Một số bài toán bất đẳng thức

Bài toán 1

2

1 cos 3 1 cos 1 cos 0x x x

2

3

2

11 cos 1 cos 2 2cos 1 cos 1 cos

2

1 4 323

2 3 27

3 1 cos 1 cos 0

x x x x x

x x

max 3 cos 12

y x x k

Bài toán 2

9 9 9 3 3 3

3 3 3 3 3 3 4

x y z x y z

x y z y z x z x y

Cho x, y, z thỏa Chứng minh rằng

3 3 3 1x y z

Ta cần chứng minh

Từ giả thiết ab + bc +ca = abc và bất đẳng thức cuối, ta cần chứng minh :

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2x y z y z x z x yP

yz zx xy

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

4 4 4

1 1 1

x y z y z x z x yP

y z z x x y

x y z

x y z

2 1

1 4

x xx

x

Bài toán 3

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

4 4 4

4( ) 2 2

2( )

x y z y z x z x yP

y z z x x y

x y z

y z z x x y

x y xx y z

x y z

Nếu không quy mỗi số hạng về hàm theo x, y, z thì

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

Px y y z x z y z

Bài toán 4

2

2 2

2

2

4 4 1 2 2

2 1 11 1

4 32 32 2

2 (3 ) 9

Py zy z

y z x

Cách giải nào sai?

Cách 1

2

1 1

2 4

1 1

4 4

1

Px y y z x z y z

x xy z x y x z

x

Cách 2

Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

yz xyzxP

x yz y zx z xy

Bài toán 5

21 11

2 22 2 2

11

2

yz x yz x x

x yz x yz x yz

x

x y z

Kĩ thuật Cauchy ngược dấu

Cho các số thực dương a, b, c có a + b + c = 3. Chứng minh rằng

2 2 2

3

1 1 1 2

a b c

b c a

Bài toán 6

2 2 2

2 2 2

2

(1 )

1 1 1

2 2

a a b ab aba

b b b

ab aba a

b

Ta có

Tương tự cho 2 số hạng còn lại

Chú ý rằng 2

3

a b cab bc ca

Cho a, b, c là ba số thực thỏa x + y + z = 3 Chứng minh rằng4 4 42 2 2 3 3x y z

Bài toán 7

Xét hàm số 4( ) 2f t t

PTTT tại t = 12 1

3 3y t

Ta chứng minh 4

4

2 12 0

3 3

6 3 2 1

t t

t t

(1)

Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng

Bài toán 7

Ta chứng minh 4

4

2 12 0

3 3

6 3 2 1

t t

t t

(1)

Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng

Với 1

,2

t

2 2 221 2 1 1 1 2 0t t t

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên (1) được CM

Vậy ta được 2 33 3

3 3P x y z

x

y

g x = 2

3 x+

1

3

2

f x = 2+x4

1

Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức

1 1 1

4 4 4F

ab bc ca

Bài toán 8

Ta có

Đặt

Xét hàm số 1( ) , 0;12

8f t t

t

4 4 4 3a b c

2 2

2 2

1 2

2 4 8 ( )

a bab

ab a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( )

( ) 0 12

( )

x b c

y c a x y z

z a b

21 1 5 1 1( 2) (4 ). 0,

144 36 1448 8

(0;12)

t t tt t

t

Tiếp tuyến tại t = 4 là và1 5

144 36y t

Bài toán 9

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

Bài toán 10 (KD – 2012)

Nhận xét: Giả thiết và kết luận đều có tính đối xứng đối với 2 biến nên có thể đặt s = x + y, p = x.y

Xét hàm số 3 23

( ) 3 6,0 82

f s s s s s

2( ) 8( ) 0 0 8Gt x y x y x y 2 23

4 62

s p p s 3

3 2

( ) 6 3( ) 6

3 ( ) ( ) 3( ) 6

2

A x y xy x y

x y x y x y

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện

Tìm GTLN của

Bài toán 11 (KB – 2012)

2

2 2 2

1( )

0 2

1 2 2

3 3

xy x yx y z

x y zx y

55 5 5 5 5

3 3 2 2

3 3

5 + 10

5 1 5 5 ( ) ( ) ,

2 2 2 4

P x y z x y x y

xy x y x y x y

x y x y t t t x y

2 2 20, 1x y z x y z 5 5 5P x y z

Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện

. Tìm GTNN của biểu thức

Bài toán 12 (KA – 2012)

0x y z 2 2 23 3 3 6 6 6x y y z z xP x y z

x + y + z = 0 nên z = - (x + y) và có 2 số không âm hoặc không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy 0

2 2 2 23 3 3 12( )x y y x x yP x y xy 2 2 23 3 3 12[( ) ]x y y x x y x y xy

2 2

223 2.3 12[( ) ]

y x x y

x y x y xy

3

23 2.3 2 3x y

x y x y

2 2

223 2.3 12[( ) ]

y x x y

x y x y xy

Đặt 0t x y xét 3( ) 2.( 3) 2 3tf t t

3

3

' 2.3( 3) .ln 3 2 3

2 3( 3.( 3) ln 3 1) 0

t

t

f t

f đồng biến trên [0; +) f(t) f(0) = 2 Mà 30 = 1. Vậy P 30 + 2 = 3, dấu “=” xảy ra x = y = z = 0. Vậy min P = 3.

Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT

Cho a, b, c laø 3 soá döông thoûa maõn ñieàu kieän a + b + c = 2. Chöùng minh raèng:

Bài toán 13 (HSGTN – 2012)

27 28 ( )ab bc ca abc

Sau đây ta xét cách giải bằng phương pháp dùng hàm số

2827 28

27 ( )ab bc ca abc A ab bc ca abc

2

22

3 2

1

22 1 2 1

4 44 4 0 2

( )

( ),

A c a b ab c

a b cc c c c c c

A c c f c c

2

0'( ) 3 2 0 2

3

cf c c c

c

112 284

27 27A A

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2

3a b c

Bài toán 14

Bài toán 15