MODELOS MATEMATICOS- PROGRAMACION LINEAL METODO GRAFICO.pdf
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UNIVERDIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORA
Nombre: Juan Pablo Gmez
Curso: 5to Semestre A
Asignatura: Investigacin Operativa
MODELOS MATEMTICOS (15/04/2015)
1) EJEMPLO DE COMPRA EN UN SUPERMERCADO
1. Ingresar al supermercado.
2. Coger el carrito para las compras.
3. Dirigirme a seleccionar los productos.
4. Me dirijo a la caja y me coloco en la cola.
5. Cancelo el valor de la cuenta.
6. Recojo los productos en las respectivas fundas.
7. Me dirijo a la puerta de salida.
2) MODELO PARA ALMORZAR EN UN RESTAURANT
1. Ingreso al restaurant.
2. Buscar una mesa disponible y sentarme en la silla.
3. Llamo al camarero y solicito la carta.
4. Selecciono el men que voy a servirme.
5. Espero hasta que me entregue el almuerzo.
6. Me sirvo el almuerzo.
7. Me levanto de la silla y me dirijo a la caja.
8. Cancelo el valor del almuerzo.
9. Salgo del restaurant.
-
3) MODELO PARA LLAMAR POR TELFONO
1. Cojo el celular y lo habilito.
2. Selecciono el men de contacto.
3. Escojo a la persona a la cual voy a llamar.
4. Presiono la tecla de llamada.
5. Espero que me conteste
6. Saludo y pregunto por la persona a quien llame.
7. Transmito el mensaje.
8. Me despido.
9. Cuelgo.
4) MODELO PARA COCINAR ARROZ
1. Enciendo la hornilla y coloco sobre la hornilla la olla con agua.
2. Espero a que se caliente.
3. Selecciono la cantidad de arroz en un recipiente y lo lavo.
4. Trastorno el arroz en la olla con agua.
5. Coloco sal.
6. Espero a que el arroz se cocine.
7. Pongo aceite y espero a que se cocine bien.
8. Verifico a que el arroz este a su punto.
9. Apago la hornilla.
PROGRAMACIN LINEAL (22/04/2015)
MTODO GRFICO
EJERCICIOS
2X + 3Y 7
2X + 3Y = 7
X Y
0 7/3
7/2 0
P (0,0) 2(0) + 3(0) 7 0 7 FALSO
-
4X -8Y < 12
4X + 8Y = 12
2X Y > 0
2X = Y
4X2
+ 4Y2 36
X +5Y < 7
X Y
0 12/8
12/4 0
X Y
0 0
1 2
P (0,0)
4(0) 8 (0) < 12 0 < 12 VERD.
P (2,0)
2(2) (0) > 0 4 > 0 VERD.
P (0,0)
4(0)2 + 4 (0)
2 36
0 36 FALSO
-
1. 4X2 + 4Y2 = 36
X2 + Y
2 = 9
2. X + 5Y = 7
4X2 + 3Y2 < 12
2X +3 > Y
1.- 4X2
+ 3Y2 = 12
X2
Y2
3 4
3 4
2.- 2X - Y = - 3
X Y
0 0
1 2
X Y
0 7/5
7 0
X Y
0 7/5
7 0
P (0,0)
0 + 5 (0) < 7
0 < 7 VERDAD.
P (0,0) 4(0)
2 + 3 (0)
2 < 12
0 < 12 VERDAD.
P (0,0) 2 (0) - (0)
> -3
0 > - 3 VERDAD.
1
-
3X2 + Y > 6
2X2 Y2 < 4
1.- 3X2
+ Y = 6
Y= 6 3X2
X Y
-3 -21
-2 -6
-1 3
0 6
1 3
2 -6
3 -21
2.- 2X2 Y2 = 4
X2
= 4 + Y2
2
X2 4 + Y
2
2
X Y
2,6 -3
2 -2
1,6 -1
1,4 0
1,6 1
2 2
2,6 3
P (0,0)
0 > 6 FALSO
P (0,0)
0 + 5 (0) < 7
0 < 7 VERDAD.
P (0,0)
0 < 4 VERDAD.
-
(28/04/2015)
Una compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorias de
pequeas empresas tienen inters de saber cuntas auditorias y liquidaciones pueden
realizar mensualmente para maximizar sus ingresos, se dispone de 600 horas de
trabajo directo y 200 horas para revisin, una auditoria requiere 30H de trabajo
directo y 8H de revisin adems aportan un ingreso de $250, una liquidacin de
impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 horas de revisin produce un
ingreso de $90. El mximo de liquidaciones posibles es de $50.
LIQ. X
AUD. Y
F.O (MAX)
T.D REV. ING.
Liquidaciones 6 4 $ 90
Auditorias 30 8 $ 250
Disponibilidad 600 220
F.O Max.
S.A.
Z = 90X + 250 Y
Z = 50 (25) + 250 (15)
Z = 6000
6X + 30Y 600 4X + 8Y 220 X 50
X, Y 0
MAX. $50
-
1.- 6X + 30Y = 600
2.- 4X + 8Y = 22
3.- X = 50
ARCO CONVEXO
4X + 8Y = 220
6X + 30Y = 600
24X + 48Y = 1320
-24X 120Y= -2400 +72Y = +1080
Y = 15
4X + 8(15) = 220
X = 280 -120
4
X = 25
X Y
0 20
100 0
X Y
0 27,5
55 0
PUNTO X Y Z
A 0 0 0
B 0 20 5000
C 25 15 600
D 50 0 4500
P (0,0)
0 600 VERDAD.
P (0,0)
0 7 VERDAD.
SOLUCIN PTIMA
Z = 6000
VALOR PTIMA
X = 25
Y = 15
RESTRCCIONES ACTIVAS = 1,2
RESTRICCIONES INACTIVAS = 3
-
(29/04/2015)
Un frutero necesita 16 cajas de naranja, 5 de pltano y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrar para satisfacer sus necesidades pero solo venden la
fruta en contenedores completos, el mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de
naranja, 1 de pltano y 2 de manzana, el mayorista B enva en cada contenedor, 2 cajas
de naranja, 1 de pltano y 7 de manzanas. Si se sabe que el mayorista A se encuentra a
150 km de distancia y el mayorista B a 30 km determine cuantos contenedores abra que
comprar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo y dinero y minimizar la
distancia.
NARANJA PLTANO MANZANA DISTANCIA
May. A 8 1 2 150 Km
May. B 2 1 7 300 Km
DISPONIB. 16 5 20
F.O Min.
Z = 150A + 300 B
S.A
8A + 2B 16 A + B 5 2A+ 7B 20
A, B 0
1.- 8A + 2B = 16
2.- A + B = 5
3.- 2A+ 7B = 20
X Y
0 8
2 0
X Y
0 5
5 0
X Y
0 2.9
10 0
-
ARCO CONVEXO
PUNTO B
A+ B = 5
2A+ 7B = 20
-2A 2B = -10 2A+ 7B = 20
5B = 10
B = 2
A= 5- B
A= 5-2
A=3
PUNTO C
A+ B = 5
8A+ 2B = 16
-8A 8B = -40 8A+ 2B = 16
+6B = +24
B = 4
A= 5- B
A= 5-4
A=1
PUNTO X Y Z
A 10 0 1500
B 3 2 1050
C 1 4 1350
D 0 8 2400
SOLUCIN PTIMA
Z = 1020
VALOR PTIMA
A = 3
B = 2
RESTRCCIONES ACTIVAS = 3
RESTRICCIONES INACTIVAS = 2
-
(05/05/2015)
MAXIMIZAR
Z= 5
2 X1 + X2
S.A=
3X1 + 5X2 15 5X1 + 2X2 10 XJ 0
1.- 3X1 + 5X2 = 15
2.- 5X1 + 2X2 = 10
Este problema tiene mltiples soluciones.
ARCO CONVEXO
X Y
0 5
3 0
X Y
0 5
2 0
PUNTO X Y Z
A 0 0 0
B 0 3 3
C 20/19 45/19 5
D 2 0 5
P (0,0) 0 15 VERDAD.
P (0,0) 0 10 VERDAD.
-
3X1 + 5X2 = 15
15X1 - 25X2 = -75
15X1 + 6X2 = 30
19X2= + 45
X = 45 / 19
5X1 + 2X2 = 10
3X1 + 5(45/19)= 15
3X1 = 15 -225/19
X1 = 20/19
MAXIMIZAR
Z= 2X+ 3Y
S.A=
X 2 Y 4 2X + Y 5
X + Y 0
X = 2
Y = 4
ARCO CONVEXO
X Y
0 5
5/2 0
PUNTO X Y Z
A 2 4 16
C 0 5 15
-
MAXIMIZAR
Z= 2X+ 3Y
S.A= X 2 Y 3 2X + Y 18
X + Y 0
X = 2
Y = 3
EL PROBLEMA NO TIENE SOLUCIN
Una compaa produce automviles y camiones, cada vehculo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de carroceras.
Si el taller de pintura, pinta solo camiones se podran pintar 40 camiones al da y si
pinta solamente automviles se podra pintar 60 automviles. Si el taller de carroceras
ensamblara solo camiones podra ensamblar 50 camiones al da y si ensamblara solo
automviles podra ensamblar 50 automviles al da. Cada camin aporta $300 a la
utilidad y cada automvil $200.
MAXIMICE LA UTILIDAD
X AUTOS
Y CAMIONES
ENSAMBLAJE
P1 (0,50)
P2 (50,0)
m Y2 Y1 X2 X1
X Y
0 18
9 0
RECTA
X - Y1 = m (X X1) Y 50 = -1 (x)
X + y = 50
-
m 0 50 50 0
m = 1
PINTURA
m Y2 Y1 X2 X1
m 0 40 60 0
m = - 2/3
MAXIMIZA
Z= 200X + 300Y
S.A
2X + 3Y 120 X + Y 50
X + Y 0
ARCO CONVEXO
X Y
0 40
60 0
X Y
0 50
50 0
PUNTO X Y Z
A 0 0 0
B 0 40 12000
C 30 20 12000
D 50 0 10000
RECTA
X - Y1 = m (X X1) Y 40 = -2/3(x) 3Y 120 = -2X 2X + 3Y = 120
-
2X + 3Y = 120
-2X - 2Y = - 100
Y = 20
2X + 60 = 120
2X = 120 60 X = 30
R.A = 1, 2
R.I = NO HAY
ESTE PROBLEMA MLTIPLES SOLUCIONES
(12/05/2015)
Una joyera elabora dos modelos de joyas 1.- 5-5-10, 2.- 5-10-5 los nmeros que se indican representan en porcentaje oro, plata y cobre, la joyera dispone de 40 kg de
oro, 180 kg de plata y 200 kg de cobre, por cada tipo 5-5-10 se obtiene una utilidad
de $ 18.5 y por el otro tipo se obtiene una utilidad de $ 20, verifique si existe
holgura o excedente, maximice la utilidad, establezca restricciones activas o
inactivas.
1.- 2.- DISPONIBILIDAD
ORO 5 5 110
PLATA 5 10 180
COBRE 10 5 200
UTILIDAD 20 18
1.- 5-5-10= x
2.- 5-10.5=y
FO Max
Z= 18.5 X + 20Y
S.A.
0.05X+0.05Y110 0.05X+0.10Y180 0.10X+0, 05Y200 X, Y 0
1.- 2.-
X Y
0 4000
2000 0
X Y
0 2200
2200 0
-
3.-
(1) 0,05x + 0,05y = 110
(-1)
(1) 0,05x + 0,05y = 110
(-1)
(2) 0,05x + 0,10y= 180
(2) 0,10x + 0,05y= 200
- 0,05x - 0,05y = -110
0,05x - 0,05y = -110
0,05x+ 0,10y = 180
0,10x+ 0,05y = 200
0,05 y
= 70 0,05 X = 90
Y= 1400
y= 1800
0,05x + 0,10 y = 180
0,10x + 0,05 y = 200
x= 800
x= 400
Z= 18,50(800) + 20(1400)
Z= 18,50(1800) + 20(400)
Z= 42800
41300
X Y
0 1800
3600 0
-
Z=
Arco
Convexo
Solucin ptima
X Y Z
Z= 42800
C 800 1400 42800
Valores ptimos
D 1800 400 41300
x= 800
Y= 1400
Clculo de la Holgura para el oro
0,05x + 0,05y 110
0,05(800) + 0,05(1400) + h1 110 h1 0 Disponibilid. Ocupados Holgura
Oro 110 110 0
Plata 180 180 0
Clculo de la Holgura para la plata Cobre 200 50 50
0,05x + 0,10y 180
0,05(800) + 0,10(1400) + h2 180
Solucin ptima
h2 0
Z= 42800
Valores ptimos
x= 800
Clculo de la Holgura para el cobre
Y= 1400
0,10x + 0,05y 200
h1= 0
0,10(800) + 0,05(1400) + h3 200
h2= 0
h3 50
h3= 50
Restriccin Activa= 1,2
Restriccin Inactiva= 3