Monografia Cezarina Malta
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Cezarina Viana Malta OTIMIZAÇÃO EM PROJETOS DE TRANSFORMADORES DE DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO PROGRAMAÇÃO GEOMÉTRICA E ALGORITMOS GENÉTICOS Vitória da Conquista Dezembro de 2011
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Cezarina Viana Malta
OTIMIZAÇÃO EM PROJETOS DE TRANSFORMADORES DE
DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO PROGRAMAÇÃO GEOMÉTRICA E
ALGORITMOS GENÉTICOS
Vitória da Conquista
Dezembro de 2011
Cezarina Viana Malta
OTIMIZAÇÃO EM PROJETOS DE TRANSFORMADORES DE
DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO PROGRAMAÇÃO GEOMÉTRICA E
ALGORITMOS GENÉTICOS
Projeto de Final de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia – IFBA, como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Engenheira Eletricista.
Orientadora: Alessandra Freitas Picanço
Co-orientador: Tiago Franco de Góes Teles
INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA CAMPUS VITÓRIA DA CONQUISTA
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Vitória da Conquista
Dezembro de 2011
Cezarina Viana Malta
OTIMIZAÇÃO EM PROJETOS DE TRANSFORMADORES DE
DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO PROGRAMAÇÃO GEOMÉTRICA E
ALGORITMOS GENÉTICOS
Projeto de Final de Curso apresentado para avaliação de Graduação em
Engenharia Elétrica, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da
Bahia – IFBA, campus Vitória da Conquista.
Banca Examinadora
PRESIDENTE: ________________________________________________
Profª. Orientadora Alessandra Freitas Picanço, Dr. IFBA – Campus de Vitória da Conquista
MEMBRO: ________________________________________________
Profº. Co-orientador Tiago Franco de Góes Teles, Me. IFBA – Campus de Vitória da Conquista
MEMBRO: ________________________________________________
Profº. Durval de Almeida Souza, Dr. IFBA – Campus de Vitória da Conquista
MEMBRO: ________________________________________________
Profº. Wesley de Almeida Souto, Dr. IFBA – Campus de Vitória da Conquista
Vitória da Conquista
Dezembro de 2011
Dedico este trabalho à minha querida mãe, por todo amor e dedicação.
Agradecimentos
À Deus, por me conceder a graça de chegar até aqui.
À minha família, por toda compreensão e amor, em especial à minha querida
mãe, Marizete, e ao meu querido irmão, José Luís, por todo apoio, incentivo, força,
por não medir esforços para que alcançasse meu objetivo, enfim, por acreditar em
mim.
Ao meu amor, Danillo, pelo carinho, amor, compreensão, paciência e alegria,
que serviram de motivação nos momentos que mais precisei.
À minha orientadora, a professora Dr. Alessandra Freitas Picanço, pela
orientação nas fases de elaboração deste trabalho, por todos os ensinamentos
passados em sala de aula, pela competência técnica.
Ao meu co-orientador, o professor Me. Tiago Franco de Góes Teles, pela
colaboração e disponibilidade em ajudar, possibilitando a realização deste trabalho.
Ao IFBA, pela formação acadêmica.
A todos os professores que fizeram parte desta caminhada.
Aos meus colegas, que jamais serão esquecidos.
A todos que contribuíram, direta ou indiretamente, para realização deste
trabalho.
Abstract
This work is presented the methodology of technique of Geometric
Programming and Genetic Algorithms for optimization design of distribution
transformers.
Although transformers are high-performance to equipment, about 99%, they
are responsible for one third of the losses in the electrical system. These losses
represent costs to concessionaires and in some way to society. The methodologies
that will be shown in this work aims to optimize the design of such equipment by
obtaining optimal design variables, considering the restrictions of losses according to
current regulations. The Genetic Algorithms (Gas) are used due to its easy
implementation, since it is not necessary that the objective function and constraints
are written as posinomial, as it should be in Geometric Programming. These
optimization methods are applied only to a portion of the total cost of the distribution
transformer, the manufacturing cost, resulting rational use of raw material and
consequent reduction in the total cost of the transformer.
Keywords: Transformer, optimization, Geometric Programming, Genetic
Algorithms.
Resumo Neste trabalho é apresentada a metodologia da técnica de Programação
Geométrica e de Algoritmos Genéticos para otimização de projetos de
transformadores de distribuição.
Embora os transformadores sejam equipamentos de alto rendimento, cerca
de 99%, eles são responsáveis por um terço das perdas no sistema elétrico. Estas
perdas representam custos às concessionárias e de certo modo à sociedade. As
metodologias que serão mostradas neste trabalho tem por objetivo otimizar o projeto
de tais equipamentos através da obtenção de variáveis de projeto ótimas,
considerando as restrições de perdas conforme os normativos vigentes. Os
Algoritmos Genéticos (AGs) serão utilizados devido a sua fácil implementação, já
que não é necessário que a função objetivo e as restrições sejam escritos na forma
posinomial, como deve ser na Programação Geométrica. Essas metodologias de
otimização serão aplicadas apenas a uma parcela do custo total do transformador de
distribuição, ao custo de fabricação, resultando na utilização racional de matéria-
prima e consequente redução no custo total do transformador.
Palavras-chaves; Transformador, otimização, Programação Geométrica,
Algoritmos Genéticos.
Lista de Figuras
Figura 2.1 – Combinação das Perdas Definida pelo HD 428 2 ................................... 16
Figura 3.1- Transformador trifásico em formato de panqueca .................................... 23
Figura 3.2 – Empilhamento de lâminas formando um núcleo trifásico1 ...................... 23
Figura 3.3 – Relação entre área do núcleo e potência em kVA11 ............................... 24
Figura 3.4 – Diâmetros da bobina de baixa e alta tensão1 .......................................... 27
Figura 5.1 – Fluxograma do algoritmo genético .......................................................... 51
Figura 5.2 – Método da roleta18 .................................................................................... 55
Figura 5.3 – Exemplo de cruzamento de ponto duplo8 ................................................ 56
Figura 5.4 – Exemplo do operador genético mutação ................................................. 56
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 – Principais Padrões de Eficiência de Energia em Transformadores.1 .... 15
Tabela 2.2 – Padrões de Perdas em Transformadores de Distribuição2 .................... 16
Tabela 3.1 – Valores de corrente de excitação e perdas em transformadores trifásicos de 15 kV.9 ....................................................................................................... 20
Tabela 5.1 – Condutores Padrão do enrolamento de B.T. ......................................... 59
Tabela 5.2 – Condutores Padrão do enrolamento de A.T. ......................................... 59
Tabela 5.3 – Comparativo entre transformador obtido com Algoritmos Genéticos e Transformador Padrão. ................................................................................................. 60
SUMÁRIO
11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO ................................................................................................ 11
22 EEFFIICCIIÊÊNNCCIIAA DDOOSS TTRRAANNSSFFOORRMMAADDOORREESS DDEE DDIISSTTRRIIBBUUIIÇÇÃÃOO NNOO
PPAANNOORRAAMMAA MMUUNNDDIIAALL .......................................................................... 13
22..11 DDeeffiinniiççããoo ddee eeffiicciiêênncciiaa eemm ttrraannssffoorrmmaaddoorreess ................................................ 13
22..22 AAllgguunnss ppaaddrrõõeess ddee eeffiicciiêênncciiaa eemm ttrraannssffoorrmmaaddoorreess ...................................... 14
22..22..11 PPaaddrrããoo EEuurrooppeeuu ......................................................................................... 15
22..33 EEqquuaaççõõeess ddee ccuussttoo ppaarraa ttrraannssffoorrmmaaddoorr ddee ddiissttrriibbuuiiççããoo .............................. 17
33 EESSTTUUDDOO DDOO PPRROOJJEETTOO DDEE TTRRAANNSSFFOORRMMAADDOORREESS DDEE DDIISSTTRRIIBBUUIIÇÇÃÃOO .. 20
33..11 AAççoo-- ssiillíícciioo nnoo nnúúcclleeoo ddooss ttrraannssffoorrmmaaddoorreess ................................................. 21
33..22 PPrroojjeettoo ddee ttrraannssffoorrmmaaddoorreess .......................................................................... 22
33..22..11 DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa áárreeaa ddoo nnúúcclleeoo .............................................................. 23
33..22..11..11 DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo fflluuxxoo mmaaggnnééttiiccoo .......................................................... 26
33..22..22 DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddooss eennrroollaammeennttooss ........................................................ 26
aa )) DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo nnúúmmeerroo ddee eessppiirraass ........................................................ 26
bb)) DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo nnúúmmeerroo ddee ccaammaaddaass ddee eessppiirraass ........................................ 28
cc)) DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa aallttuurraa ddaa jjaanneellaa ..................................................................... 28
33..22..33 DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa mmaassssaa ee ddaass ppeerrddaass ..................................................... 29
aa )) NNúúcclleeoo ee ccuullaattrraa .................................................................................................. 29
bb)) EEnnrroollaammeennttooss ....................................................................................................... 31
44 CCOONNCCEEIITTOOSS SSOOBBRREE PPRROOGGRRAAMMAAÇÇÃÃOO GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAA ............................... 33
44..11 OOttiimmiizzaaççããoo ..................................................................................................... 33
44..22 PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa ............................................................................ 34
44..22..11 PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa sseemm RReessttrriiççõõeess ............................................... 35
44..22..22 PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa ccoomm RReessttrriiççõõeess ............................................... 36
44..33 AApplliiccaaççããoo aaoo PPrroojjeettoo ddee TTrraannssffoorrmmaaddoorreess ddee DDiissttrriibbuuiiççããoo ......................... 39
44..33..11 EEqquuaacciioonnaammeennttoo ddoo pprroobblleemmaa ................................................................... 41
44..33..11..11 VVaarriiáávveeiiss ddee PPrroojjeettoo ................................................................................ 42
44..33..11..22 DDaaddooss ddee eennttrraaddaa ................................................................................... 42
44..33..11..33 FFuunnççããoo OObbjjeettiivvoo ...................................................................................... 43
44..33..11..44 RReessttrriiççõõeess ddee DDeessiigguuaallddaaddee ................................................................... 45
aa ))PPeerrddaass nnoo nnúúcclleeoo:: .............................................................................................. 45
bb)) PPeerrddaass ttoottaaiiss:: ..................................................................................................... 45
44..33..11..55 RReessttrriiççããoo ddee IIgguuaallddaaddee ........................................................................... 46
44..33..11..66 AApplliiccaaççããoo ddaa PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa ................................................ 46
55 AALLGGOORRIITTMMOOSS GGEENNÉÉTTIICCOOSS ((AAGGss)) ................................................................ 50
55..11 IInniicciiaalliizzaaççããoo .................................................................................................... 51
55..22 FFuunnççããoo AAppttiiddããoo .............................................................................................. 52
55..22..11 FFuunnççããoo OObbjjeettiivvoo ee RReessttrriiççõõeess .................................................................... 53
55..33 OOppeerraaddoorreess GGeennééttiiccooss ................................................................................... 54
55..33..11 SSeelleeççããoo ........................................................................................................ 54
55..33..22 CCrruuzzaammeennttoo ................................................................................................. 55
55..33..33 MMuuttaaççããoo ....................................................................................................... 56
55..44 CCoonnvveerrggêênncciiaa ................................................................................................. 57
55..55 AApplliiccaaççããoo ddooss AAGGss aaoo pprroojjeettoo ddee ttrraannssffoorrmmaaddoorreess ddee ddiissttrriibbuuiiççããoo ............. 57
55..66 RReessuullttaaddooss ...................................................................................................... 58
66 CCOONNCCLLUUSSÕÕEESS ................................................................................................. 61
66..11 PPrrooppoossttaa ppaarraa ttrraabbaallhhooss ffuuttuurrooss .................................................................... 62
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS .................................................................................................... 63
11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO
As pesquisas realizadas na Europa indicam que as perdas na rede de
transmissão e de distribuição representam uma redução de receita da ordem de € 61
bilhões1. Geralmente, um terço das perdas ocorre em transformadores, e dois terços
no resto do sistema. Durante a operação diária de um transformador, seja na maior
parte do tempo em vazio ou em sobrecarga, as perdas capitalizadas podem
acarretar custos para a concessionária e sociedade. A União Européia, através dos
documentos de harmonização HD 428 e 538 2, e os Estados Unidos, com a NEMA
TP-1 e do documento de suporte técnico (TSD – Technical Support Document), tem
como objetivo reduzir estes custos operacionais e, consequentemente, as perdas na
rede3.
A tecnologia de transformadores eficientes de distribuição representa um
grande potencial para melhorar as perdas na rede, em aproximadamente 80%.
Portanto, para reduzir as perdas, o projeto do transformador de distribuição deve ser
adaptado segundo a normalização existente com um tempo de retorno de
investimento atrativo.
Geralmente os fabricantes nacionais calculam os transformadores de
distribuição através de planilhas, muitas vezes baseadas na experiência dos
projetistas. As ferramentas computacionais utilizadas pelos fabricantes
multinacionais para projeto não permitem a alteração de parâmetros construtivos
pelo Engenheiro responsável. De forma geral, estas ferramentas tem o objetivo de
otimizar o consumo de matéria prima empregada como forma de redução de custo
de fabricação.
Algumas concessionárias no Brasil e todas no caso dos EUA compram
transformadores de distribuição pelo resultado mais atrativo da equação de
capitalização do custo total, incluindo o custo de compra e as perdas capitalizadas.
Nos EUA os transformadores de distribuição eficiente são definidos segundo
proposta do TSD, utilizando-se, junto com a equação do custo total, o cálculo do
custo do ciclo de vida (LCC – Life Cycle Cost). O LCC é o custo total pago pelo
consumidor sobre o tempo de vida do equipamento, incluindo os custos de compra,
de instalação e operacionais.
A abordagem de projetos ótimos de transformadores tem sido realizada desde a
década de 60 com o aprimoramento das técnicas de otimização nos anos 40 e 50.
Na pesquisa realizada sobre este tema, os projetos ótimos são aqueles que
possuem menores perdas em carga ou que utilizam matéria prima de forma
racionada. As técnicas de pesquisa mais utilizadas são a otimização não linear,
programação geométrica, redes neurais e algoritmos genéticos.
O objetivo principal deste trabalho é otimizar o custo de fabricação de
transformadores de distribuição. Para tanto, serão utilizados método de otimização
de programação geométrica4-6, e a filosofia de algoritmos genéticos7,8. Estas
ferramentas tendem a indicar projetos ótimos, considerando as restrições impostas,
para este caso, perdas normalizadas conforme (9).
O trabalho está dividido em:
- capítulo 2: trata da eficiência dos transformadores de distribuição no
panorama mundial apresentando os principais padrões de eficiência em
transformadores.
- capítulo 3: discorre sobre o projeto de transformadores de distribuição
mostrando as equações utilizadas, dentre elas, equações para cálculo de massas e
perdas nos transformadores.
- capítulo 4: descreve os conceitos básicos da programação geométrica e sua
aplicação em projetos de transformadores de distribuição.
- capítulo 5: trata dos conceitos básicos de algoritmos genéticos, a aplicação
em transformadores de distribuição, bem como, os resultados obtidos.
- capítulo 6: mostra as conclusões do trabalho.
22 EEFFIICCIIÊÊNNCCIIAA DDOOSS TTRRAANNSSFFOORRMMAADDOORREESS DDEE DDIISSTTRRIIBBUUIIÇÇÃÃOO NNOO PPAANNOORRAAMMAA
MMUUNNDDIIAALL
A eficiência de um transformador está relacionada às suas perdas de energia.
Não há uma caracterização geral sobre transformadores de alta eficiência, o que
existe são padrões de perdas que são estabelecidos em normas. Cada norma e
cada país têm uma definição diferente, considerando, por exemplo, as perdas e os
custos. Neste contexto, têm-se duas linhas principais na definição de eficiência em
transformadores, a Européia e a Americana.
22..11 DDeeffiinniiççããoo ddee rreennddiimmeennttoo eemm ttrraannssffoorrmmaaddoorreess
Apesar do rendimento em transformadores de distribuição ser em torno de
99%, quando estes são instalados em redes elétricas, sob vários níveis de tensão de
distribuição, são nestes componentes onde acontecem as maiores perdas da rede.
Um estudo feito pelo Instituto Leonardo Energy mostra que um terço das perdas em
sistemas de distribuição e transmissão ocorre em transformadores, e dois terços no
resto do sistema1.
O rendimento de transformadores é um valor pontual definido como a relação
entre potência de saída, Ps, e potência de entrada, Pe, conforme Equação (2.1). Já
a eficiência é a curva que representa esse rendimento ao longo do tempo.
e
s
P
P=η . (2.1)
A potência de entrada é a que será fornecida ao secundário do transformador
mais a parcela referente às perdas totais que ocorrem no núcleo e as perdas que
ocorrem no enrolamento de cobre.
Para que o rendimento varie com uma carga qualquer, e considerando a
tensão primária constante, têm-se perdas no núcleo constantes, ��. Logo, o
rendimento do transformador é descrito conforme Equação (2.2).
.
cos
cos2
222
22
2
2
RIWIU
IU
perdasP
P
N ++=
+=
θ
θη (2.2)
Na qual: � é a potência de saída em W; é a tensão no terminal secundário em V; � é a corrente de carga em A;
cos θ é o fator de potência da carga; �� são as perdas no enrolamento de cobre;
Ao diferenciar a função do rendimento em relação à corrente de carga, como
em (2.3), tem-se a condição de máximo rendimento, que ocorre quando as perdas
no núcleo são iguais às perdas no enrolamento de cobre para uma determinada
carga, conforme (2.4).
.02
=dI
dη (2.3)
WcuRIWN == 2
2 . (2.4)
Desse modo, o projetista deve variar a proporção de material magnético e
material condutor, de forma a obter o melhor rendimento do transformador.
22..22 AAllgguunnss ppaaddrrõõeess ddee eeffiicciiêênncciiaa eemm ttrraannssffoorrmmaaddoorreess
As normas de padronização são responsáveis pela maioria das
características dos transformadores. Nestes documentos são descritos
procedimentos e condições para obtenção de eficiência de energia do
transformador, garantindo-lhes desempenho e qualidade.
Os padrões internacionais definem eficiência em transformadores
considerando as perdas sob carga e em vazio, e a capitalização dessas perdas.
No Canadá, Austrália, Nova Zelândia e México, utilizam-se o padrão NEMA
TP-1. A Europa utiliza os documentos de harmonização, HD 428 e HD 538, com
diferenças entre alguns países.
Na Tabela 2.1 têm-se um resumo dos padrões de eficiência de energia em
transformadores.
Tabela 2.1 – Principais Padrões de Eficiência de Energia em Transformadores.
País Padrão/Norma Objetivo
USA
Guia para determinar eficiência de energia para transformadores de distribuição (TP1-1996). Associação dos fabricantes elétricos (NEMA), 1996.
Padrões de Eficiência e
Equação TOC.
Método de ensaio padrão para medição do consumo de energia de transformadores de distribuição (TP2-1998). Associação dos fabricantes elétricos (NEMA), 1998.
Metodologia de Ensaio de Eficiência.
Internacional Transformadores de potência – Guia de aplicação, 60076-8, IEC: 1997.
Projeto, cálculos incluindo medição
de perdas.
Fonte: PICANÇO, 2009.
22..22..11 PPaaddrrããoo EEuurrooppeeuu
Na União Européia, os padrões utilizados são o ISO, IEC, HD, EM e padrões
locais.
O HD é um padrão que determina os níveis de eficiência através das perdas
em vazio e sob carga. Seu documento de harmonização, HD 428, é para
transformador de distribuição trifásico a óleo, e o HD 538, para o transformador
trifásico a seco, ambos para 50 Hz e classe de tensão não excedendo 36 kV.
O padrão HD 428 estabelece três níveis de perdas em carga (A, B e C) e três
níveis de perdas em vazio (A’, B’ e C’). Ao combinar estas perdas obtém-se o nível
de eficiência do transformador.
Transformadores com alta eficiência resultam da combinação de perdas C-C’
e com baixa eficiência, B-A’, a combinação A-A’ é considerada como base, conforme
a Figura 2.1.
Figura 2.1 – Combinação das Perdas Definida pelo HD 428.
Fonte: EUROPEAN COPPER INSTITUTE, 1999.
A Tabela 2.2 apresenta os valores de perdas em transformadores de
distribuição definidos pelo padrão HD 428.
Tabela 2.2 – Padrões de Perdas em Transformadores de Distribuição.
Potência Nominal (kVA) Perdas em Carga (W) Perdas em Vazio (W)
A B C A’ B’ C’
50 1100 1350 875 190 145 125
100 1750 2150 1475 320 260 210
160 2350 3100 2000 460 375 300
250 3250 4200 2750 650 530 425
400 4600 6000 3850 930 750 610
1000 10500 13000 9500 1700 1400 1100
1600 17000 20000 14000 2600 2200 1700
2500 26500 32000 22000 3800 3200 2500
Fonte: EUROPEAN COPPER INSTITUTE, 1999.
Este padrão permite liberdade na escolha do nível de eficiência utilizando
também a equação de capitalização, onde está associado o preço da compra e o
custo das perdas ao longo da vida útil do transformador.
O custo capitalizado, CC, definido pelo HD 428 é como (2.5).2
PkBPoACtCC ×+×+= . (2.5)
Sendo que: �� é o preço de compra do transformador em unidade monetária; � é o custo das perdas em vazio por unidade de potência; �� é perdas em vazio em W; � é o custo das perdas em carga por unidade de potência; �� é perdas em carga em W.
22..33 EEqquuaaççõõeess ddee ccuussttoo ppaarraa ttrraannssffoorrmmaaddoorr ddee ddiissttrriibbuuiiççããoo11
O custo total do transformador de distribuição é dado pela soma do custo de
aquisição, mais o custo das perdas em vazio e custo das perdas em carga de
acordo com a demanda, sendo escrito conforme Equação (2.7).
O custo de aquisição dado na Equação (2.8) é o valor de compra do
transformador distribuído ao longo de sua vida útil contabilizado no período de
análise.
Os custos das perdas em vazio dependem da tarifa cobrada pela perda, da
magnitude dessa perda e do valor atual de acordo com a Equação (2.9). A Equação
(2.10) mostra o custo das perdas em carga. Este custo é dependente da tarifa, da
magnitude da perda, do valor atual e da demanda ao qual esse transformador está
submetido.1
WLWanaliseTRtotal CCCC ++= 0/ . (2.7)
Sendo,1
( )( ) jj
jCC
n
n
oamortizaçãanaliseTR⋅+
−+⋅=
1
11/
.
(2.8)
( )( ) jj
jWNTC
n
n
WW⋅+
−+⋅⋅=
1
1100
.
(2.9)
( )( )
∑=
⋅
⋅+
−+=
24
1
2
1
11..
i N
i
n
n
cuWLWLMVA
MVA
jj
jWTC
.
(2.10)
Em que:
Ctotal é o custo total do transformador em R$;
CTR/analise é o custo do transformador em R$;
Camortização é o custo de amortização do transformador no período de análise
em R$;
TW0 é a tarifa para as perdas em vazio em R$/MWh;
TWL é a tarifa para as perdas em carga em R$/MWh;
j é a taxa de juros;
n é o período de tempo em anos;
MVAi é a potência transformada;
MVAN é a potência nominal do transformador.
A Equação (2.11) apresenta as parcelas da amortização durante o período de
vida útil do transformador de distribuição, ou seja, o custo de amortização.1
( )( ) 11
1
−+
⋅+⋅=
PV
PV
fabricaçãooamortizaçãj
jjCC
.
(2.11)
Na qual:
�� é o período de vida útil econômica do transformador em anos, definido
pela concessionária.
Se o período de análise � for igual ao período de vida útil, ��, do
transformador, então o custo do transformador para análise é igual ao seu preço de
fabricação conforme (2.12).1
fabricaçãoanaliseTR CC =/ .
(2.12)
A tarifa para as perdas em vazio depende exclusivamente do custo de energia
conforme (2.13). 1
EW CT ⋅= 76,80 . (2.13)
Sendo que, �� é o custo de energia.
A tarifa para as perdas em carga, Equação (2.14), considera também o custo
de energia ao longo dos 365 dias do ano. 1
0,365WL ET C= ⋅ . (2.14)
33 EESSTTUUDDOO DDOO PPRROOJJEETTOO DDEE TTRRAANNSSFFOORRMMAADDOORREESS DDEE DDIISSTTRRIIBBUUIIÇÇÃÃOO
O projeto e comercialização de transformadores de distribuição devem seguir
norma específica de cada país. No Brasil, a norma vigente é a NBR 54409, que
determina os padrões construtivos e os limites de perdas operacionais.
Essa padronização especifica características elétricas (potência nominal,
níveis de isolamento, derivações e relações de tensões, corrente de excitação e
tensão de curto-circuito, diagramas dos transformadores, perdas e tensão de
radiointerferência) e construtivas (materiais isolantes, localização e
dimensionamento dos componentes, juntas de vedação, indicação do nível do óleo
mineral isolante, chapas do tanque, da tampa e radiadores, numeração dos
terminais e derivações de alta e baixa tensão, dispositivo de aterramento, nível de
ruído, elevação de temperatura, fixação e suspensão da parte ativa), além de
acessórios, como sistema de comutação de tensões e placa de identificação.
Como não há uma caracterização sobre eficiência de transformadores, o que
se determina são padrões de perdas, que devem ser seguidos no projeto de
transformadores. Na Tabela 3.1 são mostrados os limites máximos de perdas de
transformadores trifásicos para classe de tensão de 15kV .
Tabela 3.1 – Valores de corrente de excitação e perdas em transformadores trifásicos de 15 kV.
Potência do transformador
(kVA)
Corrente de excitação (%)
Perdas em vazio (W)
Perdas totais (W)
1 2 3 4
15 4,8 100 440
30 4,1 170 740
45 3,7 220 1000
75 3,1 330 1470
112,5 2,8 440 1990
150 2,6 540 2450
225 2,3 765 3465
300 2,2 950 4310
Fonte: NBR 5440, 1999.
33..11 AAççoo-- ssiillíícciioo nnoo nnúúcclleeoo ddooss ttrraannssffoorrmmaaddoorreess
Os materiais utilizados na construção do núcleo dos transformadores devem
possuir propriedades especiais, como elevada saturação magnética, reduzidas
perdas magnéticas e reduzidas forças coercivas.
As perdas magnéticas são divididas em duas partes, perdas por histerese e
perdas por corrente parasita, também conhecida por Foucault.
A perda por histerese é resultado da magnetização do material do núcleo que
depende da orientação dos grãos, impurezas e tensões internas do material. Já as
perdas por correntes parasitas no núcleo resultam das correntes induzidas que
circulam no material do núcleo, sendo proporcionais à condutividade do material do
núcleo, ao quadrado de sua espessura, indução magnética e freqüência.
Por volta do início do século XX, estudos sobre as propriedades
eletromagnéticas das ligas de ferro-silício, mostraram que a condutividade do ferro
diminuía com a adição do silício, o que contribuía para a redução das perdas
causadas pelas correntes parasitas. Neste contexto, intensificou-se o
desenvolvimento tecnológico da fabricação e utilização do aço-silício. Inicialmente
foram desenvolvidos os aços de grão não orientados (GNO), indicado para o uso em
estatores de máquinas elétricas rotativas. Em 1934, Norman Goss desenvolveu um
método de produção de chapas de aço-silício de grãos orientados (GO), cuja
estrutura cristalina possui uma direção preferencial de magnetização. Na direção
paralela à direção de magnetização, as perdas magnéticas dos aços-silício GO são
menores do que os GNO, potencializando sua utilização em núcleos de
transformadores.
O silício, principal elemento da liga, além das vantagens já mencionadas,
reduz o envelhecimento caracterizado pela elevação gradual das perdas durante a
operação. Todavia, sua adição resulta na diminuição da saturação magnética e
diminuição da ductibilidade, elevando o endurecimento e a fragilidade mecânica do
material do núcleo.
No Brasil, a produção de aço-silício GNO teve início na Acesita, no final do
ano de 1957, evoluindo para a produção de aço silício GO a partir de 1973. As
lâminas de aço-silício GO que compõem os núcleos dos transformadores seguem a
NBR 9119.
A Acesita é o único fabricante de aço-silício de grão orientado da América
Latina, utilizando tecnologia ARMCO.
Na tentativa de reduzir as perdas no núcleo dos transformadores é que
surgem as ligas amorfas, que embora admitam uma espessura nominal das lâminas
muito baixa, da ordem de aproximadamente 10 vezes menor que o aço-silício, tem
seu custo elevado, uma vez que o corte desses materiais requer técnicas avançadas
devido sua alta dureza, da ordem de 4 vezes maior que o aço-silício10.
Por possuírem lâminas de espessura muito baixa e variável, com superfície
rugosa, contribuem para um fator de empilhamento baixo, resultando em uma área
de seção reta do núcleo cerca de 18% maior que dos transformadores com núcleo
de aço-silício.
Como a indução de saturação dos materiais amorfos é menor que a do aço-
silício, deve-se aumentar a área de seção reta do núcleo para que se tenha o
mesmo valor de fluxo magnético, sendo necessário maior quantidade de material
para sua construção.
O fato é que a introdução das ligas amorfas resultou em melhorias
tecnológicas nos materiais cristalinos, propiciando o desenvolvimento de aços-silício
mais eficientes.
33..22 PPrroojjeettoo ddee ttrraannssffoorrmmaaddoorreess
No projeto de transformadores determina-se a área do núcleo e a quantidade
de espiras dos enrolamentos de modo que as perdas em vazio e sob carga para
uma determinada potência não ultrapasse os limites aceitáveis.
Para melhor exemplificar os cálculos, será utilizado como base o projeto de
um transformador com as seguintes características:
• Potência aparente: 30 kVA;
• Classe de tensão: 15 kV;
• Freqüência nominal: 60 Hz;
• Primário: 13800/13200/11260/11400/10800/10200 V - Ligação em delta
• Secundário: 380/220 V - Ligação em estrela
33..22..11 DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa áárreeaa ddoo nnúúcclleeoo
O núcleo é formado pelo empilhamento de lâminas, geralmente de aço-silício
devido às características descritas anteriormente. Tais lâminas são empilhadas de
modo que sua seção transversal fique em forma de degraus, resultando em uma
coluna de seção circular para construção das bobinas dos enrolamentos.
A Figura 3.1 mostra um transformador trifásico com os enrolamentos
dispostos em formato de panqueca.
Figura 3.1- Transformador trifásico em formato de panqueca.
Fonte: PRÓPRIA, 2011.
No projeto do transformador escolhido são utilizadas lâminas de aço-silício de
grão orientado tipo E0004-7, com espessura de 0,27 mm, para 60 Hz.
A Figura 3.2 ilustra o empilhamento das lâminas e a seção transversal das
colunas do núcleo em degraus.
Figura 3.2- Empilhamento de lâminas formando um núcleo trifásico.
Fonte: PICANÇO, 2009.
A área efetiva da coluna do núcleo é função da potência aparente do
transformador a ser projetado, como mostra a Figura 3.3. Logo, a área efetiva Sn
para o transformador projetado é de 60 cm2.
Figura 3.3- Relação entre área do núcleo e potência em kVA.
0 50 100 150 200 250 300
kVA
0
40
80
120
160
200S
n (
cm2 )
Sn
Fonte: MARTÍN, 1957.
A área bruta da coluna do núcleo é determinada a partir de um fator de
empilhamento (utilização), ��, que depende das características da lâmina. Assim, a
seção bruta é escrita conforme Equação (3.1)11.
nnb
u
SS
f= (3.1)
Na qual: � ! é a seção bruta das colunas em cm2; � é a área efetiva das colunas em cm2.
Neste projeto utilizaremos lâminas de aço-silício com �# = 0,931 . Logo, � ! = 64,44 cm2.
A seção circunscrita das colunas do núcleo é função do fator de utilização
circunscrito, �#', e é dada por 0
0
nb
u
SS
f= . A partir de �#' determina-se o diâmetro das
colunas ( e a quantidade de lâminas )* que formam o núcleo, de acordo com as
Equações (3.2) e (3.3)11.
01,13.D S= . (3.2)
)* = 1,125 (.
(3.3)
Para o projeto, �#+ = 0,905, resultando em �+ = 71,2 cm2, ( = 9,53 cm e )* = 10,72.
Com os resultados obtidos calcula-se, a partir das Equações (3.4) e (3.5), a
seção efetiva corrigida das colunas e a área efetiva da culatra11.
2
0. .3,14.4
n u u
DS f f=
.
(3.4)
1,15.c nS S= . (3.5)
Sendo: �, a área efetiva da culatra em cm2.
Utiliza-se a área bruta da culatra, �!, = -./0, para o cálculo do comprimento da
culatra lc em cm, conforme Equação (3.6)11.
1, = -2.34 . (3.6)
Desse modo, obtém-se :� = 60,07 cm2, �, = 69,08 cm2 e 15 = 6,92 cm.
33..22..11..11 DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo fflluuxxoo mmaaggnnééttiiccoo
OO fluxo magnético é definido como o produto entre a área das colunas do
núcleo e a indução máxima. A indução máxima � depende das propriedades
magnéticas do aço-silício, sendo igual a 17022 Gauss para as lâminas utilizadas no
projeto. Logo, o fluxo magnético do núcleo projetado é aproximadamente 1,04,
conforme calculado pela Equação (3.7)12.
n n
6
S .B=
10Φ (3.7)
Sendo que:
Φ é o fluxo magnético em Maxwells ; � é a Indução magnética em Gauss.
33..22..22 DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddooss eennrroollaammeennttooss
aa)) DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo nnúúmmeerroo ddee eessppiirraass
Os enrolamentos de baixa tensão (B.T.) e de alta tensão (A.T.) são formados
por bobinas de fios de cobre com suas espiras intercaladas e isoladas. O material
isolante utilizado nas bobinas de B.T. é o papel Kraft Neutro e entre as bobinas de
A.T. tem-se um isolamento de papelão Presspahn ondulado. Para a isolação entre
os enrolamentos de B.T. e A.T. geralmente utiliza-se papelão Presspahn trapezoidal.
Tal configuração proporciona um canal para a passagem de óleo, que servirá para a
dissipação de calor e isolação entre as bobinas12.
A Figura 3.4 mostra o canal de passagem do óleo e os diâmetros das bobinas
de B.T. e A.T.
Figura 3.4 – Diâmetros da bobina de baixa e alta tensão.
Fonte: PICANÇO, 2009.
Na qual:
Dm é o diâmetro do molde em mm;
DeBT é o diâmetro externo da bobina de baixa tensão em mm;
DiAT é o diâmetro interno da bobina de alta tensão em mm;
DeAT é o diâmetro externo da bobina de alta tensão em mm.
Entre as bobinas e o núcleo, sempre ficam espaços devido às características
físicas e geométricas dos materiais empregados, estes são preenchidos por calços.
As dimensões destes e a distância entre os enrolamentos dependem da classe de
tensão do transformador.
O número de espiras dos enrolamentos de baixa e alta tensão pode ser
determinado conforme as Equações (3.8) e (3.9), respectivamente13.
Φ=
−
..44,4
.100
f
Un
faseBT
BT (3.8)
faseBT
faseAT
BTATU
Unn
−
−⋅= (3.9)
Sendo que: �67 é o número de espiras secundárias; 678/9:; é a tensão de fase no secundário em V; �<7 é o número de espiras primárias; <78/9:; é a tensão de fase no primário em V; � é a freqüência em Hz.
Logo, �67 = 79,18 e �<7 = 4980,48.
bb)) DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo nnúúmmeerroo ddee ccaammaaddaass ddee eessppiirraass
Com o número de espiras, o diâmetro do fio e a altura da janela calculam-se o
número de camadas, de acordo com a Equação (3.10)14.
j
fioAT
H
DnNcam
.= (3.10)
Em que: =,9> é o número de camadas dos enrolamentos; (/?' é o diâmetro do fio de cobre do enrolamento de AT em mm; @A é a altura da janela em mm.
cc)) DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa aallttuurraa ddaa jjaanneellaa
Neste projeto propõe-se o número de camadas para o enrolamento de B.T. (=,9> = 2) e a largura do fio de cobre que será utilizado no enrolamento de BT
(B67 =4 mm). A distância entre os enrolamentos ((CD�67/<7 =7mm) e a dimensão
dos calços ((,9*ç' = 5 mm) é conforme a classe de tensão do transformador. Desse
modo, a partir das Equações (3.11), (3.12) e (3.13) determina-se a altura das espiras @;:F, da bobina @!'! e da janela @A, respectivamente14.
@;:F = G�.HI . B67 . (3.11)
@!'! = 2. (CD�67/<7 + @;:F . (3.12)
@A = 2. (,9*ç' + @!'! . (3.13)
Logo, @;:F = 156 mm, @!'! = 170 mm e @A = 180 mm.
33..22..33 DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa mmaassssaa ee ddaass ppeerrddaass
Para o cálculo das massas, seja do núcleo ou do cobre dos enrolamentos, é
necessário saber o diâmetro do molde, diâmetro interno e externo dos enrolamentos
de A.T. e B.T., para assim determinar o raio total do enrolamento, pois este será
utilizado para obter a distância entre os centros das colunas, (,, e o comprimento
médio das espiras de B.T. e A.T., B67> e B<7>.
aa)) NNúúcclleeoo ee ccuullaattrraa
A massa do ferro é constituída de duas parcelas: a massa das colunas do
núcleo e a massa da culatra, conforme Equação (3.14) 11.
fcfnf MMM += . (3.14)
A massa das colunas é determinada a partir da altura da janela, da área
efetiva das colunas do núcleo e da resistividade da lâmina, conforme Equação
(3.15), e a massa da culatra é função da seção efetiva da culatra, da densidade da
lâmina, do diâmetro do núcleo, além da distância entre os centros das colunas, de
acordo com Equação (3.16)11.
ρ...3 njfn SHM = . (3.15)
( ) ρcfc SDDcM ..8,0.2.2 += . (3.16)
Em que: K/ é a massa das colunas do núcleo em kg;
ρ é a densidade do material em kg/dm3; K/, é a massa da culatra em kg; (, é a distância entre centros das colunas em mm.
As perdas das lâminas das colunas e das culatras que formam o núcleo
dependem da qualidade do material de que são constituídas. Para a lâmina de aço
silício adotada, o L/ é 1,68 W/kg. Assim, as Equações (3.17) e (3.18) definem as
perdas nas colunas e na culatra, respectivamente1.
ffnfn wMP = . (3.17)
ffcfc wMP = . (3.18)
Nas quais: �/ são as perdas no núcleo em W; �/, são as perdas na culatra em W; L/ é a perda por kilograma no material em W/kg.
Por fim, determinam-se as perdas totais no ferro, �/, conforme a Equação
(3.19) em watts.
�/ = �/ + �/, . (3.19)
Com (, = 170,34 mm, a massa de ferro do transformador projetado será de
69,96 kg, resultando em perdas totais no ferro, �/, iguais a 117,53 W.
bb)) EEnnrroollaammeennttooss
A massa do cobre nos enrolamentos de B.T. e A.T. depende de seus
respectivos números de espiras, comprimento médio da espira, da seção do fio e da
resistividade do cobre, conforme as Equações (3.20) e (3.21)12.
cufBTBTmBTBT SlnM ρ....3= . (3.20)
cufATATmATAT SlnM ρ....3= . (3.21)
Em que: K67 é a massa do cobre no enrolamento de B.T. em kg; K<7 é a massa do cobre no enrolamento de A.T. em kg; B67> é o comprimento médio da espira de B.T. em mm; B<7>é o comprimento médio da espira de A.T. em mm; �/67 é a seção do fio de cobre do enrolamento de B.T. em mm2; �/<7 é a seção do fio de cobre do enrolamento de A.T. em mm2;
ρcu é a resistividade do fio de cobre em kg/dm3.
O comprimento médio das espiras de B.T. e A.T., B67> e B<7>, é função dos
raios de A.T. e B.T., do diâmetro do molde e da distância entre os enrolamentos de
A.T. e B.T. Desse modo, os valores de projeto calculados para B67> e B<7> são,
respectivamente, 342,5 mm e 460,87 mm. A área dos fios de cobre, �/67 e �/<7·, são
13,5 mm2 e 0,26 mm2, e a resistividade do fio é de 8,9 kg/dm3.
As perdas nos enrolamentos de B.T. e A.T. dependem da massa dos
enrolamentos e da densidade de corrente, de acordo com as Equações (3.22) e
(3.23)11.
ATATAT MP ..66,22δ= .
(3.22)
BTBTBT MP ..66,22δ= .
(3.23)
Sendo que: �67 são as perdas no enrolamento de B.T. em W; �<7 são as perdas no enrolamento de A.T. em W;
δBT é a densidade de corrente no enrolamento de B.T. em A/mm2;
δAT é a densidade de corrente no enrolamento de A.T. em A/mm2.
A densidade de corrente de cada enrolamento é função da corrente de fase e
da seção do condutor utilizado no enrolamento. Sendo assim, as densidades de
corrente dos enrolamentos de B.T. e A.T. do projeto são respectivamente, 3,38
A/mm2 e 2,80 A/mm2.
As perdas totais no cobre, �,#, podem ser determinadas conforme Equação
(3.24) em Watts11.
BTATcu PPP += . (3.24)
As perdas no cobre totais, obtidas para o projeto, foram de 615,5W.
A NBR 5440 estabelece para o transformador de 30 kVA que os limites de
perdas totais e perdas no ferro para transformadores desse tipo são
respectivamente, 740W e 170W. Portanto, o transformador projetado, atende as
especificações, já que possui perdas totais iguais a 733,1W e perdas no ferro iguais
a 117,53W.
44 CCOONNCCEEIITTOOSS SSOOBBRREE PPRROOGGRRAAMMAAÇÇÃÃOO GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAA
44..11 OOttiimmiizzaaççããoo
Otimização consiste em determinar uma solução ou um conjunto de soluções
ótimas para uma determinada função ou conjunto de funções15. Para que se possa
otimizar determinado problema físico é necessário traduzi-lo em um problema
matemático bem definido. Este problema matemático é definido por um conjunto de
parâmetros, onde alguns deles são escolhidos para serem manipulados de modo a
satisfazerem os requisitos do problema, esses parâmetros são denominados de
variáveis de projeto.
Cada otimização requer um critério para avaliar a eficiência do sistema. Este
é aplicado à função que descreve o problema, é a chamada função objetivo. A
função objetivo é descrita em termos das variáveis de projeto que devem respeitar
os limites impostos pelas condições de restrição. Tais restrições são exigidas pelo
projeto, como normas técnicas, funcionalidade, manufaturabilidade e critério de
resistência dos materiais.
O problema de otimização consiste em determinar valores ótimos para as
variáveis de projeto, seja maximizando ou minimizando a função objetivo. A
determinação dos valores ótimos deve satisfazer o grupo de requisitos geométricos,
chamado de restrições laterais e/ou comportamental (físico), são restrições de
estado, especificados, a priori, para o projeto.
Resumidamente, pode-se descrever o processo de formulação de um
problema de otimização em três etapas. A primeira etapa é a identificação das
variáveis de projeto a partir do conjunto de parâmetros que definem a estrutura ou o
componente. Uma vez descritas as variáveis de projeto que definem o sistema, a
etapa seguinte é a identificação da função objetivo, a qual avaliará o desempenho
do projeto em relação aos parâmetros selecionados como variáveis de projeto. A
última etapa na formulação é a identificação e o desenvolvimento de expressões
matemáticas responsáveis pela imposição das restrições, que também dependem
das variáveis de projeto. Matematicamente, a formulação de um problema de
otimização consiste na definição de um conjunto de equações não lineares, e
genericamente, pode-se representar o problema da seguinte forma:
Minimizar ou maximizar: f(x)
sujeito a:
gj(X) < 0, com j = 1, 2, ..., m; restrição de desigualdade;
hk(X) = 0, com k = 1, 2, ..., l; restrição de igualdade;
u
ii
p
i xxx ≤≤ ; com i = 1, 2, ..., n; restrição lateral;
X =
nx
x
x
.
.
.
2
1
; vetor variáveis de projeto.
Na qual l é o número total de restrições de igualdade, m é o número total de
restrições de desigualdade, n é o número total de variáveis de projeto, p
ix é o limite
inferior e u
ix é o limite superior.
44..22 PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa 55
A programação geométrica é um método de otimização que consiste em
determinar o valor ótimo da função objetivo, ou seja, o menor valor que a função
objetivo pode assumir. Diferente de outros métodos, em que primeiro se encontra as
variáveis de projeto para depois determinar a função, na programação geométrica
inicialmente minimiza-se a função objetivo e a partir de então se encontra as
variáveis de projeto ideais que atendam determinadas restrições.
Esta programação tem a vantagem de reduzir problemas de otimização de
difícil solução em um conjunto de equações algébricas lineares. No entanto,
apresenta a desvantagem de que tanto a função objetivo quanto as restrições de
projeto devem ser expressos na forma posinomial. A Equação (4.1) mostra a função
objetivo na forma posinomial.
�(M) = N + + ⋯ + � . (4.1)
As componentes de custo ? são escritas conforme a Equação (4.2).
? = 5?PN9QRP9SR … P 9UR . (4.2)
Sendo que, os coeficientes 5? são constantes positivas, os parâmetros de projeto PN, P, … , P são variáveis positivas e os expoentes V?A são constantes reais.
A função objetivo pode ser reescrita de acordo com a Equação (4.3).
�(M) = ∑ A(M)�AXN = ∑ (�AXN 5A ∏ P?9RZ AXN ) = ∑ (�AXN 5APN9QZP9SZ … P 9UZ). (4.3)
A quantidade = − � − 1 é o grau de dificuldade da programação geométrica.
Para problemas com restrições, = é o número total de termos do posinômio e � o
número total de variáveis de projeto ou incógnitas. Esta programação não se aplica
à solução de problemas com grau de dificuldade negativo, portanto, = deve ser
maior que � + 1, indicando que há mais equações que incógnitas.
Os problemas de programação geométrica podem ser de dois tipos: com
restrições e sem restrições. Independente, se o problema possui restrições, a função
objetivo só terá um mínimo se atender às condições de normalidade e
ortogonalidade, resultantes do cálculo diferencial.
44..22..11 PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa sseemm RReessttrriiççõõeess
A programação geométrica sem restrições consiste em encontrar os valores
das variáveis de projeto que resultem no menor valor para a função objetivo, sem
que estas estejam sujeitas a restrições de qualquer natureza.
Inicialmente deve-se encontrar o mínimo valor da função objetivo �∗ conforme
Equação (4.4).
�∗ = ]( 5A ∆A∗)∆Z∗�AXN . (4.4)
Os valores ∆A∗ são encontrados a partir das condições de normalidade e
ortogonalidade como seguem Equações (4.5) e (4.6), respectivamente.
_ ∆A∗�
AXN = ∆N∗ + ∆∗ + ⋯ + ∆�∗ = 1 . (4.5)
_ ∆A∗V`A = 0�AXN , � = 1, 2, … , � . (4.6)
Logo, as variáveis de projeto são obtidas resolvendo o sistema resultante da
Equação (4.7).
A∗ = ∆A∗ �∗. (4.7)
O vetor das variáveis de projeto, M∗, será dado por: M∗ = aPN∗P∗…P ∗b.
44..22..22 PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa ccoomm RReessttrriiççõõeess
É comum, na área da engenharia, os problemas de otimização apresentar
restrições, que são da forma de desigualdades. A função objetivo a ser minimizada,
como mostra a Equação (4.8), deve satisfazer as restrições de desigualdades
descritas conforme Equação (4.9), em que cada restrição é escrita na forma
posinomial.
�(M) = _ 5+A ] P?9cRZ AXN . (4.8)�c
AXN
d`(M) = _ 5`A ] P?9eRZ ?XN ⋚ 1 , � = 1, 2, … , g . (4.9) �e
AXN
Sendo que, g é o número total de restrições, =+ representa o número de termos da
função objetivo, =` é o número de termos da restrição, 5+A são os coeficientes de
cada termo da função objetivo e 5`A são os coeficientes dos termos das restrições.
Para solucionar o problema formula-se a função Lagrangiana que o descreve
para manipular conforme a necessidade. Como há restrições de desigualdades,
aplicam-se as condições de Kuhn-Tucker para encontrar o ponto ótimo. De acordo
com esta condição, o produto �̀ h` é zero para o ponto ótimo, onde h` é o
multiplicador de Lagrange, sendo estes incógnitas no problema. A função
Lagrangiana encontrada para o problema de otimização tem sua função objetivo de
acordo com a Equação (4.10).
i j (h) = _ _ k`h`A�e
AXN ln n5`Ah`A _ h`?�e?XN o. (4.10)>
`X+
Assim, o vetor de variáveis independentes descrito por:
h =
pqqqqqqqqqqqqqqqr h+Nh+…h+=+… … … .hNNhN…hN=N… … … .…… … … .h>Nh>…h>=N st
ttttttttttttttu
tem que satisfazer as Equações (4.11), (4.12) e (4.13), que representam condições
de normalidade, ortogonalidade e não-negatividade, respectivamente.
_ h+A = 1. �cAXN (4.11)
_ _ k`V`?Ah`A = 0 �eAXN
>`X+ , C = 1, 2, … , � . (4.12)
h` = _ h`A�e
AXN ≥ 0 , � = 1, 2, … , g . (4.13)
A função dual i(h) é definida como a exponencial de i j (h) como mostra a
Equação (4.14).
i(h) = wx j (y) = ] ] n5`Ah`A _ h`?�e?XN o9eyeZ .�e
AXN>
`X+ (4.14)
Os valores ótimos de h`A são encontrados a partir das condições de
normalidade e ortogonalidade. Desse modo, o máximo da função dual i(h) pode ser
obtido conforme Equação (4.15). O ponto de máximo da função dual é igual ao
mínimo da função primordial �∗.
�∗ = P+∗ = i(h∗) = ] ] n5`Ah`A∗ _ h`?∗�e?XN o9eyeZ∗
. �eAXN
>`X+ (4.15)
Por fim, os valores das variáveis de projeto P?∗ (C = 1, 2, … , �) são
determinados a partir das Equações (4.16) e (417).
∆+A∗ = h+A∗ ≡ 5+A ∏ (P?∗)9cRZ ?XNP+∗ , { = 1, 2, … , =+ . (4.16)
∆`A∗ = yeZ∗∑ yeR∗|eR}Q = 5`A ∏ (P?∗)9eRZ ?XN , { = 1, 2, … , =` w � = 1, 2, … , g . (4.17)
44..33 AApplliiccaaççããoo aaoo PPrroojjeettoo ddee TTrraannssffoorrmmaaddoorreess ddee DDiissttrriibbuuiiççããoo
A programação geométrica é uma ferramenta de otimização que vem sendo
utilizada em projetos de engenharia. Em (16), a programação geométrica foi
aplicada para agilizar o tempo de projeto e otimizar o desempenho de uma fonte de
tensão de referência CMOS, na qual obteve-se uma solução que resulta em um
projeto que satisfaz as especificações considerando os modelos típicos da
tecnologia. Em (4) é proposto a utilização da programação geométrica em projeto de
transformadores. São apresentadas as restrições de igualdade e desigualdade, as
equações de massa do primário e secundário para um transformador trifásico,
porém, o método em si não é aplicado.
No projeto de transformadores se espera que minimize o seu custo total. A
otimização de projetos de transformadores de distribuição visa a minimização do
custo total ou do custo de fabricação. Com relação ao custo total, o interesse é da
concessionária uma vez que este custo envolve as perdas capitalizadas e o custo de
aquisição do equipamento. E a minimização do custo de fabricação está relacionada
a otimização da utilização das commodities: aço-sílicio e cobre. A função do custo
total inclui os custos de aquisição �7~/9 9*?:;, o custo das perdas em vazio ��+ e
custo das perdas em carga de acordo com a demanda ��� conforme Equação
(4.18)1.
WLWanaliseTRtotal CCCC ++= 0/ (4.18)
A aplicação da programação geométrica será apenas na parcela de custos
de aquisição. Ela representa o valor da compra do transformador distribuído ao
longo de sua vida útil para um período de análise como escrito na Equação (4.19)1.
( )( ) jj
jCC
n
n
oamortizaçãanaliseTR⋅+
−+⋅=
1
11/
(4.19)
Sendo j a taxa de juros.
O custo de amortização é definido conforme Equação (4.20) 1.
( )( ) 11
1
−+
⋅+⋅=
PV
PV
fabricaçãooamortizaçãj
jjCC (4.20)
Considerando que o período em análise (�) seja igual ao período de vida útil
do transformador (��) definido pela concessionária, então, o custo de aquisição será
igual ao custo de fabricação do transformador de acordo com a Equação (4.21) 1.
�7~/9 9*?:; = �/9!�?,9çã' . (4.21)
O custo de fabricação considera a massa e o preço do material utilizado na
fabricação, e pode ser definido pela Equação (4.22) 1.
cobrecobrenucleoferrofixofabricação MCMCCC ⋅+⋅+= . (4.22)
Em que:
Cfabricação é o custo de fabricação em R$;
Cfixo é o custo fixo em R$;
Cferro é o custo do material do núcleo em R$;
Ccobre é o custo médio do cobre (esmaltado e retangular) em R$;
Mnucleo é a massa total do núcleo em kg;
Mcobre é a massa total do cobre nos enrolamentos em kg.
O custo fixo é composto pelos custos das chapas de aço para a construção
do tanque, do óleo e do material de isolamento. Estes itens não dependem do
funcionamento do transformador e são considerados para efeito deste estudo como
fixos para cada valor de potência nominal e classe de tensão.
As segunda e terceira parcela da Equação (4.22) representa respectivamente,
o custo do material utilizado na produção do núcleo e o custo do material utilizado na
produção dos enrolamentos.
44..33..11 EEqquuaacciioonnaammeennttoo ddoo pprroobblleemmaa
A função objetivo �(M) na qual será aplicado o método da programação
geométrica será a Equação (4.22). Para que isso seja possível, tanto a função
objetivo quanto as restrições, devem ser expressas em termos de um conjunto
básico de variáveis de projeto.
44..33..11..11 VVaarriiáávveeiiss ddee PPrroojjeettoo
As variáveis básicas de projeto serão:
(1) A espessura do condutor do enrolamento secundário (Baixa Tensão) - �67;
(2) A largura do condutor do enrolamento secundário (Baixa Tensão) - B67;
(3) O diâmetro do condutor do enrolamento primário (Alta Tensão) - (/?' <7;
(4) A densidade de fluxo magnético - �.
44..33..11..22 DDaaddooss ddee eennttrraaddaa
Os dados de entrada utilizados para o transformador trifásico de 30 kVA são
mostrados abaixo:
Densidade do cobre (enrolamentos) - ��# = 8,9 �d/�g�;
Densidade do ferro (núcleo) - ��; = 7,65 �d/�g�;
Número de camadas do enrolamento secundário - =,9>67 = 2;
Número de camadas do enrolamento primário - =,9><7 = 18;
Fator de utilização - �# = 0,93;
Fator de utilização circunscrito- �#+ = 0,91;
Frequência - � = 60@�;
Tensão de linha do enrolamento primário - <7 = 13800 �;
Tensão de linha do enrolamento secundário - 67 = 380 �;
Perdas no ferro - L�; = 1,68 �/�d;
Área efetiva do núcleo - � = 605g;
Diâmetro do molde - (> = 98gg;
Distância entre os enrolamentos - (CD�<7/67 = 7gg;
Dimensão dos calços - (,9*ç' = 5gg.
Custo fixo - �/?�' = R$ 1000. Custo do ferro - �/;��' = R$ 12.
Custo do cobre - �,'!�; = R$ 15.
A área efetiva do núcleo � ; é um valor obtido graficamente para o
transformador trifásico de 30kVA, de classe 15kV, para freqüência nominal de 60Hz.
A distância entre os enrolamentos (CD�<7/67 e a dimensão dos calços (,9*ç' são
estabelecidos de acordo com a classe de tensão.
44..33..11..33 FFuunnççããoo OObbjjeettiivvoo
Um dos componentes da função objetivo é o custo do cobre dos
enrolamentos. Para obtermos este valor é preciso saber a massa de cobre dos
enrolamentos primário e secundário, descritas anteriormente conforme Equações
(3.20) e (3.21), respectivamente. A massa dos enrolamentos é função do
comprimento médio das espiras, 167> e 1<7>, escritas de acordo com as Equações
(4.23) e (4.24).
167> = 2��((> 2⁄ ) + 1 + (=,9>67�67 + 0,3)/2 ] . (4.23)
1<7> = 2� ��(>2 � + =,9>67�67 + (CD�<767 + =,9><7(/?'<7 + 2,8�. (4.24)
O condutor do enrolamento secundário é retangular tendo sua seção
transversal definida pelo produto de sua espessura e largura, e o condutor do
primário têm seção circular.
A massa dos enrolamentos pode ser reescrita com a substituição das
equações descritas no capítulo 3, tornando-a função das variáveis de projeto,
conforme Equação (4.25).
K�'!�; = ���67B67�8N + ���67 B67�8N + �N(/?'<7 �8N + �N��67(/?'<7 �8N + +�N�(/?'<7� �8N . 4.25)
Sendo que, ��, ��, �N, �N� e �N� são constantes.
A função objetivo tem ainda o componente de custo do ferro do núcleo, onde
é necessário saber a massa do núcleo. Esta massa é composta da parcela referente
ao ferro do núcleo mais a parcela do ferro da culatra, descrita anteriormente pelas
Equações (3.15) e (3.16).
A distância entre os centros das colunas (, é escrita de acordo com a
Equação (4.26), onde �� é o raio externo total do enrolamento primário escrito
conforme Equação (4.27).
(, = 2. �7 + 9 . (4.26)
�7 = ((>/2) + 1 + =,9>67 �: + 0,3 + (CD�<767 + 2=,9><7(/?'<7 + 3 . (4.27)
Do mesmo modo como foi realizado para a massa dos enrolamentos, a
massa do núcleo torna-se função das variáveis de projeto, conforme Equação (4.28).
K ú,*;' = �N� + �N�B67�8N + �+ + �N�67 + �(/?'<7 . (4.28)
Em que, �N�, �N�, �+, �N e � são constantes.
Por fim, a função objetivo pode ser escrita em termos das variáveis de projeto
conforme a Equação (4.29). Observa-se que a função objetivo possui o custo fixo
para fabricação do equipamento, e o custo das commodities, aço-silicio e cobre.
Conforme descrito, estas são as parcelas necessárias para o cálculo do custo de
fabricação.
���67 , B67 , (/?'<7 , �� = ��/?�' + �/;��'�N� + �/;��'�+� + ��/;��'�N��B67�8N ++��/;��'�N��67 + ��/;��'��(/?'<7 + ��,'!�;��]�67B67�8N + ��,'!�;��]�67 B67�8N ++��,'!�;�N](/?'<7 �8N + ��,'!�;�N�]�67(/?'<7 �8N + ��,'!�;�N�](/?'<7� �8N . (4.29)
44..33..11..44 RReessttrriiççõõeess ddee DDeessiigguuaallddaaddee
aa)) PPeerrddaass nnoo nnúúcclleeoo::
As perdas para o núcleo devem estar abaixo dos valores determinados em
(9). Para o transformador trifásico de 30kVA as perdas no núcleo não podem
ultrapassar 170W. De forma geral, esta restrição de desigualdade é mostrada na
Equação (4.30) em sua forma padrão.
�/;��' = (�N� + �+)�� L�; + �N��� L�;B67�8N + �N�� L�;�67 + ��� L�;(/?'<7 ≤ 1 . (4.30)
Em que �� são as perdas no núcleo.
bb)) PPeerrddaass ttoottaaiiss::
As perdas totais, �7, é a soma das perdas no ferro mais as perdas nos
enrolamentos primário e secundário, e estas não devem ultrapassar 740W. A
Equação (4.31) descreve a restrição de perdas totais segundo a programação
geométrica.
��'�9?: = (�N� + �+)�� . �7 L�; + �N��� . �7 L�;B67�8N + �N�� . �7 L�;�67 +
+ ��� . �7 L�;(/?'<7 + 2,66.16�7 . � �<7 �N(/?'<78 �8N + 2,66.16�7 . � �<7 �N��67(/?'<78 �8N +
+ 2,66.16�7 . � �<7 �N�(/?'<78N �8N + 2,66.16�7 �67 ���678NB678N �8N + 2,66.16�7 �67 ��B678N �8N ≤ 1 . (4.31)
As correntes dos enrolamentos primário e secundário, �<7e �67, são
determinadas com os valores de entrada para a potência e tensão.
Os valores de densidade de fluxo magnético � devem está na faixa entre 1,5
e 1,74 Tesla. O valor de 1,74 Tesla encontra-se próximo a região de saturação do
material e o valor de 1,5 Tesla indica o fluxo mínimo necessário para magnetização
de um transformador de distribuição.
44..33..11..55 RReessttrriiççããoo ddee IIgguuaallddaaddee
A restrição de igualdade para este projeto refere-se ao número de camadas
de AT. Essa restrição é escrita em função das variáveis de projeto como mostrado
na Equação (4.32).
� + �N+B67 − ��(/?'<7 = 0 . (4.32)
Os valores � , �N+ e �� são constantes.
44..33..11..66 AApplliiccaaççããoo ddaa PPrrooggrraammaaççããoo GGeeoommééttrriiccaa
Para o projeto de transformadores de distribuição tem-se que:
� = 4 (número de variáveis de projeto); g = 3 (número de restrições); =+ = 9 (número de termos da função objetivo); =N = 4 (número de termos da restrição 1); = = 9 (número de termos da restrição 2); =� = 3 (número de termos da restrição 3); = = =+ + =N + = + =� = 25 (número total de termos do posinômio); = − � − 1 = 20 (grau de dificuldade).
A função objetivo mostrada na Equação (4.29) é reescrita na forma
posinomial, resultando na Equação (4.33).
�(PN, P, P�, P�) = �+NPN+P+P�+P�+ + �+PN+PNP�+P�8N + �+�PNNP+P�+P�+ + �+�PN+P+P�NP�+ ++ �+�PNNPNP�+P�8N + �+�PNPNP�+P�8N + �+¡PN+P+P�P�8N + �+¢PNNP+P�P�8N + �+ PN+P+P��P�8N . (4.33)
Em que, PN, P, P� e P� são respectivamente �67, B67, (/?'<7 e �.
As Equações (4.34), (4.35) e (4.36) mostram as restrições escritas na forma
posinomial.
�NNPN+P+P�+P�+ + �NPN+PNP�+P�8N + �N�PNNP+P�+P�+ + �N�PN+P+P�NP�+ ≤ 1 . (4.34)
�NPN+P+P�+P�+ + �PN+PNP�+P�8N + ��PNNP+P�+P�+ + ��PN+P+P�NP�+ + ��PN+P+P�8P�8N + + ��PNNP+P�8P�8N + �¡PN+P+P�8NP�8N + �¢PN8NP8NP�+P�8N + � PN+P8NP�+P�8N ≤ 1 . (4.35)
��NPN+P+P�+P�+ + ��PN+PNP�+P�+ − ���PN+P+P�NP�+ = 0 . (4.36)
Sendo que, �+N, �+,..., �+ ; �NN, �N,..., �N�; �N, �,..., � ; ��N, ��, ��� são
as constantes que acompanham cada parcela da função objetivo e das restrições.
O vetor de variáveis independentes é mostrado a seguir.
pqqqqqqqqqqqqqqqqqr h+Nh+…h+ … … …hNNhN…hN�… … …hNh…h … … …h�Nh�h�� st
ttttttttttttttttu
A função dual, i(h), é mostrada na Equação (4.37).
i(h) = ��+Nh+N (h+N + ⋯ + h+ )�ycQ . ��+h+ (h+N + ⋯ + h+ )�ycS … ��+ h+ (h+N + ⋯ + h+ )�yc£ . . ��NNhNN (hNN + ⋯ + hN�)�yQQ . . . ��N�hN� (hNN + ⋯ + hN�)�yQ¤ . ��NhN (hN + ⋯ + h )�ySQ . . ��h (hN + ⋯ + h )�ySS … �� h (hN + ⋯ + h )�yS£ . ���Nh�N (h�N + ⋯ + h��)�y¥Q .
. ���h� (h�N + ⋯ + h��)�y¥S . ����h�� (h�N + ⋯ + h��)�y¥¥ . (4.37)
O sistema mostrado na Equação (4.38) resulta das condições de
normalidade, ortogonalidade e não-negatividade exigidas pela técnica de
programação geométrica.
¦§§§§̈§§§§© h+N + h+ + h+� + h+� + h+� + h+� + h+¡ + h+¢ + h+ = 1h+� + h+� + 2h+� + h+¢ + hN� + h� + h� − h¢ = 0h+ + h+� + h+� + hN + h − h¢ − h + h� = 0h+� + 2h+¡ + 2h+¢ + 3h+ + hN� + h� − 2h� − 2h� − h¡ + h�� = 0−h+ − h+�−h+� − h+¡−h+¢ − h+ − hN − h − h� − h� − h¡ − h¢ − h = 0hNN + hN + hN� + hN� ≥ 0hN + h + h� + h� + h� + h� + h¡ + h¢ + h ≥ 0h�N + h� + h�� ≥ 0 .
ª
(4.38)
Este sistema possui 25 incógnitas e 8 equações, impossibilitando continuar a
aplicação da programação geométrica em transformadores de distribuição. Outro
problema encontrado foi o grau de dificuldade que é maior do que 1. Portanto, no
capítulo seguinte será utilizado algoritmos genéticos para otimização de
transformadores de distribuição.
Em (4), os autores apresentam as equações para projetos de transformadores
de força com bobinas em disco. Neste caso, a programação geométrica foi aplicada
em transformadores com potência até 300 kVA, o que caracteriza um transformador
de distribuição9 e com bobinas em formato helicoidal distribuídas em camadas.
55 AALLGGOORRIITTMMOOSS GGEENNÉÉTTIICCOOSS ((AAGGss))
Algoritmos Genéticos (AGs) é uma filosofia utilizada para otimizar problemas
do mundo real. Ela baseia-se na teoria da evolução das populações de seres vivos
na natureza descritas por Charles Darwin e nos conceitos da genética formulados
por estudiosos como Gregor Mendel.
É uma metodologia de Inteligência Artificial desenvolvida após o trabalho
original de (HOLLAND, 1975) e posteriormente mais detalhada por (GOLDBERG,
1989), com o objetivo de imitar o comportamento adaptativo observados na evolução
natural dos seres vivos.
Para melhor compreensão do funcionamento dos AGs é necessário realizar
uma analogia com os mecanismos da genética natural e às explicações acerca da
evolução das espécies. Assim, o AG é criado da seguinte forma:
• Inicialmente gera-se uma população com um conjunto aleatório de indivíduos,
estes são aptos a ser solução do problema proposto.
• Durante o processo evolutivo acontecem reproduções entre os indivíduos
possibilitando permutações de material genético, que se dá por cruzamentos
ou pela inserção de material genético novo através de mutações.
• A cada etapa esta população é avaliada, e cada indivíduo recebe uma nota,
que reflete a habilidade de adaptação a determinado meio. Os indivíduos
mais aptos irão transferir seu material genético para as gerações seguintes e
os menos aptos irão tender à extinção. Esta avaliação se dá através da
função aptidão ou objetivo, que deve ser específica para cada problema.
• Os indivíduos selecionados na etapa anterior podem sofrer modificações
genéticas por meio de cruzamentos, recombinações genéticas ou mutações,
e irão gerar descendentes para a geração seguinte.
• Este processo de reprodução continua até que uma solução satisfatória seja
encontrada.
Na Figura 5.1 é mostrado um fluxograma do algoritmo genético.
Figura 5.1- Fluxograma do algoritmo genético.
Fonte: PRÓPRIA, 2011.
Comparando com os sistemas biológicos tem-se que:
• Gene: valor da variável do problema;
• Cromossomo: variável do problema codificada (código binário, por exemplo);
• Indivíduo: solução admissível para o problema (conjunto de genes ou
cromossomos);
• População: conjunto de indivíduos que compõe uma geração.
55..11 IInniicciiaalliizzaaççããoo
Inicia-se o AG a partir da criação de uma população inicial que pode ser
obtida de forma aleatória, onde os cromossomos são gerados randomicamente. Esta
aleatoriedade é que irá garantir uma maior diversidade genética, dessa forma um
maior espaço de busca. Para o caso da inicialização da população não ocorrer de
forma randômica, esta poderá convergir prematuramente, significando que em um
curto espaço de tempo a população possuirá indivíduos muito semelhantes, ou seja,
com pouca diversidade genética, dificultando assim a escolha da melhor solução
possível para o problema estudado.
Os indivíduos são vistos como uma possível solução para o problema, ou
seja, são pontos dispostos dentro do universo de busca da solução ótima. Um
indivíduo X pode ser representado de acordo com a Equação (5.1):
M = �MN M … M x9�]. (5.1)
Sendo que X1, X2, ..., Xnvar são os genes que formam o indivíduo, ou seja, são as
variáveis que dependem do problema. O número de variáveis, nvar, determina a
dimensão do espaço de busca.
A população (P) formada por um conjunto de indivíduos é representada pela
Equação (5.2):
Pn =
varvar,2,1,
var,22,21,2
var,12,11,1
...
............
...
...
nnindnnindnindnind
n
n
XXX
XXX
XXX
×
(5.2)
Em que, nind é o número de indivíduos da população e n indica a geração corrente.
O número de indivíduos na população é escolhido em função da dificuldade
do problema a ser resolvido. Com um número baixo de indivíduos, o universo de
busca pode estar sendo representado de maneira muito pobre. Já com um universo
muito grande de indivíduos, o tempo computacional pode se tornar inviável.
Após a criação da população inicial, deve-se avaliar todos os cromossomos
gerados. Para tal avaliação, será utilizada a função aptidão.
55..22 FFuunnççããoo AAppttiiddããoo
Em problemas de busca e otimização deve-se determinar o quão bom é uma
solução, para que se possa definir se esta contribuirá na obtenção do resultado. Os
cromossomos serão avaliados e receberão uma nota de acordo com o problema em
questão. Lembrando que, para a aplicação em transformadores de distribuição a
função que avaliará o desempenho é a função custo, ou seja, o conjunto de
indivíduos que possuir menores custos de fabricação terá suas características
preservadas e passarão para a próxima geração. Já os indivíduos que apresentarem
custos mais elevados serão extintos, significando que não são aptos a se
adequarem às mudanças ocorridas no meio.
55..22..11 FFuunnççããoo OObbjjeettiivvoo ee RReessttrriiççõõeess
Como os AGs trabalham na busca de indivíduos que apresentam o valor da
função objetivo acima da média, seu principio básico de funcionamento é lidar com
problemas de maximização. Quando é preciso encontrar um mínimo de uma
determinada função objetivo, uma alternativa é considerar uma nova função descrita
pela Equação (5.3):
ε+=
)(
1)(
*
XfXf (5.3)
Sendo que, a constante ε pode assumir alguns valores pré-determinados:
• ligeiramente superior ao módulo do valor mínimo de f(X), caso f(X) < 0;
• ligeiramente superior ao negativo do valor mínimo de f(X), caso f(X) > 0.
Uma maneira de contornar um problema de otimização com restrição é
transformá-lo em um problema sem restrição pelo método da penalidade exterior,
conforme descrito pela Equação (5.4).
max ψ(X, r, s) = �∗(M) + r [ ]{ }∑=
m
j
j Xg1
2)(,0max + s [ ]∑
=
l
k
k Xh1
2)( . (5.4)
Em que �∗(M) a função objetivo do problema, g e h as funções de restrição e r e s
os pesos de cada um dos tipos de restrição.
Desta forma, o problema passa a ser a maximização da função ψ sem
restrições. Caso o problema seja a minimização de �, pode-se substituí-lo por �∗ conforme descrito pela Equação (5.3).
55..33 OOppeerraaddoorreess GGeennééttiiccooss
Os operadores genéticos têm por objetivo realizar transformações em uma
população, através de sucessivas gerações, fazendo com que, a cada nova
geração, sejam criados indivíduos cada vez mais aptos. Esses operadores são
necessários para que a população se diversifique e mantenha as características de
adaptação adquiridas pelas gerações anteriores. Os principais operadores genéticos
são: seleção, cruzamento e mutação.
55..33..11 SSeelleeççããoo
O operador seleção é executado logo após o cálculo da aptidão dos
cromossomos gerados. Sua implementação é baseada no processo de seleção
natural, em que os indivíduos mais capazes possuem maior probabilidade de gerar
mais descendentes, enquanto que os menos capazes poderão ainda gerar
descendentes, porém em uma escala menor. É também chamado reprodução, ele
seleciona os indivíduos que sofrerão cruzamento e mutação. Os mais qualificados,
ou seja, com maiores valores da função objetivo, têm mais chances de serem
escolhidos. Os principais métodos de seleção são: Roleta, Torneio e Dizimação.
• Roleta: a seleção dos cromossomos ocorre de forma proporcional ao seu
valor de aptidão. Os cromossomos de uma população são representados em
uma roleta e ocupam um espaço proporcional ao seu valor de aptidão. Assim,
os cromossomos com maior valor de aptidão ocuparão uma maior fração da
roleta e vice-versa. Na Figura 5.2 é mostrado um exemplo do método da
roleta.
Figura 5.2- Método da roleta.
Fonte: Adaptado de LIDEN, 2006, p. 61-63.
• Torneio: esse método se dá a partir da escolha aleatória de n cromossomos
da população atual. Dentre os cromossomos escolhidos, é selecionado o
cromossomo com maior valor de aptidão para compor uma população
intermediária. Logo em seguida, os demais cromossomos são recolocados na
população e realiza-se o mesmo processo até que a população intermediária
esteja completa.
• Dizimação: esta técnica realiza a ordenação dos cromossomos de acordo
com o valor de aptidão, e a partir daí, remove-se um número fixo de
cromossomos que não sofreram dizimação. Essa técnica possui a
desvantagem de que propriedades genéticas especiais sejam perdidas ao
excluir cromossomos com baixo valor de aptidão.
55..33..22 CCrruuzzaammeennttoo
O cruzamento (crossover) é feito após a seleção. Nesta etapa ocorre a
permutação de material genético entre os pares de cromossomos previamente
selecionados, estes irão originar novos indivíduos que virão a formar a população da
geração seguinte. O cruzamento tem por objetivo principal propagar características
genéticas dos indivíduos mais aptos da população. A Figura 5.3 mostra o esquema
de cruzamento de ponto duplo. Neste, são escolhidos dois pontos de cruzamento e
o material genético dos pais é trocado de forma intercalada.
Figura 5.3- Exemplo de cruzamento de ponto duplo.
Fonte: ROSA, 2007.
Os pares são submetidos a este processo, podendo ou não ocorrer,
dependendo da probabilidade de cruzamento (pcross). Este operador é o maior
responsável pela criação de novos indivíduos, devendo pcross está entre 70% e
100%.
55..33..33 MMuuttaaççããoo
A mutação é realizada após o cruzamento, e tem por objetivo inserir material
genético novo na população de forma aleatória. Este processo ocorre numa
probabilidade (pmut) muito baixa, entre 0 e 5%, assim como ocorre na natureza. Se
esta porcentagem fosse elevada, pouco os indivíduos se assemelhariam aos seus
pais, o que comprometeria a diversidade da população. A mutação tem papel
fundamental na busca de mínimos globais, evitando a convergência de toda a
população para um mínimo local. Um exemplo de mutação aleatória é mostrado na
Figura 5.4.
Figura 5.4- Exemplo do operador genético mutação.
Fonte: PRÓPRIA, 2011.
55..44 CCoonnvveerrggêênncciiaa
Um dos métodos de testar a convergência de AGs é através da diversidade
da população. Quando a função objetivo de cada indivíduo der resultados muito
próximos, significa que os indivíduos estão muito parecidos entre si, ou seja, podem
estar na mesma região, caracterizando a presença de um máximo ou mínimo da
função.
É estipulado um número máximo de gerações admissível para que não fique
simulando indefinidamente. E se, ao final do processo evolutivo a diversidade
genética for elevada, o número de gerações é estendido.
Os métodos de convergência têm o objetivo de evitar a convergência
prematura para que a função não entre numa região de mínimos locais, e deve
acelerar a busca pela solução ótima, reduzindo o custo do método.
55..55 AApplliiccaaççããoo ddooss AAGGss aaoo pprroojjeettoo ddee ttrraannssffoorrmmaaddoorreess ddee ddiissttrriibbuuiiççããoo
A filosofia de Algoritmos Genéticos será aplicada neste trabalho para otimizar
uma parcela do custo do equipamento, o custo de fabricação. O motivo se deve à
facilidade de trabalhar as restrições, por serem tratadas como parte da função
objetivo sendo consideradas como penalidade exterior para o problema. Outra
vantagem é que a função objetivo e as restrições não necessitam estar na forma
posinomial, como na técnica da Programação Geométrica descrita no capítulo 4.
Vale ressaltar que, a otimização foi realizada utilizando a mesma função
objetivo e as restrições de perdas totais e no ferro mencionadas no capítulo 4. As
restrições foram incorporadas à função objetivo, através da atribuição de pesos, que
fariam com que o custo de fabricação de cada indivíduo fosse muito elevado caso
não atendesse às restrições impostas para o problema, logo, este indivíduo seria
descartado já que não poderia contribuir na busca da solução ótima.
Em analogia aos sistemas biológicos, os cromossomos (variáveis de projeto)
que devem ser obtidos na otimização serão:
(1) A espessura do condutor do enrolamento secundário (Baixa Tensão) - �67;
(2) A largura do condutor do enrolamento secundário (Baixa Tensão) - B67;
(3) A área do condutor do enrolamento primário (Alta Tensão) - �/ <7;
(4) A densidade de fluxo magnético - �.
Logo, o indivíduo X será como mostrado na Equação (5.5):
M = ��67 B67 �/<7 � � (5.5)
A função aptidão que avaliará o desempenho de cada indivíduo será a função
objetivo (custo de fabricação). Em uma das etapas da otimização, os indivíduos
serão organizados em uma matriz de acordo com o seu custo de fabricação. A
otimização irá continuar até que a variação de custo de uma geração pra outra seja
muito pequena, indicando que estes indivíduos encontram-se na região de mínimo
global. Esta variação ou tolerância será igual a 20 para este problema.
O método de seleção utilizado foi o da roleta, a taxa de cruzamento
considerada foi de 80% e a taxa de mutação foi de 10%, sendo um pouco maior que
se costuma utilizar. O número máximo de gerações considerado foi 800 e o mínimo,
20, podendo estes valores ser alterados no programa de otimização.
55..66 RReessuullttaaddooss
Os algoritmos genéticos foram aplicados ao problema de otimização do
transformador de distribuição trifásico de 30kVA de classe 15kV. Vale ressaltar que,
o custo fixo de fabricação, associado à utilização de acessórios, foi igual a R$
1000,00. Já o custo considerado dos commodities aço-silício e cobre (reais/kg)
foram iguais à R$ 12,00 e R$ 15,00, respectivamente.
O objetivo de tal otimização era encontrar as dimensões dos condutores que
deveriam ser utilizados nos enrolamentos de B.T. e A.T. e a densidade de fluxo
magnético, que forneceriam menor custo de fabricação do transformador. Este custo
foi obtido de modo que as perdas no ferro e as perdas totais não ultrapassassem os
valores determinados pela NBR 5440.
Ao condutor de B.T., está associado as dimensões de largura B67 e
espessura �67 devido ao formato retangular. E ao condutor de A.T., está associado
a área �/<7, pois este é circular. O espaço de busca considerado para os condutores
de B.T. e A.T. é o das Tabela 5.1 e 5.2, respectivamente, em que são mostrados os
condutores padrão utilizados em transformadores de distribuição.
Tabela 5.1- Condutores Padrão do enrolamento de B.T.
B67(gg) �67(gg) 2,5 3,0 2,5 4,0 3,0 4,0 3,5 4,0 3,5 7,0 4,5 9,0 4,0 10,0 4,0 6,0 4,5 5,0 5,0 6,0 3,0 6,0 2,5 10,0 4,0 5,0 4,0 9,0 3,5 9,5
Tabela 5.2- Condutores Padrão do enrolamento de A.T.
AWG �/<7(gg) AWG �/<7(gg) 32 0,03237 15 1,653 31 0,0401 14 2,0816 30 0,0507 13 2,6273 29 0,0647 12 3,3071 28 0,0804 11 4,1692 27 0,1024 10 5,2604 26 0,1282 09 6,6326 25 0,1626 08 8,3674 24 0,2051 07 10,5496 23 0,2588 06 13,299 22 0,3247 05 16,76 21 0,4117 04 22,304 20 0,5191 03 26,67 19 0,6533 02 33,63 18 0,8235 01 42,21 17 1,0405 00 53,48 16 1,307
A densidade de fluxo magnético �, possui um espaço de busca entre
1,50 e 1,74 Tesla. No entanto, os valores encontrados na otimização são sempre
iguais a 1,74 Tesla. Isso ocorre porque, na função objetivo descrita no capítulo 4,
essa variável de projeto está sempre no denominador, logo, o menor custo da
função é obtido para o maior valor de densidade de fluxo magnético.
As variáveis de projeto ótimas encontradas com base em Algoritmos
Genéticos foram: � = 1,74 Tesla, B67 = 3gg, �67 = 4gg e �/<7 = 0,2051gg ou
fio 24. A Tabela 5.3 traz um comparativo entre os resultados obtidos com os
Algoritmos Genéticos e com um método de busca exaustiva, em que o
transformador a ser fabricado é escolhido em meio a outros, sendo chamado
transformador padrão.
Tabela 5.3 – Comparativo entre transformador obtido com Algoritmos Genéticos e
Transformador Padrão.
PADRÃO ALGORITMOS GENÉTICOS
«¬ (®®) 3,5 3,0
¯¬ (®®) 4,0 4,0
°±² (®®³) 0, 2588 0, 2051
¬ (´µ¶·) 1,74 1,74
¸¹µº» ¼´ ±·½¾¿À·çã» (Â$) 2218,27 2113,30
ô¾¼·µ Ä» ±´¾¾» (Å) 117,53 110, 6287
ô¾¼·µ º»º·¿µ (Å) 733,1 725, 9197
«À»Ä»®¿· (%) 4,732
Fonte: PRÓPRIA, 2011.
É possível perceber que a utilização dos Algoritmos Genéticos resulta na
escolha de condutores com menores dimensões, se comparado ao transformador de
distribuição padrão. Isso fará o custo de fabricação cair de R$ 2218,27 para R$
2113,30, representando uma redução de 4,732%.
As perdas no ferro esperadas para este caso será igual a 110,6287 W e as
perdas totais iguais a 725,9197 W. Como já era de se esperar, elas não
ultrapassaram os limites de 170 W para perdas no ferro e 740 W para perdas totais
estabelecidos na NBR 5440; caso contrário, o problema não teria convergido. Este
resultado foi obtido em 32 iterações.
66 CCOONNCCLLUUSSÕÕEESS
A proposta para este projeto de final de curso foi a aplicação da técnica de
Programação Geométrica e dos Algoritmos Genéticos em transformadores de
distribuição. Em (4), tal aplicação é descrita para um transformador de força, no
qual, foi a motivação deste trabalho para a realidade dos transformadores de
distribuição no Brasil.
Os resultados obtidos no capítulo 4 mostraram a inviabilidade da aplicação da
técnica da Programação Geométrica para otimizar o custo de fabricação de
transformadores de distribuição. Isto porque o grau de dificuldade para as equações
de projeto aplicadas no custo de fabricação foi superior a 1. Uma vez que, o grau de
dificuldade depende da soma das parcelas da função objetivo mais as parcelas das
restrições e das variáveis de projeto. Em (5), o grau de dificuldade descrito em
alguns exemplos foi igual a 1.
Neste contexto, seguiu-se para a aplicação dos Algoritmos Genéticos para
otimizar o custo de fabricação do equipamento. O motivo se deve à facilidade de
manipular as restrições e a função objetivo, já que estas não necessitam estar na
forma posinomial, como na Programação Geométrica. As restrições do problema
foram tratadas como parte da função objetivo através do método da penalidade
exterior.
O custo de fabricação obtido na otimização com Algoritmos Genéticos foi
inferior ao custo de fabricação de um transformador de distribuição padrão. E isso se
deve à melhor escolha dos condutores a serem utilizados.
Esta ferramenta de otimização é interessante para o cálculo do custo de
fabricação, uma vez que, pode-se variar a proporção de material utilizado a
depender do valor atual de mercado das commodities aço-silício e cobre.
Embora a técnica da Programação Geométrica se mostrasse inviável para a
otimização de projetos de transformadores de distribuição, foi possível compreender
tal ferramenta de otimização e perceber que ela é aplicável em problemas mais
simples. Já os Algoritmos Genéticos tem maior aplicabilidade por ajudar a solucionar
problemas mais complexos como este.
66..11 PPrrooppoossttaa ppaarraa ttrraabbaallhhooss ffuuttuurrooss
Os resultados encontrados com Algoritmos Genéticos para o custo de
fabricação foram satisfatórios, ficando como proposta para trabalhos futuros a
aplicação destes ou de outra ferramenta de otimização às demais parcelas do custo
total do transformador de distribuição, que inclui além dos custos de fabricação, �7~/9 9*?:;, o custo das perdas em vazio ��+ e custo das perdas em carga de acordo
com a demanda ���.
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS
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