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Métodos Numéricos.Grado en Ingeniería en Informática

Tema 4. Análisis Numérico Matricial I

Luis Alvarez León

Univ. de Las Palmas de G.C.

Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 23

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Contenido

1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Contenido

1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Análisis Numérico Matricial IIntroducción

Un sistema lineal de ecuaciones viene dado por la igualdad

Au = b

donde A = (aij) es una matriz de NxN, b = (bi) es un vector de tamaño N quedetermina los términos independientes, y u = (ui) es el vector soluciónbuscado.

Ejemplo −2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

6 18 12

0 4 40 0 −1

u1u2u3

=

248−8

Para que el sistema tenga una única solución debe cumplirse : | A |6= 0 ( | A |es el determinante.)

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Análisis Numérico Matricial IIntroducción

Un sistema lineal de ecuaciones viene dado por la igualdad

Au = b

donde A = (aij) es una matriz de NxN, b = (bi) es un vector de tamaño N quedetermina los términos independientes, y u = (ui) es el vector soluciónbuscado.

Ejemplo −2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

6 18 12

0 4 40 0 −1

u1u2u3

=

248−8

Para que el sistema tenga una única solución debe cumplirse : | A |6= 0 ( | A |es el determinante.)

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Análisis Numérico Matricial IIntroducción

Un sistema lineal de ecuaciones viene dado por la igualdad

Au = b

donde A = (aij) es una matriz de NxN, b = (bi) es un vector de tamaño N quedetermina los términos independientes, y u = (ui) es el vector soluciónbuscado.

Ejemplo −2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

6 18 12

0 4 40 0 −1

u1u2u3

=

248−8

Para que el sistema tenga una única solución debe cumplirse : ?

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Análisis Numérico Matricial IIntroducción

Un sistema lineal de ecuaciones viene dado por la igualdad

Au = b

donde A = (aij) es una matriz de NxN, b = (bi) es un vector de tamaño N quedetermina los términos independientes, y u = (ui) es el vector soluciónbuscado.

Ejemplo −2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

6 18 12

0 4 40 0 −1

u1u2u3

=

248−8

Para que el sistema tenga una única solución debe cumplirse : | A |6= 0 ( | A |es el determinante.)

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

No de operaciones del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N multiplicaciones, ?sumas y ? llamadas a determinantes de dimensión N − 1

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

No de operaciones del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N multiplicaciones, ?sumas y ? llamadas a determinantes de dimensión N − 1

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

No de operaciones del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N multiplicaciones,N − 1 sumas y ? llamadas a determinantes de dimensión N − 1

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

No de operaciones del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N multiplicaciones,N − 1 sumas y N llamadas a determinantes de dimensión N − 1

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

No de operaciones del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N multiplicaciones,N − 1 sumas y N llamadas a determinantes de dimensión N − 1

Complejidad total del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N! operaciones

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

|A| =1 2 34 5 67 8 9

= 15 68 9

− 24 67 9

+ 34 57 8

Algoritmo recursivo para calcular el determinante de una matriz A de dimensión N:

determinante(A,N)SI N > 1

construimos N matrices A1,A2, .......AN de dimensión N − 1|A| = a1,1· determinante(A1,N − 1) - a1,2· determinante(A2,N − 1) + ..... a1,N ·

determinante(AN ,N − 1)ELSE

determinante=A(1,1)END

No de operaciones del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N multiplicaciones,N − 1 sumas y N llamadas a determinantes de dimensión N − 1

Complejidad total del algoritmo recursivo determinante(A,N) = N! operaciones

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

10! = 3 · 106 50! = 3 · 1064 100! = 9 · 10157

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

10! = 3 · 106 50! = 3 · 1064 100! = 9 · 10157

Uno de los super-ordenadores más rápidos que existen en laactualidad es el BlueGene/L System desarrollado por IBM. Es capazde realizar del orden de 1021operaciones en coma flotante porsegundo. Este ordenador, para calcular un determinante de una matrizde dimensión 100 tardaría del orden de 10129 años.

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Análisis Numérico Matricial ICálculo del determinante de A

10! = 3 · 106 50! = 3 · 1064 100! = 9 · 10157

Uno de los super-ordenadores más rápidos que existen en laactualidad es el BlueGene/L System desarrollado por IBM. Es capazde realizar del orden de 1021operaciones en coma flotante porsegundo. Este ordenador, para calcular un determinante de una matrizde dimensión 100 tardaría del orden de 10129 años.

Por tanto un algoritmo de complejidad factorial con N=100 no es unproblema que pueda resolverse por mucho que avance la tecnologíapues el número de operaciones necesarias es gigantesco einalcanzable.

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Contenido

1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de Operacionesu =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−21 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de Operacionesu =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−21 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de OperacionesuN−1 =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =

bN−2−aN−2,N−1uN−1aN−2,N−2

1 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de OperacionesuN−1 =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−2

1 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de OperacionesuN−1 =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−21 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =

bk−∑N−1

l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de OperacionesuN−1 =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−21 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1

1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de OperacionesuN−1 =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−21 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de OperacionesuN−1 =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−21 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =

N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 0 . aN−1,N−1

u0u1.

uN−2uN−1

=

b0b1.

bN−2bN−1

Solución Número de OperacionesuN−1 =

bN−1aN−1,N−1

1 división

uN−2 =bN−2−aN−2,N−1uN−1

aN−2,N−21 división + 1 suma + 1 multiplicación

uk =bk−

∑N−1l=k+1 ak,l ulak,k

k = N − 2, ..,1 1 división + (N-k) sumas + (N-k) multiplicacionesNúmero total de operaciones N divis. + (1+2+..+N-1) sumas y multiplic.

1 + 2 + .....+ N − 1 =N2(N − 1) = O(N2)

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 0 0 . 0a1,0 a1,1 0 . 0. . . . .

aN−2,0 . . aN−2,N−2 0aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Solución:

u = b0a0,0

u1 =b1−a1,0u0

a1,1

uk =bk−

∑k−1l=1 ak,l ul

ak,kk = 1, ..,N − 1

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 0 0 . 0a1,0 a1,1 0 . 0. . . . .

aN−2,0 . . aN−2,N−2 0aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Solución:

u =

b0a0,0

u1 =b1−a1,0u0

a1,1

uk =bk−

∑k−1l=1 ak,l ul

ak,kk = 1, ..,N − 1

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 0 0 . 0a1,0 a1,1 0 . 0. . . . .

aN−2,0 . . aN−2,N−2 0aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Solución:

u0 = b0a0,0

u1 =

b1−a1,0u0a1,1

uk =bk−

∑k−1l=1 ak,l ul

ak,kk = 1, ..,N − 1

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 0 0 . 0a1,0 a1,1 0 . 0. . . . .

aN−2,0 . . aN−2,N−2 0aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Solución:

u0 = b0a0,0

u1 =b1−a1,0u0

a1,1

uk =

bk−∑k−1

l=1 ak,l ulak,k

k = 1, ..,N − 1

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Análisis Numérico Matricial IResolución de un sistema triangular de ecuaciones

a0,0 0 0 . 0a1,0 a1,1 0 . 0. . . . .

aN−2,0 . . aN−2,N−2 0aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Solución:

u0 = b0a0,0

u1 =b1−a1,0u0

a1,1

uk =bk−

∑k−1l=1 ak,l ul

ak,kk = 1, ..,N − 1

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Contenido

1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 12 u1

u2u3

=

24

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 12 u1

u2u3

=

24

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 12 u1

u2u3

=

24

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 12 u1

u2u3

=

24

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120

u1u2u3

=

24

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−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4

u1u2u3

=

24

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 4

u1u2u3

=

24

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−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 4

u1u2u3

=

248

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−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 40

u1u2u3

=

248

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 40 2

u1u2u3

=

248

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 40 2 1

u1u2u3

=

248

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 40 2 1

u1u2u3

=

248− 4

6 18 12

0 4 40 2 1

u1u2u3

=

248−4

−−−−−−−−−→ceros 2a col .

6 18 120 4 40

u1u2u3

=

248

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 40 2 1

u1u2u3

=

248− 4

6 18 12

0 4 40 2 1

u1u2u3

=

248−4

−−−−−−−−−→ceros 2a col .

6 18 120 4 40 0

u1u2u3

=

248

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 40 2 1

u1u2u3

=

248− 4

6 18 12

0 4 40 2 1

u1u2u3

=

248−4

−−−−−−−−−→ceros 2a col .

6 18 120 4 40 0 − 1

u1u2u3

=

248

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss.Objetivo: Convertir el sistema en un sistema triangular

−2 −2 06 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

La descomposición de la matriz A se divide en las siguientes fases: −2 −2 0

6 18 123 11 7

u1u2u3

=

0248

−−−−−→pivoteo

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

6 18 12−2 −2 03 11 7

u1u2u3

=

2408

−−−−−−−−−→ceros 1a col .

6 18 120 4 40 2 1

u1u2u3

=

248− 4

6 18 12

0 4 40 2 1

u1u2u3

=

248−4

−−−−−−−−−→ceros 2a col .

6 18 120 4 40 0 − 1

u1u2u3

=

248− 8

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a0,2 . a1,N−1. . . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−1

aN−1,0 aN−1,1 . aN−1,N−2 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0 1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0 N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1 N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2 1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumasTotal Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones

+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−1. . . . .. . . aN−2,N−2 aN−2,N−1

aN−1,0 aN−1,1 . aN−1,N−2 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0

1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0 N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1 N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2 1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumasTotal Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones

+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 . . . .0 . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 aN−1,1 . aN−1,N−2 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0 1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0

N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1 N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2 1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumasTotal Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones

+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .0 . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 . aN−1,N−2 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0 1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0 N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1

N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2 1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumasTotal Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones

+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .0 . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 . 0 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0 1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0 N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1 N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2

1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumasTotal Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones

+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .0 . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 . 0 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0 1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0 N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1 N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2 1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumas

Total Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .0 . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 . 0 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0 1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0 N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1 N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2 1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumasTotal Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones

+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Gauss. Recuento de operaciones

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−10 a1,1 a0,2 . a1,N−10 0 . . .0 . . aN−2,N−2 aN−2,N−10 0 . 0 aN−1,N−1

u0u1u2.

uN−1

=

b0b1b2.

bN−1

Recuento de Operaciones

Convertir en 0 el elemento a1,0 1 división + N multiplicaciones y sumasConvertir en cero a1,0,a2,0, ...aN−1,0 N-1 divisiones + N(N-1) multiplicaciones y sumasConvertir en cero a2,1,a3,1, ...aN−1,1 N-2 divisiones + (N-1)(N-2) multiplicaciones y sumasConvertir en cero aN−1,N−2 1 divisiones + 2 multiplicaciones y sumasTotal Operaciones : (1+2+..+N-1) divisiones

+ (2+6+...+N(N-1)) multiplicaciones y sumas

2 + 6 + ...+ N(N − 1) =N3 − N

3= O(N3)

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Contenido

1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 41 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1 b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1

b0,0= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 4

1 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1 b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1

b0,0= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 4

1 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1

b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1b0,0

= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 4

1 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1 b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1

b0,0= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 4

1 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1 b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1

b0,0= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 4

1 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1 b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1

b0,0= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 4

1 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1 b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1

b0,0= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Ejemplo descomposición de matriz

A =

1 1 41 5 64 6 26

=

b0,0 0 0b1,0 b1,1 0b2,0 b2,1 b2,2

b0,0 b0,1 b0,20 b1,1 b1,20 0 b2,2

1 1 4

1 5 64 6 26

=

b20,0 b0,1b1,0 b0,2b2,0

b0,0b1,0 b21,0 + b2

1,1 b1,0b2,0 + b1,1b2,1

b0,0b2,0 b1,0b2,0 + b1,1b2,1 b22,1 + b2

2,1 + b22,2

b20,0 = 1 −→ b0,0 = 1 b0,0b1,0 = 1 −→ b1,0 = 1

b0,0= 1

b0,0b2,0 = 4 −→ b2,0 = 4b0,0

= 4

b21,0 + b2

1,1 = 5 −→ b1,1 = ±√(

5− b21,0

)=√

(4) = 2

b1,0b2,0 + b1,1b2,1=6 −→ b2,1 =6−b1,0b2,0

b1,1= 6−4

2 = 1

b22,0 + b2

2,1 + b22,2 = 26 −→ b2,2 =

√(26− b2

2,0 − b22,1

)=√(

26− 16− 12)= 3

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = B · Bt es el siguiente

Para i = 0, ...,N − 1

bi,i =

√(ai,i −

∑i−1k=0 b2

i,k

)Para j = i + 1, ...,N − 1

bj,i =1

bi,i

(aj,i −

∑i−1k=0 bj,kbi,k

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculada B, resolvemos el sistema Au = B · Btu = b descomponiéndoloen los siguientes sistemas triangulares :

Bz = b

Btu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = B · Bt es el siguiente

Para i = 0, ...,N − 1

bi,i =

√(ai,i −

∑i−1k=0 b2

i,k

)Para j = i + 1, ...,N − 1

bj,i =1

bi,i

(aj,i −

∑i−1k=0 bj,kbi,k

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculada B, resolvemos el sistema Au = B · Btu = b descomponiéndoloen los siguientes sistemas triangulares :

Bz = b

Btu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = B · Bt es el siguiente

Para i = 0, ...,N − 1

bi,i =

√(ai,i −

∑i−1k=0 b2

i,k

)Para j = i + 1, ...,N − 1

bj,i =1

bi,i

(aj,i −

∑i−1k=0 bj,kbi,k

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculada B, resolvemos el sistema Au = B · Btu = b descomponiéndoloen los siguientes sistemas triangulares :

Bz = b

Btu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesky. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = B · Bt es el siguiente

Para i = 0, ...,N − 1

bi,i =

√(ai,i −

∑i−1k=0 b2

i,k

)Para j = i + 1, ...,N − 1

bj,i =1

bi,i

(aj,i −

∑i−1k=0 bj,kbi,k

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculada B, resolvemos el sistema Au = B · Btu = b descomponiéndoloen los siguientes sistemas triangulares :

Bz = b

Btu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,i

La matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0

todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivos

Los menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Cholesly. Condiciones necesarias para poder aplicar el método

Las condiciones para poder aplicar el método de Cholesky son las siguientes :

La matriz A debe ser simétrica ai,j = aj,iLa matriz A debe ser definida positiva

x tAx > 0 para todo vector x 6= 0todos los autovalores de A son positivosLos menores principales de la matriz son positivos

a0,0 a0,1 a0,2 . a0,N−1a1,0 a1,1 a1,2 . a1,N−1a2,0 a2,1 a2,2 . a2,N−1. . . . .

aN−1,0 aN−1,1 aN−1,2 . aN−1,N−1

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Contenido

1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Análisis Numérico Matricial IFactorización LU de una matriz.

La factorización LU es un método parecido al de Cholesky que sirvepara matrices no-simétricas. Busca una descompocisión de la forma :

A =

1 1 42 5 61 1 26

=

1 0 0l1,0 1 0l2,0 l2,2 1

u0,0 u0,1 u0,20 u1,1 u1,20 0 u2,2

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Análisis Numérico Matricial IFactorización LU. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = L · U es el siguiente

Inicializar a 0 todos los elementos de L y U.Para i = 0, ...,N − 1

li,i = 1ui,i = ai,i −

∑i−1k=0 li,kuk ,i

Para j = i + 1, ...,N − 1ui,j = ai,j −

∑i−1k=0 li,kuk ,j

lj,i = 1ui,i

(aj,i −

∑i−1k=0 lj,kuk ,i

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculadas L,U, resolvemos el sistema Au = L · U · u = bdescomponiéndolo en los siguientes sistemas triangulares :

Lz = b

Uu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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Análisis Numérico Matricial IFactorización LU. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = L · U es el siguiente

Inicializar a 0 todos los elementos de L y U.Para i = 0, ...,N − 1

li,i = 1ui,i = ai,i −

∑i−1k=0 li,kuk ,i

Para j = i + 1, ...,N − 1ui,j = ai,j −

∑i−1k=0 li,kuk ,j

lj,i = 1ui,i

(aj,i −

∑i−1k=0 lj,kuk ,i

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculadas L,U, resolvemos el sistema Au = L · U · u = bdescomponiéndolo en los siguientes sistemas triangulares :

Lz = b

Uu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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Análisis Numérico Matricial IFactorización LU. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = L · U es el siguiente

Inicializar a 0 todos los elementos de L y U.Para i = 0, ...,N − 1

li,i = 1ui,i = ai,i −

∑i−1k=0 li,kuk ,i

Para j = i + 1, ...,N − 1ui,j = ai,j −

∑i−1k=0 li,kuk ,j

lj,i = 1ui,i

(aj,i −

∑i−1k=0 lj,kuk ,i

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculadas L,U, resolvemos el sistema Au = L · U · u = bdescomponiéndolo en los siguientes sistemas triangulares :

Lz = b

Uu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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Análisis Numérico Matricial IFactorización LU. Algoritmo general

El algoritmo para descomponer A = L · U es el siguiente

Inicializar a 0 todos los elementos de L y U.Para i = 0, ...,N − 1

li,i = 1ui,i = ai,i −

∑i−1k=0 li,kuk ,i

Para j = i + 1, ...,N − 1ui,j = ai,j −

∑i−1k=0 li,kuk ,j

lj,i = 1ui,i

(aj,i −

∑i−1k=0 lj,kuk ,i

)Fin Para j

Fin Para i

Una vez calculadas L,U, resolvemos el sistema Au = L · U · u = bdescomponiéndolo en los siguientes sistemas triangulares :

Lz = b

Uu = z

Ambos sistemas se resuelvan rápidamente haciendo un remonte y un descenso.

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1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Análisis Numérico Matricial IEstimación del error de un método para resolver sistemas.

Para estimar la fiabilidad de la solución numérica de un sistema deecuaciones, haremos lo siguiente: dada una matriz A, un vector de términosindependientes b y un vector solución u, calculado utilizando alguna técnicanumérica, si la solución es perfecta entonces Au − b = 0. Ahora bien, esto nosuele suceder, porque los errores de redondeo y de cálculo producen que estaestimación no sea exacta. Para estimar el error cometido al resolver el sistemautilizaremos la expresión siguiente, donde e es el vector e = Au − b :

ErrorSistema =1N

∑ |ei ||bi |+ ε

donde N es la dimensión del sistema y ErrorSistema representa el errorrelativo medio al resolver el sistema. En el denominador se añade ε > 0 paraevitar las posibles divisiones por 0. Cuanto más pequeño sea ErrorSistema,mejor aproximada estará la solución del sistema.

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Análisis Numérico Matricial IEstimación del error de un método para resolver sistemas.

Para estimar la fiabilidad de la solución numérica de un sistema deecuaciones, haremos lo siguiente: dada una matriz A, un vector de términosindependientes b y un vector solución u, calculado utilizando alguna técnicanumérica, si la solución es perfecta entonces Au − b = 0. Ahora bien, esto nosuele suceder, porque los errores de redondeo y de cálculo producen que estaestimación no sea exacta. Para estimar el error cometido al resolver el sistemautilizaremos la expresión siguiente, donde e es el vector e = Au − b :

ErrorSistema =1N

∑ |ei ||bi |+ ε

donde N es la dimensión del sistema y ErrorSistema representa el errorrelativo medio al resolver el sistema. En el denominador se añade ε > 0 paraevitar las posibles divisiones por 0. Cuanto más pequeño sea ErrorSistema,mejor aproximada estará la solución del sistema.

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Análisis Numérico Matricial IEstimación del error de un método para resolver sistemas.

Para estimar la fiabilidad de la solución numérica de un sistema deecuaciones, haremos lo siguiente: dada una matriz A, un vector de términosindependientes b y un vector solución u, calculado utilizando alguna técnicanumérica, si la solución es perfecta entonces Au − b = 0. Ahora bien, esto nosuele suceder, porque los errores de redondeo y de cálculo producen que estaestimación no sea exacta. Para estimar el error cometido al resolver el sistemautilizaremos la expresión siguiente, donde e es el vector e = Au − b :

ErrorSistema =1N

∑ |ei ||bi |+ ε

donde N es la dimensión del sistema y ErrorSistema representa el errorrelativo medio al resolver el sistema. En el denominador se añade ε > 0 paraevitar las posibles divisiones por 0. Cuanto más pequeño sea ErrorSistema,mejor aproximada estará la solución del sistema.

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Análisis Numérico Matricial IEstimación del error de un método para resolver sistemas.

Para estimar la fiabilidad de la solución numérica de un sistema deecuaciones, haremos lo siguiente: dada una matriz A, un vector de términosindependientes b y un vector solución u, calculado utilizando alguna técnicanumérica, si la solución es perfecta entonces Au − b = 0. Ahora bien, esto nosuele suceder, porque los errores de redondeo y de cálculo producen que estaestimación no sea exacta. Para estimar el error cometido al resolver el sistemautilizaremos la expresión siguiente, donde e es el vector e = Au − b :

ErrorSistema =1N

∑ |ei ||bi |+ ε

donde N es la dimensión del sistema y ErrorSistema representa el errorrelativo medio al resolver el sistema. En el denominador se añade ε > 0 paraevitar las posibles divisiones por 0. Cuanto más pequeño sea ErrorSistema,mejor aproximada estará la solución del sistema.

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Análisis Numérico Matricial IEstimación del error de un método para resolver sistemas.

Para estimar la fiabilidad de la solución numérica de un sistema deecuaciones, haremos lo siguiente: dada una matriz A, un vector de términosindependientes b y un vector solución u, calculado utilizando alguna técnicanumérica, si la solución es perfecta entonces Au − b = 0. Ahora bien, esto nosuele suceder, porque los errores de redondeo y de cálculo producen que estaestimación no sea exacta. Para estimar el error cometido al resolver el sistemautilizaremos la expresión siguiente, donde e es el vector e = Au − b :

ErrorSistema =1N

∑ |ei ||bi |+ ε

donde N es la dimensión del sistema y ErrorSistema representa el errorrelativo medio al resolver el sistema. En el denominador se añade ε > 0 paraevitar las posibles divisiones por 0. Cuanto más pequeño sea ErrorSistema,mejor aproximada estará la solución del sistema.

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1 Introducción a los sistemas de ecuaciones

2 Resolución de un sistema triangular de ecuaciones

3 El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

4 El método de Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones

5 Factorización LU de una matriz

6 Estimación del error numérico al resolver un sistema

7 Método de Crout para sistemas tridiagonales

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Crout para matrices tridiagonales

Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Crout para matrices tridiagonales

Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

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Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

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Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

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Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

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Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

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Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

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Análisis Numérico Matricial IMétodo de Crout para matrices tridiagonales

Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1 La complejidad del método de Crout es O(N1)li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

A partir de la descomposición se resuelven los 2 sistemas triangularesasociados como en Cholesky mediante un descenso y un remonte

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Si A es una matriz tridiagonal se puede descomponer de la forma siguiente:a0 b0 . 0c0 a1 . 00 . . bN−20 . cN−2 aN−1

=

l0 0 . 0

m0 l1 . 00 . . 00 . mN−2 lN−1

1 u0 . 00 1 . 00 . . uN−20 . 0 1

Los vectores mi , li, y ui se calculan utilizando el esquema:

l0 = a0u0 = b0/l0Para i = 1, ..,N − 2

mi−1 = ci−1 La complejidad del método de Crout es O(N1)li = ai −mi−1ui−1ui = bi/li

Fin ParamN−2 = cN−2lN−1 = aN−1 −mN−2uN−2

A partir de la descomposición se resuelven los 2 sistemas triangularesasociados como en Cholesky mediante un descenso y un remonte

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