Modul-Matematika-PLPG-2013(1).docx

8/20/2019 Modul-Matematika-PLPG-2013(1).docx

1/34

Garis lurus Garis patah

Garis lengkung

Bidang datar

V

Bidang lengkung

D. GEOMETRI

1. TUJUAN Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat

memahami dan dapat menjelaskan unsur-unsur geometri,hubungan titik, garis dan bidang; sudut; melukis bangungeometri; segibanyak; lingkaran; kesebangunan dankongruensi segitiga; bangun ruang.

2. URAIAN MATERI

UNSUR – UNSUR GEOMETRIAda tiga unsur pokok dalam geometri yang tidakdidefnisikan yaitu titik, garis dan bidang.a. Titik

Titik tidak mempunyai panjang dan tidak mempunyaitebal. Cara mengilustrasikan titik digunakan noktah (dotyang diberi label dengan huru! kapital.

b. "arisCara mengilustrasikan garis digambar dengan goresanyang ujung-ujungnya diberi tanda panah untukmenandakan dapat diperpanjang terus-menerus dan diberilabel dengan huru! ke#il atau dua huru! kapital. Ada tigama#am garis yaitu garis lurus, garis patah dan garislengkung (kur$a. %ntuk selanjutnya jika disebut garis

maka yang dimaksud adalah garis lurus

#. &idangCara mengilustrasikan bidang tidak diberikan se#arakhusus tetapi disesuaikan dengan keperluan biasanyadinyatakan dengan jajargenjang atau lengkungan bidang

dan diberi label α, β, γ dst atau huru! kapital ', , % dst.&idang dapat dibedakan antara bidang datar dan bidanglengkung.

1


2/34

%ntuk selanjutnya yang dimaksud bidang adalah bidang datar.&erpangkal dari tiga unsur yang tidak didefnisikan di atas

akan dimulai untuk membentuk suatu defnisi, aksioma (postulat

dan Teorema (dalil.)efnisi adalah pernyataan atau ungkapan yang dapatmembatasi sebuah konsep.Contoh* a. +uas garis adalah bagian garis yang dibatasi dua titik.

b. Sinar garis adalah bagian garis yang mempunyaipangkal tetapi

tidak berujung.#. "aris sumbu ruas garis adalah garis yang membagi

dua samapanjang dan tegak lurus ruasgaris tersebut.

Postulat/aksioma adalah pernyataan yang diasumsikan benartanpa dibuktikan.

Contoh. elalui dua titik yang berbeda dapat dibuat tepat satugaris.

Teorema adalah pernyataan yang kebenarannya harusdibuktikan berdasarkan defnisi, aksioma, atau teoremayang telah dibuktikan sebelumnya.

Contoh* )ua sudut yang bertolak belakang adalah kongruen.

2. MENGGAMBAR BANGUN GEOMETRI

a. Melukis a!"u! "eometri

)alam geometri melukis adalah pekerjaan yang penting dan

sering dilakukan. ang dimaksud melukis disini adalah

membuat atau menyelesaikan suatu gambar yang harus

dipenuhi syarat-syarat yang diminta oleh pengertian-pengertian

geometri. &iasanya dalam melukis selain alat tulis hanya boleh

menggunakan mistar, sepasang segitiga dan jangka.

)alam geometri suatu gambar kadang dapat langsungdilukis (lukisan pokok namun ada yang tidak dapat langsung

dilukis (gambar sulit dari apa yang diketahui namun harus

diselidiki peren#anaan atau analisis terlebih dahulu si!at-si!at

yang memungkinkan lukisan itu.

ang termasuk lukisan pokok antara lain adalah*

• embuat ruasgaris menjadi n bagian yang sama

• engkonstruk sudut

2


3/34

A

F

H

G

D

C

B

E

1

T2

• embagi sudut menjadi dua sama besar

• elukis garis tegaklurus garis lain

• elukis garis sumbu

• elukis segitiga jika diketahui unsur-unsurnya yangmemenuhi syarat.

• elukis lingkaran melalui tiga titik yang tidak segaris

• elukis garis singgung lingkaran yang diketahui titik

singgungnya

• elukis lingkaran luardalam suatu segitiga

Salah satu #ontoh lukisan yang termasuk lukisan sulit adalah*

)iketahui titik / tidak pada garis g dan garis l, garis g dan garis

l bersilangan. 0ukislah garis yang melalui titik / dan

memotong garis g serta garis l.

0atihan* Cobalah untuk melukis beberapa lukisan pokok di

atas.

. Me!""amar Ba!"u! Rua!"

Ada dua #ara untuk menggambar bangun ruang ditinjau

dari arah sinar yang dikenakan pada model kerangka bangunatau benda, yaitu*

#$ %ara Pers&ekti'

/ada gambar perspekti! garis-garis yang sebenarnya sejajar

(ke#uali garis-garis yang sejajar dengan garis

horion#akra2ala letaknya menjadi tidak sejajar lagi, tetapi

arahnya menuju sebuah titik tertentu yang letaknya pada

garis horion. Sebagai akibatnya ruas garis-ruas garis yang

sebenarnya sama panjang, pada umumnya menjadi tidak

sama panjang.

3


4/34

G

C

E

H

D

F

"ambar di atas menunjukkan gambar perspekti! dari sebuah

balok A&C).34"5. Titik-titik T1 dan T6 adalah titik-titik pada

garis harion.

2$ %ara Stereometris

Cara ini pada hakekatnya sama dengan #ara perspekti!,hanya saja dianggap letaknya di jarak tak terhingga, danselanjutnya #ara ini disebut #ara stereometris.

/ada #ara ini sinar yang mengenai model bangun itu kitaanggap sejajar dan arahnya miring tidak tegak lurus terhadapbidang layar, atau bidang gambar. 7arena itu #ara ini kitasebut proyeksi miring, dan gambar yang diperoleh gambarruang dari gambar benda tersebut. )alam geometri #arainilah yang kita pergunakan.

/ada gambar ruang ada beberapa istilah yang digunakanyaitu*&idang gambar adalah bidang tempat gambar, yaitupermukaan papan tulis atau permukaan kertas tempatgambar yang dibuat.

&idang !rontal adalah bidang yang berimpit atau sejajardengan bidang gambar."aris !rontal adalah setiap garis yang terletak pada bidang!rontal."aris orthogonal adalah setiap garis yang letakya tegakluruspada bidang !rontal.Sudut surut atau sudut simpang atau sudut menyisi adalahsudut yang dibentuk antara garis !rontal horiontal arahkekanan dan garis orthogonal arah ke belakang.

/erbandingan proyeksi atau perbandingan orthogonaladalah bilangan yang menyatakan perbandingan antarapanjang sebuah ruas garis orthogonal dalam gambar denganpanjang sebenarnya.

4


5/34

gA

g

(. )UBUNGAN TITI* + GARIS DAN BIDANG

Sebelumnya telah dikenalkan titik, garis dan bidang, tigapengertian pangkal !undamental yang menjadi dasar geometri3u#lid. )alam bagian modul ini akan dibahas tentang titik, garisdan bidang serta hubungan diantaranya.

Titik-titik dikatakan segaris jika dan hanya jika ada sebuahgaris yang memuat semua titik-titik itu. Titik-titik dikatakansebidang jika dan hanya jika ada sebuah bidang yang memuatsemua titik-titik itu.

a. 7edudukan titik dan garis. isal ada titik A dan garis g maka kedudukan titik Aterhadap garis g ada dua kemungkinan yaitu*

Titik A terletak pada garis g

Titik A di luar garis g

•A

Aksioma #, elalui dua titik yang berbeda dapat dibuat tepatsatu garis.

. *e-u-uka! "aris -a! "aris

8ika terdapat dua garis, misal garis g dan garis k makakemungkinan kedudukan 6 garis tersebut adalah*

1 garis g berimpit dengan garis k6 garis g berpotongan dengan garis k9 garis g sejajar dengan garis k: garis g bersilangan dengan garis k

)ua garis dikatakan berimpit jika dan hanya jika padakedua garis tersebut paling sedikit mempunyai dua titik sekutu.

5


6/34

≡)ua garis dikatakan berpotongan jika dan hanya jika dua

garis tersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan.

)ua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika kedua garistersebut sebidang dan tidak berpotongan.

)ua garis dikatakan bersilangan jika dan hanya jika keduagaris tersebut tidak sebidang.

$ *e-u-uka! titik -a! i-a!" 8ika terdapat titik / dan bidang ' maka kemungkinan

kedudukan titik / dan bidang ' adalah*1 titik / terletak pada bidang '6 titik / tidak terletak pada bidang '

Aksioma 2* elalui tiga titik yang berbeda dan tidak segarishanya dapat dibuat tepat sebuah bidang.

Aksioma (* Setiap ruang memuat paling sedikit empat titik taksebidang.

-$ *e-u-uka! "aris -a! i-a!" 8ika terdapat garis g dan bidang ' maka kemungkinankedudukan garis g terhadap bidang ' adalah*

1 garis g terletak pada bidang '6 garis g sejajar bidang '9 garis g memotong (menembus bidang '

6


7/34

: garis g tegak lurus bidang '

"aris terletak pada bidang jika dan hanya jika ada dua titikpada garis tersebut yang terletak pada bidang.

Aksioma , 8ika dua titik terletak pada sebuah bidang makagaris yang memuat titik-titik tersebut terletak pada bidangyang sama.

"aris terletak pada bidang jika dan hanya jika ada dua titikpada garis tersebut yang terletak pada bidang.

"aris se0a0ar bidang jika dan hanya jika garis dan bidangtersebut tidak memiliki titik sekutu.

"aris memoto!" 1me!emus$ bidang jika dan hanya jika garisdan bidang tersebut memiliki tepat satu titik sekutu.

e$ *e-u-uka! i-a!" -a! i-a!" 8ika terdapat dua bidang ' dan bidang maka kemungkinan

kedudukan ' dan adalah*1 bidang ' berimpit dengan bidang 6 bidang ' sejajar bidang 9 bidang ' berpotongan dengan bidang


8/34

)ua bidang dikatakan erim&it jika dan hanya jika dua bidangtersebut memiliki tiga titik sekutu yang tidak segaris.

)ua bidang dikatakan se0a0ar jika dan hanya jika dua bidang

tersebut tidak mempunyai titik sekutu.

)ua bidang dikatakan er&oto!"a! jika dan hanya dua bidangtersebut memiliki dua titik sekutu.

Aksioma * 8ika dua bidang berpotongan maka potongannyaberupa garis

'$ Jarak titik+ "aris -a! i-a!"Sebelum membahas tentang jarak kita bi#arakan terlebih

dahulu tentang &ro3eksi.Pro3eksi titik ke "aris adalah kaki ruasgaris tegak lurus darititik ke garis tersebut.Pro3eksi titik ke i-a!" adalah kaki ruasgaris tegak lurus darititik ke bidang tersebut.Pro3eksi "aris ke i-a!" adalah himpunan proyeksi titik padagaris ke bidang tersebut.

Jarak -ua titik yang berbeda adalah panjang ruasgaristerpendek antara kedua titik tersebut.

Jarak titik ke "aris adalah panjang ruasgaris terpendek antaratitik tersebut dan proyeksinya pada garis tersebut.

Jarak titik ke i-a!" adalah panjang ruasgaris terpendekantara titik tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut.

Jarak "aris ke "aris adalah panjang ruasgaris terpendekantara titik pada salah satu garis ke proyeksi titik tersebutpada garis yang lain.

Jarak "aris ke i-a!" adalah panjang ruasgaris terpendekantara titik pada garis ke proyeksi titik tersebut padabidang.

Jarak i-a!" ke i-a!" adalah panjang ruasgaris terpendekantara titik pada salah satu bidang ke proyeksi titiktersebut pada bidang yang lain.

!


9/34

A B

C."#A

. SUDUTSudut adalah gabungan dua sinargaris yang berimpit titik

pangkalnya atau sudut adalah bangun yang dibentuk oleh duasinargaris yang berimpit titik pangkalnya. 7edua sinargaris

tersebut disebut sisi/kaki su-ut dan titik pangkalnya disebuttitik su-ut.

%ntuk menyatakan sudut dapat digunakan simbol ∠ . %ntukmenamai sudut dapat digunakan tiga huru! dengan huru! tengahsebagai nama sudut atau satu huru!.Contoh untuk menamai sudut di atas dapat dinyatakan sebagai

berikut ∠&AC atau ∠CA& atau ∠ A.)apat juga dikatakan bah2a sudut adalah bangun yang dibentukoleh dua ruasgaris yang berimpit titik ujung-ujungnya.

%kuran sudut dapat dinyatakan dengan -era0at atau ra-ia!.%kuran sudut dapat dipandang sebagai jarak putar dari salahsatu kaki ke kaki yang lain. Satu putar penuh besarnya 9<derajat (9 =


10/34

g

l

A

A

&

&'

)ua sudut dikatakan er&e!3iku jika jumlah ukuran keduasudut tersebut adalah


11/34

k(n)eks

&angun disebut ko!7eks jika untuk setiap dua titik pada sisiyang berbeda pada bangun tersebut, seluruh ruasgaris yangmenghubungkan dua titik tersebut terletak di dalam banguntersebut. 8ika ada bagian ruasgaris yang menghubungkan duatitik pada sisi yang berbeda pada bangun tersebut tidak terletakdi dalam bangun tersebut maka bangun itu disebut ko!ka' .%ntuk selanjutnya bangun yang dibahas dalam materi ini adalahbangun kon$eks.a#am-ma#am segibanyak diantaranya adalah sebagai berikut*

anurut Anda menjadi bangun apakah jika segibanyak di atassisinya semakin banyakB Apakah banyaknya bisa tak terhinggaB 8ika ya akan berbentuk apakah segibanyak tersebutB

. *ONGRUENSI DAN *ESEBANGUNAN SEGITIGASe"iti"a adalah bangun datar yang mempunyai tiga sisi.

)alam segitiga terdapat garis-garis istime2a yaitu "aris ti!""i+"aris a"i -a! "aris erat.

Garis ti!""i segitiga adalah ruas garis yang menghubungkantitiksudut segitiga dengan proyeksi titik itu pada sisi didepannya.

Garis erat (segitiga adalah ruasgaris yang menguhubungkantitiksudut segitiga dengan titik tengah sisi didepannya.

Garis a"i su-ut adalah garis yang melalui titik sudut danmembagi ukuran sudut menjadi dua sama besar.

Garis a"i su-ut segitiga adalah ruasgaris yang membagisudut dalam segitiga menjadi dua sama besar.

11

k(nka*


12/34

C

A

T

+

&angun-bangun geometri dikatakan sea!"u! jika dan hanya jika bangun-bangun geometri tersebut mempunyai bentuk samatetapi tidak harus berukurannya sama. 0ambang sebangun

dinyatakan dengan .

8ika diketahui ∆A&C dan S pada sisi AB

dan T pada sisi AC

apakah hubungan antara ∆A&C dengan ∆AST jikaST

BC

BSelanjutnya, dua bangun geometri dikatakan sebangun bilamemenuhi si!at-si!at berikut.1. sudut-sudut yang bersesuaian sama.6. sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai

perbandingan yang sama (sebanding.

ilai perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian disebut 'aktorskala.

8ika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama

besar, maka kedua segitiga tersebut sebangun.

8ika perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada dua

segitiga sama besar, maka kedua segitiga tersebut sebangun.

&angun-bangun geometri dikatakan ko!"rue! jika dan hanya jika bangun-bangun geometri tersebut mempunyai bentuk dan

ukuran yang sama. 0ambang kongruen dinyatakan dengan .)ua segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya sisi-sisi yang

bersesuaian pada kedua segitiga sama panjang dan sudut-sudutyang bersesuaian pada segitiga ukurannya sama.

Aksioma * 8ika diketahui dua segitiga dengan dua sisi dan sudut apit padasegitiga pertama yang bersesuaian kongruen dengan segitigakedua maka kedua segitiga tersebut adalah kongruen. (Sisi4su-ut4sisi

12


13/34

T.A

&

,

+

-

N

.AL

MO

R

.A

&

+

- T

,

Teorema 8ika diketahui dua segitiga dengan dua sudut dan sisi apit padasegitiga pertama yang bersesuaian kongruen dengan segitigakedua maka kedua segitiga tersebut adalah kongruen. (Su-ut4

sisi4su-ut

Teorema 8ika diketahui dua segitiga dengan ketiga pasang sisi yangbersesuaian pada kedua segitiga kongruen maka kedua segitigatersebut adalah kongruen. (Sisi-sisi-sisi

8. 9ING*ARAN9i!"kara! adalah himpunan titik-titik (tempat kedudukan

titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titiktertentu. 8arak tersebut disebut 0ari40ari dan titik tertentu itudisebut &usat li!"kara!.

%nsur-unsurbagian-bagian lingkaran adalah*a. jari-jarib. diameter#. talibusurd. busure. pusat lingkaran!. temberengg. juringh. sudut pusat

i. sudut keliling

)engan menggunakan sudut pusat dan sudut keliling bagaimana

#ara Anda untuk menentukan ukuran ∠/T7 dan ukuran ∠D+B

13


14/34

:. BANGUN RUANGBi-a!" a!3ak adalah bangun ruang yang dibatasi oleh

bagian bidang-bidang datar. &idang-bidang pembatas berupasegibanyak disebut i-a!" sisi. /erpotongan antara dua bidang

sisi disebut rusuk . /erpotongan tiga rusuk disebut titik su-ut.

a#am-ma#am bangun ruang diantaranya adalah sebagaiberikut*

a. PrismaPrisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidangdatar yang sejajar dan beberapa bidang lain yag berpotonganmenurut garis-garis sejajar.

)ua bidang datar yang sejajar diatas biasanya disebuti-a!" alas dan i-a!" atas, sedangkan bidang-bidang sisilainnya disebut sisi/i-a!" te"ak . Setiap rusuk pada sisibidang tegak disebut rusuk te"ak .

)itinjau dari kedudukan rusuk tegaknya pada bidang alas prismadapat dibedakan antara &risma te"ak dan prismao!-o!"/miri!".

enurut Anda, selalu berbentuk apakah sisi tegak prismaB&agaimana

menetukan $olume prisma #ondongB

. 9imas9imas adalah bangun ruang yang semua titik sudutnyake#uali satu titik berada pada satu bidang.

enurut Anda apakahlimas juga dibedakan

14


15/34

.al(k

ku.us

-u.us satuan

antara limas tegak danlimas #ondongB engapaB

. Balok -a! *uus

)apatkah Anda menentukan $olume balok dan kubus di atasdengan kubus satuan, yang panjang rusuknya satu satuanpanjang, seperti gambar berikutB

enurut Anda mengapa $olume kubus yang panjang rusuknya

a #m sama dengan a9

#m9

dan $olume balok yangmempunyai panjang rusuk p #m, l #m dan t #m samadengan p E l E t #m9B

-. Tau!" -a! keruutenurut Anda apakah tabung dan keru#ut termasuk bidangbanyakB engapaB

CATATA*

15


16/34

%ntuk a!"u! -atar sisi berupa ruas"aris atau usur dana!"u! rua!" sisi eru&a se"ia!3ak ataua!"u!le!"ku!".

;. ME9U*IS BANGUN GEOMETRI

a. JENIS4JENIS SEGITIGA#$ JENIS4JENIS SEGITIGA DITINJAU DARI PANJANG

SISIN6Aa$ SEGITIGA SAMA*A*I

Segitiga samakaki adalah segitiga yang mempunyai duasisi yang panjangnya sama.

Si!at segitiga samakaki*1. mempunyai satu sumbu simetri yaitu garis tingginya

6. memiliki sepasang sisi yang sama panjang

9. memiliki sepasang sudut yang besarnya sama

:. dapat menempati bingkainya menurut 6 #ara

F. dapat dibentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen

$ SEGITIGA SAMASISI

Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinyasama panjang.

Segitiga yang bukan segitiga samakaki dan bukan segitiga

samasisi disebut segitiga sebarang.

$ JENIS4JENIS SEGITIGA DITINJAU DARI SUDUT4SUDUTN6A)itinjau dari sudut-sudutnya, suatu segitiga dibedakan

menjadi 9, yaitu sebagai berikut*

16

Si!at-si!at segitiga samasisi*

1. mempunyai tiga sisi yang sama panjang dan tiga sudut yang

sama

besar

6. dapat menempati bingkainya dengan #ara

9. mempunyai 9 buah sumbu simetri


17/34

1 Segitiga la!i&, yaitu segitiga yang semua sudutnyalan#ip.

6 Segitiga siku4siku, yaitu segitiga yang salah satusudutnya siku-siku.

9 Segitiga tum&ul, yaitu segitiga yang salah satu sudutnyatumpul.

-$ ME9U*IS BANGUN GEOMETRI

)alam geometri melukis adalah pekerjaan yang penting dansering dilakukan. ang dimaksud melukis disini adalah membuatatau menyelesaikan suatu gambar yang harus memenuhi syarat-syarat yang diminta oleh pengertian-pengertian geometri. )alammelukis selain alat tulis hanya boleh menggunakan mistar,sepasang segitiga dan jangka. )alam geometri suatu lukisan kadang dapat langsung dilukis

(lukisan pokok namun ada yang tidak dapat langsung dilukis(lukisan sulit dari apa yang diketahui namun harus diselidiki,dibuat peren#anaan atau dianalisis terlebih dahulu si!at-si!atyang memungkinkan lukisan itu dilukis.

0ukisan pokok dalam geometri antara lain*1 embagi ruasgaris menjadi n bagian6 emindah sudut9 embagi besar sudut menjadi dua sama besar: elukis garis tegaklurus garis yang lainF elukis garis sumbu ruasgaris.

elukis segitiga jika diketahui unsur-unsurnyayang memenuhi syarat.

G elukis garis singgung lingkaran yang diketahuititik singgungnya

@ elukis lingkaran luardalam suatu segitigaSalah satu #ontoh lukisan yang termasuk lukisan sulit adalah*)iketahui titik / tidak pada garis g dan garis l, garis g dan garis lbersilangan. 0ukislah garis yang melalui titik / dan memotonggaris g serta garis l.

9ati5a!* Cobalah untuk melukis beberapa lukisan pokok di atas.

e$ ME9U*IS SEGITIGA SI*U4SI*U

1


18/34

Gambar 11%ntuk menggambar segitiga siku-siku, sediakan kertas

berpetak. isalkan akan menggambar∆

A&C siku-siku di Adengan AC = F satuan dan &A = satuan. 0etakkan titiksudut A pada titik perpotongan garis pada kertas berpetakmu.

AB

berimpit dengan arah horiontal yang melalui A dan

AC

berimpit dengan arah $ertikal melalui A (Gambar 11.&agaimana melukis segitiga siku-siku pada kertas polosB

8ika kita akan menggambar∆

A&C siku-siku di A, makalangkah-langkahnya adalah

1 0ukis ruas garis A&6 &uat sudut


19/34

Gambar 13

"$ ME9U*IS SEGITIGA SAMASISI

isalkan kita akan melukis∆

A&C samasisidengan A&=AC=&C. 0angkah-langkahnya sebagai berikut(perhatikan Gambar 14*1 0ukis ruas garis A&6 0ukis busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari A&9 embuat busur lingkaran dengan pusat & dan jari-jari

&A, sehingga kedua busur berpotongan di C

: 5ubungkan A dan CF 5ubungkan & dan C

1%


20/34

Gambar 14

5$ ME9U*IS SEGITIGA 6ANG PANJANG*ETIGA SISIN6A DI*ETA)UI

isalnya, kita akan melukis HA&C dengan panjang A& =:,F #m, panjang &C = 9,@ #m, dan panjang AC = : #m,bagaimana #aranyaB

%ntuk melukis segitiga A&C tersebut, sediakAn terlebihdahulu jangka, penggaris, dan peralatan tulis-menulislainnya.

7emudian kita ikuti langkah berikut*

2$


21/34

Gambar 15

1. gambar ruas garis A& = :,F #m6. buat busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari : #m.9. buat busur lingkaran dengan pusat & dan jari-jari 9,@

#m sehingga memotong busur sebelumnya di titik C.:. tarik ruas garis AC dan &C sehingga diperoleh segitiga

A&C.

%ATATAN

Suatu segitiga dapat dilukis, jika jumlah panjang dua sisinya, lebih

besar dari panjang sisi ketiga. 8ika syarat tersebut tidak dipenuhi,

maka segitiga tersebut tidak dapat dilukis.

i$ ME9U*IS SEGITIGA 6ANG DI*ETA)UI DUA SISI DANSUDUT APITN6A 1SISI, SUDUT, SISI$

isalkan kita akan melukis segitiga A&C, jika diketahui

panjang A& = 9 #m, AC = 6,F #m dan m∠ &AC = < o

Caranya adalah sebagai berikut.

Gambar 16

21


22/34

22


23/34

1 gambarlah ruas garis A&=9 #m.6 lukislah dengan jangka sudut &A) yang besarnya

sama dengan


24/34

6 lukislah sudut S+ yang besarnya = ∠&AC dan tariklah

ruas garis + yang agak panjang9 pergunakan jangka, untuk melukis busur lingkaran yang

berpusat di titik S dengan jari-jari 9,9 #m dan memotong

garis + di titik T dan %.: tariklah garis ST dan T% sehingga terbentuk

segitiga +ST dan segitiga +S%.)ari hasil di atas dapat dikatakan bah2a, jika diketahuipanjang dua sisi dan satu sudut yang terletak di hadapansalah satu sisi, maka dapat dihasilkan dua kemungkinanlukisan segitiga.

l$ ME9U*IS GARIS4GARIS ISTIME


25/34

Gambar 19

25


26/34

m$ ME9U*IS GARIS BAGI PADA SEGITIGA"aris bagi pada segitiga adalah garis yang membagi

sudut dalam segitiga menjadi dua sama besar.%ntuk melukis garis bagi pada segitiga, langkah-

langkahnya adalah sebagai berikut*1 0ukis segitiga /I+ sebarang6 0ukis busur lingkaran yang berpusat di /, sehingga

memotong PR

di titik dan

PQ

di titik .9 0ukis busur lingkaran yang berpusat di dan dengan

jari-jari yang sama sehingga berpotongan di D.

: 5ubungkan tiitk / dan D. garis PO

adalah "aris a"i∠

P pada segitiga /I+

Gambar 20

!$ ME9U*IS GARIS BERAT PADA SEGITIGA"aris berat pada segitiga adalah garis yang

menghubungkan titik sudut segitiga dan pertengahan sisidihadapannya. %ntuk melukis garis berat pada segitiga,perhatikan langkah-langkah berikut ini*

a. 0ukis segitiga 70 sebarangb. 0ukis busur lingkaran dengan pusat 7 dan 0 dengan jari-

jari sama, sehingga berpotongan di titik D dan /#. 5ubungkan titik D dan /, sehingga memotong 70 di titik

)

26


27/34

d. 5ubungkan titik dan ). "aris ) adalah "aris eratdari titik ke sisi 70.

Gambar 21

o$ ME9U*IS GARIS SUMBU PADA SEGITIGA"aris sumbu pada segitiga adalah garis yang membagi dua

sama panjang sisi segitiga dan tegak lurus sisi itu. %ntukmelukis garis sumbu, perhatikan langkah-langkah berikut ini*

1 0ukis segitiga JK sebarang6 0ukis busur lingkaran di titik J dan dengan jari-jari sama,

sehingga berpotongan di titik / dan I

9 5ubungkan titik / dan I, sehingga memotong J dan dititik +

2


28/34

∆

A Ba

t

Gambar 22

&$ *E9I9ING DAN 9UAS SEGITIGA

i. MENG)ITUNG *E9I9ING SEGITIGA

8ika 7 merupakan kaliling∆

A&C dan panjang &C = a, AC =b, dan A& = c (Gambar 23, maka * = AB > B% > A% atau * =a > b > c.

Gambar 23)engan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.

Keliling dari suatu segitiga adalah jumlah panjang sisi-sisinya

isal 0 luas daerah∆

A&C dengan panjang sisi siku-

sikunya a dan tinggi t , maka 0 =2

1

at

?$ SI@AT4SI@AT SEGITIGA#. *ETIDA*SAMAAN PADA SISI SEGITIGA

2!


29/34

D

B A

C

Gambar 25/erhatikan segitiga seperti Gambar 25 di atas. Tentukan

titik ) pada perpanjangan AC

, sehingga C) = &C, di sinididapatkan AC L C) M A& atau AC L &C M A&.

Tentukan titik 4 pada perpanjanganCA

, sehingga A4 =A&, seperti yang tampak pada gambar G.F9 di ba2ah ini. Ternyata, AC L A4 M &C atau

AC L A& M &C.

2%


30/34

CF A

B

Gambar 26

dari hasil membandingkan sisi∆

A&C tersebut dapat disimpulkansebagai berikut*

ii. )UBUNGAN SUDUT DA9AM DAN SUDUT 9UAR SUATUSEGITIGA

/erhatikan∆

A&C pada Gambar 25 di ba2ah ini.

3$

• /anjang salah satu sisi segitiga lebih pendek dari pada

jumlah panjang kedua sisi yang lain

• 7enyataan ini sering disebut ketidaksamaan segitiga


31/34

A

C

B D

Gambar 27

31


32/34

r$ TEOREMA P6T)AGORAS

/engertian dalil /ythagoras dapat juga dijelaskan sebagai

berikut.

8ika sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya a

dan b, dan panjang sisi miring atau hipotenusa sama dengan c, maka

berlaku hubungan

8umlah kuadrat panjang sisi siku-siku sama dengan kuadrat

panjang sisi miring (hipotenusa. 5ubungan

disebut -alil P3t5a"oras.

)ari didapatkan

atau .

7ebalikan dari dalil /ythagoras adalah jika pada sesuatu dengan

panjang sisi p, , dan r berlaku ,

, atau , maka segitiga tersebut

-

i. TRIPE9 P6T)AGORAS Tiga bilangan yang menyatakan panjang sisi-sisi

segitiga siku-siku disebut tripel /ythagoras atau dapatdisimpulkan sebagai berikut.

32

&/thag(ras adalah se(rang ahli *ilsa*at dan 0ate0atika

dari unani /ang 0e0.ahas tentang panang dari sisi/ang terdapat pada segitiga sikusiku" Dalil &/thag(ras

.er.un/i kuadrat hip(tenusa atau sisi 0iring dari

segitiga sikusiku sa0a dengan u0lah kuadrat kedua

sisi /ang lain dari segitiga sikusiku terse.ut"


33/34

A B

C

D

a .

ika tiga .ilangan a b dan c 0e0pun/ai hu.ungan7

atau

s. PENERAPAN *ONSEP GARIS4GARIS ISTIME


34/34

merupakan garis berat H A&C. /anjang garis berat segitigatersebut dapat diketahui dengan mengukur langsung panjanggaris berat segitiga maupun dengan rumus

Modul-Matematika-PLPG-2013(1).docx

Documents

Transcript of Modul-Matematika-PLPG-2013(1).docx