Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniera Escuela de Ingeniera Civil COMPARACIN DEL MODELO ESTNDAR Y MODELO WENZEL PARA CURVAS INTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA EN LA CUENCA DEL RO MOTAGUA Manuel de Jess Sales Rodriguez Asesorado por el Ing. Sergio Antonio Lpez Dubn Guatemala, octubre de 2012 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERA COMPARACIN DEL MODELO ESTNDAR Y MODELO WENZEL PARA CURVAS INTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA EN LA CUENCA DEL RO MOTAGUA TRABAJO DE GRADUACIN PRESENTADO A LA JUNTA DIRECTIVA DE LA FACULTAD DE INGENIERA POR MANUEL DE JESS SALES RODRIGUEZ ASESORADO POR EL ING. SERGIO ANTONIO LPEZ DUBN AL CONFERRSELE EL TTULO DE INGENIERO CIVIL GUATEMALA, OCTUBRE DE 2012UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERA NMINA DE JUNTA DIRECTIVA DECANOIng. Murphy Olympo Paiz Recinos VOCAL I Ing. Alfredo Enrique Beber Aceituno VOCAL II Ing. Pedro Antonio Aguilar Polanco VOCAL III Ing. Miguel ngel Dvila Caldern VOCAL IV Br. Juan Carlos Molina Jimnez VOCAL V Br. Mario Maldonado Muralles SECRETARIO Ing. Hugo Humberto Rivera Prez TRIBUNAL QUE PRACTIC EL EXAMEN GENERAL PRIVADO DECANO Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos EXAMINADOR Ing. Wuilliam Ricardo Yon Chavarra EXAMINADOR Ing. Juan Carlos Linares Cruz EXAMINADOR Ing. Edgar Fernando Valenzuela Villanueva SECRETARIO Ing. Hugo Humberto Rivera PrezACTO QUE DEDICO A: Dios Mis padres Mis abuelos Mi esposa Mis hijas Mi familia en general Porpermitirmeculminarunaetapamsenmi vida. Manuel Sales y Basilia Rodriguez de Sales. Por su amor y apoyo incondicional. MartaPorresdeSales(q.e.p.d.)eIsidroSales. Porsuamorincondicional.AlejandraGarcade TomsyHerculanoToms.Porsuamor incondicional. BrendaMijangosdeSales.Porsuamory comprensin. Andrea y Dulce. Por ser mi inspiracin. AGRADECIMIENTOS A: Universidad de San Carlos de Guatemala Mi asesor Mis amigos INSIVUMEH Porhabermepermitidorealizarmisestudiosy formado profesionalmente. Porcompartirsusconocimientosyguiarmeen la elaboracin de este trabajo. Por su amistad y apoyo en la realizacin de mis estudios. Porlaoportunidaddeempleoygentil colaboracin de las personas que ah laboran. I NDICE GENERAL NDICE DE ILUSTRACIONES ........................................................................... V LISTA DE SMBOLOS .................................................................................... XIII GLOSARIO ...................................................................................................... XV RESUMEN..................................................................................................... XVII OBJETIVOS/HIPTESIS ................................................................................ XIX INTRODUCCIN ............................................................................................ XXI 1.MEDICIN DE LA PRECIPITACIN ................................................... 1 1.1.Pluvimetro ................................................................................ 2 1.2.Pluvigrafo ................................................................................. 3 1.3.Pluvimetros totalizadores ......................................................... 4 2.DESCRIPCIN DE LA ZONA DE ESTUDIO ........................................... 7 2.1.Descripcin de las estaciones climticas analizadas .................. 9 2.1.1.Estacin climtica Puerto Barrios ............................ 10 2.1.2.Estacin climtica San Martin Jilotepeque ............... 10 2.1.3.Estacin climtica Santa Cruz Balany ................... 11 2.1.4.Estacin climtica Potrero Carrillo ........................... 12 2.1.5.Estacin climtica Morazn ..................................... 12 2.1.6.Estacin climtica La Suiza Contenta ...................... 13 2.1.7.Estacin climtica La Unin ..................................... 14 2.1.8.Estacin climtica Pasabien .................................... 14 II 3.DEFINICIN DE LAS CURVAS INTENSIDAD-DURACIN- FRECUENCIA ....................................................................................... 17 3.1.Aplicacin de las curvas Intensidad-Duracin-Frecuencia ....... 18 4.METODOLOGA UTILIZADA PARA LA CONSTRUCCIN DE CURVAS INTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA PARA DISTINTOS PERODOS DE RETORNO ............................................... 23 4.1.Recopilacin de la informacin pluviogrfica ........................... 23 4.2.Seleccin de intensidades mximas ........................................ 24 4.3.Ajuste de los datos a una funcin de distribucin de probabilidad ............................................................................. 27 5.TCNICAS ESTADSTICAS UTILIZADAS PARA EL CLCULO DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS .................................................... 29 5.1.Parmetros estadsticos .......................................................... 29 5.1.1.De posicin (valor medio) ....................................... 29 5.1.2.De dispersin (desviacin estndar) ....................... 29 5.1.3.De asimetra (coeficiente de asimetra relativa)....... 30 5.1.4.De aplanamiento ..................................................... 31 5.2.Distribuciones tericas ............................................................. 31 5.2.1.Distribucin Binomial............................................... 32 5.2.2.Distribucin Normal ................................................. 34 5.3.Distribuciones extremas........................................................... 35 5.3.1.Probabilidad ............................................................ 36 5.3.2.Perodo de retorno .................................................. 37 5.3.3.Distribucin de Gumbel ........................................... 38 III 6.CLCULO Y PRESENTACIN GRFICA DE LAS CURVAS INTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA ............................................. 43 7.AJUSTE DE LAS INTENSIDADES DE LLUVIA A MODELOS ESTNDAR Y WENZEL ........................................................................ 71 7.1.Errores estadsticos ................................................................. 80 7.1.1.Error relativo ............................................................ 80 7.1.2.Mnimos cuadrados ................................................. 80 7.2.Comparacin de modelos para cada estacin climatolgica .... 81 CONCLUSIONES ............................................................................................. 89 RECOMENDACIONES ..................................................................................... 91 BIBLIOGRAFA ................................................................................................. 93 IV V NDICE DE ILUSTRACIONES FIGURAS 1.Pluvimetro ........................................................................................... 2 2.Pluvigrafo ............................................................................................ 4 3.Pluvimetro totalizador.......................................................................... 5 4.Cuenca del ro Motagua ........................................................................ 7 5.Estaciones climticas localizadas en la cuenca del ro Motagua ........... 9 6.Estacin climtica Puerto Barrios ........................................................ 10 7.Estacin climtica San Martin Jilotepeque .......................................... 11 8.Estacin climtica Santa Cruz Balany ............................................... 11 9.Estacin climtica Potrero Carrillo ...................................................... 12 10.Estacin climtica Morazn ................................................................ 13 11.Estacin climtica La Suiza Contenta ................................................. 13 12.Estacin climtica La Unin ................................................................ 14 13.Estacin climtica Pasabien ............................................................... 15 14.Familia de curvas IDF para distintos perodos de retorno ................... 17 15.Equipo pluviogrfico y banda milimetrada ........................................... 24 16.Banda pluviogrfica con registro de precipitacin ............................... 25 17.Esquema de las curvas IDF, segn el mtodo propuesto por Tmez ................................................................................................ 26 18.Curvas IDF de la estacin climtica Santa Cruz Balany, utilizando la distribucin de frecuencias Normal .................................................. 44 19.Curvas IDF de la estacin climtica Santa Cruz Balany, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ............................................ 45 VI 20.Curvas IDF de la estacin climtica San Martin Jilotepeque, utilizando la distribucin de frecuencias Normal ................................. 46 21.Curvas IDF de la estacin climtica San Martin Jilotepeque, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ........................... 47 22.Curvas IDF de la estacin climtica La Suiza Contenta, utilizando la distribucin de frecuencias Normal ................................................. 48 23.Curvas IDF de la estacin climtica La Suiza Contenta, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ........................................... 49 24.Curvas IDF de la estacin climtica Morazn, utilizando la distribucin de frecuencias Normal ..................................................... 50 25.Curvas IDF de la estacin climtica Morazn, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ............................................... 51 26.Curvas IDF de la estacin climtica Potrero Carrillo, utilizando la distribucin de frecuencias Normal ..................................................... 52 27.Curvas IDF de la estacin climtica Potrero Carrillo, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ............................................... 53 28.Curvas IDF de la estacin climtica Pasabien, utilizando la distribucin de frecuencias Normal ..................................................... 54 29.Curvas IDF de la estacin climtica Pasabien, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ............................................... 55 30.Curvas IDF de la estacin climtica La Unin, utilizando la distribucin de frecuencias Normal ..................................................... 56 31.Curvas IDF de la estacin climtica La Unin, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ............................................... 57 32.Curvas IDF de la estacin climtica Puerto Barrios, utilizando la distribucin de frecuencias Normal ..................................................... 58 33.Curvas IDF de la estacin climtica Puerto Barrios, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel ............................................... 59 VII 34.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos y perodo de retorno de 2 aos .............................................................. 60 35.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos y perodo de retorno de 2 aos .............................................................. 61 36.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutos y perodo de retorno de 2 aos .............................................................. 61 37.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos y perodo de retorno de 25 aos ............................................................ 62 38.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos y perodo de retorno de 25 aos ............................................................ 62 39.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutos y perodo de retorno de 25 aos ............................................................ 63 40.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos y perodo de retorno de 100 aos .......................................................... 63 41.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos y perodo de retorno de 100 aos .......................................................... 64 42.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutos y perodo de retorno de 100 aos .......................................................... 64 43.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos y perodo de retorno de 2 aos .............................................................. 65 44.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos y perodo de retorno de 2 aos .............................................................. 66 45.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutos y perodo de retorno de 2 aos .............................................................. 66 46.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos y perodo de retorno de 25 aos ............................................................ 67 47.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos y perodo de retorno de 25 aos ............................................................ 67 VIII 48.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutos y perodo de retorno de 25 aos ........................................................... 68 49.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos y perodo de retorno de 100 aos.......................................................... 68 50.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos y perodo de retorno de 100 aos.......................................................... 69 51.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutos y perodo de retorno de 100 aos.......................................................... 69 52.Resultado del ajuste de un conjunto de datos a una funcin cuadrtica ........................................................................................... 81 TABLAS I.Resumen multianual de intensidades de lluvia mximas de la estacin climtica La Unin. ............................................................. 28 II.Funcin de Gumbel, variable reducida y perodo de retorno. ............ 41 III.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Santa Cruz Balany. ................................................................................... 44 IV.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Santa Cruz Balany. ................................................................................... 45 V.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica SanMartin Jilotepeque. ............................................................................ 46 VI.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica SanMartin Jilotepeque. ............................................................................ 47 VII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica LaSuiza Contenta. ................................................................................. 48 VIII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica LaSuiza Contenta. ................................................................................. 49 IX IX.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Morazn. ......................................................................................... 50 X.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Morazn. ......................................................................................... 51 XI.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Potrero Carrillo. ............................................................................... 52 XII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Potrero Carrillo. ............................................................................... 53 XIII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Pasabien. ........................................................................................ 54 XIV.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Pasabien. ........................................................................................ 55 XV.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica La Unin. ........................................................................................ 56 XVI.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica La Unin. ........................................................................................ 57 XVII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Puerto Barrios. ................................................................................ 58 XVIII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Puerto Barrios. ................................................................................ 59 XIX.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica Santa Cruz Balany. ................................................................................. 72 XX.Coficientes del modelo estndar para la estacin climtica Santa Cruz Balany. ................................................................................. 72 XXI.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica San Martin Jilotepeque. .......................................................................... 73 XXII.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climtica San Martin Jilotepeque. .......................................................................... 73 X XXIII.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica La Suiza Contenta. .......................................................................... 74 XXIV.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climtica La Suiza Contenta. ..................................................................... 74 XXV.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica Morazn. .................................................................................... 75 XXVI.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climtica Morazn. .................................................................................... 75 XXVII.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica Potrero Carrillo. .......................................................................... 76 XXVIII.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climtica Potrero Carrillo. .......................................................................... 76 XXIX.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica Pasabien. ................................................................................... 77 XXX.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climtica Pasabien. ................................................................................... 77 XXXI.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica La Unin. ......................................................................................... 78 XXXII.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climtica La Unin. .................................................................................... 78 XXXIII.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climticaPuerto Barrios. ........................................................................... 79 XXXIV.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climticaPuerto Barrios. ........................................................................... 79 XXXV.Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacin LaUnin. ........................................................................................ 82 XXXVI.Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacinMorazn. ................................................................................... 83 XI XXXVII. Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacin Pasabien. .................................................................................... 83 XXXVIII. Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacin Potrero Carrillo. ........................................................................... 84 XXXIX. Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacin San Martin Jilotepeque................................................................ 84 XL. Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacin San Santa Cruz Balany. ............................................................ 85 XLI. Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacin La Suiza Contenta. ...................................................................... 85 XLII. Sumatoria de errores relativos al cuadrado en la estacin Puerto Barrios. ............................................................................ 86 XII XIII LISTA DE SMBOLOS SmboloSignificado

2Coeficiente de aplanamiento

1Coeficiente de asimetra relativa (

) Combinacin deelementos tomados de

Constantes obtenidas de los datos de intensidadesdelluvia

DesviacinestndardelasvariableseSDesviacinestndar PDiferencial de precipitacin tDiferencial de tiempo Diferencial de

Exponencial de(x) Funcin de distribucin de Gumbel de la variablealeatoriaFuncindedistribucinnormaldelavariable aleatoriaFuncin de frecuencia de la variable aleatoria Funcin de frecuencia normal o de Gauss Grado sexagesimal

Integral de la funcin de la variable independiente IIntensidad de precipitacin XIV

Lmite de la razn frecuencial cuandotiende ainfinito Logaritmonaturalde Minuto

4 Momento central de cuarto orden

2 Momento central de segundo orden

3 Momento central de tercer orden Perodo de retorno Probabilidad de xito Probabilidad de fracaso Segundo Valor medio Valormediodelavariabledependiente Valormediodelavariableindependiente Variable aleatoria normalizada XV GLOSARIO AsimetraFalta de simetra entre los datos de una distribucin. Serefiereaquesilosvaloresdelaseriepresentan lamismaformaalaizquierdayderechadeunvalor central. ModoParmetroestadsticoqueestdefinidocomoel valor msprobable de la variable aleatoria. RecorridoEs una medida de dispersin, su valor se obtiene deIntercuartlicola diferencia del tercer cuartil menos el primer cuartil. SesgoSedenominaasalaasimetraquepresentauna distribucin de frecuencias, puede ser negativo o a la izquierda y positivo o a la derecha. XVI XVII RESUMEN LaimportanciadeimplementaroactualizarcurvasIntensidad-Duracin-Frecuencia propias de una determinada regin o de un pas completo, radica en quedichascurvasconstituyenunaherramientabsicaparalosentes encargados del diseo de obras hidrulicas, enfocadas a mitigar o evitar daos ocasionadosporeventosmeteorolgicos,principalmenteasociadosconlluvias deintensidadesmximas,estodebidoaquesonelaboradasconinformacin histricadelcomportamientodelalluviadeunareginyalaplicarelanlisis estocsticoesposibledeterminarlaprobabilidaddequeuneventocon intensidaddelluviamximapuedaserigualadoosuperadoenuntiempo determinado. LametodologaempleadaparalaelaboracindelascurvasIntensidad-Duracin-FrecuenciadelacuencadelroMotaguaeslarecomendadapor Tmez, por ser elmtodoms validado para obtener los valores de intensidad delluviamximadeunregistropluviogrfico,luegoadichosvaloreslefue aplicadounanlisisdefrecuencias,empleandolasfuncionesdedistribucin Normal y de Gumbel, para finalmente ajustar los valores de intensidad de lluvia mximaadosmodelosquesonelpropuestoporWenzelyelutilizadoenel InstitutoNacionaldeSismologa,Vulcanologa,MeteorologaeHidrologa (INSIVUMEH). Adems de obtener las ecuaciones matemticas de la intensidad de lluvia mximaparaunperododeretornoyduracinenespecfico,tambinfue posible representar el comportamiento de la intensidad de lluvia a lo largo de la cuenca del ro Motagua mediante mapas de isolneas de intensidades de lluvia. XVIII XIX OBJETIVOS General GenerarcurvasIntensidad-Duracin-Frecuenciaparalacuencadelro Motagua. Especficos 1.GenerarcurvasIntensidad-Duracin-Frecuenciaconelmodeloestndar utilizado en el Departamento de Investigacin y Servicios Hidrolgicos de INSIVUMEH. 2.Generar curvas Intensidad-Duracin-Frecuencia con el modelo propuesto por Wenzel. 3.Determinarelmodeloquerepresentemejorlosvaloresobtenidosdel anlisis de distribucin de frecuencias de cada estacin climtica. XX HIPTESIS Elmodeloestndarnoeselquemejorseajustaalosvaloresobtenidosdel anlisis de distribucin de frecuencia. XXI INTRODUCCIN HidrolgicamenteGuatemalaestdivididaentresvertientesqueson: vertientedelocanoPacfico,vertientedelmarCaribeyvertientedelGolfode Mxico.Encadaunadeesasvertientesexistencuencashidrogrficasdelos principales ros de la Repblica de Guatemala. En la vertiente del mar Caribe se encuentra la cuenca del ro Motagua, con unreade12670kilmetroscuadrados,equivalenteal11,63porcientodel reatotaldelterritorionacional,ysegnelregistrohistricodeuntotalde nueveestacionesclimticasubicadasenlacuenca,laprecipitacinanual promedio es de 1 530 milmetros. Laprecipitacinpuedecaracterizarsecomointensidaddeprecipitacin, expresandolacantidaddelluviaenfuncindeltiempo,siendosus dimensionales milmetros por hora.De tal modo, tambin es posible relacionar la intensidad de precipitacin con la frecuencia con que ocurre y con la duracin de la lluvia, esto se logra mediante tcnicas estadsticas que relacionan las tres variables,dandocomoresultadolascurvasIntensidad-Duracin-Frecuencia, que son generadas en base a las intensidades mximas. Lasintensidadesdeprecipitacinmuyaltassonpocofrecuentespero cuandoocurrenocasionanseriosdaoscomo:elcolapsoenlossistemasde drenaje,desbordedeloscaucesdelosrosydeslizamientosdeladeras.Sin embargo,esposiblemitigaroevitarlosdaosenlasobrashidrulicasconun buendiseo,basadoenelconocimientodeintensidadesmximasde precipitacin.XXII Por esta razn en el presente trabajo de graduacin se generan las curvas Intensidad-Duracin-FrecuenciaparalacuencadelroMotagua,paraluego realizarlacomparacinentrelosresultadosdelosmodelosestndaryel propuesto por Wenzel y determinar el modelo que represente mejor los valores estadsticosobtenidosdelanlisisdedistribucindefrecuenciasmedianteel clculo de la sumatoria de errores relativos. Loscaptulosunoydoscontienenladescripcindelosinstrumentos utilizados para la medicin de la precipitacin en el sistema tradicional, seguido de la descripcin general de la zona de estudio y de cada una de las estaciones climticas ubicadas dentro de la misma. Loscaptulostresycuatrocontienenladefinicin,lasmltiples aplicacionesylametodologautilizadaparalaelaboracindelascurvas Intensidad-Duracin-Frecuencia.Elcaptulocincocontieneunaseriede definicionesdelastcnicasestadsticasutilizadasenelclculodedistribucin de frecuencias utilizando las funciones Normal y de Gumbel. Porltimoenloscaptulosseisysieteseencuentranelclculoyla presentacin grfica de las curvas Intensidad-Duracin-Frecuencia, as como la comparacin entre los modelos estndar y Wenzel. 1 1. MEDICIN DE LA PRECIPITACIN Laprecipitacinpuededefinirsecomoelproductolquidooslidodela condensacindelvapordeaguaquecaedelasnubesysedepositaenel terreno procedentedel aire. Por tanto comprende lalluvia,elgranizo,la nieve, el roco, la centellada blanca, la escarcha y la precipitacin de la neblina. El volumen total de las precipitaciones se expresa en funcin del nivel que alcanzarasobreunaproyeccinhorizontaldelasuperficiedelatierra.El objetivoprincipaldecualquiermtododemedicinconsisteenobteneruna muestrarepresentativadelaprecipitacindelazonaaqueserefierela medicin. Existen algunas tcnicas para medir las precipitaciones, siendo una de las ms modernas el uso del radar meteorolgico, que determina la densidad de las nubesydelalluvia,permitiendoestimartantoelvolumendelluviacomosu desarrollo sobre una regin geogrfica yelaborar pronsticosa cortoplazo, su uso ha sido de gran utilidad para solucionar problemas de previsin hidrolgica. Sinembargo,parautilizarelradarmeteorolgicoesnecesariocalibrarlo conunsistematradicionalqueconsisteenmedirlacolumnaverticaldeagua acumulada precipitada en un punto fijo, los instrumentos comnmente utilizados para este tipo de mediciones son: el pluvimetro, el pluvigrafo y el pluvimetro totalizador. 2 1.1.Pluvimetro LaOrganizacinMeteorolgicaMundial(OMM),parafinesdeestudiosy comparacin,recomiendautilizarelpluvimetroestndarquetieneunreade recepcin de 200 centmetros cuadrados, delimitada por un anillo de bronce con borde bicelado. Elpluvimetrosecomponeinternamentepordospartescilndricasque son:unreceptoryuncolector,elreceptorubicadoenlapartesuperiorest unido al anillo de bronce y su fondo tiene forma de embudo, el agua recolectada porelreceptorpasaalaparteinferiorqueconstadeunavasijadeboca estrechallamadacolector,queestaisladadelcilindroexteriorparaevitar evaporacin por calentamiento. Lamedicindelaguarecolectadaenelpluvimetrosellevaacabo utilizando una probetaespecialmente graduada enmilmetrosy endcimas de milmetros,laalturaalcanzadadelaguamedidaenlaprobetarepresentala capadeaguasobreelterrenosuponiendoquefuesehorizontalynohubiese prdidas ni movimiento del agua. Figura 1.Pluvimetro Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 3 1.2.Pluvigrafo Adiferenciadelpluvimetroquenicamentepermiteobtenerun parmetro,queeslacantidaddeaguaprecipitadadurante24horas,el pluvigraforegistralacantidaddeprecipitacinenformacontinua,loque permiteobtenertresparmetrosdelalluviaqueson:cantidad,duracine intensidad. Existenvariostiposdepluvigrafos,queson:deflotadorconsifn,de balanza,deoscilacinycombinacindebalanzayoscilacin.EnGuatemala normalmenteseutilizaelpluvigrafodeflotadorconsifn,queconstadeun receptorigualaldelpluvimetroconunreaderecepcinde200centmetros cuadradosdesuperficie.Elreceptorvaunidoaunacajacilndricade110 centmetros de dimetro, en la que se aloja el sistema registrador del aparato y una jarra colectora. El agua recolectada por la parte receptora pasa por un embudo y un tubo almecanismoregistrador,constituidoporuncilindroencuyointeriorse encuentraun flotador que se desplaza verticalmente, conectado aunbrazo de palancaconunaplumillaquemarcalalneaenlabanda,queestcolocada sobreuncilindromovidoporunsistemaderelojera,registrndoseasla precipitacin en funcin del tiempo. 4 Figura 2.Pluvigrafo Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 1.3.Pluvimetros totalizadores Estetipodepluvimetrosescolocadoenregionesdedifcilaccesoo montaosas,porloquetienencapacidaddealmacenaraproximadamente150 litros durante la poca lluviosa, y as el observador puede tomar la lectura una o dosvecesalao,yaqueelpluvimetropermitetomarunasolamedidade precipitacin total en un cierto punto, durante un largo perodo de tiempo. Existendiversosmodelosquepermitenconservarelaguarecolectada durante perodos largos de tiempo, sin embargo, el modelo ms utilizado consta de un depsito de zinc con una boquilla de 200 centmetros cuadrados, con un arodelatndebordecortante.Enelfondollevauntapnenroscadode10 centmetros de dimetro y un grifo. Dicho depsito va soportado y protegido por otrodechapagalvanizadadejandounespacioentreambosqueevitael enfriamientoocalentamientoexageradoprovocadoporlascondiciones climticas. El fondo del depsito interno se cierra con un tapn enroscado o con 5 una tapa fijada con candado. Para evitar la evaporacin en el interior se colocan dos litros de aceite, lquido de vaselina o parafina. Regularmente los pluvimetros totalizadores son colocados enlugares en donde las precipitaciones se producen en gran parte en forma de nieve, que por medios qumicos debe fundirse para mantenerla en forma lquida. Figura 3.Pluvimetro totalizador Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 6 7 2. DESCRIPCIN DE LA ZONA DE ESTUDIO LazonadeestudioselocalizaenlavertientedelmarCaribe,dondela longitud de los ros es mucho mayor que en otras vertientes, lo cual implica que laspendientesdelosrosseansuavesysudesarrollomenosbrusco, provocandoquelascrecidasseandemayorduracin,endichavertienteest localizada la cuenca del ro Motagua que es el ro ms largo de Guatemala, con 486,5kilmetrosdelongitudysucuencacuentaconunreasuperficialde12 670 kilmetros cuadrados, lo cual la constituye como la cuenca ms extensa de la vertiente del mar Caribe. Figura 4.Cuenca del ro Motagua Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 8 LacuencadelroMotaguaabarcauntotaldetrecedepartamentos,que son: Alta Verapaz, Baja Verapaz, Chimaltenango, Guatemala, Izabal, Jalapa, El Progreso,Quich,Sacatepquez,Zacapa,Chiquimula,SololyTotonicapn. Dichosdepartamentospresentan,porsutopografaaccidentadayvariabilidad de precipitaciones y temperaturas, una serie de zonas de vida de Holdridge que es una medida de la riqueza en biodiversidad con que cuenta Guatemala. Segn la clasificacin de las zonas de vida de Holdridge en la parte oeste delacuencadelroMotagua,dondeselocalizanlosdepartamentosde Totonicapn,Quich,Solol,SacatepquezyChimaltenango,predominala zona de bosque hmedo montano bajo subtropical, adems en laparte central delacuenca,dondeselocalizanlosdepartamentosdeGuatemala,Baja VerapazyAltaVerapaz,predominalazonadebosquehmedoSubtropical templado. Enlapartesur-estedelacuencapredominalazonadebosquehmedo subtropicaltemplado,dondeademsseencuentranlaszonassemiridasdel pasdondelasprecipitacionesenlosdepartamentosZacapa,Jalapa, ChiquimulayElProgresopresentanvaloresdeprecipitacinmenoresa500 milmetros por ao, en contraste con el sector norte-este en el departamento de Izabal donde predomina la zona de bosque muy hmedo subtropical clido, con unrangoanualdeprecipitacionesqueseencuentraentrelos1500a4000 milmetros por ao. 9 2.1.Descripcin de las estaciones climticas analizadas EnlacuencadelroMotaguaseencuentranubicadasuntotaldedoce estacionesclimticasdediferentestiposfuncionandoactualmente,delas cualescuatrofuerondescartadaspornocontarconunregistrodeaos completo,siendostasLasVegas,LosAlbores,ChiniqueySanLorenzo.En consecuencia,ochoestacionesclimticasfueronconsideradasparala elaboracindecurvasdeIntensidad-Duracin-Frecuencia,porcontarcon registros completos y que abarcan un perodo considerable de aos de registro necesariosparaelpresenteestudio,siendostasSanMartnJilotepeque, SantaCruzBalany,LaSuizaContenta,Morazn,PotreroCarrillo,Pasabien, La Unin y Puerto Barrios. Figura 5.Estaciones climticas localizadas en la cuenca del roMotagua Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 10 2.1.1.Estacin climtica Puerto Barrios EstacinclimticatipoA,ubicadaenelmunicipiodePuertoBarriosdel departamentodeIzabal,aunaelevacinde2metrossobreelniveldelmary coordenadas154416latitudnortey883530longitudoeste.Lasbandas pluviogrficas analizadas fueron un total de 3 450, que a su vez corresponden a un perodo que abarca desde 1994 hasta el 2010. Figura 6.Estacin climtica Puerto Barrios Fuente: Puerto Barrios, Izabal. 2.1.2.Estacin climtica San Martin Jilotepeque EstacinclimticatipoB,ubicadaenelmunicipiodeSanMartin JilotepequedeldepartamentodeChimaltenango,aunaelevacinde1820 metros sobre el nivel del mar y coordenadas 144713 latitud norte y 904732 longitudoeste.Lasbandaspluviogrficasanalizadasfueronuntotalde1277, que a su vez corresponden a un perodo que abarca 1995 hasta el 2011. 11 Figura 7.Estacin climtica San Martin Jilotepeque Fuente: San Martin Jilotepeque, Chimaltenango. 2.1.3.Estacin climtica Santa Cruz Balany Estacin climtica tipo B, ubicadaenelmunicipio de Santa CruzBalany del departamento de Chimaltenango, a una elevacin de 2 080 metros sobre el niveldelmarycoordenadas144112latitudnortey905455longitudoeste. Lasbandaspluviogrficasanalizadasfueronuntotalde1184,queasuvez corresponden a un perodo que abarca desde 1995 hasta el 2010. Figura 8.Estacin climtica Santa Cruz Balany Fuente: Santa Cruz Balany, Chimaltenango. 12 2.1.4.Estacin climtica Potrero Carrillo Estacin climtica tipo B, ubicada en el municipio de Jalapa departamento deJalapa,aunaelevacinde1760metrossobreelniveldelmary coordenadas144538latitudnortey895556longitudoeste.Lasbandas pluviogrficas analizadas fueron un total de 3 712, que a su vez corresponden a un perodo que abarca desde 1990 hasta el 2011. Figura 9.Estacin climtica Potrero Carrillo Fuente: Jalapa, Jalapa. 2.1.5.Estacin climtica Morazn EstacinclimticatipoB,ubicadaenelmunicipiodeMorazndel departamento de El Progreso, a una elevacin de 370 metros sobre el nivel del marycoordenadas145549latitudnortey900831longitudoeste.Las bandaspluviogrficasanalizadasfueronuntotalde2810,queasuvez corresponden a un perodo que abarca desde 1990 hasta el 2011. 13 Figura 10.Estacin climtica Morazn Fuente: Morazn, El Progreso. 2.1.6.Estacin climtica La Suiza Contenta EstacinclimticatipoB,ubicadaenelmunicipiodeSanLucas SacatepquezdeldepartamentodeSacatepquez,aunaelevacinde2105 metros sobre el nivel del mar y coordenadas 143700 latitud norte y 903940 longitud oeste. Las bandas pluviogrficas analizadas fueron un total 1 875, que a su vez corresponden a un perodo que abarca desde 1995 hasta el 2010. Figura 11.Estacin climtica La Suiza Contenta Fuente: San Lucas Sacatepquez, Sacatepquez. 14 2.1.7.Estacin climtica La Unin EstacinclimticatipoB,ubicadaenelmunicipiodeLaUnindel departamentodeZacapa,aunaelevacinde1100metrossobreelniveldel marycoordenadas145800latitudnortey891739longitudoeste.Las bandaspluviogrficasanalizadasfueronuntotalde3615,queasuvez corresponden a un perodo que abarca desde 1991 hasta el 2010. Figura 12.Estacin climtica La Unin Fuente: La Unin, Zacapa. 2.1.8.Estacin climtica Pasabien EstacinclimticatipoB,ubicadaenelmunicipiodeRoHondodel departamento de Zacapa, a una elevacin de 260 metros sobre el nivel del mar ycoordenadas150148latitudnortey894048longitudoeste.Lasbandas pluviogrficas analizadas fueron un total de 1 647, que a su vez corresponden a un perodo que abarca desde el 2002 hasta el 2011. 15 Figura 13.Estacin climtica Pasabien Fuente: Ro Hondo, Zacapa. ElDepartamentodeInvestigacinyServiciosClimatolgicosdelInstituto NacionaldeSismologa,Vulcanologa,MeteorologaeHidrologa (INSIVUMEH),tieneasucargoelmonitoreodeunaampliareddeestaciones climticassituadasentodoelterritorionacional,dondesemidenelementos meteorolgicosdiariamente,estoselementosdeobservacinpuedenser: principales y auxiliares. Los elementos de observacin principales son: Temperatura Humedad relativa del aire Precipitaciones Tiempo presente Tiempo pasado Tipo de nubes Nubosidad 16 Los elementos de observacin auxiliares son: Presin atmosfrica Viento en superficie Brillo y radiacin solar Humedad del suelo Evaporacin y evapotranspiracin. ElINSIVUMEHclasificaalasestacionesclimatolgicascomotipoA,tipo B, tipo C o tipo D, donde cada tipo difiere fundamentalmente en el instrumental queposeeyporende,enelnmerodeelementosmeteorolgicosquese observan. EstacionesclimatolgicasdetipoA:loselementosmeteorolgicosque seobservanentotalsononce,siendostos:temperatura,precipitacin, humedadrelativadelaire,presinatmosfrica,brillosolar,radiacinsolar, evaporacin,nubosidad,vientoensuperficie,temperaturadelsubsueloy visibilidad. EstacionesclimatolgicasdetipoB:loselementosmeteorolgicosque seobservanentotalsoncuatro,siendostos:temperatura,precipitacin, humedad relativa del aire y velocidad de viento. EstacionesclimatolgicasdetipoC:loselementosmeteorolgicosque se observan en total son dos, siendo stos: temperatura y precipitacin. EstacionesclimatolgicasdetipoD:seobservaunnicoelemento meteorolgico que es la precipitacin. 17 3. DEFINICIN DE LAS CURVAS INTENSIDAD-DURACIN FRECUENCIA EnrelacinalascurvasIDF,Pizarroafirmaquecorrespondenala representacingrficadelarelacinqueexisteentrelaintensidaddelalluvia consuduracin,asociadoalafrecuenciaoperododeretorno,dondepara cada perodo de retorno se tiene una curva diferente. Figura 14.Familia de curvas IDF para distintos perodos de retorno Fuente: elaboracin propia. UnadefinicinmsdetalladaesladescritaporMinteguiyLpez,que sealan que las curvas IDF representan a las duraciones en las abscisasy las 0204060801001201401601800 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Tr=5 aosTr=15 aosTr=25 aosTr=50 aosTr=100 aos18 intensidades de precipitacin en las ordenadas, donde cada curva representada correspondeaunafrecuenciaoperododeretorno,detalmaneraquelas grficasdeestascurvasrepresentanlaintensidadmediaenintervalosde diferente duracin, correspondiendo todos los puntos de una misma curva a un idntico perodo de retorno. Paralaelaboracindeestascurvasesnecesariorealizarelanlisisde frecuenciasdelluviasintensas.Enestesentido,lasdistribucionesms utilizadassonladistribucinNormalyladevaloresextremostipoIode Gumbel,estaltimadistribucinhasidoutilizadaconbuenosresultadosenel estudiodeeventosmeteorolgicosdevaloresmximosdiariosyanuales, obtenindose as ajustes precisos segn Mintegui y Lpez. 3.1.Aplicacin de las curvas Intensidad-Duracin-Frecuencia Las curvasIntensidad-Duracin-Frecuencia son demuchautilidadpara el diseohidrolgicodecaudalesmximoscuandoseempleanmodeloslluvia-escorrentacomoloshidrogramasunitariosoelmtodoracional.Detalmodo quegrannmerodeproyectoshidrolgicos,comoconstruccindepuentes,redes de drenajey diseode evacuadores de crecidas, entreotros, se definen enfuncindelamximaprecipitacinquepodraesperarseparaun determinadoperododeretorno.Esdecir,queapartirdeestoseventos extremos,sefijanlasdimensionesdelproyectoyseestablecencriteriosde prediccin y riesgo. Adems,tambinsonutilizadasparadimensionarobrasdestinadasal control de la erosin en laderas y recuperacin de suelos degradados. Debido a queparalaconstruccindeobrascomozanjasdeinfiltracin,canalesde desviacin,diquesdepostes,gavionesyotrasobrasdeprevencinde 19 procesoserosivos,sehacenecesarioconocerlosvaloresmximosde intensidadesdeprecipitacinquepuedanpresentarse,conelfinde dimensionar adecuadamente dichas obras. Adicionalmentealasaplicacionesanterioresotraimportanteesla construccin de las tablas de extensin de las curvas IDF, que permiten estimar las intensidadesmximas de precipitacin para distintas duraciones y perodos deretorno,relacionandolaintensidaddeprecipitacinde1,2,4,12horas, conlaintensidadde24horas,tomandoencuentaquelasprecipitaciones diarias son ms comunes de obtener por medio de un pluvimetro, permitiendo asextrapolarestasrelacionesazonasdondeslosecuentacondatos pluviomtricos. Originado de la importancia en sus mltiples aplicaciones, son variados los pasesquecuentanconunaampliareddecurvasIDF;entreellosdestacan Brasil, Estados Unidos, Ecuador, Chile y Grecia, entre otros. Empleando dichas curvasparadeterminarpuntosderiesgo,principalmentedezonasde inundacionesatravsdemapasdezonificacinderiesgosnaturalesen conjuntoconotrasvariablesnaturales.Adems,enIndiaseutilizalarelacin entrelasvariablesdeintensidad,duracinyfrecuenciaenlaplanificaciny diseo de proyectos relacionados con los recursos hdricos. UnaparticularidaddelascurvasIntensidad-Duracin-Frecuenciaesque puedenexpresarsecomoecuaciones,conelfindeevitarlalecturadelas intensidades de precipitacin en una grfica. De este modo, a travs del tiempo, variosinvestigadoreshangeneradodiversosplanteamientosdelasrelaciones matemticasquemodelanadichascurvas,acontinuacinsepresentan algunas expresiones matemticas desarrolladas: 20 Modelo propuesto por Sherman:

Modelo propuesto por Bernard:

ModelopropuestoporLinsley,vlidaparaduracionesentre5y20 minutos:

ModelopropuestoporLinsley,vlidaparaduracionessuperioresa60 minutos:

Modelo propuesto por Wenzel:

Modelo propuesto por Chen:

21 Modelo propuesto por Chow:

Modelo propuesto por Koutsoyiannis:

Modelo estndar:

DondeA,B,K,c,mynsonparmetrosadimensionales,esla intensidad media de la lluvia de una hora y perodo de retorno de T aos, T es perodo de retorno, D es la duracin e I la intensidad mxima de precipitacin. 22 23 4. METODOLOGA UTILIZADA PARA LA CONSTRUCCIN DE CURVAS INTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA PARA DISTINTOS PERODOS DE RETORNO 4.1.Recopilacin de la informacin pluviogrfica LainformacinutilizadaparalaelaboracindelascurvasIDFdelas estacionesclimticaslocalizadasenlacuencadelroMotaguafue proporcionada por el Departamento de Investigacin y Servicios Climatolgicos delInstitutoNacionaldeSismologa,Vulcanologa,MeteorologaeHidrologa (INSIVUMEH),queesunadependenciaadscritaalMinisteriode Comunicaciones, Infraestructura y Vivienda. Las estaciones climticas analizadas en el presente estudio fueron un total deochoestaciones,cadaunacuentaconequipospluviogrficostipoHellman, que por medio de bandas milimetradas (vea figura 15), registran los eventos de precipitacinqueocurrenduranteelao,demaneraconstanteutilizando bandasdiarias.Actualmente,endichasestacionesseutilizanbandas milimetradas semanales, lo que dificulta realizar la lecturaa cadadiezminutos durante la poca lluviosa, por lo mismo, no se pudo incluir el registro generado a partir del 2012. 24 Figura 15.Equipo pluviogrfico y banda milimetrada Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Encadaestacinclimatolgicaseutilizelmximoposibledeaosde registro, para disponer del mximo de datos pluviogrficos y lograr obtener una estadstica confiable. Sin embargo, en alguno de los registros de las estaciones climatolgicasexistenaosincompletosobandaspluviogrficascondefectos ocasionadosporelpasodeltiempooporelfuncionamientoincorrectodel pluvigrafo. 4.2.Seleccin de intensidades mximas El mtodo ms validado para la construccin grfica de las curvas IDF, es elpropuestoporTmez,queconsisteenanalizarlasbandasderegistros pluviogrficos,seleccionandolosvaloresextremosdeprecipitacinpara tiempos determinados. 25 Detalmodo,delregistropluviogrficodecadaestacinclimtica, nicamentedeben serdiscretizadaslas bandaspluviogrficas que representen un evento extremoy que coincidan con el historialdeprecipitacionesmximas delDepartamentodeInvestigacinyServiciosClimticos,obteniendoaslas cantidadesmximasdeprecipitacinconduracinde24horas,queabarca desde las 7:00 horas de un da hasta las 7:00 horas del da siguiente. Figura 16.Banda pluviogrfica con registro de precipitacin Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Luegodediscretizarlasbandaspluviogrficasseprocedeacalcularlos valoresdeintensidaddelalluviaparadistintasduraciones,conlasiguiente ecuacin: I = P t 26 DondeIeslaintensidaddeprecipitacinenmilmetrosporhora,Pel diferencial de precipitacin en milmetros y t el diferencial de tiempo en horas. Figura 17.Esquema de las curvas IDF, segn el mtodo propuesto porTmez Fuente: elaboracin propia. En la figura 17, es posible apreciar que el valor de I (intensidad) aumenta aldisminuirt(tiempodeduracindelalluvia),presentandounaforma exponencialnegativa.Estodebidoaquelaprobabilidaddeencontrar intensidadesmayoresaumentacuandolasduracionesdisminuyen,porel contrario, las intensidades disminuyen cuando las duraciones son mayores. 27 4.3.Ajuste de los datos a una funcin de distribucin de probabilidad Tomandoen cuenta que en un ao en particular pueden ocurrir una serie deeventosconvaloresdeintensidadesdelluviadiferentes,deben seleccionarselosvaloresmximosdedichoao,deloanterioresposible obtenerunresumenmultianualdeintensidadesdelluviamximaparacada estacin climtica (vea tabla I). Alresumenmultianualesnecesarioaplicarunanlisisdefrecuenciay para ello se requiere del uso de una funcin de distribucin de probabilidades y aplicarlastcnicasestadsticasquesedescribenenelcaptulosiguiente. Aunqueexistenvariasfuncionesdedistribucindeprobabilidadestericas comoladistribucinbinomial,distribucindeGumbel,distribucindePoisson, distribucinnormal,distribucinchicuadradoydistribucingamma.Eneste estudioseaplicarontantoladistribucinNormalcomoladistribucinde Gumbel,porconsiderarqueambasfuncionessonaplicablesaeventos meteorolgicos. Sinembargo,lafuncindedistribucindeGumbelotipo1hasido empleadaenelestudiodeeventosmeteorolgicosdevaloresmximos, obteniendoajustesmuyprecisosparavaloresmximosdiariosyanuales. Adems,literaturaespecializadaeneltema,citaquelaaplicacindedicha funcindedistribucinenestudiosquecontempleneventosdevalores extremos, resulta ser la ms adecuada para representar eventos mximos. 28 Tabla I.Resumen multianual de intensidades de lluvia mximas de la estacin climtica La Unin Ao/ Duracin Intensidad de lluvia mxima (mm/h) 1020304050601201803607201440 1991 60,00 57,00 52,4045,0044,6439,0020,7514,177,173,581,79 1992 120,00120,00100,0087,6075,8464,5036,3524,2312,126,063,03 1994 120,0090,0072,0063,0054,4847,0024,5516,378,184,352,18 1995 60,0057,0044,0034,9529,4028,0020,7514,737,674,712,52 1996 120,00120,0096,0075,0062,6454,0028,7522,1012,086,934,09 1997 57,0057,0057,0055,9545,6038,5020,0513,677,273,631,82 1998 60,0060,0060,0047,2539,9637,0028,5024,3316,4011,816,33 1999 171,00114,0095,0077,8562,2852,3030,4520,6011,555,802,90 2000 171,00114,0095,0077,2568,4064,0040,5027,6715,077,573,78 2001 171,00114,0095,0085,5078,0072,9037,2024,8015,837,924,20 2002 114,00114,0095,0075,7562,4053,9028,7019,139,574,782,39 2003 60,0060,0054,0043,2035,8830,3023,7016,808,424,212,10 2004 75,0060,9055,8045,4545,4838,1020,0013,577,453,851,99 2005 180,00120,60100,8090,7578,6070,6042,5531,0716,138,074,03 2006 111,6084,3071,2063,4551,4843,1024,9516,708,574,282,14 2007 120,0090,6081,4064,8052,5644,9025,3521,0713,587,903,96 2008 56,4056,4056,4053,5551,2444,6023,8016,8310,085,042,52 2009 168,00139,80102,2084,0072,4865,3038,1027,5715,658,724,41 2010 120,00113,4094,8074,1062,2853,3033,5023,7014,007,033,52 Fuente: elaboracin propia. 29 5. TCNICAS ESTADSTICAS UTILIZADAS PARA EL CLCULO DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS 5.1.Parmetros estadsticos Las funciones de distribucin brindan informacin muy completa acerca de unexperimentoaleatorio,sinembargo,avecesresultanecesariodescribirla distribucinestadsticamediantevaloresrepresentativos,llamadostambin caractersticasdeladistribucinoparmetrosestadsticos,loscualesson: momentos,deposicin,dedispersin,deasimetra,deaplanamientoy estimadores. 5.1.1.De posicin (valor medio) El parmetro estadstico de posicin es un valor en el eje de las abscisas quedeterminaunpunto central de la funcin, alrededordel cual sedistribuyen todos sus dems valores. Entre los parmetros de posicin que se usan frecuentemente est el valor medio,que sedefine como la abscisa del centro de gravedaddela funcin de frecuencia y coincide con el momento de primer orden con respecto al origen. 5.1.2.De dispersin (desviacin estndar) La dispersin es un parmetro estadstico que indica la medida en que se distribuye la variable aleatoria alrededor del valor de posicin. En otras palabras es el grado de repetitividaddelos resultados deunexperimentoaleatorio. Las 30 principalesmedidasdedispersinsonladesviacinestndaryelrecorrido intercuartlico. Cuando se utiliza el valor medio como parmetro de posicin es necesario utilizar la desviacin estndar como parmetro de dispersin. Siendo su valor la raz cuadrada del momento central de segundo orden:

Siendo la expresin que define al momento central de segundo orden:

5.1.3.De asimetra (coeficiente de asimetra relativa) El clculo de la asimetra permite evaluar la medida en que una funcin de frecuenciaseapartadelasimetraperfecta,casoparaelcualesteparmetro es nulo. Una larga cola para valores crecientes de la variable aleatoria significa unaltovalorpositivodeasimetra,mientrasqueunvalornegativoindicalo opuesto. Elparmetrodecoeficientedeasimetrarelativasebasaenelhechode que todos los momentos centrales de orden impar son nulos para distribuciones simtricas, tomando el momento central de tercer orden dividido por el cubo de ladesviacinestndarparadarorigenauncoeficienteadimensional, representado por la siguiente expresin: 31

5.1.4.De aplanamiento Elparmetroestadsticodeaplanamientosebasaenelmomentocentral decuartoorden,alqueseledivideporlacuartapotenciadeladesviacin estndar, paradarorigen a un parmetro adimensional que reflejeel grado en que una funcin de frecuencia resulta achatada en sus valores centrales. LafuncindefrecuencianormalodeGaussnormalizadatieneunvalor medio,mediana,modoycoeficientedeasimetranulosydesviacinestndar unitaria.Siseaplicaladefinicinanterior,lafuncindefrecuencianormal resultaun coeficiente de aplanamiento o kurtosis igual a tres. Con el objeto de llevarlo a cero, se le restan tres unidades al mencionado valor para as obtener el coeficiente de exceso:

Una funcin con < 0 se denomina platocrtica, mientras que una funcin con

> 0 se denomina leptocrtica. 5.2.Distribuciones tericas Para establecer un modelo matemtico debe tenerse el conocimiento de la distribucindeprobabilidadesparatodoslosvaloresdelavariablealeatoriax. Es til conocer la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual al niveldereferenciaX,dichasituacinseexpresasegnlasiguientenotacin, siendo F(x) la funcin de distribucin de la variable aleatoria x: 32 Existenvariasdistribucionesprobabilsticasrepresentativasdeunaserie de experimentos aleatorios que pueden ser descritas con ayuda de expresiones matemticascorrespondientesadistribucionestericas,laprincipalventajaes quepermiteaplicarciertaspropiedadesdelasdistribucionestericasalos resultados experimentales. Lasfuncionestericasmsimportantesseoriginandeunsencillo experimentollamadopruebadeBernoulli.Recibenestadenominacinsi,en cadaensayo,esposibleobtenernicamentedosresultados:favorabley desfavorable y silas probabilidades respectivas se mantienen constantes a los largodetodalaserie.Sipeslaprobabilidaddexitoyqlaprobabilidadde fracaso, resulta:

Algunasfuncionestericasson:distribucinbinomial,distribucinde Gumbel,distribucindePoisson,distribucinnormal,distribucinchicuadrado y distribucin gamma. 5.2.1.Distribucin Binomial Para n pruebas de Bernoulli es necesario saber la probabilidad de obtener x xitos, sin importar el orden en el que aparecen. Puede tomarse como base el caso particular en el cual los x xitos se obtienen en la primeras x experiencias ylosnxfracasosaparecenposteriormente,enformaconsecutiva.Silas pruebassonindependientes,puedeaplicarselareglademultiplicacin simplificada para el clculo de la probabilidad P de esta secuencia. 33

Adems,tomandoencuentaquedebenconsiderarsetodaslasposibles seriesderesultadosparaelclculocorrectodelaprobabilidadbuscada,sta serigualalasumadetodosloscasosindividualesdebidoaquelas secuenciassonmutuamenteexcluyentes.Enconsecuencia,lafuncinde frecuenciadeladistribucinbinomialestardadaporlamultiplicacinentrela expresin anterior y las combinaciones de n elementos tomados de x. (

)

Entonceslafuncindeladistribucinbinomialestdadaporlasiguiente expresin: (

)

Enconclusinlosprincipalesparmetrosestadsticosdeladistribucin binomial son:

34 5.2.2.Distribucin Normal TambinllamadadistribucindeGauss,esunadistribucindetipo continuoyunaaproximacindeladistribucinbinomial,dondeseconsidera unaseriegrandederepeticionesdelexperimentoaleatorio,sinimponer restricciones respecto al valor de probabilidad. LafuncindefrecuencianormalodeGauss,serepresentaconla siguiente expresin:

Grficamentetienelaformadeunacampanasimtricaconrespectoal origen y puntos de inflexin en 1. De tal modo que el valor medio, el modo y la medianacoinciden,siendonulos.Siendolafuncindedistribucinnormalla siguiente:

Antesdellegaradichaexpresinsedalanormalizacinqueconsisteen aplicar a la variable aleatoria original la transformacin lineal siguiente:

Latransformacinanteriorseconocecomovariablenormalizada,las definicionesdevalormedioydesviacinestndardancomoresultadolos valores siguientes: 35 Enconclusinlosparmetrosestadsticosreferidosaunavariable normalizadaz,son:valormedio,coeficientedeasimetrarelativay aplanamiento nulos y desviacin estndar unitaria.

El rea debajo de la curva de frecuencia normal en un intervalo simtrico conrespectoalorigencrecerpidamentehacialaunidadalincrementarse dicho intervalo. 5.3.Distribuciones extremas Cuandodeunapoblacincualquierasetomannmuestrasdem elementoscadauna,losvaloresmediossedistribuyennormalmentealrededor de la gran media. Sin embargo, si en lugar de considerar los valores medios se tienenencuentalosvaloresmximosomnimosdecadamuestra,la distribucinno ser normal sino queresponder a otra funcin distinta, para lo cual debe utilizarse la teora de las distribuciones extremas. 36 5.3.1.Probabilidad Paraunexperimentoaleatorioquearrojeunconjuntodevalores favorablesasobreuntotalderesultadosc,existirunaprobabilidadigualal cociente:

Si se repite el mismo experimento un nmero elevado de veces, todos los casosposiblestendernapresentarseenunacantidadproporcionalasu probabilidad,pudindoseejecutarnveceselmismoexperimentosiaparecenf casos favorables, la relacin ser aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia del suceso, existir una probabilidad igual a:

Donde f es la frecuencia del suceso yes su razn frecuencial. La definicin clsica tornadificultosodeterminar si los casosposibles son onoigualmenteprobables,dandolugaracontroversiasquefueron solucionndose a medida que se profundiz en la teora de probabilidades. Actualmentesetiendealacreacindemodelosmatemticosque permitan explicar los fenmenos probabilsticos.De talmodopuedepostularse la existenciade un nmerop, que por definicines laprobabilidadmatemtica del sucesoenestudio, siendola razn frecuencialo frecuencia relativaf/nuna medida experimental de la misma. 37 5.3.2.Perodo de retorno Paraunexperimentoaleatorioesconvenientereferirseaprobabilidades deocurrencia.Sinembargo,cuandolavariablealeatoriaconsideradaesuna magnitudrelacionadaconalgnfenmenonaturalcomocaudales, precipitacin, velocidades de viento, etc., es conveniente a referirse a perodos de retorno. Si p es la probabilidad de que una variable x supere un valor dado X en un cierto lapso, el perodo de retorno T representar el nmero de unidades detiempoquetranscurrirnenpromedioentredosoportunidadesenquela variable iguale o supere dicho valor, es decir:

(1) Por lo tanto, es equivalente especificar un perodo de retorno de 100 aos o una probabilidad anual de 0,01. Enelcasodeintensidadesmximaselperododeretorno(T)puede describirse como el tiempo (en aos) que probablemente transcurrir para que la variable aleatoria x se repita o sea mayor. El anlisis estadstico consiste en hallar la funcin que mejor represente el comportamientodelavariablealeatoriax,paraluegoasignaracadavalorX unaprobabilidadounperododerecurrencia.Si(x)eslafuncinde distribucin, entonces: p = 1 - (x) (2) 38 5.3.3.Distribucin de Gumbel EsunadelasfuncionesdedistribucinmsempleadasenHidrologa junto a la funcin de Frchet, funcin de Pearson tipo III y la funcin de Galton. Unadesuscaractersticasprincipalesesquepuedeaplicarselaleyde valoresextremostipoI(Gumbel)silafuncindedistribucininicialconverge haciaunaexponencial,paraxtendiendoainfinitoysuexpresinmatemtica es:

(3) Siendo y la variable reducida de Gumbel que es, a su vez, la funcin lineal de la variable aleatoria original x.

Otra de sus caractersticas es que el campo de variacin de x se extiende entre y +. Las constantes y se determinan de los datos para lograr su adecuadoajuste.Losparmetrosestadsticoscomoelvalormedioyla desviacinestndardelavariablereducidasonfijoseindependientesdela muestra.

39 Siendola constante de Euler, definida por la siguiente expresin:

(

) Tomandoencuentaqueentrelasvariablesxyyexisterelacinlineal puedencalcularsetantoelvalormediocomoladesviacinestndarparala variable aleatoria original y comprobar la validez de la siguiente igualdad:

Despejando y de la ecuacin (3), se obtiene como resultado la relacin k-T paraunadistribucinGumbel.Sisetieneencuentalavinculacinexistente entrelafuncindedistribucinyelperododeretornoseobtienelasiguiente expresin:

[(

)] Otroaspectoimportanteeslatendenciaasintticadelafuncinde distribucincuandoelTtiendealinfinito,dadoqueelobjetivoprimordialdel anlisisestadsticoespredecirelcomportamientodelavariablealeatoriaen estudio para grandes perodos de retorno. 40 Sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2),eigualandoluegoconla ecuacin (1), se obtiene la siguiente expresin:

(4) DesarrollandoenserielafuncinparaTtendiendoainfinito,se obtiene la siguiente aproximacin:

(5) Sustituyendolaecuacin(5)enlaecuacin(4),seobtienelasiguiente expresin, vlida para grandes perodos de recurrencia:

Finalmente, la expresin completa tiene la siguiente forma:

Esdecir,queelvalorparalavariabledeinterspredichoporGumbel crece, aproximadamente, con el logaritmo del perodo de retorno. Finalmente la tabla II relaciona la probabilidad, perodo de retorno y la variable reducida. 41 Tabla II.Funcin de Gumbel, variable reducida y perodo de retorno Probabilidad (p)Perodo de retorno (T) Variable reducida (y) 0,50020,37 0,20051,50 0,100102,25 0,050202,97 0,020503,90 0,0101004,60 0,0052005,30 0,0025006,21 0,0011 0006,91 Fuente: MAGGIO, G.E. Anlisis estadstico de valores extremos. p.28. 42 43 6. CLCULO Y PRESENTACIN GRFICA DE LAS CURVASINTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA Paraaplicarelanlisisdefrecuenciasdebencalcularselosparmetros estadsticosrequeridosporlasfuncionesdedistribucinNormalydeGumbel, esdecir,parmetrosestadsticoscomoelvalormedio,desviacinestndary las constantes y, dichos parmetros son obtenidosdel resumenmultianual deintensidadesdelluviamximaysondefinidasconlassiguientes expresiones:

Del clculo anterior se obtuvieron los valores de probabilidad de intensidad de lluvia mxima, para los perodos de retorno de 2, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 50, 75 y100aos.Yparacadaperododeretornoduracionesde10,20,30,40,50, 60, 120, 180, 360, 720 y 1 440 minutos, dando como resultado final una familia decurvasdeintensidad-duracin-frecuenciaparacadaestacinclimatolgica. A continuacin, se presentanlos valores de las intensidades mximas de lluvia resultantes del clculo de distribuciones de frecuencias Normal y de Gumbel, y la representacin grfica de dichos valores. 44 Tabla III.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Santa Cruz Balany Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 259,9545,2838,0833,3430,0727,1018,0514,899,325,392,87 576,6460,7152,7545,4839,6635,0423,7019,8612,157,203,99 1085,3768,7860,4251,8244,6739,1926,6522,4513,638,144,57 1589,7272,8164,2554,9947,1741,2628,1223,7414,378,624,86 2092,5875,4566,7657,0648,8142,6229,0924,5914,858,935,05 2594,6777,3968,6058,5950,0143,6229,8025,2115,219,155,19 3096,3278,9270,0559,7950,9644,4030,3625,7015,499,335,30 50100,6982,9573,8962,9653,4646,4831,8327,0016,229,815,60 75103,9185,9376,7265,3055,3148,0132,9327,9616,7710,165,81 100106,0987,9578,6466,8956,5749,0533,6628,6117,1410,395,96 Fuente: elaboracin propia. Figura 18.Curvas IDF de la estacin climtica Santa Cruz Balany, utilizando la distribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 0204060801000 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Santa Cruz Balany Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____157412,20 + t^0,79 I20 = ____1702 12,03 + t^0,79 I50 =____1841 11,83 + t^0,79 45 Tabla IV.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Santa Cruz Balany Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 256,6942,2635,2230,9728,2025,5516,9413,938,775,032,65 574,2258,4750,6343,7138,2733,8922,8819,1411,746,933,83 1085,8369,2160,8352,1544,9339,4126,8122,5813,718,194,60 1592,3775,2666,5856,9248,6942,5229,0224,5314,828,905,04 2096,9679,5070,6160,2551,3244,7030,5725,8915,599,405,35 25100,4982,7773,7162,8253,3546,3831,7726,9416,199,785,58 30103,3685,4276,2464,9155,0047,7532,7427,8016,6810,105,78 50111,3792,8383,2770,7359,6051,5635,4530,1818,0310,966,31 75117,6998,6788,8375,3263,2354,5737,5932,0519,1011,656,73 100122,17102,8192,7678,5865,8056,6939,1033,3819,8612,147,03 Fuente: elaboracin propia. Figura 19.Curvas IDF de la estacin climtica Santa Cruz Balany, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 0204060801000 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo(min) Estacin Santa Cruz Balany Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____158312,19 + t^0,79 I20 = ____1775 11,90 + t^0,79 I50 =____2038 _ 11,72 + t^0,79 46 Tabla V.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica San Martin Jilotepeque Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 285,8068,9157,2250,3743,6239,8724,9118,4610,545,682,89 5117,9189,5274,1365,0857,1653,0031,7923,8613,377,714,03 10134,69100,2982,9872,7764,2459,8735,3926,6914,858,764,63 15143,07105,6787,3976,6167,7763,2937,1928,1015,599,294,92 20148,55109,1990,2879,1270,0965,5438,3629,0216,089,635,12 25152,59111,7892,4180,9771,7967,1939,2329,7016,439,895,26 30155,76113,8294,0882,4273,1368,4939,9130,2316,7110,095,37 50164,15119,2098,5086,2776,6771,9241,7131,6417,4510,625,67 75170,35123,18101,7789,1179,2974,4643,0432,6918,0011,015,89 100174,55125,88103,9891,0381,0676,1743,9433,3918,3711,276,04 Fuente: elaboracin propia. Figura 20.Curvas IDF de la estacin climtica San Martin Jilotepeque,utilizando la distribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201401600 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin San Martin Jilotepeque Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____307715,63 + t^0,89 I20 = ____3161 14,23 + t^0,88 I50 =____3269 13,01 + t^0,87 47 Tabla VI.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica San Martin Jilotepeque Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 279,5364,8953,9147,4940,9737,3123,5717,409,995,292,67 5113,2586,5371,6862,9455,2051,1030,8023,0812,967,413,87 10135,57100,8683,4473,1764,6160,2335,5826,8314,938,824,66 15148,16108,9490,0878,9469,9365,3838,2828,9516,049,615,10 20156,98114,6094,7282,9873,6568,9940,1730,4416,8210,175,41 25163,77118,9698,3086,0976,5171,7641,6331,5817,4210,595,65 30169,30122,51101,2188,6378,8474,0242,8132,5117,9110,945,85 50184,70132,39109,3395,6885,3480,3246,1135,1019,2711,916,39 75196,86140,20115,73101,2590,4785,3048,7237,1520,3412,686,83 100205,46145,72120,27105,2094,1088,8250,5638,6021,1013,227,13 Fuente: elaboracin propia. Figura 21.Curvas IDF de la estacin climtica San Martin Jilotepeque,utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201401601800 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin San Martin Jilotepeque Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____3081 15,53 + t^0,89 I20 = ____3225 13,58 + t^0,87 I50 =____3433 11,83 + t^0,86 48 Tabla VII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climticaLa Suiza Contenta Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 286,4556,8846,0638,5733,3129,1017,3912,598,004,952,60 5131,0282,5366,4357,8749,2543,0023,9216,7110,687,234,05 10154,3395,9477,0767,9657,5850,2727,3318,8612,088,424,80 15165,96102,6382,3972,9961,7353,8929,0419,9312,779,025,18 20173,57107,0185,8776,2964,4556,2730,1520,6413,239,415,43 25179,18110,2488,4378,7266,4658,0130,9721,1513,579,705,61 30183,58112,7790,4480,6268,0359,3931,6221,5613,839,925,75 50195,23119,4795,7685,6672,1963,0233,3222,6414,5310,526,13 75203,84124,4399,7089,3975,2765,7134,5923,4315,0510,966,41 100209,67127,78102,3691,9277,3667,5235,4423,9715,4011,266,60 Fuente: elaboracin propia. Figura 22.Curvas IDF de la estacin climtica La Suiza Contenta,utilizando la distribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201401601802000 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin La Suiza Contenta Tr=10 aosTr=20aosTr=50 aosI10 = ____1014 0,95 + t^0,74 I20 = ____1084 0,67 + t^0,73 I50 =____1167 0,45 + t^0,73 49 Tabla VIII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climticaLa Suiza Contenta Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 277,7551,8842,0934,8130,2026,3916,1111,797,484,502,32 5124,5678,8163,4755,0746,9440,9822,9716,1110,296,903,84 10155,5596,6477,6368,4958,0150,6527,5118,9712,158,494,84 15173,03106,7085,6276,0664,2656,1030,0720,5913,209,385,41 20185,28113,7591,2181,3668,6459,9231,8721,7213,9310,015,81 25194,71119,1795,5285,4472,0162,8633,2522,5914,5010,496,11 30202,38123,5999,0388,7674,7565,2534,3723,3014,9610,896,36 50223,76135,89108,7998,0182,3971,9137,5025,2716,2411,987,05 75240,64145,60116,51105,3288,4377,1839,9826,8317,2612,857,60 100252,59152,48121,97110,5092,7080,9141,7327,9317,9713,467,99 Fuente: elaboracin propia. Figura 23.Curvas IDF de la estacin climtica La Suiza Contenta,utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 0501001502000 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin La Suiza Contenta Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____1018 0,92 + t^0,74 I20 = ____1128 0,54 + t^0,73 I50 =____1282 0,24 + t^0,73 50 Tabla IX.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Morazn Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 279,7768,0563,2154,8149,3745,5928,3020,0710,705,542,84 5102,9681,6775,3365,5459,8855,9234,2524,1112,776,503,33 10115,0888,7981,6771,1565,3761,3337,3626,2213,867,003,59 15121,1392,3484,8373,9568,1264,0238,9127,2714,407,253,72 20125,0994,6786,9075,7969,9165,7939,9327,9614,757,423,81 25128,0196,3888,4277,1471,2367,0940,6828,4715,017,543,87 30130,3097,7389,6278,2072,2768,1141,2628,8715,217,633,92 50136,36101,2892,7981,0075,0270,8142,8229,9215,767,884,05 75140,84103,9195,1383,0877,0572,8143,9730,7016,168,074,14 100143,87105,6996,7184,4878,4274,1644,7431,2316,438,194,21 Fuente: elaboracin propia. Figura 24.Curvas IDF de la estacin climtica Morazn, utilizando ladistribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201400 50 100 150 200 250 300 350intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Morazn Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____830163,83 + t^1,06 I20 = ____8786 62,70 + t^1,06 I50 =____9388 62,08 + t^1,06 51 Tabla X.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Morazn Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 275,2465,4060,8552,7147,3243,5727,1419,2810,305,362,74 599,5979,6973,5763,9858,3654,4233,3923,5212,476,363,26 10115,7289,1682,0071,4565,6661,6137,5226,3313,917,033,61 15124,8194,5086,7575,6669,7865,6639,8627,9114,727,403,80 20131,1898,2490,0878,6072,6768,5041,4929,0215,297,673,93 25136,09101,1292,6480,8874,8970,6942,7529,8815,737,874,04 30140,08103,4794,7382,7276,7072,4743,7730,5716,098,034,12 50151,20110,00100,5487,8781,7477,4246,6232,5117,088,494,36 75159,98115,16105,1391,9485,7281,3448,8834,0417,878,864,55 100166,20118,81108,3894,8288,5484,1150,4735,1218,429,114,68 Fuente: elaboracin propia. Figura 25.Curvas IDF de la estacin climtica Morazn, utilizando ladistribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201400 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Morazn Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____8298 63,44 + t^1,06 I20 = ____9150 62,67 + t^1,06 I50 =___ 10216_ 61,65 + t^1,07 52 Tabla XI.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climtica Potrero Carrillo Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 288,0070,4459,3351,0444,5339,5124,9118,3210,615,923,00 5123,5391,2573,6462,8455,3949,2832,3223,8113,757,473,80 10142,10102,1281,1369,0061,0654,3836,1826,6915,398,284,22 15151,37107,5584,8672,0863,8956,9338,1228,1216,208,694,43 20157,44111,1187,3174,0965,7458,6039,3829,0616,748,964,57 25161,91113,7289,1175,5867,1159,8340,3129,7517,139,154,67 30165,42115,7890,5276,7468,1860,7941,0430,2917,449,314,75 50174,70121,2294,2679,8271,0263,3542,9831,7218,269,714,96 75181,57125,2497,0382,1073,1165,2344,4132,7918,8710,015,11 100186,21127,9698,9083,6474,5366,5145,3733,5019,2810,225,22 Fuente: elaboracin propia. Figura 26.Curvas IDF de la estacin climtica Potrero Carrillo, utilizando la distribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201401601800 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Potrero Carrillo Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____2908 14,04 + t^0,89 I20 = ____2996 12,84 + t^0,88 I50 =____3109 11,79 + t^0,87 53 Tabla XII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climticaPotrero Carrillo Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 281,0766,3856,5348,7442,4137,6023,4717,2510,005,612,84 5118,3788,2371,5761,1253,8147,8631,2423,0213,297,253,68 10143,08102,6981,5269,3261,3654,6536,3926,8415,478,334,24 15157,01110,8687,1473,9565,6158,4839,2928,9916,708,944,56 20166,77116,5791,0777,1968,5961,1641,3230,5017,569,374,78 25174,29120,9794,1079,6970,8963,2342,8931,6618,239,694,95 30180,40124,5596,5681,7272,7664,9144,1632,6118,779,965,08 50197,44134,53103,4387,3777,9669,6047,7135,2420,2710,715,47 75210,90142,42108,8591,8482,0773,3050,5237,3221,4611,305,77 100220,42147,99112,6995,0084,9875,9252,5038,7922,3011,715,99 Fuente: elaboracin propia. Figura 27.Curvas IDF de la estacin climtica Potrero Carrillo, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201401601802000 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Potrero Carrillo Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____2916 13,97 + t^0,89 I20 = ____3056 12,24 + t^0,88 I50 = _____3267 10,73 + t^0,87 54 Tabla XIII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climticaPasabien Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 284,7577,2564,2553,8147,0940,6522,1415,898,674,352,18 5110,7799,3982,2368,2258,9051,0527,3219,5310,955,492,75 10124,37110,9691,6275,7565,0856,4830,0321,4412,146,093,04 15131,16116,7396,3179,5168,1659,2031,3822,3912,746,393,19 20135,61120,5199,3881,9770,1860,9732,2723,0113,136,583,29 25138,88123,29101,6483,7871,6662,2832,9223,4713,426,723,36 30141,45125,48103,4285,2172,8363,3133,4323,8313,646,843,42 50148,25131,26108,1288,9775,9266,0334,7924,7814,247,133,57 75153,28135,54111,5991,7578,2068,0335,7925,4914,687,353,68 100156,68138,43113,9493,6379,7469,3936,4725,9614,987,503,75 Fuente: elaboracin propia. Figura 28.Curvas IDF de la estacin climtica Pasabien, utilizando la distribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201400 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Pasabien Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____5514 30,44 + t^1,03 I20 = ____5793 29,02 + t^1,03 I50 = ____6120_ 27,75 + t^1,02 55 Tabla XIV.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climticaPasabien Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 279,6772,9360,7451,0044,7838,6221,1315,188,224,132,07 5107,0096,1779,6266,1357,1949,5426,5719,0110,625,332,66 10125,09111,5692,1276,1465,4056,7730,1821,5412,216,123,06 15135,29120,2499,1781,8070,0360,8532,2122,9713,106,573,28 20142,44126,32104,1085,7573,2863,7033,6323,9713,736,883,44 25147,94131,01107,9188,8075,7865,9034,7324,7414,217,123,56 30152,42134,81111,0091,2877,8167,6935,6225,3714,607,323,66 50164,90145,43119,6298,1983,4872,6838,1027,1115,707,863,93 75174,76153,81126,43103,6487,9576,6240,0728,4916,568,294,15 100181,73159,75131,25107,5191,1279,4141,4529,4717,188,604,30 Fuente: elaboracin propia. Figura 29.Curvas IDF de la estacin climtica Pasabien, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 0204060801001201401600 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Pasabien Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____5523 _ 30.28 + t^1.03 I20 = ____5970 28.31 + t^1.03 I50 = _____6572 26.50 + t^1.02 56 Tabla XV.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climticaLa Unin Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 2111,3291,7477,7965,4956,5149,5428,8720,4811,416,123,14 5149,38116,1095,0379,8868,6560,7334,9624,9214,277,964,14 10169,28128,84104,0587,4075,0066,5838,1527,2515,778,924,66 15179,21135,19108,5591,1578,1769,4939,7428,4116,519,404,92 20185,71139,36111,4993,6180,2471,4140,7829,1617,009,715,09 25190,50142,42113,6695,4281,7772,8141,5529,7217,369,945,21 30194,26144,83115,3696,8482,9773,9242,1530,1617,6410,125,31 50204,20151,19119,87100,6086,1476,8443,7431,3218,3910,605,57 75211,56155,90123,20103,3888,4979,0044,9232,1818,9410,965,76 100216,53159,09125,45105,2690,0780,4645,7232,7619,3211,205,89 Fuente: elaboracin propia. Figura 30.Curvas IDF de la estacin climtica La Unin, utilizando la distribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 040801201602000 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin La UninTr=10 aosTr=20aosTr=50 aosI10 = ____3480 12,08 + t^0,91 I20 = ____3450 10,42 + t^0,89 I50 = _____3450 9,01 + t^0,88 57 Tabla XVI.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacin climticaLa Unin Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 2103,8986,9874,4262,6954,1447,3627,6819,6110,855,762,95 5143,86112,5792,5377,7966,8959,1134,0824,2813,867,693,99 10170,32129,51104,5287,7975,3366,8838,3227,3715,848,974,68 15185,25139,06111,2893,4480,0971,2740,7129,1116,979,695,07 20195,70145,75116,0297,3983,4374,3442,3830,3317,7510,195,35 25203,76150,91119,67100,4386,0076,7143,6731,2718,3610,585,56 30210,31155,10122,63102,9188,0978,6344,7232,0418,8510,905,73 50228,56166,79130,90109,8093,9184,0047,6434,1720,2211,786,20 75242,98176,01137,44115,2598,5188,2449,9535,8521,3112,476,58 100253,18182,55142,06119,11101,7791,2451,5937,0422,0712,976,85 Fuente: elaboracin propia. Figura 31.Curvas IDF de la estacin climtica La Unin, utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 040801201602002400 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin La UninTr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____3485 12,00 + t^0,91 I20 = ____3447 9,61 + t^0,89 I50 = _____3482 7,64 + t^0,87 58 Tabla XVII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacinclimtica Puerto Barrios Distribucin Normal Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 2111,5394,2881,6373,3866,4261,2640,8932,0119,2211,106,02 5129,33111,6996,0386,7878,3172,0447,6936,1821,7512,546,93 10138,64120,79103,5793,7984,5277,6851,2438,3623,0713,297,41 15143,29125,33107,3297,2887,6380,4953,0139,4523,7213,667,65 20146,33128,30109,7999,5789,6682,3354,1840,1724,1513,917,80 25148,57130,49111,60101,2691,1583,6955,0340,6924,4714,097,92 30150,33132,21113,02102,5892,3384,7555,7041,1024,7214,238,01 50154,98136,76116,79106,0895,4387,5757,4842,1925,3814,618,25 75158,42140,12119,57108,6797,7389,6558,7943,0025,8714,898,42 100160,75142,40121,45110,4299,2891,0659,6843,5526,2015,088,54 Fuente: elaboracin propia. Figura 32.Curvas IDF de la estacin climtica Puerto Barrios,utilizando la distribucin de frecuencias Normal Fuente: elaboracin propia. 040801201600 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Puerto Barrios Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____5420 30,49 + t^0,90 I20 = ____5761 30,52 + t^0,90 I50 = ____6127 _ 30,44 + t^0,91 59 Tabla XVIII.Probabilidad de intensidad de lluvia en la estacinclimtica Puerto Barrios Distribucin de Gumbel Perodo de retorno/ Duracin Precipitacin (mm) 1020304050601201803607201440 2108,0590,8878,8270,7664,1059,1639,5631,1918,7310,825,84 5126,75109,1693,9484,8476,5970,4846,7035,5821,3812,336,80 10139,13121,26103,9694,1584,8577,9751,4338,4823,1313,337,43 15146,11128,09109,6199,4189,5182,2054,0940,1224,1213,897,79 20151,00132,87113,57103,0992,7885,1655,9641,2624,8214,298,04 25154,77136,56116,62105,9295,2987,4457,4042,1525,3514,598,24 30157,84139,55119,10108,2397,3489,3058,5742,8625,7814,848,39 50166,38147,90126,01114,66103,0494,4761,8344,8726,9915,538,83 75173,12154,49131,46119,73107,5498,5564,4046,4527,9516,089,18 100177,89159,16135,33123,33110,73101,4466,2347,5728,6316,469,42 Fuente: elaboracin propia. Figura 33.Curvas IDF de la estacin climtica Puerto Barrios,utilizando la distribucin de frecuencias de Gumbel Fuente: elaboracin propia. 040801201600 100 200 300 400 500 600 700intensidad de lluvia (mm/h) tiempo (min) Estacin Puerto Barrios Tr=10 aosTr=20 aosTr=50 aosI10 = ____5448 30,54 + t^0,90 I20 = ____5963 30,50 + t^0,91 I50 = ____6634 30,48 + t^0,91

60 Los valores resultantes del anlisis de frecuencia empleando la funcin de distribucin de Gumbel pueden representarsemediantemapas de isolneas de intensidadesdelluvia,locualfacilitacomprenderelcomportamientodela intensidad de lluvia a lo largo de la cuenca del ro Motagua, como se muestra a continuacin. Figura 34.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos yperodo de retorno de 2 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 61 Figura 35.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos yperodo de retorno de 2 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 36.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutosy perodo de retorno de 2 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 62 Figura 37.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos yperodo de retorno de 25 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 38.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos yperodo de retorno de 25 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 63 Figura 39.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutosy perodo de retorno de 25 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 40.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos y perodo de retorno de 100 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 64 Figura 41.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos yperodo de retorno de 100 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 42.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutosy perodo de retorno de 100 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 65 Los valores resultantes del anlisis de frecuencia empleando la funcin de distribucinNormalpuedenrepresentarsemediantemapasdeisolneasde intensidadesdelluvia,locualfacilitacomprenderelcomportamientodela intensidad de lluvia a lo largo de la cuenca del ro Motagua, como se muestra a continuacin. Figura 43.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos yperodo de retorno de 2 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 66 Figura 44.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos yperodo de retorno de 2 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 45.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutosy perodo de retorno de 2 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 67 Figura 46.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos yperodo de retorno de 25 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 47.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos yperodo de retorno de 25 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 68 Figura 48.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutosy perodo de retorno de 25 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 49.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 10 minutos yperodo de retorno de 100 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 69 Figura 50.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 60 minutos yperodo de retorno de 100 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. Figura 51.Mapa de isolneas de intensidades de lluvia en 720 minutosy perodo de retorno de 100 aos Fuente: INSIVUMEH, mayo de 2012. 70 71 7. AJUSTE DE LAS INTENSIDADES DE LLUVIA A MODELOS ESTNDAR Y WENZEL Con el fin de evitar la lectura de la intensidad de lluvia en una grfica, los datosfueronajustadosaecuacionesmatemticasomodelos,paraestose utilizlapginahttp://www.zunzun.com,dondesiguiendounaseriede procedimientoscomoimportarlosdatosdeintensidaddelluviaparacada perododeretornoylaecuacinmatemticadelmodeloyseleccionarelerror estadsticorequeridoylasvariablestiempo(minutos)eintensidad(mm/h),se obtuvieronlosparmetrosA,Byn,quedebensustituirseenlossiguientes modelos: Modelo estndar:

Modelo Wenzel:

72 Tabla XIX.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climticaSanta Cruz Balany Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 2114113,590,811,69E-02109314,040,812,11E-02 5141912,470,801,09E-02137712,560,801,08E-02 10157412,200,791,19E-02158312,190,791,20E-02 15165112,090,791,29E-02169712,020,791,34E-02 20170212,030,791,35E-02177511,900,791,45E-02 25174112,000,791,40E-02184411,880,791,55E-02 30177011,970,791,44E-02189011,800,791,62E-02 50184111,830,791,55E-02203811,720,791,84E-02 75190311,820,791,64E-02215211,660,792,01E-02 100194111,770,791,70E-02223111,610,792,13E-02 Fuente: elaboracin propia. Tabla XX.Coficientes del modelo estndar para la estacin climtica Santa Cruz Balany Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 284923,830,772,31E-0282024,480,782,80E-02 5103422,230,761,43E-02100522,350,761,45E-02 10114021,860,751,43E-02114621,850,751,44E-02 15119221,720,751,49E-02122421,630,751,52E-02 20122821,640,751,52E-02127721,470,751,58E-02 25125421,600,751,55E-02132521,450,751,66E-02 30127421,560,751,58E-02135621,350,741,71E-02 50132321,380,751,66E-02145921,250,741,88E-02 75136621,380,741,73E-02153821,180,742,01E-02 100139121,310,741,77E-02159321,110,742,11E-02 Fuente: elaboracin propia. 73 Tabla XXI.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climticaSan Martin Jilotepeque Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 2300226,630,952,43E-03303529,520,963,25E-03 5300418,000,903,46E-03298518,800,912,93E-03 10307715,630,895,27E-03308115,530,895,39E-03 15313214,780,886,33E-03316514,300,886,96E-03 20316114,230,886,94E-03322513,580,878,11E-03 25319013,890,887,52E-03327513,080,878,88E-03 30321413,650,877,93E-03331012,680,879,55E-03 50326913,010,878,97E-03343311,830,861,14E-02 75331612,610,879,72E-03352211,210,861,28E-02 100334512,340,861,02E-02359910,870,851,37E-02 Fuente: elaboracin propia. Tabla XXII.Coeficientes del modelo estndar para la estacin climtica San Martin Jilotepeque Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 2275831,490,943,18E-03285133,740,953,89E-03 5259724,090,884,35E-03259324,830,893,81E-03 10262421,800,876,09E-03262721,700,876,22E-03 15266120,950,867,14E-03268320,460,867,75E-03 20267920,390,867,71E-03272619,700,858,86E-03 25269920,040,858,28E-03276319,180,859,61E-03 30271719,780,858,67E-03278818,760,841,02E-02 50275719,100,859,67E-03288517,820,841,20E-02 75279218,670,841,04E-02295517,130,831,34E-02 100281518,380,841,08E-02301716,750,831,43E-02 Fuente: elaboracin propia. 74 Tabla XXIII.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica La Suiza Contenta Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 28103,400,781,06E-027984,210,791,09E-02 59311,400,753,42E-029091,570,752,99E-02 1010140,950,745,02E-0210180,920,745,12E-02 1510560,770,745,81E-0210820,680,736,25E-02 2010840,670,736,29E-0211280,540,737,01E-02 2511050,610,736,65E-0211670,460,737,55E-02 3011230,570,736,90E-0211960,390,737,99E-02 5011670,450,737,59E-0212820,240,739,11E-02 7512010,380,738,07E-0213490,140,729,91E-02 10012240,330,738,39E-0213970,080,721,05E-01 Fuente: elaboracin propia. Tabla XXIV.Coeficientes del modelo estndar para la estacinclimtica La Suiza Contenta Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 27186,150,771,11E-026967,360,781,23E-02 58812,960,743,28E-028543,240,742,86E-02 109822,180,744,87E-029872,140,744,97E-02 1510331,870,735,67E-0210651,710,736,11E-02 2010671,690,736,15E-0211201,470,736,89E-02 2510921,580,736,52E-0211651,310,737,43E-02 3011141,500,736,77E-0212001,190,737,88E-02 5011661,300,737,47E-0213000,910,739,02E-02 7512061,170,737,96E-0213790,730,739,85E-02 10012331,080,738,29E-0214360,610,731,04E-01 Fuente: elaboracin propia. 75 Tabla XXV.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climtica Morazn Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 2656269,581,064,53E-03637271,131,075,02E-03 5768965,221,066,88E-03751565,621,066,22E-03 10830163,831,069,83E-03829863,441,061,01E-02 15860863,251,061,15E-02879362,911,061,25E-02 20878662,701,061,26E-02915062,671,061,42E-02 25895062,601,061,34E-02939262,241,061,56E-02 30906662,411,061,40E-02963062,231,071,67E-02 50938862,081,061,57E-021021661,651,071,98E-02 75965062,041,061,69E-021068261,281,072,21E-02 100979061,721,061,78E-021103661,201,072,37E-02 Fuente: elaboracin propia. Tabla XXVI.Coeficientes del modelo estndar para la estacinclimtica Morazn Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 2753655,471,086,04E-03731156,411,086,77E-03 5895952,671,087,44E-03873552,951,086,90E-03 10973351,751,091,00E-02970551,561,081,03E-02 151011951,361,091,15E-021034851,121,091,25E-02 201032551,041,091,25E-021081950,911,091,40E-02 251054250,941,091,33E-021111550,641,091,54E-02 301068550,801,091,39E-021143750,571,091,64E-02 501109750,561,091,55E-021217850,151,091,92E-02 751144950,481,091,65E-021277049,901,092,14E-02 1001161350,291,091,74E-021323349,781,092,29E-02 Fuente: elaboracin propia. 76 Tabla XXVII.Coeficientes del modelo Wenzel para la estacin climticaPotrero Carrillo Distribucin NormalDistribucin de Gumbel Perodo de retorno ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado ABn Sumatoria del error relativo al cuadrado 2265121,750,932,59E-03264423,680,933,07E-03 5280515,880,901,22E-02278216,530,901,03E-02 10290814,040,891,98E-0