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République Tunisienne Ministère de l’Education
Direction Générale des Programmes et de la Formation Continue Direction de la Formation Continue
1
Projet de module de formation
Discipline : Mathématiques
Intitulé du module :
La géométrie plane au collège et au lycée
Elaboré par :
Les inspecteurs de mathématiques :
Taoufik Charrada , Abderrahmen Mimouni, Hédi Gassar , Youssef Tlili ,
Houcine Fajraoui , Mounir Hlioui, Mohamed Fkih, Néjib Jazia,
Ali Béji Hammas , Salah Marzougui , Béchir Salem Sghaier
Février 2015
République Tunisienne Ministère de l’Education
Direction Générale des Programmes et de la Formation Continue Direction de la Formation Continue
2
Pourquoi ce thème de formation?
Nous avons choisi ce thème de formation pour les raisons qui suivent :
Les élèves trouvent de plus en plus de difficultés pour assimiler les contenus de
la géométrie plane programmés (non analytique essentiellement) aux dépens de
ceux qui traitent de l’algèbre ou de l’analyse. Les démonstrations des propriétés, les
constructions et la détermination de lieux géométriques constituent
essentiellement les parties de l’enseignement de la géométrie que les élèves
n’approuvent pas en général.
Nos programmes officiels de géométrie plane n’explicitent pas clairement les
approches recommandées pour présenter les concepts proposés. En l’absence de
documents d’accompagnement des programmes, les concepteurs des manuels
scolaires proposent leurs approches, sans toutefois les expliciter eux aussi (dans des
brochures, par exemple). Résultat : L’enseignement de la géométrie dépend alors du
savoir-faire de l’enseignant, de son expérience et de son degré de
professionnalisme, et les élèves sont loin d’avoir la même formation, voire la
formation souhaitée.
La place de la géométrie plane (non analytique) dans nos programmes est de
plus en plus amoindrie : Les situations-problèmes qui favorisent le développement
d’aptitudes non calculatoires manquent de plus en plus et d’un niveau
d’apprentissage à un niveau supérieur.
.
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Objectifs généraux de la formation
Nous visons par le présent module trois objectifs essentiels :
Actualiser et consolider les connaissances des enseignants qui se rapportent à la
géométrie plane (la géométrie du triangle, la géométrie des quadrilatères, la
géométrie du cercle et les transformations planes) afin de leur permettre de
maîtriser les contenus scientifiques figurant dans les programmes officiels.
Permettre aux enseignants d’approfondir leurs connaissances en la matière et
de maîtriser des notions plus larges que celles figurant dans les programmes
officiels.
Amener les enseignants à transférer les aptitudes développées au cours de cette
formation dans leurs pratiques en classes.
Outre ses apports théoriques, ce module de formation peut aussi constituer un
support d’accompagnement pédagogique adressé aux enseignants en vue de leur
sensibiliser sur la manière de présenter le contenu proposé au programme officiel .
On soulèvera soulever la question de l’utilisation des T.I.C en géométrie plane : Les
apports et les conseils pour une utilisation raisonnée.
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Descriptif de la formation
Afin d’adopter une approche constructiviste , nous avons opté pour des activités de
formation basées sur la résolution de problèmes, la communication interactive et sur
l’expérience des participants. Ce qui facilite le transfert et aura un impact sur la
pratique enseignante.
Planification des activités
Le contenu de ce module de formation est reparti en deux journées de formation en
mode présentiel avec un suivi de formation en mode non présentiel.
Évaluation de la formation
Pour le suivi de l’acquisition des compétences visées par la formation et de l'impact de
cette dernière sur les pratiques des participants, ce guide intègre en annexe des grilles
d'évaluation relatives à chaque journée de formation. Ce sont des évaluations, des
productions écrites par les enseignants participants aux activités présentielles et à
distance, de la formation et des fiches qu'ils doivent remplir et remettre au formateur.
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Déroulement de la 1ère séance de formation
Intitulé de la formation : Géométrie plane Durée : 6 heures Présentation de la séance …………………. 15 mn
Tache1………………………………………. 1h30
Tache 2 …………………………. 1h30
Pause ………………………………………… 15 mn
Tache 3……………………… .. 2 h
Evaluation de la séance de formation ……… 30 mn
Clôture
Déroulement de la 2ème séance de formation
Intitulé de la formation : Les transformations planes Durée : 6 heures Présentation de la séance …………………. 15 mn
Tache1………………………………………. 1h30
Tache 2 …………………………. 1h30
Pause ………………………………………… 15 mn
Tache 3……………………… .. 2 h
Evaluation de la séance de formation ……… 30 mn
Clôture
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Déscriptif de la 1ère séance de formation Public visé : Enseignants de mathématiques au collège et au lycée.
Durée de la formation : 6 heures.
Moyens didactiques : Le tableau, vidéo projecteur
Documents : Document 1
Objectifs: Au terme de cette formation, les participants seront capables de :
Reconnaitre les théorèmes fondamentaux de la géométrie plane et la géométrie
euclidienne ( géométrie du triangle, géométrie des quadrilatères, géométrie du
cercle, …) .
Tâche 1 : Identifier les représentations des participants concernant les
théorèmes fondamentaux de la géométrie plane .
Activité 1: (1h30)
Étape1: Demander aux participants de rappeler individuellement puis en groupe
les théorèmes fondamentaux de la géométrie plane et la géométrie euclidienne.
Étape2: Animer une discussion en plénière sur les productions des participants.
Tâche 2 : faire reconnaitre aux enseignants les procédures utilisées dans
l’identification des droites remarquables dans un triangle.
Activité 2: (1h30 heures)
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Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre un exercice
concernant les droites remarquables dans un triangle.
Étape2: Animer ensuite une discussion en plénière sur les productions des
participants.
Étape3: Faire un exposé (diapositif 3) qui met l'accent sur les procédures qu’on
peut utiliser dans la résolution des problèmes liés aux droites remarquables dans
un triangle
Tâche 3 : faire reconnaitre aux enseignants les procédures utilisées dans
l’identification des propriétés d’un quadrilatère.
Activité 3: (2 heures)
Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre les exercices
proposés.
Étape2: Animer ensuite une discussion en plénière sur les productions des
participants
Étape3: Utiliser le rétroprojecteur et faire un exposé ( diapositif 2) qui met
l'accent sur les méthodes qu’on peut utiliser pour résoudre des problèmes de
géométrie liés aux quadrilatères.
Evaluation de la séance ( grille ) ( 30 mn )
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Déscriptif de la 2ème séance de formation Public visé : Enseignants de mathématiques au collège et au lycée.
Durée de la formation : 6 heures.
Moyens didactiques : Le tableau, vidéo projecteur
Documents : Document 2
Objectifs: Au terme de cette formation, les participants seront capables de :
Reconnaitre la définition de l’objet « transformation plane » et les différents types de
transformation ( translation, symétrie, rotation, isométrie, déplacement,…) et leurs
propriétés
- S’approprier différentes méthodes utilisées dans la détermination des lieux
géométriques.
- S’approprier les procédures utilisées dans les constructions géométriques
Tâche 1 : Identifier les représentations des participants concernant les
transformations planes .
Activité 1: (1h30)
Étape1: Demander aux participants de rappeler individuellement puis en groupe
les définitions et les propriétés des différentes transformations planes.
Étape2: Animer une discussion en plénière sur les productions des participants.
Étape3: Evoquer une généralité sur les transformations planes .
(Exposé , diapositif 1)
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Tâche 2 : Exposer les méthodes utilisées dans les constructions
géométriques
Activité 2: (1h30 )
Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre les exercices
proposés.
Étape2: Animer ensuite une discussion en plénière sur les productions des
participants
Étape3: Utiliser le rétroprojecteur et faire un exposé (Exposé E1, diapositif 2)
qui met l'accent sur les méthodes qu’on peut utiliser dans les constructions
géométriques.
Tâche 3 : faire reconnaitre aux enseignants les procédures utilisées dans la
résolution des problèmes liés aux transformations planes ( alignement de points,
concours de droites, recherche de lieux géométriques, …)
Activité 3: (2 heures)
Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre un exercice
lié aux transformations planes.
Étape2: Animer ensuite une discussion en plénière sur les productions des
participants.
Étape3: Faire un exposé (diapositif 3) qui met l'accent sur les procédures
qu’on peut utiliser dans la résolution des problèmes liés aux transformations
planes.
Evaluation de la séance ( grille ) ( 30 mn )
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Document 1
Géométrie du triangle On considère un triangle ABC . On note a = BC, b = AC, c =AB et A’, B’, C’ les milieux respectifs des segments [BC], [AC], [AB]. Médiatrices d’un triangle
Définition : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points du plan qui sont équidistants des extrémités du segment. C’est aussi la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. Définition : Les médiatrices d’un triangle ABC sont les médiatrices des segments [AB], [AC] et [BC]. Médianes d’un triangle
Définition On appelle médiane d’un triangle toute droite passant par un sommet et le milieu du
côté opposé. Avec nos notations, les médianes du triangle ABC sont les droites (AA’),
(BB’) et (CC’).
Hauteurs d’un triangle Définition La hauteur issue de A (resp B et C) est la droite passant par A (resp B et C) et
orthogonale au côté opposé [BC] (resp [AC] et [AB]).
Bissectrices d’un triangle
Définition On définit les bissectrices intérieures et extérieures du triangle ABC issues de A de la manière suivante :
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- La bissectrice intérieure issue du sommet A du triangle ABC est l’axe de l’unique symétrie échangeant les demi - droites [AB) et [AC) - La bissectrice extérieure issue du sommet A du triangle ABC est l’axe de l’unique
symétrie échangeant des demi – droites [AB) et [AC’’) où AC'' AC Remarque : On définit de même les bissectrices intérieures et extérieures issues des sommets B et C
Théorème des milieux Le segment joignant les milieux de deux
côtés d’un triangle, est parallèle au troisième côté et de longueur la moitié de sa longueur.
Si une droite passe par le milieu de l’un des côtés d’un triangle et parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Médiatrices Les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit. On a : OA = OB = OC.
Médianes Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, centre de gravité du triangle.
On a :2 2 2
AG AA' ; BG BB' ; CG CC'3 3 3
.
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Hauteurs Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, l’orthocentre du triangle.
Bissectrices Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit. On a : OA = OB = OC.
Le théorème de Pythagore
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : 2 2 2BC AB AC .
Réciproquement Si ABC est un triangle tel que
2 2 2BC AB AC alors ABC est un triangle rectangle en A.
Triangle rectangle et cercle circonscrit ABC un triangle et I le milieu du côté BC .
Les propositions suivantes sont équivalentes : a) Le triangle ABC est rectangle en A.
b) BC
AI2
c) Le côté BC est un diamètre du cercle
circonscrit. d) I est le centre du cercle circonscrit au
triangle ABC.
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Le théorème d’El Kashi Soit ABC un triangle. On pose : a BC, b AC et c AB. On
a :
2 2 2a b c 2bccosA
2 2 2b a c 2accosB
2 2 2c a b 2abcosC
Loi du sinus
Soit ABC un triangle. On pose : a BC, b AC et c AB.
On a : a b c
sin A sin B sin C
Relations métriques dans un triangle rectangle Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. On a :
2 2 2
2
2
2
BC AB AC
AH.BC AB.AC
AH HB.HC
AB BH.BC
AC CH.CB
Aire d’un triangle Soit ABC un triangle. On désigne par S son aire et par R le rayon de son cercle circonscrit. On pose : a BC, b AC et c AB.
On a : 1 1 1
S absin C bcsin A acsin B.2 2 2
a b c abc
2R2Ssin A sin B sin C
Triangles isométriques Si deux triangles ont un côté égal
compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux alors ils sont isométriques.
Si deux triangles ont trois côtés respectivement égaux ils sont isométriques.
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Théorème des bissectrices Soit ABC un triangle. On désigne par I le point d’intersection de la bissectrice
intérieure de l’angle A et le côté BC .
On a : IB AB
IC AC .
Le cercle d’Euler (ou cercle des 9 points) Dans un triangle ABC, les 9 points suivants sont sur un même cercle, appelé cercle d’Euler :
Les milieux des côtés du triangle : M1, M2 et M3.
Les pieds des hauteurs du triangle : H1, H2 et H3.
Les milieux des segments joignant l’orthocentre à chacun des sommets du triangle : E1, E2 et E3.
Le centre Ω du cercle d’Euler est le milieu du segment OH , où O est le centre du
cercle circonscrit et H est l’orthocentre du triangle ABC. La droite (OH) est appelée droite d’Euler.
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Constructions géométriques élémentaires
Les constructions géométriques peuvent se classer en différents types : Constructions à la règle et au compas :
Médiatrice d’un segment.
Bissectrice d’un angle aigu.
Parallèle ou perpendiculaire à un droite passant par un point donné.
Cercle circonscrit à un triangle.
cercle inscrit dans un triangle.
Constructions utilisant l’algèbre :
a et b étant deux réels strictement positifs
a b
ab
a b
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a
4 a
ab
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Moyenne arithmétique 2ab
a b
2DE.xDO DB ab
D’où a b
DE ab2
Par suite 2ab
DEa b
Constructions faisant intervenir des transformations :
Des translations.
Des rotations.
des symétries orthogonales.
Des homothéties. Constructions des coniques:
Construction point par point d’une parabole.
Construction point par point d’une ellipse.
Construction point par point d’une hyperbole.
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Exercices de mise en œuvre
Exercice 1 ABC un triangle rectangle en A et tel que AB 3 et AC 4 . H est le pied de la hauteur issue de A. Calculer BC, AH, BH et CH. Exercice 2 ABC un triangle rectangle en A. H la hauteur issue de A. Sachant que AH 2 et BH 2.5 , calculer les côtés du triangle. Exercice 3 ABC un triangle. H et K les pieds des hauteurs issues de A et B. Montrer que les points A, B, H et K sont sur un même cercle. Exercice 4
ABC un triangle non rectangle et le cercle de diamètre [BC].
Le cercle recoupe la droite (AC) en I. On désigne par K le projeté orthogonal de A sur (BC) et H le point d’intersection des droites (AK) et (BI). Montrer que (CH) est perpendiculaire à (AB). Exercice 5 RESQ et RAUQ sont deux carrés. Montrer que EQA est un triangle rectangle. Exercice 6 1) Soit C un cercle de centre O et A un point extérieur à C. Le cercle de diamètre [OA] coupe C en I et J. Montrer que les droites (AI) et (AJ) sont tangentes au cercle C. 2) Construire la ou les tangentes issues d’un point donné à un cercle donné. Exercice 7 (le théorème des bissectrices) Soit ABC un triangle.
On désigne par I le point d’intersection de la bissectrice intérieure de l’angle A et le côté BC .
Montrer que IB AB
IC AC .
Exercice 8 Soit ABC un triangle. On désigne par G, H et O respectivement le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
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La droite (OH) est appelée la droite d’Euler. Montrer que G appartient à la droite d’Euler et que GH 2OG . Exercice 9 (les lunules d’Hippocrate) Dans la figure ci-contre on a un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5. Un demi-cercle est construit sur chaque côté du triangle. Déterminer l’aire des deux lunules. Exercice 10 On donne un triangle vérifiant la propriété : L’un des angles est divisé en 4 angles isométriques respectivement à l’aide de la hauteur, la bissectrice et la médiane (voir figure). Déterminer la valeur de cet angle.
Exercice 11 a- Montrer que le milieu d'un segment joignant le centre du cercle inscrit et le centre
d'un cercle exinscrit est situé sur le cercle circonscrit.
b- Montrer que le milieu d'un segment joignant les centres de deux cercles
exinscrits est situé sur le cercle circonscrit.
Exercice 12 Soit ABC un triangle.
a)Montrer qu’il existe un cercle passant par les milieux des côtés, les pieds des
hauteurs et les milieux des segments [AH], [BH], [CH]. (on l’appelle le cercle d’Euler du
triangle ABC).
b) Montrer que son centre est le milieu de [OH], et que OH 3OG OA OB OC .
La droite passant par O, G et H est appelée droite d’Euler.
Exercice 13 Montrer que dans un triangle équilatéral la somme des distances aux trois côtés d’un
point M situé à l’intérieur du triangle ne dépend pas de M. (indication : utiliser deux
rotations de centre le centre du cercle circonscrit au triangle).
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Exercice 14 Soit ABC un triangle équilatéral, et M un point du plan. Montrer que :
MA+MB MC si et seulement si M est sur l’arc AB du cercle circonscrit au triangle.
(Indication : utiliser la rotation de centre A et qui envoie B sur C).
Exercice 15 Point de Fermat (ou de Torricelli) : Soit ABC un triangle acutangle (c'est-à-dire sans angle obtus). Montrer qu’il existe un
unique point, intérieur au triangle qui minimise la quantité MA+MB+MC et que
ˆ ˆ ˆAMB BMC CMA . Montrer que c’est le point de concours des droites joignant un
sommet au sommet du triangle équilatéral construit à l’extérieur du côté opposé.
Exercice 16 Droite de Simson et droite de Steiner : a) Montrer qu’un point est sur le cercle circonscrit si et seulement si ses projetés
orthogonaux sur les côtés du triangle sont alignés. On appelle leur droite la droite de
Simson du point.
b) Montrer que les symétriques d’un point du cercle circonscrit par rapport aux côtés
sont alignés sur une droite passant par l’orthocentre (cette droite est appelée la droite
de Steiner du triangle).
Exercice 17
Montrer que les bissectrices d’un triangle coupent les médiatrices des côtés opposés
sur le cercle circonscrit.
Exercices 18 Construire des segments de longueur et de direction données joignant deux cercles donnés Exercice 19 Soit dans le plan deux droites D et D ' sécantes en un point I . Construire un triangle équilatéral direct IMM ' tel que M soit sur D et M ' sur D ' . Exercice 20 Construire un cercle passant par un point A donné et tangent à deux droites D et D ' sécantes en O. Le point A ne se trouvant ni sur D , ni sur D ' .
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Exercice 21 Construire un triangle de périmètre minimum inscrit dans un triangle ayant trois angles aigus. Exercices 22 Soit D une droite et f un point non situé sur D . Construire point par point la parabole de foyer F et de directrice D. donner une construction de la tangente en un point Ade la parabole (P) . Exercices 23 Construire point par point une ellipse de foyers F et F ' et de grand axe 2a. Exercices 24 Construire point par point une hyperbole de foyers F et F ' et de longueur 2a
Indications pour les exercices :
Exercice 11 a) Dans un triangle ABC, tracer les bissectrices intérieures et extérieures. Leurs points
d'intersection sont les centres I, I1, I2, I3 des cercles inscrit et exinscrits, tangents aux
trois côtés du triangle.
On note O1 le milieu de [II1], situé sur la bissectrice intérieure (AI), et les angles
ˆBAC 2a , ˆABC 2b et ˆBCA 2c .
I, centre du cercle inscrit, est à l'intersection des bissectrices intérieures (BI) et (CI).
I1, centre d'un cercle exinscrit, est à l'intersection des bissectrices extérieures de (BI1)
et (CI1). Les bissectrices intérieures et extérieures sont perpendiculaires, d'où les
angles 1ˆIBI et 1
ˆICI sont droits. Le quadrilatère BICI1 est inscriptible dans le cercle de
diamètre [II1] de centre O1 passant par B et C.
Dans ce cercle, le double de l'angle inscrit 1ˆII C est égal à l'angle au centre 1
ˆIO C , angle
égal à 1ˆAO C . Le supplémentaire de la somme des angles aigus de ˆIAC est l'angle
1ˆI IC = a + c.
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Dans le triangle rectangle I1IC, l'angle 1ˆII C est le complémentaire de
1ˆI IC , d'où
1ˆII C =
2
- (a + c).
1ˆAO C=
1ˆIO C = 2 1
ˆII C = 2 (2
- (a + c)) = 2b car la somme 2(a + b + c) des angles de ABC
est égale à π. On a donc 1ˆAO C = ˆABC , le point O1 est situé sur le cercle circonscrit.
Exercice 12
Soit h l’homothétie de centre G et de rapport 1
2 Elle envoie les sommets du triangle
sur les milieux des côtés opposés, et le cercle circonscrit sur le cercle recherché, dont
le rayon est R
2 . Elle envoie les hauteurs du triangle ABC sur les hauteurs du triangle
MNP formé par les milieux des côtés, qui ne sont autres que les médiatrices du
triangles ABC donc O est l’orthocentre de MNP et H est envoyé sur O. Ceci démontre
que 3OH OG et que le centre du cercle d’Euler est le milieu de [OH].
Maintenant considérons l’homothétie de centre H et de rapport 1
2qui envoie le cercle
circonscrit sur un cercle de rayon R
2centré au milieu de [OH], c’est-à-dire sur le cercle
d’Euler. Elle envoie les symétriques de H par rapport aux côtés (qui sont sur le cercle
circonscrit)
sur ses projetés : ce sont les pieds des hauteurs, et ils sont sur le cercle d’Euler. De
même, elle envoie les sommets sur les milieux de [AH], [BH], [CH].
Exercice 13 Soit O le centre du triangle, N et P les images de M par les rotations de centre O et
d’angles 2
3
et
2
3
. Alors :
d(M;AB) + d(M;BC) + d(M;CA) = d(M;AB) + d(P;AB) + d(N;AB) = 3d(O;AB).
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4) Soit N l’image de M par la rotation de centre A qui envoie B sur C.
Alors MA + MB = MN + NC MC par l’inégalité triangulaire (remarquer que ANM est
équilatéral). L’égalité a lieu si et seulement si N est sur le segment [CM], c’est-à-dire si
2ˆ ˆ3
ANC AMB
, c’est-à-dire si M est sur l’arc AB.
Exercice 21 Soit ABC un triangle n’ayant que des angles aigus. Soit A' ,B' et C' trois points appartenant respectivement au segments BC , CA et AB
On note p le périmètre de A'B'C' ; p A'B' B'C' C'A'
Soit 1A et 2A les symétriques de
A'par rapport aux droites (AC)et
(AB) .
On a 1 2p A B' B'C' C'A
Par symétrie : 1 2AA AA AA' , de
plus 2 1A AA 2 BAC .
L’angle BAC étant aigu , la droite
1 2(A A )coupe les segments AB et
AC .
Le point A' étant donné, le périmètre p est minimum si 1A , B' et C' sont
alignés c'est-à-dire p = 1 2A A .
Cherchons la position de A' sur BC tel que 1 2A A
soit minimum. Le triangle 1 2AA A est isocèle, 1 2A A est minimum
quand AA' est minimum d’où A' est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC . Construction :
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Document 2
Transformations planes Isométries, Déplacements, antidéplacements
Homothéties, Similitudes. On note P le plan affine euclidien et on suppose que P est orienté dans le sens direct.
Définition Une transformation plane est une bijection du plan dans lui-même.
Exemples de transformations planes :
Une symétrie orthogonale S est transformation plane ; sa réciproque est S elle-
même.
Une translation de vecteur u est une transformation plane ; sa réciproque est la
translation de vecteur u .
une rotation de centre I et d’angle est une transformation plane ; sa réciproque est
la rotation de centre I et d’angle - .
Isométries planes
Définition
Une isométrie du plan est une application du plan dans lui-même qui conserve les
distances.
Remarque : Dans la suite le mot isométrie désignera une isométrie plane ( ou du plan).
Théorème
Une isométrie est une transformation plane ; la réciproque d’une isométrie est une
isométrie.
Théorème
Soit f une application du plan dans lui-même.
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f est une isométrie si et seulement si f conserve le produit scalaire.
Démonstration :
Soit f une isométrie et soient A, B, C des points du plan et soit 'A , 'B et 'C leurs images
respectives par f.
D’une part : B'C' BC ; A'C' AC et B'C' BC
d’autre part
2 22 2 2 2 2B'C' B'C' A 'C' A'B' A'C' A'B' 2A'B'.A 'C' AC AB 2AB.AC
d’où A'B'.A'C' AB.AC et par conséquent f conserve le produit scalaire.
Réciproquement Soit f une application du plan qui conserve le produit scalaire.
Soit M et N deux points du plan d’images respectives M'et N ' .
2 2M'N' M'N'.M'N' MN.MN MN d’où f est une isométrie.
Conséquence
La relation : 2 2 2BC AB AC 2ABxACcos BAC montre qu’une isométrie conserve les
angles géométriques.
Remarque
Une isométrie conserve les angles géométriques, mais pas nécessairement les angles
orientés.
Théorème
Une isométrie transforme trois points alignés en trois points alignés.
Démonstration
Soit f une isométrie et soient A, B, C des points alignés du plan et soit 'A , 'B et 'C leurs
images respectives par f.
On suppose que B AC
Les points étant alignés , on a : AC =AB + BC d’où A'C' A'B' B'C' .
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Théorème
L’image d’une droite par une isométrie est une droite.
Théorème
L’image d’un cercle par une isométrie est un cercle qui lui est isométrique.
Théorème
Toute isométrie transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles.
Toute isométrie transforme deux droites perpendiculaires en deux droites
perpendiculaires.
Déplacements - Antidéplacements
Définition
On appelle déplacement toute isométrie qui conserve les angles orientés de vecteurs
et antidéplacement toute isométrie qui n’est pas un déplacement.
Théorème
Une isométrie est soit un déplacement, soit un antidéplacement.
Propriétés
La composée de deux déplacements est un déplacement.
L’inverse d’un déplacement est un déplacement .
La composée d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement
L’inverse d’un antidéplacement est un antidéplacement.
La composée de deux antidéplacements est un antidéplacement.
Théorème
Un déplacement est la composée de deux symétries orthogonales.
Un antidéplacement est soit une symétrie orthogonale soit la composée de trois
symétries orthogonales.
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Théorème
Un déplacement est soit l’identité, une translation, une rotation .
Un antidéplacement est soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissante.
Théorème
Soient t A, B , C et D quatre points du plan tels que AB = CD et AB 0.
Alors, il existe un seul déplacement qui transforme A en C et B en D.
Alors, il existe un seul antidéplacement qui transforme A en C et B en D.
Tableau de classification
Ensemble de
points fixes
Nature décomposition
P Identité : Id P S oS
Rotation : ( , )R 'S oS ; '
Symétrie axiale : S S
Translation : u
t 'S oS ; / / '
Symétrie glissante :
D Du uS ot t oS ; u est un vecteur
directeur de D
"o 'o ; / / ' et "
Compositions
la composée de deux rotations est soit une rotation, soit une translation.
La composée de deux translations est une translation.
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La composée d’une symétrie et d’une translation est soit une symétrie , soit une
symétrie glissante.
La composée d’une rotation et d’une translation est une rotation.
Homothéties
Définition
Etant donné un point O du plan et un réel k non nul, on appelle homothétie de centre
O et de rapport k, la transformation qui à tout point M du plan associe le point M' tel
que OM' kOM .
Notation : une homothétie h de centre O et de rapport k est noté : h(O,k).
Théorème
Pour toute homothétie h de centre O et de rapport k, si M et N ont pour images M' et
N ' par h , alors M'N' kMN et M'N' k MN .
Théorème
Toute homothétie est déterminée par la donnée de deux points distincts et leurs images. Démonstration C’est clair si M' M ou N' N , car on dispose du centre O de h et le rapport se déduit
de OM' kOM .
Si ce n’est pas le cas, le réel k est déterminé par M'N' kMN . par ailleurs O est le point d’intersection des droites (MM') et (NN') si elles sont distinctes. Si ce n’est pas le cas,
on peut trouver le point O comme étant l’unique point de la droite (MM') vérifiant
OM' kOM .
Théorème
Toute homothétie transforme trois points alignés en trois point alignés.
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Théorème
L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
Théorème
L’image d’un cercle par une homothétie est un cercle.
Théorème ( caractérisation d’une homothétie)
Soit k un réel non nul et différent de 1.
Une transformation f est une homothétie de rapport k, si et seulement si , pour tous
points M et N , M'N' kMN où M' f (M) et N' f (N) .
Similitudes planes
Définition On appelle similitude plane, toute transformation du plan qui conservent le rapport de distances. Théorème Pour tout similitude f, il existe un unique réel strictement positif k ( appelé rapport de la similitude f) tel que pour tous points A et B d’images A ' et B' ; A'B' kAB . Démonstration Il suffit de fixer deux points distincts C et D avec pour images C' et D'
et noter A'B' C'D'
kAB CD
.
L’unicité est claire puisque, si A et B sont distinctes , kAB k 'AB entraine k k ' . Exemples Les isométries sont des similitudes de rapport 1 Les homothéties de rapport k sont des similitudes de rapport k .
Propriétés La composée de deux similitudes de rapports k et k ' est une similitude de rapport kxk '.
L’inverse d’une similitude de rapport k est la similitude de rapport1
k.
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Théorème toute similitude de rapport k est la composée d’une homothétie de rapport k et d’une isométrie. Théorème Toute similitude transforme trois points alignés en trois points alignés. Toute similitude transforme une droite en une droite. Toute similitude transforme un segment en un segment. Toute similitude transforme un cercle de rayon r en un cercle de rayon kr. Similitudes directes et indirectes Définition Une similitude directe est la composée d’une homothétie et d’une rotation. Une similitude indirecte est la composée d’une homothétie est d’une symétrie orthogonale. Conséquences La composée de deux similitudes directes est une similitude directe. La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe. La composée d’une similitude directe et d’une similitude indirecte est une similitude indirecte. L’inverse d’une similitude directe est une similitude directe. L’inverse d’une similitude indirecte est une similitude indirecte. Théorème : Pour toute similitude directe et pour touts points A, B et C distincts deux à deux
d’images A',B'et C' , on l’égalité A'B',A 'C' AB,AC 2 .
Théorème Pour toute similitude indirecte et pour touts points A, B et C distincts deux à deux
d’images A',B'et C' , on l’égalité A'B',A 'C' AB,AC 0 2 .
Conséquences Une similitude directe transforme un angle orienté de vecteurs en un angle orienté de même mesure. Une similitude indirecte transforme un angle orienté de vecteurs en un angle orienté de mesure opposée.
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Théorème : Pour toute similitude directe et pour touts points A, B , C et D distincts deux à deux
d’images A',B' , C' et D' , on l’égalité AB,A'B' CD,C'D' 2 .
AB,A'B' 2 est appelé l’angle de la similitude .
Théorème Toute similitude de rapport k différent de 1 admet un seul point fixe . ce point fixe est appelé le centre de cette similitude. Théorème Toute similitude directe f de centre O et de rapport k s’écrit d’une façon unique
O,k) (O, ) (O, ) (O,k)f h or r oh ( une telle écriture est appelée forme réduite de f).
Le centre, le rapport et l’angle sont les éléments caractéristiques d’une similitude directe. Théorème Soit f une similitude directe de centre O et de rapport k et d’angle .
Alors, pour tout point M du plan distinct de O, d’image M' par f ;
OM ' kOM
OM,OM ' 2
Théorème Toute similitude indirecte f de centre O et de rapport k s’écrit d’une façon unique
O,k) (O,k)f h oS S oh ; O ( une telle écriture est appelée forme réduite de f).
Le centre, le rapport et l’axe sont les éléments caractéristiques d’une similitude indirecte. Théorème Soit f une similitude indirecte de centre O et de rapport k et d’axe . Alors, pour tout point M du plan distinct de O, est la bissectrice intérieure du secteur
OM,OM' .
Théorème Si f est la similitude indirecte de centre O et de rapport k et d’axe . Alors, fof est l’homothétie de centre o et de rapport k2.
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Exercices de mise en œuvre Exercice 1 Etant donné deux droites D et D' , existe-t-il des translations qui transforment D en D' ? Exercice 2 On considère une droite D , un point A de cette droite et r un réel strictement positif. Un cercle ( C ) de centre O de rayon r , passant par A, recoupe la droite D en un point M. La médiatrice de [AM] coupe ce cercle En P et Q. On demande de déterminer l’ensemble des points O, l’ensemble des points P et Q et l’ensembles des orthocentres H des triangles APM et AQM. Exercice 3 Soit ABC un triangle , M, N et P respectivement des points sur (BC) , (CA) et (AB) et distincts des sommets du triangle. Soit , et trois réels définis par
MB MC , NC NA et PA PB .
Montrer que M , N et P sont alignés si et seulement si, 1 .
Exercice 3 Soit un parallélogramme ABCD . Par un point du plan on mène la parallèle à (AD) qui coupe (AB) en M et (CD) en N, puis la parallèle à (AB) qui coupe [AD] en P et [BC] en Q. Montrer que les droites (AQ) , (BN) et (DQ) supposées bien définies et deux à deux sécantes ont un point commun