MØtodos MatemÆticos Aplicados a Processos Químicos e ...J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 1...
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1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos
Capítulo II : Autovalores, Autovetorese Formas Quadráticas
DISCIPLINA
José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química UFRJ
[email protected], [email protected]. 21-2562-7535
2J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Sistema Quadrado Homogêneo : n Equações em n Variáveis
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
0=XA
1::
xnXnxnA
O SQH tem, obviamente, a Solução Trivial X = 0Todavia, Temos Interesse apenas na Possibilidade de Soluções Não-Triviais, para as quais X ≠ 0
3J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.1
∑=
=⇔=m
iiim BXABXAAA
121 ]...[
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
A1 , A2 , ... , Am L.I. e Tem-se B com Posto([A1 A2 ... Am B])=m, Então :
Tem Solução X Única
4J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.1
∑=
=⇔=m
iiim BXABXAAA
121 ]...[
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
A1 , A2 , ... , Am L.I. e Tem-se B com Posto([A1 A2 ... Am B])=m, Então :
Demonstração
Tem Solução X Única
.)..(0
..,...,0000)(
:..
])...([])...[(.
2121
11
212
1
21
21211
SolUmaHáSóeiXXXXAssim
ILAAAAXXABXABXA
EntãoXXDiferentesSoluçõesDuasháqueAdmitaÚnicaéSolA
BAAAPostopAAAAPostopoisSolTemBXA
n
m
iii
nn
n
iii
=⇒=−
=⇒=⇒=⇒=−⇒
==
≠
====
∑
∑
=
=
ααα
5J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2
BsesomenteABseA
BsesomenteeseA
⇒⇒
BABsesomenteAABBseA
::
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.
Demonstração B é Suficiente para A
B é Necessário para A
B é Suficiente para AB é Necessário para A
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Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2
BsesomenteABseA
BsesomenteeseA
⇒⇒
BABsesomenteAABBseA
::
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.
Demonstração B é Suficiente para A
B é Necessário para A
B é Suficiente para AB é Necessário para A
BABsesomenteeseABAAB
BsesomenteeseA
⇔
⇒⇒
:
7J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2
00 =≠∃⇒ XAcomXSingularA
00 =≠∃/⇒ XAcomXSingularNãoA
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.
Demonstração
Suficiência
Necessidade
8J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2
00 =≠∃⇒ XAcomXSingularA
.....,,)( 21 DLSãoAAAnpAPostoSingularA n⇒<=⇒
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.
Demonstração
Suficiência
00
001
=≠∃⇒⇒
≠==⇒ ∑=
XAcomXSingularA
XcomobtidoserpodeXAXAn
iii
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Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2
00.0,.0
.).0..(.0
])0([)(
=≠∃/⇒⇒==⇒
=−=⇒
===⇒
XAcomXSingNãoAÚnicaéXSolSempreéXComo
LGpncomeiÚnicaSolTemXA
npAPostoAPostoSingularNãoA
00 =≠∃/⇒ XAcomXSingularNãoA
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.
Demonstração
Necessidade
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Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.3
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
SQH com DA ≠ 0, só possui a Solução Trivial X = 0
Demonstração
000)(0,.0
.).0..(.0
])0([)(0
==⇒≠⇒==⇒
=−=⇒
===⇒⇒≠
XparaapenasXAADETÚnicaéXSolSempreéXComo
LGpncomeiÚnicaSolTemXA
npAPostoAPostoSingularNãoADA
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Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.4
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
SQH com Posto(A)=n-1, tem Solução Completa X = β.S onde β éConstante Arbitrária
Demonstração [ ]
SV
V
XX
X
XcomVXXAVXX
XAVXAXAXAXAXA
AssimúnicoéVTeorPeloAVAcomocolocadoserpodeA
DLColaASejaDLColeILColsnTemAnpAPostoLGpnaSolTemXAnAPostonpAAAAPosto
n
n
nnini
n
iiini
n
inii
n
iii
n
innii
n
innii
n
iiinn
n
nn
βββ =
−
=
−=⇒−=⇒=+
−=⇒−=⇒=+
=
−⇒−==
=−=⇒−=⇒−===
−−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
∑
∑∑∑∑
∑
1
,0)(
0
).,1.2.(
...;..1..11)(..1.01])0([1)(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
MM
L
Por que ?
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Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0
Demonstração Pelo Teor. 2.4, a Sol. Completa é X = β.S onde β é Constante Arbitrária e S é um vetor específico. Como Posto(A)=n-1, DA=0
).(.
0
0
0
;)0(
1
2
1
SQHCompletaSolXSQHdoSoldedireçãoadefine
D
A
A
A
AEntãoAdecofatoresvetor
kk
A
k
T
n
k
T
k
k
T
k
T
k
TT
k
T
n
T
T
Ω=⇒Ω⇒
=
=
Ω
Ω
Ω
=Ω≠Ω
Ω
Ω
Ω
=Ω
β
M
M
M
M
M
Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.5
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Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0
Exemplo
−=⇒
−=
==Ω−=−=Ω==Ω
ΩΩΩ
=Ω==
+
12
1
36
3
37554
,69564
)1(,39765
0975654321
1321
1211
13
12
11
1
3
2
1
ββ
ββ
XXDando
XUsamosXXX
Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.5
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Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
Solução Completa do SQH pode ser Obtida pela Estratégia Geral de Pivotamento e Análise de Sistemas Lineares.
Exemplo
0975654321
3
2
1
=
XXX
Sistema Quadrado Homogêneo n x n
15J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Exemplo
000
630630
321)(1
000
975654321
000
975654321
3
2
1
−−−−
=
oNormalizadPivô
AumentadoTableauXXX
=−=
⇒=
=−
==
−
−−
ββ
β1
23
3
2)(..123.])0([2)(
:3000
000210101
2000
630210321
2
XX
X
XLGtemSolAPostoAPosto
FimNuloPivô
Pivô
PivôNormaliza
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)
−=12
1βX
Sol. Completa
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Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Matriz da Forma Quadrática
)1xn(Y),1xn(X,)nxn(ASejam
∑∑= =
=n
1i
n
1jjiij XXA)X(QQuandoQuadráticaFormaumaé)X(Q
)1xn(X,Y)1xn(X)nxn(A
Variáveis da Forma Quadrática
Variáveis da Forma Bilinear
∑∑= =
=n
1i
n
1jjiij YXA)Y,X(FQuandoBilinearFormaumaé)Y,X(F
17J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
)1(,)( xnXnxnASejam
[ ]
( ) XAXXAX)X(Q
XA
XA
XA
XXXXAXXXA)X(Q
XXA)X(QQuandoQuadráticaFormaumaé)X(Q
TT
n
1jjnj
n
1jjj2
n
1jjj1
n21
n
1jjij
n
1ii
n
1i
n
jjiij
n
1i
n
1jjiij
==
===
=
∑
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑
=
=
=
=== =
= =
M
L
XAXXAXXXAXQ TTn
i
Tn
jjiij∑∑
= =
===1 1
)(
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
18J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
)1xn(Y),1xn(X,)nxn(ASejam
∑∑= =
=n
1i
n
1jjiij YXA)Y,X(FQuandoBilinearFormaumaé)Y,X(F
[ ]
XAYYAXYXF
YA
YA
XXYAXYXAYXF
TTT
n
jjnj
n
jjj
n
n
i
n
jjij
n
ii
n
jjiij
==
=
=
===
∑
∑∑ ∑∑∑
=
=
= ===
),(
),(
1
11
11 111
ML
YAXXAYXYFXAYYAXYXF
geralemqueNoteTTTTTT ==≠== ),(),(
,
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
19J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
SimétricaMXMXXAXXQ
MMSimétricaAA
MXMXXAA
XXQ
XAXXAXXAXXAXXQ
XQXQXQXQXQComo
XAXXQ
TT
TT
TT
T
TTTTTT
TT
T
,)(
,2
,2
)(
22)(
)(
2)()()()()(
)(
==
=
+==
+=
+=
+=
+=⇒=
=
Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6
Demonstração
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
20J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
SimétricaMXMXXAXXQ
MMSimétricaAA
MXMXXAA
XXQ
XAXXAXXAXXAXXQ
XQXQXQXQXQComo
XAXXQ
TT
TT
TT
T
TTTTTT
TT
T
,)(
,2
,2
)(
22)(
)(
2)()()()()(
)(
==
=
+==
+=
+=
+=
+=⇒=
=
Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6
Demonstração
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
21J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
SimétricaAA
M
XMXXAXXQT
TT
+=
==
2
)(
Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6
Devido ao Teor. 2.6, deste Ponto em Diante só Consideramos FQscom Matrizes Simétricas, pois :
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
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0)X(Q0X,realnxnsimétricaMXMX)X(QSeja T =⇒==
Classificação de Formas Quadráticas Definição 2.1
)PD(DefinidaPositiva)X(Q0X0)X(Q −⇒≠∧>1
)0Xumlgapara0)X(Q()PSD(daSemidefiniPositiva)X(Q0X0)X(Q
≠=−⇒≠∧≥2
)ND(DefinidaNegativa)X(Q0X0)X(Q −⇒≠∧<3
)0Xumlgapara0)X(Q()NSD(daSemidefiniNegativa)X(Q0X0)X(Q
≠=−⇒≠∧≤4
Indefinida)X(Q0X0)X(Q0)X(Q0)X(Q
⇒≠∧
=<>
5
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
23J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Seja Q(X) Definida (PD ou ND), Então DM ≠≠≠≠ 0 Teorema 2.7
)0D(SingularNãoMDefinida)X(Q,LogoDefinidaé)X(QpoisAbsurdo0XMX)X(QEm
)SQH(0Xparaocorre0XMAssim
0)M(DETcomDefinidaXMX)X(QAdmita
M
*T**
*
T
≠−⇒
⇒==
≠=
==
Demonstração
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
24J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Condição Necessária e Suficiente para Q(X) PD (ND) Teorema 2.8
==
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
T
MMMM
MMMMMMMMMMMM
M,XMX)X(Q
L
MOMMM
L
L
L
Quantidades abaixo todas Positivas (Alternem Sinal com M11<0 )
M,...,MMMMMMMMM
,MMMM
,M
333231
232221
131211
2221
121111
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
25J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
0XMYYMX TT ==
Vetores Ortogonais e Conjugados Definição 2.2
realnxn,PD,SimétricaM0Y,0X,1xnVetoresY,X ≠≠
( )0,0
0
>>
==
YYXX
XYYXTT
TTX , Y São Ortogonais
X , Y São Conjugados por M
( )0,0 >> YMYXMX TT
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
26J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
U1 , U2 , ..., Un São n Vetores Mutuamente Ortogonais, Então Eles São L.I. Teorema 2.9
Demonstração
≠
≠=⇒⊥⊥⊥⊥
0UU)ji(0UU
UUUUi
Ti
jTi
n321 L
.]I.LsãoVetores,Absurdo[0n..1kparapetindoRe
00UU0UUU.emultPr
0com0U.e.i.;D.LeU,,UAdmita
0parasó0U.I.LSeremPara
kkTkk
n
1ii
Tki
Tk
n
1iiin1
n
1iii
=⇒=
=⇒=⇒=⇒
≠=⊥
==
∑
∑
∑
=
=
=
α
ααα
αα
αα
L
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
27J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
U1 , U2 , ..., Un São n Vetores Mutuamente Conjugados por MSimétrica e P.D. n x n. Então Eles São L.I. Teorema 2.10
Demonstração
>
≠=⇒
0UMU)ji(0UMU
MporConjugadosU,U,Ui
Ti
jTi
n21 L
.]I.LsãoVetores,Absurdo[0n..1kparapetindoRe
00UMU0UMUMU.emultPr
0com0U.e.i.;D.LU,,UAdmita
0parasó0U.I.LSeremPara
kkTkk
n
1ii
Tki
Tk
n
1iiin1
n
1iii
=⇒=
=⇒=⇒=⇒
≠=
==
∑
∑
∑
=
=
=
α
ααα
αα
αα
L
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
28J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Construção de Base Ortogonal P1 , P2 , ..., Pn de Vetores via Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11
Demonstração
1n1nn22n11nnn
23213133
12122
11
n21n21
P...PPWP
PPWPPWP
WP:comOrtogonaisP,P,PoduzirPr.,I.LW,W,WCom
−−+++=
++=+=
=
ααα
ααα
OMMMM
LL
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
29J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Construção de Base Ortogonal P1 , P2 , ..., Pn de Vetores via Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11
Demonstração
1n1nn22n11nnn
23213133
12122
11
n21n21
P...PPWP
PPWPPWP
WP:comOrtogonaisP,P,PoduzirPr.,I.LW,W,WCom
−−+++=
++=+=
=
ααα
ααα
OMMMM
LL
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Constantes αααα21, αααα31, ... ααααnn-1 calculadas de modo que P1 , P2 , ..., Pn Sejam Mutuamente Ortogonais.
30J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Construção de Base Ortogonal P1 , P2 , ..., Pn de Vetores via Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11
Demonstração
1nT
1n
nT
1n1nnn
T1n
1T1
nT1
1nnT1
2T2
4T2
424T2
1T1
4T1
414T1
2T2
3T2
323T2
1T1
3T1
313T1
1T1
2T1
212T1
PPWP
0PP,...,PP
WP0PP
...PPWP
0PP,PP
WP0PP
PPWP
0PP,PPWP
0PP
PPWP
0PP
−−
−−− −=⇒=−=⇒=
−=⇒=−=⇒=
−=⇒=−=⇒=
−=⇒=
αα
αα
αα
α
MMMM
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
31J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Construção de Base Ortogonal P1 , P2 , ..., Pn de Vetores via Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11
Demonstração
End
PWPCalc
EndPP
WPCalc
kiFornkFor
WPFazerWWWEntrarSchmidtocessodosumo
k
iikikk
iTi
kTi
ki
n
∑−
=
+=
−=
−==
=
1
1
1121
.
.
1...1...2
;...,,,:PrRe
α
α
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
32J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Construção de Base Ortogonal P1 , P2 , ..., Pn de Vetores via Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Ao Final, os Vetores da Base Ortogonal podem ser Normalizados
EndPPP
n...1kFor
kkk ==
33J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Construção de Base Conjugada P1 , P2 , ..., Pn por Matriz Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b
Demonstração
1n1nn22n11nnn
23213133
12122
11
n21
n21
P...PPWP
PPWPPWP
WP:comMporConjugadosP,P,PoduzirPr
.,I.LW,W,WCom;Definida,nxnSimétricaMCom
−−+++=
++=+=
=
ααα
ααα
OMMMM
L
L
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
34J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Construção de Base Conjugada P1 , P2 , ..., Pn por Matriz Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b
Demonstração
1n1nn22n11nnn
23213133
12122
11
n21
n21
P...PPWP
PPWPPWP
WP:comMporConjugadosP,P,PoduzirPr
.,I.LW,W,WCom;Definida,nxnSimétricaMCom
−−+++=
++=+=
=
ααα
ααα
OMMMM
L
L
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Constantes αααα21, αααα31, ... ααααnn-1calculadas de modo que P1 , P2 , ..., Pn Sejam Conjugados pela Matriz
35J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração
1nT
1n
nT
1n1nnn
T1n
1T1
nT1
1nnT1
2T2
3T2
323T2
1T1
3T1
313T1
1T1
2T1
212T1
PMP
WMP0PMP,...,
PMP
WMP0PMP
PMP
WMP0PMP,
PMP
WMP0PMP
PMP
WMP0PMP
−−
−−− −=⇒=−=⇒=
−=⇒=−=⇒=
−=⇒=
αα
αα
α
MMMM
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Construção de Base Conjugada P1 , P2 , ..., Pn por Matriz Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b
36J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração
End
PWPCalc
EndPMP
WMPCalc
kiFornkFor
WPFazerWWWMEntrarConjugadaBaseparaSchmidtocessodosumo
k
iikikk
iTi
kTi
ki
n
∑−
=
+=
−=
−==
=
1
1
1121
.
.
1...1...2
;...,,,,:PrRe
α
α
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Construção de Base Conjugada P1 , P2 , ..., Pn por Matriz Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b
37J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Construção de Base Conjugada P1 , P2 , ..., Pn por Matriz Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b
Ao Final, os Vetores da Base Conjugada podem ser Normalizados
EndPPP
n...1kFor
kkk ==
38J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
A Transformação de uma Forma Quadrática Geral do tipo
∑∑= =
==n
1i
n
1jjiij
T XXMXMX)X(Q
Em uma FQ Diagonal de Mesmo Valor, do tipo
)X(YYDYDY)X(Qn
1i
2iii
T ∑=
==
É uma Maneira Rápida de Determinar o Caracter de uma FQ, Pois :
39J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
PD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0Dii ⇒≠∀>⇒=>1
)kumlgapara0D(PSD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0D
kk
ii
=⇒≠∀≥⇒=≥2
ND)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0Dii ⇒≠∀<⇒=<3
4
Indefinida)X(Q0Xpara000
)X(Q0D)ns(umlgA0D)ns(umlgA0D)ns(umlgA
ii
ii
ii
⇒≠∀
<=>
⇒
=<>
5
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
)kumlgapara0D(NSD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0D
kk
ii
=⇒≠∀≤⇒=≤
40J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
[ ]
∑=
=
==
=
=≠≠=
n
1i
2iii
Tn21
iTij
Ti
n21
YD))Y(X(Q:YemDiagonalFQEm
XMX)X(QConverteYUXçãoTransformaaEntão
UUUUMatrizaSeja
)ji(0UMU),ji(0UMU
MporConjugados1xnVetoresU...,,U,USejamnxnSimétricaMSeja
L
41J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
[ ]
[ ]
:Dando
)ji(0UMU:ConjugadosSãoVetoresosComo
UMUUMUUMU
UMUUMUUMUUMUUMUUMU
UUUM
U
UU
UMU
YUMUYYUMUYXMX)X(QXUYYUX
:InversíveléçãoTransformaa.I.LSãoU...,,U,UComo
jTi
nTn2
Tn1
Tn
nT22
T21
T2
nT12
T11
T1
n21
Tn
T2
T1
T
TTTTT1n21
≠=
=
=
===⇒=∴= −
L
MOMM
L
L
LM
Demonstração
42J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
( ) ∑=
=
=
===
n
1i
2ii
Ti
nTn
2T2
1T1
T
TTT
adaDiagonalizFQYUMU)X(Q
Y
UMU00
0UMU000UMU
Y)X(Q
YUMUYXMX)X(Q
L
MOMM
L
L
Demonstração
43J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
[ ]
1n1nn22n11nnn
iTi
kTi
ki23213133
1T1
3T1
311
T1
2T1
2112122
11
n21
UUUIU
etcUMU
IMUUUIU
UMU
IMU,
UMU
IMUUIU
IUIIIIcosCanôniVetoresCom
ConjugadaBaseparaSchmidtocessoPrviaUdeCálculo
−−++++=
−=++=
−=−=→+=
=
=
ααα
ααα
ααα
L
OMMMM
L
44J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
1n1nn22n11nnn
23213133
12122
11
UUUIU
UUIUUIU
IU
−−++++=
++=+=
=
ααα
ααα
L
OMMMM
[ ] [ ]
+=
−
000000000
00000
0
UUUIUUU
1nn
3n43
2n4232
1n413121
n21n21
L
L
MOOMMM
L
L
L
LL
α
ααααααααα
45J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
I
000000000
00000
0
IU
1nn
3n43
2n4232
1n413121
=
−
−
L
L
MOOMMM
L
L
L
α
ααααααααα
46J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12
1
1
343
24232
1413121
100001000
10010
1 −
−
−
−−−−−−−−−
=
L
L
MOOMMM
L
L
L
nn
n
n
n
U
α
ααααααααα
47J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo
.)(
)(,,
8631674234531234
4
3
2
1
aCongruêncideçãoTransformacomXQarDiagonaliz
XMXXQ
XXXX
XM T=
=
=
48J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo
34324214144
23213133
12122
11
4321
1000
,
0100
,
0010
,
0001
:Pr..:Re
UUUIUUUIU
UIUIU
IIII
CanônicaBaseSchmidtocessoparaILVetoressolução
ααααα
α
+++=++=
+==
=
=
=
=
49J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo
−−
−
=
−
=
−
=
=
−=−=−=−=−=−=
−=−=−=−=
−=−=
1926829.818181.
25.
,
01
909091.181818.
,
00175.
,
0001
926829.,818181.,25.
909091.,5.
75.
4321
33
4343
22
4242
11
4141
22
3232
11
3131
11
2121
UUUU
UMUIMU
UMUIMU
UMUIMU
UMUIMU
UMUIMU
UMUIMU
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ααα
αα
α
50J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)
Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo
=
=
−−−
−−
=
7073171.20000727273.3000075.200004
000000000000
1000926829.100818181.909091.10
25.181818.75.1
44
33
22
11
UMUUMU
UMUUMU
D
U
T
T
T
T
.)(
7073171.2727273.375.24)( 24
23
22
21
4
1
2
DefinidaPositivaéXQ
YYYYYDXQi
iii
−
+++==∑=
51J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Considere a Matriz Quadrada Abaixo e o Vetor X
)1xn(X),nxn(AÉ Razoável Questionar sob que Casos a Multiplicação da Matriz por X Produz Vetor Paralelo a X :
( ) 0XIAXXA =−⇔= λλEm geral, Interessa Obter as Condições de Validade de (1) em Termos de X e de λλλλ. Ora, a condição X=0 é Solução Trivial de (1), de modo que apenas buscamos Soluções X ≠≠≠≠ 0. O Sistema (1) é um SQH, que Terá Sols. Não Triviais Se e Somente Se:
1
( ) 0IADET =−λ 2
52J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Esta Equação Conhecida como Equação Característica é um Polinômio de Grau n na Variável λλλλ cujas n Raízes (pelo Teor. Fundamental da Álgebra) sempre existirão, sendo expressas como λλλλ1 , λλλλ2 , ... , λλλλn . Esta Lista de Raízes Poderá Conter Números Reais (distintos ou repetidos, parcialmente ou não) e Números Complexos em Pares Conjugados (também com Repetição ou Não). Desta Forma a Eq. (2) Escreve-se:
( ) 0IADET =−λ 2
( )).2()1(
0))...()()((0 321
emdiagonaistermosaosdevidoKonde
KIADETn
n
−=
=−−−−⇔=− λλλλλλλλλ 3
Fazendo as Multiplicações dos Fatores na Eq. (3), Resulta a Forma Polinomial em λλλλ :
53J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
3( )( )
∏∑∑ ∑∑∑∑=
−
=
−
+= +=
−
= +==
−−−−
====
=−+−+++−−=−
=−−−−−=−
n
iin
n
i
n
ij
n
jkkji
n
i
n
ijji
n
ii
nn
nnnnnn
nn
IADET
IADET
1
2
1
1
1 13
1
1 12
11
112
21
1
321
,....,,,
0)1()1(...)1(
0))...()()(()1(
λβλλλβλλβλβ
βλβλβλβλλ
λλλλλλλλλ
4
As n Raízes λλλλ1 , λλλλ2 , ... , λλλλn são os Valores Característicos ou Autovalores da Matriz A. Para λλλλ igual a cada λλλλi destes, o SQH Terá Solução Não Trivial Xi pois o Determinante DA será Nulo. Estas Soluções são os chamados Autovetores ou Vetores Característicos da Matriz A . Com λλλλ=0 na Eq. (4), Vem :
( ) ⇒−= nnADET β2)1( A é Singular (DA=0)
se ao menos um dos Autovalores é Nulo.
)(1
ADETn
ii =∏
=
λ
54J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo
=
=
321
321
,,,,
3
312101211
XXXsAutovetoresAutovalore
nA λλλ
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
55J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo
=
312101211
AResolução : Equação Característica e Busca
de Autovalores
⇒=−−⇒=−−
=++−−−−−−
=−
+−
−−
−−
=
−−
−⇒=−
0)34(0340)21(2)23()13)(1(
012
12
3211
131
1)1(
0312
11211
0)(
223
2
λλλλλλλλλλλ
λλλ
λλ
λλ
λλ IADET
72
72
0
3
2
1
−=
+=
=
λ
λ
λ
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
56J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo
=
312101211
AResolução : Busca de Autovetores no SQH
0312101211
0312
11211
11
1
1
1
=
⇒=
−−
−XX
λλ
λ
11 0 X⇒=λ
−=⇒
12013211
3110
1X
−−
=111
1X
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
57J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo
=
312101211
A
07112
17212171
0312
11211
22
2
2
2
=
−−−
−−⇒=
−−
−XX
λλ
λ
22 72 X⇒+=λ
−−−
−
−−−
12721712
11711
172
+++
=725
7174
2X=2X
Resolução : Busca de Autovetores no SQH
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
58J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo
=
312101211
A
07112
17212171
0312
11211
33
3
3
3
=
++−
+−⇒=
−−
−XX
λλ
λ
33 72 X⇒−=λ
+−+
−
++−
12721712
11711
172
−−−
=725
7174
3X=3X
Resolução : Busca de Autovetores no SQH
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
59J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo
=
312101211
ACorrespondência de Autovalores e Autovetores
72720 321 −=+== λλλ
−−
=111
1X
+++
=725
7174
2X
−−−
=725
7174
3X
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
60J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
A é matriz (n x n), então A e AT têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13a
)IA(DET)IA(DETLogo
)IA(DET))IA((DET)IA(DET
0)IA(DET:Apara.Carac.Eq
T
TT
λλ
λλλ
λ
−=−
−=−=−
=−
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
61J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
A é matriz (n x n), então A e AT têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13a
)IA(DET)IA(DETLogo
)IA(DET))IA((DET)IA(DET
0)IA(DET:Apara.Carac.Eq
T
TT
λλ
λλλ
λ
−=−
−=−=−
=−
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
A é matriz (n x n), então A e AT têm os mesmos Autovalores. Corolário 2.13a.1
Demonstração
.iguais),...,.e.i(raízescompolinômios)IA(DET)IA(DET n1T λλλλ ⇒−=−
62J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos de AT que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b
jjjT
iiiT
jjjiii
Tjiji
Tji
T
YYA,YYA,XXA,XXA
:éisto;AdeeAdesautovetoresrespectivoossãoY,Y,X,X
AeAdeosintdistsautovaloreésimojeésimoisão
.sautovaloremesmostêmAeA,a13.2.TeorPelo
λλλλ
λλ
====
−−≠
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
63J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos de AT que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b
jjjT
iiiT
jjjiii
Tjiji
Tji
T
YYA,YYA,XXA,XXA
:éisto;AdeeAdesautovetoresrespectivoossãoY,Y,X,X
AeAdeosintdistsautovaloreésimojeésimoisão
.sautovaloremesmostêmAeA,a13.2.TeorPelo
λλλλ
λλ
====
−−≠
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
0YX)(YXYXYXYAX
YXYAXXAXXXA
jTiijj
Tiij
Tijj
Tiij
TTi
jTiij
TTi
Y.multpósTii
TTi
.Transpiii
j
=−⇒=⇒=
= →= →= −
λλλλλ
λλλ
)ji(0YX0YX)( jTij
Tiij
ij ≠= →=− ≠λλλλ )ji(YX ji ≠⊥
64J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Se A e B são Matrizes (n x n) Similares, elas têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13c
0)IA(DET)IB(DET
0)S(DET).IA(DET)S(DET
1)IB(DET
0)S)IA(S(DET)SISSAS(DET)IB(DET
0)ISAS(DET)IB(DET
0)IB(DET:Bpara.Carac.EqSASBquetalSingularnãoSSimilaresBeA
111
1
1
=−=−
=−=−
=−=−=−
=−=−
=−
=∃⇒
−−−
−
−
λλ
λλ
λλλ
λλ
λ
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
65J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Se A e B são Matrizes (n x n) Similares, elas têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13c
0)IA(DET)IB(DET
0)S(DET).IA(DET)S(DET
1)IB(DET
0)S)IA(S(DET)SISSAS(DET)IB(DET
0)ISAS(DET)IB(DET
0)IB(DET:Bpara.Carac.EqSASBquetalSingularnãoSSimilaresBeA
111
1
1
=−=−
=−=−
=−=−=−
=−=−
=−
=∃⇒
−−−
−
−
λλ
λλ
λλλ
λλ
λ
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Portanto, sendo Similares, A e BTêm os Mesmos Autovalores λλλλi
66J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Um Autovetor de A (n x n) Não pode Corresponder a Dois Autovalores Distintos Teorema 2.14
]Absurdo[00XComo0X)(0XI)(
:Subtraindo0X)IA(0X)IA(
:Assim.0XAutovetormesmoaoemCorrespondqueAdmitasAutovalorecom)nxn(A
2121
2121
2
1
21
21
λλλλλλλλ
λλ
λλλλ
=⇒=−⇒≠
=−⇒=−
=−
=−≠≠
≠
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
67J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Um Autovetor de A (n x n) Não pode Corresponder a Dois Autovalores Distintos Teorema 2.14
]Absurdo[00XComo0X)(0XI)(
:Subtraindo0X)IA(0X)IA(
:Assim.0XAutovetormesmoaoemCorrespondqueAdmitasAutovalorecom)nxn(A
2121
2121
2
1
21
21
λλλλλλλλ
λλ
λλλλ
=⇒=−⇒≠
=−⇒=−
=−
=−≠≠
≠
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
No entanto, Note que o mesmo Autovalor λλλλpoderá corresponder a Dois (ou mais) AutovetoresDistintos. Bastará que o SQH tenha 2 ou + G.L.
68J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Se X1 , X2 , ..., Xm são Autovetores de A (n x n) correspondendo a Autovalores Distintos λλλλ1 , λλλλ2 , ..., λλλλm (m ≤≤≤≤ n), Então X1 , X2 , ..., Xmsão L.I. Teorema 2.15
m1pp21
iii
ii
X...,,X,X...,,X,X:demaisos.D.L.,I.LsãosAutovetoreprimeirosposapenasqueAdmita)m...1i(0X,0X)IA(oblemasPrdosSoluçõesSãoTodos
m...1i)X,(Autovalor/AutovalordeSoluçõescom)nxn(A
+
=≠=−
=
λλ
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
L.I. L.D.
69J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
m1pp21
iii
ii
X...,,X,X...,,X,X:demaisos.D.L.,I.LsãosAutovetoreprimeirosposapenasqueAdmita)m...1i(0X,0X)IA(oblemasPrdosSoluçõesSãoTodos
m...1i)X,(Autovalor/AutovalordeSoluçõescom)nxn(A
+
=≠=−
=
λλ
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
L.I. L.D.
Se X1 , X2 , ..., Xm são Autovetores de A (n x n) correspondendo a Autovalores Distintos λλλλ1 , λλλλ2 , ..., λλλλm (m ≤≤≤≤ n), Então X1 , X2 , ..., Xmsão L.I. Teorema 2.15
∑=
+ =p
1iii1p XX:Assim β
70J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
0X)IA(
0X)IA(
0X)IA(0X)IA(
1p1p
pp
22
11
=−
=−
=−
=−
++λλ
λλ
M
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Se X1 , X2 , ..., Xm são Autovetores de A (n x n) correspondendo a Autovalores Distintos λλλλ1 , λλλλ2 , ..., λλλλm (m ≤≤≤≤ n), Então X1 , X2 , ..., Xmsão L.I. Teorema 2.15
∑=
+ =p
1iii1p XX β
0)XXA(X)IA( i1p
p
1iii
p
1iii1p =−=−
+==
+ ∑∑ λββλ
71J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
0X)IA(
0X)IA(
0X)IA(0X)IA(
1p1p
pp
22
11
=−
=−
=−
=−
++λλ
λλ
M
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Se X1 , X2 , ..., Xm são Autovetores de A (n x n) correspondendo a Autovalores Distintos λλλλ1 , λλλλ2 , ..., λλλλm (m ≤≤≤≤ n), Então X1 , X2 , ..., Xmsão L.I. Teorema 2.15
∑=
+ =p
1iii1p XX β
0)XXA(X)IA( i1p
p
1iii
p
1iii1p =−=−
+==
+ ∑∑ λββλ
0X)(p
1ii1pii =−∑
=+λλβ
⇑0)( 1pii =− +λλβ
Por Quê ?
72J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Se X1 , X2 , ..., Xm são Autovetores de A (n x n) correspondendo a Autovalores Distintos λλλλ1 , λλλλ2 , ..., λλλλm (m ≤≤≤≤ n), Então X1 , X2 , ..., Xmsão L.I. Teorema 2.15
∑=
+ =p
1iii1p XX β
0XpoisAbsurdo0X 1p1p ≠⇒=
++0)( 1pii =− +λλβ
0Como i1pi =⇒≠ + βλλ
O Absurdo estabelece que Não apenas os p primeiros, mas Todos Autovetores X1 , X2 , ..., Xm de Autovalores Distintos, são L.I.
73J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Se os n Autovalores de A (n x n) são Distintos λλλλ1≠≠≠≠ λλλλ2 ≠≠≠≠ ... ≠≠≠≠ λλλλn , Então os n Autovetores X1 , X2 ,..., Xn são L.I. Corolário 2.15.1
74J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Os Autovalores de A (n x n) Simétrica são Reais. Teorema 2.16
alReLogo.0alResempreéXX
XXXXXXXAX:Xcomanteriora.MultéPr
XXAXXA:ConjugadosCom
XAXXAXXXAAssim
.AdeXAutovetorseueAutovalorumConsidere.wwqueprovamos,alReéwquevaroPrPara
AAeAAAssim.alRe,Simétrica),nxn(ASeja
T
TTTTT
TTTTT
T
λλλ
λλλ
λλ
λλλ
λ
⇒=>
=⇒=−
=⇒=
=⇒=⇒=
=
==
75J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Se Xi e Xj são Autovetores correspondentes a Autovalores Distintos λλλλi ≠≠≠≠ λλλλj de A (n x n) Simétrica, Então Xi e Xj são Ortogonais; isto é Xi
TXj = 0. Teorema 2.17
jijTijij
Tiji
jTijj
Tiij
Tijj
Ti
Ti
Tjj
Tj
Tjj
TTjjjj
Tii
Ti
Tii
TTiiii
jiji
T
XX0XXComo,0XX)(
XXXXXXXAX:Xcom.MultéPr
XAXXAXXXA
XAXXAXXXA
.XeXsAutovetoreseuseosintDistsAutovaloreosSejamAAAssim.alRe,Simétrica),nxn(ASeja
⊥⇒=⇒≠=−
=⇒=−
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
≠
=
λλλλ
λλλ
λλλ
λλλ
λλ
76J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Para matriz A Simétrica (n x n), a um Autovalor λλλλ de Multiplicidade r , corresponderão Exatamente r Autovetores L.I.
Teorema 2.18
Toda matriz A Simétrica (n x n), Possui n Autovetores L.I.Corolário 2.18.1
77J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)
..);18.2.(..
);17.2.(
:)(:2.1.,...,,,17.2.
)....()(:1.1
.)(:1.Re,),(
21
21
sautovaloredesautovetoreasãorepautovalordesAutovetoreTeorILapenassãorepetidossautovaloredeosJá
TeorsãosautovaloredesAutovetoreOssAutovaloredequadroseunorepetiçãotemnxnAFase
sãoXXXsautovetoretodosTeorPeloDiferentessAutovalorentemnxnAFase
OrtogonaissAutovetorenAdmitenxnASimétricaTodaFaseAAAssimalSimétricanxnASeja
n
n
T
≠⊥
⊥≠
⊥
≠≠≠
=
λλλ
78J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)
:)....1(....,,,
.
21
SchmidtzaçãoOrtogonaliAplicandokiXXAAssimmúltiplokautovalordesautovetoresãoXXX
repetidoautovalordesautovetoredezaçãoOrtogonaliaviávelÉ
iai
ak
==−
λλ
1111
23213133
12122
11
... −−+++=
++=+=
=
kkkkkk WWXW
WWXWWXW
XW
αα
ααα
M kk XXdeLCWW ,...,..,..., 11⇒
79J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
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Demonstração
Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)
iaj
i
jijaj
i
jaijj
i
jijj
i
jiji
ak
WXXXAXAWA
autovalordesautovetorecomoWWWTestamos
λβλλβββ
λ
===== ∑∑∑∑==== 1111
21 :...,,,
∑=
=⇒i
jjijikk XWXXdeLCWWW
1121 ,...,.....,, β
⊥TambémSãoWWW k...,, 21
)...1( kiaAssociadoAutovetoréWWWA aiiai =⇒= λλ
80J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)
Isto é, os Autovetores de Autovalor Repetido, após Ortogonalização Schmidt, Continuam Autovetores, porém, agora apresentando Ortogonalidade.
Em suma, Sempre é possível escrever n Autovetores Ortogonais para uma Matriz A (n x n) Simétrica, mesmo que haja repetição em seus Autovalores.
81J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Demonstração
Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)
1
....,,,,
,...,,,,1Re,:2
21
21
=⇒=
−
ii
ii
n
n
PWWP
PPPsOrtonormaisAutovetorenseTornandoosNormalizad
seragorapodemWWWcomoosSimbolizadeanteriorFasenaunidosOrtogonaissAutovetorenOsFase
82J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)
)(1),(0
)...1(1,
,...,,)(: 21
jiPPjiPPqueTais
niPPPAcom
PPPsAutovetoreExistemSimétricanxnASumaEm
iTij
Ti
iiii
n
==≠=
===
⇒
λ
83J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
A (n x n) Simétrica, Tem n Autovetores Ortonormais Teor. 2.19
987654321
987654321
655433321
655433321
53655433321
,,,,,,,,)2(
).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(
)99(:9
PPPPPPPPP
WWWWWWWWW
XXXXXXXXX
PFormaWFormaXFormasAutovetoreemrepemrep
TeorreaistodossãosAutovaloreObterSimétricaxAnparaadaExemplificAçõesdeCadeia
bacba
iii
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓
→→
=
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλ
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Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
A (n x n) Simétrica, Tem n Autovetores Ortonormais Teor. 2.19
987654321
987654321
655433321
655433321
53655433321
,,,,,,,,)2(
).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(
)99(:9
PPPPPPPPP
WWWWWWWWW
XXXXXXXXX
PFormaWFormaXFormasAutovetoreemrepemrep
TeorreaistodossãosAutovaloreObterSimétricaxAnparaadaExemplificAçõesdeCadeia
bacba
iii
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓
→→
=
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλ
Apenas L.I.
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Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
A (n x n) Simétrica, Tem n Autovetores Ortonormais Teor. 2.19
987654321
987654321
655433321
655433321
53655433321
,,,,,,,,)2(
).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(
)99(:9
PPPPPPPPP
WWWWWWWWW
XXXXXXXXX
PFormaWFormaXFormasAutovetoreemrepemrep
TeorreaistodossãosAutovaloreObterSimétricaxAnparaadaExemplificAçõesdeCadeia
bacba
iii
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓
→→
=
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλ
Já Ortogonais
ii XW =
86J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
A (n x n) Simétrica, Tem n Autovetores Ortonormais Teor. 2.19
987654321
987654321
655433321
655433321
53655433321
,,,,,,,,)2(
).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(
)99(:9
PPPPPPPPP
WWWWWWWWW
XXXXXXXXX
PFormaWFormaXFormasAutovetoreemrepemrep
TeorreaistodossãosAutovaloreObterSimétricaxAnparaadaExemplificAçõesdeCadeia
bacba
iii
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓
→→
=
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλOrtogonalizarvia Schmidt
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Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores
A (n x n) Simétrica, Tem n Autovetores Ortonormais Teor. 2.19
987654321
987654321
655433321
655433321
53655433321
,,,,,,,,)2(
).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(
)99(:9
PPPPPPPPP
WWWWWWWWW
XXXXXXXXX
PFormaWFormaXFormasAutovetoreemrepemrep
TeorreaistodossãosAutovaloreObterSimétricaxAnparaadaExemplificAçõesdeCadeia
bacba
iii
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓
→→
=
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλ
Normalização
iii WWP /=
88J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
A, B (n x n), P e Q (n x n) Não Singulares Definição 2.1
1
1
1
)/,(
)/,(
),(
),(
),(
−
−
−
=
→=
=
→=
→=
→=
→=
SimilaresUnitariaBAUnitáriaçãoTransformaQAQB
SimilaresOrtogonalBAOrtogonalçãoTransformaQAQB
sCongruenteBAaCongruêncideçãoTransformaQAQB
SimilaresBAdeSimilaridadeçãoTransformaQAQB
esEquivalentBAiaEquivalêncdeçãoTransformaQAPB
T
T
T
T
T
89J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
A (n x n), possui n Autovetores L.I., então A é Similar à Matriz de Autovalores em Diagonal Teorema 2.20
Demonstração
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] 12
1
21
22112121
1
21
21
,0)(,)(..
)(
.,...,,
−
−
=⇒=⇒
=
===
∃≠=⇒
=
PPAPPAPPPPA
PPPPAPAPAPPPAPAPPDETnPPostoILsAutovetoreComo
nxnPPPPMatrizaSejaAdeosNormalizadsAutovetorePPPSejam
n
n
nnnn
n
n
λλ
λ
λλ
λλλ
OL
LLL
L
PPPPA λλλ 11 −− =⇔=
90J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
A (n x n) Inversível, então Autovalores de A-1 são o Inverso de Autovalores A e Autovetores são Iguais aos de A. Teorema 2.21
Demonstração
.,
1.,...,,
1
111
21
entesCorrespondsAutovetoremesmososcomAdesAutovaloredeInversosossãoAdesAutovaloreLogo
PPAPAPAAPPA
AdeosNormalizadsAutovetorePPPSejam
ii
iiiiiii
n
−
−−− =⇒=⇒=λ
λλ
91J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
A (n x n) Inversível com n Autovetores L.I.., então A-1 é Similar àMatriz Diagonal de Inversos de Autovalores Corolário 2.21.1
Demonstração[ ]
12
1
1
1111
11
2121
/1
/1/1
:.,...,,
−−
−−−−
−−
=
=⇒=
=⇔=⇒=
=⇒=
PPA
PPAPPA
PAPPPAPPA
PPPAPAPPAAdeNormalsAutovetorePPP
n
niiin
λ
λλ
λλ
λλλ
λ
O
L
PAP
n
112
1
1
/1
/1/1
−−− =
=
λ
λλ
λO
92J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
A (n x n) Simétrica, então A é Similar a uma Matriz Diagonal. Teorema 2.22
Demonstração
PAPPPAA
sAutovaloredeDiagonalMatrizàSimilaréATeorpeloLogoILassimeOrtogonaissAutovetorenpossuiSimétricanxnATeorPelo
T 11
:,20.2.,..,,)(,19.2.
−− =⇒== λλ
93J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
Uma Matriz cujas Colunas são ortogonais entre si, é uma Matriz Ortogonal. Teorema 2.23
Demonstração[ ]
[ ]
1)(1)(1)(
)(1)(0:
2
1
21
22212
12111
212
1
21
±=⇒=⇒=
=⇒=
=
=
==≠=⊥
=
−
PDETPDETPPDET
PPIPP
PPPPPP
PPPPPPPPPPPP
PPP
P
PP
PP
jiPPjiPPsãoColunasCujas
PPPPSeja
T
TT
nTn
Tn
Tn
nTTT
nTTT
n
Tn
T
T
T
iTij
Ti
n
L
MOMM
L
L
LM
L
94J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
A Simétrica (n x n) é Ortogonalmente Similar à Matriz Diagonal de Autovalores Teorema 2.24
Demonstração
[ ]
==
n
n
n
n
PPPPAssim
entesCorrespondsAutovaloreosSejamnxnSimétricaAdesAutovetoreosPPPSejam
λ
λλ
λ
λλλ
OL 2
1
21
21
21
,
.,...,,
).(...,,,
PAPPPAAPP
OrtogonaléPsãoSimétricaAdesAutovetoreosComoPAPPPAATeorPelo
TTTT
T
=⇔==⇒=
⊥
=⇒==
−
−−
λλ
λλ
1
11
;,
:22.2.
95J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
Com M Simétrica (n x n), qualquer Forma Quadrática Q(X) pode ser posta igual à Forma Diagonal com Autovalores. Teorema 2.25
Demonstração
[ ]
sAutovaloreosesAutovetoreosPPPonde
YYYXQ
PXYXPYcomXPPXXQAssim
PPPPPPMPPM
SimétricaéMComoXMXXQQuadráticaFormaaSeja
nn
n
iii
T
TTTTT
n
nT
T
λλ
λλ
λ
λ
λλ
λλλ
,...,...,,,
)(
,)(,
,,
.)(
121
1
2
2
1
21
∑=
==
=⇔==
===⇒=
=
OL
96J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
Com M Simétrica (n x n), a Forma Quadrática Q(X) pode ter seu carácter determinado pelos Autovalores de M. Teorema 2.26
Demonstração
[ ] diagonalemAutovalsosnormalizadAutovetsPPP
XPPXXMXXQTeoreSimétricaMXMXXQCom
n
n
TTTT
==
===
λ
λλ
λ
OL1
1 ,
,)(:25.2.,)(
0,0)(0),,...,1(0)(
),...,1(0)(0),,...,1(0)(
),...,1(0)(
:,)(1
2
>≤⇔==≤⇔−
=<⇔−==≥⇔−
=>⇔−
==⇒=⇔= ∑=
ii
ki
i
ki
i
n
iii
TTTT
ummenospeloummenosPeloIndefinidaXQummenospelonidasemidefiniNegativaXQ
nidefinidaNegativaXQummenospelonidasemidefiniPositivaXQ
nidefinidaPositivaXQ
resultaYYYXQPXYXPYUsando
λλλλ
λλλ
λ
λλ
97J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
Com M Simétrica (n x n), a Forma Quadrática Q(X) pode ter seu carácter determinado pelos Autovalores de M. Teorema 2.26
Exemplo
=
=
421252123
)(
M
XMXXQ T
98J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes
Com M Simétrica (n x n), a Forma Quadrática Q(X) pode ter seu carácter determinado pelos Autovalores de M. Teorema 2.26
Exemplo
)(],[:
.)()(
6119.7,6587.2,7295.10421
252123
:
3
1
2
321
MeigLambdaPMatlabnosAutovalorecalcularPara
definidaPositivaéXQYXQAssim
sAutovalore
iii
=
−⇒=
===⇒=−
−−
∑=
λ
λλλλ
λλ