Método da Decomposição LU para a solução numérica de...
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Método da Decomposição LU para a solução numérica de equações lineares
Lucas Justino
Equação linear
Ordem de um sistema linear
Modo geral da representação matricial
Modo geral da representação matricial
Exemplo da representação matricial
Classificações de sistemas
Sistema possível: Possui ao menos uma resolução.
● Determinado: Admite apenas uma solução.● Indeterminado: Admite mais de uma solução.
Sistema impossível: Não possui uma resolução.
Sistema triangular inferior
Sistema triangular superior
Decomposição LU● Método exato, ou seja, fornece solução exata.● Sem erros de arredondamento (exceto pela representação finita da máquina).● Número finito de operações.
Matriz triangular e menor principal
Teorema LU
Decomposição LU
Como A = LU, então:
Decomposição LU
Decomposição LU
Decomposição LU
Decomposição LU
Decomposição LU
Aplicando à solução
● Sabemos que Ax = b, e como LU = A, então podemos dizer que LUx = b
● Ao fazer Ux = y, reduz a equação acima por Ly = b
● Logo, ao resolver Ly = b, achamos y, assim basta substituir em Ux = y e acharemos x
Exemplo● Seja o sistema:
5x + 2y + z = 03x + y + 4z = -7x + y + 3z = -5
● Então
e
ExemploFazemos os seguintes passos:
a) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição LU
b) Decompor A em LU
c) Através da decomposição LU, calcular o determinante de A
d) Resolver o sistema Ax = b usando a decomposição LU
Exemplo
Exemplob)
Exemplo
Exemplo
Bibliografia● FRANCO, Neide Maria Bertoldi - Cálculo Numérico, 1ª Ed. São Paulo:
Pearson Universidades, 2006.