MODLO DE DIBUJO TECNICO 2U.pdf

2012

ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO - DIBUJO

TCNICO

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

01/06/2012

DIBUJO TECNICO - MODULO II

ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO - DIBUJO TCNICO

1

TANGENCIAS

La tangencia, generalmente se establece entre rectas, circunferencias, elipses,

parbolas o hiprbolas, con sus distintas posiciones, tamaos y combinaciones de unas

respecto de otras

CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES

El centro de una circunferencia tangente a

dos rectas que se cortan, se encuentra sobre

la bisectriz del ngulo que forman.

Si una recta es tangente a una circunferencia, el

radio en el punto de tangencia es perpendicular a

la recta

Si dos circunferencias son tangentes

exteriores, sus centros estn alineados con el

punto de tangencia y distan la suma de sus

radios.

Si dos circunferencias son tangentes interiores, sus

centros estn alineados con el punto de tangencia y

distan la diferencia de sus radios.


2

La mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia,

pasa por el centro de la misma.

CIRCUNFERENCIAS INTERIORES

Si una circunferencia es interior a otra (todos los puntos de la circunferencia pequea

estn situados en el interior de la circunferencia grande), ambas circunferencias no

poseen ninguna recta tangente comn, ni interior ni exterior. Todas las rectas

tangentes a la circunferencia interior sern secantes a la circunferencia que la

contiene.

CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Si dos circunferencias son secantes entonces nicamente poseen dos rectas tangentes

comunes. Dichas tangentes comunes se corresponden con las tangentes exteriores, no

existiendo tangentes interiores comunes a las circunferencias secantes. En efecto, si

C y C' son los centros de dos circunferencias secantes, todos los puntos del segmento

son interiores a ambas circunferencias y, en consecuencia, no se puede trazar ninguna

tangente comn a las circunferencias C y C' que pase por ellos.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES

Dos circunferencias tangentes exteriormente

tendrn dos rectas tangentes exteriores

comunes pero una nica recta tangente interior

comn. La tangente interior comn ser

perpendicular a la recta que une los centros de

ambas circunferencias y pasar por el punto de

tangencia de las dos circunferencias, siendo ste

precisamente el punto de tangencia con una y

otra circunferencia.


3

Dos circunferencias tangentes interiormente no tendrn ninguna recta tangente

interior comn (por la misma razn que las circunferencias interiores no tienen

tangentes comunes) pero s una nica recta tangente exterior comn.

La tangente exterior comn ser

perpendicular a la recta que une los

centros de ambas circunferencias y pasar

por el punto de tangencia de las dos

circunferencias, siendo ste precisamente

el punto de tangencia con una y otra

circunferencia.

CIRCUNFERENCIAS DEL MISMO RADIO

Dos circunferencias del mismo radio presentan la particularidad de que las tangentes

exteriores comunes a ambas circunferencias son paralelas entre s y paralelas a la

recta que une los centros de ambas circunferencias. Para trazar estas rectas

tangentes no hay ms que dibujar sendas rectas perpendiculares a la recta que une los

centros de las circunferencias que pasen por los centros de una y otra circunferencia.

Estas rectas perpendiculares cortarn a las circunferencias en los puntos de

tangencia de las tangentes exteriores comunes a ambas circunferencias.

Si las circunferencias no son secantes tendrn adems dos tangentes interiores

comunes. Ambas tangentes interiores se cortarn justo en el punto medio del

segmento cuyos extremos son los

centros de las dos circunferencias. El

problema de trazar las tangentes

interiores comunes a dos

circunferencias con el mismo radio se

reduce por tanto a trazar las rectas

tangentes a una u otra circunferencia

desde el punto central del segmento

cuyos extremos son los centros de

ambas circunferencias.


4

Lugares Geomtricos

El lugar geomtrico de los centros de todas

las circunferencias tangentes a una recta r

dada en un punto P de la misma es la recta

perpendicular a r que pasa por el punto P.

El lugar geomtrico de los centros de todas las

circunferencias tangentes a una

circunferencia C dada en un punto P de la

misma es la recta CP que une el centro de la

circunferencia dada con el punto de tangencia.

Los puntos de la recta CP situados en el

exterior de la circunferencia C y a mayor

distancia de C que de P corresponden a los

centros de las circunferencias tangentes

exteriores a C, mientras que los puntos de la

recta CP situados en el interior de C o en su

exterior pero a mayor distancia de P que de C

corresponden a los centros de las

circunferencias tangentes interiores a C.

ENLACES

Los enlaces son aplicaciones de las tangencias, que nos permiten unir lneas

rectas o curvas de forma que parezcan una sola lnea continua. Por ejemplo, en

el dibujo vemos el enlace de dos rectas con una circunferencia de radio r.


5

TANGENTE A UN ARCO DE CENTRO DESCONOCIDO DADO UN PUNTO T DE

TANGENCIA

Con centro en T y radio arbitrario se traza un

arco auxiliar hasta cortar al arco dato en un

punto 1

Con centro en 1 y el mismo radio

anteriormente elegido, se traza otro arco

auxiliar que cortar al arco dato en 2

Con centro en T y radio T2 se traza un arco

que cortar al arco auxiliar 1-2 en un punto 3.

Se une el punto 3 con el punto T de tangencia

mediante una recta que ser la tangente

pedida

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

DESDE UN PUNTO EXTERIOR.

Unir el punto P con el centro O

de la circunferencia y hallar la

mediatriz del segmento PO que

cortar en M a dicho segmento.

Con centro en M y radio MO

trazar un arco auxiliar que

cortar a la circunferencia dada

en los puntos T1 y T2.

Las rectas determinadas al unir

los puntos T1-P y T2-P son las

tangentes pedidas


6

TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DESDE UN PUNTO EXTERIOR,

SIENDO EL CENTRO DEL ARCO INACCESIBLE

Desde el punto dado P, trazas una recta que corte al arco

Se hace una semicircunferencia que pase por P y B con centro en la mediatriz P-B.

Siendo B el punto ms alejado de corte con

el arco, y la recta trazada desde P

Por el punto de corte ms cercano, A, se

levanta una perpendicular a la recta hasta

cortar a la semicircunferencia anterior en

el punto C.

Con centro en P y radio hasta el punto C se

traza un arco hasta cortar al dado, T.

Uniendo T (punto de tangencia) con el punto

dado P se obtiene la tangente al arco

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA QUE PASE POR UN PUNTO

DADO P Y TENGAN UN RADIO R DADO.

Trazamos una paralela a la recta dada r a una distancia R.

Con centro en P trazamos una circunferencia de radio R que corta a la paralela en

los puntos O y O1 que son los centros de las circunferencias que buscamos.

Por O y O1 trazamos las

perpendiculares a la recta R para

determinar los puntos de tangencia

(los centros de las circunferencias

tangentes a una recta se encuentran

en

la perpendicular a la recta

trazada por el punto de tangencia).

Con centro en O y O1 trazamos

las circunferencias que pasan por P y

son tangentes a la recta r en T y T1


7

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS R Y S QUE SE CORTA,

CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES

Trazamos paralelas a la recta dada r a una distancia R.

Trazamos paralelas a la recta dada s a una distancia R.

Las paralelas se cortan O, O1, O2, y O3 que son los centros de las

circunferencias buscadas.

Por los centros O, O1, O2, y O3 trazamos perpendiculares a las rectas r y s, que

nos determina los puntos de tangencia T, T1,

Con centro en O, O1, O2, y O3 trazamos las circunferencias que son tangentes a

las rectas r y s en T, T1,


8

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS R Y S QUE SE CORTA,

CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA T DE LAS SOLUCIONES

Trazamos la perpendicular a la recta dada r por el punto de tangencia T dado.

Trazamos la bisectriz de las rectas r y s por los ngulos que se encuentra el punto

de tangencia (toda circunferencia tangente a dos rectas que se cortan tiene el

centro sobre la bisectriz).

El punto de corta de las bisectrices

con la perpendicular puntos O, y O1

son los centros de las circunferencias

buscadas.

Por los centros O, O1 trazamos

perpendiculares a las rectas r y s,

que nos determina los puntos de

tangencia T1, T2.

Con centro en O, y O1 trazamos las

circunferencias que son tangentes a

las rectas r y s en T, T1 y T2

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS R, S Y T QUE SE CORTAN

DOS A DOS.

El problema tiene cuatro

soluciones

Las soluciones pedidas son la

circunferencia inscrita y las exinscritos

al tringulo que forman las tres rectas.

Sus centros son los puntos de

corte de las bisectrices de los ngulos

interiores e exteriores del tringulo.

Una vez determinados los

centros se hallan los puntos de

tangencia como ya vimos en los

ejercicios anteriores.


9

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTESEXTERIORES A

OTRAS DOS

Situamos las circunferencias O1 y O2.

Dibujamos una circunferencia de centro O2, y radio la suma de r2 (radio de la

circunferencia dada) + Radio (radio de la circunferencia solucin).



Las intersecciones de los dos arcos trazados anteriormente sern los centros de

las circunferencias buscadas. Unimos estos puntos con O2 para situar los puntos

de tangencia T3 y T4.

Unimos los centros O3 y O4 con O1 para situar los puntos de tangencia T3 y T4.

Trazamos las circunferencias de centros O3 y O4, y radio el dado.

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES INTERIORES A

OTRAS DOS


Dibujamos una circunferencia de centro O2, y radio la diferencia de Radio (radio

de la circunferencia solucin), menos r2 (radio de la circunferencia dada).


10


de la circunferencia solucin), menos r1 (radio de la circunferencia dada). Las

intersecciones de los dos

arcos trazados

anteriormente sern los

centros de las

circunferencias buscadas.

Unimos estos puntos con O2

para situar los puntos de

tangencia T3 y T4.

Unimos los centros O3 y O4

con O1 para situar los puntos


Trazamos las circunferencias

de centros O3 y O4, y radio

el dado.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES AUNA CIRCUNF. Y

EXTERIORES A OTRA.



de la circunferencia solucin), menos r2 (radio de la circunferencia dada).



Las intersecciones de los dos arcos trazados anteriormente sern los centros de

las circunferencias buscadas. Unimos estos puntos con O2 para situar los puntos


Unimos los centros O3 y O4 con O1 para situar los puntos de tangencia T3 y T4.

Trazamos las circunferencias de centros O3 y O4, y radio el dado.


11

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA EN UN PUNTO T DADO EL

RADIO R.

Por el punto de tangencia T trazamos una

perpendicular.

Sobre la perpendicular llevamos la distancia

R dada que nos da dos punto O y O1.

Hacemos centro en O y O1 y trazamos las

circunferencias de radio R dado que son

tangentes a la recta en el punto T.


12

ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES POR MEDIO DE UN ARCO DE

CIRCUNFERENCIA.

Se conoce el radio del arco R.

Trazamos un arco de circunferencia de radio dado R,

de centro el punto de corte de las dos rectas que nos

determina los puntos de tangencia T y T1.

Desde T y T1 trazamos dos arcos de circunferencia

del mismo radio que se cortan en el punto O. que es el

centro del arco buscado.

Con centro en O, trazamos el arco de circunferencia

que es tangente a las rectas r y s en T, T1.

Se conoce el punto de tangencia T.

Por T trazamos la perpendicular a la recta r.

Trazamos la bisectriz del ngulo donde se corten la

bisectriz con la perpendicular es el centro del arco

buscado.

Con centro en O, trazamos el arco de circunferencia que

es tangente a las rectas r y s en T, T1.

ENLACE DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN (CONCURRENTES) POR MEDIO DE

UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA

Se conoce el radio del arco R.

Trazamos paralelas a las rectas r y s a la distancia dada R, que nos determinan

las rectas r y s.

Las paralelas r s se cortan en el punto O. que es el centro del arco buscado.

Desde O, trazamos las perpendiculares a las rectas dadas r y s que nos

determinan los puntos de tangencia T, T1.

Con centro en O y radio R dado trazamos un arco de circunferencia que es

tangente a las rectas en los puntos T, T1.


13

ENLACE DE UNA RECTA Y UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA (O UNA

CIRCUNFERENCIA) POR MEDIO DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA DE RADIO

DADO R.

Trazamos una paralela a la recta r a la distancia dada R.

Con centro en O trazamos una circunferencia de radio R1 + R. es decir le

aumentamos a la circunferencia el radio R dado.

La circunferencia anterior corta a la paralela en los puntos O y O1 que son los

centros de las circunferencias buscadas.

Trazamos las perpendiculares a la

recta dada r que nos determinan los

puntos de tangencia T1, T2.

Unimos los centros O1 y O2 con el

centro O y nos determina los otros

puntos de tangencia.

Con centro en O y O1 y radio R dado

trazamos los arcos de circunferencia

que son tangentes a la recta y a la

circunferencia.


14

ENLACE DE UNA RECTA Y UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA (O

UNACIRCUNFERENCIA) POR MEDIO DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA DE

RADIO DADO R. QUE SEA EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA (ENVOLVENTE)

Trazamos una paralela a la recta r a la distancia dada R.

Con centro en O trazamos una circunferencia de radio R1 - R. es decir le restamos

al radio de la circunferencia R1 el radio dado R.

La circunferencia anterior corta a la paralela en el puntos O1 que es el centro de la

circunferencia buscada, Trazamos la perpendicular a la recta dada r que nos

determinan el punto de tangencia T1.

Unimos el centro O1 con el centro O y nos determina el otro punto de tangencia T.

Con centro en O1 y radio R dado trazamos el arco de circunferencia que es

tangente a la recta y a la circunferencia.

ENLACE DE DOS CIRCUNFERENCIAS POR MEDIO DE UN ARCO DE

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO R.

Con centro en O1 trazamos una circunferencia de radio R + R1 es decir le sumamos

al radio de la circunferencia R1 el radio dado R.

Con centro en O2 trazamos una circunferencia de radio R + r es decir le sumamos

al radio de la circunferencia r el radio dado R.


15

Las circunferencias anteriores se

cortan en los puntos O y O que son

los centros de la

Circunferencias buscadas,

Unimos el centro O1 con el centro O

y nos determina el otro punto de

tangencia T1 y T2. Unimos el centro

O2 con el centro O y nos determina

el otro punto de tangencia T1 y T2

Con centro en O y O radio R dado

trazamos los arcos de circunferencia

que son tangentes a las

circunferencias.

ENLACE DE DOS CIRCUNFERENCIAS POR MEDIO DE UN ARCO DE

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO R. QUE SEA EXTERIOR

(ENVOLVENTE)

Con centro en O1 trazamos una circunferencia de radio R - r1 es decir le restamos

al radio dado R el radio de la circunferencia r1.

Con centro en O2 trazamos una circunferencia de radio R r2 es decir le

restamos al radio dado R el radio de la circunferencia r2

Las circunferencias anteriores se cortan en los puntos O y O que son los centros

de la

Circunferencias buscadas,

Unimos el centro O1 con el centro O y nos determina el otro punto de tangencia

T1 y T2. Unimos el centro O2 con el centro O y nos determina el otro punto de

tangencia T1 y T2.

Con centro en O y O radio R dado trazamos los arcos de circunferencia que son

tangentes a las circunferencias.


16

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS

IGUALES

Dibujamos dos rectas s y t, sobre las que fijamos los puntos de enlace Q y P

respectivamente (puntos de tangencia).

Trazamos se segmento que une los puntos de enlace PQ, y situamos el punto medio

M, punto de tangencia de los dos arcos de circunferencia. El centro O1 de la

circunferencia que pasa por P-M estar situado sobre la mediatriz.

La circunferencia O1 es tangente a la recta t en el punto P, por lo que O1 estar

sobre la interseccin de la perpendicular en P, con la mediatriz trazada

anteriormente. Dibujamos la circunferencia de centro O1 y radio O1-P.

Repetimos los pasos 3 y 4 sobre la recta s. Dibujamos la mediatriz del segmento

M-Q y trazamos la perpendicular a s por Q, donde se corten estas dos lneas

colocamos el centro O2.

Dibujamos la circunferencia de centro O2 y radio O2-Q.

El enlace de rectas y circunferencias mediante su punto de tangencia, permite la

transicin suave de unas a otras sin brusquedades.


17

ENLACE DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS MEDIANTE UN ARCO DE

CIRCUNFERENCIA

Situamos la recta t y la circunferencia O.

Trazamos una perpendicular a la recta t, de longitud igual al radio del arco

solucin.

Dibujamos una paralela a la recta t, distante de esta la medida del radio.

Prolongamos el radio de la circunferencia O sobre la que aadimos el radio

solucin.

Trazamos una circunferencia concntrica a O y radio el segmento dibujado en el

paso anterior. La interseccin de esta con la paralela dibujada en el paso2,

determina la posicin del centro O1 de la circunferencia solucin.

Unimos O1 con el centro O para hallar el punto de tangencia T1, y dibujamos la

perpendicular desde O1 a la recta para situar el punto de tangencia T1.

Trazamos la circunferencia que enlaza la circunferencia dada con la recta t.

En rojo puedes ver el efecto del enlace. Es importante hacer los trazados hasta

los puntos de tangencia para que el enlace sea continuo.


18

ENLACE MEDIANTE CIRCUNFERENCIA INTERIOR DE RECTA Y

CIRCUNFERENCIA

Situamos la recta t y la circunferencia O.

Trazamos una perpendicular a la recta t, de longitud r, igual al radio solucin.

Dibujamos una paralela a la recta t, distante de esta la medida del radio r.

Restamos el radio solucin r, al de la circunferencia dada r0.

Trazamos un arco de circunferencia concntrica a O y radio r0-r, obtenido en el

paso anterior. La interseccin de este con la paralela dibujada en el paso2,

determina la posicin del centro O1 de la circunferencia solucin.

Unimos O1 con el centro O para hallar el punto de tangencia T1, y dibujamos la

perpendicular desde O1 a la recta para situar el punto de tangencia T1.

Trazamos la circunferencia que enlaza la circunferencia dada con la recta t.

En rojo puedes ver el efecto del enlace. Es importante hacer los trazados hasta

los puntos de tangencia para que el enlace sea continuo.


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ENLAZAR PUNTOS NO A LINEADOS MEDIANTE ARCOS DE CIRCUNFERENCIA

Situamos los puntos por los que van a pasar los arcos de circunferencia.

Debemos fijar el radio del primer arco, el cual determinar el resto del trazado.

El centro de este arco estar sobre la mediatriz del segmento AB.

Trazamos el arco de centro O1 y radio O1-A.

En el cuadro inferior puedes decidir que parte del arco de la circunferencia ser

visible: superior, inferior o completa.

El siguiente arco debe ser tangente al primero en el punto B, por lo que el centro

O2 estar situado sobre la lnea que une O1 con B.

La interseccin de la mediatriz del tramo siguiente B-C con la lnea trazada en el

paso anterior, ser la posicin del segundo centro O2.

Trazamos el arco de centro O2 y radio O2-B.

En el cuadro inferior puedes decidir que parte del arco de la circunferencia ser

visible: superior, inferior o completa.

Calculamos la posicin del centro O3, que estar en la interseccin de la mediatriz

C-D y la recta que une O2 con C.

Trazamos el arco correspondiente y continuamos este proceso hasta completar el

circuito.


20

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA

Dibujamos las rectas t y s paralelas, sobre las que situamos los puntos de

tangencia P y Q.

Trazamos la mediatriz del segmento P-Q, puntos de tangencia sobre las rectas t y

s respectivamente.

Por el punto M trazamos una recta paralela a las dos dadas.

Con centro en M y radio MP obtenemos el punto de tangencia de las dos

circunferencias T1.

Situamos el centro O1 en la interseccin de la perpendicular a las rectas por el

punto P, y la perpendicular al segmento PQ por T1.

Dibujamos el arco de centro O1 que pasa por T1 y P.

Para obtener el centro O2, trazamos una perpendicular a la recta s por el punto Q

hasta cortar el segmento T1-O1.

Trazamos el segundo arco de centro O2, tangente a la recta s en el punto Q y al

primer arco en T1.


21

RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias C y C' poseen, en general, cuatro rectas tangentes comunes.

Dichas tangentes, as como los respectivos puntos de tangencia, son simtricas dos a

dos respecto de la recta CC' que une los centros de las circunferencias. Cada par de

tangentes simtricas se cortan en un punto de la recta CC'. En funcin de la ubicacin

de este punto se distingue entre tangentes interiores (cuando el punto de corte est

situado entre los dos centros C y C') y tangentes exteriores (en el caso contrario) a

las dos circunferencias. Estos puntos de corte de las tangentes simtricas no son

otros que los centros de homotecia positiva y negativa de las circunferencias

Si r es el radio de la circunferencia C y r' es el radio de la circunferencia C', entonces

las rectas tangentes deben ser tales que estn a una distancia r del punto C y a una

distancia r' del punto C', justificando la relacin de simetra. Por otra parte, si r'


22

TRAZADO DE DOS RECTAS TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS

CIRCUNFERENCIAS C Y C'

Como se discuti anteriormente, si r es el radio de la circunferencia C y r' es el radio

de la circunferencia C' y es r > r', entonces las rectas paralelas a las tangentes

exteriores que pasan por C' estarn a una distancia del centro C igual a r-r' o, lo que

es lo mismo, sern a su vez tangentes a una circunferencia de centro C y radio r-r'.

Los pasos para trazar las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias C y C' de

radios respectivos r y r', con r mayor que r', son:

Trcese un radio de la circunferencia de centro C, que cortar a la propia

circunferencia en un punto A de la misma.

Con centro en el punto A, dibjese un arco de radio r', que cortar al radio antes

trazado en un punto B interior a la circunferencia de centro C.

Trcese la circunferencia con centro en C que pasa por el punto B, cuyo radio ser

r-r'.

Hllense las rectas tangentes a la circunferencia de centro C y radio r-r' antes

dibujada, trazadas desde el punto exterior C'.

En las dos circunferencias C y C' trcense sendos radios perpendiculares a cada

una de las tangentes obtenidas. Estos radios cortarn a la circunferencia

correspondiente en los puntos de tangencia de las tangentes exteriores comunes a

las dos circunferencias.

nanse las parejas de puntos de tangencia halladas para obtener las dos rectas


23

tangentes exteriores comunes a las circunferencias C y C'.

TRAZADO DE DOS RECTAS TANGENTES INTERIORES COMUNES A DOS

CIRCUNFERENCIAS C Y C'

En este caso, las rectas paralelas a las tangentes interiores que pasan por C' van a ser

a su vez tangentes a la circunferencia con centro en C y radio r+r'. Por lo tanto, los

pasos para trazar las dos rectas tangentes interiores comunes a dos circunferencias C

y C' de radios respectivos r y r' (r mayor que r') sern los siguientes:

Dibjese un radio cualquiera de la circunferencia de centro C y sea el punto A el

extremo de este radio situado sobre la circunferencia.

Con centro en el punto A trcese un arco de radio igual al radio r' de la

circunferencia C'; este arco cortar a la prolongacin del radio antes dibujado en

el punto B, exterior a la circunferencia de centro C.

Dibjese la circunferencia con centro en C que pasa por el punto B, que tendr un

radio igual a r+r'.Trcense las rectas tangentes a la circunferencia de centro C y

radio r+r' antes dibujada que pasan por el punto exterior C'.

Trcense radios perpendiculares a cada una de las dos tangentes anteriores en

ambas circunferencias. Los extremos de estos radios situados sobre las

circunferencias sern los puntos de tangencia de las rectas tangentes interiores

comunes con las correspondientes circunferencias. nanse los puntos de antes


24

hallados para obtener las correspondientes rectas tangentes interiores comunes a

las circunferencias C y C'.

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA O UNA CIRCUNFERENCIA EN

UN PUNTO DADO DE LA MISMA Y QUE PASA POR OTRO PUNTO DADO

Sea una recta r o una circunferencia C y sea T un punto perteneciente a la misma. Sea

s la recta lugar geomtrico de los centros de todas las circunferencias tangentes a r o

C en el punto T, conforme a lo especificado en el prrafo anterior.

Se desean trazar las circunferencias tangentes a r o C en el punto T y que pasan por

otro punto P. El centro de la

circunferencia solucin debe

estar sobre la recta s y

adems debe estar a la misma

distancia de T que de P. Por lo

tanto, el centro de la

circunferencia solucin estar

en la interseccin de la recta s

con la mediatriz del segmento

PT.


25

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA O UNA CIRCUNFERENCIA EN

UN PUNTO DADO DE LA MISMA Y TANGENTE ADEMS A UNA RECTA DADA

Se conoce el punto T, que pertenece a una recta r o a una circunferencia C dada. Se

quiere trazar la circunferencia que siendo tangente a r o C en el punto T es asimismo

tangente a otra recta t dada. Ntese que si una circunferencia ha de ser tangente a

otra circunferencia C en el punto T de la misma, tambin ser tangente a la recta

perpendicular a CT que pasa por el punto T. Si denotamos por r' a esta recta

perpendicular, se tiene que los dos problemas planteados en este apartado son el

mismo: trazar la circunferencia tangente a la recta r (o r' en el caso de que el dato

sea una circunferencia) en el punto T de la misma, y que es adems tangentes a otra

recta t dada.

El centro de la circunferencia solucin buscada tendr que estar a la misma distancia

de la recta r (o r') que de la recta t (por ser tangente a ambas), es decir, debe estar

en la bisectriz del ngulo formado por las rectas r (o r') y t. Por otra parte, el centro

de la circunferencia solucin debe estar tambin sobre la recta s, perpendicular a r (o

r') en el punto T, tal y como se justific en el apartado Lugares geomtricos.

El centro de la circunferencia buscada, solucin del problema, ser la interseccin de

la recta perpendicular a r (o r') en el punto T con la bisectriz del ngulo formado por

las rectas r y t.


26

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA O UNA CIRCUNFERENCIA EN

UN PUNTO DADO DE LA MISMA Y TANGENTES ADEMS A UNA

CIRCUNFERENCIA DADA

La solucin a este problema se encuentra de forma sencilla aplicando conceptos de

homotecia, potencia o inversin. No obstante, tambin es posible encontrar una

solucin al problema (con un procedimiento algo ms laborioso pero conceptualmente

ms elemental) sin recurrir a estos conceptos ms avanzados. El procedimiento que se

explica en este epgrafe es la resolucin denominada habitualmente por "dilatacin".

Una dilatacin de distancia R de una recta o de una circunferencia se define como el

lugar geomtrico de los puntos que estn situados a una distancia R de dicha recta o

circunferencia. Dada la definicin anterior, estos lugares geomtricos coincidirn con

los lugares geomtricos de los centros de una circunferencia de radio R tangente a la

recta o circunferencia para la cual se quiere calcular su dilatacin. Estos lugares

geomtricos sern dos rectas paralelas a la recta dilatada o dos circunferencias

concntricas con la circunferencia dada, respectivamente. En particular, si se aplica

una dilatacin de valor R a una circunferencia de radio R, obtendremos una

circunferencia de radio 2R y otra de radio cero, es decir, una dilatacin de valor igual

al radio de una circunferencia transforma dicha circunferencia en su centro. La

dilatacin es pues un mecanismo que permite transformar circunferencias en puntos.

Cuando dos o ms elementos tangentes son dilatados con la misma distancia R, los

elementos dilatados siguen siendo tangentes entre s, es decir, la dilatacin conserva

las relaciones de tangencia. De esta forma, y teniendo en cuenta lo expuesto

anteriormente, todo problema de tangencias en el que intervenga una circunferencia

de radio R puede reducirse por dilatacin a un problema de tangencias equivalente en

el que slo intervenga el centro de la circunferencia (por dilatacin, transformamos

una circunferencia en un punto). As pues, para hallar las circunferencias que son

tangentes a una recta r en un punto T de la misma y a una circunferencia C de radio R,

se obtendrn las dos rectas r' y r", paralelas a r, que resultan de dilatar r en la

cantidad R. Como el centro de la circunferencia tangente a r en el punto T debe estar

sobre la recta s, perpendicular a r en el punto T, entonces, al transformar el problema

por dilatacin, la circunferencia solucin dilatada deber ser tangente a r' en T' o a r"

en T", siendo T' y T" los puntos de interseccin de la recta s con las rectas r' y r",


27

respectivamente.

El problema consiste ahora en trazar dos circunferencias: la circunferencia tangente

a r' en el punto T' que pasa por C y la circunferencia tangente a r" en T" que pasa por

C. Se sabe que los centros O1 y O2 de estas circunferencias estarn en la

interseccin de la recta s con las mediatrices de los segmentos CT' y CT",

respectivamente. Estos centros O1 y O2, adems de ser centros de las

circunferencias solucin dilatada, sern tambin centros de las circunferencias

solucin sin dilatar, ya que toda circunferencia y sus dilataciones son concntricas.

Resumiendo, los pasos para trazar las circunferencias tangentes a una recta r dada en

un punto T de la misma y que son a su vez tangentes a una circunferencia dada de

centro C y radio R son los siguientes:

Trcense las dos rectas r' y r" paralelas a r y situadas a una distancia R de la

misma (dilatacin de r de valor R).

Trcese la recta s perpendicular a r en el punto T, que cortar a la recta r' en el

punto T' y a la recta r" en el punto T".

Hllese la mediatriz del segmento CT', que cortar a s en el punto O1.

Hllese asimismo la mediatriz del segmento CT", que cortar a s en el punto O2.

Las soluciones al problema sern las circunferencias con centros en O1 y O2 que

pasan por el punto T.


28

CIRCUNFRENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS QUE SE CORTAN PASANDO

POR T

Situamos las rectas r y s, y el punto T sobre la recta r.

Los centros de las circunferencias solucin estarn sobre las bisectrices de los

ngulos formados por las rectas r y s.

Al mismo tiempo, los centros estarn sobre la perpendicular a la recta r en el

punto T, por ser tangentes a ella en dicho punto.

Antes de dibujar las circunferencias, calculamos los puntos de tangencia T1 y T2,

sobre la recta s.

Trazamos las circunferencias de centros O1 y O2, abriendo el comps hasta el

punto de tangencia T

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN

Dibujamos tres rectas que se cortan y nombramos los vrtices del tringulo que

generan.

Las bisectrices de los ngulos del tringulo se cortan en el Incentro O1, centro de

la circunferencia inscrita al mismo. En este ejercicio no emulamos el trazado de

las bisectrices para evitar confusiones.


29

Trazamos las bisectrices en los ngulos A y B, para calcular la posicin del centro

O2.

Trazamos las bisectrices en los ngulos B y C, para calcular la posicin del centro

O2.

Dibujamos la circunferencia que pasa por M y O2.Trazamos las bisectrices en los

ngulos A y C, para calcular la posicin del centro O2.

Desde cada uno de los cuatro centros trazamos perpendiculares a las rectas para

conocer los puntos de tangencia.

Dibujamos las cuatro circunferencias solucin.

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA EN TPASANDO POR UN PUNTO

EXTERIOR P

Situamos el punto T sobre la circunferencia y el punto P exterior a ella.

Si la circunferencia ha de pasar por T y P, el centro estar sobre la mediatriz del

segmento que los une.

El centro de la circunferencia solucin estar sobre la recta que une el centro O


30

con T, ya que ser tangente a ella en ese punto.

Dibujamos la circunferencia de centro O1 abriendo el comps hasta el punto T.

RECTA TANGENTE Y NORMAL EN

UN PUNTO DE LA ELIPSE

La tangente a la elipse en un punto de

ella P, es la bisectriz del ngulo

exterior que forman los radios

vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la

tangente en dicho punto


31

RECTA TANGENTE A LA ELIPSE EN UN PUNTO POR CIRCUNFERENCIA

PRINCIPAL

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro

C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto P, y dimetro dichos radios

vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia

principal, en los puntos T1 y T2,

determinados al unir el

centro O de la elipse con los

centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1,

P y T2, estn alineados, y

determinan la recta t

tangente a la elipse buscada.

Tambin se verifica que las

rectas F-P y O-T2, y F'-P y

O-T1 son respectivamente

paralelas

RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE

DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR

CINCUNFERENCIA FOCAL

Esta construccin se basa en la definicin

de circunferencia focal, como el lugar

geomtrico de los puntos simtricos del

otro foco, respecto a las tangentes a la

elipse.

Dado el punto P exterior a la elipse,

comenzaremos trazando la circunferencia

focal de centro en F, y a continuacin la

circunferencia de centro en P, y radio P-


32

F', la cual corta a la focal en los puntos F'1 y F'2. Dichos puntos son los simtricos

del F' respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F'-F'1 y F'-F'2, obteniendo as

las rectas t1 y t2 que sern las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F'1 y F-F'2, que

determinarn sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia

buscados.

RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR

CINCUNFERENCIA PRINCIPAL

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia

principal, y a continuacin la circunferencia de centro en C, y dimetro P-F. Ambas

circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, sern las tangentes t1 y t2 buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F' las

correspondientes paralelas, que determinarn sobre las tangentes, los puntos T1 y T2,

puntos de tangencia buscados.


33

RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE, PARALELAS A UNA DIRECCIN DADA

POR CIRCUNFERENCIA FOCAL

Esta construccin es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior,

solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la direccin d, comenzaremos trazando la

circunferencia focal de centro en F, y a

continuacin la recta perpendicular a la

direccin d, y que pase por el foco F'. Dicha

recta determina sobre la circunferencia

focal, los puntos F'1 y F'2.

Las mediatrices de los segmentos F'-F'1 y

F'-F'2, sern las tangentes a la elipse t1 y

t2 buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia,

trazaremos las rectas F-F'1 y F-F'2, que

determinarn sobre las tangentes t1 y t2, los

puntos T1 y T2, puntos de tangencia

buscados.

RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE, PARALELAS A UNA DIRECCIN DADA

POR CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

Dada la direccin d, comenzaremos trazando

la circunferencia principal, y seguidamente la

recta perpendicular a la direccin d, y que

pase por el foco F'. Dicha recta intercepta a

la circunferencia principal en los puntos R y

S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restar trazar por R y S las rectas t1 y

t2, paralelas a la direccin dada, siendo

estas las tangentes buscadas.


trazaremos las rectas OR y OS, y por el


34

foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarn sobre las

tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.

PUNTOS DE INTERSECCIN DE UNA RECTA CON UNA ELIPSE

Esta construccin se basa en la definicin de la elipse, como el lugar geomtrico de los

centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia

focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a.

seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que

pase por el foco F'. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1.

sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simtrico del foco F', respecto

a la recta r.

Los puntos de interseccin buscados, sern los centros de las circunferencias situados

en la recta r, que pasando por P y F', sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo

tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos

sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la interseccin de las rectas 1-2 y P-F',

obtendremos el punto Cr, centro radical de

todas las circunferencias de centro en r y que

pasen por P y F'.

Tranzando la circunferencia de dimetro F-Cr

y centro en pm, determinaremos en la

circunferencia focal, los puntos T1 y T2,

puntos de tangencia de las circunferencias

buscadas.

Determinaremos el centro de dichas

circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2

con el foco F, rectas que determinarn sobre la

recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las


35

circunferencias solucin, y por tanto, puntos de interseccin de la recta r con la

elipse.

RECTA TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO

DE LA PARBOLA

La tangente a la parbola en un punto de ella P, es

la bisectriz del ngulo que forman los radios

vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente

en dicho punto.

RECTAS TANGENTES A LA PARBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR

CINCUNFERENCIA FOCAL

Esta construccin se basa en la definicin

de circunferencia focal (directriz), como

el lugar geomtrico de los puntos

simtricos del otro foco, respecto a las

tangentes a la parbola.

Dado el punto P exterior a la parbola,


de centro en P, y radio P-F, la cual corta a

la focal (directriz), en los puntos F1 y F2.

Dichos puntos son los simtricos del F

respecto a las tangentes a la parbola

desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los

segmentos F-F1 y F-F2, obteniendo as

las rectas t1 y t2 que sern las tangentes a


36

la parbola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2, rectas

paralelas al eje de la curva, que determinarn sobre las tangentes t1 y t2, los puntos

T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

RECTAS TANGENTES A LA PARBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR

CINCUNFERENCIA PRINCIPAL

Dado el punto P exterior a la parbola,


principal (tangente en el vrtice), y a continuacin

la circunferencia de centro en C, y dimetro P-F.

Ambas circunferencias se interceptan en los

puntos 1 y 2. Las rectas P-1 y P-2, sern las

tangentes t1 y t2 buscadas.


haremos 1-F1=1-F y 2-F2=2-F, y por F1 y F2,

trazaremos rectas paralelas al eje de la curva,

que determinarn sobre las tangentes t1 y t2, los

puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

RECTAS TANGENTES A LA PARBOLA, PARALELAS A UNA DIRECCIN DADA

POR CIRCUNFERENCIA FOCAL

Esta construccin es similar a la del trazado de

tangentes desde un punto exterior, solo que en este

caso el punto es un punto impropio situado en el

infinito. Dada la direccin d, comenzaremos

trazando la recta perpendicular a la direccin d, y

que pase por el foco F. Dicha recta determina sobre

la circunferencia focal (directriz), el punto F1. La

mediatriz del segmento F-F1, ser la tangente a la

parbola t buscada. Para determinar el punto de


37

tangencia, trazaremos pro F1, la recta paralela al eje de la curva, que determinarn

sobre la tangente t, el punto T1, punto de tangencia buscado.

RECTAS TANGENTES A LA PARBOLA, PARALELAS A UNA DIRECCIN DADA

POR CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

Dada la direccin d, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en

el vrtice), y seguidamente la recta

perpendicular a la direccin d, y que pase por el

foco F. Dicha recta intercepta a la

circunferencia principal en el punto 1,

perteneciente a la tangente buscada.

Solo restar trazar por 1 la recta t, paralela a

la direccin dada, siendo esta la tangente

buscada.


haremos 1-F1=1-F, y por F1 trazaremos una

recta paralela al eje de la curva, que terminar

sobre la tangente t el puntoT1, punto de

tangencia buscado.

PUNTOS DE INTERSECCIN DE UNA RECTA CON UNA PARBOLA

Esta construccin se basa en la definicin de la parbola, como el lugar geomtrico de

los centros de circunferencias que pasan por el foco, y son tangentes a la

circunferencia focal del otro foco (directriz).

Comenzaremos trazando una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que

pase por el foco F. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro O.

Sobre dicha circunferencia determinaremos el punto F1, simtrico del foco F,

respecto a la recta r. Los puntos de interseccin buscados, sern los centros de las

circunferencias situados en la recta r, que pasando por F1 y F, sean tangentes a la

circunferencia focal (directriz). Por lo tanto el problema se reduce al trazado de

circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a una recta dada


38

(directriz), Lo que resolveremos por potencia.

Prolongando la recta F-F1, determinaremos

sobre la directriz el punto Cr, centro radical

de todas las circunferencias de centro en r y

que pasen por F y F1.Con centro en pm, punto

medio del segmento F-Cr, trazaremos la

circunferencia de dimetro F-Cr, y por F1 la

perpendicular a dicho dimetro,

determinando sobre la circunferencia

anterior el punto 1.

Con centro en Cr trazaremos el arco de

circunferencia de radio Cr-1, que nos

determinar sobre la directriz, los puntos

T1 y T2. Las perpendiculares a la directriz

en dichos puntos, determinarn sobre la

recta r los puntos I1 e I2, de interseccin

de la recta con la parbola

CONSTRUCCIN DE LA PARBOLA POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIA.

RADIOS DE CURVATURA

Para determinar el centro de curvatura en un

punto P de la parbola, trazaremos la normal en

dicho punto, bisectriz de los dos radios

vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortar al eje en el punto 1.

Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la

normal, que determinar sobre la recta trazada

por P y paralela al eje, el punto 2. Por dicho

punto trazaremos la perpendicular al eje, que

interceptar a la normal en el punto Cp, centro

de curvatura buscado.

El centro de curva en el vrtice de la curva Cv,

lo determinaremos haciendo F-Cv= F-V


39

EJERCICIOS


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CURVAS CNICAS

Se denomina superficie cnica de revolucin, a

la superficie generada por una recta

denominada generatriz, al girar entorno a otra

recta denominada eje. El punto donde la

generatriz corta al eje se denomina vrtice V

de la superficie cnica. Las curvas cnicas son

curvas planas de segundo grado. Tambin se les

llama Secciones Cnicas, porque son el

resultado de intersectar con un plano un cono

de revolucin.

Si un plano a, intercepta a una superficie cnica

de revolucin, la seccin producida se denomina

superficie cnica, y su contorno es una curva

plana de segundo grado. Las curvas cnicas

propiamente dichas son tres: Elipse, Parbola

e Hiprbola, aunque alterando el cono o la

posicin del plano pueden buscarse otras

figuras, entre ellas la circunferencia.

La Elipse se genera cuando el plano a es oblicuo

respecto al eje, y corta a todas las generatrices.

La Parbola se genera cuando el plano a es paralelo

a una generatriz.

La Hiprbola se genera cuando el plano a es paralelo a dos

generatrices. Por cuestiones didcticas y de mejor comprensin,

se suele representar utilizando un plano a paralelo al eje de la

superficie cnica de revolucin.


48

CNICAS SINGULARES O DEGENERADAS

En funcin de la posicin del plano de corte y las propiedades del cono, se pueden

obtener otras curvas cnicas que se denominan singulares o degenerada.


49

ELIPSE

Es el lugar geomtrico de los puntos de los

que la suma de distancias a otros dos fijos es

constante (los puntos fijos son los focos, y la

suma de distancias es igual al dimetro

mayor)

Tambin es el lugar geomtrico de los

centros de las circunferencias tangentes a

otra dada que pasan por un punto interior a

esta, o de los puntos que equidistan de una

circunferencia y de un punto interior.

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geomtrico de los

puntos del plano cuya suma de distancias r+r', a dos puntos fijos F y F', denominados

focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos ejes, el eje mayor A-B, tambin llamado real, y el eje menor C-D,

ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del

eje menor 2b y la distancia focal 2c, y

se cumple que .

La elipse es simtrica respecto a los

dos ejes.

Las rectas que unen un punto

cualquiera de la elipse P, con los focos,

se denominan radios vectores r y r', y

por definicin se cumple que r+r' = 2


50

PROPIEDADES Y ELEMENTOS

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y dimetro

2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geomtrico de los pies de las

perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse.

Tambin se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con

la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son

tangentes a la elipse.

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos

de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrn trazar dos circunferencias focales. La

circunferencia focal, se define como el lugar geomtrico de los puntos simtricos del

otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, tambin podemos definir la elipse, como el lugar geomtrico de

los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la

circunferencia focal del otro foco.


51

CONCEPTO DE DIMETROS CONJUGADOS

Si tenemos un dimetro de la elipse A'B', el dimetro conjugado con l, es el lugar

geomtrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho dimetro (1, 2, 3, 4, etc.),

estos centros determinan el dimetro conjugado D'C' del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los nicos dimetros conjugados perpendiculares

entre s.

Mediante dos dimetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o

bien obtener los ejes reales de la misma.

OBTENCIN DE LOS EJES REALES, A PARTIR DE LOS EJES CONJUGADOS

Dados los ejes conjugados de una elipse A'B' y C'D', podremos obtener a partir de

ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A'B', y

sobre el llevaremos la distancia O-A', determinando el punto 1.

Uniremos el punto 1 con C', y determinaremos el punto medio 2, de dicho


52

segmento.

Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-O, que determinar sobre la

prolongacin del segmento 1-C', los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4

determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.

Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de dimetro 1-C'. Uniendo el

centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6,

siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la

elipse.

Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las

dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo as los

ejes reales de la elipse AB y CD

MTODO PARA DIBUJAR UNA ELIPSE DADOS SUS DOS EJES.

Se trazan el eje mayor AB y el eje menor CD, perpendiculares entre s por el

punto medio de ambos ejes.

Haciendo centro en el punto medio M, se trazan dos circunferencias

concntricas con radios iguales a MA y MC.

Luego se dividen ambas circunferencias en un nmero par de partes iguales. En


53

este caso fueron 12 partes iguales.

Por los puntos de la circunferencia grande, trazar lneas paralelas al eje CD.

Por los puntos de la circunferencia pequea trazar lneas paralelas al eje AB.

Donde las lneas pertenecientes al mismo punto en ambas circunferencias se

corten est un punto por el cual pasa la curva de la elipse. Repetir esto con

todos los puntos de ambas circunferencias.

Por ltimo con una plantilla de curvas unir los puntos de la elipse.

MTODO PARA DIBUJAR UNA ELIPSE DADO EL EJE MAYOR AB Y

LOS FOCOS F Y F.

Se traza el eje mayor AB y se le busca el punto medio M y por l se traza una

lnea perpendicular a AB.

Sobre el eje mayor AB se ubican los puntos F y F.

Se marcan varios puntos arbitrarios entre M y F.

Haciendo centro en F y F sucesivamente y con abertura MA marcamos unos

arcos que corten la lnea perpendicular a AB, consiguindose los puntos C y D,


54

puntos del eje menor de la elipse.

Luego haciendo centro en F y F sucesivamente y con abertura A1 marcamos

unos arcos.

Luego haciendo centro en F y F sucesivamente y con abertura B1 marcamos

unos arcos.

Donde se corten los arcos estn los primeros puntos por donde pasa la elipse.

Hacer lo mismo con los restantes puntos entre M y F, hasta conseguir todos

los puntos de la elipse.

Por ltimo con una plantilla de curvas unir los puntos de la elipse.

TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES

Teniendo en cuenta la definicin de la elipse, como el lugar geomtrico de los

puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud

del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores,

cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje

mayor, 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los

segmentosA1-B1, A2-B2, A3-B3, y as sucesivamente, determinando los

puntos 1', 2', 3', etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarn cuatro puntos de la


55

elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el nmero de puntos, mayor ser la precisin del trazado de

la elipse, que deber realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas

flexibles, o plantillas de curvas especiales.

TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS

Trazaremos el rectngulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo

nmero de partes iguales. Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-

D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se

repetir para los cuatro cuadrantes de la elipse.


56

TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES

CONJUGADOS

Trazaremos el romboide A'O'C'E', y dividiremos los lados A'O' y A'E' en un

mismo nmero de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C'1-D'1, C'2-D'2, etc. y en sus

intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetir para los

cuatro cuadrantes de la elipse.

TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES

Esta construccin se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una

elipse, es el lugar geomtrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde

los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el

P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P

la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse.

Repitiendo esta operacin, obtendremos una serie de tangentes que irn

envolviendo a la elipse.


57

TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIAS AFINES

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro O, y dimetros AB y

CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias

anteriores en los puntos 1 y 2. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD

y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la

elipse. El nmero de radios trazados, sern los necesarios para definir

suficientemente la elipse.


58

TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE DOS DIMETROS CONJUGADOS POR

TRINGULOS SEMEJANTES AFINES

Partiendo de los ejes conjugados A'B' y C'D', comenzaremos trazando la

circunferencia de centro O y dimetro A'B'.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A'B',

como la 1-2. Uniendo 2 con C', y 1 con D', obtendremos los tringulos O2C' y

O1D'. Solo restar construir en el resto de cuerdas tringulos semejantes a

estos como el MPN, de lados paralelos al tringulo O2C', obteniendo as puntos

de la elipse

TRAZADO DE LA ELIPSE CON EL METODO DE LOS ALFILERES Y EL

HILO O LAS ESTACAS Y CORDEL

Se trazan el eje mayor y por su centro el eje menor, ubicando una estaca en

uno de sus extremos del eje menor punto C.

Haciendo centro en C, con abertura igual a la mitad del eje mayor se traza un

arco que ubica a los dos focos ,dos que deben quedar sealados con estacas

Se amara el cordel en la estaca f se pasa por detrs de la estaca C y templando

se amara en el otro foco

Se suelta el cordel en c y luego con una estaca colocada por dentro el cordel


59

templado se va deslizando y rayando la elipse.

ELIPSE CONOCIENDO SUS DOS EJES. MTODO DE LA TIRA DE

PAPEL

ste es un mtodo sencillo y rpido para trazar elipses. El procedimiento est

basado en la definicin de elipse. Consiste, por tanto, en marcar sobre una tira

de papel, con trazos pequeos, la longitud del semieje mayor AO y la del

semieje menor CO

Se hace coincidir el punto N sobre el semieje mayor AO de la elipse que se va a

dibujar, y el punto F sobre el semieje menor CO, siendo M un punto de la elipse.

Repitiendo este procedimiento se consiguen nuevos puntos, tantos como se

deseen.

No hay que olvidar que los puntos N y F de la tira de papel han de coincidir

siempre sobre los ejes de la elipse que se quiere dibujar. Por ltimo, slo resta

unir los puntos hallados de forma manual o con plantillas para determinar la

curva


60

CONSTRUCCIN DE LA ELIPSE POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIA. RADIOS

DE CURVATURA

Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la elipse, trazaremos

la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortar al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto

trazaremos la perpendicular a la normal, que determinar sobre la recta P-O,

el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que


61

interceptar a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podramos haber llegado a la misma solucin,

determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la

perpendicular a la normal, que determinar sobre la recta P-O, el punto 4. Por

dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptar a

la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la

elipse, trazaremos el rectngulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la

perpendicular a la recta C-B, que determinar los puntos CB y Cc,

respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que sern los

centros de curvatura buscados.


62

VALO

Es una curva plana y cerrada, simtrica respecto a sus dos ejes perpendiculares y

formada por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos. A continuacin se

desarrollan algunos de los trazados de valos ms utilizados en dibujo tcnico.

VALO CONOCIENDO EL EJE MENOR

Se traza la mediatriz del eje menor CD, obtenindose el punto O. En la

mediatriz est situado el eje mayor del valo.

Con centro en O y radio OC se dibuja una circunferencia que corta al eje

mayor en los puntos O1 y O2; se unen estos puntos con C y D prolongando

dichas rectas.

Con radio CD y centro en C y D, respectivamente, se trazan dos arcos que

determinan los puntos P y P, Q y Q, puntos de tangencia entre los arcos que

forman el valo.

Por ltimo, con centro en O1 y en O2, y radio O1 P, se trazan los otros dos

arcos para unir P con Q, y P con Q; de este modo queda determinado el valo.


63

VALO CONOCIENDO EL EJE MAYOR (PRIMER PROCEDIMIENTO)

Se divide el eje mayor AB en tres partes iguales, determinando as los puntos

O y O1. Con centro en estos puntos y radio igual a 1/3 de AB, por ejemplo OA,

se trazan dos circunferencias que se cortan en los puntos O2 y O3.

Se unen mediante rectas los puntos O y O1 con O2 y O3, obteniendo as los

cuatro puntos de tangencia: P y P, y Q y Q.

Con centro en O2 y O3 respectivamente y radio O3 P, se realizan dos arcos

hasta unir los puntos P con P y Q con Q. De este modo queda resuelto el valo

pedido

3.-VALO CONOCIENDO EL EJE MAYOR (SEGUNDO PROCEDIMIENTO)

Se divide el eje mayor AB en cuatro partes iguales, obteniendo as los puntos O

y O1 que corresponden a los puntos 1 y 3 en el eje dividido. Se trazan dos

circunferencias con centro en O y O1, respectivamente, y radio igual a 1/4 de

AB, es decir, OA.

Se trazan dos arcos con centro tambin en O y O1, respectivamente, y radio

igual a OO1

Donde los arcos se cortan se encuentran los puntos O2 y O3, centros de los


64

arcos mayores del valo. Para hallar los puntos de tangencia se unen los centros

O2 y O3 con los otros centros O y O1 , y a partir de aqu se procede de igual

manera que se hizo en el ejercicio anterior

VALO PTIMO CONOCIENDO LOS DOS EJES

Se traza un arco de centro en O con radio OA que corta a la prolongacin de

CD, eje menor, en el punto P. Se une A con C, y se describe un arco de radio

CP con centro en C hasta cortar el segmento AC en V

Se dibuja la mediatriz de AV, que corta la prolongacin de OD en el punto M o

dentro del propio segmento, y al semieje mayor en el punto N. Se determinan

los puntos simtricos de M y N respecto a los ejes del valo, M y N.

Se unen los puntos M y M con N y N, respectivamente, y se trazan los arcos

de centro M y M con radio MD y MC, obtenindose los puntos y Q y P y P

Por ltimo, se dibujan los arcos de centro N y N con radio NA y NB hasta los

puntos de tangencia anteriormente trazados: Q y Q, y P y P; de esta manera

se consigue construir el valo


65

VALO INSCRITO EN UN ROMBO.

Se parte de un rombo cualquiera ABCD. Desde los vrtices de los ngulos de

mayor valor del rombo, se trazan rectas perpendiculares a los lados opuestos a

ellos, que cortan al eje mayor determinando los puntos O1 y O2, y a los lados

del rombo en P y P , y Q y Q

Los puntos C, D, O1 y O2 son los centros de los cuatro arcos que forman el

valo pedido.

Con centro en C y D respectivamente y radio CP, se trazan dos arcos hasta unir

P con P, y Q con Q. Del mismo modo, con centro en O 1 y O2, se trazan dos

arcos hasta unir P con Q y P con Q, terminando as de construir el valo


66

VALO ISOMTRICO

En el caso de que los ngulos mayores del rombo donde se ha de inscribir el

valo valgan 120, y por tanto los menores 60, el valo inscrito en l se llama

isomtrico.

Su construccin se realiza de igual manera que en el caso descrito

anteriormente. La razn de adoptar este nombre viene dada porque esta figura

se utiliza en dibujo isomtrico para sustituir, de manera aproximada, a la elipse

que tenga el mismo valor de ejes que el valo


67

OVOIDE

El ovoide es una curva plana y cerrada, simtrica slo respecto a su eje mayor, y

formada por cuatro arcos de circunferencia, de los que dos son iguales y los otros dos

son desiguales

CONSTRUCCIN DE OVOIDES

A continuacin se desarrollan algunos de los trazados de ovoides ms utilizados en

dibujo tcnico.

OVOIDE CONOCIENDO EL EJE MENOR

Se dibuja la mediatriz del eje

conocido AB, obteniendo el punto O.

Con centro en O y radio OA, se traza

una circunferencia que corta a la

mediatriz en el punto P

Se unen los puntos A y B con P,

obteniendo las semirrectas r y s. Se

trazan dos arcos con radio AB y

centro en los puntos A y B,

obtenindose as los puntos M y M

Con centro en P y radio PM o PM, se

describe el ltimo arco que configura

el ovoide pedido.

OVOIDE CONOCIENDO EL EJE MAYOR

Se divide el eje mayor AB en seis partes iguales, y por la segunda divisin se

traza una perpendicular al eje. Se hace centro en esa misma di-visin, es decir

en la 2, y con radio 2-6, se describe un arco que determina los puntos P y Q.

Se unen P y Q con el punto 5, quinta divisin de AB. Se hace centro en el punto


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2 y con radio 2 P o 2Q se dibuja una semicircunferencia, obteniendo sobre el

segmento PQ los puntos H e I. Con centro en P y Q, respectiva-mente, y radio

PI, se trazan los arcos que determinan los puntos M y N

Por ltimo, con centro en el punto 5, y con radio 5 M, se traza un arco para

terminar de construir el ovoide pedido

OVOIDE CONOCIENDO LOS DOS EJES

Se toma el eje menor CD y se traza su mediatriz, obtenindose el punto O. Con

centro en l y radio OC, se dibuja una circunferencia que corta ala mediatriz en

los puntos A y J. Desde A y sobre dicha mediatriz, se lleva el valor del eje

mayor AB, quedando de esta manera situados los ejes del ovoide. Con centro en

J y radio JB, se dibuja una circunferencia. A partir de C y sobre CD se lleva la

magnitud JB obteniendo el punto M. Se determina la mediatriz de MJ,

obtenindose el punto N sobre el segmento OD. Se halla el simtrico de

N sobre CO, obtenindose el punto N. Se unen los puntos N y N con J,


69

determinndose los puntos de tangencia Q y Q . Por ltimo, con centro en N y

N respectivamente, y radio NC, se trazan los arcos hasta unir C con Q y D con

Q, con lo que se obtiene el ovoide buscado


70

HIPRBOLA

La hiprbola es una curva plana y abierta, lugar geomtrico de todos los puntos del

plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos F y F, es

constante e igual al eje real A, es decir, a la distancia entre los vrtices V y V.

PF PF = AB

ELEMENTOS DE LA HIPRBOLA

Los elementos ms significativos que

configuran la hiprbola son los

siguientes

Ejes: tiene dos ejes: AB, eje real, y

CD, eje imaginario; son

perpendiculares entre s y se cortan

en el punto O. El eje real contiene a

los vrtices A y B de cada rama de la

curva. La hiprbola consta de dos

ramas simtricas respecto de los dos

ejes


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En esta curva, la distancia desde el centro de simetra O a cada foco es igual a la

distancia AC, siendo A un extremo del eje real y C un extremo del eje imaginario. Esta

propiedad permite, si se conoce uno de los ejes y los focos, determinar el otro eje y,

lgicamente, si se conocen los dos ejes, se pueden obtener los focos.

Focos: denominados como F y F, estn situados en el eje real, y se hallan haciendo

centro en O y radio igual a la distancia AC.

Distancia focal: es la distancia que existe entre los dos focos.

Radios vectores: son las rectas que unen un punto cualquiera de la hiprbola con los

focos.

Circunferencia principal: es la que se determina haciendo centro en o, centro de la

hiprbola, y radio igual a la distancia AO del semieje real.

Circunferencia focal: la hiprbola tiene dos circunferencias focales. Para dibujarlas

se toma como radio el eje real AB, y centro F y F, respectivamente.


72

Asntotas: son rectas que pasan

por el centro de la hiprbola, y

son tangentes a ella en el infinito;

adems, son simtricas respecto

de los ejes AB y CD. Se

determinan trazando la

circunferencia principal con

centro en o. se dibujan rectas

tangentes desde el foco f a la

circunferencia, determinando as

los puntos de tangencia m y n. se

une estos puntos con o y se

obtienen las dos asntotas.

CONSTRUCCIN DE LA HIPRBOLA

La nomenclatura ms utilizada en geometra para denominar a los ejes y la distancia

focal es la siguiente:

Eje real= AB= 2a; semieje mayor o real a

Eje imaginario = CD= 2b; semieje menor o virtual =b

Distancia focal=FF = 2c

HIPRBOLA CONOCIENDO LOS DOS EJES. POR PUNTOS

Una vez situados los ejes AB y CD, se procede a determinar los focos; con

centro en O, y radio AC se traza un arco, y all donde ste corta al eje real

estn los focos F y F.


73

Se sitan puntos arbitrarios: 1 y 1, 2 y 2, etc., sobre el eje real a uno y otro

lado de los focos, F y F, respectivamente. Con radio 1A, y centro en F y F se

realizan dos arcos; con radio 1B, y centro en F y F se describen otros dos

arcos, que cortan a los anteriores de-terminando los puntos M y M, y N y N,

de la curva de ambas ramas.

Repitiendo esta operacin tantas veces como puntos se hayan marcado sobre el

eje, se obtiene el resto de los puntos de la hiprbola. Por ltimo, se unen con

plantillas de curvas o a mano alzada hasta terminar las dos ramas de la curva

HIPRBOLA CONOCIENDO LAS ASNTOTAS Y LOS VRTICES

Se trazan rectas paralelas a las asntotas por los vrtices A y B, obteniendo

sobre stas los puntos 1 y 1. Se lleva sobre las asntotas la distancia O1 =O1,

determinando los puntos 2, 3, etc., por los que se trazan paralelas a la asn-

tota.


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Se divide el segmento O1 en partes, que estn a 1/2 dela distancia O1 (punto

P), a 1/3 (punto I), a 1/ 4 (punto J), etc., de forma que las paralelas trazadas

por los puntos P, I , J , etc., cortan a las trazadas por 2 en C , por 3 en D, y as

sucesivamente.

Los puntos de la otra mitad de la rama en la que se ha trabajado pueden

obtenerse hallando los simtricos, respecto a los ejes de la curva, de los ya

determinados, al igual que los puntos de la otra rama

TRAZADO DE LA HIPRBOLA POR HACES PROYECTIVOS

Comenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, y

trazaremos el rectngulo ARPS, y dividiremos los lados RP y PS en un mismo

nmero de partes iguales. Sobre la prolongacin de PR y PS llevaremos esas

mismas divisiones.


75

Seguidamente trazaremos rectas que unan el vrtice A, con las divisiones de

PR, y el vrtice Br con las divisiones de PS, obteniendo en sus intersecciones,

puntos, pertenecientes a la hiprbola buscada. Esto se repetir para la otra

rama de la hiprbola.

TRAZADO DE LA HIPRBOLA POR ENVOLVENTES

Esta construccin se basa en el hecho de que la circunferencia principal, es el

lugar geomtrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a

las tangentes a la hiprbola.

Para este trazado partiremos de puntos, de la circunferencia principal.

Uniremos dichos puntos con el foco F', y trazaremos por ellos, perpendiculares

a las rectas trazadas, obteniendo las rectas tangentes a la parbola. La curva

se determinar mediante tangentes a dichas rectas.

Las asntotas sern las tangentes a la hiprbola en el infinito, y que

determinaremos trazando el arco de centro en O y radio O-F. En la


76

interseccin de dicho arco con la perpendicular al eje real, trazada por el

vrtice A, determinaremos el punto 1, perteneciente a la asntota, solo restar

unir dicho punto con el centro O de la hiprbola.

TRAZADO DE LA HIPRBOLA MEDIANTE RADIOS VECTORES

Teniendo en cuenta la definicin de la hiprbola, solo necesitaremos coger

pares de radios vectores, cuya diferencia sea 2a, para ello determinaremos

una serie de puntos sobre el eje real, 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de

radios vectores, los segmentosA1-B1, A2-B2, A3-B3, y as sucesivamente,

determinando los suficientes puntos de la parbola, como para ser definida.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarn cuatro puntos de la

hiprbola, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el nmero de puntos, mayor ser la precisin del trazado de


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la hiprbola, que deber realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas

flexibles, o plantillas de curvas especiales.


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PARBOLA

La parbola es una curva plana y abierta, lugar geomtrico de todos los puntos del

plano equidistantes de uno fijo llamado foco F y de una recta d denominada directriz.

PF = FD

ELEMENTOS DE LA PARBOLA

Los elementos ms significativos que configuran la parbola son los siguientes:

Eje: tiene slo un eje de simetra,

perpendicular a la directriz, y que contiene

al vrtice y al foco.

Radios vectores: son las rectas que unen

un punto cualquiera de la parbola con el

foco.

Circunferencia principal: tiene un radio

infinito y es tangente a la parbola en su

vrtice.

Circunferencia focal: tambin tiene un

radio infinito y se convierte en una recta

que coincide con la directriz.

Parmetro: es la longitud de la cuerda de

la parbola, perpendicular al eje, que pasa

por el foco.

Semi parmetro: es la distancia desde el

foco hasta la directriz.

Construccin de la parbola


79

CONSTRUCCIN DE LA PARBOLA

PARBOLA CONOCIENDO LA DIRECTRIZ Y EL FOCO. POR PUNTOS

Se dibuja la directriz d y el foco F, y se halla el punto medio del segmento OF,

siendo ste el vrtice A de la curva. A partir del foco F se sitan puntos

arbitrarios: 1, 2, 3, etc., y por ellos se trazan paralelas a la directriz d.

Tomando como radios las distancias O1, O2, etc., y haciendo siempre centro en

el punto F, se trazan arcos que cortan, respectivamente, a las rectas que pasan

por 1, 2, 3,etc., obtenindose los puntos M y M,N y N, y as sucesivamente.

Al unir estos puntos con trazo continuo resulta la parbola buscada.


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PARBOLA CONOCIENDO EL VRTICE, EL EJE Y UN PUNTO P DE

LA CURVA

Se sitan los datos con los que contamos, y se determina el punto P, simtrico

de P respecto del eje. Por el vrtice A de la curva se traza una perpendicular

al eje, y por P y P se trazan las paralelas al eje; donde stas cortan a la

perpendicular se obtienen los puntos M y N

Se dividen MP y AM en un nmero de partes iguales, por ejemplo seis. Por las

divisiones obtenidas sobre AM se trazan paralelas al eje. Se unen con el

vrtice A los puntos de la divisin MP, y donde estas rectas cortan a las

paralelas se obtienen los puntos1, 2, 3, etc. Los puntos 1, 2, 3, etc., se hallan

por simetra.

Uniendo los puntos as determinados con una lnea continua, se obtiene la

parbola pedida.


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TRAZADO DE LA PARBOLA POR ENVOLVENTES

Esta construccin se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso,

la tangente a la curva en el vrtice, es el lugar geomtrico de los pies de las

perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la parbola.

Para este trazado partiremos de puntos 1, 2, 3, etc, de la circunferencia principal.

Uniremos dichos puntos con el foco F, y trazaremos por los puntos anteriores

perpendiculares a los segmentos F1, F2, F3, etc., obteniendo las rectas tangentes a

la parbola. La curva se determinar mediante tangentes a dichas rectas


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TRAZADO DE LA PARBOLA EN BASE A LA DEFINICIN DE LA CURVA

Esta construccin se basa en la definicin de la parbola, como el lugar geomtrico de

los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la

circunferencia focal.

Comenzaremos trazando las rectas F1, F2, F3, etc., que unen el foco de la curva F,

con puntos de la directriz d.

Seguidamente trazaremos las perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto

de interseccin con la circunferencia principal, en el caso del segmento F1, en el punto

s. Esta perpendicular resulta ser la mediatriz del segmento F1, y tangente a la la

curva.

Trazando por el punto 1, una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptar a

la tangente anteriormente trazada en el punto T1, punto de la parbola.

Repitiendo con el resto de puntos, obtendremos los suficientes puntos de la curva

para poder ser trazada


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