Modul Kalkulus
Transcript of Modul Kalkulus
MODUL KALKULUS I
Dosen Pembimbing
Dra. Lusia Sugiyati
Tim Penyusun
Fisca Nandya Agustina (08.5644)
Frisca Ully Hapsari Saragih (08.5647)
Gilang Alip Utama (08.5651)
Hinca Gita Lestari Pardede (08.5665)
I Gede Heprin Prayasta (08.5667)
Jamiatul Mualifah (08.5686)
Lidya Indah Aribi (08.5699)
M. Aulia Rahman (08. 5709)
Moh. Safiudin (08.5727)
Muhamad Anwar (08. 5731)
Nana Khaira (08.5737)
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK
Tahun Akademik 2008 / 2009
KATA PENGANTAR
Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan
rahmat Beliau lah kami dapat merampungkan modul mata kuliah Kalkulus ini tepat pada
waktunya.
Adapun tujuan penyusunan modul mata kuliah kalkulus ini adalah untuk memenuhi
tugas akhir semester genap ini. Selain itu kami berharap modul ini dapat digunakan sebagai
panduan dalam satuan acara perkuliahan mata kuliah Kalkulus I. Pada modul ini kami
berusaha menampilkan seluruh materi ang tercantum dalam silabus acara perkuliahan mata
kuliah Kalkulus tahun akademik 2008 / 2009, serta didukung oleh beberapa latihan soal
dilengkapi dengan pembahasannya.
Akhir kata kami ucapkan terima kasih kepada Ibu Lusia Sugiyati selaku dosen
pembimbing, rekan-rekan tim penyusun,beserta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan
satu per satu yang telah membantu kami dalam proses penyusunan modul ini. Kami
menyadari bahwa karya kami masih sangat jauh dari sempurna, maka dari itu kritik dan saran
yang bersifat membangun sangat diharapkan demi kesempurnaan karya kami berikutnya.
Terima Kasih.
Jakarta, 28 Juli 2009
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman Judul ........................................................................................................................ i
Kata Pengantar ......................................................................................................................... ii
Daftar Isi ................................................................................................................................ iii
Fungsi Invers Trigonometri ..................................................................................................... 1
Integral Fungsi Trigonometri ................................................................................................... 7
Integral Parsial ......................................................................................................................... 7
Rumus Reduksi Trigonometri ................................................................................................. 8
Integral Substitusi Trigonometri ............................................................................................ 14
Integral Fungsi Rasional ........................................................................................................ 16
Integral Substitusi Lain .......................................................................................................... 26
Improper Integral ....................................................................................................................29
Fungsi Gamma & Fungsi Beta............................................................................................... 32
Barisan Tak Hingga, Kemonotonan Barisan, Konvergensi Barisan ......................................40
Deret Geometri, Deret Harmonis, Uji Konvergensi .............................................................. 42
Deret Kuasa, Deret Taylor, Deret Mac Laurin ...................................................................... 50
Radius Konvergensi dan Interval Konvergensi ..................................................................... 50
Fungsi dua Variabel, Domain, Range ................................................................................... 53
Turunan parsial, Aturan Rantai .............................................................................................. 55
Integral Rangkap dan Volume Benda Ruang ......................................................................... 57
FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
I. TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
1. Turunan Fungsi Invers Sinus
Perhatikan grafik y = sin x, kita mencatat bahwa pada interval 2/2/ x
pembatasan sin x menjadikannya satu-satu. Kemudian kita mendefinisikan sin-1
x sebagai
fungsi inversnya. Domain dari fungsi ini [-1,1], yang merupakan range dari sin x. Jadi,
1. sin-1
x = y jika dan hanya jika sin y = x.
2. Domain sin-1
x adalah [-1,1].
3. Range sin-1
x adalah [-П/2, П/2].
Grafik sin-1
x diperoleh dari grafik sin x dengan merefleksikan pada garis y= x.
1.1
2. Turunan Fungsi Invers Cosinus
Jika kita membatasi domain cos x pada [0, П], kita mendapatkan fungsi satu-satu dengan
range [-1,1]. Jadi kita mendefinisikan cos-1
x sebagai invers dari pembatasan tersebut.
1. cos-1
x = y jika dan hanya jika cos y = x.
2. Domain cos-1
x adalah [-1,1].
3. Range cos-1
x adalah [0, П].
Grafik cos-1
x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cos x pada garis y= x.
1.2
3. Turunan Fungsi Invers Tangen
2
1
1
'][sin
U
UU
dx
d
2
1
1
'][cos
U
UU
dx
d
Dengan membatasi domain tan x pada interval (-П/2, П/2) kita memperoleh fungsi satu-satu,
inversnya yang kita ambil adalah tan-1
x. Maka :
1. tan-1
x = y jika dan hanya jika tan y = x.
2. Domain tan-1
x adalah (-∞,+∞).
3. Range tan-1
x adalah (-П/2, П/2).
Grafik tan-1
x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = tan x pada garis y= x.
1.3
4. Turunan Fungsi Invers Cot
Dengan membatasi domain cot x pada interval (0, П) kita memperoleh fungsi satu-satu,
inversnya yang kita ambil adalah cot-1
x. Maka :
1. cot-1
x = y jika dan hanya jika cot y = x.
2. Domain cot-1
x adalah (-∞,+∞).
3. Range cot-1
x adalah (0, П).
Grafik cot-1
x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cot x pada garis y= x.
1.4
5. Turunan Fungsi Invers Sec
Dengan membatasi domain sec x pada interval (0, П/2) dan (П, 3П/2) kita memperoleh fungsi
satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah sec-1
x. Maka :
1. sec-1
x = y jika dan hanya jika sec y = x.
2. Domain sec-1
x adalah 1y .
3. Range sec-1
x adalah (0, П/2) dan (П, 3П/2).
1.5
2
1
1
'][tan
U
UU
dx
d
2
1
1
'][cot
U
UU
dx
d
1
'][sec
2
1
UU
UU
dx
d
6. Turunan Fungsi Invers Cosec
Dengan membatasi domain cosec x pada interval (0, П/2) dan (П, 3П/2) kita memperoleh
fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah cosec-1
x. Maka :
1. cosec-1
x = y jika dan hanya jika cosec y = x.
2. Domain cosec-1
x adalah 1y .
3. Range cosec-1
x adalah (0, П/2) dan (П, 3П/2).
1.6
Sumber : Schaum Kalkulus hlmn. 105 dan 106.
II. INTEGRAL FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
Tiap rumus pendiferensialan menghasilkan rumus integral.
1. Integral Fungsi Invers Sin dan Cos
2.1
2.2
2. Integral Fungsi Invers Tan dan Cot
2.3
1
'][cos
2
1
UU
UUec
dx
d
CuCuu
du
11
2cossin
1
Ca
uC
a
u
ua
du
11
22cossin a>0
CuCuu
du
11
2cottan
1
2.4
3. Integral Fungsi Invers Sec dan Cosec
2.5
2.6
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418 dan 433.
Contoh Soal :
1. Tentukan dy/dx dari y = (3x-1) cos-1
(x2)
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.
Jawab :
3)13(
dx
xd
4
21
1
2))((cos
x
x
dx
xd
4
21
1
)2()13()(cos3
x
xxx
dx
dy
4
221
1
)62()(cos3
x
xxx
dx
dy
CuecCuuu
du
11
2cossec
1
Ca
u
aC
a
u
aua
du
11
22cot
1tan
1 a>0
Ca
uec
aC
a
u
aauu
du
11
22cos
1sec
1 a>0
2. Tentukan dy/dx dari
x
xy
1
1tan 1
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.
Jawab :
222 )1(
2
)1(
11
)1(
)1()1)(1(1
1
x
x
x
xx
x
xx
dx
x
xd
2
2
1
11
)1(
2
x
x
x
x
dx
dy
122
2
2121
2
)1(
)1()1(
)1(
2
2222
2
22
2
x
x
x
x
xxxx
x
x
xx
x
x
3. Tentukan dy/dx dari y = 7 cos-1 x2
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.
Jawab :
xdx
xd
2
12
242
7
)21(2
7
21
2
1
7xxxxx
x
dx
dy
4. Tentukan Integral dari
2/
0
2cos1
sin
d
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 420.
Jawab :
2/
0
2
2/
0
2 cos1
sin
cos1
sin
dd
0
2/
2cos1
sin
d
)(costan1
0
2/
= tan-1
(1) – tan-1
(0)
4
04
5. Seorang berdiri di atas sebuah bukit vertical kira-kira 200 kaki di atas sebuah danau. Dia
melihat sebuah perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki tiap detik.
Berapa laju perubahan sudut penglihatan θ apabila perahu berada pada jarak 150 kaki dari
bukit itu?
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418.
Jawab :
Orang
θ
200
X Perahu
Dari gambar tampak bahwa Sudut depresi θ memenuhi hubungan
x
200tan 1
Maka
dt
dx
xdt
dx
xxdt
d
40000
)200()200(
)/200(1
1222
Apabila kita substitusikan x = 150 dan dx/dt = 25, kita memperoleh dθ/dt=-0,08 radian tiap
detik.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Apabila pengintegralan dengan metode substitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode
penggunaan ganda, yang lebih dikenal edengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasi.
Metode ini didasarkan pada penggunaan rumus turunan hasil kali dua fungsi.
Andaikan u=u(x) dan v=v(x). Maka
Dx[u(x)v(x)]= u(x)v’(x) + v(x)u’(x)
dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita memperoleh
u(x)v(x) = +
atau
= u(x)v(x) -
Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut.
Pengintegralan parsial integral tak tentu adalah
= uv –
Sedangkan rumus untuk pengintegralan parsial tentu adalah
= [uv -
Setelah metode Integral parsial digunakan pertama kali, kita amsih harus menghitung integral
yang kedua dengan metode yang sama tetapi pangkat dari x lebih kecil. Jadi di sini pangkat dari x
direduksi agar samakin kecil, sehingga masalahnya dapat diselesaikan. Teknik semacam ini dikenal
sebagai rumus reduksi, yang bentuk umumnya
, dengan 0 < k < n.
a. Rumus reduksi untuk
Misalkan
u = dan dv = ,
maka
du = dx dan v = .
Jadi kita mempunyai rumus reduksi
-
b. Rumus reduksi untuk
dan , n bilangan asli
Untuk n bilangan ganjil, n = 2k+1, k = 1,2,3,...,
= = = -
dan = = = .
Secara umum, rumus reduksinya dapat diperoleh dengan metode integral parsial. Untuk itu,
=
Misalkan
u = dan dv =
maka
du = (n – 1) dan v = -
akibatnya,
pindahkan ke ruas kiri, diperoleh
Jadi kita mempunyai rumus reduksi
Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk , yaitu
c. Rumus reduksi untuk
dan , n bilangan asli
Untuk n = 1, = ln | sec x | + C dan = ln | sin x |+ C
Untuk n = 2, = =
= = .
Untuk n =3,4,5,...,
=
=
=
=
d. Rumus reduksi untuk
dan , n bilangan asli
Untuk n = 1, = ln | sec x + tan x| + C dan = ln | csc x - cot x | + C
Untuk n = 2, ;
Khusus untuk n bilangan genap, n =2k, k=1, 2, ...,
= = =
= = = -
Untuk n = 3,4,5,...,
=
Misalkan
u = dan dv =
maka
du = (n – 2) dan v =
= (n – 2)
akibatnya,
pindahkan ke ruas kiri, diperoleh
Jadi kita mempunyai rumus reduksi
+
Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk , yaitu
+
e. Rumus reduksi untuk
dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.
Tipe 1. Sekurang-kuarangnya salah satu dari sin x dan cos x berpangkat ganjil. Maka
substitusi untuk lainnya berlaku.
Tipe 2. Kedua pangkat sin x dan cos x adalah genap. Ini selalu melibatkan perhitungan
dengan menggunakan identitas-identitas seperti :
f. Rumus reduksi untuk
dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.
Tipe 1. n adalah genap; substitusikan u = tan x
Tipe 2. n adalah ganjil dan m adalah ganjil. Substitusikan u = sec x
g. Rumus reduksi untuk kita
memerlukan identitas-identitas:
sin Ax cos Bx =
sin Ax sin Bx =
cos Ax cos Bx =
Soal latihan
1.
Misalkan :
u = x, du= dx
dv = , v =
= x -
] + C
2.
Misalkan
u = ln x,du =
dv = , v =
= ln x . - = ln x
=
3.
=
=
Misalkan
u = csc x
du = - csc x.cot x dx
-du = csc x.cot x dx
=
(kemudian u diganti dengan csc x)
4.
Misalkan
u = x , du = dx
dv = csc x dx , v = -tan x
5.
Misalkan
u = cos x
du = - sin x dx
6.
+
7.
Misalkan
u = du =
dv = dx, v = x
Dimisalkan lagi:
p = 1-4
dp = - 8xdx
- dp = 2xdx
+
8.
Misalkan
u = du =
dv = cos x, v = - sin x
Dimisalkan lagi
u = du =
dv = sin x, v = cos x
2
9.
Misalkan
u = cos x
du = - sin x dx
u diganti kembali dengan cos x menjadi
=
=
Sumber buku :
1. Schaum’s Outlines Kalkulus, bab 31 dan bab 32
2. Kalkulus karya Drs. Koko Martono, M.Si, bab 6
3. Kalkulus dan Geometri Analitis karya Edwin J. Purcell, bab 8.4
Sumber Soal :
1. Purcell hal. 457, no. 15
2. Purcell hal. 457, no. 2
3. Kalkulus hal. 236, no. 12
4. Purcell hal. 457, no. 15
5. Kalkulus hal. 236, no. 24
6. Kalkulus hal. 230
7. Schaum hal. 183, no. 16
8. Soal dari catatan
9. Soal dari Ibu Lusia
10. Purcell hal. 457, no. 14
INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Terkadang kita merasa kesulitan dan bingung ketika menemukan integral yang bentuknya tak wajar
dan tidak bisa diselesaikan dengan satu atau dua langkah penyelesaian. Untuk itulah, kita mempelajari
berbagai macam substitusi untuk menemukan solusi dari masalah yang akan kita pecahkan.
Suatu Integral yang terdiri dari salah satu bentuk , , atau tetapi
bukan faktor irrasional lain, dapat diubah ke dalam bentuk lain yang menyangkut fungsi trigonometrik
peubah baru sebagai berikut :
Untuk Gunakan Guna Memperoleh
u = sin z a = a cos z
u = tan z a = a sec z
u = sec z a = a tan z
Untuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yang bersangkutan
dalam peubah semula dapat diperoleh dari segitiga siku – siku seperti yang ditunjukkan dalam
penyelesaian soal – soal dibawah ini.
Latihan Soal
Carilah penyelesaian dari integral sebagai berikut :
1.
Ambil x = 2 tan z; maka dx = 2 dan = 2 sec z
Penyelesaian :
= =
=
= + C
= - + C 2
z
2.
Ambil x = 2 sec z ; maka dx = 2 sec z tan z dan
Penyelesaian :
= =
= 2 sec z tan z + 2 ln | sec z + tan z | + C 2
= + 2 ln | x + | + C
3.
Ambil x = maka dx = dan
Penyelesaian :
= (
= 3 = 3
= 3 ln | cosec z – cot z | + 3 cos z + C
= 3 ln | + + C
4.
Ambil x = ; maka dx = dan = 3 sec z
= =
= ln |
= ln | | + C 3
2x
2x
3
x
z
z
z
5.
Ambil x = ; maka dx = dz dan = 4cos z
= =
= =
= + C
= + C
Sumber : Kalkulus Edisi Kedua
Frank Ayres, JR.
J.C. Ault, M.Sc.
Dra. Lea Prasetio, M.Sc.
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua polinomial ( suku banyak ). Pada umumnya fungsi
rasional sangat sulit untuk diintegralkan. Akan tetapi, ada beberapa metode yang dalam teori
dapat digunakan untuk menyelesaikan fungsi rasional sebagai jumlahan fungsi rasional
sederhana yang dapat diintegralkan dengan metode dari pelajaran sebelumnya. Sebuah fungsi
berbentuk disebut fungsi rasiona dimana N (x) adalah pembilang dan D (x) adalah
penyebut
Ada dua macam fungsi rasional yaitu sebagai berikut :
1. Fungsi rasional sejati
Yaitu dimana derajat pembilang < derajat penyebut. Contoh 1 :
3x 4
z
2. Fungsi rasional tidak sejati
Dimana derajat pembilang > derajat penyebut. Dapat disederhanakan sebagai
penjumlahan dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contoh 2 :
=
hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian oleh penyebut.
Kasus I : Metode Pecahan Parsial
Dalam hal ini diasumsikan bahwa kita ingin mengevaluasi , dimana
Adalah fungsi rasional yang wajar. D(x) ditulis sebagai hasil kali faktor kuadrat
linier dan faktor kuadrat iredusibel. Dalam hal ini yang dimaksud dengan
iredusibel yaitu hasil akar-akar tersebut tidak boleh negatif dimana
.
Contoh 3 :
adalah iredusibel karena 0-4(1)(4)= −16 ≤ 0
adalah redusibel karena
Metode ini menjabarkan fungsi rasional menjadi faktor linier atau pecahan parsial
dan yang kemudian ditentukan nilai integral tak tentunya.
Kasus I : D (x) mempunyai koefisien utama 1 dan merupakan hasil kali faktor-faktor
linier yang berbeda.
Contoh 4 : Hitunglah ∫
Integran ini dapat ditulis sebagai
Diasumsikan A dan B adalah konstanta tertentu dan untuk mendapatkan konstanta-
konstanta ini kedua sisi dapat kalikan (x-1)(x+2) untuk memperoleh
1= A(x+2) + B(x−1)
Pertama, substitusikan -2 untuk x pada 1= A(0) + B(−3)= −3B. jadi B= −
Kedua, substitusikan x=1 dan menghasilkan 1= A(3) + B(0)= 3A. jadi A=
Jadi,
∫ = ∫
= ln │x-1│− ln│x+2│ + C
= ln │ │+ C
Aturan kasus I. menyatakan integran sebagai jumlah dari suku-suku berbentuk untuk
setiap factor linier x-a dari penyebut, dimana A adalah konstanta yang tidak diketahui.
Lalu selesaikan konstanta tersebut dan integrasi menghasilkan jumlah suku-suku
berbentuk
A ln │x-a│.
Perhatian: kita mengasumsikan tanpa bukti bahwa integran selalu mempunyai representasi
yang dikehendaki. Untuk soal khusus, dapat diperiksa pada akhir perhitungan.
Kasus II : Faktor-faktor Linier
Untuk setiap faktor dalam bentuk fakor linier berulang ( x−r ) yang muncul k kali pada
penyebut, gunakan sebagai bagian dari representasi integran.
Tiap faktor linier yang muncul hanya sekali ditangani seperti dalam kasus I.
dengan konstanta yang ditentukan.
Contoh 5 : Tentukan ∫
Integran ini dapat ditulis kembali sebagai
Meskipun adalah faktor kuadrat , itu tidak irredusibel sebab . Jadi, dengan
aturan faktor linier, memperkenalkan dua suku (sebab m=2) berbentuk
Dan faktor (x-2) memperkenalkan satu suku (sebab m=1) berbentuk
Sehingga pecahan parsialnya adalah
Kalikan dengan menghasilkan
Menentukan nilai A, B, dan C dengan memisalkan x=0 dan x=2 untuk memperoleh
B= −2 dan C= 2
Lalu samakan koefisien yang bersesuaian yang memberikan A+C =0 karena tidak ada
nilai yang memiliki nilai untuk . Dan A= −C= −2
Sehingga menjadi
∫
= −2 ln │x│+ + 2 ln │x-2│ +C
= 2 ln │ │+ + C
Kasus III : D(x) adalah hasil kali satu atau lebih factor-faktor kuadrat iredusibel yang
berbeda dan mungkin juga beberapa faktor linier(yang mungkin muncul lebih dari sekali).
Contoh 6: (faktor kuadrat yang berbeda). Jabarkan menjadi pecahan parsial bentuk
=
Untuk menentukan konstanta A, B, dan C kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan
(4x+1)( . sehingga kita memperoleh
1) + (4x+1)
Apabila kita ambil x= , x= 0 dan x=1 , kita mendapat
+ ( ) jadi A = 2
jadi C = −1
jadi B = 1
Maka
∫ =
= +
= ln │4x+1│+ ln│ 1│− + C
Aturan umum kasus III : faktor-faktor linier ditangani seperti pada kasus I-II. Untuk tiap
faktor kuadrat iredusibel , tempatkan suku pada representasi
integran.
Kasus IV : D (x) adalah hasil kali nol atau lebih faktor linier dengan satu atau lebih factor-
faktor kuadratik iredusibel.
Aturan umum kasus IV: faktor linier ditangani seperti kasus I-II. Untuk tiap factor
kuadrat iredusibel yang muncul pada pangkat ke – k, sisipkan sebagai bagian
dari representasi integran.
Contoh 7 : (Faktor kuadrat berulang). Tentukan ∫ dx
Penjabaran disini adalah
Kita akan memperoleh A=1, B =−1, C =3, D=−5, E=0.
Sehingga ,
= ln │ ln │ │+ ( ) + + C
Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam sin x dan cos x
Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasil kali, dan hasil bagi berhingga
dari sin x dan cos x disebut fungsi-fungsi rasional dari sin x dan cos x . sebagai contoh :
Metode untuk mengintegralkan fungsi-fungsi seperti ini dapat dilakukan berdasarkan pada
kesamaan trigonometri
sin x = 2sin )cos ) (1)
cos x = ) ) (2)
jika dimisalkan
u
1
Maka dari gambar di atas diperoleh
sin ) = dan cos ) = (3)
substitusi ke dalam persamaan (1) dan (2) diperoleh
sin x = 2 = (4)
cos x = − = (5)
kombinasidari persamaan (3), (4), dan (5) mengakibatkan rumus-rumus substitusi berikut,
yang seringkali efektif untuk pengintegralan fungsi-fungsi rasional sin x dan cos x.
u = tan ( −π<x<π ) x = 2
sin x = dan cos x = dx = du
rumus terakhir didapat dari pendiferensiasian x = 2 terhadap u.
Contoh 8: Hitung
= =
Catatan : Metode dari contoh di atas dapat menimbulkan dekomposisi pecahan parsial
yang tidak praktis dan akibatnya hanya akan digunakan jika tidak didapatkan metode yang
lebih sederhana.
Soal- soal Latihan ( Sumber : soal – soal Tutorial tahun 2007)
1. ∫
2. ∫
3. ∫ (Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell)
4. ∫ (Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell)
5. ∫
6. (Sumber 6-10: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1 )
7.
8.
9.
10.
Penyelesaian soal !
1. ∫ =
6x+4 = A(
x=3 jadi 22= 11A maka A = 2
x=0 jadi 4= 2A+3C maka C=0
x=1 jadi 10=3A+2B+2C maka B= 2
∫ =
∫ misal u= 3-x du= −dx
= −2∫ = ln │u│+ ln│3-x│+
∫ misal u= du= 2x dx
= ∫ = ln│u│+ = ln│
Jadi, ∫ ln│3-x│+ ln│ + C
2. ∫ dengan metode pecahan parsial
=
4
x=1 jadi 6=0+2C maka C= 3
x=0 jadi 1=−B+C =−B+3 maka B=2
x=−1 jadi 4=(−A+B)(−2)=2A−2(2) maka A=4
∫ = ∫
Untuk ∫
Misal u= du= 2x dx maka 2du=4x dx
=∫ = 2 ln │u│ + 2
= 2 ln│
= 2 ln │
Untuk ∫ =3 ln │x-1│+
Jadi, ∫ 3 ln │x-1│+C
3. ∫ =
x−11= A(x−1)+ B(x+4)
untuk x=1 maka B= −2
untuk x=−4 maka A=3
maka,
∫ ln │x+4│−2 ln │x−1│+ C
4. ∫
2= A(x+2)+ Bx
Untuk x= 0 maka 2= A(2), A = 1
Untuk x=−2 maka 2=B(−2), B= −1
Jadi,
∫ ∫ = ln │x│ − ln │x+2│+ C
= ln│ │ + C
5. ∫ =
5 =
x= jadi = C maka C = 1
x= 0 jadi 1= B+C maka B=0
x=1 jadi 8=3 (A+B)+2C maka A=2
Jadi,
∫ =
= ln │ ln │2x+1│+C
6.
Missal x=
dx= 2z dz
x=0,z=0
x=9,z=3
maka =
= 2
= 2
= 2
7. ∫
Misal x=
dx=5 dz
menjadi,
=∫ =∫
Misal
2zdz=du
Zdz=
ln │ │ + C = ln │ │ + C
8.
x=
dx=2z dz
maka,
=
Diselesaikan dengan melakukan pembagian pembilang dengan penyebut
Sehingga menjadi,
=∫ (−2z−4)dz +
= − ln │1−z│) + C
= − ln │1−z│) + C sesuai ketentuan subs. di atas
= − ln │1− │) + C
9.
Misal
= , =
x= ln (
dx=
maka,
= ∫
=
Untuk u=1 , 2=2A maka A=1
Untuk u=−1,2=−2B maka B= −1
Sehingga,
=
= ln │u-1│− ln │u+1│+ C
= ln C
= ln C
10.
x= du
= = − = −
3
6u du =dv
u du =
= − C
= − C
= C
= − + C
INTEGRAL SUBSTITUSI LAIN
Bila integran adalah rasional kecuali bentuk akar maka agar lebih mudah menyelesaikannya
dapat digunakan beberapa substitusi yaitu;
1. , substitusi au + b = zn akan menggantikan bentuk itu dengan integran
rasional.
2. , substitusi q + pu + u2 = (z - u)2 akan menggantikannya dengan
integran rasional.
3. , substitusi q + pu - u2 = (α + u)2z2 atau q + pu - u2= (β – u )2z2
akan menggantikannya dengan integran rasional.
4. substitusi dengan menggantikan p=zb dimana b adalah kelipatan
persekutuan terkecil dari m dan n.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya
1. = .....
Penyelesaian :
Misalkan 1-x = z2 sehingga -dx=2z dz
Maka integralnya menjadi = = -ln
Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh = - ln + C
(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi,halaman 267)
2. = .....
Penyelesaian :
Misalkan x + 2 = z2 maka x = z
2-2; dx = 2z dz;
Maka integralnya menjadi = = + C
Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh = ln + C
(Sumber : Kalkulus edisi kedua,Frank Ayres,dkk 1998,halaman 157)
3.
Penyelesaian :
Misalkan = (z-x)2
x= ; dx = = ;
= dz = 2 =
z =
jadi hasilnya adalah ln + c
(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi ,halaman 267)
4. = ......
Uraikan = (5+x)(1-x) dan substitusi = (5+x)2z
2
Sehingga diperoleh x =
dx =
Sedang = 5 – 4 (2 =
Jadi integralnya menjadi =
Hasilnya yaitu : + c
(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi,halaman 267)
5. = .......
Ambilah z = x4 maka dx = 4z
3 dz dan
dz = 4(1/2 z2 + z + ln + c
= 2 +c
(Sumber : Kalkulus edisi kedua seribuku Schaum,halaman 157).
IMPROPER INTEGRAL
Dalam definisi , diasumsikan bahwa interval [a,b] terbatas. disebut
improper integral jika :
1. Paling sedikit, satu dari batas integralnya tak berhingga. Seperti , ,
.
2. mengandung titik discontinue pada [a,b]. Kemudian kita mendefinisikan
improper integral tersebut dengan cara sebagai berikut :
a. =
b. =
c. +
= +
Dari limit itu, kita bisa menarik kesimpulan, yaitu Jika limitnya ada, maka improper
integral dikatakan konvergen dan nilai dari limit adalah nilai dari integral. Jika limitnya
tidak ada maka improper integral dikatakan divergen yang mana tidak mempunyai nilai.
Jika adalah fungsi tidak negative dan continue pada [a,+ ), maka untuk setiap b>a,
definit integral merupakan daerah dibawah kurva y= dengan batas [a,b]
y
x
Selain itu, disebut improper intregal jika mengandung titik diskontinu pada [a,b].
1. diskontinue pada titik = a
=
2. diskontinue pada titik = b
=
3. diskontinue pada titik = c (a,b)
= +
= +
LATIHAN SOAL
Tentukan nilai improper integral dibawah ini:
1.
Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489
Penyelesaian:
=
=
=
=
=
=
=
2.
Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489
Penyelesaian :
=
=
Misal :
= sec
Misal :
=
=
= 0
3.
Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
= + 1
=
= 1
4.
Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
=
Misal :
d dx
FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA
1. Fungsi gamma
Notasi : (n)
Definisi :
Yang mana konvergen untuk n > 0
Sifat-sifat fungsi gamma :
a. (n+1) = n (n)
Bukti :
(n+1) =
= +
= +
= + n (n)
Padahal :
= dan seterusnya
=
=
= 0
Terbukti bahwa :
b. (n+1) = n! ( n adalah bilangan bulat positif)
(n) =
misal :
(n) =
(n+1) = n (n)
Bukti:
(1) =
=
=
=
= 1
Jadi (1) = 1
n=1(n+1) = n (n)
(2) = 1 (1)
= 1
n=2 (3) = 2 (2) = 2.1
n=3 (4) = 3 (3) = 3.2.1
n=4 (5) = 4 (4) = 4.3.2.1
Terbukti bahwa:
c.
2. Fungsi Beta
Notasi : B(m,n)
Definisi :
Sifat-sifat fungsi beta :
a. B(m,n) = B(n,m)
Misal :
x = 1-y
x = 0 y = 1 x = 1 y=0
B (m,n) =
=
(n) = (n-1)! atau (n+1) = n!
B (m,n) =
=
= B(n,m)
Terbukti bahwa :
b. B (m,n) =
Bukti:
B(m,n) =
=
=
Terbukti bahwa :
c.
Bukti :
Misal,
=
=
Dengan cara yang sama diperoleh :
=
=
=
Dengan koordinat polar maka:
B(m,n) = B(n,m)
Misal
X=0
X=1
B (m,n) =
= 4
= 2
=
LATIHAN SOAL
1.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
=
2.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Misal :
=
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
=
= =
3.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian:
=
=
=
4.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian :
=
=
Missal
Misal:
Misal:
Misal:
=
= =
5.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian :
=
=
=
= 4!
= 24
6.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
7.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian :
Misal :
Missal
=
=
=
=
=
= 12
8.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
=
=
=
9. Diketahui
Dengan menggunakan subtitusi x = y/(1-y), tunjukkan bahwa :
(p) (1-p) = Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 291
, Kemudian carilah nilai ! Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 292
Penyelesaian
Misal :
=
=
=
= B(p, 1- p)
=
=
Terbukti bahwa :
=
=
=
=
=
=
=
(p) (1-p) =
=
10.
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
=
BARISAN TAK TERHINGGA
Suatu barisan tak terhingga (sn) adalah fungsi di mana domainnya adalah himpinan bilangpositif
(0,1,2,3,..,..); an adalah nilai fungsi tersebut untuk bilangan bulat positif n yang diberikan. Barisan tak
terhingga biasanya hanya dituliskan beberapa suku pertama dari barisannya saja, contohnya :
1. an = a1 , a2 , a3 , . . , an , . .; an adalah bilangreal.
2. adalah baris 1, , , , . . , , . .
3. adalah baris , , , , . . , , . .
Konvergensi barisan
Barisan disebut konvergen ke L jika
Jika tidak ada , maka barisan divergen.
Suatu barisan juga disebut divergen jika limit pada suku genap dan suku ganjiilnya tidak sama.
Contoh :
1. an = n+1 konvergen ke
2. an = divergen
3. an = n2 – n divergen
4. an = konvergen ke
Sifat-sifat dari barisan yang konvergen :
Theorema :: Andaikan barisan an dan bn masing-masing konvergen ke L dan M serta c suatu
konstanta, maka barisan :
1. (c an ) konvergen ke cL
2. an + bn konvergen ke L+M
3. an - bn konvergen ke L-M
4. an x an konvergen ke L x M
5. an ÷ an konvergen ke L ÷ M ; M ≠ 0
Kemonotonan barisan
an disebut . .
1. Naik jika a1 < a2 < a3 < . . . < an < . .
2. Tidak turun jika a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ . .
3. Turun jika a1 > a2 > a3 > . . . > an > . .
4. Tidak naik a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . .
Untuk menentukan kemonotonan suatu barisan, digunakan uji beda dan uji rasio.
Uji Beda
Naik jika an+1 - an > 0
Turun jika an+1 - an < 0
Tidak turun an+1 - an ≥ 0
Tidak naik an+1 - an ≤ 0
Uji Rasio
Naik jika
Turun jika
Tidak turun jika
Tidak naik jika
Deret tak terhingga
disebut suku-suku deret.
Barisan tak terhingga dapat dibentuk dari jumlah parsial( nya sebagai berikut :
:
S adalah jumlah dari deret.
Jika konvergen ke S, maka disebut juga deret konvergen ke S. Bila
divergen, maka deret divergen, dan tak ada jumlahnya.
Deret Geometrik
Deret geometrik merupakan penjumlahan suku-suku barisan , disebut deret geometrik dengan
rasio r dan suku pertama a. jumlah parsial ke-n, Sn , dinyataka oleh . .
Untuk , oleh karena itu , deret konvergen dengan
jumlah . Jika , deret tersebut divergen ke ∞.
Theorema deret tak terhingga:
1. konvergen jika dan hanya jika konvergen.
2. konvergen jika adalah deret konvergen.
3. konvergen jika adalah deret konvergen.
4. atau tidak ada, maka deret tersebut divergen.
Deret Harmonik
Jumlah parsial deretnya adalah . .
Melanjutkan dengan cara ini kita akan mendapatkan dan dan secara umum
bila n>1. Ini menunjukkan bahwa , dan karena itu deret harmonik
tersebut divergen. Namun, jika dilihat, . Ini tidak membuktikan bahwa eret
harmonik adalah konvergen.
Latihan Soal
1. Untuk tiap barisan berikut, tulislah rumus suku ke-n dan tentukan limitnya (jika ada).
Diasumsikan bahwa n= 1, 2, 3, 4, . .
a.
b.
c.
2. Tunjukkan bahwa barisan adalah konvergen.
3. Tentukan kekonvergenan deret
4. Tentukan jumlah dari deret
5. Evaluasilah
Jawaban:
1. a.
b.
c.
2.
Karena maka barisan konvergen.
3.
Jadi, . Maka deret ini konvergen dan jumlahnya
adalah 1.
4.
, maka jumlah deret tersebut adalah .
5.
deret geometrik dengan dan suku pertama . , maka deret konvergen
dan jumlahnya adalah .
.
(Sumber : Kalkulus Edisi Schaum halaman 245s.d 263)
UJI KONVERGENSI
1. Teorema dan sifat-sifat deret
Ada beberapa teorema dalam uji konvergensi, untuk mengetahui apakah suatu deret
konvergen ataukah divergen.
Teorema 1:
Diketahui deretnya adalah dan suku ke-n adalah , maka:
a) Jika 0 , maka deret tersebut sudah pasti divergen.
b) Jika = 0 , maka deret ini bisa jadi divegen, bisa juga konvergen.
Ex: deret , tentukan apakah deret ini konvergen atau divergen!
Jaw: =
= 0, pangkat pembilang < pangkat penyebut
Jadi deret ini bisa jadi konvergen, bisa jadi divergen.
Untuk mengetahui lebih lanjut kekonvergensiannnya, akan dicari pada uji
konvergensi.
Teorema 2:
Jika diketahui deret konvergen, suku ke-n adalah , maka: = 0
Teorema ini tidak berlakku kebalikannya. Maksudnya, Jika = 0 , deret ini
bisa jadi divegen, bisa juga konvergen. Seperti halnya teorema di atas (teorema 1).
Ada beberapa sifat dari deret yang berhubungan dengan uji konvergensi.
1) Jika dan adalah deret-deret konvergen, maka:
a) = +
b) = -
2) Jika c 0 (c konstanta), dan deret dan adalah deret konvergen dua-duanya
atau divergen dua-duanya, maka:
= c
2. Uji-uji konvergensi
Uji integral
Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan misalkan f(x) fungsi
dimana k diganti dengan x dalam formula . Jika f(x) turun dan kontiniu pada
interval [a, + ), maka dan keduanya konvergen atau keduanya
divergen.
Konvergensi deret-P
Jika diketahui deret = 1 + + + +…..+ +…..
a) Konvergen jika p>1
b) Divergen jika p<1
Uji banding
Misalkan dan deret-deret dengan suku-suku non negative, dan .
a) Jika konvergen, maka deret juga konvergen.
b) Jika deret divergen, maka juga divergen.
Uji Rasio
Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan anggap = r.
a) Jika r<1, deret-deret tersebut konvergen.
b) Jika r>1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.
c) Jika r=1, deret-deret mungkin konvergen ataupun divergen (tes gagal)
Uji Akar
Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan anggap =
r.
a) Jika r<1, deret-deret tersebut konvergen.
b) Jika r>1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.
c) Jika r=1, deret-deret mungkin konvergen ataupun divergen (tes gagal)
Uji Banding Limit
Misalkan dan deret-deret dengan suku-suku non negative, dan anggap
= r.
Jika r>0 dan r + atau interval (0,+ ), maka deret tersebut keduanya adalah
konvergen atau keduanya divergen.
Uji Rasio Konvergensi Mutlak:
Misal deret adalah deret dengan suku-suku bukan 0, dan anggap
= r .
a) Jika r<1, deret-deret tersebut konvergen mutlak, jadi deret konvergen.
b) Jika r>1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.
c) Jika r=1, tidak dapat ditentukan apakah konvergensi atau konvergen
mutlaknya.
Uji Deret Ganti Tanda
=
=
Kedua deret ganti diatas dikatakan konvergen jika memenuhi dua kondisi sebagai
berikut:
a) an>an+1 , deret decreasing atau dengan uji kemonotonan rasio, < 1
b) = 0
Kedua syarat harus terpenuhi. Jika salah satu tidak terpenuhi, maka deret tersebut
divergen.
Ada hal lain yang harus diperhatikan, yaitu kemutlakan konvergen dari deret tersebut.
Untuk mengetahui apakah deret tersebut konvergen mutlak atau bersyarat.
Setelah melakukan uji deret ganti tanda, dilakukan Uji rasio konvergensi mutlak. Jika
setelah melakukan uji rasio konvergensi mutlak, maka:
a) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi
mutlak juga konvergen, deret tersebut konvergensi mutlak.
b) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi
mutlak divergen, deret tersebut konvergensi bersyarat.
Contoh soal:
1. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!
a.
Dengan menggunakan uji perbandingan, maka:
Pembanding adalah = dengan =
< …
Dengan menggunakan uji konvergensi ke-P, terlihat disini bahwa
konvergen karena p=2 atau p > 1.
Menurut uji perbandingan, jika konvergen, maka juga konvergen.
Jadi dengan begitu deret di atas konvergen juga.
b.
Pembanding adalah = dengan =
< …
Karena p = atau p<1, maka divergen.
Oleh karena itu juga divergen.
Maka deret di atas adalah divergen.
2. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!
a.
Dengan menggunakan uji akar, didapatkan:
= =
=
r= > 1, maka deret ini divergen
b.
= =
=
r= < 1, maka deret ini konvergen
3. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!
a. + + + +…….. =
= ; =
=
= =
r= < 1, maka deret ini konvergen.
b. + + + +……… =
= ; =
=
= =
r= >1, maka deret ini divergen
4. Tentukan kekonvergensian mutlak dari deret-deret berikut!
a)
Dengan uji deret ganti tanda, maka:
= ; =
r= = = <1
deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi.
= = 0; syarat 2 terpenuhi
Deret ini konvergen, tapi untuk mengetahui mutlak atau tidak harus
dilakukan uji perbandingan.
Dengan = = , dengan = ( < )
divergen, karena merupakan deret harmonis. Jadi juga divergen.
Karena dengan uji perbandingan mutlak didapatkan hasil divergen, jadi
deret tersebut adalah “konvergen bersyarat”.
b)
Dengan uji deret ganti tanda, maka:
= ; =
r= = = < 1
deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi
= =
=
Syarat 2 tak terpenuhi, jadi deret ini divergen.
DERET PANGKAT (DERET KUASA), INTERVAL, DAN JARI-JARI
KONVERGENSI
Deret tak hingga Σ an(x-c)n
dan Σ anxn secara berurutan disebut sebagai deret pangkat
dalam x sekitar c dan deret pangkat dalam x sekitar 0. deret tersebut bisa konvergen maupun
divergen. Sebagai catatan, deret tersebut pasti konvergen bila x=c.
Terdapat 3 kasus yang mungkin untuk deret pangkat Σan(x-c)n:
(a) deret tersebut konvergen untuk semua x; atau
(b) deret tersebut konvergen untuk semua x dalam interval terbuka (c-R1,c+R1) sekitar
c, tidak di luar interval tertutup [c-R1,c+R1]; atau
(c) deret tersebut hanya konvergen untuk x=c.
Kasus-kasus di atas masing-masing mempunyai jari-jari dan interval sendiri-sendiri.
(a) pada kasus (a), interval konvergensinya (-~,+~) dan jari-jarinya ~.
(b) pada kasus (b), interval konvergensinya (c-R1,c+R1) dan jari-jarinya R1.
(c) pada kasus (c), interval konvergensinya {c} dan jari-jarinya 0.
Untuk mengetahui interval konvergensi, digunakan rumus sebagai berikut:
di mana Σak adalah deret pangkat yang ingin dicari interval konvergensinya.
INTEGRASI DERET PANGKAT
Rumus:
Interval konvergensi dari deret pangkat hasil integrasi adalah sama dengan interval
konvergensi deret asalnya.
DIFERENSIASI DERET PANGKAT
f’(n)= untuk <R1
Deret Taylor dan Deret MacLaurin
A) Deret Taylor untuk f sekitar c sadalah deret pangkat
a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…
Di mana an= untuk semua n.
B) Deret MacLaurin untuk f adalah deret Taylor untuk f sekitar 0, yaitu deret pangkat
a0+a1x+a2x2+…
Di mana an= untuk semua n.
Beberapa deret MacLaurin yang penting:
1)
2)
3) Sin x =
4) Cos x =
5) Ln (1+x) =
6)
CONTOH SOAL
1) Cari interval konvergensi dari deret !
Jawab:
Konvergen bila
< 1
-1<2x+2<1
Untuk x=-3/2, deret menjadi = yang merupakan deret
konvergen bersyarat.
Untuk x=-1/2, deret menjadi yang divergen menurut perbandingan limit
dengan deret .
Jadi interval konvergensinya [-3/2, -1/2).
2) Cari radius konvergensi dari deret !
Jawab:
=
Konvergen bila
-9<x<9
Deret ini divergen di kedua titik ujungnya (-9 dan 9). Jadi intervalnya
-9<x<9. Sehingga radiusnya 9.
3) Tentukan deret MacLaurin dari
Jawab:
Berdasarkan deret MacLaurin, maka:
e4x
=1+4x+
=1+4x+ +…
=
4) Tentukan deret Taylor dari f(x)=sin x di sekitar x= !
Jawab:
f(x)=sin x f( )=0 sin (x- )= + +…
f(x)=cos x f( )=-1
f(x)=-sin x f( )=0
f(x)=-cos x f( )=1
5) Ekspansikan cos 4x !
Jawab:
Berdasarkan deret Maclaurin cos 4x, maka:
Cos 4x= 1-
Cos 4x=
FUNGSI DUA VARIABEL
Definisi:
Fungsi didefinisikan sebagai dua pemadanan antara dua himpunan bilangan, yakni
himpunan daerah asal (domain) dan himpunan daerah hasil (range) sedemikian sehingga
untuk setiap pasangan terurut bilangan dalam domain ada padanannya satu dan hanya satu
bilangan dalam range merupakan padanan.
Contoh 1:
(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)
Jawab:
Fungsi ini terdefinisi untuk bilangan real sedemikian untuk semua pasangan terurut bilangan
real (u,y) yang memenuhi
Untuk (x,y) = (1,0) f(1,0) = = 2
Untuk (x,y) = (4,1) f(4,1) = =
Contoh 2:
(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)
Jawab:
X 0 dan (1-y) 0 sehingga x 0 dan y 1
atau
x 0 dan (1-y) 0 sehingga x 0 dan y 1
jadi Df : { (x,y) x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1 }
LIMIT DUA VARIABEL
Definisi:
Untuk variabel didefinisikan sebagai , berlaku |f(x) -
L| bila 0 |x-c| . Jadi untuk fungsi dua variabel
didefinisikan oleh , berlaku
|f(x,y) - L| bila 0 |(x,y) - (a,b)| .
Dalam penghitungan sangat tergantung dari bagaimana (x,y) atau
tergantung dari kurva (lintasan) menuju ke (a,b). dikatakan ada bila nilai
limit dari semua lintasan atau kurva menuju (a,b) sama.
Contoh Soal:
(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)
Jawab:
i). Lintasan sumbu x (y=0, x 0)
= = 0
ii). Lintasan y =
= =
Nilai kedua limit tersebut tidak sama jadi limitnya tidak ada.
KONTINUITAS
Definisi:
Suatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik (x0, y0) jika:
1. f (x0, y0) terdefinisi
2. ada
3.
Teorema:
Jika g dan h adalah suatu fungsi variabel yang kontinu maka f(x,y) = g(x).h(y) adalah suatu
fungsi kontinu dari x dan y.
Contoh:
Fungsi f(x,y) = kontinu karena f(x,y) merupakan perkalian dua fungsi kontinu
g(x)= dan h(x)=
TURUNAN PARSIAL
Definisi:
Misalkan z = f(x,y) adalah fungsi dua variabel. Jika x bervariasi sementara y dipertahankan
tetap, z menjadi fungsi dari x, maka turunannya terhadap x:
Disebut turunan parsial (pertama) dari f terhadap x dan dilambangkan dengan atau
atau . Demikian pula jika y bervariasi sementara x dipertahankan tetap.
Jadi
Contoh 1:
Tentukan turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari f(x,y) =
(Sumber: Buku Kalkulus Shaum’s Outlines hlm. 288)
Jawab:
Berdasarkan teori tersebut kita dapat mendapatkan hasil bahwa:
fx(x,y) = 2x sin y dan fy(x,y) = x2 cos y.
Turunan Parsial dari Orde yang Lebih Tinggi
Kita dapat mengambil turunan parsial terhadap x dan y, dari , menghasilkan:
= fxx (x,y) = ) dan = fyx (x,y) = )
Demikian pula, dari kita memperoleh:
= fyy (x,y) = ) dan = fyx (x,y) = )
Contoh 2:
Tentukan turunan parsial kedua dari z = x2
+ 3xy + y2
terhadap x saja!
(Sumber: Buku Kalkulus Schaum’s Outlines hlm. 291 dengan perubahan seperlunya)
Jawab:
= 2
ATURAN RANTAI
Misalnya z= f(x,y) dimana f diferensiabel, dan dimisalkan x = g(t) dan y = h(t), di mana g dan
h adalah fungsi-fungsi diferensiabel dengan satu variabel. Maka z=f(g(t),h(t)) adalah fungsi
diferensiabel dengan satu variabel, dan
Contoh 3:
Misalkan z = xy + sin x, dan misalkan x=t2 dan y = cos t.
Jawab:
(Sumber: Buku Kalkulus Schaum’s Outlines hlm. 295 dengan perubahan seperlunya)
Catat bahwa = y + cos x, dan = x, selanjutnya = 2t dan = -sin t
Sekarang, sebagai fungsi dari t, z = t2 cos t + sin(t
2)
Berdasarkan rumus yang disebutkan sebelumnya,
REFERENSI
Buku Schaum’s Outlines
Catatan Perkuliahan Kalkulus Semester 2 oleh Dra. Lusia Sugiyati
INTEGRAL RANGKAP 2 DAN VOLUME
INTEGRAL RANGKAP 2
Perhatikan sebuah fungsi yang kontinu pada daerah terbatas R dari bidang
xy. Definisikan partisi P dari R dengan menggambarkan satu kisi dari garis horizontal dan
vertikal yang membagi daerah R menjadi subdaerah R1,R2,…,Rn dengan luas masing-masing
. Pada tiap subdaerah, Rk, pilih sebuah titik dan bentuklah
penjumlahan
Definisikan diameter subdaerah sebagai jarak terbesar antara sebarang dua titik di dalam atau
pada batasnya dan lambangkan diameter maksimum dari subdaerah tersebut dengan dP .
Andaikan bahwa kita memilih partisi sedemikian rupa sehingga dan
(Dengan kata lainnya kita membuat lebih banyak subdaerah dan membuat dimeternya
semakin kecil). Maka Integral Rangkap dari atas R didefinisikan sebagai
Yang menyatakan bahwa adalah suatu bilangan sedemikian rupa sehingga
untuk sebarang terdapat bilangan bulat positif n0 sedemikian rupa sehingga, untuk
sebarang dan sebarang partisi dengan , dan sebarang aproksimasi jumlah
yang bersesuaian kita mempunyai
Teorema / Sifat-Sifat Integral Rangkap 2
1.
2.
3.
4.
Contoh Soal dan Penyelesaian :
(1)
(Schaum’s Outlines Kalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson hal.
339)
Jawab :
(2)
(Schaum’s Outlines Kalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson hal.
339)
Jawab :
VOLUME INTEGRAL RANGKAP 2
Bila adalah nonnegatif pada daerah R, dapat diinterpretasikan sebagai volume.
Jika sebarang suku menyatakan volume suatu kolom vertikal yang alasnya
adalah luas dan tingginya adalah jarak yang diukur vertikal dari titik
yang dipilih ke permukaan . Kemudian , ini dapat dianggap sebagai
aproksimasi volume kolom vertikal yang alas bawahnya adalah subdaerah Rk dan alas atasnya
adalah proyeksi Rk pada permukaan.
Yang berarti bahwa integral rangkap 2 tersebut merupakan volume benda ruang yang dibatasi
oleh daerah R pada bagian alas dan permukaan pada bagian alas atasnya.
Contoh Soal dan Penyelesaian :
(3) Misalkan adalah nonnegatif dan kontinu di atas daerah R dari bidang xy
yang batasnya terdiri dari busur dua kurva dan yang
berpotongan pada titik-titik K dan L. Tentukan rumus untuk volume V dibawah
permukaan !
Jawab :
Misalkan bagian volume tersebut dipotong oleh bidang dimana
, bertemu dengan batas R di titik-titik dan dan
misalkan juga bertemu dengan permukaan pada busur UV sepanjang
. Luas dari bagian STUV terebut diberikan oleh
Jadi, luas bagian irisan melintang dari volume yang dipotong oleh bidang-bidang yang
paralel dengan bidang yz diketahui sebagai fungsi dari x,
dimana x adalah jarak bidang pembagi dari titik asal. Sehingga
(4) Tentukan volume yang dibatasi oleh silinder dan bidang-bidang
dan !
Jawab :
dimana diintegrasikan atas lingkaran pada
bidang xy. Jika,
Maka,