FAKULTET ELEKTROTEHNIKEENERGETSKA ELEKTROTEHNIKAŠKOLSKA 2012/2013

studenti:Bošnjaković Dino

Haračić Dino

Sadržaj:

1. Uvod - osnovni princip rada transformatora..............................................32. Tip problema..............................................................................................73. Granični uslovi............................................................................................84. PDE Specification dialog box......................................................................95. Mreža konačnih elemenata i njen kvalitet...............................................106. Plot Selection dialog box..........................................................................117. Kompletan postupak rješavanja...............................................................128. Komentar..................................................................................................22

Modelovanje magnetnog polja kod jednofaznog (dvonamotajnog) transformatora

Projektni zadatak: Predmet istraživanja je raspodjela magnetnog polja jednofaznog (dvonamotajnog) transformatora. Za proračun raspodjele magnetnog polja jednofaznog transformatora korišten je programski paket Matlab, koji u svom sklopu posjeduje alat (Matlab PDE TOOLBOX) za rješavanje linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina, koje koriste metod konačnih elemenata.Proračun raspodjele magnetnog polja izvršen je u poprečnom presjeku transformatora u dvije dimenzije. Cilj je dobiti model jednofaznog transformatora koji bi što vjernije prikazao raspodjelu magnetnog polja, koja se javljaju pri radu transformatora.

1. Uvod - osnovni princip rada transformatora

Transformator je statički elektrotehnički aparat koji pomoću elektromagnetne indukcije, pretvara jedan sistem naizmjeničnih struja u jedan ili više sistema naizmjeničnih struja isteučestanosti i obično različitih vrijednosti jačina struja i napona. Uloga transformatora u elektroenergetskom sistemu je veoma značajna jer on omogućuje ekonomičnu, pouzdanu ibezbijednu proizvodnju, prijenos i distribuciju električne energije pri najprikladnijimnaponskim nivoima. Dakle, njegovom primjenom se, uz veoma male gubitke energije, rješavaju problemi raznih naponskih nivoa i međusobne izolovanosti kola koje se nalaze na različitim naponskim nivoima.Transformator treba da bude projektovan i izrađen tako da izdrži moguća naprezanjakojima je izložen tokom svog životnog vijeka. Naprezanja u osnovi možemo da svrstamo utri glavne grupe: električna, mehanička i toplotna. Kod električnih naprezanja prije svegatreba obratiti pažnju na prenapone koji se javljaju kao posljedica prekidanja u kolu,atmosferskih pražnjenja, lukova prema zemlji, kratkih spojeva, kao i ispitnih napona.Pojave praćene velikim strujama u odnosu na naznačene (nominalne, nazivne), (kratkispojevi u mreži, kao i uključenje transformatora u praznom hodu), opasne su sa stanovištamehaničkih i toplotnih naprezanja (ova naprezanja su proporcionalna sa kvadratom struje).Do povećanih toplotnih naprezanja dolazi i kod preopterećenja transformatora. Takođetreba obratiti pažnju i na buku transformatora.

Osnovni elementi konstrukcije transformatora

U pogledu konstrukcije, transformator se sastoji iz sljedećih osnovnih dijelova:

• magnetskog kola,• namotaja,• izolacije,• transformatorskog suda,• pomoćnih dijelova i pribora.

Magnetsko kolo se gradi od visokokvalitetnih hladnovaljanih orijentisanih transformatorskih limova. Da bi se smanjila struja magnećenja (pobudna struja) teži se uzimanju što kvalitetnijeg lima, sa velikom relativnom permeabilnošću, i primenjuju se odgovarajuća konstrukciona i tehnološka rješenja u izradi magnetskog kola. Radi smanjenja gubitaka usljed vihornih (vrtložnih) struja, koriste se međusobno izolovani limovi male debljine (0,30, 0,27 i 0,23 mm). Osnovni fizički elementi magnetskog kola su stubovi (jezgra), oko kojih su smješteni namotaji i jarmovi (donji i gornji). Stubovi imaju stepeničasti oblik i popunjavaju se paketima limova odgovarajuće širine, kako bi ispuna prostora opisanog kruga bilo što bolja. Kod transformatora velikih snaga, u jezgra se stavljaju kanali (podužni, širine 6 mm) i prema potrebi jedan poprečni (širine 10 −15 mm),kako bi kroz njih moglo da cirkuliše ulje i hladi magnetsko kolo. Magnetsko kolo se priteže odgovarajućim steznim sistemom kako bi se dobila što bolja mehanička kompaktnost.

Namotaji se prave od okruglog, profilnog ili trakastog provodnika od bakra ili aluminijuma, materijala koji imaju mali električni otpor. Namotaj koji se priključuje na napajanje se naziva primar, dok se namotaj koji je spojen na prijemnik naziva sekundar.Osnovni oblici namotaja prema načinu izrade su: spiralni, slojeviti i presloženi. Gustine struje za namotaje uljnih transformatora su 2 − 4,5 A/mm2 .

Izolacija predstavlja kombinaciju celuloze (papir, prešpan) i izolacionog ulja u slučaju uljnih transformatora, odnosno čvrste izolacije (staklene tkanine impregnirane epoksidnim, silikonskim ili drugim sintetičkim smolama) u kombinaciji sa vazduhom kod suhih transformatora (do 36kV ). Izolaciono (transformatorsko) ulje, osim poboljšanja izolacionih svojstava, objezbjeđuje i hlađenje transformatora, jer zbog svog velikog specifičnog toplotnog kapaciteta mnogo bolje odvodi toplotu sa magnetskog kola i namotaja na sud i rashladni sistem.

Međutim, treba imati u vidu da je ulje zapaljivo i da lahko gori. Izolacija provodnika je najčešće lak ili papir.

Transformatorski sud postoji kod uljnih transformatora i izrađuje se od kvalitetnog čelikasa ojačanjima. Oblik suda zavisi od načina hlađenja, pa bočne strane mogu biti glatke,valovite ili sa cijevima za hlađenje.

Pomoćni dijelovi i pribor transformatora: natpisna pločica, provodni izolatori zapovezivanje sa mrežom, dilatacioni sud (konzervator), regulator napona, priključak zauzemljenje, džep termometra, pokazivač nivoa ulja, slavina za ispuštanje ulja, itd.

Princip rada, osnovne jednačine

Jednofazni transformator jezgrastog tipa

Najprostiji transformator se sastoji iz dva namotaja - primara i sekundara. Ako se vremenski promjenljiv napon priključi na primar od navojaka, struja koja tada teče kroz njega indukuje magnetomotornu silu (MMS). Kao što elektromotorna sila (EMS) tjera struju kroz električno kolo, tako i MMS tjera magnetni fluks oko magnetnog kola. MMS na primaru izaziva promjenljiv magnetni fluks u jezgru (siva boja) i indukuje EMS koja je suprotnog smjera u odnosu na . Prema Faradejevom zakonu elektromagnetne indukcije, indukovan napon kroz primar je direktno proporcionalan brzini promene fluksa:

Slično, napon koji je indukovao međusobni fluks kroz sekundar je:

U idealnom slučaju, fluks na sekundaru je jednak onome u primaru i zato se mogu izjednačiti i . Iz ovog slijedi:

Dakle, u idealnom transformatoru, odnos primarnog i sekundarnog napona je jednak odnosu broja navojaka u namotajima, tj. napon po jednom navojku je isti u oba namotaja. Odnos struja u primaru i sekundaru je obrnuto proporcionalan odnosu broja navojaka. Ovo vodi najčešćoj upotrebi transformatora: preobražavanju električne energije jednog napona u električnu energiju drugog napona upotrebom namotaja sa različitim brojem navojaka.EMS u sekundaru, u slučaju da je priključen na neko električno kolo, izaziva tok struje u njemu. MMS koju proizvodi struja u sekundaru je u opoziciji MMS primara i teži da poništi fluks u jezgru. Pošto smanjeni fluks smanjuje EMS indukovanu u primaru, u njemu teče povećana struja. Rezultat povećanja MMS zbog struje u primaru će izjednačiti efekat suprotne sekundarne MMS. Na ovaj način, električna energija dovedena na primar prenosi energiju na sekundar.U praksi, visokonaponski namotaj ima više navojaka tanke žice, a niskonaponski malo navojaka debele žice.Pošto jednosmerni napon neće dati promenljivi fluks u jezgru, ni EMS neće biti stvorena i struja koja teče kroz transformator će biti beskonačno velika. U praksi, redna veza otpornosti navojaka će ograničiti jačinu struje koja može teći, sve dok transformator ne dostigne termalnu ravnotežu ili bude uništen.

Univerzalna jednačina EMS

Ako je fluks u jezgru sinusoidalan, odnos broja navojaka, napona, magnetne idnukcije i površine poprečnog preseka provodnika je dat univerzalnom jednačinom EMS:

gdje je:

- kvadratni koren srednje vrednosti kvadrata napona u namotajima,

- je učestanost u hercima ( 2πf je ugaona učestanost u radijanima u sekundi),

- je broj navojaka,

- je površina poprečnog preseka jezgra, a

- je maksimalna vrijednost magnetne indukcije u teslama.

Vrijednost 4,44 je izračunata i sadrži u sebi vrednosti nekoliko konstanti.

Klasifikacija transformatora

Transformatori su prilagođeni brojnim primjenama i mogu se podijeliti na mnogo načina:

po snazi (od dijelova wata do mnogo megawata) po namjeni (energetski, za izjednačavanje impedanse, izolaciju kola) po učestanosti (energetski, audio, RF) po naponu (od nekoliko volti do 1000 kilovolti) po načinu hlađenja (vazdušno, uljem, vodom) po ulozi (usmjerački, za električne peći, za varenje, u izlaznim pojačavačima) po odnosu transformacije:

o dižući – sekundar ima više navojaka od primarao spuštajući – sekundar ima manje navojaka od primarao izolacioni – namijenjeni transformaciji u isti napon. Dva namotaja imaju

približno isti broj navojaka, iako su česte male razlike u broju navojaka da bi se kompenzovali gubici (u suprotnom bi izlazni napon bio malo manji od ulaznog napona).

o promenljivi – primar i sekundar imaju promenljiv broj navojaka koji može biti podešen bez zamene transformatora.

2.Tip problema Ovdje je rješavan magnetostatički problem, pomoću Maxvelovih jednačina za magnetostatiku. Maxwellove jednadžbe opisuju ovisnost električnog i magnetskog polja o nabojima i strujama, a također i njihovo međudjelovanje do kojeg dolazi kada se polja mijenjaju u vremenu. One su temelj klasične elektrodinamike i teorijske elektrotehnike, a razvio ih je James Clerk Maxwell između 1861. i 1864. godine. Koristeći u to doba poznate zakone: Ampereov zakon, Faradayev zakon indukcije i Gaussov zakon, te postavivši hipotezu o struji pomaka Maxwell ih je sve skupa ujedinio u skladu sa jednadžbom kontinuiteta.Za razumijevanje slijedećih jednažbi potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maxwellove se jednadžbe mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stokesovom i teoremu Gauss-Ostrogradski. Također postoji i četverodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici. Najuniverzalniji oblik Maxwellovih jednadžbi je onaj koji opisuju elektromagnetske fenomene u vakuumu, a u diferencijalnom obliku (SI sistem) glasi:

Gdje je:

-gustoća električnog naboja, količina električnog naboja po jedinici volumena

-gustoća električne struje, tok električnog naboja po jedinici površine u jedinici vremena

-dielektrična konstanta vakuuma

-permitivnost vakuuma, a jednaka je:

gdje je -brzina svjetlosti.

U Maxwellovim jednadžbama implicitno se pretpostavlja da vrijedi jednadžba kontinuiteta:

Ovo je zapravo zakon očuvanja naboja. Za svaki zatvorenu plohu u prostoru, vrijedi da je tok struje koja prolazi kroz tu zatvorenu plohu, jednak promjeni količine naboja u tom prostoru (uz negativni predznak).

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena, pored Maxwell-ovih jednadžbi, nužna je i jednadžba za Lorenzovu silu, kako bi se iz polja mogla odrediti sila:

3.Granični usloviZa tačke (x, y, z) granice C područja R granični uslovi se mogu podijeliti u tri grupe:- Dirichletov granični uslov, kada je poznata raspodjela na granici područja,- Neumannov granični uslov, kada je poznata gustina toka na granici područja, - Kombinovani ili mješoviti granični uslovi, kada je poznata raspodjela na granici

područja i parametri okoline sredine.

Granične uslove postavljamo u Boundary modu (Boundary Conditions). Otvaranjem izbornika Boundary Conditions , imamo mogućnost da izaberemo Neumann-ove ili Dirichlet-ove granične uslove (kao što je prikazano na slici ispod).Naš zadatak pripada oblasti magnetostatičkih problema, pa je na početku rješavanja zadatka bilo potrebno odma izabrati aplikaciju magnetostatic.Izborom ove aplikacije, program je automatski podesio granične uslove. Izabrani su Dirichlet-ovi uslovi na granici problema, sa koeficijentima h=1 i r=0, što se provjerava dvostrukom klikoma na neku od crvenih (graničnih) linija.

4.PDE Specification dialog box

Za rješavanje ovog zadatka korištena je Laplace-ova jednačina sa Dirichlet-ovim

graničnim uslovima. Ta jednačina glasi : -div((1/mu)*grad(A))=J, gdje je: A- vektorski magnetski potencijal, J -gustoća struje (Current density), mu- magnetska permeablinost (Magnetic permeabillity). U jednačini je potrebno definisati gustoću stuje(Current density) i magnetsku permeabilnost (Magnetic permeabillity), kao što je prikazano na slici.Ove vrijednosti unosimo u PDE Specification dialog box-u, koji se nalazi u meniju PDE. Problem je eliptičkog oblika, a vrijednosti koje treba da unesemo su magnetna permeabilnost (najveća u jezgri) i gustinu struje. Za svaki dio transformatora potrebno je podesiti ove vrijednosti tj. za jezgru i namotaje, a također je potrebno ove vrijednosti podesiti i za okolinu u kojoj se transformator nalazi. Za selekciju svih dijelova jezgre drži se tipka „Shift“ i klikće se mišem na pojedine dijelove jezgre. Nakon selekcije napravi se dvostruki klik bilo gdje na jezgru te se na taj način otvara prozor za unošenje karakterističnih parametara za jezgro kao na slici:

5.Mreža konačnih elemenata i njen kvalitet Mrežu konačnih elemenata kreiramo tako što iz izbornika „Mesh“ aktiviramo „Mesh mode“ odnosno opciju „Initialize Mesh“, kako bi dobili informaciju o broju čvorova i trouglova iscrtane mreže. Mreža konačnih elemenata se inače sastoji od trouglova, a njen kvalitet se ocjenjuje na osnovu tipa trouglova, tj. po pravilu svi trouglovi bi trebali biti jednakostranični i tada bi mreža imala najveći kvalitet. Povećavanje broja čvorova odnosno truglova se ostvaruje klikom na opciju „Refine Mesh“ u meniju Mesh. Za tačnije proračune i za bolji prikaz rezultata potrebna je gušća mreža. Kod kreiranja mreže imamo i opciju da povećamo broj trouglova (napravimo gušću mrežu) samo na mjestima koja su od najvećeg interesa za proračun, dobijanje i prikaz rezultata. Izgled formirane mreže kod našeg zadatka dat je na slici:

6.Plot Selection dialog boxPlot Selection dialog box se koristi za prikaz rezultata proračuna i analizu. U meniju kliknemo na opciju „Plot“ a zatim selektujemo opciju „Parameters“ i izaberemo neku od datih mogućnosti.Imamo mogućnost da prikažemo raspodjelu magnetskog potencijala, magnetskog fluksa, jačinu magnetskog polja. Izgled izbornih opcija je dat na slici:

7.Kompletan postupak rješavanja:

U Draw modu prvo nacrtamo potrebnu geometriju transformatora

Nakon nacrtane geometrije transformatora potrebno je definisati granične uslove .

U PDE Specification dialog box- u, unosimo vrijednosti parametara za magnetno jezgro i namotaje.

Nakon toga i granične vrijednosti parametara za okolinu

Potrebno je generisati i mrežu konačnih elemenata. Pokrenemo mod za kreiranje mreže konačnih elemenata tj. Aktivirajmo Mesh mode, a zatim opciju Initialize mesh. Tada dobijamo informaciju o broju čvorova i trouglova.

Izgled ekvipotencijalnih linija ćemo dobiti koristeći opciju Plot. U Plot meniju selektujmo Parameters. Pojavit će se Plot parametar prozor, gdje možemo birati boju, konturu, vrstu prikaza (polje, potencijal).

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Color: A Height: A Vector field: B Displacement: B

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-2-1

01

2

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Contour: A Height: A

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-2-1

01

2-2

-1

0

1

2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Color: A Height: A Vector field: B

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

8.Komentar :

Predmet istraživanja ovog projektnog zadatka je bila raspodjela magnetnog polja jednofaznog (dvonamotajnog) transformatora. Za proračun raspodjele magnetnog polja jednofaznog transformatora korišten je programski paket Matlab, koji u svom sklopu posjeduje alat (Matlab PDE TOOLBOX) za rješavanje linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina, koje koriste metod konačnih elemenata. Proračun raspodjele magnetnog polja izvršen je u poprečnom presjeku transformatora u dvije dimenzije. Cilj je dobiti model jednofaznog transformatora koji bi što vjernije prikazao raspodjelu magnetnog polja, koja se javljaju pri radu transformatora.Nakon što se iscrta potrebna geometrija transformatora, i izvrše svi potrebni koraci koji su navedeni i prikazani na prethodnim stranicama, dobiju se rezultati proračuna, odnosno raspodjela magnetskog polja jednofaznog transformatora, koja je utoliko tačnija ako je mreža konačnih elemenata gušća. Rezultati se mogu prikazati u 2D i 3D formatu. Dobijeni rezultati za ovaj slučaj su tačni u dovoljnoj mjeri, i potvrđuju svu teoriju rada jednofaznog (dvonamotajnog) transformatora. Na osnovu rezultata vidimo da se najveći dio silnica zatvara kroz magnetsku jezgru, a samo mali dio (rasipne silnice) kroz okolini prostor. Također se mogu uočiti i dijelovi jezgre gdje imamo veću gustoću silnica, kao i smjer zatvaranja silnica.

Na osnovu svih dobijenih rezultata možemo reći da je programski paket Matlab, koji u svom sklopu posjeduje alat (Matlab PDE TOOLBOX), veoma koristan i povoljan za rješavanje mnogih problema u elektrotehnici, i da daje zadovoljavajuće rezultate.