MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE ContenidoEjercicios resueltos de Movimiento armónico.

Problema n° 1) La ecuación general del movimiento armónico simple es:

X = A.cos (ω.t + θ 0)

puede escribirse en la forma equivalente:

X = B.sin ω.t + C.cos ω .t

Determínense las expresiones de las amplitudes de B y C en función de la amplitud A y del ángulo de fase inicial θ 0.

Ver solución del problema n° 1Problema n° 2) Un cuerpo de 0,25 kg de masa está sometido a una fuerza elástica restauradora, con constante de recuperación k = 25 N/m.

a) Dibújense la gráfica de la energía potencial elástica U en función del desplazamiento x en un intervalo de x comprendido entre -0,3m y + 0,3 m. Tómense 1 cm = 1J en el eje vertical y 1 cm = 0,05m en el eje horizontal.

b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?.

c) ¿Cuál es la energía potencial cuando el valor de desplazamiento es la mitad que el de la amplitud?.

d) ¿Para que valor del desplazamiento son iguales la energía cinética y potencial?

e) ¿Cuál es la rapidez del cuerpo en el punto medio de su trayectoria?.

f) El período T1.

g) La frecuencia f1 y

h) La frecuencia angular ω.

i) ¿Cuál es el ángulo de fase inicial θ 0si la amplitud A = 15 cm, el desplazamiento inicial x0 = 7,5 cm y la velocidad inicial Vo es negativa?.

Ver solución del problema n° 2Problema n° 3) Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de 15 cm de amplitud y 4Hz de frecuencia, calcúlense:

a) Los valores máximos de la aceleración y de la velocidad.

b) La aceleración y la velocidad cuando el desplazamiento es 9 cm, y.

c) El tiempo necesario para desplazarse desde la posición de equilibrio a un punto situado a 12 cm de la misma.

Ver solución del problema n° 3Problema n° 4) Un cuerpo de 10gr. De masa se mueve con movimiento armónico simple de 24 cm. De amplitud y 4s. de período: El desplazamiento es + 24 cm. Para t = 0. Calcúlense:

a) La posición del cuerpo cuando t = 0,5 s.

b) La magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando t = 0,5s.

c) El tiempo mínimo necesario para que el cuerpo se mueva desde la posición inicial al punto en que x = -12 cm, y

d) La velocidad de dicho cuerpo cuando x = -12 cm.

Ver solución del problema n° 4Problema n° 5) El movimiento del pistón del motor de un automóvil es aproximadamente armónico simple.

a) Si la carrera de un pistón (dos veces la amplitud) es 10 cm y el motor gira a

b) Si el pistón tiene una masa de 0,5 kg, ¿qué fuerza resultante ha de ejercerse sobre él en ese punto?.

c) ¿Cuál es la velocidad del pistón, en kilómetros por hora, en el punto medio de su carrera?.

Ver solución del problema n° 5Problema n° 6) Un cuerpo de 2 kg. De masa está suspendido de un resorte de masa despreciable, y se produce un alargamiento de 20 cm.

a) ¿Cuál es la constante de recuperación del resorte?.

b) ¿Cuál es el período de oscilación del cuerpo si se tira hacia abajo y se abandona así mismo?.

c) ¿Cuál sería el período de un cuerpo de 4 kg de masa pendiente del mismo resorte?.

Ver solución del problema n° 6Problema n° 7) La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 180N tiene 9 cm de longitud. Se observa que un cuerpo suspendido de la balanza oscila verticalmente a 1,5 Hz. ¿Cuál es la masa del cuerpo?. Despréciese la masa del resorte.

Ver solución del problema n° 7

SOLUCIONES

Solución del ejercicio n° 1 de Movimiento armónico. Fuerza elástica:

Problema n° 1) La ecuación general del movimiento armónico simple es:

X = A.cos (ω.t + θ0)

puede escribirse en la forma equivalente:

X = B.sin ω.t + C.cos ω.t

Determínense las expresiones de las amplitudes de B y C en función de la amplitud A y del ángulo de fase inicial θ 0.

DesarrolloX = A.cos (ω.t + θ0)

X = B.sin ω.t + C.cos ω.t

X = A.(cos ω.t.cos θ0 - sin ω.t.sin θ0)

X = -A.sin ω.t.sin θ0 + A.cos ω.t.cos θ0

B = -A.sin θ0

C = A.cos θ0

Solución del ejercicio n° 2 de Movimiento armónico. Fuerza elástica:

Problema n° 2) Un cuerpo de 0,25 kg de masa está sometido a una fuerza elástica restauradora, con constante de recuperación k = 25 N/m.

a) Dibújense la gráfica de la energía potencial elástica U en función del desplazamiento x en un intervalo de x comprendido entre -0,3m y + 0,3 m. Tómense 1 cm = 1J en el eje vertical y 1 cm = 0,05m en el eje horizontal.

b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?.

c) ¿Cuál es la energía potencial cuando el valor de desplazamiento es la mitad que el de la amplitud?.

d) ¿Para que valor del desplazamiento son iguales la energía cinética y potencial?

e) ¿Cuál es la rapidez del cuerpo en el punto medio de su trayectoria?.

f) El período T1.

g) La frecuencia f1 y

h) La frecuencia angular ω.

i) ¿Cuál es el ángulo de fase inicial θ 0si la amplitud A = 15 cm, el desplazamiento inicial x0 = 7,5 cm y la velocidad inicial Vo es negativa?.

Desarrolloa) El cuerpo inicia su oscilación con energía potencial inicial de 0,6J y energía cinética inicial de 0,2 J. A partir de la gráfica, respóndanse las cuestiones siguientes:

U = k.x ²/2

x U

0±0,05± 0,10±0,15± 0,20

00,0310,1250,2810,500

± 0,25± 0,30

0,7811,125

b) A = ?

ET = ω ².A ²/2ω ² = k/m

ω ² = 25/0,25 = 100

A = √2.(0,8)/100 = 0,12 m

c) Ep = k.x ²/2

x = 0,6 m

Ep = 25.0,6/2 = 4 J

d) Ep = k.x ²/20,6 = 25.x ²/2x =± 0,219 m

e) Calcúlense:

Ec = m.v ²/2v = ±√2.0,2/0,25 = ±1,26 m/s

f) T = 1/f = 0

2.π.f = √k/m

ƒ = √k/m/2.π = √25/0,25/2.π

f = 1,59 Hz

T = 0,628 s

g) f = 1,59 Hz

h) ω = ?

k = m. ω ²

ω = √k/m = √25/0,25

ω = 10 rad/s

i) La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación:

X = A.cos.(ω.t + θ o)

entonces no da que:

X = A.cos. θ o

por lo que para este caso como son las condiciones iniciales (t = 0) se deduce que:

ω.t 0

nos da por consiguiente:

7,5 = 15.cos θ 0

θ0 = arc cos (7,5/15) = 1,047 rad

Autor: Jefferson Martínez Jara.

Solución del ejercicio n° 3 de Movimiento armónico. Fuerza elástica:

Problema n° 3) Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de 15 cm de amplitud y 4Hz de frecuencia, calcúlense:

a) Los valores máximos de la aceleración y de la velocidad.

b) La aceleración y la velocidad cuando el desplazamiento es 9 cm, y.

c) El tiempo necesario para desplazarse desde la posición de equilibrio a un punto situado a 12 cm de la misma.

Desarrolloa)

A = 15 cm

F = 4 Hz

a máximo = ?

V máximo = ?

a = -A. ω ².cos ω .t

a máximo = A. ω ²

a máximo = 15.25 ²

a máximo = 9375 cm/s ² = 93,75 m/s ²

ω = 2.π.f

ω = 2.π.4

ω = 25

V máximo = ω .A

25.0,15 = 3,76 m/s

b)

a = ? y la V = ? cuando x = 9 cm

a = - ω ².x

a = -25 ².9

a = -56,84 m/s ²

V = ± 3,02 m/s

c)

x = A.cos ω.t

12/15 = cos 25.t

cos 25.t =0,8

25.t = cos-1 0,8

25.t = 0,64

t = 0,025 s

Solución del ejercicio n° 4 de Movimiento armónico. Fuerza elástica:

Problema n° 4) Un cuerpo de 10gr. De masa se mueve con movimiento armónico simple de 24 cm. De amplitud y 4s. de período: El desplazamiento es + 24 cm. Para t = 0. Calcúlense:

a) La posición del cuerpo cuando t = 0,5 s.

b) La magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando t = 0,5s.

c) El tiempo mínimo necesario para que el cuerpo se mueva desde la posición inicial al punto en que x = -12 cm, y

d) La velocidad de dicho cuerpo cuando x = -12 cm.

Desarrolloa)

m = 10 g

A = 24 cm

T = 4 s

x = 24 cm para t = 0

t = 0,5 s

x = ?

x = A.cos 2.π.f.t

x = 24.cos (2.π.0,5/4)

x = 16,97 cm

b)

F = -k.x

F = -m. ω ².x

ω = 2.π.f

F = -10.(2.π./4) ².19,97

F = 418,71 g. cm-1

la dirección está hacia abajo, porque al no completarse todavía el período (X = 16,97), la fuerza lleva a la masa hacia abajo hasta su máxima amplitud.

c)

Δt = ?

x = A.cos ω .t

x/A = cos ω .t

arc cos (x/A) = ω .t

Δt = [arccos (-12/24)]/(2.π /4)

Δt = 1,33 s

d)

x = 12 cm

V = -A. ω .cos ω .t

V = -24.(2 π /4).cos (1,33.π /2)

V = -18,67 cm.s-1

Solución del ejercicio n° 5 de Movimiento armónico. Fuerza elástica:

Problema n° 5) El movimiento del pistón del motor de un automóvil es aproximadamente armónico simple.

a) Si la carrera de un pistón (dos veces la amplitud) es 10 cm y el motor gira a

b) Si el pistón tiene una masa de 0,5 kg, ¿qué fuerza resultante ha de ejercerse sobre él en ese punto?.

c) ¿Cuál es la velocidad del pistón, en kilómetros por hora, en el punto medio de su carrera?.

Desarrolloa)

3600 rev/mm., calcúlese la aceleración del pistón al final de la carrera.

2.A = 10 cm

A = 5 cm = 0,05 m

f = 3600 (rev/min).(1 min/60 s) = 60 Hz

a máximo = k.x/m

a máximo = (2.π.f) ².A

a máximo = (2.π.60) ².0,05

a máximo = 7106 m.s ²

b)

m = 0,5 kg

F = m.a

F = 0,5.7106

F = 3553 N

c)

V = ? en el punto medio, la velocidad es máxima.

V máximo = ω .A

ω = 2 π.f

V máximo = (2 π.f).A

V máximo = (2 π.60).0,05

V máximo = 18,85 m/s = 67,9 km/h

Solución del ejercicio n° 6 de Movimiento armónico. Fuerza elástica:

Problema n° 6) Un cuerpo de 2 kg. De masa está suspendido de un resorte de masa despreciable, y se produce un alargamiento de 20 cm.

a) ¿Cuál es la constante de recuperación del resorte?.

b) ¿Cuál es el período de oscilación del cuerpo si se tira hacia abajo y se abandona así mismo?.

c) ¿Cuál sería el período de un cuerpo de 4 kg de masa pendiente del mismo resorte?.

Desarrolloa)

F = -k.x

m.g/x = k

k = 2.9,8/0,2 = 98 N/m

b)

k = m. ω ²

ω = √k/m = 7 rad/s

ω = 2.π.f

f = ω /2.π = 1,11 Hz

T = 1/f = 0,89 s

c)

m = 4 kg

ω = 4,94 rad.s-1

T = 1,26 s

Solución del ejercicio n° 7 de Movimiento armónico. Fuerza elástica:

Problema n° 7) La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 180 N tiene 9 cm de longitud. Se observa que un cuerpo suspendido de la balanza oscila verticalmente a 1,5 Hz. ¿Cuál es la masa del cuerpo?. Despréciese la masa del resorte.

Desarrollo

F = 180 N

f = 1,5 Hz

F = -k.x

k = -F/x

Por lo que si sustituímos en la ecuación se tiene que:

k = |-2000 N/m|

k = m.ω ²

ω = 2.π.ƒ

ω = 2.π.1,5

ω = 9,42 rad/s

Sustituyendo:

m = k/ω ²

m = (2000 N/m)/(9,42 rad/s) ²

m = 22,53 kg