Modul Matematika

smart learning center

HIMPUNAN

1. Pengertian

Himpunan adalah kumpulan dari objek atau unsur tetentu yang keanggotaannya diterangk an dengan jelas. Objek atau unsur yang temasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut. Contoh : - Himpunan Mahasiswa UI yang namanya diawali huruf A. - Himpunan bilangan nyata diantara 2 dan 10.

2. Cara menyatakan Himpunan

2.1 Cara tabulasi (pendaftaran) yaitu dengan menuliskan ssemua elemen yang termasuk dalam himpunan.

Contoh : Bila A adalah himpunan semua bilangan

prima yang lebih kecil dari 0, maka dapat dituliskan dengan cara tabulasi :

A : {2,3,5,7,11,13} 2.2 Cara Deskripsi (perincian) Yaitu dengan menuliskan sifat dan

keanggotaan himpunan tersebut. Contoh : Dengan cara deskripsi, himpunan A pada

contoh 2.1 dituliskan : A = {x/x < 17, x bilangan Prima}. 3. Skema Himpunan Bilangan

HIMPUNAN

BILANGAN KOMPLEKS

a. Bilangan Riel : bilangan yang dibentuk oleh bilangan Rasional dan irrasional. Atau bilangan riel adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam desimal. Contoh : 0,2, -4, 3/7, 0, 132, dsb

b. Bilangan Imajiner : bilangan yang apabila dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan bilangan negatif.

Contoh : 1 = 1− , 5− c. Bilangan rasional : bilangan yang dapat

dinyatakan sebagai hasil bagi dua buah bilangan bulat, dimana penyebutnya = 0

d. Bilangan Irrasional : tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, sehingga merupakan bilangan desimal yang tidak berulang.

Contoh : 2 , 5 , 10 e. Bilangan Bulat : terdiri dari bilangan bulat

positif, nol dan bilangan bulat negatif. B = {....., -2,-1, 0, 1, 2...} f. Bilangan Cacah : nol + bilangan asli C = {0, 1, 2, 3 } g. Bilangan asli : bilangan bulat Positif A = { 1, 2, 3, 4, ...} h. Bilangan Prima: bilangan asli kecuali yang tidak

mempunyai faktor selain 1 dan bilangan itu sendiri.

P = { 2, 3, 5, 7, 11} 4. Himpunan Menurut banyak anggota

a. Anggota (elemen) sebuah hoimpunan : Jika H = { a, e, l, o, u} Maka : a adalah anggota h dinotasikan : a є H demikian juga pєH nєH (n bukan anggota

H). b. Bilangan Kardinal : yaitu banyaknya dari suatu himpunan.Pada himpunan H diatas banyak anggota bilangan kardianalnya adalah 5. Dinotasikan : N(H,= 5) 4.1 Himpunan berhingga yaitu: Himpunan yang banyak anggotanya dapat dihitung (berhingga).

Contoh : M = {2, 4,6,8,} ....n (M) = 4

4.2 Himpunan tak berhingga : yaitu banyak anggotanya tidak dapat dihitung. Contoh: N= { 1,3,5,7} 4.3 Himpunan kosong yaitu himpunan yang anggotanya tidak ada (tidak mempunyai

anggota). - P = { x 12x + 6 = 4, x = bil. Asli } - Himppunan sarjana indonesia yang berumur

11 tahun.

Bil.Imajiner Bil. Riel

Bil. Irrasional Bil. Rasional

Bil. Bulat Bil. Pecahan

Bil. Cacah Bil. Bulat Negatif

Bil. Asli Bil. Nol (0)



- 2 -

4.4 Himpunan Semesta : yaitu himpunan semua elemen yang terjadi pokok pembicaraan.

Umumnya dinotasikan dengan S. 5. Hubungan antara himpunan. Melibatkan dua buah himpunan atau lebih 5.1 Himpunan bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B. Jika setiap anggota dari A adalah juga merupakan anggota dari B. Contoh : jika A { 1, 3, 6, 9} B = {6, 3, 1} Maka : B himpunan bagian dari A, dinotasikan B⊂ A Banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari suatu himpunan dengan banyaknya anggotanya = n adalah : 2 n ( dua pangkat n)

5.2 Himpunan Komplemen Jika A suatu himpunan dan S himpunan Semesta A⊂ S : maka himpunan komplemen A adalah himpunan semua unsur S yang bukan merupakan anggota A. Dinotasikan : A', Ac, atau A. Contoh : lihat contoh 5.1 Jika A himpunan Semesta maka B' = (9)

5.3 Himpunan Ekivalen Dua himpunan A dan B dikatakan Ekivalen jika kedua himpunan mempunyai banyak anggota sama. Dinotasikan A˜ B Contoh : A = {p, g, r, s,} B = {1 ,2, 5, n} A˜ B

5.4 Himpunan yang sama Dua himpunan A dan B dikatakan sama, jika semua elemen A adalah juga elemen B, dan sebaliknya dinotasikan A = B Contoh : A = {a, b, c} B = {b ,c, a} A = B

5.5 Himpunan Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan lepas/ saling asing, jika kedua himpunan tidak mempunyai anggota persekutuan, atau tidak ada satupun anggota yang sama, dinotasikan: A/ /B Contoh : A = {x I x bilangan genap} B = {y I y bilangan ganjil } Maka A/ /B Catatan : - Himpunan kosong, θ atau { } adalah

merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

- Setiap himpunan adalah merupakan himpu-

nan bagian dari dirina sendiri. - Jika A⊂ B dan juga B⊂ A , maka A = A - Bedakan antara ∈ dengan ⊂ .

6. Diagram Venn

Digunakan untuk menjelaskan tentang himpunan, yang digambarkan berupa kurva tertutup.

Contoh ; Jika himpunan-himpunan berikut digambarkan dalam diagram Venn. S = {a, e, l, o, 1, 2, 3} A = {o, a, l, u} B = {a, u, 3} C = {1, 3} Maka akan diperoleh diagramnya : 7. Operasi Himpunan

1. Irisan (intersection) :

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota himpunan A dan B Definisi : A ∩ B = {x I x ∈A & x ∈B}

2. Gabungan (union) :

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggo ta himpunan A atau B. Definisi :

A∪ B = {x I x ∈A V x ∈B}

3. Pengurangan Himpunan : Pengurangan (selisih) himpunan A dan B (him punan A kurang himpunan B) adalah himpun an yang anggotanya merupakan anggota A ta pi tidak meupakan anggota B.

A - B = {x I x ∈A & x ∈B} B - A = {x I x ∉A & x ∈B}

4. Penjumlahan Himpunan : Penjumlahan Himpunan A dan B adalah himp unan yang anggotanya merupakan anggota A dan B, tetapi bukan anggota keduanya seka ligus. Definisi : A + B = {x I x ∈AV x ∈B, x∉(A∈B)}

A 2 e B C

o a i u

3 1

S



- 3 -

5. Perkalian Himpunan

- (Produk Cartesius Himpunan) Perkalian dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotana merupakan pasa ngan berurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B. Definisi : A x B = {(a,b) \ a ∈A b∈B) } Bila operasi-operasi diatas dinyatakan de ngan diagram venn, didapat sbb:

B. Sifat-sifat Himpunan

1. Sifat Komutatif

A∩ B = B ∩ A A∪ B = B ∪ A A + B = B + A A - C # B - A A x B # B x A

2. Sifat Asosiatif

A∩ (B∩ C) = B ∩ A A∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∪ C

3. Sifat Distributif

A∩ (B∪ C) = (B ∩ A) ∪ (A ∩ C) A∩ (B∩ C) = (A ∪ B) (A ∪ C)

3. Hukum De Morgan

(A ∩ B)' = A' ∪ B' (A ∪ B)' = A' ∩ B'

9. Rumus-rumus Himpunan

n(A) artinya: bilangan kardinal himp.A maka: 1. # n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) # n (A ∪ B) + n(A ∪ B)' = n(S) 2. n (A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)- n (A ∩ B)- n(A ∩ C)- n(B ∩ C ) + n (A ∩ B ∩ C)

Contoh Soal : 01. Hasil penelitian yang dilakukan terhadap 250

orang penduduk suatu desa, menyatakn bahwa ada 60 orang pemilik sawah dan 110 orang penggarap sawah. Disampinng itu ada pula 100 orang yang bukan pemilik maupun penggarap sawah, maka banyak orang yang pemilik dan sekaligus penggarap sawah adalah : (A) 170 (D) 20 (B) 90 (E) 10 (C) 70

SKALU 1979 Penyelesaian :

M = himpunan pemilik sawah, n(M) = 60 G = himpunan penggarap sawah, n(G) = 110 n (M∩ G) = x n(M∪ G)' = 100 n(S) = 100 + (60-x) + x + (110-x) 250 = 270 – x x = 20 (jawab D)

02. Jika himpunan P dan himpunan Q terpotong

sedangkan PC dan QC berturut-turut adalah

komplemen dari P dan Q, maka (P∩ Q) (P∩

Qc ) = ..............

(A) PC (D) P (B) QC (E) PC QC (C) Q

Penyelesaian :

P∩ Q = diarsir datar P∩ QC = diarsir tegak (P∩ Q) ∪ (P∩ Qc ) = P (jawab D) PP-I 1980

60-x x 110-x

S M G

60-x x 110-x



- 4 -

LOGIKA MATEMATIKA

Pada umumnya logika matematika hanya membicarakan pernyataan (kalimat deklaratif, yaitu kalimat yang mengandung arti dan dapat ditentukan nilai kebenaran (nilai logikanya). Nilai logika (nilai kebenaran) ada dua, yaitu : - Benar = B - Salah = S

1. Kalimat

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum ditentukan nilai kebenaran atau salahnya.Sedang

kan kalimat tertutup (proposisi/pernyataan) adalah merupakan kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salah.

Contoh : Untuk x elemen bilangan asli, X lebih besar dari 0

2. Disjungsi dan Konjungsi

- Penggabungan dua statement dengan menggunakan operasi union ("ATAU" = 'V') disebut disjungsi.

- Penggabungan dua dua statement dengan menggunakan operasi penghubungan

("DAN = 'V' = "&") disebut konjungsi. Perhatian : Tabel kebenaran disjungsi dan konjungsi (dimana P dan Q adalah dua pernyatan deklaratif)

P Q PVQ P Λ Q B B S S

B S B S

B B B S

B S S S

Dari tabel disimpulkan

Kesimpulan 1

Suatu disjungsi bernilai "salah" hanya apabila kedua statement bernilai salah. Selainnya disjungsi bernilai benar.

Kesimpulan 2

Suatu konjungsi bernilai "benar" hana apabila kedua statement bernilai benar. Selainnya kon-

jungsi bernilai salah, 3. Implikasi (kondisional) Adalah penggabungan dua buah statement

dengan menggunakan perangkai "jika ....., maka....., dan disimbolkan dengan :

"P = = > Q"

Dibaca : "jika P, maka Q" Statement P disebut antesedent Statement Q disebut konsequent.

4. Blimplikasi (bikondisional) = implikasi dua arah = gabungan konjungsi dari dua buah implikasi. disimbolkan dengan "P <···> Q" atau "Q<···> P". berarti : "(P <···> Q) Λ (Q<···> P) " dibaca : "P bilaman dan hana bilamana Q" Tabel kebenaran implikasi & biimplikasi :

P Q P = >Q Q = > P P < = >Q B B S S

B S B S

B S B B

B B S B

B S S B

Kesimpulan 3 : Suatu implikasi bernilai "salah" hana apabila ante sedennya benar dan konsequennya salah. Selain nya implikasi benar.

Kesimpulan 4 : Suatu biimplikasi bernilai "benar" apabila kedua komponennya (maksudnya P dan Q) bernilai sama.dan salah bila kedua komponennya bernilai berlawanan.

5. Beberapa Sifat Operas Logika

1. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah kom utatif. P V Q = Q V P P Λ Q = A Λ P 2. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah asso siatif. (P V Q) V R = P V (Q V R) (P Λ Q) Λ R = P Λ (Q Λ R) 3. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah distri butif. P V (Q R ) = (P V Q) ( (P V R) P Λ (Q R ) = (P Λ Q) ( (P Λ R)

Kalimat Ingkar = Non + negatif

Jika suatu statement disimbolkan dengan P, maka kalimat ingkarnya disimbolkan dengan "˜P". Dibaca bukan P = tidak p = non P

Tabel kebenaran negasi :

P __

P = ˜ P

B S

S B



- 5 -

6. Hubungan Disjungsi, Konjungsi, Implikasi dengan ingkaran (Negasi) dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan kesa maan-kesamaan logika. (coba sendiri)

Kesimpulan 5 : P ···> Q = P V Q (nilai logikannya sama)

Kesimpulan 6 : Disebut juga Dalil De Morgan P V Q + P Λ A P Λ Q + P V Q "Ingkaran (negasi) dari suatu disjungsi, sama

dengan konjungsi, sama dengan konjungsi dari masing-masing ingkaran". Demikian juga sebaliknya.

Jadi berarti, ˜ (˜P) = P

7. Konversi, invers, &Kontraposisi Dari implikasi P = = = > Q, dapat diturutkan Tiga buah implikasi, aitu : I. Q = = = > P disebut konversi dari P = = = > Q

II. P = = = > Q disebut inversi dari P = = = > Q

III. Q = = = > P disebut kontraposisi dari P = = => Q

Latihan : Coba buat tabel nilai kebenaran dari ketiga implikasi di atas

Kesimpulan 7 : (P = = => Q) = (Q = = = > P) "Suatu implikasi mempunyai logika yang

sama dengan kontraposisinya".

8. Pernyatan kalimat berkuantor yaitu yang me- ngambil (suatu ukuran) yang berkuantitas. I. Kuantor Universal = A atau V II. Kuantor Eksitensial = E atau menyatakan

berapa, sekurang-kurangnnya satu. Ingkaran kalimat berkuantor : Semua ingkarannya : berapa atau tidak semua Beberapa ingkarannya : tidak ada Tidak ada negasinya : berapa

Contoh Soal: 01. Jika P = saya hadir Q = anda pergi Maka pernyataan yang setara dengan : ~ (P ^ Q) adalah :

(A) Saya tidak hadir dan anda tidak pergi (B) Saya tidak hadir atau anda pergi (C) Saya tidak hadir atau saya pergi (D) Anda tidak pergi jika saya tidak pergi (E) Saya tidak hadiratau anda tidak pergi

SIPENMARU IPS `87 KUNCI E

02. Apabila ˜ adalah lambang dari ingkaran suatu propisisi, maka : ˜ (P V q) = (A) ˜ P Λ ˜ q (B) ˜ p V q (C) q V ˜ p (D) p = = > q (E) q = = > p

SIPENMARU IPS `86 KUNCI (A) periksa sendiri

PERSAMAAN KUADRAT 1. Pengertian dan bentuk umum Persamaan kuadrat ialah persamaan dalam x yang berderajat dua. x disebut perubahan (variabel).

- Bentuk umum persamaan kuadrat : ax-2 + bx + c = 0 dimana a,b,c adalah konstanta dan a ≠ 0

2. Penyelesaian persamaan kuadrat :

- Penyelesaiaan persamaan kuadrat berarti mencari akar-akar persamaan kuadrat (menetukan harga-harga x yang memenuhi persamaan).

- akar-akar persamaan kuadrat biasanya di nyatakan dengan x1 dan x2 - Besaran D = b2 – 4ac disebut dengan istilah

diskriminan(D). - Cara-cara menyelesaikan persamaan kuadrat,

antara lain: 1. Cara memfaktorkan

Cara ini biasa dilakukan jika diskriminan D merupakan kuadrat bilangan rasional Caranya :

x-2 + bx + c = 0 a(x1 - x) (x – x2) = 0 x- x1 = 0 ···> x = x1

atau x – x2 = 0 ···> x = x2

2. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Yaitu dengan mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk :

(x - p) 2 = q x – p = ± q x12 = p ± q

2 Dengan rumus abc

Yaitu jika persamaan kuadrat dengan bentuk ax-2 + bx + c = 0



- 6 -

maka akar-akar ialah :

x1, 2 = a

acbb

242 −±−

4. Dengan grafik Yaitu dengan cara menggambarkan grafik : f : x ···> ax-2 + bx + c, Yang merupakan parabola, absis titik potong parabola dengan sumbu x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax-2 + bx + c = 0 3. Jenis-jenis persamaan kuadrat dan diskriminan. Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh

diskriminan. 1. Jika D> 0, maka persamaan kuadrat mem-

punyai akar-akar nyata (riel) dan berlainan (x1 ≠ x2)

2. Jika D = 0, maka akar-akarnya sama besar /kembar (x1 = x2)

3. Jika D < 0, maka akar-akarnya tidak nyata 4. Jika D merupakan kuadrat bilangan

rasional, maka akar-akarnya rasional Contoh : Tentukan harga m agar persamaan 2x2 - mx + 2 = 0, mempunyai akar-akar kembar Penyelesaian : Syarat akar kembar : D = 0 Maka : (-m)2 – 4(2)(2) = 0 m2 – 16 = 0 (m - 4)(m + 4) = 0 m = 4 atau m = -4 5. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

kuadrat. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax-2 + bx + c = 0, maka :

1. Jumlah akar-akarnya :

x1 + x2 = -b/a

2. Hasil kali akar-akarnya :

x1 . x2 = c/a

3. Selisih akar-akarnya :

x1 . x2 = 1/a D

5. Bentuk Simetris Beberapa bentuk simetris yang menggunakan Jumlah dan hasil kali akar-akar :

1. x1 2 + x2

2 = (x1 + x2 )2 . 2 x1 . x2

2. x13 + x2

3 = (x1 + x2 )3 . 3 x1 . x2

3. 1

1x

+

2

1x

= 21

21

.xx

xx +

Contoh :

Dari persamaan x2 + 2x -2 = 0 Tentukanlah : . 1. x1

2 + x2

2

2. ( x1 - x2 ) 2 Penyelesaian :

x2 + 2x -2 = 0

x1 + x2 = -2 dan x1 . x2 = -2 1. x1

2 + x2

2 = ( x1 + x2 )2 - 2 x1 . x2

= 4 + 4 = 8 2. (x1 - x2 )2

= ( x1 + x2) 2

- 4 x1 . x2 = 4 + 8 = 12 6. Keadaan khusus Keadaan khusus akar-akar x1 dan x2 dari persam aan kuadrat ax-2 + bx + c = 0, dengan sifat, syarat , perlu dinyatakan. Tabel berikut :

Keadaan kedua akar Sifat Syarat

1. berlawanan - x1 = x2 b = 0 2. berlebihan x1 = 1/x2 c = a

3. positif x1 < 0

x2 < 0

b/a > 0 D > 0 c/a >0

4. negatif x1 < 0

x2 < 0

b/a > 0 D > 0 c/a >0

5. satu (+) satu (-)

x1 + x2 -atau x1

- , x2 +

c/a < 0 D > 0

Contoh : Tentukan nilai k agar akar-akar persamaan x2 + kx + 1 = 0, keduanya selalu negatip Penyelesaian : x2 + kx + 1 = 0



- 7 -

kedua akar negatif, maka :

: b/a > 0 = = > k > 0 (1) : c/a > 0 = = > 1 > 0 jelas (2) : k2 – 4 > 0 = = > k < -2k >2 (3) Dari 1), 2), 3) diperoleh bahwa agar kedua akar selalu negatif, maka harus nilai k >2. 7. Membentuk persamaan kuadrat.

1. Bila diketahui akar-akar x1 dan x2 maka per samaan kuadratnya adalah : (x – x1) (x – x2) = 0 2. Bila diketahui jumlah dan hasil kali akar – akar, maka persamaan kuadratnya adalah : x2- (x1 + x2) x +x1.x2 = 0

Contoh Soal :

01. Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan : x2-(2m + 4)x + 8m = 0, sama dengan 52, maka salah satu nilai m = ……

(A) 2 (D) 6 (B) 3 (E) 7 (C) 4

UMPTN '89

Penyelesaian :

x2 - (2m + 4) x + 8m = 0 x1 + x2 = 2m + 4 x1 . x2 = 8m x1

2 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1. x2

52 = (2m + 4)2 - 2 (8m) 52 = 4m2 + 16m + 16 - 16m 36 = 4m2

m = + 3 (jawab B)

02. Bila x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 - 5x + 9 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( x1

2 + x22 ) dan

(21

1x

+ 22

1x

) adalah :

(A) 81x2 + 7x+ 49 = 0 (B) 81x2 - 7x+ 49 = 0 (C) 81x2 - 574x+ 49 = 0 (D) x2 - 7x+ 7 = 0 (E) x2 +574x+ 49 = 0

SIPENMARU '86 Penyelesaian : x2 - 5x+ 9 = 0 x1 + x2 = 5 x1 . x2 = 9 x1

2 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1. x2

= 25 - 18 = 7 = a

21

1x

+ 22

1x

= 2

21

22

21

).()(

xx

xx +=

817

= p β

a + β = 7 + 7/81 = 81

7567 +

= 81

574

a + β = 7 (7/18) = 8149

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya a dan β adalah :

x2 - 81

574x +

8149

= 0 atau

81x2 -574x + 49 = 0 ( jawab C)

FUNGSI KUADRAT

1. Bentuk Umum

Y = ax-2 + bx + c atau f(x) = ax-2 + bx + c dimana a, b,c, konstanta dan a ≠ 0 2.Sketsa grafik fungsi kuadrat pada fungsi f(x) = ax-2 + bx + c (a ≠ 0), berlaku

1. Grafik dari kuadrat adalah parabola 2. Koordinat dari titik puncak parabola

P (a

b

2−

, a

D

4−)

3. Persamaan sumbu simetrisnya adalah :

x = a

b

2−

4. Jika a >0, maka parabola terbuka ke atas, dan mempunyai harga minimum

5. Jika a<0, maka parabola terbuka ke bawah, dan mempunyai hargamaksimum

6. Sketsa grafik ditinjau dari harga a dan diskri minan D :

a D a >0 a<0

D>0

x

x

D=0

x

D<0

x



- 8 -

- Defenit positif maksudnya apabila grafik parab ola terletak di atas sumbu-x.ini dipenuhi bila :

a >0, D<0

- Defenit negative, maksudnya apabila grafik pa rabola terletak di bawah sumbu-x.ini dipenuhi

bila : a <0, D>0

Contoh : 1. Gambarkan grafik dari :

y = 2x2 - 5x – 3 langkah-langkah :

- Grafik memotong sb-x, jika y = 0 2x2 - 5x – 3 = 0 (2x + 1) (x – 3) = 0 x1 = -1/2 ...................(-1/2,0) x2 = 3 ……………(3,0)

- Grafik memotong sb-y, jika x = 0, = 0- 0- 3 = -3 .............(0,-3) - Koordinat titik puncak :

(a

b

2−

, a

D

4−) = (

45

, 82425

−+

)

= ( 441

, 6−81

)

- Sumbu simetris :

x = a

b

2−

= 11/4

- Maka grafik dimaksud : y

-1 0 1 2 3

x

-3

-4

(1 1/4, -61/6)

3.Garis singgung pada kurva jika diketahui suatu fungsi/kurva y = f(x) maka persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik(a,b)ialah : y – b = m (x - a) atau y = m(x-a) + b dimana : m = gradien garis singgung m = f'(x) pada x = a

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung kurva : y = x2 - x di titik (2,2) y' = 2x -1 = = => a = y'(2) = 3 y - 2 = 3(x - 2) 3x - y - 4 = 0

4. Garis dan Parabola (fungsi linier dari fungsi kuadrat) Bila diketahui : Garis g : y = mx + n Parabola : y = ax-2 + bx + c Maka antara parabola dan grafik terdapat

hubungan : ax-2 + bx + c = mx + n atau : ax-2 + (b - )x + c – n = 0 dan D = (b - m)2 – 4ac(c - n) Kemungkinan-kemungkinan : D>0 : garis g memotong parabola di dua titik D=0 : garis g menyinggung parabola

D<0 : garis g memotong dan tidak me nyinggung parabola

Contoh :

Grafik garis y = mx + 8 memotong kurva y = 1/2x2 – 4x + 12 selain di titik puncaknya juga di titik A. Koordinat titik A itu adalah : (A) (6,2) (D) (2,6) (B) (-6,14) (E) (4,4) (C) (-2,10)

SIPENMARU '87

Pembahasan : Puncak Parabola :

= (a

b

2−

, a

D

4−)

= (14

, 22416

−−

) = (4,4)

y = mx + 8 melalui titik (4,4) maka : 4 = 4m + 8 ···> a = -1 Jadi : y = -x + 8, disubtitusi ................ 1/2x2 – 4x + 12 = -x + 8 1/2x2 – 3x + 4 = 0 x2 – 6x + 8 = 0 (x - 4) (x - 2) = 0 ···> x = 4 (sudah) x = 2 (ya) x = 2 ···> y = -2 +8 = 6 ···> A = (2,6) ( Jawab D)



- 9 -

5. Membentuk fungsi kuadrat Ada tiga cara, yaitu

1. Bila diketahui titik puncak P(x,y) dan parabola melalui (xp,yp), maka tuliskan : y = a(x - xp)2 + yp

2. Bila diketahui titik potong kurva dengan sumbu-x, yaitu (x1, 0) da (x2, 0) serta melalui satu titik (x0, y0), maka dituliskan :

y = a(x - x1) (x - x2) 3. Bila diketahui bahwa parabola melaui tiga titik sembarang, maka substitusi langsung pada bentuk umumnya, sehingga didapat 3 persamaan dengan 3 perubah. Contoh :

1. Tentukan parabola yang melaui titik - titik (-2,0), (3,0) dan (1,-6)

2. Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (2,2) serta melalui - (1,4)

Penyelesaian :

1. Gunakan rumus (2) dan(3) y = a(x + 2) (x - 3) (1,-6) ···> -6 = a(3)(-2) = -6a a = 1 y = (x + 2) (x - 3) y = x2 - 8x + 10

2. Gunakan rumus (1) y = a(x-2)2 + 2 (1,4) ···> 4 = a(-1)2 + 2 = a + 2 ···> a = 2 y = 2(x-2)2 + 2 y = 2x2 – Bx + 10

6. Pergeseran kurva Fungsi kuadrat dengan bentuk umum : y = ax2 + bx + c

Jika diadakan pergeseran, akan terbentuk fungsi kuadrat baru : 1. Jika dieser kekiri/kanan sejajar sumbu-x

sejauh p satua, maka fungsi kuadrat yang baru adalah : y = a(x + p)2 + b(x + p) + c

2. Jikadigeser ke bawah/ke atas sumbu-y sejauh p satuan, maka fungsi kuadrat yang baru adalah : y + p = ax2 + bx + c

Contoh : Tentukan fungsi kuadrat yang baru, jika fungsi : digeser ke kanan sejajar sumbu- x sejauh 2 satuan

Penyelesaian : Digeser// sumbu-x ke kanan(kearah yang positif) maka harga x dikurangi y = (x - 2)2 + 2(x - 2) +1 y = x2 - 4x + 2x – 4 + 1 y = x2 - 2x + 1 Contoh Soal :

01. Parabola yang melaui titik-titik (1,11),(0,6) dan(-2,2) dan mempunyai sumbu simetris sejajar dengan summbu y mempunyai puncak : (A) (2,-2) (D) (-2,2) (B) (2,2) (E) (-2,4) (C) (-2,1) SIPENMARU '87

Penyelesaian : FK = y = ax2 + bx + c (1,11) ···> 11 = a + b + c (-2,2) ···> 2 = 4a – 2b + c (0,6) ···> 6 = C Jadi : a + b = 5 | x 4| 4a + 4b = 20 4a – 2b = -4 | x 1| 4a - 2b = -4

6b = 24 b = 4

a = 5 – b = 1 FK ; y= x2 + 4x = 6

P(24−

, 4

)2416( −−) = P(-2,2)

Jawab : D 02. Grafik fungsi = ax –ax2, a < 0

(1) Terbuka ke atas (2) Memotong sumbu- x di titik (a,0) (3) Mempunyai sumbusimetris x = 1/2 (4) Melalui titik(-a,a3)

SIPENMARU '84

Penyelesaian :

y = ax –ax2, a < 0 - berarti koefesien x2 > 0 ···> terbuka ke atas - memotong sumbu-x ···> = 0 ax(1- x) - sumbu simetris :

x = a

a

2−−

= 1/2 x = 0

atau x = 1 (0,0) (1,0) -x = -a ···> y = -a2 – a3

(Jawab B)



- 10 -

PERTIDAKSAMAAN

1. Pengertian : Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka

dimana ruas kiri dan kanan dihubungkan oleh salah satu tanda dari ; ≠, <, >,< ,dan > : Suatu bilangan a disebut lebih besar dari b,

bila a – b >0 dan a < b, bila a – b < 0 2. Sifat-sifat pertidaksamaan : Jika a > b, maka a + b > b + c : jika a > b, maka a – b > b – c : Jika a + b > c, maka a > c – b : Jika a > b dan p > 0 Maka ap >bp : jika a > b dan p < 0 Maka a/p < b/p : Jika a > b dan p < 0 Maka ap < bp : a > b dan p < 0 Maka a/p < b/p : jika a > b ; a, b < 0 Maka a2 < b2 3. Macam-macam pertidaksamaa

1. Pertidaksamaan linier dalam variabel x adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandunnng bentuk linier dalam x

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : 2x < 8; -x < 4 dan 0< x < 6 Penyelesaian :

I. 2x < 8 x < 4 II. –x < 4 x < -4 III. 0 < x < 6

Gambarkan ketiga pertidaksamaan dalam satu garis bilangan :

-4 2 0 2 4 6 8

Maka himpunan peyelesaian adalah irisan (i), (ii), (iii).

0 < x < 4

2. 6 – 2x < x + 3 -3x < -3 x > 1

3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 4 < x + 12 < 2x + 10

adalah :

Penyelesaian : i. 3x + 4 < x + 12

2x < 8x < 4 ii. x + 12 < 2x + 10 iii. -x < -2

iv. x > 2 gambarkan garis bilangan, maka diperoleh :

0 2 4 6

Himpunan penyelesaian adalah irisan i dan ii : 2 < x < 4

2. Pertidaksamaan kuadrat

Suatu pertidaksaman dimana varibelnya berbentuk kuadrat

Contoh :

1. x2 – x- 6 > 0 (x + 2) ( x – 3) > 0 x1 = -2 dan x2 = 3

Gambarkan pada garis bilangan, maka diperoleh : + + + + - - - - - - - - + + + + -4 -2 0 2 3 4 x < -2 atau x > 3

2. 4 – x2 > 0 x2 – 4 < 0 ( x + 2) ( x – 2) < 0 + + + + - - - - - - - - + + + + -4 -2 0 2 4 -2 < x < 2 3. Pertidaksamaan dibawah akar

x adalah bilangan riel Jika x > 0



- 11 -

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

32 −x < x – 3 Penyelesaian : I. 2x – 3 > 0 2x > 3 x > 1 1/2

II. ( 32 −x )2 < (x – 3)2 2x – 3 < x2 – 6x - + 9 -x2 + 8x – 12 < 0 X2 – 8 + 12 > 0 ( x – 6 ) ( x – 21) > 0 HP adalah irisan I dan II 11 1/2 2 3 4 5 6 7 8 1 1/2 < x < 2 atau x > 6 4. Pertidaksamaan harga mutlak |x| < a ···> -a < x < a |x| > a ···> x < -a atau x > a

Contoh : |x – 2| > 3 ···> (x -2) > 3 ···> x > 5 ···> ( x -2) < -3 X < -1 HP merupakan irisanya -1 5 x < -1 atau x > 5 Cara II (x -2)2 > 32 x2 – 4x + 4 > 9 x2 – 4x – 5 > 0 (x + 1) ( x + 5) > 5 X < -1 atau x > 5 5. pertidaksamaan pecahan Definisi : suatu pecahan a/b adalah nilainya, Jika b≠ 0 Sifat : a. Jika a/b > 0 maka ab > 0 Contoh : Tentukan harga x yang memenuhi sistem pertidaksamaan :

423

+−

x

x -1 < 0

Penyelesaian :

423

+−

x

x -1 < 0

423

+−

x

x -

44

++

x

x < 0

462

+−

x

x < 0

+ + + + + - - - - - - - - + + + + + + -4 3

(2x – 6) (x + 4) < 0, asal x ≠ -4 HP : ( -4 < x < 3)

6. Pertidakamaan Pangkat Tinggi Sifat :

a. Untuk n bilangan ganjil, maka (-1)n = -1 b. Untuk n bilangan genap, maka (1)n = 1

dan 1n = 1 akibat :

a. Pertidaksamaan : Pn > 0 ···> P > 0, asal n ganjil Pn < 0 ···> P < 0 asal n ganjil

b. Pertidaksamaan : Pn > 0 ···> P ≠ 0 asal n genap Pn < 0 tidak ada harga p yang memenuhi, asal n genap

Contoh : 1. (3 - 2)6 (x + 2)5 ( 2x – 5)3 (5x2 – 3x + 1)3 = 0 karena 5x2 – 3x + 1 adalah definitif positif,

maka dengan mengingat sifat diatas soal terse- but akivalen dengan x + 2 > 0 asalkan x ≠ 11/2 dan x ≠ 2,5 maka penyelesaian pertidaksamaan : x > -2, x ≠11/2, x ≠2,5

2. (x – 3)(x2- 8x + 12) < 0 (x – 3) (x -2) (x – 6) < 0 HP : (x < 2) atau 3 < x< 6)

Contoh Soal 01. Agar pecahan :

2103

2

2

+−

−+

xx

xx

Bernilai positif, maka x anggota himpunan : (A) {x|x < -5, atau x > 2} (B) {x|-5 < x < 2} (C) {x|x > -5} (D) {x|x < 2} (E) {x|-5 < x < 2}



- 12 -

Penyelesaian :

2103

2

2

+−

−+

xx

xx

Penyebut : D = 1-8 < 0 tanda hana tergantung pada pembilang Jadi : x2 + 3x – 10 > 0 (x + 5) (x – 2) > 0

x = 15 x = 2

+ + + + - - - - - - - - + + + +

-5 2 HP = { x|x < -5, atau x > 2} (jawab A)

02. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan :

| 4x

+ 6 | > 0,5 adalah :

(A) {x|x < -26} (B) {x|x < -2 2} (C) {x|x > -26}{x|x < -22} (D) {x|x < -26}{x|x > -22} (E) {x|x > -26}

Penyelesaian :

| 4x

+ 6 | > 0,5

Artinya : a. x/4 + 6 > 0,5 x + 24 > 2 x > -22 b. x/4 + 6 < 0,5 x + 24 < -2 x < -26 Jawab : D HP : {x|x < -26 atau x > -22}

GRADIEN DAN PERSAMAAN

GARIS LURUS

Gradien Garis Lurus

Gradien garis lurus adalah merupakan

kecondongan (koefisien arah) suatu garis dan dilambangkan dengan "m". Gradien garis lurus yang melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2) adalah :

m =12

12

xx

yy

−

−

Keadaan garis ditinjau dari gradient : m > 0 garis condong ke kanan m < 0 garis condong ke kiri m = 0 garis sejajar ke kiri m = garis sejajar sumbu-y

Persamaan Garis Lurus

- Persamaan garis lurus melalui titik(a,0) dan (o,b) y

b a

x +

b

y = 1

a x atau

bx + ay = ab

- Persamaan garis melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2) y (x2,y2) (x,y) x (x1,y1)

m = 1

1

xx

yy

−

−

m = 12

12

xx

yy

−

−

karena m = m, maka

12

1

yy

yy

−

− =

12

1

xx

xx

−

−

- Persamaan garis melalui titik(0,0) dan gradien m : y

y = mx X (0,0)



- 13 -

- Persamaan garis melalui titik (0,c) dan gradien m y

y = mx + c c x - Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan gradien m

y – y1 = m(x – x1)

Titik potong dua garis lurus dapat dicari melalui

cara : - metode grafik - metode subtitusi - metode eliminasi Sudut yang dibentuk antara dua grafik g1 : y = m1x + c1 g1 : y = m2 + c2 y g1

r g2

x sudut yang dibentuk oleh gradien g1 dan g2 adalah γ , maka :

ty γ = 21

21

.1 mm

mm

+

−

Dimana terdapat hubungan g1// g2 bila m1 = m2 dan g1 ⊥ g2 bila m1. m2 = -1

jarak titik dan garis

Gradien garis singgung kurva di titik (x1,y2) Bila y = f(x) maka gradien garis singgung kurva dari titik(x1,y2) adalah : m = dy/dx = f'(x) ........ (x1,y2)

m = f'(x1) Contoh soal :

01. Dari segitiga ABC diketahui bahwa titik A ialah Perpotongan garis : 2x + y - 4 = 0 dengan garis AC : x + 2y – 2 = 0, sedangkan koordinat B dan

C berturut-turut ialah (0,1) dan (1,3). Persamaan garis tinggi dari titik sudut A adalah : (A) x – y - 2 = 0 (B) 2x – y +2 = 0 (C) x – 2y +1 = 0 (D) 2x + y +1 = 0 (E) x + 2y - 1 = 0

SIPENMARU '84 Penyelesaian : Titik potong garis 2x + y = 4 dan x + 2y = 2 adalah 4x + 2y = 8 x + 2y = 2 3x = 6 x = 2 y = 0 (2,0) Persamaan garis tinggi dari titik sudut A adalah garis melalui A dan tegak lurus BC

mbc 0113

−−

= 2 ·· ma = -1/2

y - 0 = -1/2 (x - 2) y = -1/2x + 2/2 atau x + 2y – 2 = 0 Jawab A

02. Persamaan garis singgung kurva yang = 2/x2 di titik yang mempunyai absis 1 adalah :

(A) y = -6x (B) y = 6x - 4 (C) 6x + y - 8 = 0 (D) 2x – 3y + 4 = 0 (E) 2x + 3y – 8 =0

SIPENMARU '87 Penyelesaian : y = f(x) = 2/x3 = 2x-3 ···>f'(x) = -6x-4 pada absis 1···> a = f'(1) = -6 x = ···> y = 2/13 = 2 (1,2)

PGL dengan m = -6 lewat (1,2) adalah : y – 2 = -6(x - 1)



- 14 -

y = -6x + 6 + 2 6x + y – 8 = 0 Jawab (C)

PROGRAM LINIER

1. Pengertian Program linier adalah suatu metode untuk

memecahkan masalah yang dapat dilukiskan dengan model matematika.

Beberapa istilah matematika yang sering di jumpai pada masalah program linier,adalah :

- model matematika - konstrain ( syarat, pembatas) - daerah jawab (daerah penyelesaian) - fungsi tujuan ( fungsi/ sasaran ) - jawab optimal

2. Model Matematika Model matematiak ialah suatu hasil penter Jemahan bentuk sehari-hari ke dalam bentuk

matematika, yang biasanya terdiri dari pertidaksamaan-pertidaksamaan linier.

Contoh : perhatikan latihan soal no. 3 pada akhir bab

ini. Model matematikanya adalah sbb : mis , banyak kain A yang di beli = xm banyak kain B yang dibeli = ym laba maksimum = k

maka : x + y < 30 1000x + 2000y < 40.000 x > 0 y > 0 300x + 200y = k maks

Dengan model ini x, yang, dan k dapat di tentukan. 1. Konstrain (pembatas, syarat) Yaitu berupa pertidaksamaan-pertidaksama an linier, seperti ke lima pertidaksamaan di atas 2. Dan daerah yang dipenuhhi semua pertidak samaan Konstrain ini,dimana daerah jawab (daerah feasible ,daerah penyelesaian) 3. Fungsi tujuan (fungsi sasaran, fungsi objek tif ) , yaitu sebuah fungsi linier dengan 2 variabel x dan y yang merupakan tujuan dari masalah program linier tersebut. Bentuk umum fungsi tujuan adalah : z = ax + by dimana x > 0 dan yang > 0 , serta a, b, konstanta Fungsi tujuan z = ax + by umumnya adalah menentukan nilai optimal

4. Pasangan (x,y) pada daerah jaawab yang menjadikan fungsi sasaran menjadi optimal disebut titik optimal

5. Sedangkan nilai dari z = ax + by dimana (x,y) adalah titik optimal, disebut jawab optimal ( jawab maksimum atau jawab minimum)

Contoh : Menetukan daerah jawab & konstrain/model matematika : 1. Tentukan daerah yang memenuhi system

pertidaksamaan berikut : 2x + 5y < 10, 6x + y < 12 x > 0 dan y > 0

Penyelesaian :

Terlebih dahulu digambarkan garis dengan per - samaan 2x + 5y = 10, 6x + y < 12, c > 0 dan y > 0 Lalu ditentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan dengan cara mencobakan satu titik sembarang di luar garis. Maka

02. Perhatikan grafik sebelah, dan tentukan system

pertidaksamaan yang dipenuhi daerah diarsir.

Penyelesaian : Pertama dicari dahulu persamaan konstrain ( garis pembatas), yaitu : - Garis yang melalui titik (2,0) & (0,4) ialah :

12

1

yy

yy

−

− =

12

1

xx

xx

−

−= = >

4y

= 22

−−x

= = = > 4x + 2y = 8 Daerah yang diarsir adalah yang memenuhi

pertidaksamaan 4x + 2y > 8



- 15 -

- Garis yang melalui titik (4,0) & (0,3) ialah:

030

−−y

= 404

−−x

= = > 3x + 4y = 12

Daerah yang diarsir adalah memenuhi pertidaksamaan 3x + 4y < 12

- Maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir adalah : 2x + y > 4, 3x + 4y < 12 x > 0, y > 0

3. Penggunaan Model Matematika

Kegunaan dari model matematika ini adalah untuk menyelesaikan persoalan program linier langkah-langkah :

- Terjemahkan persoalan ke dalam metode matematika.

- Gambarkan grafik dari model matematika - Tentukan daerah penyelesaian (daerah

jawab) - Tentukan titik vertex (titik optimal) - Biasanya jawab optimal ( jawab

maksimum atau minimum) terdapat pada titik vertex.

Contoh : Suatu pesawat udara mempunyai kapasitas tidak lebih dari 43 penumpang. Untuk kelas utama, setiap penumpang boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan untuk tiap penumpang kelas ekonomi bagasi dibatasi sampai 20 kg, (penumpang hanya terbagi atas 2 kelas). Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi sampai 1440 kg. a. Tuliskan empat pertidaksamaan yang

dipenuhi persoalan tersebut b. Gambarkan pada diagram koordinat

penyelesaiannya c. Bila harga tiket untuk setiap penumpang

kelas utama Rp. 100.000,00 dan kelas ekonomi Rp. 50.000,00. Tentukanlah banyaknnya penumpang pada masing-masing kelas agar diperoleh hasil penjualan tiket maksimum

d. Dan berapakah hasil penjualan tiket yang maksimum

Penyelesaian : Misal : Banyak penumpang kelas utama = x Banyak penumpang kelas ekonomi = y Maka : a. Pertidaksamaan (model matematikanya) ialah: x > 0 y > 0

x + y < 48 60x + 20 < 1440 b. Daerah yang memenuhi keempat pertidaksamaan

(himpunan penyelesaiannya) adalah daerah yang diarsir berikut :

c. Fungsi objektifnya : z = 100.000x + 50. 000y

Titik ekstrin z = 100.000x +

50. 000y

(0,0) (24,0) (0,48)

(12,36)

0 2.400.000 2.400.000 3.000.000

Maka hasil penjualan maksimum dari tiket

didapat bila banyaknya penumpang kelas utama = 12 orang dan kelas ekonomi = 36 orang

d. Banyaknya hasil penjualan maksimum = Rp. 3.000.000,00 4. Pengunaan garis selidik pada program linier.

Garis selidik bentuk umumnya : ax + by = k Dgunakan untuk menentukan nilai optimal

(nilai maksimum atau nilai minimum) dari fungsi sasaran z = ax + by

Cara menggunakan garis selidik ax + by = k - Gambarkanlah grafik ax + by = 0, yaitu garis

lurus yang melalui titik pusat 0 (0,0) - Tarik garis sejajar dengan ax + by = 0 hingga

garis tersebut melalui hanya satu titik pada daerah jawab (feasible) yang tentunya jadi titik optimal

- Maka nilai dari ax + by pada titik optimal tersebutlahyang menjadi jawab optimal

Contoh : Andaikan model matematika dari suatu persoalan program linier adalah sbb :

2x + y < 800 x + y < 500 x > 0 y > 0 x, y∈C (cacah)

Tentukan nilai maksimum dari 40x + 30y yang memenuhi pertidaksamaan diatas.



- 16 -

Penyelesaian : Derah yang memenuhi keempat pertidaksamaan adalah daerah yang diarsir berikut :

Titik P ialah perpotongan antara kedua garis : 2x + y = 800 x + y = 500 x = 300 300 + y = 500 y = 200 = = = > P (300,200) Untuk mencari nilai maksimum dari 40x + 30y = 0. kita gambarkan suatu gaaris 40x + 30y = 0 . Kemudian tarik garis sejajar sedemikian sehingga melalui satu titik pada daerah jawab, dalam hal itu yaitu titik P( 300, 200). Garis pada titik tersebut mempunyai persamaan : 40x + 30y = 18.000 Jadi nilai maksimum dari 40x +30y adalah18.000 Contoh Soal : Seorang pedagang buah-bbuahan denngan menggunakan gerobak, menjual apel dan pisnag. Harga pembelian apel Rp.1000/kg dan pisang Rp.400/kg. Modal yang tersedia Rp.250.000. Sedangkan muatan gerobak maksimum 400kg. Jika keuntungan tiap kg apel Rp. 200,- dan tiap kg pisang Rp.100,- maka banyaknya apel dan pisang yang dibeli agar pedagang mendapat keuntungan yang sebesar-besarnya adalah : Penyelesaian : Saya andaikan : Banyak apel yang dibeli = x kg dan banyaknya pisang yang dibeli = y kg. Maka model matematika dari persoalan diatas ialah : x + y < 400 1000 x + 400y < 250.000 x > 0 y > 0 Ditanya : x = ? y = ? Agar z = 200x + 100y maksimum Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ialah( daerah yang diarsir, sbb :

Titik potong A : 10x + 4y = 2500│x 1│ 10 + 4y = 2500 x + y = 400 │x 4│4x + 4y = 1600 6x = 900 x = 150 x = 150 = = > 150 + y= 400y = 250 ···> A ( 150, 250) Nilai z = 200x + 100y paling benar terdapat pada titik A. Ini berarti, agar keuntungan yang diperoleh maksimum, maka pedagang harus membeli : Apel = 150 kg

Pisang = 250 kg

PERSAMAAN LINGKARAN Persamaan lingkaran Pusat (0,0) jari-jari R

P{x,y)|x2 + y2 = r2} adalah HP titik dalam lingkaran P{x,y)|x2 + y2 < r2} adalah HP titik dalam lingkaran P{x,y)|x2 + y2 > r2} adalah HP titik diluar lingkaran

Persamaan lingkaran Pusat (a,b) jari-jari

Contoh : Tentukan persamaan lingkaran pusat (3,4) dan melalui titik (-3,12)



- 17 -

=

Jawab :

P (3,4) a = 3, b = 4 (x-3)2 + (y-4)2 = r2 Melalui titik (-3,12) (-3-3)2 + (12-4)2 = r2 r2 = 100 r = 100 Persamaan Umum lingkaran x2 + y2 + Ax + By + c = 0 titik pusat (-1/2 A, -1/2B)2 -c Contoh : Tentukan pusat dan jari-jari persamaan lingkaran: 3x2 + 3y2 -12x + 18y -36 = 0

Jawab : Persamaan lingkaran menjadi : x2 + y2 - 4x + 6y -12 = 0 P(-1/2A, 1/2B) ...... P(2,-3) r2 = 22 + (-3)2 - (-12) = 25 r = 5

Perpotongan Garis Dengan Lingkaran

y = mx + c, x2 + y2 + Ax + By + c = 0 D > 0, garis memotong lingkaran pada dua titik D = 0, garis menyinggung lingkaran D < 0, garis di luar lingkaran

Contoh : Supaya garis y = x + p memotong lingkaran x2 + y2 = 25 pada dua titik, tertentu harga P : Penyelesaian : x2 + y2 = 25 y = x + p x2 + (x + p)2 = 25 x2 + x2 + 2px + p2 = 25 2x2 + 2px + p2 - 25 = 0 Syarat : D > 0 4p2 – 4(2) (p2 - 25) > 0 4p2 -8p2 + 200 >0 -4p2 + 200 > 0 P2 – 50 < 0

( p - 5 2 ) (p + 5 2 ) < 0

-5 2 < p < 5 2 Persamaan Garis singgung Pusat (0,0) garis singgung dengan gradien m

y = mx + r 12 +m pusat (a,b) garis singgung dengan gradien m

y- b = m(x – a) + r 12 +m Pusat (0,0) melalui titik (x1,y1) x1x + y1y = r Pusat (-1/2A,-1/2B) melalui titik (x1,y1)

x1x + y1y + -1/2A ( x + x1) + 1/2B ( y + y1) + C = 0 persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b ) 2 = r2 titik (x1,y1) (x1 – a)(x – c) + (y1– b ) (y – b) = r2

Tali Busur Lingkaran

Jika dua lingkaran saling berpotongan maka garis menhubungkan kedua titik lingkran dimanakah tali busur lingkaran

Syarat mencari tali Busur : dimana L1 = L2 Contoh : 1. Tentukan persamaan tali busur lingkaran x2 = (y – 2)2 = 25 dengan lingkaran ( x – 2)2 + y2 = 25 Jawab : L1 = x2 + y2 - 4y + 4 – 25 = 0 L2 = x2 + y2 - 4x + 4 – 25 = 0 L1 = L2 …………….. y = x Contoh Soal :

01. Jika lingkaran yang berpusat di (-4,3) dan menyinggung sumbu x dicerminkan pada y = x, maka persamaan lingkaran yang terjadi adalah : (A) x2 + y2 + 6x - 8y + 16 = 0 (B) x2 + y2 - 8x - 6y + 16 = 0 (C) x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0 (D) x2 + y2 + 8x – 6x + 16 = 0 (E) x2 + y2 + 6x + 8y + 16 = 0

SIPENMARU '84

Penyelesaian : Lingkaran pusat (-4,3) menyinggung sumbu-x berarti jari-jari = 3, dicerminkan pada y = x menjadi : P (3,-4) r = tetap = 3 Persamaan : (x – 3) + (y + 4)2 = 32 x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0 (Jawab C)

02. Empat lingkaran berjari-jari satu satuan saling bersinggungan di sumbu koordinat (lihat gambar). Dilukis lingkaran Mdan menyinggung

keempat lingkaran tadi.Persamaan lingkaran M ialah :



- 18 -

(A) x2 + y2 = 4 (B) x2 + y2 = 8 (C) x2 + y2 = 3 + 2 2 (D) x2 + y2 = 6 + 42 (E) x2 + y2 = 9 + 4 2

SIPENMARU '87

Penyelesaian lingkaran : Pusat 0 (0,0) jari-jari :

r = 1 + 1/2 44 +

= 1 + 2 Maka :

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = ( 1 + 2 )2 x2 + y2 + 3 + 2 2

TRIGONOMETRI 1. Fungsi Sinus, Cosinus dan Tangens A. Fungsi sinus : y = sin x

B. Fungsi cosinus : y = cos x

C. Fungsi tangens : y = tg x

Dari grafik fungsi diatas dapat dituliskan : * y = sin x Periode : 2π (360°) Positif pada kuadrat I & II Negatif pada kuadrat III & IV

*y = cos x periode : 2π(360°) Positif pada kuadrat I & IV Negatif pada kuadrat II & III

*y = tg x Periode : π Positif pada kuadrat I & III Negatif pada kuadrat II & IV Tambahan : Sec x = 1/cos x Cossec x = 1/sin x Cotg x = 1/tg x 2. Nilai Fungsi Sinus, Cosinus & tg untuk sudut-

sudut istimewa dalam hal ini kkita ambil dari kuadrat pertama saja :

x Sin x Cos x tg x

0º 30º 40º 60º 90º

0 1/2

1/2 2

1/2 3 1

1

1/2 2

1/2 2 1/2

0

0

1/3 3 1

31

3. Sinus, Cosinus & tangens untuk sudut- sudut (-aº) ; (90-a º) dan (180-a)º : * Sin (-aº) = -sin aº Cos (-aº) = cos aº Tg (-aº) = -tg aº * Sin (90-a)º = cos aº Cos(90-a)º = sin aº Tg (90-a)º = cotg aº * Sin (180-a)º = sin aº Cos (180-a)º = -cos aº Tg (180-a)º = -tg aº 4. Rumus- rumus yang berlaku Cos (A + B) = cosA. cosB - sinA .sinB



- 19 -

Cos (A - B) = cosA. cosB + sinA .sinB Sin (A + B) = sin A. cosB + cosA .sinB Sin (A - B) = sin A. cosB - cosA .sinB

Tg (A + B) = tgA.tgB1

tgBtgA

−

+

Tg (A + B) =tgA.tgB1

tgB-tgA

+

Contoh : a. Jika sin A = 3/5 (sudut lancip), tentukanlah

cosA dan tg A b. Carilah cos 15º, sin75º, tg 105º dengan

menggunakan rumus Penyelesaian : a. Gunakan dalil Phytagoras

PO = 925 − = 4 Cos A = 4/5: tgA = 3/4

b. Cos 15 º = cos (45-30)º

= cos 45º cos 30º + sin 45º sin30º

= 1/4 ( 6 + 2 ) Tg 105º = tg(60 +45)º

= 60 tg1

60 tg

−

° -

°

°

45 tg

45 tg

= 31

13

−

+

= -2 (1 = 3 )

5. Rumus-rumus Sudut Rangkap Sin 2A = 2 sin A . cos A Cos 2A = cos2A – sin2A = 2cos2A -1 = 1- 2 sin2A

Tg 2A = A tg-1

A tg22

6. Rumus-rumus Perkalian 2sinA.cosB = sin(A + B) + sin(A - B) 2cosA.sinB = sin(A + B) - sin(A - B) 2cosA.cosB = cos(A + B) + cos(A - B) -2sinA.sinB = cos(A + B) - cos(A - B)

7. Rumus Penjumlahan dan Selisih

Cos A + cos B = 2cos 2

B)(A +. Cos

2

B)(A −

Cos A – cos B = -2sin 2

B)(A +. sin

2

B)(A −

Sin A + sin B = 2sin 2

B)(A +.Cos

2

B)(A −

Sin A – sin B = 2cos 2

B)(A +. sin

2

B)(A −

contoh :

a. Jika sin A = 4/5, carilah sin 2A, cos 2A dan tg 2A

b. Tentukanlah : sin 75º cos 15º = ...... cos 165º - cos 75º =.......

penyelesaian :

a. SinA = 4/5, dengan menggunakan segitiga phytagoras, maka didapat :

cos A = 3/5 dan tg A = 4/3 sin 2A = 2sin A. Cos A = 2 (4/5)(3/5) = 24/25 Cos 2A= 2cos2 A – 1 = 2(3/5)2 = -7/25

= Atg1

tgA22−

= 2)3/4(1

)23/4(2

−

= -24/4 b. sin 75º cos 15º =

= 2

)1575sin()1575sin( °−°+°+°

= 1/2 (sin 90°+ sin 60º)

= 1/2 (1 + 12 3 ) cos 165º - cos 75º =

= 2sin 2

)75165( °+°. sin

2

)75(165 °−°

= -2sin 120º.sin 45º

= -2 ( 2/3 ) ( 2/2 ) = -1/2 6

8. Menyatakan a cos x + b sin x sebagai k cos (x-p) x positif dan 0° < x < 360 a cosx + b sin x = k cos (x-p) = k cos x. Cos p + k sin x . sin p ····> k cos p = a : k sin p = b



- 20 -

···· >kcospksinp

= tg p = b/a

k = 22 ba + 9. Persamaan Trigonometri a cos x + b sin x = c (a, b dan c adalah konstanta) Karena nilai maksimum fungsi cosinus=1 Dan nilai minimum = -1 maka –k < c< k Contoh : Carilah harga x yang memenuhi persamaan :

a. cos x + sin x = 0

b. 3 cos x + sin x = 1 Penyelesaian : a. cos x + sin x = 0

a = 1 b = 1 tg p b/a = 1 ····> p = 45º

····> 2 cos (x- 45°) = 0 Cos (x- 45°) = 0 x- 45° = 90° x = 270° ····> x1 = 90º + 45° = 135° x2 = 270° + 45º = 315º

b. 3 cos x + sin x = 1

k = 3 + 1 = 4 = 2

tg p = 1 3 ····> p = 30º ····> 2 cos(x -30) = 1 cos(x - 30º) = 1/2 x - 30º = 60° =300° ····> x1 = 60° + 300° = 90° x2 = 300° + 30º = 330° 10. Maksimum dan minimum fungsi trigonometri Fungsi trigonometri dituliskan : y = a cos x + b sin x atau

y = p)cos(xba 22 −+

nilai maksimum = 22 ba +

nilai minimum = - 22 ba + contoh : tentukan niali maksimum dan minimum dari : y = 4 cos x – 3 sin x = ........... jawab :

nilai maksimum = 22 )3(1 −+

= 25 = 5

Nilai minimum = -5 11. Sketsa Grafik Contoh : Gambarkan kurva dari : y = cos x + sin x Penyelesaian : Untuk mempermudah menggambarkannya, maka terlebih dahulu dirobah menjadi :

y = 2 cos (x-45º) sehingga diperoleh

12. Koordinat kartesies dan koordinat kutub :

Menurut pengertian sin dan cos, maka :

1. sin a° = y/r ····> y = r sin a° 2. cos a° = x/r ····> x = r cos a° 3. x2 + y2 = r2 jadi : koordinat kartesins P(x,y) dapat juga dinyatakan dengan koordinat kutub(polar) yaitu : P(r,a) sehingga : P(x,y) = P (r cos a°, r sin a°) = P (r,a°)

Contoh :

1. Koordinat kutub titikP (6,30°) tentukan koordinat kutub (polar) yaitu: Penyelesaian : P ( 6,30°) ····> r = 6, a°= 30° x = r cos a° = 6 cos 30°

= 6. 1/2 3 = 3 3 y = r sin a° = 6 sin 30° = 6. 1/2 = 3



- 21 -

Contoh Soal : 1. Jadi 0 < x < π dan x memenuhi persamaan

tg2x- tgx -6 = 0, maka himpunan nilai sin x adalah:

(A) (10

103,

552

)

(B) (10

103, -

552

)

(C) (-10

103,

552

)

(D) (1010

,5

52)

(E) (1010

,5

52)

SIPENMARU ‘88 Penyelesaian : tg2x- tgx -6 = 0 misalkan tg2x = a a2 - a - 6 = 0 (a + 2) ( a - 3) = 0 a = -2a = 0

dari tg x = -2

sin x = 2/ 5 = (2/ 5 ) ( 5 / 5 )

= 5

52

dari tg x = 3

sin x = 3 10/ = (3 10 ) ( 10 / 10 )

= 10

103

02. Dua orang mulai berjalan dari titik A dan pada saat yang sama. Supaya keduanya sampai di C pada saat yang sama maka kecepatan berjalan orang yang dari titik a harus :

(A) 1/2 2 kali kecepatan orang yang dariB (B) 2 kali kecepatan orang yang dari B

(C) 2 2 kali kecepatan orang yang dari B

(D) 1/3 3 kali kecepatan orang yang dari B

(E) 3 kali kecepatan orang yang dari B Penyelesaian : Dalil sinus :

o45sinBC

= o30sin

AC

AC = o

o

45sin30sin BC

= 22/1

2/1 BC

AC = 1/2 BC2

tA = A

AC =

A

BC

22

tB = VB

BC

Agar tA = tB

B

BC

A

BC=

22

VA = BBC

BBC22/1

2

2=⋅

Kecepatan A harus 1/2 2 kali kecepetan B (jawab A)

FUNGSI KOMPOSISI

& FUNGSI INVERS Pengertian Relasi dan Fungsi

Relasi dari himpuna A ke himpunan B adal ah pemasangan anggota A ke anggota himpunan B. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus (relasi fungsional) dimana setiap anggota A dipasangkan tepat satu kali pada anggota himpunan B. Misalnya : A = (a,b,c) B = (p,q,r) a a. A B b. A B



- 22 -

c. A B d. A B

e. e. A B e. A B

dari hubungan di atas yang merupakan fungsi ada lah : b, c, d, f. Sedangkan a dan e merupakan rela si.jika f memetakan suatu elemen xε A ke suatu elemen yε B dikatakan bahwa "y adalah elemen dari x oleh f" atau dapat juga dinyatakan : f(x) atau f : x ···> f(x) = y, himpunan A daerah kawan (kodomain), sedangkan peta di B dimanakan daerah hasil fungsi (renge). Contoh :

Tentukan renge dari f(x) = x2 untuk -2 < x <2 Penyelesaian : Grafik f(x) = x2

Daerah hasil (renge) adalah 0 < x < 4 Komposisi Fungsi Fungsi f : A ···> B dan g : B ···> C maka fungsi h : A···> C hal ini dapat ditentukan oleh rumus : h (x) = (g o f) = g (f(x))

Contoh ;

Fungsi f : R ···> R dan g : R ···> R Dimana : F(x) = x2 - 3x dan g (x) = x – 1 Tentukan (gof) (x) dan (fog) (x) Penyelesaian : g(f(x) = g(x2 - 3x) (gof) (x) = g(x2 - 3x) = x2 - 3x-1 (fog) (x) = f (g(x)) = f (x-1) = (x-1)2 - 3 (x-1) = x2 – 5x + 4 (gof) (2) = g (-2) = -2 -1 = -3 (fog) (2) = f(1) = -2 Dapat disimpulkan : (gof) (x) ≠ (fog) (x) Tidak berlaku hukum komutatif Berlaku hukum assosiatif {go(foh)}(x) = {9gof) oh} (x) Fungsi invers Perhatikan gambar di bawah ini :

f : A···> B, tanda panah dari diagram diatas diubah arahnya berlawanan dan disebut relasi dari B ke A. Misalnya : g :B···> A mka dikatakan merupakan fungsi invers dari f, dapat dituliskan f-1 (dibaca f invers), hal iini dapat berlaku jika setiap anggota B ialah peta tepat satu anggota dari A atau A dabn B berkorespondensi satu-satu. Contoh : 1. f(x) = 2x tentukan f-1(x) y = 2x ..........x = 1/2y f-1 (x) = 1/2x 2. Tentukan fungsi invers dari :

F(x) = 32

+−

x

x dan g(x) = x – 2



- 23 -

Penyelesaian :

f(x) = 32

+−

x

x .. . y(x + 3) = x – 2

yx – x = -2 – 3y x(y -1) = -3y -2 maka :

x = 1

23−−−

x

x

f- -1(x) = 1

23−−−

x

x

y = x -2 .......... x = y + 2 g -1(x) = x + 2 3. Dari soal no. 2 tentukan : (gof)-1 (x) dan (f -1 o g -1) (x)

g (f(x)) = g( 32

+−

x

x) =

32

+−

x

x -2

= 3

622+

−−−x

xx

= 38

+−−

x

x

y = 38

+−−

x

x

xy + 3y = -x-8 x(y +1) = -3y -8

x = 1

83+−−

y

y

maka (gof)-1 (x) = 1

83+−−

x

x

(f -1 o g -1) (x) = f -1 (x + 2)

= 1)2(

2)2(3−+−+−

x

x

= 1

83+−−

x

x

Sifat-sifat fungsi invers : 1. (fof -1)(x) = (f -1of) (x) 2. (gof)-1 (x) = (f -1 o g -1) (x)

Contoh :

01. Jika f(x) = 1+x dan g(x) = x +1 Maka g [f(x)] adalah :

(A) 2+x

(B) 11++x

(C) 1+x

(D) 11 ++x

(E) 114 ++x

Penyelesaian :

g [f(x)] = 1+x + 1

= 114 ++x 02. Jika f(x) = 3x dan g(x) = 3x, maka

3log [gof(x)] = ……….. (A) f(x) (D) 3f(x) (B) g(x) (E) 3log x (C) x

UMPTN ‘90 Penyelesaian : (gof) = [(gof(x)] = 33x 3log [gof(x)] = 3log 33x 3x = f(x) (Jawab A)

BARISAN DAN DERET Definisi Barisan : Barisan bilangan : susunan berurut bilangan-bilangan yang mempunyai pola dan aturan tertentu. Tiap-tiap bilangan ini disebut dengan suku-suku barisan. A. Barisan Aritmatika

Bentuk Umum a, a + b, a + 2b, a +3b Dari bentuk umum ini, kita definisikan barisan aritmatika sbb : * Barisan aritmatika ialah barisan yang mempunyai

beda tetap antara setiap suku yang berurutan . * Bila diambil tiga suku berurutan, maka suku yang

ditengah sama dengan jumlah suku pertama dan ketiga dibagi dua.

Rumus :

Un = a + (n – 1) b

Dimana : U = suku ke-n an = suku pertama b = beda Un – Un -1

B. Deret Aritmatika

Yaitu jumlah dari suku-suku barisan aritmatika Bentuk Umum : a + (a + b) + ( a + 2b) + ……… Rumus :

Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n -1) b}

Dimana Sn = jumlah n suku pertama n = banyaknya suku



- 24 -

Bagi deret aritmatika yang banyak sukunya ganjil, misalny = 2n + 1, maka suku tengah : Ut = Un + 1 = a + nb = 1/2 (a + U2n +1) dan

S2n +1 = (2n + 1 ) Ut

C. Barisan Geometri

Adalah suatu barisan yang apabila diambil tiga suku yang berurutan, maka kuadrat suku yang ditengah sama dengan hasil kali suku yang pertama dan ketiga. Bentuk Umum : a, ar, ar2, ar2

rumus : Un = a r n - 1

Dimana : Un = suku ke- n a = suku awal r = ratio (perbandingan) D. Deret Geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri bentuk umum : a + ar + ar2 + …. + arn – 1 Rumus :

Sn = r1

)ra(2 n

−−

= 1r

)r a( 1n

−

−

Dimana : Sn = jumlah n suku pertama n = banyaknya suku untuk deret geometri dengan banyak suku ganjil, misalnya = 2n + 1 maka : suku tengah = Ut = Un + 1 = arn dan Ut = U1 . U2n + 1 + U2. U2n = U3. U2n – 1

E. DeretGeometri tak terhingga Adalah deret geometri yang mempunyai suku-suku yang terhingga banyaknya. Jika suatu geometri tak terhingga mempunyai perbandingan dalam batas-batas. -1 < r < 1 atau | r | < 1, maka Lim Sn n ···> - ada nilainya, dan deret dikatakan konvergen. Deret geometri dengan | r |>1, dikatakan divergen. Untuk deret geometri yang konvergen jumlah seluruh suku-sukunya ialah :

Sn = r1

a−

( | r | < 1)

Contoh Soal : 01. Jumlah n bilangan positif genap yang pertama

adalah 306. Dari bilangan-bilangan genap tersebut, jumlah 5 bilangan terakhir adalah : (A) 180 (D) 150 (B) 170 (E) 140 (C) 160

UMPTN ‘90

Penyelesaian : Deret : 2 + 4 + 6 +

Sn = 2n

[ 2a + (n – 1) b]

306 = 2n

[ 4 + (n – 1) 2]

306 = 2n

[ 2 + 2n) = n + n2

n2 + n – 306 = 0 ( n + 18(n – 17 ) = 0 n = -18n = 17 Jadi n = 17 Jumlah 5 bilangan terakhir, S17 – S12 = 306 – 12/2 [4 + (12- 1 ) 2] = 306 – 156 = 150 Jawab : D 02. Lingkaran L1 yang berjari R adalah lingkaran

luar sangkar B1. Lingkaran L2 menyinggung sisi - sisi B1. dan merupakan lingkaran luar bujur sangkar B2. Demikian seterusnya dioperoleh barisan tak terhingga bbujur sangkar- bujur sangkar B1,B2……… Jumlah luas semua bujur sangkar tersebut adalah : (A) 2R2 (D) 5R2 (B) 3R2 (E) 6R2 (C) 4R2 SIPENMARU ‘86 Penyelesaian : Lihat gambar



- 25 -

Sisi B1 : B1

2 = R2 = R2 – 2RR cos 90° = 2R2

R1 = R2

Luas = 2)2( R = 2R2 Sisi B2 :

B2 = (1/2 R2 )2 + (1/2 R2 )2 – 0 B2 = R Luas = R2

Deret : 2R2 + R2 + ………….

S = r1

a−

2/11

2 2

−R

= 4R2

Jawab : C

EKSPONEN

1. Eksponen Bilangan Bulat Pengertian : Jika a∈R dan n∈B, maka : an = a . a . a ……….a

Dimana : a = bilangan pokok dari pemangkatan a = pangkat ( eksponen) Jika a, n ∈B ( bil. Bulat ) maka berlaku :

1. am : an = am + n

2. am : n = n

m

aa = am-n

3. (am)n = amn 4. (ab)n = anbn

5. a-n = 2n

1

6. aº = 1: 1 ≠ 0

Contoh :

1. 2-3 = 321

= 81

= 0,125

2. 4

3

22−

= 23-(-4) = 23+4 = 27

= 256 II. Eksponen Bilangan Rational = Pangkat tak sebenarnya = maksudnya bilangan dengan pangkat

RUMUS-RUMUS

Selain rumus 1 -6 di atas, maka berlaku juga :

1. n ma = am/n ···> a1/2 = a

2. an = b < = = > a = n b Contoh : 1. (a5)-3/2 = . a5 -3/2 = a -15/2

= 15/2a1

= 15a

1

= aa

17

2. (0,0001) -1 04,0 =

= (10 -4)-1 2)2,0( = 104. (0,2) = 2000 III. PERSAMAAN EKSPONEN

Adalah suatu persamaan dengan variabelnya merupakan pangkat dari bilangan pokok dari yang telah diketahui. Bentuk-bentuk persamaan eksponen 1. Bentuk af(x) = ag(X)

Berarti : f(x) = g(x) 2. Bentuk af(x) = bf(x) ; (a ≠ 0) Berarti : f(x) = 0 3. Bentuk af(x) = bg(x) Berarti : f(x) . log a = g(x). log b 4. Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x) Berarti ada tiga kemungkinan (x)g(x) = f(x)h(x)

ada tiga kemungkinan yaitu: a. g(x) = h(x) b. f(x) = 1 c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x)

keduanya harus genap



- 26 -

5. Persamaan eksponen yang diselesaikan/dikem balikan kepada persamaan kuadrat

IV. FUNGSI EKSPONEN

Bentuk umum :

f : x ···> ax atau y = f(x) = ax dimana : a > 0 dan a = 1

ini berarti bahwa nilai fungsi y = ax adalah selalu positifuntuk setiap x yang nyata (riel). Dengan kata lain, grafik fungsi yang = ax seluruhnya terletak diatas sb x. Lihat gambar

Contoh Soal

01.Tentukan harga x yang memenuhi persamaan :

32x+2 + 8.33x -1 = 0

Penyelesain :

32x+2 + 8.33x -1 = 0 (3x)2. 32 + 83x -1 = 0 9(3x)2 + 8(3x2) - 1 = 0 Misalnya : .............. p = 3x

9p2 + 8p - 1 = 0 (9p- 1) + (p+1) = 0

P1 = 91

···> 3x = 91

, x = -2

P2 = -1 ···> 3x = -1, tidak ada x yang meme - nuhi. Maka penyelesaian : x = -2 02. himpunan penyelesaian dari persamaan :

(2x-5) 22 −−xx = (x-5) 322 ++− xx (A) (-1,2,2 ½, 3) (B) (-1,2,3) (C) (-1,2, 1/2,3) (D) (2,2 1/3,3) (E) (-1,2,31/2)

Penyelesaian : - Kemungkinan (1)

x2 - x - 2 = -x2 + 2x + 3 2x2 - 3x - 5 = 0 x = 2 1/2, atau x = -1

- kemungkinan (2) 2x-5 = 1 ···> x = 3

- Kemungkinan (3) 2x – 5 = -1 ···> x = 2

Pemeriksaan : Untuk x = 2 ···> nilai dari x2 - x - 2 = 0 (genap) ···> nilai dari -x2 + 2x + 3 = 3 (ganjil)

Karena yang satu genap dan yang atau ganjil, berarti x = 2 tidak memenuhi :

HP = {-1,2 1/2,3} Jawaban : C

LOGARITMA

1. Pengertian

- Menuliskan bilangan ac = b dapat dengan cara lain, yaitu : alog b = c

- Syarat : a>0, b>0, a # 1 a = bilangann pokok (dasar) logaritma b = bilangan yang diambil logaritmanya c = hasil logaritma

2. Sifat-sifat logaritma 1. alog xy = alog x + alog y 2. alog x/y = alog x . alog y 3. alog xn = n alog x

4. alog b = n

bn

n

loglog

5. 10log b = log b, elog b = 1n b e = 2,71828 Sifat Khusus

1. alog 1 = 0 2. alog a = 1 3. alog an = n 4. a alog x = x

Contoh Soal : 1. Tentukan a, jika 2log a= 4

2. log 3 210

1= .............

Penyelesaian : 1.2log a = 4 = = = > a = 24 a = 16

2. log3 210

2 = log

3/2101

= log 10 -2/3

= -2/3 3. Persamaan Logaritma Bentuk-bentuknya

a. jika alog f(x) = alog P b. maka f(x) = P



- 27 -

b. Jika alog f(x) = alog g(x) maka f(x) = g(x) > 0 c. Jika f(x) log g(X) = f(x)log h(x) maka : 1. g(x) = h(x) . 0 2. f(x) . 0 3. f(x) ≠ 1

d. Persamaan logaritma yang disesuaikan/ di kembalikan kepada persamaan kuadrat

4. Fungsi Logaritma Bentuk Umum : f : x ···> alog x atau y = f(x) = alog x (a > 0, a ≠ 1, x > 0) Grafik fungsi y = alog x seluruhnya berada di sebelah kanan sumbu x (lihat gambar)

Hubungan fungsi Eksponensial dengan fungsi Logaritma bila : y = ax maka berarti : x = alog y Dengan kata lain, f(x) = ax dan f(x) = alog x adalah dua fungsi yang saling invers. Contoh : y = 2x dan y = 2log x Dengan grafik berikut :

Contoh Soal :

01. Jika x1 dan x2 memenuhi : 2(4log x)2 – 6(4log x/2) + 1 = 0 Maka x1 + x2 =............

(A) 2 (D) 12 (B) 4 (E) 20 (C) 8

SIPENMARU ‘87

Penyelesaian : 2(4log x)2 – 6(4log x/2) + 1 = 0 2(4log x)2 – 6(4log – 4log2)) + 1 = 0 2(4log x)2 – 64log x + 4 = 0 Misalnya P = 4log x 2p2 – 6p + 4 = 0 p2 – 3p + 2 = 0 (p – 1) (p – 2)= 0 P1 = 1 ···> 4logx = 1, x1 = 4 P2 = 2 ···> 4log x = 2, x2 = 16 Maka : x1 + x2 = 4 + 16 + 20 02. Nilai x yang memenuhi persamaan : x--1log (x2 + 5) = x-1log (4x + 10) adalah :

(1) -5 (3) 2 (2) -1 (4) 3 SKALU ‘79 Penyelesaian :

x--1log (x2 + 5) = x-1log (4x + 10) syarat : 1. x2 + 5 = 4x + 10 x2 – 4x – 5 =0 = = > x = -1 atau x = 5 Himpunan penyelesaian adalah irisan ketiga

syarat, yaitu x = 5

M A T R I K S NOTASI MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut baris dan kolom, dimana susunan bilangan itu berbentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan diletakkan pada suatu kurung besar. Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besa, misalnya:

A =

−

−

827331541

B =

dcba

Ordo Matriks-matriks Sama

Jika suatu amtriks terdiri dari a baris dan n kolom, maka matriks tersebut dikatakan ber ordo m x n

amnamamam

naaaa

aaaa

......3212......2322211......131211



- 28 -

Dimana amn adalah elemen matriks pada baris ke m kolom ke n

A =

1342

B =

dcba

C =

−−

−

876153

432

Maka matriks A dan B berordo 3 x 3. Hal ini dapat dituliskan dalam bentuk : A2 x2 B2x2 C3x3

Matriks Sama Dua buah matriks dikatakan sama, jika ordonya sama dan unsur-unsur yang bersesuaian (seletak) juga sama.

A =

dcba

B =

hgfe

Bila A = B Maka, a = e b = f c = g dan d = h contoh : Diketahui :

A =

−

+

y

x

x

423124151

B =

−

+

242314153

z

y

Tentukan x, y, z jika A = B Penyelesaian :

−

−+

y

x

x

423124151

=

−

+

242314153

z

y

Maka: x + 1 - 3 …………… x = 2 2x – x = y + 1 4 – 1 = y + 1 …………y = 2 y = z – 2 2 = z – 2 ……… z = 4 Matriks Transpos Transpos matriks A dinyatakan dengan A' yaitu baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks A menjadi baris. Misalnya :

A =

−

−

976523421

maka A1 =

−

−

−

954722611

z

Jika matriks Anxm maka matriks A transpos: A'nxm

Penjumlahan matriks Matriks-matriks yang dapat dijumlahkan

hanya matriks-matriks yang mempunyai ordo yang sama.Contoh : 1. Diketahui

A =

−

5432

C =

−

−

2341

B =

−176254311

Tentukan : A + C, A + B Penyelesaian :

A + C

−

4432

+

−−

−

2331

=

2101

A + B ( tidak dapat dijumlahkan ) sebab ordo A, ordo B, ordo A2x2, ordo B3x3

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks A dengan B dilakukan dengan menjumlahkan A dengan negatif B. A – B = A + (-B) Contoh :

P =

− 4315

dan Q =

− 2143

Tentukan P – Q dan Q – P Penyelesaian :

P – Q =

− 4315

-

− 2143

=

−

−

6432

Q – P =

− 2143

-

− 4315

=

−

−

6432

Maka : P – Q # Q – P

Perkalian matriks dengan Bilangan Riel Untuk mengalikan matriks A dengan bilangan riel k, maka setiap elemen matriks A dikali dengan k (kA). Contoh : Diketahui :

A =

4531

B =

−

−

4582

Tentukan 3A – 2B = …….



- 29 -

Penyelesaian :

3

4531

+ (-2)

−

−

4582

121593

+

−

−

810164

=

−

20577

Perkalian Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks

B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B Amxn dan Bpxq maka : Amxn x Bpxq = Cmxq dimana n = p Contoh : 1. A2x3 . B3x3 = C2x3

C4x2 . B2x3 = C4x3

2.

dcba

yx

=

+

+

dycxbyax

3. Diketahui :

A =

142321

B =

441321

Tentukan A x B Penyelesaian :

A x B =

142321

441321

=

++++

++++

444412212221261

=

12181619

Matriks satuan I berordo 2 x 2 adalah :

I =

1001

Sifat-sifat perkalian matriks AI = A A2 = A . A A3 = A.A .A dst A . B ≠ B . A A . B = C maka D(AB) = D. C (AB)D= C. D A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA – CA

Determinan Matriks Hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai determinan.

- Determinan matriks ordo 2x2 Determinan dari A ditulis det (A) atau IAI Jika :

A =

dcba

maka det (A) atau IA)dalah :

A =

dcba

= ad – bc

Contoh :

A =

5432

B =

−

−

3275

Maka :

|A|=

5432

= 10 – 12 = -2

|B| =

−

−

3275

= -15 - (-14) = -1

Determinan matriks ordo 3x3

Untuk menghitung determinan matriks 3x3 dengan aturan Sarrus Contoh : 1 2 3 maka untuk mendapatkan IAI A = 4 5 6 dipindahkan kolom pertama 5 7 2 dan kedua ke kanan

1 2 3 1 2 4 5 6 4 5 = 1. 5.2 + 2. 6.5+

5 7 2 5 7 3. 4. 7 – 5. 5. 3 - 7. 6. 1 – 2. 4. 2 = 10 + 60 + 84 - 75 - 45 - 16 = 21

Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dimana A . B = B .A = 1, maka B merupakan invers A dan A merupakan Invers B. Syarat matriks mempunyai bujur invers : I. matriks bujur sangkar II. Determinan tidak sama dengan nol

A =

dcba

maka invers matriks A :

A -1 = bcad

1−

−

−

acbd

atau



- 30 -

A -1 = A1

−

−

acbd

Jika ad – bc = 0 atau det |A| = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers. Dikatakan matriks singular sedangkan det |A| ≠ 0 dikatakan matriks non singular. Contoh :

A =

2aa43

maka A -1 = 89

1−

−

−

3243

=

−

−

3243

Diketahui :

A =

+

2aa1aa

matriks A singular

Tentukan harga a Penyelesaian :

+

2aa1aa

= 0,

2a2 – a(a + 1) = 0 2a2 = a2 – a= 0 a(a- 1) = 0 maka a = 0 dan a = 1

Sifat-sifat invers matriks

A .A-1 = 1 A . B = C ···> B = A -1 . C A = C . B -1

Contoh :

1223

B =

4321

A

−1235

=

4321

Tentukan matriks A dan B

Penyelesaian :

B = 1

1223 −

47

=

−

−

3221

47

=

21

Ax =

−

−

1235

=

4321

=

4321

1

1235 −

−−

−

=

4321

−

−

5231

=

+−−

+−−

2098310341

A =

−

−

2911135

Penggunaan matriks untuk menyelesaikan sisitem persamaan linear Bentuk matrik diubah ke sistem persamaan linear

1.

4312

y

x =

63

Tentukan himpunan penyelesaian: - Persamaan matrik di atas dapat ditulis menja jadi : 2x + y = 3 |x 4| ···> 8x + 4y = 12 3x + 4y = 7 |x 1) ···> 3x + 4y = 7 5x = 5 x = 1 maka : 2x + y = 3 2(1) + y = 3 y = 1 HP = (1,1) 1. Tentukan HP dari : x + y = 5 2x + 3y = 12

= 43

1−

−

−

3221

47

Dengan mempergunakan matriks :

3211

y

x =

125

y

x =

3211

-1

125



- 31 -

y

x =

−

−

1113

125

y

x=

23

HP = (3,2) Pemakaian matriks untuk transpormasi geometri Jika P' ( x' y' ) adalah bayangan titik p (x, y) hasil transpormasi matriks :

dcba

maka :

y

x =

dcba

y

x

Pencerminan titik terhadap sumbu x bb:

P (x, y) ···> P' (x' y') Diperoleh : x' = x y' = -y atau x' = 1x + 0y y' = 0x + (-1) y dalam bentuk matriks dapat dibuat sbb:

y'x'

=

−1001

y

x

1 0 adalah matriks transpormasi Mx = 0 -1 pencerminan terhadap sumbu x Dengan cara yang sama ditentukan matriks transpormasi lainnya :

Transformasi Matriks Identitas Pencerminan terhadap sb y Pencerminan terhadap garis y = x Pencerminan terhadap garis y = x Pencerminan terhadap garis y = -x Deletasi terhadap titik (o,k)

1001

−1001

0110

1110

−

−

0110

k00k

Rotasi sebesar 0 terhadap titik 0 Perhatikan gambar dibawah ini :

P (x,y) ................... P'(x',y')

y

x =

−

θθθθ

coscossincos

y

x

R (0,90º) =

−

0110

R (0,180º)=

−

−

1001

R (0,-90º)=

− 01

10

···> dan seterusnya TRANSFORMASI INVERS Jika suatu transformasi yang matriksnya a b memetakan titik p ke P' maka M = c d tranformasinya adalah invers

matriks M (m-1) P' (x',y') ......P(x,y)

y

x =

bcad −1

−

−

ac

bd

y'x'



- 32 -

Transpormasi tempat kedudukan Contoh :

1. tentukan bayangan garis 2x – 3y + 4 = 0 oleh transpormasi yang berkaitan dengan

matrik :

2334

penyelesaian : jika titik (a,b) terletak pada garis 2 - 3y + 4 = 0 maka 2a -3b + 4 = 0 ambil (a’, b’) ba yangan (a,b)

b'a'

=

2334

ba

ba

= 98

1

−

−

−

4332

b'a'

Maka : a = -2 + 3b’ b = 3a – 4b’ 2 (-2a + 3b’) - 3(3a' – 4b') + 4 = 0 18b' – 13b + 4 =0 ........ a' = x dan b' = y 18y – 13x + 4 = 0 2. Tentukan peta dari y - 2x + 1 = 0 oleh transformasi pencerminan terhadap garis y = x penyelesaian : y - 2x + 1 = 0 , maka y = 2x + 1

y'x'

=

0110

1 -2x

x

y'x'

=

x

1 -2x

x' - 2y' -1 dan y' = x eliminasi x dan persamaan diatas maka diperoleh : x' - 2y' +1 = 0, jadi petana adalah : x - 2y +1 = 0 Contoh Soal :

01. Invers matriks

2937

adalah

(A)

−

12135 (D)

− 73/2231

(B)

−

−

5,325,11

(E)

−− 7934

(C)

−

−

5,223,21

SIPENMARU ’84 Kode 31 No. 14

A =

2437

A -1 = 1214

1

−

−

−

7432

=

−

−

5,325,11

Jawab : B 02. Peta dari (3,4) oleh transformasi rotasi dengan

pusat (0,0) sebesar -90° adalah : (A) (-3,-3) (D) (4,3) (B) (4,-3) (E) (-3,-4) (C) (-4,-3) SKALU ’78 No. 4 Jawab : C

STATISTIKA Penyajian data dalam bentuk diagram : 1. Diagram batang (histogram) 2. Diagram garis (poligon) 3. AC Diagram lambang (piktogram) 4. Diagram lingkaran 5. Diagram distribusifrekuensi kumulatif (ogive) Contoh : Nilai kuiz matematika siswa dalam bulan Januari adalah sebagai berikut :

Minggu I II III IV

Nilai 30 20 15 40 Diagram batang dan garis disajikan sbb:

Diagram Lambang (piktogram) Data penghasilan PT. Takasima sebagai berikut:

Tahun lambang Jumlah 1982 1983 1984 1985

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

5000 4000 3000 8000



- 33 -

Catatan : $ mewakili 1000 Dollar Diagram Lingkaran Data Penjualan 5 jenis bahan bangunan dalam satu tahun pada suatu toko sebagai berikut :

JENIS JUMLAH

A B C D E

25 20 30 10 15

Besar sudut pusat dapat ditentukan sbb : Sudut Pusat A = 25/100 x 360° = 90° Sudut pusat B = 20/100 x 360° = 72° Sudut pusat C = 30/100 x 360° = 108° Sudut pusat D = 10/100 x 360° = 36° Sudut pusat E = 15/100 x 360° = 54° Diagram Lingkaran sebagai berikut :

UKURAN PEMUSATAN Untuk data yang sederhana: x1, x2, x3, x4 ..............................xn

maka : rrata-rata hitung (mean) (x) adalah :

x = nn

x1∑ = jumlah data

Modus (Mo) = Data yang paling muncul Median (Me) = Data tengah yang telah diurutkan

menurut ukurannya Data dari nilai rata-rata hitung yang berlainan

Bentuk data : 1x , 2x , 3x , 4x ....... nx Maka : Nilai rata-ratanya (mean) :

x = ∑

∑i

ii

n

xn

Data yang mempunyai bobot (kredit)

Bentuk umum : x1, x2,x3,x4 .............xn

bobot kredit : k1, k2, k3,k4 .......kn

Maka mean :

x =∑∑

i

ii

k

nk

Jangkauan = data terbesar data terkecil = xn- x1

Contoh : 1. Tentukan Me, Mo dan k dari data : 2, 3, 1, 7, 6, 3, 4, 5, 3, 7, 6

Penyelesaian : Urutan data sebagai berikut : 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, ,5, 6,6, 7, 7

Maka : Me =2

43 + = 3,5

Data yang paling tengah adalah 3 dan 4 Mo = 3 (yang paling sering muncul)

x = 12

776654333211 +++++++++++= 4

2. Nilai semester pelajaran Halimah : Fisika,

Matematika, Biologi, Kimia, berturut-turut adalah 7, 8, 6, 9. Jika kreditnya berturut-turut : 3, 4, 2, 1 maka nilai rata-rata Halimah: Penyelesaian:

X = ∑∑

i

ii

k

xk

= 1243

)1.9()2.6()4.8()3.7(

+++

+++

= 9

9123221 +++= 7,4

3. Suatu data mempunyai nilairata-rata = 7 Ditambahkan dengan nilai data-data 8, nilai rata- ratanya menjadi 7,2 ditambah dengan data : 8,7, 9, 8, 7. Maka nilai rata-rata ................

Penyelesaian :

1x = 7

2x = 8, n2 = 1

Maka : 7,2 = 11n

817.n

+

+

7,2 (n1 + 1)= 7n1 + 8 0,2n1 = 0,8 n1 = 4

X = 741

)7896978(8.14.7

++

++++++++



- 34 -

X =

12

54828 ++= 7,5

KUARTIL Suatu harga yang membagi data atas 4 bagian yang sama,sehingga terdapat 3 kuartil. Dicari dengan rumus :

01 = data ke 4

1)1(n +

02 = data ke 4

1)2(n +

03 = data ke 4

1)3(n +

Dimana : n = banyak data = ∑f Catatan : θ1 = kuartil bawah θ2 = kuartil tengah = median θ3 = kuartil atas jangkauan kuartil (RAK) = θ3 –θ1 Simpangan kuartil = 1/2(θ3 – θ1) Contoh : Tentukan kuartil, RAK dan simpangan kuartil dari data: 1,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7 Penyelasaian : n = 12

θ1 = data ke 4

212 +

= data ke 3 1/4(antara data ke 3 dan 4)

θ1 = 2

23 +

= 2,5 θ2 = terletak pada data ke

2

76 + = 6,5

θ2 = 2

43 + = 3,5

θ3 = terletak pada daata ke

2

109 + = 9,5

θ3 = 2

66 + = 6

RAK = θ3 - θ1 = 9,5 - 2,5 θd = 1/2 RAK = 1/2 .3,5 = 1,75 Pembagian secara langsung 1 1 2 3 3 3 4 5 6 6 7 7 θ1 θ2 θ3

Data yang berfrekuensi Bentuk data sebagai berikut :

Data : x1 x2 x3 x4

Frek : f1 f2 f3 fn

Maka rata-rata :

x = ∑

∑

1fifix

Contoh : Data nilai dari sekelompok siswa/i adalah sebagai berikut :

Nilai 4 5 6 7 8 9

Frek : 6 5 20 10 5 4

Dari data diatas tentukan : rata-rata median, modus, kuartil dan simpangan kuartil : Penyelesaian :

Me = 10452056

)10(7)4(9)5(8)20(6)5(5)6(4

+++++

+++++

= 6,3 Modus yang mempunyai frekuensi terbesar : Mo = 6

Me = Q2 = data ke 4

1)2(n +

n = ∑f = 50 Q2 = data ke 25,5 Sehingga : Me = Q2 = 6 Q1 = data ke 12,73 (data ke 13) Q1 = 6 Q3 data ke 38,25 (dibulatkan 38) Maka: Q3 = 7

Qd = 2

67 −= 0,5

Distribusi frekuensi Data menttah adalah data yang belum diolah untuk itu susunan dari data tesebut dibuat berurut. Bila jumlah data yang akan diolah banyak, maka pengolahan data tersebut didistribusikan kedalam beberapa kelas. Menyusun data berdistribusi frekuensi



- 35 -

Perhatikan nilai dari 80 siswa ini sbb : 79 49 38 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 72 78 70 71 92 38 56 81 74 75 68 72 85 51 65 93 83 86 90 35 83 73 74 43 86 68 92 93 76 71 90 72 67 75 80 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 82 60 67 89 63 76 63 66 70 66 88 79 75 Dari data diatas, maka : Jangkauan = data terbesar - data terkecil = 99 – 35 = 64 Banyak kelas interval : Biasanya banyak kelas ini diambil 5s/d 15. Cara lain dapat digunakan aturan Sturges, yaitu : Banyak kelas = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 80 = 7 (pendekatan) Panjang kelas interval (p) :

P = kelasbanyak

jangkauan

= 7

64

= 10 (pendekatan) Ambil ujung bawah interval pertama 31, maka diperoleh tabel sbb :

Nilai Ujian Tabulasi Frek 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100

2 3 5 14 24 20 12

Contoh : Berat dari sekelompok siswa/i dapat disusun sbb :

Berat (kg) Jumlah

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 - 64

4 10 16 12 8

Data diatas terdiri dari 5 interval kelas. Interval kelas I ............ 40 – 44 Interval kelas II ............45 – 49 dan dst

Batas bawah kelas I ............. 40 Batas atas .............44 Batas bawah kelas II ........... 45 Batas atas 49 dst Kelas sesungguhnya : batas bawah dikurung 0,5 dan batas atas ditambah 0,5 untuk : Kelas I .............39,5 – 44,5 Kelas II ............ 44,5 – 49,5 Dst Panjang atau lebar Interval kelas : Perbedaan batas atas dengan batas bawah sesungguhnya : Untuk contoh diatas : Panjang kelas (p) adalah : Kelas I .......44,5 – 39, 5 = 5 Kelas II .....44,5 – 49,5 = 5 dst jadi P setiap kelas sama yaitu = 5 Titik tengah (x1) Batas bawah ditambah batas atas dibagidua, daaari data diatas :

Kelas I x1 =2

4440 − = 42 dst

NILAI RATA-RATA

x =∑

∑

1fi

dif

Dengan menggunakan rata-rata sementara :

x = M +∑

∑

1fi

dif

x = M + p∑

∑

1fi

dif

Catatan : M = rata-rata sementara xi = titik dengan data fi = jumlah data (n) di = simpangan sementara di = xi – M

di = pid



- 36 -

Maka data diatas dapat disusun kembali menjadi : kelas

sesungguhnya fi xi di di 39,5 - 44,54 4 42 -10 -2

44,5 - 49,3 10 47 -5 -1 49,5 - 54,5 16 52 0 0 54,5 - 59,5 17 57 5 1

59,5 - 64,5 8 62 10 2 ∑ fi = 50

M = 2

545 49.5 += 52

Dari data di atas di dapat : ∑fixi = 2650 ∑fi = 50 ∑fidi = 50 ∑fiUi = 10 Maka :

x = 50

2650= 53

x = 52 + 50

50 53

atau :

x = 52 + 5 + 50

10 53

modus :

Mo = Bo + p 21

1SS

S

+

Median :

Mo = Bo + p Mef

Fn )( .2/1

Kuartil :

Q1 = Bo + p 1

).2/1(

Qf

Fn

Dimana : Bo = batas bawah kelas (Mo,Me,θ1) F = Jumlah frekuensi sebelum kelas (Me,θ1) S1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi,

kelas terdekat sebelumnya S2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi, Kelas terdekat sesudahnya fme = frekuensi kelas median fQ1 = Frekuensi kelas kuartil p = Panjang interval kelas n = banyak data ∑fi

Dari data diatas dapat ditentukan Modus : Kelas Modus = 49,5 - 54,5 Maka : Bo = 49,5 S1 = 16-10 = 6 S2 = 16-10 = 4

p = 5

Mo = 49,5 + 5 46

6

+

= 52,5

- Median Kelas median = 49,5- 54,5 maka : Bo = 49,5 F = 4 + 10 = 14 FMe = 16 n = 50 p = 5

Me = 49,5 + 16

)14)50(2/1( −= 5

= 52,9375 Contoh soal :

01. Tabel di bawah ini adalah tinggi dari 50 orang murid

Tinggi (cm) Jumlah murid 140 - 148 149 - 157 158 - 166 167 - 175

5 20 15 10

Tabel di atas mempunyai modus sama dengan :

(A) 155 (D) 153,2 (B) 155,25 (E) 156,75 (C) 155,50

Bank Soal Bimafika Penyelesaian ; Modus pada kelas interval ke-1 Mo = 148,5 + (157,5 - 148)

)1520(15

)520(

−+

−

= 148,5 + 9 . )20(

)15(

= 155,25 02. dalam suatu yang siswanya 80 orang diadakan -

ujian. Dari hasil ujian tersebut diperoleh hasil dalam bentuk distribusi frekuensi sbb:

Nilai Frekuensi

31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90

91 - 100

1 2 5 15 25 20 12



- 37 -

Maka dari data di atas, pernnyataaan yang benar dibawah ini adalah : (1) Panjang kelas = 10 (2) Nilai rata-rata = 76,625 (3) Mmodus =77,17 (4) Kuartil bawah = 55,5 Bank Soal Bimafika Penyelesaian : P = 40,5 - 30,5 = 10 (1) Sudah dida[pat (2) Sudah sendiri (3) Berusaha dikit lha dik ….

Q1 = data ke 4

1)1(n + = data ke

4

)180(1 +

= data ke 20,25 Berarti pada kelas ke = 4

Q1 = 60,5 + 10 15

)125(80.4/1 ++

= 60,5 + 10 12

12= 68,5

JAWAB : A

HITUNGAN DIFFERENSIAL

01. Laju perubahan: ide limit

Andaikan suatu fungsi dirumuskan oleh : Y = f(x) , dengan x = variabel bebas dan Y = variabel tak bebas (lihat gbr diatas) ∆ X = perubahan pada x ∆ Y = perubahan pada yang (fungsi) Maka dalam hal ini :

Laju perubahan = ∆X

∆y

= x

xfxx

∆−∆+ )]()[(

dan :

limit0→L

∆X∆y

= limit x

xfxxf

∆−∆+ )()(

= disebut turunan pertama dari fungsi y = f(x) * Turunan pertama dari fungsi y = f(x) diberi

simbol dengan :

dxdy

= y = f(x)dx

df(x)

* Turunan ke- 2 dari fungsi Y = f(x)

xdyd

2

2

= y" = 2

2

dxf(x)d

= f"(x)

02. Laju perubahan fungsi f(x) pada x = a turunan f pada x = a

Yang dimaksud dengan laju perubahan nilai fungsi y =f(x) pada x = a atau turunan f pada x = a adalah nilai dari dy/dx untuk x = a

03. Fungsi turunan dari f Fungsi turunan dari f adalah suatu fungsi yang didapat dari penurunan f. Untuk melakukan penurunan suatu fungsi y = f(x) berlaku rumus rumus berikut sbb :

A. Turunan fungsi Aljabar : i Bila y = C ; ( c = konstanta)

Maka : y = 0 ii Bila y = axn, (a.n = konstanta)

Maka : y'anx iii Bila : y = ex (e = bilangan natural ···>)

Maka : y' = ex iv Bila ; y = ax, ( a = konstanta) Maka : y' = ax. l na v Bila : y = l nx Maka : y' = 1/x B. Turunan fungsi Trigonometri :

i Bila y = sin x, Maka y = cos x ii. Bila y = cos x, Maka y = -sin x iii Bila y = sinn x, Maka y = n sinn-1 x. Cos x iv Bila y = cosn x, Maka y = -n. cos n-1x sin x

C. Sifat dan Rumus Khusus ( Udan V merupakan fungsi )

1 y = U ± V = = = > y' = U' ± V 2 y = U . V = = = > y' = U' .V ± U.V'

3 y = VU

= = = > y' = 2V

)'U.V.V'(U −

4 y = f(u) ; u = U(x); maka

y' = dxdy

= dudy

dxdu

···> (dalil rantai)



- 38 -

Contoh Soal : 01. Tentukan turunan pertama dari fungsi ;

y = (4x2 – 3x + 2) jawab : Dengan menggunakan rumus (1.2 dan iii 4) mis : U = 4x2 – 3x + 2 ···> U' = 8x -3 y = U3 ···> dy/du = 3U2

jadi :

dxdy

= dudy

dxdu

y' = 3 (4x2 – 3x + 2)2 (8x – 3)

02. Turunan pertama dari fungsi : f(x) = x3 – cosx, ialah ........ 04. Tafsiran Geometris Untuk Turunan andaikan titik (x1,y2) terletak pada grafik fungsi y = f(x). Garis adalah garis yang menyinggung grafik fungsi tersebut di titik (x, y) maka persamaan garis 1 adalah :

y – y1 = a(x- x1) Dimana : m = Gradien garis singgung = f '(x) Contoh Soal : 04. Persaman garis singgung kurva : f = x2 + 4x – 2 di titik (2,10) ialah : Penyelesaian : Gradien = m = f '(x) = 2x + 4, pada x = 2 = 4 + 4 = 8 Sehingga : y - 10 = 8(x - 2) y - 10 = 8x - 16 8x- y - 6 = 0 05. Aplikasi Fungsi Turunan Dalam Fisika

Jika suatu benda bergerak, maka persamaan dari lintasannnya adalah merupakan fungsi dari waktu. Atau ; S = f (t) Dimana : S = lintasan, dan t = waktu maka diperoleh rumus :

• kecepatan ;V(t) =dtdS

• percepatan ; a(t) =dtdV

= 2

2

dtSd

Contoh : 05. Sebuah benda bergerak dengan persamaan

lintasan y = 3 sin 30t. y dalam cm dan t dalam detk. Maka setelah bergerakselama 2 detik, besarnya kecepatan benda ........ (A) 45 cm/det (D) 2 3 cm/det (B) 30 cm/det (E) 3 cm/det (C) 3 2 cm/det Penyelesaian : V (t) = 3.30 . cos 30t V (2) = 3.30 . cos 30(2) = 45 cm/det Jawab : A

06. Fungsi Naik dan Fungsi Turun * y = f(x) dikatakan fungsi naik, jika untuk setiap f(x1) < f(x2), maka f(x1) < f(x2) Atau : Jika x1 dan x2 dalam interval, maka : f'(x) > 0 * y = f(x) dikatakan fungsi turun, jika untuk setiap f(x) > f(x2) Atau : Jika x1dan x2 dalam interval, maka : f '(x) < 0 Contoh: 06. Tentukan harga x yang memenuhi agar fungsi y

= x3 + 3x2 – 9x + 5 merupakan fungsi turun. Penyelesaian : y = 3x2 + 6x – 9 fungsi turun, jika y < 0 3 (x2 + 2x -3) > 0 3(x - 1) (x + 3)< 0 Maka : -3 < x < 1

07. Nilai Stasioner : Ialah nilai suatu fungsi pada titik stasioner.

Titik stasioner ada 3 yaitu : - titik maksimum - titik minimum - titik belok - Titik maksimum dan titik minimum biasa disebut ekstrim - Titik maksimum :

Suatu fungsi y = f(x) akan mencapai nilai maksimum, bila f'(x) = 0 & f'' (x) < 0

- Titik minimum Suatu fungsi y = f(x) akan mencapai nilai minimum, bila f'(x) = 0 & f'' (x) > 0

- Titik belok Suatu fungsi y = f(x) dikatakan memb f'' (x) =

0, dan tanda interval dalam garis bilangan dikiri kana berlawanan.



- 39 -

Contoh soal :

07. Nilai maksimum dari fungsi : f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 5 sama dengan : (A) -3 (D) 23 (B) 1 (E) 32 (C) 0

Penyelesaian : Syarat nilai maksimum : f'(x) = C f''(x) < 0 f'(x) = 3x2 + 6x – 9 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 (x – 3)(x – 1) = 0 f'(x) = 6x + 6 x = 1 = = = > f'(1) = 12 > 0 (min) x = -3 = = = > f"(-3) = -12 < 0 (maks)

maka nilai maksimum = f(-3) = 9-3)3 + 3(-3(2 – 9(-3) + 5 = -27 + 27 + 27 + 5 = 32

JAWAB : E

08. Menggambarkan Kurva :

Untuk menggambarkan kurva y = f (x) perha

Tikan langkah-langkah sbb :

1 Tentukan titik potong kurva dengan sb x.

(syarat y = 0)

2 Tentukan titik potong kurva dengan sb y.

(syarat x = 0)

3 Tentukan titik-titik stasioner kurva

4 Perhatikan interval naik turun kurva

Contoh : 08. nilai maksimum fungsi f (x) = 2log (x + 5) 2log (3 – x) adalah :

(A) 4 (D) 15 (B) 8 (E) 16 (C) 12

UMPTN ’90 Kode 51 No. 80 Penyelesaian : f (x) = 2log (x + 5) 2log (3 – x) = 2log (x + 5) (3 – x) = 2log (15 -2x –x2)

Agar f(x) maksimum maka : 15 -2x –x2 haus maksimum Anggap : 15 -2x –x2 = g(x) g'(x) = -2 – 2x = = > (x = -1) maksimum = 15 – 2(-1) – (-1)2 g(-1) = 16 f(x) maksimum = 2log 16 = 4 Jawab : A 09. Ordinat salah satu titik pada grafik

J = 3

3x -

2

2x - x + 1

Mempunyai gradient 1 adalah : (A) 2 2/3 (D) 1 1/6 (B) 2 1/3 (E) 5/6 (C) 2 1/6

UMPTN ’89 kode 11 No. 62 Penyelesaian :

y = f(x) = 3

3x -

2

2x - x + 1

f'(x) = x2 - x – 1 gradien ; a f'(x) = 1 = x2 - x – 1 2x2 - x – 2 = 0 (x – 2) (x + 1) = 0 x = 2 , x = -1

x = 2 ···> y = 38

- 2 – 2 + 1

= 31

x = -1···> y = 31

+ 21

+ 1 + 1

= 261

JAWAB : C

HITUNG INTEGRAL

1. Integral Anti Diferensial

Mengintegralkan berarti mencari suatu fungsi semula yang turunannyadiketahui : Notasi Integral tak tentu

Jika suatu fungsi F(x) mempunyai turunan pertama f(x), maka :

∫ += CF(x)f(x)dx



- 40 -

f(x) = integral F(x) = fungsi awal atau fungsi primitive

C = konstanta integrasi

2. Sifat Integral :

1 ∫ += Cf(x)f(x) d

2 ∫ ∫= dx f(x).f(x) k. k

3 ∫ ∫ ∫+=+ g(x)dxf(x)dxg(x)}dx[F(x)

3. Rumus-rumus Pokok Integral

1 Cx1n

1dxx 1nn +

+= +∫

= = = > n ≠ -1

2 ∫ += Cpxf(x) p

3 ∫ += C1ndx1/x

4 ∫ += Cex dxex

5 ∫ +−= C xcosdxsin x

6 ∫ += Csin xdxcosx

Contoh : 01. Tentukanlah :

dx )x1

2xx(32∫ ++

Penyelesaian :

dx )x1

2x(3x 2∫ ++ =

∫∫ ∫ =++ dx1/x dx2x dx 3x 2

x3 + x2 + In x + C

02. Tentukanlah persamaan fungsi :

y = f(x) bila f'(x) = 3 – 4x dan f(3) = -3 penyelesaian :

f(x) = ∫∫ −= dx 4x)(3dx (x)f '

f(x) = 3x – 2x2 + C f(3) = 3 . 3 - 2(3)2 + C = = > 6 maka f(x) = 3x – 2x2 + 6

4. Beberapa penggunaan Intergral a. Pada Kurva :

Yaitu merupakan kebalikan dari penggu - naan diferensial (lihat tafsiran Geometris untuk turunan).Jadi bila gradien suatu kur - va dititik P(x,y) diketahui maka,persamaan kurva tersebut dapat ditentukan :

Contoh : 03. Diketahui gradien garis singgung pada tiap titik

(x,y)sebuah kurva ditentukan oleh : m = 3x (4 -x) dan kurva melalui titik(-1,11) Maka diantara titik berikut, yang tidak dilalui kurva ialah : (A) (0,4) (D) (5,29) (B) (2,24) (E) (1,9) (C) (-2,36)

Penyelesaian :

m = dydx

= 3x (4 - x) = 12x – 3x2

Diperoleh : Y = f(x) = 6x2 – x3 + C (-1,11) ···> 6(-1)2 – ( -a)3 + C = 11 6 + 1 + C = 11 C = 4 Sehingga : F(x) = 4 + 6x2 – x3 Substitusi tiap titik KUNCI : B b. Pada Fisika

V (t) = dt

(t) dS = = > S(t)

= ∫V(t)dt

a (t) = dt

(t) dV = = > V(t)

= ∫ a(t)dt

= 2

2

dt(t) Sd

= = > S(t)

= ∫∫ .dtdt (t) a

Contoh :

04. Bila kecepata dari suatu benda yang bergerak tiap saat t adalah V(t) = t2 + 2t, tentukanlah bentuk persamaan lintasan benda yang bergerak tersebut

Penyelesaian :

S = ∫ dt V = ∫ + 2t)dt (t 2

= 1/3t3 + t2 + C, C = 0 S(t) = 1/3t3 + t2

Integral Parsiel & Pengintegralan Dengan

Substitusi

a. Integral Parsiel Bila u dan v dua buah fungsi, maka :

∫ ∫= du v.- v.u dvu

Bukti : y = u .v ...... y' = u' . v + v' . u u .v = y' - u' . v u dv = dy - v du



- 41 -

Maka : ∫ ∫ ∫−= du v(du) ddvu

∫ ∫= du v.- v.u dvu

Contoh :

05. ∫ =.dx.sinx x .............

Penyelesaian : Mis : u = x & dy = sin dx du = dx v = - cos maka :

x. sin dx = ∫ ∫−= vduuvudx

= x (-cos x) - ∫ − dx cos)(

= -x cos x + sin x + c 5. pengintegral DenganSubstitusi Contoh 06. Selesaiaknlah :

I. ∫ − dxx4 2 = .........

II. =+∫ 2)dxx.cos(x 2 ...........

Penyelesaian : I. Substitusi : x = 2 sin u

dx = 2 cos u du Sehingga :

∫ − dxx4 2 =

∫ − du u cos u.2sin 44 2

= ∫ du u cos u.24cos2

= ∫ duu 4cos2

= ∫ + du )2u cos 2 (2

= ∫ ++ C 2u sin 2u

= 2sin -1 x/2 - x C2

x4 2

+−

Catatan : x= 2 sin u ···> sin u = x/2

cos u = 2

4 2x−

24 x−

Sin 2x = 2sin x . cos x

II. ∫ =+ .............dx 2) (x x.cos 2

Substitusi : u =x2 + 2 du =2x dx

∫ ∫=+ ducosu 1/22)dx(x x.cos 2

= 1/2 sin u + C = 1/2 sin (x2 + 2 ) + C 6. Integral tertentu Bila fungsi F(x) dalam interval (a,b) mem punyai turunan = f(x) maka :

] (a) F(b) F(x) Fdx (x) fb

a

b

a

−==∫

Sifat-sifat integral tertentu

1 ∫∫ =b

a

b

a

dx (x) fdx (x) f

2 ∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dx (x) fdx (x) fdx (x) f

Dimana: a < c < b Contoh :

07. ]31

3

1

2 15)2(3x 12

1 .

31

dx 5)(3x +−+

=−∫

= 33 )2(91

)4(91

−−

= 898

964

=+

7. Penggunaan Integral Tertentu :

- Luas daerah dibawah kurva - Luas daerah diatara 2 kurva - Isi benda putar - Isi perputaran 2 kurva - Panjang busur suatu kurva a. Menghitung luas = L

Luas yang dibatasi kurva y = f(x) dengan sumbu –x, garis x = a dan garis x = b (daerah yang diarsir) ialah :

L = ∫b

a

dx (x) f

Dimana : a = batas bawah b = batas atas



- 42 -

b. luas daerah diantara dua kurva

L = [ ]∫ −b

a21 dy xfxf

* luas daerah antara kurva dengan sb- y

L = ∫n

m

dyx

c. Menghitung isi benda putar

Bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(X0, sumbu- x ,garis x = a dan garis x = b, diputar mengililingi sumbu – x, maka isi (volume) bangun yang terjadi :

V = [ ]2b

a

f(y) π ∫

Analog dengan perputaran mengililinggi sumbu-y, maka volume benda putaran sama dengan :

V = [ ] dx f(y) π2n

a∫

Isi perputaran antara 2 kurva : Jika suatu daerah yang dibatasi oleh kedua kurva y = f(x), maka diperoleh bangun dengan volume ialah :

V = [ ]2b

a

f(y) π ∫ - [ g(x)2] dx

C. Menghitung panjang busur : Panjang busur kurva y = f(x) yang dibatasi titik pada x = a dan x = b ialah :

a = ∫ +b

a

2 dx .(dy/dx)1 π

Contoh soal : 01. jika y = 1/3 (x3 + 3/x), maka :

=+∫ .dx(dy/dx)4 22

(A) 13/6 (D) 16/6 (B) 14/6 (E) 17/6 (C) 15/6 UMPTN ’89 Kode 11 No. 72

Penyelesaian : y = 1/3 (x3 + 3/x) = 1/3x2 x—1

dxdy

x2 – x-2

dxdy 2

= x4 – 2 + x—4

4 + (dy/dx) = x-4 – x4 + 2 = (x—2 + x2)2

∫ + .dx(dy/dx)4 22

1

= .dx)x(x 222

1

2∫ −

= ∫2

1

(x-2 + x2) dx

= [-1/x + 1/3x3]21

= [-1/2 + 8/3] - [-1 +1/3]

=17/6 Jawab : E 02. Luas daerah yang dibatasi antara kedua kurva y = x + 2, dan y = x2 ialah : ....satuan luas :

(A) 3,0 (D) 7,5 (B) 4,5 (E) 5,0 (C) 6,0

PPI ’81 No. 26 Penyelesaian :

Titik potong y1 = y2

x2 + 2 = x2

x2 - x - 2 = 0 x1 = -1, x2 = 2 L = dxyyb

a )21( −∫

= ∫2

1

(2 + x + x2).dx



- 43 -

= (2x +1/2x2 + 1/3x3)-12

= (4 + 2-8/3) – (-2 +1/2 +1/3) = 8-3 1/2 = 4 1/2 JAWAB : B

V E K T O R Vektor Bidang Datar (R2) Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor di R2 mempunyai 2 komponen, misalnya : R (titik ujung) ā A (titik pangkal) AB = a Vektor yang sama Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama : ā b a = b

Penjumlahan Vektor Dua vektor dapat dijumlahkan dengan 2 cara : 1. Cara segitiga 2. Cara jajaran genjang 1. Cara segitiga

2.Cara jajaran genjang

Vektor Nol

Merupakan vektor yang tidak mempunyai besaran dan arah yang tidak terdefinisi.

DACDBCAB +++

Pengurangan vektor

a adalah vektor yang mempunyai besaran sama dengan a dan mempunyai arah yang berlawanan dengan ā. Misalnya ; B B

A A

aAB = ba −= bBA = BAAB =

Contoh : a . b = a b C ba +

( )ACABACAB −+=− b

CAAB == A a B

ABACAB =. Besaran vektor B(x2,y2)

A(x1, y2)

|AB| = | a | = ( ) ( )212

212 yyxx −+−

Sudut antara dua vektor



- 44 -

r =

1

1

1

zyx

disebut vvektor kolom

Panjang vektor :

| r | = 21

21

21 zyx ++

Jika vektor posisi r membentuk sudutα dengan sumbu x, sudut β dengan sumbu y dan t dengan sumbu z, maka :

Cos a = r

x1 ; cos b = r

y1

Cos t = r

z 1

Karena : x12 + y1

2 + z12 = | r |2

2

21

r

x+

2

21

r

y+

2

21

r

z

Maka : cos2 + cos2 β + cos2t = 1

Vektor Satuan Suatu vektor dikatakan vektor satuan jika panjang vektor tersebut adalah 1 Jadi vektor satuan r / | r |, dimana r dan vektor satuan r searah dan panjang r / | r | adalah 1 Contoh : a = 4i - 2j + 4k Tentukan vektor satuan a Penyelesaian : a = (4, - 2, 4) maka

16416a ++=

= 6

Vektor satuan a = 6

k4j2i4 +−

= 2/3 j1/3-i + 2/3 k Panjang vektor satuan a adalah : = 9/49/19/4 ++

= 1 = 1 Contoh soal :

01. a = 2 j2i + - k

b = (4, 0 , -3)

−

−

=

442

c

cba =+

cosβ ba 2bac222

++=

cosα ba 2bac22

++=

Perkalian vector dengan skalar a 2 a 1/2 a 2 a adalah vektor yang besarnya dua kali besarnya vector a dan arahnya sama dengan a. 1/2 a adalah vektor a dan arahnya sama dengan vektor a. Vektor Dalam Ruang (R3) Perhatikan gambar di bawah ini :

Vektor-vektor j,i dan k seperti terlihat pada gambar masing-masing panjangnya satu satuan. Sehingga : I = (1, 0, 0) ; j = (0, 1, 0); k =(0, 0, 1) Setiap vektor di R3 dapat dinyatakan kombinasi linier dari vektor j,i dan k . Misalnya titik P (x1, y1, z1) di gambar dalam ruang R3.

Jika vektor OP = r , maka : r = (x1, y1, z1). Juga dapat dituliskan dalam kombinasi linier : r = x1i + y1j + z1k catatan : r = (x1, y1, z1) disebut vektor baris



- 45 -

Penyelesaian :

* 2

a = 22 + 22 + (-1)2 = 9

9=a = 3

* 2

b = 16 + 0 + 9 = 25

25=b = 5

*2

c = 4 +16 +16 = 36

36=c = 6

Perhatikan gambar di bawah ini :

OA = (x1, y1, z1) OB = (x2, y2, z2) Maka vektor :

−

−

−

=

12

12

12

zzyyxx

AB

−

−

−

=

21

21

21

zzyyxx

BA

Jarak antara titik A dan titik Badalah : 2

122

122

12 )z(z)y(y)x(xAB −+−+−= Dimana :

BAAB =

Contoh :

Jadi titik A(-1, 2, 3) dan B (-1, -4, -5) tentukan vektor posisi AB dan AB Penyelesaian :

AB =

−−

−−

+−

352411

= (0, -6, -8)

AB = 222 3)(6)((0) −+−+

= 100 = 10 Rumus pembagian Dalam Bentuk Vektor

Bila p menyatakan vector posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n atau : PB:AB = m : n

Maka :

P = nm

anbm++

Suatu titik P mebagi garis AB didalam dengan perbandingan m : n bila :

PB:AP = m : n, maka PBdan AB mempunyai arah yang sama dan m dan n mempunyai tanda yang sama:

PB:AP = m : n atau

AB:AP = m : (m + n)

Rumus Perbandingan Dalam Bentuk Koordinat

Jika P ( xp, yp, zp) membagi garis yang menghubungkan titik A(a, y1, z1) dan titik B(x2, y2, z2) dengan perbandingan m : n maka koordinat titik P adalah :

xp = nm

xn.m.x 12

+

+

yp = nm

y n.m.y 12

+

+

zp = nm

z n.m.z 12

+

+

HASIL KALI SKALAR DARI DUA

VEKTOR

Perkali skalar a dan b adalah bilangan riel . Jadi a = a1 jbi 1+ +c1 k

b = a2 jbi 2+ +c2 k

Maka ; a . b = a1a2 + b1b2 + c1c2

Contoh : a = 2 j3i − + 4 k

b = ji + + k

a . b = 2. 1 + -3 . 1 + 4 . -2 = -5



- 46 -

SUDUT DIANTARA DUA VEKTOR

a = a1 jbi 1+ +c1 k

b = a2 jbi 2+ +c2 k

cosθ = b . a

b . a

Vector tegak lurus : Vector a tegak lurus terhadap vector b Jadi sudut θ = 90º

Maka cos 90º = b . a

b . a

a . b = 0 Contoh : Tentukan besar sudut antara vector :

a = ji +− dengan vektor b = j2i − +2 k

Penyelesaian : a = (-1, 1, 0) dan b = (1,-2,2) a = 0 11 ++ = 2

b = 4 41 ++ = 9 = 3

a . b = -1.1 + -2 . 1 + 2 . 0 = -3

cos θ = b . a

b . a =

23

3-

= -1/2 2 θ = 135°

PROYEKSI SUATU VEKTOR PADA

VEKTOR LAIN Jika vektor a diproyeksikan ke vektor b , maka hasilnya adalah sebuah vektor yang searah dengan vektor b .

Misalnya c adalah proyeksi vector a ke vector b, maka :

θcosac =

···> cosθ = b . a

b . a

ac =b . a

b . a =

b

b) . (a.

b

b

c = 2

b

b )b . (a

Contoh : Diketahui : a = 5 j10i + +2 k

b = j4i3 +

Tentukan proyeksi vektor a terhadap vektor b

Penyelesaian : a = (5, 10, 2) dan

b = (3, 4, 0)

=c proyek a terhadap b

c = 2

b

b )b . (a

a . b = 13 + 40 = 55

b = 25 = 5

c = 25

(3,4.0) (55)

c = 2,2 (3 , 4, 0)= 6,61 + 8,89

Contoh Soal:

01. Diketahui u = (2, -1, 1) dan v = (-1, 1, -1)

vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada

u dan tegak lurus pada v adalah : (A) (0, 0, 1) (B) (0, 1/2 2 , 1/2 2 ) (C) (0, -1/2 2 , 1/2 2 ) (D) (-2/3, 1/3, 2/3) (E) (2/3, 1/3, -2/3)

Penyelesaian :

u . w = 0 = 2a . b + c

v . w = 0 –a + b – c c = b – 2a = b – a a = 0 b = c



- 47 -

Suatu bidang datar dapat dibentuk oleh : 1. tiga titik yang tidak segaris

2. Satu garis dan satu titik diluar garis

3. dua garis yang berpotongan (sejajar)

Jarak titik dan garis :

Jarak suatu titik pada garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik itu pada garis tersebut.

AA tegak lurus pada garis 1, maka d adalah jarak titik A pada garis 1.

Jarak suatu titik pada bidang

Jarak suatu titik pada bidang adalah panjang garis yang tegak lurus dari titik itu pada garis tersebut.

AA' tegak lurus pada garis U, maka d adalah jarak titik A pada garis U. Hubungan garis dan Bidang :

Sebuah garis dapat : - menembus bidang - terletak pada bidang - sejajar pada bidang 1. Suatu garis menembus bidang bila garis dan

bidangnya hanya mempunyai 1 titik sekutu.

w = (a, b, c)

w = 1

= 222 bb0 ++

1 = 222 cba ++ 1 = 2b2

b = 2/1 = 22

= c

J AWAB : B

02. Diketahui vektor a = k3jei3 ++ , maka besar sudut yang dibentuk vektor a dengan sumbu y adalah : (A) 30° (D) 90° (B) 45° (E) 120° (C) 60°

Penyelesaian :

a = (3, 2, - 3 )

349 ++=a = 4

Proyeksi a pada sumbu y adalah (0, 2, 0) = b

b = 2

Jadi : cosθ = b . a

b . a

= 4.2

040 ++

= 1/2 θ = 30° JAWAB : A

RUANG DEMINSI TIGA A.

- Bidang Datar - Hubungan Antara * titik dan garis * titik dan bidang * garis dan bidang * garis dan garis

Bidang Datar : Bidang atar biasanya dilambangkan dengan jajaran genjang.



- 48 -

Jika suatu garis tegak lurus pada suatu

bidang, maka garis itu akan tegak lurus pada setiap garis pada bidang itu.

2. Suatu garis terletak pada suatu bidang bila

garis dan bidang paling sedikit mempunyai 2 titik sekutu.

3. Suatu garis dikatakan sejajar dengan bidang

bila dua titik yang berbeda pada garis mempunyai jarak sama terhadap bidang.

Hubungan 2 garis :

Dua garis pada ruang mempunyai tiga kemungkunan yaitu : 1 Berpotongan 2 Sejajar 3 Bersilangan

Jarak dua garis bersilangan

a dan b dua garis yang saling bersilangan, PQ tegaklurus pada garis a dan garis b, maka d jarak garis bersilangan a dan b Contoh – contoh :

Pada kubus ABCD,EFGH yang mepunai rusuk a. tentukan : a. Panjang diagonal bidangnya b. Panjang diagonal rusuknya c. Jarak titik A pada garis BD d. Jarak titik A pada bidang EBD e. Jarak garis bersilangan BD dan AB

Penyelesaian :

a.Diagonal bidang keluarkanlah salah satu sisi dari kubus tersebut seperti berikut :

Dengan mengggunakan teorema Phtagoras maka diperoleh : AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2 Maka diagonal bidang AC = a 2

b.Diagonal ruang Kelurkan segitiga ACG, seperti pada gambar

berikut :

Dengan menggunakan teorema Phtagoras Maka diperoleh: AG2 = AC2 + CH2

= 2a2 + a2 = 3a2

Maka diagonal ruang AG = a 3

c. jarak titik A pada garis BD Kelurkan bbujur sangkar ABCD, seperti pada gambar dibawah ini :



- 49 -

Sifat : Diagonal bidang suatu bujur sangkar saling membagi dua dan saling tegak lurus. Maka jarak titik A pada BD adalah : 1/2a 2 d. jarak titik A pada bidang EBD Keluarkan segitiga ATE seperti pada gambar berikut :

Maka titik A pada bidang EBD adalah AT'. Dengan mempergunakan rumus perbandingan, maka :

sin a = 21/2a

AT

61/2a

a '

=

AT' =6 a 1/2

2 a .1/2 a

= 1/3 a 3 e. jarak garis bersilang BD dan AG

Keluarkan segitiga ACG seperti pada gambar berikut :

Jarak garis bersilang BD dan AG adalah TT' Dengan menggunakan rumus perbandingan

maka :

sin a = 21/2a

TT

3a

a '

=

AT' =3 1

2 a .1/2 a

= 1/6 a 6 B. - Proyeksi titik dan garis pada bidang - Sudut antara garis dan bidang - Hubungan antara dua bidang 1. Proyeksi titik pada bidang :

adalah titik tembus dari garis yang melalui titik dan tegak lurus pada bidang

Proyeksi garis pada bidang : Adalah garis yang menghubungkan proyeksi kedua titik ujung dari garis yang diproyeksikan .

2. Sudut antara garis dan bidang Lihat gambar di bawah ini :

Bila a' proyeksi a pada bidang U dan a sudut antara a da a, maka a sudut antara garis a dan U atau : sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang dibentuk garis itu dengan proyeksinya pada bidang. 3. Bidang V dikatakan sejajar dengan bidang U.Jika garis yang tegak lurus terhadap V tegak lurus terhadap U.

Sudut antara dua bidang :



- 50 -

h = perpotongan bidang U dan V L pada U dan tegak lurus pada h m pada V dan tegak lurus pada h. Bila a sudut antara L dan m, adalah sudut antara bidang U dan V. Contoh : Pada kubus ABCD, EFGh yang mempunyai panjang rusuk a, maka tentukanlah sudut antara : 1. AH dan bidang BDHF 2. Harga tg sudut yang membentuk BDG dan

ABCD Penyelesaian : 1. Sudut antara AB dan BDHF

Proyeksi AH pada BDHF adalah HT maka :

sin a = 21

2a

2a 1/2=

= = = > a = 30º

Tg sudut yang dibentuk BDG dan ABCD, HD perpotongan bidang BDS GT pada BDG dan tegak lurus BD a sudut antara GT dan CT, maka : a sudut antara BDG dan ABCD. Tg sudut yang dibentuk BDG dan ABCD, HD perpotongan bidang BDS dan ABCD dimana : GT pada BDG dan tegak lurus BD CL pada ABCD dan tegak lurus BD a sudut antara GT dan CT, maka : a sudut antara BDG dan ABCD.

tg a = 22 a 1/2

a =

Contoh Soal 01. ABC terletak pada busur sebuah lingkaran ABC

= u/2 adalah AB : BC = 1 : 3 jika busur AB adalah u, maka keliling itu : (A) 1 + 3 (D) (3+ 3 ) 3

(B) 3 + 3 (E) 3(3 + 3 )

(C) 7 + 3 UMPTN ’90 (IPA) Kode No. 1 Penyelesaian :

AC2 = 12 + ( 3 )2 = 4 AC = 2 K = 1 + 3 + 2

= 3 3 JAWAB : B

02. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horizontal, dan ADEF adalah empat persegi

panjang pada bidang vertikal. Jika panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm, dan CE = 7 cm. A dan β adalah sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, maka tg a .tg β = …….

(A) 3/ 35 (D) 4/ 21

(B) 5/ 35 (E) 5/ 21

(C) 4/ 35 Penyelesaian : DC2 = 22 37 − = 40

DC = 10240 = )

DB2 = 2)40(42 +

DB = 14256 =

BE2 = 22 )56(3 + = 65 BE = 65

tg a DBDC

= 1414

x142

3

142

3 =

= 28143



- 51 -

AE2 = 42 + 32 = 25 AE = 25 = 5

tg β =AEAB

= 540

tg a .tg β = x28143

540

= 560140

3

= 3514012

= 35353

= 35

3

L I M I T Limit fungsi : 01. Lim (x2 + 2x + 3) = x ···>1 12 + 2(1) + 3 = 6

02. Lim =+−

2x2x 2

x ···>-1

321-

2(-1)2

−=+−

03. Lim =−2-x4x 2

x ···>2

Lim =+

2)-(x2)(x 2)-(x

x ···>2 Lim ( x + 2 ) = 4 x ···>2

Limit fungsi Trigonometri

Lim =x

sin x Lim 1

sin xx

=

x ···>0 x ···>0

Lim =x xtg

Lim 1 xtg

x=

x ···>0 x ···>0

Contoh :

01. .........2x

2xsin Lim =

x ···>0

.........2x

2xsin 2 Lim =

x ···>0

2 32x

2xsin Lim =

x ···>0

02. .........2x tg3xsin

Lim =

x ···>0

=2x 3x tg 22x3x sin 3

Lim

3/2 2x tg

2x Lim .

3x3xsin

Lim

x ···>0 x ···>0 = 3/2 Limit menuju tak hingga

Lim =+

++

5x 4x32xx

2

2

x ···>~

Lim =+

++22

2

5x 4x3/x2/x1

x ···>~

Lim 4/15/x 4

3/x2/x1 2

=+

++

x ···>~ y = f(x) y + ∆y = f(x +∆x) ∆y = f(x +∆x) - f(x)

∆x

f(x)∆x)(x f∆x∆y −+

=

(laju perbulan y terhadap x)

Lim y = Lim ∆x

f(x)∆x)(x f −+

∆ x ···>0 ∆ x ···>0 (lihat laju perubahan y terhadap x) atau : dy/dx = f'(x) (turunan fungsi yang terhadap x)



- 52 -

Contoh : 01. y = x2 y + ∆y = (x +∆x)2 ∆y = 2x . ∆x +(∆x)2

∆x∆y

= 2x + ∆x

Lim y = Lim (2x + ∆x) ∆ x ···>0 ∆ x ···>0 dy/dx = 2x y = xn ···> dy/dx = nx n -1

02. Lim xx42x

2

2

+

− =

x ···>~ (A) -1 (D) 1 (B) 2 (E) (C) 0

03. Lim 1 x

12x 2

+−+ x

=

x ···>-1

(A) -1 (D) 1 (B) -2 (E) (C) 0

04 Lim 5xsin x10 tg

x ···>0 (A) 0 (D) 10 (B) 2 (E) 1 (C) 1/2

JAWAB : 02. B 03. C 04. B


smart learning centersmart learning centersmart learning center

Modul Matematika

Documents

Transcript of Modul Matematika