Montevarchi - 25 settembre 2012 Liceo B. VARCHI Le trasformazioni Riccardo Ruganti.
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Montevarchi - 25 settembre 2012
Liceo B. VARCHI
Le trasformazioniLe trasformazioni
Ric
card
o R
ug
an
ti
Aiuta a osservare, descrivere, individuare caratteristiche e regolarità e a saperle comunicare.Geometria
: perché?
Geometria: perché?
Offre un’occasione per argomentare, congetturare e dimostrare e quindi una palestra formativa per abituarsi a confrontarsi con gli altri in modo corretto, appropriato e consapevole.
Permette di osservare e interpretare gli “oggetti reali” attraverso la conoscenza degli oggetti geometrici, delle loro caratteristiche e delle loro relazioni
Dal Percorso sintetico UMI-CIIM per il I biennio – Geometria:
Si consiglia di non trascurare la geometria ma di riservarle un tempo equilibrato. Anche se, con 3 ore settimanali, non le si potrà dedicare un tempo molto esteso, è sconsigliato ridurla a una presenza poco significativa, perché la geometria è una parte fondamentale del curricolo di matematica ed
offre la base intuitiva per una visualizzazione di molti dei concetti matematici che si riscontrano sia nel mondo reale che negli altri ambiti di contenuto (Aritmetica e algebra, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni).
Nelle INDICAZIONI NAZIONALI si afferma che
“il primo biennio avrà come obiettivo
la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano”.
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria:
All’inizio del primo biennio … lo studio della geometria può mirare,
partendo da quanto è stato affrontato nel corso del precedente livello,
a migliorare e a rafforzare
la presa di coscienza dello spazio in cui viviamo le nostre esperienze
per poi procedere a un approfondimento
della conoscenza delle figure e delle loro proprietà
con opportune argomentazioni e dimostrazioni.
Iniziare dal riconoscimento delle figure tridimensionali
che sono intorno a noi
rappresenta un’occasione per richiamare e rafforzare
le conoscenze degli studenti provenienti da situazioni
scolastiche diverse ovvero con livelli e
tipologie di preparazione spesso molto eterogenei.
In ogni caso orientare l’approccio al curricolo del biennio
in continuità con quello del primo ciclo
determina un minor stato di ansia e
può servire a stabilire un miglior dialogo tra docenti dei due
livelli di istruzione.
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria
Una sistemazione più esaustiva della geometria
è un punto d’arrivo al termine del curricolo e
non certo un punto di partenza imposto.
…
si agisce per sviluppare la competenza
che si riferisce a
“confrontare e analizzare figure geometriche,
individuando invarianti e relazioni”.
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria
PISA 2012 Definition of Mathematical Literacy:
Mathematical literacy is an individual’s capacity to formulate, employ, and interpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematical concepts, procedures, facts, and tools to describe, explain, and predict phenomena. It assists individuals to recognise the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflective citizens.
Competenza
Competenza
PISA 2012 Definition of Mathematical Literacy
Competenza matematica:
La competenza matematica è la capacità di un individuo di formulare, utilizzare e interpretare la matematica in una varietà di contesti. Include la capacità di ragionare matematicamente e di usare concetti, procedure, fatti e strumenti della matematica per descrivere, spiegare e predire fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica ha nel mondo e a formulare giudizi e decisioni ben fondati, come richiesto a cittadini costruttivi, impegnati e riflessivi.
Competenza
Competenza
PISA 2012: literacymatematica
PISA 2003:«la capacità di un individuo di individuare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino impegnato, che riflette e che esercita un ruolo costruttivo»
PISA 2012: «la capacità di un individuo di utilizzare e interpretare la matematica, di darne rappresentazione mediante formule, in una varietà di contesti. Tale competenza comprende la capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare concetti, procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini impegnati, riflessivi e con un ruolo costruttivo»
OCSEOrganizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico
PISAProgramme for International Student Assessment
PISA 2012: alcune informazioni
34 paesidell’OCSE
Dal ciclo PISA 2009, ulteriori 9 paesi partner partecipano a PISA con una rilevazione speciale chiamata PISA2009+
Fase 1.
Recupero, consolidamento e approfondimento
delle conoscenze pregresse sulle figure dello spazio e del piano.
Dalle figure dello spazio tridimensionale,
già studiate durante l’ultimo anno della Scuola Secondaria di I Grado
(prismi, piramidi, poliedri, cilindri, coni, sfere),
si giungerà ad analizzare quelle piane
(circonferenze, poligoni, segmenti, angoli).
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria
Si possono, per esempio, invitare gli studenti a guardare ciò che è
intorno a loro nell’aula o che notano mentre si affacciano alla
finestra o mentre fanno un giro intorno alla scuola.
Può essere utile mostrare qualche foto di edifici, di sculture, di
animali, di panorami con nubi e profili di montagne oppure far
osservare, coinvolgendo possibilmente il collega di Scienze, alcuni
campioni di minerali che presentino la loro struttura cristallina.
Importante è giungere a far scoprire come
le forme geometriche che si studiano (a scuola)
siano suggerite dalla Natura stessa!
Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
Oltre a piramidi, prismi, cilindri, coni
è interessante e culturalmente importante
far osservare e arrivare a descrivere,
senza esagerare con il rigore formale,
i poliedri regolari,
sempre a partire da foto o da oggetti
(per esempio alcuni dei dadi usati per i “giochi di ruolo”) o
da letture o
da riferimenti storici.
Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
A livello di primo biennio della scuola secondaria di secondo grado,
non si potrà assolutamente impostare la geometria in modo
assiomatico e deduttivo, ma si svilupperanno progressivamente, a
partire da quanto gli allievi conoscono a livello intuitivo, alcune
“limitate catene di deduzioni” (che si possono anche chiamare “isole
deduttive”).
A questo proposito, nelle INDICAZIONI NAZIONALIINDICAZIONI NAZIONALI si legge che
““in coerenza con il modo in cui si è presentato storicamente, in coerenza con il modo in cui si è presentato storicamente,
l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente
assiomatica”assiomatica”.
Dal Percorso sintetico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria
GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME
Le trasformazioniLe trasformazioni
Lo studente acquisirà la conoscenza delle
principali trasformazioni geometriche
(traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini
con particolare riguardo al teorema di Talete)
e sarà in grado di
riconoscere le principali proprietà invarianti.
Primo biennio
Lo studio della geometria proseguirà con l'estensione
allo spazio di alcuni dei temi della geometria piana,
anche al fine di sviluppare l’intuizione geometrica.
In particolare, saranno studiate
le posizioni reciproche di rette e piani nello spazio, il
parallelismo e la perpendicolarità, nonché
le proprietà dei principali solidi geometrici
(in particolare dei poliedri e dei solidi di rotazione).
Secondo biennio
Le trasformazioni
Le trasformazioni
Altra cosa è ragionare per trasformazioni
Felix Klein 1872, Programma di Erlangen,
traduzione in italiano di Fano
Gruppi di trasformazioni (automorfismi),
fondati sulle proprietà invarianti delle figure.
Galois (1811-1832) Abel (1802-1829)
Gustave Choquet (1915-2006),
L’insegnamento della geometria (Appendice 1), Feltrinelli,
MI 1967
Dalla simmetria assiale alle isometrie:
Un’isometria è individuata da un massimo di tre coppie di
punti corrispondenti.
Un’isometria è ottenibile come composizione di al più tre
simmetrie assiali.
Dall’omotetìa e dalle isometrie alla similitudine
Ogni similitudine è ottenibile come composizione di una
omotetìa e una isometria.
Esperienza personale
Ho iniziato, in classe, una trentina di anni fa, introducendo le isometrie in ambiente euclideo
Mazzarelli – Seccia, MATEMATICA Algebra e Geometria, Ed. Cremonese, Roma 1982
Dopo un’impostazione euclidea fino ai criteri di congruenza dei triangoli, si passa a definire la simmetria centrale, la simmetria assiale (dopo l’unicità della perpendicolare e la distanza tra due punti), la traslazione (dopo aver introdotto i vettori), la rotazione (dopo aver definito gli angoli orientati (?)). Al secondo anno similitudine e omotetìa ma in modo meno innovativo.
Ho poi proseguito con il testo
Belli – Lupo Perricone – Pagni – Pallini, INTUIRE E DEDURRE (OSSERVARE E DEDURRE), SEI, Torino 1984
(frutto di una sperimentazione attuata nel Lic. Sc. sperimentale Enriques di Livorno)
seguendo un percorso sulle isometrie fondato sulla simmetria assiale (Choquet) e la similitudine ottenibile come composizione di un’omotetìa e un’isometria.
Le INDICAZIONI NAZIONALI
non vanno in questa ultima direzione:
IL RIFERIMENTO E’ SEMPRE
ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA
LE TRASFORMAZIONI IN AMBITO EUCLIDEO
ma non fini a se stesse ma per essere utilizzate
RILEVANDO
INVARIANTI,
PUNTI UNITI,
COMPOSIZIONE, CARATTERE INVOLUTORIO
Metodo
Metodo
OSSERVAZIONI E POI DEFINIZIONI ARGOMENTARE, CONGETTURARE, DIMOSTRARE
Da La matematica per il cittadino MATEMATICA 2003
Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è
piuttosto un insieme strutturato di
attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici.
…
L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello dellabottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare,comunicando fra loro e con gli esperti.
La geometria ha un suo specifico contenuto, ma andrà
collegata in modo sistematico agli altri ambiti senza introdurre
artificiali separazioni tra questi.
Si deve trasmettere agli allievi che la geometria non è una parte
isolata della matematica.
Gli esempi sono infiniti: basta solo pensare al metodo delle
coordinate cartesiane, a proposito del quale nelle INDICAZIONI
NAZIONALI si legge che
“l’intervento dell’algebra nella rappresentazione degli oggetti
geometrici non sarà disgiunto dall’approfondimento della
portata concettuale e tecnica di questa branca della
matematica”.
VILLE E PALAZZI POLIEDRI
OMBRE PROPORZIONALITA’
PIZZA EQUATORE
Vediamo qualche esempio di attività:
APPLICAZIONIQualche esempio:
Problema di Erone (I-II sec a.C.)
Classificazione di triangoli e di quadrilateri
Triangolo con almeno un asse di simmetria
Quadrilatero con un solo (o almeno un) asse di simmetria
Figure con due assi ortogonali e con centro di simmetria
Anche nel Piano Cartesiano
Tangenti a coniche
Similitudine
Coniche simili
Parabole e Circonferenze
Ellissi e Iperboli
Bicchieri conici e sabbia
Traslazioni y = sen (x+k) + h
Grazie