MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty...
Click here to load reader
Transcript of MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty...
![Page 1: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/1.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH
Przekroje poprzeczne prętów, wałów i belek – figury płaskie, charakteryzujące się następującymi parametrami:
– polem powierzchni przekroju [mm2, cm
2, m
2],
– położeniem środka ciężkości przekroju, – momentami statycznymi [cm
3, m
3],
– momentami bezwładności [cm4, m
4].
Definicja momentu statycznego w w układzie osi X i Y:
A A
yx xdAS,ydAS
W zależności od położenia przekro-ju względem osi układu współrzęd-nych mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne.
Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił, dla środka ciężkości można napisać:
.AxS,AyS cycx
Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości figury płaskiej można obliczyć ze wzoru:
.A
Sy,
A
Sx x
cy
c
Środek ciężkości przekrojów złożonych –podział przekroju na figury proste.
,
A
yA
y,
A
xA
xn
1ii
n
1iii
cn
1ii
n
1iii
c
Ai – pola powierzchni figur prostych, xi, yi – współrzędne środ-ków ciężkości poszczególnych figur prostych.
Definicja momentu statycznego
![Page 2: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/2.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 105
PRZYKŁAD
Określić położenie środka ciężkości fi-gury przedstawionej na rysunku.
Przekrój podzielono na trzy prostokąty
o następujących polach powierzchni:
A1 = 1 1 = 1 cm2,
A2 = 2 5 = 10 cm2,
A3 = 2 2 = 4 cm2. Współrzędne środka ciężkości całej figu-ry wynoszą
,cm43,34101
543105,11
AAA
xAxAxAx
321
332211c
.cm77,34101
545,3105,11
AAA
yAyAyAy
321
332211c
Momenty bezwładności
Definicja momentów bezwładności:
– osiowe momenty bezwładności
A
2y
A
2x ,dAxJ,dAyJ
– biegunowy moment bezwładności
,JJdAyxdAJ yx
A A
2220
– moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy)
A
xy .xydAJ
Momenty osiowe oraz moment biegunowy są
zawsze dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny.
![Page 3: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/3.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 106
Momenty bezwładności figur złożonych są sumą momentów bezwładności prostych figur składowych. Figura złożona może składać się z figur „pełnych” oraz „pustych”. Przy sumowaniu momentów bezwładności figury „puste” uważa się za figury z ujemnymi polami powierzchni. PRZYKŁAD
Figury złożone przedstawione na rysunku podzielić na figury proste.
Podział figury złożonej na figury proste
(jeden z możliwych do zastosowania podziałów figury).
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera umożli-wia obliczanie momentów bezwładności figur płaskich względem osi równolegle przesuniętych w stosunku do osi centralnych (osi przecho-dzących przez środek ciężko-ści przekroju).
Dla figury płaskiej o powierzchni A, obliczyć momenty bez-władności względem osi X–Y, równolegle przesuniętych w sto-sunku do osi centralnych (środkowych) X0–Y0 o odcinki a i b.
Na podstawie definicji momentu bezwładności moment osio-wy względem osi X dla y1 = y + a wyraża wzór:
A A A A
2x
A
2221x .AaJdAaydAa2dAydAaydAyJ
0
![Page 4: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/4.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 107
W powyższym równaniu całka A
ydA opisuje moment statycz-
ny, który względem osi centralnych jest równy zeru. W podobny sposób określa się moment względem osi Y oraz moment de-wiacyjny
A
yxxy
A
2x
2y
.AabJdAbxaxJ
,AbJdAbxJ
00
0
Wyprowadzone wyżej zależności noszą nazwę twierdzenia Steinera.
Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej odległej od środka ciężkości o określoną wartość jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzą-cej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.
Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu wzglę-dem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i obu składowych równoległego przesunięcia.
Twierdzenie Steinera ma następująca postać matematyczną:
.AabJJ
,AbJJ
,AaJJ
00
0
0
yxxy
2yy
2xx
GŁÓWNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
Osie przechodzące przez środek ciężkości przekroju – OSIE
CENTRALNE. Osie obrócone pod odpowiednim katem, powo-
dującym wyzerowanie momentów dewiacyjnych – GŁÓWNE
OSIE BEZWŁADNOŚCI.
Momenty względem tych osi – GŁÓWNE MOMENTY BEZ-
WŁADNOŚCI
![Page 5: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/5.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 108
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI DLA PRZEKROJU PROSTOKĄTNEGO
Momenty bezwładności względem osi centralnych XC–YC
X
Y
b
h
Osiecentralne
C C
C
X
Y
ydy
dA = bdy
0I,12
hbI,
12
bhdybydAyI YcXc
3
Yc
3
A
2
h
2
h
22
Xc
Momenty bezwładności względem osi X–Y
h
b
Y
X
X
Y
ydy
x
dA
h
0
222
A
h
0
XY
3
Y
3
A
h
0
22
X .4
hbdyy
2
bdyby
2
bxydAI,
3
hbI,
3
bhdybydAyI
TWIERDZENIE STEINERA
.4
hb
4
bh)bh(0
2
b
2
hAII
,3
hb
4
hb
12
hb
2
bAII,
3
bh
4
bh
12
bh
2
hAII
22
XYXcYc
3332
YcY
3332
XcX
![Page 6: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/6.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 109
Przykład:
Dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku
wyznaczyć momenty bezwładności względem osi X–Y oraz
osi centralnych X0–Y0.
Wyznaczyć główne momenty bezwładności oraz ich poło-
żenie.
Osiowy moment bezwładności względem osi X:
.12
abdyyyb
b
aJ,yb
b
au,udyydAyJ
32
b
0
x
b
0
2
A
2
x
Osiowy moment bezwładności względem osi Y:
.12
badxxxa
a
bJ,xa
a
bt,tdxxdAxJ
32
b
0
y
A
a
0
22
y
Moment dewiacyjny wyznacza się po określeniu współrzęd-nych środka ciężkości powierzchni:
.24
baydyyb
b
a
2
1J,u
2
1x,xyudyxydAJ
222
b
0
2
2
xy
A
b
0
xy
Momenty bezwładności względem osi centralnych (twierdzenia Steinera):
.72
ba
18
ba
24
ba
3
b
3
aAJJ
,36
ba
9
a
2
ab
12
ba
3
aAJJ,
36
ab
9
b
2
ab
12
ab
3
bAJJ
222222
xyyx
3232
yy
3232
xx
00
00
Główne momenty bezwładności:
.baba72
ab
72
)ba(abJ 2244
22
2,1
Położenie głównych centralnych osi bezwładności:
.0ab
ab
12
ba
12
ab72
ba
JJ
J22tg
2223
22
yx
yx
o
00
00
Kąt o jest dodatni i wskazuje kierunek momentu J1.
Osie centralne
Osie główne
![Page 7: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/7.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 110
Momenty bezwładności figur prostych
Figura Jx Jy Jxy
3
bhJ
12
bhJ
3
x
3
xo
3
hbJ
12
hbJ
3
y
3
yo
4
hbJ
0J
22
xy
yx oo
12
bhJ
36
bhJ
3
x
3
xo
12
hbJ
36
hbJ
3
x
3
xo
24
hbJ
72
hbJ
22
xy
22
yx oo
4
R
64
DJ
4
4
x
4
R
64
DJ
4
4
y
0Jxy
8
R
128
DJ
R1098,0
D00686,0
9
8
816
DJ
44
x
4
4
4
xo
8
R
128
DJ
4
4
y
0J
0J
ooyx
xy
16
R
256
DJ
R0549,0
9
4
16RJ
44
x
4
4xo
16
RJ
4
x
4
4
4
yx
4
xy
R0165,0
9
R4
8
RJ
8
RJ
0o
![Page 8: MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICHsms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/... · 09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Przekroje](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022101004/5b5a39a27f8b9ac7498b8fcf/html5/thumbnails/8.jpg)
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 111
PRZYKŁAD Dla figury płaskiej pokazanej wyznaczyć wartości centralnych momen-
tów bezwładności.
2t
5t
7t
2t
t
t3t
1
2
4
3"3'
X
C2
1C
4C
3C'3C"
C
Y=
Y2
Y1
X1
X2
X3X3
3Y
3Y
X44Y
Ys
Xs
y s
Figura złożona zostaje podzielona na figury proste. Korzystając ze wzorów na wyznaczanie środka ciężkości względem osi X-Y otrzymuje się
.0x
,t62,3t29
t105
t14t5,12t6t6
tt14t3
12t5,12t5t6t9t6
y
s
2
3
2222
2222
s
Osiowe momenty bezwładności wynoszą
,t00,311t77,100t57,22t43,29t67,175
tt62,3t1412
t2t7t3
12t62,3t5,1
36
tt32
t62,3t5t612
t6tt62,3t9t6
12
t2t6J
44444
2
t62,2
232
t287,1
23
2
t38,1
22
t38,5
223
sx
.t42,70t17,57t125,42t5,0t5,412
)t7(t2
t33
1t5,0t5,1
36
t3t2
12
tt6
12
t3t2JJ
444443
2
t5,1
2333
yys
Figura 1
Figura 3’ i 3”
Figura 4
Figura 1
Figura 2
Figura 2
Figura 3’ i 3”
Figura 4