MODUL 3 : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN 3.1. · PDF fileLangkah-langkah yang harus dikerjakan...
Transcript of MODUL 3 : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN 3.1. · PDF fileLangkah-langkah yang harus dikerjakan...
MODUL 3 -1-
MODUL 3 : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN
3.1. Judul :METODA “PERSAMAAN TIGA MOMEN” UNTUK
MENYELESAIKAN STRUKTUR STATIS TIDAK
TERTENTU
Tujuan Pembelajaran Umum
Setelah membaca bagian ini mahasiswa akan memahami bagaimanakah
metoda “Persamaan Tiga Momen” itu dan langkah-langkah apakah yang
dikerjakan untuk menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu.
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa selain dapat memahami metoda “Persamaan Tiga Momen” juga
dapat menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu yaitu menghitung
semua gaya-gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya
normal, gaya lintang, momen) struktur tersebut dengan menggunakan
metoda “Persamaan Tiga Momen”.
3.2. Pendahuluan
Pada metoda “Consistent Deformation” yang telah kita bahas pada modul 2,
kita menjadikan gaya luar yaitu reaksi perletakan sebagai gaya kelebihan pada
suatu struktur statis tidak tertentu. Dengan menghilangkan gaya kelebihan yang
ada, struktur dijadikan statis tertentu. Akibat beban yang ada dan akibat gaya
kelebihan sebagai beban dihitung deformasi dari struktur statis tertentu tersebut.
Dengan melihat kondisi geometris asli dari struktur statis tidak tertentu, disusun
persamaan “Consistent Deformation”. Dengan persamaan “consistent
deformation” yang tersusun gaya-gaya kelebihan dapat dihitung, gaya-gaya yang
lain dapat dicari dengan persamaan keseimbangan statis. Metoda “Consistent
Deformation” dapat dipakai pada struktur balok portal maupun konstruksi rangka
batang statis tidak tertentu, sedangkan metoda “Persamaan Tiga Momen” yang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3 -2-
akan kita bahas ini hanya dapat dipakai untuk struktur balok dan portal statis tidak
tertentu.
Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada
struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan
kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu :
a). Keseimbangan : jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah
titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol ( ∑ ==
n
1iTi 0M ).
b). Kestabilan : rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang
disambung secara kaku sama besar dan arahnya (θ T1 = θ T2 = …θ T3)
Contoh : Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku,
maka syarat : keseimbangan MT1 + MT2 + MT3 = 0
Kestabilan θ T1 = θ T2 = θ T3
Metoda “Persamaan Tiga Momen”, memakai momen-momen batang
sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi ∆ )
pada struktur-struktur yang dapat bergoyang. Untuk menentukan apakah sebuah
struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : suatu
titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan
horizontal. Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal
maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah
yaitu searah bidang perletakan. Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga
pergerakan titik simpul searah batang sama.
Metoda Persamaan Tiga Momen
2
θT2
θT3
θT1
MT1 M
T3T
P
3
1
MT2
Gambar 3.1. Keseimbangan titik simpul
MODUL 3 -3-
Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)
Dimana :
n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan.
j = “joint”, titik simpul termasuk perletakan
m = “member”, jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint.
f = “fixed”, jumlah perletakan jepit.
h = “hinge”, jumlah perletakan sendi.
r = “rol”, jumlah perletakan rol.
Apabila n < 0, struktur tidak dapat bergoyang.
Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah
variabel yang ada, dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang
disebutkan diatas yaitu :
(1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama
dengan nol.
(2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan
arahnya. Dan kalau ada variabel ∆ perlu persamaan keseimbangan
struktur.
3.3. Langkah-langkah yang harus dikerjakan pada metode “ Persamaan
Tiga Momen ”.
Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan
metoda ” Persamaan Tiga momen “ urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan
adalah sbb :
Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai
pergoyangan , dengan rumus :
n = 2j- (m+2f+2h+R)
Kalau n < 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang.
Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah
rotasi batang – batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan
bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3 -4-
• Batang tidak berubah panjang, Suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke
kanan sebesar Δ , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar Δ.
• Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang.
Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak
lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu
batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.
Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen
kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah
putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun
arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momen-
momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi
kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momen-
momen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan.
Dari langkah langkah yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah
variablenya, yaitu momen-mpmen batang yang belum diketahui besarnya dan
perpidahan relatif ujung batang (Δ) kalau ada goyangan.
Gambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan
permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa
rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama, besar
maupun arahnya . Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik
dimisalkan rotasinya searah jarum jam , maka batang-batang yang lain yang
Metoda Persamaan Tiga Momen
Δ Δ
i’i j’j
L
ji
θ ij
Lj’
θji
∆ θ
ij = θ
ji =
MODUL 3 -5-
bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi
yang sama yaitu searah jarum jam.
Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan
sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut
berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batang-batang pada
titik simpul atau perletakan.
• Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan
nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi
tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+).
Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-) , atau
sebaliknya .
• Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol.
• Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar
maupun arahnya . Untuk menyusun persamaan rotasi harus
memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan
momen – momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang
pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan
oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau
sebaliknya diberi tanda negatif (-).
• Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan
keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram”
dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan , sehingga
kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable
satu dengan yang lainnya.
Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang
berupa momen-momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai
variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar,
sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen yang dimisalkan
terbalik.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3 -6-
Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-
tiap batang (free body diagram), bidang momen, gaya lintang dan gaya
normal dari struktur statis tidak tertemtu tersebut dapat digambarkan.
Contoh langkah-langkah perhitungan dengan metoda “ persamaan tiga momen “
1.
• Variable yang ada : MA dan MB. Berarti ada dua buah variable.
• Pemisalan garis elastis.
Salah satu batang dimisalkan dulu , misalnya batang AB melendut ke
bawah berarti rotasi BA berlawanan arah jarum jam. Maka batang yang
lain mengikuti dengan mengingat rotasi batang-batang yang bertemu pada
satu titik simpul sama besar maupun arahnya.
• Menyusun persamaan :
Karena ada dua variable ( MA dan MB ) maka butuh dua persamaan.
Metoda Persamaan Tiga Momen
Balok diatas tiga tumpuan, A
jepit, B dan C rol. Dengan
beban seperti tergambar :
n = 2j-(m+2f+ 2h+2)
n = 2x3 – (2+2x1+2x0+2)
n = 0
( Tidak ada penggoyangan )
Pemisalan momen batang:
MCD
= ½ (q )l2 + P x 2
=1/2 (1)2 + 1 x 2
= 4 tm Σ MC = 0 M
CB = 4 TM
MC
= 4 tm
Σ MB
= 0 MBA
+ MBC
=0
MBA
= - MBC
(sama besar,
berlawanan arah, MB )
A jepit, ada MA
q = 1 t/mP = 1 t
A
6 m 2 m
B C
6 m
EIEI EID
P = 1 t
A B
D
C
MA M
BM
C =4 tm
A B C
D
θ
BA θ
BC
a). Balok statis tidak tertentu
b). Permisalan arah momen batang
c). Permisalan garis elastis
Gambar 3.2.
MODUL 3 -7-
- Dari persamaan keseimbangan momen, telah dipenuhi dari pemisalan
arah momen batang
- Dari persamaan rotasi batang-batang :
A jepit θ AB = 0 (1)
Titik B θ BA= θ BC (2)
• Dari dua persamaan tersebut , MA dan MB dapat dihitung, setelah momen
momen batang didapat, dengan perhitungan “ free body diagram “ bidang
momen ( M ), gaya lintang ( D ), dan gaya normal ( N ), dapat
digambarkan.
2.
a). Portal statis tidak tertentu
b). Gambar pengoyangan
Metoda Persamaan Tiga Momen
P1=1t
4 m
4 m
1 m
A B
EI EI
EIC D EEIP
2=2t
q = 1 t/m’
A B
C D D’C’
Suatu portal dengan perletakan A dan B
sendi, dengan ukuran dan beban seperti
tergambar
n = 2 j – (m + 2 f + 2 f + 2)
= 2 x 4 – (3 + 2 x 0 + 2 x 2 + 0)
n = 1
ada sebuah bentuk pergoyangan.
Gambar pergoyangan
Batang AC, A sendi berarti C hanya
bisa bisa berpindah tegak lurus sumbu
batang AC.
Misalkan C berpindah ke C’ sebesar ∆
kekanan. Batang CD tidak berubah
panjang, D juga bergerak kekanan
sebesar ∆ ke D’. untuk batang BD
keadaannya sama seperti batang AC.
Batang-batang AC dan BD akibat
pergoyangan berotasi searah jarum
jam.
A B
MC
MDB
D
E
P1=1t
P2=2t
MDCC
MDE
= 1,5 tm
MC Pemisahan momen batang.
MDE
= ½ (1) 1² + 1 x 1 = 1,5 tm
Titik C, MCA
= MCD
sama besar
berlawan arah (MC)
Titik D, ada MDB
, MDC
dan
MDE
= 1,5 tm
MODUL 3 -8-
c). Pemisahan Momen Batang
Menyusun persamaan :
Karena ada 4 variabel (∆ , MC, MDB, MDC) bentuk empat persamaan.
- Dari persamaan keseimbangan momen.
Σ MD = 0 MDB + MDC – MDE = 0 (1)
- Dari rotasi titik simpul
Titik C θ CA = θ CD (2)
Titik D θ DB = θ DC (3)
- Karena ada variabel ∆ , maka perlu persamaan keseimbangan struktur (4)
Dari keempat persamaan yang disusun, variabel-variabel MC,
MDB, MDC dan ∆ dapat dihitung. Setelah momen-momen bahwa didapat,
dengan perhitungan “free body diagram”, bidang Momen (M), gaya Lintang
(D), dan gaya Normal (N) dapat digambarkan.
3.3.1. Rumus Rotasi Batang
Metoda Persamaan Tiga Momen
A B
C E
θC
D
θDCDθ
C
A
θD
B
d). Pemisahan garis elastis
Gambar 3.3.
Variabel yang ada : ∆ , MC, MDB, MDC
Pemisahan gambar garis elastis. Batang CD
dimisalkan melendut kebawah, berarti θ CD
searah jarum jam sedangkan θ DC berlawan
arah jarum jam.
Maka untuk batang AC, θ CA searah jarum jam,
sedangkan untuk batang DB, θ DB berlawanan
arah jarum jam.
MODUL 3 -9-
Setelah mempelajari langkah-langkah yang perlu dilakukan pada
penyelesaian struktur statis tidak tertentu dengan metoda “Persamaan Tiga
Momen”, disana kita harus menyusun persamaan rotasi batang-batang. Untuk itu
kita perlu mengetahui perumusan besarnya rotasi batang yang terjadi akibat
pembebanan dan momen-momen batang.
Dari mata kuliah Mekanika Bahan yaitu dengan metoda-metoda yang
pernah kita pelajari seperti metoda “unit load” ataupun metoda “momen area”,
kita dapat menghitung besar dan menentukan arah rotasi batang dengan
perumusan sebagai berikut :
b). akibat beban terpusat ditengah bentang.
c). akibat momen Mij
d). akibat momen Mji
Metoda Persamaan Tiga Momen
L
EI
θij
θji
i jθ
ij = θ
ji =
L
EIi
j
θji
θij θ
ij = θ
ji =
EIi θji
θij
L
j
Mij θ
ij =
θij =
i θji
θij
L
Mij
j
i j
ji
θij = θ
ji =
L
θ ij
θ ji
MODUL 3 -10-
e). akibat pergoyangan
Gambar 3.4.
Untuk akibat beban-beban yang lain rotasi batang dapat dihitung dengan metoda-
metoda yang pernah didapat dari mata kuliah Mekanika Bahan seperti metoda
“unit load” ataupun metoda “momen area”
3.4. Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu dengan Metoda
“Persamaan Tiga Momen”
Dari pembahasan sebelumnya kita ketahui bahwa konsep dari metoda
“Persamaan Tiga Momen” adalah memakai momen-momen batang sebagai
variabel dan akan dihitung dengan menyusun persamaan-persamaan sebanyak
variabel yang ada. Persamaan-persamaan tersebut akan disusun berdasarkan
persyaratan keseimbangan momen dan rotasi dari batang-batang yang bertemu
pada satu titik simpul. Kalau dua batang bertemu pada satu titik simpul, maka dari
persamaan rotasi batang-batang tersebut harus sama besar, akan didapatkan
sebuah persamaan yang mengandung tiga momen. Dari sanalah nama metoda
“Persamaan Tiga Momen” diambil.
3.4.1. Contoh-Contoh Penyelesaian
1.
Metoda Persamaan Tiga Momen
A B C1,5 EI 2 EI EI
P1 = 4t P
2 = 1,5 tq = 1 t/m’
6 m 6 m 2 m
D
a). Balok statis tidak tentu dengan pembebanannya
Suatu balok statis tidak tertentu diatas 3
tumpuan, A perletakan jepit B dan C
perletakan rol dengan ukuran dan
pembebanan seperti tergambar. Hitung
momen-momen batangnya dengan
metoda “Persamaan Tiga Momen” dan
gambarkan bidang M, D dan N nya.
A B C1,5 EI 2 EI EI
P1 = 4t P
2 = 1,5 t
q = 1 t/m’
6 m 6 m 2 m
D
b). Gambar permisalan momen-momen batang
MC = 3 tmM
B M
A Penyelesaian :
n = 2j – (m + 2f + 2h + 2)
= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2)
n = 0 tidak ada pergoyangannya.
MODUL 3 -11-
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3 -12-
Variabel yang ada : MA dan MB
Persamaan :
1. A jepit : θ AB = 0
0EI24
Lq
EI6
.LM-
EI3
LM-
AB
3AB
AB
ABB
AB
ABA =+
EI5,1x0)EI5,1(24
)6(1
6(1,5EI)
.6M-
3(1,5EI)
.6M-
3BA =+
2 MA + MB = 9 (1)
2. Titik simpul B : θ BA = θ BC
BC
BC1
BC
BCC
BC
BCB
AB
3AB
AB
ABB
AB
ABA
EI16
²LP-
EI6
.LM
EI3
LM
EI24
L2
EI3
.LM-
EI6
LM- ++=+
EI5,1x)EI2(16
)²6(4-
)EI2(3
6x3
)EI2(3
6.M
)EI5,1(24
)6(1
)EI5,1(3
.6M-
)EI5,1(6
6.M- B
3BA ++=+
MA + 3,5 MB = 13,5 (2)
(1) – 2 x (2) - 6 MB = -18
MB = + 3 tm (arah benar)
(2) MA + 3,5 MB = 13,5 MA + 3,5 x 3 = 13,5
MB = 13,5 – 10,5 = + 3 tm (arah benar).
Metoda Persamaan Tiga Momen
A B C
6 m 6 m 2 m
D
c). Gambar permisalan garis elastis
θBA
θBC
Permisalan Momen Batang
MCD
= 1,5 x 2 = 3 tm
Titik C Σ MC = 0 M
CB = M
CD
= MC = 3 tm
Titik B ε MB = 0 M
BA = MB
C
= MB
A jepit ada MA
Permisalan garis elastis
θBA
= θBC
berlawanan
arah jarum jam
MODUL 3 -13-
d). Free body diagram
Metoda Persamaan Tiga Momen
P2 = 1,5 tq = 1t/m’
MA=3 tm
MB=3 tm
P1 = 4t
MC=3 tm
D
CBA 3 t 3 t 2 t 2 t 1,5 t
3m 3m 3m 3m 2m
3t2t 1,5t
2t3t
B C DA
+
-
+
-
+
e). Bidang Gaya Lintang (D)
+ +
- --
BA C D
3 tm 3 tm3 tm
3 tm1,5 tm
e). Bidang Momen (M)
Gambar 3.5
2m 2m 1m
3mEI
EI2EIA
B C
P1 = 4t P
2 = 3t
D
Suatu portal dengan ukuran dan
pembebanan seperti tergambar. A
perletakan rol dan D perletakan jepit.
Hitung momen-momen batangnya
dengan metoda “Persamaan Tiga
Momen” dan Gambar bidang M, D
dan N-nya.
MODUL 3 -14-
a). Portal statis tidak tertentu
0LEI3
L.M
EI6
L.M
BDBD
BDDB
BD
BDBD =++∆
0EI2M6M3→03EI3
3.M
EI6
3.MDBBD
DBBD =++=++ ∆∆
(2)
Metoda Persamaan Tiga Momen
A A’B B’
C’C
D
b). Gambar pergoyangan3t
MBD
MDB
D
A MBA B
C
MCB
4t
c). Gambar permisalan momen batang
B
θ BDA
C
D
θBA
d). Gambar permisalan gariselastis
Penyelesaian :
n = 2 j – (m + 2f + 2h + µ )
= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1
ada pergoyangan !.
Gambar pergoyangan
A bergerak ke A’ sebesar ∆
B bergerak ke B’ sebesar ∆
Batang BD berotasi searah jarum jam
Permisalan Momen Batang
MBC
= 3 x 1 = 3 tm
MBA
; MBD ;
MDB
Permisalan Garis Elastis
θBA
= θBD
( )
Varibel yang ada :
MBA
, MBD
, MDB
dan ∆
Persamaan :
1). Σ MB = 0 M
BA – M
BC – M
BD = 0
MBA
= MBD
+ 3 (1)
2). D jepit θDB
= 0
MODUL 3 -15-
3). θ BA = θ BD BDBD
BDDB
BD
BDBD
BA
BA1
BA
BABA
L-
EI6
L.M
EI3
L.M
EI16
²LP
EI3
L.M-
∆+=+
3-
EI6
.M
EI3
³.M
)EI2(16
)²4(4
3(2EI)
M -
6BDBDBA ∆
+=+
4 MBA + 6 MBD + 3MDB – 2 EI∆ = 0 (3)
4). Persamaan Keseimbangan Struktur
Substitusi (4) ke (2) 9 MBD + 2 EI ∆ = 0
Substitusi (4) ke (3) 13 MBD – 2 EI ∆ = 0
22 MBD = 0 MBD = 0
(4) MDB = 0
(1) MBA = + 3 tm
e). Free Body Diagram
Metoda Persamaan Tiga Momen
3 mM
DB
MBA
MBC
= 3 tm3t4t
A B C
DH
D = 0
MBD
A rol HA = 0
Σ H = 0 HA + HD = 0 HD = 0
Batang BD : Σ MB = 0
HD x 3 + MDB – MBD = 0
MBD = MDB (4)
+
A1,25 t 2,75 t
MBA
= 3 tm MBC
= 3 tm4t 3t
BC
3t
D5,75 t
MODUL 3 -16-
3.4.2. Soal Latihan
1).
Ditanyakan : - hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga
Momen”
- Gambar bidang M, D dan N-nya.
2).
Metoda Persamaan Tiga Momen
2 m 6 m 4 m 4 m
ABEI EI 2 EIC
V
DV
P2 = 3tP
1 = 0,5t
q = 1 t/m’Suatu balok statis tidak tertentu
dengan ukuran dan pembebanan
seperti tergambar. B dan C
perletakan rol, sedangkan A jepit.
4 m
4 mEI
EI
A
B C
q = 1 t/m’ Suatu portal statis tidak tertentu dengan
ukuran dan pembebanan seperti tergambar.
A perletakan jepit dan C sendi.
Ditanyakan :
Hitung momen-momen batang dengan
metoda “Persamaan Tiga Momen”
Gambar bidang M, D dan N-nya.
3 t
AB C
A
4 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m1 m 1 m
A B C
-
--
+2,75 t
1,25 t
DD
3 m
+
-
B C
2,5 tm
3 tm
A
D
f). Bidang N g). Bidang D h). Bidang M
Gambar 3.6
5,75 t
MODUL 3 -17-
3).
4).
Ditanyakan :
- Hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”.
- Gambar bidang M, D, dan N-nya.
3.4.3. Rangkuman
Momen-momen batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang
disambung secara kaku haruslah dalam keseimbangan. Berarti jumlah
momen-momen batang yang bertemu pada suatu titik simpul sama
dengan nol.
∑=
n
1iMTi = 0 MT1 + MT2 + ………+ MTn = 0
Batang-batang yang bertemu pada suatu titik simpul yang disambung
secara kaku akan berotasi secara serentak. Berarti rotasi batang-batang
Metoda Persamaan Tiga Momen
4 m5 m2 m
3 m4t1t
A B C
EI
EIEI
D
Suatu balok tangga statis tidak tertentu
dengan ukuran dan beban seperti
tergambar. B perletakan rol dan D jepit.
Ditanyakan :
Hitung momen-momen batang dengan
metoda “Persamaan Tiga Momen”.
Gambar bidang M, D dan N-nya.
Suatu portal statis tidak
tertentu dengan ukuran dan
pembebanan seperti tergambar.
A perletakan jepit, C rol dan E
sendi.
4 m 4 m 6 m 2 m
A B CD
2 m
2 mP
3 = 2t
P1= 4t
P2 = 1t
q = 1 t/m’
E
2 EI 2 EI
EI
EI
MODUL 3 -18-
yang bertemu pada suatu titik simpul mempunyai arah dan besar yang
sama.
θ T1 = θ T2 = θ T3 = ………….= θ Tn
Variabel yang dipakai dalam metoda “Persamaan Tiga Momen”
adalah momen batang dan ∆ kalau ada pergoyangan.
Untuk menghitung variable-variabel tersebut, disusun persamaan-
persamaan sejumlah varibel yang ada. Persamaan-persamaan ini akan
disusun dari :
- Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul
sama dengan nol.
- Rotasi perletakan jepit sama dengan nol.
- Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama
besar.
- Kalau ada variable ∆ , perlu persamaan keseimbangan struktur.
3.4.4. Penutup
Untuk mengukur prestasi, mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal
latihan yang ada sebagai berikut :
1).
Metoda Persamaan Tiga Momen
MBA = MBC = MB = 3 tm
MBCB = MCD = MC = 3 tm
MDC = 3 tm
2 m 6 m 4 m 4 m
P2 = 3t
P1 = 0,5 t q = 1 t/m
EI EI 2 EI
CD
BA
MB = 3 tm M
C = 3 tm M
D = 3 tm
MODUL 3 -19-
2).
3).
4).
Metoda Persamaan Tiga Momen
q = 1 t/m’
4 m
A
BC
MB =
EI
EI
MA =
4 m
MA =
MBA
= MBC
= MB =
4 m 4 m 6 m 2 m
2 m
2 m
AB
C
D
E
EI
EIEI
P1 = 4t P
2 = 1t
MA
P3 = 2t
MBE
MBA
MBD
q = 1 t /m’ M
C
2 EIMA = 4 tm
MBA = 4 tm
MBC = 2,5 tm
MBE = 1,5 tm
MCB = MCD = 4 tm
MBA
= MBC
= MB = 2 tm
MCB
= MCD
= MC = 4,86 tm
MD = 5,676 tm
2 m 5 m 4 m
3 mP
2 = 4tP
1 = 1t M
B = 2 tm
MD = 5,676 tm
A B C
D
MC = 4,846 tm
EI EIEI
MODUL 3 -20-
3.4.5. Daftar Pustaka
1. Chu Kia Wang “Statically Indeterminate Structures”. Mc Graw-
Hill, Book Company, INC.
2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley
Publishing Co.
3.4.6. Senarai
Metoda “Persamaan Tiga Momen” memakai momen-momen batang
sebagai varibel.
Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari
keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi
batang-batang pada titik simpul sama besar.
Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable ∆ , dan persamaan
tambahan keseimbangan struktur.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3 -21-
3.5. Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu Akibat Penurunan
Perletakan dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”
Seperti yang telah kita bahas pada metoda “Consistent Deformation”,
pada struktur statis tidak tertentu akibat terjadinya perbedaan penurunan
perletakan akan menimbulkan gaya-gaya dalam yang cukup besar. Pada metoda
“Persamaan Tiga Momen”, langkah-langkah yang harus dikerjakan untuk
menyelesaikan struktur statis tidak tertentu akibat penurunan perletakan sama
seperti pada akibat pembebanan luar yang telah disajikan dimuka. Hanya saja
pada akibat penurunan perletakan, langkah pertama harus digambarkan
pergoyangan struktur akibat adanya penurunan perletakan yang terjadi, setelah itu
langkah-langkah yang dikerjakan sama dengan urutan langkah-langkah yang
dikerjakan pada akibat beban luar. Jadi kalau struktur kita mempunyai
pergoyangan dimana n > 0, maka akan ada gambar pergoyangan akibat penurunan
perletakan dan gambar pergoyangan natural karena struktur kita dapat bergoyang
secara natural.
3.5.1. Contoh penyelesaian akibat penurunan perletakan
1).
Metoda Persamaan Tiga Momen
Sebuah balok statis tidak tertentu dengan
perletakan A jepit dan B rol. Bentang balok
L = 6 m. Balok dari beton dengan ukuran
penampang 40 x 60 cm, E beton = 2 x 105
kg/cm2.
Kalau terjadi penurunan perletakan B sebesar
∆B
= 2 cm, hitung momen batang balok
tersebut dan gambar bidang M, D dan N-nya.
Penyelesaian :
Gambar pergoyangan akibat B turun
∆B
= 2 cm. Tentukan arah putaran rotasi
batang (θAB
)
b). Pergoyangan akibat B turun ∆
B = 2 cm
AB
EI
L = 6 m
a). Balok statis tidak tertentu
A
B’
B
2 cm
MODUL 3 -22-
Persamaan : A jepit θ AB 0
0EI3
6.M-
600
2→0
EI3
LM-
LAA ==
∆
MA = + 600
EI (arah momen benar)
Balok Beton :
I = 43 cm000.72060)40(12
1 =
E = 2 x 105 kg/cm2
EI = 2 x 105 x 720.000 kg cm2 = 144 x 109 kg cm2
EI = 14.400 t m2 (satuan disesuaikan L dalam meter).
MA = + tm24600
400.14 +=
Metoda Persamaan Tiga Momen
n = 2 j – (m + 2f + 2h + r)
= 2 x 2 – (1 + 2 x 1 + 2 x 0+ 1) = 0
Tidak ada goyangan
Permisalan momen batang
MA M
B = 0 (rol)
Variabel MA
Permisalan garis elastis θAB
, θBA
24 tm
AB4t
4t
e). Free body diagram
4t 4t
BA+
f). Bidang gaya lintang (D)
-
24 tm
AB
g). Bidang momen (M)
Gambar 3.7.
Σ MB = 0
VA =
Σ V = 0 VA+ V
B = 0
VB = -V
A = - 4t (↓)
Bidang D :
B
Dx = V
A = + 4t
x = 0 DA = 4t
x = 6 DB = 4t
Bidang M :
B
Mx = -M
A + V
A . x =-24 + 4 x
x = 0 MA = -24 tm
x = 6 MB = -24 + 4 x 6 = 0 tm
AB
EI
L = 6 m
MA
c). Permisalan momen batang
AB
L = 6 m
d). Permisalan garis elastis
θB
A
θA
B
MODUL 3 -23-
2).
Metoda Persamaan Tiga Momen
Suatu portal dengan perletakan A jepit dan
B rol balok dan kalau dari beton dengan
ukuran penampang 30 x 40cm,E beton =
2x105 kg/cm2. Kalau A turun 2cm,hitung
momen-momen batang dan gambarkan
bidang M,D dan N nya.
A
B CEI
EI 4m
4m
a). Portal statis tidak tertentu
MODUL 3 -24-
Persamaan :
Metoda Persamaan Tiga Momen
A
B C2cm
2cm
b). Pergoyangan akibat A turun 1 cm
B’
A’
∆ ∆
A
C
c). Pergoyangan natural
B’
B
C’
Balok / kolom beton :
Ix = 12
1 (30) 403 = 160.000 cm4
EIx = 2 x 195 x 160.000 = 32 x 109 kg/cm2
= 3200 tm2
A
B Cθ
BC
MA
d). Pemisalan momen batang dan garis elastis
θBA
θAB
MB
MB
Penyelesaian
Gambarkan pergoyangan akibat A turun 2 cm.
θBC
n =2j - (m + 2f + 2h + r)
= 2 x 3 - (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1
ada pergoyangan
Gambar pergoyangan (natural).
Misalkan C bergerak kekanan sebesar ∆ . B akan
bergerak ke kanan ke B’ sebesar ∆ juga.
θAB
dan θBA
Pemisahan Momen Batang
MA ; M
BA = M
BC = M
B
Variable : MA, M
B, dan ∆
Pemisahan garis elastis
θAB
; θBA
= θBC
MODUL 3 -25-
1). θ AB = 0 (A jepit)
04EI6
4.M
EI3
4.M0
LEI6
LM
EI3
LM BA
ABAB
ABB
AB
ABA =∆−+→=∆−+
0EI4
3M2M4 BA =∆−+ (1)
2). θ BA = θ BC
400
2-
EI3
4.M
4EI3
4.M
EI6
4.M→
L-
EI3
LM
LEI3
LM
EI6
LM BBA
BC
B
BC
BCB
ABAB
ABB
AB
ABA =++=++∆∆∆
200
EI3EI
4
3M8M2 BA −=∆++
(2)
3). Keseimbangan
(1) + (2) 6 MA + 10 MB = - 200
EI3 (a)
Substitusikan (3) ke (a) 6 MA + 10 MA = - 200
EI3
MA = - 3200
EI3, dengan EI = 3200 tm2
Metoda Persamaan Tiga Momen
MB
MB
MA
HA = 0
C rol HC = 0 Σ H = 0
HA + HC = 0 HA = 0
Batang AB
Σ MB = 0 HA . 4 - MA + MB = 0
MA = MB (3)
MB
MB
MA
HA = 0
MODUL 3 -26-
3.5.2. Soal Latihan
1).
Metoda Persamaan Tiga Momen
e). Free Body Diagram
3/4 t
A 3 tm
3 tm
3 tm
3/4 t 3/4 t
B C
3/4 tM
A = -
MB = MA = - 3 tm (arah terbalik)
BC
B C
A A 3 tm
3 tm
3 tm
3/4 t
3/4 t
+
-+
+
f). Bidang N g). Bidang D h). Bidang M
Gambar 3.8
6 m 4 m
EI EIAB C
Suatu balok statis tidak tertentu, A
perletakan A, B dan C rol. Balok
beton, dengan ukuran penampang 30
x 40 cm, Ebeton = 2 x 105 kg / cm2.
Kalau terjadi penurunan di B 2 cm,
hitung momen-momen batang dengan
metoda persamaan tiga momen. Dan
gambarkan bidang M, D dan N-nya.
MODUL 3 -27-
2).
3).
3.5.3. Rangkuman
Pada penyelesaian struktur statis tidak tertentu akibat penurunan
perletakan dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”, pertama kali yang
dikerjakan adalah menggambar bentuk pergoyangan struktur akibat penurunan
perletakan yang terjadi, dan menentukan arah rotasi batang-batang akibat
penurunan perletakan tersebut.
3.5.4. Penutup
Untuk mengukur prestasi mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal
latihan yang ada sebagai berikut :
1).
Metoda Persamaan Tiga Momen
4 m
4 mEI
EI
A
BC
AB
C
D
EI EI
EI3 m
4 m5 m2 m
Suatu portal statis tidak tertentu dengan
perletakan A jepit dan C sendi. Balok dan
kolom beton dengan ukuran penampang 30
x 40 cm, Ebeton = 2 x 105 kg/cm2.
Kalau C turun 2 cm, hitung momen-momen
batang dengan metoda persamaan tiga momen
dan gambar bidang M, D dan N-nya.
Suatu balok tangga, dengan
perletakan B rol, dan D jepit. Balok
beton dengan ukuran penampang 30
x 50 cm kg/cm2
Kalau perletakan B turun sebesar 2
cm, hitung momen-momen batang
dengan metoda persamaan tiga
momen dan gambar bidang M, D dan
N-nya.
6 m 4 m
MB =11,293 tmM
A =10,98 tm
AB C
EI EIEI = 3200 tm2
Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.
MODUL 3 -28-
2).
3).
3.5.5. Daftar Pustaka
1. Chu Kia Wang, “Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw-Hill,
Book Company, Inc.
2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley
Publishing Co.
Metoda Persamaan Tiga Momen
EI
EI
MB = 6,856 tm
MA = 3,428 tm
A
BC
4 m
4 m
EI = 3200 tm2
Momen-momen batang akibat perletakan C turun 2 cm.
3 m
4 m5 m2 m
EI EI
EI
AB C
D
MC = 2,13 tm
MD =3,834 tm
EI = 6250 tm2
Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.
MODUL 3 -29-
3.5.6. Senarai
Metoda “Persamaan Tiga Momen” memakai momen-momen batang
sebagai varibel.
Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari
keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi
batang-batang pada titik simpul sama besar.
Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable ∆ , dan persamaan
tambahan keseimbangan struktur.
Metoda Persamaan Tiga Momen