MODELLI MULTISCALA PER IL SISTEMA CIRCOLATORIO: …tiziano/public/mastersthesis/passerini.pdf ·...

POLITECNICO DI MILANOFACOLTÀ DI INGEGNERIA DEI SISTEMI

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA BIOMEDICA

MODELLI MULTISCALA PER IL SISTEMACIRCOLATORIO:

ACCOPPIAMENTO NUMERICO DI MODELLITRIDIMENSIONALI E MONODIMENSIONALI

Relatore: Prof. ALESSANDRO VENEZIANICorrelatore: Ing. CHRISTIAN VERGARA

Candidato: TIZIANO PASSERINI

ANNO ACCADEMICO 2003–04

[...]

Nah war die Krankheit. Schon von den Schatten bemächtigtdrängte verdunkelt das Blut, doch, wie flüchtig verdächtigt,

trieb es in seinen natürlichen Frühling hervor.

Wieder und wieder, von Dunkel und Sturz unterbrochen,gläntze es irdisch. Bis es nach schrecklichem Pochen

trat in das trostlos offene Tor.

Rainer Maria Rilke, DIE SONETTEN AN ORPHEUS, I. 25

Il male era prossimo. Già domato dalle ombreurgeva il sangue intenebrato, ma come per fugace

presagio rifioriva nella sua naturale primavera.

Di nuovo ancora, interrotto di buio e di cadute,terrestre rifulgeva. Finché dopo un terribile bussare

varcò irredimibile la porta spalancata.

(trad. Franco Rella)

A mamma e papà

Indice

Sommario 1

Summary 5

1 Introduzione 91.1 Le ragioni della modellazione multiscala . . . . . . . . . . . . . 91.2 Applicazioni bioingegneristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Un laboratorio vascolare virtuale . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Modelli numerici multiscala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 La formulazione del modello matematico 152.1 Le caratteristiche del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Il modello tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Il modello monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Il modello a parametri concentrati . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Metodi numerici per l’accoppiamento di modelli eterogenei 333.1 Modelli 3D e 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1 Il trattamento della parete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 Il trattamento dell’interfaccia . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.3 Modelli di interazione per il problema accoppiato . . . . 42

3.2 Strategie risolutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.1 Discretizzazione nel dominio tridimensionale . . . . . . 44

Il problema di interazione fluido-struttura . . . . . . . . 463.2.2 Discretizzazione nel dominio monodimensionale . . . . 473.2.3 Condizioni al bordo deficitarie per il problema 3D . . . . 473.2.4 Accoppiamento dei problemi discretizzati . . . . . . . . 483.2.5 Il caso 3D rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Algoritmo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Algoritmo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 La soluzione del problema accoppiato . . . . . . . . . . . . . . . 54

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ii

3.3.1 Il caso 3D rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Il ruolo del parametro di rilassamento . . . . . . . . . . . 56

3.4 Accoppiamenti multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Risultati 594.1 La libreria C++ LifeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.1 Risolvere problemi differenziali con LifeV . . . . . . . . . 604.2 Un caso di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.1 Soluzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Soluzione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Algoritmo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Algoritmo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Alcune applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.1 La riflessione delle onde di pressione . . . . . . . . . . . 75

La soluzione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.2 Fluidodinamica nelle biforcazioni . . . . . . . . . . . . . 86

La biforcazione iliaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4 Prospettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ringraziamenti 93

Bibliografia 95

Sommario

Il sistema circolatorio umano è in grado di garantire la corretta perfusionedei tessuti cellulari grazie a un sofisticato sistema di controllo del flusso emati-co. Le condizioni fluidodinamiche di specifici distretti vascolari sono correlatecon le caratteristiche della rete vascolare nel suo complesso. Fenomeni pato-logici (ad esempio l’aterosclerosi) a carico della parete vascolare di un’arteriapossono ridurre l’apporto di sangue ai tessuti irrorati: tuttavia, l’attuazionedi meccanismi di compensazione tende a ripristinare la perfusione fisiologica,aumentando la portata di sistemi vascolari collaterali.

Lo studio del sistema circolatorio deve avvalersi di metodi che consentanodi cogliere la correlazione tra l’emodinamica locale e l’emodinamica globale: lamodellazione multiscala in senso geometrico del sistema circolatorio consentedi integrare differenti approcci nella descrizione delle caratteristiche del flussoematico. Nel contesto di regioni più o meno estese della rete vascolare, de-scritte da modelli ridotti, vengono individuati specifici distretti di interesse,studiati con modelli dettagliati.

Dal punto di vista della simulazione numerica, questo comporta la riso-luzione combinata di problemi matematici differenti. In questo lavoro, il do-minio computazionale locale viene descritto da modelli tridimensionali, checonsentono di riprodurre geometrie vascolari realistiche, studiando nel detta-glio le caratteristiche emodinamiche. Il dominio globale è studiato sulla basedi modelli monodimensionali, che fanno riferimento a geometrie semplifica-te e descrivono il comportamento dei distretti in esame attraverso la stima digrandezze medie.

La gestione integrata dei diversi approcci al problema richiede la formu-lazione di tecniche di accoppiamento, che consentano di gestire lo scambiodi informazioni tra i diversi modelli, in corrispondenza dell’interfaccia: inquesto modo è possibile simulare l’interazione tra diversi distretti del sistemacircolatorio.

La risoluzione del problema fluidodinamico tridimensionale è particolar-mente impegnativa dal punto di vista computazionale. In particolare, la ge-stione del problema di interazione meccanica tra il sangue e le pareti vasco-

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PSfrag replacements 3D1D 1D

(a) Il modello accoppiato considerato:il tratto centrale è riprodotto con unmodello tridimensionale

PSfrag replacements

3D1D1D

(b) Il dominio computazionale tridi-mensionale

FIGURA 1: Un caso sperimentale: un vaso con impianto di stent

lari deformabili richiede l’utilizzo di metodi numerici molto onerosi. Questoconduce a introdurre l’ipotesi semplificativa di pareti rigide per il dominiotridimensionale, che risulta accettabile per una prima approssimazione delproblema emodinamico.

Le strategie risolutive proposte sono state implementate in un codice di cal-colo con l’ausilio della libreria C++ LifeV (www.lifev.org), che fornisce me-todi numerici agli elementi finiti (FE) per la risoluzione di problemi differen-ziali. Diversi algoritmi di risoluzione del problema accoppiato sono stati testatisu un caso di riferimento, che ha consentito di individuare il più efficiente.

Le simulazioni proposte dimostrano come l’approccio multiscala consentadi descrivere fenomeni fluidodinamici tipici dell’albero vascolare arterioso.

La presenza di irrigidimenti locali della parete vascolare può determinarealterazioni delle condizioni emodinamiche fisiologiche. L’impianto di protesivascolari rigide (stent, figura 1), per il sostegno della parete di vasi stenoti-ci, modifica le modalità di propagazione delle onde peristaltiche di pressione.Inoltre le condizioni emodinamiche locali possono essere critiche per la pro-gressione della patologia della parete o per il danneggiamento della protesi.É possibile definire un modello accoppiato, che descriva nel dettaglio il trat-to di vaso patologico e riproduca l’andamento dei valori medi di pressionenei tratti fisiologici a monte e a valle. La simulazione numerica riproduce ilfenomeno delle riflessioni dell’onda di pressione, dovute alle alterate caratte-ristiche meccaniche della parete vascolare in presenza dello stent: nel distrettoa monte del tratto di vaso patologico si osserva un aumento della pressioneche può tradursi in sovraccarico del muscolo cardiaco.

La fluidodinamica della biforcazione iliaca dipende dalle caratteristichemeccaniche dei distretti vascolari distali: anche in questo caso la simulazio-

www.lifev.org

Sommario 3

PSfrag replacements

3D

1D 1D

(a) Lo schema di accoppiamento uti-lizzato: il modello tridimensionale de-scrive nel dettaglio la fluidodinamicanella biforcazione

PSfrag replacements

3D1D1D

(b) Il dominio computazionale tridi-mensionale

FIGURA 2: Il modello accoppiato per la biforcazione iliaca

ne può essere condotta con un’ottica multiscala (figura 2). Un irrigidimentoo ispessimento della parete vascolare dell’arteria iliaca comune di destra (rap-presentata da un modello monodimensionale opportunamente caratterizzato)induce la modifica della ripartizione della portata tra i due rami della bifor-cazione. Inoltre si è evidenziata una alterazione dei regimi pressori (aumentodella pressione in aorta addominale) e delle condizioni locali di flusso.

Il problema della modellazione multiscala del sistema circolatorio viene af-frontato nello specifico aspetto dell’accoppiamento di modelli tridimensionalie monodimensionali. Resta aperto il problema dello sfruttamento di reti dimodelli accoppiati (tridimensionali, monodimensionali e/o a parametri con-centrati) per descrivere in maniera più articolata i vari distretti del circuitovascolare.

Un’altra interessante prospettiva è l’estensione del problema di interazione3D-1D al caso in cui il modello tridimensionale tenga conto della deformabi-lità della parete vascolare. Accoppiando modelli 3D deformabili delle regionidi interesse specifico e modelli 1D deformabili dei distretti adiacenti, è possi-bile studiare il problema di interazione fluido-struttura in ampie regioni delsistema circolatorio, utilizzando geometrie tridimensionali realistiche.

Summary

The function of the human circulatory system is to ensure the physiologi-cal perfusion of cellular tissues. This feature is accomplished by a complexsystem of blood flow control. There is a strong relation between the fluido-dynamic conditions of specific vascular districts and the characteristics of thewhole vascular network. Arterial wall lesions (e. g. due to atherosclerosis) maycause a decrease in blood flow towards perfused tissues: nevertheless, propercompensatory mechanisms take place to avoid tissutal ischaemia, enhancingblood flow throughout collateral vascular circuits.

When studying the circulatory system, it is important to consider the cor-relation between local and global haemodynamics. Geometrical multiscale mo-delling aims to manage different approaches to the description of blood flowcharacteristics: a detailed model of the district of specific interest is derivedin the framework of a synthetic description of the surrounding areas of thevascular net.

From the numerical point of view, this implies the need for a coupled solu-tion of different mathematical problems. In the present work, three-dimensionalmodels represent the local computational domain, providing the description ofreal vascular geometries and a detailed analysis of haemodynamic characteri-stics. One-dimensional models stand for the global domain, taking into accountsimplified geometries and average physical quantities.

The different models need to exchange information on the coupling inter-faces in order to reproduce the physiological interaction between adjoiningvascular districts. Suitable numerical strategies have to be defined.

The computational solution of three-dimensional fluid-structure interac-tion problems is quite expensive. A typical simplifying assumption for hae-modyamic simulations is that vascular walls are rigid in the 3D model: theresults are admissible at a first level approximation.

The coupling strategies here proposed have been implemented in a soft-ware, based on the C++ library Lifev (www.lifev.org) which provides fi-nite element numerical methods for solving differential problems. Different

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www.lifev.org

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PSfrag replacements 3D1D 1D

(a) The coupled model: the da-shed area is reproduced by a threedimensional model

PSfrag replacements

3D1D1D

(b) The 3D computational domain

FIGURA 3: An experimental case: vessel with implanted stent

algorithms have been tested on a reference case, in order to identify the mosteffective.

Other numerical simulations show that this multiscale approach can de-scribe typical fluidodynamic phenomena in the arterial tree.

The local stiffening of the vascular wall may cause blood flow modifica-tions. For instance, metallic stent implantation (figure 3), as a treatment forvascular stenosis, alters the propagation of pressure waves along the vessel.Local haemodynamic characteristics may be critical with respect to pathologyprogression or damages to the prosthesis. A coupled model can reproduce indetail the pathologic vascular region and at the same time take into account thevalues of mean pressure in the physiological distal and proximal tracts. Thenumerical solution shows the reflection of pressure waves, due to the presenceof the metallic stent resulting in non-homogeneous mechanical characteristicsof the arterial wall. In the proximal tract the pressure is greater than in thephysiological case (with the same blood flow): this can produce myocardicoverload.

A coupled model is able to describe, in a multiscale perspective, how flui-dodynamics in the iliac bifurcation are related to the mechanical characteri-stics of distal districts (figure 4). A one-dimensional model can reproduce forinstance a stiffening or thickening of the right iliac artery wall: in this case, theflow repartition between the two branches of the bifurcation changes (that is,the flow in the left iliac artery increases). In the same pathological situation,we notice increased pressure values in the abdominal aorta and altered localhaemodyinamics.

This work deals with a specific aspect of the multiscale modelling of thecirculatory system: the coupling of 3D and 1D models. What still remains to

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PSfrag replacements

3D

1D 1D

(a) The coupling scheme: the 3D mo-del reproduces in detail the fluidody-namic characteristics of flow in thebifurcation

PSfrag replacements

3D1D1D

(b) The 3D computational domain

FIGURA 4: A coupled model for the iliac bifurcation

do is to build up networks of coupled (three-dimensional, one-dimensional orlumped parameters) models, in order to describe in a more realistic way thecomplex anatomy of the vascular circuit.

Another interesting achievement to pursue is the coupling of 3D compliantand 1D compliant models: this would allow to study the fluid-structure inte-raction problem in large vascular districts, exploiting real three-dimensionalgeometries.

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Le ragioni della modellazione multiscala del si-stema circolatorio

(a) Sistemaarterioso

(b) Sistemavenoso

FIGURA 1.1: Il sistema circolatorio umano

Il sistema circolatorio umano è un circuito chiuso la cui funzione è garan-tire che il sangue perfonda tutti i tessuti dell’organismo. Il muscolo cardiacopompa il sangue nelle arterie, che lo trasportano verso le regioni periferichedel corpo; le ultime diramazioni del sistema arterioso sono dette arteriole e agi-

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scono come un “sistema valvolare”, controllando il flusso di sangue verso icapillari: nel distretto capillare avviene lo scambio di acqua, nutrienti e altresostanze tra il sangue e il liquido interstiziale che bagna i tessuti cellulari. Il si-stema venoso riporta il sangue verso il cuore, attaverso le venule e quindi veneprogressivamente sempre più grandi (figura 1.2).

Differenti caratteristiche geometriche e meccaniche riflettono lo specificoruolo di ciascuna componente della circolazione [1]. I vasi differiscono perla composizione della parete (più ricca di tessuto muscolare ed elastico nelsistema arterioso), per il volume di sangue trasportato (le vene sistemiche con-tengono la quantità di sangue maggiore), per i valori medi di pressione delsangue al loro interno.

FIGURA 1.2: Componenti funzionali della circolazione

Il flusso ematico nei diversi distretti corporei è determinato da un comples-so sistema di controllo, i cui principali responsabili sono i tessuti stessi (chepossono regolare l’apporto ematico in base alle proprie esigenze metaboliche),il sistema nervoso (che può ad esempio deviare il flusso verso i distretti mu-scolari durante l’attività fisica) e la presenza di particolari sostanze chimichenel sangue (ormoni, ioni, . . . ). Ne risulta una stretta interrelazione tra le con-dizioni fluidodinamiche in diversi tratti del sistema cardiovascolare, che puòmanifestarsi con meccanismi di compensazione: in questo senso si può spie-gare ad esempio il fatto che, in presenza di una stenosi significativa dell’arteriacarotide interna (anche dell’ordine del 90% del lume fisiologico [2]), l’aumentodella portata complessiva degli altri vasi mantenga l’irrorazione del cervellosu valori fisiologici.

La conoscenza del dettaglio delle caratteristiche emodinamiche locali è pre-ziosa, perchè può contribuire a spiegare il comportamento fisiologico o pato-logico dei vasi interessati. Evidenze sperimentali [3] supportano l’introduzio-

Capitolo 1. Introduzione 11

ne del concetto di fattore di rischio emodinamico per patologie vascolari qualil’aterosclerosi o la formazione di aneurismi, che possono essere promosse daparticolari regimi di sollecitazione a carico della parete delle arterie.

Uno degli obbiettivi della modellistica matematico-numerica del sistemacardiovascolare è l’integrazione della conoscenza accurata dell’emodinamica lo-cale con la valutazione delle cause e dei possibili effetti nel contesto dell’interacircolazione.

Se si limita l’analisi ad un singolo distretto, è possibile effettuare simula-zioni numeriche su scale spaziali ridotte, con risoluzioni dell’ordine di alcunimillimetri: una prospettiva così “ravvicinata” non è praticamente utilizzabilenello studio dell’intera rete vascolare, la cui estensione complessiva è stata sti-mata nell’ordine di decine di migliaia di chilometri [4]. Bisogna isolare delleregioni di interesse, da studiare con modelli locali accurati, e ricorrere a mo-delli sistemici per descrivere in maniera sintetica le caratteristiche del resto delsistema circolatorio. Questo richiede la capacità di gestire il problema flui-dodinamico con diversi gradi di dettaglio, ovvero secondo una prospettivamultiscala.

Il problema emodinamico ha anche una natura “multiscala” in senso tem-porale. Il moto del sangue nei vasi è indotto dall’azione pompante del cuore:il periodo caratteristico del ciclo cardiaco, dell’ordine di un secondo, è tipica-mente assunto come unità di tempo di riferimento nelle simulazioni nume-riche. Tuttavia questo non consente di considerare lo sviluppo di fenome-ni potenzialmente patologici come l’ispessimento della parete vascolare, chepossono essere correlati con le condizioni di flusso del sangue ma hanno unorizzonte temporale di mesi o anni. In questa sede il problema della scala tem-porale non viene affrontato: la prospettiva multiscala adottata è intesa in sensogeometrico.

1.2 Applicazioni bioingegneristiche

L’albero arterioso è una rete di vasi deformabili: si possono individuare,quali principali grandezze di interesse, il valore medio di velocità e pressionesulle sezioni assiali. Questo approccio consente di conservare un certo livellodi dettaglio nella simulazione delle caratteristiche della circolazione ematica(ad esempio la propagazione peristaltica delle onde di pressione lungo le arte-rie), e al tempo stesso le variabili sono clinicamente significative e facilmentemisurabili (nota l’area della sezione considerata il dato di velocità si riconducead un valore di portata).

Un caso di particolare interesse è lo studio dell’effetto di restringimenti o

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irrigidimenti locali di un’arteria. Nella pratica clinica questa situazione si ri-scontra in associazione a patologie quali l’aterosclerosi oppure alla presenza diprotesi vascolari. La propagazione delle onde di pressione è generata dall’inte-razione tra la massa ematica e la parete espansibile del vaso ed è quindi intrin-secamente legata alle caratteristiche elastiche delle arterie: brusche variazionidi tali caratteristiche possono causare alterazioni nell’andamento delle condi-zioni di flusso. Nelle grosse arterie questo fenomeno è particolarmente signifi-cativo: è stato osservato, ad esempio, che la presenza di protesi endovascolariper il trattamento di patologie ostruttive dell’aorta è associata a condizionifluidodinamiche anomale. In particolare, compaiono elevati valori di pressio-ne sistolica nell’albero aortico che possono sovraccaricare il muscolo cardiaco,mentre nella zona occupata dalla protesi si generano sollecitazioni potenzial-mente dannose a carico dell’endotelio vascolare [5]. In un’ottica multiscala, ilregime di moto del sangue può essere analizzato nel dettaglio da un model-lo locale per il tratto di vaso patologico, mentre un modello globale riproducel’andamento dei valori di portata e pressione media nei distretti confinanti.

Le biforcazioni sono sedi privilegiate per lo sviluppo di fenomeni di lesio-ne della parete vascolare, associati generalmente alla patologia aterosclerotica.In questi casi è particolarmente importante studiare l’emodinamica locale, chepuò essere responsabile della manifestazione di particolari regimi di sforzosulla parete arteriosa (bassi sforzi di taglio, direzione dello sforzo oscillantenel corso del ciclo cardiaco) che favoriscono il processo di aterogenesi [6, 7].La stima delle sollecitazioni esercitate dal sangue sul tessuto intimale può con-sentire di valutare le prospettive di evoluzione della patologia o di interventoterapeutico. D’altra parte, spesso la patologia aterosclerotica coinvolge anche ivasi a valle della biforcazione [8]: l’ispessimento e l’irrigidimento della paretepossono causare alterazioni nei regimi pressori e nella distribuzione del flussoematico nei distretti irrorati [9]. Anche in questo caso il problema si presta adessere studiato in un’ottica multiscala.

1.2.1 Un laboratorio vascolare virtuale

Gli apparati sperimentali progettati per riprodurre in scala i distretti di in-teresse hanno dimostrato le potenzialità della modellistica del sistema circola-torio nello studio delle patologie vascolari [6, 7], nella valutazione di pratichechirurgiche [10] o di dispositivi artificiali di ausilio alla circolazione [11]. Mol-to spesso l’indagine viene condotta con una prospettiva naturalmente “mul-tiscala”, poichè l’obbiettivo è lo studio di particolari caratteristiche locali nelcontesto di distretti vascolari o dell’intero sistema circolatorio.

La simulazione in vitro ha tuttavia degli svantaggi. In primo luogo, è diffi-

Capitolo 1. Introduzione 13

cile ricostruire le caratteristiche meccaniche dei vasi reali: nei modelli in scalala geometria della parete vascolare viene spesso riprodotta da strutture rigide(in Plexiglas o vetro); per tenere conto della deformabilità si utilizzano mate-riali quali le gomme siliconiche, scelte in modo da riprodurre quanto più fedel-mente possibile le caratteristiche viscoelastiche della parete. Gli elevati costi direalizzazione rendono però improponibile la simulazione delle molteplici con-figurazioni geometriche associate alla evoluzione temporale della patologia oalla variabilità soggettiva. Inoltre, nella prospettiva di uno sfruttamento dellesimulazioni fluidodinamiche nella pratica clinica, un fattore fortemente limi-tante è l’indisponibilità di fluidi dalle caratteristiche reologiche comparabili aquelle del sangue umano.

Lo studio assistito dal calcolatore sta assumendo crescente importanza nel-la ricerca sulle patologie vascolari: gli apparati sperimentali sono fondamen-tali per la validazione dei metodi computazionali, che si candidano come stru-mento di ampio utilizzo in ambito clinico e di ricerca. La modellistica assisti-ta dal calcolatore consente di arricchire nel dettaglio le informazioni ottenuteda altri strumenti diagnostici: ad esempio è possibile aggiungere la stima deicampi di velocità e pressione a dati geometrici (ottenuti da tomografia com-puterizzata o risonanza magnetica) e a misure di flusso (ottenute da risonanzamagnetica o ultrasonografia). Potenziali sviluppi potrebbero portare all’uti-lizzo di simulazioni numeriche in fase di pianificazione e valutazione dell’ef-ficacia a lungo termine di procedure chirurgiche e di protesi vascolari. Ungrande vantaggio dei metodi computazionali è infatti la possibilità di estrapo-lare informazione relativa ad istanti di tempo successivi a quello in cui si sonoottenuti i dati sperimentali.

La sfida da affrontare è l’integrazione di tutte le informazioni utili alla riso-luzione del problema. Le tecniche di medical imaging (CT, MRI, US, . . . ) consen-tono di riprodurre le caratteristiche anatomiche dei distretti in esame: tuttaviale immagini ottenute richiedono tipicamente un processo di elaborazione, perridurre l’effetto distorcente di errori nell’acquisizione dei dati. A questo sco-po sono stati sviluppati software di image processing and editing specificamenteconcepiti per lavorare su immagini provenienti da sistemi scanner (ad esempioMimics della compagnia Materialise). Inoltre l’efficienza dei metodi di calcolodelle grandezze di interesse dipende dalla regolarità delle geometrie riprodot-te: spesso si ricorre a software CAD come Rhinoceros (Robert McNeel & Asso-ciates) per ricostruire le strutture anatomiche, a partire da entità geometricheregolari.

La simulazione di diversi aspetti biofisici della circolazione ematica (motodel fluido-sangue, deformazione della parete-solido, trasporto di massa, . . . ) ela gestione della prospettiva multiscala nelle simulazioni richiedono opportu-

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ne formulazioni matematiche e numeriche del problema e la messa a punto distrategie di validazione. Inoltre il problema emodinamico si rivela tipicamentecomplesso dal punto di vista computazionale: questo spiega la costante ricer-ca di algoritmi di calcolo efficienti e il crescente sfruttamento di architetturehardware a struttura parallela.

Un traguardo da raggiungere è la costruzione di un unico ambiente soft-ware in cui possano essere gestiti in maniera simultanea e pratica i differen-ti aspetti del problema di modellazione e simulazione (un primo tentativo èillustrato in [12]). L’evoluzione della modellistica analitica e numerica nelladirezione di una elevata raffinatezza e affidabilità, coniugata alla semplicità diutilizzo degli strumenti software e hardware, può veicolare l’introduzione distrumenti predittivi in medicina, un campo tuttora prevalentemente dominatoda tecniche diagnostiche.

1.3 Modelli numerici multiscala

Nelle simulazioni numeriche della fluidodinamica del sistema circolatorio,la prospettiva multiscala consente di coniugare la potenza descrittiva dei mo-delli tridimensionali con la capacità, propria dei modelli ridotti, di rappresen-tare ampi distretti vascolari in maniera sintetica e con ridotti tempi di calcolo[13].

Questo lavoro si concentra sul problema specifico dell’accoppiamento tramodelli tridimensionali e monodimensionali. Nel capitolo 2 vengono presen-tate le caratteristiche dei diversi modelli, evidenziando come le informazionirelative al problema fluidodinamico vegano gestite in maniera differente. Inparticolare, vengono indicate le ipotesi semplificative sulla base delle quali èpossibile passare dallo studio di quantità fisiche puntuali allo studio di quantitàmedie.

La risoluzione del problema matematico accoppiato richiede l’interazionedei modelli in corrispondenza dell’interfaccia. Il capitolo 3 analizza diversestrategie che consentono lo scambio dei dati tra i modelli, in modo da garanti-re che il problema sia ben posto. Vengono presentati due algoritmi per la solu-zione dell’accoppiamento tra un modello tridimensionale rigido e un modellomonodimensionale.

I test numerici presentati nel capitolo 4 consentono di individuare l’algorit-mo più efficace, sulla base di un caso semplice di riferimento. Inoltre, appli-cando il modello accoppiato a geometrie vascolari realistiche, è stato possibileriprodurre fenomeni fluidodinamici tipici dell’albero arterioso.

Capitolo 2

La formulazione del modellomatematico

Il sistema circolatorio può essere studiato attraverso la descrizione dell’an-damento temporale e spaziale di alcune quantità, ad esempio geometriche co-me il calibro dei vasi, o fluidodinamiche come la portata e la pressione mediain determinate sezioni vasali. È possibile costruire modelli complessi a partireda semplici componenti elementari, ciascuna delle quali rappresenti un trattodel sistema cardiovascolare. In questo modo in linea di principio si potrebberiuscire a rappresentare tutti i vasi del sistema circolatorio, ma la pratica in-segna che si tratta di un’impresa irrealizzabile: non si conoscono i parametricon cui caratterizzare tutti i singoli componenti del modello, e comunque ladimensione complessiva del problema risulterebbe difficilmente gestibile.

Lo stesso tipo di approccio è utile invece nel caso in cui si limiti l’indaginea specifici fenomeni o a singoli distretti: sono disponibili ad esempio modelli aparametri concentrati per l’albero aortico [14], la circolazione coronarica [15],la circolazione cerebrale [16], la circolazione fetale [10]. In tutti questi casi,le informazioni che si ottengono sono condizionate da un certo grado di ap-prossimazione, dovuto al fatto che ogni componente elementare del modellodescrive delle grandezze “medie” relative alla regione che rappresenta. Inol-tre la topologia delle reti vascolari di solito non è ricostruita nel dettaglio (siconsiderano solo poche ramificazioni) e gli effetti dell’interazione tra il sanguee le pareti sono studiati utilizzando modelli semplificati. Si riesce tuttavia astimare le caratteristiche “aggregate” del sistema, sintetizzando in pochi datigenerali l’informazione relativa a distretti anche estesi o articolati.

Per il calcolo dei dettagli fluidodinamici locali si utilizzano metodi che con-sentono di valutare con precisione, nelle zone di interesse, i profili di velocità,le traiettorie delle singole particelle, i vortici, i flussi secondari, le pressioni e gli

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sforzi di taglio esercitati dalle vene fluide. In questo modo è possibile ricavareinformazioni quantitative sulle condizioni di moto del sangue, che possono es-sere correlate con evidenze cliniche di effetti biologici quali il rimodellamentodelle pareti vascolari [17, 18, 19].

La prima sezione di questo capitolo presenta una analisi delle principaliproprietà fisiche del sistema circolatorio umano. Va notato che il moto delsangue nei grossi vasi è caratterizzato principalmente da aspetti biomeccani-ci, legati alla deformabilità delle strutture vascolari biologiche sollecitate dalflusso ematico. Variabili quali la temperatura o grandezze legate ai processidi interazione biochimica tra fluido e parete vengono prese in considerazionetipicamente nell’emodinamica dei piccoli vasi (capillari e pre-capillari) e nelseguito saranno trascurate.

La natura tridimensionale del problema emodinamico può essere riprodot-ta con i modelli presentati nella sezione 2.2: la risoluzione delle equazioni che licaratterizzano ha però elevati costi computazionali. Spesso è più pratico adot-tare modelli semplificati che, a fronte di una descrizione meno dettagliata, con-sentono una risoluzione numerica meno onerosa. I modelli monodimensiona-li illustrati nella sezione 2.3 studiano la dipendenza delle grandezze medie diinteresse da una sola coordinata spaziale e da una coordinata temporale. I mo-delli a parametri concentrati (sezione 2.4) interpretano come un unico “com-partimento” l’intero dominio tridimensionale, e ne studiano le caratteristichefisiche come funzioni del solo tempo.

2.1 Le caratteristiche del sistema

La pulsatilità è la caratteristica più evidente del flusso del sangue nelle ar-terie: il ciclo di contrazione e rilassamento del cuore induce la comparsa digradienti pressori locali, interpretabili come onde di pressione che propaganonell’intero albero arterioso. Il modello può servire per indagare le caratteri-stiche di questa propagazione, e in che modo l’onda pressoria induca il motodel sangue: un elemento di complessità per le simulazioni numeriche su sca-la temporale di lungo periodo è dato dal fatto che l’ipotesi semplificativa diperiodicità del battito cardiaco è generalmente ammissibile soltanto per bre-vi intervalli di tempo (nei quali il carico dell’apparato cardiovascolare possaessere considerato costante).

Il sangue è un fluido complesso: una sospensione di particelle (eritroci-ti, leucociti, trombociti) in una soluzione acquosa di ioni minerali e proteine(il plasma): è molto complicato descriverne in maniera soddisfacente la reolo-gia, cioè in che modo reagisca alle sollecitazioni che tendono a deformarlo. Il

Capitolo 2. La formulazione del modello matematico 17

comportamento del sangue è influenzato anche da variabili locali (pressione,temperatura, geometria del vaso) e globali (presenza di traumi, infiammazio-ni, . . . ) non costanti nel tempo: per semplificare l’approccio al problema si puòconsiderare il sangue come un fluido omogeneo, ipotesi valida nei grandi emedi vasi dove le condizioni di flusso non sono tali da evidenziare le pecu-liarità reologiche dei diversi componenti ematici. Questo consente di adotta-re modelli semplici per descrivere come il sangue risponda alle sollecitazionimeccaniche: i risultati sono accettabili, ad un primo livello di approssimazio-ne, in condizioni fisiologiche. Altri modelli, più complessi, sono stati propostiper valutare gli aspetti reologici meno banali, in particolare il comportamen-to viscoelastico (ad esempio la capacità di reagire ad una sollecitazione conuna riorganizzazione strutturale piuttosto che con una deformazione macro-scopica) e gli effetti della microcircolazione (in cui non è valida l’ipotesi diomogeneità) [20, 21].

Fenomeni di turbolenza possono rendere particolarmente insidiosa la risolu-zione del problema, perchè producono un comportamento fortemente caoticonel sangue: in queste condizioni di irregolarità spaziale e temporale i model-li vedono ridotta la propria capacità predittiva. Generalmente in condizionifisiologiche il sistema cardiovascolare non è interessato da fenomeni di turbo-lenza: anche la pulsatilità gioca un ruolo stabilizzatore, riducendo il tempodisponibile per il completo sviluppo di disturbi di flusso locali o occasiona-li. Questo rende accettabile l’ipotesi di flusso laminare nella risoluzione del-la stragrande maggioranza dei problemi emodinamici, anche se fenomeni diinstabilità di flusso possono essere associati al moto del sangue nelle grossearterie nell’istante di picco sistolico (per la presenza di velocità molto elevate),o anche in corrispondenza di alterazioni patologiche nella geometria dei vasi(in tal caso la turbolenza può incentivare il progresso dell’aterosclerosi).

Il problema meccanico di interazione tra fluido e parete associato alla propa-gazione delle onde pressorie nella massa fluida incomprimibile è rilevante peri grossi vasi, per i quali la variazione del raggio è significativa (5 − 10%) tradiastole e sistole. Le sollecitazioni scambiate tra sangue e parete influenzanoil comportamento del flusso: questo giustifica l’adozione di modelli anche raf-finati per la meccanica del tessuto vascolare e lo sviluppo di metodi di calcolospecificamente progettati per gestire l’interazione tra fluido e struttura. Lostudio del flusso presso la parete vascolare può essere interessante anche perdescrivere i caratteristici fenomeni biologici e di trasporto che vi si localizzano[22, 23]: tuttavia si richiede un livello di dettaglio superiore, per il quale moltedelle approssimazioni considerate in questo lavoro non sono valide ed in ognicaso l’aspetto fluidodinamico non è più l’oggetto di interesse primario.

Per studiare un volume di sangue Ω come quello rappresentato in figura

18

PSfrag replacementsΓin

Γout1

Γout2

Γout3Γout

4

Γw

Ω

FIGURA 2.1: Un possibile dominio computazionale Ω relativo aduna sezione del sistema vascolare

2.1 occorre definirne il contorno: la superficie Γw corrisponde al confine fisi-co determinato dalla parete vascolare, mentre le Γin, Γout

j sono scelte arbitra-riamente, “tagliando” idealmente il vaso e separandolo dal resto del sistemacircolatorio.

Il moto del sangue in Ω è descritto dalla meccanica dei mezzi continui: imodelli presentati nelle sezioni seguenti si basano sulla traduzione matemati-ca del principio di conservazione della massa e del principio di conservazionedella quantità di moto. Per risolvere i problemi differenziali che ne derivano, ènecessario conoscere il valore delle incognite sul contorno del dominio. Que-sto è particolarmente complesso in corrispondenza delle sezioni “artificiali”Γin, Γout

j : per rendere conto della presenza dei distretti vascolari adiacenti, oc-corrono misure (generalmente valori di portata o pressione media) che posso-no essere difficili da ricavare in regioni a geometria complessa. Inoltre, perchèi problemi differenziali siano ben posti, i dati misurati vanno opportunamen-te tradotti in condizioni al bordo: questo talvolta richiede tecniche particolari(come discusso nel prossimo capitolo).

2.2 Il modello tridimensionale

Sia Ω un dominio tridimensionale aperto, limitato, connesso e con contor-no orientabile e lipschitziano; per ogni istante di tempo in un dato intervallo,t ∈ I = (t0, t1), si definisce una applicazione Lagrangiana Lt : Ω0 → Ωt cheassocia la configurazione al tempo t del dominio a quella iniziale o materialeΩ0. Tramite Lt è possibile definire la traiettoria di una particella che occupi


una certa posizione x ∈ Ωt nello spazio:

Tξ = (t, x(t, ξ)), t ∈ I

e quindi ricostruirne la posizione ξ ∈ Ω0 occupata nell’istante di tempo t0.L’applicazione Lagrangiana è assunta essere biiettiva e quindi ogni punto

x ∈ Ωt può essere visto come immagine di un punto ξ ∈ Ω0. Qualsiasi cam-po (scalare, vettoriale, tensoriale) definito sul dominio Ωt può essere espressoindifferentemente in funzione delle variabili euleriane (t, x) o lagrangiane (t, ξ).Siano ad esempio

f : I × Ωt → R, f : I × Ω0 → R ;

due campi scalari espressi rispettivamente in coordinate euleriane e lagrangia-ne. In ogni istante di tempo i due campi coincidono, per effetto dell’applica-zione Lagrangiana che associa i punti tra i due domini:

f(t, ξ) = f(t, x) con x = Lt(ξ)

Ne consegue che il campo euleriano f ed il campo lagrangiano f rappresenta-no la stessa quantità fisica ma con una diversa prospettiva. In particolare, sidefinisce la derivata materiale o lagrangiana del campo f in un punto x:

Df

Dt: I × Ωt → R DERIVATA MATERIALE

Df

Dt(t, x) =

∂f

∂t(t, ξ) =

d

dtf(t, x(t, ξ))

(2.1)

che può essere espressa come somma di due contributi

Df

Dt=

∂f

∂t

x∈Ωt

+ u · ∇f (2.2)

∂f

∂trappresenta la variazione della quantità f nel punto x fissato nel dominio

(derivata euleriana); u·∇f tiene conto del fatto che il punto x si muove nel tem-po lungo la traiettoria Tξ con una velocità u, e questo determina un contributoconvettivo alla variazione di f .

Sia ora Vt ⊂ Ωt un generico volume spaziale; in un certo istante di tempo,esso può essere visto come l’immagine di un volume V0 attraverso l’applica-zione Lagrangiana (figura 2.2):

V0 ⊂ Ω0 , Vt = Lt(V0)

20

PSfrag replacements Ωt

Ω0

ξ

x = x(t, ξ)

t = t0

Lt

e1

e2e3

FIGURA 2.2: L’applicazione Lagrangiana; ei, i = 1, 2, 3 costituisco-no la base ortonormale che definisce un sistema dicoordinate cartesiane su R

3

La densità di massa ρ associata ai punti di Vt è la quantità che integrata sulvolume corrente dà la massa m del materiale contenuto:

∫

Vt

ρ = m(Vt)

Il principio di conservazione della massa applicato a Vt è espresso in formaintegrale:

d

dt

∫

Vt

ρ = 0

ovvero, applicando il teorema del trasporto di Reynolds [24]:∫

Vt

(Dρ

Dt+ ρ∇ · u

)= 0

Con l’ipotesi di continuità nello spazio dei termini sotto il segno di integrale egrazie all’arbitrarietà di Vt è possibile scrivere l’equazione di continuità in formadifferenziale:

Dρ

Dt+ ρ∇ · u = 0

Se la derivata materiale di ρ è nulla, l’equazione di continuità si riduce alvincolo cinematico di incomprimibilità

∇ · u = 0 (2.3)

che esprime la conservazione del volume del fluido nel tempo.


Il principio di conservazione della quantità di moto descrive l’effetto ditutte le forze agenti sul fluido:

d

dt

∫

Vt

ρ(t, x)u(t, x)dx =

∫

Vt

ρ(t, x)fm(t, x)dx+

+

∫

∂Vt

t(t, x, n)dσ , ∀t ∈ I, ∀Vt ⊂ Ωt

dove fm : I × Ωt → R3 è il campo vettoriale che rappresente la forza specifica

di massa; t : I × Ωt × n ∈ R3 : ‖n‖ = 1 → R

3 è lo sforzo di Cauchyche, integrato sulla superficie del volume considerato, equivale al risultantedelle forze di continuità agenti sul volume stesso (se sono presenti forze disuperficie, lo sforzo di Cauchy coincide con lo sforzo applicato). Sfruttando ilteorema del tensore degli sforzi di Cauchy [24] si trova:

t(t, x, n) = T (t, x) · n, ∀t ∈ I, ∀x ∈ Ωt, ∀n ∈ R3 : ‖n‖ = 1 ,

T : I × Ωt → R3×3 TENSORE DEGLI SFORZI

(2.4)

e quindi:

d

dt

∫

Vt

ρu =

∫

Vt

ρfm +

∫

∂Vt

T · n

=

∫

Vt

(D

Dt(ρu) + ρu∇ · u

)=

∫

Vt

ρDu

Dt

Applicando il teorema della divergenza e passando alla forma differenzia-le (nell’ipotesi di continuità nello spazio di tutti i temini integrandi e vistal’arbitrarietà di Vt) si ottiene:

ρDu

Dt−∇ · T = ρfm

L’accelerazione del fluido può essere riscritta facendo comparire esplicitamen-te la derivata euleriana della velocità e un termine di natura convettiva (legatocioè al gradiente spaziale del campo di velocità):

ρ∂u

∂t+ ρ(u · ∇)u −∇ · T = ρfm

Il tensore degli sforzi T può essere riscritto come funzione delle quantità ci-nematiche relative al fluido. Il comportamento del sangue nelle grosse e me-die arterie di geometria semplice può essere assimilato a quello di un fluidonewtoniano incomprimibile [25]. Questo significa assumere

T = −PI + µ(∇u + ∇uT )

22

dove P è la pressione idrostatica e µ > 0 la viscosità dinamica (indipendentedalle grandezze cinematiche). Definendo il tensore gradiente di deformazione

D(u) =∇u + ∇uT

2

è possibile riscrivere l’equazione di conservazione della quantità di moto:

ρ∂u

∂t+ ρ(u · ∇)u + ∇P − 2∇ · (µD(u)) = ρfm (2.5)

Essendo ρ costante e introducendo p =P

ρ(pressione scalata) e ν =

µ

ρ(viscosità

cinematica) si ottiene:

∂u

∂t+ (u · ∇)u + ∇p − 2∇ · (νD(u)) = fm

Le equazioni di conservazione della massa (2.3) e di conservazione dellaquantità di moto (2.5), scritte per un fluido incomprimibile (ρ costante) e conviscosità costante, sono note come equazioni di Navier-Stokes. Si tratta diequazioni differenziali nelle variabili u e p, ambientate in un dominio compu-tazionale Ω ⊆ Ωt che rappresenta una regione spaziale fissa attraverso la qualeil fluido scorre (approccio euleriano). A tali equazioni vanno associate condizioniiniziali

u(t = t0, x) = u0(x), x ∈ Ω (2.6)

e condizioni al contorno. Nelle simulazioni emodinamiche tipicamente si con-siderano due sottoinsiemi misurabili della frontiera ∂Ω del dominio, ΓN e ΓD

tali che ΓN ∪ ΓD = ∂Ω e ΓN ∩ ΓD = ∅: è possibile assegnare lo sforzo te :I × ΓN → R

3 (condizioni di Neumann)

T · n = −Pn + 2µD(u) · n = te su ΓN ⊂ ∂Ω (2.7)

oppure la velocità g : I × ΓD → R3 (condizioni di Dirichlet)

u = g su ΓD ⊂ ∂Ω (2.8)

Nel caso in cui ΓN = ∅ il problema si dice di Dirichlet ed in questo caso, essendo∇ · u = 0 in Ω, risulta

∫

Ω

∇ · u =

∫

∂Ω

u · n =

∫

∂Ω

g · n = 0, ∀t ∈ I

cioè il flusso del vettore g attraverso la frontiera del dominio deve essere nullo.


Per imporre la condizione (2.8) occorre conoscere il profilo di velocità suΓD, mentre per la (2.7) è necessaria la conoscenza dello stato di sforzo su ΓN .Nella pratica delle simulazioni emodinamiche si cercano valori ragionevolisulla base di misure o di considerazioni a priori sulle caratteristiche del flusso.In particolare, ricordando la figura 2.1, in corrispondenza del tratto di bordoΓw, che rappresenta la superficie laterale del vaso, si impone la condizione diperfetta aderenza delle particelle del fluido alla parete, cioè una condizione diDirichlet

u = 0 su Γw ⊆ ΓD

Per quanto riguarda le sezioni “artificiali”, essendo tipicamente disponibilisoltanto dati medi (velocità media o portata), si può scegliere di ipotizzare unprofilo realistico di velocità (ad esempio il profilo di Womersley [26], spessopreso in considerazione per i problemi emodinamici). L’approccio utilizzatoin questo lavoro è invece basato su una formulazione variazionale aumentatadel problema di Navier-Stokes, ed è illustrato più diffusamente nel prossimocapitolo (sezione 3.2.3).

Per definire le condizioni di Neumann si sceglie spesso un valore di sforzocostante e normale alla sezione te = pen, dove pe è un valore misurato dipressione media sulla sezione. Nel caso in cui ΓN rappresenti una sezionedi efflusso, si usa comunemente porre pe = 0. Le condizioni di Neumannche ne derivano corrispondono alla situazione idraulica di scarico libero inatmosfera: per questo motivo non sono rigorosamente adatte alla descrizionedella fluidodinamica della rete vascolare, che è un circuito chiuso.

2.3 Il modello monodimensionale

Una prima formulazione di un semplice modello monodimensionale per ilflusso del sangue in vasi espansibili è dovuta ad Eulero, che tuttavia non riuscìa risolvere il sistema di due equazioni differenziali a derivate parziale che logoverna 1.

Il dominio spaziale considerato Vt ⊂ Ωt è un tubo cilindrico a sezione cir-colare che intende rappresentare un tratto di arteria privo di biforcazioni. Inun sistema di riferimento a coordinate cilindriche (r, θ, z), nel quale si indichi-no con er, eθ e ez i versori radiale, circonferenziale e assiale, il tubo si estende

1“In motu igitur sanguinis explicando easdem offendimus insuperabiles difficultates, quaenos impediunt omnia plane opera Creatoris accuratius perscrutari; ubi perpetuo multo ma-gis summam sapientiam cum omnipotentia coniunctam admirari ac venerari debemus, cumne summum quidem ingenium humanum vel levissimae vibrillae veram structuram perci-pere atque explicare valeat.” Euler Leonhard (1775), Principia pro motu sanguinis per arteriasdeterminando, 43.

24

da z = 0 a z = l e la sua lunghezza l è costante nel tempo. Ulteriori ipotesisemplificative sono

1. Simmetria assiale: tutte le quantità sono indipendenti dalla coordinata ci-lindrica angolare. Questo implica in particolare che tutte le sezioni assia-li rimangono circolari durante il movimento della parete (il raggio R deltubo è funzione soltanto di z e di t);

2. Spostamenti solo radiali della parete: η = ηer, dove η = R − R0 è lo spo-stamento rispetto al raggio di riferimento R0. Gli spostamenti assialivengono trascurati, sulla scorta di evidenze sperimentali, evitando dicomplicare pesantemente il modello;

3. Asse del cilindro in posizione fissa nel tempo: ipotesi consistente con quella disimmetria assiale, ma che non consente di valutare eventuali effetti dovu-ti allo spostamento dell’asse (che avvengono ad esempio nelle coronarieper effetto del movimento del cuore);

4. Pressione costante su ogni sezione assiale: anche P dipende soltanto da z eda t;

5. Assenza di forze specifiche di massa: l’eventuale introduzione della forza digravità è tecnicamente immediata (più complesso ma fattibile considera-re le modifiche della forza di gravità nel passaggio tra diverse posture)

6. Predominanza della velocità assiale uz: si trascurano le componenti di velo-cità ortogonali all’asse del cilindro.

Le equazioni di Navier-Stokes, scritte per i punti del dominio Vt, si riduco-no così alle seguenti:

∂uz

∂t+ ∇ · (uzu) +

1

ρ

∂P

∂z− ν4uz = 0 (2.9a)

∇ · u = 0 (2.9b)

che sono scritte ∀x ∈ Vt. Le grandezze di interesse nel modello monodimen-sionale sono invece relative alle sezioni assiali S = S(t, z) del dominio: l’areaA

A(t, z) =

∫

S(t,z)

dσ = πR2(t, z) = π(R0 + η(t, z))2 (2.10)

la portata Q

Q =

∫

Suzdσ = Au ,


la velocità media

u = A−1

∫

Suzdσ

e la pressione media P . La stima della quantità di moto della corrente in S,ottenuta attraverso la velocità media, è un’approssimazione per difetto dellaquantità di moto effettiva. Si introduce un coefficiente di ragguaglio α2 ≥ 1(secondo coefficiente di Coriolis):

α2 =

∫S u2

zdσ

Au2 (2.11)

α2 dipende dal profilo di velocità considerato: nel caso di profilo parabolico(che corrisponde alla ben nota soluzione di Poiseuille per flusso stazionarioin tubi cilindrici a sezione circolare) si ha α2 = 4

3, mentre se il profilo è piatto

risulta α2 = 1; il flusso ematico nelle arterie ha tipicamente un profilo piutto-sto piatto, per il quale α2 = 1.1 è un valore ragionevole. In questo modello ilprofilo di velocità è supposto costante in tempo e spazio (rappresenta la confi-gurazione “media” del flusso): di conseguenza α2 risulta costante nel tempo enello spazio.

L’integrazione delle (2.9) sulla generica sezione S conduce alle forme ridot-te della equazione di continuità

∂A

∂t+

∂Q

∂z= 0 (2.12a)

e della equazione di conservazione della quantità di moto

∂Q

∂t+ α2

∂

∂z

(Q2

A

)+

A

ρ

∂P

∂z+ Kru = 0 (2.12b)

dove il termine viscoso risulta molto semplificato nell’ipotesi che ∂uz

∂tdia un

contributo trascurabile al bilancio. Kr è un parametro di frizione che dipendedal tipo di profilo di velocità scelto: generalmente si utilizza un valore Kr =8πν proprio di un profilo parabolico; un’altra possibile scelta è Kr = 22πν checorrisponde ad un profilo piatto, più realistico.

Il sistema di due equazioni (2.12) in tre incognite (A, Q, P ) richiede di esserecompletato ad esempio con una relazione fra la pressione e l’area. Un modellomeccanico semplificato per la struttura della parete vascolare trascura l’effettodei termini inerziali e considera predominanti gli sforzi elastici in direzionecirconferenziale: ne deriva una relazione algebrica tra lo sforzo normale eser-citato dal fluido (nel caso in esame è la sola pressione P ) e la conseguente

26

deformazione della parete (ovvero la variazione dell’area A della sezione deltubo):

P (t, z) − Pext = ψ(A(t, z); A0(z), β(z)) (2.13)

Nel caso più generale vanno evidenziate la dipendenza dall’area della sezio-ne in condizioni di riposo A0 = πR2

0 e da un insieme di coefficienti β =(β0,β1, . . . ,βp) legati alle caratteristiche meccaniche della parete del vaso (ge-neralmente funzioni note di z). Pext indica la pressione esercitata dai tessuticircostanti e spesso è considerata nulla.

Sviluppando la legge elastica lineare per un vaso cilindrico ed essendo

η =(√

A −√

A0)√π

si ottiene

ψ(A; A0,β0) = β0(√

A −√

A0)

A0

(2.14)

nella quale β = β0 =√πh0E

1−ξ2 ; ξ è il coefficiente di Poisson, E il modulo di Younge h0 lo spessore della parete.

Un’altra espressione usata spesso è

ψ(A; A0, β) = β0

[(A

A0

)β1

− 1

](2.15)

con β = (β0, β1); β0 > 0 è un coefficiente elastico e β1 è un parametro checonsente di riprodurre la curva di risposta sforzo-deformazione ricavata spe-rimentalmente. Nel caso in cui β1 = 1

2e β0 =

√πh0E

(1−ξ2)√

A0

= β0√A0

, la (2.15) e la(2.14) coincidono.

Esplicitando la (2.13) è possibile eliminare l’incognita P dall’equazione diconservazione della quantità di moto, in modo che le (2.12) assumono la forma

∂

∂tU + H(U)

∂U

∂t+ S(U) = 0 (2.16a)


PSfrag replacements

t

z1(t)

z2(t)

z = 0 z = l

z

(t, z)

FIGURA 2.3: Ciascun punto del dominio (t, z) è raggiunto da unacoppia di linee caratteristiche (rettilinee in questocaso)

dove

U =

[AQ

](2.16b)

H(U) =

0 1A

ρ

∂ψ

∂A− α2

Q

A

2

2α2Q

A

(2.16c)

S(U) =

0

Kr

Q

A+

A

ρ

∂ψ

∂A0

dA0

dz+

A

ρ

∂ψ

∂β

dβ

dz

(2.16d)

Il termine S(U) tiene conto anche delle variazioni di A0 e β rispetto a z: inquesto modo il modello descrive il fatto che caratteristiche meccaniche o geo-metriche non uniformi lungo il vaso “immettono” o “sottraggono” quantità dimoto nel sistema.

Riarrangiando i termini, è possibile riscrivere le (2.12) in forma conservati-va:

∂

∂tU +

∂

∂z[F (U)] + B(U) = 0 (2.17)

In questo caso, la variazione temporale di U viene legata alla divergenza delsuo flusso F (U) e alla presenza del termine sorgente B(U).

Utilizzando la (2.14) si verifica che il sistema non lineare (2.12) è iperbo-lico. Infatti, la matrice S(U) è diagonalizzabile nell’ipotesi (fisicamente ra-

28

gionevole) A > 0 ed è possibile [27] riformulare il problema nelle variabilicaratteristiche W (U):

∂W

∂t+ Λ

∂W

∂z+ G(W ) = 0 (2.18)

dove Λ = diag(λ1, λ2) ha sulla diagonale principale gli autovalori di S(U).Ogni punto (t, z) del dominio (t ∈ I = [t0, t1], z ∈ [0, l]) è raggiunto da una

coppia di linee caratteristiche z1(t) e z2(t) (figura 2.3), lungo le quali le (2.18) siriducono ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie, cioè

d

dtWi(t, zi(t)) + Gi(W1, W2) = 0, i = 1, 2 (2.19)

Le (2.19) consentono di apprezzare il meccanismo di “propagazione” propriodei sistemi iperbolici: le condizioni al contorno del dominio spazio-temporaleforniscono i valori di “partenza” delle Wi, che vengono “trasportati” all’inter-no del dominio lungo le zi.

Nella simulazione del sistema circolatorio in condizioni fisiologiche, occor-re tipicamente imporre esattamente una condizione su ciascun bordo (z = 0e z = l): ad esempio, se in corrispondenza del bordo z = 0 la variabile carat-teristica W1 è “entrante” (cioè propaga all’interno del dominio lungo le lineecaratteristiche), la condizione al bordo da imporre è del tipo:

W1(t) = g1(t), ∀t ∈ I, z = 0 (2.20)

g1 è una funzione nota del tempo, che può essere ottenuta a partire da dati fisicinoti sul bordo (ad esempio valori misurati di pressione media Pm e portataQm), utilizzando la definizione della variabile caratteristica di interesse

W1(A, Q) = W1(ψ−1(Pm(t) − Pext), Qm(t)), t ∈ I, z = 0

Nel caso in cui si abbia a disposizione soltanto l’andamento nel tempo q(t)di una variabile fisica Φ = Φ(A(t), Q(t)) (ad esempio la pressione), si possonoformulare condizioni del tipo:

Φ(A(t), Q(t)) = q(t), ∀t ∈ I, z = 0 (2.21)

Per la buona posizione del problema emodinamico risultano ammissibili con-dizioni di questo tipo sulla pressione media, sulla pressione totale oppure sullaportata [27].

Una importante classe di condizioni al bordo sono le cosiddette condizio-ni assorbenti o “non riflettenti” il cui significato matematico è non ammette-re variabili caratteristiche entranti su porzioni del bordo. Ad esempio, se


W1 è entrante nel dominio in corrispendenza di z = 0, si può imporre chel’informazione in essa contenuta non propaghi nel dominio:

∂W1

∂t+ R1(W1, W2) = 0, su z = 0

dove R1 si ottiene a partire dal termine sorgente della (2.17) [27].

2.4 Il modello a parametri concentrati

Per ottenere un modello a parametri concentrati o “zero-dimensionale”(definizione che evidenzia l’indipendenza delle variabili dalle coordinate spa-ziali) di un vaso cilindrico espansibile occorre proseguire nel ragionamentoiniziato nella sezione precedente: valgono le stesse ipotesi semplificative, checonducono ancora alle equazioni (2.12).

A questo punto occorre integrare ulteriormente lungo la coordinata assialez ∈ (0, l); definendo la portata media nell’intero distretto

Q =1

l

∫

Vt

uzdv =1

l

∫ l

0

∫

S(z)

uzdσdz =1

l

∫ l

0

Qdz,

e la pressione media nell’intero distretto

p =1

l

∫ l

0

Pdz

si ottiene per l’equazione di continuità∫ l

0

∂A

∂tdz +

∫ l

0

∂Q

∂zdz = 0 (2.22)

Considerando per la pressione la semplice relazione algebrica (2.14) e os-servando che ne discende

∂A

∂t= k1

∂P

∂tcon k1 =

3πR30

2Eh

è possibile riscrivere la (2.22):

k1ldp

dt+ Q2 − Q1 = 0 (2.23)

dove, ricordando la definizione di portata volumica attraverso la sezione S(t, z),

Q(t, z) =

∫

S(t,z)

uzdσ,

30

si è posto per semplicità

Q1(t) = Q(t, 0), Q2(t) = Q(t, l)

L’integrazione della equazione di conservazione della quantità di motoproduce una equazione integrale non lineare nelle variabili Q, A e P : per otte-nerne una approssimazione lineare si introducono alcuni ipotesi aggiuntive:

1. Il contributo dei termini convettivi (della forma(

Q2

2

A2− Q2

1

A1

), con ovvio

significato dei termini A1 e A2) è trascurabile: questo è ragionevole pertubi corti, nei quali Q1 ' Q2 e A1 ' A2

2. La variazione di A rispetto a z è trascurabile rispetto alla variazione di Pe Q

L’equazione di conservazione della quantità di moto per il modello a parametriconcentrati assume ora la forma:

ρl

A0

dQ

dt+ρKrl

A20

Q + P2 − P1 = 0 (2.24)

Il processo di integrazione ha generato nelle (2.24), (2.23) dei coefficientiche sintetizzano le caratteristiche fisiche e geometriche elementari del sistemameccanico in esame:

R Nella (2.24), R := ρKrl

A2

0

rappresenta la resistenza opposta al flusso ematicodalla viscosità; se il profilo di velocità è parabolico risulta

R =8µl

πR40

L Nella (2.24), L := ρl

A0= ρl

πR0rappresenta i termini inerziali nella legge di

conservazione della quantità di moto e prende il nome di induttanza

C Nella (2.23), C := k1l =3πR3

0l

2Ehrappresenta il coefficiente di accumulo di

massa nella equazione di continuità, dovuto all’espansibilità del vaso: èl’equivalente di una capacità

Introducendo tali coefficienti nelle (2.24), (2.23) si ottiene

Cdp

dt+ Q2 − Q1 = 0

LdQ

dt+ RQ + P2 − P1 = 0

(2.25)


che è una sintetica descrizione del flusso ematico in un vaso cilindrico espan-sibile, ottenuta attraverso i valori di portata e pressione medi nel dominio (Q,p) e relativi alle sezioni di ingresso e uscita (Qi e Pi, i = 1, 2).

La dinamica del sistema è rappresentata dalle variabili sotto il segno de-rivata temporale (le variabili di stato): Q e p. Attraverso il processo di inte-grazione, le condizioni al bordo del problema tridimensionale diventano datimedi relativi alle sezioni di ingresso e di uscita. Ad esempio, se sono noti Q1

e P2, è pratico (e ragionevole se il tubo è corto) approssimare le altre incognite“ai bordi” Q2 e P1 con le variabili di stato:

p ≈ P1, Q ≈ Q2

in modo che risulti

CdP1

dt+ Q2 = Q1

LdQ2

dt+ RQ2 + P2 = P1

(2.26)

PSfrag replacements

P1

Q1

P2

Q2

L R

C

FIGURA 2.4: Rete elettrica ad L

La (2.26) è formalmente identica al sistema di equazioni differenziali chedescrive una rete elettrica ad L [27] (vedi figura 2.4), quando la portata ematicasvolga il ruolo della corrente mentre la pressione sia assimilata alla tensione.

Nel caso in cui siano assegnate la pressione P1 e la portata Q2, le variabilidi stato sono approssimate dal P2 e Q1, e si ottiene il sistema:

CdP2

dt+ Q1 = Q2

LdQ1

dt+ RQ1 + P2 = P1

(2.27)

32

PSfrag replacements

P1

Q1

P2

Q2

L R

C

FIGURA 2.5: Rete elettrica ad L invertita

In figura 2.5 è rappresentata la rete elettrica ad L invertita, che è descrittadal sistema (2.27). Altre due possibili configurazioni si ottengono nel caso incui siano disponibili diversi dati in corrispondenza delle sezioni di ingresso euscita.

I modelli monodimensionali così ottenuti consentono di rappresentare inmaniera sintetica il problema fluidodinamico tridimensionale. In particolare,la configurazione ad L corrisponde al caso in cui il problema di Navier-Stokesdi partenza sia dotato di condizioni di Dirichlet sulla sezione di ingresso edi condizioni di Neumann sulla sezione di uscita. Analogamente, le altre treconfigurazioni corrispondono alle possibili combinazioni delle condizioni albordo disponibili.

L’analogia elettrica consente di sfruttare la teoria dei circuiti per analiz-zare le possibili connessioni tra diversi modelli a parametri concentrati, chepossono simulare reti vascolari anche molto complesse.

Nel caso di moto stazionario, il modello a parametri concentrati del vasoespansibile si riduce ad una relazione algebrica, corrispondente ad una retepuramente resistiva: è l’assunzione tipica nello studio dei distretti capilla-ri, nei quali l’effetto della pulsatilità del flusso è quasi totalmente annullatodall’espansibilità delle grosse arterie.

Capitolo 3

Metodi numerici perl’accoppiamento di modellieterogenei

Modelli progettati per simulare uno stesso fenomeno fisico a diverse scalespaziali o temporali gestiscono in maniera diversa l’informazione associata aipunti del dominio. Nel capitolo precedente è stato illustrato come il model-lo monodimensionale e quello a parametri concentrati “integrino” (nel sensodella media) l’informazione contenuta nel modello tridimensionale: i valori dipressione e di portata sono relativi a intere sezioni S o a interi volumi V deldominio Ωt.

I problemi matematici alla base dei modelli per la fluidodinamica hannonatura differenziale: la descrizione dell’evoluzione (nel tempo o nello spazio)delle grandezze di interesse richiede la conoscenza di valori “iniziali”, a par-tire dai quali cioè estrapolare l’andamento su tutto il dominio. Le equazionidi Navier-Stokes (2.3), (2.5) necessitano di valori al bordo per ciascun puntoappartenente alla frontiera del dominio: valori “medi” associati a interi insie-mi di punti sono una informazione di per sè insufficiente per la buona posi-zione del problema. Allo stesso modo, nelle equazioni “ridotte” (2.12), (2.25)l’informazione puntuale non è visibile (come se le quantità “medie” non la“percepissero”).

Per risolvere problemi “accoppiati” bisogna sapere tradurre l’informazio-ne in modo che modelli diversi possano tra loro comunicare. Nella sezione3.1 viene analizzato il caso dell’accoppiamento tra un modello tridimensio-nale e un modello monodimensionale: in corrispondenza della superficie diinterfaccia i due modelli devono descrivere la stessa realtà fisica.

Nella sezione 3.2 vengono proposte delle strategie risolutive per il proble-

33

34

PSfrag replacements

Γ1

Ω3D

Γa

z = a

Ω1D

Γ2

z

FIGURA 3.1: Accoppiamento tra un modello 3D e un modello 1D

ma accoppiato. Viene discusso in particolare il caso in cui il modello 3D siarigido: nelle simulazioni emodinamiche si trascura spesso la deformazionedella parete nel dominio tridimensionale, allo scopo di limitare i costi compu-tazionali.

3.1 Modelli 3D e 1D

Siano Ω3D e Ω1D i due domini rappresentati in figura 3.1: per il primo vie-ne formulato un modello tridimensionale basato sulle equazioni di Navier-Stokes, per il secondo un modello semplificato monodimensionale. Supponia-mo che Ω1D “prolunghi” Ω3D nel senso che Ω1D ∪ Ω3D rappresenti un unicotubo senza soluzione di continuità.

Γa rappresenta l’interfaccia tra i due domini: nel modello monodimensio-nale coincide con la sezione di ascissa a, mentre nel modello tridimensionale èuna porzione del bordo ∂Ω3D .

Le informazioni considerate dai due modelli, relative ai due diversi domini,devono descrivere la stessa situazione fisica su Γa: a priori è sensato aspettar-si che alcune quantità (la portata, la pressione) coincidano in corrispondenzadell’interfaccia. I due tipi di modello tuttavia sono concepiti per cogliere di-versi aspetti fisici del flusso del sangue nel vaso, e sono capaci di un diversogrado di dettaglio nella riproduzione delle caratteristiche fluidodinamiche.

3.1.1 Il trattamento della parete

La modellazione di vasi deformabili richiede lo studio dell’interazione trail fluido (sangue) e la parete del vaso. Il comportamento meccanico dei solidicontinui è caratterizzato dalla legge costitutiva, espressa come un legame tra lequantità dinamiche (il tensore degli sforzi di Cauchy, (2.4)) e le quantità cine-matiche (il gradiente di deformazione, [24]). Come nel caso del problema mec-

Capitolo 3. Metodi numerici per l’accoppiamento di modelli eterogenei 35

FIGURA 3.2: La parete vascolare è formata da strati di materiali condifferenti proprietà meccaniche [28]

PSfrag replacements

3D 2D 1D

FIGURA 3.3: Differenti modelli per la parete del vaso

36

canico per il fluido, è possibile formulare modelli tridimensionali, che siano ingrado ad esempio di tenere in considerazione la complessità strutturale dellaparete vascolare (figura 3.2). Tuttavia spesso si ricorre a modelli ridotti (figu-ra 3.3), in virtù della loro bassa complessità computazionale, approssimandoopportunamente la geometria della parete [24].

Nell’ottica della modellazione multiscala, è possibile scegliere un unicomodello per il problema solido, da sfruttare cioè tanto nel dominio Ω3D quan-to in Ω1D. In questo modo si ottiene una trattazione uniforme del problemastrutturale nell’intero dominio Ω3D ∪ Ω1D, rinunciando però alla potenza de-scrittiva dei modelli tridimensionali. È anche possibile differenziare la descri-zione della struttura, declinandola nelle forme più coerenti all’impostazionedel problema in ciascun dominio. Tipicamente si adottano modelli strutturalipiù raffinati per il problema di interazione con il fluido nel dominio Ω3D. Intal caso, in fase di accoppiamento con il problema in Ω1D, è necessario valutarecon attenzione il comportamento dei diversi modelli scelti, tarandoli in mododa renderli compatibili.

D’altra parte va notato che la risoluzione del problema di Navier-Stokes inun dominio mobile nel tempo risulta molto onerosa dal punto di vista com-putazionale, tanto che spesso, nelle simulazioni emodinamiche, si preferiscetrascurare gli effetti dell’espansibilità concentrandosi su quanto la geometriadel vaso possa determinare i campi di velocità e pressione. In questo caso ilmodello definito sul dominio Ω3D descrive un tratto di vaso non deformabile,cioè la cui parete sia rigida, e l’accoppiamento con modelli monodimensionaliespansibili richiede un trattamento particolare, come si vedrà nel seguito.

3.1.2 Il trattamento dell’interfaccia

Con riferimento alla figura 3.1, si indica con f(a−) il valore assunto dallavariabile f su Γa, dove Γa sia interpretata come una porzione di ∂Ω3D ; ana-logamente f(a+) è il valore di f in corrispondenza dell’ascissa a del dominioΩ1D.

Il problema fisico suggerisce che in corrispondenza della superficie di in-terfaccia Γa sia sensato assumere la continuità di alcune quantità [29]:

[A] portata:Q(a−) = Q(a+)

[B] pressione media:p(a−) = p(a+)


[C] area:A(a−) = A(a+)

[D] pressione totale:Pt(a

−) = Pt(a+)

[E] variabile caratteristica entrante in Ω1D (ricordando la (2.20)):

g1(t; a−) = W1(a

+)

Ovviamente, le condizioni [A]-[E] non sono indipendenti l’una dalle altre:la continuità di alcune grandezze è conseguenza della continuità delle altre.

Le quantità considerate sono esprimibili in ciascun dominio in funzionedelle variabili considerate dai differenti modelli. All’istante di tempo t, levariabili U(t, z) = [A(t, z) Q(t, z)]T del modello 1D (definite nella (2.16b))forniscono le quantità:

A(a+) = U1(t, a+)

Q(a+) = U2(t, a+)

p(a+) = Pext(a+) +ψ(A(a+)) ricordando (2.13)

Pt(a+) = p(a+) + α1

1

2ρ

(Q(a+)

A(a+)

)2

Si definiscono le stesse quantità per il modello 3D, a partire dalle variabiliu(t, x), p(t, x):

A(a−) =

∫

Γa

dσ ricordando (2.10)

p(a−) =1

A(a−)

∫

Γa

p dσ

Q(a−) =

∫

Γa

u · n dσ

Pt(a−) = p(a−) + α1

1

2ρ

(Q(a−)

A(a−)

)2

Se il modello 3D è in grado di riprodurre l’espansibilità del vaso, si assumeanche che in corrispondenza di Γa lo spostamento della parete sia funzionedell’area:

η|Γa= η(A(a−)) (3.1)

38

PSfrag replacements

a − dz2

a

a + dz2

z

Γ1

Γ2

FIGURA 3.4: Il problema della discontinuità dell’area nel caso didifferente trattamento del problema della strutturanei due domini

ad esempio, nel caso semplice di spostamenti solo radiali e Γa circolare,

η|Γa=

(√A(a−)

π− R0

)er

La condizione [A] è fondamentale: deve essere imposta esplicitamente ogarantita da un opportuno insieme di altre condizioni. Il fatto che non ci sianoviolazioni del principio di conservazione della massa in corrispondenza di Γa

è una caratteristica necessaria per il modello emodinamico.Le condizioni di continuità [B] e [C] vanno imposte esplicitamente nel ca-

so dell’accoppiamento di due modelli deformabili: sono certamente soddisfat-te nel caso fisico di un unico tubo, privo di discontinuità nelle caratteristichegeometriche e idrostatiche.

Se il modello tridimensionale riproduce una geometria rigida, a rigore nonsono corrette, tranne nel caso particolare in cui anche il modello 1D rappre-senti un tubo rigido. In tal caso, nelle (2.12) bisogna porre A(t, z) = A (con Acostante nel tempo e nello spazio), e quindi si ottiene un nuovo problema, lacui unica incognita è il valore di portata: U(t, z) = U2(t, z) = Q(t, z).

Per quanto riguarda nello specifico la condizione [C] di continuità dell’a-rea, va notato che se la descrizione della parete è diversa nei due domini, èragionevole aspettarsi la situazione rappresentata in figura 3.4. In corrispon-denza delle sezioni di ascissa z ∈ (a− dz

2, a + dz

2) si ha una zona di transizione,

nella quale si raccordano i due valori di area che i due diversi modelli asso-ciano allo stesso stato energetico. Simulare il comportamento della parete delvaso in una simile situazione è un problema molto complesso; nell’ipotesi (ra-


PSfrag replacements

z

z = a

a − dz2

a + dz2

Ω3D Ω1D

Γ1 Γ2

FIGURA 3.5: Un tubo di flusso elementare preso a cavallo dellasuperficie di interfaccia (z = a)

gionevole) che la zona di transizione sia piccola nell’accoppiamento, si concen-trano gli effetti della discontinuità in z = a. In questo modo, Γa è interpretatada entrambi i modelli come una sezione “sufficientemente distante”, ovvero ailimiti della zona di transizione: il problema accoppiato ha ancora significatofisico, nonostante la discontinuità all’interfaccia.

La condizione [D] traduce il principio di conservazione dell’energia mec-canica per le correnti lineari (per le quali in ogni istante di tempo le traiet-torie delle particelle del fluido sono rettilinee, parallele e fisse nello spazio)applicato ad un tubo di flusso elementare scelto a cavallo di Γa (figura 3.5).

Secondo il teorema di Bernoulli [30], il carico energetico totale di un liquidoperfetto (cioè non viscoso), incomprimibile, pesante, omogeneo in moto per-manente e isotermico in un condotto cilindrico si mantiene costante su tuttele sezioni. Il tubo di flusso elementare considerato è di lunghezza infinitesimadz: ne consegue che, nel bilancio energetico tra le due sezioni di ascissa a− dz

2e

a+ dz2

, risultano trascurabili la variazione dell’energia di posizione del volumedi fluido e la perdita di carico complessiva dovuta ad effetti viscosi. Portandoal limite dz → 0, ne risulta la [D].

Se la rigidità della parete è molto differente nei due modelli, si può pensaredi introdurre nel bilancio energetico una perdita di carico localizzata Π [30]:

Π =ρ(uz|Γ1

− uz|Γ2)2

2

in modo da riformulare la condizione [D]:

[D1] energia meccanica:Pt(a

−) = Pt(a+) + Π

Tale perdita di carico rende conto di alterazioni nel campo di velocità del flui-do, cioè rimescolamenti di corrente che fanno sì che il liquido non partecipi al

40

PSfrag replacements

(a) (b)

FIGURA 3.6: Le perdite di carico concentrate in corrispondenza dibrusche variazioni del diametro del condotto sonodovute all’instaurarsi di zone di moto turbolento nelfluido, che avvolgono come una guaina la correntein prossimità della discontinuità. (a) brusco aumentodel diametro (b) brusco restringimento [30]

moto di trasporto lungo il vaso: in corrispondenza di brusche variazioni deldiametro del tubo, si formano zone di liquido in moto puramente turbolento,la cui energia meccanica viene dissipata per effetto della viscosità (figura 3.6).

Tuttavia, visti i valori fisiologici tipici per p e u nel sistema circolatorio, siverifica che l’energia meccanica associata alla corrente ematica è dovuta so-stanzialmente alla sola pressione [27]: i termini di energia cinetica (e quindiin particolare quelli legati alle perdite localizzate) risultano trascurabili, in as-senza di significative alterazioni del lume dei vasi (proprie di situazioni pa-tologiche o dovute a procedure chirurgiche quali il clamping). Supponendoche il modello tridimensionale non sia deformabile, e rappresenti un tratto diun grosso vaso in condizioni di riposo (diastoliche), la massima variazione deldiametro del tratto di vaso deformabile rappresentato dal modello 1D raggiun-gerebbe in sistole valori dell’ordine del 5−10%. In questa situazione, l’energiadissipata da rimescolamenti di corrente può essere considerata trascurabile, equindi la [D1] si riconduce alla [D].

Il coefficiente α1, che compare nell’espressione della pressione totale, è ilprimo coefficiente di Coriolis

α1 =

ρ

2

∫

Su2

zuzdσ

Aρ

2uz

2uz

(3.2)

e rende conto dell’errore commesso nell’approssimare la potenza cinetica ef-fettiva della corrente sulla generica sezione S tramite la velocità media uz. Ri-cordando la definizione del secondo coefficiente di Coriolis (2.11) e sapendo


che [30]α1 ' 3α2 − 2

si trova che un valore α1 ' 1 è ragionevole nelle simulazioni emodinamiche.La condizione [E] è conseguenza del ragionamento che ha portato alla for-

mulazione del modello monodimensionale: sulla base delle ipotesi semplifi-cative enunciate nel precedente capitolo e adottando la legge (2.14) per de-scrivere la meccanica della parete, è sempre possibile formulare i principi diconservazione per un vaso espansibile come nelle (2.12). In particolare è pos-sibile analizzare il problema fluido attraverso le variabili caratteristiche (2.18)e si dimostra [29] che le variabili caratteristiche si possono esprimere in fun-zione dei valori medi, sulle sezioni del vaso, della velocità assiale uz e dellapressione p:

W1,2 = uz(a−) ± 2

√2

ρ

(√p(a−) − pext + β0 −

√β0

)

dove β0 è il coefficiente elastico ottenuto nella (2.15). Si procede come se anchenel dominio Ω3D fosse definito un modello monodimensionale, da accoppia-re con quello in Ω1D. In questo modo è possibile interpretare la [E] come lapropagazione, nell’intero dominio Ω3D ∪ Ω1D, dell’“informazione” contenu-ta nelle variabili caratteristiche. Se il modello 3D non prevede l’espansibilitàdella parete, questa condizione di continuità non è valida: in tal caso infattiil problema non ha più natura iperbolica e quindi non ha senso definirne levariabili caratteristiche.

È possibile riformulare la [B] (e conseguentemente la [E]) ricordando chenel modello 1D la pressione media p coincide con lo sforzo normale medio sul-la generica sezione, poichè il contributo dei termini viscosi viene consideratotrascurabile. In questa stessa ipotesi si cerca quindi la continuità di

[B1] sforzo normale medio:σ(a−) = p(a+)

dove σ = (T · n · n) e T è il tensore degli sforzi nel fluido (definito nelcapitolo 2.2)

[E1] variabile caratteristica entrante in Ω1D:

uz(a−) + 2

√2

ρ

(√σ(a−) − pext + β0 −

√p+

)= W1(a

+)

42

3.1.3 Modelli di interazione per il problema accoppiato

In generale, il problema fluido risolto nel dominio Ω3D richiederebbe con-dizioni al bordo puntuali su Γa di Neumann (2.7) o di Dirichlet (2.8). Nel pro-blema in esame, tuttavia, si ricerca la continuità all’interfaccia di grandezzerelative a sezioni del dominio e quindi si possono porre come condizioni albordo soltanto quantità medie. Con dati di questo tipo, il problema di Navier-Stokes non è ben posto: si parla di condizioni al bordo deficitarie, che vannotrattate con opportune tecniche risolutive [31, 32, 33] (vedi sezione 3.2.3).

Se il modello strutturale della parete del vaso in Ω3D è basato su un pro-blema differenziale che abbia come incognita il campo degli spostamenti deipunti dello spessore (tridimensionale), è ancora necessario fornire condizio-ni al contorno puntuali sulla superficie di contatto con il fluido. Condizionidi Dirichlet per il problema meccanico della parete impongono il valore dellospostamento dei punti sull’interfaccia tra fluido e solido; condizioni di Neu-mann prescrivono i valori di sforzo normale. Sul contorno di Γa, i cui puntiappartengono anche alla parete del vaso, è possibile assegnare condizioni diDirichlet a partire dal valore dell’area (sulla base di opportune ipotesi, tipo la(3.1)).

Il modello monodimensionale necessita di un’unica condizione al contornoin corrispondenza della sezione di interfaccia [27, 29]. Ricordando le (2.20),(2.21), risulta possibile assegnare in corrispondenza di Γa una delle grandezzeseguenti: il valore della variabile caratteristica entrante nel dominio, il valoredella portata, la pressione idrostatica oppure la pressione totale.

Il problema accoppiato deve gestire il dato al bordo sull’interfaccia per ilmodello 3D, quello per il modello 1D ed eventualmente il dato al bordo per lastruttura nel dominio Ω3D. È possibile definire differenti modelli di interazioneche consentano di chiudere il problema, imponendo che siano soddisfatte unopportuno sottoinsieme delle condizioni [A] - [E].

• Modello di interazione 1: condizioni [A], [C], [D]

La condizione [C] ha senso nel caso in cui il problema di interazionefluido-struttura (ossia il legame tra pressione p ed area A) sia gestito nellostesso modo nei due domini. In tal caso [D] implica che valga anche [B]([B1]) e, nell’ipotesi in cui abbia senso definire le variabili caratteristichedel problema, risulta verificata anche la [E] ([E1]).

Tuttavia è possibile ammettere la discontinuità dell’area, come discussonella sezione precedente: il modello di interazione esprime in tal caso laconservazione dell’energia meccanica nel dominio Ω3D ∪ Ω1D


• Modello di interazione 2: condizioni [B] (risp. [B1]), [C], [E] (risp. [E1])

[B] ([B1]) e [E] ([E1]) implicano la continuità di u; grazie a [C] ne derivaanche la continuità di Q, quindi anche [A] è soddisfatta.

La [B] ([B1]) si rivela nella pratica accettabile anche quando non rigo-rosamente vera, perchè riconducibile alla [D] (nell’ipotesi di contributotrascurabile dei termini di energia cinetica). L’eventuale non ammissibi-lità di [C] porta a non garantire neppure la [A] e in tal caso il modello diinterazione 2 non è corretto.

• Modello di interazione 3: condizioni [A], [C], [E] (o [E1])

[A] e [C] implicano la continuità di u; aggiungendo [E] (o [E1]) ne derivala continuità di p, quindi anche [B] è soddisfatta.

Entrambi i modelli di interazione 2, 3, implicano che il modello tridimen-sionale non sia rigido, poichè in caso contrario la [E] ([E1]) non ha significato.Da questo punto di vista il modello di interazione 1 risulta più adatto per ilproblema accoppiato considerato, poichè è in grado di gestire un più ampiospettro di situazioni. In tutti i modelli la condizione [C] consente di definiredelle condizioni al contorno di Dirichlet per modelli strutturali differenzialitridimensionale.

3.2 Strategie risolutive

La suddivisione del problema nei due domini Ω3D, Ω1D può essere rifor-mulata matematicamente grazie alla tecnica di decomposizione del dominio[34]. Se la soluzione esiste per il sistema accoppiato, allora può essere trovatarisolvendo il problema separatamente nei due domini, e utilizzando la solu-zione parziale ottenuta in ciascun dominio per calcolare le condizioni al bordonell’altro, in una logica iterativa.

Il problema accoppiato va risolto secondo il seguente schema:

1. risolvere il problema fluido-struttura in Ω1D con condizioni al contornosull’interfaccia ricavate da una delle condizioni previste dal modello diinterazione scelto e condizioni assorbenti sull’altro estremo del dominio.

2. risolvere il problema fluido-struttura in Ω3D con condizioni al contornosull’interfaccia ricavate dalle rimanenti condizioni del modello di intera-zione e condizioni di Neumann o Dirichlet all’altro estremo del dominio.

Se il problema è matematicamente ben posto in ciascuno dei due domini, èpossibile cercare la soluzione globale come l’insieme delle soluzioni dei duesottoproblemi, compatibili con le condizioni di interfaccia.

44

3.2.1 Discretizzazione del problema nel dominio tridimensio-nale

Per la risoluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes si deve ricor-rere alla discretizzazione del problema differenziale.

Nelle (2.5), (2.3) la velocità u è incognita di un problema differenziale delsecondo ordine nelle variabili spaziali e del primo ordine nella variabile tem-porale; la pressione compare attraverso il gradiente spaziale. La soluzione ana-litica richiede quindi che u e p siano opportunamente derivabili, in particolareche ∀t ∈ I :

u(t) : Ω → Rd ⇒ u ∈ [C2(Ω)]d

p(t) : Ω → R ⇒ p ∈ C1(Ω)

La formulazione debole del problema differenziale consente di ridurrel’ordine di derivazione richiesto alle soluzioni incognite [35]. Nel caso in cui ilmodello 3D riproduca un vaso con pareti rigide, a partire dalle (2.5), (2.3), (2.7),(2.8), moltiplicando ciascun termine della (2.5) per una funzione test v ∈ V ,ciascun termine della (2.3) per una funzione test q ∈ Q (dove V e Q sono op-portuni spazi funzionali) e integrando sul dominio Ω, si ottiene un problemadifferenziale in forma integrale [24]:

∀t ∈ I trovare u(t) ∈ Vg e p(t) ∈ Q tali che

(∂u

∂t, v

)+ a(u, v) + c(u, u, v)+

+ b(v, p) = (f , v) +

∫

ΓN

v · te, ∀v ∈ V ,

b(u, q) = 0, ∀q ∈ Q,

dove

a(u, v) = 2

∫

Ω

νD(u) : D(u),

c(w, u, v) =

∫

Ω

(w · ∇)u · v,

b(u, q) = −∫

Ω

q∇ · v

(u, v) =

∫

Ω

u · v .

(3.3)


Il problema (3.3) è formulato in modo da tenere implicitamente in conside-razione le condizioni al contorno di Dirichlet: in particolare, u ∈ Vg implicache sia u|ΓD = g, mentre v ∈ V implica che sia v|ΓD

= 0. Per questioni disimmetria il problema viene riformulato, cercando la soluzione u nello spazioV (rilevamento).

Le condizioni di Neumann non influenzano invece la scelta dello spaziofunzionale in cui ambientare la formulazione debole, ma compaiono esplicita-mente nell’equazione, attraverso il termine

∫ΓN

v · te.Deve ancora valere la condizione iniziale (2.6).La soluzione del problema esiste nel caso in cui u(t) ∈ R

d con d = 2, 3.L’unicità si dimostra solo nel caso d = 2 sotto opportune ipotesi sui dati [35].

Una possibile scelta per l’approssimazione numerica del problema di Navier-Stokes, scritto in forma debole, è il metodo di Galerkin-elementi finiti. Si cercauna soluzione approssimata (uh, ph) del problema:

∀t ∈ I trovare uh(t) ∈ Vh e ph(t) ∈ Qh tali che

(∂uh

∂t, vh

)+ a(uh, vh) + c(uh, uh, vh)+

+ b(vh, ph) = (f , vh) +

∫

ΓN

vh · te, ∀vh ∈ Vh,

b(uh, qh) = 0, ∀qh ∈ Qh,

(3.4)

Vh ⊂ V , e Qh ⊂ Q sono spazi funzionali di dimensione finita e f tieneconto anche del rilevamento. Data una opportuna discretizzazione spazialedel dominio, tipicamente Vh è uno spazio di polinomi a tratti di grado γ ≥ 1,mentre Qh è uno spazio di polinomi a tratti di grado γ−1. La scelta degli spazifunzionali in cui ambientare il problema ne influenza la stabilità [35].

Per ottenere la soluzione approssimata in tempo del problema 3.4 si puòricorrere a schemi risolutivi alle differenze finite [24]: l’intervallo di tempo Iviene suddiviso in intervalli In = (tn, tn+1) (n = 0, . . . , M ) di ampiezza ∆tcostante e la soluzione viene calcolata per ognuno di questi. Lo schema nume-rico consente di ricavare la soluzione al tempo tn+1 a partire dalla soluzioneall’istante di tempo precedente (un

h,pnh).

Siano ora

φi, i = 1, . . . , dim(Vh), ψi, i = 1, . . . , dim(Qh)

opportune basi degli spazi Vh e Qh, rispettivamente. Si noti come le funzionidi base non dipendano dal tempo, poichè Vh e Qh sono spazi funzionali fis-si. Le funzioni uh e ph, soluzioni del problema approssimato, possono essere

46

espresse come combinazione lineare degli elementi della base dello spazio diappartenenza:

uh(t, x) =

dim(Vh)∑

i=1

ui(t)φi(x), ph(t, x) =

dim(Qh)∑

i=1

pi(t)ψi(x)

Le equazioni (3.4), discretizzate in tempo, devono essere soddisfatte per ognifunzione di base Φi, Ψi: ci si riconduce ad un sistema algebrico a blocchinelle incognite (ui, pj) [35], per il quale sono stati proposti diversi metodi disoluzione [36, 37].

Si noti, infine, che la soluzione ricavata con il metodo degli elementi finiti digrado r non coincide, in generale, con la funzione interpolante di grado r dellasoluzione nei nodi del dominio discretizzato. Il metodo di Galerkin, infatti,fornisce una approssimazione della soluzione esatta, in una norma opportu-na, ma non coincide necessariamente con essa in corrispondenza dei nodi deldominio.

Il problema di interazione fluido-struttura

Il problema di interazione fluido-struttura consiste nella ricerca di una so-luzione per il problema di accoppiamento tra il modello del fluido e un mo-dello strutturale per la parete.

Le sollecitazioni esercitate dal fluido sulla struttura ne determinano lo spo-stamento η, attraverso la legge costituitiva della parete; al tempo stesso la po-sizione della parete determina le condizioni al bordo per il problema fluidodi-namico.

La tecnica risolutiva si basa sulla decomposizione del dominio [38]. Cia-scuno dei sotto-problemi viene opportunamente discretizzato: in particolare,il fatto che il dominio fluido si deformi implica la necessità di un modello perla descrizione del movimento dei punti del dominio. Ad ogni istante di tem-po la soluzione globale deve soddisfare contemporaneamente i problemi neidue domini: le varie strategie risolutive proposte [39, 40] adottano procedureiterative di calcolo, che risultano molto onerose. Al costo di un certo numerodi iterazioni è possibile ricavare la soluzione (un+1, pn+1, ηn+1) al tempo tn+1

a partire dalla soluzione al tempo precedente. Ogni iterazione richiede la ri-soluzione di un problema fluido del tipo (3.4) e di un problema strutturale, dicomplessità arbitraria.


3.2.2 Discretizzazione del problema nel dominio monodimen-sionale

Seguendo [27], è possibile derivare una discretizzazione del problema (2.17)applicando uno schema numerico di Taylor-Galerkin del secondo ordine.

Anche in questo caso l’intervallo di tempo I viene suddiviso in istanti In =(tn, tn+1) (n = 0, . . . , M ) di ampiezza ∆t costante. Il valore approssimato dellasoluzione al tempo tn+1 è ottenuto considerando la serie di Taylor troncata alsecondo ordine, scritta per la soluzione al tempo tn.

La discretizzazione spaziale è ottenuta con il metodo di Galerkin-elementifiniti: ad ogni istante di tempo tn si cerca una soluzione approssimata Un

h ∈Wh, esprimibile come combinazione lineare della base ξi, i = 1, . . . , dim(Wh)di Wh:

Unh =

dim(Wh)∑

i=0

Uni ξi(z), n = 0, 1, . . .

Il dominio monodimensionale (l’intervallo [0, L]) viene suddiviso in N + 1elementi [zi, zi+1], con i = 0, . . . , N e zi+1zi + hi:

∑N−1i=0 hi = L, e hi > 0 è la

lunghezza dell’elemento i-esimo. Indicando con Wh lo spazio dei polinomi atratti su [zi, zi+1], si ottiene Wh = Wh × Wh. Allora la soluzione cercata Un

i =[An

i Qni ] è l’approssimazione del valore di A e Q sui nodi zi della griglia, al

tempo tn.

3.2.3 Condizioni al bordo deficitarie per il problema 3D

Nell’accoppiamento di un modello tridimensionale con uno monodimen-sionale (nel caso più generale, con un modello ridotto), lo scambio di informa-zioni all’interfaccia fra i due modelli provvede a fornire le condizioni al bordoper i problemi differenziali. Tuttavia, il modello ridotto fornisce quantità me-die, insufficienti per la buona posizione del problema matematico relativo aldominio tridimensionale (che necessita di condizioni al bordo puntuali). Persupplire a tale deficit di informazione sono state proposte varie strategie.

Per quanto riguarda l’imposizione della pressione media, l’approccio se-guito in questo lavoro è quello illustrato in [31]: in corrispondenza dell’inter-faccia vengono imposte condizioni puntuali di sforzo, che corrispondono allecondizioni di Neumann implicitamente assunte da una opportuna formula-zione debole del problema:

(−pn + ν

∂u

∂n

) ∣∣∣Γa

= −p(a+)n

48

p(a+) è il valore di pressione media fornito dal modello ridotto e Γa la sezionedi interfaccia. Questo approccio assume quindi che lo sforzo all’interfaccia sianormale a Γa e costante nello spazio: nel caso in cui il dominio tridimensionalesia cilindrico, l’assunzione è rigorosamente esatta.

Nel caso di portata imposta, un approccio comunemente utilizzato per le si-mulazioni emodinamiche consiste nello scegliere a priori un profilo di velocità(ad esempio parabolico o piatto) da imporre all’interfaccia, ottenendo così unacondizione di Dirichlet: in questo modo, tuttavia, la soluzione viene sensibil-mente perturbata dal dato al bordo. La strategia adottata nel presente lavoro èinvece quella basata sui moltiplicatori di Lagrange, proposta in [32] per il casolineare (equazioni di Stokes) stazionario ed estesa in [33] al caso non lineare(equazioni di Navier-Stokes) non stazionario. La condizione di portata vieneripensata come un vincolo che la soluzione deve rispettare, introducendo unmoltiplicatore di Lagrange λ(t). La formulazione debole aumentata diventa:

(∂u

∂t, v

)+ a(u, v) + c(u, u, v)+

+ b(v, p) + λ

∫

Γa

u · n = (f , v) +

∫

ΓN

v · te, ∀v ∈ V ,

b(u, q) = 0, ∀q ∈ Q,

∫Γa

u · n = Q(a+)

La formulazione aumentata si arricchisce di una incognita λ(t); la condizionedi portata è l’equazione aggiuntiva che consente di chiudere il problema.

3.2.4 Accoppiamento dei problemi discretizzati

Si parte dalla scelta di uno dei modelli di interazione presentati nella se-zione 3.1.3 (figura 3.7): le condizioni di continuità associate sono suddiviseopportunamente in due sottoinsiemi (1), (2). Nel caso più generale, una solacondizione di continuità sarà sfruttata per calcolare il dato al bordo per il pro-blema in Ω1D, due serviranno per il problema in Ω3D (fornendo una condizioneal bordo al fluido ed una alla struttura).

Il problema viene risolto in Ω1D con condizioni al contorno all’interfacciatali da soddisfare la condizione di continuità (1).

La nuova soluzione così ottenuta fornisce dei valori all’interfaccia sulla ba-se dei quali calcolare i dati al bordo medi per il problema in Ω3D: devono essereverificate le condizione di continuità (2).

La soluzione in Ω3D deve ancora soddisfare l’condizione (1): in tal caso ilproblema accoppiato è risolto.


FIGURA 3.7: Schema risolutivo per il problema accoppiato

Tipicamente è necessario ripetere il procedimento per ottenere dei valorisoddisfacenti: se il metodo converge, la stima si avvicina progressivamente alvalore corretto della soluzione globale all’istante tn+1.

Ne discende la formulazione di un algoritmo iterativo: sia k il contatore delnumero di iterazioni. La soluzione f corrispondente all’istante di tempo tn+1,valutata nella k-esima iterazione, sarà indicata con f n+1

k .

1. Siano dati un+1k , pn+1

k (ηn+1k ), Qn+1

k e An+1k . Nel caso in cui k = 0, la stima

iniziale coincide con la soluzione all’istante precedente.

un+10 = un An+1

0 = An

pn+10 = pn Qn+1

0 = Qn

(ηn+10 = ηn)

2. risolvere il problema fluido-struttura in Ω1D, ottenendo i valori Qn+1k+1 e

An+1k+1 sull’intero dominio Ω1D: il valore all’interfaccia da imporre come

condizione al contorno è calcolato come funzione di un+1k , pn+1

k (ηn+1k )

50

3. risolvere il problema fluido-struttura in Ω3D, ottenendo i valori un+1k+1 , pn+1

k+1

(ηn+1k+1) sull’intero dominio Ω3D: i valori all’interfaccia da imporre come

condizioni al contorno deficitarie sono calcolati come funzione di Qn+1k+1 e

An+1k+1

4. se un+1k+1 , pn+1

k+1 (ηn+1k+1) coincidono con un+1

k , pn+1k (ηn+1

k ) entro una certatolleranza, si pone

un+1 = unk+1 An+1 = An

k+1

pn+1 = pnk+1 Qn+1 = Qn

k+1

(ηn+1 = ηnk+1)

altrimenti k = k + 1 e torna al punto 1

Le proprietà di convergenza del metodo possono essere governate rilas-sando la soluzione sull’interfaccia [41]: nel punto 2 l’informazione sul dato diinterfaccia viene arricchita dalla conoscenza della storia precedente delle va-riabili nel dominio Ω1D. Ricordando la (2.21), la condizione al bordo per ilmodello 1D diventerebbe:

Φ(Un+1k+1 |z=a) = ε q(un+1

k , pn+1k , ηn+1

k ) + (1 − ε) Φ(Un+1k |z=a)

Il parametro di rilassamento ε ∈ [0, 1] pesa il contributo relativo delle va-riabili del modello 3D rispetto a quelle del modello 1D nella stima del valoreall’interfaccia.

Scegliere valori di ε prossimi a 0 porta a definire un dato al bordo per il pro-blema 1D “simile” al dato al bordo relativo all’iterazione precedente. Questopuò evitare problemi di non convergenza del metodo risolutivo, poichè l’ec-cessiva variazione del dato al bordo può provocare instabilità dello schemanumerico utilizzato per l’avanzamento temporale.

D’altra parte, se ad ogni iterazione la soluzione ottenuta nel dominio Ω3D

è una buona approssimazione della soluzione finale, può essere utile porreε → 1: in tal caso infatti la soluzione nel dominio Ω1D è forzata a “seguire”quella in Ω3D, e questo può accelerare la convergenza.

3.2.5 Il caso 3D rigido

Nel caso in cui si consideri indeformabile il dominio Ω3D, è necessario fa-re riferimento al solo modello di interazione 1. Inoltre la continuità dell’a-rea non ha senso, poichè il modello 1D nel caso generale rappresenta un tuboespansibile.


Le condizioni al contorno per il problema in Ω1D sono calcolate in base allacondizione [A] oppure [D] e quindi a partire dai valori di portata o di pressionetotale calcolati in Ω3D (eventualmente rilassati).

Le condizioni al contorno per il problema in Ω3D sono calcolate in base allacondizione non ancora sfruttata (rispettivamente [D] oppure [A]) e quindi apartire dai valori di pressione totale o di portata calcolati in Ω1D.

Si possono costruire due diversi algoritmi, a seconda di come vengonosfruttate le condizioni di continuità.

Algoritmo 1

PSfrag replacements

Ω3D Ω1D

Q

Pt

FIGURA 3.8: Algoritmo 1: il modello 3D riceve un dato dipressione totale e ne fornisce uno di portata

In questo caso si assume che il modello 3D riceva un dato di pressionetotale e ne fornisca uno di portata (figura 3.8).

1. Siamo all’istante di tempo n-esimo, k = 0

un+10 = un

pn+10 = pn

in Ω3D

An+10 = An

Qn+10 = Qn

in Ω1D

2. Si impone la continuità della portata sull’interfaccia, con rilassamento

Qn+1k+1(a

+) = ε Qn+1k (a−) + (1 − ε) Qn+1

k (a+)

Il problema 1D è risolto con la condizione al contorno

U2,k+1(tn+1, a+) = Qn+1

k+1(a+)

52

3. La condizione al contorno per il problema 3D è calcolata imponendo lacontinuità della pressione totale

pn+1k+1(a

+) +1

2ρ

(Qn+1

k+1(a+)

An+1k+1(a

+)

)2

= pn+1k+1(a

−) +1

2ρ

(Qn+1

k+1(a+)

A(a−)

)2

dove A(a−) = A3D è un valore costante.

Ne risultano condizioni di Neumann medie

T n+1k+1 · n = pn+1

k+1(a−)

4. Il nuovo valore di portata:

Qn+1k+1(a

−) =

∫

Γa

uk+1k+1 · n dσ

deve ancora soddisfare l’ipotesi di continuità, ovvero deve essere ugualea Qn+1

k+1(a+).

Se il metodo converge, Qn+1k+1(a

−) = Qn+1k+1(a

+), per k → ∞. Se si consideraQn+1

k+1(a−) un’approssimazione di Qn+1

k+1(a+), è possibile progettare un test

di arresto per il metodo iterativo, valutando l’errore assoluto e l’errorerelativo di tale approssimazione.

Scelti due valori di tolleranza ζrel e ζass,

SE

Qn+1k+1(a

−) − Qn+1k+1(a

+) > ζass

(Qn+1

k+1(a−) − Qn+1

k+1(a+)

minQn+1k+1(a

−), Qn+1k+1(a

+)

)> ζrel

k = k + 1 e torna al punto 2.

5. La soluzione all’istante di tempo n + 1 è

un+1 = un+1k+1

pn+1 = pn+1k+1

in Ω3D

An+1 = An+1k+1

Qn+1 = Qn+1k+1

in Ω1D


PSfrag replacements

Ω3D Ω1D

Q

Pt

FIGURA 3.9: Algoritmo 2: il modello 3D riceve un dato di portatae ne fornisce uno di pressione totale

Algoritmo 2

In questo caso si risolve il problema duale rispetto a quello risolto dall’al-goritmo 1 (figura 3.9).

1. Siamo all’istante di tempo n-esimo, k = 0

un+10 = un

pn+10 = pn

in Ω3D

An+10 = An

Qn+10 = Qn

in Ω1D

2. Si impone la continuità della pressione totale sull’interfaccia, con rilassa-mento

(Pt)n+1k+1(a

+) = ε (Pt)n+1k (a−) + (1 − ε) (Pt)

n+1k (a+)

Il problema 1D è risolto con condizioni al contorno del tipo della (2.21),cioè con U1,k+1(t

n+1, a+), U2,k+1(tn+1, a+) tali che

pn+1k+1(a

+; U1,k+1(tn+1, a+)) +

1

2ρ

(U2,k+1(t

n+1, a+)

U1,k+1(tn+1, a+)

)2

= (Pt)n+1k+1(a

+)

3. Per il problema 3D, si impongono all’interfaccia condizioni di Dirichletmedie ottenute attraverso il valore di portata: l’ipotesi di continuità è

Qn+1k+1(a

−) = Qn+1k+1(a

+)

e quindi

∫

Γa

uk+1k+1 · n = Qn+1

k+1(a−)

54

4. Il nuovo valore di pressione totale

(Pt)n+1k+1(a

−) = pn+1k+1(a

−) +1

2ρQn+1

k+1(a−)

A3D

deve ancora soddisfare l’ipotesi di continuità all’interfaccia, ovvero deveessere uguale a (Pt)

n+1k+1(a

+).

Analogamente a quanto visto nell’algoritmo precedente, si progetta untest di arresto per le iterazioni, valutando l’errore assoluto e l’errore rela-tivo commessi nell’approssimare (Pt)

n+1k+1(a

+) tramite (Pt)n+1k+1(a

−)

Scelti due valori di tolleranza ζrel e ζass,

SE

(Pt)n+1k+1(a

−) − (Pt)n+1k+1(a

+) > ζass

((Pt)

n+1k+1(a

−) − (Pt)n+1k+1(a

+)

min(Pt)n+1k+1(a

−), (Pt)n+1k+1(a

+)

)> ζrel

k = k + 1 e torna al punto 2

5. La soluzione all’istante di tempo n + 1 è

un+1 = un+1k+1

pn+1 = pn+1k+1

in Ω3D

An+1 = An+1k+1

Qn+1 = Qn+1k+1

in Ω1D

3.3 La soluzione del problema accoppiato

I modelli a parametri concentrati consentono di descrivere in maniera sin-tetica le caratteristiche fisiche del sistema in esame. Sfruttando l’analogia trale reti idrauliche e le reti elettriche è possibile semplificare lo studio del pro-blema accoppiato, ricavandone informazioni sulle proprietà di convergenza estabilità.

Ciascun dominio può essere rappresentato come un doppio bipolo elet-trico, ovvero una rete con due coppie di morsetti accessibili (figura 3.10). Inquesto modo si mettono in evidenza i valori delle variabili di interesse incorrispondenza delle sezioni di ingresso e di uscita.

Il problema accoppiato può essere studiato sulla base delle ipotesi di conti-nuità esposte nella sezione 3.1.2, così reinterpretate:


PSfrag replacements

Ω3D Ω1DP 3D

in P 1Din

Q3Din Q1D

in

P 3Dout P 1D

out

Q3Dout Q1D

out

(R3D, L3D, C3D) (R1D, L1D, C1D)

FIGURA 3.10: Modelli a parametri concentrati per il problema ac-coppiato: ciascun tratto di vaso è rappresentato daun doppio bipolo

[Ã]A(Q3d

out, P3dout) = A(Q1d

in , P 1din )

[B]P 3d

out = P 1din

[C]Q3d

out = Q1din

[D]Pt(Q

3dout, P

3dout) = Pt(Q

1din , P 1d

in )

[E]g3d(Q3d

out, P3dout) = g1d(Q1d

in , P 1din )

I diversi modelli di interazione danno origine a diverse rappresentazioni aparametri concentrati del problema accoppiato.

3.3.1 Il caso 3D rigido

Come già discusso nella sezione precedente, questo problema va risoltosulla base del modello di interazione 1. Le due possibili situazioni, affron-tate dai due algoritmi esposti, corrispondono ad una diversa modellazione aparametri concentrati.

Nel caso rappresentato in figura 3.8, il modello 3D fornisce un valore diportata al modello 1D: Q3d

out è la variabile di stato del problema rappresentatodal doppio bipolo in Ω3d, e viene utilizzata per calcolare Q1d

in , condizione alcontorno per il problema in Ω1d.

Viceversa, per il modello 3D si ricavano condizioni al bordo in termini diP 3d

out, grazie all’informazione fornita dalla variabile di stato P 1din del modello 1D.

56

Questa situazione corrisponde all’accoppiamento tra due reti elettriche adL (figura 2.4), ciascuna descritta dal sistema di equazioni (2.26).

Il caso duale 3.9 conduce invece ad una rappresentazione del problemabasata su due reti ad L invertita (figura 2.5), e quindi a due sistemi del tipo di(2.27).

Nel caso di vaso non espansibile (sia per semplicità rappresentato da unarete ad L), le (2.26) diventano:

Q2 = Q1

LdQ2

dt+ RQ2 + P2 = P1

Si tratta di una relazione differenziale tra il valore Q di portata nel tubo ela caduta di pressione ∆P = P1 − P1 ai suoi capi. L’equazione di continuitàimplica in questo caso che non sia possibile imporre il valore di portata su en-trambe le sezioni di ingresso e di uscita: questo pone dei limiti all’utilizzo deimodelli di interazione presentati nella sezione precedente, poichè, ad esempio,nel caso risolto con l’algoritmo 2 il modello 1D fornisce la portata all’interfac-cia e quindi condizioni di Dirichlet sulla sezione di ingresso di Ω3D non sonoammissibili.

D’altra parte, nel caso in cui si impongano condizioni di Neumann sullasezione di ingresso di Ω3D, dato il valore di portata del vaso si ricavano uni-vocamente i valori di pressione sulla sezione di uscita, e viceversa. Essendol’area di Γa costante, ne discende che il valore di pressione totale all’interfac-cia è determinato univocamente dal valore di portata e lo stesso vale a terminiinvertiti.

Il sistema globale si stabilizza quindi in un “punto di lavoro” (Q, Pt): ilmodello 3D consente di determinarne una coordinata, il modello 1D chiudeil problema fissando l’altra. Ne consegue che, a parità di condizioni al bordosulle sezioni di ingresso e di uscita del dominio complessivo Ω3D ∪ Ω1D, i duealgoritmi proposti devono recuperare la stessa soluzione globale.

Il ruolo del parametro di rilassamento

In [41] è proposta un’analisi dettagliata del ruolo del parametro di rilas-samento in problemi differenziali risolti con la tecnica di decomposizione deldominio.

A partire da un problema differenziale ambientato in un dominio Ω, vieneelaborata una formulazione “multidominio” individuando due sottodomini


PSfragreplacem

ents

Ω11D

Ω21D

Ω3D

(a) Un accoppiamento doppio

PSfragreplacem

entsΩ11D

Ω21D

Ω31D

Ω3D

(b) Un accoppiamento triplo

FIGURA 3.11: Il problema dell’accoppiamento multiplo per geo-metrie vascolari realistiche

Ω1 e Ω2. Il problema di accoppiamento viene ricondotto allo studio delle carat-teristiche di un opportuno operatore funzionale T , che dipende dal parametrodi rilassamento ε.

Risulta in particolare che opportuni valori di ε possono garantire la conver-genza, ed è possibile individuare valori ottimali del parametro, che minimizza-no il numero di iterazioni necessarie.

Nei casi numerici presentati nel capitolo successivo viene discusso il ruolodi ε, con riferimento ai diversi algoritmi risolutivi utilizzati. Le simulazioniproposte non hanno richiesto tuttavia lo studio approfondito delle proprie-tà di convergenza dei metodi di interazione. Il parametro di rilassamento èstato scelto di caso in caso, sulla base delle prestazioni del codice di calcoloimplementato.

3.4 Accoppiamenti multipli

Il problema di accoppiamento si generalizza senza difficoltà al caso di in-terfacce multiple tra modelli 3D e 1D.

58

PSfrag replacements

Ω11D

Ω11D

Ω11D

Ω21D

Ω21D

Ω21D

Ω31D

Ω31D

Ω3D

Ω3D

Ω3D

FIGURA 3.12: Il problema degli accoppiamenti multipli si risolvein maniera ricorsiva

Si consideri ad esempio il caso rappresentato in figura (3.11(a)). È possi-bile formulare un modello accoppiato ad esempio per il dominio Ω3D ∪ Ω1

1D:se il problema è ben posto (ad esempio sulla base dei modelli di interazionepresentati nelle sezioni precedenti), se ne ricava una soluzione globale.

A questo punto si tratta di accoppiare il modello monodimensionale defi-nito su Ω2

1D con il modello accoppiato definito su Ω3D ∪ Ω11D. Il problema può

essere risolto con i metodi fin qui presentati: si individua la superficie di in-terfaccia, si formulano delle ipotesi di continuità e si definiscono i modelli diinterazione.

Dal punto di vista del modello tridimensionale, infatti, l’accoppiamentoall’interfaccia non è altro che un modo per completare la definizione delle con-dizioni al contorno. Il modello accoppiato equivale ad un modello tridimen-sionale isolato nel quale, in corrispondenza dell’interfaccia, vengano fornitein ogni istante di tempo le stesse condizioni al bordo calcolate a partire daimodelli di interazione.

L’accoppiamento multiplo viene quindi affrontato ricorsivamente, per cia-scuna superficie di interfaccia (figura 3.12).

Capitolo 4

Risultati

Le strategie risolutive definite nel capitolo precedente sono state impiegatenella risoluzione di alcuni problemi di accoppiamento. Le simulazioni presen-tate in questo capitolo sono state realizzate con un codice di calcolo scritto ap-positamente per gestire l’accoppiamento di due diversi solutori per problemidifferenziali. La prima sezione del capitolo riguarda la libreria LifeV, a partiredalla quale è stato sviluppato il software utilizzato.

Nella sezione 4.2 è presentato un test numerico, basato sulla soluzione diun semplice problema di interazione. Sulla base dei risultati, viene valutatal’efficienza dei diversi algoritmi proposti.

Le sezioni 4.3.1 e 4.3.2 illustrano simulazioni di fenomeni fisici realistici neidistretti vascolari. Il primo caso riguarda la riflessione delle onde di pressione,dovuta a discontinuità delle caratteristiche meccaniche della parete del vaso;nel secondo caso si applica la prospettiva multiscala all’analisi delle condizionidi flusso ematico nella biforcazione iliaca.

In conclusione, sono riportate alcune indicazioni su possibili sviluppi nellaricerca di metodi numerici per la modellazione del sistema circolatorio.

4.1 La libreria C++ LifeV

LifeV (http://www.lifev.org) è una implementazione di metodi nu-merici agli elementi finiti (FE) per la risoluzione di problemi differenziali. Ilprogetto è nato nel 2002 dalla collaborazione di tre istituzioni: École Polytech-nique Fédérale de Lausanne (CMCS) in Svizzera, Politecnico di Milano (MOX)in Italia e INRIA (BANG) in Francia ed è attualmente seguito da una comunitàinternazionale di sviluppatori. Il software è organizzato in una libreria scrit-ta in linguaggio C++ e distribuita con licenza LGPL (http://www.gnu.org)per sistemi GNU/Linux, standard UNIX&trade e Cygwin.

59

http://www.lifev.org

http://www.gnu.org

60

LifeV evolve come supporto alla ricerca nel campo dei metodi matematicie numerici, ma al tempo stesso si propone come strumento risolutivo in di-versi campi applicativi (problemi di dinamica dei fluidi e delle strutture, tra-sporto di calore, interazione fluido-struttura, trasporto in mezzi porosi). Lalibreria dispone di metodi per la manipolazione di griglie per il calcolo nu-merico (in particolare per griglie deformabili), gestione e implementazione dielementi finiti, stabilizzazione di problemi di convezione a trasporto domi-nante, risoluzione di problemi di interazione fluido-struttura e modellazionemultiscala.

4.1.1 Risolvere problemi differenziali con LifeV

Il problema definito dalle (2.3), (2.5), (2.7), (2.8) viene riformulato in for-ma debole e quindi approssimato [35, 24]. Lo schema numerico implementa-to in LifeV prevede un metodo di avanzamento in tempo basato sulle diffe-renze finite che porta alla definizione di un problema di Stokes generalizzatoper ogni istante di tempo: per l’approssimazione di quest’ultimo si applica ilmetodo di Galerkin ad elementi finiti. Un metodo di fattorizzazione algebri-ca esatta, basato sullo schema di Chorin-Temam, consente di ridurne il costocomputazionale.

Le equazioni 2.12 vengono discretizzate in LifeV attraverso uno schema diTaylor-Galerkin del secondo ordine.

4.2 Un caso di riferimento

Formulando opportune ipotesi semplificative, è possibile ottenere una so-luzione analitica di riferimento per il problema dell’accoppiamento. In questomodo si può studiare l’efficacia del metodo risolutivo numerico, confrontan-done i risultati con la soluzione esatta.

• Modello 3D:

1. flusso laminare

2. stazionarietà: i profili di velocità siano costanti nel tempo

3. condotto cilindrico a sezione circolare e pareti parallele

4. pareti rigide

In questo caso la soluzione delle (2.3), (2.5) è la seguente (rappresentatain figura 4.2), dove si indichino con u, v, w rispettivamente la velocità

Capitolo 4. Risultati 61

z

l

PSfrag replacements

Γ1 Γ2

z

FIGURA 4.1: Il dominio del problema di Navier-Stokes semplifica-to

assiale, la velocità radiale e la velocità circonferenziale; µ è la viscositàdinamica, r0 il raggio del tubo e r indica la coordinata radiale [42]:

u =C

4µ(r2

0 − r2)

v = 0

w = 0

(4.1)

Il termine C rappresenta il gradiente di pressione, che è supposto esserecostante: indicando con ∆P la differenza tra la pressione media sullesezioni Γ1 e Γ2 (figura 4.1), si ottiene

C = −∆P

l= −(P2 − P1)

l

dove l è la lunghezza del cilindro.

Ne discende la legge di Poiseuille, che descrive il legame tra portata Q eperdita di carico ∆P nel condotto:

Q = −∆Pπr4

0

8µl

• Modello 1D:

1. stazionarietà

62

-3

-2

-1

0

1

2

3

Z

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

X

-0.5

-0.2

0.1

0.4

Y

FIGURA 4.2: Il profilo parabolico di Hagen-Poiseuille su una sezio-ne di Ω ortogonale all’asse. Sull’asse z sono indicati ivalori di velocità assiale

2. fluido inviscido: i termini viscosi siano trascurabiliLe (2.12) diventano in questo caso

∂Q

∂z= 0

α2∂

∂z

(Q2

A

)+

A

ρ

∂P

∂z= 0

poichè l’ipotesi di stazionarietà annulla le derivate temporali, men-tre il coefficiente di frizione è proporzionale alla viscosità del fluidoe quindi è nullo per fluidi perfetti.Ricordando l’espressione della pressione (2.13) e sviluppando le de-rivate composte si ottiene

(A

ρ

∂ψ

∂A− 2α2

Q2

A3

)∂A

∂z= 0

che è risolta quando ∂A∂z

= 0.


La soluzione delle (2.12) ha in questo caso la forma:

Q(t, z) = Q

A(t, z) = A

con Q, A costanti arbitrarie.

L’ipotesi di inviscidità è applicata soltanto al modello 1D: questo semplificala risoluzione del sistema iperbolico di equazioni ma non riproduce un casofisico sensato. Si tratta di un test numerico per verificare che gli algoritmipresentati siano in grado di risolvere il problema accoppiato.

4.2.1 Soluzione analitica

Si considerano due cilindri Ω3D, Ω1D, entrambi di raggio r0 = 0.5cm e lun-ghezza l = 5cm. Il fluido ha densità ρ = 1g/cm3 e viscosità cinematica (nelsolo modello 3D) ν = 0.035 poise.

Per il modello 1D si sceglie la relazione (2.14) tra pressione e area dellasezione: per definire il coefficiente β0 si considerano uno spessore della pareteh = 0.05cm, un modulo di Young E = 3 × 106dyne/cm2 (pari a 3 × 105Pa)eun coefficiente di Poisson ξ = 0.5. Si tratta di valori ragionevoli per arterie dimedio calibro [27].

Scegliendo per semplicità Q = 1cm3/s nella (4.2), risulta che la perdita dicarico a cavallo del cilindro Ω3D vale ∆P = − 8µl

πr4

0

= −7.13dyne/cm2.Lungo il tubo Ω1D invece l’area della sezione è costante e quindi non ci sono

perdite di carico. Se A = A0, data la (2.14), la pressione media è nulla su tuttele sezioni.

La soluzione analitica del problema accoppiato è rappresentata in figura4.3.

4.2.2 Soluzione numerica

Il dominio Ω3D è discretizzato in 4800 tetraedri (figura 4.4); l’intervallo Ω1D

è suddiviso in 50 elementi.Un test minimale di validazione dei metodi numerici si ottiene richieden-

do che il problema approssimato sia soddisfatto dalla soluzione esatta, a menodell’errore di troncamento. Se il test è superato, si parla di metodo numeri-co consistente. Nel caso in esame, se il sistema accoppiato viene inizializzatocorrettamente e dotato di opportune condizioni al bordo, deve ammettere lasoluzione costante.

64

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

lunghezza (cm)

pres

sion

e (d

yne/

cm2 )

(a) Andamento della pressione

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

lunghezza (cm)

port

ata

(cm

3 /s)

(b) Andamento della portata

FIGURA 4.3: La soluzione analitica, nel dominio Ω3D ∪ Ω1D, delcaso di riferimento

FIGURA 4.4: La discretizzazione spaziale del dominio Ω3D

Per le equazioni di Navier-Stokes in Ω3D si sceglie come condizione inizialeil profilo di velocità (4.1), tale da dare una portata unitaria. Essendo C

4µ=

2πr4

0

[cm · s]−1, per i valori considerati si ottiene

C

4µ=

32

π[cm · s]−1

Per le (2.12) in Ω1D si sceglie il set di condizioni iniziali (t0 = 0s)

Q(t0, z) = 1cm3/sA(t0, z) = πr2

0 = 0.7854cm2

Algoritmo 1

Condizioni di Dirichlet medie consentono di imporre il valore di portatadesiderato (Q = 1cm3/s) sulla sezione di ingresso del dominio Ω3D.


All’interfaccia, il modello 3D fornisce il valore di portata al modello 1D, ene riceve un valore di pressione da imporre come condizione di Neumann.

Sulla sezione di efflusso di Ω1D si impongono condizioni assorbenti.All’istante di tempo t = 0.001s, il dato di portata sulla sezione di interfaccia

è calcolato a partire dai valori di velocità (4.1), condizioni iniziali per il proble-ma di Navier-Stokes. Per effetto della discretizzazione, il profilo paraboliconon può essere ricostruito esattamente in Ω3D. In particolare, la scelta di fun-zioni lineari a tratti sul dominio genera una sottostima del valore di portata. Ilmodello 1D riceve quindi un valore all’interfaccia Q < 1cm3/s , diverso dallacondizione iniziale: questa discontinuità del dato al bordo è percepita comeun segnale non stazionario, che propaga nel dominio.

La perturbazione iniziale sul dato di portata è trascurabile. Il tubo 1D reagi-sce alla diminuzione della portata con una diminuzione dell’area della sezionee quindi, data la (2.14), fornisce un valore di pressione negativo all’interfaccia:il sistema accoppiato si allontana dal “punto di lavoro” desiderato. Tuttaviale condizioni di Neumann sull’interfaccia alterano soltanto il valore di pres-sione idrostatica sulla sezione di ingresso di Ω3D: la perdita di carico è impo-sta (grazie alla legge di Poiseuille), poichè sono noti il valore del flusso e laresistenza.

Negli istanti di tempo successivi, il valore unitario di portata è impostoesattamente attraverso le condizioni al contorno di Ω3D: dopo pochi passitemporali, il sistema accoppiato si assesta sulla soluzione costante.

Il solutore per il problema monodimensionale implementa uno schema diavanzamento temporale esplicito. Questo impone di rispettare una condizionedi stabilità del tipo [35, 27]:

∆t ≤ f(∆z)

nota come condizione CFL. Nel caso in esame, Ω1D è un intervallo di lunghezza5cm, suddiviso in 50 elementi: quindi ∆z = 0.1cm. Il problema risulta stabileper (∆t)1D = 10−4s.

Il problema di Navier-Stokes è risolto con uno schema di avanzamentosemi-implicito, che rende meno stringenti le condizioni di stabilità: questoconsente di scegliere un valore di (∆t)3D = 10−3s.

L’utilizzo di passi temporali di diversi ordini di grandezza per i due mo-delli impone di modificare l’algoritmo per il problema accoppiato. Data lasoluzione al tempo tn, si cerca la soluzione al tempo tn+1 = tn + (∆t)3D. Allak-esima iterazione, la soluzione in Ω3D viene ottenuta risolvendo una sola vol-ta il problema di Navier-Stokes; la soluzione in Ω1D invece è calcolata con unciclo di sotto-iterazioni, per le quali l’intervallo di tempo sia (∆t)1D. La sceltadi (∆t)3D e (∆t)1D si rivela ragionevole, poichè il costo computazionale di un

66PSfrag replacements

Ω3D

Ω1DAz

0 1 2 3 4 5

0.78535

0.78536

0.78537

0.78538

0.78539

0.7854

Section,time=0.001000

0 1 2 3 4 5

0.78535

0.78536

0.78537

0.78538

0.78539

0.7854

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

A

z

(a) A(t, z), t = 0.001s

0 1 2 3 4 50.785355

0.78536

0.78537

0.78538

0.78539

0.7854

0.785402


0 1 2 3 4 50.785355

0.78536

0.78537

0.78538

0.78539

0.7854

0.785402

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Az

(b) A(t, z), t = 0.005s

0 1 2 3 4 50.785358

0.78536

0.78537

0.78538

0.78539

0.7854

0.785405


0 1 2 3 4 50.785358

0.78536

0.78537

0.78538

0.78539

0.7854

0.785405

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

A

z

(c) A(t, z), t = 0.010s

0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285


0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

A

z

(d) A(t, z) = A0, t = 0.025s

FIGURA 4.5: La soluzione numerica del caso di riferimento neldominio Ω1D: andamento temporale dell’area. Lasoluzione analitica è ottenuta all’istante t = 0.025s

Capitolo 4. Risultati 67PSfrag replacements

Ω3D

Ω1DQ

z

0 1 2 3 4 50.9779

0.98

0.99

1

1.001


0 1 2 3 4 50.9779

0.98

0.99

1

1.001

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Q

z

(a) Q(t, z), t = 0.001s

0 1 2 3 4 50.9806

0.99

1

1.002


0 1 2 3 4 50.9806

0.99

1

1.002

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Qz

(b) Q(t, z), t = 0.005s

0 1 2 3 4 50.9818

0.99

1

1.003


0 1 2 3 4 50.9818

0.99

1

1.003

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Q

z

(c) Q(t, z), t = 0.010s

0 1 2 3 4 5−1.5

−1

0

1

2

3

3.5


0 1 2 3 4 5−1.5

−1

0

1

2

3

3.5

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Q

z

(d) Q(t, z) = 1cm3/s, t = 0.025s

FIGURA 4.6: La soluzione numerica del caso di riferimento nel do-minio Ω1D: andamento temporale della portata. Lasoluzione analitica è ottenuta all’istante t = 0.025s

68

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

(a) p(t, x), t = 0.025: la caduta di pressione calcolata approssima il valore atteso (∆P =7.13dyne/cm2), per effetto di errori di arrotondamento

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

(b) u(t, x), t = 0.025: il profilo è parabolico, riproduce la soluzione analitica illustrata infigura 4.2

FIGURA 4.7: La soluzione numerica del caso di riferimento neldominio Ω3D , ottenuta con l’algoritmo 1: valori dipressione e velocità assiale al tempo t = 0.025s


passo di avanzamento temporale del problema di Navier-Stokes è comunquepiù elevato di quello di alcuni passi temporali del problema 1D.

Il parametro di rilassamento in questo caso non ha effetto sulle proprietàdi convergenza del modello di interazione, poichè, con le condizioni inizialiindicate, le soluzioni nei due domini soddisfano le condizioni di continuità,ad ogni istante di tempo, dopo la prima iterazione. D’altra parte, valori delrilassamento prossimi all’unità consentono di “inseguire” più da vicino il va-lore di portata corretto (espresso dal modello 3D a partire dal secondo istantedi tempo), riducendo la durata della fase transitoria.

Nelle figure 4.5, 4.6, 4.7 sono riportati i risultati di una simulazione conparametro di rilassamento ε = 0.1: la soluzione analitica è recuperata dopo25ms. Utilizzando ε = 1 si arriva al valore stazionario dopo 15ms.

I valori di tolleranza scelti, per il test di arresto delle iterazioni, sono ζrel =5× 10−2 e ζass = 1× 10−3. In questo modo il valore di portata nel dominio Ω1D

è uguale a quello in Ω1D a meno di un errore relativo dell’1%.

70

Algoritmo 2

L’algoritmo 2 si rivela poco efficiente nelle applicazioni, e particolarmentesensibile alle perturbazioni nei dati al bordo.

Il valore della portata fornito dal modello 1D è imposto come condizionedi Dirichlet media sull’interfaccia per il problema di Navier-Stokes.

Sulla sezione di ingresso di Ω3D viene imposta una condizione di tipo Neu-mann (2.7): la soluzione analitica corrisponde ad una pressione nulla all’inter-faccia, e quindi, conoscendo la perdita di carico grazie alla legge di Poiseuille,si impone una pressione all’ingresso pari a p = 7.13dyne/cm2.

Sulla sezione di uscita di Ω1D si impongono condizioni al contorno assor-benti.

Se all’istante di tempo t = 0.001s il tubo Ω3D fornisce un valore di pressio-ne all’interfaccia non rigorosamente nullo (ad esempio per errori di arroton-damento), il modello 1D altera la propria configurazione. Il problema diventanon stazionario, come nel caso del paragrafo precedente, e cambiano i valo-ri di portata imposti all’interfaccia. Il sistema accoppiato esce dal “punto dilavoro” desiderato, ed in tal caso la condizione di Neumann imposta sulla se-zione di ingresso non è corretta. Infatti, cambiando la portata, cambia anchela perdita di carico in Ω3D e quindi il valore di pressione all’interfaccia ottenu-to risolvendo il problema di Navier-Stokes sarà, in generale, nuovamente nonnullo.

In queste condizioni il problema può diventare fortemente instabile: se laperturbazione iniziale è significativa, il problema accoppiato può non conver-gere al punto di lavoro. Il parametro di rilassamento è utile per ridurre l’effettodelle perturbazioni determinate dallo scambio di dati tra i modelli: piccoli va-lori di ε possono consentire di recuperare la convergenza, al costo di un grannumero di iterazioni.

Nel caso in esame, la perturbazione iniziale è minima, e si ha convergenza∀ε ∈ (0, 1). Tuttavia, la pressione all’interfaccia non è mai rigorosamente nul-la (si mantiene su valori dell’ordine dei centesimi di dyne/cm2): questo puòessere dovuto ad errori di approssimazione nella risoluzione del problema diNavier-Stokes. In ogni caso, i valori di pressione ottenuti sono ragionevoli,cioè “praticamente” nulli.

In queste condizioni, la soluzione numerica del problema accoppiato noncoincide con quella esatta. In particolare, la portata viene sottostimata, con unerrore dell’ordine di 10−3cm3/s: per quanto trascurabile, questo dato rivela lasensibilità del metodo a perturbazioni sui dati al contorno.

Come nel caso studiato nel paragrafo precedente, la discontinuità inizialenel dato al bordo dà origine alla propagazione di un’onda nel dominio Ω1D.


Se si scelgono i valori di tolleranza ζrel = 5 × 10−2 e ζass = 1 × 10−3, lasoluzione del problema accoppiato richiede delle iterazioni nel primo passotemporale. Nelle figure 4.8(a) e 4.9(a) è possibile apprezzarne l’effetto: all’i-stante di tempo t = 0.001s la perturbazione nel dato al bordo è già propagatanel dominio (a differenza del caso in figure 4.5(a) e 4.6(a).

Valori elevati di tolleranza (ζrel = 5 × 10−1) consentono di trovare la solu-zione del problema accoppiato senza iterazioni nei passi temporali: tuttavia,questo non consente di individuare con precisione il punto di lavoro (Q, Pt. Adesempio, scegliere ζrel = 5×10−1 significa ammettere che il valore di pressionetotale in Ω3D sia uguale a quello in Ω1D a meno di un errore relativo del 50%.Al contrario, piccoli valori di (ζrel, ζass) portano a stimare più accuratamente ilpunto di lavoro, al costo di un maggior numero di iterazioni.

Per analogia con il caso discusso nel paragrafo precedente, vengono illu-strati i risultati ottenuti ponendo ε = 0.1. Il ruolo del parametro di rilassamen-to, è allo stesso modo, trascurabile ai fini della convergenza.

72

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

0 1 2 3 4 50.785397

0.785398


0 1 2 3 4 50.785397

0.785398

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

A

z

(a) A(t, z), t = 0.001s

0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285


0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Az

(b) A(t, z) ' A0, t = 0.005s

0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285


0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

A

z

(c) A(t, z) ' A0, t = 0.010

0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285


0 1 2 3 4 5−1.715

−1

0

1

2

3

3.285

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

A

z

(d) A(t, z) ' A0, t = 0.025

FIGURA 4.8: La soluzione numerica del caso di riferimento nel do-minio Ω1D, ottenuta con l’algoritmo 2: andamentotemporale dell’area. La soluzione costante ottenutanon coincide esattamente con la soluzione analitica


PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

0 1 2 3 4 50.99966

0.9997

0.9998


0 1 2 3 4 50.99966

0.9997

0.9998

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Q

z

(a) Q(t, z), t = 0.001s

0 1 2 3 4 50.99973

0.99974

0.99975

0.99976

0.99977

0.99978

0.99979

0.9998

0.99981

0.99982


0 1 2 3 4 50.99973

0.99974

0.99975

0.99976

0.99977

0.99978

0.99979

0.9998

0.99981

0.99982

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Qz

(b) Q(t, z), t = 0.005s

0 1 2 3 4 50.99985

0.99985

0.99986


0 1 2 3 4 50.99985

0.99985

0.99986

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Q

z

(c) Q(t, z), t = 0.010s

0 1 2 3 4 5−1.5

−1

0

1

2

3

3.5


0 1 2 3 4 5−1.5

−1

0

1

2

3

3.5

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

Q

z

(d) Q(t, z) ' 1cm3/s, t = 0.025

FIGURA 4.9: La soluzione numerica del caso di riferimento neldominio Ω1D, ottenuta con l’algoritmo 2: andamen-to temporale della portata. La soluzione costanteottenuta non coincide esattamente con la soluzioneanalitica

74

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

(a) p(t, x), t = 0.025: la caduta di pressione calcolata è minore rispetto al caso di figura 4.7

PSfrag replacements

Ω3D

Ω1D

(b) u(t, x), t = 0.025. Il profilo è parabolico, con valori medi della velocità assiale minoridi quelli ottenuti con l’algoritmo 1: il valore di portata è minore

FIGURA 4.10: La soluzione numerica del caso di riferimento neldominio Ω3D, ottenuta con l’algoritmo 2: valori dipressione e velocità assiale al tempo t = 0.025s


4.3 Alcune applicazioni

Una rete di modelli 1D può consentire di studiare come le onde di pres-sione generate dal cuore propaghino nell’intero albero aortico, inducendo ilflusso del sangue [43]. I modelli 3D hanno costi computazionali maggiori, enon sono quindi adatti a simulare sistemi vascolari estesi; tuttavia sono indi-spensabili per analizzare, in specifici distretti, la localizzazione e l’evoluzionedi fenomeni che possono portare ad insorgenza di patologie [44] o a fallimentodi protesi vascolari [45, 46].

Nel seguito sono illustrati alcuni semplici esempi di utilizzo di modelli ac-coppiati per la simulazione di specifici fenomeni emodinamici. Dati e geome-trie considerati sono ragionevoli se confrontati con i valori presenti nella let-teratura medica o bioingegneristica: in questa sede, tuttavia, l’intento è quellodi mostrare come i modelli presentati sappiano riprodurre i fenomeni fisici,senza discuterne nel dettaglio il significato clinico.

4.3.1 La riflessione delle onde di pressione

Il trattamento chirurgico della stenosi prevede una procedura di angiopla-stica, cioè la dilatazione forzata del lume vascolare. Per evitare il rischio diulteriori ostruzioni, è possibile impiantare uno stent nel sito patologico: si trat-ta di strutture metalliche tubolari rigide, il cui compito è sostenere la parete.Questa procedura determina l’alterazione delle caratteristiche meccaniche lo-cali del vaso, i cui valori fisiologici di rigidezza sono inferiori a quelli dellostent; inoltre possono essere indotte reazioni patologiche nella parete che neriducono gradualmente la deformabilità [47].

Lo studio dettagliato dei fenomeni emodinamici locali può consentire divalutare il rischio di progressione della patologia (se permangano fattori di ri-schio fluidodinamici) o di fallimento della protesi (sottoposta a sollecitazioninon previste in sede di progetto). Al tempo stesso è significativo valutare co-me la presenza di un tratto di vaso patologico influenzi la propagazione delleonde di pressione: la discontinuità nelle caratteristiche meccaniche della pa-rete può essere responsabile della comparsa di picchi di pressione, a montedel sito di impianto di stent, dovuti a fenomeni di riflessione d’onda [48]. Inqueste condizioni, aumenta il carico di lavoro richiesto al muscolo cardiaco(soprattutto se i vasi interessati sono di medio o grosso calibro).

La natura multiscala del problema può essere studiata con i modelli accop-piati presentati: il modello tridimensionale riproduce il tratto di vaso in cui èpresente lo stent, mentre i modelli monodimensionali rappresentano le regionia monte e a valle.

76

PSfrag replacementsΩ3DΩ1

1D Ω21D

FIGURA 4.11: Modello di un vaso con impianto di stent: il dominioΩ3D rappresenta il tratto di vaso patologico

Si considera un tratto di vaso cilindrico, di lunghezza l = 25cm e diame-tro di riferimento d = 1cm (in condizioni diastoliche); uno stent di lunghezza5cm è impiantato nel tratto centrale (figura 4.11). Si individuano così tre do-mini: l’onda pressoria entra nel tratto di vaso fisiologico a monte dello stent(dominio Ω1

1D), attraversa il tratto patologico (dominio Ω3D) e propaga infinenel tratto di vaso a valle (dominio Ω2

1D).Il dominio Ω3D è studiato con un modello 3D rigido: in questo caso la scelta

è giustificata anche dal fatto che la presenza dello stent riduce effettivamentela deformabilità del vaso, e l’interazione tra due sistemi fisici con differenti ca-ratteristiche meccaniche è il fenomeno di interesse. Le caratteristiche geome-triche e meccaniche dei tratti di vaso fisiologici sono sintetizzati nella seguentetabella:

Ω11D Ω2

1D

Modulo di Young 3 × 105Pa 3 × 105PaSpessore della parete 0.05cm 0.05cm

Raggio di riferimento R0 0.5cm 0.5cmLunghezza 10cm 10cm

FIGURA 4.12: I dati utilizzati nella simulazione: i valori scelti peril modulo di Young e lo spessore della parete sonoragionevoli per un vaso di medio calibro

La soluzione numerica

Il dominio Ω3D è discretizzato in 4800 tetraedri (figura 4.4); Ω11D e Ω2

1D ven-gono suddivisi entrambi in 50 elementi. Il problema tridimensionale è risol-to con (∆t)3D = 10−3s, mentre il problema monodimensionale con (∆t)1D =10−4s.

In entrambi i domini si sceglie una condizione iniziale che corrisponde ad


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

percentuale del ciclo cardiaco (T=0.83s)

port

ata

(nor

mal

izza

ta)

FIGURA 4.13: Andamento temporale della portata, realistico neigrossi vasi; l’ampiezza è normalizzata al valoreunitario

una portata nulla nel vaso considerato:

u0 = 0 in Ω3D ,

Q = 0A = A0

in Ω11D, Ω2

1D

La condizione al bordo, sulla sezione di ingresso del dominio Ω11D, è un

dato di portata Q(t) che riproduce un andamento fisiologico nel periodo car-diaco (figura 4.13). Il valore di picco scelto è Qmax = 25cm3, che corrispondead una portata media di circa Q = 10cm3 = 600ml/min; il dato di portata ed ilcalibro considerato (1cm) sono ragionevoli per un vaso di medio calibro comel’arteria iliaca esterna, che può essere sede di fenomeni patologici di stenosi edè trattato con impianto di stent [49, 50].

Sulla sezione di uscita del domino Ω21D si impongono condizioni al contor-

no assorbenti.In corrispondenza di rapide variazioni del segnale di portata, il modello

accoppiato descrive il fenomeno delle riflessioni d’onda. La presenza del tuborigido impone un “punto di lavoro” (Q, Pt) al tubo deformabile in corrispon-denza dell’interfaccia: i valori di area e portata sono diversi quelli che sareb-bero determinati dalla propagazione senza soluzione di continuità dell’ondadi portata.

In questa situazione, il modello 3D impone un segnale al modello 1D, che sitrasmette nel dominio Ω1

1D dalla sezione di interfaccia verso quella di ingresso:è possibile quindi che si abbiano sovrapposizioni tra l’onda pressoria associata


Ω3DΩ11D Ω2

1DAz

0 10 20 250.8044

0.81

0.82

0.83

0.84


0 10 20 250.8044

0.81

0.82

0.83

0.84

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

A

z

(a) A(t, z), t = 0.120s

0 10 20 25

0.81

0.82

0.83

0.84

0.8433


0 10 20 25

0.81

0.82

0.83

0.84

0.8433

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

Az

(b) A(t, z), t = 0.130s

0 10 20 250.816

0.82

0.83

0.84

0.8433


0 10 20 250.816

0.82

0.83

0.84

0.8433

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

A

z

(c) A(t, z), t = 0.140s

0 10 20 250.8229

0.83

0.84

0.8422


0 10 20 250.8229

0.83

0.84

0.8422

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

A

z

(d) A(t, z), t = 0.150s

FIGURA 4.14: Propagazione dell’onda di pressione in un vaso sen-za soluzione di continuità: nel modello 1D il va-lore di pressione media sulle sezioni è legato allavariazione dell’area (equazione (2.15))


0 10 20 250.829

0.83

0.84

0.841


z

A

0 10 20 250.829

0.83

0.84

0.841

(e) A(t, z), t = 0.160s

0 10 20 25

0.83

0.831

0.832

0.833

0.834

0.835

0.836

0.837

0.838

0.839

0.8394


z

A

0 10 20 25

0.83

0.831

0.832

0.833

0.834

0.835

0.836

0.837

0.838

0.839

0.8394

(f) A(t, z), t = 0.170s

0 10 20 250.823

0.83

0.8375


z

A

0 10 20 250.823

0.83

0.8375

(g) A(t, z), t = 0.180s

0 10 20 250.8168

0.82

0.83

0.8356


z

A

0 10 20 250.8168

0.82

0.83

0.8356

(h) A(t, z), t = 0.190s

FIGURA 4.14: Propagazione dell’onda di pressione in un vaso sen-za soluzione di continuità: nel modello 1D il va-lore di pressione media sulle sezioni è legato allavariazione dell’area (equazione (2.15))


Ω3D

Ω11D Ω2

1DAz

0 100.8333

0.84

0.8485


0 100.8333

0.84

0.8485

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

A

z

(a) A(t, z) in Ω1

1D , t = 0.120s

0 100.809

0.81

0.82

0.8239


0 100.809

0.81

0.82

0.8239

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

Az

(b) A(t, z) in Ω2

1D, t = 0.120s

0 100.8409

0.85

0.8517


0 100.8409

0.85

0.8517

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

A

z

(c) A(t, z) in Ω1

1D, t = 0.130s

0 100.8151

0.82

0.830.8305


0 100.8151

0.82

0.830.8305

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

A

z

(d) A(t, z) in Ω2

1D, t = 0.130s

FIGURA 4.15: Propagazione dell’onda di pressione in un vasocon impianto di stent: le immagini sulla colonnadi sinistra rappresentano il tratto di vaso a mon-te dello stent, mentre quelle sulla colonna di destrarappresentano il tratto di vaso a valle


0 100.8468

0.847

0.848

0.849

0.85

0.851

0.8514


0 100.8468

0.847

0.848

0.849

0.85

0.851

0.8514

PSfrag replacements

A

z

(e) A(t, z) in Ω1

1D, t = 0.140s

0 100.8211

0.83

0.8374


0 100.8211

0.83

0.8374

PSfrag replacements

A

z

(f) A(t, z) in Ω2

1D , t = 0.140s

0 100.8474

0.848

0.849

0.85

0.851


0 100.8474

0.848

0.849

0.85

0.851

PSfrag replacements

A

z

(g) A(t, z) in Ω1

1D, t = 0.150s

0 100.8273

0.83

0.84

0.8417


0 100.8273

0.83

0.84

0.8417

PSfrag replacements

A

z

(h) A(t, z) in Ω2

1D , t = 0.150s


82

0 100.8447

0.845

0.846

0.8462


0 100.8447

0.845

0.846

0.8462

PSfrag replacements

A

z

(i) A(t, z) in Ω1

1D, t = 0.160s

0 10

0.834

0.835

0.836

0.837

0.838

0.839

0.84

0.841

0.842

0.843


0 10

0.834

0.835

0.836

0.837

0.838

0.839

0.84

0.841

0.842

0.843

PSfrag replacements

A

z

(j) A(t, z) in Ω2

1D, t = 0.160s

0 100.8352

0.836

0.837

0.838

0.839

0.84

0.8407


0 100.8352

0.836

0.837

0.838

0.839

0.84

0.8407

PSfrag replacements

A

z

(k) A(t, z) in Ω1

1D, t = 0.170s

0 100.83772

0.838

0.839

0.84

0.841

0.842


0 100.83772

0.838

0.839

0.84

0.841

0.842

PSfrag replacements

A

z

(l) A(t, z) in Ω2

1D , t = 0.170s



0 100.8245

0.83

0.8346


0 100.8245

0.83

0.8346

PSfrag replacements

A

z

(m) A(t, z) in Ω1

1D, t = 0.180s

0 100.83886

0.8389

0.839

0.8391

0.8392

0.8393

0.8394

0.8395

0.8396

0.8397

0.8398


0 100.83886

0.8389

0.839

0.8391

0.8392

0.8393

0.8394

0.8395

0.8396

0.8397

0.8398

PSfrag replacements

A

z

(n) A(t, z) in Ω2

1D, t = 0.180s

0 10

0.815

0.816

0.817

0.818

0.819

0.82

0.821

0.822

0.823

0.824


0 10

0.815

0.816

0.817

0.818

0.819

0.82

0.821

0.822

0.823

0.824

PSfrag replacements

A

z

(o) A(t, z) in Ω1

1D, t = 0.190s

0 10

0.833

0.834

0.835

0.836

0.837

0.838


0 10

0.833

0.834

0.835

0.836

0.837

0.838

PSfrag replacements

A

z

(p) A(t, z) in Ω2

1D, t = 0.190s


84

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D Ω2

1D

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

(a) p(t, x), t = 0.160

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

(b) u(t, x), t = 0.160

FIGURA 4.16: Condizioni emodinamiche all’istante di picco sisto-lico nel tratto di vaso con impianto di stent


al flusso fisiologico del sangue e quella determinata dalla presenza dello stentrigido.

In particolare, si è considerata la propagazione del valore di picco sistolicodella pressione. Se il vaso è in condizioni fisiologiche, cioè non ha soluzionidi continuità nelle caratteristiche meccaniche e geometriche, può essere rap-presentato da un unico modello monodimensionale (figura 4.14). In tal caso ilsegnale di pressione propaga dalla sezione di ingresso verso quella di uscita,senza alterazioni morfologiche.

In figura 4.15 è illustrato il comportamento del vaso in presenza dello stent.L’irrigidimento del tratto Ω3D determina un’aumento medio dei valori di pres-sione durante il ciclo cardiaco: si trova che nel caso patologico la pressione inΩ1

1D aumenta mediamente dell’8 − 10% nel ciclo cardiaco. Ad esempio, all’i-stante t = 0.120s, prima del raggiungimento del valore di picco sistolico, sinota che il valore dell’area sulla sezione di ingresso di Ω1

1D (figura 4.15(a)) èmaggiore rispetto al caso fisiologico (figura 4.14(a)).

Sulla sezione di ingresso di Ω11D il valore di picco sistolico della pressione

è assunto al tempo t = 0.130s (figure 4.14(b), 4.15(c)): il segnale propaga eraggiunge la sezione di interfaccia con Ω3D nell’istante di tempo t = 0.160s(figure 4.14(e), 4.15(i)). La riflessione dell’onda di pressione è responsabiledella persistenza di alti valori di pressione nel tratto di vaso a monte dellostent, in tutto l’intervallo di tempo t = 0.130 − 0.160s (figure 4.15(c)- 4.15(i)).

Nel tratto di vaso fisiologico a valle dello stent, la propagazione dell’on-da di pressione non è disturbata dai fenomeni di riflessione a monte. Si notatuttavia che la presenza del tratto di vaso rigido Ω3D aumenta la velocità ditrasmissione del dato di pressione: il valore di picco sistolico è raggiunto nelcaso patologico a t = 0.160s (figura 4.15(j)), anzichè a t = 0.170c come nel casofisiologico (figura 4.14(e)).

Il modello tridimensionale consente di visualizzare nel dettaglio le caratte-ristiche emodinamiche nel vaso in corrispondenza dello stent. In questo caso,la geometria vascolare riprodotta è molto semplice, e le informazioni che siricavano non sono di particolare interesse clinico. La figura 4.16 rappresentai valori di velocità e pressione in Ω3D, in corrispondenza dell’istante di tempot = 0.160s, in cui si raggiungono i valori di picco sistolico.

86

4.3.2 Fluidodinamica nelle biforcazioni

I distretti in cui un’arteria madre si biforca in due arterie figlie sono tipi-camente sede di fenomeni di interesse biologico: la configurazione geometricadella biforcazione determina condizioni di flusso e regimi di sollecitazione sul-la parete che possono essere correlate con l’insorgenza di patologie vascolari[3].

La fluidodinamica nelle biforcazioni dipende dalle caratteristiche meccani-che delle arterie. Se la parete dei vasi figli è modificata da fenomeni di ispessi-mento o irrigidimento, risulta meno deformabile: a parità di portata, aumenta-no localmente i valori di pressione del sangue. Di conseguenza, per garantireuna perfusione fisiologica dei distretti a valle, sono necessari valori di pressio-ne più elevati: in definitiva, aumenta il lavoro richiesto al muscolo cardiaco(soprattutto se i vasi sono interessati da portate ematiche significative).

L’alterazione delle caratteristiche meccaniche può coinvolgere in manieraprevalente uno solo dei vasi figli. In queste condizioni la pressione tende adinnalzarsi localmente, in corrispondenza dei tratti di vaso meno deformabili, ela distribuzione del flusso tra i due rami della biforcazione cambia. La portatanel ramo fisiologico è maggiore, e cambiano le caratteristiche emodinamichelocali.

I fenomeni illustrati possono essere studiati con una prospettiva multisca-la: l’irrigidimento dei vasi figli può essere simulato da modelli monodimen-sionali opportunamente tarati, mentre i modelli tridimensionali consentono dianalizzare le alterazioni alle caratteristiche emodinamiche dovute all’accop-piamento.

La biforcazione iliaca

Una geometria reale della biforcazione è stata ricostruita a partire da dati ditomografia computerizzata: il software Mimics ha consentito di ottenere la de-scrizione del volume di interesse per mezzo di semplici entità geometriche, apartire dalle quali è stato creato un modello tridimensionale in ambiente CADRhinoceros. Infine, il software Gambit ha consentito di disegnare la griglia didiscretizzazione del dominio Ω3d (figura 4.17(a)). Il dominio Ω3d rappresen-ta l’ultimo tratto di aorta addominale, la biforcazione e l’inizio delle arterieiliache comuni. I domini Ω1

1d e Ω21d rappresentano una porzione dell’albero ar-

tierioso a valle della biforcazione, che comprende le arterie iliache esterne e lefemorali superficiali (figura 4.17(b)). Per semplicità, si assume che le caratte-ristiche geometriche e meccaniche si mantengano omogenee in tutti i distretticonsiderati: in questo modo, ciascuno dei domini monodimensionali può es-sere descritto da un unico modello, senza soluzioni di continuità. Le caratte-


PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D

Ω21D

(a) Il dominio computazionale tridi-mensionale (18527 tetraedri)

PSfrag replacements

Ω3D

Ω11D Ω2

1D

(b) Lo schema di accoppiamento uti-lizzato

FIGURA 4.17: Il modello accoppiato per la biforcazione iliaca

ristiche meccaniche e geometriche considerate fisiologiche nella simulazionesono indicate nella tabella seguente:

Ω11D Ω2

1D

Modulo di Young 6.18 × 107Pa 6.18 × 107PaSpessore della parete 0.18cm 0.18cm

Raggio di riferimento R0 0.92cm 0.85cmLunghezza 60cm 60cm

FIGURA 4.18: I dati utilizzati nella simulazione: i valori scelti peril modulo di Young e lo spessore della parete sonofisiologici per l’arteria femorale superficiale [51]

In corrispondenza della sezione di ingresso di Ω3d è stato imposto un valo-re di portata Q(t) realistico, il cui andamento temporale è illustrato in figura4.13. Il valore medio imposto (Q = 20cm3/s = 1200ml/min) è ragionevole perl’aorta addominale di un adulto sano, in condizioni di riposo.

La presenza dei distretti vascolari a valle, rappresentati dai modelli mo-nodimensionali, viene correttamente percepita dal modello tridimensionale: ilvalore di pressione sulla sezione di ingresso si assesta su un ordine di grandez-za ragionevole (valore di picco sistolico psist ' 70mmHg), ma sottostima del

88

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 120

30

40

50

60

70

80

90

100

110


pres

sion

e (m

mH

g)

β1=0.5

β1=1

FIGURA 4.19: Andamento del valore di pressione sulla sezione diingresso del dominio Ω3D (aorta addominale). Mo-dificando la legge costitutiva della parete vascolare,utilizzata nei modelli 1D a valle, si ottengono valoriprossimi a quelli fisiologici [1]

30 % il valore fisiologico (che è di almeno 100mmHg [1]). L’errore commessova attribuito ad una inadeguata riproduzione delle caratteristiche meccanichedella parete dei vasi: nel modello 1D si è scelta una relazione tra area e pressio-ne propria dei solidi elastici lineari (la (2.15), con β0 opportuno), che trascurala natura viscoelastica della struttura. Si è notato tuttavia che modificando ilvalore del parametro β1 nella (2.15) si possono ottenere valori fisiologicamentepiù realistici (figura 4.19). Una trattazione approfondita dei modelli matema-tici per la parete vascolare esula dagli scopi di questo lavoro: per una analisidel ruolo di β1 si rimanda ad esempio a [52].

Il modello accoppiato descrive bene la suddivisione della portata nei duerami della biforcazione: nel caso fisiologico, in ciascuno dei domini Ω1

1d e Ω21d

entra circa la metà della portata imposta all’ingresso di Ω3d (figure 4.20(a)4.20(b)), pari ad un valore Q1 ' Q2 ' 10cm3/s (in accordo con misure spe-rimentali, [53]). I valori di portata non sono esattamente uguali, poichè la geo-metria della biforcazione è ricostruita con una certa approssimazione (dovutaal processo di acquisizione dei dati di CT e alla successiva elaborazione): perquesto motivo i due rami di Ω3d non hanno le stesse dimensioni. In particola-re, è differente il raggio sulle sezioni di interfaccia (vedi tabella 4.12), e questogiustifica una distribuzione asimmetrica del flusso ematico.

L’effetto dell’irrigidimento di una arteria nel distretto a valle della biforca-zione è stato studiato modificando i valori del modulo di Young e dello spes-sore della parete nel modello monodimensionale corrispondente: ipotizzandoche l’arteria iliaca di destra sia interessata da una alterazione delle proprie-


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 15

10

15

20

25

30

port

ata

(cm

3 /s)


arteria iliaca destraarteria iliaca sinistra

(a) Valori assoluti delle portate neidue rami della biforcazione

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


perc

entu

ale

della

por

tata

(%

)

arteria iliaca destraarteria iliaca sinistra

(b) Le portate nei due rami della bi-forcazione, normalizzate al valore diportata in aorta addominale

FIGURA 4.20: La suddivisione del flusso ematico tra i due ramidella biforcazione. Ciascuna delle arterie iliache co-muni riceve circa la metà della portata dell’aortaaddominale

tà strutturali in un tratto prossimale di 5cm di lunghezza, i dati vanno cosìmodificati:

Ω11D (tratto prossimale) Ω2

1D

Modulo di Young 10.6 × 107Pa 6.18 × 107PaSpessore della parete 0.23cm 0.18cm

FIGURA 4.21: I dati utilizzati nella simulazione: l’arteria iliaca didestra è più spessa e più rigida nel tratto iniziale(valori tratti da [51])

In queste condizioni, la portata in Ω11D si riduce del 15% circa (figure 4.22(a),

4.22(b)), mentre la portata in Ω21D aumenta (figure 4.23(a), 4.23(b)). Inoltre la

presenza del’irrigidimento nell’arteria iliaca causa un aumento del 19% circanella pressione in aorta (figure 4.24(a), 4.24(b))

4.4 Prospettive

La modellazione multiscala di vasti distretti del sistema circolatorio richie-de lo sfruttamento di reti di modelli locali e sistemici, che consentano di ripro-

90

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 15

10

15

20

25

30

percentuale del periodo cardiaco (T=0.83s)

port

ata

(cm

3 /s)

caso fisiologicocaso patologico

(a) Valori assoluti della portata nel-l’arteria iliaca comune di destra (casofisiologico e caso patologico)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 182

83

84

85

86

87

88

89

9

91

92


rapp

orto

tra

le p

orta

te (

%)

(b) Rapporto tra le portate nel-l’arteria iliaca comune di destraQpatologica/Qfisiologica

FIGURA 4.22: Effetto dell’irrigidimento dell’arteria iliaca comunedi destra: diminuisce la portata nell’iliaca di destra

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 16

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26


port

ata

(cm

3 /s)


(a) Valori assoluti della portata nel-l’arteria iliaca comune di sinistra (casofisiologico e caso patologico)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1110

115

120


rapp

orto

tra

le p

orta

te (

%)

(b) Rapporto tra le portate nel-l’arteria iliaca comune di sinistraQpatologica/Qfisiologica

FIGURA 4.23: Effetto dell’irrigidimento dell’arteria iliaca comunedi destra: aumenta la portata nell’iliaca di sinistra


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 120

30

40

50

60

70

80


pres

sion

e (m

mH

g)


(a) Valori assoluti della pressione nel-l’aorta addominale (caso fisiologico ecaso patologico)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1105

110

115

120

125

130


rapp

orto

tra

le p

ress

ioni

(%

)

(b) Rapporto tra le pressioni nell’aortaaddominale Ppatologica/Pfisiologica

FIGURA 4.24: Effetto dell’irrigidimento dell’arteria iliaca comunedi destra: aumenta la pressione in aorta addominale

durre le articolazioni anatomiche delle strutture vascolari di interesse.A questo scopo, occorre definire metodi numerici efficienti e flessibili per

la gestione di configurazioni di accoppiamento multiple o ibride (ad esempio,un modello accoppiato multiplo 1D-3D-1D inserito in un circuito vascolaredescritto da modelli a parametri concentrati).

Lo studio dei singoli problemi di interazione va integrato nell’ottica com-plessiva della simulazione efficace e realistica del sistema circolatorio.

In questa direzione si muove anche l’estensione delle strategie di accop-piamento descritte in questo lavoro al caso in cui i modelli tridimensionaliriproducano la deformabilità della parete: in tal caso, l’utilizzo coordinato dimodelli 3D deformabili e 1D deformabili può consentire la descrizione accura-ta dei fenomeni di interazione fluido struttura. Infatti, in un’ottica multiscala,la propagazione delle onde pressorie nell’albero arterioso potrebbe essere stu-diata senza soluzione di continuità nel modello globale e in quello locale, consi-derando il dettaglio fluididinamico in distretti di caratteristiche meccaniche egeometriche realistiche.

Ringraziamenti

All’inizio di questo lavoro ero alla ricerca di un “maestro di bottega”, chemi guidasse lungo i sentieri (così aspri!) del calcolo scientifico e della model-listica numerica. Lavorando alla tesi ho poi scoperto che il modo migliore pertrovare la propria direzione è camminare al fianco di persone appassionate ecompetenti.

Per questo voglio ringraziare in modo particolare Alessandro Veneziani,“compagno di strada” prima ancora che guida, che mi ha spesso indicatola via più agevole per superare i valichi più impegnativi. Il suo infaticabileentusiasmo è stato ogni giorno per me uno stimolo prezioso.

Christian Vergara mi ha seguito con pazienza e disponibilità in tutte le fasidel mio lavoro. Lavorando con lui ho apprezzato il valore della disciplina,una autentica risorsa quando i risultati sembrano non quadrare. A lui devo lasoddisfazione delle mie prime simulazioni funzionanti.

Al MOX ho trovato un ambiente quasi familiare, che ha reso più piacevoleil mio cammino. Ringrazio tutti gli amici conosciuti in questi mesi, a partiredai “colleghi” del laboratorio.

Un pensiero particolare va al “multiscale staff”: le discussioni 3D-1D conAlexandra “Xila” Moura hanno gettato semi i cui frutti ho puntualmente rac-colto; Vincent Martin mi ha insegnato a stare a galla nel vasto e ondoso maredelle equazioni differenziali iperboliche.

Non può mancare in questa sede il ricordo di chi mi ha accompagnato finoai piedi della vetta. Le amicizie impreziosiscono di ricordi indelebili le tappedel cammino: sono felice di portare con me l’affetto di tante persone conosciutestrada facendo.

Ringrazio per primi i miei coinquilini: grazie a loro Milano è stata ancheun focolare domestico. Ringrazio i compagni di corso, che hanno condivisocon me la bohème universitaria. Ringrazio gli amici di vecchia data, che hannoposto le fondamenta della mia personalità.

Rivolgo un ringraziamento speciale a Patricia, che mi ha insegnato a cerca-

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re l’anima nascosta tra le parole di un testo.

La mia famiglia è il cuore pulsante della mia vita. Ai miei genitori va lamia gratitudine per la solidità dell’amore che mi hanno sempre dimostrato.Per questo, e perchè sono un punto di riferimento in ogni circostanza, dedicoa loro questo lavoro.

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Finito di stampare il 31 marzo 2005 utilizzando LATEX 2ε

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