Módulo 5 - Sistema de 1 e 2 grau
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Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau
Objetivo: Aps levantar o modelo matemtico do sistema, o mesmo deve ser analisado quanto ao seu desempenho antes que o mesmo seja executado definitivamente. Para isso analisada a resposta do sistema a algumas entradas padres (degrau, rampa, impulso, senoidais e outras). A resposta de um sistema de controle composta de duas partes: a resposta transitria e a resposta estacionria. A resposta transitria aquela que vai do estado inicial at o sistema atingir a resposta estacionria. A resposta estacionria a aproximao do sistema resposta desejada ou comandada.
)()()( tctctc sstr += resposta transitria resposta estacionria
Caractersticas importantes no projeto: - Estabilidade absoluta (se o sistema estvel ou instvel) - Estabilidade relativa (oscilaes em regime transitrio) - Erro estacionrio (Preciso do sistema: a diferena entre a sada em regime estacionrio (ou permanente) e a entrada). Sistemas de 1 e 2 Ordem Ordem do Sistema: A ordem do sistema a mais alta potncia da derivada da equao diferencial, ou a mais alta potncia de s no denominador.
Exerccio 1: Quais a ordem dos sistemas abaixo:
a) kcsms
sG b) ++= 21)(
11)( +=G RCss
c) 1
1)( 2 ++= RCsLCssG d) sRCsLRsG = ++ 2)/(1)(
e) ghdtdhRA
dthdLp 22
2
++= f) ++= vcv vcdtLdtdvcCR 1
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Sistemas de 1 Ordem
Forma Geral: 1
1)()()( +== TssRsCsFT
A equao diferencial de primeira ordem dada por:
)()(.)]([ 001 trbtcadttcda =+
Convertendo para o domnio da freqncia: )(.)(.)(.. 001 sRbsCasCsa =+ Rearranjando os termos para ficar igual forma geral:
1
1.1)./(
/.)(
)()(01
00
01
0
+=+=+== TsGsaaab
asab
sRsCsT
Neste caso T = a1/a0 constante de tempo do sistema. A constante de tempo descrita como o tempo necessrio para que a resposta do sistema alcance 63% do seu valor final. Resposta ao Degrau Unitrio A transformada de Laplace para o degrau unitrio 1/s. Inserindo essa entrada em um sistema de primeira ordem, obtm-se:
]/1[/1.1.
1
1/1)(
1)()(
TssTG
sTsG
TsG
ssC
TsG
sRsC
+=+
+==+==
)(
)(
)(
sC
sFT
sFT
=
]=
Utilizando a tabela de transformadas de Laplace, a inversa dada por: c 1.[)( /TteGt
O grfico dessa funo mostrado acima. Note que quanto menor a constante de tempo , mais rpido o sistema responde.
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Exemplo 1: Um termopar tem como entrada a temperatura e a sada uma tenso. Considerando que o mesmo tenha uma funo de transferncia de:
11010.30)(
6
+=
ssG
Qual ser (a) o tempo gasto para a sada do termopar alcanar 95% de seu valor final e (b) qual o valor final quando aplicada uma entrada degrau de 100 C?
(a) A funo de transferncia dada de primeira ordem, comparando com a forma geral T = 10s. Para atingir 95% (ver grfico) necessrio 3.. Assim ser necessrio 30s para atingir 95%.
(b) A sada do sistema para entrada a degrau dada por:
]110[10.3000100.
11010.30)(
11010.30
)()()(
66
6
+=+=+==
sssssC
ssRsCsG
Para conhecer o valor final deve-se aplicar o teorema do valor final: )()(. limlim
0tfsFs
ts =
logo: Vsss
stfsst
66
0
6
010.3000
]110[10.3000
]110[10.3000.)( limlimlim
=+=+=
Exerccio 2: a) No grfico seguinte qual a funo de transferncia do sistema?
b) Qual o valor inicial e o valor final quando for aplicado uma entrada degrau com uma amplitude de 7.
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Resposta Rampa Unitria A transformada de Laplace para a rampa unitria 1/s2. Inserindo essa entrada em um sistema de primeira ordem, obtm-se:
]/1[/1.1.
1)(
1/1)()(
1)()()(
2
2
TssTG
sTsGsC
TsG
ssCsFT
TsG
sRsCsFT
+=+=+==+==
Utilizando a tabela de transformadas de Laplace, a inversa dada por: )]1(.[)( /TtetGtc = O grfico dessa funo mostrado ao lado Onde: r(t) - sinal de entrada y(t) - sinal de sada Aqui quanto menor a constante de tempo , menor o erro no estado estacionrio. Considerando G=1, o sinal do erro do sistema dado pela sada desejada (no caso a rampa r(t)) e a sada obtida (y(t)):
TeeTteeTttte
T
Tt
===
)()1()()]1([)(
/
/
Exemplo 2: Um termopar tem como entrada a temperatura e a sada uma tenso. Considerando que o mesmo tenha uma funo de transferncia de:
11010.30)(
6
+=
ssG
a) Quando o termopar estiver sujeito a uma entrada de temperatura rampa de 5 C/s, qual ser a sada aps ter decorrido 12s?
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Pela equao a constante de tempo T = 10s e G = 30.10-6 O sinal de entrada (rampa) no unitrio, portanto a equao da sada fica:
)]1(.[.)( /TteTtAGtc = onde A a inclinao da rampa (5 C/s) Aps 12s a sada ser:
Vxetc 410/126 105,7)]1(1012.[5.10.30)( ==
b) Qual o atraso dessa sada em relao entrada? A entrada uma rampa com inclinao igual a 5, logo aps 12s o valor da entrada ser:
VxtrtAGtr
46 101812.5.10.30)12(..)(
===
A sada aps 12s foi calculada no item anterior, logo o erro (ou atraso) entre a
entrada e a sada ser: VxSadaEntrada 444 105,1010.5,710.18 == Resposta ao Impulso A transformada de Laplace para o impulso unitrio 1. Inserindo essa entrada em um sistema de primeira ordem, obtm-se:
]/1[/1.1.
1)(
11)()(
1)()()(
TsTG
TsGsC
TsGsCsT
TsG
sRsCsT
+=+=+==+==
Utilizando a tabela de transformadas de Laplace, a inversa dada por: TtetGtc /)/1.()( = Se o impulso tem uma amplitude A, ento a equao torna-se: TtetAGtc /)/1.(.)( =
-
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A figura abaixo mostra a resposta para a entrada impulso unitrio:
Quanto menor a constante de tempo T, mais rpido o sistema responde. Exemplo 3: Considerando a funo de transferncia do termopar igual a:
11010.30)(
6
+=
ssG
a) Qual ser sua sada aps 5s se o termopar for sujeito a uma entrada de 100 C? Pela equao a constante de tempo T = 10s e G = 30.10-6 O sinal de entrada (impulso) no unitrio, portanto a equao da sada fica:
VxetcetAGtc Tt
410/56
/
108,1)10/1.(100.10.30)()/1.(.)(
===
b) Qual ser o valor inicial e o valor final da sada?
Vxss
ssFstfssst
666
010300
/11010.3000100.
11010.30)(.)( limlimlimlim
=+=+==
Vss
ssFstfssst
0/110
10.3000100.110
10.30)(.)(6
0
6
00limlimlimlim =+=+==
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Exerccio 3: Considere no circuito abaixo que a chave seja fechada no instante t=0. Obter a resposta do sistema quando a entrada for:
a) Impulso com amplitude 5 V. b) Rampa com inclinao = 5 V/s.
-
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Sistemas de 2 Ordem
Forma Geral: 222
..2)()()(
nn
n
sssRsCsT
++==
A equao diferencial de segunda ordem dada por:
)(.)(.)]([)]([ 00122
2 trbtcadttcda
dttcda =++
A equao diferencial de segunda ordem deve ser escrita na forma padro, isto , em termos da freqncia natural n e do coeficiente de amortecimento .
)()(.)]([2)]([ 202
2
2
trbtcdttcd
dttcd
nnn =++ onde: n freqncia natural, no qual o sistema oscila na ausncia do amortecimento. coeficiente de amortecimento.
Convertendo para o domnio da freqncia, considerando que em t=0 temos
c(t)=0 e d[c(t)]/dt=0: )(..)(.)(...2)(. 20
22 sRbsCsCssCs nnn =++ Rearranjando os termos:
222
22
2
..2.
..2)()()(
nn
no
nn
no
ssb
ssb
sRsCsT
++=++==
Os sistemas de segunda ordem podem ser apresentados, tambm, das seguintes formas:
22
2
22
2
..2..2)()()(
n
n
nn
n
sssssRsCsT
++=++==
onde:
= .wn atenuao
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Resposta ao Degrau para um Sistema de Segunda Ordem A transformada de Laplace para o degrau unitrio 1/s. Inserindo essa entrada em um sistema de segunda ordem, obtm-se:
( )ssssCsR
sssC
sssRsCsT
nn
n
nn
n
nn
n
22
2
22
2
22
2
..2)(
)(...2
)(
..2)()()(
++=++=++==
Calculando as razes (m1 e m2) da equao de segundo grau: 22 ..2 nn ss ++
2442 222 nnns =
)1(
)1(
22
21
=
+=
nn
nn
s
s
A funo de transferncia anterior pode ser escrita em funo das razes da equao do segundo grau:
ssssssC n
))(()(
21
2
=
O tipo de resposta que ocorre depende do valor do fator de amortecimento . Quando:
idosubamortecsistemacomplexasrazes
amortecidotecriticamensistemammdoeramortecisistemarealnmero
n
)1(1
1sup)1(1
2
21
2
-
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Resposta Degrau Unitrio para o Sistema subamortecido (0
-
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Se = 0 (somente parte imaginria) c(t) = 1 cos(wn.t) oscilaes permanentes. A figura seguinte mostra esta condio:
Resposta Degrau Unitrio para o Sistema Criticamente Amortecido (=1) O sistema criticamente amortecido possui 2 razes (plos) reais e iguais. Para a entrada degrau unitrio:
( )( )22
2
22
2
..21)(
..2)()(
nn
n
nn
n
ssssC
sssRsC
++=++=
Escrevendo a equao acima em termos de suas razes e lembrando que s1 = s2 = -n (com = 1)
( )221)(n
n
sssC
+=
Assim, utilizando a transformada inversa de Laplace, a resposta do sistema dada por:
)1(1)( tetc ntn +=
A figura seguinte mostra o comportamento do sistema:
-
.
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Resposta Degrau Unitrio para o Sistema Superamortecido (>1) Este sistema possui dois plos (razes) reais e negativos. Para entrada degrau unitrio:
( )( )22
2
22
2
..21)(
..2)()(
nn
n
nn
n
ssssC
sssRsC
++=++=
Escrevendo em termos das razes do sistema:
22 ..2 nn ss ++
2
442 222 nnns =
)1(
)1(
22
21
=
+=
nn
nn
s
s
))1()()1(()(
22
2
+++=
nnnn
n
ssssC
Aplicando a transformada inversa de Laplace, a resposta no tempo dada por:
+=
+
++=
+
212
)1(
22
)1(
22
21
22
.12
1)(
.)1(12
1.)1(12
11)(
se
setc
OUeetc
tstsn
tt nn
O comportamento do sistema mostrado na figura abaixo:
-
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supera
A figura seguinte mostra as curvas de resposta ao degrau unitrio:
Um sistema subamortecido com entre 0.5 e 0.8 se aproxima mais rapidamente do valor final do que um sistema amortecido ou superamortecido. Sem oscilao, o sistema criticamente amortecido apresenta uma resposta mais rpida. O sistema
mortecido possui a resposta mais lenta para qualquer tipo de entrada.
Especificao da resposta transitria A figura ao lado mostra as caractersticas de um sistema de segunda ordem com uma entrada a degrau. Essas caractersticas so importantes para especificar o desempenho do sistema.
-
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Pela figura temos: td tempo de atraso (tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final). tr tempo de subida (tempo para que a resposta passe de 10% a 90% de seu valor final para sistema supermortecido, ou passe de 5% a 95% ou de 0 a 100% do valor final para sistemas subamortecido).
dn
r wwt
=
=21.
tp tempo de pico (tempo para atingir o primeiro pico).
dn
pt
=
=21
Mp Mximo de sobre-sinal (ou somente sobre-sinal) valor mximo de pico medido a partir da sada em regime permanente. Pode ser calculado por:
%100)(
)()(x
cctc
M pp = indica estabilidade relativa
se o valor final for unitrio:
)1/()/( 2 == eeM dp ts tempo de acomodao (temo necessrio para que a curva alcance os valores em uma faixa (2% ou 5%) do seu valor final.
33%)5(44%)2( ====
ns
ns tt
Nmero de oscilaes: o nmero de oscilaes que ocorrem no sistema a razo entre o tempo de estabilizao e o perodo:
1123%)5.(112
/2/4
%)2( 22 === oscinoscilaesn o
d
no
-
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Objetivo: Fazer que um dado sistema chegue o mais rpido possvel ao seu valor final alterando as caractersticas dadas acima.
Exerccio 4: Dada a seguinte funo de transferncia calcular: tempo de subida (tr), tempo de pico (tp), sobre-sinal (Mp) e tempo de acomodao para o critrio de 2% e 5%. Considerar que seja empregada uma entrada degrau unitrio e que o sistema seja subamortecido.
256
252 ++= ssFT
Exerccio 5: Dado o grfico abaixo, obter a funo de transferncia do sistema:
-
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Resposta a Rampa Unitria Resposta Rampa Unitria para um Sistema de Segunda Ordem
A transformada de Laplace para a rampa unitria 1/s2. Inserindo essa entrada em um sistema de segunda ordem, obtm-se:
( )( )22
2
2
22
2
..21)(
..2)()(
nn
n
nn
n
ssssC
sssRsC
++=++=
Para: a) Sistema subamortecido (0
-
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esposta ao Impulso Unitrio
A transformada de Laplace para o impulso unitrio 1. Inserindo essa entrada , obtm-se:
R
em um sistema de segunda ordem
( )( )22
2
..2)(
nn
n
nn
sssC
++=
Para: a) Sistema subamortecido (0
-
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Exerccio 6: Dado o diagrama de bloco abaixo, qual o tipo de amortecimento do sistema quando o mesmo sujeito a uma entrada degrau?
xerccio 7: Qual funo de transferncia do sistema abaixo e o seu sobre-sinal uando sujeito a uma entrada degrau:
C(s)
Resp: Mp = 52,6% xerccio 8: Qual a resposta do sistema para a funo de transferncia abaixo, uando o mesmo for sujeito a uma entrada impulso unitrio.
R(s) C(s) Eq R(s) Eq
)4)(3(2)( ++= sssG
Resp: c(t) = 2(e-3t e-4t)
1 . 2 s 6s -16
25 . s + 2s +25 2
2
-
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Exerccio 9: A relao entre o sinal de entrada para um captador de um radiotelescpio e a direo na qual ele aponta dada pela funo de transferncia:
1008100)( 2 ++= sssG
Qual o erro em regim perm nente quando o sinal de entrada do telescpio
for uma rampa, e qual o tempo de estabilizao para o critrio de 2%.
Resp: Erro Estacionrio = 0,08s ts = 1s
xerccio 10: Calcule wn, , ts, tp e Mp da seguinte funo:
e a
E
1212,13
)( 2 ++= sssG 121
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esp: wn = 11 = 0,6 ts = 0,357s tp = 0,606s Mp = 9,48% R
-
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Exerccio 11: Dado o diagrama de bloco abaixo, determinar K e b para que o sistema tenha um mximo de sobre-sinal de 25% para uma entrada degrau unitrio, e que o tempo de pico seja de 2s.
C(s) + +
Resp: K = 2,95 b = 0,471
R(s) - -
K . s
1 . s
b
-
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Prof. Celso Mdulo 5
Sistemas de 1 e 2 grau
Exerccio 12: Achar a localizao dos plos (razes do polinmio do denominador) para as seguintes condies:
Resp: - 6,66 j 9,885) ts = 7s e tp = 3s
a) Mp = 12% e ts = 0,6s
b
89
Resp: - 0,57 j 1,047
-
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ECO MATLAB
Com o matlab as representaes grficas das curvas de resposta em funo do seguintes comandos:
rampa de entrada pulse(num, den, t) entrada impulso
v el, o j mostra
e utilizar o comando lot pa e onda:
Utilizando o matlab faa um estudo da seguinte funo de transferncia onsiderando = 0.4, 1 e 2
S tempo so dadas pelos step(num, den, t) entrada degrau onde t a base de tempo lsim(num, den, r, t) entrada rampa im Se o comando no for atribudo a alguma ariv o prprio comanda representao grfica: Se os comandos forem atribudos a alguma varivel deve-sp ra visualizar os grficos. til quando for plotar vrias formas d plot(t,x) plota o grfico de x pela base de tempo t. c
10010..22 ++= ssG
100
num = [0 0 10] den = [1 8 10] t=0:00.1:10;
% reta linear % j mostra o grfico da entrada degrau
, r, t); % mostra o grfico da entrada rampa rfico da entrada impulso
r = t; step(num, den, t);lsim(num, denimpulse(num, den, t); % mostra o g
num = [0 0 10] den = [1 8 10] t=0:00.1:10; r = t; % reta linear
, t); % no mostra o grfico , den, r, t); % no mostra o grfico
pulse(num, den, t); o grfico
oso
rid % tira a grade do grfico tradas no grfico
l( empo) l( olts)
x = step(num, deny = lsim(numz = im % no mostra plot(t,x,t,y,t,z) % m tra os grficos grid % coloca grade no grficgtitle(estudos en ) % coloca ttuloxlabe t % coloca o rtulo no eixo xylabe v % coloca o rtulo no eixo y
-
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Sensor de Proximidade Indutivo SIP- 98 / K-7 Os sensores de proximidade Indutivos SIP-98, so utilizados com vantagens como
mites e fim de curso em:
tncia de manuteno e ajustes. ou controle eletrnicos
e.
a e vibraes.
ificada quando algum ecessrio o contato do
dificao na oscilao interpretada em um circuito
/50HZ. cia sensora: 35mm.
encomenda) -Faixa de temperatura: 15 70C.
li-Mquinas operatrizes correias transportadoras, processos de automatizao e indstria em geral. Vantagens - Atuao sem contato fsico. Inexis-
- Acionamento de rels diretamente com carga em sri- Tempo de vida til muito longo. - Tenso de alimentao com ampla faixa em cor- Unidade encapsulada prova de poeira,leo,gu
rente alternada.
Princpio de Funcionamento
dPossui um oscilador de rdio frequncia, cuja oscilao moorpo metlico corta o campo magntico da bobina. No nc
corpo com o sensor. Esta mocomparador, que ir ativar o gate de um tiristor, tal como uma chave liga/desliga em estado slido. Dados Tcnicos -Tenso de operao 20 20VAC/60HZ
-Tipo: N.A. ou N.F. (especificar na 2-Mxima distn-Contatos de sada: Comutao tiristor,corrente mxima 700 miliamper Corrente de consumo: 1,2 miliampr
-Comprimento do cabo: 2 metros. -Funes N.A. ou N.F.
Dimenses Fsicas
IMETRO..........................................................................54mm LTURA...............................................................................35mm
E FUROS................................................68mm ORA........................................................25mm
MATERIAL DO INVLUCRO...............................................PLSTICO ABS GRAU DE PROTEO........................................................IPI-67
DADISTNCIA ENTRDISTNCIA SENS