Modulo angulos triangulos
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Ángulos y Triángulos
Asignatura: TRIGONOMETRIA
ING. JAVIER ENEIRO VEGA
mmm... ojalá te sirva este módulo
INSTITUTO TECNICO INDUSTRIAL
LAUREANO GOMEZ CASTRO
![Page 2: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/2.jpg)
“A ver a ver a ver”: Hola amigos del ITI, en las siguientes
diapositivas presentaremos lo entretenidito que puede resultar aprender las propiedades de los
ángulos y triángulos. Van a aprender a construirlos
perfectamente; sus propiedades y lo mas importante, desarrollar
esos ejercicios que se ven de otro mundo. En estas diapositivas van
a encontrar entreteniditos “Quizesitos” y así poder pasar a otro nivel de dificultad. Buena
suerte y animo con los TRIANGULOS Y ANGULOS!!!!!
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Ángulos Para aprender sobre los ángulos primero tenemos que tener
claros estos conceptos, esperemos que este cuadro te ayude
Nombre del Conjunto
Punto Recta Segmento Rayo Plano
Representación P
M N M N M N
Símbolo P MN MN
MN
P
Se lee Punto P Recta MNRecta NM
Segmento MNSegmento NM
Rayo MN Plano P
Dimensión No tiene Una: Largo Una: Largo Una: Largo Dos: Largo y Ancho
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Ahora si podemos comenzar. Un ángulo es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Así como muestra la figura
Ángulos
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Este es el que se conoce como Sistema sexagesimal
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado
sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a
un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes
iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un
segundo.
ÁngulosSistema de Medición de ángulos
“Con esfuerzo y constancia
lograras aprender los contenidos”
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Tipos de Ángulos
Ángulos
Tipo de ángulo Rango
Ángulo Agudo
0º 90º
Ángulo Recto
90º =
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Ángulos
Ángulo Extendido
180º =
Ángulo Obtuso
0º 90º
Ángulo Convexo
180º 360º
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Ángulos
Ángulo Completo
360º =
Haber muchachos,
después de esto nos vamos a meter en la
materia de la clasificación de ángulos así que
prepárense
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Ángulos
Ángulos CONSECUTIVOS
Clasificación de ángulos
• Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. BAC es adyacente con DAC
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Ángulos
Ángulos Opuestos por el vértice
Clasificación de ángulos
• Dos líneas que se interceptan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. 1, 2, 3 y 4
• Son ángulos congruentes: 1 = 2 y 3 = 4
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Ángulos
Ángulos Complementarios
Clasificación de ángulos
• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°. +=90º
• El BAC es adyacente al DAC y viceversa
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Ángulos
Ángulos Suplementarios
Clasificación de ángulos
• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°. +=180º
• El BAC es adyacente al DAC y viceversa
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Ángulos
Llegó la hora de hacer el primer quiz, esperemos que estés listo después de todo lo aprendido
Va a ser un quiz de 3 preguntas simples con alternativas
BUENA SUERTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1) ¿Qué tipo de ángulo sería este?
a) Obtuso
b) Convexo
c) Agudo
d) Extendido
QUIZ 1
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ÁngulosQUIZ 1
Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Pasa a la siguiente pregunta
Vuelve si quieres
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ÁngulosQUIZ 1
Estudia más e inténtalo de
nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
![Page 16: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/16.jpg)
Ángulos
2) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 21º ?
a) 159º
b) 69º
c) 339º
d) 29º
QUIZ 1
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ÁngulosQUIZ 1
Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Pasa a la siguiente pregunta
Vuelve si quieres
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ÁngulosQUIZ 1
Estudia más e inténtalo de
nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
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Ángulos
3) En los siguientes pares de ángulos cuales son opuestos por el vértice
a) 1 y 2
b) 1 y 3
c) 2 y 3
d) 4 y 1
QUIZ 1
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ÁngulosQUIZ 1
Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue
![Page 21: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/21.jpg)
ÁngulosQUIZ 1
Estudia más e inténtalo de
nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
![Page 22: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/22.jpg)
ÁngulosQUIZ 1
Calificaciones3/3=Aprendiste MUY
BIEN!!!!!!!!
2/3=Estas bien pero falta repasar
1/3=Necesitas más estudio
0/3= ESTUDIA!!!!!!!!!!!!!Vuelve a la pregunta anterior
![Page 23: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/23.jpg)
¿Qué pasa si se intersectan paralelas con una recta llamada transversal?
Si quieres saber mira la siguiente página
![Page 24: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/24.jpg)
Ángulos
Ángulos entre paralelas
• Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.
![Page 25: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/25.jpg)
Ángulos
Ángulos entre paralelas
• Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulos:
Ángulos interiores y exteriores
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos
Ángulos conjugados
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Ángulos
• Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulos
interiores.
Ángulos interiores
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Ángulos
Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.
Ángulos exteriores
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Ángulos
• Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal
Ángulos correspondientes
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Ángulos
• Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos internos
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Ángulos
• Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos
![Page 31: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/31.jpg)
Los ángulos correspondientes son iguales entre
sí.Los ángulos
alternos internos son iguales entre
sí. Los ángulos
alternos externos son iguales entre
sí.Y los ya estudiados
opuestos por el vértice, también
![Page 32: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/32.jpg)
Ángulos
• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos conjugados internos.
Ángulos conjugados internos
![Page 33: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/33.jpg)
Ángulos
• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos conjugados externos.
Ángulos conjugados externos
![Page 34: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/34.jpg)
A ver A ver A ver..., que crees tú que
pasa con los conjugados internos
y externos.
1) Suman 90°
2) Son rectos
3) Suman 180°
4) Son agudos
![Page 35: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/35.jpg)
NO NO NO NO NO!!!DEBES DEDUCIR MEJOR,
ASI ESTARÁS MEJOR PREPARADO PARA LOS
QUIZESITOS
Vuelve a la pregunta anterior
![Page 36: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/36.jpg)
Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementariosy también los ángulos conjugados internos entre paralelas
BIEN!!!!!
sigue avazando
Vuelve a la pregunta anterior
Pasa a ver como te fue
![Page 37: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/37.jpg)
QUIZ 2
1) En los siguientes pares de ángulos cuales son Interiores:
a) 1 y 2
b) 3 y 4
c) 1 y 8
d) 7 y 2
Ángulos
Llegó la hora de hacer el segundo Quiz. Como ya estas familiarizado no hay mucho que decir, solo: BUENA SUERTE!!!!!!
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ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e inténtalo de
nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
![Page 39: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/39.jpg)
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue
![Page 40: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/40.jpg)
ÁngulosQUIZ 2
2) En los siguientes pares de ángulos cuales son Correspondientes:
a) 5 y 6
b) 3 y 4
c) 5 y 8
d) 2 y 6
![Page 41: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/41.jpg)
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e inténtalo de
nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
![Page 42: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/42.jpg)
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente
![Page 43: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/43.jpg)
ÁngulosQUIZ 2
3) En los siguientes pares de ángulos cuales son Conjugados externos:
a) 1 y 7
b) 5 y 6
c) 4 y 8
d) 2 y 5
![Page 44: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/44.jpg)
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e inténtalo de
nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
![Page 45: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/45.jpg)
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente
![Page 46: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/46.jpg)
ÁngulosVamos a hacer varios ejercicio simples en el que tendrás que descubrir los diferentes ángulos de las sig. figuras
3 2 1
5
4
1 = 67 º
2 =
3 =
4 =
5 =
![Page 47: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/47.jpg)
Ángulos
3 1
2
4
1 = 80 º
2 =
3 =
4 =
![Page 48: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/48.jpg)
Ángulos
3 1
4 2
6
5
1 = 55 º
2 = 120º
3 =
4 =
5 = 125º
6 =
![Page 49: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/49.jpg)
Ángulos
3 1 2
4 6 5
1 =
2 =
3 =
4 = 63º
5 =
6 = 69º
![Page 50: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/50.jpg)
Ángulos
5 1
2
4
6 3
1 = 111º
2 =
3 =
4 =
5 =
6 =
![Page 51: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/51.jpg)
Ángulos
Muy Bien¡¡¡¡¡¡¡¡Se Acabó!!!!!!!!Espero que te hayan
servido esos ejercicios para
practicar.Ahora se viene la
unidad de TRIÁNGULOS
Esperemos que estés listo
SUERTE ; )
![Page 52: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/52.jpg)
Triángulos
Comenzaremos con el tema de los triángulos.Aquí estudiaremos a
como clasificarlos, sus elementos primarios y secundarios, también
haremos algunos quizes.
![Page 53: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/53.jpg)
TriángulosLo primero que veremos será que son los triángulos y sus partes, para esto nos ayudará la siguiente imagen.
Este triángulo nos dice las siguientes cosas:
Triángulo ABC:
Lados: BC=a; AC=b; AB=c
Ángulos: CAB ; ABC ; BCA
![Page 54: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/54.jpg)
Según sus lados:
1) Equilátero AB BC AC
TriángulosClasificación de los
triángulos
![Page 55: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/55.jpg)
2) Isósceles AB AC
Según sus lados:
Triángulos Clasificación de los triángulos
![Page 56: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/56.jpg)
3) Escaleno AB ≠ BC ≠ AC
Según sus lados:
Triángulos Clasificación de los triángulos
![Page 57: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/57.jpg)
Según sus ángulos:
4) Acutángulo: Todos sus ángulos interiores son agudos (miden menos de 90º)
Triángulos Clasificación de los triángulos
![Page 58: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/58.jpg)
5) Rectángulo: 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios
Según sus ángulos:
Triángulos Clasificación de los triángulos
![Page 59: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/59.jpg)
Clasificación de los triángulos
Según sus ángulos:
6) Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y dos agudos
Triángulos
![Page 60: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/60.jpg)
Triángulos
Propiedades de todo Triángulo
II. Los tres ángulos exteriores suman en conjunto 360º.
’ + ’ + ’ = 360º
Clasificación de los triángulos
![Page 61: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/61.jpg)
Triángulos
Propiedades de todo Triángulo
I. Los tres ángulos interiores suman en conjunto 180º.
+ + = 180º
Clasificación de los triángulos
![Page 62: Modulo angulos triangulos](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55912d7d1a28ab11028b4621/html5/thumbnails/62.jpg)
En un triángulo es posible construir
diversos segmentos de gran importancia para su estudio, los que son llamados comúnmente
“elementos secundarios”.
Si , si ,si si,si si........ Pero también cabe mencionar que cada uno de estos
elementos posee propiedades especiales y generan a su vez nuevos
elementos.
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Elementos secundarios de un triángulo
Segmento perpendicular que une un vértice del triángulo con el lado opuesto.
En un triángulo existen tres alturas y la intersección entre ellas recibe el nombre de Ortocentro.
Según el tipo de triángulo, el ortocentro esta fuera, dentro o sobre un lado del triángulo.
Altura
¿Cómo se dibuja una altura?. Házme
click
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Una altura, cuyo símbolo es h, es el trazo perpendicular que une un lado del triángulo con el vértice opuesto.
La altura se traza con una escuadra, para lograr una mayor precisión. Ponemos un cateto de ella sobre el lado y el otro cateto debe pasar por el vértice opuesto.
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El punto donde se intersectan las alturas se llama ortocentro.
En un triángulo rectángulo
cada cateto es altura del otro, y el ortocentro es el vértice del
ángulo recto.
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Elementos secundarios de un triángulo
Rectas perpendiculares a cada lado lado del triángulo en su punto medio.
Su intersección, llamado circuncentro, es un punto que equidista de los vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita.
Mediatrices o Simetrales
¿Cómo se dibuja una simetral?. Házme click
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La simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo. Se obtiene colocando la punta metálica del compás en ambos extremos del trazo ( P y Q ) y, con la misma medida, formamos un punto arriba y otro abajo de él. La recta que une los puntos formados (R y S) es la simetral.
El símbolo de simetral es una s y el nombre del lado.
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Elementos secundarios de un triángulo
Segmentos que dividen al ángulo del vértice en dos partes iguales. Las bisectrices del triángulo se intersectan en un punto del triángulo llamado Incentro, y que es el centro de la circunferencia inscrita.
Bisectrices
¿Cómo se dibuja una bizectriz?.
Házme click
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Utilizaremos el compás. Apoyamos la punta de metal en el vértice ( I ) y hacemos un arco con una medida cualquiera. Obtenemos 2 puntos R y T. Aplicamos la medida anterior -u otra mayor que la mitad del arco- desde T y desde R para formar un punto ( S ). Unimos el vértice con ese punto y obtenemos IS = bisectriz. Así:
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Las 3 bisectrices de un triángulo se intersectan en un
punto llamado incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al
triángulo.
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Elementos secundarios de un triángulo
Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro o Centro de Gravedad, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto.
Transversales de gravedad y Medianas
¿Cómo se dibuja una mediana?.
Házme click
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Para dibujar esto no hay mucha dificultad.
El punto donde se intersectan las tres transversales se llama
Centro de Gravedad del triángulo.
Tranversal de Gravedad
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Las medianas quedan paralelas a los lados.
Son los segmentos que unen los puntos medios del triángulo.
Medianas
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TriángulosQUIZ “Larguito” Llegó la hora de hacer el Primer Quiz
Larguito. Como ya estas familiarizado con los Quiz anteriores no hay mucho que decir, solo: BUENA SUERTE!!!!!!
1) ¿Según sus lados qué Triángulo es este si: AB AC?
a) Equilátero
b) Escaleno
c) Isósceles
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ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e inténtalo de
nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
QUIZ “Larguito”
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ÁngulosQUIZ 2
Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a la otra pregunta
QUIZ “Larguito”
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TriángulosQUIZ “Larguito”
2) ¿Según sus ángulos qué Triángulo es este si tiene un ángulo obtuso?
a) Acutángulo
b) Obtusángulo
c) Rectángulo
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Muy bien acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
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TriángulosQUIZ “Larguito”
3) Encuentra el dato que falta:
a) 15º
b) 105º
c) 120º
d) 45º
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TriángulosQUIZ “Larguito”
4) Encuentra el dato que falta:
a) 40º
b) 120º
c) 60º
d) 90º
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TriángulosQUIZ “Larguito”
5) Descubre el valor de X
a) 120º
b) 45º
c) 50º
d) 30º
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Continuara ...