Instituto Tecnolgico de Campeche

Ingeniera en Administracin

Grupo: MD-3

Materia:ESTADISTICA I

Unidad # 2:

Trabajo: TEMAS DE INVESTIGACION CONCEPTUAL

Nombre del maestro:BOCOS PATRON RAMON AGUSTIN

Alumna:KU PERERA FRANCISCA ISABEL

San francisco Campeche, Campeche, a 2 de septiembre del 2013.INDICE

Definicin de conjunto Notacin de conjunto ..Conjuntos explcitos e implcitos.......Conjuntos finitos e infinitosEl conjunto universal .El conjunto vacio.Subconjunto.Diagrama de Venn el concepto Operaciones con conjunto Leyes o propiedades de las operaciones con conjuntos.Cardinal de un conjunto .La necesidad de contar ..Mtodos para realizar un conteo ...Introduccin a la probabilidad.Conceptos bsicos de probabilidad.Tipos de eventos..Clculo de probabilidades..Teorema de Bayes.

INTRODUCCION

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones inicia les en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultar cara y otras cruz..Estos fenmenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. La teora de la probabilidad pretende ser una herramienta para modernizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las tcnicas estadsticas a la recogida, anlisis e interpretacin de los datos, la teora de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeado por la probabilidad dentro de la estadstica, es necesario familiarizarse con sus elementos bsicos, lo que constituye el objetivo del presente tema. Comenzamos con una motivacin sobre la incertidumbre y los distintos grados de incertidumbre, relacionndolos de manera intuitiva con los enfoques ms tradicionales para asignar probabilidades.

TEMAS DE INVESTIGACION CONSEPTUAL.

-DEFINICIN DE CONJUNTO: El trmino conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemticas moderna; adems proporciona las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teora de la probabilidad.Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una coleccin o listado de objetos con caractersticas bien definidas que lo hacen pertenecer a un grupo determinado (es una agrupacin, clase o coleccin de objetos denominados elementos del conjunto).Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:1-. La coleccin de elementos debe estar bien definida 2-. Ningn elemento del conjunto se debe contar con ms de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferente, si uno de ellos se repite se contara con uno solo 3-. El orden en que se enumeran que carecen de importancia -NOTACIN DE CONJUNTOS: A los conjuntos se les representa con letras maysculas A, B, C,. Y a los elementos con letras minsculas a, b, c, Para especificar que ciertos elementos pertenecen a un conjunto dado, se emplearan llaves { } (tambin llamadas formadores de conjuntos), o bien se har un listado (de los nombre de todos los elementos), o se usara el mtodo de regla.A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}En teora de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:El conjunto {x; x; x; y; y; z} simplemente ser {x; y; z }.Al nmero de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DELCONJUNTO y se le representa por n (Q).Ejemplo: A= {a; b; c; d; e} su cardinal n(A)=5B= {x; x; x; y; y; z} su cardinal n (B)= 8 -CONJUNTOS EXPLCITOS E IMPLCITOS:

-CONJUNTO FINITO Tienen un nmero conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad (conjunto con limitado nmero de elementos)Ejemplo: el conjunto de das que tiene una semana

-CONJUNTO INFINITO Son aquellos que en los cuales no podemos determinar su longitud (conjunto con ilimitado nmero de elementos)Por ejemplo: el conjunto de nmeros reales

-CONJUNTO UNIVERSALEs el conjunto que contiene todos los elementos a los que se hace referencia.Este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).Por ejemplo: si solo queremos referirnos a los 5 primeros nmeros naturales el conjunto queda:U= {1, 2, 3, 4, 5}

-CONJUNTO VACO

Es aquel que no contiene elementosRepresentacin: o { }Ejemplo: A = o A = { } se lee: A es el conjunto vacio o A es el conjunto nulo

-EL SUBCONJUNTOEn matemticas, especialmente en teora de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "est contenido" dentro de B. Se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B. Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto de este ltimo:

Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es tambin elemento de B. Entonces se dice que:A es un subconjunto de B, y se denota A BB es un superconjunto de A, y se denota B AOtras maneras de decirlo son "A est incluido en B", "B incluye a A", etc.Ejemplos.El "conjunto de todos los hombres" es un subconjunto del "conjunto de todas las personas".{1, 3} {1, 2, 3, 4} {2, 4, 6, ...} {1, 2, 3, ..} = N ( {Nmeros pares} {Nmeros naturales} )

Subconjunto propioTodo conjunto A es subconjunto de s mismo.

As, dados dos conjuntos A B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.Por otro lado, es posible tambin que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:Sea A un subconjunto de B tal que A B. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A B. (A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B A)Tambin se utiliza la notacin A B y B A, pero segn el autor esto puede denotar subconjunto, A B y B A; o subconjunto propio, A B y B A.1

-LOS DIAGRAMAS DE VENNSon ilustraciones usadas en la rama de la Matemtica y Lgica de clases conocida como teora de conjuntos Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un crculo o un valo. La posicin relativa en el plano de tales crculos muestra la relacin entre los conjuntos. Si el crculo del conjunto A aparece dentro del crculo de otro B, es que todos los elementos de A tambin estn contenidos en B

Tipos de diagramas de VennDiagrama de dos conjuntosConjuntos A y B.Considrese el ejemplo a la derecha: supngase que el conjunto A (el crculo anaranjado) representa, por ejemplo, a todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el conjunto B (el crculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar. El rea donde ambos crculos se superponen (que recibe el nombre de interseccin entre A y B, o interseccin A - B) contendra por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen slo dos piernas motrices.El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relacin entre el conjunto A y el conjunto B. El rea combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unin de los conjuntos A y B. La unin en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez. El rea donde los conjuntos A y B se solapan se define como la interseccin de A y B. Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas y pueden volar.

A veces se incluye un rectngulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de universo de discursoSe usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definicin del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. Diagramas de tres conjuntosLos diagramas de tres conjuntos fueron los ms corrientes elaborados por Venn en su presentacin inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen siete (7) reas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos inciale -OPERACIONES CON CONJUNTO

-LEYES O PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

Sean los conjuntos, A, B C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes: 1-. Propiedades de identidad A = A A U = A2-. Propiedades de idempotencia A A = A A A = A3-. Propiedades de complementoA = A4-. Propiedades asociativas: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 5-. Propiedades conmutativas A B = B A, A B = B A 6-. Propiedades distributivas A (B C) = (A B) (A B) A (B C) = (A B) (A C)

-CARDINAL DE UN CONJUNTOEl cardinal indica el nmero o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los nmeros cardinales constituyen una generalizacin interesante del concepto de nmero natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinito.Ejemplo: seaB = {azul, verde, rojo}obtenga el cardinal del conjunto.Card(a)= 3

PROPIEDADES

PROPOSICIONES

LA NECECIDAD DE CONTARLosnmeros naturalessurgen de la necesidad de contar, de enumerar:={1,2,3,4...}

Con los nmeros naturalesse puede sumar. De hecho, con la operacin suma, los naturales forman unsemi-grupo conmutativo. Con la operacin producto los naturales tambin tienen estructura de semi-grupo conmutativo. El infinito de los nmeros naturales se denominainfinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los nmeros naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un nmero, es decir, el conjunto cuandoes distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los nmeros enteros y el de los racionales tambin son infinitos numerables como se ver ms adelante. El conjunto de los naturales es un conjuntototalmente ordenado, es decir, existe unarelacin de orden total, lo que significa que existe una relacin de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre s usando dicha relacin. Dicho de otra forma, dados dos naturales,e, o bien, o bien. Todo subconjuntono vaco del conjunto de los naturales tiene unelemento mnimo, esto es, existe un elementotalquepara tododese tiene.

ENNUMERANDO LOS RESULTADOS.

OBTENIENDO EL TOTAL DE POSIBLES RESULTADOSNo siempre es fcil conocerlos valoresde la funcin de probabilidad de todos los sucesos.Sinembargo, muchas veces se pueden conocer las probabilidades de algunos de estos sucesos. Con la ayuda de ciertas propiedades que se deducen de manera inmediata apartirde la axiomtica es posible calcular las probabilidades de ms sucesos.Por otro lado, en caso de que el nmero de resultados sea finito y de quetodos losresultados tengan las mismas posibilidades de verificarse, la probabilidad de un suceso cualquiera se puede calcular a partir de laregla de Laplace:Si A es un suceso:Probabilidad (A) = (Nmero de casos favorables)/(Nmero de casos posibles)Donde:Nmero de casos favorables = Nmero de resultados contenidos en A (cardinal de A)Nmero de casos posibles = Nmero total de resultados posibles (cardinal del conjunto total de resultados)En este caso, el contar nmero de resultados, ya sean favorables o posibles, debe hacersepor mediode lacombinatoria.

MTODOS PARA REALIZAR UN CONTEOEn diferentes casos se tomara de algn conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por naturaleza de alguno de ellos. Si los elementos que forman una agrupacin son diferentes entre si, sern llamados agrupaciones sin repeticin y si alguno de ellos es igual se dir que son agrupaciones con repeticin.Entre los mtodos de conteo ms conocidos tenemos: permutaciones, combinacin y ordenacin.Los mtodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el nmero de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos mtodos destacan el mtodo del producto y el mtodo del diagrama de rbol. HERRAMIENTAS GRAFICAS:

DIAGRAMA DE VENN:Un diagrama de ven es el que representa grficamente los diversos eventos como uniones e intersecciones de los crculos. Un diagrama de Venn sirve para una situacin de dos variables en donde cada variable tiene solo dos eventos (A Y A*, BY B*). En la parte del circulo izquierdo representa todos los eventos de la parte a. y el circulo de la derecha representa todos los eventos que son de la parte b. el rea contenida dentro del circulo a y del circulo b (rea central) es la interseccin de a y b ( y se escribe A n B), puesto que esta rea es parte A y tambin parte B. el rea total de los dos crculos es la unin de A y B. adems contiene todos los resultados que son parte del ejemplo A y B. el diagrama fuera de A u B, contiene aquellos resultados que no son parte de a ni son parte de B.Para desarrollar un diagrama de Venn A y B deben de estar bien definidos. No importa que evento se defino como A o B, siempre y cuando seamos consistentes en evaluar los diversos eventos.Ejemplo:

DIAGRAMA DE RBOL:Un diagrama de rbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el clculo de la probabilidad se requiere conocer el nmero de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construccin de un diagrama de rbol. Ejemplo: Si Juan tiene 3 pantalones y 2 camisas basta multiplicar 3x2=6 y son 6 posibilidades de que se pueda vestir.El diagrama de rbol es una representacin grfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompaada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generacin.En el final de cada rama de primera generacin se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generacin, segn las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).Hay que tener en cuenta que la construccin de un rbol no depende de tener el mismo nmero de ramas de segunda generacin que salen de cada rama de primera generacin y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.Existe un principio sencillo de los diagramas de rbol que hace que stos sean mucho ms tiles para los clculos rpidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.Ejemplos:Las mujeres estn repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

DIAGRAMA DE CAJA O RAYITAS:

Un Diagrama de caja es un grfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de datos. Est compuesto por un rectngulo, la "caja", y dos brazos, los "bigotes".Es un grfico que suministra informacin sobre los valores mnimo y mximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atpicos y la simetra de la distribucin. Primero es necesario encontrar la mediana para luego encontrar los 2 cuartiles restantes

Cmo expresarlo grficamente +-----+-+ * o |-------| | |---| +-----+-+

+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+0 5 10 12

FORMULAS O REGLAS DE CONTEO:Cada regla de probabilidad que hemos estudiado ha involucrado el conteo del nmero de resultados favorables y el nmero total de resultados. En muchas instancias sin embargo, debido al gran nmero de posibilidades, no es factible enumerar cada uno de los resultados. En estas circunstancias, se han desarrollado reglas de conteo. Aqu analizaremos 5 reglas de conteo diferente: K eventos en n intentos: Si cualquiera de k eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos puede ocurrir en cada uno de n intentos, el nmero de resultados posibles es igual a:

Ejemplo:Si una moneda (con dos lados) se arroja 10 veces, el numero de resultados es = 1,024. Si un dado (con 6 lados) se lanza dos veces, el numero de resultados es = 36. para k1, k2,,kn eventos :Si hay k, eventos del primer intento k2, eventos del segundo intento .. y kn, eventos del n esimo intento, entonces el numero de resultados posibles es:(k1) (k2). (Kn).Ejemplo:Por lo tanto, si una placa policiaca consistiera de tres letras seguidas de tres dgitos, el nmero total de resultados posibles seria entonces (26)(26)(26)(10)(10)(10)= 17576.Tomando otro ejemplo, si un men de restorn tuviera una cena completa de precio fijo que consistir en un aperitivo, entrada, bebida y postre y hubiera la opcin de 5 aperitivos. 10 entradas, 3 bebidas y 6 postres, el nmero total de cenas posibles seria (5)(10)(3)(6)=900. n objetos tomados todo a la vez: El nmero de formas en que los n objetos puede ordenarse.N!= n(n-1)(1)Donde n se denomina n factorial y 0 se define como 1.Ejemplo: El nmero de formas en que los libros pueden ordenarse es:N!=6!= (6)(5)(4)(3)(2)(1)=720

permutacin:El nmero de modos de ordenar x objetos seleccionados de n objetos es

En muchos casos necesitamos saber el nmero de formas de un subconjunto del grupo completo puede ordenarse. Cada arreglo posible se llama una permutacin. Por ejemplo, modificando el problema anterior, si se tiene 6 libros de texto, pero solo hay espacio para 4 en el estante. Por lo tanto el nmero de arreglos ordenados de 4 libros seleccionados de 6 libros es igual a:

combinaciones:Finalmente, en muchas situaciones no estamos interesados en el orden de los resultados, sino solo el nmero de formas en que x objetos pueden seleccionarse de n objetos, sin tomar en cuenta el orden. A este se le llamo de combinacin. El nmero de modos de seleccionar x objetos de n objetos, sin tomar en cuenta el orden, es igual a:

Esta expresin puede denotarse mediante el smbolo Comparando esta regla con la anterior, veamos que difiere solo en la inclusin de un trmino x! en el denominador. Esto se debe a que cuando contamos permutaciones, todos los arreglos de x objetos eran distinguibles, con las combinaciones, los x! arreglos posibles de objetos no son importantes. As el nmero de combinacin de 4 libros seleccionados de 6 libros se expresan mediante.

INTRODUCCIN A LA PROBABILIDADEn la actualidad vemos que la teora de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos de negocios. Los seguros y las prcticas actuarias se basan firmemente en los principios de la teora de la probabilidad. Las plizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad, las cuales a su vez se van en las probabilidades de muerte en edades especificas. Otras tasas de seguro tales como las de bienes races y automviles se determinan de manera similar. La probabilidad tambin juega un papel muy importante en la estimacin del nmero de unidades defectuosas en un proceso de fabricacin, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por cobrar y las ventas potenciales de un nuevo producto. Incluso los apostadores profesionales en eventos deportivos deben tener una comprensin solida de la teora de la probabilidad.A pesar de la difundida aplicacin de los principios de la probabilidad, existen solo tres formas generalmente aceptadas para enfocar: Modelo de frecuencia relativa: utiliza datos que se han observado empricamente, registran la frecuencia con la que ha ocurrido algn evento en el pasado y estima la probabilidad de que ocurra nuevamente.

El modelo subjetivo: se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido. La probabilidad de que una mujer sea como presidenta de los estados unidos es un ejemplo. Debido a que no hay datos sobre los cuales confiar, se deben analizar las opiniones y las creencias para obtener una estimacin subjetiva.

El modelo clsico: es el que se relaciona con mayor frecuencia con el apuesto y los juegos de azar. La probabilidad clsica de que un evento e se determina mediante:

Las probabilidades constituyen una rama de las matemticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado.La creacin de la probabilidad se atribuye a los matemticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, haban aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemtica comenz como un intento de responder a varias preguntas que surgan en los juegos de azar, por ejemplo saber cuntas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.Idea de Probabilidad est ntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Pierre-Simn Laplace afirm: "Es notable que una ciencia que comenz con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el objeto ms importante del conocimiento humano". Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier mbito.Segn Amanda Dure, "Antes de la mitad del siglo XVII, el trmino 'probable' (en latn probable) significaba a probable, y se aplicaba en ese sentido, unvocamente, a la opinin y a la accin. Una accin u opinin probable era una que las personas sensatas emprenderan o mantendran, en las circunstancias.La teora de errores puede trazarse atrs en el tiempo hasta Opera Miscellanea (pstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplic por primera vez la teora para la discusin de errores de observacin. La reimpresin (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos lmites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad. CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD

EXPERIMENTO ALEATORIO.Conjunto de pruebas cuyos resultados estn determinados nicamente por el azar.Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con certeza. Ejemplo: lanzar una moneda alaire. No podemos determinar con toda certeza cul ser el resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un experimento aleatorio.

ESPACIO MUESTRAL (S).-Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorioEs un conjunto detodos los resultados posiblesque se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el espacio muestra correspondiente a este experimento es: S = (1, 2, 3, 4, 5, 6(.

PUNTO MUESTRAL.-Es un elemento del espacio muestra de cualquier experimento dado.

EVENTO O SUCESO.-Es todo subconjunto de un espacio muestra. Se denotan con letras maysculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de este evento generalmente se conocen como"resultados favorables".Cada vez que se observa un resultado favorable, se dice que "ocurri" un evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento podra ser que salga nmero par. Definimos el evento de la siguiente manera: A = sale nmero par = (2, 4, 6(, resultados favorables n (E) = 3

DEFINICIN DE PROBABILIDAD. enfoque clsico ( a priori)El enfoque clsico o a priori es tratar de asignar un valor a la probabilidad suponiendo lo siguiente: Cada uno de los eventos simples del espacio muestra tienen la misma oportunidad de ocurrir. Por lo tanto, la Probabilidad de que un evento ocurra est dada por la siguiente frmula Enfoque emprico o frecuenciaProbabilidad a posteriori. En el caso que los eventos no poseen igual posibilidad de ocurrencia, el problema designar las probabilidades ocurre a posterior.El concepto de probabilidad a posteriori lo desarrolla Richard Von Mises y est basado en el principio siguiente: Si un experimento se realiza un nmero grande de veces, N por ejemplo, y sea n el nmero de veces que ocurre un evento E.Entonces, se observa experimentalmente el hecho de que a medida N aumenta la relacin n / M tiende a un valor estable p. Ese valor p se llama la probabilidad de E y se escribe p(E). Axiomas bsicos.Los axiomas de probabilidad son las condiciones mnimas que deben verificarse para que una funcin definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Para el clculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas que a continuacin se enumeran.

Probabilidad subjetiva.La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, yDepende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carcter de subjetividad no se considera con validez cientfica, aunque en la vida diaria es de las ms comunes que se utilizan al no apoyarse ms que en el sentido comn y los conocimientos previos, y no en resultados estadsticos.Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Salgados de Salta ganen la Lotera el prximo ao y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en Los ngeles este ao. TIPOS DE EVENTOS

Evento elemental o simpleUn resultado posible en un espacio muestral Eventos dependientes: aquellos en los que la ocurrencia de un evento afecta la ocurrencia de otros. Evento compuestoEs el que consta de dos o ms elementales y se representa con una letra mayscula.

Eventos compuestos pueden ser, por ejemplo, , o , que se expresan en la forma siguiente y . Si se lanza una moneda, los resultados posibles (elementos) son cara y cruz y el conjunto de los dos resultados es el espacio muestral del experimento S={cara, cruz} Los eventos mutuamente excluyentes:Son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teoras cientficas, tambin son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas.

Los eventos colectivamente exhaustivosConstan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral. Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son 1, 2, 3, 4, 5,y 6. Adems, debido a que existe la certeza de que uno de estos eventos ocurrir, su probabilidad combinada ser igual a uno Eventos complementarios

Son los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir. Si un evento A lanzar un nmero par con un dado (2, 4 o 6), el complemento es lanzar un nmero impar (1, 3 o 5). Si no se obtiene un nmero par, se debe obtener un nmero impar. El complemento de A se escribe como , y se denomina no A.

CALCULO DE PROBABILIDADES

Tabla de contingenciaEnestadsticalastablas de contingenciase emplean para registrar y analizar la relacin entre dos o ms variables, habitualmente de naturalezacualitativa(nominales u ordinales).Latabla de contingenciaes un medio particular de representar simultneamente dos caracteres observados en una misma poblacin, si son discretos o continuos reagrupados en clases. Probabilidad simple La regla ms evidente para las probabilidades es que deben variar en valor de 0 a 1. Un evento imposible tiene una probabilidad cero de ocurrir, y un evento cierto tiene una probabilidad uno de ocurrir. La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple.Ejemplo: la probabilidad de seleccionar una carta negra; la probabilidad de seleccionar un AsLa probabilidad simple se denomina probabilidad marginal puesto que el nmero total de xitos puede obtenerse del margen apropiado de la tabla de contingencias.

Probabilidad conjuntaLa probabilidad conjunta se refiere a fenmenos que contienen dos o ms eventos, como la probabilidad de un as negro, una reina roja o un empleado que est satisfecho con el trabajo y haya progresado dentro de la organizacin.

P (A)= P (A y B1) + P (A y B2) +.....+ P (A y Bk)Donde B1, B2,... Bk son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.Dos eventos son mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo.Dos eventos son colectivamente exhaustivos si uno de los eventos debe ocurrir.Por ejemplo, ser hombre y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Nadie es ambos (son mutuamente excluyentes) y todos son uno u otro (son colectivamente exhaustivos).

Regla general de la adiccinLa regla de la adicin se usa para encontrar la probabilidad del evento A o B. Esta regla para obtener la probabilidad de la unin de A y B considera la ocurrencia del evento A o del evento B o de ambos, A y B.El clculo de P (A B), la probabilidad del evento A o B, puede expresarse en la siguiente regla de la adicin general:P ( A B ) = P ( A o B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A y B )

Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, Entonces (A o B) se calcula con la siguiente frmula:

P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B)

La Regla de la Adicin expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y Bes igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente P(A o B) =P(A) + P(B) - P(A y B) si A y B son no excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

Probabilidad condicional e independencia estadstica La frmula para la probabilidad condicional puede manipularse algebraicamente de forma tal que la probabilidad conjunta P (A y B ) puede determinarse a partir de la probabilidad condicional de un evento.

Regla de multiplicacin e independencia estadsticaLa regla de multiplicacin para eventos independientes puede expresarse de la siguiente manera sustituyendo P (A) por P (A \ B):P (A y B) = P (A) * P (B)Si esta regla se cumple para dos eventos, A y B entonces A y B son estadsticamente independientes. Por tanto, hay dos formas de determinar la independencia estadstica:.1. Los eventos A y B son estadsticamente independientes si y slo si P ( A \ B )=P (A)2. Los eventos A y B son estadsticamente independientes si y slo si P (A y B) = P (A) * P (B). TEOREMA DE BAYES

En lateora de la probabilidadelteorema de Bayeses un resultado enunciado porThomas Bayesen 17631que expresa laprobabilidad condicionalde unevento aleatorioAdadoBen trminos de la distribucin de probabilidad condicional del eventoBdadoAy ladistribucin de probabilidad marginalde sloA.En trminos ms generales y menos matemticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podra saber (si se tiene algn dato ms), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestin para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculacin ntima con la comprensin de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.Sea {A1, A2,, Ai,, An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso

Cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales.

Entonces, la probabilidadviene dada por la expresin:

donde: son las probabilidades a priori. es la probabilidad deen la hiptesis. son las probabilidades a posteriori.

Frmula de Bayes Con base en la definicin deProbabilidad condicionada, obtenemos la Frmula de Bayes, tambin conocida como la Regla de Bayes:

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