1. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA CIENCIAS BSICAS LGICA MATEMTICAEORFFREY ACEVEDO GONZLEZ GEMedelln, 20121

2. Lgica MatemticaJaime Alberto Leal AfanadorRectorDr. Roberto de Jess Salazar RamosAsesor de RectoraVicerrector de Servicios a Aspirantes, Estudiantes y EgresadosMiguel Roberto Hernndez SaavedraDra. Elizabeth Vidal ArizabaletaVicerrectora Acadmica y de InvestigacinDra. Gloria C. Herrera SnchezVicerrectora de Medios y Mediaciones PedaggicasDr. Edgar Guillermo RodrguezVicerrector Vicerrectora de Desarrollo Regional ComunitarioGustavo VelsquezDecano Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e IngenieraVicerrectora de Relaciones InternacionalesMagdalena Pinzn de PosadaMaribel Crdoba GuerreroSecretaria GeneralJorge Eliecer RondnCoordinador de Ciencias BsicasMDULOCURSO DE LGICA MATEMTICAPRIMERA EDICIN (EN EDICIN) CopyrigthUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaPROHIBIDA LA REPRODUCCIN Y PUBLICACIN PARCIAL O TOTAL DE ESTA OBRA SINAUTORIZACIN DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADISBN2011Centro Nacional de Medios para el AprendizajeActualizacin, Edicin y Diagramacin Georffrey Acevedo GonzlezMedelln, Colombia. 9 de Mayo de 2012 (material en prensa)Este material tiene como referencia principal el mdulo diseado por la Dra. Nubia JanethGalindo Patio en el ao de 1999 para la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.Santa Fe de Bogot. D.C. 1999Portada: Aristteles segn un manuscrito de su Historia naturalis. Roma 1457 (Cod. vindob. phil. gr.).Medelln Colombia Mayo de 2012.2 3. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAOH dicha de entender,mayor que la de imaginar o lade sentir! Borges.La teora del silogismo categricoes uno de los ms hermososdescubrimientos del esprituhumano LeibnizIntroduccinEste mdulo est concebido para ser un curso introductorio a la lgica Matemtica. Antes de dar inicio al desarrollo de los temas del curso, y en general, para todaactividad, es importante que nos interroguemos por el origen y propsito de dichoconocimiento, Qu problemas busc resolver el hombre mediante dicho conocimiento?Qu preguntas vamos a contestar con el aprendizaje del curso? Qu competencias seespera que el estudiante desarrolle? Por qu se consideran importantes estascompetencias? Por qu, siendo yo un estudiante de regencia de farmacia, o un estudiantede ingeniera, o mejor an, un estudiante de psicologa, debo tomar el curso de LgicaMatemtica? Entre las competencias que debe tener un estudiante, se destaca su capacidad paraconstruir razonamientos deductivos e inductivos, tal que le permitan verificar hiptesis ascomo generar nuevas, una competencia necesaria, no slo para la investigacin cientfica,sino necesaria para actividades como proponer argumentos vlidos en un ensayo o paradebatir ideas.Se considera que la lgica matemtica acompaada de las competencias lingsticaspermite plantear las mejores soluciones a diferentes tipos de problemas. Al punto que sonestas las competencias que son evaluadas por universidades en todo el mundo paradeterminar el acceso a programas de educacin superior. La competencia lgico matemtica no hace referencia exclusiva a operaciones conrepresentaciones simblicas y ejercicios complejos. En este curso aprenders cmo ennuestro lenguaje cotidiano hacemos uso de los razonamientos lgicos deductivos einductivos, siguiendo unas estructuras bsicas que nos permiten afirmar que un razonamientoes o no vlido.Ya Platn en la Repblica nos propone que antes del estudio de una ciencia socialcomo lo es la filosofa era necesaria la preparacin de la mente por medio del estudio de lageometra euclidiana, en la cual el discpulo deba entrenarse haciendo demostraciones deteoremas de la geometra, demostraciones que slo se logran siguiendo una secuencia lgicade pasos ordenados.3 4. Lgica Matemtica Hoy, muchas instituciones educativas exigen a sus aspirantes a cualquier programaacadmico, presentar pruebas de admisin que pretenden evaluar las competencias tantolingsticas como lgico matemticas. Mediante estas evaluaciones, las institucionespretenden elegir entre todos sus aspirantes a aquellos que se encuentren ms preparadospara aprender. Esto es para comprender y elaborar razonamientos lgicos deductivos einductivos cada vez ms complejos. En este sentido, el curso de lgica matemtica es importante para mejorar en lainterpretacin y construccin de razonamientos lgicos presentes tanto en el lenguajecotidiano como en todas las reas especializadas del conocimiento. Es por esta razn que elcurso de lgica matemtica es un curso transversal a todos los programas acadmicosofertados por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Para leer el mdulo slo se requieren conceptos de conjuntos numricos, yoperaciones algebraicas bsicas. La intencin es que el estudiante pueda aprender de estemdulo por s mismo, en este sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para eltutor. En el curso de lgica matemtica, analizaremos diferentes operaciones entreconjuntos, tales como unin, interseccin y complemento, entre otras operaciones, que nospermitirn aclarar la comprensin de las relaciones entre los conectivos lgicos usados en ellenguaje natural, partiendo para ello una representacin grfica. A la par desarrollaremos lasdestrezas lgico matemticas, dando solucin a problemas como ste: De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de laUNAD, los amantes de la msica de Juanes son 15; mientras que los que nicamentegustan de la msica de Shakira son 20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman serfanticos de Juanes?Comprenderemos cmo trabajan los conectivos lgicos que usamos diariamente ennuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a analizar y a comprender, por ejemplo,nuestro amigo Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto har fiesta, pasadoun tiempo encontramos que Boole est festejando pero que su equipo predilecto ha perdidoSe est contradiciendo el amigo Boole con su afirmacin inicial?, En este cursodescubriremos y analizaremos el conectivo lgico que ha usado Boole en su afirmacin paraconcluir sobre este asunto.Identificar los conectivos lgicos, las premisas y comprender su funcin en el lenguajenos permitir disear frases cada vez ms complejas sin que se pierda la coherencia en laconstruccin gramatical.4 5. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAPosteriormente aprenderemos a simplificar expresiones complejas o difciles dedescifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas por medio desmbolos. Por ejemplo, al expresar en lenguaje natural que es falso que Augustus nomiente; por medio de la lgica aprendemos a llegar a la simplificacin: Augustus miente,utilizando leyes lgicas bsicas que nos permiten validar la simplificacin hecha con unargumento ms all de la simple intuicin. Gracias al desarrollo informtico un estudiante de psicologa, puede implementar unafuncin lgica en una hoja de clculo como Excel o Calc, que le permita obtener en segundosel resultado de la aplicacin de un Test psicolgico a una poblacin. En general, gracias a losprincipios bsicos de la lgica se pueden implementar funciones de aplicacin en todas lasreas del conocimiento. Otra interesante aplicacin de la lgica es en el proceso de validar nuestrosargumentos. Por ejemplo, analicemos qu puede concluirse de la siguiente afirmacin: sillueve hace fro, posteriormente ocurre que hace fro, es entonces correcto concluirque llueve?, Por medio de la lgica transformaremos esta expresin en lenguaje simblicoque posteriormente podremos analizar por medio de una tabla de verdad y descubrir en qucaso especfico la conclusin puede no derivarse de sus premisas.En el mundo de la argumentacin siempre estamos utilizando unos principios lgicosbsicos que estudiaremos en el curso de Lgica Matemtica, permitindonos mejorar en laconstruccin de argumentos ms fuertes, basados en los cimientos de la lgica.Buen Viento y Buena mar.Georffrey Acevedo Gonzlez.1Agradecimientos a los tutores del curso, y estudiantes Carlos Arturo Serrano, Euclides Daz Arcos por suscomentarios.1Tutor de Ciencias Bsicas de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD desde 1995. Ingeniero Electrnico de la Universidad de Antioquia.Maestro en educacin del Tecnolgico de Monterrey. www.georffrey.com georffrey.acevedo@unad.edu.co georffrey@gmail.com5 6. Lgica MatemticaCONTENIDO POR LECCIONESUnidad 1 Principios de Lgica Captulo 1 Introduccin a la lgica Leccin No.1 Introduccin a la lgica Leccin No. 2 Proposiciones Leccin No. 3Conectivos lgicos fundamentales Leccin No. 4 Condicional y Bicondicional Leccin No. 5Tablas de verdad Captulo 2 Tautologa Leccin No. 6Tautologa Leccin No. 7Proposiciones equivalentes Leccin No. 8Tautologa trivial y doble negacin Leccin No. 9Implicacin directa, contraria, recproca y contrarrecproca Leccin No. 10 Leyes de la lgica Captulo 3 Cuantificadores y proposiciones categricas Leccin No. 11 Cuantificadores Leccin No. 12 Proposiciones categricas Leccin No. 13 Representacin de las proposiciones categricas Leccin No. 14 Clasificacin de las proposiciones categricas Leccin No. 15 Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias6 7. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAUnidad 2 Razonamientos lgicosCaptulo 4 Razonamientos lgicosLeccin No. 16 Razonamiento lgicoLeccin No. 17 El mtodo cientficoLeccin No. 18 Silogismos categricosLeccin No. 19 Validez de un argumentoLeccin No. 20 Prueba formal de validezCaptulo 5 Inferencias LgicasLeccin No. 21 Inferencia lgicaLeccin No. 22 Leyes de inferenciaLeccin No. 23 Aplicacin de las leyes de inferenciaLeccin No. 24 Demostracin directa e indirectaLeccin No. 25 La refutacinCaptulo 6 Argumentos InductivosLeccin No. 26 Argumento InductivoLeccin No. 27El problema de la induccinLeccin No. 28 La analogaLeccin No. 29La fuerza de los argumentosLeccin No. 30 Analoga refutadora 7 8. Lgica MatemticaCONTENIDOIntroduccin 3Contenido por lecciones6Contenido 8Indice de tablas 10Indice de figuras 11Indice de ilustraciones.. 13Smbolos usados .. 14Objetivo General.... 15Conducta de entrada.....16Actividad de reconocimiento.... 18Informacin de retorno ....... 25Ejercicios propuestos 1 ....... 59UNIDAD 1 Principios de LgicaIntroduccin ....... 61Justificacin ....... 61Intencionalidades formativas ...... 62 1 Captulo 1: Introduccin a la Lgica ..................................................................................... 64 1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica ................................................................................. 63 1.2 Clasificacin de la lgica .......................................................................................................... 64 1.3 Propsito de la lgica ................................................................................................................ 65 1.4 Lgica y Lingstica .................................................................................................................. 65 1.4.1 Lenguajes naturales y artificiales .............................................................................................. 66 1.5 Componentes del proceso semitico ......................................................................................... 69 1.6 Ramas de la semitica ............................................................................................................... 71 1.7 Proposiciones ............................................................................................................................ 74 1.7.1 Representacin de las proposiciones ......................................................................................... 75 1.7.2 Clasificacin de las proposiciones ............................................................................................ 79 1.7.3 Proposiciones Compuestas ........................................................................................................ 79 1.8 Conectivos Lgicos ................................................................................................................... 82 1.8.1 Conjuncin: .................................................................................................................... 82 1.8.2 La disyuncin v .................................................................................................................... 86 1.8.3 La negacin ~ ............................................................................................................................ 90 1.8.4 El condicional ............................................................................................................... 92 1.8.5 El bicondicional ........................................................................................................... 94 1.9 Tablas de Verdad ....................................................................................................................... 98 1.9.1 Construccin de Tablas de Verdad............................................................................................ 998 9. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA2 Captulo 2: Tautologa .......................................................................................................... 1062.1 Tautologa................................................................................................................................ 1072.2 Proposiciones equivalentes ..................................................................................................... 1092.2.1 Tautologa trivial ..................................................................................................................... 1112.2.2 Doble Negacin ....................................................................................................................... 1112.3 Implicacin directa, contraria,recproca y contrarecproca ..................................................... 1132.4 Leyes del algebra de proposiciones ......................................................................................... 1153Captulo 3: Cuantificadores y proposiciones categricas .................................................. 1163.1Cuantificadores........................................................................................................................ 1173.1.1 Cuantificador universal y existencial ...................................................................................... 1173.2Proposiciones categricas ....................................................................................................... 1203.2.1 Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas ............................................................ 1213.3Simbologa y diagramas para proposiciones categricas ........................................................ 1233.3.1 Clasificacin de las proposiciones categricas ....................................................................... 1293.4Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias ..................................................... 1333.4.1 Proposiciones contradictorias .................................................................................................. 1333.4.2 Proposiciones contrarias .......................................................................................................... 1353.4.3 Proposicin Contingente ......................................................................................................... 1373.4.4 Proposiciones Subcontrarias ................................................................................................... 136Ejercicios Propuestos Unidad 1. 140Laboratorio Unidad 1.. 154UNIDAD 2 Razonamientos Lgicos4 Captulo 4: Razonamientos lgicos ...................................................................................... 1574.1 Razonar.................................................................................................................................... 1584.1.1 Razonamiento inductivo.......................................................................................................... 1594.1.2 Razonamiento deductivo ......................................................................................................... 1594.2 Silogismos categricos ............................................................................................................ 1654.3 Validez de un argumento......................................................................................................... 1724.3.1 Prueba formal de validez ......................................................................................................... 1734.3.2 Prueba de invalidez ................................................................................................................. 1735 captulo 5: Inferencias lgicas .............................................................................................. 1785.1 Inferencias Lgicas ................................................................................................................. 1795.1.1 Modus Ponens (M. P) o Modus Ponendo Ponens (MPP) .................................................... 1815.1.2 Modus Tollens (M.T) o Modus Tollendo Tollens (MTT) ...................................................... 1855.1.3 Silogismo Hipottico (S: H) .................................................................................................... 1875.1.4 Silogismo disyuntivo (S. D) o Modus Tollendo Ponens (MTP) ............................................. 1895.1.5 Dilema constructivo (D.C) ...................................................................................................... 1915.1.6 Absorcin (Abs) ...................................................................................................................... 1915.1.7 Simplificacin (Simp.) ............................................................................................................ 1919 10. Lgica Matemtica5.1.8 Conjuncin (Conj) ................................................................................................................... 1925.1.9 Adicin (Ad.) .......................................................................................................................... 1925.2 La demostracin ...................................................................................................................... 1975.2.1 La demostracin directa .......................................................................................................... 1975.2.2 La demostracin indirecta ....................................................................................................... 1985.2.3 La demostracin por recursin ................................................................................................ 1995.2.4 La demostracin por refutacin............................................................................................... 2016 Captulo 6: Argumentos Inductivos..................................................................................... 2026.1 Argumento inductivo por analoga .......................................................................................... 2056.1.1 Evaluacin de los argumentos analgicos ............................................................................... 207Ejercicios propuestos Unidad 2.. 210Laboratorio Unidad 2.. 213 Referencias ....21410 11. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAINDICE DE TABLASTabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial ............................................................................................... 76Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin ......................................................................................... 86Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin ........................................................................................... 89Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin .............................................................................................. 90Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 93Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 96Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos lgicos ......................................................................... 9811 12. Lgica Matemtica INDICE DE FIGURAS Figura No. 1 Teorema de Pitgoras. ...................................................................................................... 68 Figura No. 2 Conjuncin ......................................................................................................................... 83 Figura No. 3 Disyuncin ....................................................................................................................... 88 Figura No. 4 Negacin ............................................................................................................................. 91 Figura No. 5 Ejemplo actividad de transferencia I - ........................................................................... 152 Figura No. 6Ejemplo actividad de transferencia II - ........................................................................... 15312 13. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA INDICE DE ILUSTRACIONESImagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............. 67Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)68Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de RaffaelloSanzio (1511) ............................................................................................................................................ 6813 14. Lgica Matemtica Smbolos usados :sotnujnoC :sotnujnoC :sotnujnoC :sotnujnoC Conjunto universal Conjunto vaco:sotnujnoc ertne senoicarepO:sotnujnoc ertne senoicarepO:sotnujnoc ertne senoicarepO:sotnujnoc ertne senoicarepO Unin Interseccin Diferencia Diferencia simtrica Contenido en No est contenido ensotnujnoc y sotnemele ertne senoicaleR Pertenece a No pertenece a:socigl sovitcenoC:sovitcenoC Conjuncin Disyuncin,~ Negacin Implicacin Equivalencia:nicaler ed serodacidnI:nicaler ed serodacidnI:nicaler ed serodacidnI:nicaler ed serodacidnI< Menor que Menor o igual que> Mayor que Mayor o igual que Diferente a:socirmun sotnujnoC:socirmun sotnujnoC:socirmun sotnujnoC:socirmun sotnujnoC Conjunto de nmeros naturales Conjunto de nmeros enteros+Conjunto de nmeros enteros positivosConjunto de nmeros enteros negativos Conjunto de nmeros reales Conjunto de nmeros complejos14 15. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAObjetivo GeneralProporcionar al estudiante herramientas que lepermitan reconocer, elaborar y determinar la validezde razonamientos lgicos tanto deductivos comoinductivos.Objetivos especficosDesarrollar lascompetencias para expresarrazonamientos lgicos en lenguaje simblico.Identificar y aplicar las diferentes leyes de la lgica enprocesos de argumentacin, al llevarlas al lenguajenatural.Desarrollar competencias para la construccin defunciones lgicas en programas de computacin,como las hojas de clculo o de lenguajes deprogramacin. 15 16. Lgica Matemtica Para alcanzar un aprendizaje significativo, tres condiciones importantes son necesarias: La significatividad psicolgica, la significatividad lgica del material y la motivacin. Para tal fin, se han estructurado las diferentes herramientas pedaggicas y didcticas del curso en tres fases de aprendizaje: reconocimiento, profundizacin y transferencia. A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje, ya sean stas adquiridas en el estudio de un campo especfico del conocimiento o adquiridas en el desarrollo de actividades diferentes a las acadmicas. Para lograr este objetivo se ha diseado una actividad didctica, que dispone el ambiente para que por medio de algunas herramientas y tcnicas, puedas objetivar esas experiencias previas alcanzadas en tu mundo vital. De esta manera, logrars pasar del mundo impensado de las experiencias a la sistematizacin de las mismas, o de las prenociones a las nociones. Es decir, se trata de un ejercicio de motivacin para que te involucres en los procesos iniciales de aprendizaje y actives tus estructuras cognitivas. Salazar (2008) Pero, ante todo, debemos contar con tu disposicin para el aprendizaje. Para contribuir con el factor de la motivacin, se ha dispuesto el primer OVA u objeto virtual de aprendizaje, el cual es un audio en mp3 con algunos elementos que te motivar para el desarrollo de las competencias del curso:Audio1.MP316 17. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICACuntas horas debo dedicar al estudio del curso de lgica matemtica?El curso de lgica matemtica es un curso de dos crditos acadmicos, por lo tanto un cursode dos unidades.Un crdito acadmico corresponde a 48 horas de estudio, de las cuales 12 horas son deacompaamiento tutorial y 36 horas son de estudio independiente.Esto significa que para matricular el curso de lgica matemtica debers disponer de 72 horasde estudio independiente. Para un perodo acadmico es de 16 semanas, y si consideramos100 das en el proceso, considerando las pausas activas, esto se traducir en un promedio deuna (1) hora diaria.En ninguna otra metodologa como en la educacin a distancia, debemos planear tan juiciosagestin del tiempo. La invitacin es para desarrollar un cronograma de organizacin de lasactividades acadmicas de acuerdo a los temas de cada curso y al tiempo disponible.17 18. Lgica Matemtica A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje. Recuerda que la disposicin frente al conocimiento es una condicin para lograr un aprendizaje significativo:1. Qu entiendes por lgica? ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________2. Podramos hacer un debate de ideas sin hacer uso de la lgica? Analiza cundo hacemos uso de la lgica. ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________3. Qu recuerdas de la evolucin histrica de la lgica? ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________4. Analiza porqu es importante la competencia lgico matemtica para apropiar nuevo conocimiento. ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________18 19. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. En tus palabras, plantea la diferencia entre lenguaje simblico y lenguajenatural________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7. Plantea varios ejemplos de conjuntos. Cmo describiras un conjunto conuna cantidad infinita de elementos?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8. Cmo representas un conjunto?1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9. Qu formas de determinar un conjunto conoces?2.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 19 20. Lgica Matemtica ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal? 3. ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus elementos? Cmo se representan stas? 4. ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamentediferentes? ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________13. Qu operaciones entre conjuntos conoces? 5. ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________20 21. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas? Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el principio de dualidad en estas leyes?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 15. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A unin BUU AB B Aa.b.UU ABCBAc.d. 21 22. Lgica Matemtica 16. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A interseccin B UUABB A a.b. UUA B CB A c.d. 17. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A menos B UUABB Aa.b. UUABC BAc.d.22 23. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA18. Propn una expresin de la cual puedas decir que es verdadera. Cmoexpresaras la negacin de la misma proposicin?6. ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________19. Te has encontrado con un argumento que parece lgico, pero que cuandolo analizamos detenidamente encontramos que no era tal? A continuacinse propone plantearlo: ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________20. Menciona las caractersticas comunes que encuentras en un razonamiento ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________21. Describe, cmo determinas la validez de un argumento ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________22. Entre dos personas inmersas en un debate. Cmo podramos determinarque el argumento de uno es ms fuerte que el del otro?23. ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________23 24. Lgica Matemtica1. Qu entiendes por lgica?Desde Aristteles, se ha dado a la lgica una relacin directa con el lenguaje natural,no obstante, en su evolucin, la lgica ha apropiado unos smbolos y reglas deinferencia que le han dado una estructura formal estricta, al punto de hablar hoy de unaLgica Matemtica. As es como hoy decimos que la lgica es una ciencia formal, queestudia la estructura de los argumentos lgicos para determinar su validez.6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?Intuitivamente, un conjunto es una coleccin de objetos bien definidos. Estos objetosreciben el nombre de elementos o miembros del conjunto; se nombran con letrasmaysculas y sus elementos con letras minsculas escrita entre corchetes o llaves. Losconjuntos se representan grficamente por medio de diagramas denominadosdiagramas de Venn-Euler o simplemente, diagramas de Venn; en los cuales losconjuntos se delimitan por crculos.retorno8. Cmo representas un conjunto?Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediantela utilizacin de esquemas grficos llamados crculos de Euler o diagramas de Venn.Estos esquemas estn compuestos por una regin cerrada del plano (generalmente unrectngulo), la cual representa el conjunto universal, y por uno o varios crculos querepresentan los conjuntos a graficar.deGeneralmente, los conjuntos se identifican con letras maysculas y sus elementos conminsculas.InformacinPara indicar que un elemento es un miembro de unconjunto, se utiliza el smbolo (se leepertenece a ) yPara indicar que no est en el conjunto se utiliza elsmbolo (se lee no pertenece a) 24 25. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAsta es la representacin grfica:x AxA UUxA Ax Figura No. 19. Qu formas de determinar un conjunto conoces?Bsicamente existen dos formas para determinar un conjunto, stas son:retornoPor extensinUn conjunto est determinado por extensin cuando se describe el conjuntonombrando cada uno de sus elementos. Por ejemplo:A = {2, 4, 6, 8}B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}deC = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,}D = {a, e, i, o, u }InformacinPor comprensinUn conjunto est determinado por comprensin cuando se nombra una propiedad, unaregla o una caracterstica comn a los elementos del conjunto. Por ejemplo:C = {Nmeros impares menores que 10}D = {Vocales}B = {Dgitos}25 26. Lgica MatemticaLenguaje:E = {x R / 0 x < 9}, en este caso se utiliza un lenguaje muy especfico, el cual selee as:E = E: gual al conjunto dex R:todos los nmeros reales/: tales que (o que verifican que)0 x < 9:Se lee: cero (0) es menor o igual a x, y, x a su vez es menor que 9,tambin se puede leer: x mayor o igual a cero y menor que nueve. Estanotacin se usa con mucha frecuencia para describir intervalos, paraescribir la solucin de una inecuacin o para representar el dominio deuna funcin real.10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal y de partes?Conjuntos infinitosExisten conjuntos como por ejemplo: A = {x R / 0 x < 9} Z = {x N / x es par}retornoLos cuales se leen: A = todos los nmeros reales mayores que cero y menores quenueve.Z = todos los nmeros naturales que sean pares.Este tipo de conjuntos no se pueden expresar por extensin debido a que nunca seterminara de escribir la lista de los nmeros reales que pertenecen al conjunto A, o, losnaturales que pertenecen a Z, este tipo de conjuntos, reciben el nombre de INFINITOS;deConjuntos finitosInformacinMientras que otros conjuntos, como por ejemplo:C = {x / x es vocal} D = {x / x es dgito par}Son ejemplos de conjuntos que estn formados por cierto nmero de elementosdistintos, estos conjuntos reciben el nombre de conjuntos FINITOS.Todos los conjuntos que se nombran por comprensin, se pueden escribir porextensin?26 27. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAEl anlisis anterior, permite dar respuesta a esta pregunta, se sugiere buscar msejemplos que justifiquen la respuesta para que sean analizados con el tutor y luegosocializados en los equipos de trabajo. Conjunto VacoUn conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vaco y se simboliza as:UA { } A= Figura No. 2.retornoNaturalmente el conjunto forma parte de cualquier conjunto A, por lo cual se puedeafirmar que:AdeEl conjunto (vaco) est contenido en el conjunto A.InformacinEjemplo 1:D = {x N / xx)Este conjunto se lee: obviamente D es un conjunto que carece de elementos, puestoque no existe ningn nmero natural que sea diferente a s mismo. 27 28. Lgica MatemticaConjunto UnitarioSe denomina conjunto unitario al conjunto formado por un slo elemento.U A A = Conjunto Unitario 7 A = {7}Figura No. 3Ejemplo 2:E = {x / x es nmero primo par}El nico nmero que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es elnmero 2, por lo tanto E = {2} se llama conjunto unitario.Conjunto UniversalretornoCuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente establecer la naturalezade sus elementos, por ejemplo:Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, V = {a,e, i, o, u}, es decir, A V, este conjunto V constituye el universo del conjunto A, poresta razn se dice que V es un conjunto Universal.deU U = Conjunto Universal A oA = {a,e,i}Informacin a i eU = V = {a,e,i,o,u} uFigura No. 4Similarmente, si A = {x N / x es primo} sus elementos son elementos del conjuntode los nmeros naturales N, A N y en este caso, N se constituye en el conjuntouniversal. Generalmente, el conjunto universal se simboliza con la letra U.28 29. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus elementos?Cmo se representan stas? SubconjuntosUn conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto Atambin es elemento del conjunto B.Simblicamente esta relacin se expresa as:A B (se lee A esta contenido en B)Si todo elemento x que est en el conjunto A entoncesx tambin est en B, es decir:A B si todo x A, entoncesx BUBretorno AAB xxAxB Figura No. 5deEjemplo 3:InformacinSi A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito}, claramente A B ya quetodo dgito par es dgito. Por extensin la situacin se expresa as: A = {2, 4, 6, 8} yB = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Entonces A es un subconjunto de B.29 30. Lgica MatemticaUn resultado muy til e importante para nuestro curso consiste en un razonamientolgico acerca de la contenencia entre conjuntos, es el siguiente:Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es unsubconjunto de C; simblicamente este enunciado se escribe as:S A B y B C, entonces, ACUC A B B B C A ______ x AC xA xB xC Figura No. 6retornoSigamos nuestra primera demostracin:La demostracin es la siguiente:S x A; entonces x B porque A B, pero x tambin est en C porque B C;depor lo tanto si xA, entonces xC y esto se cumple para todo elemento x que est enA, debido a que el conjunto A esta contenido en el conjunto B y B a su vez, estcontenido en C; por consiguiente queda demostrado que A C.InformacinSi A, B y C son tres conjuntos no vacos que verifican las condiciones A B y B C,qu se puede concluir de A con respecto a C?30 31. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA 12.Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamente diferentes? El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos elementos, es decir, si todos los elementos de A pertenecen a B y si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma:A = B Si A By B A U BA AB2 BA 14 ______ 35 B=A Figura No. 7.retornoEjemplo 4Si M = {1, 3, 0, 2} y N = {2, 3, 0, 1}, claramente se observa que M N y que N M,por lo tanto M = N.Ejemplo 5Si A = {x / x es dgito} y B = {x / x es dgito par}, se puede observar que B A perodeA B, por lo tanto el conjunto A no es igual al conjunto B, lo cual se escribe, A B.InformacinU A 9 B 1BA 52 4 AB3 87 6 ______AB Figura No. 831 32. Lgica MatemticaConjuntos Completamente Diferentes o DisyuntosEs importante destacar que cuando dos conjuntos son completamente diferentes (notienen ningn elemento en comn) reciben el nombre de conjuntos disyuntos.U A B1AB y 7 5 B A y no hay elementos 9 comunes 2Figura No. 9.Ejemplo 6Los conjuntos A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito impar} no tienen ningnelemento en comn, es decir A y B son disyuntos.retorno 13. Qu operaciones entre conjuntos conoces?As como las operaciones suma, resta, multiplicacin y divisin estn definidas sobrelos nmeros reales, tambin existen operaciones definidas entre los conjuntos como launin, interseccin, complemento, diferencia, diferencia simtrica y productocartesiano; stas se estudiarn en las siguientes secciones.deUninInformacinSi A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin entre A y B como el conjuntode todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.Simblicamente la unin se define as:AUB = {x / x A, v , x B}, donde el smbolo v se lee o.Para representar grficamente una operacin entre conjuntos, se debe tener en cuentala relacin que exista entre ellos, segn los siguientes casos:32 33. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICACaso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntosdisyuntos).La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos A y B. UU A A8 B B3 2 6 71 495 AUB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Figura No. 10.A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} AUB = {1,2,3,4,5,6,7}retornoCaso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. U Ade BU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2 8A = {1,2,3,4,5,6} 3 6 7B = {5,6,7}Informacin 4 5 1AUB = {1,2,3,4,5,6,7} 9Figura No. 1133 34. Lgica MatemticaCaso 3. Que un conjunto este contenido en el otro La parte sombreada indica la operacin: U AB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 8A = {1,2,3,4,5,6,7}326 7 B = {5,6,7}1 4 5 A U B = {1,2,3,4,5,6,7} 9Figura No. 12Ejemplo 7Si A U B = {x N / x es dgito par o dgito primo}, grficamente la representacinde esta unin es: UAB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 86A = {1,2,3,5,7,9}retorno 3 7 B = {2,4,6,8}1 5 24 AUB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}Figura No. 13deLa figura No.13 permite apreciar que el nico dgito que es a la vez par y primo es elnmero 2; esto nos invita a la formulacin de la siguiente operacin entre conjuntos:InformacinInterseccinSe define la interseccin entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado portodos los elementos que pertenecen simultneamente al conjunto A y al conjunto B.Simblicamente la interseccin se expresa as:A B = {x / x A, , x B} 34 35. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAel smbolo se lee interseccin y el smbolo se lee i.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntosdisyuntos).La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos A y B. U8 BAU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4}3 2 6 7B = {5,6,7}1 4 5A B={}9Figura No. 14.Se puede observar que cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes, suretornointerseccin es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se habamencionado; Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comndeUB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}InformacinA 8A = {1,2,3,4,5,6}3 2 6 7 B = {5,6,7}1 45A B = {5,6}9 Figura No. 15 35 36. Lgica MatemticaCaso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.La parte sombreada indica la operacin: UAB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 28A = {1,2,3,4,5,6,7} 3 7 B = {5,6,7} 6 1 A B = {5,6,7} = B 4 59 Figura No. 16Podemos afirmar entonces que si A B, entonces. A B = A; anlogamentese puede inferir que si B A, entonces, A B = B.retornoA continuacin se realiza la demostracin analtica para el caso 3 de la figuraNo. 16, la otra situacin si B A, entonces, AB = B, se deja como ejerciciocomplementario, esta demostracin es muy similar a la que se har acontinuacin:Si A B, por definicin de contenencia entre conjuntos se puede afirmar quedetodo elemento x A, entonces x B; por definicin de interseccin, stoselementos x forman el conjunto A B y como todos estos son elementos deA, se puede concluir que A B = A.Informacin 36 37. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAEjemplo 8Hallar las intersecciones entre los tres conjuntos:M = {x N / x es mltiplo de 2}N = {x N / x es mltiplo de 3}P = {x N / x es impar}Se pueden analizar las siguientes intersecciones:1.M N = {6, 12, 18, 24, 36,}, escrito por comprensin es:M N = {x N / x es mltiplo de 6}. 2. M P =,Qu elementos comunes hay entre los conjuntos M y N?: noexiste ningn nmero natural que sea mltiplo de 2 y a la vezimpar. 3. M = , El conjunto vaco est contenido en cualquier conjunto, enparticular en M, esto es M, luego se puede concluir queM=. 4. M N P Para hallar la interseccin M N P, se puede encontrar la interseccin de M con N y luego con el conjunto P, es decir, hay que encontrar los elementos que estn en los tres conjuntos: M, N y P. En este caso M N = {x N / x es mltiplo de 6} y ste intersecado con el conjunto P est formado por los mltiplos de 6 que son impares, es decir, M N P = {x N / x es impar y mltiplo de 6}, por extensin el conjunto: M N P = , pues no existe ningn nmero natural que sea a la vez impar y mltiplo de 6.Ve practicando: Te proponemos visitar el ejercicio propuesto No.1 37 38. Lgica MatemticaDiferenciaSegn los tres casos estudiados, se puede afirmar queal comparar dosconjuntos no vacos, puede suceder que: 1. No tengan ningn elemento en comn, (conjuntos totalmente diferentes). 2. Slo algunos elementos sean comunes (conjuntos parcialmente diferentes oparcialmente iguales) 3. Slo algunos elementos sean comunes 4. Un conjunto este contenido en el otro 5. Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales) En los numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los elementos que le faltan a un conjunto para ser igual a otro, este conjunto as formado, se denomina diferencia entre conjuntos. Si A y B son dos conjuntos no vacos, entonces se define la diferencia entre A y B as:A B = { x / x A, , x B} Esto se lee: A menos B, es el conjunto formado por los elementos que estn en el conjunto A pero no en el B.retorno En la siguiente grfica, la parte sombreada representa la diferencia entre los conjuntos A y B. Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos).deA8 B U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}Informacin A = {1,2,3,4}3 27 B = {5,6,7} 61 4A- B = A = {1,2,3,4} 9 5 B- A = B = {5,6,7}Figura No. 18.38 39. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su diferencia es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado; Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comnU ABU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}2 8A = {1,2,3,4,5,6} 36 7B = {5,6,7} 1 45A-B = {1,2,3,4}9Figura No. 19Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otroLa parte sombreada indica la operacin.UretornoA BU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}8A = {1,2,3,4,5,6,7}32 67B = {5,6,7}145 9A- B = {1,2,3,4} B-A={}deFigura No. 20InformacinEn la figura 20, se puede observar que todos los elementos que estn en B,estn en A (debido a que B A), por lo tanto no existe ningn elemento quepertenezca a la diferenciaB A y en consecuencia B A = . Surge ahora, la siguiente inquietud:Cul ser la diferencia entre A y B (A B) cuando B A? 39 40. Lgica MatemticaEjemplo 8Dados los conjuntos A = {x / x es un dgito} y B = {0, 2, 3, 7} hallarA B y B A y hacer la representacin grfica.Para efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por extensin, as:A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7}, entonces:A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} y B A = ,UA U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 5B A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}B = {0,2,3,7} 6 3 79 8 12 0 A- B = {1,4,5,6,8,9}4 B-A = { }retornoFigura No. 21deInformacin 40 41. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICADiferencia simtrica Se define la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos. Simblicamente la diferencia simtrica entre A y B se escribe as: A B = { x / x A, , x B, x ( A B )} En las siguientes grficas, la parte sombreada representa la diferencia simtrica entre los conjuntos A y B. Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntosdisyuntos).A8B U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = {1,2,3,4} 3 2B = {5,6,7}6 7retorno 1 4A B = {1,2,3,4,5,6,7}9 5B A = {1,2,3,4,5,6,7} Figura No. 22.deSe puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su interseccin esvaca y los conjuntos se llaman disyuntos.InformacinCaso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. U ABU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 8 A = {1,2,3,4,5,6} 2 B = {5,6,7} 3 67 1 4 5 A B = {1,2,3,4,7} 9 B A = {1,2,3,4,7}Figura No. 23 41 42. Lgica Matemtica Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro La parte sombreada indica la operacin:U AU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B8 A = {1,2,3,4,5,6,7} 2 67 B = {5,6,7} 1 4 59 A B = {1,2,4}3 B A = {1,2,4}Figura No. 24 Ejemplo 9 Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA} y B = {x / x es una letra de la palabra SISTEMAS}, entonces A B = {N, G, R, M, S, T}.Ejercicio 2: Te invitamos a desarrollar el ejercicio propuesto No.2retorno 10. Ejemplo 10. Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4} y N = {4, 5}, la diferencia simtrica entre M y N es: M N = {1, 2, 3, 5}, claramente se puede observar que el nmero 4, node pertenece a la diferencia simtrica porque forma parte de la interseccin entre M y N.InformacinVe practicando: Te invitamos a desarrollar el ejercicio propuesto No.242 43. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAComplementoSi A es un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado por A, estformado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,A = Ac = A* = ~A = A = A = {x / x A}En la siguientes grficas, la parte sombreada representa el complemento delconjunto A.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntosdisyuntos). A 8 B U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4}3 26 7 B = {5,6,7} A = {5,6,7,8,9}retorno 14 9 5 Figura No. 27.Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comnde UInformacin A B 8 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2 A = {1,2,3,4,5,6}36 7 B = {5,6,7}1 45 A = {7,8,9}9 Figura No. 2843 44. Lgica MatemticaCaso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.La parte sombreada indica la operacin.U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} UA = {1,2,3,4,5,6,7} A A BB = {5,6,7}832 6A = {8,9}17459Ejemplo 11Al considerar el conjunto universal como el conjunto de los estudiantes deIngeniera de sistemas de la UNAD y A como el conjunto de los estudiantes queestn en el primer semestre, el complemento del conjunto A (A) ser el conjuntoformado por todos los estudiantes de ingeniera de sistemas de la UNAD que noretornocursan primer semestre, esto es:U = {x UNAD / x estudia ingeniera de sistemas}.A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}.A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}.deInformacin44 45. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas?Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmoaplicaras el principio de dualidad en estas leyes?Propiedades de las operaciones entre conjuntosLas siguientes cuatro propiedades, son vlidas para las operaciones de unine interseccin:a. Leyes de idempotencia:A U A = AA A = Ab. Leyes asociativas: (A U B) U C = A U (B U C)(A B) C = A (B C)c. Leyes conmutativas:A U B = B U AA B = B Ad. Leyes distributivas:A U (B C) = (A U B) (A U C)retornoA (B U C) = (A B) U (A C)Las siguientes propiedades estn relacionadas con los conjuntos UniversalU y vaco :e. Leyes de identidad:de A U U = UA U =A A U = AA = Propiedades con respecto al complementoInformacinf. Leyes del complemento:A U A = UA A = (A ) = A = Ug. Leyes de DMorgan:(A U B) = A B(A B) = A U B 45 46. Lgica MatemticaRepresentacin grfica de las leyes de conjuntos:a) Leyes de idempotencia:A U A = AA A = A Qu obtenemos de interceptar el conjunto A con l mismo? Qu pasa si unimos A con A? : U UUAA AA U = A A AAA A Figura No. 33 A unido con A es igual a AretornoUU U A A A A=AA A A A Ade Figura No. 33 A interceptado con A es igual a AInformacin 46 47. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA b)Leyes de identidad:A U U = UA U =AA U = AA =Qu se obtiene de unir el conjunto A con el universo? :UU UAUU=UFigura No. 34 A unido con el universo es igual al universoQu se obtiene de unir el conjunto A con el vaco? : U UUAAretornoU =Figura No. 35 A unido con el vaco es igual al conjunto AdeInformacin 47 48. Lgica MatemticaQu tienen en comn A y el universo? Qu tiene en comn Juan con eluniverso?U U UAA =Figura No. 36 A y el universo tienen en comn el mismo conjunto AQu tienen en comn A y el vaco? :U U U Aretorno = Figura No. 37 El conjunto A y el vaco tienen en comn el vacideInformacin 48 49. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA c)Leyes del complemento: A U A = U A A= (A ) = A = UQu se obtiene de unir A con lo que no es A? Qu se obtiene si Juan se unecon el Universo? UU UAA U=Figura No. 38 Al unir el conjunto A con los elementos que no estn en A se obtiene eluniversoretornoQu tienen comn A con lo que no es A? U UUA Ade =InformacinFigura No. 39 Los elementos de A con los que no estn en A no tienen nada encomn 49 50. Lgica Matemticad) Leyes de D Morgan: (A U B) = A B (A B) = A U BLa demostracin grfica de que (A U B) = A B es la siguiente:En el primer conjunto representamos la unin entre A y B y en el segundo loselementos que no estn en dicha unin, obteniendo el trmino de la izquierda delteorema de DMorgan:UUA BAB326732 6714 59 1 4 5988retornoA U B (A U B)Figura No. 40As hemos encontrado el rea que representa a la primera parte de la igualdad, ahorarepresentamos el trmino de la derecha; esperamos obtener la misma rea sombreada:deIniciamos por representar los elementos que no estn en A y los elementos que noestn en B, la solucin corresponder a la interseccin entre los dos conjuntos, es decira los elementos que ambos conjuntos tienen en comn:InformacinU U UA B ABA B2 2 2 3 67 3 673 6 71 4 5 14 514 58 9 898 9ABA B Figura No. 41 50 51. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA Ve practicando: Desarrolla el ejercicio propuesto No.4 Ve practicando: Desarrolla el ejercicio propuesto No.5Principio de dualidadSi se intercambian las operaciones unin (U) por interseccin (), como tambinel conjunto universal (U) por el conjunto vaco (), en cualquier razonamientosobre conjuntos, el enunciado resultante se llama DUAL del primero.Ejemplo 12Demostrar que el dual de;retorno (U U B) (A U ) = A es:( B) U (A U) = ATomando la primera parte y por las leyes de identidad se tiene que: (U U B) (A U )de U A= AAhora, consideremos su dual y nuevamente aplicando las leyes de identidad setiene que:Informacin ( B) U (A U) UA= ACon lo que queda demostrado.51 52. Lgica MatemticaEjemplo 13Demostrar que el dual de (A B) U (A B) = A es(A U B) (A U B) = AEn este caso se puede hacer la demostracin en forma grfica as: i) La primera parte se puede representar de la siguiente forma: UUU AB AB A 8B 326 7 22 3 67 36 7 1 4 51 45 14 58 9 9 8 9 AB A Bretorno UUUA B AB AB 222 3 67 36 7 36 7 4 545 451 11de 89 898 9(A B) U ( A B ) = AInformacinFigura No.42 primera parte demostracin grfica de que (A B) U (A B) = A 52 53. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICASegunda parte: (A U B) (A U B) = ALa segunda parte se puede representar de la siguiente forma:U UUA8A 8A 8BB B 22 2 3 67 3 67 36 7 1 4 51 4 51 4 599 9 AB A U BU UU 8A8 A8A BB B 222 3 6 736 7 36 7 1 4 51 45 1 4599 9retorno(A U B) A U B = AFigura No.43 segunda parte (A U B) (A U B) = AdeQueda demostrado que Tanto en la figura 42 como en la 43 obtenemos el mismoresultado: el conjunto A.Informacin53 54. Lgica Matemtica15. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a laoperacin: A unin B U U A BAB U U ABCB AretornodeInformacin54 55. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA 16. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A interseccin BU U ABABU U A B CBAretorno17. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a laoperacin: A menos B U U A B A BdeInformacin U U A B C B A55 56. Lgica Matemtica Ejercicios propuestos de Reconocimiento: Ejercicio propuesto 1: Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de VennU M N U= M= N= M N= M P=PMNP= Figura No. 17 Ejercicio propuesto 2: Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de VennUAB U= A= B= A B= AB = AUB=Figura No. 2556 57. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAEjercicio propuesto 3:Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de VennUAB U = A = B= AB= AB = AUB=Figura No. 26Ejercicio propuesto 4:Realiza la demostracin grfica del teorema de D Morgan para: (A B) = A U B paraello subraya el rea correspondiente.Primera parte: representa en cada conjunto A, B y el complemento de la interseccin entre A yB:U U U AB A BA B 2 223 67367 3 671 4 5 1 451 4 58 9 8 9 89 ____________ ______Segunda parte de la igualdad A U B: representa en cada conjunto A, B y la unin entreambos conjuntos: 57 58. Lgica Matemtica U U U A BABAB2 223 673 6 73671 4 5 1 4 51 458 9 89 8 9____________ ______ Compara ahora los resultados de la primera y segunda parte, Son iguales? Observa que las leyes que hemos recordado estn formuladas por pares, lo cual verifica la naturaleza dual de la teora de conjuntos. Ejercicio propuesto 5: A continuacin se plantean diez ejercicios de aplicacin de las leyes de conjuntos, te proponemos hacer el ejercicio de simplificarlos:1) ( (A B) ) 6) (A U ) 2) (A ) ( ( (B) ) )7) (A A) U (A U A )3) (A U A ) U B 8) (A U A ) 4) (A )9) (A A )U A5) (A )10) ( (A ) U U ) A58 59. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAIntroduccinEn esta unidad, partiremos de la contextualizacin histrica de la lgica hacia la definicin de launidad fundamental de la lgica la proposicin. Aprenderemos a identificar y clasificar lasproposiciones, y estableceremos criterios e instrumentos de comparacin entre los diferentes tiposde proposiciones.JustificacinEsta unidad es significativamente importante en la formacin de cualquier profesional, desde laptica de la necesidad de la apropiacin de una fundamentacin conceptual bsica para fortalecer ladestreza en la identificacin de las proposiciones como elemento fundamental de la lgica y lacomprensin de la relacin biunvoca entre el lenguaje simblico y el lenguaje natural. Estasherramientas nos permitirn desarrollar las competencias para el desarrollo de la segunda unidad,en donde, haciendo uso de lo aprendido nos introduciremos en el anlisis de validez de losrazonamientos lgicos. 59 60. Lgica Matemtica Intencionalidades formativas Propsitos Contribuir al desarrollo de habilidades de pensamiento en estudiantes de diferentesprogramas que oferta la UNAD mediante la activacin cognitiva de operacionesmentales que faciliten la apropiacin de nociones, definiciones, axiomas y leyes queconstituyen fundamentos bsicos en teora de conjuntos. Desarrollar en el estudiante habilidades de comunicacin en contextos diversosmediante la articulacin de lenguajes icnicos, simblicos o artificiales como el de lalgica proposicional para dinamizar procesos de aprendizaje en diferentes camposdel saber. Objetivos Que el estudiante comprenda nociones, conceptos, definiciones y operacionesbsicas que configuran la fundamentacin terica sobre conjuntos mediante elestudio y anlisis de las fuentes documentales propuestas articuladas a situacionesespecficas donde es pertinente su aplicacin. Que el estudiante relacione expresiones del lenguaje simblico y del lenguajenatural mediante anlisis comparativo e interpretacin de la funcionalidad de lasvariables lgicas y operacionabiliadad de los conectivos lgicos como elementosestructurales de la lgica proposicional transcribibles a otras formas decomunicacin en diferentes contextos del saber. Metas El estudiante presentar y sustentar informes de trabajo como resultado delestudio y anlisis de los fundamentos de la teora de conjuntos, en dondeevidencie la utilizacin de nociones, conceptos, definiciones y operacionesbsicas en el anlisis de situaciones especficas por l definidas. El estudiante plantear y formular expresiones lgicas en lenguaje natural ylenguaje simblico como evidencia del anlisis comparativo e interpretativo de lafuncin que cumplen variables y conectores lgicos como elementos estructuralesde las expresiones lgicas en el estudio de situaciones particulares propuestas paratal fin.60 61. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICACompetencias El estudiante comprende y aplica de manera suficiente nociones, conceptos,definiciones, axiomas y leyes que fundamentan la teora general de conjuntos en elestudio y anlisis de las fuentes documentales referenciadas para dinamizar elproceso de aprendizaje y en situaciones especficas donde es pertinente suaplicabilidad. El estudiante relaciona e interpreta expresiones del lenguaje simblico y dellenguaje natural en la formulacin y representacin de estructuras semnticaslgicas en trminos de variables y conectores lgicos como elementos estructuralesde la lgica proposicional articulables a diferentes formas de comunicacin endiversos contextos.Captulos de la unidad: Captulo 1: Introduccin a la lgica Captulo 2: Tautologas Captulo 3: Cuantificadores y crculos de Euler 61 62. Lgica Matemtica1 Captulo: Introduccin a la LgicaObjetivo general El propsito de este captulo es brindar al estudiante algunoselementos del desarrollo histrico de la lgica matemtica y su correspondienteclasificacin. As como de brindar las herramientas para identificar y construirproposiciones lgicas.Objetivos especficos CAPTULO 1Realizar la clasificacin de la lgicaReconocer el propsito de la lgicaDeterminar la diferencia entre lenguaje natural y artificialAnalizar los componentes del proceso semiticoDistinguir las reas de la semiticaIdentificar y construir proposiciones lgicas simples y compuestasConstruir tablas de verdad62 63. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICALecciin No..1 IInttroducciin a lla llgiicaLecc n No 1 n roducc n a a g ca1.1 Contextualizacin Histrica de la LgicaConcete a ti mismo ("gnosei seauton") es la frase que apareca en el santuario del DiosOlmpico Apolo y que se atribuye a Tales de Mileto (639 a.c), quien es considerado como elprimer representante de la filosofa occidental: tanto as como para reconocrsele como eliniciador de la indagacin racional sobre el universo, a Tales de Mileto se atribuye plantearexplicaciones de la naturaleza sin hacer referencia a lo sobrenatural.Es as, como los precursores de la filosofa, llamados los presocrticos, representaron unainnovacin en el pensamiento, al tratar de explicar las cosas por si mismas.En el perodo Socrtico, los filsofos pasarn de preocuparse por los temas de la naturaleza aocuparse en el hombre. En este perodo aparecen los sofistas, quienes profundizan en el artede discutir, a ellos debemos lo que en la lgica se denomina un sofisma, argumentos queparecen vlidos pero que realmente no lo son.Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgicacomo la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el pensamiento racionales la base de la filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia delpensamiento racional; es importante aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de lospensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientosde los dems, Aristteles, considerado por los griegos El padre de la lgica, creo mtodossistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarroll la lgicaproposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad deproposiciones compuestas.El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgicaclsica, planteando que la dependencia lgica entre proposiciones es demostrada reduciendoargumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento en unaforma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste esquema (lgicasimblica) lo llam una caracterstica universal.22 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.1999 63 64. Lgica Matemtica El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En 1847 el matemtico ingls George Boole en compaa de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lgicas con las matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole se le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas. 3 Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra Principio Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su presente forma definindola como la Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles, por esta razn la fundacin de la lgica formal moderna se le atribuye a ellos. 4 1.2 Clasificacin de la lgica La lgica se puede clasificar como lgica tradicional o no formal y lgica simblica o formal: 1. Lgica tradicional o no formal. 2. Lgica simblica o formal. En la lgica no formal o lgica tradicional se considera la destreza para interpretar y distinguir un razonamiento correcto de un razonamiento incorrecto como un producto de la experiencia humana obtenida en la relacin con el mundo circundante. En palabras de Galindo (1999), se consideran los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico. La lgica como ciencia constituye la lgica formal o simblica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. 5 En el pensamiento simblico, las palabras se manipulan, segn las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido. De all, que afirmemos que la lgica se ocupa de la forma de los pensamientos y no de su contenido.Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 3,4,5 199964 65. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.3 Propsito de la lgica La lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; adems, la lgica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en los razonamientos. La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los cuales tienen como funcin primordial eliminar las ambigedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad. La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento lgico, tanto en su representacin simblica como en su significado para luego establecer un lenguaje simblico artificial, que le permita simplificar argumentos lgicos complicados; de esta manera, el smbolo permite concentracin sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. 61.4 Lgica y Lingstica Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos bsicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales. Los lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora, entre ellos estn el castellano, el francs y el ingls. Las teoras y gramticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir despus de que el lenguaje ya haba madurado. Los lenguajes formales como las matemticas y la lgica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teora, la cual da las bases para que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teora.6 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.1999 65 66. Lgica MatemticaLos lenguajes naturales y formales tienen puntos en comn, en principio, setiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual est constituidode smbolos simples llamados comnmente letras. En los lenguajes naturales setienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y rabe-persa, entre otros. Enlos formales como la lgica se tiene el lxico del clculo proposicional y depredicados.Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto se forman los monemas,fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de talforma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones oenunciados que se forman con palabras.En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista desmbolos, (lgicos o matemticos) sujetos a diversas interpretaciones. En unlenguaje formal, las palabras y las oraciones estn perfectamente definidas, unapalabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso.Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquiercomponente semntico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a estaausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usadospara modelar una teora de la ingeniera de sistemas, mecnica, elctrica, entreotras. 7 1.4.1 Lenguajes naturales y artificialesPodemos considerar el lenguaje como un sistema de signos que expresan ideasy que se utiliza para establecer comunicacin.El hombre se comunica y participa de este proceso mediante el lenguaje naturalhumano; sin lenguaje, o con un lenguaje rudimentario, el hombre estara limitadosocialmente.Cuando el hombre aprende a nombrar todo lo que le rodea y luego es capaz derelacionar el objeto solamente con su nombre, el lenguaje se convierte ensmbolo, es decir, toma vida independiente del objeto, de tal forma que se puedeafirmar que el lenguaje no slo es un instrumento de comunicacin sino tambinde pensamiento; por lo tanto, para el hombre el lenguaje es exterior e interior, 7Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 199966 67. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA pues le permite establecer comunicacin y mediante l acumula y transmite sus experiencias utilizando los procesos de simplificacin y generalizacin. De otra parte se puede ha hablar de lenguaje natural o artificial. El lenguaje naturale artificial nace de una organizacin espontnea de las capacidades lingsticas de una comunidad, y se encuentra dotado de gran cantidad de signos, sobresali sobresaliendo las vocales; mientras que el lenguaje artificial se genera cuando una o ms l personas deciden usar signos especiales para obtener mejor comunicacin, estableciendo reglas que faciliten la op ratividad entre los signos; por ejemplo, el operatividad lenguaje de la matemticas, de la fsica, qumica y de otras ciencia. Este tipo de lenguaje posee gran cantidad de signos y nace de la exigencia de conservar informacin por lo que se le conoce como formas de comunicacin, que pueden ser escritas por medio de conos, con lenguajes analgicos y digitales. 8Lenguaje NaturalImagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)8 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C..1999 67 68. Lgica Matemtica Lenguaje Artificialh2 h2 = a2 + b2 a2 b2 Figura No. 1 Teorema de Pitgoras. Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) (1511H GKAFBCD LEImagen No. 3Euclides. Padre de la Geometra.Detalle. La escuela de Atenas - frescode Raffaello Sanzio (1511)68 69. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.5 Componentes del proceso semitico Iniciamos esta seccin asignndole el trmino semitica a la ciencia que estudia los sistemas de signos, se encarga de estudiar las condiciones de comunicabilidad y comprensibilidad de un mensaje, ensea en qu consisten los signos y cules son las leyes que los gobiernan. En el proceso semitico deben tenerse en cuenta tres vertientes: el emisor, el receptor y el contexto del mensaje. El emisor es quien inicia la comunicacin enviando un mensaje al receptor; esta operacin implica un contexto (aquello de lo que se habla), signos y por lo tanto un cdigo. La funcin del signo consiste en comunicar ideas por medio de mensajes, estos signos pueden ser naturales: el humo significa fuego, nubes indicio de lluvia; o artificiales (smbolos): bandera, escudo; o analgicos (icnicos): fotografas, esquemas, etc. El signo es el vehculo de toda comunicacin y pensamiento. Sus caractersticas estn determinadas por el lugar que el signo ocupa en el sistema y por sus relaciones con los dems signos de dicho sistema. La funcin esencial de los cdigos es evitar toda confusin entre el signo y el mensaje. Si los signos se encuentran en una relacin lgica de exclusin, de inclusin o de interseccin, se pueden presentar tres tipos de cdigos:Exclusin:ABC 69 70. Lgica Matemtica Inclusin AB C InterseccinAB CEl emisor debe codificar el mensaje de tal forma que cuando el receptor reciba elmensaje y lo decodifique pueda reconstruir su sentido a partir de los signos y delas relaciones existentes entre ellos. 9 9Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 199970 71. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.6 Ramas de la semiticaActualmente se reconocen tres reas en el campo de la semitica as: sintaxis,semntica y pragmtica.El primero en establecer con claridad y divulgar esta clasificacin fue Morris en1938, quien defini la pragmtica como el estudio de la relacin de los signoscon los intrpretes, la semntica como el de las relaciones de los signos conlos objetos a los que se aplican y la sintaxis como el de las relaciones formalesentre los mismos signos. Galindo (1999)71 72. Lgica Matemtica La lgica se clasifica en:1. Tradicional o no formal: son los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico y mtodos de inferencia, que permiten interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto mediante la experiencia humana, ya sea por el conocimiento o por la observacin de su entorno.2. Formal o simblica: Es la encargada de investigar, desarrollar y establecer reglas de inferencia, que conducen a formas puras y rigurosas de pensamiento. La lgica simblica, manipula las palabras como signos, sin tener en cuenta su sentido.La lgica pretende que sus razonamientos se caractericen por:1. Precisin: mediante el uso de signos2. Claridad: en la medida que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento lgico en su forma (representacin simblica) y su significado.3. Generalidad: mediante el lenguaje simblico artificial, el usuario, por una parte simplifica argumentos lgicos complicados y por otra parte, establece reglas que le permiten generalizar conceptos e incrementar la fiabilidad con que se aplica el conocimiento.Lenguaje: Sistema de signos que expresan ideas y se utilizan para establecercomunicacin.Lenguaje natural: Nace de las capacidades lingsticas de una comunidad.Lenguaje artificial: Es aquel que utiliza signos para obtener una comunicacin msprecisa y clara.72 73. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAAmigo estudiante, recuerda que la motivacin es una de las tres condiciones para lograr unaprendizaje significativo:1. Cmo se puede definir la lgica?2. Elabore un resumen sinttico de la historia de la lgica?3. Mediante un cuadro sinptico, clasifique la lgica con sus caractersticas fundamentales4. Cul es el propsito de la lgica?5. Escriba y explique las componentes del proceso semitico.6. Enuncie las ramas de la semitica. 73 74. Lgica Matemtica Lecciin No..2 Proposiiciiones Lecc n No 2 Propos c ones 1.7 Proposiciones La proposicin lgica constituye el elemento fundamental de la lgica. Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que debe cumplir con la condicin de ser susceptible de poder ser verdadero o falso. Por ejemplo: La temperatura ambiente es mayor de 20 grados es un enunciado que puede ser Verdadero o Falso. La proposicin puede ser verdadera o falsa en un momento dado, decimos entonces que, el valor de verdad de una proposicin lgica es, por definicin, verdadero o falso, y es representado por las letras V o F. El valor de verdad de la proposicin de acuerdo a la relacin de su contenido con la realidad no es el objeto de estudio de la lgica. Es por esta razn que se afirme que la lgica habla de lo posible, pero no de lo real. De esta manera, dada la proposicin hace fro, independiente de las creencias de cualquiera o de la realidad de que est o no haciendo fro, independiente del lenguaje o de la forma lingstica usada como la temperatura est baja, la lgica slo se ocupa de la posibilidad de ser verdadero o falso de la proposicin. De all que se suela afirmar que la verdad lgica es una verdad formal, que no tiene contenido. Observemos que las proposiciones se dan mediante un enunciado lingstico, generalmente en la forma gramatical de oracin enunciativa: Recordemos que la oracin enunciativa se corresponde con los actos de habla declarativos, los cuales comunican sin ms, un hecho: Juan es Colombiano. Estas expresiones contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugacin del verbo ser, observemos algunos ejemplos:74 75. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAEjemplos: Hoy es sbado Soy estudiante de psicologa New York es llamada la capital del mundoDe esta manera, podemos afirmar que la lgica se ocupa de las proposiciones. Ms adelante,estudiaremos reglas que permiten la transformacin de unas expresiones en otrasequivalentes, y veremos cmo, de acuerdo a estas reglas o leyes lgicas, a partir del valor deverdad de una o varias proposiciones logramos inferir la verdad o falsedad de otrasproposiciones.1.7.1 Representacin de las proposicionesLa lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma comoelemento bsico de anlisis a la proposicin, que no es otra cosa que una oracin dellenguaje cotidiano con un significado mucho ms limitado; en tales condiciones, se puedeconsiderar una proposicin como una excepcin lingstica que tiene la propiedad de serverdadera o falsa. Galindo (1999)Las proposiciones se representan simblicamente mediante el uso de letras minsculas delalfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variablesproposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional se hace ms simple y exacto que ellenguaje natural. As, tambin se logra simplificar la escritura de argumentos lgicoscomplicados, creando un lenguaje simblico artificial, en donde se establece un conjunto dereglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigedades ni vaguedades dellenguaje corriente o natural:Los siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las proposiciones:Ejemplos:p : Hoy es sbadoq : Estudio filosofar : Colombia es el pas con el mayor nmero de especies de aves delmundox : 4 + 3 = 10 75 76. Lgica Matemtica En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes: Ejemplos:Las rosas son rojas y tienen espinas.La seleccin Colombia gano perdi?En el pas no hay violencia.Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar la validez deun razonamiento lgico.4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2. Para la formacin de las oraciones del ejemplo anterior se utilizaron las expresiones especiales: y, o, no, si entonces, s y slo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados; denominamos a stas partculas o trminos de enlace "nexos o conectivas", que establecen relaciones sintcticas como funcin de coordinacin y subordinacin determinadas entre las proposiciones que la integran; tal ocurre en la funcin de las conjunciones en las oraciones compuestas de la lengua. Al igual que a las proposiciones, tambin les asignamos un lenguaje simblico as: Tabla No. 1 Conectivos Lgicos. Lenguaje Natural y ArtificialLenguaje NaturalLenguaje Artificialy o no Si . entonces Si y slo si76 77. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAPartiendo del ejemplo anterior, podemos hallar la notacin simblica de las expresionesplanteadas:Ejemplos:Expresin: Las rosas son rojas y tienen espinas.Proposiciones:p : Las rosas son rojasq : Las rosas tienen espinasNotacin simblica: pq____________________________________________________________Expresin: La seleccin Colombia gano perdiProposiciones:r: La seleccin Colombia gans: La seleccin Colombia perdiNotacin simblica: rs____________________________________________________________Expresin: En el pas no hay violencia.Proposiciones:t : En el pas hay violencia.Notacin simblica: t____________________________________________________________ 77 78. Lgica Matemtica Expresin: Si estudio lgica matemtica entoncespuedo determinar la validez de un razonamiento lgicoProposiciones:x : Estudio lgica matemticay : Puedo determinar la validez de un razonamiento lgicoNotacin simblica:x y ____________________________________________________________ Expresin: 4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2.Proposiciones:u : 4 es un nmero parv : 4 es divisible por 2Notacin simblica:uv78 79. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.7.2 Clasificacin de las proposicionesEn lgica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atmicas o simples ymoleculares o c