Modul 9 Didtribusi Peluang Kontinu
Click here to load reader
-
Upload
alkindi-ramadhan -
Category
Documents
-
view
270 -
download
6
Transcript of Modul 9 Didtribusi Peluang Kontinu
MODUL IX
DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
A. DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)
Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah
distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar
di bawah, yang mengambarkan berbagai kumpulan data yang muncul di alam,
industri, dan penelitian.
Distribusi normal sering disebut pula distribusi Gauss, untuk menghormati Gauss
(1777-1855). Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng tadi disebut
peubah acak normal. Atau ditulis . Distribusi normal, bergantung pada
dua parameter dan . Fungsi padat peluang (pdf) peubah acak normal X dengan
rataan . Dan variansi ialah:
Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f(x) dapat
diperoleh lima sifat kurva normal berikut:
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada
(atau median );
2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan .
3. Kurva mempunyai titik belok pada . Cekung ke bawah bila
dan cekung ke atas untuk harga x lainnya;
4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak
menjauhi baik ke kiri maupun ke kanan;
5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sembu datar dengan 1.
62
Catatan: Dalam praktek/kehidupan sehari-hari, sulit sekali ditemukan suatu
kasus/kejadian yang benar-benar berdistribusi normal (atau . Kurva
setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga
luas dibawah kurva diantara kedua ordinat sama dengan peluang peubah acak
X mendapat harga antara dan . Jadi:
Dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir. Berikut adalah gambar dari persamaan
diatas;
Tabel Normal.
Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka
dibuat tabel luas kurva normal untuk rataan nol dan variansi 1. Dalam hal ini
dibutuhkan untuk suatu transformasi untuk peubah acak x yang mempunyai rataan
dan variansi .
Transformasi tersebut merupakan pemusatan dan pembakuan terhadap x, yaitu:
Sehingga z berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi 1. Distribusi peubah
acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku
(standar).
Catatan: simpangan baku = deviasi standar.
Tabel normal baku berisi informasi tentang z dan dimana
63
fungsi distribusi kumulatif dari z.
Plot berdistribusi peluang normal berbentuk seperti huruf ‘S’. Untuk mempermudah
analisa kenormalan, maka digunakan skor normal, yaitu : .
Yang gunanya adalah untuk menguji apakah data yang kita peroleh itu bersitribusi
normal atau tidak, dengan melihat apakah plotnya bergaris lurus atau tidak. Catatan:
untuk jumlah data yang sama dan saling berbeda nilainya satu sama lainnya, maka
nilai skornya sama.
Contoh : a. 50 60 70 80 90
b. 35 45 55 65 75
Untuk a dan b , keduanya mempunyai nilai skor yang sama tapi berbeda datanya.
Perintah-perintah pada Minitab melalui window session adalah sebagai berikut:
MTB > random 20 C1;
SUBC> normal 0 1.
MTB > nscore C1 C2
MTB > plot C2*C1;
SUBC> symbol.
Gambar 9.3 Scatterplot bilangan berdistribusi normal dengan normal score.
MTB > cdf C1 C5
64
MTB > plot C5*C1;
SUBC> symbol.
Gambar 9.4 Scatterplot dari cdf berdistribusi normal
TB > invcdf C5 C6
MTB > Plot C6*C1;
SUBC> Symbol.
Gambar 9.5 Scatterplot dari invcdf berdistribusi normal
Berikut ini adalah sebagian dari table normal baku:
65
1. Masukkan data C1 melalui window session. Langkah-langkahnya:
MTB > set C1
DATA > -.5 : 1.5 / .1
DATA > END.
2. Pilih Calc > Probability Distribution > normal
3. Pada kotak dialog pilih cumulative distribution
4. Masukkan C1 sebagai input column dan C2 sebagai optional storeage.
5. Selanjutnya OK.
66
Catatan : bila subcommand tidak ditulis maka mintab dengan sendirinya memberikan
nilai (default) sama dengan normal 0.1.
Diketahui x berdistribusi normal dengan . Carilah peluang bahwa x
mendapat harga antara 45 dan 62.
Row z Phi (z)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.308538
0.344578
0.382089
0.420740
0.460172
0.500000
0.539828
0.579260
0.617911
0.655422
0.691462
0.725747
0.758036
0.788145
0.815940
0.841345
0.864334
0.884930
0.903200
0.919243
0.933193
67
Jawab:
Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan
simpangan baku 2ohm. Misalkan bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat
diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapakah peluangnya sebuah alat
mempunyai tahanan melebihi 43 ohm?
Jawab:
Peluang sebuah alat mempunyai melebihi 43 ohm adalah sebesar luas daerah yang
diarsir pada kurva normal berikut:
B. Hampiran Normal Terhadap Binomial (atau Poisson)
Peluang binomial dapat diperoleh langsung dari rumus Atau dari tabel bila
n kecil. Bila n besar dan tidak ada dalam daftar yang tersedia, maka peluang binomial
dihitung dengan cara hampiran.
Teorema : bila x peubah acak binomial dengan rataan dan variansi ,
maka bentuk limit distribusinya:
Bila maka berdistribusi normal baku
Catatan : untuk dan harga p yang sangat kecil, maka peluang binomial dapat
dihampiri oleh peluang distribusi poisson , sehingga membentuk
persamaan (*) berubah menjadi :
68
Contoh:
X berdistribusi binomial Ditanyakan ?
Jawab:
1. Dengan menggunakan rumus binomial
2. Dengan menggunakan hampiran normal:
C. Latihan.
1. Buat table normal baku (standar) untuk z = -2.0, -1.9, …, 1.9, 2.0.
2. Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5
tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatu
baterai tertentu akan berumur kurang dari 3.2 tahun?
3. Menghitung peluang. Kerjakan langkah-langkah berikut:
Generate 10 sampel random dari distribusi normal (15,4);
69
Urutkan sample tersebut dari kecil hingga besar;
Lakukan pemusatan dan pembakuan terhadap sample tersebut;
Hitung:
i.
ii.
iii.
Dengan data ke I yang telah diurutkan (petunjuk : gunakan tebl pada
nomor 1 diatas).
4. Suatu proses menghasilkan sejumlah barang yang 10% cacat. Bila peluang 100
barang diambil secara acak dari proses tersebut, berapakah peluang bahwa
banyaknya yang cacat melebihi 13? (petunjuk – Gunakan hampiran normal)
5. Peluang seseorang sembuh dari suatu operasi jantung (yang rumit) adalah 0.9.
berapakah pelluang bahwa anatara, dan termasuk, 84 dan 95 dari 100 orang yang
dioperasi akan sembuh? (petunjuk : gunakan hampiran normal).
6. Suatu pengukuran dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya
tidak memenuhi ketentuan 3.50 +- d . diketahui bahwa pengukuran tersebut
berdistribusi normal dengan rataan 1.50 dan simpangan baku 0.2 . tentukanlah
harga d sehingga ketentuan tersebut mencakup 95% seluruh pengukuran
70