marcelo.lugo.licona

El campo magnéticoEstudiaremos al campo magnético y sus efectossobre cargas en movimiento.

El campo magnético BSe describe al espacio alrededor de un imán per-manente o de un conductor con corriente como lalocalización de un campo magnético, representa-do por B.

En electrostática se estudió la relación

carga eléctrica−→←E−→← carga eléctrica (1)

En magnetismo, se intentaria, por simetría, es-tudiar

carga magnética−→←B−→← carga magnética (2)

Dado que no existen las ‘cargas magnéticas’, seestudiará la relación

carga en movimiento−→←B−→← carga en movimiento(3)

que también se escribe

corriente eléctrica−→←B−→← corriente eléctrica (4)

Una carga en movimiento o una corriente eléc-trica establece un campo magnético que puedeejercer una fuerza magnética sobre otras corrien-tes o cargas en movimiento.

Aunque las propiedades de B son practicamen-te las mismas que la de E, hay una diferenciamuy importante: la fuerza eléctrica sobre unapartícula cargada siempre es paralela a E perola fuerza magnética sobre una partícula cargadaen movimiento siempre es perpendicular a laslíneas de B. Otra diferencia importante es que lalíneas de B son curvas cerradas.

La fuerza magnética sobre unacarga en movimientoSe establecerá un conjunto de procedimientos pa-ra determinar si existe o no un campo magnéticoen una región dada del espacio. Se consideransolo a las fuerzas magnéticas y eléctricas.

1. Primero se prueba la presencia de una fuerzaeléctrica en diferentes localizaciones de la regiónde interés; más tarde se sustraerá de la fuerza to-tal, por lo que en este momento se puede ignorar.2. Se lanza una carga de prueba q a través de un

1

punto particular P con una velocidad v. Si hubi-se una fuerza magnética F presente, actuaría demodo que F⊥ v.

3. Conforme se hace variar la direccion de v a tra-vés del punto P, se encuentra que la magnitud deF cambia de cero cuando v tiene cierta direcciónhasta un máximo cuando F ⊥ v. En ángulos in-termedios la magnitud de F varía como el senodel ángulo φ entre v y F. (Hay dos direcciones dev para las que F es cero, y son direcciones opues-tas.)

4. Conforme se hace variar la magnitud de la ve-locidad, se observa que la magnitud de la fuerzavaría en proporción directa.

5. También se observa que F es proporcinal a lamagnitud de q, la carga de prueba, y que inviertesu dirección si cambia el signo de q.

De las observaciones se tiene que la direccionde B en el punto P es la misma que una de lasdirecciones de v para la que F = 0, y que la mag-nitud de B está determinada por la magnitud F⊥de la máxima fuerza ejercida cuando la carga deprueba se lanza en dirección perpendicular a B;

esto es

B = F⊥qv

. (5)

Para ángulos arbitrarios, las observaciones dan

F = qvBsin φ. (6)

donde φ es el ángulo más pequeño entre v y B.Debido a que F, v y B son vectores, la ecuación(6) se puede escribir como

F= qv×B. (7)

fq

v

B

F

Figura 1: Una partícula con carga q positiva que semueve con velocidad v a través de una región con cam-po magnético B experimenta una fuerza desviadora F.

2

En la figura 1 se aprecia la relación entre losvectores v, B y F. Nótese que F se anula cuan-do φ = 0o o φ = 180o y que la magnitud de F esmáxima cuando φ = 90o o φ = 270o. Ya que F ⊥ ventonces no puede cambiar la magnitud de v pe-ro sí su dirección, es decir, la fuerza no hace tra-bajo alguno. Así, un campo magnético constanteno cambia la energía cinética sobre una partículacargada y en movimiento.

La ecuación (7) es una definición del campomagnético. En el SI B se mide en tesla, T,

1 tesla= 1newton

coulomb ·metro/segundo

= 1newton

ampere ·metro

Las líneas de B son cerradas, sin inicio ni fin:no existen los monopolos magnéticos.Ejercicio 1. Un campo magnético uniforme B, demagnitud 2 mT, apunta verticalmente hacia arri-ba en todo el salón de clase. Un protón de 5.3 MeVse mueve horizontalmente de sur a norte en elcentro del salón de clase. ¿Cuál es la magnitudde la fuerza deflectora que actúa sobre el protón

Tabla 1. Algunos campos magnéticosLocalización B (T)Estrella de neutrones (calculado) 108

Imán superconductor 5Electroimán muy grande 1Pequeña barra imantada 10−2

Superficie terrestre 10−4

Espacio interestelar 10−10

Recinto magnéticamente aislado 10−14

*Valores aproximados y/o calculados.

cuando pasa por dicho punto? La masa del protónes 1.67×10−27 kg.

La fuerza de deflexión depende a la rapidez conla que se mueve el protón

v=√

2Km

v=√

(2)(5.3 MeV)(1.60×10−13J/MeV)1.67×10−27

v= 3.2×107m/s.

3

La ecuación (6) da

F = qvBsinφ

F = 6.1×10−15N

y, calculando la acelración que produce sobre lapartícula

a = Fm

= 3.7×1012 m/s2.

La fuerza de LorentzSi E y B actúan sobre una partícula cargada, en-tonces

F= qE+ qv×B. (8)

es la fuerza de Lorentz.Una aplicación común de la fuerza de Lorentz

se encuentra cuando un haz de partículas carga-das pasa a través de una región en la que E y Bson perpendiculares entre sí y perpendiculares ala dirección de la velocidad de las partículas. Si E,B y v se orientan como en la figura 7, entonces FEy FB tienen direcciones opuestas. Esposible ajus-tar las magnitudes de los campos eléctrico y mag-nético hasta que las fuerzas sean iguales, de mo-do que la fuerza de Lorentz sea cero. En términos

x

y

z

E

F

F

B

B

E

v

Figura 2: Una partícula con carga q positiva que semueve con velocidad v a través de una región con cam-po magnético B y un campo eléctrico E experimenta laacción de dos fuerzas, la magnética FB y la eléctrica FE.

escalares se tiene

qE = qvB (9)

o

v= EB

. (10)

Así, se tiene un selector de velocidades en el quesólo las partículas con la velocidad E/B manten-drán su trayectoria rectilínea, es decir, no se ve-rán afectadas por fuerza alguna. El valor de v es

4

independiente de la carga y de la masa de las par-tículas.

Con frecuencia, los haces de partículas carga-das se preparan usando métodos que dan la dis-tribución de velocidades, de modo que se puedeobtener un haz de partículas con una velocidadespecífica. J. J. Thomson aplicó este principio en1897 en su descubrimiento del electrón y la medi-ción de su relación carga-masa. La figura 3 mues-tra una versión más reciente de su aparato.

F

B E

C

S

V

Botellade vidrio

A la bomba de vacío

Figura 3: El aparato de Thomson.

Thomson midió primero la deflexión vertical ydel haz cuando sólo estaba presente el campo eléc-trico

y=− qEL2

2mv2 (11)

Luego, ajustando B hasta que la deflexión fuesenula, v= E/B, y considerando que q =−e

em

= 2yEB2L2

. (12)

Thomson encontró e/m =1.7×1011 C/kg y elvalor aceptado actualmente es 1.75881962×1011

C/kg.Otrsa aplicación del selector de velocidades se

tiene en el espectrómetro de msasa, un disposi-tivo que separa a los iones por su masa, ver lafigura 4.

B

B’

E

O

mmmm

4

3

21

Figura 4: Diagrama esquemático de un espectrómetrode masas.

Cuando los iones entran al campo B’, uniforme,es posible medir los radios de sus trayectorias

5

circulares, como se desmostrará más adelante.Ya que todas las partículas tienen la mismavelocidad, el radio de curvatura se determinacomo función de la masa.

Las cargas en movimiento circu-larComo ya se mencionó, cuando las partículas car-gadas entran en un campo magnético uniforme laúnica fuerza que actua es la fuerza magnética de-flectora que tiene dos propiedades: (1) no cambiala rapidez de las partículas y (b) siempre actúaen dirección perpendicular a la velocidad de laspartículas, requisitos para un movimiento circu-lar con rapidez constante.

Ya que B⊥v entonces |FB| = |q| vB y, de la se-gunda ley de Newton

|q| vB= mv2

r. (13)

or = mv

|q|B = p|q|B . (14)

La rapidez angular del movimiento circular es

ω= vr= |q|B

m, (15)

y la frecuencia correspondiente es

ν= ω

2π= |q|B

2πm. (16)

Nótese que la frecuencia asociada con el movi-miento circular no depende de la rapidez de lapartícula, en tanto que v¿ c.

A la fecuencia dada por la ecuación (16) se leconoce como frecuencia de ciclotrón.

El ciclotrónEL ciclotrón de la figura 5 es un acelerador queproduce haces energéticos de partículas cargadasque se pueden usar en experimentos de reaccio-nes nucleares.

El ciclotrón consiste de dos objetos de metal enforma de D y se les llama des. Las des están hue-cas y abiertas en su lado recto. Se conectan a unoscilador eléctrico que establece una diferencia depotencial oscilante entre las des. Se establece uncampo magnético perpendicular al plano de lasdes. En el centro del instrumento existe una fuen-te emisora de los iones que se desea acelerar.

Cuando los iones se encuentran entre el espacioentre las des se aceleran debido a la diferencia de

6

Figura 5: Diagrama esquemático de un ciclotrón.

potencial entre las des. Entonces entran en unade las des donde el campo eléctrico es nulo y elmagnético hace que se meuvan en un semicírculo.El potencial oscilante da lugar a un campo eléctri-co oscilante que acelera a los iones en el espacioentre las des, de modo que la frecuencia de osci-lación sea igual a la frecuencia del ciclotrón, con-dición conocida como condición de resonancia. Asílos iones ganan energía cinética durante el pasoentre las des hasta que la velocidad final quedadeterminada por el radio R del cilotrón, y de la

ecuación (14)

v= |q|BRm

, (17)

y, la corresopndiente energía cinética (no relati-vista) de las partículas es

K = 12

m v2 = q2B2R2

2m. (18)

El sincrotrónEn rpincipio, debe ser posible incrementar l ae-nergía del haz de partículas en un ciclotrón incre-mentando el radio. Sin embargo, por arriba de 50MeV, se pierde la condición de resonancia, Paraentender este efecto debemos regresar a la ecua-ción 14, en la que se usa el momentum mv.

La expresión r = p/|q|B, es correcta a condiciónde usar la expresión relativista para el momen-tum, p = mv/

p1−v2/c2, por lo que

ν= |q|Bp

1−v2/c2

2πm(19)

Es posible mitigar esta dificultad ajustando elcmapo magnético de modo que se incremente a unradio mayor.

7

Con un sincrotrón es posible alcanzar energíasdel orden de 1000-GeV. En lugar de usar sólo unimán, se usan muchos imanes individuales, queproducen una desviación de 1°, aproximadamen-te.

El espejo magnéticoPara atrapar a ls partículas cargadas en una re-gión dada del espaciose usan campos magnéticosno uniformes.

Ejercicio 2. Un cilotrón particular está sieñadocon des de radio R=75 cm y con imanes que pue-den establecer un campo de 1.5 T. (a) ¿Cuál debeser la frecuencia de oscilación para acelerar deu-terones? (b) ¿Cuál es la máxima energía cinéticaque pueden adquirir los deuterones?

(a) Un deuteron es un isótopo del hidrógeno,con una carga q = +e y una masa de 3.34×10−27

kg. Usando la ecuación (16) se encuentra que

ν= |q|B2πm

= (1.60×10−9C)(1.5 T)2π(3.34×10−27kg)

= 11 MHz.

(b) la máxima energía que alcanzan los deute-rones se da cuando el radio de curvatura de su

trayectoria es R. De acuerdo con la ecuación (18)

K = 12

m v2 = q2B2R2

2m= 30 MeV.

El efecto HallEn 1879, Edwin H. Hall dirigió un experimentoque permitió la medición directa del signo y el nú-mero de la densidad (número por unidad de volu-men) de carga de los portadores de carga en unconductor. El efecto Hall juega un papel crítico enel entendimiento de la conducción eléctrica en losmetales y los semiconductores.

Considere la figura 6. La dirección de la co-rriente es la opuesta a la del movimiento de loselectrones. B es perpendicular al plano de la pla-ca.

Los portadores de carga experimentan unafuerza deflectora F= qv×B y se mueven como seindica en la figura. Nótese que las carga positivasque se mueven en la dirección de i experimentanuna fuerza deflectora en la misma dirección.

La acumulación de cargas a lo largo del bor-de derecho de la placa (y la correspondiente de-ficiencia de cargas del signo contrario en el borde

8

w w

x xy y

B B

i i

i i

Vd Vd

Vd

E

E

FqE

Figura 6: El efecto Hall.

opuesto de la placa), que es el efecto Hall, pro-duce un campo eléctrico E a través de la placa y,así, una diferencia de potencial V = Ew, llamadadiferencia de potencial Hall entre ambos bordes.

Suponiendo que la conducción en el material sedebe a portadores de carga de un signo particularque se mueven con velocidad de desplazamientovd.

Al alcanzar el equilibrio se tiene el voltaje Hall

máximo ya que la fuerza magnética es qv×B)nestá balanceada por la fuerza eléctrica (qE). Entérminos vectoriales

qE+ qvd ×B= 0, (20)

oE=−vd ×B. (21)

Puesto que vd ⊥ B, la ecuación (21) se puede es-cribir como

E = vdB. (22)

Así,Vw

= vdB = jne

B = iwtne

B

o resolviendo para n

n = iBetV

. (23)

Ejercicio 3. Una placa de cobre de 150 µm deespesor se coloca dentro de un campo B=0.65 Tperpendicular al plano de la placa. Una corrien-te i=23 A pasa a través de la placa. ¿Cuál es ladiferencia de potencial V aparecerá a través dela anchura de la placa si hubiera un portador decarga por átomo?

9

Para el cobre ya se calculó antes que n=8.49×1028 electrones/m3 y, de la ecuación (23)

V = iBnet

V = (23 A)(0.65 T)(8.49×1028m−3)(1.60×10−19C)(150×10−6m)

V = 7.3×10−6V=7.3µV.

Esta diferencia de potencial, aunque pequeña, esmensurable.

El efecto Hall cuantizado (opcional)Si se escribe la ecuacion 23 como

Vi= 1

etnB. (24)

La cantidad de la izquierda tiene dimensiones deresistencia y, aunque no es la convencional, se lellama resistencia Hall, que se puede determinarsi se miden i y V .

De la ecuación 24 se espera que la resistenciacrezca linealmente con el campo magnéticoB pa-ra un material en particular (en el que n y t sonconstantes).

En 1980 Klaus von Klitzing descubrió que, encampos magnéticos altos y temperaturas del or-den de 1 K, la resistencia Hall no crece linealmen-te con el campo, en su lugar aparece una serie de‘escalone’. A este efecto se le conoce como efectoHall cuantizado.

La explicación involucra a las trayectoriascirculares en las que los electrones están for-zados a moverse debido al campo. La mecánicacuántica evita que las órbitas de los electrones setraslapen.

La fuerza magnética sobre unacorrienteYa que la corriente eléctrica consiste de cargas enmovimiento, naturalmente que un campo magné-tico ejercerá una fuerza lateral sobre estos y setraducirá en una fuerza lateal sobre el alambreconductor. La figura 7 muestra un alambre quepasa a través de una región con un campo B.

Cuando el alambre no porta corriente (figura7a), no experimenta deflexión alguna.

Cuando el alambre porta una corriente, se de-flecta (figura 7b) y cunado la corriente se inviertela deflexión también se invierte (figura 7c). La de-

10

flexión también se invierte cuando el campo B seinvierte.

B B B

i=0 i i

(a) (b) (c)

Figura 7: Alambres con corriente.

Para entender este efecto, considere las cargasindividuales que fluyen en un alambre (figura 8).Se supone que los electrones se mueven con velo-cidad constante, vd.

El alambre pasa a través de una región en laque existe un campo B uniforme. La fuerza late-ral sobre cada electrón (de carga q=−e) debida alcampo magnético es −evd ×B.

Considérese la fuerza lateral total sobre unsegmento de longitud L del alambre. La misma

Figura 8: Un fragmento de alambre con corriente.

fuerza actúa sobre cada electrón del segmento dealambre y la fuerza total F sobre el segmento esigual al número N de electrones veces la fuerzasobre cada electrón:

F=−Nevd ×B (25)

¿Cuántos electrones contiene el segmento dealambre? Si n es el número de la densidad deelectrones, entonce el número total N de electro-nes en el segmento es nAL, donde A es la seccióntransversal del alambre, así que

F=−nALevd ×B. (26)

11

Sea L un vector igual, en magnitud, a la lon-gitud del segmento y que apunta en la direcciónde la corriente. Los vectores vd y L tienen direc-ciones opuestas, y es posible escribir la relaciónescalar naLevd = iL como

−nAlevd = iL. (27)

Sustitutyendo la ecuación 27 en la 26, se obtieneuna expresión para la fuerza sobre el segmento:

F= iL×B. (28)

La ecuacion 28 se parece a la 7, en la que se puedeconsiderar como la definición de campo magnéti-co, ver la figura 9.

Si el segmento es perpendicular a la direccióndel campo, la magnitud de la fuerza se puede es-cribir como

F = iLB (29)

Si el alambre no es rectoo e lcampo no es uni-forme, es posible imaginar que se puede descom-poner al alambre en pequeños segmentos rectosde longitud ds, con lo que

dF= ids×b. (30)

Figura 9: Un fragmento de alambre, L, dirigido, haceun ánguloφ con el campo magnético.

En el que se puede encontrar la fuerza total sobreel segmento de longitud L mediante la integra-ción sobre toda la longitud.

Ejercicio 4. Un segmento de alambre de cobrehorizontal, recto, porta un acorriente i = 28 A.¿Cuál es la magnitud y la dirección del campomagnético necesario para hacer ‘flotar’ al alam-bre, est es, balancear su peso? La densidad linealde masa es 46.6 g/m.

La figura 10 muestra el arregle. Para una lon-

12

gitud L alambre se tiene

mg = iLB,

o

B = (m/L)gi

= (46.4×10−3kg/m)(9.8 m/s2)28 A

B = 1.6×10−2T= 16mT.

Esto equivale a unas 400 veces la intensidad del

Figura 10: Se muestra la sección transversal de unalambre que se puede hacer ‘flotar’ en un campo mag-nético.

campo magnético de la Tierra.Ejercicio 5. La figura 11 muestra un segmento

de alambre, puesto dentro de un campo magnéti-co uniforme B que apunta hacia afuera de la pági-na. Si el segmento de alambre porta una corriente

i, ¿cuál es la fuerza magnética, textbfF resultantesobre este? De acuerdo con la ecuación 29, la fuer-

Figura 11: Un segmento de alambre dentro de uncampo magnético uniforme.

za magnética que actúa sobre cada sección rectatiene una magnitud

F1 = F3 = iLB

y apunta hacia abajo, como lo muestran las fle-chas en la figura. La fuerza dF que actúa sobreun segmento de arco de longiut ds = R dθ tienemagnitud

dF = ib ds = iB(R dθ)

y dirección radialmente hacia O, el centro del ar-co. Sólo la componente dF sinθ de este elemento

13

de fuerza, es efectiva, en tanto que la componentedF cosθ se cancela por la simetría.

La fuerza total sobre el arco central apunta ha-cia abajo y está dada por

F2 =∫ π

0dFdF sinθ =

∫ π

0(iBR dθ)sinθ

F2 = iBR∫ π

0sinθ dθ = 2iBR.

La fuerza resultante sobre todo el alambre es, en-tonces,

F = F1+F2+F3 = iLB+2iBR+ iLB = iB(2L+2B).

Esa fuerza es la misma que la que actuaría sobreun alambre de longitud 2L+2R.

Ejercicio 6. Una espira rectangular de alambre(ver la figura 12), que consiste de nueve vueltasy tiene una anchura a =0.103 m y un alongitudb =0.685 m está unida al brazo de una balanza.Una porción de la espira pasa a través de unaregión en la que existe un campo magnético demagnitud B, perpendicular al plano de la espira.El aparato se ajusta ciuodadosamente hasta queel peso de la espira queda balanceado por u peso

igual en el brazo opuesto. Una corriente i =0.224A se ha establecido en el alambre y se encuentraque para restaurar el balance a su posición previade equilibrio se debe añadir una masa m =13.7 gal brazo de la derecha de la balanza. Encuentre lamagnitud y dirección del campo magnético.

Figura 12: Este aparato se puede usar para medir B.

14

Ya sea que el campo entre o salga de la página,las fuerzas sobre las porciones bajas de los ladoslargos de la espira se cancelan. Por lo que sólo seconsidera la fuerza F sobre la parte más baja dela espira, que tiene una magnitud iaB en cadauno de los nueve segmentos de toda la espira yque están dentro del campo. Ya que fue necesarioañadir peso al mismo brazo, la fuerza magnéti-ca en el segmento de abajo debe apuntar haciaarriba; la fuerza magnética F hacia larriba se ba-lancea añadiendo un peso mg en ese lado. Paraque la fuerza apunte hacia arriba, el campo mag-nético debe estar apuntando hacia la página. Lacondición de equilibrio es

mg = F = 9(iaB) o B = mg9ia

= 0.647 T.

Un dispositivo que opera con este principiogeneral se puede usar para efectuar medidasprecisas de campos magnéticos.

La torca sobre una espira con co-rrienteCuando una espira de alambre que porta una co-rriente se pone dentro de un campo magnético, la

espira experimenta una torca que tiene a rotar-la alrededro de un eje particular (que, en general,pasa a través del centro de masa).

Figura 13: Una espira rectangular porta una corrien-te i y está dentro de un campo magnético uniforme.

La figura 13, muestra una espira rectangularde alambre en un campo magnético uniforme B.Por simplicidad sólo se muestra la espira; se su-pone que los alambres extremos de la espira noexperimentan fuerza magnética alguna. Se supo-ne que la espira está suspendida de tal maneraque es libre de rotar alrededor de cualquier eje.

Se tiene que B = B j. El eje z está en el plano

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de la espira y está orientada de mod que los la-dos 1 y 3 son ⊥ B. n es ⊥ al plano de la espiray su dirección se determina usando la regla de lamano derecha, si los dedos de la mano apuntanen la dirección de la corriente, el pulgar indica ladirección de n, que forma un ángulo θ con B.

F = iL×B permite determinar la fuerza netasobre la espira. La magnitud de la fuerza F2 sobreel lado 2 (de longitud b) es

F2 = ibB sin(π/2−θ)= ibB cosθ. (31)

que apunta en la dirección +z. La fuerza F4 sobreel lado 4 tiene magnitud

F4 = ibB sin(π/2+θ)= ibB cosθ. (32)

que apunta en la dirección -z. Dado que estasfuerzas son iguales y opuestas, no contribuyen ala fuerza neta sobre la espira, además de que es-tán en la misma línea de acción.

F1 = F3 = iaB; tienen direcciones opuestas a lolargo del eje x, por lo que F1 +F2 +F3 +F4 = 0.

Pero las torcas producidas por F1 y F3 son di-ferentes de cero y como no tienen la misma línea

de acción, tienden a hacer rotar a la espira alre-dedor de un eje paralelo al eje z. La dirección dela rotación tiende a alinear a n con B.

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