Movimiento Ondulatorio

5/9/2018 Movimiento Ondulatorio - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/movimiento-ondulatorio-559bf5b15ff04 1/27

m w C am po s e le ctr om aq ne ti co s d ep en die nie s d el tie mp o

IVIIl Demostrar que si C )3 =Clr se sa-

I I ' i r H C ( l ln "C, (17.8). [Sugel'encia: Calcu-II,,' t), para I' arbitrario, introducir el'villell' 11 la ec. (17.8) Y calcular la deri-

V I da respccto a r.]

t 7.M) Una carga q de masa m se mueveM 1I1HI.ol'bita circular de radio p bajo la11('1'1611 de una fuerza centripeta F. Du-

I" II I 'Ierto intervalo de tiempo, se esta-

III~I~un campo magnetico uniforme per-

PI udlcular al plano de la 6rbita. UsandoIII I lly d la inducci6n electromagnetica,

11"lI111S'll'o'r que latvarlacion del m6duloIII II I v locidad del ion es t!.v=-qp7:!j2m

:r ~IU( 'In variaci6n correspondiente del1IIUIlIIlnLo magnetico es I:1m=-(q2p2/4m)

II. Comparar con el ejernplo 16,.21. [Su-

(fllr"III'fa: Para obtener la aceleraci6n

· lu t tUI ncla l mientras el campo magnetico1 " varlando, usar la ec. (17.6) obtenidaIII ~1 I~iutlr el betatr6n.]

17.r,I Rcflriendose a la situaci6n des-

erltu en la secci6n 17,5 (a) demostrar

11111 en el sistema de referencia en el( 1 11 1 1 1 circuito esta en reposo y el

('IUIIPO magnetico rota con velocidad

Ill{ulo.l' - (I), f H 3 / o t =- (I) x 'fJ. (b) Es-I'rlhll' In ec. (17.15) con este valor de

l ' U / F ) 1 y, usando el resultado del pro-

1111111111. 16.64, demostrar que el campo

,II 1 ' 1 1 ' 1 0 observado en este sistema de re-

rm" nota cs e . =« ( I ) x o J : J ) x 1. (c) De-

11141I I 'a \ ' que la fern producida por este

I'HlllpO electrico es Ia misma que la fern1IIII(Iliin(lor el observador fijo al campo

I I I11H"'LI o . [Sugerencia: Notar que t1 x

III II (I ,h'eo. del triangulo determinado

pOI limbos vectores y que A x B· C =

I I · " x c ,Jt7,M~ En una region donde hay un

1"UII(lO magnettco uniforme 73 , el m6dulo

tllll ('111\)])0 esta aumentando con una ra-pldl i'! constantc, es decir, o 9 3 / o t =,

tlC)fllh " s un vector constante paraleloI 'u . (u) emostrar que, contorme a la

ec. (17.15), el campo electrico en cadu

punto es e=- tb x 1. (b)Colocnn<lo

el eje Z paralelo al campo magnettcn,obtener las componentes cartesianas tit

C. (e) Representar las lineas de fu I'ZII

de los campos electrico y magnetico,

17.53 Encontrar el flujo electrico a tru

ves de una esfera con centro en UIIII

carga que se mueve a alta velocldad,[Sugerencia: Usar Ia expresi6n (15.(l1i)

de la ley de Gauss.]17.54 Escribir la forma diferencial (i(

las ecuaciones de Maxwell (tabla 17-~)

usando el operador V.

17.55 Dernostrar que la forma difcreu

cial de la ecuaci6n de continuidad (17.51)

es o p / o t =- div j.

17.56 Demostrar que para que la ecuuci6n de continuidad escrita en el pro

blema 17.55 permanezca invarlante bajo

una transformaci6n de Lorentz pam

todos los observadores inerciales es nocesario que la corriente y la densidad < Itcarga se transformen de acuerdo COl i

la ley

j '1I =v;

j'« =z,

Escribir el limite no relativista de cstuexpresiones y discntlr su verosimilitutl.

[Sugerencia: Recordar que j=pv es III

densidad de corriente para cargas que

se mueven con velocidad v.]

17.57 Veriflcar por sustituci6n dire ituque la ec. (17.34) es solucion de In c,(17.33) si 10 Y IX estan dados por lu

ecs. (17.35) Y (17.39), -respectivamouto.[Sugerencia: Desarrollar primero Ii II

(WI t -IX) Y reemplazar sen IXy COS IX por

los valores obtenidos de In ec.' (17 .3~).1

PARTE 3

ONDAS

1 8 M ov im iento ondula torio

1 9 O nd as e lec tro ma gn etic as

2 0 R efle xi6 n, re fra cc i6 n, p ola riz ac i6 n

21 Geom etria de las ondas

22

23

Iterferencia

Difracci6n

24 F n6m nos d transport



1)11 codes los conceptos que se usan en fisica, dos estan dentro de las posibilidadcs

do comprension intuitiva de cualquier individuo, cualquiera sea su nivel cultural.

Sou cstos 01 concepto de particula y el de onda. Para el lego, una particula cs

unn pequena porcion de materia, donde "pequefio" significa de dimensiones

1 1 1 1 1 clio menores que 10 que rodea Ia particula, 10 cual se decide normalmente

llfiHU<lO una escala antropomorfica. Analogarnente, el lego tiene una' imagen

nhjotiva de las ondas basad a en las ondas que observa en la superficie del agua,

III una cuerda 0 en un resorte.

No obstante, como ya el estudiante se habra dado cuenta indudablernentc

~l( \Hpl lC:\s de leer los capitulos precedentes, el fisico usa el concepto de particula

('I I 1 11 1 sentido algo mas abstracto y fundamental que Ie permite tratar en forma

Hd(1 .uada una gran variedad de situaciones fisicas. EI concepto de onda tiene

nun transformacion similar: el f isico ha extendido el concepto y 10 ha aplicadoII UII gran nurnero de Ienomenos que no se parecen a la imagen objetiva de una

linda en la superficie del agua, pero que tienen la misma descripcion matematica.

L n Parte 3 de este texto esta dedicada al estudio general de los Ienomenos ondu-

lutorios en este sentido mas amplio.Ulit! advertencia : en cada caso el estudiante se debe concentrar en la com-

prcnsion de los Ienomenos fisicos descritos y del marco rnatematico util izado y

debe rehuir la tentacion inevitable de imaginal' todas las ondas simplemente

('OIlIO las ve en la superficie de un liquido. Analizaremos varios tipos de ondas,

prluclpalmente elasticas y electromagneticas, con un enfasis especial en las ulti-IIII1H. Los aspectos mas importantes de las ondas son su velocidad de propagacion,y Ins modificaciones que experiment an cuando cambian las propiedades fisicas

c h ' l in dio (reflexion, refraccion, polarizacion), cuando se interponen diferentes

I 'IIIH(\S de obstaculos en sus caminos (difraccion, dispersion), 0 cuando varias ondas

rulucidcn en la misma region del espacio (interferencia) . Estos son pOI'10 tanto

Iml topicos especificos que se cubriran en los proximos capitulos. Pero el f in pri-

mordial de estos capituloses perrnitir que el estudiante Begue a una comprensi6n

tundnmental de la descripcien ondulatoria de Ienomenos fisicos, como es la pro-p l Ign ion de una situacion flsica descrita pOI'un campo dependiente del t iempo.

POI' esta razon, en el capitulo 24 trataremos un grupo seleccionado deprocesos

bn]o In denominacion general de [enomenos de iransporte. Se des.criben en una

fOl'llltl matematica algo diferente de la correspondiente a las ondas elasticas y

1'II'ol.romogneticas y, aunque tambien corresponden a la propagacion de unaoOlldici6n Iisica, el cuadro fisico es diferente del de otros tipos de Ienomenos

undulntorios, Comparando cuidadosamente los Ienomenos de transporte con las

nt.I'IiN ondas descritas en los capitulos que 10 preceden, podemos tener una visionlIuh! profunda de la descripcion ondulatoria de Ienomenos fisicos.

18

MOV IM IENTO ONDULATORIO

"lB .1 lrurodu cciori

18.2 Descripciot i matematica de la propagaciori

Aruilisis de Fourier del movimiento ondulatorio

Ecuacion diierenciol del movimiento ondulatorio

18.5 Ondas elasticas en una barra

i. 18.6 Ondasde presion en una columna de gas

18.7 Ondas transversales en una cuerda

. : 18 . 8 Ondassuperficiales en un liquido

v 18.3

18.4

18.9 ~Que se propaga en un movimiento ondulatorio?

18.10 Ondas en dos y tres dimensiones

v 18.11 Ondas esfericas en un fluido

' [18.12 Velocidad de grupo

18 . 13 H Z f cto D p p l e r

78.1 S rlH ido ; ( l C ' l l s i . i '(t



M U l ) ir n i e ut o oudulalorio (1 .1

IN.I lntroducci6n

Cunndo ~olpeamos una campana 0 encendemos la radio, el sonido se oye ell

puutos dJst~ntes de la campana 0 de la radio. EI sonido se ha transmitido 1\

1 1 '1 . "O S de~ aire ,que nos rodea. Si estamos en la playa y un bote pasa velozmente

J~ 11i1ll' t!1lstanc, la de la ori lla sentimos la onda producida por su rapido movimiento.

Cuundo se enciende la lampara del cuarto, este se ilumina. En la seccion 17.11

vhuos q,ue, como resultado de las relaciones fisicas entre los campos magnetico

y l'lt.\ctn~o,. es P?sible transmitir una sefial electrica de un lugar a otro. Aunquo

(., me 'amsm~ fisico puede ser diferente para cada uno de los procesos mencionados,

Loeios ellos trenen u~a caracterist ica comun, son situaciones f is icas producidas 'II

1 1 1 1 punto del espacro, que se pro p agan a traves del mismo y se.reciben en otro

JIl,IlI'LO, Todos estos procesos son ejemplos del m ov im ie nto o nd ul at or io .

.l)· un modo mas general, supongamos que tenemos una propiedad fisica d s-

t"I'ILt~por un cierto campo, Este puede ser un campo electromagnetico, la defer-

IIIMI6n, de un resorte, la presion en un gas, la detormacion de un solido, .el dCH-

1~lnl'.Hlmento t ransversal de una cuerda, y quizas hasta el campo gravitac ionaJ.

sl~pollgamo~ ~u~ las condiciones en un lugar lleguen a ser dependientes d I

I.u IIlpO 0 dinamicas, de modo que haya una perturhacion del estado fisico II

nqu \J lugar. Las propiedades fisicas del sistema, descritas pOI' las ecuaciones d I

(~HII1PO dependientes del ti empo (tal como las ecuaciones del electromagnet ismo

dl' Maxw~Il), dan com? resultado la propagacion de esta perturbacion a trayI'

'~,IIIespacro. ~sto ocasiona cambios en la~ condiciones fisicas en otros Iugarcs.

1. I ILon ~s decimos que hay una onda asociada al campo particular considerado.

J l O l : ejcmplo, cons,ideremos la superficie libre de u~ liquido. El campo en CStl

('H!ill s el desplazamiento de cada punto de la superficie con respecto a su posicion

v

1 , ' 1 " , I J oI . I '~ . 00(11'," (d.,<ol ens ( )'" ,I" .0 Ilil II. uu 1 '! lH lJ rl u , ( I I ) 1111 M ilS ,Y , " ) 111111 ('IICII'dll,I

(/I)

.2 ) D es cr ip ci on m aie m ai ic a d e la p ro pa qa cio ti 69 5

It equilibrio. En condiciones de equilibrio 0 estaticas la superficie libre de un

llquido es plana y horizontal. Pero si ell. un punto las condiciones en la super-

nd' se perturban dejando caer una piedra, pOl' ejemplo, esta perturbaci6n sc

propaga en todas las direcciones segun la superficie del liquido. Para determinar

_ I mecanisme de la propagacion y su velocidad, debemos analizar como el des-

Jllnzamiento de un punto de la superficie de l Iiquido afecta el resto de la superficie.

Pnrtiendo de este analisis establecemos las ecuaciones dinamicas del proceso.

Elitas ecuaciones nos permiten obtener informacion cuantitativa acerca de la

nriacion de la perturbaci6n en el espacio y en el tiempo.En este capitulo estudiaremos las caracteristicas generales del movimiento

ondulatorio, para considerara continuacion algunas c1ases especiales de ondas.

Muchos de los ejemplos corresponderan a ondas elasticas en una sustancia. Las

dilerentes y bien conocidas clases de ondas que se muestran en la fig. 18-1 son

fundamentalmente ondas elasticas. En tales casos ignoraremos la estructura mo-

lecular de la materia y supondremos que se trata de un medio continuo. Esta

suposiclon es valida mientras la variaci6n espacial de Ia onda (determinada pOI'

In longitud de onda) sea grande comparada con la distancia .intermolecular,

lB.2 Descripci6n matem/itica de la propagacion

Consideremos una Iuncion ~=(x), representada graficamente por Ia curva con-tinua de la fig. 18-2. Si reemplazamos x pOl' x - a, obtenemos Ia funci6n

~= f(x - a). Evidentemente, la forma de la curva no ha cambia do ; los mismos

val o res de ~ se obtienen para valores de x aumentados en a. En otras palabras,

suponiendo que a es positiva, vemos que la curva ha side desplazada sin deforma-

cion, hacia Ia derecha, una cantidad a. Analogamente tenemos que ~ = f( x + a)

~=f(x+a) ~=f(~) ~=f(x-a)

-\, . . . ,

I \ I \

/ \I \

I ,I ,

/

I ,

,/-- , / -. . . . .

,/

0X

a a

Fig. 18-2. Tras lacion de la funci6n ~(x) sin distorsion.

corresponds a un desplazamiento rigido de la curva, hacia la izquierda, en la

cantidad a.S i a = v i, donde i es el tiempo, obtenemos una curva "viajera"; esto H,

~= f(x - Ill) represent a una curva que se mueve hacia la derecha con vclocidad

//, llnmnda uelccidad d e [ ase (fig. 18-3a). Del rnismo modo, ~ = f( x + v l) repr ,-

II uta una curvu que se mu vc hacia la izquierda con v locidad v (fig. l8-;}»).

C on .lunuo s m to n (\S qu I una pr sio n m ilt mnticn de la fo rm .

f ' ( . r I III) ( 1 H . t)



Mo ui mi en to o nd ul ai or io (18.2

- --

- - -~X~~-

--~X~--

e = ( : I : - vi)

(u)

~=f(x+vt)'

(b)

~=ft(:l':_ vt)+f 21.1'+1'1)(e)

1"1101'.8·3. Propagacion sin distorsion de una orida (a) hacia la derecha y (b) haciahi lzquterda. (c) Ondas que se propagan en direcciones opuestas producen resultados,,(fltlvos donde interfieren.

I'!\ ndccuada para describir una situacion fisica que "viaja" 0 "se propaga" sin

c1ot'ormnci6n en la direccion del eje X; esto se llama movimienio otululaiorio. La

cuntidad ~(x, t) puede representar muy diversas cantidades fisicas, tales como

III (I 'formacion en un solido, la presion en un gas, un campo electrico 0 mag-

III ueo, etc. '

[ Un caso especialmente interesante es aquel en el cual ~(x, t) es una funci6n

luusoidal 0 armonica ta l' como II

~ (x , t) = ~o.sen'k(x~ v t)~' (18.2)

LII antidad k tiene un significado especial. Reemplazando el valor de x por

2n/k, obtenemos para ~(x, t) el mismo valor, esto es,

~ ( x + ~n ~ Vi ) = ~osen k ( x + 2 ; - v t)

= ~o sen [k(x - vi) + 2n ] = ~(x - Vi),

1~:llt()nc s

A = 2rr:/le (18.3)

tI II ill lip dodo spacial" de la curva de la fig. 18-4; esto es, la curva s t· pHi II

11111'11111c ad n I or rg itu d A. La. cantidad A so llama lo ng ilu d d e o tu ia . ElltOIH~I'1l

I n ( II ln L L dnL lIe - 21 '1 /Ar p res ents 01 n umcro de Iongitu d s d onda n In d.lH' l.III1·

1 ' 1 1 1 :J I~Y ,q O denomtua t uu ne ro d e o tu ia , aunqu I algunas v c s S t . l lH)1I11m H I d H

II II II, I r l ' J . 1 i : ; III o ll nt CO l' rO I l} lO l J( 1 al II(U)1 1'0 d lo ngltud r H (iii 1I11(ln 1 1 1 1 11 \uu ldud

/

18.2) D es cr ip cio n- m at em ai ic a d e l a p ro pa qa cio n 69 7

de longitud. Por consiguiente

II 2rr: 1), ~ (x, t) = ~osen le (x - vt) = ~o sen - (x - vi)

A

(18.4)

representa una onda sinusoidal 0 arrn onica de longitud de onda A propagandose

hacia la derecha segun el eje X con velocidad v. La ec. (18.4) puede escribi rse

tambien en la forma

(I ~(x, t) =o sen ( lex -w t) ! II(18.5)

dondeI( 2rr:v /1

co = le v = --' (18.6)A

da la frecuencia angular de la onda.,

Puesto que, segun la ec. (12.2) , co = 2rr~,

donde v es la frecuencia con la cual la

situacion fisica varia en cada puntd x,

tenemos la relacion importante:J' \ _ "k· ~ -£_ _" p- •

IIAv,= V III,' n

Fig. 18-4. Onda arm6nica.

(18.7)

entre la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagacion. Es evi-

dente que si P es el periodo de oscilacion de cada punto, dado, segun la ec. (12.2),

por P = 2rr:/w = l/v, podemos tam bien escribir la ecuacion (18.4) en la forma

,((~= ~o sell 2rr: ( : - ~ ) ., )

Analogamente

(18.8)

~= ~ o sen k(x-t vtt= ~ o sen (k x + Nt ), I •

Ii=~o sen 2rr ( : + ~') j l , ,I

(18.9)

represent a una onda sinusoidal 0 armomca moviendose segun - X.' Es into-resante observar la distribucion en el espacio de~(x, i) a interval os sucesi-

vos de tiempo. La Iuncion ~(x, t) se ha representado en la fig. 18-5 en 10:;

instantes t o ' t o + P/4 , to + P/2, to + 3P/4, y to + P. Notamos que mient ras In

situacion Iisica se propaga hacia la derecha, se repite a si misma en e1 spa .Io

despues de un periodo. La razon es que segun la ec. (18.7),

\ \ A = o ]» = v P ;

(I]() 'u I'I1 fi n s stra q ue p od mo s (I 'C tJ )ir In lo ngitud d o nda co mo la dlstanciu qU(I

nvnnzn l,1 m ov lm i nto o nd ulato rio '1) un l)Cl'l()(lo,llpo,I' (:Ollfligll'ilHl'l.l, en I II . I lI .ov i -

1 I 1 i ( I I l L O OlldlllllLol'io Hi l l i l i w l l l n l , t,'II! lIlilH C l 0 H 1 )( ! ' i o d k i d n d ( l l \ : 111111 I'll 1 '1 1 1 ,I II IP O ,



Mov lm l en tQ o tu iu ia ta rt a(18.2

dlld~ pe r el periodo P, y Ill, o tra en eI espacio, dada por Ill, Iongitud de onda A

1 1 H L u n d o las dos relacionadas por A = vP . 1 '1 .'

IGIestLtdia~lte puede verifiear facilments que la expresi6n (18.1) para una onda11IL( de escribirse en Il l, forma equiva len te

qx , t) =,F(t ± x/v)

doude , como anteriormente, el signo positivo corresponde a Ia propagaci6n en

~------A------~

1 "1 1 0 1 ' . I f l o G . Onda arrnonica propagandoss hacia Ia dereeha. La onda recorre II I111IHtda Aen el tiernpo P. .

III dlrocclcn do - X y el signo menos a Ill, propagaci6ri en el sentido do l . . t .A I, pura una onda armonica, las ees . (18.5) y (18.9) pueden escribirse

II ,

~(X, i) = ~ ()on U l , ( l ± x/v) =o sen ( { J . ) l ± kx). t\ (f H .I 0)

18.3) Atui lis is de Fourier del mooimienio orululaiorio 69 9

Holuci6n: Usando la ec. (18.7), tenernos

A=E_ = 340 rn S-1 =0 772m .'I 440 Hz '

J.J.1EMPLO 18.2. La'luz se propaga en eI vacio con la veloeidad de 3 x 108 m S-1.

l Iallar la longitud de onda eorrespondiente a la freeueneia de 5 x 1014 Hzvque esla freeuencia de Ia Iuz roja del espeetro visible.

,"ioluci6.n: Usando de nuevo la ee. (18.7), obtenem~

A=E_ =3 X 108

m S-1 = X 10-7 m.'I 5 x 1014 Hz

El estudiante, eomparando estos dos ejemplos, se dara cuenta de la diferencia en

los 6rdenes de magnitud de los datos y los resultados euando se trata de ondassonoras u ondas lurninosas.

18.8 Analisis de Fourier del movimiento ondulatorio

En Ill, seccion 12.15 vimos que, segun el teorema de Fourier.Tcualquier movi- .

miento peri6dico se puede expresar como una superposicion de movimientos \

armonicos simples de freeuencias II~, 2Ul, ... , nUl, . .. 6 periodos P, P/2, ... ,

P i n ; . . " EI mismo resultado se aplica al movimiento ondulator io per i6dico.

Fig. IS-6. Onda periodica noarmonica en un punto dado.

Fig. 18-7. Onda periodica no

armonica en un instante dado.

Supongamos que ~ = f(x - v i) sea un movimiento ondulatorio periodico, sto

os, un movimiento que se repite a si mismo en los instantes P, 2P, ... , n P,

(fig. 18-6) . En otras palabras,

((~=(x - V i ) = f[x - v(t ± P )] = ( (.x - vi = F vP). I)

gi' 'Lo I 'I l. g ni J lcH quo ( Il l 1 1' 11 .I ns ta nt « d ad o, < 1 valo r do ~ :s o l inlsmo cu I1 I1 <1 o .' flU llH II. 'LH

o < l 11 '! 1 11' i Il IlY ( ( \ 11 uP , 21 1fl, ... , nu t' , . .. . POI ' 10 LOllto, Hi en Ingor' do (11IIlIIIilll' I,



lVlouilllil 'lllo otuli daiorio(18,3

( ' ; Imlhimnos x en la cantidad J .. = vP, la onda se repite a si misma en el espac io .

I(('mot; y~ observado que esto sucede en el movimiento ondulatorio sinusoidal(o nrmo nico ). . .

, Snponga~os ahora que ~ = (x) es una Iuncion peri6dica en el espacio de pe-

I lot io. J . . , esto es, (x) = r(x + J . . ) . PO I ' tanto, usando el teorema de Fourier ex-

Jilicnclo en Ia seccion 12.15, podemos escribir '

~= (x) = ao + al cos kx + a2 cos 2kx + ... +an cos nkx + ...+ bi sen kx + b2 sen 2kx + ... + bn sen nkx + ...,

clOl ldo J . = 2rr:~A juega el mismo papel que co en la ec . (12.74) .. Los coeficientos

rt" y /I" se ohtienen en forma similar a la indicada en las ecs. (12.74), con x Oi l

IIIJ.(llrde i. Entonces, el movimiento ondulatorio descrito por ~ = (x - vi) puede(" presarse como

~= (x - V i) = ao + a~ cos k(x - vi ) + a2cos 2k(x - vi )

+ ... + an cos nk(x - vi ) + ...+ bi sen k(x - vi ) + b2 sen 2k(x - vi )

+ ... + bn sen nJe(x - V i) + ...0, ytl que co = ko,

~= (x - vi ) = ao + al cos (kx - wi ) + a2cos 2(kx - wi )

+ ... + an cos n(kx - wi ) + . . .+ bi sen (kx - wi ) + b2 sen 2(kx - wi )

+ ... + bn sen n(kx - wi ) + ... ,

1 ,0 cunl indica que c~~!quier mov~m~ento ondulatorio periodico se puede exprcsar

I f)lllt) una superpOSICIOITde movumentos ondulator ios arm6nicos de frecuenciu

f'" ~ (,). 3w , ... , nw , ... y longitudes de onda A, J . . / 2 , 1 ../ 3, . .. , »[n , . . .. Debido a

I'M!.( rcsultado es importante que comprendamos el movimiento ondulatorio

uruionlco a fin de entender el movimiento ondulatorio en general. II

J ( . I ' ) ~=A ll en k ox

-:/\'---'/....---:f-/\--\r-f-/\-+~-x

I~ :V~1'1 .1'2

I)

Fig. 18-8. Pulso arm6nico.

",',II,IMI'U) IH.:J. Una onda descrlta al tiempo t =0 porIa funci6n j (x) mostmdu

I:I~, III II o t: 1H - B, .sO,expresa po r ~ =. A sen /cox en 0 1 interv ale .:lx = x2

- X,I Y pOI'

II I II r ll li ll ( 1 0 s l I n t e r v a l e . Este ttpo de o n d a se llama pulso 0 p aq ue u: d e ( )J ld ll1 1 1 1 1 ' 1 1 1 'II H I If \'l Is ls d Fourier de esta o nda. .

, "'twl. "I "P;!!ltlpl'obloll1n cs somojanto al dtscutldo on In soecI6)112-15 porn III (IIII'VIIl'IIJlI'IIMllllllldu (Ill In n M · 1 2-1 5; ~ 61 0 cs noccsurto l.' omplaznr t por : r ; , Y (')0 pO I' ~ n- H I II1 1 0 \ 1 1 1 1 1 1 ' 1 1q!I(I,·IlIUU ohl n I' H U n ondu c l ( ' l Ilpo 1l11sLI'Lldo01 1 1 \ n~ , .1 HH, d(IIIIIIIIO ill!

18.4) Ecuaci/n: diferenciol del movimiento ondulatorio 701

porponer muchas ondas con nurneros de onda k que van desde -00 a +00 cadauna asociada con ulna amplitud A(k) semejante a la de la fig. 12-46 Y tambien mos-t ruda en la fig. 18c9. La amplitud A(k) es apreciable solamente para val-ores de k

In un intervalo . : lk a l rededo r de ko igual a

. :lk r-J 2rr:/!:l.x 6 !:l.x.:lk r-J 2rr:,

t n analogta con la ec. (12.76). Esta relaci6n indica que mientras mas pequefia seaIII regi6n del espacio en el cual Ia onda se localiza, mayor es el intervalo de lon-j ,( lt l. ldes de onda requerido para representar el paquete de onda.

A(k)

Fig. 18-9. Transformada de Fourier del pulso mostrado en la fig. 18-8.

18.4 Ecuaci6n diferencial del movimiento ondulatorio

Como pr6ximo paso, investiguemos c6mo determinar cuando un campo dado, en

funci6n del tiempo, se propaga como una onda sin distorsion, Como los campos

asociados con cad a proceso fisico estan gobernados por leyes dinamicas (carac-

teristicas de cada proceso) que pueden expresarse en la forma de ecuacioncs

diferenciales, como se mostr6 en" el caso del campo electrornagnetico, debemos

explorar la posibilidad de encontrar una ecuacion diferencial que sea aplicabl

a, to do tipo de movimiento ondulatorio. Entonces, cada vez que reconozcamos

que un campo particular, como resultado de sus propiedades fisicas, satisfac

tal ecuaci6n, podemos estar seguros que el mismo se propaga a traves del espacio

con velocidad definida y sin distorsion, * Reciprocamente, si experimentalmente

observamos que un campo se propaga a traves del espacio con una velocidad

definida y sin distorsion, estamos en condiciones de describir tal campo por medio

de un conjunto de ecuaciones compatibles con la ecuaci6n de onda.

!(La ecuaci6n que encontraremos muchas veces y que describe un movimiento

ondulatorio que se propaga a una velocidad definida v y sin distorsion segun lae

dlrccciones+X 6 -X es I

~=V2~.J /81 2 8x 2,

(18.11)

• 1':Hlli IlIIHIII[l ttl ntcn s uL lllz6 II 01 ca pi tu lo 1 2, d on dc d cs cu brlm os q u u n i no vlm lcn lo OR('I-

IHI()I'lo nnnontco slillpl,ll RIf.lIIO unn (\ClIlIC'I(m<'Il'luno (I'xllil' I WA X 0 Y pOI' ('oIIHll(lIknl[1 lIHfllllOH

II I I I i l l' I II 1 (' 1 61 1 l I ll l' li I l li III Ilk1 1 1 'V i \ I' lOH ! l II oH [It I l l Ioy ll ) i I(II lLo tlI'ul6nh'o ~lllll)1 1,111111 ' 0 1 1 ' ' 1 . Ilsl 'lhhll 'lIlllH

II . l ily 1 1M r fH lt 'n t ll l l I Ii IIV II lI It 1 1 10 ,



Mov lm i en lo o ndu la io ri o (18.4

l l nmuda e cu ac i6 n d if er en ci al d el m oo im ie nto o nd ula io rio , La soIuci6n general de

In co. (18.11) tiene la forma de la ec. (18.1). Esto es

,I ~(x, i) =l(X - vi) + Mx + vi). I, (18.12)

\' I hI este modo la soluci6n general de la ec. (18.11) se puede expresar como la su-

IH' , ' ) )os ici6n de dos movimientos ondulatorios que se propagan en la misma direc-

d()11 pero en sentidos opuestos.l'Desde Iuego, para una onda que se propaga en

1Il1 solo sentido, aparecera una sola de las dos funciones en Ia ec. (18.12). Sin

omhargo, cuando (por ejemplo) tenemos una onda incidente 'que se propaga~1'f.((111 + X , Y una onda reflejada que se propaga segun - X, se debe usar la

forma general de Ia ecuaci6n (18.12). Para probar que una expresion de la forma

< 1 1 \ In ec . (18.12) es una soIuc i6n de Ia ecuacion de onda (18.11), debemos recordar

1I1guJ1oS resultados matematicos , Si tenemos una Iuncion y = [(u), donde u es

II su vez funcion de x, esto es, u (x ) , entonces

dy d y du--=--1--,dx du dx

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 regla de deriuocion e n c ad e na .* Por ejemplo, si y = sen (342), tenemos

II s n u , u = 3 X 2 , d y ld u = cos u Y duldx = 6x , de modo que

dyldx = (cos u)(6x) = 6x cos 3x2.

A pliquemos ahora la regIa de derivaci6n en cadena a ~ = [(x ± vt). En este

t 'H~O hacemos u = x ± vt , de modo que ~ = f(u), y notando que hay dos variables

.r y L debemos usar derivadas parciales, o.u lox = 1, oulo t = ± v. Luego

o~ d~ A U df,-,-- = -,->- = -',oX du ox. d u

o f, , df, ou d~-=-=±v,-.ot . du o t du

'l 'OIIIUI1UO ahora las derivadas segundas, tenemos

02 ~ d (o~ ) ou d2~ d2~8i2 = du . 8t at = ± v du2 (±v) = v

2'du2 .

IICOlld)innndo ambos resultados para eliminar d2 f,/du2, obtenemos Ia ec. (18.11) ,

1 0 ounl prueba que ~ = [(x ± vt ) es una solucion de la ecuaci6n de onda, ind: ~

IHlll tliml lomcnte de la forma de la Iuncion [.J'Como 1 3. ecuacion de ouda es Ji n nl,

In Iwhtd6n g neral es del tipo indica do en Ia ec. (18.12).

Ilodlmlos vcriflcar, usando un ejemplo concreto, que la ecuaclon d onda (18.11)

I H uU t;!U \ p ara una ondo sinusoidal , f, =osen k(x - v i). Tomando l!lf! llill 'l-

~ V 1\l' 0 , 1 1 1 " 1 / ( 1 IlIr'!lil~,~/III((l II ! l' o/ lI cl ri l1 ( 1 l1 a ll tl ca , terc I ' l l dl'1611, I)()l' U . II . 'l'h () mI H . 1 \ . 1 , ( 1 1 1 1 1 1 1 ' ,

M dl'ill, IHlH, lI(\1fl\h~J1-lt

18.5) Ondas elasticas en una barra 703

vadas parciales con respecto a x y t, tenemos

o~ox = ~~ocos k (x - -: - v t ),

o~- = - kv~o co s k(x - vt) ,o t .'

02 ~-- = - k2V2~Osen k(x - v i).ot 2 -

Por 10 tanto 02~/o t~ = V202~ /oX2 , de acuerdo con la ec. (18.11).

A fin de comprender mejor las ideas fundamentales del movimiento ondula-torio, en este capitulo discutiremos ciertos tipos de ondas que son mas 0 menos

fami.lia res a los estudiantes, EI estudiante notara que en las ondas a discutirse

en las secciones subsiguientes, l a ec. (18.11) es el resuItado de las leyes dinamicas

del proceso, teniendo en cuenta ciertas aproximaciones tales como pequeiia am-

plitud, 0 gran longitud de onda, etc. Por eonsiguiente, la teoria relacionada con

la ec. (18.11) es aplicable solo en estas aproximaciones.

"18.5 Ondas e16sticas en una berra

Si provocamos una perturbacion en uno de los ext remos de una barra, golpeandola

por ejemplo con un martillo, la perturbacion se propaga a 10 largo de la barra y

everrtualmente se siente al otro extremo, Decimos que se ha propagado una ondae last ica a 10 largo de la barra. En esta seccion, nuestro proposito es discutir deta-

lladamente esta onda elastica y vel' como esta relacionada su velocidad de pro-

pagacion con las propiedades fisicas de la barra. Consideremos una barra d

seccion transversal uniforme A, sujeta a una fuerza segun su eje indicada por F,

Fig. 18-10. Las fuerzas sobre cualquier seccion transversal de una barra somcuda

a esfuerzo son iguales y opuestas,

IJ IP ~

La fuerza Fno es necesariamente la misma en todas las secciones y puede varier

a 10 largo del eje de la barra, Sobre cada seccion transversal actuan dos fucl'zl\!j

19unlcs y opuestas (como so muestra en la 'fig. 18-10); una os la t nsion sobtcln

part Izq ul rda d hida 1\ la porcion dorocha y la otra os la tension sobr 1 0 partetit r( .h n < l l l l l i ( l l l n II I p orclo u Izq ui 'r <lt\ (\( In b nrrn, E J e4/ul/'zo narmal 0 l I'mio" ( ', '

olm \ I11t1 H(I(: (l i I II (II III hlll'l'lI 1 (111(1111\ OOlliO I I I hU1 I' 1I 1 I pOI' ullidnd « I( 1'11'(111 qtll H(



18.5)o t( (18.5 70;;M oulmien io ondula io rio

IljOl'CO perpondicularmente a la secci6n transversal en ambos sent idos. Entonces

c5 =FlA. (18.13)

Ln t nsion normal se expresa en N m-2•

l lajo la accion de tales Iuerzas cada secci6n de la barra experimenta un despla-

; '; Ilmi ento ~ paraleloal eje. Si este desplazamiento es el mismo en todos los puntos .

do In barra, no se produce deformacion, sino simplemente un desplazamiento

I'Igido de laob arra s egu n su eje. Estamos interesados en el caso en el cual se pro-

!lIIOO deformacion, de modo que haya una variaci6n de ~ a 10 largo de la barra,

I 'H L o s , que ~ sea una funci6n dex. Consideremos dos secciones A y A' separadas

In distullcia dx en estado de equilibrio (fig. 18-11). Cuando his fuerzas se mani-

;F tI

l~x dx

_ I+---

dx+d~

Fig. 18-11. Onda longitudinal en una barra.

lit H ' L t \ 1 1 , Ia secci6n A se desplaza la distancia ~ y la seccion A', la distancia C

LUlj;(O, Ia separacion ent re A y A' en el estado de deformacion es

dx + (~'-~) =x + d~,

!lolld d~ = ~'-~. La deformaci6n de la barra en aquella regi6n ha sido po r

onnstguicnte d~. La deiormacion unitaria .normal € en la barra es la delormacion

pOI' unidad de longitud a 10 largo del eje de la barra. Como la deformaci6n d~

IIIH'1' spoude a la longitud dx vemos que la deformacion __!lI]jta ri a de la barra es

€ = o ~ / o i i · (18.14)

O h M I'V S que cuando no hay deformaci6n, ~ es constante y € =, 0 sea qu110 hny dciormacion unitaria normal. Esta deformaci6n unitaria, siendo el co-

C l cI I IL de dos longitudes, es una cantidad adimensional.

gull' 1 csfuerzo normal c5 y la deformaci6n unitaria e de Ia barra hay -una

I'l l lnci{)n Hamada ley de Hooke, qu~ establece que' I

\ d eni ro del limite de elasticidad del material, la normal e s e s fue rzo

proporcional a la deformaci6n uniiaria normal I

II (III

(" 5 = Y ~ , (18.15)

tll~Jl(1I \',In co nstnnt do pro po r ' io lHlIi<ind, Imodul o de i (l .q ll ci d( l( l i i i : Y()I I l I I I :

Ondas elasticas en una barra

se expresa en Nm-2, ya que € es un factor sin dimensiones. La ley de Hooke os

una buena aproximaci6n al comportamiento elastico de una sustancia siempre

que las deformaciones sean pequefias, Cuando las tensiones y detormaciones son

. grandes la ec. (18.15) no es valida y la descripci6n de la si tuacion fis ica se complica.

, La tabla 18-1 da las constantes elasticas de ciertos materiales; elIas son: cl

modulo de Young Y, el modulo de elasticidad de volumen IC definido en la ec. (18.22)

y el m6dulo de rigidez G definido en Ia ec. (18.31).

TABLA 18-1 Constantes elastlcas (1011N m=)

Material y K G

Aluminio 0,70 . 0,61 0,24

Cobre 1,25 1,31 0,46

Hierro 2,06 1,13 0,82

Plomo 0,16, 0,33 0,054

Niquel 2,1 1,64 0,72

Acero ' 2,0 1,13 0,80

Introduciendo las ecs, (18.13) y (18.14) en la ec. (18.15) y despejando F, ob-

tenemos

F=YA~.', o x (18.16)

En el caso de una barra 0 alambre en equilibrio con un extremo fijo en el

punto 0 (fig. 18-12) Y sujeto a una fuerza F aplicada en el otro extremo A, tenc-

mos que la fuerza sobre cada seccion debe ser Ia misma e igual a F. Entonces,

Figura 18-12

integrando la ec. (18.16) con F constante obtenemos la deformacion en cadasecci6n,

f F fX~ = -- dxo I YA 0

Fr:---x~- 'fA'

En particular, la deformacion I en el extrerno l ibre A se obtiene haciendo x =T~,

do modo que l = 'FLjYA. Esta relacion nos permite medir experimcntalm ntc

el modulo de Young,

Cuando In barra no esta en cquilibrio, In Iuerza no es In misrna n todas SIIH

so i clonce, por 1 que uno . de lias do )SP SOl' dx stnl'{l 80m ''l i( \a a 1Inu £1H'f7.lI,

rosul l ;nnto c l l s ' l i n t n ( ' 1 \ ' 1 I' t' () . PO l ' ~ I J( \l 1 lp l o, o n In ng,18-11, In 1 :111 '11\ I (I( In i ' l i \e c : i < ' > I )

(('I (tlIHIHOI' (/,1' (\ l(1 1 1 0 1 1 1 ( 1 1 kln 1\ III I'II(II'~(I F' hncin 1 0 Ii ( 1'('(\1111 <Il'hiclll II III I (11I1Ii(1I1



Mov im ie nlo o nd ul al or io(18.6

'1" 0 (lJ(H'ccJ a parte derecha de Ia barra, mientras ellado A esta sujeto a la fuerza F

Illwin ln izquierda, debida a Ia tension de Ia parte izquierda de Ia barra. La Iuerza

11('(11. sobre la seeei?l1 es F' - F = dF = ( oF /o x) d x hacia Ia derecha. Si p es la

.li·IIHllnd del material de la barra, la masa de la secci6n es de dm = pdV = pA dx,

dllwlc 1 \ dx es el vol l imen de la secci6n. La aceleraci6n de esta masa es o2~/oL2.

1·01' II) t n~o: aplicando. la relacion dinamica fuerza =masa X aceleraci6n, po-

III'IIIOS scribir Ia ecuacion de movimiento de la seccion en la forma

of 02~-dx = (pA dx)-,

ox ot2

of _ A o2s_

ox ,- P. - - - a t 2 .(18.17)

Ell cstc problema tenemos dos campos: uno ~s el desplazamiento ~ de cada

!'i'('i611 de la barra, donde ~ e s una funci6n de la posici6n y del tiernpo, y el otro

I' III f.u rza F que se ejerce sobre cada secci6n, siendo F, tarnbien, funci6n de la

pOI;iej(jn y del tiempo. Estos dos campos estan relacionados por las ecs. (18.16 )

y ( 18 , 1 7) que se pueden denominar ecuaciones diferenciales del campo elastico

Jlp In bar ra deformada y que describen las condiciones fisicas de l problema. Estas

i'('IIIIt:iOJl s son matematicaments equivalentes a las ecuaciones de Maxwell para

III t ' 1 ! : rtrcmagnetismo. Combinaremos ahora las ecs. (18.16) y (18.17). Tomando

I " r le ri v ad a de la ec. (18.16) respecto ax tenemos

of 02~ --=YA-.ox . oxL

~II, l.il.uyendo este resultado en la ec. (18.F) y cancelando 'el factor comun A,1.1'1I( ', I110S

8L 2 P ox 2 (18.18)

II" I '6' . '1' I .( ,',Ii.1t NI una ecuaci n SImI a r a a ec. 18.11) y por 10 tanto podemos coneluir que

II rumpo de deformaci6n ~ se propaga a 10 largo de la barra con una velocidad I

v = Yip, ( 18 .19) ,

l'IIHldLu<!o que ha sido confirmado experimentalmente, midiendo independicn-

11I1I1( nte las tres cantidades. Notemos que la ec. (18.19) es correeta dimensio-

1I1t111H'll.l', ya que Y se expresa en N m-2 y p en kg m-3; luego, su cocientc cs(N III ~)(kg m-3)-1 = m2 S-2, que son las dimensiones del cuadrado de una velo-

I ' idnd. tilizando la ec. (18.16) el estudiante puede verificar que el campo d

l'lli'l'r-IIS F satisface una eeuaei6n simila r,

82F Y 82~",

8i2 = : p 8x2 '

1 1 I cHw l )l do q u e c l c amp o de fucrzas sc p ropaga a 10 largo d e la b arri l. con II I mi:mlllVi' ]lIddud qU( cl campo d ' dcsplazamicntos.

El l illlpOl'lnIILI\ no tur qu I III o nda d 's rita POl' los ccs. (18,18) y (IR.20) (HII'I'P_

1I0lldil .11 hH I ",pl·op!tHI.,dl\H rl!~l(\fIH d(·r( )l 'luncj(l Il ~ y fum'r-II, F, O i. 'lllllllllllli i 'll gl'ill Iii

(18.20)

18.6) Ondas de presion en una columna de gas 707

direccion de propagaci6n de la onda, 0 sea segun el eje X. Este tipo de movi-

miento ondulatorio se llama longiluilinal.

Debemos observar que las ecuaciones de campo (18.16) y (18.17) implican las

ecuaciones de onda (18.18) y (18.20), pero la reciproca no es cierta ya que otras

eeuaciones de campo pueden implicar tambien una ecuaci6n de onda. Por con-

siguiente, las ecuaciones fundamentales del campo de nuestro problema son

(18.16) y (18.17). Las ecuaciones de onda (18.18) y (18.20) s610 son consecuencias

de las ecuaciones de campo.

EJEMPLO 18.4. Estimar Ia velocidad de propagaci6n de las ondas elasticas lon-gitudinales en una barra de acero.

Soluci6n: Usando los valores de la tabla. 18-1 y el valor 7,8 x loa kg m-a para ladensidad del acero, tenemos, usando la ee.(18.19) que

_ V y - V 2 , 0 X 1011N.m? - 506 loa -1V - - -, x ms.

p 7,8 x loa kg m-a -,

El valor experimental es 5,10 x 103 m S-l a ODC.Comparese con la velocidad delsonido en el aire, que es de 340 m S-l.

EJEMPLO 18.5. Discutir las ondas longitudinales en un resorte .

Soluci6n: Cuando se produce una perturbaci6nen un resorte estirado y el desplaza-

miento experimentado por una secci6n del mismo es ~, la fuerza en esa seeci6nes F=K(o~(axV donde K es el modulo de elasticidad del ~esorte. Esta ecuaci6nes la equivalente de la ec. (18.16) para una barra. El coeflciente K no debe con-fundirse con la eonstante elastica k introduclda en la ec. (12.5). Para obtener larelaei6n entre K y k observamos que si el resorte, de longitud 1; se estira Ienta-

mente hast a que su longitud aumenta en I, la fuerza F debe ser la misma en todoslos puntos del resorte en equilibrio. De este modo o~(Ox.= (L YF =K(L) I . La

cantidad I es 10 que hemos llamado xenIa ee. (12.5), F =kx, y por consiguientek = K( L 6 K = kL. Consideremos ahora una porci6n del resorte de longitud dx,

de masa m dx , donde m es la masa por unidad de longitud. Razonando del mlsmomodo que para obtener laec. (18.17), eseribimos

02 ~ of 02 ~m -- =---"<=K -- ..

ot Z ox ox 26

02 ~ K 02 ~

ot Z =-;;;ox z '

que tiene la forma de la ecuaci6n de onda (18.11). Por 10 tanto, la velocidad do

propagaci6n de la onda longitudinal a 10 largo del resorte esD = K(m = kL(m.

18.6 Ondas de presion en una columna de gas

A continuacion iconsideraremos las ondas elasticas que se produecn en un gns

dehido a las variaciones de presi6n. El sonido es el ejemplo mas important do

st tiro de onda. Para simpliflcar, consideraremos qucolas ondas so propaguu

n un gu s one rrado n un tubo 0 C;: II10 cil lndri o.

Iiny unn l Ii ll 'l '( 'I H :i n u n p or ta n te JILl' InA (Judas cl tisLi 'us el l un gill> hIli olldllr;

(1I('llltll\lI1'1 1"11unn 1)11.\')'11. 1,01>1gllH(l1i lion 11111 ( :1)l llpn'!illlloH y ( \ IIUl1do HI (IHI,IIi1kn(111



Muvl lH l (JI l lo o t ulu la to r io (18.6

IIuctunclones de presion en un gas, la densidad del mismo experimenta las mismas

Iltw'lullciones que la presi6n.

S. all Po Y Po la presion y la densidad del gas en condiciones de equilibrio. En

Nltns condiciones, P o Y Po conservan el mismo valor en todo el volumen del gas,

m,to "S , son independientes de x. Si la presion del gas se modifica, un volumen

oloru mtal ta l como A dx (fig. 18-13) se pone en movimiento debido a una fuerza '

III tn no nula. En consecuencia, la secci6n A se desplaza la distancia ~ y la sec-

db:n A'ia distancia ~', de modo que el espesor del volumen elementaldespues

(til 10 dcformaci6n es dx + (~'- ~)= dx + dt; Hasta aqui, todo parece identico

III 'lISO de la barra. Sin embargo, debido al cambio de volumen, la densidad

----e---

z_ 1.0-

dx+d~

Fig. 18-13. Onda de presion en una columna de gas.

cam b ia porque el gas es mas compresible. La masa del volumen elemental en

(lqlliJibrio es PoA dx y la masa del volumen perturb ado es pA(dx + d~), donde p

(If! In dcnsidad del gas perturbado. EI principio de la conservaci6n de la masa

", qulerc que dichas masas sean iguales, es decir

pA(dx + d~) = PoA dx 6 P (1 + !;) = Po '

1)( IIpcjando P, obtenemos

P = Po1+ 8~/8x

(!0Il10 n general 8~/ax es pequeno, podemos reemplazar (1 + a~/8x)-1 por

I ~I)x , usando el desarrollo del binomio (M. 28); asi resulta que

P = Po(l - o~/ox) 6 P - Po = - Po(8~/8x). (18.21)

I,ll pt' 'si6n pesta relacionada con la densidad p por la ecuacion de estado, q II '

( P lw < l l cscribir p =(p). Aplicando el desarrollo de Taylor (M. 31) a esta Iun-

nib il, s 'lio n

p =P o + (p - Po) ( dP) -I - t(p _ P O )2 ( d 2 ~ ) + .. ,

dp 0 dp 0 \

1'111'11nrit \ ( }j{HH1H < 1 dcnsklud r lntlvam nt p q u fins , po d m ol'! ,0 UIl( r vn r illd .

18.6) Ondas de presion en una columna de gas 709

camente los dos primeros terminos y escribir [recordar la ec. (M. 32)]

p = P o + (p - Po) ( ~~ - ) o '

La cantidad

K = Po ( _ ! E _ )dp 0

(18.22)

recibe el nombre de modulo de elas iicidad de volumen. Se expresa en N m-

2,

lasmismas unidades que usamos para la presi6n. Entonees podemos escribir

(p - Po )

P=Po+ K Po •

Esta expresi6n corresponde a la ley de Hooke para los fluidos, Usando la ec. (18.21)

para eliminar p - Po ' tenemos

(18.23)

8~P=Po-K-.

8x(18.24)

Esta expresion relaciona la presion en cualquier punto de la columna de gas con

la deformaci6n en el mismo punto. [Para una barra elastica la ec. (18.24) es

equivalente a la ec. (18.16).]

Necesitamos ahora la ecuaci6n de movimiento del volumen elemental; la masa

del mismo es PoA dx y su aceleraci6n es 82~/812. El gas a la izquierda de nuestro

elemento de volumen 10 empuja hacia la derecha con una fuerza pA y el gas que

esta a la derecha 10 empuja hacia la izquierda con una fuerza p'A. POl' 10 tanto,

la fuerza resultante en la direcci6n + X es (p - p')A = - A dp, ya que

dp = p' - p. Entonces la ecuaci6n de movimiento es

82~r r -A dp = (PoA dx)-

0 1 28p _ _ 82~ J - - - : > (18.2'-)8x - Po 812 .

Tamhien en este problema tenemos dos campos, el campo de desplazamiento ~

y el campo de presi6n p. Las expresiones (18.24) y (18.25) son las ecuaciones quo

relacionan ambos campos. Estas ecuaciones pueden combinarse del siguient

modo. Derivando la ec. (18.24) con respecto a x , recordando que P o es constante

en to do el gas, se obtiene

op 82~- =-K--,ax 8x2 .

la cual, comparada con la ec. (18.25), nos indica que

II 82~ .Ii o 2 ~

f i / 2 P n e . t 2( 1 R . 2 ( 1 )



--...,~r,! IVF I lVZmr1 !T li Ol1 li lf l alo fi o (18.6

li lln v o z ma s obtenemos una ecuaci6n similar a la ec. (18.11) y concluimos que

1 '1 dcsplazamiento producido por la perturbaci6n de la presi6n de un gas se pro-

pH f.fa CO il la velocidad

v =Kjpo' (18.27)

gJ estudiante debera verificar la compatibilidad de las unidades en esta ecuaci6n.

I,ll pr .slon tambien obedece a una ecuaci6n como la (18.26), 10 cual el estudiante

(IIIlid verificar combinando la .ec, (18.24) con la ec. (18.25). Dicha ecuaci6n es

82p )( 82p

P o 8x2

1':111.1\es la raz6n por la cual a las ondas elastieas en un gas se les llama ondas de

Ilf/'sion. El sonido es simple mente unaonda de presi6n en eI aire. Una explosi6n,

o Hl'n un rapido aumento local de presi6n, produce una fuerte onda de presi6n,

1)('1'0 en este caso las variaciones de densidad pueden ser tan grandes que las

. uproxlmaciones hechas en nuestra teoria dejan de ser validas, resultando una

IH\II11Ci6nmas complicada.

Analogamente, el estudiante, combinando las ecs. (18.21) Y (18.26), puede

verlflcar que la densidad del gas obedece a una ecuaci6n de la misma forma, 0 sea

P o 8x2

1'01' . onsiguiente, al referirnos a un gas, podemos hablar de una onda de desplaza-

inieuto, una onda de presi6n 0 una onda de densidad. Las ondas de desplazamiento

II Wi mejan a la imagen grafica que tenemos de las ondas superficiales en un

llquido (es decir, el movimiento de materia en conjunto). Las ondas de presion

y In s de densidad, aunque no corresponden a tal imagen grafica t ambien des-

orihcn una situaci6n fisica que se propaga a traves del gas.

1':1 movimiento ondulatorio en los gases es un proceso a diab atico , term ino qu

I IHm sencialmente en el sentido de que no hay intercambio de energia calorica

1111."0 los elementos de volumen del gas. En oondiciones adiabaticas p = CpY,

clo ud y es una cantidad caracteristica de cada gas. Para muchos gases dia tomi-

C'Ofl,IiU valor es aproximadamente 1,4. Entonces dpjdp = yCpY- l , Y K = Po(dpjdp)o =

y ( : P y , YPo' Entonces, quitando el subindice 0 y sustituyendo en la ec. (18.27),

eucoutramos que la velocidad del sonido en un gas es

v =ypjp. (18.28)

1 . 1 1 ( Ju d o a so c ia da Con e1 campo /;, es tam bien una onda longitudinal, yo que 0 1

li n p ln za ml n to e s p ara le lo a Ia direcci6n de propagaci6n. La presi6n p, sin 10-

blll·f.(() no S till vector y no tienc d ir cc ci o n a so c ia da , La dir ccion aso ciadn s

III !II' In, f I lOY'z! l prod ucida po r la diferencia de presion y es normal H la sl1pufldt.

P C ) J ' C ' o ll l'l .i gu io o t o , I II mov imi n to ondula tor io c o r r spondi nte al c a m po ( 1 0 p1'llsi~1

I I 1 11 1 11 . I IU ti U o sc uln r, L a o ud a c or re sp on dle nt 0. III douatrlad P !I 'LlIlllhl(1II 1 1 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 ' .

18.6) Ondas de presion en una columna degas 711

RJEMPLO 18.6. Obtener la relaci6n entre la velocidad de una onda de prestonen un gas y la temperatura del gas.

Soluci6n: Como probamos en el problema 9.46, la relaci6n entre la presi6n y 01

volurnen de un gas es pV = NRT. Pero como p = ml v , tenemosque pip = NRTlm =RTIM, donde M =mlt« es la masa de un mol del gas, expresada e~ ~g. Por 10tanto, l a raz6n pip es proporcional a la temperatura, y podemos escribir

v = Vyplp = V yRTIM = IX VT,

donde IX = V yRIM.Sabemos por medidas exper imentales que aT = .273,15°~ (O°C),la velocidad del sonido en el aire es 331,45 m S-l. Luego el coeflciente IX ttene 01

valor 20,055, y la velocidad del sonido en el aire a cualquier temperatura (medlda

y

Ii'ig. 18-14. Fuerzas que se ejercen sobre una secci6n de una cuerda desplazadatransversalmente.

en K) es v =0,055 T m s=, result ado en concordancia con los valores experi-mentales para grandes interva los de temperatura.

EJEMPLO 18.7. Obtener la relacion entre las ampl itudes de las ondas de desplaza-miento y las de presi6n en una columna de gas.

Soluci6n: Supongamos que las ondas de desplazamiento sean armonicas y estenexpresadas por /;,= ;, 0 sen (kx - wl). Sustituyendo en la ec. (18.24), encontramos

8 / ; ,p- Po =-}(-- =Kk/;,o cos (kx-wl).

o x

De este modo la onda de presi6n oscila en torno a su valor promedio con una am-plltud 'J o dada por 'Jo =k / ; , o . Usando la ec. (18.27) para eliminar IC, escriblmos

']J 0 = 'P o K / ;'0 '

Podemos obtener una expresi6n equiva lente usando la relaci6n dada en la ec, (18.0)J = = wlv, entonces

'Jo = v p o w / ; , o =T C V P O V ~ O '

E~ t ll s r cl ac lo n S SOil xtr rnadamente ulllos e n c alc ul os acustt o s. P O I' o je mp lo , I'l.

III Irecuo uo ln d 1100] Iz , 01 sontdo 111(18 d >bll que s pued ot r (:01.'1' spon<l ( U uu nnmplh.utl < I 1)1'08101\ do 1\11"1.1(1i t) ! ' (1 H X IO~6 N lll,"m. Ln '01'I'(IHjlOlldltllll! I\llIplllllll

III d p IU ZI \1 I1 1 1 1[ 0, ( (H I lC ln do 1,21) 1 f.( III II pnru let <loIlMI<ln,d cil I [111'11 Y : Ii lr , III -I



IN.' l)(18. r

71 3

IHU'U lu v o to ctd ad d el s on ld o, es

' ] > 0~o= ' = 7,15 X 10-11m.

2rrvPoII

'I':iltn mnplitud es del orden de las dimensiones molecula res.

18.'1 Ondas transversales en una cuerda

( :011 \0 problema siguiente consideraremos el casu de una cuerda sometida a una

t ( \ 1 \ 1 - 1 1 6 1 1 T. En condiciones de equil ibrio la cuerda esta en linea recta. Desplacemos

h i ell rda perpendicularmente a su longitud, en una pequeiia cantidad, como

ruuostra la fig. 18-14. Entonces una porci6n AB de la cuerda de longitud dx se

desplaza de su posicion de equilibrio una distancia ~. En cada extremo actua

1 1 1 1 1 1 fu rza tangencial T; en el extremo B esta fuerza es producida por la tension

d(1 J~ euerda a la derecha y en el extremo A por la tension de Ia cuerda a la iz-

(lId \l'da . Debido ala curvatura de Ia cuerda , estas dos fuerzas no son directamente

opt! stas, La componente vertical de cada fuerza es T'y = T sen e x ' , Ty= -T sen e x .

Ln I uc rz a resultants sobre Ia porcion AB de la cuerda es

Fy = T(sen e x ' - sen e x ) .

~i ln curvatura de la cuerda no es muy grande, los angulos e x y e x ' son pequeiios

SWl senos se pueden reemplazar por sus tangentes. De modo que la fuerza haciaa rrIb a es

Fy = T(tg e x' - tg e x ) = T d(tg e x ) = T .s: (tg e x ) dx,, ox

r l u u d se usan. derivadas parciales porque tg e x d ep e nd e de x y de t. Como tg e x,

q\ll. (~S Ia pendiente de la curva formada porIa cuerda, es igual a o~/ox, se tien

o ( o ~ ) 02~Fy = T- - dx = T--dx.

ox ox ox2

It: tn In rza debe ser igual a Ia masa de la porci6n de cuerda AB rnultiplicada

pOl' Au ncelerac ion hacia arr iba 02~/ot2.Si m es la densidad lineal de la cuerda ,

(I IlHlIiH po r unidad de longitud, expresada en kg m " , la masa del segmento A T 3

( 1 1 1 < i x ; Ia ceuaci6n de movimiento de este segmento de cuerda (usando la rela-

1'i61 l Iu rza = masa X aceleraci6n) es, entonces,

02~ 02~(m dx) - = T-d:r

8i 2 ox2

02~ T 02~

8i2 = ~ 0 3 1 - •6 (18.2{)

1 11 11 \ V ( if, m lls o b t nemos la ee. (18.11),10 que verifica que una pcrturbaclon trans-

II 'HIII n tllla cu .rda s c propaga a 10 largo de la misma con una v Iocidad

IJ V ' 1 ' l m (Ig.~)

Ondas transversales en una cuerda

Mlmnpre que la amplitud sea pequefia. EI estudiante puede verificar la compa-

Uhi lidad de las, unidades en esta ecuaci6n.

Este ejemplo difiere de los anteriores en dos aspectos importantea.'Uno es qu

t IIIl mos un solo campo, el desplazamiento ~, y la ecuaci6n de onda (18.29) es un

resultado idirecto de Ia ecuaci6n de movimiento. EI segundo, mas importanto

urm, es que el movimiento ondulatorio es transversal. Esto es, la propiedad fisiea,

III desplazamiento ~, es perpendicular a la direcci6n de propagaci6n de Ia onda,

tI'l es segun el eje X. Pero bay muchas direcciones para las cuales el desplaza-

mionto es perpendicularal eje X{I Si escogemos dos direcciones perpendiculares

y

I

II

I

/x

Fig. 18-15. Onda transversal no polarizada, en una cuerda.

ntre si, Y y Z como referencia, podemos expresar el desplazamiento transver-

sal ~ , considerado como vector, en funci6n de sus componentes segun los ejcs

y y Z. Mientras Ia perturbaci6n se propaga, Ia direccion de ~ puede .carnbiar

de un punto a otro dando como resultadoque la cuerda se retuerce (fig. 18-15).

S in embargo, si los desplazamientos son para lelos, por ejemplo, al ej e Y , la cuerda

estara siempre en el plano XY, y decimos que el movimiento ondulatorio esta

polarizado linealmente (fig. 18-16). Es obvio que una onda transversal se puede

IIi mpre considerar como la combinacion de dos ondas polarizadas linealment

en direcciones perpendiculares. Si ~ tiene una Iongitud constante pero cambia

d direccion, de modo que Ia cuerda yazca sobre una superfi cie cilindrica (fig. 18-17),

In onda esta circularmente polarizada. En este casu cada porci6n de cuerda 'c

mucve en un circulo alrededor del eje -X . La polarizaci6n de las ondas transversn-

J s 's un tema muy importante, que discutiremos detalladamente en el capitulo 20.

D b observarse que al escribir la ec. (18.29) hem os tornado en consideruclou

s ola rn n te c l m o vi m ie nto transversal de la cuerda. Sin embargo, pod mo s V(II',i-

11 nr f(wilmon't qu e no h om os igno ra do ningun m ov im iento u 10 IA~gode IIIcucrdn.

Ln fU(ll'zU r 'suHnllt' paral III al j " es

'I' ( ' 0 1 - 1 IX' 'J' (lOS ~ ' I '( e O H I



7lrf. Mou lm i e ni o o n du la io r io (18.7

y)'

x

"'1101'.,8-.l.S. Onda transversal polariza-

lIil, llnealrnente, en una cuerda.

Fig. 18-17. Onda transversal polariza-

da circularmente, en una cuerda.

I ero cuando el angulo es muy pequefio, el coseno es, con mucha aproxirnacion,

I U l l l t l a uno. Por consiguiente, hasta aproximaciones de primer orden, cos r x ' ~ cos rx

y Fro =0, de modo que la fuerza neta paralela al eje X es cero.

Iq,lIlMPLO 18.8. Ondas elasticas transversales en una barra.

."flhwton: En la secci6n 18.5 estudiamos las ondas elasticas longitudinales en una

11111'1'(\.Analizaremos ahora las o nd as ela sti ca s transversales. Consideremos una

IIIlI'l'U que en su estado sin distorsi6n esta representada por Ia parte punteada deIII IIg. 18-18. Si en un instante dado se hace vibrar la barra golpeandola transver-

111111nte, adopta la forma de la linea curva y podemos suponer que cada secci6n

III III misma se mueve hacia arriba y hacia abajo pero no horizontalmente. Sea ~III II splazamiento transversal de una secci6n dx en un instante dado. Este desp laza -

I I t1 I11ILo debe se r una funci6n de la posici6n, porque, si fuera constante, correspon-

FIg. 18-18. Onda cortante 0 de cizaUamiento en una barra.

elm' ln n un dcsplazamiento paralelo de Ill.barra. La cantidad y '= o~/ox que es Iavl~I'lacI611 d desplazamiento transversal por unidad de Iongitud, recibe el nombre.1 1 (/{'/ormacion transversal uniiaria. Como result ado de la deformaci6n, cada secci6n

fll I P HOI' dx esta sometida ados fuerzas de sentido contrario F y F', tangentesI h\ sunornctc (comparar con la situaclon de Ia fig. 18-11) ejercidas POl' las por-

d01l1 H t1 { In J )A .rL ·a cada Indo do la sec cto n tra ns vers al, L a fu erza tungonoial 'pO'

IIl1ldad d (hell, ,,5 - F/A , so d nomina es t uer zo t a nq en c ia l 0 cortante. Tnmhlen o.ql.tl,

j'lIl I)o '1) III J (I, (I H.I0) q u e r at ac to nn 01 stuorzo normnl COli Itl. dofOl'UlI\(.:i(lIl iormnl,III Y 1 l111 I1'(llud(~1l xlmllur II 10 I l lY d Jlool ( I n tre I 'Sftllll'Z() ( 'f )J 'I IIO II Y III til tOI'- -

18.7) Ondas transoersales en ulla cuerda 716

macron correspondiente; esto es, c5 =Gy, donde G es un coeficiente caractensttcodel material, Hamado modulo de torsi6n. POI' consiguiente,

F=AG~.ox

(18.31)

La fuerza resultante sobre la seccion es F' - F = dF = (oF/ox) dx. Por otra

parte, si p es la densidad del material, la masa de la seccion es pA dx, y la ecuaci6nde movimiento en direccion transversal es

o f 02~

ox dx =pA dx) 7)i2

o f - ' - A 02~

ox - P 0[2' (18.32)

Tomando la derivada respecto de x en la ec. (18.31) tenemos

o f =AG 02~ ,

ox ox2

que sustituida en Ia ec. (18.32), da (despues de cancelar el factor comun A)

02 ~ =Q _ 02 ~

01 2 P OX 2

De nuevo obtenemos Ia ecuacion dlferencial (18.11) indicando que la deformaci6n

transversal se propaga a 10 largo de la barra con una velocidad dada por

(18.33)

v = G/p. (18,34)

Mas propiamente, Ja onda podria llamarse onda de cor te. Otro ejemplo de estc

tipo de onda 10 .constituyen las ondas de torsion. Supongamos que en ~l extrcmo

1ibre de una varilla fija en el otro extremo, aplicamos un torque variable. Esto

Fig. 18-19. Onda de torsion en una barra.

produce una torsion de la varilla (fig. 18-19). Si el torque es funci6n del tiompo,

1 Angulo de torsi6n cambia con el tiempo, dando como result ado una onda detorsion que se propaga a 10 largo de la varilla. Un analisis matemattco del problomn

mucstra que, independientemente de la forma de la secci6n transversal de la varllln,In volocidad de propagacion de la onda de torsion se expresa por la ec. (18.34),No s sorprendente que la onda transversal y la onda de torsion en una varflla NO

propagucn con Ill.misma velocidad, ya que ambos procesos son debidos, escuctnl-IIH III , Q los tcncmonos que ocurren en el interior del material de que estri 1 1 chuIn artlla, Otro aspecto Interesante de las ondas de torsi6n es que no corrcspondcun d cs pl H za mlo nto s p ara l los 0 pcrpcndiculares aJ eje de Ia v arllla , s ino n I 'Oto .CiOIH1H

HIi'(I(I(l(lol' < let j o si n c aru blo II la rorma. Esto ayuunra al studlnnte a COIlIPI'IIIHI!II'

In. I-(I'f\11vni'lll(lo,d til r llOl1llJlOS tnvuluocndos en lns ondua It's I I(lI\H. 'l'O(iOH NOli pl'O·

('(I 0 ('Oil IIIIIl dlnfll l ll(\11. lulurnu ((!Ctl· tlul l· ,pel 'O ((\I ,'eOIl IlllI IIPI'O, 1I1111111ollllHIK ldli ,

t)1IdlltlC'l'lto JlII\II illlllr'lllllIllIl( pOI' (111111111011)1011111 "11111 '1611 ,In ( , III (It', (IH'II),



r 1( / Movimicnlo otuiulaiorio (18.8

'u(lcl'ficle

(1(11lqu!do perturbado

I"IK. 1~·20. Desplazamiento de las moleculas como consecuencia de una ondaIIp ['!lcinI en un Iiquido.

IH.H Ondas superjiciales en un l'iquido

,COIIIO ultimo ejemplo de movimiento ondulatorio en una direcci6n, considera-

r ei uo s a ho ra las ondas en la superficie de un liquido. Estas son las ondas mas

c'olllunes; son las que observamos en los oceanos y en los lagos, 0 simplemente,

III quo so producen en un pozo cuando cae una piedra en el, EI aspecto mate-

III1Hieo, sin :~bargo, es mas complicado que en los ejemplos anteriores y por 10

t uu t o 10 omitiremos. En su lugar, presentaremos en esta secci6n una discusi6n

dlliUlI'iptiva, d~jando una discusi6n matematica s implificada para el ejemplo 18.10.

1 . 1 1 superflcie de un liquido en equilibrio es plana y horizontal. Una pertur-

hH<:i()n de Ia superficie produce un desplazamiento de todas las rnoleculas situadas

11111( diatamente debajo de la superficie (fig. 18-20). Cada volumen elemental de

Ilquldo describe una trayectoria cerrada. La amplitud de los desplazamientos

vertloul y horizontal de un elemento de volumen de un fluido varia, en general,

C \ O I l III. profundidad. Desde luego, las moleculas del fondo no experimentan des-

1 ' 1 1 I : l . l I I ' n l nto vertical, porque no pueden separarse del mismo. En Ia superficie

cll:1 llquido en.tran en j uego ciertas fuerzas ademas de la Iuerza debida a la pre-

smu utmosferica. Una de ellas es Ia debida a la tensi6n superficial del liquido,

IIIHI (Ill lugar a una fuerza hacia arriba sobre un elemento de superficie, similar

II III qu se encuentra en el caso de una cuerda. Otra fuerza es el peso del Iiquido

tu ud o p or enc ima de l nivel de equilibrio. La ecuaci6n resultante para el despla-1 . 1 1 1 1 1 1 1 nto do la superficie no es exactamente del tipo (18.11), sino ligeramentc

1 1 1 1 \ 1 1 iomplicada . Sin embargo, es satisfecha por ondas arm6nicas de longitud do

0 1 1 < 1 1 1 A Y velocidad de propagaci6n dada por

tI V gA 2rr'T ) 1v =-+--

2rr pA '(18.So)

d(lIuh p es 10 d nsidad del liquido, 'T Ia tension superf icial y g Is acolerao ion < 1 1

~I'n VI lind. Esta 'cua~i6n es valida para profundidades no muy. grand s 11O()I1~

IUI l' lI l' i( )u ( :0 1 1 In longitud d ·onda A . En coso contrar io , la 0 pr si6n n IW It IInl . tI

,lIf, "(lilt. (VOl' o j mplo 18.9),

18.8) On das superficiales en un liquido 717

EI aspecto mas interesante de Ia ec. (18.35) es que l a o el oc id ad d e p ro pa ga ci 6n

depende de la longitud de onda, una situaci6n no encontrada previamente. Como

la frecuencia esta relacionada con la longitud de onda y con la velocidad de pro-

pagaci6n a traves de \I = V i A ; concluimos que la v elo cid ad d e p ro pa qa cis m d ep en de

d e l a [ re c ue n ci a. Supongamos, por ejemplo, que A es sufic ientemente grande como

para que el segundo termino de la ec. (18.35) sea despreciable. Entonces tenemos

I( V = VgA/2rr . J I (18.36)

Las ondas en este caso son llamadas ondas grav it ac iona les . Con esta aproximaci6n

la velocidad de propagaci6n es independiente de Ia naturaleza del liquido, ya

que ningun factor rcferente al liquido (tal como su densidad 0 su tensi6n super-

ficial) aparece en la ec. (18.36). Vemos que, en este caso, la velocidad de prop a-

gaci6n es proporcional a la raiz cuadrada de la longitud de onda, y que a mayor

longitud de onda, mayor rapidez de propagaci6n. Por esta raz6n un viento fuerte

y continuado produce ondas de mayor longitud de onda que una rafaga repentina

e irregular.

Cuando la longitud de onda es muy pequefta, el termino que predomina es el

segundo en la ec. (18.35) y entonces la velocidad de propagaci6n es

v =2rr'T 1 / f A . (18.37)

Estas ondas se llaman r izado u o n da s c a pi la re s ; son las que se observan cuando

sopia una brisa, 0 cuando el recipiente que contiene un liquido se somete a vi-

braciones de alta frecuencia y pequefia amplitud. En este caso, a mayor Iongitud

de onda, men or velocidad de propagaci6n.

Cuando la velocidad de propagaci6n de un movimiento ondulatorio depende

de la longitud de onda 0 de Ia frecuencia, decimos que hay dispersion. Si un

movimiento ondulatorio resultante de la superposici6n de varias ondas armoni-

cas de diferentesfrecuencias pene tra en un medio dispersivo, la onda se dis torsiona

porque .cada una de sus ondas componentes se propaga con diferente velocidad.

La dispersi6n es un fen6meno importante que se presenta en varios tipos de pro-

pagaci6n de ondas. En particular, aparece en Ia propagaci6n de las ondas elec-

tromagneticas a 'traves de la materia, como veremos en el pr6ximo capitulo.

JCJEMPLO 18.9. La expresi6n general para la velocidad de propagacion de las

cndas superficiales en un Iiquido es

v = ( J f ! : _ _ + 2rr'T) t h 2rrh ,2rr pA g A

doud h es la profundidad del liquido. Hallar los valores limites de esta exprcslonsogun quo It sea muy grande 0 muy pequefia con respecto a A,

(18.38)

N(.lulli6u: Cuando la protundtdad h cs muy grande comparada con In Iongltud dondu (osto 8, 10 . ' ( \1 1 t l dn< l 2rrh/A os grand compa rada con 10.unldud), 1vnlor ([0 In

t \f)f.l\ 1111 II IPOI'h611cn os c -,I'CIU100, lULOY pOL' 10 t lm to "o l u ll huo ftl 101' (I I 0'. (I !l.BIi)

I 'J Ill( cit "(1(111Ipl uzur POl' In unldud RIll muchn IIJ'1'(lI'. COIl Nt n "pro In1(I<'II\II. IIi, ,,. ( I li .aH ) , 11'II,lIrOI'11I1I \ II III I", ( I H .a r, .



1 1 8 Mouimiento ondulaiorio (18-8

POI' otra parte, cuando la profundidad h es muy pequefia comparada con la

IHIlf,tlludde onda A,la cantidad 21th/A es muy pequefia cornparada con la unidad,

y usnudo la aproxirnaclon tgh x ~ x que es valida cuando x es muy pequefio,

PIlIllillOS reemplazar el ultimo factor en la ec. (18.38) por 21th/A. Desprecia.ndo1I\1II11J61l 0 1 terrnino 2 1t 'f / pA , ya que hemos supuesto una. longitud de onda relati-VIUll nto grande, tenemos

----

V gA 21th y-v = 21t' -A=gh. (18.39)

1':11 stas circunstancias la velocidad de propagac ion es independiente de la longitud

ch I nuda.

IMICMl'l,O 18.10. Obtener de un modo directo la ecuaclon para las ondas superfi-

I 'I llh H n un liquido cuando la longitud de onda es mu~ grande y la amplitud eslII11y pequefia comparada con la profundidad.

M"lw:l6n: Consideremos un liquido en tin canal de profundida.d h y ancho L. Si

pI'I'1 urbamos la superficie del liquido con ondas de pequefia amplitud y gran lon-

J . ( 1 t lid de onda (comparada con h), una secci6n vertical pa.rticular de llquido deuncluu-a dx experimenta desplazamientos en las direcciones vertical y horizontal.

A consecuencia de estos desplazamientos

el ancho de la secci6n varia desde dx has-

ta dx + d~ (fig. 18-21) Y su altura desde

h hasta h + 1J . Suponiendo que el liquido

es incompresible, el' volumen de la sec-

ci6n debe permanecer constante. Por 10

tanto, debemos tener

Superficletllll I tqutdo no perturbado

--/

Lli dx =(h + 1J ) (dx + d~)

=(h dx + 1 J dx + h d~ + 1J d~).

Considerando que 1J es muy pequefia com-

parada con h y que d~ es muy pequefio

comparado con dx, podemos desprecia.r el

ultimo termlno, 1Jd~, y escribir

O~1J=-h

ox'

(18.40)

. , 1 1 1 1 ' I I r l l I~-21 que relaciona. los desplazamientos vertical

y horizontal de la superficie para un ltqul-

do incompresible.()uhldo a que el nivel perturbado no es horizontal, la presion media a cada Indo

III III H ci6n fluida es diferente, como se muestra en la figura. Si A =hL es 01

I 1'( U d la secci6n transversal del canal, la fuerza neta hacia la derecha de la sec-nl61l 8 .

1J dx + h d~= 6

pA - p'A = - (p' - p) A = - A dp.

I , 'W H O 1 1 \ ccuacton del movimiento horizontal de la secci6n es

02~ 02~ 8p(pA dx) 8i9=- A dp 6 p¥=- ox .

1'tWU II IIl1cLo 1 1. \ c . (0.60), o slo cs, p = P U z , In dtte renc ta d p r 1 11 61 1 S

" ' ' e li > pfJ('I)' 'I) P fJ fJ 'I) c 1 x ,c.t

18.9) 71 DQ ue se propagaen un m oo im ien to ondula io rio?

de modo que op/ox =gO'l)/ox, y la ecuacion anterior se convierte en

02~ 01J8t2 =- g 8x .

De la ec. (18.40) obtenemos, derivando, que

01J=_h 02~ .

ox OX2

Por consiguiente, eliminando (1)/ox entre estas dos ecuaciones, obtenemos finalmente

02~ 82 ~

ol2 =gh ox2 .

Esta es, otra vez, Ia ec. (18.11) correspondiente a ondas que se propagan con velo-

cidad v = gh, en concord ancia con el resultado obtenido en la ec. (18.39) bajo

circunstancias similares. Debido a la relaci6n (i8.40), el desplazamiento vertical

de la superficie satistace una ecuaci6n semejante, 0 sea,

821J 821J8t2 =h ox2 •

18.9 ;,Que se propaga en un movimiento ondulatorio?

Es muy importante comprender claramente que es 10 que se propaga como ondaen un movimiento ondulatorio. La respuesta general es: 10 que se propaga es

una condicion fisica generada en algun lugar y que, como consecuencia de la na-

turaleza del fenomeno, puede ser transmitida a otras regiones. Como esta expli-

cacion es algo abstracta, trataremos de formularla en terminus mas concretes.

Consideremos las diferentes clases de ondas discutidas en las secciones ante-

riores. Todas ellas corresponden a ciertos tipos de movimiento de atomos 0 mo-

leculas del medio a traves del cual la onda se propaga, pero los atomos, en pro-

medio, permanecen en sus posiciones de equilibrio (fig. 18-22). Entonces, 10 quo

s propaga, no es la materia sino su estado de movimiento. Es una condici6n

dinamica que se transmite de unaregi6n a otra, Pero como estamos acostum-

hrados a describir las condiciones dinamicas usando los conceptos de momentum

y cnergia, podemos decir:

f{ en u n m ouim ien io o tulu la iorio se tra nsm ite a prop ag a m om eniu m y

energia. 1/

bservemos, por ejemplo, el caso de las ondas elasticas longitudinales que s

propagan a 10 largo de una barra. En una seccion transversal particular qu otI desplaza con velocidad o ~ 1 o t (fig. 18-10), el lado derecho de la barra tira del

Indo Izquierdo con una fuerza F y el lado izquierdo tiradel lado der ch o co u

IIIIU ru rza - F. POl' 10 tanto, la potencia (trabajo por unidad de ticmpo) qu 'I

Ind o fzqui rd o tranamit a) lado d erech o de la s cc ci on con ld rada s

W

1 /

1 0 ' ) ( ) ~ •O f



r z o Mooimienio ondulaiorio

1 '1 J 'O 'O H~ ( l e x - ( ) ) l ) =h por 1 0 que

(18-9

Fig. 18-22. Propagacion de un pulso en un

resorte. Las secciones del resorte se mueven

hacia arriba y hacia abajo a medida que el

pulso avanza desde la izquierda hacia la de-recha.

Por 10 tanto, cuando la perturhacion pa-

sa de una seccion transversal a otra, esta

potencia se transmite. Si la onda se pro-

paga de izquierda a derecha, debe suminis-

trarse energia al extremo Izquierdo de la

barra. Si se suministra energia durante' un

corto intervalo de tiempo, se produce una

perturbacion de extension limitada 0 pulso.

Si queremos que se produzca un tren con-

tinuo de ondas, debe suministrarseenergia

en forma continuada al extremo Izquierdo.

Para analizar el problema mas detalla-

damente, consideremos el caso de una onda

elastica sinusoidal- ~ = ~o sen (kx - wl)~'To-

mando las derivadas apropiadas encontra-

mos que 8~/81 = ~ w ~ o cos (kx - wi) YF = YA 8~/8x = YA k~o cos (kx - wi). En-

tonces, usando las 'telaciones co = ku Y •

o = V Yip, tenemos

8Wfit= YAwk~~ cos2 (kx - w l)

= (pv.2)A(w2/v ) ~~ cos- (kx - wi)

=vA [pw2~gcos2 (kx - wi)].

La presencia del Iactor cos- (kx - wi) Jnos

asegura que 8W/8t es siempre positiva,

aunque variable. Como 8W/at depende de

kx ~ wt, tambien satisface la ecuacion de on-

da y corresponde a una onda de energia. La

potencia media es

(8W ) \fit = vA {pw2~~ cos- (kx _:_wi)}.

( 1 8 . 1 1 1 )

18.9) tQw~ se propaga en un mooimienio ondulatorio? 72 1

Recordando ahora la ec. (12.11), que da la energia total de un oscilador en la

forma !mw2A2, y observando que la amplitud A se esta designando ahora con ~o'

y que en lugar de la masa mtenemos la densidad p, vemos que

(18.42)

es la energia por unidad de volumen 0 la densidad de energia en Ia barra debida

a las oscilaciones producidas por el movimiento ondulatorio. Sustituyendo la

ec. (18.42) en la ec. (18.41) podemos escribir

(~) =VAE.'

8t -,(18.43)

Como ves la velocidad de propagacion, tenemos que VE es el flujo de energia por

unidad de area 'y por unidad de tiempo. Multiplicando esta cantidad por A, tene-

mos la energia por unidad de tiempo que fluye a traves de la seccion transversal

de la barra. Asi concluimos que podemos interpretar la ec. (18.43) como la energia

media que.f!_uY{j~ 1Q largo _9.ea barra como consecuencia del movimiento ondu-

latorio.

Elpromedio de flujo de energia por unidad de area y de tiempo, expresado

en Wm-2, es

n(O'.£.1'

I f~ l f~cantidad que recibe el nombre de iniensidad de la onda. EI estudiante debe veri-

ficar que resultados similares valen para las ondas de presion en un gas y para

las ondas transversales en una cuerda.

-, 1 (8W)I=A - - - a t =

VE, (18.44)

EJEMPLO 18.1( .Expresar la intensidad de las ondas en una columna de gas

(estudiadas en la secci6n 18,6) en funci6n de la arnplitud de la onda de presion.

l()O

10-2

i

S 10-4

~'0"

lO-aJ

'0';;;I'l

10-8)

+"I'l. . . . .

- t-t-t---. --Umbral de dolor '--- V

\ I

\ I

\r

~,

I

I--I

I

<, 'I-j)

_ _ l '- -- .. .. . V(

)1-- y r r T · t l l de jUdiCil6n t-- ~ -17 (

t---

),0002

. .SZI'l"'0

~

120 20

'")a;= 3 100

0)

'0

-d 80OJ'0

'~ 60<l

+-

,S'" 40'0

10-1 0 ~ 2(

ZI (] 12

2

0,2

0,02

0,002

) , O ( ) O ( ) 2

I IWOO 20.0()O00 1000

l " "( '( 'l f( 'n t, ll I, 1 '1 '7 .

1 " 1 1 (. I " ,. ~ n . IIIIIII'v nlo 1 111dlo dl l 1lll(Iirl611 1 )1 \1 '1 1 tI l 0 do 1\111111\110,



M ouindento ondulaiorio(18.10

'''~.lfl(lMIU Dol ejemplo 18.7, deducimos que las amplitudes de las ondas de preston.y !I(I ([ splazamiento estan relacioriadas por ']>0 =TCVpoV~0' Por consiguiente, Incl l nxl rlnd do energta de la onda es

E =Pow2~~ =TC2pOV2~~ =]>~/2V2pO

y III Intcnsldad de la onda es, de acuerdo con la ec. (18.44),

I=~.2vpo

1.11,HllllSlbllidad del otdo humano es tal que para cada frecuencia hay una inten-ItturL rutnlma 0 umbral deaudicion, por debajo de lacual el sonido no es audible

y 1 1 1 1 1 1 lutcnstdad maxima 0 umbral de dolor, por encima del cual el sonido produceIIW!l·StlU. 0 dolor. Esto esta i lustrado para cada frecuenc ia por las dos curvas deI I I I l f. l . t 8-23, !a cual ta.~?ien indica las amplitudes de intensidad y presion. Noteselilli' II I I nte ns id ad ta mb i en se expresa con otra unidad Hamada decibel. EI tiioel de(1IltlllNidad de un sonido (0 de cualquier movimiento ondulato rio) se indica con B.y I prcsa en decibe les (abrev iado db) , segun la defin icion

1B =10 log-

1 0 '

J)olld 10es una intensidad de referencla. Para el caso del sonido en el aire el nivelchI " 1 ' 1 renc ta, .tomado arbit rariamente, es 10-12 W m-2• Por ej ernplo , para la am-pililid de presion dada en el ejemplo 18.7, al sonido mas debil que pueda oirse a100 I Iz, le corresponde una in tensidad de 7,2 x 10-12 W m-2 y un nivel de inten-Id'ld de 8,57 db.

IH.I() Ondas en dos y tres dimensiones

Auuque ~ = {(x - vi) representa un movimiento ondulatorio que se propaga

"~(1I1 ·1 oje + X, no tenemos necesa riamente que in terpre ta rla como signi ficando

1 1 1 1 1 1 onda eoneentrada sobre ese eje. Si la perturbaci6n fisica descrita por ~ se

c t lendo sobre to do el espacio, tenemos que a un t iempo dado i, la funci6n

~ { ( { 1 ; - vi) toma el mismo valor en todos los puntos de abscisa x. Pero

)'Direcci6n

de propagaci6nI

I

/y.

1 1 ' 1 • j "' .211. Onrln p l a n

" , I {I "H dolt .X ,propngandosc Fig. 1 -20. ndn pinna propngnlld()~

en una dll: 0010 '1 l'flblt rnrlu,

18.10) Ondas en dos y ires dimensioties 72 3

x = const representa un plano perpendicular al eje X (fig. 18-24). Por 10 tanto,

~= {(x - vi) describe en tres dimensiones una onda plana que se propaga para-

lelamente al eje X. Si ~ es un desplazamiento (0 un campo vectorial), tenemos

una onda longitudinal cuando ~ es paralelo a la direcci6n de propagaci6n 0 eje X

(indicado por la flecha L), y tenemos una onda transversal cuando ~ es perpen-

dicular ala direcci6n de propagacion (0 sea, paralelo al plano YZ). En este ultimo

caso se puede tambien expresar como la superposici6n de dos desplazamientos

segun direcciones perpendiculares entre si, tal como esta indica do por las fle-

chas T y T'.

Observemos que 10 caracteristico en una onda plana es la direcci6n de prop a-

gacion, que se indica con un versor u perpendicular al plano de la onda, siendo

la orientaci6n de los ejes coordenados mas 0 menos arbitraria. Por consiguiente,

es conveniente expresar la onda plana ~ = {(x - vi) en una forma tal que sea

independiente de la orientacion de los ejes. En el caso de la fig. 18-24, el versor ues paralelo al eje X. Si r es el vector de posicion de cualquier punto P del frente

de onda, tenemos que x = U· r, y por 10 t anto, podemos esc ribi r

~= {(u.r - vi). (18.45)

Cualquiera que sea la direcci6n de u (fig. 18-25), la cantidadu· r es siempre la

distancia medida des d e el origen 0 segun la direcci6n de propagaci6n. Por 10

tanto, la ec. (18.45) represents una onda plana que se propaga en la direcci6n u.En el caso de una onda plana arm6nica 0 s inusoidal propagandose en la direccion

u, escribimos

~=~o sen k(u·r - vi).

Es conveniente definir un vector k = ku, Hamado vector de propagaci6n. Este

vector tiene una !~it~2"IT./~f.y_y apunta en el sentido de la prop a-

gaci6n. Como co =v, una onda arm6nica plana se expresa por~----,- _ - -:--.--~ -". _ _ " - . _ ; , - -. - ~

~= ~ o sen (k· r.- wi ) = ~ o sen (kxx + k;y + kzz - wi); (18.46)

donde kx, ky, kz son las componentes de k que sat isfacen la re lac i6n

(18.47)

Cuando la propagaci6n tiene lugar en un espacio tridimensional, la ecuacion deonda (18.11) se debe modificar en consecuencia; se convierte en

82~ = v2 ( 82~ + 82~ + 82~ ) ,

8i2 8x2 8y2 f}z2,

r sultado que era de esperarse por consideraciones de simetria solamente. Debe

v rifiearse por sustitucion directa que la expresi6n (18.46) para una onda armo-

uica plana satisfaee la ecuacion general (18.48). Esta verificacion se d [a al stu-

diuut . [Sl Igel 'encia: usar la ec, (18.47).]. '

Las ondus pinnas (18.15) 0 (18AO), aunque onti fl n las trcs oord 'n!~<las x,II . Z, SOil n l '( . ln li ( ll l( l 1110110<11'11 ' J l~ iO I l1 l 1 ( \s , y u (JIll In ()J ·OPI lf . (Hd()1I (Ii H ( I/ o I1 I 1I 111111

(18.4,8)



Movimienio ondulaiorio (18.10

y

xy

x x(b) (e)a)

Fig. 18-26. Ondas (a ) planas, (b) cilindrieas y (e) esfericas,

dlrec 'i6n particular y la situacion fisica es la misma en todos los planos perpen-

rllculares a la direcci6n de propagaci6n (fig. 18-26a). Pero en la naturaleza hay

utrns clases de ondas que se propagan en varias direcciones, de las cuales las

IlIlh! interesantes son las ondas cilindricas y las esiericos. Puede probarse que

t til!! ondas mas generales son tambien soluciones de la ecuaci6n tridimensional

(t X,iI ). En el caso de las ondas cilindricas, los frentes de onda son superficies

pnrnl 'las a una linea dada, digamos el eje Z, y pOI' 10 tanto perpendiculares al

pluno XY (fig. 18-26b). La perturbacion se propaga en todas las direccionesIHIl'pcndiculares al eje Z. Este tipo de onda se produce, pOI' ejemplo, si tenemos

1 1 1 1 conjunto de fuentes uniformemente distribuidas a 10 largo del eje Z, todas

uscllundo en fase.

Si n un cierto punto se origina una perturbaci6n y esta se propaga en todas

dlrocciones con la misma velocidad, se dice que el medlo es is6iropo (isos: igual,

1 1 ' ( ) J l o s : direccion) y la onda resul tari fe es esfer:l ca ::-Los frentes de on a son esfe ras

uuucentricas con centroeneTlmnto donde se-o rigin6 la perturbac i6n (fig. 18-26c).

'1',,101\ ondas se producen, por ejernplo, cuando hay un repentino cambio de pre-

I HI 11 un punta de un gas.

F'tg. 18-27. Distribuci6n angular de Intnt 1151(\oddel 80111(10 producldo POI' unab o ' 'i na .

y

18.10) 7 2 5ndas en dos y ires dimensiones

Algunas veces la velocidad de propagaci6n no es la misma en todas las direc-

ciones, en cuyo caso el medio es anisolropo, POI' ejemplo, un gas en el cual haya

un gradiente de temperatura, un solido sometido a ciertas deformaciones, 0 un

cristal , pueden tener propiedades elast icas difegpj ;es e:Q. .ar i~dir! ;cq~oI!.es" resul-

tando __up,a ve loc idad _de propagacion __diferente para cada_Qir,ecci6n . En estos

medios las ondas no son esf'e ricas.~ .------ --. M_·· _ ¥ .

Aun cuando la onda sea esf'erica, puede darse que no tenga la misma amplitud

o intensidad en todas las direcciorres, porque la fuente de perturbacion puede

producir efectos diferentes en cada direcci6n. POI' ejemplo, cuando se toea una

corneta se pro~uce una onda de p~~i6n 0 sonido en el extreme abierto. Sin em-

y

(a)(b)

Fig. 18-28. Ondas eireulares en la superficie de un llquido.

barge, debido a la forma del extremo del tubo, un observador no percibe el sonido

eon la misma intensidad en todas las direcciones, aunque se propague con la

mlsma velocidad en todas elIas (fig. 18-27).

Algunas veces una onaa se propaga sobre una superficie tal como una mem-

brana 0 la superficie libre de un liquido. Si se produce una perturbacion en unelcrto punto de la superficie, aquella se propaga por la superficie en todas direc-

l:iOIlCS con la misma velocidad, resultando un conjunto de ondas circulares (fig.

18 - :. !8 ). E s t a es una onda bidimensional por 10 que requiere s610 dos coordenadas

IIlIpncilllcs para describirla. La ecuaci6n para esta onda no es la (18.48), sino

(18.49)

yH q II In coonleuada Z no s n ccsarla para doscribir cstc proc so.

IMWUI'I,O IN.I'. Omln t Ii', Ikll produl'ldllll 1111 111111 111111111" ' 111111 "\lINI\.



1 8.' 1 )o oim ie n to o ru lu la io ri o (18.10 727

II'I~.IH.21). Onda superficial en una1IIIIIIIhrana tcnsa,

Fig. 18-30. Fuerzas que se ejercen so-bre un elemento de superficie de unamembrana tensa.

,"Il1t","I,Ij",,: Consideremos una membrana delgada y tensa, la cual, para simplificar,II(l011(I1'e1110Sectangular, aunque esta limitaci6n no es necesaria (fig. 18-29). La

"111I'IIII)1'I) 'nasta montada sobre un marco el cual ejerce la tensi6n 'f por unidad de

/OI/(/lllId, expresada en N m-l. Si la membrana se deforma en un punto particulary oxpcrimenta un desplazamiento en di recci6n perpendicular a e lla; esta deform a-dc'lII H propaga porIa membrana , resultando una onda superficial.

Plll'a obtener la ecuaci6n de este movimiento ondulatorio, consideremos unaIIpl'l'flci e elementa l de la membrana de lados dx, dy (fig. 18-30). En un in stantedildo csta superficie experimenta un desplazamiento ~ hacia arriba; debido a que

II, Illllmbrana es curva, el desplazamiento ~ es una funci6n de x e y y las fuerzasuhr los lados del area elemental no son directament.e opuest.as. Para obtener la

rlll11'7.U vertica l neta , usamos el mismo razonamient.o aplicado en la secci6n 18.7

c'lllImlo tratabamos las ondas t ransversales en una cuerda, Segun est.e razonamient.o,cll'dlllOS que los lados paralelos al eje Y estan sujetos a fuerzas 'f dy Yla resultant.evl'l'llt 'nl de estas fuerzas es

('f dy) 02 ~ dx ='f 02 ~ dx dy .ox2 ox2

t\1l1'tiogamcnt.e, los lados paralelos al eje X estan sometidos a las Iuerzas 'f dx,('l lyn r isultante es

02~ . 02~('f dx) - dy =f - dx dy.

0li2 oy2

I'or cousiguiente, la fuerza net a vertical es la suma de las dos

F.=f (02~ + 02~) dx dy.ox2 oy2

:41 11 1 mnsn por unidad de area (0 densidad superficial, expresada en kg m=) de IaOI('llIhl'lIlIl\ O S a, la masa de esta porci6n de membrana es a dx dy , y como su ace-1111'11('Ic'l11,(1 I '1 teat es 82~/8l2, podemos escribir la ecuacion de movimiento de estapOl'l'lc'1Il 1 0 membrana en la forma

« (1 dx dy ) ~,,2~ = r (82~ + 82~) dx dllut2 ox2 oy2 •

II 1111

Ondas esjericas en un [luido

It . 11\ecuacion es similar a Ia ec. (18.49) por 10 cual concluimos que Ia perturbaci6n

I propaga por Ia membrana como una onda con una velocidad v =V 'T [a, EI estu-l luntc debera verificar que la expresi6n para v es correcta dimensionalmente.

UU1 Ondas esfericae en un jluido.

COIllO ejemplo de ondas esfericas, consideremos una onda de presi6n en un fluido

luunogeneo e is6tropo. A primera vista estariamos tentados de decir que si r es

I I I d i s tanc ia desde el origen y Po la presi6n normal, Ia onda de presi6n podria

cribirse en Ia forma P - Po = {(r - vi), ya que r desempena el mismo papel

( 1 1 1 1 1 x en una onda plana. Sin embargo, no es asi, y debemos examinar el asunto

1 I 1 t ' H ; cuidadosamente,

Observemos que mientras una onda esferica se propaga, el frente de onda se

I' ' l . i inde continuamente (crece como 1 ' 2 ) . Consideremos, por ejemplo, una onda

IJIIC se propaga en el interior de un

lIj.(ulo s6lido n (fig. 18-31). A una dis-

tu n .i a I' de Ia fuente, la onda superfi-

dill tiene un area A; las areas de las

lip rflcies de ondas a las distancias

~I', :3 1', . .. , nr son 4A ,9A , ... , n2A .

E~to sugiere que Ia amplitud de Ia

Ollila de presi6n debe disminuir a me- Figura 18-31rlldn que Ia distancia a la fuente

IlI1ITICnta,ya que aetna sobre un area

mayor , resultado confirmado experimental mente y predicho cuando se pace un

1I111' t1is ise6r ico mas detal lado que omitiremos. Por ejemplo, s i el f luido es is6tropo

y In onda tiene Ia misma amplitud en tod..as las direcciones puede probarse que la

Ollila de presi6n esta dada por Ia expresi6n

1P - Po = - {(r ~ vi).

r(18.50)

' l 'euomos ahora el factor geometrico 1 1 1 ' que no aparecia en una onda plana, el

eunl xplica por que la presi6n disminuye con Ia distancia a Ia fuente. Cuando

III nmplitud (0 intensidad) es diferente en cada direcci6n, se obtendra una ex-1 '" 'si6n mas complicada. La ec. (18.50) representa una onda esierica salienle.

I '(HI mOS tambien tener una onda esferica enirante Ia cual estara expresada por

1P - P o = - f( r + vi).

r

Lu Yolo idad de propagaei6n esta dada por Ia misma expresi6n obtenida para Ius

0 1 1 < 1 1 1 1 : 1 planas, cc. (1.8.27). Esto es,

1) - = V i c / P o ' (18,!)l)

1111 1 :1 11 '1 0 IIHl'l,il:uJIII'IlH I IL I I I ll 'l .l 1'( I ll m! .1 (, 11 l l d ( uun o u d n fU'ln()lIi1',1I (lid'( 'I'i( '.tI 1 1 1 1



• I l l )ouimier tLo otuiulaloi io (18.11 Velocidad de gl 'UpO 7 2 9

' P I ' slou oxpresada por

:AP = Po +_0 sen (kl' - wi).

r(18.52)

l.t t amplitud .!te J1L.Q_nda de p.!~si6_nes 7>0/1'y disE!in1!ye con Ia distancia a Ia

Iu Into. EI desplazamiento correspondiente a esta onda de presi6n esta dado

pOI' una expresion mas complicada. Pero a grandes distancias de Ia fuente este

d, splazamiento se puede expresar con muy buena aproximaci6n por

~~---;-_0 cos (kr - wi),

l'(18.53)

donti ~ o ~ 7 > o / v p o w , relaci6n que es identica a la que se obtuvo para las ondas

plunas (ejemplo 18.7). N6tes~_ que_ ~a_amplitud de Ia onda de <1e§Jl I;gamiento

uuubien disminuye con la distancia a la fuente, es decir, como 1/1'.

Consideremos a continuacion la intensidad de una onda esferica. Usemos la

11:. (18.53) Y observemos que la amplitud es ahora ~o/r en Iugar de ~o' A grandes

dlstuucias, Ia energia pOI' unidad de volumen esta dada, de acuerdo con la ec.

(18.42), pOI'

2v2por2)

y dlsminuye como 1 / 1 ' 2 . EI flujo de energia pOI' u nidad de tiempo que pasa a traves

(i( una superficie eslerica de radio 1 ', si usamos Ia ec. (18.43) con A =" 1 ' 2 , es

( O W . ) = V ( 4 " 1 ' 2 ) ( _ _ ! _ f O W 2 ~ ~ ) = 2"vp w 2 ~ 2 = 21t7>J (18.54)ai 2 1 ' 2 - 0 0 P o v '

Nat mos que el factor 1 '2 se ha cancelado, result ando una expresion ~indepen-

dlillLto de l radio. E_§_tees el resul tado gge esperabamos, ya que _Ia c0I!~ervac.i6n

(i( III nergia requiere que, enproI_!!_e_g~"-_~~yaIa misma cantidad de energia por

unldnd de tiempo a traves de cualquier superficieesferica, independientemente de

till rudlo.. Esto explica Ia presencia del factor 1 / 1 ' en las ecs. (18,52) y (18,53).

I) ucucrdo a la ec. (18.44), la intensidad de una onda esferica, 0 sea el promedio

d 11 rgta que atraviesa a Ia unidad de area en la unidad de tiempo, es

dnud

(18.55)

10 => J / 2 p v , (18.56)

" 1 H llltndo quo s identico al obtenido en el ejemplo 18.11. Concluimos en to nc cs q u

en una oruia esierica la iniensidad es tnuetsamenie PI'OPOI' ioao; ol

euodrtu ia d La dlstancia a La [uenle ,

ultndo que tiene muchas aplicaciones en acustica y 6ptica. Este resultado ca

mhk II compatible con Ia conservaci6n de la energia, ya que, si Ia energia qu

n il II II traves de cada superficie esferica debe ser Ia misrna y el area de Ia estera

1 ' 1 1 1 como r2, Ia energia que fluye a traves de Ia unidad de' area en la unidad

t Ilernpo debe variar como 1 / 1 ' 2 .

I . I I H .ondas esfericas que hemos discutido son aplicables solamente al caso do

III llu id os perfectos, los cuales no soportan esfuerzos cortantes. Sin embargo,

I I 1 1 1 1 s6lido elastico, son posibles dos clases de ondas: ondas irroiacionales y

C ndn solenoidales. En el caso de ondas planas ellas corresponden esencialmente

II I ondas Iongitudina les y t ransversales estudiadas en las secc iones 18.5 y 18.7.U II respect ivas veloc idades de propagacion son

Oil orvese que si G = 0, tenemos solo ondas longitudinales con .una velocidad

I, ( l Iu l a nuestro resultado (18.51). Por otra parte, en ningun medio estable puede

I r "I= ° Y prop agar solamente ondas transversales, porque se requeriria que

It - (t)G = numero negativo. Tal valor para K significaria que un aumento

III presion produciria un aumento de volumen, 10 que es contrario tanto a la

periencia como a Ia intuici6n.

tH.12 Velocidad {Ie grupo

!.n v Iocidad v = w / k , . expresada por Ia

lIe. (18.6) para una onda armonica de

Irncu neia angular eo .y longitud de. onda

21t/k, se llama velocidadde f a s e . SinIlIIl>nrgo,"esta no es, necesariarnente Ia

olocidad que observamos cuando anali-

ZHlHOS un movimiento ondulatorio. Si te-II( rnos una 6nda continua (0 _como se Fig. 18-32. Tren de ondas.

ell I algunas veces, un tren de ondas de

lungitud infinita) esta puede constar de una sola longitud ide-onda Y ' de una

(l in frecuencia, Pero una onda de .estas caracteri sti cas no es adecuada para trans-1 I 1 1 t i l ' una sefial, porque una sefial implica algo que empieza en- .un cierto ins-

tnnte y termina un cierto tiempo mas t arde. Esto es, Ia onda debe tener una

t'ol' lna similar a la representada en Ia fig. 18-32. Una onda de esta forma s

uonomina pulso. Por consiguiente, si medimos Ia velocidad con que Ia sefial s

1 . 1 ' 1 I . 1 H 1 m i t e , nos estamos refiriendo, esencialmente, a Ia velocidad con quo o s t e

p u l 0 via ja , _

I inmediato, diriamos que esta es Ia veloeidad de fase v = «lk, ya qu

h( I I lO! l vcnido diciendo en las s e c ci on e s a n te ri o re s que esta es Itt v locidad de

projlHj,(ll.ci/lll do Jus ondas. in embargo, aqui cntra un fn tor Important ; In

o ne l" 0 p lI 'l !i O 1 '( 1 1) 1'l O llLado n In I\g. 18- : .~2no ( I i i 1 l1 'n lO I l! < l I l; PO I : ' < PHS I I ump l l t ud



(18.12:J O Mo vl mie nlo o tu iu la lo rio

,110 S constante a 10 l argo del eje X. Luego, debemos hacer un ana lisis de Fourie r

cI ( 11\onda. Al hacerlo g_e~cubrim~gue realmente contiene var ias frecuencias y _ .

vurius longitudes de o~ Desde Iuego~loCTaaa-de propagaci6n es 'inde--

II ndlente de Ia frecuencia (0 sea, si no hay dispersion), todas las componentes

dB Fourier de 1a onda viajan ron Ia misma velocidad y en ese caso es correcto

1 1 ( 1 < : 1 1 ' Clue l a velocidad del pulso y Ia velocidad de fase son las mismas. Sin em-

hllrgo, en un medio dispersivo cada componente de Fourier tiene su propia velo-

cldnd de propagaci6n y, por 10 tanto, debemos examinar la situacion con mayorouidndo,

Fig. 18-33. Veloc idad de grupo y velocidad defase.

I 'ura simplificar, consideremos el caso en el cualla onda puede estar constituida

dll dos frecuencias eo y w' casi iguales, de modo que w' - co sea muy pequena.

Supundremos que sus amplitudes son las mismas, Entonces, usando la ec. (M. 7),L(III mos

~=osen (kx - wt) + ~osen (k'x - w't)

= ~o[sen (kx - wt ) + sen (k'x - w't)]

= 2~ocos tr(k' - k)x - (w' - w)t] sen H(k' + k)x - (w ' + w)t].

COUIO w y w', 10mismo que k y k', son casi iguales, podemos reemplazar!(w + w')

J lOl' (). )Y t(k' + k) por k, de modo que

~= 2~~ cos t[(k' - k)x _:_(w' - ~)t ] sen (kx __:wf). (18.57)

I,n 'c. (18.57) representa un movimiento ondulatorio de amplitud modulada.

1<:1f a 't or d e m o du la ci o n est~ dado por

2~o cos -H(k' - k)x ~ (w ' - w)t].

II IIIl lndicado en la fig. 18-33. La modulaoion de arnplitud corresponde en sl" 1 1 1 1 movirn iento que se propaga con una velocidad .

,w-w dO )

dk '(18.58)o=---

k'-/c

1I1111l1ldf\ lI elo cid ad d e q ru po . Esta es la velocidad con 1a cual1a onda de arnplitud,

1' 1 PI'(llitlu'litda P Ol' In li ne a punteada de Ia fig. 18-33, se propaga, S i r ec o rd am o sc t tH e, ) lw , lit ec. (18.58) se convierte en

v I Ie dvdk

( 1 8 . 5 {»

18.13) 7,1/l efecto D opp ler

Si la velocidad de fase es independiente de .la Iongitud de onda, dv/dk = 0 y

I J ( J =~Por conjIgiii~Q£e,-=enu!!_ j n e a - l 9 n o - c r r s p e r s l v O ! ! 9 hay difer_~ncia entr la

v locidad !le!a~{l . Yl: l_ ,: :eloci ,~ad de grgp_(?>_0 que habiamos infer ido previarnent .

Pero en un rnedio _dis~r~iv~IA--;~~~~~ grup_o ~~e~e .ser ~~Y0.r 0 menor

que la velpcidad de f~_se. Concluimos, entonces que el maximo del pulso de In

tlg. 18-32 se propaga con Ia velocidad de grupo Vg' Por 10 tanto, en un medio

dispersive Ia velocidad de la senal es Ia velocidad de grupo. Aunque hemos deri-

vado la ec. (18.59) para el caso de dos frecuencias solamente, esta es verdadera

para el caso de un pulso que contenga frecuencias desde co - Ll w hasta w + Llw.

Debemos dejar sentado, sin embargo, que esta materia es realmente mas compli-cnda de 10 que aqui hemos presentado, y una discusion completa del asunto esta

Iuera del prop6sito de este libro.

Como ilustracion, consideremos el caso de las ondas superficiales en un liquido

con la aproximacion d<:_ongitud lie. .(1) ..9-agr~p,~e.; ,J;&velocidad de fase para esto

caso, con la aproximaci6n sefialada, esta dada por la ec. (18.36) y como k = 2rr/'A,

/)= V g'A/2rr= g/k. Entonces

:~=-2~ V i =- ; k 'y Ia ec. (18.59)da!!L = - ! - v , de Il?-0do g!l:~_'yelocidad de grupo e _ s -grecisamente

II I mitad de la velocidad de fase. Esto significa que si se produce en el agua una

perturbaci6n de gran Iongitud de onda, la perturbaci6n inicial se'distorsiona detal modo que las componentes de may~~12I_l_gi!_! l<ie o~ "escaQan' .. :. de .Ia.pertur-

bac ion moyienaose-ID],~LI:~I!i.dlLque Ia velocidad de grupo, que es Ia velocidad

del pico de la perturbacion,

iB.18 El ejeeto Doppler

Cuando la fuente de ondas y el observador estan en movimiento re lativo co n

respecto al m~illateriaren el cual Ia ondase propaga, la frecuencia de las

(b)

IN J (. I H-M " hfnelo Doppler d h ldo It uno. fu III 11 rnovlmt lit o, 1,0. to l uwnfll'1 11 11 1'1 1, l f« 'l o D Ull ph ll ' (\11 I ii 1 '1 1 11 1 \'Ilel do uu llquldu,



7J2 ?lovlmienlo oruiulalorio (18.13 18.13) EI efecto Doppler 73 3

ondus observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por'la fuente.

1 · : R 1 . Icnomeno recibe el nombre de efecfiilJoppler en honor al fisico C. J. Doppler

(lg03-1853) quien 10 observ6 por vez primera en las 'ondas sonoras.

Supongamos que tenemos una illen .e de ondas, tal como un cuerpo vibrante,

moviendose hacia la derecha (fig. 18-34) con velocidad V s a traves de un medio

t n r poso tal como aire 0 agua. Observando la fuente en varias posiciones 1, 2, 3,

I ••• , notamos que despues de un tiempo t, contado a partir del tiempo en que

III e l l nte estaba en l a posicion 1, las ondas emiti das en l as varias posiciones ocupan

III osieras 1, 2, 3, 4, ... , las cuales no son concentricas, La separaci6n entre las

uudas es menor del lado en el cual el cuerp2_~e ~~~ _Ip-ovieI.l~Qy ~m~..QLdel lado

OIHl(1StO. Para un observador e~~E_oso a cual@ier ~ado, esto corresp~onde, .!'es-

Jll '( ltiva.mente, a una menor _L~una mayor l?ngitud de onda efectiva,~oa_!ll!-,?:..~yor

Y II una. menor frecuenci~ ,efectiva. Pero si el observador esta en movimiento

'~()l1 velocidad v o ' las ondas 10 alcanzaran con diferente rapidez, POl' ejemplo, si

III observador se aproxima a la fuente porIa derecha, observara una longitud de

oudn nun menor 0 una mayor frecuencia, ya que el va al encuentro de las ondas.

I,() opuesto ocurrira si el observador se aleja de la fuente.

j~~1 1_1__~ k ~ v o _ . _ v _ o t l = = = 1 ~ B I

. [ : V 8 T_j1!'igura 18-35

Para obtener la relaci6n entre la frecuencia v de las ondas producidas por la

flll'ut y la f recuencia v' registrada por el observador, razonamos del siguiente

murlo (para mayorsencillez supondremos que tanto l a Iuente como el observador

I I 1 11 11 wen sobre la misma recta): supongamos que en el in stante t = 0, cuando

III dlstancia AB (fig. 18-35) entre la fuente y el observador es I, la fuente emita

1 1 1 1 1 1 nuda que Hega al observador en el tiempo i; duran teese t iempo elobserva-

dol' hit rccorrido la distancia vot y la distancia total recorrida por la onda en el

U I ' I U J , l O t es I + vo t ; si v es la velocidad de propagaci6n de la onda, esta distancia

e ll tumbicn v t. Entonces

v t = 1+ v ot 6 t =1=----v - vo

<

A l tlempo t = 'I' la fuente esta en A' y la onda emitida en aquel instante alcanzara

II Oh M rvador al tiempo t' me d ido des d e el mismo origen de tiempos que el pri-

1111"0 . La distancia total recorrida por la onda desde el tiempo en que fue emitida

III J\' hasta que fue captada por el observador es (1-vs't ')+ vot./El t iempo real

,IIII'UU1.tl 'I cual viaj6 la onda es i' - 't ' Y la distancia recorrida es v(i' - ' t ' ) . Por

I n L il li to

6i' = I + (v - V8)'I '

V - VOv (t' - ' 1 ' ) =1-s'l'+ voi'

El intervalo de tiempo registrado por el observador entre las ondas emitidas

por la fuente en A yen A' es

't" = = I' _ t = v - v~ -e,

V - Vo

Ahora bien, si v es la frecuencia de la fuente, el numero de ondas emitido por

illa en el tiempo -e es v-r, Como estas ondas las recibe el observador en el tiempo

- r ' , la frecuencia que el mide es v ' = v't'/'t' 0 sea

V' = vv - vo

V - V s(18.60)

Esta ecuaci6n da la relacion entre Ia frecuencia v de la fuente y la frecuencia v'

medida por el observador cuando ambos se estan moviendo segun la direcci6n

(I propagaci6n.

Cuando ambas velocidades u o y V s son muy pequenas comparadas con v, la

xpres i6n (18.60) se puede simpl ifi car. P rimero la escribimosasi

v '= I-ol v v = ( 1 - ~ ) ( 1 _ ~ ) - lv .1 - v slv v v

I oro recordando el desarrollo binomial, ec. (M. 28),podemos escribir (1- vslv)-1 R:j

1 + vslv , y

(v o) ( V s ) ( V o o, VOVs )

v' = 1- -;; 1+ -;; v = 1- -;; +-;;---,;2 v,

A l mult iplicar ambos parent esis debemos mantener-nuestra aproximaci6n y tomar

I;il" ,. IIH 'iI. O llclns (I chuqu () 1 1 \ Mlwh.



Mouimienlo ondulaiorio

(a) (b)

(18.13 18.14) Sonido ; acustica 7 3 5

es un cono cuyo eje es la recta sobre la que se mueve la fuente y cuya apertura e x

(ISta dada por

sen e x = vlvs . (18.64)

El movimiento ondula torio resul tante es entonces una onda conica que se propaga

como se indica con las flechas en la fig. 18-36. Esta onda se llama, a veces, onda

de Mach u otula de cheque, y no es mas que el sonido repentino y yiolento que

otmos cuando un- avion supersonico pas~_cerca <!_e!.0sot r?s~ Estas ondas tam bien

1 1 0 observan en la estela que <;M:janJQsbotes que se mueven con mayor velocidad

que la de-Iasondas-sup'erficiales sobre el ~g~a -(fii-{8:37): . . "

(c)

"'I~. 18·87. Ondas de Mach (de choque) producidas por (a) una punta vibrante

III movimtento tocando la superficie del agua, (b) una bala en el aire y (c) un bote1'1 pldo.

()Io los terminos de primer orden. Entonces, despreciando el termino vo v slv 2,

t. l Homos que la frecuencia medida por el observador es

dOll'd VOs = Vo - Vs es Ia velocidad del observador respecto a la fuente. Recor-

1 1 1 1 1 1 ( 1 0 que co = 27t'v, podemos expresar la frecuencia angular medida por el ob-

ervndor en la forma

H I I Jn" es positiva, el observador se aleja de la fuente y la frecuencia medida es

III! IIIH" Pero si VOs es negativa, el observador y la fuente se acercan y la frecuencia

medlda es mayor. . ,

Cuundo Ia direccionde VOs no es la .misma que la de propagacion de las ondas,

1110 que forma un angulo con esa direccion, debemos reemplazar la ec. (18.62) por

, _ ( 1 Vo - Vs) _ ( 1 VOs)v - - v - --- v,V V

, _ ( 1 VOs )w - --- w., V

w' =(1_ vQ s :os 6 ) w, _

18.14 Sonido; acustica

(18.61)

Con la excepcion de las ondas superficiales en un liquido, todas las otras ondas

discutidas en este capitulo estan dentro de la categoria de ondas eiasticas en las

cuales la perturbacion (sea esta una deformacion, una presion 0 el desplazamiento

de un volumen que contiene muchos atomos) se llrop~a con una velocidad que

depende de las propiedades elast icas d.~!!l~~o. l istas ond~ el~§_ticas§on.!~mbien

Ilamadas sO!JJJ1~-- ----En el lenguaje popular el sonido esta relacionado con la sensacion auditiva.

Siempre que una onda elastica que se propaga a traves de un gas, un liquido 0un solido, alcance nuestro oido, produce vibraciones en la membrana auditiva;

ostas vibraciones provo can una reacci6n del nervio auditive y e l proceso se conoce

como audicion. Pero nuestro sistema nervioso produce una ~en~acio_n auditiva

A610 para las frecuencias comprendidas entre 16 Hz y 20,000 Hz (el intervalo

de recuencias atiaibleses diferente para otros animales). Fuera de estos limites

'1 sonido no es audible, aunque a las ondas elasticas correspondientes se les sigue

llamando sonido. La fisica de las ondas elasticas de frecuencia por encima de

20.000 Hz se denomina ullrasonica.

La ciencia que trata de los metodos de generacion, recepcion y propagaci6n

d 1 sonido se llama acusiica. Esta cubre realmente muchos campos y esta inti-

mamente relacionada con varias ramas de la ingenieria. Entre los campos de la

It ustica esta el disefio de instrumentos acusticos, incluyendo la electroacustica,

(IUC trata de los metodo s de producc ion y regi st ro de l sonido por medios electricos

(18.62)

(18.63)

II'A) LA 18·2 Veloc idad de l sontdo, m 8-1

.:01110 1 studiante puede verifica r f:!ci lmente. Observese que VOs cos 6 es la com-

(lOllllllto do Ia velocidad relativa del observador respecto a la fuente segun lacI l ' l 'o{: iol l de propagacion ,

II I C IlH O spec ial se presenta cuando el observador esta enreposo pero Ia fuent• IlllI(IVLI on una velocidad mayor que v. Entonces, en un tiempo dado la fu nte

I IVIIJ l1 .0 m( ls rnpido que el frente de o nd a: p ot ejem plo , si en un ti mpo l InI i ll I II .. s o 1 11 11 V O d ' 1 '1 < 1 • A hastn fJ (fig. 18-36), su onda cmitidn u /I Ita viajudo

olulI l( l l i t i (1{II-Hlll t1 hUHttl A', 1 . 1 \ aupol ' f i c lo tnllf:,(llntll u todns h I l i H (WOH lv I lHO l l l ll lH

lSH)14r.0

airehidr6genooxigcnonttrog noVI\l)()L' (I O()°e)

331,45

1260,5a l7,2:~3{) ,3-104,8

Liquidos

j{I'o.nito 6000

hi IT O 5130

e o h r 3750

ultuntnlo 5100plom 12:JOhl<lll't 1840

agua dulce

agua de mar

(salinidad 3,6,%)kerosenm r 'urio

1493.21532,8



(18.14

(llJi .crofollOS, altoparlantes, amplificadores, etc.). La acust ica a rqu ii ec to n ica ; trata

<I 1 d i se n o y construcci6n de salas y edificios y del comportamiento de las ondas

aonoras en ambientes cerrados. La acustica musical trata directamente de la

r lu ci en entre el sonido y la musica.

El sonido , como ya se ha explicado, involucra el desplazamiento de atomos

y moleculas del medio en el cual se propaga. Pero este desplazamiento se debe

It un movimiento colectivo ordenado en el cual todos los atomos de un pequefio

volumen experimentan esencialmente el mismo desplazamiento. A este movi-

micnto ordenado se superpone la agitaci6n molecular en los Iiquidos y gases.

E1 rcsultado neto e.s_guela intensidad del sonido disminuye 0 se atemia lI!ientrlls

11\onda sonora se propaga porque parte de la energia de la ondase disipa en los

cheques entre las moleculas del medio. Esto da como resultado un aumento en

In . nergia intern a molecular, principalmente en las energias de rotaci6n y de

trnslacion, En los Jiquidos la viscosidad, que en esencia es un efecto del movi-

nil into molecular, tambien desempefia un papel importante en la atenuaciond ) sonido. .,

La velocidad de propagaci6n del .~onido es praeticamente independiente de la

I r icuencia para un ampli« intervalo de frecuencias que se extiende hasta por

encima de 108 Hz. EI valor de esta velocidad para diferentes sustancias esta

dndo en la tabla 18-2. La velocidad de propagacion es, sin embargo, dependiente

(to In temperatura y de la presion porque la densidad depende de estos factores.

Muchos de los Ienomenos ondulatorios que se describiran en los capitulos sub-

Ilif.(uicntes se aplican a las ondas sonoras. Sin embargo, no entraremos en un

(I!lltldio detallado de la acustica, sino que concentraremos nuestra atencion prin-

cipalrnente en las ondas electromagneticas.

IJlMiograj'ia

l , "Uclmholtz'\ A. C. Crombie, Sci. Am., marzo de 1959, pag. 94

~. "T Ilornegacycle Ultrasonics", K. Dransfeld, Sci. Am., [unio de 1963, pag. 48 .

:I. "Sonic Boom", R. Emrich, The Physics Teachers 3, 18 (1965)

,t "A Method for Measuring the Sound Wavelength in gases:', S. Lestz, Am. J.PilUs. 81, 96 (1963)

r ,. Waves and Oscillations, R. A. Waldron. Momentum Books, Van Nostrand, Prin-

. Lon, N. J., 1963( . I .to M: Principles and Experiments, G. Monk. Dover, New York, 1963, apendicez

7. Tile Feynman Lectures on Physics, vol. I, R. Feynman, R. Leighton y M. L..Sands.

Addtson-Wesley, Reading, Mass. , 1963, caps. 47 al 51

I{. Source Book in Physics, W. F. Magie. Harvard University Press, Cambridge,

Muss., 1963, pag, 122 (Helmholtz); pag. 174 (Fourier)

Problemas 73 7

I)roblemas

If I{ Distinguir entre (a) las palabras graflco Ia velocidad en cada punto. Ha-

humogeneo y heterogeneo, (b) las pala- cer el gra~co de la veloci~ad f J ' E , j f J t y dlimB Is6tropo y anisotropo. (c) l,Puede la aceleracion q 2 ' E , j f J t 2 en elmstante t = .

1 1 1 1 medic ser ~o~ogeneo y anis6tropo, )ilW Demostrar que una on~a elastica

h Itcr'ogeneo e isotropo ? transversal que sepropaga segun el ejo X

I ,2 Un bote en movimiento produce con un desplazamiento 'E , cuyas dos com-

0111 US superficiales en un lago tranquilo. ponentes son. ' E , y =E ,o sen, (kx - ~t) Y

J< : I bo te ejecuta 12 oscilacionesen 20 se- ' E , z =E ,o cos (kx - wt), . esta pola~IZado.I(lIndos; cada oscilaci6n produce una circularmente. ~etermmar el sentido dcresta de onda. La ·cresta de la onda rotaci6n de 'E , visto por un observador

1III'(Ia.6 s para alcanzar la orilla distante situado sobre el eje X. Escribir las ex-

t : . l m. C a l c u l a r la longitud de onda de presiones de ' E , y y ' E , . para una onda dohl~ldas de superficie. polarizaci6n opuesta,

• t H . . . ; 3 , ' La ecuacion de una cierta onda es ·18.9 Dada la ecuacion de onda en una

~ 10 sen 27t(2x- lOOt), donde x se cuerda 'E , =,03 sen (3x - 2t), donde ~

IlIl(Io en metros y t en segundos. Hallar y x estan en metros y t en segundos,

(1\) la amplitud, (b) la longitud ~e onda, con~estar 10 siguiente.: (a) para t =0,

(<: ) la frecuencia y (d) la velocidad de l,cual es el desplazamiento cuando x =p!'opagaci6n de la onda. Dibujar la onda, 0,1 m, 0,2 m y 0,3 m? (b) Para x=O,l m,

mostrando la amplitud y Ia longitud de l,cual es el desplazamiento cuando t =0,Ol~. 0,1 s Y 0,2 s. (c) I,Cual es la ecuacion d

• tW Dada la ecuaci6n la velocidad de oscilaci?n de las par~icu-. las de la cuerda? l,Cual es la velocidad

'E , = sen 27t(0,lx - 5t), maxima de oscilaci6n? (d) l,Cual es la

velocidad de propagacion de Ia onda?18.10 Un pendulo consta de un alambre

de acero de 2,0 m de largo que soportaunalenteja de masa 20 kg. Si el pendulo

selibera desde una posici6n donde forma

un angulo de 60° con la vertical, hallar

la diferencia en longitud del alambr

cuando la lenteja esta en la posici6n tnt-cial y cuando pasa pOI' su posicion masbaja.

Y-18.11 Una harra de acero transmit

ondas longitudinales por medio de unoscilador acoplado a uno de sus extr -mos. La barra tiene un diametro d4 mm. La amplitud de las oscilacloucs

es0,1

mm y Ia frecuencia es10 oscna-

ciones por segundo. Hallar (a) la ccun-

ci6n de las ondas que se propagan U 10largo de Ia barra, (b) la energta por unl-

dad de volumen, (c) el promedio de llu]o(I propaga hacia la derecha. Seleccionar de energla pOI'unidad de tiempo a trl1v6sIa puntos equidistantes sobre una dis- de una secci6n cualquiera de .10.bnrru,tunela de una longitud de onda y hacer .(d) Ia potencia requerida pan, op rur III

10M~r t \Ocos corrcspondlcntes a los tris tan- o scilado r.

I II I 0, tP, tP, iP y P . d c s~ues de 'i18.12 A 10 largo de una. bnnu 8(1 P I ' O -q\1( 11\ouda IHIal ·o.nzo.do 1prlmct punto, , pagan ondas 1 ngltudtuu! Ii (s d611 t !UI) ,

tH.7 ' l l p o n ! < ndo quo n I 111'01>1 1 1 1 1 \ L a. d forlOn'Lon n ' l \cln, pllnlo C ~

111(\1'101'II ()Iuta\ (\OI'I'UII)(lIHlt\ n uuu oudn

11(, 11m , I 1'llIlHV\U' nl, 1l1osll'UI' (Ill m\dll

uonde x esta en metros y t en segundos,II Lerminar : (a) la longitud de onda,(h) la frecuencia, (c) el periodo, (d) la

velocidad de propagaci6n (e) la ampl i-

I lid', Y (f) Ia direccion de propagacion.Es .riblr Ia expresion para una onda que

sea identica pero que se prop a gue en

sontldo opuesto. .

t 8.5 Dada la onda

'E , =2 sen 27t(0,5x- lOt),

donde I esta en seguridos y x en metros,

hu r 0 1 graflco de 'E " extendido a va~ias

Iongttudes de onda, para i=O y t=4O s.

I topotir el problema para 'E , =2 sen 27t

(O,5x + lOt). Comparar resultados.

t R. 6 Una ondaarm6nica

'E , = A sen 27t(xIA il P )

~ II lit II ' i . 1 C ( , t ' / "



M ou im l en to ondul ai or io

(u) Usando la relaclon (18.16), obtener

II I oxpreston para la fuerza sobre cada

1'1(1(: -Ion transversal, (b) demostrar que

I ill (Judas de ~y F tienen una diferencia

< It fl\Se de un cuarto delongitud de onda,

lin .. J' cl grafico de ~ y F en funci6n de xun un instante dado para varias longi-

t (HIes de onda.

1 .1 ;jJ Un resorte que tiene una longitud

1I01·IIW.l de 1 m y una mas a de 0,2' k g se

(I Ill'iI.4 emcuando se le aplica una fuerza

iiI tON. Hallar la velocidad d-epropaga-

d6n de las ondas longitudinales a 10

1 1 1 1 ' 1 . ( 1 1 dol resorte.

I 1H.14 Un resorte de acero tiene una

. IOIl~I'llld normal de 4 m y una mas a de

:W() g. Cuando el resorte se suspende

verl lcalrnente con un cuerpo de 100 g

IIj() f\ su extremo libre, se estira. 5,0 cm.

l lnllnr la velocidad de las ondas longi-

. t udlnales en el resorte.

IH.I / ) Obtener la velocidad de las ondas

cl( tcrston en el acero. Comparar con el

1'(lHIII tado obtenido para ondas longitu-

dlnules en el ejemplo 18.4.

/ t H.t (l Probar que las ondas de energia

( I N t udladas en la secci6n 18.9 se puedenI' (\r1hir en la forma

iW/8t = V{pW2~~[!+-l- cos 2(kx:_wt)]).

() b t encr de esta ecuacion el valor pro-

1I111(1I0 . Demostrar que la frecuencia de

III olHlt\ de energia es doble y que la lon-

~lIl1d de ondaes Ia mi tad de la que

COI'I'lISpondela ondade desplazamiento.1 1 1 1 ( \ ( " 1 ' 1 g r a f l c o oW/ot en funci6n de x( '11 un Instante dado.

I H (17 ) ~C6mo varia I a v e lo c i da d de pro-

l"II.(IH\lOIle una onda transversal a 10hi 1'1.(0 do una cuerda si la tension (a) se

dllpllcH, (b) se reduce a la mitad? /,En

c'III '1I11oebe reducirse la tension de Ia

1'11I11'(lIl) para duplicar, (d) para reducir

Il~1 ,Jill tad Ia velocidad .de propagacion ?

f t . IH) Un alambre de acero de diametro0,:' 111111sta sujeto a una tension de

:.100N, 1 ctcrrntnar la velocidad de pro-PIlj .(I\('i()1I do las ondas transversales a 10 'IHI'~O(Itll ulamhre.

IH(I1V Una cuerda de 2 m de longttudVillI 11 g (1(1masa somantione horizontal-IIHIlIll e011 uu 0 trcmo ftjo y el otro

o PO I'IIIII(IO u na IIlIlS Il de 2 kg. Hallar la

V~IIIII'lril d d Il\~ OI\d1\5trunsv l'sul s on

III l'IHII'dll,

18.20 Un extrerno de una cuerda hori-

zontal esta sujeto a uno de los hrazos

de un diapason de frecuencia 240 Hz

operado electricamente. El oho extremo

pasa por una polea y soporta un peso

de 3 kg. La rnasa por unidad de longitud

de la cuerda es de 0,020 kg mt. (a) ~Cual

es la velocidad de las ondas transversales

en la cuerda? (b) /,Cual es la Iongitud

de onda?

1@ Un extremo de un..!Y.Wlde gomaest a fijo a un soporte, el otro extremo

pasa por una polea situada a 5 m del

extremo fijo y sostiene una carga de 2 kg.

La masa del tubo entre el extremo fijo

y la polea es 0,6 kg. (a) Hallar la velo-

cidad de propagacton de las ondas trans-

versales a 10 largo del tubo. Una onda

arrnonica de amplitud 0,1 ern y lon~itud

de onda 0,3 m se propaga a 10 largo del

tubo; (b) hallar la velocidad transversal

maxima de cualquier punta del tubo,

(c) Escribir la ecuacion de la onda,

(d) Determinar el promedio de la rapidez

con que fluye energia a traves de cual-

quier seccion transversal del tubo.

'18.22 Una fuente vibrante al extremede una cuerda tensa tiene un despla-

zamiento dado por la ecuacion ~=,1

sen 6t, donde ~ esta en metros y t . en

segundos. La tension en la cuerda es de

4 N Y la masa pOI'unidad de longitudes 0,01 kg m-1• (a) /,Cual es la velocidad

de la onda en la cuerda? (b) /,Cual es la

frecuencia dela onda? (c)/,Cual es la lon-

gitud de onda? (d) /,Cual es la longitud

del desplazamiento de un punta situado

a 1 m de la fuente?, /,y a 3 m? (e) Hacer

un graflco de ~en funcion de t en x=m.

(f) l,Cual es Ia amplitud del movimiento ?

(g) Hacer un grafico de ~en funcion de xpara t =t/12 s.

18.23 Un alambre de acero que tiene

una longitud de 2m y un radio de0,5 mmcuelga del techo. (a) Si un cuerpo de

"100 kg de masa se suspende del extremelibre, hallar Ia elongacion del alambre.

(b) HaUar el desplazamiento del punto

medio y el esruerzo lracia abajo sobre el.(c) Determinar la velocidad de las ondaslongitudinales y transversales que so pro-pagan a 10 largo del alambre cuando Inm,sa, csta suspondtda,18~4J Una 'U ril i l :- de longltud T. y

mCUlL\ M 'llolHn Ilhr 111 'Ill! dol 'Iil(',1I0,

(1\) Demostrar que la velocidad de una

nuda transversal en tuncion de la posi-

( ' 1 1 ' ) ) 1 a,10 largo de la cuerda es v = gx,

lendo x la distancia desde el extremo

llhro, (b) Probar que un pulso trans-

vnrsal recorrera la cuerda (ida y vuelta)

c II un tiempo 2 V L/g. Notar que estos

I'~sultados no dependen de la masa de

ln cuerda,

t H.25 En la seccion 18.9 obtuvimos el

I1 l1 jo de energia de una onda longitu-1 1 1 1 1 0 . 1 en una barra. Repetir el c a l c u l o

pnrn las ondas transversales en una

euerda y demostrar que la potencia

1I1t'ILia. es v(!mwa~~). Notal' que la: can-

l ldnd encerrada en el parentesis corres-

pnude ahora a la energia por unidad de

10llgitud. [Sugerencia: Calcular la rapi-dl '/, 'on que la fuerza perpendicular a la

ruurda (F sen G( : :: :: :: F(o~/ox) en la fig.

IH-14) realiza un trabajo.]

111.20 Calcular Ia velocidad de prop a-HIld6n del sonido en el hidrogeno, nitr6-

HCIIIO oxigeno a O°C. Cornparar con los

1'I11111\Ladosxperimentales. Tomar y =

t .40 para los tres gases.

IH,27 Hallar la variacion de la veloci-

cilld del sonido en el aire por unidad de

vurlaclon de temperatura a 27°C.

IH.2H Del valor dado en el ejemplo 18.6

(1111'1\ 01 coeficiente G( = yR/ M para el

""'(1, obtener Ia mas a molecular efectiva

1 1 1 1 1 nil' y compararla con el resultado

4 1 l l t vuldo por otros medios. Suponer que

(lIII'U(I alre y =1,40.

1H.:W I Ilriendose a las ondas de pre-

1( ', 11 I n una columna de gas (seccion 18.6),

1111011111' que la presion cambia en la

r4l1'1I1I' [I - P o =JJ o sen 2rt(x/"A t] P). (a)I I 1 11 1 1 10 I u s ccs. (18.21) y (18.24), obtener

IIilxpr

.slones para las ondas de densi-c l l l d ' do dcsplazamiento en el gas. (b)

MOIiII·I.l.I·uo las ondas de presion y de

d c u std ud o sta n en fase pero que la onda

t l C I dtlllplazamicnto tiene un defasaje de

1111 1\I1I1I'lO de longitud de onda, (c) HacerIII J.(1·Ml·ode las t res ondas en funcionlin .n 1){\l'U tin instante dado, extendido

" VI I'II\Stongitudos de onda,

t H,:IO I flU\ ( l uc ia sonora armonica plana,

1 1 11 I II 1 1 1 1'1 1 u 20'C y P'I'()sJ6nnormal, t t o n c

111111r l 'I Il 'UII II ('hl ( i( GOO Ilz y uno umplt-

lilt! til I() ~ ru, (1\) HHt:l'lhl'I'In ( ))I'(ltilOJl

'I'll ti c 1'1'11'1 It olldl\ (ill ( hl H P1 l\ zl lI ll h n t o,,

Problemas 73 9

(b) Dibuj ar la onda de desplazamien'lo

para t =0 shasta unas pocas longitudes

de onda. (c) Escribir la expresion qu

describe a la onda de presion. (d) Dihu-

jar la onda de presion para t =0 shasta

unas pocas longitudes de onda y com-

parar con el graftco hecho en (b). (e) Ex-

presar el nivel de intensidad de esta

onda en db.

18.31 EI sonido mas claro que pucdeoirse tiene una amplitud de presi6n d

cerca de 2 x 10-5 N m ", y el mas altoque puede oirse sin dolor tiene una am-

pIitud de presion de 28 Nm=, Deter-

minar, en cada caso, la intensidad del

sonido en W m= y en db, y la amplitud

de las oscilaciones si la frecuencia es

500 Hz. Suponer que la densidad del

aire es 1,29 kg m-a y que la velocidad

delisonido es 345 _ms",18.32 Los niveles de intensidad de dos

ondas senoras difieren en (a) 10 db,

(b) 20 db. Hallar el cociente entre sus

intensidades y entre sus amplitudes de

presion.

18.33 (a) l,En cuanto varia la intensi-

dad de una onda sonora cuando se du-plica la amplitud de presion? (b) ~En

cuanto deberia cambial' la amplitud do

presion para que la intensidad tuera 10

veces mayor?

18.34 Expresar en db la diferencia en

los niveles de intensidad de dos ondas

senoras si {a) la intensidad de una de las

ondas es dos veces la intensidad de 1 0 .

otra, (b) Ia amplitud de presion de una

es el doble de la de la otra.

18.35 Dos ondas sonoras, una en 01

aire y la otra en el agua, tienen la mlsmaintensidad.(a) /,Cual es el cociente entrlas amplitudes de la onda en el agua yde la onda en el aire? (b) /,Cual serla hirazon de sus intensidades si las ampli-

tudes de las ondas de presi6n tueran Iu smismas?

18.36 Comparar la irnportancia relatlvnde los dos termlnos que aparecen II inexpresion de la velocidad de las ondr II

superficiales on aguas profundus I . 0 e .(18.35) 1 para lassiguientes 1 0 ng I L lH ll l H

de onda: (a) 1 mm, (b) 1 nu , (c) I 111.

"Para cual longttud d ondn SOil los dOH

l61'1Il1110S Igualcs? Ln I 'l1t;J(mHIiJllldklll1

dill I\g\ll~ Il IlPl'o h ll ll (I i1 J lH I II '1 I I 7 III ~

N Ill-,



Mov imie i ll o ondu ia lorio

lit:! 7 Consldcrar un canal de secci6n

trnnsvcrsal rectangular y de 4 m de

1)1'()[Ulldlcla.d.Determinar la velocidad

II prcpagacion de las ondas de Iongl-tUfl d onda (a) 1 em, (b) 1 m, (c) 10 m,(<I) tOO m, En cada caso usar la f6rmula

q ue m ej or corresponda al orden de mag-

nltud do las cantidades involucradas. La

l' nstcn superficial del agua del canal es7 X 10-~ N m-1•

t

! - l . aDos ondas armonicas de la mlsma

fl'l cucnc ia y amplitud se propagan con

110 (111\ 1elo cidad en direcciones opuestas.

(II) I etermlnar el movimiento ondulato-

1 ' 1 0 resultante. (b) Suponiendo que 1a

nuda rcsultante corresponda a una onda

trunsversal en una cuerda, hacer el gra-11\\0del desplazamiento de los puntos de

hi 'II rd a en diferentes instantes.

I ~ Dos ondas de Igual amplitud,

v;~dad y frecuencia, pero cop. un de-

tnsllJ de rr:j4, viajan en la misma direc-

1'1611 n una c ue rd a. S um ar las dos ondas

y mostrar que la resultante es una onda

vlu] ra de la misma velocidad y fre-

, '(1(111 la.

I H . tt O Dos ondas de Ia misma amplitud

y voloc ldad pero de frecuencias 1000 y

to I0 lIz respectivamente, vlajan en la

IIIIHlIla direcci6n a 10 m S,.-I. Escribir las

IWllli .lones correspondientes a las ondasIIHII' das y a su suma, Hacer un dibujo

1111u onda result ante.

t KA I Repetir elproblema anterior

1\IlIl.IHlouna de las ondas tiene doble

111I(PlLludque Ia otra.

t HA2 Dos ondas polarizadas en planosjllll'J) ndlculares viajan en la direcci6n

OX It 10.misma velocidad. Hallar el mo-

vluik nto ondulatorio resultante si (a)

A I 2A ~ y de fases iguales, (b) A l = 2A 2Y 1 1 1 1 , dotasaje de rr:j2, (c) A l =2 Y un

dllrllS.(IJ rr:j2.

I t(tt:\) En 01 estudio de las ondas lon-

I o t l t II([I1lL\1 on una barra (secci6n 18.5),

clillpt' clnmos las deformaciones laterales

C J ( I I ucompauan a la deformaci6n Iongi-t II Ilt 1 1 1 1 I. Cuando esto efecto se toma en

10111!I(\'I'nclolluede mostrarse que la ve-101hi 11(\ d 'fns de las ondas armonicasIOIlj.(llucllnnls de longttud de onda A que

1 IlI'oj)nHlllI(I 10 lal '~o do un eillndro de

I'j dlo U (IS "11 V Y jp (1 _rr:2a2R2j')..2),"011,(1(1 11_)1 I,IJ~ coon t on to u nm a de razon

d e P oi ss on (ver problema 18.54). Hallarla velocidad de grupo de las ondas que

se propagan a 10 largo de la harra y ex-

pres arla en funci6n de Up. Obtener el

valor limite de la velocidad de grupopara el caso en que R es muy pequefio

respecto a A. Discutir la variacion de Up

Y§ !U ' en funci6n de RjA.

1.4 La velocidad de Iase de una

on a arm6nica d e f le xi 6n en una barra

esVp =N 1

+A2j4rr:2

K\donde v =Yj p

es la velocidad de fase para las ondas

longitudinales, A la longitud de onda y

K el radio de giro de la seccion trans-

versa) de la barra respecto del eje que

pasa pOI' el centro y es normal al eje

longitudinal de la barra, (a) Hallar la

velocidad de grupo de las ondas de

flexion y expresarla en funci6n de la

velocidad de fase. (b) Estudiar 'el caso

de una barra de secci6n transversal

circular. (c) Obtener Ia velocidad de

grupo cuando A es muy grande respecto

a 2 r r: K. [ N ot a, ' Una onda de [lexioti es

aquella que se propaga a 10 largo de una

barra cargada, esto es, una harra some-

tida a fuerzas transversales (tal como supropio peso) distribuldas uniformemente

en toda su longitud.]

18.45 Se produce una cierta onda por

medio de una fuente cuyo movimiento

puede ser representado por

y =~ A [sen C i lt - _1_ sen 3 C i l trr: 2 3 2

+ ; 2 sen 5 C i lt - . • . l·(a) Construir aproximadamente la forma

dela onda sumando graflcamente los tres -

primeros termlnos. (b) i,A que se reduce

la forma de la onda tomando todos los

terminos de la serie? Esta curva recibeel nombre de "diente de sierra". (c) Oar

la expresi6n de una onda viajera que

tenga la misma forma y se propague

-Iiacia la derecha con velocidad v, inde-

pendiente de la frecuencia. [Sugerencia, '

observar que 1 + (!-)2 +W 2 + ... =r: 2/8.]

18.46 Repetir el problema 18.45 para

una fuente cuyo movimiento esta dado

por

4Y = - A (sen C i l t + t, sen 3 C i l l

11 :

I · h ! ll l ()(j )t 1 , . . ) .

[Sugerencia, ' observar que 1- t + t-... = rr:j4.]

18.47 El tono del silbato de una loco-

motora es de 500 liz. Determinar la

frecuenCia del sonide que oye una per-

sona en Ia estacion si el tren se mueve

con una velocidad de 72 km h-1(a) acer-

candose, (b) alejandose de laestaci6n.

18.48 Una fuente sonora tiene una fre-

cuencia de 103 Hz y se mueve a la velo-

cidad de 30 m 8-1

con respecto al aire.Suponiendo que la velocidad del sonido

respecto al aire en reposo esde 340 m s",

hallar la longitud de onda efectiva y la

frecuencia percibida por un observador

en reposo respecto al aire y que ve a Iafuente (a) alcjaudose de el, (b) acercan-

dose a el,

18.49 Repetir el problema 18.48, supo-

niendo que la fuente esta en reposo res-

pecto al aire pero que el observador se

mueve con la velocidad de 30 m s". De

sus resultados, i,podria usted coneluir que

no importa cual de los dos se est a mo-

viendo?

18.50 La ec. (18.61) para el efecto Dop-pler se dedujo suponiendo que el medio

a traves del cual la onda se propaga

permanece en reposo. Demostrar- que si

el medio tiene una velocidad Vrn segunla linea que une al observador con la

fuente, la ecuacion se transforma en

v' = (v _- Vo + V m)/(V - n, + Vm).

18.51 La deform ac i6n especifica de v o-lumen de un cuerpo se define por la

relacion EV =dV j V , donde dV es la

variacion de volumen como resultado

de las fuerzas aplicadas al cuerpo de vo-

lumen V. (a) Demostrar que EV =- dpjp,

donde p es la densidad del cuerpo. [Su-(lerencia: observar que p V =m ~ const.]

( IJ) Demostrar adem as que el modulo de

(\Insticidad de volumen definido por la

c. (18.22) puede expresarse en Ia forma

(qllivalente If=- V(dp jdV) , donde dVilS ct cambio de volumen resultante de la

vnrtaclon de presion dp .

IH.52 Usando los valores del modulo de

j Itti'll ldad de volumen para el hierro y

p \1'0, I plomo (tabla 18-1) calcular 01I)()I'(~ntajo d varlaclon en donsidad yVOIIlIll(n < I cnda sustan Ia .orrospon-

<llllllil 1\ un cruuh lo do · pl'tlsl6n I~ tlill

II I 11,1111.J'

Prob lemas 7 4 1

18.53 La d efo rm ac i6 n lin ea l e sp ec ific ase define por la relacion EL =L jL ,donde L esla distancia entre dos puntos

cualesquiera del cuerpo en el estado no

deformado, y dL es la variaci6n de esta

distancia como result.ado de la deforma-

ci6n. Demostrar, considerando un cubo

de lado L, que EV =EL.

18.54 Cuando se estira un alambre su

diametro D disminuye, dcndo como re-

sultado una d e fo rm a ci 6n l at er a l e sp ec i{ ic a

definlda por ED =DjD. La raz6n dePoisson se define por cr=DjdL .Probarque si un paralelepipedo rectangular estasometido a un esfuerzo normal S sobre

cada cara, la deformacion lineal neta

sobre cada arista es EL =S(l - 2cr)/Y.

[Sugerencia, ' observar que el esfuerzonormal sobre cada par de caras del

paralelepipedo da como resultado de-

formaciones laterales opuestas sobre el

otro par de caras.]

18.55 Usando los resultados de los pro-

blemas 18.53y 18.54, demostrar que

Y =K(1 - 2cr).De esta relacion obte-

ner a, y usando los valores de la tabla

18-1, t-alcular la razon de Poisson para

algunos materiales.

18.56 POl' razonamiento similar al del

problema 18.55, puede probarse que

Y =2G(1 + c), Eliminando crentre esta

relaci6n y la del problema 18.55, mos-trar que Y =3KGj (K + tG). Usando los

valores de Ia tabla 18-1, veriflcar para'

algunos materiales tabulados, hasta don-de es valida esta expresion teorica de Y.

18.57 Para una cierta sustancia G =1,24 x 101°N m? e Y =3,20 X 1010

N m>, Calcular el valor del modulo de

elasticidad de volumen y la razon doPoisson para esta sustancia. Hacer 10mismo para el cuarzo, que tiene Y =

5,18 X 1010 Nm?y G=2,88 x 1010 Nm-2•Discutir las implicaciones fisicas de los

resultados.

18.58 Puede probarse que para un I' -

sorte, 1a constante J( introducida ell (11

ejemplo 18.5 esta dada por r r :GH4/2( !~ ,donde R es el radio del alambrc y ([ Iradio del resorte, Hallar 01 valor cI J

para un rcsorte de acero (10 rndto I emhccho do alambro (10 rudlo I mm, Sl 11\10'11il l id t iel rosortc s ln (,HIII'IlI''~ r, o 'Ill,h lllllU ' S It \llj)nglld(~11 ('llill\,<iO 11\1 It Ilplh'tI

IItllI I'll 1'1.1\Ii r ,O N,



'lI lt Movimiento ondulaior io

I H.!if) Suponer un campo ~ cuya ecua-

!'I6u ILo propagaci6n es 02~/o i2 = a04~/ox4,

1 1 0 IIeI ' a es una cierta constante. (a) l,Ad-1IIIIII'1a Como soluci6n una. expresi6n deIn forma.

~= ~osen k(x ± vi)

I In ndmite, l ,cua! es el valor de v?

(II) l,Admitiria ~ = I( x ± vi) como solu-dlll)? (c) De los resultados precedentes,i.l·ollchllria usted que este campo se pro-J lI IW l S in distorsi6n?

I H.1I0 Una. ba.rra de secci6n transversal"" '111110.1' de radio R se tUerce como conse-

I'WlldA, de un torque apIicado en tornoIi II 'je, Probar que si (1 es el angulo de

f o l'l,I6 n en ni l punto x sobre la abscisa,(II to rque es

T =tAGR2(06/ox),

dou(J() A = rrR2 es el area de la secci6n1I'IUrHVCl'Sal.

llU) I Usando el resultado del problema11111lI'jOI', mostrar que la velocidad de

l"·OPIl.gaci6nde una. onda de torsion a 10

llll'~ode una barra es V G/p. [Sugerencia:

considerar una porci6n de espesor dx Y

observar que el torque sobre esa porci6nes (oT/ox)dx. J

18.62 Puede probarse que una onda

esterlca is6tropa satisface la ecuaci6ndiferencial

Verificar que la soluci6n deesta ecuaci6n

es ~ = (1/r)/(r + vi). Comparar con ladiscusion hecha en la secci6n 18.11 paralas ondas de presi6n en un f1uido.

18.63 Demostrar que para gran des am-

plitudes Ia ecuaci6n de las ondas trans-

versales en una cuerda se convierte en

~= _I_ ~ [ 1 _ _ ~ ( ~ ) 2 ] .0[2 m OX 2 2 . ox

Observar que esta ecuaclon no es lineal

y que se reduce a Ia ec. (18.29) cuando(o~/ox)2 es despreciable. [Sugerencia: no-

tal ' que sen oc=tg O C I V T + t g 2 oc=tg oc-ttg3 oc+ .... J

,

Movimiento Ondulatorio

Documents

Transcript of Movimiento Ondulatorio