1. Unitat 4: lgebra. Monomis i Polinomis 1. Introducci a l'lgebra. Llenguatge algbric. x 2. La unitat ms senzilla en lgebra: els monomis x 3. Operacions amb monomis x 3.1 Suma i resta x 3.2 Producte x 3.3 Quocient x 4. Polinomis x 4.1 Suma x 4.2 Resta x 4.3 Producte x 4.3.1 La propietat distributiva x 4.3.2 Producte entre polinomis x 4.4 El valor numric d'una expressi algbrica x 4.5 Extracci de factor com x 4.6 Productes notables x 2. 1. Introducci a l'lgebra. Llenguatge algbric Parts de les matemtiques que coneixeu: -Treball amb nombres, operacions, jerarquia, etc. -Treball amb figures planes i cossos, al pla o a l'espai. -Treball amb relacions de dependncia entre nombres: funcions. -Treball amb dades: recopilaci, representaci i interpretaci. -Treball amb nombres desconeguts, que substitum per lletres: x, y, z, a, b,... lgebra Estadstica i probabilitat Anlisi Geometria Aritmtica Exercicis 126-132 3. 2. La unitat ms senzilla en lgebra: els monomis El grau s la suma de tots els exponents de la part literal. a) Nomenclatura Monomi de grau 4 (3+1=4)1 2 b3 h Coeficient (el nmero) Part literal (les lletres) b) Grau d'un monomi Si dos o ms monomis tenen la mateixa part literal, direm que sn monomis semblants. c) Monomis semblants 3x 2 4x 2 x 2 3 5 3 x 2 Un monomi s el producte indicat entre un valor conegut (el coeficient) i un o ms valors desconeguts, representats per lletres (la part literal). Exercicis 133 i 134 Exercicis 135 i 136 4. 3. Operacions amb monomis El producte d'un o ms monomis s un monomi que t com a coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte de les parts literals. 3.1 Suma i resta: 3.2 Producte: 3x 2 + 4x 2 9x 2 =2x 2 3a 5b=(35)(ab)=15ab Dos monomis noms es poden sumar si sn semblants. En aquest cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part literal. 2a+ b4a+ 2b=2a+ 3b Exercici 137-8 i p80 4.3 i 4.36 i 37 5x 2 2x 3 =(5 2)( x 2 x 3 )=10x 5 Exercici 139, 140 i 4.9 i 4.38 5. 3. Operacions amb monomis 3.3 Quocient: 2x2 :5x2 = 2x2 5x 2 = 2 5 Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre monomi o una fracci algebraica. Posarem l'operaci en forma de fracci i simplificarem factors idntics ("flas-flas"). Exercicis 141-146 6a3 b2 :2ab2 = 6a3 b2 2ab 2 = 23 aa abb 2a bb = 3a2 1 =3a2 8x2 y:6y3 = 8x2 y 6y 3 = 222 x x y 23 y y y = 4x2 3y 2 (Nombre) (Monomi) (Fracci algebraica) 6. 4. Polinomis El grau d'un polinomi s el grau ms alt dels termes que el formen. a) Nomenclatura Polinomi de grau 4 11x3 y7xy2 + 5x13 Terme b) Grau d'un polinomi Exercici 4.12 +extra Un polinomi s la suma indicada de diversos monomis no semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol") Terme Terme Terme Grau 4 Grau 3 Grau 1 Grau 0 7. 4. Polinomis 4.1 Suma: A=5x 3 1 Per sumar o restar polinomis, noms ens caldr sumar o restar els termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor. Exemple: B=7x 3 5x 2 + 3 A+ B 5x 3 7x 3 5x 2 + 3+ 1 12x 3 5x 2 + 2 8. 4. Polinomis 4.2 Resta: A=5x 3 1 Restar s el mateix que sumar l'oposat. Aix, procedirem de la mateixa manera per sumant l'oposat del polinomi que actua de subtrahend. Exercicis 148 i 149 4.42 i 4.43 Exemple: B=7x 3 5x 2 + 3 AB=A+ (B) 5x 3 7x 3 + 5x 2 3+ 1 2x 3 + 5x 2 4 9. 4. Polinomis 4.3 Producte: 3x (5x3 2x) Si tenim un factor multiplicant un parntesi, podem aplicar la propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes de l'interior del parntesi. Exercici 150 4.17 i 4.18 3x (5x 3 2x)=3x 5x 3 3x 2x 3x 5x3 3x 2x=15x4 6x2 4.3.1 La propietat distributiva Exercicis requadre pg.77 10. P(x)=3x 2 2x+ 7 Per multiplicar polinomis els disposarem tamb en columnes ordenades, multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del segon polinomi, i reduint finalment els termes semblants. Exercicis 150 i) 4.18 e) 4.44 Exemple: Q(x)=3x5 P(x)Q(x) x 15x 2 + 10x35 3x 2 2x+ 7 3x5 9x 3 6x 2 + 21x 9x 3 21x 2 + 31x35 4.3.2 Producte entre polinomis 11. 4.13 + el de l'examen El valor numric d'una expressi algebraica s el nombre o resultat que s'obt en substituir les lletres per nombres determinats i realitzar les operacions indicades. Exemple: Trobar el valor numric de la segent expressi algebraica per a x = 5. 3x2 + x+ 10 352 + 5+ 10=3 25+ 5+ 10=75+ 5+ 10=90 352 + 5+ 10 si x = 5 4. Polinomis 4.4 El valor numric d'una expressi algbrica 12. 15x 4 6x 2 Extreure factor com d'una expressi algebraica s aplicar la propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns tnen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parntesi. 151 i 152 + exercici prova 35 x x x x32 x x 3 x x(5 x x2) 3x 2 (5x 2 2) 4. Polinomis 4.5 Extracci de factors comuns: 13. ab 2 =a 2 2abb 2 Demostraci: a) Quadrat de la suma (a+ b) 2 =(a+ b)(a+ b)=a a+ ab+ ba+ bb a a1a b1abbb=a 2 2abb 2 Exemple: 2x3y 2 =2x 2 22x 3y3y 2 =4x 2 12xy9y 2 4. Polinomis 4.6 Productes notables 14. ab 2 =a 2 2abb 2 Demostraci: b) Quadrat de la diferncia (ab) 2 =(ab)(ab)=a a+ a(b)bab(b) a aaba bbb=a 2 2abb 2 Exemple: 2x 3 6x 2 =2x 3 2 22x 3 6x6x 2 =4x 6 24x 4 36x 2 4. Polinomis 4.6 Productes notables: 15. (a+ b)(ab)=a 2 b 2 Exercicis 153, 154, 155, 156, 157 Demostraci: c) Suma per diferncia (a+ b)(ab)=a a+ a(b)+ ba+ b(b) a a1a b+ 1abbb=a 2 b 2 Exemple: (x+ 2y)(x2y)=(x) 2 (2y) 2 =x 2 4y 2 4. Polinomis 4.6 Productes notables: