Modulo di Ottimizzazione · Introduzione Modulo di Ottimizzazione StefanoGualandi...
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Introduzione
Modulo di Ottimizzazione
Stefano GualandiUniversità di Pavia, Dipartimento di Matematica
email: [email protected]: @famo2spaghi, @famo2contiblog: http://stegua.github.com
Introduzione
Introduzione
Ottimizzazione senza vincoliIn questa parte del corso tratteremo problemi di ottimizzazionesenza vincoli:
min{f (x) : x ∈ Rn} (1)
in cui la funzione obiettivo è del tipo f : Rn → R.
Minimo globaleIdealmente, i metodi che presenteremo hanno lo scopo diindividuare un vettore x∗ ∈ Rn tale che:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn. (2)
AttenzioneEsistono tuttavia una seria di difficoltà che rendono tale ricercaspesso troppo ambiziosa.
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Ottimizzazione senza vincoliIn questa parte del corso tratteremo problemi di ottimizzazionesenza vincoli:
min{f (x) : x ∈ Rn} (1)
in cui la funzione obiettivo è del tipo f : Rn → R.
Minimo globaleIdealmente, i metodi che presenteremo hanno lo scopo diindividuare un vettore x∗ ∈ Rn tale che:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn. (2)
AttenzioneEsistono tuttavia una seria di difficoltà che rendono tale ricercaspesso troppo ambiziosa.
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Ottimizzazione senza vincoliIn questa parte del corso tratteremo problemi di ottimizzazionesenza vincoli:
min{f (x) : x ∈ Rn} (1)
in cui la funzione obiettivo è del tipo f : Rn → R.
Minimo globaleIdealmente, i metodi che presenteremo hanno lo scopo diindividuare un vettore x∗ ∈ Rn tale che:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn. (2)
AttenzioneEsistono tuttavia una seria di difficoltà che rendono tale ricercaspesso troppo ambiziosa.
Introduzione
Introduzione
Esempio 1Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x3
Esempio 2Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = e−x
Esempio 3Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x2 cos(x)
Introduzione
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Esempio 1Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x3
Esempio 2Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = e−x
Esempio 3Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x2 cos(x)
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Esempio 1Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x3
Esempio 2Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = e−x
Esempio 3Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x2 cos(x)
Introduzione
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Esempio 1Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x3
Esempio 2Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = e−x
Esempio 3Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x2 cos(x)
Introduzione
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Esempio 1Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x3
Esempio 2Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = e−x
Esempio 3Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x2 cos(x)
Introduzione
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Esempio 1Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x3
Esempio 2Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = e−x
Esempio 3Si trovi il minimo della funzione:
f (x) = x2 cos(x)
Introduzione
Minimo relativo o localeNell’ultimo esempio, si può solo arrivare a individuare un x∗ cheminimizza f (x) localmente, ma non globalmente; ciò significa chela (2) non vale per tutti gli x ∈ Rn, ma solo in un opportunointorno di x∗.
Definition 1 (Minimo relativo)x∗ ∈ Rn è un punto di minimo relativo di f (x) se esiste unintorno di x∗ di raggio ρ > 0, indicato con B(x∗; ρ), tale che:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ B(x∗; ρ) ⊂ Rn (3)
Definition 2 (Minimo globale)x∗ ∈ Rn è un punto di minimo globale di f (x) se:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn (4)
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Minimo relativo o localeNell’ultimo esempio, si può solo arrivare a individuare un x∗ cheminimizza f (x) localmente, ma non globalmente; ciò significa chela (2) non vale per tutti gli x ∈ Rn, ma solo in un opportunointorno di x∗.
Definition 1 (Minimo relativo)x∗ ∈ Rn è un punto di minimo relativo di f (x) se esiste unintorno di x∗ di raggio ρ > 0, indicato con B(x∗; ρ), tale che:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ B(x∗; ρ) ⊂ Rn (3)
Definition 2 (Minimo globale)x∗ ∈ Rn è un punto di minimo globale di f (x) se:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn (4)
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Minimo relativo o localeNell’ultimo esempio, si può solo arrivare a individuare un x∗ cheminimizza f (x) localmente, ma non globalmente; ciò significa chela (2) non vale per tutti gli x ∈ Rn, ma solo in un opportunointorno di x∗.
Definition 1 (Minimo relativo)x∗ ∈ Rn è un punto di minimo relativo di f (x) se esiste unintorno di x∗ di raggio ρ > 0, indicato con B(x∗; ρ), tale che:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ B(x∗; ρ) ⊂ Rn (3)
Definition 2 (Minimo globale)x∗ ∈ Rn è un punto di minimo globale di f (x) se:
f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn (4)
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Esempio 1
Si consideri la funzione f : R2 → R, definita da:
f (x , y) = (x2 + 3 y2)e1−x2−y2
Osservare la sua rappresentazione grafica e le sue curve di livello(demo Matlab).
Definition 3 (Grafico di f (x))Il grafico di una funzione z = f (x , y) è la superficie S formata datutti i punti (x , y , f (x , y)).
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Esempio 1
Si consideri la funzione f : R2 → R, definita da:
f (x , y) = (x2 + 3 y2)e1−x2−y2
Osservare la sua rappresentazione grafica e le sue curve di livello(demo Matlab).
Definition 3 (Grafico di f (x))Il grafico di una funzione z = f (x , y) è la superficie S formata datutti i punti (x , y , f (x , y)).
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Demo web
DEMO WEB:http://www.benfrederickson.com/numerical-optimization/
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Notazione
In questi lucidi e nelle dispense, i vettori sono da intendersicome vettori colonna
Il vettore x∗ denota una soluzione ottima del problema (1)
x o xk indicano un vettore di Rn
{xk}k≥0 è una sequenza di vettori (possibili soluzioni)generate sino al passo k
La componente di indice i di un vettore x viene indicata con(x)i e del vettore xk con (xk)i
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Notazione
In questi lucidi e nelle dispense, i vettori sono da intendersicome vettori colonna
Il vettore x∗ denota una soluzione ottima del problema (1)
x o xk indicano un vettore di Rn
{xk}k≥0 è una sequenza di vettori (possibili soluzioni)generate sino al passo k
La componente di indice i di un vettore x viene indicata con(x)i e del vettore xk con (xk)i
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Notazione
In questi lucidi e nelle dispense, i vettori sono da intendersicome vettori colonna
Il vettore x∗ denota una soluzione ottima del problema (1)
x o xk indicano un vettore di Rn
{xk}k≥0 è una sequenza di vettori (possibili soluzioni)generate sino al passo k
La componente di indice i di un vettore x viene indicata con(x)i e del vettore xk con (xk)i
Introduzione
Notazione
In questi lucidi e nelle dispense, i vettori sono da intendersicome vettori colonna
Il vettore x∗ denota una soluzione ottima del problema (1)
x o xk indicano un vettore di Rn
{xk}k≥0 è una sequenza di vettori (possibili soluzioni)generate sino al passo k
La componente di indice i di un vettore x viene indicata con(x)i e del vettore xk con (xk)i
Introduzione
Notazione
In questi lucidi e nelle dispense, i vettori sono da intendersicome vettori colonna
Il vettore x∗ denota una soluzione ottima del problema (1)
x o xk indicano un vettore di Rn
{xk}k≥0 è una sequenza di vettori (possibili soluzioni)generate sino al passo k
La componente di indice i di un vettore x viene indicata con(x)i e del vettore xk con (xk)i