Mordecai-Mark Mac Low- The Energy Dissipation Rate of Supersonic, Magnetohydrodynamic Turbulence in...

8/3/2019 Mordecai-Mark Mac Low- The Energy Dissipation Rate of Supersonic, Magnetohydrodynamic Turbulence in Molecula

1/18

T h e E n e r g y D i s s i p a t i o n R a t e o f S u p e r s o n i c ,

M a g n e t o h y d r o d y n a m i c T u r b u l e n c e i n M o l e c u l a r C l o u d s

M o r d e c a i - M a r k M a c L o w

M a x - P l a n c k - I n s t i t u t f u r A s t r o n o m i e , K o n i g s t u h l 1 7 , D - 6 9 1 1 7 H e i d e l b e r g , G e r m a n y

E - m a i l : m o r d e c a i @ m p i a - h d . m p g . d e

A B S T R A C T

M o l e c u l a r c l o u d s h a v e b r o a d l i n e w i d t h s s u g g e s t i n g t u r b u l e n t s u p e r s o n i c

m o t i o n s i n t h e c l o u d s . T h e s e m o t i o n s a r e u s u a l l y i n v o k e d t o e x p l a i n w h y

m o l e c u l a r c l o u d s t a k e m u c h l o n g e r t h a n a f r e e - f a l l t i m e t o f o r m s t a r s . I t h a s

c l a s s i c a l l y b e e n t h o u g h t t h a t s u p e r s o n i c h y d r o d y n a m i c a l t u r b u l e n c e w o u l d

d i s s i p a t e i t s e n e r g y q u i c k l y , b u t t h a t t h e i n t r o d u c t i o n o f s t r o n g m a g n e t i c e l d s

c o u l d m a i n t a i n t h e s e m o t i o n s . I n a p r e v i o u s p a p e r i t h a s b e e n s h o w n , h o w e v e r ,

t h a t i s o t h e r m a l , c o m p r e s s i b l e , M H D a n d h y d r o d y n a m i c a l t u r b u l e n c e d e c a y a t

v i r t u a l l y t h e s a m e r a t e , r e q u i r i n g t h a t c o n s t a n t d r i v i n g o c c u r t o m a i n t a i n t h e

o b s e r v e d t u r b u l e n c e . I n t h i s p a p e r d i r e c t n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s o f u n i f o r m l y

d r i v e n t u r b u l e n c e w i t h t h e Z E U S a s t r o p h y s i c a l M H D c o d e a r e u s e d t o d e r i v e

t h e a b s o l u t e v a l u e o f e n e r g y d i s s i p a t i o n , w h i c h i s f o u n d t o b e

_

E

k i n

'

v

m

~

k v

3

r m s

;

w i t h

v

= 0 : 2 1 = , w h e r e v

r m s

i s t h e r o o t - m e a n - s q u a r e v e l o c i t y i n t h e r e g i o n , E

k i n

i s t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y i n t h e r e g i o n , m i s t h e m a s s o f t h e r e g i o n , a n d

~

k i s t h e

d r i v i n g w a v e n u m b e r . T h e r a t i o o f t h e f o r m a l d e c a y t i m e E

k i n

=

_

E

k i n

o f t u r b u l e n c e

t o t h e f r e e - f a l l t i m e o f t h e g a s c a n t h e n b e s h o w n t o b e

( ) =

M

r m s

1

4

v

;

w h e r e M

r m s

i s t h e r m s M a c h n u m b e r , a n d i s t h e r a t i o o f t h e d r i v i n g w a v e l e n g t h

t o t h e J e a n s w a v e l e n g t h . I t i s l i k e l y t h a t


2/18

{ 2 {

1 . I n t r o d u c t i o n

S t a r - f o r m i n g m o l e c u l a r c l o u d s a p p e a r t o h a v e l i f e t i m e s m o r e t h a n a n o r d e r o f m a g n i t u d e

l o n g e r t h a n i t w o u l d t a k e t h e m t o g r a v i t a t i o n a l l y c o l l a p s e i n t h e a b s e n c e o f a n y s u p p o r t

( B l i t z & S h u 1 9 8 0 ) . T y p i c a l l i f e t i m e s a r e o f o r d e r 3 0 M y r , w h i l e t h e f r e e - f a l l t i m e

t

= ( 3 = 3 2 G )

1 = 2

= ( 1 : 2 1 0

6

y r ) ( n = 1 0

3

c m

3

)

1 = 2

; ( 1 )

w h e r e n i s t h e n u m b e r d e n s i t y o f t h e c l o u d a n d I a s s u m e t h e m e a n m o l e c u l a r m a s s

= 3 : 3 2 1 0

2 4

g . T h e g a s i n m o l e c u l a r c l o u d s a l s o a p p e a r s t o b e m o v i n g i n r a n d o m

d i r e c t i o n s a t s u p e r s o n i c v e l o c i t i e s , i n a f a s h i o n u s u a l l y d e s c r i b e d a s t u r b u l e n t . E v i d e n c e

f o r t h i s i n c l u d e s m o l e c u l a r e m i s s i o n l i n e s a n o r d e r o f m a g n i t u d e b r o a d e r t h a n t h e t h e r m a l

l i n e w i d t h , a n d t h e t r a n s i e n t , c l u m p y n a t u r e o f t h e c l o u d s ( B l i t z 1 9 9 3 ) .

T h e s e c l u m p s h a v e b e e n s t u d i e d i n s o m e d e t a i l b y S t u t z k i & G u s t e n ( 1 9 9 0 ) , a n d

b y W i l l i a m s , D e G e u s & B l i t z ( 1 9 9 4 ) , w h o s h o w e d t h a t r e g i o n s o f e n h a n c e d d e n s i t y c a n

b e s e p a r a t e d o u t b a s e d o n t h e i r c o h e r e n t v e l o c i t y s t r u c t u r e . S t u d i e s o f t h e f o r m a t i o n o f

p h o t o d i s s o c i a t i o n r e g i o n s b y p e n e t r a t i o n o f U V r a d i a t i o n i n t o t h e c l o u d s i n d e p e n d e n t l y

l e a d t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e g a s i s e x t r e m e l y c l u m p y ( S t u t z k i e t a l . 1 9 8 8 ) . A n o t h e r

i n d e p e n d e n t p i e c e o f e v i d e n c e f o r e x t r e m e c l u m p i n e s s i s t h e s t u d i e s o f d u s t e x t i n c t i o n o f

b a c k g r o u n d s t a r s t h r o u g h m o l e c u l a r c l o u d s b y L a d a e t a l . ( 1 9 9 4 ) a n d A l v e s e t a l . ( 1 9 9 8 )

t h a t s h o w g r e a t e r v a r i a n c e i n e x t i n c t i o n i n r e g i o n s w i t h g r e a t e r a v e r a g e e x t i n c t i o n . M o d e l s

o f t h e c h e m i c a l a b u n d a n c e s i n t h e d e n s e c l u m p s s h o w t h a t t h e y h a v e l i f e t i m e s o f o n l y

a m i l l i o n y e a r s o r l e s s , m u c h s h o r t e r t h a n t h e l i f e t i m e s o f t h e c l o u d s a s a w h o l e , b u t

c o m p a r a b l e t o d y n a m i c a l a n d c o l l a p s e t i m e s ( P r a s a d e t a l . 1 9 9 1 , B e r g i n e t a l . 1 9 9 7 ) .

I t h a s b e e n c l e a r s i n c e t h e d i s c o v e r y o f t h e s e s u p e r s o n i c m o t i o n s t h a t s u p e r s o n i c

t u r b u l e n c e w o u l d d e c a y q u i c k l y ( e . g . F i e l d 1 9 7 8 ) , a l t h o u g h t h e c o m m o n a r g u m e n t t h a t

i t w o u l d d e c a y m o r e q u i c k l y t h a n s u b s o n i c t u r b u l e n c e d u e t o t h e e x t r e m e l y d i s s i p a t i v e

n a t u r e o f s h o c k s h a s t u r n e d o u t n o t t o b e c o r r e c t ( M a c L o w e t a l . 1 9 9 8 a ; h e r e a f t e r

P a p e r I ) : r a t h e r , s u p e r s o n i c t u r b u l e n c e d e c a y s s o m e w h a t m o r e s l o w l y t h a n s u b s o n i c ,

i n c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n c e , t h o u g h b o t h d e c a y q u i c k l y . M a g n e t i c e l d s h a v e c l a s s i c a l l y

b e e n i n v o k e d t o m a i n t a i n t h e o b s e r v e d s u p e r s o n i c m o t i o n s . T h e a r g u m e n t h a s b e e n t h a t

t h e p r e s e n c e o f a s t r o n g e l d w o u l d t r a n s f o r m d i s s i p a t i v e s h o c k s t o n o n - d i s s i p a t i v e l i n e a r

m a g n e t o h y d r o d y n a m i c ( M H D ) w a v e s ( A r o n s & M a x 1 9 7 5 , M o u s c h o v i a s 1 9 7 5 ) . H o w e v e r ,

n u m e r i c a l m o d e l s s u g g e s t t h a t t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n e v e n m i l d l y n o n - l i n e a r A l f v e n

w a v e s i n e v i t a b l y g e n e r a t e s a s p e c t r u m o f A l f v e n w a v e s w i t h p o w e r r e a c h i n g d o w n t o t h e

d i s s i p a t i o n s c a l e , h o w e v e r t h a t m a y b e d e t e r m i n e d ( M a c L o w e t a l . 1 9 9 8 b ) . A s a r e s u l t ,

c o m p r e s s i b l e m a g n e t o h y d r o d y n a m i c ( M H D ) t u r b u l e n c e d e c a y s a t c l o s e e n o u g h t o t h e s a m e

r a t e a s h y d r o d y n a m i c t u r b u l e n c e a s t o n o t b e a s t r o p h y s i c a l l y d i s t i n g u i s h a b l e ( P a p e r I ) .

T h e r e f o r e t h e o b s e r v e d s u p e r s o n i c m o t i o n s m u s t b e d r i v e n o n t i m e s c a l e s s h o r t c o m p a r e d

t o a d y n a m i c a l t i m e . L u c k i l y , t h e r e i s n o s h o r t a g e o f p o t e n t i a l d r i v i n g m e c h a n i s m s . I n f a c t ,


3/18

{ 3 {

t h e p r o b l e m i s n o t o n e o f n d i n g a p l a u s i b l e d r i v i n g m e c h a n i s m , b u t r a t h e r o n e o f c h o o s i n g

f r o m t h e m u l t i p l e s u s p e c t s a t h a n d .

D i e r e n t i a l r o t a t i o n o f t h e g a l a c t i c d i s k ( F l e c k 1 9 8 1 ) i s a t t r a c t i v e a s i t s h o u l d a p p l y

e v e n t o c l o u d s w i t h o u t a c t i v e s t a r f o r m a t i o n . F u r t h e r m o r e , s u p p o r t o f c l o u d s a g a i n s t

c o l l a p s e b y s h e a r c o u l d e x p l a i n t h e o b s e r v a t i o n t h a t s m a l l e r d w a r f g a l a x i e s , w i t h l o w e r

s h e a r , h a v e l a r g e r s t a r - f o r m a t i o n r e g i o n s ( H u n t e r 1 9 9 8 ) . H o w e v e r , t h e q u e s t i o n a r i s e s

w h e t h e r t h i s l a r g e - s c a l e d r i v e r c a n a c t u a l l y c o u p l e e c i e n t l y d o w n t o m o l e c u l a r c l o u d

s c a l e s . B a l b u s - H a w l e y i n s t a b i l i t i e s m i g h t p l a y a r o l e h e r e ( B a l b u s & H a w l e y 1 9 9 8 ) .

T u r b u l e n c e d r i v e n b y g r a v i t a t i o n a l c o l l a p s e h a s t h e a t t r a c t i v e f e a t u r e o f b e i n g u n i v e r s a l :

t h e r e i s n o n e e d f o r a n y a d d i t i o n a l o u t s i d e e n e r g y s o u r c e , a s t h e s u p p o r t i n g t u r b u l e n c e i s

d r i v e n b y t h e c o l l a p s e p r o c e s s i t s e l f . U n f o r t u n a t e l y , i t h a s b e e n s h o w n b y K l e s s e n , B u r k e r t ,

& B a t e ( 1 9 9 8 ) n o t t o w o r k f o r g a s d y n a m i c s i n a p e r i o d i c d o m a i n . T h e t u r b u l e n c e d i s s i p a t e s

o n t h e s a m e t i m e s c a l e a s c o l l a p s e o c c u r s , w i t h o u t m a r k e d l y i m p e d i n g t h e c o l l a p s e . T h e

i n u e n c e o f m a g n e t i c e l d s o n t h i s p r o b l e m r e m a i n s a n o p e n q u e s t i o n , a l t h o u g h t h e r e s u l t s

o f P a p e r I s u g g e s t t h a t t h e y w i l l n o t b e i m p o r t a n t .

I o n i z i n g r a d i a t i o n ( M c K e e 1 9 8 9 , B e r t o l d i & M c K e e 1 9 9 7 , V a z q u e z - S e m a d e n i , P a s s o t

& P o u q u e t 1 9 9 5 ) , w i n d s , a n d s u p e r n o v a e f r o m m a s s i v e s t a r s p r o v i d e a n o t h e r p o t e n t i a l

s o u r c e o f e n e r g y t o s u p p o r t m o l e c u l a r c l o u d s . H e r e t h e p r o b l e m m a y b e t h a t t h e y a r e t o o

d e s t r u c t i v e , t e n d i n g r a t h e r t o d e s t r o y t h e m o l e c u l a r c l o u d t h e y a c t o n r a t h e r t h a n m e r e l y

s t i r r i n g i t u p . I f t h e c l o u d s c a n b e c o u p l e d t o a l a r g e r - s c a l e i n t e r s t e l l a r t u r b u l e n c e d r i v e n

b y m a s s i v e s t a r s , h o w e v e r , p e r h a p s t h i s p r o b l e m c a n b e a v o i d e d .

A n a l s u s p e c t f o r t h e d r i v i n g m e c h a n i s m i s j e t s a n d o u t o w s f r o m t h e m o r e u b i q u i t o u s

l o w - m a s s p r o t o s t a r s t h a t s h o u l d n a t u r a l l y f o r m i n a n y c o l l a p s i n g m o l e c u l a r c l o u d ( M c K e e

1 9 8 9 , F r a n c o & C o x 1 9 8 3 , N o r m a n & S i l k 1 9 8 0 ) , a l l o w i n g t h e a t t r a c t i v e p o s s i b i l i t y o f

s t a r - f o r m a t i o n b e i n g a s e l f - l i m i t i n g p r o c e s s . I t h a s r e c e n t l y b e c o m e c l e a r t h a t t h e s e j e t s c a n

r e a c h l e n g t h s o f s e v e r a l p a r s e c s ( B a l l y , D e v i n e , & A l t e n 1 9 9 6 ) , i m p l y i n g t o t a l e n e r g i e s o f

o r d e r t h e s t e l l a r a c c r e t i o n e n e r g y , a s s u g g e s t e d b y S h u e t a l . ( 1 9 8 8 ) o n t h e o r e t i c a l g r o u n d s .

H o w e v e r , i t r e m a i n s u n c l e a r w h e t h e r s p a c e - l l i n g t u r b u l e n c e c a n b e d r i v e n b y s t i c k i n g

n e e d l e s i n t o t h e m o l e c u l a r c l o u d s .

I n t h i s p a p e r I c o n s i d e r t h e m o s t g e n e r a l q u e s t i o n r e q u i r e d t o b e g i n d i s t i n g u i s h i n g

a m o n g t h e s e d i e r e n t m o d e l s : w h a t i s t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e o f t u r b u l e n c e u n i f o r m l y

d r i v e n a t s o m e s p e c i e d w a v e l e n g t h b y a n a r b i t r a r y f o r c i n g e l d ? I c o n s i d e r s u p e r s o n i c

t u r b u l e n c e i n t h e p r e s e n c e o f m a g n e t i c e l d s w i t h s t r e n g t h s r a n g i n g f r o m z e r o u p t o

s o m e w h a t a b o v e e q u i p a r t i t i o n w i t h t h e g a s m o t i o n s . I n o r d e r t o a p p l y m y r e s u l t s d i r e c t l y

t o m o l e c u l a r c l o u d s , I a d o p t a n i s o t h e r m a l e q u a t i o n o f s t a t e .


4/18

{ 4 {

2 . C o m p u t a t i o n a l T e c h n i q u e

T o c o m p u t e t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n f r o m u n i f o r m l y d r i v e n t u r b u l e n c e I u s e t h e

a s t r o p h y s i c a l M H D c o d e Z E U S - 3 D ( S t o n e & N o r m a n 1 9 9 2 a , b ) . T h i s i s a s e c o n d - o r d e r c o d e

u s i n g v a n L e e r ( 1 9 7 7 ) a d v e c t i o n t h a t e v o l v e s m a g n e t i c e l d s u s i n g a c o n s t r a i n e d t r a n s p o r t

m e t h o d ( E v a n s & H a w l e y 1 9 8 8 ) m o d i e d b y u p w i n d i n g a l o n g s h e a r A l f v e n c h a r a c t e r i s t i c s

( H a w l e y & S t o n e 1 9 9 5 ) , a n d t h a t r e s o l v e s s h o c k s u s i n g a V o n N e u m a n n t y p e a r t i c i a l

v i s c o s i t y . I t c o n t a i n s n o o t h e r e x p l i c i t d i s s i p a t i o n o r r e s i s t i v i t y t e r m s , b u t s t r u c t u r e s w i t h

s i z e a p p r o a c h i n g t h e g r i d r e s o l u t i o n a r e s u b j e c t t o t h e u s u a l n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n .

U s i n g n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n a n d a r t i c i a l v i s c o s i t y a s s u b s t i t u t e s f o r a m o d e l o f p h y s i c a l

d i s s i p a t i o n c a n b e j u s t i e d i f t h e d e t a i l s o f t h e b e h a v i o r a t t h e d i s s i p a t i o n s c a l e c a n b e

s e p a r a t e d f r o m t h e l a r g e r - s c a l e d y n a m i c s o f t h e o w . T h i s a s s u m p t i o n a p p e a r s t o b e v a l i d

i n t h e c a s e o f i n c o m p r e s s i b l e h y d r o d y n a m i c t u r b u l e n c e ( e . g . L e s i e u r 1 9 9 7 ) . I n P a p e r I w e

s t u d i e d w i t h s o m e c a r e t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r w e c o u l d a l s o m a k e t h i s a s s u m p t i o n i n

t h e c a s e o f d e c a y i n g s u p e r s o n i c o w w i t h o r w i t h o u t t h e p r e s e n c e o f m a g n e t i c e l d s . W e

p e r f o r m e d r e s o l u t i o n s t u d i e s w i t h g r i d s r a n g i n g f r o m 3 2

3

t o 2 5 6

3

z o n e s , a n d f o u n d t h a t

a t r e s o l u t i o n s g r e a t e r t h a n 6 4

3

z o n e s t h e p o w e r - l a w i n t i m e a t w h i c h t h e e n e r g y d e c a y e d

b e c a m e a l m o s t i n d e p e n d e n t o f t h e g r i d r e s o l u t i o n . B e c a u s e t h e g r i d r e s o l u t i o n d i r e c t l y

d e t e r m i n e s t h e s c a l e a t w h i c h b o t h t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n a n d t h e a r t i c i a l v i s c o s i t y a c t ,

t h i s s u g g e s t s t h a t t h e s e s c a l e s ( o r e q u i v a l e n t l y i n t h e c a s e o f t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n , i t s

s t r e n g t h ) a r e n o t i m p o r t a n t s o l o n g a s t h e y a r e s e p a r a t e d f r o m t h e d y n a m i c a l s c a l e . T o

f u r t h e r t e s t t h i s a s s u m p t i o n , w e a l s o c o m p a r e d o u r r e s u l t s i n t h e h y d r o d y n a m i c c a s e t o

c o m p u t a t i o n s o f t h e s a m e p r o b l e m u s i n g a s m o o t h e d p a r t i c l e h y d r o d y n a m i c s ( S P H ) c o d e ,

a n d f o u n d t h a t t h i s v e r y d i e r e n t n u m e r i c a l m e t h o d a g a i n g a v e v e r y s i m i l a r a n s w e r s .

O u r r e s o l u t i o n s t u d i e s d i d r e v e a l t h a t i n m o d e l s w i t h m a g n e t i c e l d s , c o n v e r g e n c e

o c c u r r e d m o r e s l o w l y i n m o d e l s w i t h i n i t i a l m a g n e t i c e n e r g y c l o s e t o e q u i p a r t i t i o n w i t h

t h e k i n e t i c e n e r g y . H o w e v e r , t h e d e c a y r a t e m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s e d w i t h r e s o l u t i o n i n

t h o s e m o d e l s . T h a t i s , i n m o d e l s w i t h s t r o n g m a g n e t i c e l d s , i n c r e a s e d r e s o l u t i o n r e s u l t e d

i n i n c r e a s e d , n o t d e c r e a s e d , d i s s i p a t i o n . D i s s i p a t i o n i n t h e s e m o d e l s p r o b a b l y o c c u r s d u e

t o t h e d i s s i p a t i o n o f s h o r t w a v e l e n g t h M H D w a v e s . H i g h e r r e s o l u t i o n m a y b e t t e r r e s o l v e

t h e p r o d u c t i o n o f t h e s e s m a l l w a v e l e n g t h w a v e s b y t h e i n t e r a c t i o n o f n o n - l i n e a r l o n g e r

w a v e l e n g t h w a v e s w i t h o n e a n o t h e r .

I p e r f o r m m y c o m p u t a t i o n s o n a t h r e e - d i m e n s i o n a l , u n i f o r m , C a r t e s i a n g r i d w i t h s i d e

L = 2 , e x t e n d i n g f r o m - 1 t o 1 w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n e v e r y d i r e c t i o n , u s i n g

a n i s o t h e r m a l e q u a t i o n o f s t a t e , w i t h s o u n d s p e e d c h o s e n t o b e c

s

= 0 : 1 . T h e i n i t i a l d e n s i t y

a n d , i n r e l e v a n t c a s e s , m a g n e t i c e l d a r e b o t h i n i t i a l i z e d u n i f o r m l y o n t h e g r i d , w i t h t h e

i n i t i a l d e n s i t y

0

= 1 a n d t h e i n i t i a l e l d p a r a l l e l t o t h e z - a x i s .

T o s e t u p a t u r b u l e n t o w I i n t r o d u c e v e l o c i t y p e r t u r b a t i o n s i n a f a s h i o n p e r h a p s t o o

m u c h i n s p i r e d b y m o d e l s o f i n c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n c e . I n t h o s e m o d e l s , a p u r e l y s o l e n o i d a l


5/18

{ 5 {

o w d r a w n f r o m a e l d o f G a u s s i a n u c t u a t i o n s w i t h a p o w e r s p e c t r u m f o l l o w i n g a p o w e r

l a w P ( k ) / k

q

i s s e t u p a s a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n t o t h e d i s t r i b u t i o n o f v o r t i c e s

t y p i c a l o f i n c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n c e , w i t h t h e i n d e x o f t h e p o w e r s p e c t r u m t y p i c a l l y c l o s e

t o t h e K o l m o g o r o v ( 1 9 4 1 ) v a l u e q = 5 = 3 . I n s i m u l a t i o n s o f s u p e r s o n i c t u r b u l e n c e , a p o w e r

l a w w i t h q = 2 h a s b e e n f o u n d ( e . g . P o r t e r , P o u q u e t & W o o d w a r d 1 9 9 2 , 1 9 9 4 ) . H o w e v e r ,

t h i s p o w e r s p e c t r u m a p p e a r s t o o c c u r f o r t h e s i m p l e r e a s o n t h a t t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f a

s t e p f u n c t i o n i s k

2

, a n d F o u r i e r t r a n s f o r m s a r e a d d i t i v e , s o t h e p o w e r s p e c t r u m o f a b o x

f u l l o f s h o c k s i s a l s o g o i n g t o b e c l o s e t o k

2

. T h e r e f o r e , s e t t i n g u p a o w d r a w n f r o m

a e l d o f G a u s s i a n u c t u a t i o n s w i t h P ( k ) / k

2

, w h e t h e r o n l y s o l e n o i d a l ( a s i s d o n e b y

P a d o a n & N o r d l u n d 1 9 9 7 ) , o r a l s o i n c l u d i n g c o m p r e s s i b l e m o d e s , w i l l n o t b e a p a r t i c u l a r l y

g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e s h o c k s t r u c t u r e t y p i c a l o f s u p e r s o n i c t u r b u l e n c e . N e v e r t h e l e s s ,

G a u s s i a n u c t u a t i o n s d r a w n f r o m a e l d w i t h p o w e r o n l y i n a n a r r o w b a n d o f w a v e n u m b e r s

a r o u n d s o m e v a l u e k d o o e r a v e r y s i m p l e a p p r o x i m a t i o n t o d r i v i n g b y m e c h a n i s m s t h a t

a c t o n t h a t s c a l e . C o m p a r i n g r u n s w i t h d i e r e n t k t h e n c a n g i v e s o m e i n f o r m a t i o n o n h o w ,

f o r e x a m p l e , t u r b u l e n c e d r i v e n b y l a r g e - s c a l e s h e a r i n g m o t i o n s m i g h t d i e r f r o m t u r b u l e n c e

d r i v e n b y l o w m a s s p r o t o s t a r s .

T h e r e f o r e , I i n i t i a l i z e t h e t u r b u l e n t o w , a s d e s c r i b e d i n P a p e r I , w i t h v e l o c i t y

p e r t u r b a t i o n s d r a w n f r o m a G a u s s i a n r a n d o m e l d d e t e r m i n e d b y i t s p o w e r d i s t r i b u t i o n

i n F o u r i e r s p a c e , f o l l o w i n g t h e u s u a l p r o c e d u r e : f o r e a c h t h r e e - d i m e n s i o n a l w a v e n u m b e r

~

k

w i t h k 1 j

~

k j k I r a n d o m l y s e l e c t a n a m p l i t u d e f r o m a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n a r o u n d

u n i t y a n d a p h a s e b e t w e e n z e r o a n d 2 . I t h e n t r a n s f o r m t h e e l d b a c k i n t o r e a l s p a c e t o

g e t a v e l o c i t y c o m p o n e n t i n e a c h z o n e , a n d m u l t i p l y b y t h e a m p l i t u d e r e q u i r e d t o g e t t h e

d e s i r e d i n i t i a l r o o t m e a n s q u a r e ( r m s ) v e l o c i t y . I r e p e a t t h i s f o r e a c h v e l o c i t y c o m p o n e n t

i n d e p e n d e n t l y t o g e t t h e f u l l v e l o c i t y e l d . T h u s t h e d i m e n s i o n l e s s w a v e n u m b e r k = L =

d

c o u n t s t h e n u m b e r o f d r i v i n g w a v e l e n g t h s

d

i n t h e b o x .

T o d r i v e t h e t u r b u l e n c e , I t h e n n o r m a l i z e t h i s x e d p a t t e r n t o p r o d u c e a s e t o f

p e r t u r b a t i o n s ~ ( x ; y ; z ) , a n d a t e v e r y t i m e s t e p a d d a v e l o c i t y e l d ~v ( x ; y ; z ) = A ~ t o

t h e v e l o c i t y ~v , w i t h t h e a m p l i t u d e A n o w c h o s e n t o m a i n t a i n c o n s t a n t k i n e t i c e n e r g y i n p u t

r a t e

_

E

i n

= E = t . F o r c o m p r e s s i b l e o w w i t h a t i m e - d e p e n d e n t d e n s i t y d i s t r i b u t i o n ,

m a i n t a i n i n g a c o n s t a n t e n e r g y i n p u t r a t e r e q u i r e s s o l v i n g a q u a d r a t i c e q u a t i o n i n t h e

a m p l i t u d e A a t e a c h t i m e s t e p . F o r a g r i d w i t h N z o n e s o n a s i d e , e a c h o f v o l u m e V , t h e

e q u a t i o n f o r A i s

E =

1

2

V

N

X

i ; j ; k = 1

i j k

A ~

i j k

( ~v

i j k

+ A ~

i j k

) : ( 2 )

I t a k e t h e l a r g e r r o o t o f t h i s e q u a t i o n t o g e t t h e v a l u e o f A .

T h e s e c o m p u t a t i o n s h a v e n o i n t r i n s i c s c a l e . T o c o n v e r t t o a s t r o p h y s i c a l u n i t s , o n e m u s t

s p e c i f y m a s s , l e n g t h , a n d t i m e s c a l e s o r q u a n t i t i e s s u c h a s d e n s i t y f r o m w h i c h t h e s e c a n b e

d e r i v e d . O n e u s e f u l s e t o f s c a l e s t h a t c a n b e s p e c i e d i s t h e s i z e o f t h e r e g i o n c o n s i d e r e d

L

0

, t h e m e a n d e n s i t y

0

, a n d t h e s o u n d s p e e d c

0

s

. A s a n e x a m p l e , i f w e c h o o s e L

0

= 0 : 5 p c ,


6/18

{ 6 {

c

0

s

= 0 : 2 k m s

1

, a n d

0

0

= 1 0

4

( 2 m

H

) g c m

3

, t h e n t h e c o m p u t a t i o n a l t i m e u n i t t c a n b e

c o n v e r t e d t o s e c o n d s a s

t

0

= ( L

0

= L ) ( c

s

= c

0

s

) t = ( 4 1 0

1 2

s e c )

L

0

0 : 5 p c

!

c

0

s

0 : 2 k m s

1

!

1

t ( 3 )

i n o u r e x a m p l e . S i m i l a r l y , v e l o c i t i e s a r e s c a l e d w i t h t h e s o u n d s p e e d

v

0

r m s

= ( c

0

s

= c

s

) v

r m s

= ( 2 k m s

1

)

c

0

s

0 : 2 k m s

1

!

v

r m s

; ( 4 )

e n e r g i e s s c a l e a s

E

0

=

0

0

0

L

0

L

!

3

c

0

s

c

s

!

2

E = ( 6 1 0

4 4

e r g )

L

0

0 : 5 p c

!

3

c

0

s

0 : 2 k m s

1

!

2

n

0

0

1 0

4

g c m

3

!

E ; ( 5 )

e n e r g y i n p u t o r d i s s i p a t i o n r a t e s s c a l e a s

_

E

0

=

0

0

0

L

0

L

!

2

c

0

s

c

s

!

3

_

E = ( 4 1 0

2

L

)

L

0

0 : 5 p c

!

2

c

0

s

0 : 2 k m s

1

!

3

n

0

0

1 0

4

g c m

3

!

_

E ; ( 6 )

a n d s o f o r t h .

3 . E n e r g y D i s s i p a t i o n

F r o m d i m e n s i o n a l a r g u m e n t s , o n e e x p e c t s t u r b u l e n t e n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e s

_

E

k i n

= V

3

= L , w h e r e V a n d L a r e r e s p e c t i v e l y t h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y a n d l e n g t h s c a l e

o f t h e t u r b u l e n t r e g i o n . H o w e v e r , t h e r e a r e s e v e r a l p o s s i b l e l e n g t h a n d v e l o c i t y s c a l e s

a v a i l a b l e . T h e l e n g t h s c a l e c o u l d , f o r e x a m p l e , b e t h e s i z e o f t h e b o x , L , o r t h e t y p i c a l

d r i v i n g w a v e l e n g t h

d

, w h i l e t h e v e l o c i t y s c a l e c o u l d b e t h e s o u n d s p e e d c

s

, t h e A l f v e n

s p e e d v

A

, o r , a s f o u n d i n o n e d i m e n s i o n b y G a m m i e & O s t r i k e r ( 1 9 9 6 ) , t h e c u r r e n t m e a n

t u r b u l e n t v e l o c i t y v

r m s

. T h e r e i s a l s o n o g o o d t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o n o f t h e v a l u e o f t h e

c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y f o r s t r o n g l y c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n c e , w i t h o r w i t h o u t m a g n e t i c

e l d s . T h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s d e s c r i b e d a b o v e a r e d e s i g n e d t o d e t e r m i n e a n d t o d e c i d e

w h i c h o f t h e p o t e n t i a l v a l u e s o f V a n d L a r e c o r r e c t .

O u r r e s o l u t i o n s t u d i e s o f m o d e l s o f d e c a y i n g c o m p r e s s i b l e h y d r o d y n a m i c a n d M H D

t u r b u l e n c e i n P a p e r I s h o w e d t h a t , f o r t h e h y d r o d y n a m i c c a s e s , 1 2 8

3

z o n e s c a p t u r e d t h e

d e c a y r a t e t o w i t h i n a f e w p e r c e n t , a n d e v e n f o r t h e M H D c a s e s , t h i s r e s o l u t i o n w a s g o o d

t o b e t t e r t h a n 1 0 % . T h i s r e s o l u t i o n i s a l s o l o w e n o u g h t o a l l o w m e t o d o a r e a s o n a b l y s i z e d

p a r a m e t e r s t u d y o n t h e m a c h i n e s a v a i l a b l e t o m e , s o I c h o o s e i t f o r m y s t a n d a r d r e s o l u t i o n .

I a l s o p e r f o r m a f e w r u n s a t 2 5 6

3

t o c h e c k t h e b e h a v i o r o f m y r e s u l t s w i t h i n c r e a s i n g

r e s o l u t i o n , h o w e v e r . I n T a b l e 1 I d e s c r i b e t h e r u n s a t s t a n d a r d r e s o l u t i o n d i s c u s s e d i n t h i s

p a p e r . T h e m o d e l n a m e s b e g i n w i t h e i t h e r H f o r h y d r o d y n a m i c o r M f o r M H D , t h e n h a v e


7/18

{ 7 {

a l e t t e r f r o m A t o E s p e c i f y i n g t h e l e v e l o f e n e r g y i n p u t

_

E

i n

, t h e n a n u m b e r g i v i n g t h e

d i m e n s i o n l e s s w a v e n u m b e r k c h o s e n f o r d r i v i n g , a n d t h e n , f o r t h e M H D m o d e l s , a n o t h e r

n u m b e r i n d i c a t i n g t h e i n i t i a l e l d s t r e n g t h s p e c i e d b y t h e r a t i o o f t h e A l f v e n s p e e d t o t h e

s o u n d s p e e d , v

A

= c

s

.

T o c o m p u t e t h e e q u i l i b r i u m v a l u e s o f k i n e t i c e n e r g y E

k i n

a n d r o o t - m e a n - s q u a r e ( r m s )

v e l o c i t y v

r m s

, I t o o k t i m e s a m p l e s e v e r y 2 : 5 1 0

3

t

s

, w h e r e t h e s o u n d - c r o s s i n g t i m e

t

s

= L = c

s

. A f t e r w a i t i n g 0 : 2 t

s

f o r t h e t u r b u l e n c e t o r e a c h w h a t a p p e a r e d f r o m t h e t i m e

h i s t o r y t o b e a n a p p r o x i m a t e s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m , I t o o k t h e r e m a i n i n g p o i n t s a n d

c o m p u t e d t h e i r m e a n a n d v a r i a n c e , t y p i c a l l y u s i n g s e v e r a l h u n d r e d s a m p l e s . I n a f e w c a s e s ,

t h e r u n s w e r e s h o r t e r d u e t o t h e e x p e n s e o f c o m p u t i n g w i t h h i g h A l f v e n s p e e d s , t h o u g h

c o n v e r s e l y e q u i l i b r i u m w a s r e a c h e d m o r e q u i c k l y , s o I s t a r t e d t h e a v e r a g i n g a t a n e a r l i e r

t i m e t o e n s u r e s u c i e n t s a m p l e s f o r a m e a n i n g f u l a v e r a g e . T h e r e p o r t e d q u a n t i t i e s h a v e

v a r i a n c e s u n d e r 5 % o f t h e m e a n , e x c e p t f o r t h e k i n e t i c e n e r g i e s o f t h e t w o h y d r o d y n a m i c

m o d e l s d r i v e n w i t h w a v e n u m b e r k = 2 , w h i c h h a d l a r g e v a r i a n c e s a s n o t e d i n t h e t a b l e .

D r i v i n g a t l a r g e w a v e n u m b e r i n t h e a b s e n c e o f m a g n e t i c e l d s p r o d u c e s l a r g e s t r u c t u r e s ,

w h o s e i n t e r a c t i o n s i n t r o d u c e l a r g e r u c t u a t i o n s t h a n u s u a l a r o u n d t h e m e a n .

I n d t h a t t h e b e s t d e s c r i p t i o n o f m y m o d e l s c o m e s b y t a k i n g a l e n g t h s c a l e L =

d

a n d

a v e l o c i t y s c a l e

V= v

r m s

. F i g u r e 1 a s h o w s e q u i l i b r i u m e n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e s f o r a l l t h e

m o d e l s i n T a b l e 1 , c o m p a r e d t o t h e q u a n t i t y k v

3

r m s

v

3

r m s

=

d

. A t t o t h e h y d r o d y n a m i c

m o d e l s H A 8 t h r o u g h H E 8 g i v e s a r e l a t i o n w i t h s l o p e 1 . 0 2 . L e t u s d e n e a d i m e n s i o n a l i z e d

w a v e n u m b e r

~

k = ( 2 = L ) k = 2 =

d

. A v e r y g o o d a p p r o x i m a t i o n i s t h e n t h e l i n e a r r e l a t i o n

_

E

k i n

'

v

m

~

k v

3

r m s

; ( 7 )

w i t h

v

= 0 : 2 1 = , w h e r e t h e a s s u m p t i o n i s m a d e t h a t i n e q u i l i b r i u m

_

E

k i n

=

_

E

i n

. T h e

d e p e n d e n c e o n t h e m a s s o f t h e c u b e m c o m e s s t r i c t l y f r o m d i m e n s i o n a l a r g u m e n t s , a s a l l

o f t h e r u n s i n T a b l e 1 h a v e t h e s a m e m a s s m =

0

L

3

= 8 . T h e s t r o n g d e n s i t y u c t u a t i o n s

t y p i c a l o f s t r o n g l y s u p e r s o n i c t u r b u l e n c e s u g g e s t t h a t u s i n g t h e k i n e t i c e n e r g y r a t h e r t h a n

t h e v o l u m e a v e r a g e d v e l o c i t y m i g h t g i v e a r a t h e r d i e r e n t r e s u l t . I n T a b l e 1 I g i v e t h e

r a t i o E

k i n

= 0 : 5 m v

2

r m s

, s h o w i n g t h a t i n m o s t c a s e s t h e k i n e t i c e n e r g y i s 1 0 { 1 5 % h i g h e r t h a n

w o u l d b e e x p e c t e d f o r p e r f e c t l y u n c o r r e l a t e d d e n s i t y a n d v e l o c i t y u c t u a t i o n s . F i t t i n g t o

t h e k i n e t i c e n e r g i e s r a t h e r t h a n t h e v e l o c i t i e s , a s s h o w n i n F i g u r e 1 b , t h e c o e c i e n t

e

i s a b o u t 2 0 % d i e r e n t f r o m t h e e q u i v a l e n t d e r i v e d f r o m

v

, a n d t h e s l o p e o f t h e r e l a t i o n

a c t u a l l y m o v e s s l i g h t l y a w a y f r o m u n i t y t o 1 . 0 4 . T h e b e s t l i n e a r r e l a t i o n i s t h e n

_

E

k i n

=

e

m

1 = 2

~

k E

3 = 2

k i n

; ( 8 )

w i t h

e

= 0 : 7 1 = , w h e r e t h e m a s s d e p e n d e n c e i s a g a i n i n c l u d e d o n d i m e n s i o n a l g r o u n d s .

E q u a t i o n ( 7 ) i s n o t o n l y a s l i g h t l y b e t t e r t , b u t i t a l s o b r i n g s t h e o t h e r h y d r o d y n a m i c a n d

M H D m o d e l s i n t o s o m e w h a t b e t t e r a g r e e m e n t w i t h t h e r e l a t i o n , s o i t i s m i l d l y p r e f e r r e d .

T h e M H D m o d e l s t h a t t t h e r e l a t i o n m o s t c l o s e l y a r e t h e s t r o n g e l d c a s e s , w i t h

v

A

= c

s

= 1 0 . T h e w e a k e l d c a s e s a p p e a r t o f o l l o w a r e l a t i o n s i m i l a r t o e q u a t i o n ( 7 ) , b u t


8/18

{ 8 {

w i t h v a l u e s o f

v

u p t o a f a c t o r o f t w o h i g h e r , a s s h o w n i n F i g u r e 2 . W i t h o u t f u r t h e r

c o m p u t a t i o n , i t r e m a i n s u n c l e a r h o w m u c h o f t h e v a r i a t i o n s e e n a m o n g t h e m o d e l s i s d u e t o

t h e r e m a i n i n g l a c k o f n u m e r i c a l c o n v e r g e n c e , a n d h o w m u c h i s r e a l . T h e h i g h e r d i s s i p a t i o n

s e e n i n t h e h i g h - , w e a k - e l d c a s e s c a n b e q u a l i t a t i v e l y e x p l a i n e d b y n o t i n g t h a t w e a k

e l d s w i l l b e m o r e s t r o n g l y i n u e n c e d b y t h e o w , g e n e r a t i n g m o r e d i s s i p a t i v e M H D w a v e s .

M a r o n & G o l d r e i c h ( 1 9 9 9 ) h a v e u s e d a h e a v i l y m o d i e d v e r s i o n o f Z E U S - 3 D t o c o m p u t e

a r e l a t i o n e q u i v a l e n t t o e q u a t i o n ( 8 ) f o r s t r o n g l y m a g n e t i z e d , t r a n s - A l f v e n i c t u r b u l e n c e ,

a n d n d a c o e c i e n t e q u i v a l e n t t o

e

= 0 : 2 3 0 : 0 5 , e q u a l t o o u r v a l u e f o r h y d r o d y n a m i c

t u r b u l e n c e , a n d a g r e e i n g w i t h o u r r e s u l t t h a t t h e s t r o n g l y m a g n e t i z e d m o d e l s b e h a v e v e r y

s i m i l a r l y t o t h e h y d r o d y n a m i c m o d e l s .

4 . D i s c u s s i o n

4 . 1 . D e c a y T i m e v s . C o l l a p s e T i m e

A n i n t e r e s t i n g a s t r o p h y s i c a l q u e s t i o n i s w h e t h e r d e c a y i n g t u r b u l e n c e c a n d e l a y

g r a v i t a t i o n a l c o l l a p s e . W e c a n g a i n i n s i g h t i n t o t h i s q u e s t i o n b y e x a m i n i n g w h e t h e r t h e

r a t i o

= t

d

= t

> 1 ; ( 9 )

w h e r e t h e f o r m a l t u r b u l e n t d e c a y t i m e t

d

= E

k i n

=

_

E

k i n

, a n d t h e f r e e - f a l l t i m e t

f o r t h e g a s

i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 ) . B e c a u s e t

d

d e p e n d s n o t o n l y o n t h e s t r e n g t h o f t h e t u r b u l e n c e ,

b u t a l s o o n t h e d r i v i n g w a v e l e n g t h , t h e v a l u e o f a l s o d e p e n d s o n t h e r a t i o

=

d

=

J

; ( 1 0 )

w h e r e t h e d r i v i n g w a v e l e n g t h

d

= 2 =

~

k , a n d t h e J e a n s w a v e l e n g t h

J

= c

s

q

= G

0

. I t h a s

b e e n a r g u e d t h a t t u r b u l e n c e c a n n o t s u p p o r t t h e g a s a g a i n s t c o l l a p s e a t w a v e l e n g t h s s h o r t e r

t h a n t h e d r i v i n g w a v e l e n g t h ( B o n a z z o l a e t a l . 1 9 8 7 , 1 9 9 2 ; L e o r a t , P a s s o t , & P o u q u e t

1 9 9 2 ) , s o t h a t 1 . T h i s a p p e a r s l i k e l y , b u t h a s n o t y e t b e e n c o n r m e d n u m e r i c a l l y o r

o b s e r v a t i o n a l l y . I w i l l a d d r e s s t h i s i s s u e i n f u t u r e w o r k .

S u b s t i t u t i n g f o r t h e v a l u e s i n e q u a t i o n ( 9 ) , w e c a n w r i t e

=

E

k i n

_

E

k i n

c

s

J

s

3 2

3

: ( 1 1 )

W e c a n n o w u s e e q u a t i o n ( 7 ) f o r

_

E

k i n

, a n d , s o m e w h a t l e s s a c c u r a t e l y , t a k e E

k i n

m v

2

r m s

= 2 ,

n o t i n g t h a t t h i s i n t r o d u c e s n o m o r e t h a n a 2 0 { 3 0 % e r r o r a s s h o w n i n T a b l e 1 . S u b s t i t u t i n g

a n d u s i n g t h e d e n i t i o n o f g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 0 ) , I n d t h a t t h e d i s s i p a t i o n t i m e s c a l e d

i n u n i t s o f t h e f r e e f a l l t i m e i s

( ) =

1

4

v

3 2

3

1 = 2

M

r m s

' 3 : 9

M

r m s

; ( 1 2 )


9/18

{ 9 {

w h e r e M

r m s

= v

r m s

= c

s

i s t h e r m s M a c h n u m b e r o f t h e t u r b u l e n c e . I n m o l e c u l a r c l o u d s , M

r m s

i s t y p i c a l l y o b s e r v e d t o b e o f o r d e r 1 0 o r h i g h e r . I f


10/18

{ 1 0 {

N o w w e n e e d t o n d a f u n c t i o n a l f o r m f o r L ( t ) t h a t w i l l g i v e a c o n s i s t e n t r e s u l t . A u s e f u l

c h o i c e i s

L ( t ) = L

0

( 1 + t = t

0

)

= 2

; ( 1 7 )

w h e r e L

0

i s t h e d r i v i n g s c a l e a t t = 0 . S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o e q u a t i o n ( 1 6 ) a n d i n t e g r a t i n g ,

w e n d

E

k i n

( t ) = E

k 0

8


11/18

{ 1 1 {

R E F E R E N C E S

A l v e s , J . , L a d a , C . , L a d a , E . , K e n y o n , S . , & P h e l p s , R . 1 9 9 8 , A p J , i n p r e s s

A r o n s , J . , & M a x , C . E . 1 9 7 5 , A p J , 1 9 6 , L 7 7

B a l b u s , S . A . , & H a w l e y , J . F . 1 9 9 8 , R e v . M o d . P h y s . 7 0 , 1

B a l l y , J . , D e v i n e , D . , & A l t e n , V . 1 9 9 6 , A p J , 4 7 3 , 9 2 1

B e r g i n , E . A . , G o l d s m i t h , P . F . , S n e l l , R . L . , & L a n g e r , W . D . 1 9 9 7 , A p J , 4 8 2 , 2 8 5

B e r t o l d i , F . B . , & M c K e e , C . F . 1 9 9 7 , R e v . M e x . A s t r o n . A s t r o p h y s . S e r . C o n f . , 6 , 1 9 5

B l i t z , L . 1 9 9 3 , i n P r o t o s t a r s & P l a n e t s I I I , e d s . E . H . L e v y & J . I . L u n i n e ( T u c s o n : U . o f

A r i z o n a P r e s s ) , 1 2 5

B l i t z , L . , & S h u , F . H . 1 9 8 0 , A p J , 2 3 8 , 1 4 8

B o n a z z o l a , S . , F a l g a r o n e , E . , H e y v a e r t s , J . , P e r a u l t , M . , & P u g e t , J . L . 1 9 8 7 , A & A , 1 7 2 ,

2 9 3

E v a n s , C . R . , & H a w l e y , J . F . 1 9 8 8 , A p J , 3 3 2 , 6 5 9

F i e l d , G . B . 1 9 7 8 , i n P r o t o s t a r s & P l a n e t s , e d . T . G e h r e l s ( T u c s o n : U . o f A r i z o n a P r e s s ) ,

2 4 3

F l e c k , R . C . , J r . 1 9 8 1 , A p J , 2 4 6 , L 1 5 1

F r a n c o , J . , & C o x , D . P . 1 9 8 3 , A p J , 2 7 3 , 2 4

G a m m i e , C . F . , & O s t r i k e r , E . C . 1 9 9 6 , A p J , 4 6 6 , 8 1 4

H a w l e y , J . F . , & S t o n e , J . M . 1 9 9 5 , C o m p u t e r P h y s . C o m m . 8 9 , 1 2 7

H u n t e r , D . 1 9 9 8 , P A S P , 1 0 9 , 9 3 7

K l e s s e n , R . S . , B u r k e r t , A . , & B a t e , M . R . 1 9 9 8 , A p J , 5 0 1 , L 2 0 5

K o l m o g o r o v , A . N . 1 9 4 1 , D o k l . A k a d . N a u k S S S R , 3 0 , 9

L a d a , C . J . , L a d a , E . A . , C l e m e n s , D . P . , & B a l l y , J . 1 9 9 4 , A p J , 4 2 9 , 6 9 4

L e o r a t , J . , P a s s o t , T . , & P o u q u e t , A . 1 9 9 0 , M N R A S , 2 4 3 , 2 9 3

L e s i e u r , M . 1 9 9 7 , T u r b u l e n c e i n F l u i d s , 3 r d e d . ( D o r d r e c h t : K l u w e r ) , 2 4 5

M a c L o w , M . - M . , K l e s s e n , R . S . , B u r k e r t , A . , & S m i t h , M . D . 1 9 9 8 a , P h y s . R e v . L e t t . , 8 0 ,

2 7 5 4 ( P a p e r I )

M a c L o w , M . - M . , K l e s s e n , R . S . , B u r k e r t , A . , & S m i t h , M . D . 1 9 9 8 b , i n I n t e r s t e l l a r

T u r b u l e n c e , e d s . J . F r a n c o & A . C a r r a m i n a n a ( C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U . P r e s s ) , i n

p r e s s

M a r o n , J . , & G o l d r e i c h , P . 1 9 9 9 , A p J , i n p r e p a r a t i o n

M c K e e , C . F . 1 9 8 9 , A p J , 3 4 5 , 7 8 2


12/18

{ 1 2 {

M o u s c h o v i a s , T . C h . 1 9 7 5 , P h . D . t h e s i s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y

P a d o a n , P . , & N o r d l u n d ,

A . 1 9 9 7 , A p J , s u b m i t t e d ( a s t r o - p h / 9 7 0 6 1 6 ) ( P N )

P o r t e r , D . H . , P o u q u e t , A , & W o o d w a r d , P . R . 1 9 9 2 , P h y s . R e v . L e t t . 6 8 , 3 1 5 6

P o r t e r , D . H . , P o u q u e t , A , & W o o d w a r d , P . R . 1 9 9 4 , P h y s . F l u i d s , 6 , 2 1 3 3

P r a s a d , S . S . , H e e r e , K . R . , & T a r a f d a r , S . P . 1 9 9 1 , A p J , 3 7 3 , 1 2 3

S h u , F . H . , L i z a n o , S . , R u d e n , S . P . , & N a j i t a , J . 1 9 8 8 , A p J , 3 2 8 , L 1 9

S t o n e , J . M . , & N o r m a n , M . L . 1 9 9 2 a , A p J S , 8 0 , 7 5 3

S t o n e , J . M . , & N o r m a n , M . L . 1 9 9 2 b , A p J S , 8 0 , 7 9 1

N o r m a n , C . , & S i l k , J . 1 9 8 0 , A p J , 2 3 8 , 1 5 8

S t u t z k i , J . , & G u s t e n , R . 1 9 9 0 , A p J , 3 5 6 , 5 1 3

S t u t z k i , J . , S t a c e y , G . J . , G e n z e l , R . , H a r r i s , A . I . , J a e , D . T . , & L u g t e n , J . B . 1 9 8 8 , A p J ,

3 3 2 , 3 7 9

v a n L e e r , B . 1 9 7 7 , J . C o m p u t . P h y s . 2 3 , 2 7 6

V a z q u e z - S e m a d e n i , E . , P a s s o t , T . , P o u q u e t , A . 1 9 9 5 , A p J , 4 4 1 , 7 0 2

W i l l i a m s , J . P . , D e G e u s , E . J . , & B l i t z , L . 1 9 9 4 , A p J , 4 2 8 , 6 9 3

T h i s p r e p r i n t w a s p r e p a r e d w i t h t h e A A S L

A

T

E

X m a c r o s v 4 . 0 .


13/18

{ 1 3 {

F i g u r e C a p t i o n s

F i g . 1 . | E n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e f o r m o d e l s f r o m T a b l e 1 c o m p a r e d t o a k v

3

r m s

o r b

k E

3 = 2

k i n

, w h e r e k = L =

d

i s t h e d i m e n s i o n l e s s w a v e n u m b e r , a n d t h e s i z e o f t h e c u b e L = 2 f o r

a l l r u n s . T h e l i n e s h a v e s l o p e o f u n i t y , a n d a r e t t o t h e h y d r o m o d e l s H A 8 t h r o u g h H E 8 ,

y i e l d i n g t h e v a l u e s f o r t h e d i s s i p a t i o n c o e c i e n t s

v

= 0 : 2 1 a n d

e

= 0 : 7 1 ( s e e e q u a t i o n s [ 7 ]

a n d [ 8 ] ) . H y d r o d y n a m i c a l m o d e l s a r e i n d i c a t e d b y s q u a r e s , M H D m o d e l s b y t r i a n g l e s .

F i g . 2 . | D e p e n d e n c e o f t h e d i s s i p a t i o n c o e c i e n t

v

=

_

E

k i n

= ( k m v

3

r m s

) o n t h e p l a s m a , t h e

r a t i o o f t h e r m a l t o m a g n e t i c p r e s s u r e . M o d e l s w i t h w e a k e r e l d s a p p e a r t o h a v e a s m u c h a s

a f a c t o r t w o h i g h e r d i s s i p a t i o n r a t e .

F i g . 3 . | D e m o n s t r a t i o n t h a t t y p i c a l s i z e s c a l e s a p p e a r t o i n c r e a s e w i t h t i m e , a s s u g g e s t e d

b y t h e d e c a y r a t e . L o g o f d e n s i t y i s s h o w n a t t i m e s t = t

s

= 0 : 2 , 0 . 6 a n d 1 . 0 o n s l i c e s

t h r o u g h t h e d e c a y i n g s u p e r s o n i c h y d r o d y n a m i c m o d e l s C a n d D d e s c r i b e d i n p a p e r I a t

s t a n d a r d r e s o l u t i o n ( 1 2 8

3

) a n d h i g h r e s o l u t i o n ( 2 5 6

3

) , w h e r e t

s

i s t h e s o u n d c r o s s i n g t i m e

o f o u r n u m e r i c a l b o x . N o t e t h a t e a c h i m a g e i s s c a l e d t o i t s o w n m a x i m u m a n d m i n i m u m t o

e n h a n c e m o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s .

F i g . 4 . | M o d e l s s h o w i n g t h e a p p e a r a n c e o f t u r b u l e n c e w i t h d i e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s i z e

s c a l e s a n d d r i v i n g e n e r g y i n p u t . L o g o f d e n s i t y o n s l i c e s t h r o u g h t h e h y d r o d y n a m i c m o d e l s

H C 2 , H C 4 , H C 8 , H E 2 , H E 4 , a n d H E 8 ( s e e T a b l e 1 ) a t s t a n d a r d r e s o l u t i o n o f 1 2 8

3

g r i d

p o i n t s . T h e v a l u e o f \ d r i v e " g i v e n i n t h e g u r e i s

_

E

i n

f o r t h a t m o d e l . N o t e t h a t e a c h i m a g e

i s a g a i n s c a l e d t o i t s o w n m a x i m u m a n d m i n i m u m t o e n h a n c e m o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s .

F i g . 5 . | T y p i c a l s i z e s c a l e s d o a p p e a r t o i n c r e a s e p a r a l l e l t o t h e e l d , b u t n o t p e r p e n d i c u l a r

t o i t . L o g o f d e n s i t y i s s h o w n i n s l i c e s p e r p e n d i c u l a r a n d p a r a l l e l t o t h e m a g n e t i c e l d f o r

t h e d e c a y i n g s u p e r s o n i c , M H D m o d e l Q f r o m P a p e r I , w i t h i n i t i a l A l f v e n n u m b e r u n i t y a n d

i n i t i a l = 0 : 0 0 5 . E a c h i m a g e i s a g a i n s c a l e d t o i t s o w n m a x i m u m a n d m i n i m u m t o e n h a n c e

m o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s .


14/18

{ 1 4 {

T a b l e 1 . U n i f o r m l y D r i v e n N u m e r i c a l M o d e l s

M o d e l

_

E

i n

k v

A

= c

s

v

r m s

E

k i n

2 E

k i n

= m v

2

r m s

H A 8 0 . 1 8 0 0 . 1 9 1 0 . 1 2 5 0 . 8 6

H B 8 0 . 3 8 0 0 . 2 7 2 0 . 2 4 7 0 . 8 3

H C 2 1 2 0 0 . 7 4 3 2 . 4 1

1 . 1

H C 4 1 4 0 0 . 5 3 0 0 . 9 6 1 0 . 8 6

H C 8 1 8 0 0 . 4 0 6 0 . 5 6 6 0 . 8 6

H D 8 3 8 0 0 . 5 8 5 1 . 2 1 0 . 8 8

H E 2 1 0 2 0 1 . 5 0 8 . 9 2

0 . 9 9

H E 4 1 0 4 0 1 . 1 9 5 . 4 3 0 . 9 6

H E 8 1 0 8 0 0 . 8 7 2 2 . 6 3 0 . 8 6

M A 4 X 0 . 1 4 1 0 0 . 2 7 4 0 . 2 7 3 0 . 9 1

M A 8 1 0 . 1 8 1 0 . 1 4 7 0 . 0 7 6 3 0 . 8 8

M C 4 X 1 4 1 0 0 . 5 3 4 0 . 7 8 7 0 . 6 9

M C 4 5 1 4 5 0 . 4 7 5 0 . 7 5 4 0 . 8 3

M C 4 1 1 4 1 0 . 4 6 7 0 . 8 2 4 0 . 9 4

M C 8 5 1 8 5 0 . 3 3 5 0 . 3 5 1 0 . 7 8

M C 8 1 1 8 1 0 . 3 4 6 0 . 4 2 5 0 . 8 9

N o t e . | E q u i l i b r i u m r o o t - m e a n - s q u a r e v e l o c i t i e s a n d k i n e t i c e n e r g i e s o f n u m e r i c a l m o d e l s

w i t h 1 2 8

3

n u m e r i c a l r e s o l u t i o n . A l l q u a n t i t i e s h a v e v a r i a n c e s l e s s t h a n v e p e r c e n t , e x c e p t

t h e t w o s t a r r e d k i n e t i c e n e r g i e s , w h i c h h a v e v a r i a n c e s o f 2 0 % a n d 9 % r e s p e c t i v e l y .


15/18

{ 1 5 {

0.1 1.0 10.0Energy Dissipation Rate

0.01

0.10

1.00

10.00

kv

rms

3

MHDHydro

0.1 1.0 10.0Energy Dissipation Rate

0.1

1.0

10.0

kE

K3/2

MHDHydro

F i g . 1 . | E n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e f o r m o d e l s f r o m T a b l e 1 c o m p a r e d t o a k v

3

r m s

o r b

k E

3 = 2

k i n

, w h e r e k = L =

d

i s t h e d i m e n s i o n l e s s w a v e n u m b e r , a n d t h e s i z e o f t h e c u b e L = 2

f o r a l l r u n s . T h e l i n e s h a v e s l o p e o f u n i t y , a n d a r e t t o t h e h y d r o m o d e l s H A 8 t h r o u g h

H E 8 , y i e l d i n g t h e v a l u e s f o r t h e d i s s i p a t i o n c o e c i e n t s

v

= 0 : 2 1 = a n d

e

= 0 : 7 1 = ( s e e

e q u a t i o n s [ 7 ] a n d [ 8 ] ) . H y d r o d y n a m i c a l m o d e l s a r e i n d i c a t e d b y s q u a r e s , M H D m o d e l s b y

t r i a n g l e s .

F i g . 2 . | D e p e n d e n c e o f t h e d i s s i p a t i o n c o e c i e n t

v

=

_

E

k i n

= ( k m v

3

r m s

) o n t h e p l a s m a , t h e

r a t i o o f t h e r m a l t o m a g n e t i c p r e s s u r e . M o d e l s w i t h w e a k e r e l d s a p p e a r t o h a v e a s m u c h a s

a f a c t o r t w o h i g h e r d i s s i p a t i o n r a t e .


16/18

{ 1 6 {

-0.5 0.0 0.5x

t/ts = 0.2

-0.5 0.0 0.5x

t/ts

= 0.6

t/ts

= 1.0

1283

2563

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

logdensity

-1.0

-0.5

0.0

0.5

logdensity

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

logdensity

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

logdensity

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

logdensity

-0.4

-0.2

0.0

0.2

logdensity

F i g . 3 . | D e m o n s t r a t i o n t h a t t y p i c a l s i z e s c a l e s a p p e a r t o i n c r e a s e w i t h t i m e , a s s u g g e s t e d

b y t h e d e c a y r a t e . L o g o f d e n s i t y i s s h o w n a t t i m e s t = t

s

= 0 : 2 , 0 . 6 a n d 1 . 0 o n s l i c e s

t h r o u g h t h e d e c a y i n g s u p e r s o n i c h y d r o d y n a m i c m o d e l s C a n d D d e s c r i b e d i n p a p e r I a t

s t a n d a r d r e s o l u t i o n ( 1 2 8

3

) a n d h i g h r e s o l u t i o n ( 2 5 6

3

) , w h e r e t

s

i s t h e s o u n d c r o s s i n g t i m e

o f o u r n u m e r i c a l b o x . N o t e t h a t e a c h i m a g e i s s c a l e d t o i t s o w n m a x i m u m a n d m i n i m u m t o

e n h a n c e m o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s .


17/18

{ 1 7 {

-0.5 0.0 0.5x

k = 8

-0.5 0.0 0.5x

k = 4

k = 2

drive = 1

drive = 10

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

logdensity

-4

-3

-2

-1

0

1

logdensity

-2

-1

0

1

logdensity

-4

-3

-2

-1

0

1

logdensity

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.00.5

1.0

logdensity

-4

-2

0

logdensity

F i g . 4 . | M o d e l s s h o w i n g t h e a p p e a r a n c e o f t u r b u l e n c e w i t h d i e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s i z e

s c a l e s a n d d r i v i n g e n e r g y i n p u t . L o g o f d e n s i t y o n s l i c e s t h r o u g h t h e h y d r o d y n a m i c m o d e l s

H C 2 , H C 4 , H C 8 , H E 2 , H E 4 , a n d H E 8 ( s e e T a b l e 1 ) a t s t a n d a r d r e s o l u t i o n o f 1 2 8

3

g r i d

p o i n t s . T h e v a l u e o f \ d r i v e " g i v e n i n t h e g u r e i s

_

E

i n

f o r t h a t m o d e l . N o t e t h a t e a c h i m a g e

i s a g a i n s c a l e d t o i t s o w n m a x i m u m a n d m i n i m u m t o e n h a n c e m o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s .


18/18

{ 1 8 {

-0.5 0.0 0.5x

t/ts = 0.2

-0.5 0.0 0.5x

t/ts

= 0.6

t/ts

= 1.0

perp

par

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

logdensity

-1.0

-0.5

0.0

0.5

logdensity

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

logdensity

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

logdensity

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

logdensity

-0.2

0.0

0.2

0.4

logdensity

F i g . 5 . | T y p i c a l s i z e s c a l e s d o a p p e a r t o i n c r e a s e p a r a l l e l t o t h e e l d , b u t n o t p e r p e n d i c u l a r

t o i t . L o g o f d e n s i t y i s s h o w n i n s l i c e s p e r p e n d i c u l a r a n d p a r a l l e l t o t h e m a g n e t i c e l d f o r

t h e d e c a y i n g s u p e r s o n i c , M H D m o d e l Q f r o m P a p e r I , w i t h i n i t i a l A l f v e n n u m b e r u n i t y a n d

i n i t i a l = 0 : 0 0 5 . E a c h i m a g e i s a g a i n s c a l e d t o i t s o w n m a x i m u m a n d m i n i m u m t o e n h a n c e

m o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s .

Mordecai-Mark Mac Low- The Energy Dissipation Rate of Supersonic, Magnetohydrodynamic Turbulence in...

Documents

Transcript of Mordecai-Mark Mac Low- The Energy Dissipation Rate of Supersonic, Magnetohydrodynamic Turbulence in...