1. ¿Qué es un modelo matemático?

Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático. Estamos familiarizados con las previsiones del tiempo, las cuales se basan en un modelo matemático meteorológico; así como con los pronósticos económicos, basados éstos en un modelo matemático referente a economía.

Una definición más de modelo matemático es la siguiente: un modelo matemático es una construcción matemática abstracta y simplificada relacionada con una parte de la realidad y creada para un propósito particular. Así, por ejemplo, un gráfico, una función o una ecuación pueden ser modelos matemáticos de una situación específica.

La mayoría de las aplicaciones de cálculo (por ejemplo, problemas de máximos y mínimos) implican modelos matemáticos.

2. ¿Cuáles son los pasos que se consideran para el desarrollo de un modelo matemático?

• Reúne la siguiente información: lo que ya sabes, las fuentes de información relevante, tus suposiciones, lo que te gustaría predecir con el modelo, formas de verificar que el modelo se construirá de forma correcta y modos de validar el modelo.

• Haz un bosquejo de diagramas simples que den una idea general de los elementos en el modelo y cómo están conectados el uno con el otro.

• Conduce una revisión literaria completa. No hay necesidad de reinventar la rueda si alguien ya ha desarrollado un modelo que puede cubrir tus necesidades.

• Conduce una revisión total de la información que planeas. Identifica las diferencias y las contradicciones entre y dentro de los juegos de información.

• Comienza por un modelo simple. En general, existe un compromiso simple entre la complejidad y la exactitud. Según el principio de la navaja de Ockham, entre los modelos con un poder predictivo similar, el más simple es el más deseado.

• Identifica las variables y constantes más importantes y determina cómo se relacionan las unas con las otras. Las variables más importantes son variables de entrada y salida.

• Construye ecuaciones que relaciones variables entre sí. Una vez más, cuanto más simple, mejor.

• Identifica los parámetros de las ecuaciones y desarrolla un plan de cómo estimar los parámetros de la información. Eso se podría realizar simplemente al adaptar las ecuaciones a la información.

• Valida un modelo en contra del juego de la información que no hayas usado para construir el modelo.

• Prueba tu modelo de forma constante y actualiza tus ecuaciones basadas en la información nueva

3. ¿En qué áreas del conocimiento se utilizan los modelos matemáticos?

Por su uso suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo existen muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.

• Modelo de simulación o descriptivo, de situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es de manera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio.

• Modelo de optimización. Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificación.

• Modelo de control. Para saber con precisión como está algo en una organización, investigación, área de operación, etc. Este modelo pretende ayudar a decidir qué nuevas medidas, variables o qué parámetros deben ajustarse para lograr un resultado o estado concreto del sistema modelado.

4. ¿Cuál es la diferencia entre modelo matemático y fórmula matemática?

Un modelo matemático es un conjunto de definiciones que pretenden estudiar la realidad. Por ejemplo, se suele modelizar la fuerza de fricción dinámica por

Una fórmula es una receta a seguir para obtener algo. Por ejemplo, la solución a una

ecuación de segundo grado se obtiene substituyendo en la fórmula

5.- Realizar un ejemplo en el cual muestre el desarrollo de un modelo matemático

Para realizar este modelo el autor tuvo en cuenta diversos factores como pueden ser:

1. Se desea entender los cambios conformacionales que suceden durante la replicación y la transcripción del ADN. Como estos procesos son dinámicos nuestro modelo también debería serlo.

2. Ambos procesos involucran grandes movimientos de los componentes de la molécula de ADN, que no se pueden aproximar por pequeñas oscilaciones, por lo cual nuestro modelo deberá ser no lineal.

3. Como estos fenómenos ocurren a la temperatura del cuerpo humano deberemos tener en cuenta efectos térmicos.

4. Intentaremos que el modelo sea lo más general posible, es decir que sea aplicable a cualquier molécula de ADN.

Nos enfocaremos en el modelo realizado por Peyrard y Bishop en 1989, que es considerado como el más exitoso hasta el momento. Ello se debe a que no solo es un

buen modelo dinámico sino que también responde adecuadamente a los fenómenos térmicos, como la desnaturalización. Por otra parte es el único que ha salido airoso de la mayoría de las comparaciones con resultados experimentales que se han realizado.

Para comenzar definiremos la variable yn que indica la distancia entre las dos bases que forman el n-simo par de la cadena de ADN. Ahora definiremos el modelo de Peyrard y Bishop como el siguiente Hamiltoniano:

A partir de este bastará con utilizar las ecuaciones de Hamilton para encontrar las del movimiento yn y su variable conjugada pn. El hamiltoniano es un objeto matemático en base al cual se escribe un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Es más fácil de resolver que las ecuaciones de Lagrange que son de segundo orden y está reducción del orden del sistema se logra substituyendo variables de las velocidades generalizadas por unas variables abstractas de momentum (también conocidas como momentos conjugados). Así por cada velocidad generalizada, hay un momento conjugado correspondiente.

Ahora veamos lo que representa cada término.

El potencial V (y) describe la interacción entre las bases de un par. Utilizaremos un potencial de Morse para este fin porque representa de manera sencilla los comportamientos fundamentales de los enlaces entre bases.

El otro término del Hamiltoniano es el potencial de interacción entre pares de bases vecinos, W(yn, yn-1).

Este término implica un hipersimplificación pero contamos con que la rigidez de la cadena azúcar-fosfato haga que los desplazamientos relativos entre pares de bases vecinos sean pequeños y esta aproximación sea aceptable.

Por último debemos comprobar la capacidad del modelo para describir el ADN, para lo cuál lo compararemos mediante simulaciones numéricas con resultados experimentales teniendo en cuenta el efecto de las fluctuaciones térmicas.

Cuando sometemos al sistema a un experimento de desnaturalización, el modelo da buenos resultados ya que aparecen burbujas negras que invaden la muestra y separan las dos cadenas. Por lo tanto podemos concluir, que el modelo se comporta cualitativamente como la molécula de ADN.