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ModellusModelización matemática de problemas y procesos

Albert Gras i MartíTeresa Sancho Vinuesa

PID_00183893

© FUOC • PID_00183893 Modellus

Índice

Sobre estos materiales de trabajo .................................................... 5

1. Introducción .................................................................................... 7

2. El programa Modellus ................................................................... 8

2.1. Descargar e instalar el programa Modellus .................................. 8

2.2. Abrir un ejemplo .......................................................................... 9

2.3. Explorar algunos ejemplos ........................................................... 10

2.4. Cálculos con Modellus ................................................................. 10

2.5. Animaciones con Modellus .......................................................... 20

Resolución de actividades .................................................................. 29


Sobre estos materiales de trabajo

El aprendizaje de las matemáticas, de las ciencias y de la ingeniería requiere un equilibrio entre teoría,

experimentación y computación. En este módulo nos centraremos en las herramientas computacionales

interactivas de modelización de procesos, que permiten abordar problemas cientificotecnológicos.

Usaremos Modellus para la realización de algunas actividades de aprendizaje. Modellus es una he-

rramienta informática gratuita, creada en Java y que funciona con varios sistemas operativos. La he-

rramienta permite trabajar con las múltiples representaciones que pueden tener los modelos

matemáticos: tablas de datos, fórmulas, gráficas, lenguaje verbal, lenguaje icónico, animaciones, etc.


1. Introducción

La simulación de fenómenos tiene aplicaciones importantes en todas las ramas del saber. En física,

por ejemplo, mediante simulaciones podemos hacer el análisis de movimientos (estudio cinemático

y dinámico), el dibujo de trayectorias y de partículas, la formación de imágenes en óptica geométrica,

el estudio de fenómenos ondulatorios y de sistemas eléctricos y electrónicos, el análisis de procesos

atómicos y nucleares, etc.

Básicamente, hay tres maneras de simular procesos físicos con el ordenador:

a) Programas que permiten elaborar simulaciones personalizadas.

b) Miniaplicaciones interactivas (applets) o aplicaciones hechas con Flash y que tratan problemas

concretos.

c) Paquetes de simulación específicos que abordan áreas concretas, como por ejemplo la mecánica

o la óptica.

Nos centraremos en un programa del primer tipo.


2. El programa Modellus

Con el programa Modellus (modelización interactiva con matemáticas, o experimentación con modelos

matemáticos) es posible modelar fenómenos físicos de muchos tipos y explorarlos de manera interactiva.

El programa Modellus, desarrollado por el profesor Vitor Duarte Teodoro, de la Universidade Nova de

Lisboa, es de disposición libre. Su uso en algunos países y entornos educativos hace que esta herramienta

se encuentre en desarrollo constante y que haya multitud de ejemplos de aplicaciones en el aula colgados

en la Red.

Empezaremos por descargar el programa gratuito Modellus.

2.1. Descargar e instalar el programa Modellus

Entrad en el sitio web de Modellus:

http://modellus.fct.unl.pt/

Os tenéis que registrar. Id al apartado de descarga:

Download Modellus Version 4.01 (Please sign-in or log-in first)

Id a la carpeta correspondiente a vuestro sistema operativo:

Setup files for Modellus 4.01 (Windows)

Jar files for Linux with examples (also Run on Windows and 64 bits Intel Macs)

Jar files for Mac Users WITHOUT Java 1.6

Descargad los archivos. Por ejemplo, para la versión Windows hay tres archivos:

• JAVA_jre-6u7-windows-i586-p-s.exe 15.2MB

• Modellus_4.01_Setup_file.exe 18.5MB

• Modellus_4_A_visual_introduction_for_teachers.pdf

El primero quizá no lo necesitaréis si ya tenéis instalado Java.

El segundo archivo es el programa.

El tercer archivo, en PDF, da una visión general de lo que se puede hacer con el programa, pero no es

necesario que lo descarguéis.


Instalad el programa Modellus. Para esto, haced clic sobre el archivo siguiente:

Modellus_4.01_Setup_file.exe

Abrid el programa Modellus. Está, probablemente, en la carpeta Modellus.

2.2. Abrir un ejemplo

Abrid un ejemplo de simulación de la carpeta Inicio/Abrir/examples. Tenéis ejemplos de matemáticas,

física, etc.

Tened en cuenta que para activar una simulación o pausarla tenéis que hacer clic en el botón de inicio

(pausa, ) que tenéis en el extremo inferior izquierdo de la pantalla:

Para reiniciar la simulación, haced clic en el icono rojo de la derecha de la figura anterior.

La pantalla de trabajo es el lugar donde se muestra la animación:


Además de la pantalla de trabajo, tenéis cuatro ventanas donde es posible detallar el modelo matemáti-

co, los gráficos, las tablas y las anotaciones correspondientes.

Las ventanas auxiliares anteriores se pueden ocultar con el icono , de la derecha de la línea inferior

anterior. Los otros dos iconos, , permiten activar y desactivar los menús superiores o los mar-

cadores de la pantalla de trabajo.

2.3. Explorar algunos ejemplos

Para empezar, nos haremos una idea de las posibilidades que ofrece este programa.

A1

a) Abrid el ejemplo Inicio/Abrir/examples/system of two linear equations.modellusque lleva el mismo programa y exploradlo un poco.

b) Modificad los valores de los parámetros de las rectas (no olvidéis hacer clic enIntérprete, del menú superior, antes de activar la simulación con el botón

).

c) Investigad las pestañas del menú superior: Modelo, Gráfico, Tabla, etc.Cambiad los valores y observad el efecto sobre la simulación. Por ejemplo, podéismodificar las escalas de las gráficas (no olvidéis hacer clic en Intérprete, dentrode la pestaña Modelo, antes de activar la simulación).

d) Cambiad las funciones a funciones cuadráticas y otros tipos. Podéis encontrar,por ejemplo, los puntos de intersección de una parábola y una recta, tantode manera gráfica como con la ayuda de la tabla que se genera al activar lamodelización.

e) Guardad el archivo con otro nombre.

2.4. Cálculos con Modellus

Para introducirnos en la manera de trabajar de Modellus, haremos algunas actividades sencillas.


Modellus como calculadora

Consideremos el cálculo siguiente: ¿cuál es la distancia recorrida por un vehículo que se mueve a 10 m/s

durante 5 s?

Se trata de un cálculo elemental: multiplicad 10 m/s por 5 s (tened en cuenta que en Modellus no se

indican las unidades, pero siempre hay que pensar en las mismas).

Abrid un archivo nuevo de Modellus y teclead el producto:

10 * 5

Podéis obtener el multiplicador con la tecla (*) o introduciendo un espacio con la barra espaciadora.

Después de escribirlo, haced clic en Interpretar (el icono está en la pestaña Modelo). ¿Cómo vemos ahora

el resultado de la operación?

Escribid:

A = 10 * 5

Y haced clic en Intérprete. Veréis que aparece el resultado A 50 en la ventana Tabla.

Podemos usar, por lo tanto, Modellus como calculadora. Intentemos hacer este cálculo:

(1)

Tenéis que escribir el símbolo de raíz cuadrada desde la pestaña Modelo. Después, poned los paréntesis

en el numerador y teclead el símbolo de división (/) para que aparezca el cociente:

Todas las funciones, como por ejemplo el seno, deben tener los argumentos entre paréntesis ( ).

Podéis copiar texto de un procesador de textos, en la ventana Notas y también en la ventana Modelo.

Copiad esta frase:

Primeros ejercicios

En la ventana Modelo tenéis que marcar el texto y hacer clic en el icono .

10 * (2 4)

2 sin5b


También podéis copiar texto de fórmulas en la ventana Modelo:

La expresión siguiente, en la que el símbolo (#) reemplaza a la raíz cuadrada, es equivalente a la expresión (1):

a = (10 * # (2 + 4)) / (2 + sin(5)) (2)

Es posible seleccionar la expresión anterior con el ratón y copiarla en la ventana Modelo. Resulta lo siguiente:

El procedimiento inverso también es posible: pasar fórmulas de Modellus a un procesador de texto.

Una vez hagáis clic en Interpretar, para que aparezca el resultado de las variables b y a en la tabla se deben

elegir las dos en el menú Tabla:

Obtenemos el resultado de la imagen siguiente:

Como vemos, Modellus distingue entre mayúsculas y minúsculas en los nombres de variables.


El contenido de la ventana de trabajo se puede obtener como imagen, con el primer icono de la pestaña

Modelo:

Y la imagen, pegada en un documento de texto, es la siguiente:

Funciones matemáticas en Modellus

Ahora utilizaremos una función para obtener el resultado del problema que hemos visto antes: ¿cuál es

la distancia recorrida por un vehículo que se mueve a 10 m/s durante un tiempo?

Podemos considerar que el movimiento es rectilíneo y que x representa la coordenada de la posición del

vehículo respecto del origen del eje OX a lo largo del tiempo t. De esta manera, podemos escribir:

(3)

donde x es la variable dependiente y t es la variable independiente.

El dominio de la variable independiente se define en la pestaña Variable Independiente. Definimos

como máximo de t el valor 50.

Aquí se define también el paso, t, es decir, la longitud del intervalo en el que se hacen los cálculos.

10 *x t


Ahora hacemos clic sobre Intérprete de la ventana Modelo. Para ver en la tabla las dos variables, x y t,

podemos redefinir el contenido de Tabla, de manera que muestre x y t:

Al ejecutar el modelo, se genera la tabla. También podemos hacer que se represente gráficamente la

función (3), una vez elegimos las variables correspondientes en la pestaña Gráfico:

Si arrastramos el ratón, podemos modificar los ejes y las escalas:

Una ecuación diferencial

Las ecuaciones diferenciales, o ecuaciones que contienen derivadas de funciones, aparecen en muchas

aplicaciones de la ingeniería y de las ciencias. Ya hemos visto algunos ejemplos en la última sección del

módulo sobre cálculo integrodiferencial. Una gran cantidad de fenómenos que trata la física, la ingenie-

ría de telecomunicaciones, la economía, etc. se modelizan en términos de ecuaciones diferenciales, cuya

solución permite conocer la evolución o algunas propiedades del fenómeno en cuestión. En este módulo

dedicado a la modelización, es inevitable explorar qué ocurre con fenómenos o sistemas que varían con

el tiempo; por ejemplo, el enfriamiento de un café o el movimiento de un vehículo.

Algunos fenómenos físicos son modelizables en términos de ecuaciones diferenciales de variables sepa-

rables. Se trata de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden.

Una ecuación diferencial de variables separables es cualquier ecuación diferencial de primer orden que

podemos escribir de la manera siguiente:

(4)d

( ) ( )d

yƒ y g x

x


es decir, toda la dependencia en x queda en el miembro de la derecha, y toda la dependencia en la va-

riable y queda en el miembro de la izquierda.

Entonces una ecuación diferencial será separable (o de variables separables) si todas las “y” de la ecuación

diferencial están multiplicadas por la derivada, y todas las “x” de la ecuación diferencial están al otro

lado del signo igual.

En este caso, es sencillo resolver la ecuación diferencial si la reescribimos así

(5)

e integramos respecto de y a la izquierda y respecto de x a la derecha,

(6)

Al hacer las integrales obtendremos una solución implícita que, en muchos casos, podremos resolver y

escribir en forma explícita, y(x).

También nos tendremos que fijar en el intervalo de validez de la solución y evitar que haya divisiones

por cero, números complejos (como por ejemplo raíces cuadradas de números negativos), logaritmos de

números negativos, etc. La mayoría de las soluciones de ecuaciones diferenciales que obtendremos no

serán válidas para cualquier valor de x.

A2

Resolved la ecuación diferencial siguiente (no hace falta que expreséis la soluciónen forma explícita):

(7a)

La solución que hemos obtenido es una ecuación implícita. Antes de escribirla en forma explícita, suele

ser más sencillo calcular el valor de la constante, si nos dan una condición inicial.

A3

a) Aplicad la condición inicial siguiente

y(1) = 1/25 (7b)

para determinar la constante C indeterminada en la expresión de la solución dela ecuación diferencial (7a), y escribid la solución en forma explícita.

b) Determinad, también, el intervalo de validez de la solución.

Hemos encontrado la solución particular de la ecuación diferencial (7a) que verifica la condición inicial

(7b). Ahora bien, si tenemos otra condición inicial, como por ejemplo

(7c)

( )d ( )dƒ y y g x x

( )d ( )dƒ y y g x x

2d6

d

yy x

x

1( 4)

20y


obtendremos otra solución de la ecuación diferencial. La solución sería la misma que la hallada por la

ecuación (7c), pero ahora el intervalo de validez sería el que mostramos en la solución del ejercicio.

Veamos otro ejemplo.

A4

Resolved el problema de valor inicial siguiente y encontrad el intervalo de validezde la solución:

(8a)

y(1) = 3 (8b)

Nota: encontraremos, en primer lugar, la forma implícita de la solución y en laactividad siguiente discutiremos la forma explícita, igual que hemos hecho en elejemplo anterior, actividades A2 y A3.

Ahora debemos encontrar la solución explícita.

A5

Encontrad la forma explícita de la solución de la ecuación diferencial anterior,(8a), con la condición (8b), y determinad el intervalo de validez de la solución.

Ahora plantearemos la resolución de la ecuación diferencial siguiente, en la cual la variable y tiene una

tasa temporal de cambio igual a 10:

(9)

Escribidla utilizando el icono Tasa de Variación de la pestaña Modelo:

Cuando hacemos clic en Interpretar, el programa nos pide las condiciones iniciales de la variable

dependiente:

Podemos definir una o varias condiciones iniciales; por ejemplo, las siguientes:

23 4 4'

2 4

x xy

y

d10

d

y=

t


Ejecutamos la simulación. Con la ventana Gráfico, podemos elegir qué casos (qué condiciones iniciales)

queremos que se representen gráficamente:

Podemos ver los tres casos de manera simultánea:

La gráfica es la siguiente, que obtenemos con el icono “Copia imagen” de la pestaña Gráfico, y haciendo

Pegar en este documento de texto.

Una iteración

Además de la derivación, la iteración es una operación frecuente en los cálculos matemáticos. Hagamos

un proceso iterativo. Escribid, usando el icono de la pestaña Modelo:

(10)

Inmediatamente os aparecerá la ventana Parámetros, donde se piden los valores posibles del paso du:

last( ) 10 d

last( ) d

z z uu u u


Interpretad el modelo y ejecutadlo. Cuando definimos adecuadamente las variables que tienen que apa-

recer en la tabla y la gráfica, obtenemos:

Como vemos, la expresión iterativa (10) es una forma equivalente a la de una derivada (9).

Ahora sustituiremos el valor 10 por un parámetro (y cambiamos el nombre de la variable dependiente,

para no mezclar los ejemplos anteriores):

(11)

Al interpretar el modelo, se nos pide que especifiquemos los parámetros:

Podemos hacer las gráficas y las tablas correspondientes, y probar las opciones de representación gráfica:

Obtenemos:

d

d

w= p

t


Podemos resolver de manera inmediata la ecuación diferencial ordinaria (EDO) siguiente, en la cual la

tasa de variación temporal de la variable w es proporcional al valor instantáneo de la misma variable:

(12)

O podemos resolver esta otra EDO, en la que la tasa de variación temporal de la variable w es proporcional

al tiempo que ha transcurrido:

(13)

Se trata de dos ecuaciones diferenciales que sabemos resolver de manera analítica. Modellus nos las re-

suelve y nos hace la gráfica fácilmente.

Nota: si queréis hacer algunos cambios o corregir errores cuando habéis ejecutado una simulación,

debéis hacer clic en el icono de la derecha de la barra inferior, :

para que se activen las opciones de edición de los contenidos de las pantallas de tablas, gráficas, etc.

Para determinados valores de los parámetros y de las condiciones iniciales:

Obtenemos en el caso (12), para p = 0.10 y p = 0.50:

d

d

w= pw

t

d

d

w= pt

t


Y en el caso (13):

A6

Obtened las soluciones analíticas de EDO (12) y (13) y comprobad que los re-sultados de Modellus son correctos. En particular, comprobad que los valoresde w (2) de los resultados de EDO coinciden con los de Modellus, así como los dew (20) / w (10).

A7

Entregad el archivo Modellus que habéis trabajado en las actividades anteriores.

2.5. Animaciones con Modellus

Se puede hacer una animación con una familia de funciones (es posible poner nombres de más de una

letra a las variables):

(14)

Y es posible definir objetos que se moverán según las relaciones anteriores. En la pestaña Objetos, haced

clic en Partícula y en el lugar donde tiene que ir el objeto sobre la pantalla. También podemos hacer clic

sobre la pantalla de trabajo con el botón derecho del ratón, y elegir Añadir partícula.

10xA = t

10 20Bx = t +10 20xB = t +

10 40xC = t +

10 20xD = t


En la pestaña Animación se pueden definir los parámetros. Hacemos clic sobre la pantalla y asociamos

el movimiento horizontal de la partícula con la variable xA:

Hacemos lo mismo con las partículas B, C y D.

De esto resulta:

Gráficos asociados a los objetos

Se pueden crear gráficos de cada objeto. Por ejemplo, en Objetos hacemos clic sobre Lápiz, y lo asociamos a

la función xA(t). También podemos usar el botón derecho del ratón al hacer clic sobre la pantalla de trabajo.


En el menú Objetos hay varias opciones. Con valores adecuados de los parámetros, podemos hacer ani-

maciones como la siguiente:

Intentad reproducirla.

Visión general de Modellus

Quizá ha llegado el momento de analizar el resumen de opciones y características de Modellus que tenéis

en la pestaña Modelo en Ayuda, y que mostramos aquí a escala muy reducida:

A8

Explorad las posibilidades que ofrece el programa. Haced consultas sobre las dudasque tengáis en el foro de la asignatura.


Hagamos una animación con el movimiento del ratón

Se puede atar el objeto con el lápiz y viceversa, de manera que si movemos uno se mueve el otro. Y los

valores se pueden ver reflejados en una tabla o en una gráfica:

Observad que para mover el objeto o el lápiz, es preciso que las coordenadas que tienen no estén

prefijadas.

Las imágenes anteriores se han conseguido con el movimiento del avión (o de manera equivalente,

del lápiz) y los valores siguientes de los parámetros, que se obtienen al hacer clic sobre cada elemento

de la pantalla (el avión, el lápiz, la gráfica, la tabla). En primer lugar, damos las especificaciones del

avión:

(Nota: la ventana “Dejar una marca cada” indica 100 pasos, a pesar de que el 1 no se ve.)

En segundo lugar, damos las especificaciones del lápiz:

En tercer lugar, las especificaciones de la gráfica:

En cuarto lugar, las especificaciones de la tabla:


Y finalmente, damos las especificaciones de la variable Independiente:

A9

Si lo pide el consultor, entregad el archivo Modellus que habéis trabajado en lasactividades anteriores.

Animaciones con vectores

Podéis asociar un vector a una animación. Haced el modelo siguiente:

Ahora haced clic en la partícula de la pestaña Objetos, , y ponedla en el área de trabajo, y

después en el vector.

La animación siguiente se ha obtenido con los parámetros que daremos a continuación.


En la variable independiente elegimos tMáx. = 3.2 porque el periodo de la función es .

Para el gráfico1, hacemos:

Y para el vector:

Para la partícula:

Se puede asociar el vector a la partícula con la opción del menú Vector.

A10

Elaborad la animación siguiente:

• Un balón hace una trayectoria parabólica.• Se dibuja un vector tangente a la trayectoria del balón en algunos puntos.• Una gráfica (tipo lápiz) hace la representación cartesiana.

Nota: podéis usar la ecuación (6’) del módulo “Cálculo diferencial e introduccióna las derivadas parciales” (trayectoria parabólica).

A11

Elaborad la animación siguiente:

La trayectoria parabólica (x, y) de un objeto que se lanza al aire con un ángulo (comocuando lanzamos una pelota a un compañero de juego) se puede describir con lasecuaciones diferenciales siguientes:

(15)

1. Para el gráfico denominaremos x a la variable independiente y y a la variable dependiente.

d d

0

d d

d d

y x

y x

v v= A =

dt dty x

= v = vt t


Donde A es una constante positiva. Las condiciones iniciales son la posición ini-cial y la velocidad inicial de la partícula, (x0, y0) y (vx0

, vy0).

• Resolved las ecuaciones con Modellus y representad la trayectoria (x,y) delobjeto y también la variación de la velocidad con el tiempo (vx, vy).• Dibujad un vector tangente a la trayectoria del objeto en algunos puntos.• Haced una gráfica (tipo lápiz) de la representación cartesiana de la trayectoria.• Modificad los parámetros de la trayectoria y explicad sus efectos.

Nota: observad que el orden en el que se definen las variables es importante.Escribid las ecuaciones (15) en orden inverso:

(15)

Y comprobad cómo lo interpreta Modellus.

Como hemos visto, el programa Modellus permite abordar simulaciones de procesos que son descritos

por una expresión algebraica, una función o una ecuación diferencial. La resolución del modelo, que

proporciona Modellus, se puede acompañar de la visualización de los datos de las variables que intervienen

en el proceso, así como de la graficación de los datos o del diseño de herramientas de medida o de control

de los parámetros que intervienen. También es posible introducir objetos que permitan visualizar mejor

la evolución de las variables o del proceso.

Aplicaciones a problemas de esta asignatura

Además de los ejemplos que hemos visto en la introducción a Modellus, el programa permite abordar

una gran diversidad de problemas.

A12

Elegid algún problema de los que habéis resuelto en los temas anteriores de la asig-natura (resolución de ecuaciones, derivación, integración, cálculo de máximos ymínimos, etc.) y elaborad una simulación con Modellus que resuelva el mismoproblema.

Podéis sofisticar el modelo hasta donde queráis, añadiendo herramientas queproporciona Modellus.

Tenéis que hacer como mínimo tres simulaciones para tres tipos de problemasdiferentes.

Si lo pide el consultor, entregad los archivos *.modellus en la carpeta de entrega de trabajos del aula.

A13

Elaborad una simulación de Modellus para el problema que diseñéis vosotrosmismos. Puede ser un problema de matemáticas, de física, de ingeniería, etc.

Os podéis inspirar en los que lleva el mismo programa o en los que encontréis enInternet (tanto si están hechos con Modellus como con cualquier otro programade simulación).

A modo de ejemplo, y no para que lo toméis como tema de trabajo, nos po-dríamos plantear cómo oscila un rascacielos cuando sopla un viento fuerte. Sepodrían tomar fotografías de Internet o datos de edificios reales, plantear las

d d

d dd d

0d d

y x

y x

y x= v = v

t tv v

= A =t t


ecuaciones cinéticas o dinámicas de oscilación de un sistema, hacer una ani-mación que incluyese parámetros, variables y cuestiones, etc.

La calificación de este proyecto se basará principalmente en los contenidos fisi-comatemáticos, y no tanto en aspectos decorativos o visuales, a pesar de que lapresentación será un factor de esta calificación.

Si lo pide el consultor, entregad los archivos .modellus en la carpeta de entrega de trabajos del aula.


Resolución de actividades

A1

Por ejemplo, el archivo test-20-3-10-modellus.modellus

A2

Apliquemos el método de separación de variables:

A3

a)

b) Los únicos puntos que pueden dar problemas de definición de la función son los que anulan el denominador, es decir

La función está definida en todo el eje real excepto estos dos puntos en que diverge (tiene asíntotas verticales).

Como se pide en el módulo, si ahora hacemos que y(4) = 1/20, la nueva solución particular de la ecuación diferencial seescribe:

Ahora los puntos excluidos del dominio de la función solución particular son los

A4

Esta ecuación diferencial también es claramente separable.

2

2

2

2 2

6

6

6

16 / 2 3

dyy x

dxdy

xdxydy

xdxy

x x Cy

2

2

2

13

13 * 1

1 / 2525 3 28

1( )

28 3

x Cy

C

C

y xx

28 / 3

28 / 3x

2

2

2

13

13 * ( 4)

1 / 2020 48 68

1( )

68 3

x Cy

C

C

y xx

68 / 3x

22 4 3 4 4y dy x x dx

22 4 3 4 4y dy x x dx 2 3 24 2 4y y x x x C


y si hacemos que cumpla la condición inicial y(1) = 3,

obtenemos

C = 2

y la solución es la ecuación implícita siguiente:

A5

Una manera de proceder es reescribir la solución de forma que quede una ecuación cuadrática en y, pero con un término“constante” que será función de x,

Y ya sabemos cómo encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática:

Si simplificamos un poco la expresión anterior, resulta:

Siempre podemos saber cuál de las dos soluciones es la correcta si tenemos en cuenta la condición inicial. Calculemos lassoluciones para el punto x = 1,

obtenemos

La condición inicial y(1) = 3 indica que en este caso la solución con el signo “+” delante de la raíz cuadrada es la correcta,

Para determinar cuál es el intervalo de validez de la solución, hemos de exigir, a la vista de la forma de la solución, que elradicando sea positivo, y así no obtendremos números complejos:

La gráfica de esta función es la de la figura siguiente:

Figura: Ceros de la función .

2 3 2(3) 4(3) (1) 2(1) 4(1) C

2 3 24 2 4 2y y x x x

2 3 24 2 4 2 0y y x x x

3 24 16 4(1) ( 2 4 2)( )

2

x x xy x

3 2( ) 2 2 4 2y x x x x

(1) 2 1 2 4 2 2 1y

(1) 1

(1) 3

yy

3 2( ) 2 2 4 2y x x x x

3 22 4 2 0x x x

3 22 4 2 0x x x


Por tanto, la raíz de la expresión y(x) es un número real para

x ≥ 3.365

y como el intervalo anterior contiene el valor x = 1 que hemos usado en la condición inicial, entonces ya tenemos la solu-ción particular de la ecuación diferencial. Así, la ecuación diferencial es válida para x ≥ 3.365.

A6

La EDO (12) podemos resolverla por separación de variables,

donde es una constante.

Los cálculos correspondientes están en dw_dt_igual_pw.modellus

Determinemos primero A. Por ejemplo, para la condición inicial w(0) = 2, la solución anterior da w(0) = 2 = Aep*0 = A.

Por tanto, si tomamos p = 0.50, w = 2 e0.5t.

Y, para t = 2, w(2) = 2 e0.5*2 = 2 e = 5.44, que es el valor que da la tabla del archivo de Modellus para el mismo valor de p yla misma condición inicial,

Para el mismo valor de p y la misma condición inicial, w(20)/w(10) = e0.5*20/ e0.5*10 = e105 = e5 = 148.41

Modellus da,

Es decir, w(10) = 296.83

Es decir, w(20) = 4.41*104.

Por tanto, w(20)/w(10) = 4.41*104 / 296.83 = 148.58

Ahora el acuerdo ya no es tan bueno. Eso significa que debemos mejorar el cálculo numérico que hace Modellus, reduciendoel paso de iteración.

La EDO (13) tiene la solución siguiente,

Y podemos hacer el mismo proceso que antes para encontrar el valor de C y hacer las comprobaciones solicitadas.

Los cálculos correspondientes están en el archivo dw_dt_igual_pt.modellus.modellus

ln

p t C C p t

p t

dwp dt

wdw

p dtww p t C

w e e e

w Ae

CA e

212

dwp t dw p t dt w p t C

dt


A9, A10, A11

El archivo solución se proporcionará en el aula.

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