UTDT. R iesgo, Incertidumbre & Finanzas

1 Modelo de Black-Scholes

El modelo Black & Scholes (BS) permite hacer el pricing de una opción, bajoel supuesto de que el underlying sigue una Geometric Brownian Motion.Mostramos anteriormente que el valor de una opción depende de determi-nadas variables (stock, del tiempo) y de ciertos parámetros (volatilidad tasade interes y volatilidad). De hecho dicho precio se puede escribir como unafunción que depende de S y t teniendo en cuenta que también es una funciónde los parámetros de interés

c(S,X, T − t,σS, r) = c(S, t).

Para hacer el pricing (utilizando el principio de no arbitraje) se utilizala propiedad de que el cambio en el valor de la opción está local y perfec-tamente correlacionado con el cambio en el valor del underlying asset.Esto es quizás el punto mas importante en el pricing de una opción pues unopuede construir un portafolio que consita de una cantidad de opciones y unacantidad de el stock de modo de eliminar totalmente la incertidumbrede ese portafolio. Ese portafolio sin riesgo debe de pagar la tasa libre deriesgo.Por lo tanto, sabiendo ésto se forma un portafolio que tenga una posi-

ción long en la opción y una posición short en una cantidad delta: ∆ en elunderlying (stock). Denotando a Π como el valor del portafolio

Π = c(S, t)−∆S. (1)

Si el underlying asset sigue una Brownian motion

dS

S= µSdt+ σSdz,

el cambio en el valor del portafolio

1

dΠ = dc(S, t)−∆dS,

va a tambien seguir una Brownian Motion.Utilizando el Lemma de Ito sabemos que si el underlying sigue una Brow-

nian Motion Geometica el derivado tambien lo sigue y por lo tanto el cambioen el valor del call puede escribirse como

dc(S, t) = ctdt+ cSdS +1

2cSS(dS)

2

= ctdt+ cSS(µSdt+ σSdz) +1

2cSSS

2σ2Sdt

= (ct + cSSµS +1

2cSSS

2σ2S)dt+ cSSσSdz,

lo que implica que el cambio en el portafolio sigue la siguiente BrownianMotion

dΠ = ctdt+ cSS(µSdt+ σSdz) +1

2σ2SS

2cSSdt−∆S(µSdt+ σSdz) (2)

= (ct + cSSµS +1

2σ2SS

2cSS −∆SµS)dt+ (cSSσS −∆SσS)dz.

Para obtener el precio del call elegimos ∆ tal que elimina el riesgo delportafolio, i.e.,

∆ = cS.

Una vez eliminado el riesgo, el valor del portafolio en el tiempo debe serigual, por el principio de no arbitraje, a colocar la misma cantidad dedinero en un instrumento con tasa libre de riesgo.1

1Note la importancia de la correlación perfecta entre el contrato y el underlying asset.Esta correlacion es la que permite eliminar totalmente el riesgo del portafolio. La reduccióndel riesgo del portafolio se conoce como Hedging, en este caso particular lo que se hizo fueDelta Hedging.

2

dΠz | ctdt+

1

2σ2S2cSSdt = r

Πz | (c(S, t)− cSS.)dt. (3)

Si el retorno del portafolio fuese mayor, entonces todos los individuospedirían préstamos al banco, y re-invertirían en este portafolio. Estos movimien-tos de capitales explotan la oportunidad de arbitraje, haciendo que finalmentelos precios se ajusten eliminando la oportunidad de arbitraje. Si el retornodel portafolio fuese menor el razonamiento es análogo.Re escribiendo la ecuación (3) obtenemos la ecuación diferencial parcial

que una vez resuelta obtiene el valor del derivado a tiempo t,

ct +1

2σ2S2cSS + rScS − rc = 0. (4)

Notar que en esta ecuación no aparece la tendencia del Stock (i.e., µ)sino que aparece la tasa libre de riesgo (r). La explicación es sencilla, una vezque se hizo delta hedging, dado que se pudo eliminar el riesgo perfectamentede la opción con el underlying, no hay necesidad de tomar riesgo inherente.asíla tendencia desaparece con el término dS.Cuando nosotros hablamos de hacer el pricing usando la solución de Black

and Scholes nos referimos a dos cosas

(i) La ecuación diferencial parcial.

(ii) La formula de Black and Scholes.

La ecuación diferencial parcial la podemos usar con cualquier condiciónterminal para encontrar “numericamente” el precio de cualquier derivadomientras que la fórmula es la solución dada unas condiciónes terminales par-ticulares.La formula Black-Scholes es la solución a la ecuación diferencial (4), dadas

las condiciones terminales de un call europeo. Para deribarla asumimos:

1. El underlying sigue una geometric Brownian Motion.

2. La tasa libre de riesgo es conocida.

3

3. No existen dividendos en el underlying.

4. El delta Hedging es dinámico y continuo.

5. No existen costos de transacción.

6. No existen oportunidades de arbitraje.

La derivación de la ecuación (4) fue hecha en términos de un call, sinembargo solo utilizamos el hecho de que sea un call en las condiciónes ter-minales por lo tanto dicho procedimiento es válido para cualquier tipo deopción. Para encontrar el precio de un Call o un Put hay que establecer dis-tintas Condiciónes Terminales. Las condiciones terminales no son más quelos distintos pay-off de cada contrato.Para el caso de un Call

Max(S −X, 0).Y de un Put

Max(X − S, 0).El resultado del valor de un call una vez resuelta la ecuación diferencial

parcial es

C(S, T − t) = SN(d1)−Xe−r(T−t)N(d2), (5)

donde

d1 =ln ¡ S

X

¢+ (r + 1

2σ2)(T − t)

σ(√T − t) ,

d2 = d1 − σ(√T − t),

y el resultado para un put es

P (S, T − t) = −SN(−d1) +Xe−r(T−t)N(−d2).

4

Relación entre el retorno-volatilidad de un Call y el Underlying.Se pueden econtrar como producto de la derivación del precio de la opciónciertas relaciones que serán de gran importancia al realizar diferentes estrate-gias o portafolios que contegan el underlying y la opción

Proposition 1 (i) El exceso de retorno de una opción es igual a la elasti-cidad de la opción multiplicada por el exceso de retorno del stock,

(µc − r) =σcσS(µS − r) = Ω(µS − r).

(ii) La volatilidad del call es igual a la elasticidad del call multiplicada porla volatilidad del stock,

σc =cSS

c(S, t)σS = ΩσS.

(donde Ω =cSS

c(S, t)=

σcσS)

Para demostrar Dicha proposición hacemos pasos semejantes a los de laderivcación del la ecuación diferencial que caracteriza al precio del call.

dc(S, t)

c= µcdt+ σcdz.

Para encontrar µc y σc, evaluamos el cambio proporcional del precio delCall

dc(S, t)

c(S, t)=

µcz | (ct + cSSµS +

12cSSS

2σ2S)

c(S, t)dt+

σcz | cSSσSc(S, t)

dz

= µcdt+ σcdz.

Note que la proposición (ii) se prueba simplemente aplicando el lema deIto.Definimos el cambio instantaneo en el retorno del portafolio como

5

dΠ

Π=

c

Π(µcdt+ σcdz)− ∆S

Π(µSdt+ σSdz).

= α(µcdt+ σcdz) + (1− α)(µSdt+ σSdz). (donde α =c

Π)

= (αµc + (1− α)µS)dt+ (ασc + (1− α)σS)dz.

Para eliminar la incertidubre de cicho portafolio debemos elegir

α =σS

σS − σc.

Una vez eliminado el riesgo el portafolio de arbitraje debe de pagar latasa libre de riesgo por el principio de no arbitraje

dΠΠz |

(σS

σS − σcµc + (1−

σSσS − σc

)µS)dt = rdt,

que puede ser re escrito como

µc − rσc

=µS − rσS

,

que implica que el exceso de retorno del call estandarizado es igual alexceso de retorno del stock estandarizado (que anteriormente lo habiamosdenominado como el precio del riesgo, λ).Alternativamente se puede escribir de la siguiente manera

(µc − r) =σcσS(µS − r),

que relaciona el exceso de retorno de un call con el exceso de retorno delstock.

6

1.1 Neutralidad al Riesgo

Habiamos visto anteriormente que el pricing de las opciónes puede realizarsecomo si los agentes fuesen neutrales al riesgo. En término de nuestromodelo en tiempo continuo esto se observa en que la ecuación diferencial (4)que no depende de ninguna medida afectada por las preferencias de riesgo delos individuos. Si la ecuación (4) tendría el retorno esperado del underlyingµ entonces ya no sería independiente de las preferencias de riesgo de losindividuos, porque a mayor nivel de aversión al riesgo más alto sería µ paraun Stock dado. Como la ecuación (4) depende de la tasa libre de riesgo, sedice que los agentes no exigen prima por el riesgo, los agentes se comportancomo si fuesen neutrales al riesgo. En un mundo neutral al riesgo cualquiervalor presente de un cash-flow se descuenta por la tasa libre de riesgo, ademásel retorno esperado de cualquier derivado es la tasa libre de riesgo, ya quelos agentes no necesitan un premiun por tomar riesgo.Vimos anteriornmente que cuando λ = 0, µS = r y en principio podriamos

intertar resolver el problema de hacer el pricing de la opción calculando elvalor descontado de S bajo esta ley de movimiento alternativa.Para clarificar el argumento podemos proponer dos economias, una en

donde los underlying siguen

dS = µSdt+ σSdz,

que es la economia Actual; y otra economia que sea neutral al riesgo,entonces los underlying siguen

dS = rSdt+ σSdz.

Notemos las diferencias en las drifts, que se puede interpretar como queen el caso neutral la prima de riesgo es nula, i.e., λ = 0.Si nos encontramos en el mundo neutral, podemos descontar los pay-off

por la tasa libre de riesgo, Por lo tanto se cumple que el precio del Call es elpay-off esperado descontado por la tasa libre de riesgo

C(·) = EII©e−rT max(ST −X, 0)

ª,

donde EII es el valor esperado bajo la densidad de la economia neutral.Por ende rescribimos la anterior expresión como

7

C(·) = e−rTZS∈(X,∞)

(ST −X)fII(ST )dST .

Se puede demostrar que si resolvemos la integral obtendriamos la ecuaciónde Black & Scholes. Intuitivamente logramos establecer una relación (pre-cisamente un mapping) entre la función de densidad de una economia neutral(fII(ST )) y la función de densidad de la economia actual, esto nos permitehacer el pricing en la primera economia y luego extrapolarlo a la segundaeconomia sin problemas. La demostración matematica lo unico que hace esverificar la existencia y unicidad de este mapping, esta demostración no sepresentara, pero a continuación derivaremos intuitivamente la existencia delmapping utilizando precios (probabilidades) de Arrow-Debreu.Definamos al valor de cualquier activo como

S(X) =X∀s∈S

1

1 + rPsXs,

donde S = s1, s2, ..., sn es un conjunto finito que define a los diferentesestados de la naturaleza y Ps es el precio que paga este activo en el estado sen el periodo siguiente. Por lo tanto S(X) define el valor futuro de un activopara todos los estados de la naturaleza posibles. Ahora bien, si definimos aY (Xs),∀s como la Opción sobre el activo X, entonces el valor de la opciónes

S(Y ) =X∀s∈S

Ps1 + r

Y (Xs).

Pero si recordamos el problema del consumidor en una economia en la queun individuo puede asegurarse en consumo futuro usando activos financierosa la Arrow Debreu, la condición de primer orden establecia que

Ps1 + r

=βU 0(Cs)U 0(Co)

Πs,

donde Πs es la probabilidad que ocurra el estado s. Observemos que laanterior ecuación nos dice que Ps es igual a una probabilidad obtenida como si

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los agentes fuesen neutrales al riesgo (probabilidades que en tiempo continuodefinimos como fII(ST )). Por lo tanto podemos rescribir la ecuación delvalor de la opción como

S(Y ) =X∀s∈S

Ps1 + r

Y (Xs),

=1

1 + r

X∀s∈S

PsY (Xs),

=EP (Y (s))

1 + r.

Entonces logramos establecer que el valor de la opción es la esperanzasobre los estados de la naturaleza, descontado por la tasa libre de riesgo.Notemos que si bien esta derivación se realizo para tiempo discreto, tambienes valida para tiempo continuo.2

2A continuación se presentará un resultado que es central para el desarrollo de laderivación del modelo

Proposition 2 Si S está distribuida Log-Normal y la desviación es σ, entonces se cumple:

E[Max(S −X, 0)] = E(S)N(d1)−XN(d2)

donde:

d1 =(ln[E(S)/X] + σ2/2)

σ,

d2 =(ln[E(S)/X]− σ2/2)

σ.

Demostración. Definiendo a g(S) como la densidad de S,

E[Max(S −X, 0)] =∞ZX

(S −X)g(S)dS.

La esperanza de ln(S) es m = ln[E(S)]− σ2/2. Definiendo una variable Q talque

9

Q =ln(S)−m

σ.,

la función densidad de Q, h(Q) es igual a la Normal estándar. Redefiniendo la esperanzade Max(S −X, 0), se obtiene

E[Max(S −X, 0)] =

∞Z(ln(X)−m)/σ

(eQs+m −X)h(Q)dQ,

=

∞Z(ln(X)−m)/σ

eQs+mh(Q)dQ−∞Z

(ln(X)−m)/s

Xh(Q)dQ.

Ahora bien, operando en el primer sumando se obtiene:

eQσ+mh(Q) = eQσ+m1√2Πe−Q

2/2,

=1√2Πe2Qσ+2m−Q

2/2,

=1√2Πe[−(Q−σ)

2+2m+σ2]/2,

=1√2Πe−(Q−σ)

2/2em+(σ2/2),

= em+(σ2/2)h(Q− σ).

Por lo tanto

E[Max(S −X, 0)] = em+σ2/2

∞Z(ln(X)−m)/σ

h(Q− σ)dQ

−X∞Z

(ln(X)−m)/σ

h(Q)dQ,

donde Q− σ es una nueva variable aleatoria con densidad Normal estándar.La primer integral es igual a

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1−N [ (ln(X)−m)σ

− σ] o N [σ − ln(X)σ

+m

σ].

Sustituyendo m (m = ln[E(S)]− σ2/2), en la expresión previamente obtenida,

N [(ln³E(S)X

´− 1

2σ2)

σ] = N [d1].

La segunda integral es igual a

N [−(ln(X)−m)σ

]⇒ N [(ln³E(S)X

´+ 1

2σ2)

σ]⇒ N [d1 − s]⇒ N [d2].

Finalmente,

E[Max(S −X, 0)] = eln[E(S)]N(d1)−XN(d2),= E(S)N(d1)−XN(d2).

Una vez que se conoce este resultado podemos encontrar el precio de un call a tiempot haciendo el pricing como si se estuviera en un mundo de individuos neutrales al riesgo,eso es descontando el payoof por la tasa libre de riesgo,

C(·) = Et[e−r(T−t)Max(ST −X, 0)]

= e−r(T−t)Et(ST )N(d1)−XN(d2).Como ST es un proceso con distribución Log-Normal. Y además como el retorno es-

perado del stock bajo el supuesto de que los agentes son neutrales al riesgo es E(ST ) =

Se(r+σ2

2 )(T−t), se obtiene

C(S, T − t) = SN(d1)−Xe−r(T−t)N(d2). (6)

La ecuación (6) es el modelo Black-Scholes para un Call, con d1 y d2 ahoradefinidos como

d1 =ln ¡ SX ¢+ (r + 1

2σ2)(T − t)

σ(√T − t) ,

d2 = d1 − σ(√T − t).

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Ahora que se comentó la posibilidad hacer el pricing de las opciónes comosi se estuviera en un mundo de individuos neutrales al riesgo la derivacióndel modelo Black-Scholes, (i.e., la solución a la ecuación (4) ), es mucho másfácil.Para presentar el modelo BS se tomará como condición terminal el pay-off

de un call, por ende la ecuación (4) deja de ser para una opción en general,y pasa a ser de un Call.

2 Pricings3

A continuación se presentan a modo de ejemplo tres casos distintos de pricing.

Caso (1). El Stock o underlying asset paga dividendos en el periodo entreel momento en que se escribio la opción y el mimento en que lla expira, (aquíse estaría levantando el supuesto número 3 del modelo BS). Intuitivamentelo que ocurre es muy simple: el entregar dividendos quiere decir que el activose va desprendiendo de “pedazos” de su valor a lo largo de un intervalo detiempo anterior al expiration date. Como los dividendos se pagan antes delexpiration date no los percibe el poseedor del call, por lo tanto hay queajustar el valor del Call cuando el underlying paga dividendos a lo largode la duración del call Si suponemos que los dividendos se pagan en formacontinua como un porcentage del valor del call, es decir, que en un tiempo dtel Stock paga una cantidad por D = δS donde δ es menor a uno, la ecuación(2) de la sección 6.2, se transforma en

dΠ = ctdt+ cSdS +1

2σ2S2cSSdt−∆(dS + δSdt).

La fórmula para un Put es

P (S, T − t) = −SN(−d1) +Xe−r(T−t)N(−d2).3Aparte de los ejemplos aquí presentados existen muchos más casos de pricing de otras

opciones como por ejemplo opciones en futuros, commodities, currency, etc. Pero el criteriopara determinar el precio del contrato es igual para todos. Esto, entre otras cosas, es loque hace comprender la logica de la derivacion del modelo de BS tan importante.

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Si eliminamos el riesgo y lo igualamos al retorno de dicho portafolio(c − ∆S) a la tasa libre de riesgo obtenemos la siguiente ecuación (que essemejante a la ecuación (6))

ct + (1

2σ2S2)cSS + (r − δ)ScS − rc = 0.

Caso (2). La opción trata sobre un intercambio de activos en un momentodeterminado en futuro. Por ejemplo la posibilidad de intercambiar accionesde IBM por acciones de Toshiba en el futuro. El individuo que compra laopción va solo a estar intreresado si a tiempo T las acciones de Toshiba sonmas valiosas.Denotando la opción como F (S1, S2; t) donde Si denota el underlying i y

asumiendo que

dSiSi

= µidt+ σidzi para i = 1, 2.,

y E(dz1dz2) = ρdt.

se forma el siguiente portafolio

P = F (·)−∆1S1 −∆2S2.

Al igual que antes interesa ver el cambio del portafolio, entonces

dP = dF (·)−∆1(µ1S1dt+ σ1S1dz1)−∆2(µ2S2dt+ σ2S2dz2),

Aplicando el Lema de Ito para encontrar dF (·)

dF (·) = FS1(µ1S1dt+σ1S1dz1)+FS2(µ2S2dt+σ2S2dz2)+1

2FS1S1S

21σ

21dt+

+1

2FS2S2S

22σ

22dt+ FS1S2S1S2σ1σ2ρdt+ Ftdt,

Para eliminar el riesgo del portafolio elegimos ∆1 y ∆2 tal que

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(FS1 −∆1)σ1S1dz1 + (FS2 −∆2)σ2S2dz2 = 0,

o sea

FS1 = ∆1,

FS2 = ∆2.

Sustituyendo los valores en el portafolio de arbitrage obtenemos

dP =1

2S21FS1S1σ

21dt+

1

2S22FS2S2σ

22dt+ FS1S2S1S2σ1σ2ρdt+ Ftdt.

y dado que ya se eliminó el riesgo, por arbitraje, el cambio en el valordel portafolio debe ser igual a una suma invertida con la tasa libre de riesgo,obteniendo.

Ft + (1

2σ21S

21)FS1S1 + (

1

2σ22S

22)FS2S2 + (σ1σ2ρS1S2)FS1S2 − rP = 0,

donde P = F (·)− FS1S1 − FS2S2.Ahora bien, para encontrar la solución a la ecuación definiremos

X ≡ S1S2,

ademas suponemos que la opción F (·) es homogenea, es decir que

F (S1, S2, t) = S2f(X, t).

Una vez hecho esto definimos unas equivalencias para las derivadas par-ciales de la solución inicial

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FS1 = fX(X, t),

FS1S1 =1

S2fXX(X, t),

FS2 = f(X, t)−XfX(X, t),FS2S2 =

X2

S2fXX(X),

FS2S1 = −XS2fXX(X, t),

Ft(·) = S2ft(X, t).

Reemplazando estas expresiones en

Ft + (1

2σ21S

21)FS1S1 + (

1

2σ22S

22)FS2S2 + (σ1σ2ρS1S2)FS1S2 − rP = 0,

donde P = F (·)− FS1S1 − FS2S2.Reemplazando por las expresiones obtenidas con anterioridad obtenemos

S2ft(X, t) + (1

2σ21S

21)1

S2fXX(X, t) + (

1

2σ22S

22)X2

S2fXX(X)− (σ1σ2ρS1S2)X

S2fXX(X, t)− rP = 0,

donde

P = S2f(X, t).− fX(X, t)S1 − (f(X, t)−XfX(X, t))S2.Si se divide la expresion superior por S2 y se reemplaza X ≡ S1

S2, esta

ecuación se reduce a

1

2(σ21 − 2σ1σ2ρ+ σ22)X

2fXX(X, t) + ft(X, t) = 0.

Con la condición terminal

f(X,T ) = max(X − 1, 0).

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Caso (3). Aquí se realiza un contrato sobre un factor macroecónomico quees exógeno, por ejemplo: la inflación (Xt) . Se asume que la variable estadoXt sigue un proceso de Brownian Motion Geométrica.

dX

X= µdt+ σdz.

La característica principal de este método de hacer el pricing es que nopodemos armar una cartera comprando o vendiendo inflación por lo tanto serealiza el pricing utilizando 2 opciones distintas sobre el underlying.Para encontrar el precio del call construimos un portafolio con c1(X, t) y

c2(X, t) donde

dcici= µcidt+ σcidz, para i = 1, 2

y

dP

P= α

dc1c1+ (1− α)

dc2c2.

Por lo tanto, el cambio del portafolio es igual a:

dP

P= [α

µc1z | 1

c1(c1t +Xc1Xµ+

1

2X2c1XXσ

2) + (1− α)

µc2z | 1

c2(c2t +Xc2Xµ+

1

2X2c2XXσ

2)]dt+ Φdz,

donde Φ = ασc1 + (1− α)σc2.Para eliminar el riesgo Φ debe ser cero.por lo que obtenemos:

α =σc2

(σc2 − σc1).

Como ya se eliminó el riesgo entonces, por Principio de Arbitraje:

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dP

P= rdt⇒

[αµc1 + (1− α)µc2 ]dt = rdt⇒(

σc2(σc2 − σc1)

µc1 + (1−σc2

(σc2 − σc1).)µc2)dt = rdt.

⇒ (µc1 − r)σ1

=(µc2 − r)

σ2= λ.

Aquí Lambda es el precio del riesgo de cada contrato.Todos los λ‘s soniguales entre sí. Por el Lema de Ito sabemos que

σi =1

CσXXCX .

Ademas sabemos que

µi =1

C(Ct +XCXµ+

1

2CXXσ

2XX

2),

sustituyendo obtenemos

( 1C(Ct +XCXµ+

12X2CXXσ

2)− r)1CσXCX

= λ,

Ct + (µ− λσX)XCX +1

2CXXσ

2X2 − Cr = 0.

Si observamos la ecuación del pricing la diferencia con la ecuación difer-encial de BS es que en vez de rXCX obtenemos (µ − λσX)XCX pues nopodemos hacer hedge con un activo para eliminar el precio del riesgo. Aquiλ debe ser obtenido independientemente.

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