1

MOZGÁSOK KINEMATIKAI LEÍRÁSA

Az anyag természetes állapota a mozgás.

Klasszikus mechanika: mozgások leírása

•Kinematika: hogyan mozog a test

•Dinamika: két részből áll:

•Kinetika: Miért mozog

•Sztatika: Miért nem mozog

A klasszikus mechanikának alapvető szerepe van: fogalmait, törvényeit a fizika egyéb területein is alkalmazzuk.

Alapfogalmak és jelölések

1.Absztrakció: A jelenségek leírásánál egyszerűsítünk.

Példák:

• Anyagi pont: egy testet pontszerűnek tekintünk, ha méretei a vizsgált jelenségben szereplő lényeges távolságokhoz képest elhanyagolhatók.

A Föld tömegpontnak számít,ha a Nap körüli keringését vizsgáljuk: km6400R F millókm150r NF

2

• Merev test: a mozgás során nem deformálódik.

Azaz: két pontjának távolsága a mozgás során állandó

AB szakasz hossza állandó:

transzláció:

forgás:

100 B'ABA

111 BAB'A

A mozgás relatív: a mozgó pont helyét mindig egy másik ponthoz képest vizsgáljuk:

2. vonatkoztatási pont

Például: a villamoson utazó ember a villamoshoz képest áll, de a házakhoz képest mozog.

A vonatkoztatási pont a vonatkoztatási rendszer középpontja: (origo)

Helymeghatározás: Megadjuk a mozgó tömegpont helyét a vonatkoztatási ponthoz képest minden időpillanatban az helyvektor az segítségével.

A helyvektor nagysága és iránya a mozgás során változhat.

P

O

r

trr

3. A mozgás matematikai leírása:

Keressük az alábbi függvényt:

ami megadja, hogy a helyvektor nagysága és iránya hogyan változik az időben.

3

•A pálya:

A helyvektor végpontja által leírt görbe. Az a görbe, amelyen a test a mozgás során halad.

A test az adott pályán idő alatt A pontból a B pontba jut.t

•A megtett út:

A test által idő alatt befutott pályarész hossza, skalár mennyiség.

•Az elmozdulás:

A kezdőpontból a végpontba mutató helyvektor különbsége, vektormennyiség.

rs

s s

r

ív húr

t

Szükséges fogalmak:

Görbe vonalú mozgások esetén a megtett út és az elmozdulás vektor nagysága nem egyezik meg: az előbbi a körív az utóbbi pedig a húr.

Az elmozdulás vektor a helyvektorok segítségével kifejezve:

rtrttr

A mozgás kinematikai leírása: hogyan, és milyen gyorsan változtatja a test a helyét, a mozgás hogyan zajlik le az időben:

Sebesség, gyorsulás

4

A SEBESSÉG ÁLTALÁNOS BEVEZETÉSE

Az egyszerűbb mozgások felől indulva az általános felé ( lehetne fordítva is)

1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás – a sebesség definíciója

•Megfigyelés: Nyílt pályán mozgó autó, ha a sebességmérője áll.

Esőcseppek mozgása

•Kísérlet laborban: Mikola cső (buborék mozgása folyadékkal teli csőben)

•Mérés: Az elmozdulás mérése az időfüggvényében

Adatvétel egyenlő időközönként:

Összetartozó s-t adatpárok

hely…

időpillanat

…

1s 2s3s

ns

1t 2t

t

21 ttt

3t nt

5

•Kiértékelés: s(t) függvény megadása

s-t grafikon, független változó az idő (t)

egyenes arányosság : az út-idő függvény lineáris:

állandót

s....

t

s

t

s

n

n

2

2

1

1

A buborék egyenlő idők alatt egyenlő utakat tesz meg,

a mozgás egyenletes, a változás „gyorsasága”állandó. .áll

t

s

tt

ss

12

12

s

mvDimenziója:

s(m)

t(s)

1s

2s

1t 2t

A sebesség definíciója: „változási gyorsaság”v

t

s

t

s

t ts

tvs

s

Az út-idő függvényben az arányossági tényező a sebesség:

Egyenletes mozgás esetén a sebesség időben állandó: állv

6

Sebesség-idő grafikon:

•Képe az időtengellyel párhuzamos egyenes

•A t idő alatt megtett út a v-t grafikonon a t időtartamhoz tartozó görbe alatti terület

12 vv t(s)

s(m)

Matematika: az egyenes meredeksége más néven az iránytangense,

ahol az egyenes vízszintes tengellyel bezárt szöge.

2

1

t

tgt

sv

Nagyobb sebesség esetén az út-idő grafikon

meredeksége nagyobb:

1v

2v

tvs

Út-idő grafikon:

• képe a tengellyel szöget bezáró egyenes,

•Az egyenes meredeksége a sebesség számértéke

t

s

s(m)

t(s)

t

7

2. Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás

(átlagsebesség, pillanatnyi sebesség, gyorsulás)

•Megfigyelés: gyorsítás-lassítás, tárgyak esése

•Kísérlet laborban: szabadesés, golyó mozgása lejtőn

•Mérés: Az elmozdulás mérése az idő függvényében

Adatvétel egyenlő időközönkéntt

Összetartozó s-t adatpárok

hely…

időpillanat

…

1s 2s 3sns

1t 2t3t nt

21 ttt

8

Kiértékelés: s(t) függvény megadása:

s-t grafikon, független változó az idő:a függvény képe parabola

Az út az időnek másodfokú függvénye:

A mozgás nem egyenletes:

A sebesség nem állandó.állandó

t

s

2ts

2

11 tks

21

2

22 ttktks

21 ttt

1t 2tt

1s

2s

Legyen k a másodfokú függvény arányossági tényezője. Az út-idő függvény ezzel kifejezve:

2kts

Határozzuk meg k értékét!t

Írjuk fel a és idők alatt megtett utakat:1t 2t

9

2

1

2

112 kt)tt(ksss

1

2

11

22

1

2

1

2

1átl kt2tk

t

)ttt2tt(k

t

kt)tt(k

t

sv

t

időtartamt

időpillanat

kt2tkvátl

Az átlagsebesség függ a mozgás időtartamától:

a valódi mozgás jellemzésére csak akkor alkalmas, ha a időtartamot csökkentjük,

Így az átlagsebesség egy adott határértékhez közelít.

t

•pillanatnyi sebesség

tHa 0, akkor, átlvpillv

átl0tpill vlimv A matematika nyelvén: (Matematika: limes/határ):

•átlagsebesség (definíció): egy adott időtartam alatt megtett út és az időtartam nagyságának hányadosa:

t

svátl

10

kt2t

slimvlimv 0tátl0tpill

kt2vpill

kt2tkvátl

0 A t időpillanathoz tartozó pillanatnyi sebesség

•nem függ az időtartamtól

•Egy pontot jellemez

•Az idő lineáris függvénye: egyenes arányosság

•Gyorsulás: a sebességváltozás gyorsasága

k2t

va

pill

2s

m

s

s

m

aDimenziója:

2kts 2

ak

2t2

as Az egyenletesen változó mozgás út-idő függvénye:

Mi lesz, ha az időtartam minden határon túl csökken nullára?

A kísérleti mérésekből kapott másodfokú egyenlet arányossági tényezője a gyorsulás fele:

Egyenletesen változó mozgás esetén a megtett út az idő négyzetes függvénye, a gyorsulás állandó.

11

•sebesség-idő grafikon

•A v-t grafikon képe a tengellyel szöget bezáró egyenes

•Az egyenes meredeksége a gyorsulás értéke

st

s

mv

1t 2tt t

v

vaáll

t

v

atg

•A mozgás során a t időpillanatig megtett út a v-t grafikon alatti terület számértéke (háromszög):

st

s

mv

t2t t

2

a

2

tat

2

tvs

tv

s

•Gyorsulás-idő grafikon

st

2s

ma

tavt

•A grafikon képe az időtengellyel párhuzamos egyenes

•A t idő alatt elért pillanatnyi sebesség értéke a grafikon alatti terület

tva

t

a t időpillanathoz tartozó pillanatnyi sebesség:

12

•Sebesség-idő grafikon nem nulla kezdősebesség esetén:

st

s

mv

0v

tv

t

tavv 0t

tavv 0t ta

1stvs 01

2s

2

2 t2

as

A t idő alatt megtett összes út:

21 sss 2

0 t2

atvs

A trapéz területe alapján is számolható:

A megtett út, a görbe alatti terület

𝑇𝑡=𝑎+𝑐 𝑚

2=𝑣0∙∙𝑡+𝑣0∙𝑡+𝑎∙𝑡

2

2=𝑣0 ∙ 𝑡 +

1

2𝑡2

3. görbe vonalú mozgások

o

P

P’

Elmozdulás vektor: megmutatja, hogy a helyvektor időben hogyan változik:

a megtett út (körív)

az elmozdulás vektor (húr)

A megtett út nem egyezik meg az elmozdulás vektor abszolút értékével:

Az átlagsebesség meghatározása:

o

Az átlagsebesség iránya az elmozdulás vektor irányába mutat.P

P’

P”

a húr a P pontbeli érintő irányába megy át, ahogy az ábrán látható.

Az átlagsebesség a pillanatnyi sebességbe „megy át”, a pillanatnyi sebesség az érintő irányába mutat.

Pillanatnyi sebesség: Az átlagsebesség határértéke, ha

A pillanatnyi sebesség helyvektor idő szerinti első deriváltja, egy idő pillanathoz tartozik. Iránya: az út-idő görbéhez az adott időpillanatban húzható érintő iránya.

A differenciál hányados (derivált) általános jelentése:

Egy függvény P pontbeli érintőjének iránytangense a függvény deriváltja abban a pontban.Megmondja, hogy ott a függvény milyen gyorsan változik.

x

F(x)

f: függvényértékx: független változó

elmozdulás esetén a függvény megváltozása:

Az ábrán látható derékszögű háromszögből:

Differenciálhányados (f’(x):

Geometriai jelentés: a húrból érintő lesz (lásd az ábrát).

P

Δ𝑓𝑥=𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)

𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (Δ𝑓(𝑥))

Egyenletes körmozgás

A sebesség irányának megváltoztatásához gyorsulás kell.

RA hozzátartozó út (körív):

Egyenletes körmozgás esetén:

4.Kerületi sebesség bevezetése:

2.Szögelfordulás t idő alatt:

3.Keringési idő (T): 1 teljes körbeforduláshoz szükséges idő:

Egyenletes körmozgás esetén a szögsebesség állandó.

A kerületi sebesség nagysága állandó, de az iránya megváltozik, mindig a az adott ponthoz húzott érintő irányába mutat.

Periodikus mozgás: a szögfordulás egyenletesen változik az idővel.

𝜑 = 𝜑0+𝜔 ∙ 𝑡

𝑣𝑘=𝑅 ∙ 𝜔

5.Centripetális gyorsulás: a kerületi sebesség irányát változtatja meg.

A sebesség a P pontban:

A sebesség a P’ pontban:

A sebesség irányának megváltoztatásához is gyorsulás kell.

Gyorsulás meghatározása a PAD egyenlő szárú háromszögből (ábra):

Kis szögek esetén:

Ha

A centripetális gyorsulás meghatározása:

A kerületi sebesség mindig érintő irányú.

nagysága:

iránya: mindig a kör középpontja felé mutat

A centripetális gyorsulás a kerületi sebesség irányát változtatja meg.

𝑎𝑐𝑝= v ∙ 𝜔 = 𝑟 ∙ 𝜔2

17

Egyenletesen változó körmozgás

A szögelfordulás az idő négyzetével arányos,

a szögsebesség nem állandó, a változása egyenletes.

Szöggyorsulás: a szögsebesség idő szerinti változása: :

Kerületi sebesség: nagysága nem állandó:

a szöggyorsulással kifejezve:

Kerületi (tangenciális) gyorsulás: a kerületi sebesség nagyságának idő szerinti változása:

Δ𝜑~𝑡2

Δ𝜔

Δ𝑡=áll.

𝜔𝑡=𝛽 ∙ 𝑡

𝑣𝑘=R∙ 𝜔𝑡

𝑣𝑘=R𝜔𝑡= 𝑅 ∙ 𝛽 ∙ 𝑡

𝑎𝑡=𝑙𝑖𝑚Δ𝑡→0Δ𝑣

Δ𝑡=𝑙𝑖𝑚Δ𝑡→0

𝑅Δ𝜔

Δ𝑡=𝑅 ∙ 𝛽

A centripetális gyorsulás nagysága változik: 𝑎𝑐𝑝=𝑣 ∙ 𝜔𝑡=𝑣 ∙ 𝛽 ∙ 𝑡

𝑎𝑡=𝑅 ∙ 𝛽

Az egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenleteihez formailag nagyon hasonlítanak, ha az elmozdulás helyett a szögelfordulást: A sebesség helyett a szögsebességet:A gyorsulás helyett pedig a szöggyorsulást: használjuk.

18

•Gyorsulás: a sebességvektor idő szerinti első deriváltja:

A Kinematika általános matematikai leírása:

Egy függvény P pontbeli érintőjének iránytangense szám szerint a függvény deriváltja abban a pontban.

Jelentése: a függvény változási sebességét adja meg abban a pontban.

v

dt

vd

t

vlima 0t

és a helyvektor idő szerinti második deriváltja:

rdt

rd

dt

vda

2

22

Az helyvektor folytonos, kétszer deriválható függvény kell legyen. )(tr

Példa: 2

2)( t

atr

tata

dt

drv

22

adt

dva

Hatványfüggvény deriválási szabálya

nxaxf )(

1nxandx

)x(df

•Sebesség: a helyvektor idő szerinti első deriváltja: vdt

rd

t

rlimv 0t

)(tr Elmozdulás-idő függvény esetén: