Modulo 1

ESTRUTURAS DE BETO I

FOLHAS DE APOIO S AULAS

MDULO 1 INTRODUO AO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS

DE BETO ARMADO

Coordenao: Jlio Appleton

Ano Lectivo 2010/2011

Introduo

Estes apontamentos tm como objectivo facilitar o acompanhamento nas aulas e correspondem, em geral, sequncia e organizao da exposio e incluem ainda a resoluo de problemas. So apontamentos de sntese que no dispensam a consulta dos restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia.

Estes apontamentos foram elaborados com base nos outros textos da disciplina para os quais contriburam docentes que leccionaram o Beto Armado e Pr-Esforado em particular

Jlio Appleton; Jos Camara, Joo Almeida, Antnio Costa; Srgio Cruz; Augusto Gomes; Joo Vinagre

Na preparao destes mdulos de apoio s aulas a colaborao principal foi da Eng Carla Marcho.

No ano lectivo 2008/2009 foram adoptadas integralmente as normas europeias (Eurocdigos) j aprovados na verso definitiva (EN). No entanto estamos ainda num perodo de transio que se prev termine em 2013 e em que possvel utilizar, no mbito profissional, em alternativa, a regulamentao nacional (REBAP Regulamento de Estruturas de Beto Armado e Pr-Esforado) ou a regulamentao europeia (Eurocdigo 2 Projecto de Estruturas de Beto).

Deve-se no entanto realar que o ensino do beto armado e pr-esforado est essencialmente concebido para transmitir a compreenso do comportamento e fundamentao dos modelos de clculo, aspectos que so quase independentes das prescries normativas.

No ano lectivo 2010/2011 os docentes so:

Jlio Appleton (Coordenador do Grupo) Jos Camara (Responsvel da Disciplina) Joo Almeida Srgio Cruz Antnio Costa Rui Rodrigues

IST, Setembro de 2010

NDICE

1. COMPORTAMENTO DO BETO ESTRUTURAL ............................................................... 1

1.1. ELEMENTO DE BETO SEM INCLUSO DE ARMADURAS....................................................... 1 1.2. ELEMENTO DE BETO ARMADO ........................................................................................ 3 1.3. CLCULO DAS TENSES NUMA SECO APS FENDILHAO ............................................. 4 1.4. CLCULO DO MOMENTO DE CEDNCIA DA SECO ........................................................... 6 1.5. DIFERENA DO COMPORTAMENTO SECO / ESTRUTURA ................................................. 7 1.6. DETERMINAO DA REGIO ONDE OCORRE FENDILHAO NUMA VIGA PARA UM DETERMINADO CARREGAMENTO .................................................................................................... 7

2. O CONCEITO DE SEGURANA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS .............. 8 2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL .............................. 8 2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOS ESTADOS LIMITES LTIMOS ..................................................................................................................................... 8 2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAO .......................................................................................................................... 10

3. MATERIAIS ......................................................................................................................... 16

3.1. CARACTERIZAO DOS BETES .................................................................................... 16 3.1.1. Tenses de rotura do beto .................................................................................. 16 3.1.2. Mdulo de elasticidade do beto ........................................................................... 17 3.1.3. Determinao do valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso fck a partir do ensaio de um conjunto de provetes ............................................................. 17

3.2. CARACTERIZAO DAS ARMADURAS .............................................................................. 17 3.2.1. Classificao das armaduras para beto armado ................................................. 18

Estruturas de Beto I

MDULO 1 Introduo ao comportamento das estruturas de beto armado 1

1. Comportamento do Beto Estrutural

Notaes

f resistncia do material fc tenso de rotura do beto compresso fct - tenso de rotura do beto traco Ec mdulo de elasticidade do beto fy tenso de cedncia do ao fu tenso de rotura do ao Es mdulo de elasticidade do ao

1.1. ELEMENTO DE BETO SEM INCLUSO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de beto simples ilustrada na figura seguinte, bem como os diagramas de esforos correspondentes a uma carga pontual genrica P aplicada a meio vo.

(+)DEV

DMF

P/2

(+)

(-)

5.00

P/2

P

0.50

0.20

P/2

P/2

PL/4

Como se pode verificar, o maior momento flector ocorre a meio vo, estando esta seco sujeita ao seguinte diagrama de tenses normais:

M

2

Gh/2

h/2

y 1

Tenses: = M y I ; mx =

M w

em que w = I ymx (mdulo de flexo)

Para uma seco rectangular, w = b h3

12 2 h =

b h2 6



Para um determinado nvel de carga P ocorrer a fendilhao da seco de meio vo (por ser a seco mais esforada) e, consequentemente a rotura da viga.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-deslocamento que ilustram o comportamento da viga de beto simples desde o incio do carregamento at rotura (rotura frgil).

M

1/ R

EI (rigidez de flexo)

P

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material beto:

fc

fct (2 a 5 MPa)

(20 a 80 MPa)

3.5

Ec (30 GPa)

ndice c concrete

fc tenso de rotura do beto compresso fct tenso de rotura do beto traco Ec mdulo de elasticidade do beto

Atravs da anlise da relao constitutiva do beto pode concluir-se que este um material que possui uma boa resistncia compresso e uma baixa resistncia traco (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistncia compresso).

Clculo do momento de fendilhao

Admite-se fct = 2.0 MPa

= M w =

M v I e w =

bh2 6 (para uma seco rectangular)

Deste modo, o momento de fendilhao pode ser calculado pela expresso:

Mcr = fct w = 2 103 0.20 0.502

6 = 16.7 kNm



A carga P que provoca o incio da fendilhao est associada ao momento de fendilhao podendo ser calculada atravs da seguinte relao:

Mcr = PL 4 P =

4Mcr L =

4 16.7 5 = 13.4 kN

Concluso: Uma viga de beto simples no explora a capacidade resistente do material em compresso, e est associada a uma baixa capacidade de carga (condicionada pela fendilhao) e a uma rotura frgil.

Soluo: Introduzir um material com boa resistncia traco nas regies onde necessrio Beto armado (beto +armadura)

1.2. ELEMENTO DE BETO ARMADO

Armadura: material dctil com bom comportamento quer traco quer compresso

2.5 a 10%

Es (200 GPa)

(200 a 800 MPa)

fu

fy

fy

ndice y yeld (cedncia)

fy+ fy-

A introduo deste elemento no beto permite melhorar consideravelmente o comportamento deste material, dado que, aps a fendilhao, as tenses de traco passam a ser resistidas pela armadura.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-deslocamento que ilustram o comportamento da viga de beto armado desde o incio do carregamento at rotura.

b) Diagrama carga-deslocamentoa) Diagrama momento-curvatura

PM

R/1

Mcr

III

(1)(2) (3) (1) - fendilhao do beto

(2) - cedncia das armaduras(3) - rotura



1.3. CLCULO DAS TENSES NUMA SECO APS FENDILHAO

Considere-se a seguinte seco de beto armado.

0.20

0.50d

Admite-se:

As = 10.0 cm2

d = 0.45 m (altura til da armadura) Ec = 30 GPa

Es = 200 GPa

(i) Clculo da quantidade mnima de armadura a adoptar por forma a resistir s tenses de traco, aps a fendilhao do beto

fct

h/2

b

Fct

Fc

(antes de fendilhar)

Fs Fct As, min fy b h2

12 fct

As, min 0.2 0.5 4 210

3

1 400103 10

4 = 1.25 cm2

(ii) Clculo do estado de tenso na seco imediatamente aps a fendilhao do beto Hipteses consideradas:

O beto no resiste traco As seces mantm-se planas aps a fendilhao

c

LN

c

(-)

(+)s s (Fs)

(Fc)

b

x

dz Mcr

Clculo da posio da linha neutra

Atravs da determinao do centro de gravidade da seco homogeneizada,

x = Ai xi Ai

= bx x/2 + As Es/Ec d

bx + As Es/Ec x

bx + As

Es Ec = bx

x 2 + As

Es Ec d



bx2 + As Es Ec x =

bx2 2 + As

Es Ec d

bx22 = As

Es Ec (d - x)

(equao que traduz a igualdade de momentos estticos)

Para a seco em estudo,

0.2x2 2 = 1010

-4 x

200 30 (0.45 - x) 0.1x

2 + 6.6710-3 x - 0.03 = 0 x = 0.143 m

z = d - x 3 = 0.45 -

0.143 3 = 0.40 m

Clculo da tenso no beto (c)

Por equilbrio: Mcr = Fs z = Fc z =16.7 kNm Fc = Mcr z =

16.7 0.40 = 41.8 kN

Fc = c x b

2 c = 2Fc bx =

2 41.8 0.20 0.143 = 2923 kN/m

2 2.9 MPa

Clculo da tenso nas armaduras (s)

Fs = s As s = Fs As =

41.8 10 10-4 = 41800 kN/m

2 = 41.8 MPa

Clculo das extenses mxima no beto e nas armaduras (c e s)

= E

c = c

Ec = 2923

30106 = 0.09710-3 0.1

s = s Es =

41800 200106 = 0.2

ou c s

= x

d - x s = d - x

x c = 0.45 - 0.143

0.143 0.09710-3 = 0.2

0.143

[MPa]

-2.9

s = 0.2 (+)

(-)

c = 0.1

LN

41.8

1/R

Clculo da curvatura

1 R =

c + s d =

0.110-3 + 0.210-3 0.45 = 6.6710

-4 m-1



Antes da fendilhao,

[MPa]2.0

2.0

(+)

(-)

c

c

c = c Ec =

2.0 30103 = 6.6710

-5

1 R =

2 6.6710-5 0.5 = 2.6710

-4 m-1

Conforme se pode verificar, 1 / RII 1 / RI 2.5

1.4. CLCULO DO MOMENTO DE CEDNCIA DA SECO

Em estado II (estado fendilhado) a linha neutra invarivel, pelo que, a um acrscimo do momento flector ir somente corresponder um aumento de curvatura com consequente aumento de tenses.

M

s1s(+)

(-)

c1

LN

c

M1 M 2 > M1

c2

s2

A continuao da aplicao da carga P conduz ao aumento das tenses nas fibras (para a regio de comportamento no linear).

M 1z1

Fc

Fs1

c1

LN

M 2z2

Fs2

Fcc2

LN

M 1 < M2

A variao do brao no significativa (z1 z2), pelo que My z F

Clculo do momento de cedncia da seco

s = fy = 400M Pa Fs = 400103 1010-4 = 400 kN

z = 0.40m My = 0.4 400 = 160 kNm



1.5. DIFERENA DO COMPORTAMENTO SECO / ESTRUTURA

a) Seco

III

b) Estrutura

M

R/1

Mcr = 16.7

III

My = 160

M

1/R

As estruturas so compostas por inmeras seces pelo que, o efeito da fendilhao em algumas seces (perda de rigidez brusca nessas seces), vai conduzir a uma diminuio gradual de rigidez da estrutura.

P

(1)(2) (3)

1.6. DETERMINAO DA REGIO ONDE OCORRE FENDILHAO NUMA VIGA PARA UM DETERMINADO CARREGAMENTO

DMF

Mmx

P

Regio onde ocorre fendilhao para Pmx

Mcr



2. O Conceito de Segurana no Dimensionamento de Estruturas

2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situao corrente de servio

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurana aos Estados Limite de Utilizao:

Limitar a deformao (estruturas em geral)

servio admissvel

L250 ou

L500

Controlar os nveis de fendilhao (estruturas de beto armado em particular) servio admissvel (0.2 a 0.4mm)

Garantir um adequado comportamento dinmico (estruturas em geral) (ex: controlo de frequncias prprias de vibrao)

2) Assegurar um nvel de segurana adequado em relao a determinadas situaes de rotura (rotura local ou global da estrutura) Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurana aos Estados Limite ltimos

Flexo

Esforo transverso

Encurvadura

Equilbrio

2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOS ESTADOS LIMITES LTIMOS

1) Definio de valores caractersticos para: valores das aces Ssk (95% de probabilidade de no serem excedidos) resistncias dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).



2) Adopo de coeficientes de segurana parciais que: majorem as cargas, consoante o tipo de aco:

Aces permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida til da estrutura (ex: peso prprio, equipamentos fixos, etc.)

g = 1.0 ou 1.35 (consoante a aco for ou no favorvel)

Aces variveis: variam durante a vida til da estrutura (ex: sobrecarga, vento, sismo, variao de temperatura, etc.) q = 0.0 ou 1.5 (consoante a aco for ou no desfavorvel)

Aces acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrncia durante a vida til da estrutura (ex: exploses, choques, incndios, etc.) a = 1.0

minorem as resistncias dos diferentes tipos de materiais:

Armaduras (s = 1.15)

Beto (c = 1.5)

Exemplo: fyd = fyk s ; fcd =

fck c

3) Estabelecimento de combinaes de aces, conforme especificado no RSA

Exemplo: Ssd = g Sg + q (Sq + 0i Sqi) (0i 1 coeficiente de combinao da aco varivel i)

Sq aco varivel de base Sqi restantes aces variveis

4) Avaliao dos efeitos estruturais das aces na estrutura, usualmente com base numa anlise elstica linear da mesma, e obteno de esforos de clculo

Exemplo: Msd = g Mg + q Mq + q 0i Mqi

5) Avaliao das resistncias de clculo e capacidades resistentes (foras ou esforos)

Exemplo: MRd = As fyk

1.15 z

6) Verificao da condio de segurana SSd SRd

Exemplo: Msd MRd

No caso do exemplo anterior,

M = PL 4 Msd = 1.5 P

5 4 MRd = 1010

-4

400 1.15 10

3 0.40 P 74.2 kN



Relao que estabelece a condio de segurana

Ssm Ssk SRk SRmSsd SRd

Aces ou efeitos das aces Resistncia

De acordo com esta formulao, a probabilidade de runa de uma estrutura, projectada e construda de acordo com os requisitos regulamentares, dever ser inferior a 10-5.

2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAO

1) Definio dos valores da aco que actuam na estrutura

2) Estabelecimento de combinaes de aces, conforme preconizado no RSA: Combinao quase permanente de aces: Estado limite de longa durao

( 50% do tempo de vida da estrutura) Scqp = G + 2i Qi

Combinao frequente aces: Estado limite de curta durao ( 5% do tempo de vida da estrutura) Sfreq = G + 1 Q + 2i Qi

Combinao caracterstica: Estado limite de muito curta durao (algumas horas no perodo de vida da estrutura) Sraro = G + Q + 1i Qi (2 < 1 < 1.0)

Q aco varivel de base Qi restantes aces variveis

3) Avaliao dos efeitos estruturais das aces, considerando em geral uma anlise elstica linear e as propriedades mdias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsvel. Em geral importante considerar os efeitos da fendilhao (perda de rigidez) e fluncia do beto

4) Verificar a condio de segurana Exemplo: servio admissvel

Esta formulao conduz a que a probabilidade de serem excedidos valores admissveis seja da ordem de 10-1.



EXERCCIO 1.1

Considere a estrutura da figura seguinte:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1

Materiais: C25/30, A400

Aces: Peso prprio Revestimento=2.0 kN/m2 Sobrecarga = 3.0 kN/m2

Coeficientes de majorao: G = Q = 1.5

Coeficientes de combinao: 1 = 0.4 ; 2 = 0.2

Seco da viga: 0.300.85 m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determine, para as seces S1 e S2 da viga, os valores de clculo dos esforos. b) Calcule, para as mesmas seces, os esforos para as combinaes rara, frequente e quase-permanente.



RESOLUO DO EXERCCIO 1.1

1. Modelo de clculo:

Modelo para o clculo da viga

10.00 3.00

S2 S1

g, q

Corte transversal viga rev, q

0.30

0.15

0.70

4.00

Comentrios ao modelo de clculo: Consideraram-se as vigas como contnuas, i.e., desprezou-se a continuidade

na ligao aos pilares; Considerou-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.

2. Clculo das aces na viga

2.1. Carga permanente

Peso prprio pp = beto rea = [4 0.15 + (0.85 0.15) 0.30] 25 = 20.3kN/m

Revestimento rev = 2.0 4.0 = 8.0kN/m

cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m

2.2. Sobrecarga

sc = 3.0 4.0 = 12.0kN/m



3. Diagrama de esforos para uma carga unitria

S1S2

10.00 3.00

p=1 kN/m

RA RB

10.25

4.5

4.55 3.0

DMF[kNm]

(+)

(-)

DEV[kN]

(+)(-)

(+)

5.45

x

(i) Clculo das reaces de apoio

MA = 0 10 RB 1.0 13 13 2 = 0 RB = 8.45kN

F = 0 RA + RB = 13 RA = 13 8.45 = 4.55kN

(ii) Clculo do momento flector a vo

MB = 1 3 3 2 = - 4.5kN/m

Mvo = 1 102 8 -

4.5 2 = 10.25kNm L/2 L/2

pL /82

(ii) Clculo do momento flector mximo 4.55 + 5.45

4.55 = 10.0

x x = 4.55m

Mmx = 4.55 4.55

2 = 10.35kNm

Mvo Mmx



ALNEA A)

Seco S1 Seco S2

MS1G = 4.5 28.3 = - 127.35 kNm MS2G = 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS1Q = 4.5 12.0 = - 54 kNm MS2Q = 10.25 12.0 = 123.0 kNm

VS1G = 5.45 28.3 = 154.2 kN

VS1Q = 5.45 12.0 = 65.4 kN

Valores de clculo dos esforos

MS1sd = 1.5 ( )MS1G + MS1Q = 1.5 (-127.35 - 54) = -272.0 kNm MS2sd = 1.5 ( )MS2G + MS2Q = 1.5 (290.1 + 123) = 619.7 kNm VS1Sd = 1.5 ( )VS1G + VS1Q = 1.5 (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN

Considerao de alternncia de sobrecarga

A sobrecarga, sendo uma aco varivel, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para cada caso, h que verificar a hiptese de carga mais desfavorvel.

Se se considerar apenas a actuao da sobrecarga no tramo apoiado, o momento flector obtido a meio vo desse tramo ser superior ao calculado considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculado anteriormente). Deste modo,

gq

MS2Q = 12 102

8 = 150 kNm ; MS2G = 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS2sd = 1.5 (290.1 + 150) = 660.2 kNm



ALNEA B)

Seco S1

Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4 kNm

Mc freq = MG + 1 MQ = -127.35 - 0.4 54 = -149.0 kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = -127.35 - 0.2 54 = 138.2 kNm

Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6 kN

Vc freq = VG + 1 VQ = 154.2 + 0.4 65.4 = 180.36 kN

Vcqp = VG + 2 VQ = 154.2 + 0.2 65.4 = 167.3 kN

Seco S2

Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1 kNm

Mc freq = MG + 1 MQ = 290.1 + 0.4 123 = 339.3 kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = 290.1 + 0.2 123 = 314.7 kNm



3. Materiais

3.1. CARACTERIZAO DOS BETES

Os betes so classificados por classes de resistncia.

As classes de resistncia esto definidas de acordo com os valores caractersticos de tenso de rotura compresso aos 28 dias de idade, referidos a provetes cbicos ou provetes cilndricos.

No quadro seguinte apresentam-se, para as vrias classes de resistncia do beto, os valores caractersticos e de clculo das tenses de rotura compresso (fck e fcd), bem como o valor mdio da tenso de rotura traco (fctm) e mdulo de elasticidade aos 28 dias (Ec, 28)

Classe B15

C12/15 B20

C16/20 B25

C20/25 B30

C25/30 B35

C30/37 B40

C35/45 B45

C40/50 B50

C45/55 B55

C50/60 cub. fck

cil. [MPa]

15

12

20

16

25

20

30

25

37

30

45

35

50

40

55

45

60

50 fcd

[MPa] 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

fctm [MPa] 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

Ec,28 [GPa] 27.0 29 30 31 33 34 35 36 37

3.1.1. Tenses de rotura do beto

A partir dos valores caractersticos das tenses de rotura compresso ou traco, definem-se os valores de clculo:

fcd = f cil.ck c , fctd =

fctk c com c = 1.5 (fck

cil 0.8 fckcubos)

O valor mdio da tenso de rotura do beto traco dado pela expresso:

fctm = 0.30 fck2/3

Nota: o valor de fcd definido a partir da resistncia em cilindros, dado que estes provetes so mais representativos da resistncia do beto em peas longas.



3.1.2. Mdulo de elasticidade do beto

Com vista ao tratamento de problemas estruturais que envolvem deformao em regime de funcionamento praticamente elstico, considera-se um mdulo de elasticidade secante do beto aos 28 dias de idade. Este mdulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica, encontra-se definido para c = 0 e c = 0.4 fck.

(Verificao da segurana aos estados limites de utilizao)

fcm

c

c

Ec

0.4 fck

3.1.3. Determinao do valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso fck a partir do ensaio de um conjunto de provetes

fck = fcm - Sn , Sn desvio padro das resistncias das amostras

parmetro que depende do nmero de ensaios

n 6 10 15

1.87 1.62 1.48

3.2. CARACTERIZAO DAS ARMADURAS

As armaduras classificam-se em:

armaduras para beto armado

armaduras de pr-esforo



3.2.1. Classificao das armaduras para beto armado

processo de fabrico

ao natural (laminado a quente) (N) ao endurecido a frio (E)

aderncia

alta aderncia (superfcie rugosa ou nervurada) (R) aderncia normal (superfcie lisa) (L)

resistncia

(A235), A400, A500

Designao das armaduras: A500 N R

fyk aderncia

processo de fabrico

Modulo 1

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