1

1

Modélisation de la dynamiquede sillages d’objets fixesaxisymmétriques :

Approche “formes normales”

D. FabreE. Knobloch (UC Berkeley)

2

Normal form theory (in short)

This theory allows to predict all possible states and all possible bifurcation sequences according to :

• The symmetries of the problem

• The nature of the leading modes

=> Rotations + Reflections + Time shifts ( group O(2)xS1 )

=> A « steady » mode and a « Hopf » mode , with same azimuthal wavenumber (m=±1) Natarajan & Acrivos, 1993 (sphere & thin disk)

Golubitsky, Stewart & Shaeffer, 1988

Amazingly, this situation is also relevant to the Taylor-Couette system ! (assuming periodicity in the axial direction)

2

3

First step : stability analysis ofaxisymmetric flow

Assume a flow with the following form :

Leading eigenvalues : m=-1 : λs (non-rotating)(Natarajan & Acrivos, 1993) λh + i ωh (clockwise) λh - i ωh (anti-clockwise)

m=+1 : λs (non-rotating) λh + i ωh (anti-clockwise) λh - i ωh (clockwise)

• λs > 0 for Re > Rec,s with Rec,s = 212 (sphere) 116.5 (disk)

•λh > 0 for Re > Rec,h with Rec,h = 274 (sphere) 125.5 (disk)

!"

#$%

&+= + timerxuaxrUtrxu '(( ),(ˆRe),(),,,( 0

4

Parametrisation of the problem :

Base flow « Steady »eigenmode

« Hopf »eigenmode

3 Complex amplitudes a0, a1, a2

!

(Cy + iCz) = a0 " (# ˆ p s$$ r n .r e r + ...)dS%

& ' '

(

) * *

+ (a1 + a2) " (# ˆ p h$$ r n .r e r + ...)dS%

& ' '

(

) * *

(+NL.)

Forces :

11 1!

Cx = Cd ,0 (U0) + O( a02, a1

2+ a2

2,...)

3

5

Normal form truncated to third order

•l0,l1,l2,l3 : real ; A, B, C, D : complex (all assumed constants)

6

Bilan :Bilan : 3 paramètres « linéaires »

12 paramètres « non-linéaires » En pratique : 2 stratégies :

- Calcul par développement faiblement non linéaire(Meliga et al.)

- Estimation par analyse de la dynamique simulée(Fabre, A. & M. ; Auguste, F. & M.)

=> Etude mathématique générale préalable

λs ≈ (Re-Rec1), λh ≈ (Re-Rec2),

ωh assumed constant.

4

7

Principe de lPrincipe de l’é’étude mathématiquetude mathématique Classification de toutes les solutions possibles

déploiement (unfolding) dans le plan (lambdas,lambdah)

« Mode d’emploi » permettant de construire lediagrammes de bifurcations correspondant à un jeu deparamètres donnés

8

exampleexample

5

9

Trivial State

SWStanding Wave

RWRotating Wave

SSSteady State

MM0Mixed Mode

MMπMixed mode

PrWModulated Precessing Wave

PuWModulated Pulsating Wave

3PWThree-period Wave

MM0, MMπModulated Mixed Modes

Heteroclinic cycle CHAOS

~ ~

10

Normal form truncated to third order

•l0,l1,l2,l3 : real ; A, B, C, D : complex (all assumed constants)

6

11

First primary bifurcation :“pitchfork of revolution”

⇒ Bifurcation to a « Steady-state mode » :

⇒Supercritical if l0<0,

Subcritical if l0>0.

arbitraryel

a is0

00 ,0 !

" !

#=

12

Second primary bifurcation : “Hopf of revolution”

⇒Two nonlinear solution branches : (Crawford & Knobloch, 1991)

« Rotating Wave » « Standing Wave »

(Supercritical if Br<0, More stable if Ar<0) (Supercritical if (2Br+Ar)<0, More stable if Ar>0)

.0

,

2

)(1

1

=

!= +

a

eB

a ti

r

h h "#$

.)2(

,)2(

)(2

)(1

2

1

!"

!"

#

#

+

+

+$=

+$=

ti

rr

h

ti

rr

h

h

h

eAB

a

eAB

a

!

=> (Cy + iCz ) = a1 ei ("ht+#1 )

!

=> (Cy + iCz ) = a1 e2i("1 #" 2 ) cos $ ht +

"1 +"22

%

& '

(

) *

7

13

Second primary bifurcation : “Hopf of revolution”

⇒Two nonlinear solution branches : (Crawford & Knobloch, 1991)

« Rotating Wave » « Standing Wave »

(Supercritical if Br<0, More stable if Ar<0) (Supercritical if (2Br+Ar)<0, More stable if Ar>0)

14

Mixed modesMixed modes

!

a0 " 0, a1 = a2 " 0,# =$1 %$2 % 2$0 = 0 ou &

« Zig-zig », RPM, etc… « Yin-yang, RBM, etc…

8

15

Bifurcation Bifurcation from from SS to SS to Mixed-Mixed-modesmodes

⇒Sign of D_rt cetermines the most unstable (and preferentially selected) mixed mode

16

Trivial StateO(2) x S1

SWStanding WaveZ2(κ) + Z2

c

RWRotating Wave

SO(2)~SS

Steady StateZ2(κ) x S1

MM0 Mixed ModeZ2(κ)

MMπMixed modeZ2(κ(π,π))

Bilan : “Pure modes” and “mixedmodes”

9

17

Axisymmetric Wake

(sphere+disk)

Steady (sphere+disk)

Spiral shedding(rising bubble)

Periodic, reflexionnal, zero-mean-lift(disk, 2nd unsteady mode)

Periodic, reflexionnal, nonzero-mean-lift (sphere)

Periodic, non-reflexionnal(disk, 1st unsteady mode)

18

Taylor-Couette flow

Taylor vortices Spiral vortices«Ribbons»

«twisted vortices» «wavy vortices»

10

19

Trivial state

Standing Wave Rotating Wave Steady State

Mixed Mode 0 Mixed Mode π

Ar<0Ar>0

l3 <0

l3>0Dr<0

Dr>0

Conditions for favorised bifurcation

Conditions for supercriticality

Br<0(2Br+Ar)<0

l0<0

Δ+>0

Δ+>0

Δ->0

Δ->0

Δ±= ( 2Br+Ar ) l0 – (Cr ± Dr) (l1 ± l3)

20

Assuming that λs ≈ (Re-Rec1), λh ≈ (Re-Rec2) ,

We can look for values of the nonlinear coupling coefficientsl0, l1 ,l2 ,l3 ,A, B, C, D leading to bifurcation diagrams qualitativelyconsistent with the numerical results

11

21

Study Study of of higer higer bifurcationsbifurcations Reduction to « polar equations »

Interest : all periodic solmutions become fixed points

22

«« Precessing wavePrecessing wave » » PrWPrW((hoola-hoop hoola-hoop !)!)

« Lift » diagram « r1-r2 » diagram

12

23

«« Pulsating wavePulsating wave » » PuWPuW((knit-knotknit-knot))

« Lift » diagram « r1-r2 » diagram

24

«« 3-frequency 3-frequency wavewave » 3FW» 3FW((tutti-frutti tutti-frutti ?)?)

« Lift » diagram « r1-r2 » diagram

13

25

Modulated Modulated mixed modesmixed modesMM0, MM0, MMpiMMpi

=> do not appear generically in third-order truncatedproblem, except if one of the primary bifurcations isSUBCRITICAL

~ ~~ ~

26

Trivial State

SWStanding Wave

RWRotating Wave

SSSteady State

MM0Mixed Mode

MMπMixed mode

PrWModulated Precessing Wave

PuWModulated Pulsating Wave

3PWThree-period Wave

MM0, MMπModulated Mixed Modes

Heteroclinic cycle CHAOS

~ ~

14

27

Axi.wake

« SS »

Spiral mode(rising bubble)« Zig-Zag »

« Zig-zig »

« Yin-Yang »

2-P « precessing » Mode« Hoola-Hoop »

2-P « pulsating » mode« Knit-Knot » Three-period mode

2-P « breathing » modesMM0, MMπ

Heteroclinic cycle CHAOS

~ ~

28

Theoretical bifurcation diagrams :

Sphere l0 <0, ( 2Br+Ar ) < 0, Br<0,Dr >0, Δ+>0.

MM0

MM0

MMπ MMπ

SS

SS

SW

SW

RW

RW

Disk l0 <0, ( 2Br+Ar ) < 0, Br<0, Ar>0,Dr<0, l3<0, Δ+>0.

212 269 276 115 121 126 139

15

29

Lift coefficients for Lift coefficients for the diskthe disk

Cy, Normal FormCy (min,max) Numerics

Cz max Normal Form

Cz max Numerics

With fit of the nonlinear coefficients

30

Theoretical bifurcation diagram

Thick disk, χ =3

Zig-zig

Knit-knot

Yin-yang

SS

Zig-Zag

Spiral

Hoola-hoop

Axi

16

31

Bonus :Bonus : Caractérisation des cycles hétéroclines

Caractérisation des scénarios de transition vers le chaos

Etude complète d’un cas particulier de codimension 2=> Il existe toujours 1 ou 2 branches de type PuW

32

Bilan : corps fixesBilan : corps fixes tous les modes observés sont prédits par la théorie (et réciproquement ?) jusqu’au régime « Zz’ »

ensuite ? Zz’ = MM0 ? (mais interdit depuis SW)

ou bien apparition d’un mode supplémentaire ?(m=0, 1, 2 ??)

~

~

17

33

Perspectives «Perspectives « corps mobilescorps mobiles » » Tentative Twilight zone

RV => OS => OP => OM =>* HM => KO =>* ZZ SS MM0 ???? PrW? SW???

Plus généralement quels sont les modes principaux ??? Fixe : m=1, steady/unsteady corps mobile : rajouter d’autres modes ?

=> mode m=0 et 1 « quasi-statiques ? » => ??

=> Généralisation fortement non linéaire ? (autorotation ?)