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BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 3 – FUNDAÇÕES DE EDIFÍCIOS
Carla MarchãoJúlio Appleton
José Camara
Ano Lectivo 2005/2006
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ÍNDICE
1. DIMENSIONAMENTO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE ............................................ 1 2. TIPOS DE FUNDAÇÕES...................................................................................................... 9 3. FUNDAÇÕES DIRECTAS (SAPATAS)................................................................................ 9
3.1. TIPOS DE SAPATAS ......................................................................................................... 9 3.1.1. Sapatas rígidas........................................................................................................ 9 3.1.2.
Sapatas flexíveis.................................................................................................... 10
3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS ............................................................................10
3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga .................................................................... 10 3.2.2. Sapata com excentricidade de carga .................................................................... 11
4. SAPATAS LIGADAS POR UM LINTEL DE FUNDAÇÃO ................................................. 19
5. DIMENSIONAMENTO DE UM MACIÇO DE ENCABEÇAMENTO DE ESTACAS ........... 25
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2005/2006 Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 3– Fundações de Edifícios
Carla Marchão; Júlio Appleton; José Camara
1
1. Dimensionamento de Zonas de Descontinuidade
Nas estruturas em geral, e de betão estrutural em particular, há zonas em que, por
razões da sua geometria ou do tipo de carregamento (em especial se se tratar de
acções concentradas) o comportamento afasta-se claramente do das teorias clássicas
de peça linear ou de laje da mecânica estrutural. Essas zonas são denominadas de
zonas D (Descontinuidade), ao passo que as zonas com comportamento uniforme e
regular se chamam de B (Bernoulli, Bending). Na figura 1 representam-se uma série
de situações que caracterizam uma zona D como:
a – zona de mudança de altura de uma viga
b – abertura numa alma de viga
c – zona de um nó de ligação de uma viga e um pilar
d – situação de uma sapata, elemento com comportamento bi-dimensional mas
em que a altura é grande em relação às dimensões em planta
e – zona de ancoragens de cabos de pré-esforço
f – zona de aplicação de uma carga concentrada numa viga
g – zona com geometria de consola curta
h – situação de uma denominada viga-parede (viga com uma relação l/h
pequena)
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Figura 1 – Ilustração de zonas das estruturas de betão que têm um comportamento diferente do de peça linear
Em termos do dimensionamento do betão estrutural é natural que os modelos a
adoptar nestas zonas sejam diferentes dos aplicados nos elementos com
comportamento uniforme. Na figura 2 representa-se o modelo de campos de tensão deescoras e tirantes e o correspondente para uma viga contínua. É de realçar nesse
modelo que, junto aos apoios, também se tem zonas D, onde os campos de
compressões deixam de ser “paralelos” para tomarem uma forma em leque e, as
correspondentes resultantes, ficam com maior inclinação.
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3
θ
Zona B -campo de tensões no betão(paralelo na zona corrente da viga
Zona B -campo de tracções nos estribos
Zona D -campo de tensões no betão em leque junto ao apoio
(a) Modelo de campos de tensão
θθ1 θ
z
(b) Modelo equivalente e “discreto” de escoras e tirantes
Figura 2 – Modelo (a) de campos de tensão e (b) de escoras e tirantes numa viga contínua de betão armado
Para geometrias diferentes há que encontrar, para cada situação, um modelo de
dimensionamento apropriado que seja representativo do encaminhamento das
principais forças no elemento, numa situação próxima da rotura.
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Figura 3 – Modelos de dimensionamento de vigas com aberturas e distribuição de armaduras resultante
Na figura 3 representam-se, como exemplo, modelos possíveis para o dimensionamento
de duas vigas em T com disposições diferentes de aberturas nas almas. Em tais
situações as expressões gerais dos regulamentos para verificação da segurança ao
esforço transverso não são aplicáveis. Há que avaliar as forças nos tirantes e escoras
do modelo e, a partir dessas forças, verificar a segurança em relação ao nível de
tensões no betão e avaliar as armaduras necessárias para resistir às tracções.
Assim para o betão há que verificar que:
σRd,max =Fcd
Ac ≤ f cd (1.a)
ou
σRd,max =F
Ac ≤ 0.6 ν f cd (1.b)
com ν = 1 – f ck/250.
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A expressão 1.a deve ser utilizada quando não há tensões na direcção transversal
(como nas compressões por flexão) ou quando há compressão moderada, e a
expressão 1.b se há tracções transversais (como nas compressões inclinadas das
almas das vigas).
E para as armaduras há que verificar que:
As ≥ FSd
f syd
Na figura 4 apresenta-se um caso tipo de uma zona D que se refere a uma consola
curta, sendo especialmente importante notar que:
A força de tracção é constante em todo o comprimento contrariamente à
situação de uma consola de vão maior
O valor da força de tracção é inferior à que adviria do cálculo em relação ao
eixo do pilar. A força de dimensionamento vale:
FSd = PSd .az
Em que “a” é a distância na horizontal do ponto de aplicação de carga à
resultante da compressão no pilar
P
P
T C
α
PM
Figura 4 – Modelo de dimensionamento de uma consola curta
Também a transmissão ao apoio de uma carga concentrada aplicada numa viga,
próxima do apoio, segue um processo de transmissão semelhante. Na figura 5 está
representada essa transmissão em que, função da distância entre os eixos de
aplicação da carga e do apoio, se considera uma repartição adequada da força entre
dois sistemas estruturais (o primeiro semelhante ao considerado no caso anterior da
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consola curta, o segundo semelhante ao do comportamento de uma viga nas zonas de
extremidade, com campos de tensão em leque).
z
(1 - α) P
zT
C
(1 - α) R1 α R1
C
Tz
α P(i) Modelo 1 (ii) Modelo 2
Pa
R1 R2
R1
P
C
T
Paraz2 < a < 2 z ⇒ α =
13
2a
z - 1
Se a = z ⇒ α =13 ; se a = 1.5 z ⇒ α =
23
Figura 5 – Esquema de transmissão de uma carga próxima do apoio com repartição da carga por dois
modelos complementares
Como se verifica, a modelação por escoras e tirantes do betão armado próximo da
rotura, para peças com comportamento unidimensional e geometria diversa, não é
mais do que a generalização do modelo de treliça da viga a situações particulares de
geometria e/ou carregamento.
Por outro lado, as fundações directas, denominadas de sapatas, têm um
comportamento bi-dimensional, tipo laje fungiforme, em que a altura é tal que a
distribuição de tensões é diferente da resultante da teoria das lajes. De facto, para
sapatas rígidas, solução corrente na prática, a altura deve ter um valor entre adistância da face do pilar ao limite da sapata e metade desse valor – ver figura 6.
A distribuição de tensões, próximo da rotura, em ambas as direcções é do tipo da
representada na figura, gerando-se campos de tensão em leque que exigem, para
equilíbrio das tensões no solo, uma distribuição parabólica de forças de tracção na
face inferior da base, como representada na figura 6.a).
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N/2 N/2
N/2 N/2
N
N/2
N
N/2
Fmáx
DFT
Fmáx
Figura 6 – Distribuição dos campos de tensão nas sapatas numa dada direcção e representação de um
modelo simples para determinação da força máxima nas armaduras.
O valor máximo destas tracções nas armaduras pode ser estimada com base num
modelo definido em termos resultantes como indicado na figura 6.b). Modelos para
outros tipos de carregamentos, em particular de esforços axiais com excentricidades,
serão referidos no capítulo referente às fundações. É, no entanto, importante
compreender desde já que, tal como numa laje fungiforme, as forças de tracção nas
armaduras têm de ser dimensionadas para o equilíbrio da totalidade das tensões no
terreno numa e noutra direcção. É uma questão básica de equilíbrio na transmissão dascargas do pilar ao terreno, ou se quisermos pensar inversamente, do terreno ao pilar.
No caso de fundações indirectas a transmissão das cargas do pilar às estacas faz-se
através do denominado maciço de encabeçamento. Nestes casos estabelecem-se
modelos, por vezes tridimensionais, de transmissão da carga como o representado na
figura 7. Os modelos de transmissão de cargas, uma vez que se tratam de acções
concentradas, são do tipo dos referidos nas figuras 4 e 5, mas tendo em consideração
a eventual tridimensionalidade de transmissão das cargas.
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N/2
N/2
N/4
N/4
N/4
N/4
Figura 7 – Modelo tridimensional de transmissão de carga de um pilar às estacas através de um maciço
de encabeçamento.
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2. Tipos de Fundações
a) Fundações directas por sapatas
Solo superficial com boas características de resistência
Edifícios de pequeno ou médio porte.
b) Ensoleiramento geral
Edifício de porte elevado e características resistentes do solo que conduzam
a uma área de sapatas superior a 50% da área total
Particularmente aconselhável se o nível freático se encontrar acima do nível
de fundação.
c) Fundações profundas
Camadas superficiais de terreno pouco consistentes
Cargas elevadas por pilar.
3. Fundações directas (sapatas)
3.1. TIPOS DE SAPATAS
3.1.1. Sapatas rígidas
NM
A (x B)
H
ba
Pré-dimensionamento:
Área em planta: σadm ≥ Nraro
A × B
Altura: A - a
4 ≤ H ≤ A - a
2
(⇔ H ≥ b/2 – condição de rigidez)
Quando a sapata é rígida, pode admitir-se que a tensão no solo é uniforme.
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3.1.2. Sapatas flexíveis
Podem surgir problemas de punçoamento
Devido à deformabilidade da sapata, em geral não se pode admitir que atensão no solo é uniforme
⇒ Não é aconselhável a utilização de sapatas flexíveis.
3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS
Para o dimensionamento de sapatas rígidas utilizam-se modelos de escoras e tirantes
(modelos de “encaminhamento de cargas”).
3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga
N
A
a
d≈0.9H
N/2N/2
a/4
N/2N/2
α
α
N/2Ft
Fc
Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do
ângulo α:
tg α =d
A - a4
(1)
Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se
tg α =N / 2
Ft (2)
igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção:
Ft = N (A - a)8d
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A área de armadura pode ser determinada pelas expressões:
As =Ft f syd
⇒
As
s =Ft f syd
⋅ 1x , sendo x a área carregada na direcção ortogonal.
3.2.2. Sapata com excentricidade de carga
(i) e > A / 4 (tensões no solo em menos de metade da sapata)
α
N
0.15a
x
N
Fc
Ft
N
αd≈0.9H
M
e
e = MN ; x = A2 - e × 2 = A – 2e
Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do
ângulo α:
tg α =d
e - 0.35a (1)
Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se
tg α =NFt (2)
igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção:
Ft =N (e - 0.35a)
d
A área de armadura pode ser determinada pelas expressões:
As = Ft f syd ⇒ As s = Ft f syd ⋅ 1y , sendo y a área carregada na direcção ortogonal.
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(ii) e < A / 4 (tensões no solo em mais de metade da sapata)
N M0.15a
A/4x
α
R1
R1
d≈0.9Hα
Ft
Fc
a
R2
e =MN ; x =
A
2 - e × 2 = A – 2e
Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do
ângulo α:
tg α =d
A/4 - 0.35a (1)
Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se
tg α =R1 Ft (2)
igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção:
Ft = R1 (A/4 - 0.35a)d
O valor da reacção R1 pode ser determinado utilizando a relação
N A - 2e =
R1 A / 2 ⇒ R1 =
A2 ×
N A - 2e
A área de armadura pode ser determinada pelas expressões:
As =Ft f syd
⇒
As
s =Ft f syd
⋅ 1y , sendo y a área carregada na direcção ortogonal.
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EXERCÍCIO S1
Considere a sapata de fundação de um pilar isolado, representada na figura.
2.50
0.75
2.50
2.00
0.50
0.40
Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata para as combinações de acções
consideradas:
Combinação 1: 1.5 cp + 1.5 sc
Combinação 2: cp + ψ2 sc + 1.5 E
Os esforços na base do pilar, para cada uma das acções, são os seguintes:
Acções N [kN] M [kNm]
Cargas permanentes -700.0 0.0
Sobrecarga (ψ2 = 0.2) -300.0 0.0
Sismo 50.0 300.0
Adopte para materiais C20/25 e A400NR e considere que a tensão de segurança do
solo é de 3.0 kg/cm2 (300 kN/m2).
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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S1
1. Esforços de dimensionamento
a) Combinação 1
Nsd,1 = (700 + 300) × 1.5 = 1500 kN
Msd,1 = 0
b) Combinação 2
b.1) N > 0 (sismo a carregar)
Nsd,2.1 = 700 + 0.2 × 300) + 1.5 × 50 = 835 kN
Msd,2.1 = 1.5 × 300 = 450 kNm
b.2) N < 0 (sismo a aliviar)
Nsd,2.2 = 700 + 0.2 × 300) - 1.5 × 50 = 685 kN
Msd,2.2 = 1.5 × 300 = 450 kNm
2. Dimensionamento
2.1. Direcção x
(i) Combinação 1
N
σ
Verificação da rigidez da sapata:
2.5 - 0.54 = 0.5 m < 0.75 m
2.0 - 0.44 = 0.4 m < 0.75 m
Verificação da tensão no solo
σ =Nsd
A × B=
15002.5 × 2.0
= 300 kN/m2 <450 kN/m2
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Cálculo das armaduras
N
A
a
d≈0.9H
N/2N/2
a/4
N/2N/2
α
α
N/2Ft
Fc
tg α =d
( A - a) / 4 =0.68
2.5/4 - 0.5/4 = 1.36
tg α =N / 2
Ft ⇔ Ft =
N / 2tg α
=7501.36 = 551.5 kN
As =Ft f syd
=551.5
348×103 × 104 = 15.85 cm2
As
s =Ft f syd
⋅ 1x =
15.852 = 7.93 cm2/m
(ii) Combinação 2.1
Verificação da tensão no solo
Nsd = 835 kN ; Msd = 450 kN ⇒ e =450835 = 0.539 m < A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m
(tensões no solo em mais de metade da sapata)
Zona carregada: x = A – 2e = 2.5 – 2 × 0.539 = 1.42 m
σ =Nsd
Acarregada=
8351.42 × 2.0
= 294.0 kN/m2 < 450 kN/m2
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Cálculo das armaduras
tg α =0.68
0.625 - 0.175 = 1.51
tg α = R1 Ft
⇔ Ft = R1
tg α= 735
1.51 = 486.8 kN
As =Ft f syd
=486.8
348×103 × 104 = 14.0 cm2
As
s =Ft f syd
⋅ 1x =
14.02 = 7.0 cm2/m
(iii) Combinação 2.2
Verificação da tensão no solo
Nsd = 685 kN ; Msd = 450 kN ⇒ e =450685 = 0.657 m > A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m
(tensões no solo em menos de metade da sapata)
Zona carregada: x = A – 2e = 2.5 – 2 × 0.657 = 1.19 m
σ =Nsd
Acarregada=
6851.19 × 2.0
= 287.8 kN/m2 < 450 kN/m2
Cálculo das armaduras
tg α =0.68
0.657 - 0.175= 1.41
tg α =NFt
⇔ Ft =N
tg α =6851.41 = 485.8 kN
As =Ft f syd
=485.8
348×103 × 104 = 13.96 cm2
As
s =Ft f syd
⋅ 1x =
13.962 = 7.0 cm2/m
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2.2. Direcção y
A carga é centrada para todas as combinações, logo Ft = N (A - a)8d
(i) Combinação 1
Ft =1500 × (2 - 0.4)
8 × 0.68= 441.2 kN
As s = Ft f syd
⋅ 1x = = 441.2348×104 × 12.5 × 104 = 5.07 cm2/m
(ii) Combinação 2.1
Ft =835 × (2 - 0.4)
8 × 0.68= 245.6 kN
As
s =Ft f syd
⋅ 1x = =
245.6348×104 ×
11.42 × 104 = 4.97 cm2/m
(iii) Combinação 2.2
Ft =685 × (2 - 0.4)
8 × 0.68= 201.5 kN
As
s =Ft f syd
⋅ 1x = =
201.5348×104 ×
11.19 × 104 = 4.87 cm2/m
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EXERCÍCIO S2
Considere o sistema constituído por duas sapatas ligadas por um lintel, como indicado
na figura.
0.40 2.00
0.80
2.502.501.50
0.70
0.40
0.50
0.60
N1 = 500 kN
M1 = ± 300 kNm
0.50
M1 = ± 500 kNm
N2 = 1000 kN
Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata e do lintel para os esforços
indicados (materiais: C20/25 e A400NR).
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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S2
1. Modelo de cálculo
4.500.50
R1 R2
A B
2. Determinação das reacções R1 e R
2
Contribuição de N 1
N1
R1
A
R2
B
Σ M A = 0 ⇔ 0.5 N1 = -R2 × 4.5 ⇒ R2 = -0.11 N1 ; R1 = 1.11 N1
Contribuição de M 1 e M 2
M1
R1
A
M2
R2
B
Σ MB = 0 ⇔ 4.5 R1 – (M1 + M2) = 0 ⇒ R1 =M1 + M2
4.5 ; R2 = -M1 + M2
4.5
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Cálculo de R 1 e R 2
R1 = 1.11 N1 ± M1 + M2
4.5 = 1.11 × 500 ± 300 + 500
4.5 =732.8 kN
377.2 kN
R1 = N2 - 0.11 N1 ± M1 + M2 4.5 = 1000 - 0.11 × 500 ± 300 + 500
4.5 =1122.8 kN767.2 kN
3. Dimensionamento da sapata 1
(i) Direcção x
500
300
0.175
0.72
732.8
Fc
Ft
α
732.8
tg α =0.72
1.5 / 2 - 0.15 × 0.5= 1.07
tg α =R1 Ft
⇔ Ft =R1 tg α =
732.81.07 = 684.9 kN
As =Ft f syd
=684.9
348×103 × 104 = 19.68 cm2
As
s =Ft f syd
⋅ 1x =
19.682 = 9.84 cm2/m
(ii) Direcção y (não há momento)
0.5/4
R1/2
N1
N1/2
0.72α
R1/2Ft
Fc
N1/2
R1/2
α
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tg α =d
( A - a) / 4 =0.72
2.0/4 - 0.4/4 = 1.8
tg α =R1 / 2
Ft ⇔ Ft =
R1 / 2tg α =
366.41.8 = 203.6 kN
As = Ft f syd = 203.6348×103 × 104 = 5.85 cm2
As
s =Ft f syd
⋅ 1x =
5.851.5 = 3.90 cm2/m
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4. Dimensionamento da sapata 2
(i) Direcção x
N2/2
0.175
N2
R2/2
R2/2
R2/2
0.72
Fc
Ft
α
α
M2
tg α =0.72
2.5 / 4 + 0.175 = 0.9
tg α =R2 / 2
Ft ⇔ Ft =
R2 / 2tg α
=1122.8 / 2
0.9 = 623.8 kN
As =Ft f syd
=623.8
348×103 × 104 = 17.9 cm2
As
s
=Ft
f syd
⋅ 1
x
=17.9
2
= 9.0 cm2/m
(ii) Direcção y (não há momento)
tg α =d
( A - a) / 4 =0.72
2.0/4 - 0.4/4 = 1.8
tg α =R2 / 2
Ft
⇔ Ft =R2 / 2
tg α
=1122.8 / 2
1.8
= 311.9 kN
As =Ft f syd
=311.9
348×103 × 104 = 8.96 cm2
As
s =Ft f syd
⋅ 1x =
8.962.5 = 3.58 cm2/m
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5. Dimensionamento da viga de fundação
4.500.50
732.8 1122.8
300500 1000
500
DMF[kNm]
300550
500
( - )
(+)233.3
233.3550
500
Msd = 550 kNm ⇒ µ = 0.174 (d = 0.63) ; ω = 0.197 ⇒ As = 28.48 cm2
Vsd =550 + 500
4.5 = 233.3 kN
Asw s =
Vsd 0.9d ⋅ cotg θ ⋅ f syd
=233.3
0.9 × 0.63 × cotg 30 × 348×103 × 104 = 6.83 cm2/m
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EXERCÍCIO S3
Considere o maciço de encabeçamento de estacas representado na figura.
1.20
0.30 0.60 1.20 0.60 0.30
0.80
Nsd = 5600 kN
Msd = 2160 kNm
3.00
3.00
a) Determine o esforço axial nas estacas.
b) Dimensione o maciço de encabeçamento (materiais: C20/25 e A400NR).
c) Pormenorize as armaduras.
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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S3
ALÍNEA A)
Ni =Nn ±
M ⋅ ei Σ ei
2 =
56004 ±
2160 × 0.94 × (0.6 + 0.3)2 =
2000 kN (2 estacas)
800 kN (2 estacas)
ALÍNEA B)
(i) Direcção x
0.28
1.10
5600 kN
α
2000 kN
Fc
Ft
α
2000
800 kN
2160 kNm
tg α =1.10
0.9 - 0.28 = 1.77
tg α =RFt
⇔ Ft =R
tg α =20001.77 = 1129.9 kN
As =Ft
f syd =
1129.9
348×103 × 104 = 32.5 cm2
(ii) Direcção y (não há momento)
tg α =1.10
0.9 - 0.2 = 1.57
tg α =RFt
⇔ Ft =R
tg α=
20001.57 = 1272.7 kN
As = Ft f syd = 1272.7348×103 × 104 = 36.6 cm2