Modelo de Drude

Transporte en metales

Metales• Poseen un conjunto

de Propiedades Particulares– Excelente conductor

del calor y la electricidad

– Ductiles– Maleables– Superficie brillante

• La mayoría de los sólidos no son metálicos (Sales, óxidos)

• Sin embargo los metales son una de las substancias mas interesantes.

• 2/3 de los elementos son metálicos

Hacia 1900 se desarrolla el modelo de Drude, que se usa hasta hoy

Suposiciones Básicas

• El sólido (metal) es neutro. Como los electrones son negativos y livianos, otras partículas positivas y pesadas compensan.

• Las partículas positivas están inmóviles.• Supondremos que cuando los átomos del sólido se los

pone uno junto a otro, los electrones de valencia se desprenden y vagan por el metal.

• Los iones juegan el role de las partículas positivas inmóbiles.

•1897 Decubrimiento del electron (Thomson)1900 Desarrollo de Drude sobre la base de la teoría cinética de gases

Aspectos Básicos de la Teoría

• Se trata de partículas (electrones) que se mueven sobre un background de iones.

• Calculo de la densidad de electrones n=N/V:– A: Masa atómica del elemento (gr/átomo)

– m: Densidad en gr/cm3.

• Otro parámetro interesante es rs, radio de la esfera cuyo volumen es igual al volumen por electrón de conducción.

• rs puede expresarse en términos del radio de Bohr

Detalles del Modelo• A pesar de la elevada densidad del gas de los electrones, el

modelo los trata con la teoría de un gas diluido, con algunas modificaciones.– Se desprecian las interacciones del electrón con los otros

electrones y con los iones entre dos colisiones sucesivas.– Implica que en ausencia de un campo externo entre colisiones se

mueve en línea recta.– Con un campo externo el electrón se moverá de acuerdo a la ley de

Newton. Siempre ignorando la presencia de los otros electrones. Se conoce como Aproximación de electrones independientes.

– Se define una colisión como un evento instantáneo que altera la velocidad del electrón.

– Drude propone que estas colisiones ocurren con los iones y no con los otros electrones

• Se supone que el electrón tiene una colisión con una probabilidad por unidad de tiempo 1/.

• Con esto la probabilidad que en un diferencial de tiempo dt el electrón sufra una colision es dt/.

• Nombres para : Tiempo de relajación, Tiempo de colisión o entre colisión, o Tiempo medio libre.

• Significado: el electrón elegido de manera aleatoria habrá viajado por un tempo antes de colisionar

• Se supone que es independiente de la posición y velocidad del electrón.

• El equilibrio térmico de los electrones solo se logra por intermedio de estas colisiones.

• Luego de cada colisión el electrón emerge de la misma con su velocidad que no tiene relación con su velocidad anterior.

• La dirección emergente es aleatoria y apropiada a la T del lugar de la colisión.

Detalles del Modelo

Conductividad dc de un metal• La corriente que fluye por un alambre metálico es, de acuerdo a

la ley de Ohm: I=V/R , donde R es independiente de V y de I.

• La manera de independizarlo de la geometría es con . E= j La relación entre R y es R= L/A.

• Si n electrones se mueven con velocidad v darán lugar a una corriente en la dirección de la velocidad

• En un tiempo dt se habrán desplazado vdt, de modo que n(vdt)A habrán atravesado el área A perpendicular a v. Como cada electrón porta una carga –e , de modo que la corriente que atraviesa A será –nevAdt, y la densidad de corriente será j= -nev . Esta es la corriente media en cualquier punto, y v es la velocidad.

• En ausencia de campo eléctrico v será cero, por lo tanto j tambien.

• En caso de la presencia de un campo E la velocidad media no será nula

• Sea t el tiempo transcurrido desde la última colisión. La velocidad en ese momento será la velocidad luego de la colisión v0, mas un adicional adquirida debido al campo: -eEt/m.

• Como el electrón emerge de la colisión en una dirección aleatoria, lo referido a la contribución de v0 será nula.

• En consecuencia la velocidad media serála que venga de la contribución -eEt/m, pero considerando el tiempo . (j= -nev )

Conductividad dc de un metal

• Usualmente esto se pone en términos de la inversa de la resistividad , la conductividad

• A partir de esta ecuación es posible estimar el tiempo de relajación = m/ne2

Conductividad dc de un metal

Conductividad dc de un metal

Conductividad dc de un metal

• De acuerdo a la tabla los valores típicos de la resistividad está en el orden de ohm-cm. ( es en esta unidad)

• A temperatura ambiente el valor de es típicamente 10-14 a 10-15 segundos.

• Para un mejor entendimiento de este número es mejor evaluar el camino libre medio l=v0.

• En la época de Drude la velocidad media se evaluaba con el teorema de equipartición de la energía: ½ mv0

2= ⅔ kBT.

• Calcular la velocidad media y el camino libre medio a temperatura ambiente

Ecuación del movimiento• Dos situaciones: con el campo eléctrico constante y con el

campo eléctrico variable en el tiempo.• En términos del momento

• Dado el momento p(t) al tiempo t, calculemos cual será su valor a t+dt.

• Este electron tiene una probabilidad de chocar en ese tiempo que es dt/, y una probabilidad de no haber chocado: 1-dt/

• Si no hay colisiones en ese tiempo simplemente evolucionara bajo una fuerza f(t).

• En ese tiempo habrá adquirido un momento adicional f(t)+O(dt)2.• La contribución de los electrones que no colisionan entre t y t+dt es

una fracción (1-dt/) por su momento medio.

• Despreciando la contribución de los que colisionan en este periodo tendremos

• La contribución de los electrones que si han colisionado entre t y t+dt es del orden de (dt)2

• Por que? : estos electrones son solo una fracción dt/ Estos solo contribuirán a agrandar p solo si adquieren algo de momento en la dirección de v . El momento que adquieren es f(t) dt, como máximo.

• La corrección a lo de arriba será entonces del orden de dt/ f(t) dt. En consecuencia no afectan el primer orden en dt .

• Reescribiendo

• Dividiendo por dt y tomando el limite para dt tendiendo a cero tenemos

Ecuación del movimiento

Efecto Hall y Magnetoresistencia

• El experimento de hall surge como busqueda de la magnetoresistencia.

• En la configuración del experimento hay dos relaciones de interes:

• La magnetoresistencia y el coeficiente Hall

• En la mayoría de los metales signo de RH es concordante con portadores de carga negativos.

• Solo en algunos casos es positivo. Esto lleva a la necesidad de mejorar la teoría de metales.

• Consideremos la magnetoresistencia teniendo en cuenta un campo Ex y Ey, y un Hz.

• La fuerza actuando sobre cada electrón será:

Efecto Hall y Magnetoresistencia

En el estado estacionario

• El campo de Hall Ey es determinado con el requerimiento que la corriente transversal sea cero (jy=0)

Efecto Hall y MagnetoresistenciaMultiplicando estas ecuacionesPor –ne/m, se tiene:

Siendo 0 la conductividad de corriente continua

Notar que el coeficiente solo depende de n. En la realidad R depende también del campo y la temperatura. Se requiere una Teoría mas elaborada para tener en cuenta este comportamiento

Magnetoresistencia• Los resultados de la teoría de Drude dejan claro que la

resistividad no es funcion de H (segunda ecuación).

• La cantidad c es importante. Si su valor es pequeño J es practicamente paralelo a E.

• El ángulo entre E y J es conocido como Angulo de Hall. (tan c )

• c es la frecuencia de cicrotrón.

Caso del Aluminio

Conductividad alterna (ac)• Sea un campo eléctrico

• La ecuación del movimiento se convierte en

• La solución al estado estacionario es de la forma

• Reemplazando tenemos

• Dado que j= -nep/m

• Se puede escribir

• Esto se conoce como conductividad dependiente de la frecuencia

• Hay un par de aproximaciones, la primera tiene que ver con no haber considerado el efecto del Campo magnético. La relación entre ambos campos tiene un factor v/c.

• La segunda tiene que ver con que la misma fuerza ha actuado sobre el electrón todo el tiempo. Mientras que en este caso el campo varía en el espacio.

• El calculo está localizado en r. Este campo pudo haber variado entre el r y el último punto de la colisión. Esta distancia no es mayor al camino libre medio. Por lo tanto si la longitud de onda de la perturbación es >> que el c.l.m., entonces la aproximación es correcta.

• Esto es aplicable al campo electrico de la luz visible, cuya longitud de onda es en general >> que el c.l.m.

Conductividad alterna (ac)

Interacción con el campo EM• Las ecuaciones de Maxwell

• Teniendo en cuenta la dependencia temporal

• Tenemos:

• Esto toma la forma de la ecuación de onda

• Con una constante dieléctrica compleja dada por:

Interacción con el campo EM

Con los valores de resistividad y radios atómicos se puede verificar la condición p >>1

En primera aproximación tenemos

Donde tenemos la frecuencia del plasma

Cuando es real y negativo la onda decae exponencialmente en el espacio (p >). Mientras que si e es positiva (p <) la solución se vuelve oscilatoria. En este caso el metal es transparente. Expresando en términos de las variables atómicas:

En la aproximación >>1

Frecuencia de Plasma• Los metales alcalinos se vuelven transparentes en la región

ultravioleta

Oscilaciones de carga

• Una perturbación de la carga eléctrica en un metal, o en un gas de electrones, genera oscilaciones con frecuencia

• De la ecuación de continuidad

• Con la ley de Gauss• De la Ecuacion de Ohm : J()=()E()• tenemos

Esto tiene solución si

La naturaleza de estas ondas de densidad de carga (plasmones u oscilaciones de plasma) se entiende en términos de un modelo simple

La consecuencia termina siendo la oscilación de las cargas. Se las denomina oscilaciones de Plasma o Plasmones.