MODUL VII

BASIS DAN DIMENSI

1

2

RUANG –N EUCLIDESRuang-n Euclides

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut

adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-

pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan

dengan Rn.

Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.

u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn

u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ]

ku = [ku1, ku2,…, kun]

u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

|u| = (u•u)1/2 = 22

221 ... nuuu

3

Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor,

bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2) u+v = v+u

(3) u+(v+w) = (u+v)+w

(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5) Untuk setiap u di V terdapat –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7) k(u+v) = ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u

4

Kombinasi Linier

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un

jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

x = k1u1+ k2u2 +… + knun

dimana k1, k2,…,kn adalah skalar

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier

dari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v

[8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2]

Dari kesamaan vektor diperoleh

2k1 + k2 = 8

-k1 + 2k2 = 1

3k1 – 2k2 = 5

k1 = 3

k2 = 2523

121

812

840

1050

121

x = 3u + 2v

5

Membangun Ruang Vektor

Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap

vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un,

maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V

Contoh :

Apakah, u=[1,2,-1], v=[-2,3,3], w=[1,1,2] membangun R3.

Jawab

Andaikan x=[x1,x2,x3] vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,

x = k1u + k2v + k3w

[x1,x2,x3] = k1[1,2,-1] + k2[-2,3,3] + k3[1,1,2]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier,

k1 – 2k2 + k3 = x1

2k1 + 3k2 + k3 = x2

–k1 + 3k2 + 2k3 = x3

22

231

132

121

det

u, v, w

membangun

R3.

6

Kebebasan LinierAndaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas

linier bilamana kombinasi linier :

k1u1 + k2u2 + … + knun = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada

penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3], u2=[1,2,-6], u3=[10,5,-15]

adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2], u2=[-2,3,1],

u3=[2,1,3] adalah vektor bebas linier, k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ekuivalen,

k1 – 2k2 + 2k3 = 0

–k1 + 3k2 + k3 = 0

2k1 + k2 + 3k3 = 0

18

312

131

221

detu1, u2, u3

bebas linier

7

BasisAndaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah

himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang

V jika :

S bebas linier

S membangun V

DimensiSebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor

V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un}

yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi

berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Contoh :

Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah

basis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis

B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga.

8

Contoh

Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] dan u3=[1,3,3].

Apakah S basis untuk R3.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :

k1u1 + k2u2 + k3u3 = x

k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier

k1 + 2k2 + k3 = x1

2k1 + k2 + 3k3 = x2

2k1 + 2k2 + 3k3 = x3

1

322

312

121

3

2

1

3

2

1

322

110

543

x

x

x

k

k

k

Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

9

Tugas Khusus

Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini bebas linier

? Jika tidak bebas linier tentukan nilai konstantanya.

(1) u1=(a-1,a,b) u2=(a,a+1,b-1), u3=(a-3,a-2,b+2)

(2) u1=(a+1,a-1,b,b-1), u2=(a,a+2,b-2,b),

u3=(b+2,b-1,a,a+2), u4=(b+3,b-4,a+2,a-1)

Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk

basis

(1) u1=(a,a+1,b), u2=(a-1,a,b-1) u3=(b,b-1,a+3)

(2) u1=(a-1,a,b+1,b), u2=(a,a+1,b-2,b+2),

u3=(b-2,b+1,a,a+2), u4=(b+2,b,a+2,a-2)

10

Ruang Hasil Kali DalamSebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah

fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing

pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-

aksioma berikut ini :

[u,v] = [v,u] (aksioma simetri)

[u+v,w] = [u,w] + [v,w] (aksioma penambahan)

[ku,v] = k[u,v] (aksioma kehomogenan)

[u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 u=0 (aksioma kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn,

maka :

[u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan

ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V,

maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

11

Basis OrtonormalSebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal

jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut

ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya

1 disebut ortonormal.

Contoh :

S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S

adalah ortogonal pada R3, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0

Catatan :

Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah

ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :

x = [x,u1]u1 + [x,u2]u2 + … + [x,un]un

Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal

Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam

V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :

v = [v,u1]u1 + [v,u2]u2 + … + [v,un]un

12

Proses Gram-SchmidtSetiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai

sebuah basis ortonormal.

Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1|

Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus :

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma

untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah :

|vvuu|

vvuuv

1122

11222

],[

],[

Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus :|vvuvvuu|

vvuvvuuv

2231133

22311333

],[],[

],[],[

Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :

|vvuvvuvvuu|

vvuvvuvvuuv

112211

112211

],[...],[],[

],[...],[],[

kkkkkk

kkkkkkk

13

Contoh :

Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dengan u1=[1,0,1], u2=[1,1,-1], dan

u3=[-2,1,2]. Carilah basis ortonormal B={v1,v2,v3} untuk R3.

Jawab

Langkah 1. Ambil :2

1,0,

2

1

2

]1,0,1[

1

11

|u|

uv

Langkah 2. v2 = x2/|x2|, dengan x2 = u2 – [u2,v1]v1

[u2,v1]=[1,1,-1]• 02

1,0,

2

1

3

1,

3

1,

3

1

3

]1,1,1[2v

Langkah 3. v3 = x3/|x3|, dengan x3 = u3 – [u3,v1]v1 – [u3,v2]v2

[u3,v1]=[-2,1,2]•

Jadi, x2 = u2 ,

02

1,0,

2

1

3

3

3

1,

3

1,

3

1dan [u3,v2]=[-2,1,2]•

3

1,

3

1,

3

1

3

3]0,0,0[]2,1,2[3x = [–1,2,1]

Jadi,6

1,

6

2,

6

1

6

]1,2,1[3v

14

Koordinat dan Perubahan BasisMisalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor x

yang terletak dalam V dapat dinyatakan dengan tunggal dalam bentuk

kombinasi linier, yakni

x = k1u1 + k2u2 + … + knvn

Skalar-skalar k1, k2,…,kn disebut koordinat x relatif terhadap basis S.

Vektor koordinat x relatif terhadap basis S ditulis (x)S didefinisikan,

(x)S =[k1,k2,…,kn]

Matrik koordinat x relatif terhadap S ditulis [x]S didefinisikan oleh :

n

S

k

k

k

k

...

][ 3

2

1

x

P(5,6)

i=[1,0]

j=[0,1]r

B={i,j} maka x = 5i + 6j maka :

(x)B = (5,6),

u=[2,1]

v=[1,4]

S={u,v} maka x = 2u + v maka :

(x)S = (2,1)

6

5][ Bx

1

2][ Sx

15

Contoh :B={v1,v2,v3} basis untuk R3, dimana v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika

(x)B=[2,1,-3] hitunglah x, dan jika x=[2,1,–3] berapa [x]B.

Jawab :

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1v1 + k2v2 + k3v3 = x, atau :

k1[2,1,2] + k2[3,2,2] + k3[1,2,–1 ] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :

2k1 + 3k2 + k3 = x1

k1 + 2k2 + 2k3 = x2

2k1 + 2k2 – k3 = x3 122

221

132

3

2

1

k

k

k

3

2

1

x

x

x

3

2

1

k

k

k

3

2

1

x

x

x

122

345

456

Jika, (x)B = [2,1,-3], maka :

3

2

1

x

x

x

122

221

132

9

2

4

3

1

2

3

2

1

][

k

k

k

Bx

Jika, x = [2,1,-3], maka :

122

345

456

5

15

19

3

1

2

16

Perubahan BasisMisalkan S={u1,u2,…,un} basis lama ruang vektor V, dan B={v1,v2,…,vn}

basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]S matrik koordinat x

relatif terhadap S dan [x]B matrik koordinat x relatif terhadap basis B.

Hubungan antara [x]S dan [x]B diberikan oleh persamaan :

BS ][P][ xx dan atau S1

B ][P][ xx

P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-

kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif

terhadap basis lama, yaitu :

SS2.S1 ][...][][P nv v v

Contoh :

S={u1,u2,u3} basis lama dan B={v1,v2,v3} basis baru untuk R3, dimana

u1=[1,–1,–1], u2=[–1,2,3], u3=[1,1,2], dan v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1].

Jika x=[2,-1,3] berapa [x]B secara tidak langsung.

17

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1u1 + k2u2 + k3u3 = x, atau :

k1[1,–1,–1] + k2[–1,2,3] + k3[1,1,2 ] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :

231

121

111

3

2

1

S

k

k

k

][x

3

2

1

k

k

k

3

2

1

x

x

x

121

231

351

3

2

1

x

x

x

Untuk v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]., maka diperoleh P dan P-1, yaitu :

121

231

351

P

122

221

132

652

951

1471

295

52212

72815

P1

S1

B ][P][ xx

Dengan demikian,

295

52212

72815

121

231

351

3

2

1

x

x

x

3

2

1

x

x

x

122

345

456

18

xU

ukukuk

x

uuuS

nn

S

n

1S

2211

21

[x]

xUK

x...

langsung secara

][ Menghitung

},...,,{

xV

vkvkvk

x

vvvB

nn

B

n

1B

2211

21

[x]

xVK

x...

langsung secara

][ Menghitung

},...,,{

B

1-S

1-

1

21

1

B

[x]P[x] Jadi,

Adj(P)det(P)

1P

]][[

][|...|][|][

P dan P Menghitung

[x] Diketahui,

langsung tidak Secara

UV

uuuP BnBB

S

1-B

1-

1

21

1

S

[x]P[x] Jadi,

Adj(P)det(P)

1P

]][[

][|...|][|][

P dan P Menghitung

[x] Diketahui,

langsung tidak Secara

VU

vvvP SnSS

19

SOAL TUGAS KHUSUS

Diketahui pula bahwa S = {u1,u2,u3} dan B={v1,v2,v3}adalah

basis-basis untuk R3, diimana :

u1 = [b-4,b-5,a–2], u2 = [b-5,b-6,a-3], u3 = [a-4,a-3,b-5]

v1 = [a-5,a-4,b–5], v2 = [a-4,a-3,b-4], v3 = [b-4,b-5,a-5]

(1) Tentukan basis ortonormal untuk basis S dan basis B

dengan proses Gram-Schmidt

(2) Carilah matrik koordinat x relatif terhadap basis S [x]Sdan basis B [x]B secara langsung

(3) Carilah matrik koordinat [x]S dan [x]B secara tidak

langsung