MOTO VARIO DELL’ELICA IN SCIA NON UNIFORME · III Validazione del metodo di contrazione della...

UNIVERSITA degli STUDI di NAPOLI FEDERICO II

UNIVERSITA degli STUDI di TRIESTE

DOTTORATO di RICERCA in INGEGNERIA NAVALE

MOTO VARIO DELL’ELICA

IN SCIA NON UNIFORME

Dottorando: Relatore:ing. Bonaventura de’Vidovich prof. Giorgio Trincas

Coordinatore:prof. Pasquale Cassella

XII CICLO1997-1999

PREFAZIONE

Nel pianificare, assieme al prof. Trincas, il ciclo triennale di cui

consta il Dottorato abbiamo deciso di intraprendere lo studio delle azioni idro-

dinamiche non stazionarie sull’elica navale e le conseguenti ripercussioni, in

termini di vibrazioni torsionali, sull’asse.

La trattazione sviluppata abbraccia i differenti aspetti dei fenomeni stu-

diati. La prima fase riguarda la determinazione del campo di velocita che in-

teressa l’elica; questa fase e particolarmente delicata perche fornisce i dati che

alimentano l’intero studio e si articola nella contrazione della scia nominale

e nel calcolo della scia effettiva. La seconda parte comprende il calcolo delle

azioni idrodinamiche sull’elica partendo dalla trattazione della lastra piana in-

vestita da una corrente perturbata ed applicandone i risultati al calcolo delle

4

forze e dei momenti operanti prima sulle singole pale e poi sull’intera elica. In

fine abbiamo sviluppato lo studio delle vibrazioni torsionali della linea d’assi

determinando le forzanti dai risultati della fase precedente per quanto riguarda

l’elica e dai dati forniti dal costruttore per quanto riguarda il motore.

Abbiamo optato per un taglio prettamente progettuale:sono state se-

guite quelle strade che permettono la realizzazione di procedure di calcolo che,

con gli odierni elaboratori, diano risultati in tempi operativamente accetta-

bili per un progettista cioe dell’ordine di grandezza dei minuti. Anche gli au-

tomatismi previsti sono stati pensati in modo da rendere agevole l’uso del si-

stema all’interno del ciclo progettuale limitando le scelte del progettista a pochi

parametri le cui ripercussioni sui risultati sono chiare.

Trieste, lı 3 novembre 1999

Bonaventura de’Vidovich

5

Tre volte il fe girar con tutte l’acque;

a la quarta levar la poppa in suso

e la prora ire in giu, com’altrui piacque,

infin che’l mar fu sovra noi richiuso.

INFERNO.26.139÷142

INDICE

I Aspetti teorici della contrazione della scia

§1 Correlazione modello–nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§2 Coefficiente di contrazione di scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§3 Rappresentazione della scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§4 Contrazione della scia assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§5 Contrazione della scia trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

§6 Considerazioni sul metodo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Algoritmi per contrarre la scia

§7 Schema di interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§8 Funzioni interpolanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

§9 Interpolazione radiale e condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

§10 Interpolazione circonferenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

§11 Interpolazione bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

§12 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

§13 Scheletro della scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

§14 Contrazione della scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

§15 Effetto pinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§16 Calcolo del fattore di scia wT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§17 Disegno delle isoscie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8 INDICE

III Validazione del metodo di contrazione della scia

§18 Applicazione del metodo al geosim di carene Victory . . . . . . . . . . . . . . 55

§19 Analisi dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

§20 Contrazione della scia assiale e trasversale di una RoRo . . . . . . . . . . 70

IV Calcolo della scia effettiva

§21 Teoria impulsiva semplice applicata all’elica isolata . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§22 Teoria impulsiva dell’elica dietro carena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

§23 Determinazione della scia effettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

V Moto vario dei profili alari in corrente perturbata

§24 Impostazione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§25 Calcolo della vorticita indotta dalla perturbazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

§26 Calcolo della vorticita indotta dai vortici liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

§27 Soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

§28 Calcolo delle azioni idrodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

§29 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

VI Determinazione di forze e momenti agenti sull’elica

§30 Impostazione del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

§31 Forze agenti sugli elementi di pala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

§32 Forze e momenti agenti sulle pale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

§33 Forze e momenti agenti sull’elica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

INDICE 9

VII Vibrazioni torsionali della linea d’assi

§34 Schematizzazione della linea d’assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

§35 Soluzione del sistema differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

§36 Calcolo delle pulsazioni proprie di risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Incluse nel testo:53 tavole2 tabelle

200 formule

PARTE I

ASPETTI TEORICI

DELLA CONTRAZIONE DI SCIA

§ 1. Correlazione modello–nave

Al fine di progettare un’elica navale, che e immersa nello strato limite della

nave, e opportuno conoscere, punto per punto, le tre componenti della velocita

dell’acqua. Tali velocita possono essere misurate su modelli in scala che, tuttavia,

sono legati alla nave da una similitudine solamente parziale.

Per chiarire le procedure che utilizzeremo e bene richiamare l’applicazione

navale della teoria dell’analisi dimensionale senza dilungarci in dettagli reperibili

facilmente nella letteratura scientifica [15].

12 PARTE I

I numeri adimensionali che caratterizzano il moto di una nave1, o di un

modello, sono due: il numero di Froude ed il numero di Reynolds

(1) Fr =v√g l

Re =v l

ν.

Il primo e indicativo della formazione ondosa mentre il secondo dei fenomeni di

origine viscosa.

Esiste una terza categoria di fenomeni: quelli riconducibili al fluido ideale

con superficie libera forzatamente piatta. Rientrano in questa categoria, ad esempio,

i vortici del ginocchio oppure lo spostamento dell’acqua provocato dal passaggio della

nave. Comunque, in questi casi, la trattazione e particolarmente semplice perche

non esiste alcun numero adimensionale; in altri termini la similitudine e sempre

rispettata. Se cio puo sembrare strano si pensi soltanto che il fluido ideale e stato

privato di tutte le peculiarita che differenziano i fluidi reali; in fatti e soggetto ad

equazioni del tipo

div(~v) = 0 rot(~v) = ~0

ed a condizioni al contorno quali

~v · n = 0

nelle quali compare esclusivamente la velocita. Se, in fine, rimanesse qualche dubbio

sul fatto che la similitudine e sempre rispettata si pensi ai profili alari: qualora si

consideri il fluido ideale (trascurando la viscosita, la cavitazione , ecc.) e fissata la

similitudine geometrica (compreso l’angolo di attacco) il coefficiente di portanza e

una costante cioe non dipende da alcun numero adimensionale.

In tutti i ragionamenti fin qui esposti e stata implicitamente assunta l’ipotesi

di Froude secondo la quale e possibile considerare separatamente i diversi fenomeni

1. Trascuriamo i fenomeni dovuti alla tensione superficiale, alla cavitazione, alla comprimibilita dell’acqua, ecc...

ASPETTI TEORICI DELLA CONTRAZIONE DI SCIA 13

e sovrapporne gli effetti. Tale assunzione non e vera in senso assoluto ma si avvicina

alla realta in alcuni casi tra i quali figurano le prove in vasca su modelli di navi2 .

Nella progettazione navale la metodologia di prove su modello in simili-

tudine parziale e universalmente adottata per la determinazione della resistenza

all’avanzamento; la resistenza totale (RT ) e ripartita nella componente viscosa (RV )

ed in quella dovuta alla generazione ondosa (RR) che, per tradizione, si chiama re-

sistenza residua.

Vengono introdotti i coefficienti di resistenza3 in luogo della resistenza, onde

poter comparare navi con modelli in scala, secondo la definizione

(2) C =R

12ρ SB v2

.

L’ipotesi di lavoro e che il coefficiente di resistenza viscosa sia funzione del solo

numero di Reynolds e che il coefficiente di resistenza residua sia funzione del solo

numero di Froude ovvero, in formule,

(3) CT (Fr,Re) = CV (Re) + CR(Fr) .

In oltre si assume che il coefficiente di resistenza viscosa sia calcolabile analiti-

camente dal coefficiente di frizione4 (CF ), dal fattore di forma (k) e dal fattore

addizionale per rugosita di carena (∆CV ). Il coefficiente di frizione e espresso dalla

formula di Hughes5

(4) CF =0,066

[log10(Re) − 2,03]2.

2. A patto che le dimensioni del modello non siano troppo piccole

3. Numeri adimensionali di Newton

4. Coefficiente di resistenza viscosa di una lastra piana

5. La curva che rappresenta il coefficiente di frizione e detta anche linea d’attrito

14 PARTE I

Il fattore di forma (che si ipotizza essere una costante) puo essere calcolato con

tecniche sperimentali, attingendo a statistiche o, ultima spes, assegnandogli il valore

0,12 che va abbastanza bene quasi sempre. L’addizionale per rugosita di carena

vale zero per i modelli e le carene pulite mentre viene solitamente assunto il valore

0,0004 per le carene sporche. In definitiva possiamo scrivere

(5) CV (Re) = (1 + k) CF (Re) + ∆CV .

A questo punto non manca nulla per attuare la correlazione6 tra la nave ed il modello

in similitudine parziale cioe a parita del solo numero di Froude:

CTN = CT (FrN , ReN)︷︸︸︷= CR(FrN) + CV (ReN)

(6) = CR(FrM) + CV (ReN)︷︸︸︷= CT (FrM , ReM) - CV (ReM) + CV (ReN)= CTM - CVM + CV N .

La procedura ora descritta e affidabile, collaudata e fornisce risultati pros-

simi alla realta. Sorge, dunque, la speranza di riuscire a fare qualche cosa di simile

anche per determinare la scia della nave una volta che sia nota quella del modello

che ha un legame di similitudine soltanto parziale con la nave. La risposta e si piu

per necessita che per convinzione. In fatti questa e l’unica via percorribile nella

pratica.

Non e pensabile costruire una nave, vararla, trainarla e rilevarvi la scia

al vero per poi progettare l’elica; non solo perche l’elica deve essere progettata e

costruita ben prima di varare la nave ma anche per i costi i quali sono tanto elevati

che pochissime volte sono stati realizzati rilievi di scia al vero.

6. Indichiamo con il pedice N cio che riguarda la nave e con M quanto e relativo al modello


Non e nemmeno percorribile la via numerica poiche gli attuali codici di

calcolo, anche in considerazione delle caratteristiche degli elaboratori, non danno

risposte con un grado d’accuratezza ed affidabilita sufficiente ne in tempi ragionevoli;

se per la soluzione numerica del problema a potenziale si iniziano ad intravedere i

primi risultati confortanti (anche se lungi dall’essere consolidati ed affidabili), il vero

ostacolo e la soluzione del problema viscoso7 anche perche nelle zone poppiere di una

nave il numero di Reynolds e molto elevato (ordine di grandezza 109) e la chiusura

delle forme dello scafo provoca lo stallo, il ricircolo o, comunque, il notevole aumento

dello spessore dello strato limite.

Pertanto, non potendo sospendere la progettazione dell’eliche in attesa che

migliorino le capacita di calcolo degli elaboratori o l’efficienza degli algoritmi, e

necessario sviluppare ed utilizzare una sorta di correlazione per determinare la scia

nave dalla scia del modello. Cio facendo bisogna essere consci di fare una scelta

drastica che ci porta a snaturare il fenomeno fisico reale; pertanto e inutile sviluppare

teorie molto fini quando le basi su cui poggiano sono cosı labili8 .

§ 2. Coefficiente di contrazione di scia

Il numero di Reynolds di una nave e notevolmente superiore a quello dal

modello a parita di numero di Froude pertanto lo spessore dello strato limite della

nave e minore, in valore relativo, rispetto allo spessore dello strato limite del modello.

Per questo motivo la correlazione tra scia modello e scia nave viene comunemente

7. Recentemente e stata discussa una tesi di laurea presso l’Universita degli studı di Trieste nell’ambito della

quale, per risolvere nel dominio del tempo un semplice problema assialsimmetrico di moto turbolento, e stato

impiegato il CRAY di Bologna con un algoritmo di calcolo parallelo che impegna 128 processori per diverse

ore (Lorenzo Sabbatini)

8. Si commetterebbe un errore la cui anedottica e molto ampia: quello degli ingegneri che giurano sull’esattezza

dell’ennesima cifra significativa di un risultato ottenuto con formule grossolanamente approssimate

16 PARTE I

chiamata contrazione di scia. Chiameremo coefficiente di contrazione di scia (c)

il rapporto tra lo spessore dello strato limite del modello e quello della nave in

corrispondenza del disco dell’elica (c > 1). Tale definizione, ad essere rigorosi, non

ha alcun significato perche lo spessore dello strato limite varia da punto a punto

senza considerare che anche la definizione stessa di spessore dello strato limite puo

dar origine a controversie.

Procedendo con buon senso e tenendo a freno lo spirito critico che potrebbe

cassare ogni ipotesi, osserviamo le formule di Prandtl per il coefficiente di frizione

(CF ) e lo spessore relativo(δl

)dello strato limite turbolento di una lastra piana al

termine della stessa

(7) CF =0,0745√Re

δ

l=

0,3775√Re

e notiamo che il rapporto tra il coefficiente di frizione e lo spessore relativo e una

costante.

Da questa osservazione traiamo spunto per assumere (secondo la teoria

classica) che il coefficiente di contrazione sia pari al rapporto tra i coefficienti di

resistenza viscosa del modello e della nave

(8) c =CVMCV N

.

Come si vede dalla (5) nel coefficiente di resistenza viscosa sono inclusi

anche il fattore di forma (k) e l’addizionale per rugosita di carena (∆CV ); non

esiste una giustificazione rigorosa che autorizzi tali inclusioni ma solo considerazioni

qualitative: sia k che ∆CV accrescono il valore di CV quindi, affinche la nostra

ipotesi sia verificata, i fenomeni fisici che giustificano l’introdizione di tali parametri

dovrebbero aumentare lo spessore dello strato limite.


TAVOLA I – Calcolo del coefficiente di contrazione di scia (∆CV=0)

18 PARTE I

Cio si verifica in entrambi i casi. In fatti sia la pienezza delle forma di una

nave rispetto alla lastra piana che la rugosita di carena aumentano, a parita del

numero di Reynolds, lo spessore relativo dello strato limite.

E lecito avanzare l’ipotesi che si possano mettere a punto dei metodi migliori

e piu accurati per il calcolo del coefficiente di contrazione.

Scartiamo a priori la possibilita di calcolare numericamente lo strato limite

della nave risolvendo le equazioni di Navier-Stokes nel dominio del tempo o con un

qualche modello di turbolenza perche, come abbiamo gia detto, gli algoritmi sono

lenti ed inaffidabili e, sopra tutto, perche se fossimo capaci di calcolare direttamente

lo strato limite non dovremmo ingegnarci per contrarre la scia.

Si potrebbe tentare di determinare lo spessore significativo9 dello strato

limite applicando un metodo che sfrutti le equazioni integrali di von Karman. Anche

l’applicazione di tale strada nella sua forma piu integrale richiederebbe l’impiego di

risorse notevoli; si dovrebbe modellare la carena tridimensionalmente, ed avviare un

ciclo iterativo che calcoli alternativamente il moto a potenziale e lo strato limite. Pur

trascurando i problemi indotti dalla superficie libera10, probabilmente servirebbero

due modelli, uno per ogni problema, e si dovrebbero gestire situazioni delicate quali

il distacco dei vortici, il ricircolo tridimensionale, e possibili instabilita numeriche.

In definitiva servirebbe l’opera di un esperto per diverse giornate di lavoro senza

calcolare l’impiego dei calcolatori. Il che supera di gran lunga i limiti che ci siamo

posti.

Un’ulteriore semplificazione potrebbe consentirci di sviluppare un calcolo

veloce e facilmente automatizzabile: calcolando lo strato limite di un solido di ro-

9. Ad esempio lo spessore equivalente a parita di quantita di moto

10. Impostiamo il problema detto del doppio modello


tazione avente la stessa curva di pienezza del doppio modello. La semplificazione

di calcolo e notevole poiche il problema a potenziale assialsimmetrico si riduce, in

pratica, ad un problema piano11 ed anche il calcolo dello strato limite segue la stessa

sorte; di conseguenza sono aggirati i problemi di modellazione tridimensionale. Cio

non ostante bisognerebbe mettere a punto un modello che permetta di determinare:

a. lo strato limite laminare di un solido assialsimmetrico con gradiente di pres-

sione negativo;

b. la transizione di regime (da laminare a turbolento);

c. lo strato limite turbolento di un solido assialsimmetrico con gradiente di pres-

sione negativo;

d. lo strato limite turbolento di un solido assialsimmetrico con gradiente di pres-

sione positivo;

e. lo stallo;

f. il ricircolo nello strato limite turbolento di un solido assialsimmetrico.

Tutto cio puo essere ottenuto utilizzando per le varie zone differenti modelli.

In tal modo si potrebbe mettere a punto un semplice algoritmo per de-

terminare in maniera praticamente automatica il coefficiente di contrazione di scia

con un grado di approssimazione maggiore del semplice rapporto tra i coefficienti

di resistenza viscosa e con un costo aggiuntivo minimo: l’immissione della curva di

pienezza.

§ 3. Rappresentazione della scia

La scia viene generalmente rappresentata in forma adimensionale: le lun-

ghezze sono normalizzare rispetto al raggio dell’elica (R) mentre le velocita rispetto

11. Mutatis mutandis [15]

20 PARTE I

alla velocita di avanzo (vo)12

La velocita e scomposta nelle tre componenti: assiale (va), circonferenzaile

(vc) e radiale (vr) i cui versi positivi sono, rispettivamente, poppavia, orario ed

esterno.

TAVOLA II – Riferimenti e convenzioni

Generalmente non viene rappresentata la componente assiale va ma il suo

complemento, detto frazione di scia, secondo la definizione

(9) w =vo − vavo

mentre le altre due componenti, la cui composizione da origine ad un vettore detto

scia trasversale, sono semplicemente normalizzate13:

(10) v′c =vcvo

v′r =vrvo

.

Come riferimento spaziale assumiamo un sistema di coordinate polari su un piano

trasversale in corrispondenza al disco dell’elica con origine coincidente con l’asse

12. Detti raggio e velocita sono riferiti alla nave od al modello a seconda dei casi.

13. In seguito non riporteremo gli apici anche se ci riferiremo ai valori adimensionalizzati.


della elica stessa ed il tutto visto da poppa. La coordinata angolare e nulla sulla

semiretta verticale superiore ed ha verso positivo orario: in questo modo, quando la

scia e simmetrica, la serie di Fourier comprende soltanto i termini cosinusoidali per

le grandezze simmetriche o sinusoidali per quelle antisimmetriche.

TAVOLA III – Scia assiale e trasversale del modello di una nave RoRo monoelica

La frazione di scia (w) si rappresenta con line di livello dette isoscie mentre

la scia trasversale semplicemente con vettori posizionati nel dominio.

§ 4. Contrazione della scia assiale

Le diverse metodologie per contrarre la scia si riducono alla ricerca di una

corrispondenza tra punti del disco elica della nave e quelli sul disco elica del modello:

i punti corrispondenti hanno lo stesso valore della frazione di scia (w). L’osservazione

che ispira tutte le metodologie e che le line di isoscia si muovano perpendicolarmente

a se stesse.

Quando il calcolo automatico non esisteva, le operazioni di contrazione veni-

vano fatte a mano e le condizioni secondo le quali le isoscie venivano traslate erano

22 PARTE I

imposte dall’occhio del progettista in maniera analogica ed intuitiva.

Alla fine degli anni settanta sono state sviluppate procedure [13] che sfrut-

tavano le possibilita dei calcolatori dell’epoca. In considerazionie della potenza

di calcolo relativamente modesta non fu possibile realizzare algoritmi che eseguis-

sero analiticamente le operazioni che, fino ad allora, si facevano ad occhio. Cosı

sono state sviluppate teorie articolate che hanno ragion d’essere solo in relazione

all’impossibilita (allora) di fare altrimenti.

Il metodo che abbiamo messo a punto riprende i semplici concetti originali

che, grazie ai moderni elaboratori domestici, possono essere risolti in un paio di

minuti. Innanzi tutto e stato messo a punto un algoritmo di interpolazione che

permette di determinare una funzione analitica (continua e derivabile a sufficienza)

che rappresenti la frazione di scia (w). Tale funzione vale uno sul mozzo e sulla

volta di poppa mentre vale zero lontano dalla carena.

TAVOLA IV – Isoscie, normalscie e contrazione

A questo punto e possibile determinare una famiglia di line la cui caratteri-

stica e quella di essere perpendicolari alle isoscie ovvero tangenti, punto per punto, al

gradiente di w. Queste curve, che per semplicita in futuro chiameremo normalscie,


ci servono a contrarre la scia: se consideriamo un punto qualunque nel disco elica del

modello e vogliamo trovare il suo corrispondente nel disco elica della nave dobbiamo

muoverlo, come si e detto, perpendicolarmente alle linee di isocia cioe lungo la

normalscia passante per esso.

Va osservato che spesso la scia delle navi presenta delle irregolarita, massimi

locali (picchi di scia) che distorcerebbero le normalscie immotivatamente. Per questo

motivo non calcoliamo le normalscie dalla funzione che rappresenta la scia (w) ma da

un’altra da essa derivata lisciandola ossia eliminandovi le irregolarita. Tale funzione

sara percio chiamata scheletro della scia o, piu semplicemente, scheletro.

TAVOLA V – Normalscie calcolate dalla scia e dallo scheletro

In conclusione bisogna determinare l’entita della contrazione. Preso in con-

siderazione un punto (AM) nel disco elica del modello tracciamo la normalscia che

passa per esso e prolunghiamo tale linea fino ad incontrare la parete solida (mozzo

dell’elica, volta di poppa, ecc.) in un punto (B).

In questo modo determiniamo la distanza curvilinea (LM) tra AM e B lungo

la normalscia. Possiamo quindi facilmente calcolare l’ascissa curvilinea (LN) del

24 PARTE I

punto corrispondente ad AM sul disco elica della nave (AN) utilizzando il coefficiente

di contrazione di scia

(11) LN =LMc

.

TAVOLA VI – Contrazione

TAVOLA VII – Effetto pinna

La scia di molte navi presenta, in prossimita dell’asse di simmetria, una

configurazione delle isoscie subverticale dovuta alla forma di carena. Lo strato

limite, in quella zona, assomiglia a quello di una lastra piana. Lı le normalscie sono


praticamente orizzontali fino a raggiungere la mezzeria poi divengono verticali fino

al mozzo od alla volta di poppa. Al fine di contrarre la scia non avrebbe senso

considerare l’intera lunghezza della normalscia fino alla parete perche, in questo

modo, si stravolgerebbe la struttura della scia ma conviene arrestarsi nel punto in

cui la normalscia tocca la mezzeria. Chiameremo tale accorgimento effetto pinna

perche e dovuto all’influenza sulla scia della pinna poppiera.

§ 5. Contrazione della scia trasversale

La contrazione delle componenti trasversali della scia ha una storia piu

recente vista la minor entita (almeno nelle belle carene di una volta) e la conseguente

minor influenza nonche la difficolta di effettuare tali misure.

Interpolati i valori della scia trasversale secondo lo stesso schema utilizzato

per quella assiale, seguiamo la prassi consolidata secondo la quale per contrarre

la scia trasversale utilizziamo la medesima corrispondenza tra punti nel disco elica

del modello e punti nel disco elica della nave istituita per realizzare la contrazione

assiale.

La definizione cosı data non e univoca perche non viene detto come trattare

le due componenti. Abbiamo individuato tre possibili modi di contrarre la scia

trasversale:

xy mantenendo costanti le componenti lungo gli assi cartesiani ossia man-

tenedo il vettore contratto parallelo a quello originale;

26 PARTE I

ρϑ mantenendo costante le componenti radiale e circonferenziale cioe ruotando

il vettore contratto della differenza angolare tra la posizione originale e

quella contratta;

nt mantenendo costanti le componenti lungo un riferimento locale (variabile di

punto in punto) formato dai versori ortogonali n e t (n e il versore tangente

alla normalscia mentre t e tangente allo scheletro in modo che n × t = 1.

TAVOLA VIII – Riferimento locale n,t

Dalle prove fatte risulta che le contrazioni trasversali migliori sono quelle

realizzate secondo la seconda e la terza ipotesi. Tuttavia riteniamo che, di volta in

volta, debba essere la sensibilta del progettista a guidare la scelta tra le tre vie onde

individuarne la piu opportuna in ogni caso specifico.

Una particolare attenzione e dovuta, in fine, alla trattazione dei vortici.

Sappiamo che nella scia di molte navi sono presenti vortici (spesso sorti in cor-

rispondenza del ginocchio) che, come detto nel §1, non hanno origine da fenomeni

viscosi ma sono riconducibili al moto di un fluido ideale. In conseguenza i fenomeni

di tipo vorticale sono in similitudine tra nave e modello e, pertanto, non vanno


contratti. In fatti l’esperienza insegna che, qualora si evidenzino vortici nel mo-

dello, se ne trovano di analoghi nella nave e nella stessa posizione.

Per evitare di contrarre gli effetti dei vortici abbiamo messo a punto una

procedura concettualmente semplice: scomporre la scia trasversale nella componente

vorticale ed in quella viscosa e contrarre soltanto quest’ultima. Possiamo calcolare

la vorticita dall’usuale relazione

(12) γ = rot(~VT )

avendo a disposizione la funzione interpolata (continua e derivabile). In questo modo

e possibile determinare il valore della componente vorticale della scia trasversale nel

generico punto rappresentato dal vettore ~a

(13) ~VV (~a) =1

2π

2π∫0

ρF∫ρM

γ(ρ, ϑ)k × ~r

~r · ~rdρ dϑ

ove ~r = (ρcosϑ, ρsenϑ)−~a mentre ρF , che abbiamo messo al posto di infinito,

e il raggio al quale la perturbazione del moto indisturbato diviene evanescente.

Ora possiamo calcolare la componente viscosa della scia trasversale del mo-

dello semplicemente per differenza e contrarla secondo le procedure illustrate ot-

tenendo la componente viscosa della scia trasversale della nave. A questo punto,

sommando la componente vorticale inalterata, determiniamo la scia trasversale (to-

tale) della nave.

§ 6. Considerazioni sul metodo proposto

Come annunciato il metodo presentato si basa su ipotesi molto semplici

dedotte dall’osservazione dei fenomeni fisici14 evitando volutamente fini elaborazioni

14. Anche se l’applicazione richiede un notevole impegno computazionale.

28 PARTE I

(evoluzione dei vortici, diffusione dei picchi di scia, ecc.) perche non abbiamo dati

sufficientemente precisi per alimentare tali sofisticati strumenti di analisi.

Riteniamo che le procedure proposte forniscano buoni risultati sia dal punto

di vista della precisione che dell’affidabilita e permettono un controllo diretto del

progettista sull’evoluzione del calcolo.

In fine crediamo di aver sviluppato un sistema equilibrato che utilizza in

modo omogeneo le risorse e che i dati, nei varı passaggi, abbiano un grado di accu-

ratezza equivalente.

PARTE II

ALGORITMI PER CONTRARRE LA SCIA

§ 7. Schema di interpolazione

Parte essenziale per realizzare la contrazione di scia, come esposta nella

parte i, e il calcolo di una funzione che rappresenti la scia avente sufficienti carat-

teristiche di continuita e derivabilita.

Abbiamo messo a punto un algoritmo che permette di interpolare la scia

tenendo conto del fatto che i dati a disposizione sono il risultato di misure speri-

mentali. Pertanto non avrebbe senso forzare le curve a passare esattamente per i

punti proprio perche essi sono affetti da errori di misura. Per questo abbiamo scelto

di utilizzare delle funzioni che rappresentano la soluzione della linea elastica di travi

30 PARTE II

inflesse con vincoli elastici (vedi §8). Attraverso l’impostazione della cedevolezza

dei vincoli elastici si puo individuare la curva capace di rappresentare al meglio il

fenomeno in esame.

I dati rilevati dalle prove in vasca sono generalmente organizzati secondo

coordinate polari; vengono scelti un certo numero di raggi e su questi viene misurata

la scia ad angoli predefiniti (uguali per tutti i raggi). Possiamo pensare, per tanto,

il nostro dominio suddiviso da una griglia formata da circonferenze concentriche e

segmenti radiali. Il raggio delle circonferenze e, rispettivamente, l’angolo dei seg-

menti corrispondono a quelli dei punti di misura; in questo modo i nodi della griglia

sono i punti di misura.

Talvolta accade, sopra tutto se si utilizzano pitometri1, che non sia possibile

misurare la scia in tutti i nodi della griglia o che, una volta finite le prove, ci si

accorga che alcune misurazioni sono del tutto inaffidabili e, di conseguenza, vadano

scartate; in definitiva puo succedere che, in alcuni nodi, non sia disponibile il valore

della velocita. Per questo motivo l’algoritmo messo a punto e capace di funzionare

in maniera automatica anche nel caso in cui alcuni dati siano assenti (vedi §9).

§ 8. Funzioni interpolanti

Come accennato utilizziamo funzioni che sono la soluzione2 della linea ela-

stica di travi inflesse collegate elasticamente a vincoli cedevoli.

Ipotizziamo di dover interpolare una curva della quale conosciamo gli n+ 1

valori (η0, η1, ... ... , ηn) in corrispondenza delle ascisse (x0, x1, ... ... , xn). Consi-

1. Oppure altri strumenti di misura che prevedono il posizionamento di un oggetto fisico nel punto in cui si vuole

misurare la scia

2. Secondo la teoria classica della Scienza delle costruzioni

ALGORITMI PER CONTRARRE LA SCIA 31

deriamo, pertanto, una trave di sezione e materiale costante3 , lunghezza l = xn−x0

con degli appoggi in corrispondenza dei punti xi. Gli appoggi non sono collegati

direttamente alla trave ma attraverso un elemento elastico ideale la cui lunghezza a

riposo e nulla ed avente cedevolezza ρi.

TAVOLA IX – Sistema principale

Utilizziamo la cedevolezza in luogo della rigidezza perche, qualora volessimo che la

funzione passasse esattamente per un dato punto, assegneremmo il valore zero alla

cedevolezza ad esso relativa; come vedremo cio non comporta alcun problema.

Per risolvere il problema (n− 1 volte iperstatico) individuiamo un sistema

principale suddividendo la trave in n tratti interrompendola ad ogni appoggio con

una cerniera; ogni tratto ha una lunghezza hi = xi − x1−i. In ogni nodo eviden-

ziamo le variabili iperstatiche Mi che rappresentano il momento flettente nei nodi

ed introduciamo le variabili T+i e T−i che indicano il taglio in corrispondenza del

nodo sulla trave di destra e, rispettivamente, di sinistra; la forza totale che le due

travi esercitano sul nodo (Ti) e la somma vettoriale di queste pertanto, utilizzando

3. Modulo di Yang (E) e momento d’inerzia (I) costanti

32 PARTE II

le usuali convenzioni della Scianza delle costruzioni, risulta Ti = T−i − T+i . Questa

e la forza esercitata dal nodo sul vincolo elastico ed e, pertanto, uguale e contraria

alla reazione vincolare (Ri).

TAVOLA X – Equilibrio dei nodi e delle travi

Scrivendo l’equazioni di equilibrio della trave possiamo esprimere Ti in fun-

zioni delle variabili iperstatiche Mi

(14) T−i = T+i−1 =

Mi − Mi−1

hi

(15) Ti = T−i − T+i =

Mi − Mi−1

hi+

Mi − Mi+1

hi+1

.

Da queste possiamo calcolare lo spostamento δi dei nodi grazie alla relazione

(16) δi = ρi Ti =

− ρiMi − Mi+1

hii = 0

− ρi(Mi − Mi−1

hi+

Mi − Mi+1

hi+1

)i ∈ [1, n− 1]

− ρiMi − Mi−1

hii = n

nella quale abbiamo tenuto conto delle peculiarita dei nodi estremi.

A questo punto possiamo determinare le tangenti alle travi in corrispon-

denza dei nodi utilizzando gli stessi apici usati per il taglio; sommiamo l’inclinazione


media delle travi alla rotazione dovuta alle variabili iperstatiche calcolata dalla nota

formula [6] relativa alle travi con due appoggi agli estremi

(17)

γ+i =

(ηi + δi)− (ηi−1 + δi−1)hi

− hiMi−1 + 2Mi

6EI

γ−i =(ηi+1 + δi+1)− (ηi + δi)

hi+1

+ hi+1

Mi+1 + 2Mi

6EI

i ∈ [i, n− 1].

In conclusione scriviamo le n− 1 equazioni di congruenza

(18) γ+i = γ−i

sostituendo nelle quali le espressioni delle rotazioni ed, in queste, quelle degli sposta-

menti otteniamo un sistema di n − 1 equazioni lineari del tipo pentadiagonale a

banda.

Introduciamo arbitrariamente M0 ed Mn che, per quanto detto fin’ora,

dovrebbero essere nulli; vedremo in seguito l’utilita di queste grandezze.

Per evitare di scrivere formule lunghissime e difficilmente interpretabili in-

troduciamo i simboli Ai ; si noti che essi contengono le variabili iperstatiche per

tanto, al momento di scrivere le equazioni del sistema, devono essere esplicitati.

La generica equazione del sistema ottenuta operando le dette sostituzioni

nella (18) e

(19)

Mi−1hi + 2Mi(hi + hi+1) + Mi+1hi+1 + 6EI(δi−1 − δi

hi+

δi+1 − δihi+1

)︸︷︷︸

Ai

=

= 6EI(ηi − ηi−1

hi+

ηi − ηi+1

hi+1

)ove l’indice i puo assumere valori da 1 ad n− 1.

Riportiamo, quindi, i valori di Ai nei differenti casi. Nelle seguenti formule

introduciamo un’unica grandezza4 che ingloba la cedevolezza e le caratteristiche

4. Non e una vera e propria adimensionalizzazione perche [r] = [L3].

34 PARTE II

elastiche nonche geometriche della trave secondo la definizione

(20) ri = 6EIρi .

Se n = 1 il sistema reale e isostatico per cui non occorre risolvere alcun sistema; in

fatti non ci sono variabili iperstatiche. Se n = 2 il sistema e composto da un’unica

equazione (i = 1) per la quale vale

(21)A1 = M0

(r0 + r1

h21

+r1

h1h2

)− M1

(r0 + r1

h21

+2r1

h1h2

+r1 + r2

h22

)+

+M2

(r1

h1h2

+r1 + r2

h22

).

Se, in vece, n > 2 il numero di equazioni e maggiore od eguale a due. In

questi casi l’espressione di Ai assume tre forme differenti per la prima equazione

(i = 1), l’ultima (i = n− 1) e tutte le altre (2 ≤ i ≤ n− 2).

(22)A1 = M0

(r0 + r1

h21

+r1

h1h2

)− M1

(r0 + r1

h21

+2r1

h1h2

+r1 + r2

h22

)+

+M2

(r1

h1h2

+r2

h2h3

+r1 + r2

h22

)− M3

r2

h2h3

(23)

Ai = −Mi−2

ri−1

hi−1hi+ Mi−1

(ri−1

hi−1hi+ri−1 + ri

h2i

+ri

hihi+1

)+

−Mi

(ri + ri−1

h2i

+2ri

hihi+1

+ri + ri+1

h2i+1

)+

+Mi+1

(ri

hihi+1

+ri + ri+1

h2i+1

+ri+1

hi+1hi+2

)− Mi+1

ri+1

hi+1hi+2

(24)

An−1 = −Mn−3

rn−2

hn−2hn−1

+ Mn−2

(rn−1

hnhn−1

+rn−2

hn−2hn−1

+

+rn−2 + rn−1

h2n−1

)− Mn−1

(rn + rn−1

h2n

+2rn−1

hnhn−1

+rn−1 + rn−2

h2n−1

)+

+Mn

(rn + rn−1

h2n

+rn−1

hnhn−1

)

Scritte queste n−1 equazioni dobbiamo imporre ulteriori due condizioni per

poter calcolare le n+1 variabili (M0,M1, ... ...,Mn). Abbiamo individuato tre classi


di soluzioni che permettono di ottenere curve interpolanti adatte alla stragrande

maggioranza dei casi pratici.

1. Soluzione naturale: assegnare ai momenti d’estremita il valore zero cioe non

forzare la soluzione della trave inflessa. Questa scelta e senz’altro consigliabile

quando non ci sono altre condizioni da imporre.

2. Soluzione generica: imporre due ulteriori condizioni sul valore della fun-

zione, della derivata prima o seconda o su combinazioni lineari di queste. E

opportuno che tali condizioni siano poste in punti vicini agli estremi (una con-

dizione all’inizio ed una alla fine) perche l’assolvimento di tali condizioni e

l’effetto dell’applicazione dei momenti d’estremita. Se la condizione e posta

lontano dai punti di applicazione dei momenti questi debbono assumere va-

lori altissimi anche per ottenere minimi effetti in punti distanti distorcendo

inutilmente la curva.

3. Soluzione periodica: assegnare ai momenti d’estremita lo stesso valore

come se la trave si chiudesse su se stessa (il numero delle iperstatiche diminuisce

di uno). Oltre all’identita dei momenti deve essere garantita anche l’uguaglian-

za dei valori estremi della funzione e della derivata prima; in pratica va scritta

un’altra equazione di congruenza. Si noti che tutte le equazioni devono essere

come le (23) e che gli indici vanno considerati in classe di resto n altrimenti ce

ne sarebbero di inesistenti.

Risolto il sistema5 conosciamo i momenti nei nodi; noti i momenti calcolia-

mo i tagli dalle (14) e (15), gli spostamenti dei nodi dalla (16) e le rotazioni dalla

5. Il significato fisico della matrice che abbiamo scritto ci garantice che essa sia definita positiva. Tali matrici

possono essere risolte velocemente ed accuratamente con algoritmi relativamente semplici

36 PARTE II

(17). In questo modo abbiamo tutti i dati necessarı per risolvere l’equazione della

linea elastica che, per la i−esima trave e:

(25)

d2y

dξ2= − M(ξ)

EI

M(ξ) = Mi−1 +Mi −Mi−1

hiξ

y(0) = ηi−1 + δi−1

y(hi) = ηi + δi

y′(0) = γ+i−1

y′(hi) = γ−i

ξ = x− xi .

La semplice soluzione di quest’equazione differenziale e un polinomio di terzo grado

che conviene esprimere rispetto alla variabile locale ξ (che varia da intervallo ad

intervallo) onde minimizzare gli errori di macchina nel calcolo dei valori dei polinomı

e dei relativi integrali.

§ 9. Interpolazione radiale e condizioni al contorno

Lo schema di interpolazione messo a punto inizia con il calcolo di una fun-

zione per ogni raggio della griglia di dati. Qualora siano noti i dati della scia trasver-

sale tratteremo comunque separatamente le tre componenti della scia (w, vr, vc). La

procedure di interpolazione resta praticamente la stessa mentre cambiano soltanto

le condizioni al contorno.

Ogni raggio e trattato singolarmente; vengono presi in considerazione tutti

i valori noti della scia che giacciono sul raggio e vengono imposte le condizioni al

contorno.


Sul mozzo (rM) il valore della frazione di scia e pari ad uno mentre le altre

componenti della scia sono nulle il che corrisponde a dire che la velocita a parete e

nulla. Come condizione aggiuntiva imponiamo quella naturale la qual cosa significa

azzerare la derivata seconda in rM .

Per quanto riguarda l’altro estremo la situazione e piu articolata. Osser-

viamo che esistono tre tipi di raggi: quelli che intersecano la volta di poppa, quelli

che sono sufficientemente lontani dallo scafo da non risentire, per alti valori di r,

dello strato limite dello stesso e quelli, in fine, che si trovano in una situazione

intermedia.

TAVOLA XI – Tipi di raggi

Valutiamo, per tanto, l’andamento dello strato limite nelle prossimita della

volta di poppa ragionando nel semipiano destro (per il sinistro valgono le stesse

considerazioni ma, talvolta, va cambiato il segno). Calcoliamo l’angolo α in cor-

rispondenza del quale il raggio e tangente alla carena6 ; indichiamo con rA il raggio

del punto di tangenza quindi con la formula (7) possiamo calcolare lo spessore dello

strato limite che, normalizzato rispetto al raggio dell’elica, chiamiamo δ. Pertanto

6. Per essere esatti il raggio e tangente all’ordinata in corrispondenza del disco elica

38 PARTE II

possiamo calcolare l’angolo β in corrispondenza del quale finisce lo strato limite

della volta di poppa

(26) β = α +δ

rA.

Quindi definiamo una curva σ(ϑ) che rappresenta la frazione di scia al raggio rA tra

α e β: in α vale 1 mentre in β vale zero assieme alle derivate prima e seconda; resta

cosı individuato un polinomio di terzo grado.

TAVOLA XII – Strato limite della volta di poppa

Quando ϑ < α le condizioni da porre sono le stesse che per il mozzo poiche

anche sulla volta di poppa la velocita e nulla.

Se ϑ > β va fissato il raggio di fine estrapolazione (rF ) al di fuori del quale

la scia e nulla; non abbiamo automatizzato l’assegnazione di rF perche, di caso in

caso, va scelto un valore opportuno compreso tra uno e due (anche a tentativi);

valori troppo piccoli provocherebbero l’azzeramento della scia in zone ove ha valori

significativi mentre valori troppo grandi genererebbero delle vaste zone non definite

in cui i valori assunti dalla scia sarebbero del tutto arbitrarı. Per questi motivi, ad

esempio, il raggio rF di una nave deve essere minore di quello del relativo modello.


Una volta fissato rf assegnamo alle tre componenti della scia il valore zero cioe

la velocita e quella indisturbata; come condizione aggiuntiva, azzeriamo pure la

derivata prima in rF .

Nei casi in cui α ≤ ϑ ≤ β assegnamo alla frazione di scia il valore calco-

lato con la funzione σ in rA mentre poniamo a zero le componenti trasversali della

scia. Come condizione aggiuntiva azzeriamo la derivata prima per tutte e tre le

componenti della scia.

A questo punto possiamo calcolare le curve interpolanti sui raggi utilizzando

le procedure descritte nel §8. Per quanto riguarda l’assegnazione della cedevolezza

conviene assegnare un valore costante a tutti i punti interni (ordine di grandezza

10−4 ÷ 10−3) e zero agli estremi. Qualora le curve non siano soddisfacenti si puo

modificare la cedevolezza in alcuni punti fino a raggiungere la soluzione ottimale.

Come si vede anche se la griglia non e completa l’algoritmo non ne soffre a

meno che su un raggio il numero di punti e cosı basso da far sı che l’interpolazione

risulti del tutto inaffidabile; in questo caso conviene eliminare del tutto i punti su

quel raggio.

§ 10. Interpolazione circonferenziale

Calcoliamo, a questo punto, le funzioni che interpolano la distribuzione cir-

conferenziale della scia. Per ogn’uno dei cerchi della griglia calcoliamo il valore della

scia (una componente alla volta) in corrispondenza dei nodi applicando le funzioni

interpolanti sui raggi. In questo modo ad ogni nodo abbiamo sicuramente un valore

che, in oltre, e congruente con l’interpolazione radiale. In questo modo potremmo

40 PARTE II

calcolare l’interpolazione circonferenziale a qualunque raggio anche diverso da quelli

della griglia ma, prendendo proprio i cerchi della griglia, l’affidabilita e maggiore.

Calcoliamo l’andamento circonferenziale, in aggiunta ai cerchi della griglia,

anche sulla circonferenza del mozzo (rM), che e la piu piccole, e su quella di fine

estrapolazione (rF ), che e la piu grande. Queste ci servono per estrapolare i valori

della scia.

Le condizioni aggiuntive che scegliamo sono, ovviamente, quelle di funzione

periodica. Per quanto riguarda la cedevolezza dei vincoli ci regoliamo come per

l’interpolazione radiale utilizzando in una prima fase un valore costante (ordine di

grandezza 10−4 ÷ 10−3) e poi aggiustandolo nei singoli punti in cui la curva fosse

inadeguata.

§ 11. Interpolazione bidimensionale

Ora vogliamo definire una funzione continua e derivabile su tutto il dominio

cioe in tutti i punti in cui ci interessa conoscere il valore della scia o delle sue derivate.

Sfruttiamo le distribuzioni circonferenziali appena calcolate interpolandone

i coefficienti in funzione del raggio. Prendiamo in considerazione uno spicchio del

dominio (il luogo dei punti compresi tra due raggi successivi); su di esso e nota la

distribuzione circonferenziale della scia su alcuni archi ovvero conosciamo i polinomı

(27) aiϑ3 + biϑ

2 + ciϑ+ di

ove i identifica i diversi archi.

Come si e detto interpoliamo lungo i raggi i coefficienti utilizzando le fun-

zioni descritte nel §8 imponendo le condizioni aggiuntive naturali ed azzerando la


cedevolezza dei vincoli7 . In questa maniera riusciamo a calcolare, per ogni frazione

di spicchi compresa tra archi successivi, quattro polinomı che esprimono i coefficienti

della distribuzione circonferenziale

(28)

ai = αi3r3 + αi2r

2 + αi1r + αi0

bi = βi3r3 + βi2r

2 + βi1r + βi0

ci = γi3r3 + γi2r

2 + γi1r + γi0

di = δi3r3 + δi2r

2 + δi1r + δi0 .

Inserendo questi polinomı nella (27) otteniamo la funzione di due variabili

(29)

(αi3r

3 + αi2r2 + αi1r + αi0

)ϑ3 +

(βi3r

3 + βi2r2 + βi1r + βi0

)ϑ2 +

+(γi3r

3 + γi2r2 + γi1r + γi0

)ϑ +

(δi3r

3 + δi2r2 + δi1r + δi0

)che e una bicubica.

Ripetendo tale sostituzione per ogni frazione dello spicchio e tutta la pro-

cedura per ogni spicchio otteniamo una funzione di due variabili continua assieme

alle due derivate prime, alle due derivate seconde ed alla derivata mista.

Va ricordato che le variabili indicate non sono quelle assolute ma variabili lo-

cali in accordo con le definizioni delle funzioni interpolanti che abbiamo dato. Questa

complicazione e essenziale per evitare errori di calcolo notevoli nelle applicazioni su

calcolatore. Se utilizzassimo variabili assolute gli errori di calcolo produrrebbero

vistose discontinuita della funzione trovata, delle derivate e degli integrali rendendo

inutilizzabile il risultato.

§ 12. Serie di Fourier

Spesso e utile conoscere non tanto la scia ma la relativa serie di Fourier sulle

varie circonferenze. Pertanto abbiamo sviluppato analiticamente gli integrali che ci

7. I vincoli cedevoli, in questo caso, produrrebbero effetti incontrollabili ed ingiustificabili.

42 PARTE II

permettono di calcolare i coefficienti della serie di Fourier in funzione del raggio. In

pratica calcoliamo un’altra funzione continua e derivabile in due variabili; il raggio

compare in forma polinomiale mentre l’angolo in forma trigonometrica.

Fissato il raggio la distribuzione circonferenziale della scia e la funzione

del solo angolo f(ϑ). Il dominio circolare e costituito da archi sui quali la f e un

polinomio di terzo grado fj espresso rispetto alla variabile locale x.

(30)

fj : Ij 7→ IR

Ij = [ϑj−1, ϑj) ⊂ IR (ϑn = ϑ0 + 2π)

fj(x) = ajx3 + bjx

2 + cjx + dj

x = ϑ− ϑj−1

δj = ϑj − ϑj−1

j ∈ [1, n] ⊂ IN

La definizione della serie di Fourier e dei relativi coefficienti e quella classica

(31)

f(ϑ) = r′0 +∞∑

k1

[ rk cos (kϑ) + sk sen (kϑ) ]

r′0 =r0

2

rk =1π

2π∫0

f(ϑ) cos(kϑ) dϑ

sk =1π

2π∫0

f(ϑ) sen(kϑ) dϑ .

Sostituiamo le (30) nella (31) ed otteniamo

(32)

rk =

1π

n∑j

1

[Rkj cos(kϑj−1) − Skj sen(kϑj−1) ]

sk =1π

n∑j

1

[Rkj sen(kϑj−1) + Skj cos(kϑj−1) ]


nelle quali Rkj e Skj corrispondono a

(33)

Rkj =

δj∫0

cos(kx)(ajx

3 + bjx2 + cjx + dj

)dx

Skj =

δj∫0

sen(kx)(ajx

3 + bjx2 + cjx + dj

)dx .

Onde evitare espressioni eccessivamente lunghe poniamo

(34)

Rkj = aiR

Akj + biR

Bkj + ciR

Ckj + diR

Dkj

Skj = aiSAkj + biS

Bkj + ciS

Ckj + diS

Dkj

e, risolte le (33), possiamo scrivere (k = 0)

(35)

RA0j =

δ4j

4RB

0j =δ3j

3RC

0j =δ2j

2RD

0j = δj

SX0j = 0 X ∈ {A, B, C, D}

e, per k 6= 0,

(36)

RAkj =

δjk

(δ2j −

6k2

)sen(kδj) +

3k2

(δ2j −

2k2

)cos(kδj) +

6k4

SAkj =δjk

(6k2− δ2

j

)cos(kδj) +

3k2

(δ2j −

2k2

)sen(kδj)

(37)

RBkj =

1k

(δ2j −

2k2

)sen(kδj) +

2δjk2

cos(kδj)

SBkj =1k

(2k2− δ2

j

)cos(kδj) +

2δjk2

sen(kδj) −2k3

(38)

RCkj =

δjk

sen(kδj) +1k2

cos(kδj) −1k2

SCkj = −δjk

cos(kδj) +1k2

sen(kδj)

(39)

RDkj =

1k

sen(kδj)

SDkj =1k

[1 − cos(kδj)] .

Finalmente possiamo calcolare i coefficienti dalle (35), (36), (37), (38) e (39)

che, essendo funzione soltanto della configurazione angolare della griglia di dati,

sono validi per ogni circonferenza.

44 PARTE II

Sostituendo le (34) nelle (32) otteniamo i coefficienti della serie di Fourier

(40)

rk =1π

n∑j

1

{aj[RAkj cos(kϑj−1) − SAkj sen(kϑj−1)

]+ bj

[RBkj cos(kϑj−1) − SBkj sen(kϑj−1)

]+ cj

[RCkj cos(kϑj−1) − SCkj sen(kϑj−1)

]+ dj

[RDkj cos(kϑj−1) − SDkj sen(kϑj−1)

] }sk =

1π

n∑j

1

{aj[RAkj sen(kϑj−1) + SAkj cos(kϑj−1)

]+ bj

[RBkj sen(kϑj−1) + SBkj cos(kϑj−1)

]+ cj

[RCkj sen(kϑj−1) + SCkj cos(kϑj−1)

]+ dj

[RDkj sen(kϑj−1) + SDkj cos(kϑj−1)

] }ovvero

(41)

rk =

1π

n∑j

1

(ajT

Akj + bjT

Bkj + cjT

Ckj + djT

Dkj

)sk =

1π

n∑j

1

(ajU

Akj + bjU

Bkj + cjU

Ckj + djU

Dkj

)ove T ed U sono definiti da

(42)

TXkj = RX

kj cos(kϑj−1)− SXkj sen(kϑj−1)

UXkj = RX

kj sen(kϑj−1) + SXkj cos(kϑj−1)

X ∈ {A, B, C, D} .

In tal modo abbiamo espresso gli rj ed sj in funzione dei coefficienti dei

polinomi di una specifica circonferenza. Questi, per ogni corona circolare, sono

definiti da

(43)

aj = αj3r3 + αj2r

2 + αj1r + αj0

bj = βj3r3 + βj2r

2 + βj1r + βj0

cj = γj3r3 + γj2r

2 + γj1r + γj0

dj = δj3r3 + δj2r

2 + δj1r + δj0 .


Sostituendo la (43) nella (41) otteniamo

(44)

rk = Vk3r3 + Vk2r

2 + Vk1r + Vk0

sk = Zk3r3 + Zk2r

2 + Zk1r + Zk0

nelle quali valgono

(45)

Vkq =1π

n∑j

1

(αjqT

Akj + βjqT

Bkj + γjqT

Ckj + δjqT

Dkj

)Zkq =

1π

n∑j

1

(αjqU

Akj + βjqU

Bkj + γjqU

Ckj + δjqU

Dkj

)q ∈ {0, 1, 2, 3}

In questo modo abbiamo determinato, per ogni corona circolare, i coeffi-

cienti della serie di Fourier in funzione del raggio. In oltre possiamo scrivere la

funzione continua e derivabile di due variabili

(46)3∑q

0

{V0q

2rq +

∞∑k

1

[ Vkqrq cos(kϑ) + Zkqrq sen(kϑ) ]

}.

Essendo la funzione polinomiale originale continua e derivabile anche tra un anello

e l’altro tale caratteristica viene trasmessa anche alla (46). Si noti che abbiamo

lasciato∞ il limite superiore delle somme armoniche; ovviamente, nelle applicazioni

pratiche, e necessario porre un limite finito.

§ 13. Scheletro della scia

Quando abbiamo introdotto lo scheletro delle scia nel §4 abbiamo dato

una definizione qualitativa di come debba essere. Da un punto di vista matema-

tico sarebbe bello che fosse solenoidale in modo da garantire l’assenza di punti nei

quali l’algoritmo di contrazione si blocca. Tuttavia se volessimo veramente imporre

l’annullamento del laplaciano il risultato sarebbe molto distante dalla funzione ori-

ginale (w); otterremmo una funzione che permette di contrarre la scia senza intoppi

ma la contrazione sarebbe poco affidabile.

46 PARTE II

Per questi motivi abbiamo messo a punto una procedura per determinare lo

scheletro che riduca drasticamente la possibilta di intoppi in fase di contrazione ma

che non sia troppo distante dalla frazione di scia. Da queste considerazioni, e come

vedremo in seguito, emerge che la contrazione della scia deve essere sempre seguita

dal progettista che, con spirito critico, deve utilizzare il metodo messo a punto e

non affidarsi totalmente ad esso.

Considerato il fatto che spesso la direzione prevalente della contrazione e

radiale abbiamo ritenuto di calcolare lo scheletro eliminando i massimi ed i minimi

locali nella distribuzione radiale della scia. Viste le funzioni che abbiamo utlilizzato

questa procedura puo essere realizzata nella maniera che segue.

Fissato un raggio su cui abbiamo definito la funzione interpolante della

frazione di scia §9 cerchiamo quelle coppie di punti distinti che sono tangenti alla

stessa retta. Qualora ce ne siano sostituiamo alla funzione la retta tangente nell’in-

tervallo tra i due punti.

TAVOLA XIII – Eliminazione dei picchi


In formule matematiche la condizione di doppia tangenza ora descritta diviene

(47)

(∂w

∂ρ

)ρ1

=(∂w

∂ρ

)ρ2

w (ρ1) +(∂w

∂ρ

)ρ1

(ρ2 − ρ1) = w (ρ2)

Com’e facile vedere sostituendo l’equazione di una cubica nel sistema ora scritto

non esistono due punti con tangente comune sulla stessa curva. Pertanto dobbiamo

ricercare tali punti su tratti di cubiche differenti.

All’uopo abbiamo messo a punto un algoritmo che ci permette di individuare

punti a tangente comune su due cubiche definite su intervalli differenti. Ricordiamo

che su ogni intervallo abbiamo definito una variabile locale ed un polinomio di terzo

grado funzione di questa.

(48)

Pi(ri) = air

3i + bir

2i + ciri + di

Ii = [ ρi−1 , ρi )

ri = ρ − ρi−1

Pj(rj) = ajr

3j + bjr

2j + cjrj + dj

Ij = [ ρj−1 , ρj )

rj = ρ − ρj−1

Introduciamo due funzioni ϕ1 e ϕ2 di ri nel modo che segue. Sostituendo le prime

delle (48) nella prima equazione (47) otteniamo l’equazione di secondo grado in rj

(49) 3aj r2j + 2bj rj +

(cj − 3ai r2

i − 2bi ri − ci)

= 0

le cui radici (ψ1 e ψ2) sono funzioni di ri. Possiamo, quindi, definire

(50)

ϕ1(ri) = Pi(ri) + P ′i (ri) [ψ1(ri) + ρj−1 − ri − ρi−1] − Pj [ψ1(ri)]

ϕ2(ri) = Pi(ri) + P ′i (ri) [ψ2(ri) + ρj−1 − ri − ρi−1] − Pj [ψ2(ri)] .

In tal modo la soluzione delle (47) si riduce alla ricerca degli zeri delle funzioni ϕ(ri).

Ovviamente ci interessano solo quelle soluzioni per le quali ψ ∈ Ij.

48 PARTE II

TAVOLA XIV – Ricerca dei punti a tangente comune

Non essendo le (50) risolvibili analiticamente abbiamo utilizzato un sistema

numerico che divide Ii in un numero sufficiente8 di parti eguali ed abbiamo campio-

nato le funzioni ϕ sui nodi di tale suddivisione. Negli intervallini ai cui estremi si

rilevano valori opposti in segno di ϕ1 o di ϕ2 abbiamo ricercato gli zeri con il metodo

di bisezione [16].

Individuate, per tanto, le coppie di punti a tangente comune potrebbero

verificarsi delle sovrapposizioni che vanno risolte eliminando alcune coppie di punti.

Una coppia di punti va eliminata se e interna all’intervallo individuato da un’altra

coppia di punti. Se, in vece, due coppie di punti sono inanellate, cioe gli intervalli

definiti dalle coppie di punti si sovrappongono ma nessuno dei due e completamente

contenuto nell’altro, elimineremo la coppia di punti con estremo inferiore maggiore9.

Ora attuiamo la sostituzione di segmenti al posto delle curve all’interno

8. Non deve accadere che in un’intervallo ci sia piu di una radice. Nelle applicazioni abbiamo suddiviso l’intervallo

in cento parti.

9. Questa condizione e dettata dall’intuizione e da prove empiriche ma non e giustificabile a priori in maniera

assoluta


delle coppie di punti a tangente comune superstiti. Ripetiamo tale operazione per

tutti i raggi quindi operiamo le interpolazioni circonferenziale e bidimensionale come

definite nei §9 e §10 nonche il calcolo delle serie di Fourier (§12). A questo punto

abbiamo a disposizione lo scheletro della scia definito da funzioni continue e deri-

vabili sia in forma polinomiale che armonica.

§ 14. Contrazione della scia

Avendo a disposizione tutti gli elementi necessarı, la contrazione della scia

risulta abbastanza semplice. Usualmente i varı metodi di contrazione partono dai

punti in cui la scia e nota per trovare i corrispondenti punti nel disco elica della

nave. Questo sistema ha l’inconveniente che i punti trovati nel disco elica della nave

sono disposti irregolarmente; pertanto non si puo applicare il metodo che abbiamo

messo a punto per l’interpolazione. Per questo motivo abbiamo deciso di attuare

una contrazione inversa. Partiamo da ogn’uno dei nodi della griglia10 nel disco

elica della nave (AN) ed individuiamo la normalscia che passa per esso; risaliamo

lungo tale curva fino a raggiungere la parete o la pinna (vedi §15) nel punto (B).

Calcoliamo la lunghezza di normalscia percorsa (LN) e, dalla (11), calcoliamo (LM);

percorrendo, quindi, in senso inverso la normalscia da AN per una lunghezza pari

ad LM − LN troviamo il punto AM corrispondente ad AN . La contrazione e fatta!

Le normalscie, che abbiamo utilizzato, non sono esprimibili analiticamente

ma, partendo da un punto P possiamo individuare un puntoQ vicino con la relazione

(51) Q = P + λgrad(s)‖ grad(s)‖

10. Questa griglia puo essere fissata a discrezione del progettista

50 PARTE II

ove s e la funzione che rappresenta lo scheletro della scia mentre λ e una costante che

dev’essere sufficientemente piccola11 per garantire l’accuratezza della ricostruzione

della normalscia ed il cui segno fissa la direzione in cui ci si muove lungo la curva.

§ 15. Effetto pinna

Come introdotto nel §4 e ribadito nel §14 l’effetto pinna prevede l’interru-

zione delle normalscie nel prolungamento della pinna poppiera.

Determiniamo, pertanto, due curve che rappresentano tale prolungamento

una al di sopra ed una al di sotto dell’asse dell’elica; consideriamo l’effetto che la

pinna ha sulla scia assiale e definiamo le linee come il luogo dei punti in cui la di-

stribuzione circonferenziale dello scheletro della scia raggiunge un massimo. Questa

definizione, in effetti, potrebbe dar luogo a ben piu di due curve cosı lasciamo al pro-

gettista l’onere di indicare approssimativamente il punto da cui tali curve iniziano

sviluppandosi verso l’asse dell’elica. Se per l’angolo i valori non si discostano molto

da 0 e π12 per la scelta del raggio la cosa e ben piu delicata perche un’indicazione

infelice provocherebbe una contrazione inesatta. E per tal motivo opportuno fare di-

versi tentativi fino a trovare i valori in conseguenza dei quali la contrazione assecondi

la morfologia della scia.

Partendo, dunque, dai punti assegnati determiniamo per punti la linea

procedendo verso il centro e ricercando, ad ogni raggio, il massimo dello scheletro

(s). Partendo dal valore angolare del raggio precedente (o da quello preimpostato

per il primo punto) individuiamo un punto; ne determiniamo altri due sulla medesi-

ma circonferenza allontanandoci simmetricamente dal primo fin tanto che il valore

11. Nelle applicazioni abbiamo usato λ= 0,01

12. Nel caso si scia perfettamente simmetrica i valori sono esattamente questi


di ∂s∂ϑ

nei due punti non sia opposto in segno. Ora ricerchiamo l’annullamento di tale

derivata con l’algoritmo di bisezione [16]. Si noti che non ci siamo preoccupati di

verificare che i punti trovati corrispondano ad un massimo lasciando al progettista

la responsabilita di verificarlo. Tale vigilanza, comunque, non e gravosa perche se

la linea di pinna corrispondesse ad un minimo la contrazione sarebbe palesemente

inadeguata.

In fine consideriamo che un punto abbia raggiunto la pinna quando la di-

stanza tra esso e la linea di pinna e al di sotto di un certo limite. Questo accorgimento

si deve a due considerazioni, una matematica ed una contingente. In primo luogo

le line di normalscia, per come sono state definite, non raggiungono mai le line di

pinna ma vi tendono assintoticamente; in oltre conosciamo entrambe soltanto per

punti il che, ponendo condizioni troppo gravose, causerebbe eventi incontrollabili.

§ 16. Calcolo del fattore di scia wT

Il fattore di scia wT e il valor medio della frazione di scia all’interno del

disco elica.

(52) wT =1

π (1− r2M)

1∫rM

2π∫0

w ρdϑ dρ

Notiamo come l’integrale in dϑ altro non sia, a parte un fattore moltiplicativo 2π,

che il termine costante (a0) della serie di Fourier che abbiamo calcolato nel §12 ed e

espresso, come si vede dalla (46), da un polinomio del terz’ordine. Come al solito ad

ogni intervallo Ii corrisponde un polinomio diverso. Tutto cio considerato possiamo

52 PARTE II

scrivere

(53)

ai0 =12(V i

03 r3i + V i

02 r2i + V i

01 ri + V i00

)I = [ρi−1, ρi] i ∈ [1, n] ⊂ IN

ρ0 = rM ρn = 1

ri = ρ − ρi−1

di = ρi − ρi−1 .

e, fatte le debite sostituzioni, raggiungiamo il risultato

(54)

wT =1

π (1− r2M)

1∫rM

2πa0 ρ dρ =

=1

(1− r2M)

n∑i

1

di∫0

(V i

03 r3i + V i

02 r2i + V i

01 ri + V i00

)(ri + ρi−1) dr =

=1

(1− r2M)

n∑i

1

[V i

00

(d2i

2+ diρi−1

)+ V i

01

(d3i

3+d2i

2ρi−1

)+

V i02

(d4i

4+d3i

3ρi−1

)+ V i

03

(d5i

5+d4i

4ρi−1

)].

§ 17. Disegno delle isoscie

Non conoscendo a priori l’andamento delle isoscie utilizzare strumenti sofi-

sticati del calcolo differenziale sarebbe uno sforzo improbo e, comunque, il risultato

potrebbe non essere la rappresentazione esatta della scia. Poiche la visualizzazione

grafica e un metodo sintetico ed affidabile per controllare la scia risulta uno stru-

mento utilissimo per il progettista che debba seguire e verificare i calcoli. Tutto

cio premesso appare evidente che la procedura grafica debba essere assolutamente

affidabile. Un’altra caratteristica dev’essere quella di funzionare anche quando si

conoscano i valori soltanto in alcuni punti del dominio in modo di poter confrontare

i dati sperimentali con l’interpolazione degli stessi.


L’algoritmo che abbiamo messo a punto prevede come dati in ingresso il

valore della frazione di scia nei nodi di una griglia; nel caso che si vogliano rap-

presentare dati sperimentali la griglia corrisponde a quella delle misure; se, in vece,

rappresentiamo una funzione possiamo impostare una griglia sufficientemente fitta

da garantire la massima corrispondenza tra la funzione e la rappresentazione.

Prendiamo quindi in considerazione la cella elementare compresa tra due

raggi e due circonferenze successive. Di questa cella conosciamo i valori ai nodi; se,

per una carenza nelle misure sperimentali o per qualunque altro motivo, il valore

della scia su uno dei nodi non e conosciuto rinunciamo a disegnare le isoscie in

questa cella. Noti che siano i valori ai nodi possiamo trovare una funzione bilineare

che approssimi la scia nella cella.

(55) w = aρ + bϑ + cρϑ + d

Vista la semplicita dell’espressione non e difficile, fissato w, calcolare la relativa

isoscia all’interno della cella; in questo modo, una cella alla volta e per ogni valore

di w per cui si voglia tracciare la curva, riusciamo a disegnare tutte le isoscie. Si noti

che e garantita la continuita tra una cella e l’altra adiacente poiche, se vincoliamo

l’espressione (55) ad un raggio o ad una circonferenza, si riduce ad una retta che,

essendo vincolata a passare per i due punti noti, e unica. Lo stesso non si puo

dire per la derivata prima pertanto, se la griglia non e sufficientemente fitta13 ,

potrebbero evidenziarsi dei punti angolosi nelle isoscie.

In conclusione possiamo affermare che i difetti della procedura grafica soc-

combono a confronto dei pregi perche, anche nei casi in cui errori di organizzazione

13. Cio puo verificarsi quando si rappresenta una misura sperimentale

54 PARTE II

dei dati hanno generato una scia oltremodo confusa, l’algoritmo ha fornito disegni

chiari che hanno permesso di individuare gli inconvenienti.

PARTE III

VALIDAZIONE DEL METODO

DI CONTRAZIONE DELLA SCIA

§ 18. Applicazione del metodo al geosim di carene Victory

La campagna di misure [8][9] realizzata presso la vasca di Wageningen1 negli

anni ’50 puo essere considerata il piu ampio e completo geosim realizzato che risulta

particolarmente prezioso per lo studio e la validazione di teorie concernenti l’effetto

scala. Sono stati provati numerosi modelli ed una barca–modello2 in traini semplici,

traini multipli, autopropulsione e per rilevarne la scia.

1. Netherlands Ship Model Basin

2. Fu realizzata una barca in acciaio (fattore di scala 6) grazie al patrocinio di D.C. Endert Jr (direttore della

Rotterdam Dry Dock Company) il quale morı prima del completamento della stessa. Pertanto alla barca-

modello, varata l’otto maggio 1952, venne dato il nome dell’imprenditore che ne permise la realizzazione. Viste

le dimensioni (oltre venti metri) venne provata in mare (nel golfo del Quarnaro) trainata da un rimorchiatore

con un cavo di 200m.

56 PARTE III

E stata rilevata la scia assiale in sei modelli3 nelle scale 50, 40, 36, 30, 25,

23 e 18 oltre che nella barca (scala 6). Le lunghezze tra le perpendicolari di detti

modelli sono, rispettivamente, 2,660m, 3,326m, 3,696m, 4,435m, 5,322m, 5,785m,

7,391m e 22,174m.

TABELLA I – Caratteristiche della nave originale

Lunghezza tra le perpendicolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133,045 m

Lunghezza al galleggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135,562 m

Larghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18,898 m

Immersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8,687 m

Posizione del centro di carena dietro la PPAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,237 m

Diametro dell’elica originale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,248 m

Passo a 0,7 R dell’elica originale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,980 m

Rapporto area espansa–area disco dell’elica originale . . . . . . . . . . . . . . 0,494Diametro dell’elica usata per le prove4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,300 m

Passo a 0,7 R dell’elica usata per le prove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,310 m

Rapporto area espansa–area disco dell’elica usata per le prove . . . 0,454Volume di carena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 000 m3

Superficie bagnata di carena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 687 m2

Coefficiente della sezione maestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,9879Coefficiente della figura di galleggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,7395Coefficiente di finezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,6876Coefficiente prismatico longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,6960

Tutti i rilievi di scia sono stati realizzati ad una velocita corrispondente a

15 nodi della nave ovvero ad un numero di Froude pari a 0,214. Il campo dei numeri

di Reynolds interessati va da 2,6 · 106 per il modello in scala 50 a 63 · 106 per la

barca–modello. La barca–modello e stata provata con il timone ed in due condizioni:

carena liscia e carena rugosa. Il modello 18 e stato provato con il timone e senza il

timone ma sempre con carena liscia. Tutti gli altri modelli sono stati provati senza

3. In seguito, per evitare inutili perifrasi ed a vantaggio dell’immediatezza del linguaggio, indicheremo ogni

modello con il relativo fattore di scala come fosse un nome proprio. Cosı diremo modello 25 anzicche modello

con fattore di scale 25

VALIDAZIONE DEL METODO DI CONTRAZIONE DELLA SCIA 57

il timone e con carena liscia.

Attingendo da tale vasta banca dati abbiamo calcolato la scia nominale

della nave al vero partendo da differenti modelli e ne abbiamo comparato lo spettro

armonico.

TAVOLA XV – Modello 18: rappresentazione policroma della scia modello

TAVOLA XVI – Modello 18: rappresentazione policroma della scia nave (calcolata)

58 PARTE III

TAVOLA XVII – Modello 6 - carena liscia: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XVIII – Modello 6 - carena liscia: isoscie della nave (calcolate)


TAVOLA XIX – Modello 18 - senza timone: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XX – Modello 18 - senza timone: isoscie della nave (calcolate)

60 PARTE III

TAVOLA XXI – Modello 23: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXII – Modello 23: isoscie della nave (calcolate)


TAVOLA XXIII – Modello 25: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXIV – Modello 25: isoscie della nave (calcolate)

62 PARTE III

TAVOLA XXV – Modello 30: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXVI – Modello 30: isoscie della nave (calcolate)


TAVOLA XXVII – Modello 36: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXVIII – Modello 36: isoscie della nave (calcolate)

64 PARTE III

TAVOLA XXIX – Modello 40: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXX – Modello 40: isoscie della nave (calcolate)


TAVOLA XXXI – Modello 50: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXXII – Modello 50: isoscie della nave (calcolate)

66 PARTE III

5TAVOLA XXXIII – Modelli 6–: 50: confronto dell’analisi armonica della scia

nave (calcolata) – Armoniche di ordine 0, 1 e 2

5. Le armoniche calcolate dalle misure sulla barca–modello (6) sono tratteggiate


6TAVOLA XXXIV – Modelli 6–: 50: confronto dell’analisi armonica della scia

nave (calcolata) – Armoniche di ordine 3, 4, 5, 6, 7 ed 8

6. Le armoniche calcolate dalle misure sulla barca–modello (6) sono tratteggiate

68 PARTE III

TABELLA II – Calcolo del fattore di scia wT

Modello wT modello wT nave6 0,3422 0,3059

18 0,3639 0,2651

23 0,3742 0,2708

36 0,3792 0,2480

30 0,3885 0,2625

36 0,4052 0,2614

40 0,4154 0,2470

50 0,4458 0,2658

7

§ 19. Analisi dei risultati

Come si vede dai grafici e dalla tabella riportati, che sintetizzano l’applica-

zione del moetodo di contrazione di scia al geosim di carene Victory, le previsioni

fatte con i modelli, escludendo la barca–modello, danno risultati prossimi tra loro.

Tale situazione ci conforta nell’affermare che il metodo messo a punto fornisce risul-

tati promettenti.

Si potrebbe obiettare che, se il metodo fosse veramente buono, il risultato

di tutte le contrazioni dovrebbe essere identico (o quasi) e che la contrazione calco-

lata partendo dalla barca–modello dovrebbe essere quella piu affidabile. Possiamo

ribattere all’obiezione con le seguenti argomentazioni.

Innanzi tutto i risultati dei rilievi di scia, come tutte le misure sperimentali,

sono affetti da errori di misura. Una stima su questi errori puo essere desunta dalla

comparazione delle misure effettuate in posizioni simmetriche. Le carene Victory

sono simmetriche eccezion fatta per il timone ed il dritto di poppa che furono sago-

mati in maniera assimetrica in modo da avviare meglio il flusso proveniente dall’elica.

7. I dati sono riferiti alla carena liscia per il modello 6 ed alla carena senza timone per il modello 18


E, per tanto, giustificata l’assimetria della scia in prossimita della mezzeria ed, in

fatti, viene riscontrata sulle scie di tutti i modelli. Al contrario non e spiegabile, se

non con l’errore di misura, la vistosa assimmetria delle scie anche nelle zone lontane

dal piano di simmetria. Possiamo, pertanto, attribuire agli errori di misura la non

assoluta coincidenza del risultato della contrazione della scia dei modelli da 18 a 50.

Un discorso particolare meritano i rilievi di scia realizzati sulla barca–

modello. Essi paiono affetti da imprecisioni particolarmente significative che, non

avendo notizie sufficientemente precise, non siamo in grado di attribuire. Tale im-

pressione e suffragata dal fatto che gli stessi sperimentatori dell’epoca, fatto un

primo rilievo sulla barca–modello con carena liscia, ne fecero un secondo ridotto

al fine di verificare la ripetibilita delle misure. Se compariamo i due rilievi tro-

viamo zone nelle quali l’errore8 e anche superiore a 0,1. Per quanto riguarda

le prove con carena ruvida sono talmente sballate che lo stesso Hoekstra [13], in

fase di validazione del proprio metodo di contrazione di scia, dice che anche per

lo scafo ruvido della barca-modello λ=6, con un’eccessiva9 addizionale

per rugosita di 0,0030, le previsioni sono accettabili. Non riteniamo di

dover fare acrobazie per far rientrare i risultati delle prove sulla barca–modello in

un’apparente normalita e preferiamo considerare i dati relativi come inaffidabili e,

di conseguenza, non prenderli in considerazione.

In fine bisogna dire che, a fronte di un encomiabile lavoro di sperimen-

tazione, nelle pubblicazioni [8][9] si riscontrano un gran numero di imprecisioni. I

dati di alcune delle colonne relative alla barca–modello sono fuori ordine come e

gia stato rilevato [12] ; alcuni singoli dati sono completamente sballati; sono state

8. Errore assoluto della frazione di scia w

9. Abbiamo tradotto con eccessiva la parola inglese extreme

70 PARTE III

invertite le tabelle relative alle coppie di modelli 18-23, 25-30, 36-40. Riteniamo

di proporre la tesi dell’inversione perche ci pare evidente che a rapporto di scala

maggiore debba corrispondere un fattore di scia (wT ) maggiore. Quest’ultimo in-

conveniente non ci risulta che sia stato rilevato tanto che nella fig. 6 del rif. [9] viene

riportato un improbabile diagramma di wT 10 in funzione di Re fatto a zig-zag men-

tre Hoekstra [13] utilizza soltanto i dati dei modelli 6, 18, 25 e 40 evitando l’evidenza

del problema ma non le conseguenze. Tutto cio detto ci sorge il dubbio che il gran

numero di inesattezze non possano essere imputabili ad un tipografo maldestro ma

ci sia una volonta degli autori di rendere inservibili i dati pubblicati e che esistano

altre alterazioni di cui non ci si e accorti.

E opportuno precisare che i dati con i quali abbiamo alimentato le procedure

di calcolo esposte sono stati emendati dagli errori ora individuati.

§ 20. Contrazione della scia assiale e trasversale di una nave ro-ro

Abbiamo eseguito, a titolo di esempio, la contrazione della scia assiale e

trasversale relativa ad una moderna nave ro-ro monoelica11. Il modello, realizzato

in scala 1:26,7, in occasione del rilievo di scia e stato provato ad una velocita di 1,991

m:s che corrisponde ad una velocita nave di 20 nodi ed ad un numero di Froude pari

a 0,25.

E stata rilevata la scia assiale e trasversale in corrispondenza di 7 raggi

relativi (0,3; 0,4; 0,5; 0,7; 0,9; 1,0; 1,15) con un intervallo angolare costante di 10

gradi. Le misure della scia sono state condotte con un tubo di Pitot a cinque fori.

Vista la simmetria la scia e stata rilevata solo da un lato.

10. In quella pubblicazione il simbolo usato e ψTOT

11. Nave costruita dai cantieri Visentini su progetto della Naos di Trieste


A titolo di esempio la scia trasversale e stata contratta secondo le tre ipotesi

esposte nel §5. Nel caso contingente ci pare che la contrazione piu verosimile sia

quella denominata rϑ.

TAVOLA XXXV – Ro-ro: rappresentazione policroma della scia modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXXVI – Ro-ro: rappresentazione policroma della scia nave (calcolata)

72 PARTE III

TAVOLA XXXVII – Ro-ro: isoscie del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XXXVIII – Ro-ro: isoscie della nave (calcolate)


TAVOLA XXXIX – Ro-ro: scia trasversale del modello (dati sperimentali)

TAVOLA XL – Ro-ro: scia trasversale nave calcolata secondo le tre ipotesi xy, rϑ, nt

74 PARTE III

TAVOLA XLI – Ro-ro: rappresentazione assonometrica della scia assiale

PARTE IV

CALCOLO DELLA SCIA EFFETTIVA

§ 21. Teoria impulsiva semplice applicata all’elica isolata

L’elica, quale mezzo di propulsione, sfrutta la reazione all’accelerazione di

un fluido per generare una spinta. Nel riferimento assoluto la velocita del fluido e

nulla prima del passaggio dell’elica mentre, dopo essere stato accelerato dall’elica, il

fluido mantiene una certa velocita. L’energia cinetica dell’acqua scaricata dall’elica

e energia inutilizzata pertanto anche un’elica ideale ha un rendimento inferiore

all’unita.

Da queste osservazioni ed applicando il teorema di Bernoulli e stata svilup-

pata una semplice teoria [1][3] che permette di calcolare alcuni parametri interessanti

76 PARTE IV

circa il funzionamento dell’elica.

Immaginiamo che l’elica sia sostituita da un disco attuatore cioe da una

superficie ideale che abbia la capacita di mantenere una differenza di pressione tra

le proprie facce mentre viene attraversata dall’acqua. L’elica si muove di moto

rettilineo uniforme con velocita v0 ma, per i nostri ragionamenti, consideriamo l’elica

ferma ed il fluido che si muove incontro all’elica con velocita indisturbata v0.

Prendiamo in considerazione il tubo di flusso che attraversa il disco attua-

tore e individuiamo tre sezioni: indichiamo con 0 l’imbocco del tubo di flusso, ci

riferiamo alla posizione del disco attuatore con 1 mentre lo sbocco del tubo di flusso

viene indicato con 2.

TAVOLA XLII – Schematizzazione del dominio

La velocita all’imbocco e pari alla velocita indisturbata v0 mentre nelle altre

due sezioni vale rispettivamente

(56) v1 = v0 (1 + a) v2 = v0 (1 + b)

nelle quali a e b sono parametri definiti all’uopo. Indichiamo con A l’area del disco

CALCOLO DELLA SCIA EFFETTIVA 77

elica e, pertanto, la portata vale

(57) Q = v1A = v0A (1 + a) .

Ipotizziamo che la pressione all’esterno del tubo di flusso sia costante e pari

a p0 cosı, applicando la formula di Bernoulli e trascurando la variazione di quota,

possiamo determinare la pressione sulle faccie1 del disco attuatore

(58)

p− = p0 +

12%(v2

0 − v12)

= p0 +12% v2

0

[1− (1 + a)2

]p+ = p3 +

12%(v2

2 − v12)

= p0 +12% v2

0

[(1 + b)2 − (1 + a)2

]pertanto la differenza di pressione risulta essere

(59) ∆p = p+ − p− = % v20 b

(1 +

b

2

).

Possiamo calcolare la spinta S dell’elica dal teorema della conservazione

dell aquantita di moto che, essendo la pressione sulle sezioni estreme e sul mantello

costante, si riduce ad

(60) S = %Q (v2 − v1) = %Av20 b (1 + a) .

All’espressione della spinta possiamo giungere anche moliplicando la differenza di

pressione per l’area del disco attuatore; eguagliando le due espressioni otteniamo

(61) S = A∆p ⇒ %Av20 b (1 + a) = %Av2

0 b

(1 +

b

2

)⇒ b = 2 a .

Il coefficiente di spinta e definito da

(62) CS =S

12%Av2

0

quindi, fatte le debite sostituzioni, possiamo scrivere

(63) 4a2 + 4a − CS = 0

1. Indichiamo con l’apice + la faccia in pressione (sinistra) mentre con – la faccia in depressione (destra).

78 PARTE IV

risolvendo la quale ed imponendo che a debba essere positiva otteniamo

(64) a =12

(√1 + CS − 1

).

Ora che conosciamo i parametri cinematici possiamo calcolare il rendimento

del propulsore ideale. La potenza utile e pari alla spinta per la velocita con cui l’elica

avanza

(65) PU = S v0 = 2 %Av30 a (1 + a)

mentre la potenza dissipata e pari all’energia cinetica specifica residua nel fluido a

valle dell’elica nel riferimento assoluto moltiplicata per la portata che interessa il

tubo di flusso

(66) PD = QEC = Av0 (1 + a) × 12% (v2 − v0)2 = 2 %Av3

0 a2 (1 + a) .

In fine e possibile calcolare la potenza impiegata come somma delle precedenti

(67) PI = PU + PD = 2 %Av30 a (1 + a)2

ed il rendimento come rapporto della potenza utile e della potenza impiegata

(68) η =PUPI

=1

1 + a.

§ 22. Teoria impulsiva dell’elica dietro carena

Com’e evidente l’elica isolata e un’astrazione; nella realta l’elica e collegata

ad un corpo da muovere (la nave) ed ad una fonte di energia meccanica che le

imprime la rotazione. Consideriamo il caso usuale in cui la nave precede l’elica;

all’elica non giunge piu il flusso indisturbato ma la scia della nave.


Per schematizzare il problema prendiamo sempre in esame il tubo di flusso

che attraversa il disco attuatore; in questo caso, a monte dell’elica, il tubo di flusso

investe anche la carena per tanto la schematizzazione e la seguente. Sezione 0

imbocco, primo tratto del tubo di flusso in cui c’e la carena, sezione 1 tra la carena

e l’elica, sezione 2 in corrispondenza del disco elica e sezione 3 allo sbocco.

TAVOLA XLIII – Schematizzazione del dominio

La pressione, all’esterno del tubo di flusso, e costantemente p0 e le velocita

all’imbocco e pari alla velocita indisturbata v0 mentre, nelle altre sezioni, vale

(69) v1 = v0 (1 − m) v2 = v0 (1 + a) v3 = v0 (1 + b) .

ove a e b sono incognite del problema mentre m e tale da rendere v1 equivalente alla

scia nave per quanto riguarda la quantita di moto ossia

(70) A%v21 =

∫A

% v2 dα ⇒ m = 1 −

√√√√1 − 2wT +∫A

w2 dα

ove abbiamo indicato con A sia il disco elica come dominio d’integrazione che la

misura dello stesso mentre dα e l’incremento superficiale che, se integriamo in coor-

dinate polari, diviene r dϑ dr.

Possiamo calcolare la pressione nella sezione 1 e sulle due faccie della sezione

80 PARTE IV

2 applicando la formula di Bernoulli e trascurando la variazione di quota

(71)

p1 = p0 +

12%(v2

0 − v21

)= p0 + % v2

0 m(

1 − m

2

)p−2 = p0 +

12%(v2

0 − v22

)= p0 +

12% v2

0

[1 − (1 + a)2

]p+

2 = p3 +12%(v2

3 − v22

)= p0 +

12% v2

0

[(1 + b)2 − (1 + a)2

]dunque la differenza di pressione tra le due faccie del disco elica risulta essere

(72) ∆p = p+2 − p−2 = % v2

0 b

(1 +

b

2

).

La portata che attraversa il disco elica viene espressa da

(73) Q = A v2 = A v0 (1 + a)

e applicando il teorema della conservazione della quantita di moto in direzione assiale

determiniamo l’espressione della spinta

(74)

S = %Q (v3 − v1) + A3 p3 + (A1 − A3) p0 − A1 p1 =

= %Av20 b (1 + a)

[1 − m2

2 b (1−m)

].

D’altra parte possiamo esprimere la spinta come il prodotto della differenza di pres-

sione per l’area del disco elica; dal confronto delle due formule che esprimono S

determiniamo una relazione tra a e b.

(75) S = A∆p = %Av20 b

(1 +

b

2

)⇒ a =

b2 (1−m) + m2

2b (1−m) − m2

Possiamo determinare b manipolando la prima delle espressioni scritte ed intro-

ducendo il coefficiente di spinta definito nella (62) ed imponendo che b sia positivo.

(76) b2 + 2 b − CS = 0 ⇒ b =√

1 + CS − 1

Sottolineiamo il fatto che nel calcolo di CS abbiamo utilizzato, coerentemente con

la (62), la velocita indisturbata v0, e non la velocita d’avanzo va = v0 (1−wT ) com’e


prassi, al fine di permettere le semplificazioni; nel computo dell’area del disco elica

non va incluso il mozzo pertanto risulta

(77) A = π(R2 − R2

M

);

la spinta2 fornita dall’elica dev’essere maggiorata, rispetto la resistenza della carena

trainata, in ragione del fattore di deduzione di spinta che tien conto della resistenza

provocata dalla depressione nella zona poppiera che viene generata dall’elica fun-

zionante. Per tale fattore, essendo di difficile misura o calcolo diretto, ci si affida a

relazioni empirico–statistiche.

(78) S =R

1− t

TAVOLA XLIV – Rendimento ideale in funzione del coefficiente di spinta

Per valutare il rendimento esplicitiamo la potenza utile come il prodotto

della spinta per la velocita indisturbata

(79) PU = S v0 = v0 A∆p = %Av30 b

(1 +

b

2

)

2. Nel caso di navi bielica la spinta e quella agente su ogni asse quindi, dopo aver corretto la resistenza con il

coefficiente di deduzione di spinta, bisogna dividere per due

82 PARTE IV

e la potenza dissipata come prodotto della portata per l’energia cinetica specifica

residua del fluido nel riferimento assoluto dopo esser uscito dal tubo di flusso

(80) PD = QEC = A (1 + a) v0 ×12% (v3 − v0)2 =

12%Av3

0 b2 (1 + a)

quindi la potenza impiegata come somma delle precedenti

(81) PI = PU + PD = %Av30 b

[1 +

b

2(2 + a)

]

ed, in fine, il rendimento3 come rapporto tra la potenza utile e quella impiegata

(82) η =PUPI

=2 + b

2 + b (2 + a)

§ 23. Determinazione della scia effettiva

Innanzitutto bisogna dire cosa intendiamo per scia effettiva poiche, a secon-

da che l’approccio sia sperimentale o analitico, la definizione cambia. Intendiamo

per scia effettiva la distribuzione di velocita che giunge all’elica dietro carena mentre

l’elica e funzionante cioe la scia nominale nave accelerata per effetto dell’elica.

Come vediamo a tale risultato si puo giungere applicando le conclusioni del

precedente capitolo. In fatti gli effetti dell’elica sono due: l’aumento della velocita

e la conseguente contrazione della sezione del tubo di flusso.

Innanzitutto bisogna considerare la contrazione del tubo di flusso che, per

la conservazione della massa, riduce l’area del tubo di flusso, in corrispondenza del

disco–elica, in ragione inversa di 1 + a. Pertanto, detti r0 ed r1 i generici raggi

3. In accordo con la teoria classica se m e preponderante rispetto a CS questo rapporto, che impropriamente

viene detto rendimento, e maggiore dell’unita.


corrispondenti prima e dopo la contrazione ed indicato con RM il raggio del mozzo,

scriviamo l’espressione delle relative are

(83) A0 =(r2

0 − R2M

)π A1 =

(r2

1 − R2M

)π

e, dalla relazione tra le are esplicitiamo r04

(84) A1 =A0

1 + a⇒ r0 = r1

√√√√1 + a

[1−

(rmr1

)2]

dunque possiamo calcolare la frazione di scia5 dalla formula

(85) w′(r1, ϑ) = w [r0 (r1) , ϑ] .

Per quanto riguarda l’accelerazione del fluido possiamo scrivere

(86) v1 = v0 + a v0

pertanto possiamo ricavare la frazione della scia effettiva6

(87) w′′ = w′ − a .

Com’e evidente tale valore potrebbe essere negativo in quei casi, non rari, in cui

l’elica e fortemente caricata e, per tanto, l’accelerazione impressa dall’elica e mag-

giore del rallentamento provocato dai fenomeni viscosi.

Va sottolineato il fatto che l’accelerazione avviene soltanto all’interno del

disco elica. In oltre manterremo unitario il valore della frazione di scia in cor-

rispondenza del mozzo in accordo con le condizioni al contorno delle equazioni di

4. Al di fuori del disco elica non c’e piu l’accelerazione del fluido e, di conseguenza, la seguente formula va

modificata opportunamente.

5. Ed, allo stesso modo, anche le altre componenti della scia

6. Le altre componenti della scia non risentono di questo effetto

84 PARTE IV

Navier-Stokes; tale valore deve essere raccordato con quelli all’interno del disco–

elica.

Fatte queste considerazioni si potrebbe essere tentati di dividere il disco

elica in tante zone ed applicare, mutatis mutandis, le teorie esposte ad ogni singolo

lembo sperando di ottenere un risultato migliore. Al contrario, da un esame attento,

appaiono maggiori i rischi di generare fenomeni inesistenti che non la speranza di

calcolare una scia effettiva piu corrispondente al vero. Diciamo questo perche rite-

niamo7 che l’aumento di velocita impresso dall’elica all’acqua che le sta a monte

sia abbastanza omogeneo in similitudine con quanto avviene nei tubi ove la ve-

locita e sostanzialmente costante8 pur essendo l’acqua aspirata da pompe che, in

qualche modo, hanno problematiche analoghe a quelle dell’elica. Come abbiamo piu

volte detto l’unico modo per ottenere dati migliori sarebbe la soluzione piena delle

equazioni di Navier-Stokes che, al giorno d’oggi, e impensabile.

7. Non ci sono misure sperimentali della scia effettiva per l’evidente difficolta di realizzarle

8. Escluso il sottostrato limite

PARTE V

MOTO VARIO DEI PROFILI ALARI

IN CORRENTE PERTURBATA

§ 24. Impostazione del problema

Intraprendiamo l’analisi del comportamento dei profili alari in corrente per-

turbata che, in seguito, ci sara utile per determinare le azioni sull’elica operante in

una scia disuniforme. Come vedremo in seguito non ha senso risolvere il problema

in maniera esatta come sarebbe possibile1 con i moderni mezzi di calcolo pertanto ci

limiteremo alla teoria linearizzata della lastra piana in moto vario; con tali semplifi-

cazioni il problema ammette la soluzione analitica trovata da von Karman [4]. Nelle

1. Comunque il costo computazionale non sarebbe indifferente come pure l’impegno per la trattazione teorica

86 PARTE V

seguenti pagine la soluzione sara esposta nei dettagli2 sia per l’indubbio interesse

che tutt’ora molte assunzioni hanno che per la difficolta3 con cui sono reperibili.

Prendiamo in considerazione una lastra piana orizzontale (la cui lunghezza

normalizzata e pari a due) che si muove in modo rettilineo ed uniforme nella di-

rezione positiva dell’asse x attraversando un fluido perturbato. Quindi, prendendo

come riferimento il centro del segmento, la velocita media indisturbata ~V04 risulta

orizzontale ed orientata nel verso opposto all’asse x; a questa si somma la pertur-

bazione ~v0 = (u0, v0).

TAVOLA XLV – Dominio e convenzioni

Nel riferimento assoluto X la perturbazione e stazionaria pertanto, nel ri-

ferimento mobile x, risulta

(88) ~v0(x, t) = ~v0(x − V0 t , 0) .

In tutti i ragionamenti che faremo non definiremo la perturbazione su tutto il piano

ma soltanto sull’asse x ed, essendo interessati a perturbazioni periodiche5 e rappre-

2. Moltissimi passaggi sono stati ricostruiti vista l’estrema sintesi ed ermeticita della pubblicazione originale

3. Ringraziamo il prof. Franco Mastroddi (Universita degli studı di Roma La Sapienza – Dipartimento aero-

spaziale) e l’AIDAA (Associazione italiana di aeronautica ed astronautica - Roma) per la gentilezza di averci

fornito l’indispensabile materiale bibliografico

4. La grandezza scalare V0 e il modulo dell’omonimo vettore dunque e positiva.

5. In verita la soluzione e utile anche per le perturbazioni non periodiche rappresentabili con un’antitrasformata

di Fourier

MOTO VARIO DEI PROFILI ALARI IN CORRENTE PERTURBATA 87

sentabili in serie di Fourier, assumiamo

(89) v0(x, 0) = α cos(λx) + β sen(λx)

dunque

(90) v0(x, t) = α cos(λx − λV0t) + β sen(λx − λV0t) ;

ponendo

(91)

ω = V0 λ

a(t) = α cos(ω t) − β sen(ω t)

b(t) = α sen(ω t) + β cos(ω t)

otteniamo

(92) v0(x, t) = a(t) cos(λx) + b(t) sen(λx) .

Abbiamo trascurato e trascureremo la componente orizzontale della perturbazione

u0 che sara oggetto di alcune considerazioni alla fine della trattazione.

La soluzione del problema consiste nell’individuare la distribuzione dei vor-

tici sulla lastra piana (γA vortici aderenti) e nella scia (γL vortici liberi). Dalla teoria

vorticale [7] sappiamo che i vortici liberi si muovono con la stessa velocita del fluido

tuttavia, al fine di ottenere una soluzione analitica, introduciamo l’ipotesi di linea-

rizzazione cioe che i vortici si muovano di moto rettilineo uniforme con velocita V0

e, di conseguenza, giacciano sulla semiretta orizzontale che inizia dal bordo d’uscita

e si estende nel verso negativo dell’asse x.

Per giungere alla conclusione sfrutteremo il teorema di Thomson sulla con-

servazione della vorticita, la condizioni di impermeabilita della lastra piana e la

condizione di Kutta circa la velocita nel bordo d’uscita.

88 PARTE V

Suddividiamo la distribuzione di vortici aderenti γA in due categorie: quelli

che servono a bilanciare le velocita della perturbazione onde mantenere l’impermea-

bilita della lastra piana (γAP ) e quelli che compensano le velocita indotte dai vor-

tici liberi sulla lastra piana sempre ai fini dell’impermeabilita (γAL). Entrambe le

distribuzioni, in oltre, assolvono alla condizione di Kutta quindi, imponendo la con-

servazione della vorticita totale, troviamo una relazione che lega le due distribuzioni

la cui somma e la soluzione del problema. Essendo la prima calcolabile una volta

note le velocita della perturbazione resta individuata anche la seconda.

Nella valutazioni citate sfruttiamo la teoria del potenziale complesso [7] ed

in particolare associamo al piano z ove e definita la lastra piana il piano fisico ζ nel

quale la lastra piana e trasformata nella circonferenza di raggio unitario e centro

nell’origine. La trasformazione conforme che lega i due piani e

(93) z = F(ζ) =12

(ζ +

1ζ

)

che, a parte il fattore 12

, e la classica trasformazione usata nello studio della lastra

piana, dei profili circolari e dei profili di Joukowski.

TAVOLA XLVI – Trasformazione conforme


Nel piano complesso z utilizziamo le coordinate cartesiane mentre nel piano

ζ le coordinate polari; in questo modo quando indichiamo coordinate cartesiane

(x, y) e sotto inteso che ci riferiamo al piano z mentre quando riportiamo coordinate

polari (%, ϑ) o componenti radiali e circonferenziali della velocita (vR, vC) queste sono

relative al piano ζ.

§ 25. Calcolo della vorticita indotta dalla perturbazione

Assunta la velocita verticale della perturbazione dalla (92) la rappresen-

tazione complessa diviene

(94) vz = i [a cos(λx) + b sen(λx)] .

Per calcolare la corrispondente velocita nel piano ζ usiamo la nota relazione

(95) vζ = vz F ′

ove, vincolando ζ alla circonferenza unitaria ovvero ponendo ζ = eiϑ,

(96) F ′ =12

(1− 1

ζ2

)= i e−iϑ sen(ϑ) ⇒ F ′ = −i eiϑ sen(ϑ) .

Se ci vincoliamo alla lastra piana nel piano z, ovvero alla circonferenza unitaria nel

piano ζ, dalla (93) segue che

(97) x = cos(ϑ)

dunque, operando le debite sostituzioni, scriviamo

(98) vζ = {a cos [λ cos(ϑ)] sen(ϑ) + b sen [λ cos(ϑ)] sen(ϑ)} eiϑ .

Ricordando alcune proprieta delle funzioni di Bessel di prima specie Jn

(99)

cos [λ cos(ϑ)] = J0(λ) + 2

∞∑n

1

(−1)n J2n(λ) cos(2nϑ)

sen [λ cos(ϑ)] = 2∞∑

n1

(−1)n+1 J2n−1(λ) cos[(2n− 1)ϑ]

90 PARTE V

e le note relazioni trigonometriche

(100)

cos(2nϑ) sen(ϑ) =

12{sen [(2n+ 1)ϑ]− sen [(2n− 1)ϑ]}

cos[(2n− 1)ϑ] sen(ϑ) =12{sen (2nϑ)− sen [2(n− 1)ϑ]}

manipolando opportunamente le espressioni e gli indici delle somme otteniamo

(101) vζ = eiϑ∞∑

n1

χn(λ) sen(nϑ)

ove

(102) χn(λ) =

b (−1)n2 +1 [Jn−1(λ) + Jn+1(λ)] n pari

a (−1)n−1

2 [Jn−1(λ) + Jn+1(λ)] n dispari .

Prendiamo in considerazione la generica singolarita di ordine m ≥ 1 cen-

trata nell’origine il cui potenziale complesso, velocita complessa e velocita sono,

rispettivamente,

(103) Φ =sm

i m ζmw =

dΦdζ

=i smζm+1

v = w =sm

i ζm+1.

Se, al solito, ci vincoliamo alla circonferenza unitaria ponendo ζ = eiϑ otteniamo

(104) v = [ sm sen(mϑ)︸︷︷︸vR

− sm cos(mϑ)︸︷︷︸vC

i ] eiϑ .

Appare quindi evidente che, sommando alle velocita della perturbazione delle op-

portune singolarita si possa compensare la componente radiale della perturbazione.

Possiamo, quindi, determinare i coefficienti delle singolarita sm = −χm. Bisogna ri-

cordare, quindi, la condizione di Kutta che, nel piano ζ, equivale ad imporre che nel

punto corrispondente al bordo d’uscita (ϑ = π) ci sia un punto di ristagno. Essendo

gia nulla la componente radiale, basta annullare anche la componente circonferen-

ziale; possiamo fare cio aggiungendo un vortice centrato nell’origine e d’intensita


opportuna (ΓPζ). La velocita circonferenziale sulla circonferenza unitaria risulta,

quindi,

(105) vC(ϑ) =ΓPζ2π

+∞∑

n1

χn cos(nϑ)

e la condizione di Kutta si riduce a

(106)

vC(π) = 0 ⇒ ΓPζ = −2π∞∑

n1

χn cos(nπ) = . . . = 2π [a J0(λ)− b J1(λ)] .

Ora possiamo determinare la vorticita sulla lastra piana dovuta alla pertur-

bazione dalla differenza della velocita sulle faccie6 della stessa [7]. Per calcolare la

velocita nel piano z vincolato alla lastra piana basta invertire la (95) pertanto

(107)

v+z =

vC(ϑ) i eiϑ

F ′(ϑ)= − vc(ϑ)

sen(ϑ)

v−z =vC(−ϑ) i e−iϑ

F ′(−ϑ)=

vc(−ϑ)sen(ϑ)

ϑ ∈ [ 0 , π ] ⊂ IR

quindi, osservando che vC(ϑ) = vC(−ϑ) (105), la vorticita risulta

(108) γP (x) = v−z − v+z =

2 vc(ϑ)sen(ϑ)

nella quale x e ϑ sono legate dalla (97).

Per calcolare la circolazione ΓPz potremmo tentare di risolvere l’integrale

(109) ΓPz =

1∫−1

γp(x) dx

ma sarebbe una fatica inutile perche dall’analisi dei complessi [18] sappiamo che

ΓPz = ΓPζ dunque, in seguito, indicheremo semplicemete ΓP che, dalla (106), vale

(110) ΓP = 2π [a(t) J0(λ) − b(t)J1(λ)] .

6. Indichiamo con l’apice + la velocita sulla faccia superiore e con – quella sulla faccia inferiore.

92 PARTE V

§ 26. Calcolo della vorticita indotta dai vortici liberi

Procediamo in modo analogo a quello del capitolo precedente e prendiamo

in considerazione un vortice libero della scia con centro in ξ < −1 e d’intensita Γξ.

La velocita indotta da tale singolarita sul punto x della lastra piana e

(111) vz = iΓξ2π

1x − ξ

dunque, la corrispondente velocita nel piano ζ risulta

(112) vζ = vz F ′ =Γξ2π

sen(ϑ)cos(ϑ) − ξ

eiϑ .

Osserviamo le caratteristiche di un vortice di intensita ΓL1 e centro η sull’as-

se reale all’interno della circonferenza unitaria

(113) ΦL1 =ΓL1

2π iln(ζ − η) wζ =

ΓL1

2π i1

ζ − ηvζ =

iΓL1

2π1

ζ − η

dunque, limitandoci alla circonferenza unitaria, la velocita diviene

(114) vζ =iΓL1

4π

1η

eiϑ − 11+η2

2η− cos(ϑ)

le cui componenti radiale e circonferenziale sono

(115)

vR =

ΓL1

4πsen(ϑ)

cos(ϑ) − 1+η2

2η

vC =ΓL1

4π

1η− cos(ϑ)

cos(ϑ) − 1+η2

2η

.

Volendo compensare la velocita indotta dal vortice libero (che ha direzione radiale)

espressa dalla (112) con la componente radiale ora calcolata imponiamo che

(116) ΓL1 = − 2 Γξ1 + η2

2η= ξ .

Per risolvere la seconda eguaglianza poniamo ξ ≤ −1 e −1 ≤ η ≤ 1 dunque ottenia-

mo

(117) η = ξ +√ξ2 − 1

1η

= ξ −√ξ2 − 1 .


Annullata la componente radiale resta da imporre la condizione di Kutta intro-

ducendo un altro vortice di centro l’origine ed intensita ΓL2.

(118) vC(π) =Γξ2π

cos(π) − ξ +√ξ2 − 1

cos(π) − ξ+

ΓL2

2π= 0

pertanto, con qualche elaborazione e ricordando che ξ + 1 ≤ 0, otteniamo

(119) ΓL2 = Γξ

(√ξ − 1ξ + 1

+ 1

)

grazie alla quale possiamo determinare la velocita circonferenziale

(120) vc(ϑ) = − Γξ2π

√ξ − 1ξ + 1

1 + cos(ϑ)ξ − cos(ϑ)

;

essendo vC funzione pari di ϑ vale la (108) pertanto possiamo scrivere

(121) γL(x) = − Γξπ

√ξ − 1ξ + 1

√1 + x

1− x1

x − ξ.

Per il calcolo di

(122) ΓLξ =

1∫−1

γL(x) dx

sfruttiamo, come nel capitolo precedente, le caratteristiche del piano complesso da

cui risulta

(123) ΓLξ = ΓL1 + ΓL2 = Γξ

(√ξ − 1ξ + 1

− 1

)

ed, in fine, definiamo la vorticita totale indotta dalla scia sulla lastra piana

(124) ΓL =

−1∫−∞

γS(ξ)

(√ξ − 1ξ + 1

− 1

)dξ

ove γS(ξ) e la distribuzione di vorticita nella scia della lastra piana.

94 PARTE V

§ 27. Soluzione del problema

Vogliamo imporre la conservazione della vorticita totale garantita dal teo-

rema di Thomson. Indichiamo con ΓA e ΓS la somma dei vortici aderenti e, rispet-

tivamente, dei vortici liberi della scia. Come abbiamo detto i vortici che escono

dal bordo d’uscita vengono trascinati dalla corrente supposta uniforme; dunque la

variazione di ΓS e dovuta soltanto di vortici che escono dal bordo d’attacco mentre

l’entita degli altri, che semplicemente traslano7, resta costante. Possiamo scrivere,

dunque,

(125) ∆ΓS = γS(−1) V0 ∆t ⇒ γS(−1) =1V0

dΓSdt

.

TAVOLA XLVII – Evoluzione della scia vorticosa

L’applicazione del teorema di Thomson diviene, pertanto,

(126)ddt

(ΓA + ΓS) = 0 ⇒ γS(−1, t) = − 1V0

dΓAdt

= − 1V0

ΓA(t) .

nella quale abbiamo introdotto la simbologia di Leibnitz per rendere le prossime

espressioni piu chiare.

7. Piu correttamente i vortici della scia restano fermi se consideriamo il sistema di riferimento fisso.


Sfruttiamo quanto detto sull’evoluzione della scia vorticosa per determinare

la distribuzione dei vortici stessi

(127) γS(ξ, t) = γS

(ξ −∆ξ , t+

∆ξV0

)

dunque, operando l’evidente sostituzione,

(128) γS(ξ, t) = γS

(−1 , t+

ξ + 1V0

)= − 1

V0

ΓA

(t+

ξ + 1V0

).

Mettendo assieme i diversi risultati riusciamo a scrivere un’equazione integro-diffe-

renziale che lega ΓL a ΓP .

(129)

ΓL(t) =

−1∫−∞

γS(ξ, t)

(√ξ − 1ξ + 1

− 1

)dξ =

= − 1V0

−1∫−∞

ΓA

(t +

ξ + 1V0

)(√ξ − 1ξ + 1

− 1

)dξ =

= − 1V0

−1∫−∞

[ΓL

(t +

ξ + 1V0

)+ ΓP

(t +

ξ + 1V0

)](√ξ − 1ξ + 1

− 1

)dξ

Dalla (110) scriviamo la componente relativa alla perturbazione

(130) ΓP

(t +

ξ + 1V0

)= 2π

[a

(t +

ξ + 1V0

)J0(λ) − b

(t +

ξ + 1V0

)J1(λ)

]

e, dalla (91), determiniamo

(131)

a

(t +

ξ + 1V0

)= − ω b

(t +

1V0

)cos(λx) − ω a

(t +

1V0

)sen(λx)

b

(t +

ξ + 1V0

)= ω a

(t +

1V0

)cos(λx) − ω b

(t +

1V0

)sen(λx)

pertanto concludiamo

(132)

ΓP

(t +

ξ + 1V0

)= − 2π

{[b

(t +

1V0

)J0(λ) + a

(t +

1V0

)J1(λ)

]cos(λx) +

+[a

(t +

1V0

)J0(λ) − b

(t +

1V0

)J1(λ)

]sen(λx)

}.

96 PARTE V

Se indichiamo sinteticamente8

(133)

DC(λ) =

−1∫−∞

cos(λx)

(√ξ − 1ξ + 1

− 1

)dξ

DS(λ) =

−1∫−∞

sen(λx)

(√ξ − 1ξ + 1

− 1

)dξ

possiamo scrivere

(134)

− 1V0

−1∫−∞

ΓP

(t +

ξ + 1V0

)(√ξ − 1ξ + 1

− 1

)dξ =

= 2π λ{[b

(t +

1V0

)J0(λ) + a

(t +

1V0

)J1(λ)

]DC(λ) +

+[a

(t +

1V0

)J0(λ) − b

(t +

1V0

)J1(λ)

]DS(λ)

}

Poiche il fenomeno in esame ha carattere periodico con pulsazione ω anche

i vortici indotti dalla scia hanno tale caratteristica pertanto possiamo scrivere

(135) ΓL(t) = ΓLC cos(ωt) + ΓLS sen(ωt)

nella quale ΓLC e ΓLS sono costanti. Possiamo riscrivere la (129) che siamo riusciti

a ridurre ad equazione algebrica.

(136)

ΓLC cos(ωt) + ΓLS sen(ωt) =

= λ {ΓLC DC(λ) sen(ωt) − ΓLSDS(λ) cos(ωt) +

+ 2π[b

(t +

1V0

)J0(λ) + a

(t +

1V0

)J1(λ)

]DC(λ) +

+ 2π[a

(t +

1V0

)J0(λ) − b

(t +

1V0

)J1(λ)

]DS(λ)

}Sviluppando a e b dalla (91) otteniamo

(137)

a

(t +

1V0

)= a

(1V0

)cos(ωt) − b

(1V0

)sen(ωt)

b

(t +

1V0

)= b

(1V0

)cos(ωt) + a

(1V0

)sen(ωt)

8. La soluzione degli integrali che seguono e una combinazione di funzioni di Bessel modificate di seconda specie


dunque sostituendo questi risultati nella (136) e separando i fattori dei seni da quelli

dei coseni otteniamo un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Definiamo

due funzioni di λ

(138)

EA(λ) = 2π λ [J0(λ)DC(λ) − J1(λ)DS(λ)]

EB(λ) = 2π λ [J1(λ)DC(λ) + J0(λ)DS(λ)]

cosı possiamo scrivere il sistema in forma matriciale

(139)∥∥∥∥ 1 λDS(λ)−λDC(λ) 1

∥∥∥∥ · ∥∥∥∥ΓLCΓLS

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥EB(λ) a

(1V0

)+ EA(λ) b

(1V0

)EA(λ) a

(1V0

)− EB(λ) b

(1V0

)∥∥∥∥∥∥

dalla cui soluzione determiniamo ΓLC e ΓLS. Ora dalla (135) possiamo calcolare

ΓL(t) e, sommandoci ΓP (t) che gia conoscevamo, determiniamo ΓA(t). Utilizziamo

la (128) per calcolare γs(ξ, t) ed, integrando la (121) da −∞ a −1 e sostituendo

γs(ξ, t) a Γξ, otteniamo γL(x, t). Dalla (108) individuiamo γP (x, t) che, sommata

alla precedente, ci fornisce γA(x, t) cioe la distribuzione della vorticita sulla lastra

piana. A questo punto siamo in possesso della soluzione cinematica del problema.

§ 28. Calcolo delle azioni idrodinamiche

Per calcolare la forza ed il momento agenti sulla lastra piana possiamo

sfruttare il teorema di Kutta–Joukowski in piccolo. La forza, per unita di lunghrzza,

agente su un vortice e pari al prodotto tra le velocita relativa del fluido rispetto

alla singolarita, l’intensita del vortice e la densita del fluido. La direzione di tale

forza, detta portanza, e in quadratura con la velocita relativa del fluido e si ottiene

ruotando la stessa di un’angolo retto in direzione opposta a quella del vortice.

Viste le ipotesi semplificative von Karman [4] propone di calcolare la por-

tanza con una formula molto semplice che ora ricaviamo. Ricordiamo che la velocita

98 PARTE V

sull’asse x ove giacciono le singolarita e supposta costante, di modulo V0 ed orientata

nel verso negativo.

Prendiamo in considerazione un vortice d’intensita Γ e centro x all’interno

della lastra piana. Esiste, nella scia, un omologo vortice d’intensita −Γ e centro ξ.

Possiamo calcolare la forza (verticale) agente sul vortice aderente

(140) F = % Γ (− V0 − x)

mentre sappiamo che la forza agente sul vortice libero e nulla tant’e che ξ = −V0.

Calcoliamo, dunque, il momento dei due vortici rispetto all’origine

(141) MΓ = Γx + (−Γ) ξ

dunque la derivata di questo rispetto al tempo, essendo l’intensita dei vortici una

costante, risulta

(142) MΓ = Γ(x − ξ

)= Γ (x + V0)

dalla quale consegue

(143) F = − % MΓ

Consideriamo, quindi, un caso analogo in cui entrambi i vortici siano all’in-

terno della lastra piana; il primo ha intensita Γ e centro x1 mentre il secondo ha

intensita −Γ e centro x2. La somma delle forze agenti su essi e

(144) F = % Γ (− V0 − x1) + % (−Γ) (− V0 − x2) = % Γ (x2 − x1)

ed il momento dei vortici

(145) MΓ = Γ (x1 − x2) ⇒ MΓ = Γ (x1 − x2)


pertanto e verificata, anche in questo caso, la (143).

Dovremmo analizzare un terzo caso in cui entrambi i vortici si trovano nella

scia ma e di tutta evidenza che il momento dei vortici e costante dunque la sua

derivata rispetto al tempo e nulla come pure la forza che agisce sulle singolarita;

nuovamente la (143) e vera.

Sapendo, dal teorema di Thomson, che la somma di tutti i vortici e nulla

possiamo pensare di schematizzare la distribuzione di vorticita (sulla lastra e nella

scia) con un insieme di coppie di vortici eguali in modulo ed opposti in verso. Sap-

piamo che, in qualunque dei tre casi esaminati si ricada, la forza agente su ogni

coppia e proporzionale alla variazione rispetto al tempo del momento della coppia

di vortici pertanto la portanza, che e la risultante delle forze agenti sui vortici,

e proporzionale alla variazione rispetto al tempo del momento di tutto il sistema

vorticale ovvero

(146) P = − % Mγ

ove, passando dai vortici concentrati a quelli distribuiti,

(147) Mγ =

1∫−∞

γ(x) dx =

−1∫−∞

γS(ξ) dξ +

1∫−1

γA(x) dx .

Riportiamo, dunque, un metodo che ci permette di valutare correttamente

alcune derivate anche quando γS non sia continua. Se f e una funzione reale non

dipendente dal tempo continua e derivabile definiamo

(148) A(t) =

−1∫−∞

γS(ξ , t) f(ξ) dξ

dunque possiamo scrivere, ricordando la (127),

(149) A(t + ∆t) =

−1∫−∞

γS(ξ , t + ∆t) f(ξ) dξ =

−1∫−∞

γS(ξ + V0∆t, t) f(ξ) dξ

100 PARTE V

ed, operando la sostituzione η = ξ + V0 ∆t otteniamo

(150) A(t + ∆t) =

V0∆t− 1∫−∞

γS(η , t) f(η − V0 ∆t) dη

quindi, sostituendo la f con la relativa serie di Taylor centrata in η e troncata al

primo ordine, concludiamo

(151) A(t + ∆t) =

V0∆t− 1∫−∞

γS(η , t) [f(η) − V0 ∆tf ′(η)] dη

dunque la derivata di A rispetto al tempo risulta

(152) A(t) = lim∆t→0

A(t + ∆t)−A(t)∆t

= −V0

−1∫−∞

γS(η , t)f ′(η) dη .

Riportiamo, in conclusione, la soluzione proposta da Sears [5]; viene definita

la funzione (di Sears) dipendente dalla sola λ

(153) S(λ) = A(λ) + i B(λ) =2πλ

[J0(λ)− Y1(λ)] + i [J1(λ) + Y0(λ)][J0(λ)− Y1(λ)]2 + [J1(λ) + Y0(λ)]2

ove Jn e Yn sono funzioni di Bessel di prima e, rispettivamente, seconda specie. La

funzione di Sears puo essere espressa in differenti modi equivalenti a quello riportato

sfruttando le funzioni di Hankel o la funzione complessa di Theodorsen.

TAVOLA XLVIII – Funzione di Sears


Il coefficiente di portanza, in funzione del tempo, risulta

(154) CP = 2π{[

α

V0

A(λ) +β

V0

B(λ)]cos(ω t) +

[β

V0

A(λ)− α

V0

B(λ)]sen(ω t)

}nella quale α e β sono quelli usati nella (89) per definire la perturbazione. E bene

ricordare, in fine, che nella trattazione esposta e stata del tutto trascurata la forza

di risucchio sul bordo d’attacco pertanto la portanza risulta perpendicolare alla

lastra piana (paradosso di Cisotti). In fine va ricordato che il parametro λ usato

nell’ultima formula e pari alla lunghezza d’onda della perturbazione normalizzata

rispetto alla semicorda.

§ 29. Considerazioni finali

I risultati ottenuti da von Karman e Sears hanno il grande pregio di per-

mettere un calcolo rapido delle forze agenti sulla lastra piana e, per estensione, sui

profili alari. La comparazione con dati sperimentali e quantomai difficile per i pro-

blemi che si incontrano nella realizzazione pratica della perturbazione ma pare che,

almeno in linea di tendenza, si avvicinino alla realta.

Vanno tenute presenti le ipotesi fatte per ci si trascurano alcuni fenomeni

fisici. Oltre a non considerare le velocita indotte nella trattazione della scia vorti-

cosa (ipotesi di linearizzazione), viene ignorata anche la forza di risucchio agente,

parallelamente alla lastra piana, che modifica l’orientamento della portanza nonche

la componente orizzontale della perturbazione.

Cio non ostante riteniamo che tale teoria sia sufficientemente accurata per

gli scopi preposti sopra tutto alla luce delle considerazioni che faremo al momento

di applicarla.

PARTE VI

DETERMINAZIONE DI FORZE E MOMENTI

AGENTI SULL’ELICA

§ 30. Impostazione del calcolo

Il calcolo del flusso non stazionario che investe l’elica, anche accettando le

ipotesi di fluido ideale, e un problema quanto mai complesso: bisognerebbe tener

conto della distribuzione disuniforme di velocita che investe l’elica dovute allo strato

limite della nave e, cosa ben piu difficile, delle velocita indotte dalla scia vorticosa;

sarebbe necessario, quindi, determinare la scia vorticosa che, in questo caso, e rap-

presentata da superfici generate dalle line vorticose che escono dal bordo d’uscita

delle pale dell’elica e si muovono trascinate dalla corrente; pertanto la scia vorticosa

assume la forma di nastri che nascono dalle pale e si avvolgono attorno ai vortici

104 PARTE VI

principali (vortici di fine pale e vortice del mozzo). Nel caso di moto stazionario le

line vorticose che abbandonano le pale dell’elica sono parallele alla velocita [15]; nel

moto vario, in vece, esistono anche line vorticose perpendicolari alla velocita che,

nel caso bidimensionale piano, sono dette vortici liberi.

TAVOLA XLIX – Scia vorticosa dell’elica

In aggiunta a tutto cio bisogna ricordare che a valle dell’elica normalmente

c’e il timone pertanto la scia vorticosa viene deviata da questo ed i vortici dell’elica

si sommano a quelli del timone.

Come si vede tale approccio richiede risorse ingenti sia in termini di tempo

impiegato per modellare il dominio che in termini informatici (potenza di calcolo,

memoria e tempi di calcolo); i risultati, in oltre, andrebbero sottoposti ad un’attenta

analisi onde verificarne l’affidabilita. Ai fini della realizzazione di strumenti proget-

tuali attuali e, quindi, improponibile la strada fin quı descritta ma si deve optare

per metodi semplificati: applicheremo il metodo dell’elemento di pala calcolando le

azioni non stazionarie con le formule trovate per i profili alari in corrente perturbata

(154).

DETERMINAZIONE DI FORZE E MOMENTI AGENTI SULL’ELICA 105

§ 31. Forze agenti sugli elementi di pala

Consideriamo il profilo alare risultante dall’intersezione di una pala dell’elica

con un cilindro di raggio r. L’angolo di calettamento risulta dalla nota relazione

α = arctg(

P

2 π r

)ove P e il passo dell’elica al raggio r. La velocita dell’acqua puo essere ricavata dalla

scia effettiva nave (parte iv) ed espressa in serie di Fourier; le componenti assiale

e circonferenziale assumono, pertanto, la forma

(155)

vA(r, ϑ) = aA0 +

∞∑n

1

[aAn (r) cos(nϑ) + bAn (r) sen(nϑ)

]vC(r, ϑ) = aC0 +

∞∑n

1

[aCn (r) cos(nϑ) + bCn (r) sen(nϑ)

]ove, al solito, i versi positivi sono verso poppa e, rispettivamente, orario.

TAVOLA L – Elemento di pala

Determiniamo la velocita relativa dell’acqua rispetto alla pala dell’elica che

ruota, in senso orario, con velocita angolare ω scomposta nelle componenti assiale

e circonferenziale1

(156) VC = ω r − aC0 (r) VA = aA0

1. In questo caso VC e positiva in senso antiorario

106 PARTE VI

che possono essere trasformate nelle coordiante polari

(157) β = arctg(VAVC

)V0 =

√V 2A + V 2

C .

Per ogni angolo di attacco il moto a potenziale attorno al profilo determinato dalla

sezione cilindrica puo essere calcolato con una distribuzione di singolarita [17]; trac-

ciata la curva del coefficiente di portanza resta individuato l’angolo di portanza

nullo α0 per il quale si verifica

(158) CP (−α0) = 0

TAVOLA LI – Coefficiente di portanza ed angolo di portanza nulla

Possiamo, dunque, individuare il coefficiente di portanza stazionario C0P

all’angolo β−α ed il coefficiente di resistenza, dovuto esclusivamente alla viscosita,

dalla formula di Hughes (4) maggiorata per il fattore di forma come suggerito dalla

NACA [10]

(159) CV = 2CF

[1 + 2

( s

C

)+ 60

( s

C

)4]

ove C e la corda del profilo alare ed s lo spessore. La portanza e la resistenza

stazionarie (per larghezze unitarie) restano determinate da

(160) P0 =12%C C0

P V2

0 R0 =12%C CV V

20


e, di conseguenza, le componenti assiale e circonferenzaile delle azioni stazionarie

sull’elemento di pale risultano

(161) FA0 = P0 cos(β) − R0 sen(β) FC

0 = P0 sen(β) + R0 cos(β) .

Per determinare le componenti non stazionarie della portanza2 individuiamo

la lastra piana equivalente alla quale applicheremo la citata teoria della corrente per-

turbata di Sears [5] ; la corda e l’angolo d’attacco equivalenti possono essere ricavati

eguagliando l’andamento della portanza del profilo alare nell’intorno dell’angolo di

portanza nulla con la relazione nota per la lastra piana [7]

(162) (CP )LP = 2π sen(ϕ)

ottenendo

(163) αLP = α+ α0 CLP = C1

2π

(∂CP∂α

)−α0

.

Determiniamo la componente normale alla lastra piana equivalente della velocita

tralasciano il termine stazionario del quale abbiamo gia calcolato gli effetti. Bisogna

considerare che, quando la generatrice della pala dell’elica si trova all’angolo ϑ, il

centro della lastra piana equivalente3, che e il riferimento per il calcolo delle azioni

periodiche, si trova in ϑ + δ con

(164) δ =d cos(α)

2π r

nella quale d e positivo se sposta il bordo d’attacco del profilo alare nel verso positivo

di ϑ (tav l).

2. Trascureremo le componenti non stazionarie della resistenza

3. Supponiamo che δ della lastra piana equivalente sia coincidente con quello del profilo alare

108 PARTE VI

TAVOLA LII – Lastra piana equivalente

Per la velocita normale assumiamo positivo il verso da poppa a prua (ovvero

il verso della spinta che agisce sull’elica) ottenendo

(165)

vN(r, ϑ) = − vC(r, ϑ+ δ) sen (αLP ) − vA(r, ϑ+ δ) cos (αLP ) =

=−∞∑

n1

{⟨aCn (r) cos [n(ϑ+ δ)] + bCn (r) sen [n(ϑ+ δ)]

⟩sen (αLP ) +

+⟨aAn (r) cos [n(ϑ+ δ)] + bAn (r) sen [n(ϑ+ δ)]

⟩cos (αLP )

}=

=∞∑

n1

[aNn (r) cos(nϑ) + bNn (r) sen(nϑ)

]nell’ultima della quali abbiamo sostituito

(166)

aNn (r) = −[aCn (r) sen (αLP ) + aAn (r) cos (αLP )

]cos(nδ) +

−[bCn (r) sen (αLP ) + bAn (r) cos (αLP )

]sen(nδ)

bNn (r) = −[bCn (r) sen (αLP ) + bAn (r) cos (αLP )

]cos(nδ) +

+[aCn (r) sen (αLP ) + aAn (r) cos (αLP )

]sen(nδ) .

La lunghezza d’onda dell’ennesima armonica della perturbazione risulta,

rispettivamente in valore assoluto ed adimensionalizzata rispetto alla semicorda,

(167) Ln =2π rn

λm =2LnCLP

=4π rnCLP

pertanto, dalla (153), possiamo calcolare le parti reale ed immaginaria della funzione

di Sears che indicheremo, per brevita, con An e Bn.

(168) An = A (λn) Bn = B (λn)


A questo punto possiamo determinare la portanza con l’uso della (154) osservando

che la definizione di V0 non corrisponde a quella utilizzata nel presente capitolo

pertanto al posto di V0 inseriamo nella formula V T0 = V0 cos (αLP − β) ottenendo

(169)

Pn(r, ϑ) =12%CLP

(V T

0

)2 · 2π[(

aNn (r)AnV T

0

+bNn (r)BnV T

0

)cos(nϑ) +

+(bNn (r)AnV T

0

− aNn (r)BnV T

0

)sen(nϑ)

]=

= ϕNn (r) cos(nϑ) + ψNn (r) sen(nϑ)

nella quale sono state introdotte

(170)

ϕNn (r) = π %CLP VT

0

[aNn (r)An + bNn (r)Bn

]ψNn (r) = π %CLP V

T0

[bNn (r)An − aNn (r)Bn

].

In maniera elementare possiamo determinare le componenti assiale e circonferenziale

delle azioni non stazionarie sull’elemento di pala

(171)

FAn = Pn cos(αLP ) = ϕAn (r) cos(nϑ) + ψAn (r) sen(nϑ)

FCn = −Pn sen(αLP ) = ϕCn (r) cos(nϑ) + ψCn (r) sen(nϑ)

avendo definito

(172)

ϕAn = ϕNn cos(αLP )

ψAn = ψNn cos(αLP )

ϕCn = −ϕNn sen(αLP )

ψCn = −ψNn sen(αLP ) .

Sfruttando i risultati delle (161) e (171) scriviamo

(173) FA =∞∑

n0

FAn FC =

∞∑n

0

FCn

che rappresentano le azioni, stazionarie e non, sull’elemento di pala.

§ 32. Forze e momenti agenti sulle pale

Note, ad ogni raggio, le azioni idrodinamiche sull’elemento di pala, il calcolo

delle risultanti sull’intera pala e una semplice integrazione tuttavia bisogna osser-

vare che non e possibile definire analiticamente l’andamento delle forze in funzione

110 PARTE VI

del raggio per tanto ci si deve affidare a metodi di quadratura approssimata. Tra i

molteplici metodi di integrazione ne prendiamo in considerazione due: l’integrazione

attraverso curve interpolanti ed il metodo di Simpson. Nel primo caso interpoliamo

i punti noti della funzione integranda con le curve definite nel §8 per poi integrare la

funzione risultante mentre nel secondo applichiamo il classico metodo di Simpson.

Apparentemente il primo metodo e piu accurato ma, in verita, sono entrambi accu-

rati al terz’ordine pertanto, a parita di punti utilizzati, sono equivalenti. Per questo

motivo, in considerazione della maggior semplicita ed affidabilita, e preferibile il

metodi di Simpson nei casi in cui e applicabile cioe in quelle situazioni in cui i valori

della funzione integranda sono noti in punti distribuiti con sufficiente regolarita da

essere compatibili con il metodo.

Le forze assiale e circonferenziale agenti sulla pala risultano dalle espressioni

(174)

FPA (ϑ) =

R∫RM

FA(r) dr = ΦA0 +

∞∑n

1

[ΦAn cos(nϑ) + ΨA

n sen(nϑ)]

FPC (ϑ) =

R∫RM

FC(r) dr = ΦC0 +

∞∑n

1

[ΦCn cos(nϑ) + ΨC

n sen(nϑ)]

nelle quali i coefficienti delle serie di Fourier sono gli integrali

(175)

ΦAn =

R∫RM

ϕAn (r) dr

ΨAn =

R∫RM

ψAn (r) dr

ΦCn =

R∫RM

ϕCn (r) dr

ΨCn =

R∫RM

ψCn (r) dr

che, come detto, devono essere calcolati con metodi approssimati.

In maniera del tutto analoga possono essere determinati i momenti torcente

e flettente agenti sulle pale. Tali momenti sono interessanti per la determinazione

delle azioni sull’elica pertanto sono riferiti ad assi che passano per il centro dell’elica


stessa; i momenti da utilizzarsi per le verifiche strutturali delle pale dell’elica possono

essere calcolati in maniera similare ma sono differenti da quelli che seguono

(176)

MPF (ϑ) =

R∫RM

FA(r) r dr = ΦF0 +

∞∑n

1

[ΦFn cos(nϑ) + ΨF

n sen(nϑ)]

MPT (ϑ) =

R∫RM

FC(r) r dr = ΦT0 +

∞∑n

1

[ΦTn cos(nϑ) + ΨT

n sen(nϑ)]

nelle cui espressioni vale

(177)

ΦFn =

R∫RM

ϕAn (r) r dr

ΨFn =

R∫RM

ψAn (r) r dr

ΦTn =

R∫RM

ϕCn (r) r dr

ΨTn =

R∫RM

ψCn (r) r dr .

§ 33. Forze e momenti agenti sull’elica

Ci accingiamo a calcolare le sei grandezze dinamiche che agiscono sull’elica;

queste, com’e noto dalla meccanica razionale, sono tre forze (FA, FX , FY ) e tre

momenti (MT , MX , MY ).

Rammentiamo alcune espressioni matematiche, le cui dimostrazioni trala-

sciamo, che ci saranno utili in seguito

(178)z∑n

1

cos(

2πnm

z

)=

z se

m

z∈ IN

0 sem

z6∈ IN

z∑n

1

sen(

2πnm

z

)= 0

e le note formule trigonometriche

(179)

cos α cos β =

12

[cos(α− β) + cos(α+ β)]

sen α sen β =12

[cos(α− β) − cos(α+ β)]

sen α cos β =12

[sen(α− β) + sen(α+ β)] .

112 PARTE VI

Introduciamo l’angolo interpalare ε cioe la distanza angolare tra due pale

successive dell’elica che, indicando con z4 il numero di pale, risulta

(180) ε =2 πz

dunque le forze agenti sull’elica vengono espresse da

(181)

FA(ϑ) =z∑n

1

FPA (ϑ+ nε)

FX(ϑ) =z∑n

1

FPC (ϑ+ nε) cos(ϑ+ nε)

FY (ϑ) =z∑n

1

FPC (ϑ+ nε) sen(ϑ+ nε)

mentre i momenti da

(182)

MT (ϑ) =z∑n

1

MPT (ϑ+ nε)

MX(ϑ) = −z∑n

1

MPF (ϑ+ nε) sen(ϑ+ nε)

MY (ϑ) =z∑n

1

MPF (ϑ+ nε) cos(ϑ+ nε) .

Le espressioni riportate, tutta via, sono poco significative; possiamo ottenere risul-

tati piu interessanti sostituendovi le (174) e (176).

Manipoliamo, dunque, l’espressione della spinta assiale.

FA(ϑ) =z∑n

1

{ΦA

0 +∞∑

m1

⟨ΦAm cos[m(ϑ+ nε)] + ΨA

m sen[m(ϑ+ nε)]⟩}

=

= zΦA0 +

∞∑m

1

{ΦAm

z∑n

1

[cos(mϑ) cos(mnε) − sen(mϑ) sen(mnε)] +

+ ΨAm

z∑n

1

[sen(mϑ) cos(mnε) + cos(mϑ) sen(mnε)

}=

4. Il numero di pale e supposto superiore ad uno (z>1)


= zΦA0 +

∞∑m

1

{ΦAm

[cos(mϑ)

z∑n

1

cos(

2πnm

z

)− sen(mϑ)

z∑n

1

sen(

2πnm

z

)]+

+ ΨAm

[sen(mϑ)

z∑n

1

cos(

2πnm

z

)+ cos(mϑ)

z∑n

1

sen(

2πnm

z

)]}

(183) ⇒ FA(ϑ) = z

[ΦA

0 +∞∑

m1

ΦAzm cos(zmϑ) + ΨA

zm sen(zmϑ)

]

In maniera del tutto analoga possiamo ottenere il momento torcente.

(184) MT (ϑ) = z

[ΦT

0 +∞∑

m1

ΦTzm cos(zmϑ) + ΨT

zm sen(zmϑ)

]

Procediamo, dunque, con il calcolo della FX .

FX(ϑ) =z∑n

1

{ΦC

0 cos(ϑ+ nε) +

+∞∑

m1

[ΦCm cos(mϑ+ nmε) cos(ϑ+ nε) + ΨC

m sen(mϑ+ nmε) cos(ϑ+ nε)]}

=

= ΦC0

z∑n

1

cos(ϑ+ nε) +

+∞∑

m1

{ΦCm

z∑n

1

12〈cos[(m− 1)ϑ+ n(m− 1)ε] + cos[(m+ 1)ϑ+ n(m+ 1)ε]〉 +

ΨCm

z∑n

1

12〈sen[(m− 1)ϑ+ n(m− 1)ε] + sen[(m+ 1)ϑ+ n(m+ 1)ε]〉

}=

=12

∞∑m

0

[ΦCm+1

z∑n

1

cos(mϑ+ nmε) + ΨCm+1

z∑n

1

sen(mϑ+ nmε)

]+

+12

∞∑m

2

[ΦCm−1

z∑n

1

cos(mϑ+ nmε) + ΨCm−1

z∑n

1

sen(mϑ+ nmε)

]=

=z

2

{∞∑

m0

[ΦCzm+1 cos(zmϑ) + ΨC

zm+1 sen(zmϑ)]

+

+∞∑

m2

[ΦCzm−1 cos(zmϑ) + ΨC

zm−1 sen(zmϑ)]}

114 PARTE VI

(185)

⇒ FX(ϑ) =z

2

{ΦC

1 + ΦCz+1 cos(zϑ) + ΨC

z+1 sen(zϑ) +

+∞∑

m2

[(ΦCzm+1 + ΦC

zm−1

)cos(zmϑ) +

(ΨCzm+1 + ΨC

zm−1

)sen(zmϑ)

]}

Con gli stessi passaggi formali arriviamo alla determinazione della componente y

del momento flettente.

(186)

MY (ϑ) =z

2

{ΦF

1 + ΦFz+1 cos(zϑ) + ΨF

z+1 sen(zϑ) +

+∞∑

m2

[(ΦFzm+1 + ΦF

zm−1

)cos(zmϑ) +

(ΨFzm+1 + ΨF

zm−1

)sen(zmϑ)

]}

Con manipolazioni algebriche e trigonometriche duali a quelle che ci hanno permesso

di scrivere le (185) e (186) determiniamo le espressioni di FY ed MX .

(187)

FY (ϑ) =z

2

{ΨC

1 + ΨCz+1 cos(zϑ) − ΦC

z+1 sen(zϑ) +

+∞∑

m2

[(ΨCzm+1 −ΨC

zm−1

)cos(zmϑ) +

(ΦCzm−1 − ΦC

zm+1

)sen(zmϑ)

]}

(188)

MX(ϑ) =z

2

{−ΨF

1 − ΨFz+1 cos(zϑ) + ΦF

z+1 sen(zϑ) +

+∞∑

m2

[(ΨFzm−1 −ΨF

zm+1

)cos(zmϑ) +

(ΦFzm+1 − ΦF

zm−1

)sen(zmϑ)

]}

Nelle formule ora scritte le azioni idrodinamiche sull’elica sono espresse

in funzione della posizione angolare; qualora sia necessario esplicitare la variabile

temporale e sufficiente attuare la sostituzione

(189) ϑ = ω t .

Le sei azioni calcolate sono utili, in fase progettuale, per il dimensionamento

della linea d’assi e dei relativi cuscinetti; in oltre, nel caso in cui alcune di dette


grandezze siano eccessive, si evidenzia l’opportunita di riprogettare l’elica modifi-

cando il numero di pale o la forma delle pale stesse.

La spinta assiale FA serve a dimensionare il cuscinetto reggispinta ma non

induce problemi di vibrazioni sulla linea d’assi; le componenti della forza trasver-

sale FX ed FY nonche le componenti del momento flettente MX ed MY sono dati

indispensabili per il proporzionamento del cuscinetto nel ringrosso ma anch’esse

non producono effetti negativi sulla linea d’assi; la componente non stazionaria del

momento torcente MT , in fine, eccita la linea d’assi in modo da indurre vibrazioni

torsionali: e questa l’unica azione che ci interessa ai fini del progetto della linea d’assi

essendo una delle forzanti delle eventuali vibrazioni torsionali che sono oggetto di

studio della prossima parte.

PARTE VII

VIBRAZIONI TORSIONALI

DELLA LINEA D’ASSI

§ 34. Schematizzazione della linea d’assi

Ai fini del calcolo delle vibrazioni torsionali la linea d’assi viene ridotta ad

un’insieme di volani, dei quali e noto il momento d’inerzia In collegati da elementi

elastici di rigidezza torsionale kn e privi d’inerzia tuttavia e opportuno che il mo-

mento d’inerzia degli assi sia ripartito e sommato a quello proprio dei volani che

l’asse collega.

Tutte le macchine e gli accessorı presenti sulla linea d’assi devono essere

ridotti ad elementi semplici la qual cosa puo essere elementare per flangie e giunti

rigidi ma non per macchine piu complesse quali motori, riduttori ed alternatori-

118 PARTE VII

asse: la fonte principale di informazioni sono le monografie fornite dai produttori

delle macchine che dovrebbero fornire dati verificati in sede sperimentale e, di con-

seguenza, piu affidabili di quelli che potrebbero essere calcolati solo teoricamente.

Macchine particolarmente complesse quali i motori diesel, al cui interno potrebbero

instaurarsi moti vibratorı, possono venir schematizzate con un insieme di assi e

volani e non soltanto con un volano.

Oltre agli elementi elastici ed a quelli inerziali esistono componenti che

presentano caratteristiche dissipative quali smorzatori o giunti elastici. Lo smorza-

mento puo manifestarsi in due maniere: assoluto (hAn ) o relativo (hRn ). Nel primo

caso il momento smorzante e funzione del solo moto del volano che schematizza

lo smorzatore mentre nel secondo l’effetto e provocato dal moto reciproco di due

volani. Le caratteristiche di smorzamento sono indicate dai fornitori delle macchine

e, talvolta, possono non essere lineari; in questi casi il coefficiente di smorzamento,

linearizzato imponendo l’eguaglianza dell’energia dissipata, e funzione dell’ampiezza

della vibrazione cosı, se lo smorzamento e rilevante, puo essere necessario realizzare

delle iterazioni per risolvere il sistema aggiornando, ad ogni passo, il valore del coef-

ficiente di smorzamento in funzione dell’ampiezza delle vibrazioni determinate nel

passo precedente.

Particolare attenzione deve essere spesa per schematizzare l’elica poiche,

oltre al momento d’inerzia proprio dell’elica che e facilmente determinabile1 bisogna

tener conto degli effetti inerziali della massa aggiunta e delle caratteristiche smor-

zanti dell’acqua; in entrambi i casi ci si affida a metodi empirico-statistici poiche il

calcolo teorico e improponibile e le misure al vero (comunque indirette) sono possibili

soltanto dopo che la nave e stata costruita.

1. In prima approssimazione si puo usare la formula I = %D5

1000AEAD

VIBRAZIONI TORSIONALI DELLA LINEA D’ASSI 119

Le forzanti del sistema sono momenti non stazionarı applicati sui volani. Le

maggiori fonti di vibrazioni sono il motore e l’elica ma anche le azioni di elementi

quali il riduttore e l’alternatore-asse possono indurre effetti non trascurabili. Il

momento trasmesso dall’elica e stato oggetto di studio del presente lavoro mentre

per le macchine ci si affida alle specifiche tecniche.

TAVOLA LIII – Schematizzazione della linea d’assi

Nel caso in cui sia presente un riduttore ci troviamo nella situazione in cui la

linea d’assi e divisa in due parti le quali ruotano con velocita differente; indichiamo

con ωE la velocita angolare dell’elica e con ωM quella del motore. Se decidiamo, ad

esempio, di prendere come riferimento la parte di asse vicina al motore dobbiamo

calcolare le caratteristiche degli elementi presenti sull’altra parte dell’asse riportate

all’asse di calcolo. Tale operazione e relativamente semplice e, dall’eguaglianza

dell’energia e della quantita di moto, discende che basta moltiplicare la grandezza in

esame per il quadrato del rapporto ωEωM

. Indicando con l’apice le grandezze riportate

all’asse motore risulta

(190) I ′n= In

(ωEωM

)2

k′n= kn

(ωEωM

)2

hAn′= hAn

(ωEωM

)2

hRn′= hRn

(ωEωM

)2

.

120 PARTE VII

Per riportare all’asse motore i momenti forzanti e, in vece, sufficiente moltiplicarli

per il rapporto ωEωM

(191) M ′n = Mn

ωEωM

.

Possiamo, quindi, scrivere il sistema2 di equazioni differenziali che descri-

vono i moti vibratorı dell’asse indicando con ϑn la posizione angolare dell’ennesimo

volano e lasciando cadere gli apici, per semplicita, dalle grandezze sull’asse dell’elica

riportate all’asse del motore.

(192)

I0 ϑ0 + hA0 ϑ0 + hR1

(ϑ0 − ϑ1

)+ k1 (ϑ0 − ϑ1) = M0

I1ϑ1+ hA1 ϑ1+ hR1

(ϑ1− ϑ0

)+ hR2

(ϑ1− ϑ2

)+ k1(ϑ1− ϑ0)+ k2(ϑ1− ϑ2)= M1

. . . . .

IN ϑN + hAN ϑN + hRN

(ϑN − ϑN−1

)+ kN (ϑN − ϑN−1) = MN

Nel caso che ogni elica sia mossa da due motori (situazione frequente per le

navi militari ed i veicoli marini veloci) e possibile scrivere il sistema differenziale in

maniera del tutto simile a quella ora descritta.

§ 35. Soluzione del sistema differenziale

Il sistema (192) puo essere ridotto ad un semplice sistema algebrico com-

plesso con il metodo di Fourier. Si esegue l’analisi armonica di tutte le forzanti

ovvero le si esprime nella forma

(193) Mn = Re

Qn∑q

1

mnqeiωnqt

2. Il sistema riporta tutti i possibili smorzamenti assoluti e relativi ma, nella realta, ce ne sono molti di meno


dove si trascura il termine costante che, ai fini vibratorı, e indifferente. Generalmente

sono rilevanti le prime armoniche fino, al piu, alla ventesima e si noti che ogni

macchina potrebbe generare forzanti con pulsazioni differenti.

A questo punto possiamo risolvere il sistema per ogni pulsazione delle

forzanti individuata e poi sommare tutte le soluzioni trovate; possiamo trascurare

la soluzione propria del sistema perche, essendo il sistema smorzato3, tale soluzione

si estingue e pertanto interessa soltanto i transitorı.

Individuata la pulsazione ω per la quale risolviamo il sistema esprimiamo

la posizione angolare del generico volano nella forma complessa

(194) ϑn = Re(Θn eiωt

)⇒

ϑn = Re(iωΘn eiωt

)ϑn = Re

(−ω2Θn eiωt

)essendo Θn un numero complesso. Possiamo, dunque, riscrivere il sistema in forma

complessa4 riportando soltanto le forzanti che hanno pulsazione ω.

(195)

Θ0

[k1 + iω

(hA0 + hR1

)− ω2I0

]− Θ1

(k1 + iωhR1

)= m0(ω)

−Θ0

(k1 + iωhR1

)+ Θ1

[k1 + k2 + iω

(hA1 + hR1 + hR2

)− ω2I1

]+

− Θ2

(k2 + iωhR2

)= m1(ω)

. . . . .

−ΘN−1

(kN + iωhRN

)+ ΘN

[kN + iω

(hAN + hRN

)− ω2IN

]= mN(ω)

Essendo un sistema tridiagonale a banda e possibile risolverlo velocemente

con un semplice algoritmo di diagonalizzazione ancorche operante con i numeri com-

plessi. Il risultato sono i numeri complessi Θn che rappresentano l’ampiezza e la

fase delle vibrazioni torsionali dei relativi volani; nei casi in cui il volano in oggetto

3. Sicuramente almeno l’elica produce smorzamento

4. Di questo sistema, in verita, ci interessa soltanto la parte reale

122 PARTE VII

appartenga all’asse dell’elica l’ampiezza dell’oscillazione va moltiplicata per il coef-

ficiente ωEωM

.

§ 36. Calcolo delle pulsazioni proprie di risonanza

E sempre bene calcolare le condizioni di risonanza dell’asse dell’elica onde

poterne verificare il comportamento in queste situazioni. A tal fine basta eliminare

gli smorzamenti e le forzanti dalla (195) e dividere ogni riga per il momento d’inerzia

che vi compare.

(196)

ϑ0

(k1

I0

− ω2

)− ϑ1

k1

I0

= 0

− ϑ0

k1

I1

+ ϑ1

(k1 + k2

I1

− ω2

)− ϑ2

k2

I2

= 0

. . . . .

− ϑN−1

kNIN

+ ϑN

(kNIN− ω2

)= 0

Essendo tutti i termini noti nulli la ricerca delle soluzioni non banali consta nell’ im-

porre l’annullamento del determinante della matrice associata al sistema. Definendo

la matrice

(197) ‖A‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

k1I0

−k1I0

0 0 ... 0

−k1I1

k1+k2I1

−k2I1

0 ... 0

...0 ... 0 0 −kN

IN

kNIN

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥il sistema (196) in forma matriciale diventa

(198)(‖A‖ − ω2 ‖I‖

)~Θ = ~0

pertanto le pulsazioni di risonanza al quadrato corrispondono agli autovalori della

matrice ‖A‖. Applicando il teorema di Gerschgorin [16] alla matrice ‖A‖ possiamo


concludere che tutti gli autovalori sono compresi nell’intervallo5

(199) [ 0 , 2 max( ann ) ]

ove ann sono gli elementi della diagonale principale della matrice ‖A‖. Pertanto gli

autovalori sono non negativi e, di conseguenza, e possibile estrarne radici reali che

corrispondono alle pulsazioni di risonanza.

Trovare gli autovalori di una matrice e un problema fastidioso da risolvere

pertanto si utilizza spesso l’algoritmo di Holzer. Fissiamo ω ed assegnamo a ϑ0 il

valore unitario; esplicitiamo nel sistema (196) tutte le altre incognite riga per riga;

dall’ultima riga determiniamo un momento M∗ che risulta nullo se e soltanto se la

pulsazione ω e di risonanza.

(200)

ϑ0 = 1

ϑ1 = ϑ0

(1− I0

k1

ω2

)ϑ2 = −k1

k2

ϑ0 + ϑ1

(1 +

k1

k2

− I1

k2

ω2

). . . . .

ϑN = −kN−1

kNϑN−2 + ϑN−1

(1 +

kN−1

kN− IN−1

kNω2

)M∗ = −kN

INϑN−1 +

(kNIN− ω2

)ϑN

In definitiva abbiamo ridotto il problema alla ricerca degli zeri della funzione M∗(ω)

all’interno del dominio (199); si puo facilmente concludere campionando i valori della

funzione all’interno del dominio con un passo sufficientemente piccolo; nei casi reali

e piu che sufficiente il passo dieci poiche dieci radianti al secondo corrispondono a

circa 1,6Hz. Tracciato il grafico della funzione risulta immediata l’individuazione

degli zeri mentre e inopportuno affidarsi ad algoritmi automatici perche, nel caso di

soluzioni doppie, potrebbero mandare l’algoritmo alle stelle.

5. Questa proprieta vale esclusivamente per la matrice in oggetto

BIBLIOGRAFIA

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Bibliografia ordinata cronologicamente secondo la data della prima pubblicazione

126 BIBLIOGRAFIA

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127

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Terminata l’otto novembre MM

MOTO VARIO DELL’ELICA IN SCIA NON UNIFORME · III Validazione del metodo di contrazione della...

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