MOODLE ROMÂNIAELEARNING - EDUCAŢIE - EVALUARE

Workshop - Clasa virtuală 23 februarie 2011

http://edu.moodle.ro

Workshop - Clasa virtualăRoman - Suceava

Participanţi:

elevii clasei a IX – A matematică- informatică prof. Adriana Petrovici

GRUPUL ŞCOLAR “VASILE SAV” – Roman

elevii clasei a IX – B matematică- informatică prof. Maria Guzu

COLEGIUL NAŢIONAL “MIHAI EMINESCU “– Suceava

Moderatori: Prof. Adriana Petrovici Prof. Maria Guzu Ing. Cătălin Donici

ECUAŢIA DE GRADUL DOI

2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

CE AM ÎNVĂŢAT ?

Forma generală a ecuaţiei de gradul doi. Rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea (forme particulare

şi formă generală). Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doi. Relaţiile lui Viète. Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiile. Descompunerea trinomului de gradul al II-lea în factori

liniari.

Forma generală

2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

20 0, , ; 0b ax c a c R a 20 0, , ; 0c ax bx a b R a

20 0, ; 0b c ax a R a

Forme particulare

Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depinde de semnul numarului Δ

•ecuaţia are soluţii reale distincte Δ > 0 •ecuaţia are soluţii reale egale sau soluţie dublăΔ = 0

•ecuaţia nu are soluţii reale Δ < 0

Relaţiile lui Viète

2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

1 2

1 2

bx x

ac

x xa

bS

ac

Pa

⇒

22 21 2 1 2 1 2

23 31 2 1 2 1 2 1 2

24 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

2

3

2

( ) ( ) 4

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

FORMULE UTILE !2 2 21 2

3 3 31 2

4 4 2 2 21 2

21 2

21 2

2

3

( 2 ) 2

4

4

x x S P

x x S PS

x x S P P

x x S P

x x S P

François Viète (1540 – 1608)

François Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei

mederne.

Date numerele reale x1 şi x2 calculăm

este ecuaţia care are ca soluţii numerele date.

1 2 1 2,S x x P x x

02 PSxx⇒

Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiile

unde x1 si x2 sunt soluţiile ecuaţiei

Descompunerea trinomului în factori liniari

212 xxxxacbxax

02 cbxax

15 minute de concentrare

pentru rezolvarea testului,

feedbeak – ul la sfârsitul activităţii !!!

SĂ VERIFICĂM CE ŞTIM?

CE VREM SĂ ÎNVĂŢĂM AZI ?

Cum aflăm, fară a rezolva ecuaţia de gradul doi, care sunt semnele soluţiilor ?

De cine depind semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi ?

Cum analizăm natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi atunci când coeficienţii sunt dependenţi de un parametru real ?

TITLUL LECŢIEI Discuţia naturii şi semnelor soluţiilor ecuaţiei de gradul doi cu coeficienţi

reali

Semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi

0

0

⇔ 0

0

0

0

0

0

Ştim din proprietăţile algebrice a numerelorreale că dacă:

⇔0

0

0 ⇔

Dată ecuaţia

Având in vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul cui putem stabili fară a rezolva ecuaţia dacă soluţiile x1 şi x2 au acelaşi semn sau semne contrare ?

ÎNTREBARE ?

2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

Semnul numărului

Semnul numărului

RĂSPUNS CORECT !

P

S

Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şi S

•ecuaţia are soluţii de acelaşi semnP > 0

•ecuaţia are cel puţin una din soluţii nulăP = 0

•ecuaţia are soluţii de semne contrareP < 0

!!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelor Δ, P, S

Δ > 0 ( + )

P < 0 ( – )

S > 0 +

S = 0 0

S < 0 –

P = 0S > 0 +

S < 0 –

P > 0 ( + )

S > 0 +

S < 0 –

Δ = 0P > 0( + )

S > 0 +

S < 0 –

P = 0 S = 0 0

Δ < 0 - -

1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2, , 0x x R x x

1 2,x x R

Natura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi

EXERCITII

1. Stabiliţi semnul soluţiilor fară a rezolva ecuaţiile:

2 5 0x x

2 7 3 0x x

23 7 2 0x x

23 5 2 0x x

ecuaţia are soluţii de semne opuse

ecuaţia are soluţii de acelaşi semn

ecuaţia are soluţii de semne opuse

ecuaţia are soluţii de acelaşi semn

1 1 20 ,x x x

1 20 , 0x x

1 1 20 ,x x x

1 20 , 0x x

SOLUŢIE CORECTĂ ?!

2 05 0

0

Px x

S

2 07 3 0

0

Px x

S

2 03 7 2 0

0

Px x

S

2 03 5 2 0

0

Px x

S

2. Să se determine parametrul m pentru care soluţiile ecuaţiei sunt:

ambele pozitive de semne opuse ambele negative egale

EXERCIŢII

2 2 3 0,x x m m R

m - ∞ 3 4 + ∞Δ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - -

- P - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + S - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

SOLUŢIE

ambele pozitive Δ > 0 , P > 0 , S > 0 m

de semne opuse Δ > 0 , P < 0 m ( - ∞. 3)

ambele negative Δ > 0 , P < 0 , S < 0 m ( 3, 4)

egale negative Δ = 0 , P > 0 , S < 0 m = 4

3. Să discute natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei

după valorile parametrul real m.

Algoritm de lucru:calculăm Δ, S şi Pstabilim semnele acestor numere într-un tablou comunanalizând semnele pe intrevalele rezultate din tabloul de

semn stabilim natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei

EXERCITII

2 3 2 1 0,x x m m R

Aveţi timp de lucru 10 minute pentru exercitiul propus !

Rezultatele obţinute vor fi discutate şi prezentate

SĂ VERIFICĂM CE AM ÎNVĂŢAT?

Fie ecuaţia

determinaţi parametrul m aşa încât ecuaţia să aibă: soluţii reale pozitivesoluţii reale de semne opuse

Test de autoevaluare

2 2 0,x x m m R

ECUAŢIA DE GRADUL DOI - noţiuni de reţinut

Forma generală a ecuaţiei de gradul doi. Rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea (forme particulare

şi formă generală). Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doi. Relaţiile lui Viète. Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiile. Descompunerea trinomului de gradul al II-lea în factori. Discuţia naturii şi semnelor soluţiilor ecuaţiei de gradul

doi cu coeficienţii sunt dependenţi de un parametru real.

PREMIEREA CELOR MAI BUNI !

FELICITARI ! FELICITARI ! FELICITARI !

http://edu.moodle.ro/

MULTUMIM MOODLE ROMANIA

şi colaborări de succes !