base puede utiliarse cualquier contraste no param+tricocomo los de Wolmooro#LSmirno#, S9apiroLilXs, asimetr&a y curtosis,

etc. (sto queda pendiente 9asta que se #ea !. de ipótesis)



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EERCICIOS

/. :on base en el ejercicio anterior sobre la #ariable ?'ni#el de

precipitación atmos8+rica , a la )ue su'ondremos de a+uste normal,considerando los estimadores alternati#os- media aritm+tica, mediaeom+trica, media cuadrática y media armónica. allar inter#alos decon$ana para la media sen los &uatro estimadores (asados enla muestra de ma9or 'ro(a(ilidad para un ni#el de con$ana delKJN.




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2. !ara la población consideramos el siuiente proceso de selección demuestras de tama"o 0. Se selecciona un entero al aar en el conjunto y

siendo ese nMmero se 8orma la muestra . :onsiderando la #ariable se pidela distribución, esperana y #ariana de los estimadores y . :uál de losdos estimadores es más precisoE >ealiar estimaciones por inter#alos alKN basadas en las muestras de mayor #alor de los estimadores einterpretar los resultados. Supona que la #ariable en la población es deajuste normal.

a. speci$car el espacio muestral de$nido por este procedimiento demuestreo y :alcular las probabilidades asociadas a las muestrasb. :onstruya las distribuciones muestrales de los dos estimadores.c. son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesosd. :alcule las #arianas de todos los estimadores.e. Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableE

8. aa un análisis de su precisión. :uál de ellos es mejorE. >aonar la respuesta y cuanti$car las anancias en precisión.9. allar un inter#alo de con$ana para al ni#el del KN basado en

muestra de mayor #alor del estimador. allar tambi+n un inter#alo decon$ana del KN para basado en la muestra de mayor máCimo.Supona que la #ariable en la población es de ajuste normal.




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EERCICIOS0. n una población de H'/4 unidades se encuentran estas 8ormando

cuatro subconjuntos . 7os #alores de una caracter&stica ? medida sobrelos elementos de la población se presentan en la tabla adjunta-


/, 2,0

1, @ K, @/ 2, 2,

/, 2,0

1, @ K, @/ 2, 2,Se considera un procedimiento de muestreo que consiste en eleir cada

subconjunto con probabilidades proporcionales a sus tama"os. Se considera elestimador ' media de los subconjuntos, para estimar la media poblacional, y se

considera el estimador ' total de los subconjuntos, para estimar el totalpoblacional. Se pide-a) speci$car el espacio muestral relati#o a este procedimiento de muestreo y

las probabilidades asociadas a las muestras. allar tambi+n las distribucionesde probabilidad en el muestreo de los estimadores y

b) son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesos

c) :alcule las #arianas de todos los estimadores.d) Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableEe) Ru+ estimación es mejorE8) :uanti$car la anancia en precisión. >aonar la respuesta) allar un inter#alo de con$ana para la media al ni#el del KN basado en el

subconjunto de mayor total. allar tambi+n un inter#alo de con$ana del

KAN para el total basado en el subconjunto de mayor media. Supona que la#ariable en la población es de ajuste normal.


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EERCICIOS

. n un población con unidades la #ariable medida sobre cada unidad toma

los #alores . Se considera un proceso de muestreo sin reposición conprobabilidades iniciales de selección y tama"o muestral sin tener encuenta el orden de colocación de las unidades en las muestras. Se pide-

Sean los estimadores , , . Si con estimamos el total poblacional, con el menor#alor de la población y con G la media poblacional, se pide-

a. spacio muestral asociado a este eCperimento de muestreo y probabilidadesde las muestras.b. allar tambi+n las distribuciones de probabilidad en el muestreo de los

estimadoresc. son insesadosE, en el caso que no lo sean, calcule los sesosd. :alcule las #arianas de todos los estimadores.

e. Se puede asumir que el seso de los estimadores es despreciableE8. Ru+ estimación es mejorE. :uanti$car la anancia en precisión. >aonar la respuesta9. allar inter#alos de con$ana para los estimadores , y basados en la

muestra de mayor probabilidad para un ni#el de con$ana del KJN.Supona que la #ariable en la población es de ajuste normal. aa unanálisis de los resultados.




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ESTIMADORES LI"EALES I"SES>ADOS E" MUESTREOALEATORIO SIMPLE SI" REPOSICI7"

C S S C

/. Si entonces el estimador será

2. Si entonces el estimador será0. Si entonces el estimador será1. Si entonces el estimador será


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EERCICIOS@. :onsidere una población $nita de @ elementos sobre los que se mide una

#ariable ?, obteniendo como resultado . Iediante muestreo aleatoriosimple se eCtraen muestras de tama"o 2. Se pide.a) :uántos elementos tiene el espacio muestralE speci$car tal

espacio y las probabilidades asociadas a las muestras.b) allar las distribuciones en el muestreo de los estimadores de la

media, del total, de la #ariana, as& como los estimadores de sus

#arianas.c) :ompruebe la insesade de los estimadores.d) Yeri$que que se cumple que ye) Yeri$que que el estimador ' 6otal muestral, no es insesado del

total poblacional .

8) allar inter#alos de con$ana del KJN para la media y el total en lapoblación tomando como re8erencia la muestra de mayor promediopara la media y la de menor total para el total.

) allar el tama"o de muestra necesario para que el error de muestreosea 2 al estimar la media de la población dado que se asume unacon$ana del KN

9) %suma que el muestreo se 9ace con reposición. >epita las partes a) a


Í


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EERCICIOS

J. :on el objeti#o del análisis de la di#isibilidad de un conjunto de nMmeros considerela población , . Iediante muestreo aleatorio simple se eCtraen muestras de

tama"o 2.a) :uántos elementos tiene el espacio muestralE speci$car tal espacio y las

probabilidades asociadas a las muestras.b) allar las distribuciones en el muestreo de los estimadores de la proporción de

nMmeros primos y del total de nMmeros primos, as& como de los estimadoresde sus #arianas.

c) :ompruebe la insesade de los estimadores.d) Yeri$que que se cumple que ye) Yeri$que que el estimador ' 6otal de nMmeros primos en las muestras, no es

insesado del total de clase poblacional %.8) allar inter#alos de con$ana del KN para el total y la proporción de

nMmeros primos de la población tomando como re8erencia las muestras cuyos

dos elementos son nMmeros no primos. %suma que la #ariable de inter+s en lapoblación no se ajusta a una distribución normal.

) allar el tama"o de muestra necesario para que el error de muestreo sea /B1al estimar la proporción de nMmeros primos de la población dado que seasume una con$ana del KJN


Í


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EERCICIOSA. De una población con 1 millones de 9abitantes se 9a obtenido una

muestra de /4444. n ella 124 se 9an clasi$cado como poblaciónacti#a, y de estos /2 se encuentran en situación de desempleo. Se pide-a) stimar la proporción de población acti#a.b) stimar el nMmero de personas acti#as que se encuentran en

situación de desempleo.c) :alcular los errores absoluto y relati#o de muestreo en ambas

estimaciones.d) Determine los inter#alos de con$ana tanto para la proporción de la

parte a) como para el total de la parte b) asumiendo un rieso del2,N

e) :uántas personas de todas las edades ser&a necesario incluir en una

muestra para estimar la proporción de acti#idad con un errorabsoluto del 2N y una probabilidad del KNE Supona que por elMltimo censo se sabe que en el pa&s 9ay un 0KN de acti#os.

K. n una reión con #i#iendas determinar el tama"o de muestra necesariopara que, con un ni#el de con$ana del KN, la estimación de la

proporción de #i#iendas que no tienen ser#icio de aua tratada no di$era




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!i"os de #rrores!i"os de #rrores

%8ectan la precisión o reproducibilidad del

eCperimento

$iste&ti'os o

eterinados

$iste&ti'os o

eterinados

rasos o

#s"rios

rasos o

#s"rios

ntre más alta sea la #ariabilidad, mayor

será el error aleatorio y por lo tanto menorprecisión

!ro#ocan que todos o la

mayor&a de los resultados sean

erróneos en el mismo sentido.

%8ectan la eCactitud* es decir,

la proCimidad al #alor

#erdadero

*leatorios o

+ndeterinados

*leatorios o

+ndeterinados

Prin&i'io >u8a Ho eCisten resultadoscuantitati#os #álidos si no #an acompa"ados dealuna estimación de los errores in9erentes aellos.

Ho se pueden eliminar. Se pueden

minimiar. Se e#alMan por medio de

m+todos estad&sticos.Los errores sistem;ti&os 9 aleatorios 'ueden o&urririnde'endientemente uno del otro!




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Error Sistem;ti&o %quel que se produce por descuido y por lo tantose presenta de iual modo (sentido y proporción) en todas lasmediciones realiadas. :ontrario al error aleatorio, no se anula.

6endencias subjeti#as del in#estiador. Sustituciones seMn criterio del in#estiador de unidades de lamuestra que 9ab&an sido eleidas al aar.

Pnsu$ciente obser#ación. Pnstrumentos de medición mal calibrados.

Iateriales para la medición no estándar. =bser#aciones malrealiadas.

Prote&&i%n m;s e=e&ti4a 5so de materiales de re8erencia. 5so de m+todos estándar.




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TEORIA DE ESTIMACI7"

ESTADÍSTICAProceso mediante el cual se intentadevelar o descubrir información sobre elcomportamiento de variables de interésa nivel poblacional a partir de lainformación proporcionada en talesvariables por una muestra. El proceso

de esti!ación supone la no presencia de errores siste!-ticos/



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ERROR MUESTRAL

5na #e que se tiene una estimación puntualdel parámetro poblacional, una preunta #álidaes- qu+ tan buena es la estimaciónE n

eneral no se conoce el #alor del parámetro Z(de otro modo para que estimarE), por lo quees imposible calcular eCactamente el errormuestral. l error de la

muestra esuna #ariable

aleatoria



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Seso 9


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I"SES>ADE DEL

ESTADÍSTICOSi el #alor esperado delestad&stico muestral esiual al parámetro

poblacional que seestudia, se dice que elestad&stico muestral esun estimador insesadodel parámetropoblacional.




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SES>ADE DELESTADÍSTICO

l seso de un estimador sesado quedaentonces de$nido como-


E#ICIE"CIA ?MenorI"#ERE"CIA ESTADÍSTICA


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E#ICIE"CIA ?Menor


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E#ICIE"CIA

!or lo tanto, en el caso de tener dosestimadores insesados y ,se pre8erirá aquelcuya des#iación estándar o error absoluto,

error relati#o y acuracidad sea menor(precisión más alta). %s&, en el muestreo deuna población normal, donde la media y lamediana poblacional son iuales, el error

estándar de la mediana se presentará mayorque el error estándar de la media. n #ista delo anterior, y con base en estos dos aspectos,la media se pre8erirá sobre la mediana.



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erramienta que permite, con base enla I"#ORMACI7" proporcionada poruna MUESTRA DE TAMAQO n sobre

una #ariable de naturalea cuantitati#ao cualitati#a, PROYECTAR elcomportamiento de la #ariable a laTOTALIDAD DE LA POBLACI7"

asumiendo para ello la PRESE"CIA DELA I"CERTIDUMBRE y 8acilitando as&

los procesos de TOMA DE

DECISIO"ES




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CRITERIOS

/. l procedimiento de in8erencia serela&iona &on 'ar;metros omedidas de la #ariable de inter+s enla población.

2. 7a #ariable de inter+s en la poblaciónde la cual suren los datos está

distri(uida normalmente.




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PROCEDIMIE"TOS ESTADÍSTICOS

DE I"#ERE"CIA-! Pro&edimientos Paramétri&os. Se asumeque la #ariable de inter+s en la poblaciónsiue un comportamiento Hormal

incluyendo para los cálculos parámetros omedidas de la población/! Pro&edimientos "o Paramétri&os o de

Li(re Distri(u&i%n.. Ho incluyen

parámetros o medidas de la población ensus cálculos. Se asume que la #ariable deinter+s en la población no siue uncomportamiento Hormal.




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TEORÍA DE I"#ERE"CIAESTADÍSTICA

-! Distri(u&iones Muestrales de Pro(a(ilidad.:onstituyen la base teórica de los procesos dein8erencia estad&stica

/! Estima&i%n Estad8sti&a 'or Inter4alos de

Con5an:a. !ermiten la proyección delcomportamiento de la #ariable en la población conla in8ormación que proporciona la muestra

1! Prue(a de i'%tesis. !rocedimiento alterno al

anterior que busca con$rmar que la e#idenciaproporcionada por la #ariable con la muestra aportaresultados estad&sticamente sini$cati#os que9ar&an atribuible lo obser#ado con la muestra a lapoblación.




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DI0TRI12CIONE0 M2E0TRALE0 DE3RO1A1ILIDAD

3O1LACI4N

$CUA"TASMUESTRAS

DI#ERE"TES SEPUEDE" OBTE"ER*

$CO" REPOSICI7"*

$SI" REPOSICI7"*

3O1LACI4N DEM2E0TRA0

• MEDIA 3O1LACIONAL DELA 5ARIA1LE EN LA02NIDADE0• 5ARIAN6A 7 DE05IACI4NE0T8NDAR 3O1LACIONAL DE LA5ARIA1LE EN LA0 2NIDADE0

• COM3ORTAMIENTO92NCIONAL DE LA 5ARIA1LE ENLA 3O1LACI4N

Eµ

σ

/NORMAL

DE0CONOCIDO

CONOCIDO NO NORMAL


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#ORMALIA"DO LA DISTRIBUCI7" DE MEDIASMUESTRALES


$"ngase na "obla'in de taao y en ella na /ariable 'antitati/a , "ara la

e se 'ono'en la edia *ritti'a () y la /ariana () y "ara la e s 4ora4n'ional "odra ser6 oral, ono'ida "ero no noral o des'ono'ida.

$i se deterinan todas las "osibles 7 estras de taao n6 71, 7

2, .......,7

78 y

"ara 'ada na de ellas se 'al'la s res"e'ti/a edia aritti'a6 , , 9 8 enton'es, se

'onstrye na ne/a /ariable denoinada :edias estrales; y a "artir de ella la

distrib'in de "robabilidad e lle/a s nobre.

#l 'o"ortaiento 4n'ional de esta distrib'in es a"ro


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#ORMALIA"DO LA DISTRIBUCI7" DEPROPORCIO"ES MUESTRALES

$"ngase na "obla'in de taao y en ella na /ariable 'alititati/a , "ara la

e se 'ono'en en na 'lasi4i'a'in * de la Variable s "ro"or'in () y s /ariana () y "ara la e s 4ora 4n'ional "odr ía ser6 ono'ida "ero no noral o

des'ono'ida.

$i se deterinan todas las "osibles 7 estras de taao n6 71, 7

2, .......,7

78 y

"ara 'ada na de ellas se 'al'la s res"e'ti/a "ro"ro'in en la 'lasi4i'a'in *6 , , 9

8 enton'es, se 'onstrye na ne/a /ariable denoinada :"ro"or'iones estrales;y a "artir de ella la distrib'in de "robabilidad e lle/a s nobre.

#l 'o"ortaiento 4n'ional de esta distrib'in es a"ro


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$PARA U6 LAS

DISTRIBUCIO"ES MUESTRALESDE PROBABILIDAD*3ARA LLE:AR A LA CONCL20I4N

DEL COM3ORTAMIENTO DE LA5ARIA1LE EN LA 3O1LACI4N0IN TENER ;2E O10ER5AR

TODA LA 3O1LACI4N



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A"ALISIS I"#ERE"CIAL DE U"A


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ESTIMADORES PU"TUALES

3ara la Media3oblacional

3ara la 3roporción3oblacional

3ara la 5arian$a3oblacional

3ara la Dierencia entre Medias3oblacionales3ara la Dierencia entre 3roporciones3oblacionales

3RINCI3IO DE ANALO:


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5na estimación por Pnter#alo permite 9acerin8erencias acerca de un población estimando el#alor de un parámetro desconocido usando uninter#alo.



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De acuerdo con el teorema del l8mite &entral, ladistribución de muestras de tama"o rande es

aproCimadamente normal, independientemente de ladistribución de la población de que procedan (uni8orme,binomial, poisson, normal, etc.), :onsecuentemente, y de a9&la rele#ancia del teorema, se podrá in8erir sobre la mediapoblacional sin necesidad de conocer la 8orma espec&$ca de su

distribución. sto aplica en particular para la distribución deproporciones muestrales.



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C2ANTITATI5A C2ALITATI5A

2NA3O1LACI4N

Muestreo A/ 0i!ple

Muestreo A/ Estrati=cado

Muestreo A/Con'lo!erados

Muestreo A/ 0i!ple

Muestreo A/Estrati=cado


E0TIMACI4N 3OR INTER5ALO0 DE CON9IAN6ADE LA MEDIA DE 2NA 5ARIA1LE CON

DI0TRI12CI4N NORMAL CON 1A0E EN 2NAM2E0TRA :RANDE (n)*+,

st x st

S

I Z x σ µ ˆ.ˆ ±= Pst st S

I Z p P σ ̂.ˆ ±=

x

S

I Z x σ µ ˆ.ˆ ±= P S

I Z p P σ ̂.ˆ ±=

c xc

S

I Z x σ µ ˆ.ˆ ±= PccS

I Z p P σ ̂.ˆ ±=

[ ]S I s

i N N µ µ τ ˆ.;ˆ.ˆ =

[ ]S I s

i N N µ µ τ ˆ.;ˆ.ˆ = [ ]S I

s

i P N P N A ˆ

.;ˆ

.ˆ

=

[ ]S I si P N P N A ˆ.;ˆ.ˆ =

S I si N N ˆ.;ˆ.ˆ S I

si P N P N A

ˆ.;ˆ.ˆ



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C2ANTITATI5A C2ALITATI5A

2NA3O1LACI4N

Muestreo A/ 0i!ple



Muestreo A/ 0i!ple



E0TIMACI4N 3OR INTER5ALO0 DE CON9IAN6A DE LAMEDIA DE 2NA 5ARIA1LE CON DI0TRI12CI4N NORMAL

CON 1A0E EN 2NA M2E0TRA 3E;2E>A (n?*+,

st x st

S

I t x σ µ ˆ.ˆ ±=

innnnl g −+++= 1321 ...... Pst st

S

I t p P σ ̂.ˆ ±=

innnnl g −+++= 1321 ......

x

S I t x ˆ.ˆ ± 1.. −= nl g P

S I t p P ˆ.ˆ

±

1.. −= nl g

c xc

S

I t x σ µ ˆ.ˆ ±=1.. −= nl g

Pcc S I t p P ˆ.ˆ

1.. −= nl g



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Ejemplo.

$"ongaos e "ara na /ariable ("or ee"lo :!ie"o ne'esario "ara realiar na

a'ti/idad;), se "retende >a'er na estia'in 'on base en na 'ierta estra detaao n tiliando n ni/el de 'on4iana del ?5% y n error del 3%. @A iere de'ir

estoB

Sol.

Aiere de'ir e se es"era e en el ?5% de las "osibles estras (en "arti'lar, 'on

la estra e se est& trabaando) el /erdadero tie"o ("roedio) de toda la"obla'in de aellos e la realian, se "resente 'on na di4eren'ia a"ro


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EEMPLO

2. l propietario de la estación de asolina TSan !edroU desea determinar laproporción de clientes que utilian dinero plástico (tarjeta de cr+dito od+bito) para paar la asolina. ntre#istó a /44 clientes mediante muestreo

aleatorio sistemático y descubre que A4 paaron con este medio.a):alcule el #alor de la proporción de la población.b):onstruya el P: de KN de la proporción poblacional.

/. 5n 8abricante de llantas desea in#estiar la durabilidad de sus

productos. 5na muestra de /4 llantas que recorrieron 4.444millas re#eló una media muestral de 4,02 puladas de cuerdarestante (lo que queda de la llanta despu+s del uso) con unades#iación estándar de 4,4K puladas. :onstruya un inter#alode con$ana de KN de la media poblacional. Ser&a raonable

que el 8abricante concluyera que despu+s de 4.444 millas lacantidad media poblacional de cuerda restante es de 4,04puladasE %sumir que la distribución es normal



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0. 7os siuientes son datos de conducti#idad t+rmica de cierto tipo de9ierro (en \65B9rL8tL]F)-

1/.@4 1/.1A 12.01 1/.K 1/.A@

12./A 1/.J2 12.2@ 1/.A/ 12.41allar un inter#alo de con$ana del K N y uno del KKN para la media.Se supone que la población tiene una distribución Hormal con '4.0

1. Se toma una muestra de 1K obser#aciones de una población normalcon una des#iación estándar de /4. la media de la muestra es de 4.

determine el inter#alo de con$ana de KKN de la media poblacional([).

. 5na muestra al aar de 4 casas en un sector indica que /4 de ellasestaban desocupadas. stime la proporción de casas desocupadas enel sector con un ni#el de con$ana del KKN. >epita el proceso si sesabe que en total 9ay 444 casas.

@. 5na in#estiación e8ectuada a 144 8amilias de clase media re#eló queen la realiación de $estas 8amiliares, un @2N pre8er&a el auardiente acualquier otra clase de licor. stime utiliando un ni#el del KN laproporción de 8amilias en la población que pre$ere auardiente en sus$estas.


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l departamento de control de calidad de una empresa 8abricantede pintura desea establecer el tiempo de secado promedio de sunue#a pintura de Tsecado rápidoU. !ara ello se instruye a su

personal para que pinte 1K tableros con pintura de 1K latasdistintas de / alón de la nue#a pintura. 7os resultados se dan acontinuación. se considerar&a #álido anunciar que seca en 24minutosE



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EERCICIOS PARA CALCULAR U"


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#ORMALIA"DO LA DISTRIBUCI7" DEDI#ERE"CIAS E"TRE MEDIAS MUESTRALES

$"ngase dos "obla'iones de taaos 1 y 2 y en ellas na /ariable 'antitati/a

'yo 'o"ortaiento 4n'ional es noral, "ara la e se 'ono'en ss res"e'ti/as

edias aritti'as (µ1 y µ2 ) y /arianas (σ21 y σ22).

$i se e


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si

:omo es un estimador puntual de y es un estimador puntual de , un estimador puntual dela di8erencia de las medias poblacionales es

( ) 2121 x x −=− µ µ



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EEMPLOasta 9ace poco tiempo, los ranjeros suecos 8umiaban el A4N de todos

los cereales sembrados con un 8unicida que conten&a metilo mercurio. Selle#ó a cabo un estudio para comparar el ni#el medio de mercurio en los9ue#os producidos en Suecia con el de los 9ue#os producidos en%lemania, dónde no se utilia el metilo de mercurio. Se seleccionó unamuestra aleatoria de 9ue#os producidos en Suecia y otra muestraaleatoria de 9ue#os producidos en %lemania. 7os resultados son los

siuientes- Sue&ia AlemaniaSue&ia Alemania

:on base en los datos reunidos, construya una estimación puntual de la

di8erencia en los ni#eles medios de mercurio en los 9ue#os de los dospa&ses.



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O(ser4a&i%n! 7a estimación por inter#alos de con$ana de la di8erencia secalcula mediante la eCpresión

/. l rendimiento medio de los autos de la marca % es de 24 WmBal. :on

una des#iación estándar de @ WmBal. 7as ci8ras comparables para losautos de la marca \ son 2 y , WmBal. Se supone que el rendimiento decada una de ambas está normalmente distribuido. :uál es la probabilidadque al realiar una comparación el rendimiento medio para 14 autos de lamarca % sea mayor que el de 0K autos de la marca \E

EEMPLO

2. l departamento de reistro y control acad+mico de una uni#ersidad desea

estimar la di8erencia entre las medias de las cali$caciones de estudiantesde dos cursos paralelos de una asinatura. Se tomaron dos muestrasaleatorias e independientes presentando los siuientes resultados- n/'@, ,

, n2'JA, , . 5tiliando un ni#el de con$ana del KN estime la di8erencia en lasmedias de las cali$caciones que se obtienen entre los cursos.

)(21

)( 2121ˆ)(ˆ

x x

S

I x x Z x x

−− ×±−= σ µ



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/. %l tomar dos muestras de /44 bombillas cada una, de dos marcas

di8erentes, se encontró que el tiempo medio de duración en la primera8ue de /J4 9oras y en la seunda de /A4 9oras, con #arianas de/2/44 9oras2 y A/44 9oras2 respecti#amente. 5tiliando un ni#el decon$ana del K4N estime la di8erencia media en los tiempos deduración de los dos tipos de bombillas.

2. Se 9io una entre#ista a 02 subdirectores y 0/ analistas de mercado de

una ran empresa. Se les preuntó a cada uno cuál considera ser elporcentaje óptimo de cobertura de mercado para su compa"&a. Seobtu#ieron las siuientes respuestas -

Subdirectores - 2@ _ 2J _ 2@, _ 2J,0 _ 2A L 2 _ 0/,0 _ 2J,A _ 24,0 _21,2 _ 22, _ 2@,0 _ 21 _ 2 _ 20, _ 2J _ 04 _ 20, _ 20, _ 21 _ 20 _

2 _ 21 _ 2@ _ 2@, _ 2K _ 2J _ 2A _ 2@,JL 20,@ _ 20,J L 2A%nalistas - 20,/ _ 2A,@ _ 21,2 _ 20, _ 2@,0 _ 2K _ 04 _ 02 _ 04, _04 _ 02 _ 0/, _ 02 _ 04 _ 2A _ 2@ _ 2 _2A _ 2K _ 2A _ 2J _ 2@ _ 2, _2@, _ 2A _ 2J, _ 04 _ 0/ _ 04, _ 04, L 2A5tiliando un ni#el de con$ana del KAN estime la di8erencia en laopinión de cobertura entre subdirectores y analistas.

EEMPLO

4



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DO03O1LACIONE0

E0TIMACI4N 3OR INTER5ALO0 DE CON9IAN6A DELCOM3ORTAMIENTO DE 2NA 5ARIA1LE DE NAT2RALE6A

C2ANTITATI5A ;2E 0E A@20TA A 2N COM3ORTAMIENTO NORMAL

EN DO0 3O1LACI4NE0 CON 1A0E EN M2E0TRA0 3E;2E>A0(n≤*+ y n%≤*+,

SUPUESTOS

Muestreo A. Simple

:uando se desconocen las #arianas de laspoblaciones

Cochran

( )?;? 222

1 == σ σ

( )222

1 σ σ = ( )2

2

2

1 σ σ ≠

2

)1()1(

21

2

22

2

112

−+×−+×−

=nn

sn sn s p

2

2

1

2

)( 21 n

s

n

s p p

x x +=−σ

)(21

)( 2121ˆ)(ˆ

x x

S

I x x t x x

−− ×±−= σ µ

2

2

2

1

2

1

22

2

21

1

2

1 )()(

n s

n s

t n

st n

s

t

+

+=′

)(21

)( 2121ˆ)(ˆ

x x

S

I x x t x x

−− ×′±−= σ µ

I"#ERE"CIA ESTADÍSTICA2

ˆ)(ˆS ±


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:álculo derados delibertad

propuestopor

Iontomery, pá.0K2

Es generalmente aceptado que existen dierencias ligadas al sexo relacionadas con la

respuesta a la tensi!n producida por el calor. "n grupo de 12 #om$res % 1& mu'eres ue

o$serado durante el desarrollo de un programa exigente de e'ercicios de toda clase % con

dierentes tipos de aparatos. El medio am$iente en el que se desarroll! era caluroso % las

condiciones disponi$les de agua eran mínimas para cada participante. ntes de iniciar la

prue$a % al terminarla los participantes ueron pesados. *e o$tuieron los siguientes

porcenta'es de p+rdida de peso corporal.

om$res -u'eres

2,& 3,0 3,2 2,& 3,& /,2 2,0 2,1 3,1 2,& 2,3 3,0 3,& 1, 2, 3,1 /,2 2, /,1 2,3 2, 2, 2,/ 2,1 3,1 1,& 3,2 /,1

"tiliando un niel de coniana del 4&5 % asumiendo arianas iguales en la aria$le

o$serada en las dos po$laciones, estime la dierencia en p+rdida porcentual de peso

corporal entre #om$res % mu'eres.

EEMPLO

l cálculo de los rados de libertad se redondea9acia abajo al entero más cercano

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

+

++

+

=

nn

s

nn

s

n s

n s

gl ( )222

1 σ σ ≠)(

21)( 2121

ˆ)(ˆ x x

S

I x x t x x

−− ×±−= σ µ


86/111


87/111

EEMPLOI"#ERE"CIA ESTADÍSTICA


88/111

/. 5na muestra de 04 personas en una ciudad % re#eló que 24 de ellospre$eren cierta marca de c9ocolate y otra muestra de 144 personas en la

ciudad \ re#eló que 2K4 de ellos pre$eren la misma marca. 5tiliando unni#el de con$ana del KAN, estime la di8erencia en las proporciones de laspersonas que pre$eren dic9a marca de c9ocolate en las dos ciudades.

EEMPLO

2. \asándose en su eCperiencia, los $scales de transito de \ucaramana se9an dado cuenta que el /N de los automó#iles presentados a lainspección anual no pasan este requisito. :uál es la probabilidad de queen una muestra de 244 automó#iles eleidos al aar ...a. ntre 2 y 0 no pasen la inspecciónEb. !or lo menos 14 no pasen la inspecciónEc. % lo más el /4N no pasen la inspecciónE

0. %l in#estiar la imaen de calidad de cierta marca de reloj de pulso, seseleccionó una muestra de /24 pro8esionales y A4 talleres de reparación

de reloj de pulso y se obtu#o la siuiente in8ormación -OPI"IO"ES PRO#ESIO"ALES

TALLERES

La mar&a es (uena! Rara 4e:su=re des&om'ostura en los

'rimeros años de uso!

@4

1A

La mar&a no es (uena! Sedes&om'one =re&uentementedesde el 'rimer año de uso!

@4

02

TOTAL /24 A4

con un ni#el de con$ana del KJN ycon la in8ormación proporcionada porla muestra, estime la di8erencia enlas proporciones entre pro8esionalesy 6alleres que opinan que la marcaes buena.


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Distribución Ji – Cuadrado



90/111

!ara especi$car un #alor de se utilia la tabla de la c9i cuadrado o lacomputadora. Se requiere conocer el nMmero de rados de libertad y elni#el de sini$cación. 7a tabla muestra solo las áreas en el eCtremoderec9o, eCtremo que resulta el más empleado.

Distribución Ji – Cuadrado


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A sini$ca el área deleCtremo derec9o paralos #alores de χ2 queaparecen en la tabla.g.l. sini$ca elnMmero de rados delibertad.



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Suponamos que son una muestra aleatoria de tama"o n de #ariables

aleatorias independientes distribuidas normalmente con media y#ariana . 7a #ariable aleatoria se distribuye como una #ariable `iLcuadrado con nL/ rados de libertad. Si se multiplica y di#ide el numeradorde esta eCpresión por , la #ariable aleatoria se presenta como

TEOREMA

PROPIEDADES

1. χ2 es una #ariable aleatoria.

2. !ara cada tama"o de muestra corresponde una distribución χ2 espec&$ca. 7o anterior podr&a interpretarse tambi+n como que ladistribución χ2 depende sólo de los rados de libertad.

0. 7a distribución χ2 es sesada a la derec9a, con la condición que amayor tama"o de muestra (mayor nMmero de rados de libertad) se9ará menos sesada y tiende a la normalidad y es unimodal.

1. 7a media de la distribución χ2 está dada por los rados de libertad. (µ 'W)* as& como la #ariana está determinada por el doble de los rados delibertad. (σ2 ' 2W)



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!or el 6eorema anterior, para un ni#el de con$ana /Lα se #eri$ca queeCisten y tales que

7o anterior suiere que los l&mites del inter#alo de con$ana para la#ariana de la población están dados por

:omo la distribución / es sesada a la derec9a, el estimador σ/ no estáen el centro del inter#alo como en los otros casos ya estudiados.Si se etrae la ra8: &uadrada a &ada l8mite de la estima&i%n. seo(tiene una estima&i%n de la des4ia&i%n 'o(la&ional!

2

2

22 )1(

s I

n s χ

σ χ <

−×<

22

2

2

1

)1(

1

I s n s χ

σ

χ <

−×<

2

22

2

2 )1()1(

I s

n sn s

χ

σ

χ

−×


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/. 5n especialista en Salud =cupacional 9a #enido obser#ando los8actores de rieso a los cuales se encuentra sometido un cierto rupo

de trabajadores y 9a reunido in8ormación sobre la accidentalidad diariaque se presenta. a asumido que los #alores del nMmero de accidentespor d&a siuen una distribución normal. %l tomar una muestra aleatoriade 2 d&as obser#a que el nMmero medio de accidentes por d&a es de2. con una des#iación estándar de /,K. stime utiliando un ni#el decon$ana del KN el #alor de σ2.

2. l contenido de aMcar del jarabe en latas de duranos en alm&bar tieneuna distribución normal. Se quiere 9acer a$rmaciones acerca de ladispersión de este. 5na muestra de /4 latas dio como resultado unades#iación estándar de 1,A m. 5sando un ni#el de con$ana del KNestime la #ariana del contenido de aMcar del jarabe.

0. 5na máquina llenadora 9a ejecutado su operación con una #ariana de4.A0 rms2. Si se toma una muestra de / unidades, cuál es laprobabilidad de tener una #ariana-a. superior a /.21K rms2Eb. in8erior a 4.0AK@ rms2E

EEMPLO

7ibro- Pntroducción a la probabilidad y estad&stica. illiam Ienden9all,>obert `. \ea#er, \arbara I. \ea#er. :áp. /4. !ás. 1/J a 121.

EERCICIOS

Distribución F



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Distribución F

7a distribución es una distribución de probabilidad continua. 6ambi+n se laconoce como distribución de Snedecor (por ;eore Snedecor) o como

distribución de Fis9erLSnedecor.

Si 5 y Y son dos 4aria(les aleatorias inde'endientes que tienendistri(u&i%n Ci Cuadrado con m y n rados de libertad,respecti#amente, entonces, la #ariable aleatoria tiene 8unción dedistribución

#un&i%n dedensidad

m- de rados de libertad delnumerador*

n- de rados de libertad del

denominador

( ) 0,1..

2.

2

.2 2.12

2

>

+

Γ

Γ

+Γ

=

+−

−

xn

mx x

nm

n

mnm

x f

nmm

m

( ) ∫ ∞

−−=Γ 0

1

dX e X n X n

Propiedades de la distribución F



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5na distribución se encuentra sesada a la derec9a.

% medida que crece el nMmero de rados de libertad del numerador y deldenominador, tiende a ser más concentrada (reduce la dispersión) y porlo tanto más puntiauda, as& como tambi+n sim+trica

7a distribución es una distribución de probabilidad continua, por lo tanto,el área bajo la cur#a es iual a /.

n 8orma similar que la distribución t y la distribución la distribución esuna 8amilia de distribuciones, sólo que para 9acerse espec&$ca se requieretener de$nidos-• Hi#el de sini$cación α• ;rados de libertad del numerador• ;rados de libertad para el denominador de la raón de #arianas

Propiedades de la distribución F

2)( −==

n

n X E

µ )/()2(

)2(2

)( 2

22

−−

−+

== nnm

nmn

X V σ


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>ra

Yalores de Fpara las


98/111

ados

de

L i

(ertad de

l

denomin

a

distribuciones Fcon N y /Ndel área en eleCtremoderec9o. lnMmerosuperiorcorresponde alni#el del N, elin8erior al ni#el

del /N.

Distribución F



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5na tabla como la anterior para la distribución F resulta muypeque"a para las posibilidades que pueden darse* por tal

raón, una buena alternati#a es utiliar las erramientas deCcel.E+em'lo -!

Si se tiene un ni#el α del N, rados de libertad para el numerador de / yrados de libertad para el denominador de /A, qu+ #alor 9 se determinaE.Sol/

SeMn los datos y acudiendo a la tabla se tiene que 9 ' 2,2J. :on estenMmero se interpreta que la probabilidad de obser#ar un #alor F iual omayor a 2,2J es de 4.4.O(ser4a&i%n! :onociendo el #alor F para el N se puede calcular el #alorF para el KN con /A rados de libertad en el numerador y / rados delibertad en el denominador y #ice#ersa. !ara esto se 9ace-

( ) ( )1&,15,4&11,1&5,&

=======

r denominado gl numerador gl F r denominado gl numerador gl F

α

α

Distribución F



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E+em'lo /! Si se tiene un ni#el de sini$cación α del KN, rados de libertad para elnumerador de /A y rados de libertad para el denominador de /, qu+#alor 9 se determinaE.Sol!

E+em'los -ncontrar el #alor de F, en cada uno de los siuientes casos-

a. l área a la derec9a de F, es de 4.2 con m'1 y n'K.

b. l área a la iquierda de F, es de 4.K con m'/ y n'/4.

c. l área a la derec9a de F es de 4.K con con m'@ y n'A.

d. l área a la iquierda de F, es de 4./4 con con m'21 y n'21.

( )( )1,1&5,&

11&,15,4&

===

====

r denominado gl numerador gl F r denominado gl numerador gl F

α

α //0&.02.2

1==

Distribución F y la coparación por cociente de las !arian"as



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Distribución F y la coparación por cociente de las !arian"as

de dos poblaciones distribuidas noralente

Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de medición con la deotro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro.

Intuitivamente, podríamos comparar en una variable las varianzas de dos poblacionesdiferentes o en la misma población observada dos veces, y , utilizando la razón de lasvarianzas muestrales con tamaños de muestra y no necesariamente iguales.Si (con mayor que ) es casi igual a , se tendr! aparente evidencia para indicar "ue

y no son significativamente diferentes. #or otra parte, un valor muy grande o muype"ueño para , proporcionar! evidencia de una diferencia en las varianzas de laspoblaciones.

$n la prueba t para la diferencia entre medias para grupos independientes, se supone "uelas varianzas son iguales, sin embargo, si los tamaños de muestras son iguales se puedeprescindir de tal condición. Si los tamaños de las muestras son diferentes, entonces antesde verificar la prueba t deber! verificarse el comportamiento de las varianzas.

Inter!alo de con#ian"a para la coparación por cociente de las



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$n particular, si convenientemente se asume una distribución con grados de libertad enel numerador y grados de libertad en el denominador, se puede encontrar entonces y tal"ue , así%

y &aciendo operaciones se obtiene "ue

Suponamos que sobre una misma #ariable ? se tienen dos poblaciones

normales independientes con medias y y #arianas respecti#as y . Si dela población uno se obtiene una muestras de tama"o cuya #ariana es yde la población dos una muestra de tama"o cuya #ariana es entonces,dado el 9ec9o que y que entonces el cociente tiene una distribucióncon rados de libertad en el numerador y rados de libertad en eldenominador.

!arian"as de dos poblaciones distribuidas noralente



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EBe!plo5n 8abricante de automó#iles pone a prueba dos nue#os m+todos deensamblaje de motores respecto al tiempo (minutos). Supona que la #ariable

tiempo distribuye en 8orma normal y que los dos m+todos son independientes.7os siuientes son los resultados obser#ados-, * , . construya un inter#alo decon$ana del K4N para la raón de #arianas.

0oluci ón

4,/J ' /,4J/,AAJ1 ' 0,K/



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EBe!plo5na compa"&a 8abrica propulsores para uso en motores de turbina. %l inenierode manu8actura le ustar&a seleccionar el proceso que tena la menor

#ariabilidad en la ruosidad de la super$cie. !ara ello toma una muestra departes del primer proceso, la cual tiene una des#iación estándar de , y unamuestra aleatoria de partes del seundo proceso la cual tiene una des#iaciónestándar de . construya un inter#alo de con$ana del K4N para la raón de#arianas. Supona que la ruosidad de la super$cie distribuye en 8ormanormal y que los dos procesos son independientes.

Yeri$quen esto y 9ay queterminar.



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7ibro- Pntroducción a la probabilidad y estad&stica. illiam Ienden9all,>obert `. \ea#er, \arbara I. \ea#er. :áp. /4. pás. 121 a 102.

!robabilidad y estad&stica aplicadas a la inenier&a. Iontomery Doulasy >uner ;eore. !á. 01 a 01J y 1/4 a 1/J

7ibro- stad&stica para Pnenieros y cient&$cos. illiam Ha#idi. jerciciossección ,J pá. 01@ a 04.



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107/111

El o$'etio de los planteamientos por pare'as, es controlar actores extra:os que pudieran

inluir en el resultado; luego, cualquier dierencia ocasionada por el tratamiento no ser

enmascarada por ariaciones entre los su'etos mismos.

*i se asume la siguiente notaci!n6

i6


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n una uni#ersidad se seleccionaron /1 pares de estudiantes de tercersemestre sobre la base de similitud de inteliencia y preparación básica. 5n

estudiante de cada par 8ue capacitado para e8ectuar un proceso con unm+todo y el otro con otro m+todo di8erente. Despu+s del per&odo deaprendiaje, los estudiantes 8ueron sometidos a una prueba que arrojó lossiuientes resultados asinados en una escala de 4.4 a .4.

Be!plo

!%>S !/ !2 !0 !1 ! !@ !J !A !K !/4 !// !/2 !/0 !/1I6. / 1.J 0. 0.A 1.0 1. 1.A .4 .4 .4 0.K 0.A 1. 1.@ 1.A

I6. 2 1. 0.K 0.A 1. 1. 1.0 .4 1.A .4 1.A .4 0.@ 0.K 1.@% un ni#el de con$ana del KN estime la di8erencia promedio entre elm+todo / y el m+todo 2 en los resultados de las dos pruebas.

EERCICIOS



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i$ro6 Estadística para @ngenieros % cientíicos. Ailliam >aidi. E'ercicios secci!n &, pg.

3/B a 3&0.

!robabilidad y estad&stica aplicadas a la inenier&a. Iontomery Doulasy >uner ;eore. !á. 142 a 14K

7ibro- Pntroducción a la probabilidad y estad&stica. illiam Ienden9all,>obert `. \ea#er, \arbara I. \ea#er. :áp. /4. !ás. 1/4 a 1/J.

EERCICIOS

MVLTIPLES EERCICIOS COMPLEME"TARIOS7ibro- Pntroducción a la probabilidad y estad&stica. illiam Ienden9all,>obert `. \ea#er, \arbara I. \ea#er. :áp. A, K /4. %7 FPH%7 D :%D%:%!657=

Muestreo Probabilistico. Estim (1)

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