Métodos de integración numérica de Newton aplicados en un ... · Métodos de integración...

Resumen

En este trabajo se presenta un estudio de caso para aplicar los conceptos de integración numérica de utilidad en las ciencias básicas de ingeniería. Se obtuvo el volumen de almacenamiento en un embalse, usando los esquemas de integración numérica de Newton (Trapecial, Simpson 1/3 y Simpson 3/8) a partir de los datos del tránsito de avenidas por el embalse de la presa “Las Cruces”, del proyecto hidroeléctrico de la Comisión Federal de Electricidad en el que se consideró como hidrograma de entrada la avenida de diseño para la obra de excedencias. Los resultados de los volúmenes calculados se compararon con los que reportó el programa que realiza el tránsito de la avenida, obteniéndose resultados conservadores con los métodos de integración Newton, respecto a la inte-gración a través de rectángulos que realiza el programa de tránsito de la Comisión Federal de Electricidad.Descriptores: Esquemas de integración numérica de Newton, esquema trapecial, esquema de simpson 1/3, esquema de simpson 3/8, volumen de almacenamiento de un embalse.

Abstract

This paper presents a case study to apply the concepts of numerical integration which is a useful concept in the engineering basic sciences. The storage volume in a reservoir was obtained using Newton´s numerical integration schemes (Trapezoidal rule, Simpson 1/3 and Simpson 3/8) from data of flood routing by the dam “Las Cruces”, an hydroelectric project of the Federal Electricity Com-mittee where it was considered as input the design hydrograph for the spillway. The results of the calculated volumes were compared with those who reported the program that performs the flood routing, giving conservative results with Newton´s integration methods regarding integration through rectangles that performs the flood routing program of the Federal Electricity Committee.Keywords: Newton’s numerical integration schemes, trapezoidal scheme, simpson 1/3 scheme, simpson 3/8 scheme, reservoir sto-rage volume.

IngenIería InvestIgacIón y tecnología

volumen XIX (número 2), abril-junio 2018 183 -193ISSN 2594-0732 FI-UNAM artículo arbitradoInformación del artículo: recibido: abril de 2016, reevaluado: febrero y agosto de 2017, aceptado: septiembre de 2017 Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0) licenseDOI: http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2018.19n2.016

Métodos de integración numérica de Newton aplicados en un problema de manejo de embalsesNewton’s numerical integration schemes applied in a reservoir operation problem

Arganis-Juárez Maritza LilianaUniversidad Nacional Autónoma de México Instituto de Ingeniería, Facultad de Ingeniería Correo: [email protected]

Cortés-Rosas Jesús JavierUniversidad Nacional Autónoma de México, Facultad de IngenieríaCorreo: [email protected]

González-Cárdenas Miguel EduardoUniversidad Nacional Autónoma de México, Facultad de IngenieríaCorreo: [email protected]

Pinilla-Morán Víctor DamiánUniversidad Nacional Autónoma de México, Facultad de IngenieríaCorreo: [email protected]

Salazar-Moreno AlfonsoUniversidad Nacional Autónoma de México, Facultad de IngenieríaCorreo: [email protected]

García-Burgos SalvadorUniversidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería Correo: [email protected]

IntroduccIón

El tránsito o laminación de avenidas por embalses es uno de los problemas fundamentales de la hidrología de superficie que se aplica en el diseño y revisión de la obra de excedencias de una presa, en este tipo de obras colaboran ingenieros de distintas áreas (ingenieros civi-les, mecánicos, electricistas, geofísicos, geólogos, entre otros). Con el desarrollo de equipos de cómputo los mé-todos numéricos para su cálculo, basados todos ellos en la ecuación de continuidad han cobrado auge como he-rramienta para obtener resultados a este problema. En

este trabajo se seleccionaron los resultados de los hidro-gramas de entrada y de salida, además del volumen de almacenamiento máximo que dio el programa trate.bas de la Comisión Federal de Electricidad (CFE) conside-rando los datos de la avenida de diseño con periodo de retorno de 10,000 años que podría presentarse en el em-balse de un proyecto hidroeléctrico (P.H) que se cons-truirá próximamente en México; se hizo una compa- ración de los resultados que se obtienen al usar los mé-todos de integración numérica de Newton: Trapecial, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 para calcular el volumen de almacenamiento a partir del concepto del área encerra-

http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2018.19n2.016

mailto:[email protected]






Métodos de integración nuMérica de newton aplicados en un probleMa de Manejo de eMbalses

IngenIería InvestIgacIón y tecnología, volumen XIX (número 2), abril-junio 2018: 183-193 ISSN 2594-0732 FI-UNAM184

da entre dos curvas (en este problema las curvas son los hidrogramas de entrada y de salida). Los métodos de integración numérica tienen numerosas aplicaciones en la ingeniería (Smith, 1988; Campos-Aranda, 2002; Fron-tini y Sormani, 2002; Nieves y Domínguez, 2014; Yusuf-Osama, 2012).

Metodología

Ecuación dE continuidad

La ecuación diferencial de continuidad utilizada en el tránsito de avenidas de embalses se puede expresar como

(1)

donde

I = datos del hidrograma de entrada O = hidrograma de salida dS/dt = variación del almacenamiento en el embalse

en el tiempo

Se entiende por hidrograma a la curva que representa la variación del gasto o caudal a lo largo del tiempo.

Si se integra la ecuación 1

(2)

En la ecuación 2 se puede observar la relación del incre-mento del volumen almacenado con el caudal o gasto de entrada I, el caudal de salida O y el incremento del tiempo. Pero si el objetivo es obtener el volumen alma-cenado S al final de un intervalo, se trata de una ecua-ción con dos incógnitas porque el caudal de salida O es otra variable que no se conoce al final del intervalo, por ese motivo este problema se resuelve con auxilio de la curva elevaciones capacidades del embalse.

El tránsito de avenidas permite resolver este proble-ma y con este procedimiento se revisa el funciona-miento hidrológico adecuado del embalse ante el posible paso de una avenida en el mismo, ya que se debe garantizar que con la operación de la obra de ex-cedencias no se rebasa el nivel de aguas máximas ex-traordinarias (NAME) de diseño de la presa.

cFe prograMa trate.bas

Este programa está codificado en Quick Basic, utiliza el método numérico de tránsito de avenidas del Manual de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad (CFE, 1980); este método resuelve la ecuación de conti-nuidad (1) reordenándola de manera conveniente y usando la curva elevaciones capacidades descargas, realizando un proceso por aproximaciones sucesivas al valor del gasto de salida en cada intervalo de tiempo analizado.

esqueMa de IntegracIón trapecIal

La fórmula de integración trapecial o del trapecio, esti-ma a la integral definida de una función y(x) entre los límites x0 y xn, a partir de la suma de las integrales de polinomios de primer grado pasados entre cada dos puntos; el esquema de integración trapecial, en término de las ordenadas de la función, tabulada con un incre-mento h en la variable independiente, se representa de la manera siguiente

(3)

La notación anterior obedece a la interpretación geomé-trica de la integral como el área bajo una curva, el ½ corresponde al factor que afecta al incremento constan-te h en la variable independiente. El error que se come-ta al calcular la integral con esta expresión será pequeño si el incremento constante h utilizado es pequeño (Iriar-te, 1990; Luthe et al., 1984; Gerald, 1990).

esqueMa de sIMpson 1/3

El esquema de integración de Simpson 1/3, se obtiene a partir de pasar polinomios de segundo grado entre cada tres puntos de la función y(x), se denota

(4)

Esta fórmula de integración tiene la restricción de para poder aplicar la n (subíndice del último valor del inter-valo de integración) debe ser número par (Iriarte, 1990; Luthe et al., 1984; Curtis, 1990).

, volumen XIX (número 2), abril-junio 2018: 183-193 ISSN 1405-7743 FI-UNAM184

da entre dos curvas (en este problema las curvas son loshidrogramas de entrada y de salida). Los métodos de integración numérica tienen numerosas aplicaciones en la ingeniería (Smith, 1988; Campos-Aranda, 2002; Fron-tini y Sormani, 2002; Nieves y Domínguez, 2014; Yusuf-Osama, 2012).


(1)

donde

I = datos del hidrograma de entradaO = hidrograma de salidadS/dt = variación del almacenamiento en el embalse

en el tiempo



(2)

En la ecuación 2 se puede observar la relación del incre-mento del volumen almacenado con el caudal o gasto de entrada I, el caudal de salida O y el incremento del tiempo. Pero si el objetivo es obtener el volumen alma-cenado S al final de un intervalo, se trata de una ecua-ción con dos incógnitas porque el caudal de salida O es otra variable que no se conoce al final del intervalo, porese motivo este problema se resuelve con auxilio de lacurva elevaciones capacidades del embalse.


Este programa está codificado en Quick Basic, utiliza elmétodo numérico de tránsito de avenidas del Manual de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad (CFE, 1980); este método resuelve la ecuación de conti-nuidad (1) reordenándola de manera conveniente yusando la curva elevaciones capacidades descargas, realizando un proceso por aproximaciones sucesivas alvalor del gasto de salida en cada intervalo de tiempo analizado.

La fórmula de integración trapecial o del trapecio, esti-ma a la integral definida de una función y(x) entre loslímites x0 y xn, a partir de la suma de las integrales de polinomios de primer grado pasados entre cada dospuntos; el esquema de integración trapecial, en término de las ordenadas de la función, tabulada con un incre-mento h en la variable independiente, se representa de la manera siguiente

(3)

La notación anterior obedece a la interpretación geomé-trica de la integral como el área bajo una curva, el ½ corresponde al factor que afecta al incremento constan-te h en la variable independiente. El error que se come-ta al calcular la integral con esta expresión será pequeñosi el incremento constante h utilizado es pequeño (Iriar-te, 1990; Luthe et al., 1984; Gerald, 1990).

El esquema de integración de Simpson 1/3, se obtiene apartir de pasar polinomios de segundo grado entre cada tres puntos de la función y(x), se denota

(4)

Esta fórmula de integración tiene la restricción de parapoder aplicar la n (subíndice del último valor del inter-valo de integración) debe ser número par (Iriarte, 1990;Luthe et al., 1984; Curtis, 1990).

dsI Odt

( )dS I O dt

A h y y yn ii

n

1 2 01

1

22/

imparparn yyyyhA 423 03/1




(1)

donde


en el tiempo



(2)





(3)



(4)


dsI Odt

( )dS I O dt

A h y y yn ii

n

1 2 01

1

22/





(1)

donde


en el tiempo



(2)





(3)



(4)


dsI Odt

( )dS I O dt

A h y y yn ii

n

1 2 01

1

22/





(1)

donde


en el tiempo



(2)





(3)



(4)


dsI Odt

( )dS I O dt

A h y y yn ii

n

1 2 01

1

22/


DOI: http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2018.19n2.016


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ArgAnis-Juárez MAritzA L., Cortés-rosAs J.J., gonzáLez-CárdenAs M.e., PiniLLA-Morán V.d., sALAzAr-Moreno A., gArCíA-Burgos s.

IngenIería InvestIgacIón y tecnología, volumen XIX (número 2), abril-junio 2018: 183-193 ISSN 2594-0732 FI-UNAM

esqueMa de sIMpson 3/8

El esquema de integración de Simpson 3/8 considera pasar polinomios de tercer grado entre cada cuatro puntos de la función y(x) y está dado por la ecuación siguiente

(5)

Para que la fórmula de Simpson 3/8 sea aplicable n debe ser múltiplo de 3.

En las ecuaciones 3 a 5 la variable A representa al incremento en el volumen almacenado S de la ecuación 1, h representa el incremento constante en el tiempo t del hidrograma de entrada y de salida, la variable y co-rresponde a las ordenadas del hidrograma de entrada y/o de salida (I, O).

Los esquemas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 pro-porcionan resultados similares, aunque la función co-rresponda a un polinomio de grado superior a tres; estas dos expresiones son las que producen menores errores en la estimación de la integral, pero hay que to-mar en cuenta que tienen restricciones en su aplicación. También se puede calcular el valor de la integral combi-nando las dos expresiones anteriores, utilizándolas por tramos, en que sean aplicables (Iriarte, 1990; Luthe et al., 1984, Gerald, 1990).

datos de entrada al probleMa

Se tomó la información de los hidrogramas de entrada y salida que resultaron de aplicar el programa de tránsito de avenidas Trate.bas de la CFE, a partir de condiciones iniciales en el embalse previamente especificadas (se tie-ne que conocer la elevación inicial en el embalse, el hi-drograma de entrada I al embalse, la curva elevaciones-capacidades de almacenamiento del embalse y la curva elevaciones-descargas por la obra de excedencias y, de existir, descargas por la obra de toma de la presa).

Los hidrogramas de entrada y salida constaron de 241 datos (desde t=0 hasta t=240) (Tabla 1) en la tabla aparece i que es s el contador de datos, el tiempo en horas, el volumen almacenado en el embalse en hm3, la elevación en m, el gasto de entrada I en m3/s y el gasto de salida O en m3/s.

El hidrograma de entrada que se utilizó correspon-dió al obtenido para un periodo de retorno de 10,000 años, periodo de tiempo en años que comúnmente se utiliza para el diseño de la obra de excedencias de gran-

des presas, es decir, no se aplica una avenida histórica, sino una avenida de diseño. El periodo de retorno se define como el tiempo en años que en promedio puede transcurrir para que un evento (en el ejemplo un caudal o gasto) pueda ocurrir al menos una vez en este tiempo.

En la Figura 1 se dibujan los hidrogramas de entra-da, salida, así como información relevante resultado del tránsito de la avenida por el embalse.

aplIcacIón de los Métodos de IntegracIón nuMérIca para estIMar el voluMen alMacenado en el eMbalse

ProblEma

Caso 1

Se obtendrá el volumen de almacenamiento neto ante el paso de la avenida por el embalse de un Proyecto Hi-droeléctrico. El volumen que se desea obtener correspon-de al área encerrada entre las dos curvas (la del hidrograma de entrada menos la del hidrograma de salida).

Se considera un factor de conversión de unidades para obtener el volumen S en millones de m3, porque el gasto está en m3/s y el tiempo en horas, para ello se transforma el tiempo a segundos, multiplicando por los segundos de una hora y con ello se obtendría el volu-men en m3 y al dividir entre un millón se logra obtener el volumen en millones de m3.

Como n=240, es par y es múltiplo de 3, se aplicarán los esquemas de integración de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, adicionalmente se utilizará el esquema de integra-ción trapecial para comparar los resultados con el dato del incremento del volumen reportado por el programa con que se realizó el tránsito de la avenida.

dIscusIón y análIsIs de resultados

A continuación se hace un resumen de los resultados del volumen neto adicional que almacenó el embalse al pasar la avenida por él.

En las tablas anteriores A1 es el área bajo el hidro-grama de entrada y A2 es el área bajo el hidrograma de salida.

detalle de la estIMacIón de la dIFerencIa del voluMen del caso de la tabla 2

Cálculo de A1. En el esquema de integración trapecial no se toma en cuenta el valor final del contador de da-tos i, por lo que se usa el esquema considerando como factor el incremento del tiempo entre dos y multiplican-do a una vez el dato del hidrograma de entrada I (pri-185 volumen XIX (número 2), abril-junio 2018: 183-193 ISSN 1405-7743 FI-UNAM

El esquema de integración de Simpson 3/8 considerapasar polinomios de tercer grado entre cada cuatro puntos de la función y(x) y está dado por la ecuación siguiente

(5)

Para que la fórmula de Simpson 3/8 sea aplicable ndebe ser múltiplo de 3.

En las ecuaciones 3 a 5 la variable A representa al incremento en el volumen almacenado S de la ecuación1, h representa el incremento constante en el tiempo t del hidrograma de entrada y de salida, la variable ycorresponde a las ordenadas del hidrograma de entra-da y/o de salida (I, O).

Los esquemas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 pro-porcionan resultados similares, aunque la función co-rresponda a un polinomio de grado superior a tres; estas dos expresiones son las que producen menoreserrores en la estimación de la integral, pero hay que to-mar en cuenta que tienen restricciones en su aplicación.También se puede calcular el valor de la integral combi-nando las dos expresiones anteriores, utilizándolas por tramos, en que sean aplicables (Iriarte, 1990; Luthe et al.,1984, Gerald, 1990).

Se tomó la información de los hidrogramas de entrada ysalida que resultaron de aplicar el programa de tránsito de avenidas Trate.bas de la CFE, a partir de condicionesiniciales en el embalse previamente especificadas (se tie-ne que conocer la elevación inicial en el embalse, el hi-drograma de entrada I al embalse, la curva eleva-ciones-capacidades de almacenamiento del embalse y la curva elevaciones-descargas por la obra de excedenciasy, de existir, descargas por la obra de toma de la presa).

Los hidrogramas de entrada y salida constaron de 241 datos (desde t=0 hasta t=240) (Tabla 1) en la tablaaparece i que es s el contador de datos, el tiempo enhoras, el volumen almacenado en el embalse en hm3, laelevación en m, el gasto de entrada I en m3/s y el gasto de salida O en m3/s.

El hidrograma de entrada que se utilizó correspon-dió al obtenido para un periodo de retorno de 10,000años, periodo de tiempo en años que comúnmente seutiliza para el diseño de la obra de excedencias de gran-

des presas, es decir, no se aplica una avenida histórica, sino una avenida de diseño. El periodo de retorno sedefine como el tiempo en años que en promedio puede transcurrir para que un evento (en el ejemplo un caudal o gasto) pueda ocurrir al menos una vez en este tiempo.

En la Figura 1 se dibujan los hidrogramas de entra-da, salida, así como información relevante resultado del tránsito de la avenida por el embalse.

Caso 1

Se obtendrá el volumen de almacenamiento neto ante el paso de la avenida por el embalse de un Proyecto Hi-droeléctrico. El volumen que se desea obtener corres-ponde al área encerrada entre las dos curvas (la del hidrograma de entrada menos la del hidrograma de salida).

Se considera un factor de conversión de unidadespara obtener el volumen S en millones de m3, porque el gasto está en m3/s y el tiempo en horas, para ello se transforma el tiempo a segundos, multiplicando por lossegundos de una hora y con ello se obtendría el volu-men en m3 y al dividir entre un millón se logra obtener el volumen en millones de m3.

Como n=240, es par y es múltiplo de 3, se aplicarán los esquemas de integración de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, adicionalmente se utilizará el esque-ma de integración trapecial para comparar los resulta-dos con el dato del incremento del volumen reportado por el programa con que se realizó el tránsito de la ave-nida.

A continuación se hace un resumen de los resultadosdel volumen neto adicional que almacenó el embalse al pasar la avenida por él.

En las tablas anteriores A1 es el área bajo el hidrogra-ma de entrada y A2 es el área bajo el hidrograma de sa-lida.

Detalle de la estimación de la diferencia del volu-men del caso de la tabla 2

Cálculo de A1. En el esquema de integración trape-cial no se toma en cuenta el valor final del contador de datos i, por lo que se usa el esquema considerandocomo factor el incremento del tiempo entre dos y mul-tiplicando a una vez el dato del hidrograma de entrada

tesresmúltiploden yyyyhA tan308/3 3283





Tabla 1. Resultados de un tránsito de avenidas por el embalse de un proyecto hidroeléctrico

i Tiempo (h)

Volumen almacenado

(hm3)

Elevación (m)

Gasto de entrada (m3/s)

Gasto de salida (m3/s) i Tiempo

(h)

Volumen almacenado S

(hm3)

Elevación (m)

Gasto de entrada I

(m3/s)

Gasto de salida O

(m3/s)

0 0 1626.318 238 1578.25 0 36 36 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

1 1 1627.626 238.031 1578.25 1559.003 37 37 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

2 2 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 38 38 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

3 3 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 39 39 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

4 4 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 40 40 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

5 5 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 41 41 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

6 6 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 42 42 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

7 7 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 43 43 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

8 8 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 44 44 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

9 9 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 45 45 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

10 10 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 46 46 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

11 11 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 47 47 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

12 12 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 48 48 1627.748 238.034 1703.69 1703.69

13 13 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 49 49 1627.874 238.037 1899.28 1853.785

14 14 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 50 50 1627.912 238.038 1899.28 1898.61

15 15 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 51 51 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

16 16 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 52 52 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

17 17 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 53 53 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

18 18 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 54 54 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

19 19 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 55 55 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

20 20 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 56 56 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

21 21 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 57 57 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

22 22 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 58 58 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

23 23 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 59 59 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

24 24 1627.643 238.032 1578.25 1577.996 60 60 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

25 25 1627.724 238.034 1703.69 1674.484 61 61 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

26 26 1627.748 238.034 1703.69 1703.355 62 62 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

27 27 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 63 63 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

28 28 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 64 64 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

29 29 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 65 65 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

30 30 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 66 66 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

31 31 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 67 67 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

32 32 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 68 68 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

33 33 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 69 69 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

34 34 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 70 70 1627.912 238.038 1899.28 1899.28

35 35 1627.748 238.034 1703.69 1703.69 71 71 1627.912 238.038 1899.28 1899.28



187



Tabla 1. Continuación

i Tiempo (h)

Volumen almacenado

(hm3)

Elevación (m)


Gasto de salida (m3/s)

i Tiempo (h)

Volumen almacenado

S (hm3)

Elevación (m)

Gasto de entrada I

(m3/s)

Gasto de salida O

(m3/s)

72 72 1627.912 238.038 1899.28 1899.28 107 107 1694.456 239.63 11413.86 8335.535

73 73 1628.203 238.045 2350.02 2245.815 108 108 1706.678 239.922 12237.79 8531.585

74 74 1628.29 238.047 2350.02 2349.14 109 109 1718.563 240.193 11625.59 8720.173

75 75 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 110 110 1727.653 240.396 11013.1 8861.359

76 76 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 111 111 1734.105 240.54 10400.61 8961.561

77 77 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 112 112 1738.061 240.629 9788.12 9023.013

78 78 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 113 113 1739.657 240.665 9175.63 9047.806

79 79 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 114 114 1739.023 240.65 8563.14 9037.943

80 80 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 115 115 1736.278 240.589 7950.65 8995.325

81 81 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 116 116 1731.538 240.483 7338.16 8921.709

82 82 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 117 117 1724.912 240.335 6725.67 8818.794

83 83 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 118 118 1716.502 240.147 6113.18 8688.169

84 84 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 119 119 1706.409 239.916 5500.69 8527.258

85 85 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 120 120 1694.74 239.637 4888.2 8340.098

86 86 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 121 121 1681.583 239.322 4275.38 8129.07

87 87 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 122 122 1669.064 239.022 4220.922 4969.81

88 88 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 123 123 1668.745 239.015 4166.823 4172.595

89 89 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 124 124 1668.724 239.014 4112.724 4118.352

90 90 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 125 125 1668.703 239.014 4058.625 4064.108

91 91 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 126 126 1668.682 239.013 4004.526 4011.508

92 92 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 127 127 1668.661 239.013 3950.427 3955.621

93 93 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 128 128 1668.641 239.012 3896.328 3901.377

94 94 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 129 129 1668.619 239.012 3842.229 3848.778

95 95 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 130 130 1668.598 239.011 3788.13 3794.534

96 96 1628.291 238.047 2350.02 2349.9 131 131 1668.577 239.011 3734.031 3738.647

97 97 1629.382 238.073 3174.06 2491.419 132 132 1668.556 239.01 3679.932 3686.047

98 98 1633.311 238.167 3998.04 2498.385 133 133 1668.535 239.01 3625.833 3631.804

99 99 1640.173 238.331 4822.02 2510.548 134 134 1668.514 239.009 3571.734 3577.56

100 100 1649.948 238.565 5646 2527.874 135 135 1668.493 239.009 3517.635 3523.317

101 101 1662.617 238.868 6469.98 2550.331 136 136 1668.472 239.008 3463.536 3469.073

102 102 1669.919 239.043 7293.96 7198.724 137 137 1668.451 239.008 3409.437 3416.474

103 103 1670.259 239.051 8117.94 7947.435 138 138 1668.43 239.007 3355.338 3362.23

104 104 1672.311 239.1 8941.92 7980.336 139 139 1668.409 239.007 3301.239 3306.343

105 105 1677.129 239.216 9765.9 8057.629 140 140 1668.388 239.006 3247.14 3253.743

106 106 1684.56 239.393 10589.88 8176.806 141 141 1668.367 239.006 3193.041 3199.5





Tabla1. Continuación

i Tiempo (h)

Volumen almacenado

(hm3)

Elevación (m)


Gasto de salida (m3/s)

i Tiempo (h)

Volumen almacenado

S (hm3)

Elevación (m)

Gasto de entrada I

(m3/s)

Gasto de salida O

(m3/s)

142 142 1668.346 239.005 3138.942 3145.256 177 177 1629.993 238.088 1808.24 2492.503

143 143 1668.325 239.005 3084.843 3091.013 178 178 1627.959 238.039 1808.24 1954.831

144 144 1668.305 239.004 3030.744 3036.769 179 179 1627.838 238.036 1808.24 1809.719

145 145 1668.284 239.004 2977 2982.526 180 180 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

146 146 1667.995 238.997 2341.38 2559.865 181 181 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

147 147 1667.211 238.978 2341.38 2558.474 182 182 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

148 148 1666.432 238.96 2341.38 2557.094 183 183 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

149 149 1665.658 238.941 2341.38 2555.722 184 184 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

150 150 1664.889 238.923 2341.38 2554.359 185 185 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

151 151 1664.125 238.904 2341.38 2553.004 186 186 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

152 152 1663.365 238.886 2341.38 2551.658 187 187 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

153 153 1662.611 238.868 2341.38 2550.32 188 188 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

154 154 1661.861 238.85 2341.38 2548.99 189 189 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

155 155 1661.116 238.832 2341.38 2547.67 190 190 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

156 156 1660.375 238.815 2341.38 2546.358 191 191 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

157 157 1659.64 238.797 2341.38 2545.054 192 192 1627.836 238.036 1808.24 1808.2

158 158 1658.909 238.78 2341.38 2543.759 193 193 1627.698 238.033 1595.07 1644.094

159 159 1658.183 238.762 2341.38 2542.471 194 194 1627.658 238.032 1595.07 1595.471

160 160 1657.461 238.745 2341.38 2541.192 195 195 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

161 161 1656.744 238.728 2341.38 2539.921 196 196 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

162 162 1656.032 238.711 2341.38 2538.658 197 197 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

163 163 1655.324 238.694 2341.38 2537.403 198 198 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

164 164 1654.62 238.677 2341.38 2536.156 199 199 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

165 165 1653.921 238.66 2341.38 2534.918 200 200 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

166 166 1653.227 238.644 2341.38 2533.687 201 201 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

167 167 1652.537 238.627 2341.38 2532.463 202 202 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

168 168 1651.851 238.611 2341.38 2531.248 203 203 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

169 169 1650.212 238.572 1808.24 2528.342 204 204 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

170 170 1647.628 238.51 1808.24 2523.761 205 205 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

171 171 1645.06 238.448 1808.24 2519.21 206 206 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

172 172 1642.508 238.387 1808.24 2514.687 207 207 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

173 173 1639.973 238.327 1808.24 2510.193 208 208 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

174 174 1637.454 238.266 1808.24 2505.728 209 209 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

175 175 1634.951 238.207 1808.24 2501.292 210 210 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

176 176 1632.464 238.147 1808.24 2496.883 211 211 1627.657 238.032 1595.07 1595.471



189



Tabla 1. Continuación

i Tiempo (h)

Volumen almacenado S

(hm3)

Elevación (m)

Gasto de entrada I

(m3/s)

Gasto de salida O

(m3/s)212 212 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

213 213 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

214 214 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

215 215 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

216 216 1627.657 238.032 1595.07 1595.471

217 217 1627.636 238.032 1562.65 1570.399

218 218 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

219 219 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

220 220 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

221 221 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

222 222 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

223 223 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

224 224 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

225 225 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

226 226 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

227 227 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

228 228 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

229 229 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

230 230 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

231 231 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

232 232 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

233 233 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

234 234 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

235 235 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

236 236 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

237 237 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

238 238 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

239 239 1627.63 238.031 1562.65 1562.801

240 240 1627.63 238.031 1562.65 1562.801





mer renglón, quinta columna) más una vez el último valor del hidrograma de entrada I (último renglón, quinta columna) más dos veces la suma de las ordena-das intermedias del hidrograma de entrada I (del se-gundo al penúltimo renglón) y multiplicando por los factores de conversión de unidades para obtener al vo-lumen en hm3.

Cálculo de A2. Se emplea el esquema de integración trapecial considerando como factor el incremento del tiempo entre dos y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de salida O (primer renglón, sexta colum-

na) más una vez el último valor del hidrograma de sali-da O (último renglón, sexta columna) más dos veces la suma de las ordenadas intermedias del hidrograma de entrada O (del segundo al penúltimo renglón) y multiplicando por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm3.

La diferencia de volumen. Corresponde a la diferen-cia de A1 menos A2.

Tabla 2. Volumen neto almacenado por el embalse, calculado por el método de integración trapecial

A1, hm3 A2, hm3 Diferencia de volumen, hm3

2289.575 2282.957 6.618

Tabla 3. Volumen neto almacenado por el embalse, calculado por el método de integración Simpson 1/3


2282.009 2276.060 5.949

Tabla 4. Volumen neto almacenado por el embalse, calculado por el método de integración Simpson 3/8


2289.296 2282.201 7.095

12237.79

9047.806

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 50 100 150 200 250 300

Q, m

3 /s

t, horas

Tránsito de Avenidas. Tr=10000 años con pico. Con restricción 1 en la descarga P.H. Las Cruces

Entrada

Salida

Elevación NAME=243 msnmElevación máxima=240.6656 mQmáxsalida=9047.806 m3/sVol máx almac=1739.703 hm3

Figura 1. Resumen de resultados del tránsito de avenidas, para una avenida de diseño correspondiente a un periodo de retorno de 10,000 años



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Cálculo de A1. Debido a que el esquema de integración de Simpson 1/3 debe ser par, se revisó que el último valor de i lo sea (i=240, es par) , por lo anterior, sí es válida su aplicación; se considera como factor un tercio del incremento del tiempo, multiplicando a una vez el dato del hidrograma de entrada I (primer renglón, quinta columna) más una vez el último valor del hidro-grama de entrada I (último renglón, quinta columna), y luego se identifican los valores de i que sean pares (i=2,4,6,…238) porque los datos del hidrograma de en-trada I correspondientes a esos valores van multiplica-dos por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas ya tomadas (i=3,5,7,…,237)) van multiplica-das por cuatro. Al final se hace la multiplicación por los factores de conversión de unidades para obtener al vo-lumen en hm3.

Cálculo de A2. Se considera como factor un tercio del incremento del tiempo y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de salida O (primer renglón, sexta columna) más una vez el último valor del hidrograma de salida O (último renglón, sexta columna), y luego se identifican los valores de i que sean pares (i=2,4,6,…238) porque los datos del hidrograma de salida O corres-pondientes a esos valores van multiplicados por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas to-madas en cuenta, (i=3,5,7,…,237)) van multiplicadas por cuatro. Finalmente, se hace la multiplicación por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm3.



Cálculo de A1. Debido a que el esquema de integración de Simpson 3/8 debe ser múltiplo de 3 se revisó que el último valor de i lo sea (i=240, es múltiplo de 3) , por lo anterior sí es válida su aplicación; se considera como factor tres octavos del incremento del tiempo y multi-plicando a una vez el dato del hidrograma de entrada I (primer renglón, quinta columna) más una vez el últi-mo valor del hidrograma de entrada I (último renglón, quinta columna), y luego se identifican los valores de i que sean múltiplos de 3 (i=3,6,9,12,…,237) porque los datos del hidrograma de entrada I correspondientes a esos valores van multiplicados por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas ya tomadas en cuenta, (i=2,4,5,7,8,…,239)) van multiplicadas por tres.

Finalmente, se hace la multiplicación por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm3.

Cálculo de A2. Se considera como factor tres octavos del incremento del tiempo y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de salida O (primer renglón, sexta columna) más una vez el último valor del hidrograma de salida O (último renglón, sexta columna), y luego se identifican los valores de i que sean múltiplos de 3 (i=3,6,9,12,…,237) porque los datos del hidrograma de salida O correspondientes a esos valores van multipli-cados por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas ya tomadas en cuenta, (i=2,4,5,7,8,…,239) van multiplicadas por tres. Finalmente se hace la multi-plicación por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm3.


Caso 2

El volumen de sobrealmacenamiento máximo en el em-balse es el que ocurre hasta que se presenta el gasto máximo del hidrograma de salida. Obteniendo el volu-men hasta que ocurre el gasto máximo del hidrograma de salida.

En el caso de integración trapecial no hay restriccio-nes en su aplicación y a continuación se indican los re-sultados (Tabla 5). (El cálculo para obtener A1 (área bajo el hidrograma de entrada ) y A2 (área bajo el hidrograma de salida es similar al realizado para la Tabla 2).

Tabla 5. Cálculo del volumen de sobrealmacenamiento por el método de integración trapecial


1157.132 1041.976 115.155

Al observar que n=113 hasta que se presenta el gasto máximo de salida, no se puede aplicar de un solo paso el esquema de integración de Simpson 1/3 o de Simp-son 3/8 por lo que se optó por combinar métodos de integración considerando Simpson 1/3 (S1/3) del ins-tante i= 0 al instante i= 110 y Simpson 3/8 (S3/8) del instante i=110 al instante i= 113 (para ello se usó un pro-cedimiento similar al descrito para las Tablas 3 y 4). Los resultados se resumen a continuación. También se hi-cieron comparaciones de estos resultados con los obte-nidos con el programa del que se tomó la información. Estas comparaciones también se presentan a continua-ción (Tabla 6).





Tabla 6. Volumen de total sobrealmacenamiento

Método A1, hm3 A2, hm3 Diferencia de volumen, hm3

S1/3 1048.576 943.883

S3/8 109.019 97.015

total 1157.595 1040.897 116.698

La diferencia en el cálculo de sobrealmacenamiento contra lo reportado en el programa de tránsito es de 1.542 millones de m3. En la tabla 7 se reporta el volumen de sobrealmacenamieto obtenido con los métodos com-binados y los obtenidos con el programa.

Tabla 7. Diferencia en el sobrealmacenamiento contra lo reportado en el programa de tránsito

Método V, mm3

Combinando métodos 3.313

Con trapecial 1.770

Cabe mencionar que el programa aproxima el volumen con la suma de todas las ordenadas de los hidrogramas de entrada menos las suma de las ordenadas del hidro-grama de salida y multiplicando por la diferencia de tiempo (Dt).

En la Tabla 8, se muestra el almacenamiento máxi-mo que se obtiene al considerar el almacenamiento ini-cial en el embalse.

Tabla 8. Almacenamiento máximo

Método Diferencia de volumen, hm3

Trapecial 1741.473

S1/3+S3/8 1743.016

La diferencia de volumen respecto al valor obtenido con el programa de tránsito de avenidas se muestra en la Tabla 9, de lo cual se deduce que el resultado numé-rico es el más conservador.

Tabla 9. Diferencias respecto al valor obtenido con el programa de tránsito de avenidas

Método Diferencia de volumen, hm3

Trapecial -1.770

S1/3+S3/8 -3.313

conclusIones

Se aplicaron algoritmos de integración numérica en la estimación del volumen de almacenamiento en un em-balse de un proyecto hidroeléctrico ante la posible ocu-rrencia de una gran avenida (representada por el hidrograma de entrada al embalse) los esquemas de integración de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 dieron resul-tados más conservadores en el volumen de sobrealma-cenamiento en el embalse, respecto a lo que reportó el programa Trate.bas de la CFE, pero este último calcula de una manera gruesa, a partir de rectángulos este vo-lumen. Es importante destacar que en este estudio se hicieron comparaciones de cálculos numéricos a partir de considerar una avenida de diseño; pero es importan-te en futuras investigaciones, realizar validaciones de los volúmenes estimados numéricamente con medicio-nes que se realicen usando modelos de laboratorio,

reFerencIas

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https://books.google.com.mx/books?hl=es&lr=

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agradecIMIentos

Este artículo fue auspiciado por el proyecto PAPIME PE105117 Plataforma Educativa para Análisis Numérico.

Citación sugerida:

Citación estilo Chicago

Arganis-Juárez, Maritza Liliana, Jesús Javier Cortés-Rosas, Miguel Eduardo González-Cárdenas, Víctor Damián Pinilla-Morán, Alfonso Salazar-Moreno, Salvador García-Burgos. Métodos de integración nu-mérica de Newton aplicados en un problema de manejo de embal-ses. Ingeniería Investigación y Tecnología, XIX, 02 (2018): 183-193.

Citación estilo ISO 690

Arganis-Juárez M.L., Cortés-Rosas J.J., González-Cárdenas M.E., Pini-lla-Morán V.D., Salazar-Moreno A., García-Burgos S. Métodos de in-tegración numérica de Newton aplicados en un problema de manejo de embalses. Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIX (nú-mero 2), abril-junio 2018: 183-193.

seMblanzas de los autores

Maritza Liliana Arganis-Juárez. Es ingeniero civil de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México, con maestría en ingeniería hidráulica por la DEPFI, UNAM y doctorado Posgrado, UNAM. Es investigador titular en el Instituto de Ingeniería de la UNAM, con líneas de investigación en Hidrología, aprovechamientos hidráulicos, optimización vía progra-mación dinámica estocástica y uso de algoritmos genéticos en problemas de hidrología. Es profesor de asignatura definitivo de análisis numérico y cinemática y dinámica en la División de Ciencias Básicas de la Facultad de Ingeniería, UNAM; ha realiza-do artículos para congresos y revistas nacionales e internacionales.

Jesús Javier Cortés-Rosas. Es ingeniero mecánico electricista por la Facultad de Ingeniería de la UNAM y estudió la Maestría en ad-ministración por la Facultad de Contaduría y Administración, con diplomado en planeación y administración de recursos humanos y en desarrollo humano. Es profesor de carrera de la Facultad de Ingeniería en el área de matemáticas aplicadas. Se ha desempeñado como jefe del Departamento de Matemáticas Avanzadas, Análisis Numérico y Dibujo, así como jefe de servi-cio de campo en Equipos de Construcción e Industria, SA de CV de la División Bienes de Capital del Grupo ICA; fue auditor técnico externo, entre otros cargos.

Miguel Eduardo González-Cárdenas. Es ingeniero mecánico electricista por la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Realizó la maes-tría en administración (organizaciones) en la Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM. Profesor de carrera titu-lar y de asignatura definitivo en análisis numérico y ecuaciones diferenciales. Ha participado en congresos, foros y seminarios nacionales con diversas ponencias.

Víctor Damián Pinilla-Morán. Es ingeniero mecánico electricista, en el área de telecomunicaciones de la Facultad de Ingeniería de la UNAM y realizó la maestría en administración de organizaciones. Ha impartido los cursos de cálculo i, computadoras y pro-gramación, métodos numéricos, temas selectos de la filosofía de la ciencia y de la tecnología, ecuaciones diferenciales, análisis numérico, probabilidad y estadística y matemáticas avanzadas; así como numerosos cursos de Excel y SPSS en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Actualmente desarrolla proyectos tecnológicos en radiocomunicaciones y colabora con el Instituto Federal de Telecomunicaciones, la International Amateur Radio Unión, la Federación Mexicana de Radioexperimentadores. A.C. y el Sistema Nacional de Protección Civil.

Alfonso Salazar-Moreno. Ingeniero eléctrico electrónico por la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Profesor de asignatura de análi-sis numérico en la Facultad de Ingeniería de la UNAM; colaborador de la Coordinación de Procesos e Información del Conse-jo Técnico de la Facultad de Ingeniería. Docente en línea de estadística básica y matemáticas administrativas en la Universidad Nacional Abierta y a Distancia de México (UnADM), así como facilitador del curso propedéutico de inducción para los aspi-rantes a alumnos de la UnADM. Ha sido responsable de la materia de informática y laboratorio de informática para el Colegio Johann Heinrich Pestalozzi. Ha sido Supervisor de la operación de la Planta de Bombeo Casa Colorada Profunda de la CONA-GUA.

Salvador García-Burgos. Tiene la carrera de Ingeniería, es profesor definitivo y ha impartido clases desde 1971 en las asignaturas de métodos numéricos, computadoras y programación y análisis numérico en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Es coor-dinador de Ciencias Aplicadas en la División de Ciencias Básicas de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Ha colaborado en dependencias federales y de la UNAM en distintos cargos a nivel Subdirección, Coordinación y como asesor.



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