Modulo I: Oscilaciones (9 hs) - Instituto de Física...

1. Movimiento Armónico Simple (MAS)

2. Oscilaciones amortiguadas

3. Oscilaciones forzadas y resonancia

4. Superposición de MAS

Modulo I: Oscilaciones (9 hs)

11/02/2012 1 Masoller, FII

1.1 Cinemática y dinámica del MAS

1.2 Sistema muelle-masa

1.3 Péndulos

1.4 Energía de un MAS

1.5 Oscilaciones entorno a un punto de equilibrio estable

Bibliografía: Tipler y Mosca, Capítulo 14

Ejemplos de Movimientos Oscilatorios Periódicos (MOP)

11/02/2012 Masoller, FII 2

Movimiento Armónico Simple (MAS) y Movimiento Circular Uniforme (MCU)


Un MAS es la proyección sobre un eje de un MCU

)cos()( tAtx

tt )(

)sin()( tAty

)cos()( tAtx

x = posición (o desplazamiento, m) A = amplitud (m) = frecuencia angular (rad/s) = fase inicial en t=0 (rad) = t+ fase a tiempo t (rad)

1.1 Cinemática y dinámica de un MAS

2/')'sin()cos()( tAtAtx


Velocidad y aceleración

)cos()(

)sin()()cos()(

2

tAxta

tAxtvtAtx

)cos()(2 tAtxxa


La aceleración es proporcional y opuesta a la posición (desplazamiento)

Condiciones iniciales t=0:

)sin()0(

)cos()0(

0

0

Avv

Axx

)/(tan

/

00

22

0

2

0

xv

vxA

Frecuencia y período MAS es un movimiento periódico

f = frecuencia (Hz=1/s)

T = período (s)

Ecuación del movimiento de un MAS:

)()( Ttxtx

2

1 f

T


)sin(

)cos()(

tA

tAtx xxa 2

2/

El movimiento vertical de una pelota que se deja caer desde una altura h y que choca elásticamente contra el piso, rebotando y volviendo a subir hasta su altura inicial, para luego volver a caer y rebotar contra el piso, etc.


Ejemplo de un MOP que NO es un MAS

Movimiento Oscilatorio Periódico

Todo MAS es un MOP, pero no todo MOP es un MAS

Representación gráfica


)cos()cos(

)2/cos()(

tt

ttsen

)cos()cos()(

)2/cos()sin()(

)0cos()(

22

tAtAta

tAtAtv

tAtx

La aceleración es proporcional y opuesta a la posición (desplazamiento)

MAS & MCU

)sin()(

)cos()( )(

0

0

0tAty

tAtxtt


Un MAS es la proyección sobre un eje de un MCU

Dinámica del MAS La ecuación del movimiento de un MAS es una ecuación

diferencial ordinaria de segundo orden

02

2

22 x

dt

xdxxa

Si conocemos las condiciones iniciales (posición y velocidad) podemos calcular A y :

)/(tan

/

)sin()0(

)cos()0(

00

22

0

2

0

0

0

xv

vxA

Avv

Axx

¿? 11/02/2012 10 Masoller, FII

)cos()(2 tAtxxa Cuya solución es:

Depende de la fuerza que da origen al MAS

1.2 Sistema muelle-masa

Ley de Hooke +

Ley de Newton

xmkxakxmaF )/(

xx 2


)cos()( tAtx

mk / fuerza recuperadora

frecuencia constante

Muelle-masa vertical

Posición de equilibrio: muelle estirado

0kymg

''

'

2

2

0

kydt

ydm

mgyykmaF

mk /


kmgy /0

(Igual que muelle-masa horizontal)

(y’=desplazamiento respecto a la posición de equilibrio)

Ejemplo: Movimiento de un bote sobre las olas

Un bote se balancea arriba y abajo. El movimiento vertical del bote viene dado por

(a) Determinar la amplitud, frecuencia angular, constante de fase,

frecuencia y período del movimiento. (b) ¿Donde se encuentra el bote cuando t=1s? (c) Determinar la velocidad y la aceleración en cualquier tiempo t. (d) Calcular los valores iniciales de la posición, la velocidad y la aceleración

del bote.


6s2

1cos)m2.1(

ty

Una partícula de masa 2 kg está sujeta de un muelle de constante 18 N/m alargado inicialmente una longitud de 5 cm. Si en el instante inicial la partícula tiene una velocidad 3 cm/s hacia el origen, calcular la frecuencia, periodo, amplitud y fase inicial del movimiento. Determinar su posición en cualquier tiempo t.


Ejemplo: partícula sujeta a un muelle

)/(tan

/

00

22

0

2

0

xv

vxA)cos()( tAtx

s 094.21

Hz477.02

rad/s 3/

fT

f

mk

rad 197.05/1tan

m 051.0)01.0()05.0( 22

A


x1 x2

X

Ejemplo: asociación de muelles en serie

21

21

22

11

k

F

k

Fxxx

xkF

xkF

xkk

FFkk

x2121 11

111

constante de muelle equivalente

2121

111

11

1

kkkkkk

eq

eq

xkF eq

Ejercicio: Si partimos un muelle de constante k por la mitad, ¿Qué constante elástica tendrá cada uno de los trozos? Respuesta: 2k

F F


1.3 Péndulos

Péndulo de Foucault

Péndulo simple

sinmgLmFma tt

Aproximación:

pequeñas oscilaciones

sin

)/( Lg

2

)cos()( tAt


Lg /

No depende de m

Aceleración

tangencial

gLT /2

Péndulo físico (péndulo compuesto)

sinMgDIMI o

ext

oo

sin )/( oIMgD

2

)cos()( tAt


Aproximación de pequeñas oscilaciones:

oIMgD / I0 = M 2

no depende de M

Sólido-rígido plano que gira en torno a un eje fijo Io = momento de inercia del SR respecto al eje Io = M2 (M = masa del SR, = radio de giro)

MgDIT o /2

Aceleración

angular


ángulo inicial (rad): fase inicial (rad): velocidad angular (rad/s) aceleración angular (rad/s2) frecuencia angular (rad/s)

0/ IMgD

)cos()( 0 tAt

)cos( 00 A

)sin( 0 tA

)cos(2 tA

0

Lg /Péndulo simple Péndulo físico

¿Con qué periodo oscilará un disco de radio R y masa M que gira en un plano vertical alrededor de un eje horizontal que pasa por su periferia?


Ejercicio: disco que oscila

22

2

3MRIMRII ocmo

Teorema de

Steiner

MgRIT

IMgD

o

o

/2

/

RD

g

RT

2

32

2

2

1MRI disco

cm

Péndulo de torsión

kMI oo

)/( oIk

0

2 / Ik


SR unido a un barra sometida a una torsión. k = constante de torsión

kMo


g

LT 32

3

2

k

mT

32

12

2MLIcm

3

2MLIO

Momento de inercia de una barra (Masa M, longitud L) respecto al centro de masas (cm) y respecto al extremo de la barra (O):

Solución:

Solución:

Problema 12: Una barra de masa m y longitud 2L esta unida a un muelle de constante k y articulada por su punto medio como muestra la figura. Si la barra está en equilibrio en la posición indicada, determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones.

Problema 10: Un alambre homogéneo de masa m y longitud L se dobla por la mitad formando un codo de 60º. Si se coloca el codo sobre un eje horizontal de forma que el alambre realiza oscilaciones en un plano vertical, ¿cuánto valdrá el periodo del movimiento ?

Problemas

1.4 Energía de un MAS

dx

dUF

Energía cinética 2

2mvK UKE

Ckx

U 2

2


0C

kxF

La fuerza elástica de un muelle es una fuerza conservativa por lo que tiene una energía potencial:

U=0 en x=0:

2

2kxU

Energía mecánica

Energía potencial elástica


Conservación de la energía mecánica de un MAS masa - muelle

UKE

)sin()(

)cos()(

tAtv

tAtx

mk /2

2kAE

)(sin2

1

2

1

)(cos2

1

2

1

2222

222

tmAmvK

tkAkxU

Energía mecánica:

Representación gráfica de U, K y E en función del tiempo


)cos()( tAtx

2

2

1kxU

)sin()( tAtv

)(sin2

1

2

1 2222 tmAmvK

)(sin2

1)( 22 tkAtK

)(cos2

1)( 22 tkAtU

mk /

U, K oscilan con frecuencia angular 2 (período = T/2)

)2 2cos(12

1)(sin

1)2 2cos(2

1)(cos

2

2

tt

tt

Representación gráfica de U, K y E en función de la distancia a la posición de equilibrio


UEK

2

2

1kxU

2

2

1kAE

22

2

1xAK

Cuando la fuerza es conservativa podemos deducir la ecuación del movimiento de la conservación de la energía mecánica


Conservación de la energía y ecuación del movimiento del MAS

ctekxmvUKE 22

2

1

2

1kxxmkxvmva 0

Ejemplo 1: sistema masa-muelle

Ejemplo 2: péndulo físico

ctemgDIUKE o cos2

1 2

Energía cinética de rotación

Energía gravitatoria

Derivando

0)(sin mgDIo

Derivando

sin

0 mgDIo Pequeñas

oscilaciones

Puntos de equilibrio de una fuerza conservativa:

F(xeq)=0 Extremos (máximos o mínimos) de U(x)

Tipos de puntos de equilibrio:

A: estable B: inestable C: neutro

1.5 Oscilaciones entorno a un punto de equilibrio estable


dx

dUF

0 eqxxdx

dU

Movimiento cerca de un mínimo local (x1)

...)(2

1)()()( 2

12

2

11

11

xxdx

Udxx

dx

dUxUxU

xxxx

Desarrollo de Taylor: aproximamos U(x) cerca del mínimo por una parábola

)()(2

1)( 12

22

12

2

11

xxdx

Ud

dx

dUFxx

dx

UdxU

xxxx


0

1

xxdx

dU 0

1

2

2

kdx

Ud

xx

maxxkF )( 1

El movimiento es un MAS en

torno a x1 con frecuencia angular mk /

(x1 es un mínimo)

Una partícula de masa m se encuentra en un campo de fuerzas unidimensional donde la energía potencial viene dada por la expresión

(a) Encontrar los puntos de equilibrio y estudiar su estabilidad (b) Calcular el período de las pequeñas oscilaciones de la partícula en torno al

mínimo de energía potencial


Ejemplo

xxxxU 1232)( 23

1266 2 xxdx

dU

1

2012660

2

12

x

xxx

dx

dUeqeq

xx eq

018612

1

2

2

2

2

xxdx

Udx

dx

Ud

018

2

2

2

xxdx

Ud

18/2 mT

1. En un MAS la energía cinética de la partícula es proporcional a la elongación al cuadrado.

2. Si en un MAS, v es la velocidad de la partícula y a y x su aceleración y elongación respectivamente, se cumple que:

3. La frecuencia de un MAS disminuye si aumenta su amplitud. 4. Una partícula no puede realizar un MAS alrededor de un mínimo de

energía potencial ya que la fuerza es nula. 5. La energía cinética y la energía potencial de un MAS están desfasadas π

radianes entre si. 6. La energía mecánica de un MAS es proporcional a su amplitud al cuadrado. 7. Toda partícula sometida a una fuerza conservativa realiza un MAS. 8. Si una partícula realiza un MAS y en el instante inicial se encuentra en el origen, su fase inicial es nula. 9. Al cortar un muelle en dos trozos, la constante elástica de cada trozo será mayor que la constante del muelle original.


Preguntas VF

axv 2

Un proyectil de masa m que se mueve a la velocidad vo impacta contra un bloque de masa M y se incrusta dentro del bloque. El bloque está unido a un muelle de constante k, fijado a la pared. El bloque y el muelle se encuentran apoyados en una superficie horizontal lisa. Si elegimos t=0 el instante del impacto y x=0 la posición inicial del bloque, describir a) el movimiento posterior del bloque y b) la fuerza máxima que realiza el muelle sobre la pared.


Ejemplo

)/( mMk

10

2

1

2

)(

)(2

1

2

1

vMmmv

vmMkA

kAF max

tAtx sin)(

)(

0

mMk

mvA

Movimiento vertical de una pelota que se deja caer desde una altura h y que choca elásticamente contra el piso, rebotando y volviendo a subir hasta su altura inicial, para luego volver a caer y rebotar contra el piso, etc. Calcular: (a) la posición de la pelota a tiempo t, y(t) (b) el período del movimiento


Ejemplo

)(2)(22

2

yhgdt

dyyhgy

ymmgymgh

ty

h

dtyhg

dydt

yhg

dy

0)(2)(2

t

g

yhg

2

)(22

2/)( 2gthty

a

bax

bax

dx

2

ghT /22/

T depende de la amplitud (h) del movimiento

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