Modulo Mate Matic As

8/18/2019 Modulo Mate Matic As

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MÓDULOMATEMÁTICA


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Fundamentación

La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de lahumanidad como ciencia autónoma y como instrumento para otras ciencias, unida al

desarrollo tecnológico e íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica.La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor

y finalidad de sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para eldesarrollo del razonamiento lógico. En este sentido, cabe señalar que la educaciónmatemática tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantestanto en forma individual como en grupos.

"Es necesario que los alumnos adquieran habilidades sociales, que lespermitan trabajar y resolver dificultades en grupos heterogéneos, con personas dediferentes capacidades que ellos. Debemos formar ciudadanos sanamente escépticos,inquietos, con gran curiosidad y ganas de aprender, y con recursos propios para poderhacerlo. El reto está ahí (…) es necesario saber afrontarlo..."1

En el intento de lograr alfabetizarlos académicamente, los estudiantes deberánfortalecer procesos típicos del pensamiento matemático ya adquiridos o incorporarotros nuevos, comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizará el conocimiento yel empleo de estrategias de resolución de problemas, es decir se promoverá que losestudiantes aborden estrategias propias, utilicen las representaciones que considerenadecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus ideas, den razones de susprocedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de otros, aceptencríticas así como otros puntos de vista.

El Proceso de Aprendizaje de la Matemática, en el contexto de la Universidad,debe constituir una instancia en la que el futuro profesional interactúe con elconocimiento matemático de un modo constructivo que le permita apropiárselo y,simultáneamente, le proporcione la vivencia de que él también es un productor -generador de dicho conocimiento; es esta vivencia la que le permitirá revalorizarsecomo sujeto activo de su propio proceso de formación.

Las competencias de resolución de problemas son el eje de la actividadmatemática. Estas competencias se desarrollan mediante el tratamiento de ciertoscontenidos por su valor instrumental ante las demandas científicas, tecnológicas,sociales y éticas, de este tiempo.

En consecuencia, la formación del futuro profesional, la búsqueda de ejes dearticulación e integración entre contenidos y métodos, conocimientos yprocedimientos, saberes científicos y saberes de construcción posibilitan la evoluciónde la estructura del pensamiento.

1 Claudi Alsina en “El curriculum de matemática en los inicios del siglo XXI”, 2000


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Presentación del módulo

Bienvenidos/as a esta joven casa de estudios que, a partir de hoy, esperamosque sientan suya.

Entre otros preparativos que ya habrán advertido, pensamos en este módulo

acorde con la fundamentación del área, para que juntos comencemos a repasaralgunos contenidos que trabajaron en la escuela secundaria, pero además estaspáginas tienen otro objetivo: comenzar a prepararlos para el estilo de trabajo que seespera que desarrollen en el ámbito académico superior.

Por supuesto que la asimilación del estilo de trabajo habitual en unaUniversidad no se adquiere de la mañana a la noche y por eso este módulo y todo eltrabajo que vamos a desarrollar juntos durante el curso introductorio es una pequeñamuestra del mismo (como para “empezar”) y esperamos continuar con esta tareadurante todo el primer año en forma explícita y durante toda la carrera en lahabitualidad de la vida académica.

En este marco es conveniente contarles algunas características del materialque tienen en sus manos de manera que no se sorprendan al encontrarse con lapropuesta y puedan aprovecharla de la mejor manera.

Antes de empezar queremos que sepan que estamos concientes de que laMatemática suele considerarse una de las materias más difíciles y por ahí es cierto: esuna materia que necesita que le presten mucha atención. Pero históricamente es frutodel trabajo sostenido de muchas personas. Personas como ustedes y como nosotros.

Es cierto que entre las personas algunas son capaces de lograr genialidadescon lo que todos manejamos cotidianamente pero también es verdad que no esnecesario ser un genio capaz de inventar un teléfono celular, para usarlo en forma

competente.Es decir: la Matemática es una creación humana y como tal es accesible a

todos. Está a su disposición para que la aprendan, la dominen y la apliquen cuando lanecesiten.

Continuando con el módulo, en primer lugar se han pensado seis bloques queserán los ejes de trabajo en cada encuentro:

• Bloque 1: Números y operaciones•

Bloque 2: Polinomios• Bloque 3: Funciones - Función lineal• Bloque 4: Función lineal II• Bloque 5: Función cuadrática• Bloque 6: Trigonometría


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Los bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando unaforma de trabajo autónomo.

En cada uno de ellos encontrarán multitud de actividades que les permitirán

Recordar los contenidos involucrados

En este caso, se trató de secuenciar las actividades para que repases.

Aplicar esos contenidos en la resolución de problemas

Existen tres tipos de estas actividades: ejercicios, desafíos y problemas. Encada tipo de actividades tendrán la oportunidad de poner en juego sus conocimientos.Los desafíos suelen ser problemas al interior de los contenidos trabajados, no son tandifíciles, en todos se han incluidos algunas ayudas, pero lo importante es que se“animen” con ellos y traten de lograr algo aunque tengan que realizar consultas entreustedes o con el profesor para lograr continuar. En el caso de los problemas es posibleque, además de conocer los contenidos necesarios para resolverlos, tengan que usaruna cuota de ingenio para poder interrelacionarlos y lograr una solución aunque seaprovisoria.

Distinguir cuestiones que es importante que consulten y estudien

Permanentemente aparecen recuadros o señalamientos que es importante quetengan en cuenta a la hora de estudiar.

Recuerden que este módulo es de ustedes y que resultará conveniente que seadueñen de él para realizar anotaciones de cuestiones que les parezcan importantesy que amplíen de forma personal lo que sugerimos que estudien.

Esta es una propuesta que esperamos mejorar después de ponerla en acción

con su ayuda, por lo que esperamos que lo utilicen lo mejor que puedan y realicenconsultas para que podamos hacer cambios para beneficio de quienes mañana serántus compañeros.

Les agradecemos su trabajo, el empeño que, estamos seguros, van a poner en estaempresa y que nos hayan elegido para continuar sus estudios.

Los profesores de Matemática


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BLOQUE 1: Números y OperacionesIntroducción

En este bloque recordaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación enla recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones.

Ésta es una de las etapas en la que haremos un recorrido por conocimientos yaadquiridos, por lo tantono se preocupen , todo esto ya lo vieron, tenemos ahora laoportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben.La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguajematemático” para resolver situaciones problemáticas, es decir que repasen el trabajode resolución de ecuaciones e inecuaciones logrando reconocer los tipos de númerosque estén involucrados en ese trabajo.


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Guía de trabajo nº 1Conjuntos numéricos

• Introducción

Desde que el hombre tiene memoria siempre se ha manejado con cantidades,siempre ha contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es asícomo surgen losnúmeros naturales (N) .

En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemasoperaciones como la adición y la multiplicación. Esto quiere decir que la suma de dosnúmeros naturales es siempre natural lo mismo sucede con los productos.

Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo la resta de dos númerosnaturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que elsustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible.

Es decir:187 – 35 = 152

En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que182 > 35, pero si intercambiamos minuendo y sustraendo:

35 – 182 = ¿?No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción.Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos

en los que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto delos números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los númerosnegativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entreambos es cero.

Ahora si:35 – 182 = -152

Esto tiene su aplicación en otras ciencias:Por ejemplo, en Física que asigna el “cero” para el punto de congelación del

agua. Las temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y lasinferiores son las temperaturas negativas.

Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es enterosiempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por esos infinitos casos en losque la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevoconjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: El conjuntode los números racionales (Q) .

Ahora:-196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y…

3 : -4 = - ¾ ya que 3 no es múltiplo de -4Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son

exactas, se usan números racionales .Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un

cociente de dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema:hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad… aunqueusted no lo crea)

Por ejemplo 2 :Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero que

elevado al cuadrado de 2.Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:

2 =ba

Donde:


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1. a y b son números enteros2. b no es cero ¿por qué?3. a no es múltiplo de b ¿por qué?

Entonces:

2

2

ba

2 =

y… 22 ab.2 = Con lo cual a2 debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería sermúltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3.Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no loes.

2 es un número irracional

Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulorectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como

2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tantono pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los númerosllamados irracionales . Los números irracionales se agregan a los racionales paraformar el conjunto de losnúmeros reales (R)

Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemáticacomo el númeroPi, el númeroe y el número deOro.

Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de losnúmeros Reales , que estáformado por losnúmeros Racionales y losnúmeros Irracionales .

Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemosrealizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de losdiferentes conjuntos numéricos.

El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:

Será conveniente que, después de leer, consulten las dudas que tengan sobre lainformación que brindan el texto y el cuadro.Ahora les proponemos algunas actividades:


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Actividad 1

Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban V (verdadero) o F (falso) segúncorresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas.

(a) 1950 es un Número Real.(b) El número 11,68 es un número entero.(c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros,

por eso se trata de un número racional.(d) -3 es un número natural.(e) Todo número natural es entero.(f) Todo número entero es natural.(g) Los múltiplos de 11 son números enteros.(h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.

Actividad 2

Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales.Ayuda: a veces resultará útil aplicar propiedades de la radicación

(a) 2 + 3 (b) 72 +

(c) 75 + (d) 10

(e) 8.2 (f) 6 . 6

Siempre se aprende algo nuevo

Recordemos que

Todos estos tipos de números se pueden representar en la llamada recta numérica.Vamos a ver con un ejemplo como representar algunos irracionales ya que losracionales son de representación “más sencilla”

Por ejemplo: Representar en la recta numérica 5

Procedimiento:

1- trazamos una circunferencia con centro en 2,5 que pase por cero. Esdecir, el diámetro es 5 que es el número del que buscamos la raíz

2- trazamos una perpendicular a la recta numérica que pase por 1, esta

perpendicular corta a la circunferencia en a.

3- La distancia desde 0 hasta a es 5 . Compruébenlo

4- Usando el compás trasladamos 5 sobre la recta numérica


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Intervalos numéricos

En el conjunto de los números reales se pueden definir intervalos como por ejemplo[-2; 5) que incluye todos los números que están entre el -2 y el 5 , incluyendo al 2 perosin incluir al 5.

Actividad 3

Coloquen para cada raíz cuadrada los números enteros consecutivos entre loscuales se encuentra el resultado de la misma.

(a) _____< 17


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(c) π (-3;-2]

(d)71 (0;1)

(e)3 100 [3;5]

(f) (0,1)2 (-2;0]


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Guía de trabajo nº2

Ecuaciones e inecuacionesEn ocasiones necesitamos representar una situación problemática a través de una“expresión algebraica”.En una expresión algebraica relacionamos números reales y letras, llamadasindeterminadas, a través de operaciones algebraicas como la suma, resta,multiplicación y división.Una expresión algebraica en la indeterminada x puede ser: 2 3. 4 x x+ −

Otra expresión algebraica en la indeterminada x puede ser:2. 12

x x

−

+

Podemos tener más de una indeterminada, por ejemplo, sea la expresión:3. 2. 5. x y z+ −

En las actividades siguientes trabajaremos con expresiones algebraicas en unaindeterminada.

Cuando igualamos una expresión algebraica a un número (o a otra expresiónalgebraica) tenemos una ecuación.

Una ecuación es un modo simbólico de plantear un problema a resolver. En ella suelehaber una incógnita que se puede representar con la letra x.Resolver una ecuación es encontrar el valor de x.

Actividad 1

Veamos como plantear de manera simbólica las siguientes situaciones problemáticas.

Ejemplo: ¿Cuál es el número cuya mitad es52 ?

Veamos:

Hay un número incógnita .......................... x

Su mitad es .............................................21 X

Esa mitad es 52 ..............................21 X = 52

Luego X =54 ¿por qué?

......................................................................................................................................................


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(a) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es52 ?

(b) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es59 ?

(c) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es siete.¿De qué número se trata?

(d) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos. ¿Cuáles el número?

(e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a lamitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son esos números?

(f) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivoaumentado en 1. ¿Cuál es el número?

Actividad 2Resuelvan las siguientes ecuaciones.

(a) x x41

55,223 +=− (b) ( ) ( )5,02

51

46103 +=+− x x

(c) 3,72,52,33,4 +=+ x x (d) 13

110

46 +−

=+− x x

(e)4

21

5

2 −=− x x (f) ( )4310

1

2

21

10

243 −−=−

−−

x x x

(g) ( ) 64102 2 +=−+ x x (h) ( )( ) ( )132413 −=+− x x x

(i) ( )( ) x x x −=+− 511 (j) Representen en la recta numéricalas soluciones de estasecuaciones


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BLOQUE 2 – Polinomios

Guía de trabajo nº 1 Introducción

En este bloque vamos a trabajar con un tema que será de utilidad para futurosemprendimientos matemáticos.

El tema es el de los polinomios, y en particular los polinomios de una sola variable.Seguramente al nombrarlo aparecen muchas anécdotas todas ellas con un punto encomún: “los polinomios son difíciles de entender porque tienen letras”

En parte es cierto: en cada término de un polinomio es posible que encontremos unaparte literal, pero no se nos debe escapar que esa parte literal representa números ycomo tal deben ser tratados. ¿Qué significa esto?:

Seguramente recuerdes que en la escuela te enseñaron a descomponer los números.

En nuestro sistema de numeración se usan 10 dígitos para escribir los números: 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero, además deeste valor “absoluto” puede adquirir otro según la posición que ocupen dentro dedeterminado número (relativo):

En 1567 el 5 vale 500

En 1756 el 5 va le 50

En 5761 el 5 vale 5000 etcétera

Esto se debe a que el sistema numérico que usamos se llama decimal (porque usadiez dígitos) y posicional (pues cada dígito tiene valor relativo dependiendo del lugarque ocupa dentro de un número)

Es decir:

Luego 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1

= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1

= 6 . 103 + 5 . 102 + 7 . 101 + 1 . 100 (recordemos que todo númeroelevado a la cero da uno.


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3) 1 − x4

4)

5) x3 + x5 + x2

6) x− 2x−3 + 8

7)

Reflexionemos:

Así como están parece que todos son polinomios. Por ahí podríamos desconfiar deese que tiene raíz cuadrada…

Veamos si las respuestas pueden brindarnos algo de ayuda:

Respuestas

1) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 5.

Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide laactividad.

Resulta que el grado coincide con el valor del término independiente, así que lopodemos deducir que uno de los números 5 que aparecen en el polinomio es el grado.

Como el otro es un “término” independiente debe ser el que está último y el gradodebe ser la potencia mayor de x.

Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del término independiente,todavía podemos no saber qué es un polinomio

2) + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer término está dentrode una raíz.

En este caso aparece una razón por la que una expresión no es un polinomio.

Teníamos razón en desconfiar: este no es polinomio3) 1 − x4

Es un polinomio

Grado: 4, término independiente: 1.

Otro polinomio.


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Parece que el término independiente es el que no tiene x y aunque acá está primerosigue siendo el independiente.

El grado parece que es la potencia de la x, ¿pero cuál? Mirando el 1) parece ser lamayor

4)

No es un polinomio porque el exponente del primer término no es unnúmero natural.

Otra razón para que una expresión algebraica no sea un polinomio. Pero ¿Cómo queel exponente del primer término no es un número natural? ¿El 2 no es un númeronatural?

Recordemos

Propiedades de las potencias:

a0= 1 (todo número a la cero da 1)

a1= a (todo número a la uno da el mismo número)

a-1= ( cuando el exponente es negativo se invierte la base y pasa a ser positivo)

a1/n= ( para pasar una raíz a exponente fraccionario se coloca en el numerador

an/m= el exponente de la potencia y en el denominador el índice de la raíz)

an. am= ( multiplicación de potencias de igual base se suman los exponentes)

an: am= (división de potencias de igual base se restan los exponentes)

(an)m = ( potencia de potencia se multiplica los exponentes)

a-2 = ……….

a1/2 =………..

Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -2 es un número……………….. y 1/2 es un número …………………………. Como vimos en el bloque 1.


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Antes de empezar, recuerden que:

En todos los términos de un polinomio de variable x está la variable elevada adiferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menorque puede existir es “0” que está en el “término independiente” porque x0 = 1.

A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta0, es decir el polinomio puede estarincompleto (como en 7) de la actividad 1)

Otras veces un polinomio puede estardesordenado ( como el 1) de la actividad 1que además está incompleto)

¿Trabajamos?

Escribir:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

2. Un polinomio no ordenado y completo.3. Un polinomio completo sin término independiente.

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

A continuación, algunas respuestas para comparar con lo que hayas escrito o paraconsultar si fuera necesario:

Posibles respuestas:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

(No dice que deba estar completo)

2. Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3. Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

(Para averiguar por qué revisen lo que significan las expresiones que estánsubrayadas)

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5¿Cuáles son los coeficientes de los tres primeros términos? ¿Son números impares?


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Guía de trabajo n°2

En esta guía vamos a continuar trabajando con polinomios de una variable.

Como siempre vamos a trabajar en la resolución de actividades.

En los casos que sea conveniente se incluirán las respuestas para que puedanconsultar

En la Guía de trabajo nº 1 recordamos qué es un polinomio, cómo determinar su gradoy reconocimos sus coeficientes

Vimos que un número es un polinomio donde la “variable” (la parte literal) toma el valorde la base del sistema de numeración con el que estamos trabajando (si no seacuerdan de qué se trata esto les sugerimos que relean la primera parte de la Guía detrabajo nº 1).

Es decir: un polinomio P(x) (la x entre paréntesis es la variable) tiene un determinado“valor numérico” según el valor que se le asigne a su variable.

Recordemos que P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

Tiene como “valor numérico” 6571 si x =10

Esto se expresa:

P(10) = 6571

Fíjense que ahora, entre paréntesis, en el lugar de la variable colocamos el valor de lamisma.

Pero si x toma otros valores el polinomio podría tener otros valores numéricos:

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Comprueben todos estos valores numéricos usando calculadora

Actividad 1

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x− 2

R(x) = 6x2 + x + 1


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S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(6) + Q (3) =

2) P(7)− U (7) =

3) [P(3) + R (2)]2 =

4) [S(4)]3 +2 T(8) + ½ U(6) =

5) [2 S(6)]2

– T(4) + ¼ [ U(2)]2

=Respuestas

1) 159

2) 144

3) 3844

4) 1949

5) 1916

Como se ve hasta ahora trabajamos con números naturales pero la variable podríatomar cualquier valor real.

Actividad 2

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

1) P(1) + Q(1/2)− R(1) = 2) P(1) - 2 Q(1/2)− R(2) =


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3) Q(2) + R(1) – [P(-1)]-2 =

Respuestas

1) - 27/82) -157/4

3) -225/16


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Guía de trabajo nº 3En esta guía de trabajo continuamos con el trabajo con valores numéricos ytrabajamos con sumas y restas de polinomios

Actividad 1

Investigamos

Vamos a hacer una investigación:

Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la actividad 1

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x− 2

Y calculemos P(2) y Q(2)

P(2)= 15

Q(2)= 6

De aquí se desprende que P(2)+Q(2)= 21

Si sumáramos los polinomios en x y luego buscáramos el valor numérico del polinomioresultante para x=2 ¿ese valor sería 21?

Seguro que ya están intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemosconfirmar:

Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendría mal que repasáramos elmétodo.

Cada término de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios esagrupar monomios homogéneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto sepuede hacer juntándolos en un cálculo o haciendo “la cuenta”:

P(x) + Q(x) = (4x2 – 1) + (x3 – 3x2 + 6x – 2)

Pusimos paréntesis nada más que para que se note donde empieza y termina cadapolinomio, pero en realidad no hacen falta:

P(x) + Q(x) =4x2 – 1 + x3 – 3x2 + 6x – 2

Podemos agrupar términos (monomios) homogéneos:

P(x) + Q(x) =4x2− 3x2 + x3 + 6x – 2– 1 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Operando:

P(x) + Q(x) =x2 + x3 + 6x – 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)


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Cuando hacemos “la cuenta” lo que realizamos es lo mismo, solamente queencolumnamos los monomios homogéneos:

Colocaremos arriba el P(X) …………..4x2 – 1 + 0x3+ 0x aquí completamos P(x) perono hace falta

Colocaremos abajo el Q(x)………… − 3x2 – 2 + x3 + 6x encolumnandoadecuadamente

Sumamos las columnas……………. x2 – 3 + x3 + 6x teniendo cuidado conlos signos

Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenadode manera diferente.

Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:

P(x) + Q(x) = x3+ x2 + 6x – 3

Y ahora lo que queríamos averiguar:

El valor numérico de este polinomio para x=2 es...: 21

¿Sospechabas que era así? ¿Por qué?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Obviamente lo mismo sucede con la restaVamos a hacer “la cuenta “ de Q(x) – P(x)

En este caso en vez de ser cuidadosos con los signos ¡hay que ser cuidadosísimos!:

− 3x2 – 2+ x3+ 6x

-

4x2 – 1+0x3+0x

-7x2 – 1 +x3 + 6x

Hicimos “la cuenta” aunque también se podría hacer el cálculo horizontal comoveremos en las respuestas de la actividad 1 de la siguiente guía


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Guía de trabajo nº 4En esta guía de trabajo aplicamos lo que trabajamos en la guía de trabajo nº 2

Actividad nº 1

Dados los polinomios:P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(x) + Q (x) =

2) P(x)− U (x) =

3) P(x) + R (x) =

4) 2P(x) − R (x) =5) S(x) + T(x) + U(x) =

6) S(x)− T(x) + U(x) =

¡El primero ya está hecho!

Respuestas (con reflexiones incluidas):

1) P(x) + Q (x) =

= (4x2

− 1) + (x3

− 3x2

+ 6x − 2) == x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x− 3

¿Se fijaron en que en cada renglón colocamos un “=” al principio y al final salvo en elúltimo porque contiene el resultado?


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Esta es una manera convencional de escribir los cálculos que mostramos aquí para seacostumbren a hacerlo así. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegaral resultado final correcto sino también de la forma de expresar el modo en el quearribamos a ese resultado.

2) P(x) − U (x) =

Esta es una resta que vamos a resolver haciendo “el cálculo” en vez de “la cuenta”

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 = (observen que al quitar el paréntesis se han producido cambios enlos términos de U(x), esto se debe a que debe restarse)

= 3x2 − 3

3) P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x− 1 + 1 =

= 10x2 + x

4) 2P(x)− R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

En este caso aparece una constante (el número 2) que multiplica a P(x). Igual que conlos números, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en términosantes de empezar.

Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarán)se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva:

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

Aquí hicimos dos pasos en uno:

Multiplicamos P(x) por 2 y Quitamos los paréntesis con lo cual cambian los signos en el segundo

polinomio debido a que estamos restando

= 2x2

− x − 35) S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x2 + 11


27/107

26

6) S(x)− T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4− 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1


28/107


29/107


30/107

29

x = 4 ó x = -4

Ya que cualquiera de estos dos números elevados al cuadrado dan 16

b) x = 3

c) x =2

1 ó x=2

1−

d) x = 2 ó x= -2


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30

Guía de trabajo nº 6

Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones queplantea cada ejercicio de la guía de trabajo nº 4 del Bloque 1, pero a veces las cosaspueden ser más complejas:

Actividad 1Encuentren el valor de la variable x para que el valor numérico de R(x) = 6.x2 + xsea 1

Respuesta

Al principio procedemos de la manera habitual:

6.x2 + x = 1

Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuación no puede resolverse

fácilmente mediante la radicación.Recordemos:

La fórmula

Permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática en la que el segundomiembro es cero:

Una ecuación cuadrática puede llevarse a esta forma operando en ambos miembrosconvenientemente

Recordemos que las “raíces” o “ceros” son los valores de x para los que y se hacecero, en otras palabras las raíces son los valores de x para los que el valor numéricode un polinomio Y(x) de grado 2 es cero. Se trata de una fórmula para resolver“ecuaciones cuadráticas igualadas a cero”

¡Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!

6.x2 + x = 1

Lo único que pasa es que el valor numérico es 1 en vez de cero, pero eso se puedearreglar restando 1 a cada miembro:

6.x2 + x - 1= 0


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31

Ahora podemos usar la fórmula para averiguar los valores de x, solamente hay querecordar quiénes son a, b y c. Para ello les damos algunas pistas:

a es el coeficiente del término cuadrático (con su correspondiente signo), eneste caso: …………….

b es el coeficiente del término lineal (con su correspondiente signo), en estecaso: …………….

c es el término independiente, en este caso: …………….

Una vez que hayan realizado los cálculos correspondientes van a obtener dossoluciones para esta ecuación:

x=21− y x=

31

Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numérico 1 cuando x =21− ó

x =3

1 .

Compruébenlo reemplazando ambos valores en la expresión original de R(x)


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32


Problemas Resueltos

Al resolver los siguientes problemas planteando ecuaciones, además de repasar laresolución de las mismas, están preparándose para la guía siguiente, así que a

trabajar mucho y con confianzaLa idea es que lean las soluciones propuestas y que conversen grupalmente tratandode interpretar lo que se hace, proponiendo otras formas de resolver y anotando lasdudas para consultar

En términos generales se tomaron problemas que se resuelven con números enteros yracionales que ya conocen

Posteriormente les presentamos algunos ejercicios en el Trabajo Práctico nº 4 paraevaluar si pueden resolverlos de forma autónoma

Vamos a trabajar:

1) Javier y Felipe tenían deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron susrespectivos sueldos y pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $967 y aFelipe $ 1409. ¿Cuánto cobró de sueldo cada uno?

Solución

El problema pide calcular los sueldos que no conocemos.

Vamos a llamar j al sueldo de Javier y f al de Felipe

Es obvio que a cada uno de esos sueldos hay que restarle las deudas y el resultado

será lo que le queda a cada uno:Para Javier:

(*) J – 750 = 967

Para Felipe

(∆) F – 750 = 1409

Se trata de dos ecuaciones muy fáciles de resolver, pero antes fijémonos que asícomo están planteadas las cosas se puede saber quién tiene el mejor sueldo ¿Quiénes? ¿Por qué?

Ahora si: para calcular el sueldo de Javier resolvemos (*)

J – 750 = 967

J = 967 + 750

J = 1717

Y para calcular el de Felipe resolvemos (∆)


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33

F – 750 = 1409

F = 1409 +750

F= 2159

Respuesta (en todos los problemas siempre es conveniente escribir la respuesta a lapregunta)

Javier cobró $1717 de sueldo y Felipe $2159

2) Si un buzo estaba a –60 metros y ahora está a – 28 metros. ¿Ascendió odescendió? ¿Cuántos metros?

Solución

Este es un problema en el que el planteo de una ecuación resulta un poco engorrosopara lo que es el problema.

En casos como este podemos usar un razonamiento matemático que no tenga que vercon ecuaciones sino con cuestiones geométricas que nos lleven a la solución.

Supongamos que de un bote se deja caer una soga de 60 m hacia abajo.

El buzo se encuentra primero a -60 metros, esdecir a 60m por debajo de la superficie.

Luego está a -28 metros es decir a 28 m del

nivel del agua, esto quiere decir que debe habersubido, por lo tanto ya estamos en condiciones deescribir la respuesta.

Pero antes pensemos: -28 ¿es un númeromayor o menor que -60? Al contestar esta pregunta

estamos dando la razón por la que la respuesta es:

Respuesta

El buzo ascendió 32m

3) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partesdel precio mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan así a cubrir el precio total¿cuánto cuesta la enciclopedia?

Solución

Llamaremos X al precio de la enciclopedia


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34

Ana aporta las dos terceras partes de X

x32

Ariel agrega $149,45 y se cubre el total X

x x =+ 45,14932

Resolvemos restando x32 en ambos miembros:

x x32

45,149 −=

x31

45,149 =

Ahora dividimos ambos miembros por31 (o, lo que es lo mismo multiplicamos por 3):

x=45,149.3

35,448= x

Respuesta

La enciclopedia costó $448,35

4) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo tomaun tercio de dinero y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma$500 y sólo quedan $100 para Diego. ¿Cuánto dinero había en total?

Solución

Llamemos x al total de dinero disponible

Alejo toma x31

Lo que queda es:

x x x x x32

31

33

31 =−=−


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35

De estos x32 (dos tercios del total) Bruno toma

31 :

x x92

)32

(31 =

Carlos toma $500Diego toma $100

Es decir el total x está compuesto por lo que tomó cada uno:

Alejo + Bruno + Carlos + Diego = total

x31 + x

92 + 500 + 100 = x

Resolvemos:

Primero restamos x31 en ambos miembros:

x92 + 500 + 100 = x - x

31

Operamos y restamos x92 en ambos miembros:

500 + 100 = x32 - x

92

Operamos :

600 = x94

Dividimos ambos miembros por94 o lo que es lo mismo multiplicamos por

49 :

600 .49 = x

X= 1350

Respuesta

La cantidad de dinero que se repartieron fue de $1350


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36

Guía de trabajo nº 8Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto a la adición y sustracción, además de la propiedad del producto de potencias

de la misma base.Por ejemplo:

Dados P(x)= 2.x2 +x – 3 y Q(x)= x – 2

El producto P(x).Q(x)= (2.x2 +x- 3) . (x-2) lo hallamos aplicando la propiedaddistributiva de la multiplicación. Para ello multiplicamos cada término del polinomioP(x) por cada uno de os términos de Q(x).

P(x).Q(x)= 2.x2.x + 2.x2.(-2)+x.x+x.(-2)-3.x-3.(-2)

P(x).Q(x)= 2.x3-4.x2+x2-2.x-3.x+6 (2.x2.x=2.x3 pues por producto de potencias de lamisma base los exponentes de la indeterminada x se suman y 2+1=3)P(x).Q(x)= 2.x3-3.x2-5x+6 (los términos del mismo grado se suman entre sí)

Podemos observar que el grado del polinomio producto es igual a la suma de losgrados de los polinomios factores.

Es decir: gr[P(x).Q(x)]= gr(P(x))+gr(Q(x))

gr(P(x))= 2

gr(Q(x))= 1

gr[P(x).Q(x)]= 2+1 = 3

Otra forma de realizar la multiplicación es disponiendo los polinomios, ordenados ycompletos, tal como lo hicimos para la suma y la resta:

2.x2 +x – 3

. x-2

Según esta disposición comenzaremos a multiplicar por el término de grado cero delpolinomio escrito en el segundo renglón, es decir, multiplicamos por -2:

2.x2 +x – 3

. x-2

-4.x2 -2.x+6

Ahora multiplicamos por el término de grado uno del segundo polinomio y vamosubicando los productos obtenidos encolumnándolos según su grado:


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37

2.x2 +x – 3

. x-2

-4.x2 -2.x+6

2.x3+1.x2 -3.x

A continuación sumamos los términos que se encuentran en una misma columna:

2.x2 +x – 3

. x-2

-4.x2 -2.x+6

+ 2.x3+1.x2 -3.x

2.x3-3.x2-5.x+6

Cualquiera de las dos formas dadas nos permite llegar al mismo resultado.

Actividad 1

Dados los siguientes polinomios:

4 3 2

3

5 3 2

3 2

( ) 4 2 1

1 1( ) 3

2 3( ) 4 2 3

2( )

3

A x x x x x

B x x x

C x x x x

D x x x x

= − + − + −

= + −

= − − +

= + − +

Se pide:

) ( ) . ( )

) ( ). ( )

) ( ). ( )

a A x B x

b A x C x

c C x D x

=

=

=

Actividad 2

Teniendo en cuenta los polinomios de la actividad anterior, se pide:

[ ][ ][ ] [ ]

) ( ) ( ) . ( )

) ( ) ( ) . ( )

) ( ) ( ) . ( ) ( )

a A x B x C x

b C x B x D x

c A x D x B x C x

+ =

− =

+ + =


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38

Guía de trabajo nº 9División de polinomios

Antes de comenzar a dividir polinomios debemos considerar algunas cuestiones:Para llevar a cabo esta operación se deben ordenar y completar los polinomios

dividendo y divisor. Recordemos que para ordenar un polinomio se tiene en cuenta elgrado de cada monomio que lo compone y se hace de mayor a menor grado.Recordemos también que para completar se agregan términos de coeficiente cero.Por último:El grado del dividendo, debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Si esto no

se cumple la división no se puede realizar.Ahora sí estamos en condiciones de comenzar a dividir.

Ejemplo 1:

Te proponemos la siguiente división:

(2x4 + 3x3- x2 –1) : (x – 2)

También la podemos escribir de esta otra forma

21-x-3x+2x 234

− x

Comencemos:

El polinomio dividendo ya está ordenado pero incompleto, lo completamos con 0x,entonces:

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2

Ahora si estamos en condiciones de dividir.

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2

Recuerden que cuando dividimos potencias de igual base se restan los exponentes, yesto es lo que estamos haciendo al dividirx4 con x por lo tanto 2x4 : x es igual a 2x3

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 22x3

1 )

.

2 )

. E

, .

( 2)

.

D D


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39

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3

7x3

Ahora “bajamos” el término siguiente, y repetimos el procedimiento anterior.

2x4 + 3x3 – x2 + 0x –1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3

x3 – x2

2x4 + 3x3 – x2 + 0x –1 x – 2 –2x4 + 7x3 2x3 + 7x2

7x3 – x2 –7x3 + 14x2

13x2

Repetimos el procedimiento luego de bajar 0x.

2x4 + 3x3 – x2 + 0x – 1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 + 7x2 + 13x

7x3 – x2 –7x3 + 14x2

13x2 + 0x –13x2 + 26x

26x

Por último, bajando el –1…

2x4 + 3x3 – x2 + 0x – 1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 + 7x2 + 13x+26

7x3 – x2 –7x3 + 14x2

13x2 + 0x –13x2 + 26x

26x – 1 –26x + 52

51

.

(

)

3 ) D 73

.

4 ) 72

2

.


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40

No podemos seguir dividiendo ya que el grado del resto es menor que el gradodel divisor. A propósito ¿cuál es el grado del resto?...........................................................................................

Por último el resultado de dividir

2

1-x-3x+2x 234

− x

es 2x3 + 7x2 + 13x+26 con un resto de 51.

Ahora sabemos que x– 2 no es divisor de 2x4 + 3x3 – x2 – 1 ¿por qué?

...........................................................................................................................................

.............

...........................................................................................................................................

.............

...........................................................................................................................................

.............

Otra forma de hacer esta misma división

Las divisiones en las cuales el divisor es un BINOMIO DE PRIMER GRADO con elcoeficiente principal igual a uno, se pueden resolver por la regla deRUFFINI.Construimos un cuadro como el siguiente y en el cuadrante superior derecho vamos acolocar los coeficientes del dividendo,ORDENADO Y COMPLETO

2 3 –1 0 –1

2 3 –1 0 –1

2

Bien, ahora que sabemos cómo armar el tablero comenzamos a aplicar la regla.

.(

, 2)

E

.


42/107

41

2 3 –1 0 –1

22

2 3 –1 0 –1

2 42

2 3 –1 0 –1

2 42 7

2 3 –1 0 –1

2 4 142 7 13

2 3 –1 0 –1

2 4 14 262 7 13 26

Por último:

2 3 –1 0 –1

2 4 14 26 52 2 7 13 26 51

ES CIERTO!!!!! No se equivocaron son los coeficientes del polinomio cociente y elúltimo valor es el resto

(2)

(3)

(3+4)

, 7 2

1

E

( 1)

C


43/107

42

D

. (3 2 23

)

2 3 –1 0 –1

2 4 14 26 52 2 7 13 26 51

La regla de Ruffini baja en una unidad el grado del polinomio dividendo (estamosdividiendo un polinomio de grado 4 con otro de grado 1 ), por lo tanto el resultadoquedaría:

c(x) = 2x3 + 7x2 + 13x+26 con resto 51

¿Es más fácil no?,claro que si !!!!! Pero recuerden que la regla de Ruffini solo puedeaplicarse cuando el divisor es de la formax + a ó x – a en donde “a” es un númeroreal.

Ahora vamos a resolver algunos ejercicios en donde van a utilizar el algoritmo de ladivisión y luego las van a verificar usando el método de Ruffini

Actividad 1

1) (3x3 + 4x2 + 15) : (x – 3) =

2) (–2x4 – 3x3 + 2x) : (x + 4) =

3) (x3 − 5x2 + 12) : (x −2) =

Ejemplo 2:

Sean los polinomios:

P(x) = 3x2 + 3x3 – 2 y Q(x) = 2x + 1

Realizar la siguiente división: P(x) : Q(x)

3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 12

2 x

3

D ,

.

:1) 3 2 + 13 + 39 ( )= 1322) 2 3 + 5 2 20 + 82 ( )= 3283) 2 3 6 ( )=0


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43

3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

–3x3 – 2x23 2x

23

2x23

En este van varios pasos…3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

–3x3 – 223

x 223

x + x43

223

x + 0 x

2x23− x

43−

x43

−

Último paso, bajando el –2

3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

–3x3 – 223

x 83

−+ x x43

23 2

223

x + 0 x

x x43

23 2 −−

243 −− x

83

x43 +

813−

Listo!!!! C(x) =83

43

23 2 −+ x x con R(x)=

813−

¿Van entendiendo el procedimiento?... DE A POCO Y CON MUCHA PRÁCTICA!!!!!No desesperéis. Vamos a hacer otro ejemplo, pero antes verifiquemos la divisiónanterior…

¿Cómo lo harían?...

No se apuren!!!!

¿Están tentados a hacerlo por la regla de Ruffini?

2

23

x

( ).

B 0 22

x3

2

.

D x43

− 2

.


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44

NO SE PUEDE…

Recuerden que para usar la regla de Ruffini el polinomio divisor debe ser de la forma x± a

¿Cómo se hace entonces?

Simple…

Dividendo = cociente × divisor + resto

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)

Entonces reemplacemos los polinomios y operemos

P(x) = (83

43

23 2 −+ x x ) . (2x + 1) + (

813− )

Multiplicamos (debemos utilizar propiedad distributiva) y luego sumamos

P(x) = )8

13(1

83

283

143

243

123

223 22 −+•−•−•+•+•+• x x x x x x x

P(x) = )8

13(

83

43

43

23

23

3 223 −+−−+++ x x x x x

Sumamos los términos del igual grado

P(x) = )8

13(

83

43

43

23

23

3 223 −+−−+++ x x x x x

P(x) = 233 23 −+ x x Llegamos al resultado correcto!!! Entonces... Dividimos bien!!!

Por último,

¿P(x) es múltiplo de Q(x)? ¿Por qué?….................................................................................

Ahora si…Ejemplo 3

Vamos a dividir M(x) con T(x)

M(x) = 1224 34 −+− x x x T(x) = 12 3 + x

12

12243

34

+

−+−

x

x x x

Antes de poder comenzar a dividir debemos …..………………. y …..…………………


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45

Continuemos…

En los cuadros del costado, anoten lo que hacemos en cada paso

1224 34 −++− x x x 20x 12 3 +++ 0x0x 2 x

12024 234 −++− x x x x 1002 23 +++ x x x 2x0x0x4x- 234 −++ 2x

0x0x2x 23 −+−

12024 234 −++− x x x x 1002 23 +++ x x x x x x x- 2004 234 −++ 1− x2

1−−+− x x x 002 23 1+−+ x x x 002 23

0

El resto es cero!!!! ¿Quésignifica?................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Verifiquemos:

M(x) = C(x). T(x) + R(x) pero como R(x) = 0:

M(x) = C(x). T(x)

Reemplacemos

M(x) = ( 12 3 + x ) . ( 12 − x ) "Deja Vù"!!!!! ¿Dónde vimos esto antes?Convertimos una suma algebraica en un producto...Clarooo….. es la formafactorizada del polinomio.

Multipliquemos para saber si lo división está hecha en forma correcta.

M(x) = )1(121)1(222 33 −•+•+−•+• x x x x

resolvemos


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46

M(x) = 1224 34 −+− x x x

Ahora les dejamos unos ejercicios para que resuelvan ustedes solos (o en grupo).

Actividad 2

Dividir:a) (-2x4 + 3x3 − 4x2 + 3x− 8) : (4x + 1) = b) (3x5 – 2x4 − 2x2 + x − 6) : (3x – 2) =

c) )13223

( 43 +−+ x x x : (2x–5) =

d) (7x6 – 4x4 + 6x3 + 3x5 − 8) : (x2 + 2) =e) (− 3 + 2x2 + 5x4 − 3x) : (x2 – 3) =

f) )432

12

2

3( 325 −+++ x x x x : (3x+2) =

No se olviden de verificar!!!!


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47

Guía de trabajo nº 10Algunos Casos de Factoreo

Nota preliminar

En este momento tendríamos que ver cómo hacemos para que un polinomio quedeescrito como multiplicación con el objeto de intentar simplificar.

Esto es a lo que se llama “factorear” polinomios.

Una manera de factorear es mediante los llamados “casos de factoreo” que a vecesse presentan como seis y en un orden determinado.

Probablemente ya los han visto en la escuela secundaria y nuestra intención esayudarlos a reverlos e incluir alguna otra alternativa.

Brevísima introducción al tema

Hay números y expresiones algebraicas que no aparecen escritas como unamultiplicación y sin embargo es posible escribirlas como tales.

Por ejemplo:

29 + 7 = 36 =9 . 4

O sea partimos de una suma y obtuvimos una multiplicación (como 9 y 4 son losfactores decimos que este es un posible factoreo de 36)

Del mismo modo, sabemos que

x.( 3x + 6)

es, aplicando propiedad “distributiva”

3x2 + 6x

pero si “pensamos al revés”

3x2 + x = x.( 3x + 6)

A este polinomio de grado 2 lo hemos escrito como una multiplicación y diremos porello que lo hemos factoreado (pasamos de la forma aditiva a la forma multiplicativa)


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48

a) Factor común

Así como en los números

30 + 21 =3 . 10 +3 . 7 = 3 . ( 10 + 7 )

(Observen que el factor 3 está presente en los dos términos, por eso se le dice factorcomún)

Podemos escribir

2.x + 3.x4 =

Como

2.x + 3.x .x.x.x = x.( 2 + 3.x.x.x ) = x.(2 + 3x3 )

Ya factoreamos, nos quedó:

2.x + 3.x4 = x• ( 2 + 3x3 )

(Si quisiéramos, podríamos verificar el resultado aplicando “distributiva”)

Otro ejemplo:

x3 + 2 x2 = x . x . x + 2 . x . x = x.x .( x + 2 ) = x2.(x +2) Si usamos además propiedadconmutativa yasociativa de lamultiplicación

Luego:

x3 + 2 x2 = x2 • (x +2)

Puede darse el caso de 2 ó más factores comunes, por ejemplo:

6 x2 – 10 x3 = 3.2x2 – 5 . 2x2. x = 2x2.(3 – 5x)

6 x2 – 10 x3 = 2x2.(3 – 5x)

Ejemplo de un caso frecuente

-2x3 – 4x2 = -2x2.(x + 2)

También podríamos factorear de otra forma:


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49

-2x3 – 4x2 = 2x2.(-x - 2) (¿Dudan?: distribuyan....)

Ambos resultados son correctos

Ejercicios

Expresar, si es posible, como multiplicación:a) 4x3 + 6x2 – 10xb) 2x4 – 2x3 + x2 c) 8m3 – 12m2 + 4m – 1d) 18p4 + 12p3 – 12p2 + 6p

b) Diferencia de cuadrados

Este caso es muy sencillo y solamente veremos la forma en la que se realiza elfactoreo

a2 – b2 = (a – b). (a + b)

También pueden comprobar la validez de este caso mediante la propiedad distributiva.

(¡qué creatividad para darle nombre! “Diferencia de cuadrados”)

a2 – b2

“a – b” y “a + b” son binomios “conjugados”(como habrán advertido “a” y “b” son lasbases de los cuadrados)

Así, por ejemplo:

x2 – 9 = (x – 3 ). (x + 3)

Otro ejemplo:

x2 - 14

= ( x - 12

) . ( x + 12

)

Otro más:

25 – x2 = .......................


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Actividad 1

Expresar, si es posible, como multiplicación:

a) x2 – t2 b) x4 – 81c) 1 – x2 d) t2 + 4e) x2 – 2

c) Trinomio cuadrado perfecto (tcp) / cuadrado de un binomio

Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene una expresión llamada TRINOMIOCUADRADO PERFECTO (TCP):

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a - b)2= a2 – 2ab + b2

Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el polinomio

x2 + 6 x + 9

Como:

x2 + 6 x + 9 = x2 + 2.3.x + 32

En la última expresión se advierte que el polinomio es un TRINOMIO CUADRADOPERFECTO, es decir que proviene de elevar un binomio al cuadrado.

Luego:

x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2

Como es muy sencillo pasemos a resolver algunos

Actividad 2


a) x2 + 10x + 25b) x2 – 2x +1

c) x2 + x + 14

d) x2

– 6x + 18e) 9 + x2 – 6x

d) Cuatrinomio cubo perfecto (ccp) / cubo de un binomio

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un polinomio que se denominaCUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CCP):


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(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 y (a - b)3 = a3 - 3 a2 b + 3 a b2 - b3

Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el polinomio

x3 – 3x2 + 3x – 1

Como:

x3 – 3x2 + 3x – 1 = x3 + 3.x2.(-1) + 3. x.(-1)2 + (-1)3

Que, como se ve, es un ccp

Luego:

x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x –1)3

Actividad 3

Expresar, si es posible, como multiplicación:a) x3 + 6x2 + 12x + 8b) y3 – 3xy2 + 3x2y – x3

c) x3 – x2 + 13

x - 127

d) x3 + 3x2 + 3x – 1


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Guía de trabajo nº 11Factoreo por raíces.

Todos los polinomios tienen – al menos – una raíz y pueden escribirse como elsiguiente producto:

P (x) = (x – raíz) . Q (x)

Como se darán cuenta, Q(x) es el cociente de dividir

Q(x) = P(x) : (x – raíz)2

Este cociente que se puede obtener mediante la regla de Ruffini (¿Por qué?).............................

a) Ejemplo 1

Supongamos que queremos factorear x3 – 1.

x= 1 es una raíz de ese polinomio (¿por qué?)

Entonces, según lo anterior

x3 – 1 = ( x – 1 ) . Q(x)

Siendo Q(x), como se dijo, el cociente de (x3 – 1) : (x – 1) (que, como también se dijo,podría hacerse mediante la regla de Ruffini)

Realicen la división:

Obtendremos:

x3 – 1 = ( x – 1 ) . (x2 + x + 1)

Como se ve, hemos podido factorear x3 – 1

Nota: En rigor, todo polinomio puede escribirse como

P(x) =a .(x –r1) (x –r2) (x –r3) … (x –rn)

siendo “a” su coeficiente principal yr1, r2, r3,... rn las n raíces que admite un polinomiode grado n. Nosotros trabajamos sólo con raíces reales.

b) Otro ejemplo

2 , 28 = 4 . = 7 = 28 : 4

.


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Ya sabemos como obtener las raíces de

x2 – 5x + 6

¿Cómo?

Si procedemos según lo anterior nos quedará...

¿ y si también lo hacen ustedes? (no sean tan confiados, pudimos equivocarnos)

x2 – 5x + 6 = (x-3).(x-2)

Fíjense que 2 y 3 son las dos raíces del polinomio.

Actividad 1


a) x2 + 3x – 4b) –3x2 + 12

c) x3 + 8d) x4 – 1

e) x5 + 132

Reflexiones interesantes

Si miramos bien, los casos de factoreo los podríamos haber omitido y habernosquedado sólo con esto de las raíces porque, por ejemplo:

4 – x2 tiene a x=2 como raíz

Entonces

4 – x2 = (x – 2 ) . ......

O también:

x4 – 1 se puede pensar como una diferencia de cuadrados, ¿no?

En conclusión tienen la posibilidad de aplicar los casos de factoreo ó esta propiedadde las raíces de un polinomio para pasar de la forma aditiva a la multiplicativa.Manéjense como mejor les parezca. Quizá lo mejor sea hacer un “mix” según elpolinomio a factorear.


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Actividad 2

Ejercicios para ponerse a prueba

a) 2x3 – 18xb) x3 - 6x2 + 12x - 8c) x4 - 16d) –x2 – 8x – 16e) 3x2 + 3ax + ax2 + a2x

f) 12

x2 + 2x - 212

g) 4x – 16x3


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Guía de trabajo n°12

Actividad 1

Una lectura con poco para hacer

Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valoresnuméricos de acuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimospero ustedes saben que un polinomio podría tener más de una variable, pero no seasusten que no es de eso de lo que queremos hablarles).

Se puede establecer una relación entre los valores de las variables y el valor numéricoque adquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2):

Si P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

P(10)= 6571

P(2) = 83P(7) = 2353

P(15) = 21481

Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un único valornumérico de P(x):

x P(x)10 65712 837 255315 21481345

Completen la tabla.

Esto significa que existe unafunción que relaciona cada x con un único valornumérico

Si llamamos “y” a los valores numéricos del polinomio para cada x la tabla queda comohabitualmente, solamente hay que considerar entre qué valores puede encontrarse elvalor de x y el tipo de número que puede ser es decir el “dominio” de la función. Porejemplo si x solamente puede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio dela función sería el conjunto de números Naturales:

D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}

Además el conjunto imagen está formado por los valores que puede adquirir la y, eneste caso (complétenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):


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I = {83, .......................................................

En este Módulo curso de ingreso trabajaremos con funciones lineales y cuadráticas.


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BLOQUE 3: Funciones - Función Lineal

Introducción:

En este bloque, trabajaremos en el estudio de las funciones en general y

comenzaremos a recordar, en particular, a la función lineal.Se volverán a familiarizar con conceptos como dominio, imagen, conjuntos de ceros,de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, ordenada alorigen, pendiente así como también con el análisis e interpretación de gráficos, perono se preocupen si les parece que no se acuerdan de nada, solamente ocúpense y recuerden que no están solo en este desafío.

I - Funciones

Las funciones son relaciones que nos permiten describir situaciones de la vida diariay de diversas ciencias, incluyendo a la matemática, para luego poder analizarlas einterpretarlas. En la primera parte de este bloque trabajaremos con la noción defunción y estudiaremos algunas de sus propiedades a partir de sus gráficas y tablas.

En la segunda parte nos ocuparemos particularmente de la función lineal.

Guía de trabajo nº1

Pongamos en práctica nuestra capacidad para interpretar gráficos

Actividad 1

El gráfico muestra la evolución del peso medio de un varón y una mujer en losprimeros 15 años de su vida. Analizando el gráfico respondan:

(a) ¿Cuáles son las variables serelacionan?

(b) ¿Cuál fue el peso del varón a los 5años?

(c) ¿Cuál fue el peso de la mujer a los10 años?

(d) ¿A qué edad el varón peso 35 kg?(e) ¿A qué edad la mujer peso 45 kg?(f) ¿Entre qué edades la mujer pesó

más que el varón?(g) ¿Aproximadamente a qué edades

ambos pesaron lo mismo?

Actividad 2

Este gráfico muestra las variaciones en el nivel normal de un lago argentino durante unaño. El eje de abscisas (¿cuál será?) representa el nivel considerado normal del lago


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Observen el gráfico para responder:

(a) ¿En qué meses estuvo por encima de su nivel normal?(b) ¿En qué meses estuvo por debajo de su nivel normal?(c) ¿En qué mes/es mantuvo su nivel normal?(d) ¿Cuál fue la variación de nivel que tuvo en todo el año? Para calcularlo,

tengan en cuenta el pico máximo y el mínimo de altura alcanzada por ellago.

(e) Si el aumento del nivel fue producido por grandes lluvias, ¿en qué estacióndel año ocurrió?

(f) ¿En qué mes se produce el mayor aumento de nivel?(g) ¿En qué mes se produce la mayor disminución de nivel?(h) ¿Cuánto metros disminuyó el nivel entre abril y junio?(i) ¿Cuántos metros aumentó el nivel en febrero?(j) ¿Durante cuántos meses disminuyó el nivel?(k) ¿Durante cuántos meses aumentó el nivel?(l) ¿Durante cuántos meses se mantuvo igual el nivel?

Ahora empecemos a trabajar con funciones y sus características:

En este tema se han incluido algunas “claves” teóricas en recuadros como el siguiente,es importante que las tengan en cuenta a la hora de estudiar

Por si no se acuerdan,una función es una relación entre dos variables, en lacual, a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.Para cada valor de x debe corresponderse un único valor de y.


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Actividad 3

a) Indiquen cuáles de los siguientes gráficos representan funciones.

b) Indiquen si las siguientes tablas corresponden o no a una función. Justifiquen susrespuestas en cada caso.

a) Indiquen el dominio y la imagen de las siguientes funciones teniendo en cuentaque el lado de la cuadrícula representa una unidad.

, .

,


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II - Función LinealLas funciones lineales aparecen en muchas situaciones de la vida cotidiana, laeconomía, la física, etc.; y suelen ser el punto de partida para el estudio de otrasfunciones.

En esta segunda parte del bloque analizaremos juntos los conocimientos adquiridos,específicamente sobre las características principales de dichas funciones y laspropiedades que tienen sus representaciones, mediante gráficos, tablas de valores yfórmulas.También aquí se han colocado algunos recuadros con datos útiles para estudiar yguiar las consultas que necesiten realizar

A trabajar entonces…


Actividad 1

Un técnico aeronáutico, en el año 1995, cobraba por cada reparación que realizaba unvalor fijo de $15 y un adicional proporcional al tiempo que le insumía su trabajo, quecalculaba tomando como parámetro $10 la hora.

(a) Completen la tabla y encuentren la fórmula de la función que relaciona elcosto C de un trabajo y el tiempo t (en horas) que le demanda hacerlo(c(t)).

Tiempo(h) 0,5 1 1,5 2 3 4

Costo($)

(b) Representen gráficamente la funciónc(t).(c) ¿Cuál será el costo de una reparación que le requirió 5 horas de trabajo?(d) ¿Cuántas horas trabajó en un arreglo que cobró $75?

Recordemos que:

Una función f es lineal si tiene una expresión de la forma:

f (x) = m x + b

Dondem y b son dos números fijos y si m = 0 nuestra función sería constantee igual a b

La gráfica de una función lineal es, por supuesto, un conjunto depuntos que están sobre una recta.

Sabemos que la gráfica de una funciónf son los puntos(x; y)del planocartesiano que verificany = f(x).

Por lo tanto los puntos de la gráfica de una función lineal verificanf (x) = m x + b


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Actividad 2

Decidan si cada una de las siguientes fórmulas puede corresponder o no a unafunción lineal:

Actividad 3

a) Completen la siguiente tabla:

Fórmula de la FunciónLineal Pendiente Ordenada al Origen

150 −= x x f ,)( x x g 33.)( =

..................)( =x h 1 0

..................)( =x h 0 1( )532 −= x x f )(

23 ........)( += x x g

Función ¿Es función

Lineal?Función ¿Es función

Lineal?23 += x y x y += 312 )(: x y 54= x y 827 =+

23 =x 23x y =

x y 31= 23 3 += x y

350 += x y , 23 −=x

Información útil:Para obtener la pendiente ̀ m´, es necesario utilizar la siguiente fòrmula:

Donde (x1;y1) y (x2;y2) son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta

Si m = 0, f es una función constante: f(x) =b

Si m≠ 0, f es una función lineal: f(x) = mx + b

El término independiente `b´ es la ordenada al origen, siendo el punto deintersección con el eje de ordenadas.


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−1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

b) Completen la tabla de valores y representa en el plano cartesiano cada una delas siguientes funciones lineal

(a) y = x + 2 (b) y = -x +1 (c) y = 2/3x – 1

X Y-201

X Y-402

X Y-303

c) Marquen con una cruz los puntos que pertenecen a cada recta. Justifiquen susrespuestas mediante cálculos.

(a) ( ) x x f 21

−= P = (0;3) Q= (0;0) R= (-4;2)

(b) ( ) 214 −= x xg P = 08

1 ; Q= 911; R= 210;

Actividad 4

1) Observen la gráfica de la funciónf.

(a) Escriban las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica def. (b) ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones representa la relación entre la

x y la y ?


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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

(c) ¿Cómo se podría obtener la pendiente de la recta graficada a partir de lascoordenadas de dos de sus puntos?

2) Calculen la pendiente de cada una de las siguientes rectas graficadas.

(a) (b)

(c) (d)

I. 1832 =+ x y II. 923 +−= x y

III. 096 =− x y IV. 169

=+ x y


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Otro tema “pendiente”

Actividad 1

a) En cada fila de la siguiente tabla se indican dos puntosA y B de una recta, y supendiente m . Completen la tabla y luego representen cada recta en el planocartesiano.

A = (x1; y1) B= (x2; y2) m

N (2;5) (-1;0)

R (-3;2) (0;-4)

T (2;4) (-3;…..) 1

Q (…..;1/2) (8;1) 3/2

S (-2;3) (2;5)

V (-8;…..) (1/2;5) 0

Recordemos que…

Si los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dospuntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tenerla misma pendiente. O sea

y

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:


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BLOQUE 4: Función Lineal II

Introducción

En este bloque les proponemos continuar con el análisis de la función lineal,estudiando su fórmula y gráfico, las posiciones relativas de dos rectas en el plano

Al principio aparece ejercitación para revisar lo trabajado anteriormente, para luegocontinuar con actividades que les permitirán repasar algunos otros conocimientos.

Algunos de los ejercicios que pensamos, serán un desafío para esta etapa de revisióny de volver a acercarse a la matemática. ¡Cuentan con nosotros para esto! Haremosciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas que lesservirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con elgráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que puedentener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.


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Actividad 1

a) Una recta contiene a los puntose=(-2;-4) y f=(1;5). ¿Cuál es su pendiente?Pueden representar los puntos e y f en un sistema de ejes cartesianos para pensar turespuesta desde el gráfico.

b) La rectaH tiene pendiente0,5.

1)¿Puede contener a los puntos(7;3) y (-5;-3)? ¿Por qué?Ayuda:Recuerden la fórmula que trabajamos en el bloque anterior para calcular lapendiente de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella.

2)Si su ordenada al origen es 2, ¿contiene al punto(4;5)? ¿Por qué?

2) La rectaP tiene pendiente2 y contiene al punto(1;1). ¿Cuál es su ordenada alorigen?

3) Escriban la ecuación de la rectaD que tiene pendiente-0,5 y contiene al punto(0;5). Verifiquen la respuesta gráficamente.

4) Escriban la ecuación de la recta que contiene a los puntos(-2;-3) y (4;-5).Verifiquen la respuesta gráficamente.

5) Calculen la pendiente y luego hallen la ecuación de la recta que pasa por lossiguientes puntos.

(a) p= (2;3) y q = (5;2) (b) p = (1/2;1/4) y q = (3/4;1/2)

(c) p = (-1;3) y q = (2;-5) (d) p = (-2/3;0) y q = (-1;4/5)

6) Representen cada una de las siguientes rectas en un sistema de ejescartesianos, teniendo en cuenta valor de su pendiente y el de su ordenada alorigen.

(a) ( ) 321

−= x x f

(b) ( ) x xg −= 1 (c) ( ) 2+= x xh (d) ( ) x xi 23 −=

Para una mejor interpretación de las siguientes consignas, diremos (comohabitualmente se hace) que:

y = mx + b es la ecuación general de una recta en la quem es la...................................y b es la ................................................................. .


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Guía de trabajo nº2A continuación, les proponemos trabajar sobre las posiciones relativas de dos rectasen el plano y la relación que existe entre esas posiciones, las fórmulas de funcioneslineales y sus representaciones gráficas.

Actividad 1

Representen en un mismo sistema de ejes cartesianos las rectas que tienen lasecuaciones indicadas. Deberán hacer un gráfico para las rectas del grupo(a) y otropara las del (b).

(a)

(b)

i) Observen el gráfico de las rectas(a) ¿Cuálesson las posiciones relativas de las rectas y1 e y2? ¿Y cuál es para y3 e y4?ii) Realicen el mismo análisis que hicieron con las funciones del punto anterior

con las funciones del grupo(b).iii) Comparen las ecuaciones de cada par de rectas tratando de establecer

alguna relación entre su posición relativa y alguno de los valores de sufórmula.

¿Ya se acordaron? ¡Claro!

Anotemos para no olvidarnos:

Las rectas paralelas tienen.......................................................................................

En cambio las rectas perpendiculares tienen..................................................................

421

42

4

4

4

3

2

1

+−=

+=

−=

+=

x y

x y

x y

x y

42

12

2

32

4

3

2

1

−−=

+−=

=

−=

x y

x y

x y

x y


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Actividad 2

En esta actividad tienen oportunidad de poner a prueba sus conocimientos

1)Encuentren rectas paralelas y rectas perpendiculares entre este grupo de funcioneslineales.

4)( +−= x xa 24)( −= x xb 431

)( +−= x xc 523

)( += x xd

432

)( +−= x xe x x f −=)( 625,0)( −= x xg 21

31

)( −−= x xh

2)Unan los pares de rectas perpendiculares entre ambas columnas.

35,0: += x y A 73

1:

+= x yF

52: += x y B 35: +−= x yG

83: −−= x yC x y A31

: −=

751

: −−= x y D x y I 5: =

32,0: −= x y E x y J 2: −=

3)Hallen las ecuaciones de las rectas que cumplen con las condiciones pedidas encada caso.

(a) R es paralela a 32 −−−−==== x y y pasa por (((( ))))38 .(b) S es paralela a 63 ++++==== x y y pasa por (((( ))))06 .(c) W es perpendicular aR y pasa por el origen de coordenadas.(d) T es perpendicular a 2

43

++++−−−−==== x y y (((( ))))02−−−− .


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BLOQUE 5 - Función cuadrática

Introducción

En este bloque les proponemos analizar la función cuadrática: sus elementos,fórmulas y representación en el plano cartesiano.

Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticasque les servirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con elgráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que puedentener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.


Función Cuadrática

“Las funciones cuadráticas permiten construir modelos de situaciones referidas adistintas áreas como la Física, la Biología, la Economía, la Astronomía, laComunicación y la Geometría, entre otras. En la Antigüedad, los griegos, desde antesde Euclides (330 – 275 a.C.), resolvían ecuaciones cuadráticas basándose en unmétodo geométrico donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos. En el Siglo XVII,luego Johannes Kepler (1571 – 1630) expusiera las leyes que rigen los movimientosde los planetas, los astrónomos descubrieron que las órbitas de los planetas ycomentas respondían a modelos cuadráticos.”3

Actividad 1

En el cuadrado ABCD de 10 cm de lado, que muestra la figuradibujado a escala, se marcan los puntos P, Q, R y S a 1 cm delos vértices, como lo indica la figura.

3 . B C , , A . .E . B A 2005.


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Observen que queda determinado otro cuadrado PQRS yademás cuatro triángulos rectángulos en los que sus catetosmiden 9 cm y 1 cm.Si quisiéramos calcular su área, un posible planteo sería.

Área ABCD – 4. Área APS = Área PQRS82

29.1

.410.10 =−

(a) Calculen el área del cuadrado interior si los puntos P,Q, R y S están a 2 cm de A, B, C y D, respectivamente yvuelquen su resultado en la tabla.

(b) Repitan el procedimiento para las distintas medidasque figuran en la tabla y complétenla

(c) ¿Fue necesario realizar todos los cálculos o mientrasla completabas pensaste en alguna regla para calcularlos?

(d) Vuelquen la información en un sistema de ejescartesianos para obtener un gráfico.(e) Comparen el gráfico con los de otros compañeros.Escriban aquello que consideren distinto o parecido a loque hicieron.

(f) A partir de las diferencias y similitudes que notaron,elaboren una conclusión grupal.

Es importante que respondan las siguientes preguntas:

i. ¿Se trata de una función lineal o es una curva?ii. ¿Cuál es el dominio de la función?

Si pensáramos al problema más allá de la distancia podríamos preguntarnos:iii. ¿Si el dominio se extendiera al ∞+ , las imágenes seguirían siendo positivas?iv. ¿Qué ocurriría con el gráfico si el dominio se extendiera a∞− ?v. Realicen el gráfico considerando el dominio ( ∞− ; ∞+ ).

La curva que queda representada que corresponde a la Función Cuadráticarecibe el nombre de ………………..

(g) Si pensamos en una fórmula que permita modelizar este problema. ¿Cuáles delas siguientes fórmulas permiten calcular el área del cuadrado interior para cualquierdistancia x? pueden utilizar como referencia el planteo del principio del ejercicio.

Distanciaa

A, B, C y

D

Área delcuadrado

interior

0 100

1 82

2

3

4

5

6

7

8

9

10


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Continuaremos con el estudio de esta función usando esta fórmula general. Para elloresuelvan las siguiente actividad

Actividad 2

1) Completen los siguientes cuadros distinguiendo los distintos coeficientes.

Fórmula a b C

x x x f ++−= 226 )(

2580 t t t h −= )(

Fórmula a b C

= )( xg -1 0 4

= )( t s 2 1 -3

2) Consideren la función 2)( x x f =

(a) Calculen: )( 4− f ;

31 f ; )( 7 f

(b) Indiquen, si es posible, los valores de x para los cuales:

I. 100= )( x f

II. 5= )( x f

III. 4−= )( x f

( ) 2100 x x A −= ( ) 100202 2 +−= x x x E

( ) ( )2

.10.4100

x x x D

−−= ( ) ( ) x x f −−= 10.2100

( ) 24100 x xC −=

Formalizamos:La fórmula general de una función cuadrática es:

( ) cbxax x f ++= 2 Donde a , b y c son números reales (con la condición de que a sea distinto decero ¿por qué?) a los que, como habitualmente lo hacemos, llamaremoscoeficientes .


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3) Completen la siguiente tabla de valores reemplazando en la fórmula de lafunción los distintos valores propuestos para x y luego ubiquen esos puntos enun sistema de ejes cartesianos y únanlos para trazar una gráfica.

32)( 2 −+= x x x f

A partir del gráfico que realizaron, respondan las siguientes preguntas:

(a) ¿Qué curva representa el gráfico de dicha función?(b) ¿Cuáles son las coordenadas de sus raíces?(c) ¿Pueden identificar en el gráfico un “máximo” o “mínimo”?

Escriban sus coordenadas y distínganlo en el gráfico con un color.(d) ¿Cuáles son las coordenadas de la ordenada al origen?

Distíngala en el gráfico usando un color. Para lograrlo, recuerden que eneste punto el valor dex siempre es cero.


Actividad 1

Tracen el eje de simetría de la parábola del ejercicio 3) de la actividad 2 de la gía detrabajo anterior y escriban cómo debería ser la ecuación de esa recta

Información importante

Para continuar con el estudio de la Función Cuadrática necesitamos tener en cuentalas siguientes fórmulas que nos ayudarán a encontrar los elementos de la función conlos que ya estuvimos trabajando.

Raíces de la parábola :

acabb

x2

.422,1

−±−=

Esta fórmula les permitirá hallar las coordenadas x de las raíces de la función

x f(x)-3-2-101

Elementos de una parábola:Al punto que es máximo o mínimo de una función cuadrática lo denominaremosVértice de la Parábola . Por este punto que, reiteramos, será el máximo o mínimo dela función, si trazamos una recta vertical que pase por su coordenada en x, quedarádefinido un eje que denominamosEje de Simetría.


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cuadrática (es decir los puntos en los que corta al eje x). Esta fórmula ya lautilizamos antes en la guía de trabajo nº 6 del bloque 2.

Recuerden: las raíces tendrán como coordenadas:( )0;1 x y ( )0;2 x

Vértice de la parábola :

ab

xv 2

−=

Esta fórmula les permitirá calcular la coordenada x del vértice de unaparábola. Para hallar la coordenada sobre el eje de ordenadas (yv) del vértice,deberán reemplazar el valor de v x en la fórmula de la función cuadrática dada.Recuerden: el vértice tendrá como coordenadas:( )vv y x ; .

Eje de simetría:

Es la recta que tiene por ecuación vxx =

. Ordenada al origen:

Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y. Decimos que es el puntoque tiene como coordenadas: );( c0 . ¿Qué coeficiente es c?

Concavidad:

Si el coeficiente “a” (coeficiente principal o cuadrático), es un número positivo,la parábola tiene sus ramas orientadashacia…………………………………………………

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad positiva.

Si la función tiene concavidad positiva, su vértice será su punto………………………….

Si el coeficiente “a” es un número negativo, la parábola tiene sus ramasorientadas hacia ………………………

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad negativa.

Si la función tiene concavidad negativa, su vértice será su punto………………………...

Actividad 2

Para poner en práctica las fórmulas anteriores, resuelvan los siguientes ejercicios.Recuerden que, como ya lo destacamos, las fórmulas requieren que distingan los trescoeficientes en cada función.


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1) Completen el siguiente cuadro calculando los elementos pedidos:

Función a B c Raíces Vértice Eje deSimetríaOrdenada al

Origen

22 +−= x x f )(

142 2 −+= x x xg )(

542 −−= x x xh )(

2) Para cada una de las siguientes funciones:

x x x f 42 +−= )( x x xg 42 +−= )( 122 +−= x x xh )(

322 −+−= x x xm )( 62 −+= x x xt )( 2

2

1 x xs −= )(

(a) Indiquen los valores de los coeficientes a, b y c.(b) Representen cada una de estas funciones en un sistema de ejes

cartesianos, calculando sus elementos:i. Raícesii. Vérticeiii. Eje de simetríaiv. Ordenada al origen

3) Tracen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funcionescuadráticas. Calculen en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenadaal origen de cada una de las parábolas. ¿Se comprueba lo recuadradorespecto de la concavidad en cada una de ellas?

22 +−= x x x f )( 25

42 2 −+= x x xg )( 12123 2 +−= x x xh )(

x x xi27

21

5 2 +−−= )( 241

411

23

x x x j −+−= )(


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Guía de trabajo nº 3A partir de ahora, estudiaremos las distintas modificaciones que puede sufrir unaparábola en su gráfico teniendo en cuenta las variaciones en su fórmula. Lasactividades que siguen, requieren atención para poder distinguir estas modificaciones,aunque suponemos que las notarán ni bien se pongan a trabajar. ¡Buena suerte ybuen ojo!Actividad 1

Papel que cumple el coeficiente “a” en la función 2axy =

Realicen el gráfico, en un mismo sistema de ejes cartesianos, de las siguientesfunciones cuadráticas.

2 x x f = )( 2 x xs −= )( 221

x xt = )(

22 x x p = )( 22 x xk −= )( 243

x xq = )(

Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores dexpara las seis fórmulas, así como ésta:

X 2 x x f = )( 22 x x p = )( 2 x xs −= )( 22 x xk −= )( 221

x xt = )( 243

x xq = )(

-2

-1

0

1

2

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:

La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las

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