Montage d'électronique: Changement de

fréquence. Application à l'analyse spectrale

François Caire - Thomas Lepetit

12 janvier 2010

Table des matières

1 Intérêt du changement de fréquence 3

1.1 Nécessités du changement de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Analyse dans le domaine de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Construction d'un analyseur de spectre à balayage analogique 7

2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Caractéristiques des éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Multiplieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 VCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Filtre sélectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Détecteur de crête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 phénomène de repliement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1.2 Illustration en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1.3 Solution - Filtre anti repliement . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Applications 11

3.1 Modulation AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Modulation FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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Introduction

Une grande part de l'électronique concerne aujourd'hui la transmission de si-gnaux de formes variées (téléphonie, radio, télévision etc...) qui sont caractérisés es-sentiellement par leur contenu spectral. L'un des enjeux majeurs de cette branche del'électronique est donc de caractériser au mieux l'encombrement spectral de chaquesignal émis a�n de permettre une utilisation optimisée de chaque canal de transmis-sion.

Nous nous intéressons ici à la technique du changement de fréquence, qui permetà la fois de synthétiser des signaux propres à être transmis mais aussi d'analyser etde réceptionner des signaux existants, comme nous allons le voir.

Ainsi, cette étude débute naturellement par la présentation des divers intérêts queprésente cette méthode. Puis, une application directe et très utilisée est présentéeen détail : l'analyseur de spectre à balayage analogique. En�n, une utilisation dece montage expérimental sera vue au travers de l'analyse de signaux typiques destélécommunications.

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Chapitre 1

Intérêt du changement de fréquence

1.1 Nécessités du changement de fréquence

Imaginons que nous voulons transmettre trois signaux di�érents via un mêmecanal de transmission (il peut s'agir par exemple de signaux émanant de 3 stationsradios).

Dans un premier temps, nous devons considérer que notre canal a une bande pas-sante B �nie : nous devons émettre un signal global dont l'expansion spectrale serainférieure à B et qui nous permettra de maximiser le débit d'informations transmisesa�n de maximiser les performances de notre chaîne de transmission.

Pour ce faire, nous e�ectuerons un multiplexage des trois signaux. Cette opéra-tion, illustrée sur le schéma de la �gure 1.1 consiste à moduler les signaux autourde trois fréquences porteuses di�érentes f01, f02 et f03. Autrement dit, on souhaitedécaler les spectres basses fréquences des signaux respectivement autour de f01, f02

et f03 a�n de synthétiser un signal porteur contenant toutes les informations des 3signaux à chaque instant et surtout, duquel on pourra extraire chaque contributionau niveau de l'étage de reception, nous verrons comment ci-après.

Figure 1.1 � Schéma d'une chaîne de transmission

Ainsi, nous sommes prêts à émettre notre signal au travers de notre canal detransmission, il ne reste qu'à choisir les ordres de grandeur des fréquences f0i. Lapremière idée serait de les prendre les plus petites possibles a�n de faciliter la réali-sation des éventuels �ltres dont nous aurons besoin. Mais un autre phénomène doitêtre pris en compte. Il s'agit des perturbations (bruits quelconques..) auxquelles serasoumis le signal lors de son transit et qui dépendent fortement de la fréquence.

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Il apparait alors directement que la taille des antennes émettrice et réceptricedoit être de l'ordre de la longueur d'onde du signal émis, ce qui n'est clairementpas réalisable et constitue l'argument majeur de l'utilisation des changements defréquence. En e�et, cette opération consiste à transposer le spectre du signal autourd'une fréquence f0 bien plus élevée a�n d'obtenir un signal de longueur d'onde bienplus faible. Donnons alors quelques ordres de grandeur :

Un autre argument jouant lui aussi en faveur de ce changement de fréquenceconcerne les perturbations subies par le signal lors de son transit au sein de ceque l'on nommera communément le canal de transmission. En e�et, les densitésspectrales de puissance des di�érents bruits mis en jeu présentent d'importantes va-riations aux basses fréquences (audio), tandis qu'elles apparaissent assez plates pourdes fréquences de l'ordre de quelques mégahertz. Ainsi, le spectre du signal trans-posé autour de f0 sera uniformément perturbé sur toute son expansion spectrale,alors que le signal original (en bande de base) subira des perturbations spectralessubstanciellement di�érentes pour chaque composante de son spectre.

Ainsi, après avoir montré l'intérêt d'e�ectuer un changement en fréquence, voyonscomment peut-il être e�ectivement réalisé.

1.2 Analyse dans le domaine de Fourier

Considérons dans un premier temps un signal sinusoïdal s(t) = S0sin(2πFt) quel'on voudrait transmettre. Le module du spectre d'un tel signal est constitué de deuximpulsions de Dirac de poids S0/2 en F et -F, centrées autour de 0.

L'opération de changement de fréquence consiste à translater ces impulsions au-tour d'une fréquence f0 plus élevée. Cela revient à dire, si l'on se replace maintenantdans le domaine temporel que l'on veut transformer la sinusoïde initiale de fréquenceF en une somme de deux sinusoïdes de fréquences f0 + F et f0 − F .

Cette opération peut donc être réalisée à l'aide d'un multiplieur :

Figure 1.2 � Schéma d'un multiplieur

On sait, d'après les propriétés de la transformation de Fourier que le produit dedeux signaux temporels conduit à la création d'un signal dont le spectre est égalau produit de convolution des spectres des signaux multipliés. Sachant de plus quel'impulsion de Dirac est l'élément neutre du produit de convolution, il apparaît qu'ensortie du multiplieur, le spectre observé est celui du signal d'entrée mais transposéautour de la fréquence f0L comme on peut le voir sur la �gure suivante où l'onconsidère un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence f1 :

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Figure 1.3 � Spectre en sortie du multiplieur

Ainsi, nous venons de voir que nous pouvons décaler spectralement l'informationcontenue par un signal simplement en multipliant celui-ci par une sinusoïde pure.

On peut alors se demander comment récupérer l'information correspondant àun seul canal dans le cas du multiplexage ? La solution est de placer en sortie dumultiplieur un �ltre linéaire de type passe-bande dont la fréquence centrale sera celledu canal considéré et dont la bande-passante est très proche de la largeur spectraledu canal souhaité.

A la lumière de cette analyse, on perçoit deux manières di�érentes de changer decanal : soit en faisant varier la fréquence centrale f0 de notre �ltre, soit en faisantvarier la fréquence centrale du canal. La seconde méthode est la plus utilisée carc'est la plus facile à réaliser étant donné que la sélectivité des �ltres passe-bandesutilisés doit être assez grande (de l'ordre de quelques dizaines à quelques milliers)et que cela n'est pas compatible avec une fréquence variable de l'odre de quelquesKilohertz à quelques MégaHertz.

La méthode utilisée pour faire varier la fréquence centrale du canal est la mêmeque celle vue pour le multiplexage. Il s'agit du décalage de fréquence réalisée à l'aided'un multiplieur. En e�et, à l'aide d'un Oscillateur Contrôlé en Tension (VCO), ilest aisé de créer une sinusoïde dont la fréquence varie linéairement avec la tensiond'entrée. Reste alors à choisir quelle fréquence il nous faut envoyer pour que le boncanal (de fréquence centrale f01 par exemple) soit transposé dans la bande passantedu �ltre sélectif. On sait désormais que le signal de fréquence centrale f01 étaittransposé autour de la fréquence f01 + fOL lorsqu'on le multiplie par une sinusoïdede fréquence fOL.

Ainsi, la condition pour que le canal reçu en sortie de notre système soit biencelui de fréquence f01 s'écrit :

f01 + fOL = f0 (1.1)

Il existe une seconde condition pour que le canal reçu en sortie soit bien celui de

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fréquence f01 :|f01 − fOL| = f0 (1.2)

Ceci implique une fréquence dite image de f01 qui va également véri�er la condi-tion : fi = f01 + 2f0. Nous y reviendrons au cours de ce rapport.

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Chapitre 2

Construction d'un analyseur de

spectre à balayage analogique

2.1 Principe

Nous avons choisi de réaliser un analyseur de spectre à balayage à l'aide d'élé-ments discrets. La fonction de �ltrage selective a été réalisée par un �ltre céramiqueSFU455A, centré autour de 455kHz. Le choix de ce �ltre fut simple. Il s'agit d'un�ltre largement utilisé dans le domaine des radiofréquences. Pour cette raison ce�ltre est très bon marché et présente de bonnes performances (facteur de qualitéélevé). La fréquence centrale de ce �ltre étant �xe. Le schéma de principe de cesystème est représenté sur la �gure ??.

Figure 2.1 � Scéma de principe de l'Analyseur de Spectre à balayage

2.2 Caractéristiques des éléments

2.2.1 Multiplieur

Le multiplieur utilisé est un composant intégré AD633 de gain k=1/10. Contrai-rement à son utilisation comme comparateur de phase, dans une boucle à verrouillagede phase par exemple, et pour laquelle sa caractéristique est en cos(ϕ) lorsque lesfréquences des deux sinusoïdes à l'entrée sont identiques, ici le multiplieur va nous

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donner pour deux sinusoïdes de fréquences f1 et f2 :

s(t) = k×A1 cos(2πf1t)×A2 cos(2πf2t) =kA1A2

2(cos(2π(f1 − f2)t) + cos(2π(f1 + f2)t))

2.2.2 VCO

L'oscillateur contrôlé en tension (VCO en anglais) utilisé est un générateur Than-dar qui permet de balayer une plage importante de fréquence (de l'ordre de 0 à 20MHz) et dont la commande peut être e�ectuée aisément à l'aide d'un GénérateurBasses fréquences. La caractéristique de cet oscillateur a été tracée sur la �gure 2.1.

Figure 2.2 � Caractéristique du VCO

2.2.3 Filtre sélectif

Le �ltre que nous avons choisi est un �ltre céramique (référence SFU455A) dontla fréquence centrale est de 457 kHz et dont le facteur de qualité varie de 10 à 200environ selon le réglage choisi. Ce choix a été motivé par les performances honnêtesde ce �ltre et sa facilité d'utilisation et nous l'avons réglé de sorte à ce que sonfacteur de qualité soit le plus grand possible a�n d'obtenir la meilleure précision(résolution possible). Ce dernier point sera discuté par la suite. Le diagramme deBode de ce �ltre est représenté sur la �gure 2.2.

2.2.4 Détecteur de crête

A�n de détecter les di�érents maxima du signal de sortie correspondant à desfréquences fu telles que fu + fOL = f0, fOL variant au cours du temps, on utilise unsimple détecteur de crête constitué d'une diode Shottky (a�n de minimiser la tensionde seuil) et d'un circuit RC passe-bas dimensionné de façon à ce que 2pi/RC << f0

(on a choisi ici RC = 10 ∗ 2pi/f0) et il faut de plus que le le signal de sortie suive

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Figure 2.3 � Diagramme de Bode du �ltre selectif SFU455A

la décroissance du signal en sortie du �ltre (sinon, il apparaît un élargissement desraies et donc une baisse importante de la résolution (on a choisi ici RC = 5∗2pi/f0)qui constitue un bon compromis.

2.3 Performances

Après avoir présenté individuellement chaque composant de notre montage, nousallons dans cette partie, nous intéresser aux performances globales de cet analyseurde spectre et tenter d'expliquer la cause des di�érents défauts et limitations dans lebut d'une optimisation de son utilisation.

2.3.1 phénomène de repliement de spectre : le rôle de la fré-

quence image

On a vu, lorsque l'on a introduit le changement de fréquence d'un signal sinu-soïdal de fréquence F par un multiplieur et une � porteuse �de fréquence fOL quele signal de sortie présentait deux raies : l'une en fOL + F et l'autre en (fOL − F )qui seront détectées si l'une des deux est égale à f0, la fréquence centrale du �ltre.Maintenant, considérons que l'on a (fOL − F ) = f0. Si le spectre du signal d'entréecontient une autre fréquence fI telle que (fOL− fI) = f0, celle-ci sera aussi détectéeet repliée, c'est à dire qu'elle n'apparaîtra pas en fI dans le spectre . On voit alorsque si fI = F +2f0, cette condition est véri�ée et fI apparaîtra en F dans le spectre,d'où son nom : � fréquence image �.

2.3.1.1 Théorie

On a vu, lorsque l'on a introduit le changement de fréquence d'un signal sinu-soïdal de fréquence F par un multiplieur et une � porteuse �de fréquence fOL que

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le signal de sortie présentait deux raies : l'une en fOL + F et l'autre en (fOL − F )qui seront détectées si l'une des deux est égale à f0, la fréquence centrale du �ltre.Maintenant, considérons que l'on a (fOL − F ) = f0. Si le spectre du signal d'entréecontient une autre fréquence fI telle que (fOL− fI) = f0, celle-ci sera aussi détectéeet repliée, c'est à dire qu'elle n'apparaîtra pas en fI dans le spectre . On voit alorsque si fI = F +2f0, cette condition est véri�ée et fI apparaîtra en F dans le spectre,d'où son nom : � fréquence image �.

2.3.1.2 Illustration en pratique

A�n d'illustrer ce phénomène, nous en voyons un signal carré que nous analysonsavec notre spectre. Ce signal contient toutes les fréquences multiples de son fonda-mentales (seules les constantes de multiplicité impaires sont présentes en raison dela symétrie de glissement) et permet donc de visualiser les di�érentes fréquencesimages qui apparaissent. Sur la �gure 2.3, on visualise l'allure du spectre du signalen sortie de l'analyseur de spectre.

Figure 2.4 � Analyse spectrale d'un signal carré de fréquence 100kHz

Comment s'a�ranchir de ce phénomène. La solution est d'utilisé un �ltre anti-repliement.

2.3.1.3 Solution - Filtre anti repliement

L'idée émise pour se débarrasser de ces artéfacts émanant de la présence de fré-quences images dans le spectre étudié est très simple puisqu'elle consiste à atténuergrandement le domaine considéré du spectre du signal avant son analyse. On utilisealors un �ltre passe-bas du second ordre de type Sallen-Key (cf �gure

Remarque : On note aussi que l'introduction de ce �ltre limite le domaine defonctionnement de l'analyseur de spectre à quelques fc.

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Figure 2.5 � Filtre actif du second ordre de type Sallen Key

A�n d'observer le résultat, envoyons exactement le même signal carré que ci-avant. Le spectre obtenu est celui de la �gure ??

Figure 2.6 � Analyse spectrale d'un signal carré de fréquence 100kHz AVEC �ltreanti-repliement

On observe bien que les raies repliées ont disparu.

2.3.2 Résolution et précision

Pour un �ltre possédant une sélectivité donnée, on observe deux phénomèneslorsque l'on augmente la vitesse de balayage. Tout d'abord, on remarque un élar-gissement des raies qui est dû au fait que lorsque la vitesse de balayage augmente,la durée caractéristique de variation de la fréquence du signal d'entrée devient deplus en plus faible devant le temps de réponse du �ltre (d'autant plus grand que sasélectivité est grande) et donc

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Figure 2.7 � In�uence de la vitesse de balayage sur la résolution et la précision enfréquence

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Chapitre 3

Applications

3.1 Modulation AM

Figure 3.1 � Spectre d'une sinusoïde de 300kHz modulée en amplitude par unesimusoïde de 10kHz avec un indice de modulation de ? ?

3.2 Modulation FM

La �gure 3.2 montre le spectre fréquentiel d'une sinusoïde de 300 kHz moduléeen fréquence (par une sinusoïde de fréquence 20kHz) avec une excursion de 10kHz.L'indice de modulation est donc faible :

β =∆f

f=

10kHz

20kHz= 0.5

On retrouve bien un spectre semblable à celui que l'on aurait eu avec une modulationd'amplitude d'une même porteuse avec une modulante sinusoïdale à 10kHz.

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Figure 3.2 � Spectre d'une sinusoïde de 300kHz modulée en fréquence par unesinusoïde de fréquence 20kHz - Excursion en fréquence 10kHz

Les deux spectres 3.3 et 3.4 correspondent à des modulation de fréqence de lamême porteuse à 300kHz avec une même modulante sinusoïdale à 20kHz mais avecdes indices de modulation plus grands. β vaut respectivement 2.5 et 3.5. Le lecteurpourra remarquer deux choses :

� L'encombrement spectral croit bien avec β et on véri�e bien la formule empi-rique de Carson E = (2β + 1)F

� Pour β = 2.5 la raie centrale est bien nulle. On pourra ainsi véri�er J0(2.5) = 0sur la �gure 3.5

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Figure 3.3 � Spectre d'une sinusoïde de 300kHz modulée en fréquence par unesinusoïde de fréquence 20kHz - Excursion en fréquence 50kHz

Figure 3.4 � Spectre d'une sinusoïde de 300kHz modulée en fréquence par unesinusoïde de fréquence 20kHz - Excursion en fréquence 70kHz

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Figure 3.5 � Fonctions de Bessels

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