Modelo Matemático para plantio e colheita da cana-de-açúcar

Helenice O. Florentino1, Paulo Roberto Isler2, E-mail: helenice@ibb.unesp.br pauloisler@fca.unesp.br

Rômulo Pimentel Ramos2 , Jonis Jecks Nervis2

E-mail: krpr@fca.unesp.br jonisjn@hotmail.com

1Depto de Bioestatística, IB UNESP, 18618-970, Botucatu, SP

2Energia na Agricultura FCA, UNESP, 18618-970, Botucatu, SP

Thiago Pedro Donadon Homem3 E-mail: thiagohomem@ifsp.edu.br

3IFSP, 18550-000, Boituva, SP

Resumo: O Agronegócio é um importante setor para o Brasil pois é responsável por 22,7% do

PIB (Produto Interno Bruto). Uma das principais áreas do agronegócio é a sulcroalcooleira

devido a grande importância que a energia renovável ocupa no cenário mundial. Esta área tem

sofrido grande, e consequentemente tem sido necessário o aumento de investimentos neste setor,

como por exemplo, a ampliação de tecnologia de ponta; obtenção de variedades mais produtivas,

resistentes a pragas e com bom desenvolvimento em diversos tipos de clima e solos; novas

metodologias de plantio; máquinas mais eficientes e a redução de custos operacionais. Tais

investimentos permitem aumentar a rentabilidade e tornar o processo mais eficiente, ou seja,

conseguir maiores produtividades numa mesma área plantada. Para atingir esse objetivo é

necessário obter planejamentos que permitem otimizar a relação entre o plantio e a colheita.

Assim, surge a necessidade de técnicas que auxiliem os gestores do setor sucroalcooleiro na

construção desse planejamento, desta forma a modelagem matemática pode ser utilizada como

uma importante ferramenta para este fim. O presente trabalho propõe um modelo para auxiliar

planejamentos de plantio e colheita da cana-de-açúcar, visando aumentar a produtividade no

período de cinco anos. É apresentado neste texto o modelo desenvolvido, as técnicas para

resolução deste estão sendo discutidas e implementadas.

INTRODUÇÃO

O Brasil é o maior produtor mundial de cana-de-açúcar e o maior exportador mundial de

açúcar [4], o que vem influenciar diretamente a economia brasileira. No mercado nacional, a cana

tem ganhado espaço, pois recentemente houve um aumento de 5% na mistura de álcool à gasolina

e o Brasil conta com 16,9% de participação na matriz energética, considerando-se o álcool

combustível e a co-geração de eletricidade, a partir do bagaço [5]. Portanto surge a necessidade

de aumentar a produção. Porém, aumentar a área cultivada não é a única forma de incrementar a

produção de cana-de-açucar. O melhoramento genético dos cultivares, a eficiência no uso de

fertilizantes, a irrigação e a otimização da relação entre o plantio e a colheita, da àrea pertecente

a uma usina, são possibilidades reais de aumentar a produtividade.

Para atender as demandas e obter altas produtividades é necessário um planejamento

adequado do ciclo da cultura. Esse ciclo vai desde o Preparo do solo até a entrega da cana na

usina. As duas etapas de maior importância desse ciclo são o plantio e a colheita.

De acordo com [7] um plantio de boa qualidade tem influência direta não somente nos

fatores que determinarão se a cultura terá uma boa produtividade após a colheita, mas também na

redução dos custos de produção da cultura. A importância das operações iniciais exigem bom

planejamento e muito conhecimento técnico [3]. As tomadas de decisões nessa fase vão

influenciar todo o ciclo da cultura e o processo de plantio destaca-se pelos elevados custos

envolvidos. O plantio da cana-de-açúcar na região Centro-Sul é feito em duas épocas, se for plantada

de Setembro a Outubro, geralmente é colhida em aproximadamente 12 meses, sendo então

denominada “cana de ano”. Se for plantada entre Janeiro e Março, ela cresce por volta de 18

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meses e, portanto, é denominada de “cana de ano e meio” [1]. Esta diferença existe devido à cana-

de-açúcar ser uma cultura semipermanente que propicia em média cinco safras ou cortes.

Após o primeiro corte, os estágios de corte seguintes são denominados de cana-soca, onde

a cada corte ocorre a brotação da soqueira e o início de um novo estágio de corte. Com o aumento

do número de cortes ocorre uma perda gradativa na produtividade agrícola [2].

A cana-de-açúcar normalmente é colhida de Abril a Novembro, nos diferentes ambientes

de produção da região Centro-Sul do Brasil, sendo que o planejamento da colheita busca otimizar

o seu retorno econômico, com base no conceito de que a cana-de-açúcar possui uma época mais

adequada para a colheita [9].

O aumento da produtividade, no setor sucroalcooleiro, é conseguido com a introdução

de novas variedades de cana-de- açúcar e com manejo correto da cultura, buscando a época de

colheita em que a produtividade agroindustrial se encontra maximizada [8].

Escolher quais são as variedades e as épocas de plantio e colheita não é tarefa fácil, devido

a este fato os gestores tem buscado ferramentas que auxiliem no planejamento do plantio e da

colheita da cana-de-açúcar e uma alternativa para este problema é a modelagem matemática.

Neste trabalho é proposto um modelo para auxiliar planejamentos de plantio e colheita da cana-

de-açúcar, visando aumentar a produtividade no período de cinco anos.

MODELO MATEMÁTICO Para realização deste trabalho foram coletados dados de plantio, colheita, produtividade,

teores de pol e fibra para diversas variedades de cana de açúcar baseados em trabalhos científicos

e boletins técnicos encontrados na literatura. As implementações computacionais estão sendo

desenvolvidas no Laboratório Científico de Informática (LCI) do departamento de Bioestatística

do instituto de Biociências de Botucatu. A seguir é apresentado o modelo matemático

desenvolvido, com o objetivo de maximizar a produtividade total ao longo de um horizonte de

cinco anos, ou seja, quatro cortes. Denotando por xijt a variável do modelo que determina a

variedade i a ser plantada no talhão j no instante t e yjt a variável que determina o instante t em

que será colhida a cana do talhão j.

max (∑ ∑ ∑ PitxijtyjtLj

t1

t=𝑡�̅�

+ ∑ ∑ P𝑖�̅�tyjtLj

𝑡2

t=t1

k

j=1

+ ∑ ∑ P𝑖�̅�tyjtLj

t3

t=t2

k

j=1

+ ∑ ∑ P𝑖�̅�tyjtLj

t4

t=t3

K

j=1

n

i=1

k

j=1

) (1)

sujeito a:

∑

𝑛

𝑖=1

( ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡

3

𝑡=1

+ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡

10

𝑡=9

) = 1 𝑗 = 1, … , 𝑘 (2)

∑

𝑛

𝑖=1

∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡

12

𝑡=1

𝑖 = 𝑖�̅� 𝑗 = 1, … , 𝑘 (3)

∑ 𝑦𝑗𝑡

�̅�𝑗+20

𝑡=�̅�𝑗

= 1 𝑗 = 1, … , 𝑘 (5)

∑ 𝑦𝑗𝑡

�̅�𝑗+20

𝑡=�̅�𝑗

𝑡 = 𝑡1 𝑗 = 1, … , 𝑘 (6)

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∑ 𝑦𝑗𝑡

𝑡𝑀+14

𝑡=𝑡𝑀

= 1 𝑗 = 1, … , 𝑘 𝑀 = 1,2,3 (7)

∑ 𝑦𝑗𝑡

𝑡𝑀+14

𝑡=𝑡𝑀

𝑡 = 𝑡𝑀+1 𝑗 = 1, … , 𝑘 𝑀 = 1,2,3 (8)

∑ ∑

𝑘

𝑗=1

𝐴𝑖𝑡𝑦𝑗𝑡

𝑛

𝑖=1

≥ 𝐷𝑡 𝑡 = 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, 𝑡4 (9)

𝐹𝐼 ≤ ∑ ∑

𝑘

𝑗=1

𝐹𝑖𝑡

𝑛

𝑖=1

𝑦𝑗𝑡 ≤ 𝐹𝑆 𝑡 = 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, 𝑡4 (10)

∑

𝑡𝑗

𝑡=1

∑ 𝐿𝑗𝑥𝑖𝑗𝑡

𝑘

𝑗=1

≤ 0,3𝐿𝑇 𝑖 = 1, … , 𝑛 (11)

𝑀𝐼 ≤ ∑ 𝐿𝑗 𝑃𝑖𝑡𝑦𝑗𝑡

𝑘

𝑗=1

≤ 𝑀𝑆 𝑡 = 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, 𝑡4 (12)

𝑥𝑖𝑗𝑡 = 1 𝑜𝑢 0 (13)

𝑦𝑗𝑡 =

1 𝑜𝑢 0 (14)

Em que: i = 1, 2, ..., n são índices associados as variedades, j = 1, 2, ..., k índices associados

aos talhões, t = 1, 2, ..., 60 são os índices associados aos períodos; Lj é a área do talhão j em ha,

Pit é a produtividade em toneladas da variedade i no tempo t, Ai é a produtividade de POL da

variedade i em t.ha-1, é D a demanda de açúcar da usina em toneladas, Fi é a quantidade de fibra

estimada para a cana de variedade i, FI e FS são os limitantes inferior e superior estabelecidos

para a fibra da cana, em geral usa-se FI = 11% e FS = 15%, MI e MS são as quantidades mínima

e máxima necessárias de moagem da cana (t), Xijt planta-se a variedade i no talhão j no período t,

Yijt colhe-se a variedade i no talhão j no período t.

A função objetivo (1) determina o período e o talhão onde se planta a cana de variedade

i para maximizar a produtividade de 4 cortes, a restrição (2) garante que terá plantio da cana no

primeiro ano, nos meses de Setembro e Outubro (cana de ano), e nos meses de Janeiro, Fevereiro

e março (cana de ano e meio), restrição (3) garante que será plantado uma única variedade 𝑖 ̅ no

talhão j, a restrição (4) determina o período de plantio da variedade i no talhão j , as restrições (5)

e (7) garantem 1 único corte nas 1ª, 2ª, 3ª e 4ª colheitas, as restrições (6) e (8) determinam o

momento de colheita do primeiro, segundo, terceiro e quarto corte, a restrição (9) garante a

demanda de POL da usina, a restrição (10) garante que seja produzida a quantidade de fibra

requerida pela usina, a restrição (11) garante que um única variedade seja plantada no Máximo

em 30% da área total e a restrição (12) garante a demanda de moagem da usina no período t. A

restrição (13) determina se a variedade i será plantada no talhão j no tempo t, será 1 quando

plantada e 0 caso contrário. A restrição (14) determina se a variedade i que já foi plantada no

talhão j será colhida no tempo t, será 1 quando colhida e 0 caso contrário.

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ALGORITMO PARA RESOLUÇÃO DO MODELO

O modelo (1)-(14) apresentado é um problema de Programação Não Linear Inteira 0-1.

O número de talhões nas usinas atuais inviabiliza a resolução deste por técnicas de otimização

exata, assim propomos um método heurístico para determinar boas soluções factíveis. Propomos

o Algoritmo Genético definido a seguir.

Algoritmo Genético, GA_cana:

1) Estruturação do cromossomo (ou indivíduo)

O primeiro passo foi a criação dos indivíduos da população, os quais são dados por uma

matriz de j colunas representando os talhões e 41 linhas destinadas aos meses de plantio

e colheita. As cinco primeiras linhas representam os meses de Janeiro, Fevereiro, Março,

Setembro e Outubro do primeiro ano, meses destinados ao plantio da cana, as demais

linhas representam os períodos de colheita para os quatro cortes, variando de Abril à

Dezembro para cada corte, conforme figura abaixo.

2) Geração da população inicial

O segundo passo foi a geração da população inicial composta de NP indivíduos, conforme

a figura 1. Para criação destes indivíduos foram escolhidos aleatoriamente as variedades

a serem plantadas, os meses de plantio e os meses de colheita. Os meses de colheita foram

escolhidos aleatoriamente respeitando as restrições de períodos de corte [(5), (6), (7) e

(8)] para cada talhão. Após a criação da população inicial todos os indivíduos são

avaliados.

3) Avaliação dos indivíduos

A avaliação de cada indivíduo é feita a partir do valor de sua aptidão (ou fitness). O fitness

de cada indivíduo é medido da seguinte forma:

𝑓𝐼𝑛𝑑 = 𝐹𝑂𝐼𝑛𝑑 − 𝑝𝐼𝑛𝑑

Em que 𝑓𝐼𝑛𝑑, 𝐹𝑂𝐼𝑛𝑑 e 𝑝𝐼𝑛𝑑 são respectivamente o fitness, o valor da função objetivo e a

penalização do indivíduo Ind. A penalização 𝑝𝐼𝑛𝑑 do indivíduo Ind é zero se o indivíduo

for factível e assume um valor real maior que zero se for uma solução infactível. O valor

de 𝑝𝐼𝑛𝑑 para indivíduos infactíveis é proporcional a infactibilidade da solução, quanto

maior a infactibilidade maior é o valor de 𝑝𝐼𝑛𝑑. Em todas as iterações uma cópia do

melhor indivíduo, com maior aptidão, é armazenado em uma matriz chamada elite. A

cada iteração seleciona-se o indivíduo mais apto, comparando-o com a elite anterior, e a

elite é atualizada. Após todos os indivíduos serem avaliados, são aplicados os operadores

genéticos.

4) Operadores genéticos

Os indivíduos da população evoluem de acordo com operadores genéticos de seleção,

cruzamento (crossover) e mutação, de forma que promova uma tendência dos indivíduos

representarem soluções cada vez melhores à medida que o processo evolutivo continua.

Seleção: Em todas as iterações, parte da população (PC%) é copiada em uma população

intermediária para realizar crossover. A seleção dos indivíduos a serem copiados foi

realizada pelo método da roleta [6].

Crossover: O crossover é feito escolhendo aleatoriamente dois dos indivíduos copiados

pela seleção (pai 1 e pai 2) e em seguida é feito um sorteio aleatório de um local de corte

dentre as colunas das matrizes representantes desses indivíduos. Este processo auxilia a

separação dos genes que formarão dois novos indivíduos (filho 1 e filho 2), conservando

características dos pais, como pode ser observado na figura 2.

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Figura 2: Processo de crossover

Mutação: Depois de passar pelo crossover, são escolhidos aleatoriamente indivíduos da

geração atual para a mutação. Procede-se um sorteio para cada indivíduo da população

com probabilidade muito baixa (pm< 0,05) de haver mudança no valor de alguns de seus

genes. Se for favorável a mudança, se o número sorteado para um dado indivíduo for

inferior a pm procede-se o sorteio (ou escolha, ou troca) de qual gene sofrerá mudança,

assim como o novo valor a ser inserido neste gene. Feito isto para todos os indivíduos,

obtem-se uma nova população, e no caso de não ser satisfeito o critério de parada, serão

feitos o cálculo da aptidão de cada indivíduo, atualizada a elite e aplicados os operadores

de seleção, crossover e mutação (ou seja, volta ao passo 3).

5) Parada

A parada é feita pelo número de gerações. O processo é repetido, a partir do passo 3, um

número G vezes e a solução ótima aproximada é a solução que apresentar a melhor

aptidão na elite final.

RESULTADOS NUMÉRICOS

Para testar a eficiência e validação do algoritmo genético proposto, nesta primeira parte

do estudo foram criadas cinco instâncias com dados aleatórios nas dimensões de dados reais,

sendo que na primeira instância usou-se 10 talhões para cultivo (I1_10), nas demais foram

utilizados 50, 100, 150 e 200 talhões respectivamente para as instâncias I2_50, I3_100, I4_150 e

I5_200. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos utilizando o método proposto.

I1_10 I2_50 I2_100 I4_150 I5_200

Produção (t) 145084 929546 1973600 2801200 3616300

G* (número de

iterações)

28 53 68 78 81

Área total (ha) 250 1600 3500 5000 6500

Tabela1: Estimativa de produção de cana-de-açúcar em toneladas para as diferentes instâncias

G* é a iteração (geração) em que houve a convergência para a produção ótima dentre 100 gerações

A Tabela1 apresenta uma estimativa para produção da cana-de-açúcar em toneladas para

as cinco instâncias testadas utilizando o algoritmo GA_cana. Para execução do algoritmo

GA_cana foi utilizada uma população de 200 indivíduos, com taxas de crossover pc=0,8 e

mutação pm =0,05. Nestes cenários foi analisado o desempenho do algoritmo a partir da iteração

em que houve a convergência para a produção máxima. Notou-se que a exigência computacional

aumenta de acordo com o aumento do número de variáveis e restrições do problema, relacionadas

com o número de variedades e talhões utilizados na usina. Mesmo com um grande número de

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talhões o GA_cana conseguiu atingir o máximo utilizando no máximo 81% das iterações

previstas.

CONCLUSÃO

Neste trabalho foi proposto um modelo de otimização para planejamento do plantio e

colheita da cana-de-açúcar. Para resolução deste modelo foi proposto o algoritmo genético

GA_cana, o qual está sendo avaliado para diferentes cenários de usinas da região de Botucatu SP.

Até o presente esta metodologia tem se mostrado promissora para auxílio no planejamento de

produção da cana-de-açúcar. Outros cenários e situações reais estão sendo estudadas.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro da CAPES (Bolsa), FAPESP (Proc. 2009/14901-4),

FUNDUNESP, CAPES (Pró-Equipamentos), PROPe UNESP e PROPG UNESP.

Referências

[1] Brandão, D. et al. Distinção de classes de cana-de-açúcar através do NDVI. Em XIV Simpósio

brasileiro de sensoriamento remoto, pp 105-111, Natal, Brasil, 2009.

[2] Centro de Tecnologia Canavieira (CTC) . Censo varietal e de produtividade em 2008

Piracicaba: Centro de Tecnologia Canavieira, 2008. 16 p.

[3] Coleti, J. T.; Stupiello, J. J. Plantio da cana-de-açúcar. In: Atualização em produção de cana-

de-açúcar / organizado por Silvelena Vanzolini Segato... [et al.], Livroceres, Piracicaba, 2006.

[4] Companhia Nacional de Abastecimento (Conab). Acompanhamento de safra brasileira: cana-

de-açúcar, quarto levantamento, abril/2013. Brasília, 2013.

[5] EPE [Empresa de Pesquisa Energética (Brasil)]. Balanço Energético Nacional 2012: Ano base

2011. Rio de Janeiro. 2012.

[6] Holland, J. H. Adaptation In Natural And Artificial Systems, MIT Press, Boston, 1992.

[7] Janini, A. A. Análise operacional e econômica do sistema de plantio mecanizado de cana-de-

açúcar (Saccharum spp.). Dissertação de Mestrado, Escola Superior de Agricultura Luiz de

Queiroz, Piracicaba, 2007.

[8] Rezende Sobrinho, E.A. Comportamento de variedades de cana-de-açúcar em Latossolo

Roxo, na região de Ribeirão Preto-SP. 85p. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual

Paulista, Jaboticabal 2000.

[9] Silva, M. A.; Jeronimo, E. M.; Lúcio, A. D. C. Perfilhamento e produtividade de cana-de-

açúcar com diferentes alturas de corte e épocas de colheita. Pesquisa Agropecuária Brasileira,

Brasília, v.43, n.8, p. 979-986, (2008).

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