Modélisation et Simulation de Milieux Poreux par …hydrologie.org/THE/PIERITZ.pdf · Résumé Les...

THESE présentée par

Romeu André PIERITZ Ingénieur Mécanique

de l’Université Fédérale de Santa Catarina – UFSC - Brésil Master of Sciences and Engineering

de l’Université Fédérale de Santa Catarina – UFSC - Brésil

pour obtenir le titre de DOCTEUR

de l’Université Joseph Fourier – Grenoble I (Arrêtés ministériels du 5 juillet 1984 et du 30 mars 1992)

Spécialité : Géophysique, Géochimie et Géomécanique

Modélisation et Simulation de Milieux Poreux

par Réseaux Topologiques

Date de Soutenance : 02/12/1998 Composition du jury :

M. P.C. PHILIPPI M. F.H. WITTMANN

Rapporteur

M. J.F. DAIAN M. J.P. LAURENT

Directeur de Thèse

Mme. A. MONTANVERT M. J.B. BRZOSKA M. R. HAVERKAMP

Examinateur

Thèse préparée au sein du Laboratoire d’Etude des Transferts en Hydrologie et Environnement

LTHE - UMR 5564 CNRS-ORSTOM-INPG-UJF

Résumé

Les propriétés de transfert de fluides dans le milieu poreux sont liées à la complexité géométrique de la

structure du réseau. Cette structure complexe est caractérisée par des propriétés géométriques liées à

la forme (morphologiques) et à la connexion (topologiques) entre les pores. Un des premiers objectifs

de ce travail est de caractériser la microstructure par le développement des méthodologies de

description topologique de la géométrie en 3D. Ces opérateurs géométriques sont basés sur la

mathématique algorithmique (géométrie discrète) permettant de réduire l'information à des "squelettes"

discrets. L'application des squelettes permet la détermination d'une "fonction de distribution

topologique" basée sur une description du type de réseaux (sites et liens). Les descripteurs de forme

sont ensuite appliqués sur des échantillons générés numériquement (géométries simples, complexes et

"fissurées"). Ainsi, diverses analyses morphologiques et topologiques sont réalisées pour étudier le

rapport géométrique entre les sections et leurs volumes respectifs. Le deuxième objectif de ce travail

est la modélisation des processus de transferts de fluides à travers des squelettes. Deux méthodes sont

présentées: une méthode géométrique et une basée sur l'analogie électrique. La méthode de simulation

géométrique est appliquée sur les sections et les volumes pour l'observation de l'influence de la

topologie dans l'intrusion et l'extrusion d'un fluide non-mouillant. Un modèle de pores cylindriques

élémentaires connectés est proposé pour estimer une conductivité hydraulique à saturation à partir du

"graphe" associé au squelette. La méthode de simulation utilise une analogie électrique à travers d'une

solution numérique optimisée pour résoudre le système. La comparaison des résultats entre les

structures permet d'observer l'influence de la complexité géométrique du réseau sur les propriétés de

transfert.

Mot clé: Géométrie discrète, morphologie, topologie, squelette discret, sites et liens, distribution

topologique, simulation géométrique, intrusion / extrusion d'un fluide, analogie électrique, conductivité

hydraulique.

Abstract

The porous media transport properties are related to the geometrical complexity of the network

structure. This complex structure is distinguished by geometrical properties related to the shape

(morphological) and to the links (topological) between the pores. The first objective of this work is the

development of topological description methods to characterize the 3D micro structure geometry. These

geometrical operators are proposed in the "algorithmical" mathematics (discrete geometry) allowing the

reduction of the information to discrete "skeletons". This approach allows us to determine a "topological

distribution function" through a network description (sites and bonds). Shape descriptors are then used

over generated numerical data (simple geometry, complex geometry and "cracks"). Therefore, different

morphological and topological analysis are made to interpret the geometrical relation between image

sections and their respective volumes. The second objective of this work is modeling fluid transport

phenomena by skeletons. Two methods are proposed: a geometrical method and one based on

electrical analogy. The geometrical simulation method is applied over 2D sections and their volume to

observe the topology contribution to capillary nonwetting phase flow displacements. Connected

elementary cylindrical model is proposed to evaluate the saturated hydraulic conductivity, from the

associated skeleton "graph". The simulation method uses an electrical analogy with special numerical

solution method to find the system solution. The comparison of data between the structures allow the

identification of the influence of the network geometric complexity over transport properties.

Key word: Discrete geometry, morphology, topology, discrete skeleton, sites and bonds, topological

distribution, geometrical simulation, capillary displacements, electrical analogy, hydraulic conductivity

Notations et Conventions

Ms Masse des constituants solides Vs Volume des constituants solides ρs Masse volumique réelle ρ Masse volumique apparente sèche V Volume apparent du milieu ε Porosité du milieu Vv Volume de vides εd Porosité du milieu discret k Perméabilité hydraulique θads Teneur volumique en eau adsorbée P Pression ∆P Différence de pression Pc Pression capillaire R Rayon Rc Rayon capillaire Q Débit v Vitesse fictive Vr Vitesse moyenne de pore S Surface de la section Sv Surface de la section du volume τ Tortuosité θ Teneur en eau η viscosité dynamique du fluide G Conductance hydraulique Gélec Conductance électrique I Courant électrique ∆U Différence de potentiel L Longueur caracteristique Lv Longueur caracteristique du volume Géq Conductance hydraulique équivalente Re Résistance électrique Gij Conductance élémentaire entre deux nœuds i et j Lij Longueur élémentaire entre deux nœuds i et j Rij Rayon moyen entre deux nœuds i et j Kéq Conductivité équivalente Z Impédance électrique Zéq Impédance électrique équivalente Z3 L'espace discret en 3 dimensions Z2 L'espace discret en 2 dimensions R3 L'espace réel en 3 dimensions

E3 Espace Euclidien en 3 dimensions d8 Masque 2D de voisinage avec 8 éléments d6 Masque 3D de voisinage avec 6 éléments d26 Masque 3D de voisinage avec 26 éléments d18 Masque 3D de voisinage avec 18 éléments d34 Masque de chanfrein 2D (métrique 3) d5711 Masque de chanfrein 2D (métrique 5) d345 Masque de chanfrein 3D (métrique 3) e Nombre de Euler LUT Table de correspondance pour les distances de chanfrein Bd(Cd, Rr) Boule discrète Cd(x,y,z) Centre géométrique de la boule discrète Rr

Raio de la Boule discrète dc(Rr+∆d) Distance de contact entre centres ∆d Variation de distance If Critère d’interférence entre éléments - superposition Bc Boule candidate F(R) Fonction de distribution de rayons Ω( ) Générateur de nombres aléatoires DM Carte de distance DM-1 Reconstruction de la carte de distance à partir de transformation inverse

d'un squelette VDM Carte de distance volumétrique VDM-1 Reconstruction de la carte de distance volumétrique à partir de

transformation inverse d'un squelette AM L'axe médian 2D et 3D LM Ligne médiane 2D LMn Ligne médiane 2D orthogonale aux bords LMV Ligne médiane volumique - 3D (surface médiane) LMVF Ligne médiane volumique filtrée LMVn Ligne médiane volumique orthogonale aux frontières LMVFn Ligne médiane volumique filtrée orthogonale aux frontières GLM Graphe de la ligne médiane GLMG Graphe de la ligne médiane généralisé M Matrice MR Matrice de représentation du graphe NC Nœud central NP Nœud de proéminence NCo Nœud de connexion NS Nœud strict FID Front d'intrusion et d'extrusion NFID Complémentaire du front d' intrusion et d'extrusion sur le squelette ISS Index de surface spécifique VER Volume élémentaire de contrôle Ybus Matrice Bus Admittance Zbus Matrice Bus Impédance

Table des Matières

Introduction

1

Chapitre 1 - Description Des Milieux Poreux - Phénomènes de Transferts 5

1.1 Introduction 71.2 La Géométrie des Milieux Poreux 8

1.2.1 La Structure Solide 81.2.2 La Structure Poreuse 9

1.3 L’eau en Milieu Poreux 101.4 Transport D’eau en Milieu Poreux 13

1.4.1 Echelle Microscopique – Pores 131.4.1.1 Loi de Poiseuille 131.4.1.2 Imbibition et Extrusion 141.4.1.3 Phénomène d’Hystérésis 151.4.1.4 Modèles de Simulation 16

1.4.2 Echelle Macroscopique 211.4.2.1 La Loi de Darcy 221.4.2.2 Modèles de Simulation 23

1.5 Caractérisation Hydrique - Les Sols 261.5.1 Dynamique en Milieu Saturé 26

1.5.1.1 Approche Microscopique 271.5.1.2 Approche Macroscopique 271.5.1.3 La Conductivité Hydraulique à Saturation 28

1.5.2 Dynamique en Milieu Non Saturé 291.5.2.1 La Conductivité Hydraulique 30

1.5.3 Détermination Expérimentale 311.6 Synthèse du Chapitre 32 Chapitre 2 - La Géométrie Discrète et la Description de Formes 35

2.1 Introduction 372.2 La Géométrie Discrète 37

2.2.1 Définitions et Notions de Base en 2D – L’analyse d’image 382.2.1.1 Voisinages et Connexité 382.2.1.2 Distances Discrètes 402.2.1.3 Distance Euclidienne 422.2.1.4 Distance de Chanfrein 422.2.1.5 Carte de Distances – Schéma Algorithmique 432.2.1.6 Transformation Inverse 442.2.1.7 Les Cercles Discrets 452.2.1.8 Taux d’Erreur 46

2.2.2 Définitions et Notions de Base en 3D – L’analyse du Volume 472.2.2.1 Voisinage, Connexité et Nombre d’Euler 472.2.2.2 Distances Discrètes dans Z3 - Distance Euclidienne 49

2.2.2.3 Distance D6 502.2.2.4 Distance D26 512.2.2.5 Distance D18 522.2.2.6 Distances de Chanfrein 532.2.2.7 Volume de Distances – Schéma Algorithmique 532.2.2.8 Transformation Inverse 542.2.2.9 Les Sphères Discrètes 552.2.2.10 Taux d’Erreur 56

2.3 La Description de Formes 562.3.1 Modèles de Représentation en 2D 57

2.3.1.1 L'axe Médian 572.3.1.2 Maxima Locaux 592.3.1.3 Réversibilité 602.3.1.4 Propriétés de L’axe Médian 602.3.1.5 La Ligne Médiane 602.3.1.6 Propagation des Chemins 612.3.1.7 Graphe de La Ligne Médiane 62

2.3.2 Modèles de Représentation en 3D 632.3.2.1 Axe Médian 642.3.2.2 Surface Médiane 692.3.2.3 La Surface Médiane Normale aux Bords - LMVn 712.3.2.4 La Surface Médiane Filtrée LMVF – Filtre Topologique 732.3.2.5 Graphe de La Surface Médiane Généralisé 73

2.4 Synthèse du Chapitre 74 Chapitre 3 - Génération et Analyse Morpho-Topologique de Structures 3D 75

3.1 Introduction 823.2 Méthodologies de Génération - Générateurs Discrets 82

3.2.1 Structures Régulières - Contrôle Morpho-Topologique 823.2.2 Fonction Distribution Granulométrique 833.2.3 Milieu Fissuré 843.2.4 Colonnes 863.2.5 Reconstruction Volumique par Sections en Série 88

3.3 Méthodologies d'Analyse 913.3.1 Mesures Morphologiques 91

3.3.1.1 Porosité 913.3.1.2 Granulométrie 913.3.1.3 Volume Elémentaire 933.3.1.4 Index De Surface Spécifique - ISS 93

3.3.2 Mesures Topologiques 943.3.2.1 Distribution de Sites et Liens 943.3.2.2 Fonction Distribution Topologique 97

3.4 Génération de Structures 3D 983.4.1 Structure Régulier 98

3.4.1.1 Sphères sans Connexion 993.4.1.2 Sphères avec Connexion 1043.4.1.3 Comparaison de Résultats 108

3.4.2 Structure Irrégulière 1093.4.2.1 Fonction Distribution Gaussienne 1093.4.2.2 Le Milieu Fissuré 1173.4.2.3 Comparaison de Résultats 122

3.4.4 L'analyse Géométrique de la Neige 3D 1233.5 Synthèse du Chapitre 128

Chapitre 4 - Modélisation et Simulation de Propriétés de Transferts 131

4.1 Introduction 1334.2 Méthode géométrique - Simulation de l'intrusion et de l'extrusion d'un fluide non-mouillante

134

4.2.1 Présentation de la méthode 1344.2.2 Limitations 1374.2.2 L’intrusion et l'extrusion d'un fluide non-mouillant dans les sections 2D 1374.2.3 L’intrusion et l'extrusion d'un fluide non-mouillant en 3D 1464.2.3 Distribution de la taille de pores 3D 157

4.3 Méthode matricielle - Estimation de la Perméabilité sur le GLMG 160 4.3.1 La matrice de représentation du graphe - MR 163

4.3.2 Analogie électrique - les Matrices YBus 1644.3.3 Résolution numérique optimisée - décomposition LU 1674.3.4 La sensibilité géométrique 1684.3.5 Estimation de K pour les échantillons numériques 170

Conclusion Générale 173 Bibliographie 177 Annexe A Morphologie Mathématique – Granulométrie par Erosion et DilatationAnnexe B The Generalised Median Line Graphics Technique in Porous Media Geometry Characterisation Annexe C Discrete Multiphase Equilibrium Simulation in Porous MediaAnnexe D Calcul Numérique de Courbures Tridimensionnelles : Application à la Neige Humide Annece E Développements

Table de Figures

[1] La complexité géométrique d'une structure réelle. 7[2] L'ascension capillaire d'un liquide mouillante 12[3] Fig. 2.2 - Représentation d'une image discrète 38[4] Voisins directs (a) et indirects (b) 39[5] Dualité des connexités 40[6] Disques unité de (a) d4 et (b) d8 41[7] DM pour (a) d4 et (b) d8 42[8] Pondérations locales 43[9] DM pour (a) d3,4 et (b) d5,7,11 43[10] Masques séquentiels 44[11] DM pour d3,4 en 2 balayages séquentiels 44[12] DM-1 pour d3,4 en 2 balayages séquentiels 45[13] Cercles discrètes de d3,4 45[14] Les cercles discrètes selon la distance 46[15] L'erreur rapportée à la distance Euclidienne 46[16] L'erreur rapportée à la distance Euclidienne 46[17] Les 6 directions de l'espace. 48[18] Objets 3D 49[19] Une sphère réelle et ça boule euclidienne discrète. 50[20] La voisinage d'un point selon d6 51[21] La 26-voisinage d'un point selon d26 52[22] Le 18-voisinage d'un point selon d18. 53[23] La masque de chanfrein d345 (d26-vosinage); 53[24] Masques séquentiels pour la distance du chanfrein d345 54[25] La boule discrète selon d6 (a) et selon d18 (b). 55[26] La boule discrète selon d26 55[27] Le boule discrète avec le chanfrein d345 56[28] Axe médian obtenu avec des cercles. 58[29] L’axe médian après correction par la LUT (c,d) 59[30] Les points de AM (gris) et les points de reconnexion (carré) 60[31] L’axe médian et la ligne médiane 62[32] Le graphe de la ligne médiane généralisée 63[33] L’axe médian 3D pour une sphère. 65[34] L'axe médian 3D pour la sphère obtenue sans LUT 65[35] L'axe médian 3D avec l'application de la LUT 66[36] L’axe médian discret (avec d345) pour un cube 66[37] L’axe médian pour l’ensemble de boules connectés 67[38] L'axe médian pour un volume générique 68[39] La surface médiane 69[40] La LMn selon la frontière dans l’infini 70[41] La LMVn 71[42] La surface médiane filtrée LMVF et la LMVFn 72[43] Comparaison entre le profil de volume reconstruit 73[44] Le GLMG pour le LMV et pour le LMVFn 74

[45] La génération d'un milieu 2D irrégulier 82[46] La fissure générée selon la diagonale principale 84[47] Une colonne multi-couche 85[48] Image après la coupure et après la sublimation 86[49] Image différentielle (a) et après seuillage (b). 87[50] L’image filtrée par les dilatations successives 88[51] Empilement successif des sections binaires 89[52] Comparaison entre le profil volumique de la phase solide 90[53] Comparaison entre Granulométrie 92[54] La caractérisation d'un réseau de pores 95[55] Le volume des liens 97[56] Le volume des sites 97[57] L’empilement régulier de sphères et la section 2D 99[58] L’empilement régulier de sphères sans contact 100[59] La mesure d’un VER pour la phase solide et porosité en Z 100[60] Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D 101[61] Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D 101[62] Distribution de grains pour la phase solide 102[63] Image des liens dans la phase poreuse segmentée 102[64] Distribution de grains pour la phase solide par le GLMG 103[65] Distribution de sites pour la phase poreuse 104[66] La surface topologique pour la phase poreuse 3D. 104[67] L’empilement régulier de sphères et la section 2D 105[68] VER pour la phase solide 105[69] Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D 106[70] Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D 106[71] Distribution de taille de grain pour la phase solide 107[72] Image des liens dans la phase solide segmentée 107[73] Distribution de taille de grain pour la phase solide 3D 107[74] Distribution de taille de pores pour la phase poreuse 3D 108[75] La surface topologique pour la phase la poreuse 3D 108[76] Le milieux discret généré avec une distribution gaussiene 109[77] Image de la section XY (a) , section XZ (b) et YZ (c) 110[78] VER pour la phase solide et le profil de porosité en Z (b) 110[79] Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D 111[80] Granulométrie par ouverture des XY,XZ et YZ en 2D 111[81] Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D 112[82] Granulométrie par ouverture des sections XY,XZ et YZ 112[83] Distribution de taille de grains pour les site et pour le liens 113[84] Distribution de taille de grains pour les site et pour de la section XY 113[85] Surface topologique pour la section XY 2D 114[86] Surface topologique pour la section XZ 2D 114[87] Surface topologique pour la section YZ 2D 114[88] Surface topologique pour la section XY 2D 115[89] Surface topologique pour la section XZ 2D 115[90] Surface topologique pour la section YZ 2D 115[91] Distribution de taille grains et pour le liens 116[92] Distribution de taille de pores et pour le liens 116[93] Surface topologique de la phase solide 117[94] L'image des fissures 117[95] Image de la section XY, XZ et YZ pour le milieu fissure 118[96] VER pour la phase solide et le profil de porosité en Z (b) 118[97] Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D 118[98] Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D 119[99] Distribution de taille de grain pour les sites et liens 119[100] Distribution de taille de grain pour la section XY par le GLMG 120[101] Surface topologique pour la section XY 2D solide 120[102] Surface topologique pour la section XZ 2D solide 120

[103] Surface topologique pour la section YZ 2D solide 121[104] Distribution de taille de grain et pour les liens du solide 3D 121[105] Distribution de taille de pores et pour les liens de la phase poreuse 3D 122[106] Surface topologique pour le volume 3D fissuré. 122[107] Sections du volume de neige surgelée 123[108] Image de la section XY , XZ , YZ 124[109] VER pour la phase solide et le profil volumique en Z (b) 124[110] Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D 124[111] Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D 125[112] Distribution de sites par le GLMG pour la phase solide 2D 125[113] Distribution de sites par le GLMG pour la phase poreuse 2D 125[114] Superficie topologique pour la section XY 2D 126[115] Superficie topologique pour la section XZ 2D 126[116] Superficie topologique pour la section YZ 2D 126[117] Distribution de sites et pour le liens par le GLMG 127[118] Distribution de sites et pour le liens de la phase poreuse 3D 127[119] Superficie topologique pour la phase solide 127[120] Un modèle de système poreux 135[121] L'intrusion d'un fluide non-mouillante 136[122] La extrusion d'un fluide non-mouillante 136[123] L’image de la section XY, XZ et YZ avec le squelette LMn 137[124] L’image de la section XY après l'intrusion et extrusion 138[125] Les courbes d'intrusion et d'extrusion en 2D pour la section XY 139[126] L’image de la section XZ après l'intrusion et extrusion 140[127] Les courbes d'intrusion et d'extrusion en 2D pour la section XZ 140[128] L’image de la section YZ du milieu Gaussien après l'intrusion 141[129] Les courbes d'intrusion et d'extrusion en 2D pour la section YZ 141[130] L’image de la section XY, XZ, et YZ. 142[131] L’image de la section XY du milieu Gaussien fissuré 143[132] Les courbes d'intrusion et d'extrusion en 2D pour la section XY 143[133] L’image de la section XZ du milieu Gaussien fissuré 144[134] Les courbes d'intrusion et d'extrusion en 2D pour la section XZ 144[135] L’image de la section YZ du milieu Gaussien fissuré 145[136] Les courbes d'intrusion et d'extrusion en 2D pour la section YZ 145[137] L’intrusion 3D d’un fluide non-mouillant 147[138] L'extrusion 3D d’un fluide non-mouillant 148[139] Les profiles pour l’intrusion et l'extrusion d'un fluide non-mouillant en 3D 149[140] Le squelette normal aux frontières LMVn pour la phase poreuse 150[141] Les profils pour l’intrusion en 3D 151[142] Les profils pour l’extrusion en 3D 152[143] Les courbes d'extrusion en 3D pour le milieu Gaussien 153[144] Les sections du squelette normal aux frontières 154[145] Les profiles pour l’intrusion 155[146] Les profiles pour l’extrusion 156[147] Les courbes d’intrusion et à partir de tous les surfaces 157[148] La comparaison entre les distribution de taille de pores 159[149] La comparaison entre les distribution de taille de pores 160[150] Conductance équivalente d'un réseau de pores 162[151] Les graphes non-orienté (a) et orienté (b) 163[152] La représentation matricielle d'un graphe 164[153] Graphe associée d'un Réseau Electrique 165[154] Schéma d'ajout de branches et de liens 166[155] Un volume traversée pour un tuyau de diamètre 1voxel 169[156] Un volume traversée pour un tuyau de diamètre 1voxel 169[157] Un volume traversée pour un tuyau de diamètre 1voxel 170[158] Le GLMG à partir de la LMVFn pour le milieu Gaussien 171[159] Le GLMG à partir de la LMVFn pour le milieu Fissuré 171

Introduction - 1

Introduction

Introduction - 2

Introduction - 3

Le milieu poreux est un système multi-phasique (solide, liquide, vapeur) où les propriétés physiques de

transport micro et macroscopiques sont déterminées par l'interaction entre la structure géométrique et

le fluide. Le fluide présent dans le système lacunaire est multi-phasique et multi-composante (par

exemple l'eau vapeur/liquide plus l'air), avec un couplage phénoménologique complexe entre

l'absorption de la vapeur, les effets capillaires du liquide et la température. Selon l'échelle d'analyse, la

modélisation et la simulation de ces phénomènes pour la détermination des fonctions caractéristiques

(isotherme d'adsorption - pression capillaire - perméabilité) sont couplées à l'information géométrique

qui peut être simplifiée en fonction de la propriété physique d'intérêt (par exemple: problème

isothermique et analyse locale).

La solution adoptée au problème de transport du système vapeur/liquide dans le milieux poreux est

caractérisée par l'échelle (micro/macro), déterminant le modèle représentatif de la structure

géométrique. Les méthodes actuelles de description de la géométrie (phase solide/poreux) sont basées

exclusivement sur les mesures de la forme, qu’on appelle des mesures "morphologiques" (taille des

éléments géométriques et composition du matériel solide) qui sont caractérisées par les paramètres

porosimétriques, granulométriques et de texture.

Le travail présenté dans ce document a pour objectif principal de développer une formulation

mathématique robuste de la structure complexe du milieu, basée sur les concepts de la géométrie (2D

et 3D), pour essayer de prendre en compte la réalité géométrique dans les modèles de simulation des

propriétés de transfert. Les principales conditions pour la formulation proposée sont: solution unique,

réversibilité, multiplicité d'échelles et performance (rapidité et simplicité pour les approximations

théorique/numérique). Pour cela, une approche de la géométrie Euclidienne appelée "Géométrie

Discrète" (adaptée aux contraintes de l'informatique) est abordée. Selon ces concepts, des outils

mathématiques nécessaires à la mesure des paramètres morphologiques et topologiques de la

structure sont développés, permettant une représentation de la forme par des opérateurs géométriques.

A partir de ces opérateurs géométriques, le deuxième objectif de ce travail est l'exploration des

méthodes de simulation basées sur des approximations (graphiques/électriques), et l'application de ces

concepts à l'étude de l'influence de la topologie sur les processus de transfert.

La structure de ce document comporte 4 chapitres. Dans le chapitre 1, ou rappel des différentes

analyses et couplages phénoménologiques liés aux différents domaines d'études des milieux poreux,

avec les concepts géométriques de base et les paramètres indispensables. Les propriétés de transport

fluide/vapeur dans les échelles micro poreuses sont analysées, avec une discussion sur les méthodes

d'observation et de modélisation numériques et analytiques.

Le deuxième chapitre introduit les notions de base et les concepts développés pour l’adaptation de la

géométrie Euclidienne (espace continue) à l’espace discret traité par l’ordinateur. A partir de ces

Introduction - 4

concepts et algorithmes, les descripteurs structuraux de la forme en 2D et 3D sont développés pour

conserver et représenter la morphologie et la topologie du milieu.

Le chapitre 3 aborde le développement de méthodologies performantes de génération des structures

discrètes en 3D (régulières, irrégulières et fissurées) pour l’étude et le développement de techniques

numériques pour la mesure des paramètres topologiques, et pour permettre l'étude de la forme et de

l’organisation structurale pour prendre en compte les différences entre l'analyse de la section et du

volume.

L'application de ces descripteurs de la forme est présentée dans le chapitre 4 pour évaluer les

déplacements capillaires d’écoulements multi-phasiques et pour l’estimation de la conductivité

hydraulique à saturation équivalente d'un milieu. Enfin, les conclusions et perspectives sont

présentées.

Pour aider la compréhension du texte:

- Tous les chapitres ont une introduction, pour présenter le problème fondamental, abordée avec les

principales sources bibliographiques suivies par la description des objectifs d'étude et la structure

logique du chapitre.

- Les expressions et termes descriptifs qui sont employés dans le texte sont répertoriés dans la table

de notations et conventions, avec une note explicative sur les détails techniques au bas des pages

respectives dans le contexte du chapitre.

- A la fin de chaque chapitre est présentée une synthèse des sujets abordés avec les principales

conclusions et remarques.

- Les documents présentés dans les annexes ont pour objectif de permettre une consultation

complémentaire à propos des divers sujets abordés. Pour cela, l'annexe A fait une introduction aux

concepts fondamentaux de la morphologie mathématique pour l'interprétation des résultats du

chapitre 3. L'annexe B présente le développement de l’analyse graphique dans la section 2D d'un

milieu pour l'interprétation géométrique d'une structure poreuse. L'annexe C présente un cas

complémentaire pour la simulation de processus d'intrusion et d'extrusion dans la section poreuse

(développé dans §4). L'annexe D introduit la méthodologie expérimentale pour l'acquisition des

images en série pour la reconstruction volumique d'un échantillon (décrit dans §3). L'annexe E

présente les divers développements informatiques avec les solutions adoptées pour ce travail de

recherche, et aussi pour les travaux en partenariat avec d'autres chercheurs.

Introduction - 5

Chapitre 1. Description des Milieux Poreux - Phénomènes de transferts - 5

Chapitre 1 Description des Milieux Poreux - Phénomènes de transferts


1.1 Introduction

L'étude et la modélisation des propriétés physiques de transfert des fluides dans le milieu poreux sont

étroitementes lie à la description de la géométrie micro et macro poreuse, [Adler, 1992; Meng, 1994;

Quiblier, 1984]. Les phénomènes de transfert fluide et vapeur ont des spécificités liées au problème

d'échelles d'observation de la structure [Perrin, 1985; Philippi, 1992; De Souza, 1993].

L'objectif de ce chapitre est introduire les différentes analyses et couplages phénoménologiques lies

aux divers domaines d'études des milieux poreux et indiquer les lignes générales de recherche décrites

dans ce mémoire.

Fig. 1.1 - La complexité géométrique d'une structure réelle.

D'abord sont introduits les concepts géométriques de base avec les paramètres. Les propriétés de

transfert fluide/vapeur dans les échelles micro poreuses sont analyses, avec une analyse des méthodes

d'observation et modélisation numérique analytique pour l'échelle de Darcy. Les paramètres d'intérêt en

la physique des sols sont abordés, et à la fin sont présentées les conclusions et les motivations

générales de ce travail.


1.2 La Géométrie des Milieux Poreux

L’étude de l’organisation ou structure d’un matériau poreux peut s’effectuer selon deux approches

fondamentalement différentes, mais complémentaires. La première s’attache en effet à décrire le mode

d’assemblage des éléments constitutifs de la phase solide, alors que la seconde s’oriente vers la

description du réseau d’espaces lacunaires généré par la structuration du matériel, [Guyon, 1994]. Dans

les deux cas, l’analyse quantitative repose exclusivement sur des critères de nature géométrique.

Dans la mesure où l’agencement des espaces lacunaires est une conséquence de la structuration du

matériau, leur étude offre une méthode pour décrire l’organisation des vides, dont l’influence est

déterminante sur le comportement physique du milieu, notamment en termes de processus de

transferts. La figure 1.1 présenté la complexité de la micro structure géométrique d'un os atteint

d'ostéoporose (micro tomographie par rayons X - résolution 8 µm - taille de l'échantillon 2,5x4 mm).

1.2.1 La structure solide

La structure du milieu découle essentiellement de la distribution granulométrique de ses éléments. La

notion d’éléments structuraux cohérents et distincts conduit à une approche quantitative de la structure,

de type granulométrique, reposant sur la mesure de taux d’agrégation spécifiques, [Guéguen, 1993].

Cette méthode consiste à déterminer, la proportion pondérale d’éléments solides de taille inférieure

participant à la constitution d’éléments structuraux. Elle est toutefois relativement peu précise,

notamment à cause de son caractère destructif. La notion de microstructure se réfère ainsi au mode

d’assemblage des constituants granulométriques.

A l’échelle macroscopique, les éléments structuraux observés visuellement peuvent être considérés

comme des assemblages d’agrégats. En second lieu intervient la présence de fissures délimitant, à

l’échelle macroscopique, des éléments structuraux. La taille et la forme de ces éléments déterminent

alors toute une gamme de structures type.

Les structures particulaires se caractérisent ainsi par l’absence d’éléments fins, en raison de l’absence

de liens entre les éléments, ces structures sont peu cohérentes et caractérisées par la disposition

relative des particules. Cette disposition n’est toutefois pas incorporée à la description, qui se limite à la

dimension des particules. Lorsque les particules sont trop fines pour être discernées à l’œil nu on parle

de type cendreux et dans le cas contraire de type sableux.

Les structures non particulaires comprennent les structures continues ou compactes et les structures

fragmentaires. Dans le cas des structures continues, le milieu semble former un seul bloc dépourvu de

fissures et de forte cohésion. Une distinction est à nouveau faite selon la taille des particules présentes


dans ces structures et l’on parle de type ciment lorsque tous les éléments sont fins, de type grès pour

des particules soudés par le ciment, de type poudingue lorsque contient des "cailloux". Les structures

fragmentaires, assurément les plus courantes, sont constituées d’éléments associés par des liens

visibles.

La phase solide est caractérisée par sa masse volumique réelle, soit par la masse de ses constituants

solides Ms rapportée à leur volume Vs :

s

ss V

M=ρ (1.1)

La masse volumique apparente sèche, est la masse de ses constituants solides Ms rapportée au

volume total apparente du milieu V :

VV

VM sss ρ

ρ == (1.2)

1.2.2 La structure poreuse

L’analyse quantitative des espaces lacunaires découlant de la structuration du milieu repose sur des

critères de nature géométrique, [Giona, 1994; Philippi, 1994]. Les caractéristiques du réseau des vides

sont ainsi décrites de manière globale par leur volume total relatif, la porosité du milieu ε. Celle-ci est

définie par le rapport du volume des vides Vv au volume total apparent du milieu V:

VV-V

VV sv

== ε (1.3)

La description du système poral peut cependant être affinée en prenant en considération la distribution

de la tailles des pores et micro-conduits divers constituant le réseau d’espaces lacunaires, en une

approche analogue à l’analyse granulométrique. Il est ainsi possible d’établir une courbe, dite

porosimétrique, donnant la proportion volumique du système poral constituée de pores de diamètre

apparent inférieur à un diamètre donné.

Le système poral, considéré comme un réseau communiquant de pores et de conduits de faibles

dimensions, peut être décomposé en plusieurs classes de porosité. C’est la raison pour laquelle on

parle parfois de porosité résiduelle pour la partie du système poral constituée de pores occlus,

dépourvus de communications avec le reste des espaces lacunaires et avec l’extérieur, les pores

communiquants formant alors la porosité effective.


La porosité effective est de plus arbitrairement subdivisée en deux parties, la macroporosité ou porosité

efficace, correspondant à la partie du système poral dans laquelle se déroule l’essentiel des processus

de transferts, d’eau et d’air notamment, et la microporosité ou porosité capillaire, correspondant à la

partie du système poral à laquelle les faibles diamètres des orifices confèrent la propriété d’empêcher

l’écoulement gravitaire de l’eau.

1.3 L’eau en Milieu Poreux

La description quantitative de la phase liquide en termes de caractéristiques relatives repose sur la

notion de teneur en eau volumique, définie par le volume relatif de la phase liquide rapporte au volume

apparente total du milieu :

VVw

w == θθ (1.4)

La teneur en eau pondérale est définie par le rapport de la masse de la phase liquide à celle de la

phase solide :

s

w

MM

w = (1.5)

Du point de vue de l'état physique, on peut distinguer trois types d'eau en milieu poreux:

-la vapeur contenue dans la phase gazeuse;

-l'eau adsorbée à la surface des pores en couches mono ou multi moléculaires, fortement soumise aux

forces d'interaction avec la matrice solide;

-l'eau capillaire remplissant une partie des pores du matériau, soumise à des conditions dues à la

tension interfaciale liquide-gaz et au contact entre l'interface et le solide.

Dans ce mémoire qui traite des milieu poreux sur une base essentiellement géométrique, sont proposés

des outils permettent de quantifier la présence d'eau capillaire en relation avec la morphologie et la

topologie du matériau, et de modéliser l'écoulement dans les pores. Nous nous limiterons donc à l'étude

de l'eau capillaire.

Cette limitation exclut du champ de notre travail d'une part les phénomènes de transport à basse

saturation ou sous gradient de température, où le transport de la vapeur joue un rôle important, d'autre

part l'étude des matériaux très finement divisés où le quantité d'eau adsorbée n'est pas négligeable.


A l'interface entre deux fluides non-miscibles, les molécules possèdent une énergie différente de celles

qu'elles ont "en masse". Ceci est traduit par la formation d'un ménisque (surface courbe), délimitant

deux fluides aux pressions P1et P2. Un exemple simple est celui d’une inclusion sphérique, de rayon r,

du fluide (1) dans le fluide (2). Supposons que les 2 fluides occupent un volume total imposé V=V1+V2 à

une température imposée T=T1=T2. A l’équilibre, le potentiel thermodynamique du système total (2

phases + 1 interface) est minimum :

02211 =+−− dAdVPdVP σ (1.6)

L’inclusion (1) occupe un volume

31 3

4 rV π= (1.7)

d’où

rdrdAdrrdVrA πππ 8 ,4dVet 4 221

2 ==−== (1.8)

L’équation précédente s’écrit :

rPP σ2

21 =− (1.9)

C’est l’équation de Laplace. On observe qu’à l’équilibre les deux pressions P1 et P2 sont égales à la

limite r->infini (interfaces planes). L’équation (1.12) peut être généralisée à des surfaces courbes non

sphériques en remplaçant r par le rayon de courbure moyen rm :

+=

21

11211

rrrm

(1.10)

où r1 et r2 sont les 2 rayons principaux de courbures au point considéré. L’effet des forces de gravité a

été négligé dans les calculs précédents.

Lorsque deux fluides différents, ou un liquide et un gaz, ou deux liquides sont en contact avec une

surface solide, la configuration d’équilibre dépend des valeurs relatives des tensions de surface entre

les 3 phases. Nous définissons l’angle de contact α entre la surface du liquide et la surface plane du

solide. L’équilibre mécanique se traduit en projection sur le plan solide par l’équation de Young.


slsg σσασ −=coslg (1.11)

Lorsqu’un fluide tend à s’étaler sur toute l’interface aux dépens du second fluide, le premier est appelé

"mouillant" et l’autre "non mouillant". Au niveau microscopique, la mouillabilité résulte des interactions

moléculaires entre fluide et solide. Le fluide mouillant est celui que le solide préfère car les interactions,

dans ce cas, minimisent davantage l’énergie totale.

La pression capillaire est la différence de pression à travers une surface séparant deux fluides non

miscibles (à l’intérieur d’un capillaire). C’est un paramètre qui dépend de la structure du capillaire, ou

plus généralement de la structure des pores. Si l’on considère l’exemple simple d’un tube capillaire de

rayon R relié à un réservoir contenant un liquide mouillant surmonté d’un gaz, la pression à l’intérieur du

liquide est inférieure à celle de la phase gazeuse (Figure 1.2). Négligeant les effets de gravité sur

l’interface, nous admettons que le rayon de courbure rm est constant et égal à R/cos α.. Le α.est l'angle

de mouillage selon lequel l'interface se raccorde à la paroi solide. Il dépend de la nature du fluide et

celle de la paroi. L’équation de Laplace conduit à

RrPPP

moc

ασσ cos221 ==−= (1.12)

où Pc est la pression capillaire, Po la pression du gaz (l’air ici) au voisinage du ménisque, et P1 la

pression de liquide (l’eau ici) près de l’interface. Par ailleurs Po - P1 = ∆ρgh où ∆ρ. est la différence de

masse volumique entre air et eau. Cet exemple montre bien les conséquences macroscopiques des

interactions moléculaires entre solide, liquide et air : les interactions moléculaires déterminent α, ce qui

ensuite détermine rm et Po - P1, puis par voie de conséquence, l’ascension capillaire h.

Fig.1.2. L'Ascension capillaire d'un liquide mouillante


1.4 Transport d’eau en milieu poreux

1.4.1 Echelle microscopique – pores

Une approche schématique de milieu poreux consiste à le modéliser comme un ensemble de pores aux

formes géométriques simples pour lesquels on dispose des équations de mouvement de fluides.

1.4.1.1 Loi de Poiseuille L’équilibre des forces, auquel correspond un profil de vitesse constant dans le temps, s’exprime pour le

cylindre de longueur L et de rayon r par l’égalité entre la force motrice et les frottements. Dans le cas

d’un écoulement horizontal, le gradient de pression ∆p multiplié par sa surface d’action est alors égal au

produit de la contrainte tangentielle τ par la surface latérale du cylindre. c’est-à-dire (avec z=r):

dzd ou d' rL2rp 2 υητπτπ∆ == (1.13)

La distribution de vitesse est parabolique:

( ) ( )22

4zR

Lpzv −

−=

η∆

et L

pRvη4

2

max∆−

= (1.14)

Le débit Q correspondant, soit le volume traversant une section par unité de temps, est donné par le

volume du paraboloïde de révolution des vitesses, soit le produit de sa base par sa demi hauteur:

( )L

pRvRQ ∆η

ππ −==

821 4

max2 (1.15)

Cette expression, la loi de Poiseuille, indique que le débit est proportionnel à la quatrième puissance du

rayon et à la perte de charge de pression par unité de longueur. Finalement, la vitesse moyenne du

fluide dans un tube capillaire s’exprime de la manière suivante, où a est un coefficient variant selon la

géométrie de la section du tube et valant R2/8 dans le cas où cette dernière est circulaire:

( ) ( )Lpa

LPR

RQ

SQv

η∆

η∆

π−

=−

===8

2

2

_ (1.16)

Cette relation ne reste valable que si l’écoulement est laminaire, c’est-à-dire pour des vitesses


relativement faibles et dans des tubes étroits, conditions que remplissent généralement les processus

de transferts de la phase liquide d’un sol.

1.4.1.2 Imbibition et drainage La préférence du solide pour un fluide, ou mouillabilité préférentielle, a pour conséquence le

déplacement du fluide non mouillant par le fluide mouillant, sans qu’une pression extérieure soit

appliquée. Intéressons nous à un capillaire de rayon R, mouillé par l’eau, mais initialement rempli d’air.

Lorsque le tube est mis au contact d’un réservoir d’eau à la pression atmosphérique, l’interface

initialement plane est déformée par les forces de tension superficielle, et l’angle de l’interface atteint une

valeur d’équilibre α. L’équation de Laplace entraîne que la pression à l’intérieur de l’eau, près de

l’interface, est inférieure à la pression atmosphérique de Pc=2σcosα/R. Il existe donc une diminution de

pression entre les points d’entrée de l’eau (x=0) et l’interface (x>0). Le gradient de pression

correspondant fait pénétrer l’eau à l’intérieur du capillaire. Lorsque l’eau pénètre le gradient

xP

dxdP c≅ (1.17)

décroît car x croît, et l’écoulement diminue avec le temps. La vitesse moyenne d’écoulement, est

donnée par la loi de Poiseuille

η8

2_ RdxdP

dtdxv == (1.18)

où η est la viscosité. D’où

ηασ

xRv

4cos_

= (1.19)

La vitesse est proportionnelle à R: les gros capillaires se remplissent plus vite que les petits. Par

intégration, 1.28 conduit à :

t2costRx2

ηασ

= (1.20)

La position du ménisque croît √t et √R. Ainsi, si l’on a une distribution de capillaires de rayons différents,

l’eau ne pénètre pas à la même vitesse dans tous. La progression de l’eau n’est pas due à un gradient


de pression extérieure mais a la mouillabilité préférentielle.

Dans la plupart des cas, la porosité d’un milieu est faite d’un réseau multiconnecté de pores et

d’étranglements de dimensions variables. Il est par suite difficile de décrire l’évolution des interfaces

dans chacun des capillaires. La pression capillaire est intimement reliée à la présence d’une surface

solide et, en particulier, à la forme et à la dimension des capillaires. En toute rigueur on ne peut donc

parler que de pression capillaire à travers une interface particulière du milieu et non de pression

capillaire du milieu. A l’équilibre cependant, si les forces de gravité peuvent être négligées, la pression

peut être uniforme à l’intérieur des deux phases fluides et il est raisonnable dans ces conditions de

parler de pression capillaire du milieu. Examinons l’exemple d’une roche mouillée par l’eau, totalement

saturée d’eau, et placée en contact avec un réservoir d’huile. Les forces de capillarité empêchent l’huile

de déplacer spontanément l’eau. Lorsque la pression d’huile augmente de ∆P une certaine quantité

d’huile pénètre dans la roche et déplace l’eau des gros pores accessibles, connectés au réservoir par

des rayons supérieurs à une valeur R1. La fraction du volume de pores occupés par l’huile, ou

saturation en huile est définie par

eh SS −=== 1pores de volumehuiled' volume huileen saturation (1.21)

Se est la saturation en eau. On admet ici que huile et eau sont les seules phases fluides et l’espace

poreux est totalement saturé. L’huile est retenue dans la roche par une membrane semi-perméable qui

laisse l’eau sortir. En répétant le processus, après n incréments de pression ∆P et obtention de

l'équilibre, la saturation en huile est directement obtenue par la mesure du volume d’huile injecté, On

obtient ainsi une relation en la pression d’huile Ph et la saturation en huile Sh, La courbe correspondante

est la courbe de drainage.

Si le processus est inversé et que l’on impose une décroissance lente de la pression d’huile, l’eau rentre

à nouveau dans la roche à travers la membrane semi-perméable. Une relation, différente de la

précédente, est obtenue entre Ph et Sh (courbes d’imbibition-drainage).

1.4.1.3 Phénomène d’hystérése La relation entre potentiel de pression matricielle et teneur en eau n’est pas univoque. Les courbes

déterminées par drainage, ou désorption, diffèrent en effet de celles déterminées par imbibition, ou

sorption. Ce phénomène, dit d’hystérèse, est du à plusieurs facteurs concurrents, mais les principaux

facteurs auxquels est attribué le phénomène sont la présence d’air piégé, l’angle de contact et la non

uniformité géométrique des pores.


L’angle de contact varie en effet selon la direction dans laquelle le ménisque se déplace. Lorsque ce

dernier avance, l’angle de contact et par conséquent le rayon de courbure sont plus grands que lorsqu’il

recule. Ainsi, pour une même teneur en eau, la succion matricielle est plus forte en désorption qu’en

sorption.

L’effet de la distribution irrégulière de la taille des pores, qui sont généralement des vides de forme

variable interconnectés par des passages plus petits, offre un éclairage particulièrement intéressant à la

question, par l’effet "bouteille d’encre" qui en résulte.

Un pore hypothétique est constitué d’un vide relativement grand de rayon R, limité par des canaux plus

étroits de rayon r. Si ce pore est initialement saturé et que le potentiel de pression diminue, il ne se

vidangera (brutalement) que lorsque ce dernier sera devenu inférieur au seuil défini par

rPr

σ2= (1.22)

Pour que l’eau l’envahisse à nouveau, le potentiel de pression doit augmenter jusqu’à la valeur de

PR=2σ/R. le remplissage est également brutal. Il apparaît ainsi que la désorption dépend des rayons

étroits des canaux de connexion, tandis que la sorption dépend des diamètres maximaux des grands

pores. Ces sauts discontinus dans le comportement de la phase liquide, peuvent être facilement

observés dans les sables grossiers. En général, l’effet d’hystérèse est plus prononcé dans les milieu à

structure grossière et pour de faibles succions matricielles. Dans ces conditions en effet, le potentiel de

pression est nettement inférieur lorsque les pores se vident que lorsqu’ils se remplissent.

1.4.1.4 Modèles de Simulation

1.4.1.4.1 Faisceau des tubes capillaires

L’approche la plus simple consiste à représenter le milieu poreux par un ensemble de tubes

cylindriques parallèles. La distribution de taille des tubes est donnée soit par des distributions

théoriques possibles, soit par l’analyse de la répartition de deux fluides non miscibles en présence dans

le milieu en fonction de la loi de Laplace. Pour cet ensemble de tubes et une pression capillaire h

donnée, un fluide non mouillant tel que le mercure ou l’air en présence d’eau occupe tous les pores de

taille supérieures à la valeur r=f(h) donnée par la loi de Laplace et le fluide mouillant les pores restants.

On peut ainsi déterminer un faisceau de capillaires "équivalents" à la réalité au sens où il permet de

reproduire une courbe pression/teneur en fluide h(θ) expérimentale.


En milieu saturé, on calcule alors le flux dans chaque pore, proportionnel à la différence de pression ∆P

appliquée aux extrémités du tube (loi de Poiseuille) et le flux total obtenu par sommation, et donc

encore proportionnel à ∆P, comme le prévoit la loi de Darcy pour un milieu poreux réel; on en déduit la

perméabilité de l’ensemble du milieux poreux modélisé. En milieu non saturé, on détermine la

perméabilité relative à un fluide en sommant les flux sur l’ensemble des pores remplis par ce fluide. La

perméabilité ainsi calculée est surestimée, on cherche alors à représenter les pores dans un milieu réel.

Les sommations discrètes effectuées s’expriment sous une forme continue lorsque la distribution de

taille des pores est décrite par une fonction de densité de distribution f(R) (densité volumique des pores

en fonction de leur taille). Cette fonction peut être définie par:

( ) ( )∫=

pleinspores

drrfhθ (1.23)

La perméabilité se calcule alors, toujours à partir de la loi de Poiseuille (section §1.4.1.1):

( ) ( ) ( )∫=

pleinspores

drrfrThK 2θ (1.24)

et en pondérant par un facteur de tortuosité T(θ). Si l’on dispose d’une expression analytique pour θ(h),

on peut en déduire l’expression analytique de K(θ).

La perméabilité du milieu poreux est donc calculée à partir d’une forme intégrale des équations de

mouvement pour chaque pore et d’une deuxième intégration effectuée sur l’ensemble des pores.

Du fait de sa simplicité extrême, un modèle de tubes cylindriques parallèles ne peut rendre compte

entièrement du comportement hydrique d’un milieu poreux. En particulier, le modèle ne permet pas de

représenter l’hystérèsis bien connue de la relation h(θ), puisque cette relation est calculée de façon

univoque à partir de la distribution du volume des pores fonction de leur taille. Ce modelé ne permet pas

non plus de rendre compte des phénomènes de piégeage (lorsque la saturation en eau n’atteint pas les

valeurs extrêmes de 0% ou 100% de la porosité totale). Il conduit aussi à une surestimation de la

conductivité a saturation, a moins d’introduire des coefficients de pondérations empiriques.

Les premières extensions du faisceau de tubes capillaires sont l’introduction locale, au niveau d’un

pore, d’irrégularités expliquant le piégeage e/ou l'hystérésis. Un certain nombre de travaux concernent

l’amélioration du motif de base du modèle capillaire, en modifiant la géométrie des parois du tube

cylindrique initial, qui peuvent devenir rugueuses, sinusoïdales, alternativement divergentes et

convergentes ou présentant des constrictions périodiques. La géométrie de ces capillaires reste assez

régulière pour pouvoir résoudre les équations de Navier-Stokes pour des écoulements diphasiques et


permettent, par une utilisation fine de la loi de Laplace donnant la position des interfaces entre deux

fluides, d’expliquer les phénomènes d'hystérèsis, ou de piégeage dans les aspérités des parois [Danis

et Quintard, 1984].

1.4.1.4.2 Réseaux de pores

Dans le sens d’une complexité croissante et aussi d’une meilleure représentation des phénomènes, on

est alors amené à imaginer l’espace poral comme un assemblage de pores en réseaux (réseaux

simples de liens). Ces réseaux sont des maillages réguliers de l’espace bi ou tridimensionnel de

topologie variées. Chaque lien du réseau représente un pore élémentaire défini par un rayon équivalent

et un volume. Il s’agit souvent d’un tube cylindrique, dont le volume définit une longueur variable (qui

n’est pas celle du lien servant à représenter le pore). On représente généralement l’invasion d’un fluide

sur un domaine carré, progressant d’une face choisie comme "face aval" vers la face "amont" opposée,

en supposant les deux autres faces fermées. Dans certains cas simplifiés, on peut encore raisonner en

termes probabilistes.

Fatt [Fatt, 1956] est le pionnier en matière de simulation de réseaux de pores. Il travaille sur des

réseaux bidimensionnels sur lesquels il simule l’invasion par un fluide non mouillant. Il étudie différentes

distributions théoriques de tailles de pores et différents types de réseaux. Il montre que plus la

coordinance du réseau augmente (plus le nombre de liens se rencontrant en un même nœud est élevé),

plus les résultats se rapprochent de ceux obtenus avec un faisceau de tubes parallèles. Pour calculer la

perméabilité, il met en pratique l’analogie entre réseaux de tubes conducteurs de fluide et réseaux de

résistances électriques, en construisant réellement des réseaux électriques avec des éléments

conducteurs de résistance variable. Pour simuler un milieu poreux se désaturant en fluide mouillant, il

enlève au fur et à mesure les plus faibles résistances et les replace dans un deuxième réseau

représentant I’emplacement du fluide non mouillant; il mesure à chaque étape la résistance équivalente

des deux réseaux, et en déduit la forme des deux courbes de perméabilité relative.

Wise [Wise, 1991], s’appuyant sur les travaux de Fatt, simule un réseau cubique dont les liens

représentent des tubes capillaires cylindriques (de largeurs et longueurs proportionnels l~r). La

distribution de tailles de pores est déterminée à partir de courbes de rétention en drainage. Rise

s’intéresse à la valeur de la perméabilité à saturation calculée numériquement par analogie électrique. Il

montre que les résultats dépendent de la répartition spatiale des pores sur le réseau.

1.4.1.4.3 Théorie de la percolation

La théorie de la percolation [Essan, 1980; Stauffer, 1985] permet de décrire des phénomènes de

transport sur un ensemble d’objets dont les interconnexions peuvent être représentées par Ieurs


positions relatives sur les liens ou les nœuds d’un réseau [Parlar, 1988; Chattzis, 1982; Hoshen, 1976;

Franc, 1988]. Suivant la proportion d’objets "actifs" et "inactifs", c’est-à-dire permettant ou non le

transport localement, et à condition qu’ils soient répartis aléatoirement sur le réseau, on peut établir des

lois théoriques et très générales pour le comportement global d’un réseau infini. On distingue la

percolation de sites lorsque les éléments actifs et inactifs sont répartis sur les nœuds d’un réseau et la

percolation de liens lorsqu’ils sont répartis sur les liens d’un réseau.

Pour une faible proportion p d’éléments actifs on peut seulement constater que la plupart d’entre eux se

regroupent en paquets ou amas finis. On montre qu’il existe une proportion critique pc, un seuil de

percolation, à partir duquel apparaît un amas infini qui permet statistiquement le transport entre deux

points très éloignés du réseau.

En milieu saturé, on peut modéliser ainsi une roche mal connectée et saturée d’eau par un réseau dont

chaque lien représente une fissure ou l’absence de fissure: au delà d’une certaine densité de fissures le

milieu est conducteur. On modélise de la même façon un milieu poreux très bien connecté mais non

saturé. Lorsque deux fluides non miscibles sont en présence et qu’on les suppose répartis en tout ou

rien dans chaque pore dans un réseau de liens capillaires simple, les liens actifs pour le transport du

fluide X sont les pores remplis par ce fluide. La perméabilité relative au fluide X est nulle en deçà du

seuil de percolation qui dépend de la coordinance du réseau (nombre de liens se rencontrant en

chaque nœud) et de la dimension euclidienne.

On a vu que l’on modélisait souvent la pénétration d’un fluide sur un réseau en imposant un chemin

continu d’alimentation à partir de la face d’injection (ou des faces ou points d’injection). Lorsque cette

condition est imposée sur un réseau de percolation, on parle alors de "percolation d’invasion"

[Lenormand, 1985; Chatzis et Dullien, 1982]. Dans ce cas, la pénétration du fluide ne se fait que dans

les pores connectés à la source d’alimentation: en dessous du seuil de percolation, il s’agit d’amas finis

dont la teneur θ en fluide peut être considérée comme nulle si l’on se rapporte à un réseau infini. Le

seuil de percolation est caractérisé par l’apparition d’un amas infini dont la structure est fractale, tout

comme dans un réseau de percolation simple, et par une transition abrupte entre une teneur en fluide

quasi nulle et une valeur proche de la saturation. La courbe h(θ) traduit cette forte variation de teneur en

eau pour une faible variation de pression capillaire d’une façon jugée très proche des courbes

observées sur certains milieux poreux.

Les réseaux de sites et de liens ont été utilisés notemmant par [Diaz, 1987; et Kantzas, 1988]; le

modèle est repris par [Daian et Saliba, 1991]. Les pores sont distribués à la fois sur les sites et les liens

d’un réseau cubique. Le lien qui relie deux sites est choisi de diamètre toujours plus fin que ceux des

sites l’entourant (on parle de sites et liens corrélés); les liens représentent les constrictions de l’espace

poreux et les sites les élargissements des pores.


On se donne d’abord une distribution du nombre de sites en fonction de leur taille, pour N classes de

tailles de sites numérotées de 0 à N par ordre décroissant de taille. Les liens sont répartis dans ces

classes: ils sont affectés à la classe du plus petit site adjacent. L’invasion d’un fluide est décrite en

termes de percolation de sites (du point de vue de la progression du fluide, les liens sont ignorés). En

imbibition, les sites les plus fins sont envahis les premiers, et les liens sont seulement automatiquement

envahis dès que leurs sites adjacents sont envahis. En drainage, les sites les plus gros (les premières

classes de taille) sont envahissables, mais ils ne sont effectivement envahis que s’il existe un chemin

continu de sites depuis la face d’alimentation, et aussi si les liens de la même classe sont

envahissables, deux conditions sources d'hystérèsis. On simule ainsi un schéma de type percolation

d’invasion pour le fluide non mouillant et de type percolation simple pour le fluide mouillant.

Pour déterminer h(θ), il faut connaître le volume représenté par chaque pore: les fonctions de densité

volumique des distributions de liens et de nœuds en fonction du diamètre sont déterminées par

ajustement sur les données expérimentales. Afin de représenter de larges distributions de pores et des

pourcentages de volumes non négligeables pour les pores les plus fins, [Daian et Saliba, 1991] sont

conduits à identifier proportions en nombre et proportion en volume (chaque site et chaque lien

représente un faisceau de cylindres parallèles d’autant plus nombreux que leur diamètre est petit).

La perméabilité en milieu non saturé relative à un fluide donné est alors calculée par analogie

électrique. La conductance de chaque site est soit négligée (Kantzas), soit répartie sur Ies six liens

adjacents (Daian et Saliba), de façon à se ramener à l’étude d’un réseau de liens conducteurs. Pour le

calcul de la perméabilité relative au fluide non mouillant, la présence de pores non conducteurs car

vides pose un problème algorithmique: on leur assigne donc une conductance très faible (Kantzas). Par

contre les pores sont supposés toujours conducteurs en fluide mouillant pour des raisons physiques:

pour Kantzas, les pores contiennent toujours une faible quantité de fluide mouillant retenu dans les

aspérités des parois des pores (en quantité mal connue); pour Daian, ils contiennent de la vapeur

(d’eau) dont la diffusion est assimilée en pratique à une conduction. La comparaison avec des données

expérimentales s’avère dans tous les cas satisfaisante en drainage, et mauvaise en imbibition.

Dullien [Dullien, 1991] conclut qu’il n’y a pas actuellement un modèle "garanti", mais qu’il est conseillé

de travailler sur des réseaux tridimensionnels et qu’il est nécessaire de déterminer par visualisation

différentes propriétés structurales (parmi lesquelles la coordinance "réelle" moyenne, les distributions

de taille respective des élargissements et rétrécissements de pores, et l’identification des réseaux

secondaires dans les milieux à plusieurs niveaux de porosité). C’est ce que lui-même recherche en

analysant des séries de sections rapprochées et parallèles; il signale aussi la possibilité d’utiliser des

méthodes optiques de mesures de densités par analyse d’images.


1.4.1.4.4 Distribution des éléments solides

Plusieurs auteurs recherchent aIors un modèle qui puisse associer un ensemble de pores à un

ensemble de particules donné, de façon à pouvoir utiliser un modèle capillaire pour déterminer ses

caractéristiques hydriques. Le milieu est défini par ses éléments solides, mais sans tenir compte de leur

répartition spatiale. Ceci signifie que l’ensemble de pores associé aux éléments solides est défini par

une simple distribution de tailles de pores. L’objectif est simple et ambitieux: une simple granulométrie

permettrait de déterminer les caractéristiques hydriques du sol.

Arya et Bernard [Arya et Bernard, 1991] proposent une méthode pour obtenir h(θ) à partir d’une

distribution de taille de particules en N classes. Le principe employé pour déduire une distribution de

taille de pores est le suivant: on considère que plus les particules sont fines, plus leur empilement

ménage des vides étroits. A chacune des N classes de taille de particules, on associe un pore (N pores

au total). La classe de taille Ri est supposée contenir des particules sphériques de diamètre Ri dont on

peut donc déterminer le nombre Ni. Le pore cylindrique associé est supposé "suivre le bord" des

particules juxtaposées et sa longueur est li=NiRiα (α est égal à 1 pour un pore rectiligne et c’est un

paramètre à estimer pour une géométrie naturelle). Reste à trouver le diamètre ri de ce pore: supposant

que la porosité ε est le même pour chaque classe et égal à celui de l’échantillon tout entier, le calcul se

fait aussitôt:

( )2

1

132

−

−

=αε i

ii NRr (1.25)

Le modèle capillaire utilisé est donc un ensemble de N tubes capillaires indépendants, qui permet de

calculer N couples de valeurs (h,θ). Le paramètre alpha est déterminé par calage sur les données

expérimentales en comparant les courbes h(θ) obtenues par ajustement d'une expression analytique,

sur les données calculées et observées.

1.4.2 Echelle macroscopique

Nous avons à passer de l’échelle microscopique, où les lois physiques fondamentales s’appliquent mais

les variables sont inaccessible à la mesure, à l’échelle macroscopique, où les phénomènes sont

observés. Mais les équations qui gouvernent l’évolution des grandeurs macroscopiques ne sont pas

nécessairement de même forme que les équations s’appliquant au niveau microscopique. Le passage

d’une échelle à l’autre exige certaines considérations qui constituent elles mêmes un grand domaine de

recherche. Différents méthodes et outils. dont l’homogénéisation, la prise de moyenne, la percolation et

les fractals sont des exemples, sont utilisés pour prévoir les propriétés macroscopiques du transport à


partir d’informations sur la microstructure du milieu.

1.4.2.1 La loi de Darcy

En 1856, G. H. Ph. Darcy observa expérimentalement et déduisit une relation exprimant le débit total Q

transitant au travers de la colonne comme le produit de la section S, du rapport de la différence de

charge totale ∆H existant entre ses extrémités à sa longueur L et d’un coefficient de proportionnalité Ks

[ ]smLHSKQ s / 3∆

= (1.26)

La différence de charge totale représente une somme algébrique des potentiels partiels

pmg ΦΦΦΦ ++= (1.27)

Ou Φg est le potentiel gravitaire, Φm est le potentiel matriciel (potentiel d'adsorption et potentiel

capillaire) et Φp le potentiel de pression (dû à la pression du gaz extérieur). La phase gazeuse étant ici

considérée comme étant à pression uniforme et égale à la pression atmosphérique, seuls les deux

premiers termes seront retenus.

Le potentiel total est alors généralement décrit par la charge de pression capillaire h et la charge de

gravité z:

zhH +==Φ (1.28)

Par définition, la vitesse fictive d’écoulement s’exprime par le rapport du débit total de la section de la

colonne, soit sous la forme d’une densité de flux ou flux par unité de surface q:

[ ]smLHK

SQq s / ∆

== (1.29)

Dans ces deux formulations de la loi de Darcy, l’ensemble des forces de frottement s’exprime de

manière explicite par le coefficient de proportionnalité Ks.

Lorsque la force motrice de l’écoulement est exprimée en termes de charge, soit par ∆H/L, ce

coefficient prend la dimension d’une vitesse et s’exprime en m/s, d’où les termes de vitesse de filtration


à saturation par unité de pente, par unité de charge ou encore par unité de perte de charge. Par contre,

si le potentiel total est exprimé comme une énergie, non plus par unité de poids, mais par unité de

volume, le facteur de proportionnalité entre le flux et la force motrice ne correspond plus, dans sa

dimension, à une vitesse. C’est pour cette raison notamment qu’il est recommandé de renoncer au

concept de vitesse de filtration et de ne retenir que le terme de conductivité hydraulique à saturation

pour désigner le coefficient de proportionnalité Ks.

1.4.2.2 Modèles de Simulation

1.4.2.2.1 Volume élémentaire représentatif - V.E.R.

La définition d’un milieu équivalent au milieu étudié et de l’échelle d’applicabilité du modèle

macroscopique est un problème délicat, longuement discuté par [Bachmat & Bear, 1984; Whitaker,

1969; 1986; Baveye & Sposito, 1984] parmi d'autres.

La structure géométrique du milieu, c’est à dire des propriétés telles que la porosité ou la distribution

des dimensions de pores, peut être décrite statistiquement à grande échelle s’il est possible de définir

une dimension ro telle que la moyenne des caractéristiques étudiées prise dans une sphère de rayon au

moins égal à ro, soit indépendante de la position de son centre, ro est la taille de l’élément de volume

représentatif (V.E.R.). L’existence d’un V.E.R. n’est pas incompatible avec une variation spatiale des

propriétés du matériau. Toutefois, l’ordre de grandeur des distances lo, sur lesquelles la variation des

propriétés se manifestent de façon appréciable doit être grande par rapport à la taille de le V.E.R. :

oo rl >> (1.30)

Dans ce cas, il est possible de traiter la structure solide comme un milieu continu et de définir le champ

d’une propriété structurale donnée, en affectant au centre d’un V.E.R. la moyenne de la quantité

étudiée, calculée sur ce volume.

Lorsque dans une structure poreuse donnée a lieu un phénomène tel qu’un transport de fluide(s) ou la

conduction thermique, le phénomène peut être décrit par la variation spatio-temporelle de variables

telles que la pression ou la température. La structure poreuse, considérée à l’échelle microscopique,

détermine le processus en lui imposant des conditions aux limites. Pour remplacer ce processus par un

équivalent macroscopique, et définir un champ macroscopique des variables considérées, il est

nécessaire de prendre une moyenne de ces variables dans un domaine spatial tel que cette moyenne

soit représentative. A chacune de ces variables i est donc associée une taille d’élément de volume

représentatif et une échelle de variation macroscopique propre au processus de transport. Le passage


au macroscopique n’a de sens que si en tout point et à tout instant, toutes les variables satisfont la

condition de séparation des échelles :

ii rl >> (1.31)

De plus, la moyenne des variables dans la description macroscopique du processus sera à prendre sur

le plus grand des V.E.R. relatifs à chacune des variables en jeu. La macroscopisation sera possible si la

séparation des échelles est globalement satisfaite dans le processus :

( ) ( )ii rl maxmin >> (1.32)

Les phénomènes qui répondent à cette condition sont dits quasi-statiques, ou régis par la règle de

l’équilibre local. Il est possible de définir dans ce cas un E.V.R. phénoménologique dans lequel toutes

les variables sont quasi uniformes et à l’intérieur du quel les phénomènes de transport sont quasi

statiques. Ces phénomènes se prétent à la macroscopisation et autorisent notamment la transposition à

l’échelle macroscopique des lois en jeu à l’échelle microscopique, en général sans changement de la

forme de la loi. Ainsi, la loi de Darcy peut être considérée comme la transposition à l’échelle

macroscopique, valable pour les transports quasi statiques de fluides, des lois du type Poiseuille en jeu

à l’échelle des pores.

Certains phénomènes échappent à ce type de macroscopisation, notamment ceux qui sont tels que la

variation des grandeurs descriptives à l’intérieur des V.E.R. structuraux n’est pas négligeable ( li<ro pour

une des variables en jeu). L’apparition de tels processus dépend à la fois de la nature des lois qui les

gouvernent et de l’hétérogénéité interne au V.E.R. du milieu dans lequel ils ont lieu. On peut citer

comme exemple le cas de l’invasion par capillarité d’un poreux présentant une structure fissurée. ou

une large distribution de dimensions de pores favorisant l’apparition de chemins privilégiés d’invasion

[Saliba, 1990; Daian & Saliba, 1991]. Bien que les lois du type Poiseuille ne soient pas remises en

cause à l’échelle des pores, la loi de Darcy apparaît dans ce cas inadéquate pour décrire le phénomène

à l’échelle macroscopique, pour la simple raison que la moyenne de la pression dans le V.E.R.

structural ne peut être valablement définie. Les concepts découlant de la loi de Darcy, tels que la

diffusivité hydrique, se trouvent alors également en défaut. Il est très difficile, et en certains cas

impossible, d’identifier expérimentalement la dimension caractéristique du V.E.R. structural.

1.4.2.2.2 Equations de Navier Stokes

A cette échelle, le milieu poreux est défini comme un milieu continu et la perméabilité se mesure. A une

échelle plus fine, où la distinction est faite entre les phases solide et vide, on peut essayer de la calculer

à partir de la géométrie de l’espace poral.


Dans un milieu fluide continu représenté par des champs de vitesses et de pressions ponctuelles, les

mouvements du fluide sont régis par les équations différentielles de Navier-Stokes. Dans des cas très

simples, on sait intégrer ces équations (par exemple, [Ganoulis, 1989]); on sait déterminer en particulier

le flux d’eau traversant une fracture ou un tube lorsqu’un gradient de pression est appliqué entre

chaque extrémité (loi de Poiseuille). Dans le cas d’un milieu poreux naturel comme le sol, l’intégration

mathématique des équations de Navier-Stokes est particulièrement difficile, car les solides sont des

obstacles à l’écoulement des fluides qui fournissent des conditions aux limites très complexes.

Il existe cependant un certain nombre de voies de résolution, en termes analytiques ou probabilistes. La

recherche de méthodes approchées d’intégration d’équations différentielles mettant en jeu des variables

théoriques ponctuelles pour en déduire des relations entre des variables macroscopiques moyennes

mesurables est l’objet de recherches approfondies de la part de physiciens et mathématiciens des

milieux poreux.

Les valeurs macroscopiques moyennes <x> peuvent être définies par intégration volumique des

variables ponctuelles x sur un volume V élémentaire de milieu poreux ("prise de moyenne volumique",

[Whitaker, 1986]). Un deuxième type d’approche consiste à définir la géométrie du milieu poreux

comme la réalisation d’une fonction aléatoire (ergodique et stationnaire), une fonction de porosité

ponctuelle égale en 0 dans les grains et à 1 dans les pores, dont la covariance exprime la structure

spatiale. Les valeurs moyennes (celle de la porosité ou celle d’une propriété quelconque du milieu

poreux) sont alors égales à des espérances mathématiques de fonctions aléatoires.

Dans les deux cas, on peut effectuer un transfert d’échelle en déduisant des équations différentielles

microscopiques la forme et les coefficients d’équations différentielles macroscopiques. C’est ainsi que

l’on peut montrer dans quelles conditions la loi de Darcy découle de l’intégration de Navier-Stokes, en

introduisant le coefficient de perméabilité qui relie la vitesse moyenne et le gradient de pression

moyenne [Whitaker, 1986].

On montre que la perméabilité est une grandeur intégrant les caractéristiques géométriques de l’espace

poral. Sa détermination précise par prise de moyenne volumique fait l’objet de procédures complexes

de "fermeture des équations" et n’est possible de façon analytique que sur des assemblages

périodiques d’éléments géométriques très simples. Il est aussi possible de générer des milieux poreux

numériques de géométrie plus complexe, en simulant des réalisations d’une fonction porosité aléatoire

dont les caractéristiques géométriques sont statistiquement équivalentes à celles mesurées sur des

images binaires de sections de milieux poreux isotropes [Adler, 1990]. Les équations différentielles de

mouvement du fluide sont alors résolues numériquement sur le milieu simulé, sous l’hypothèse de

périodicité spatiale, et le tenseur de perméabilité en deux ou trois dimensions est déterminé par des


méthodes de différences finies, éléments finis ou volumes finis. L’importance du type de structuration et

des modifications de la géométrie microscopique du milieu poreux peuvent être alors finement

analysées, mais les calculs sont extrêmement lourds.

1.4.2.2.3 Simulation "Gaz sur Réseaux"

Pour représenter le système dynamique formé par un fluide en mouvement, l’espace, le temps sont

discrétisés, mais aussi le fluide lui-même, et le système représenté par un ensemble de "particules"

évoluant à chaque instant sur un réseau [Frisch, 1987]. Des règles de collision entre particules sont

établies de façon à respecter des principes physiques élémentaires tels que la conservation de masse

et de la quantité de mouvement. Pour respecter l’isotropie des flux, le choix d’un réseau hexagonal est

communément accepté en deux dimensions. Des extensions un peu plus complexes existent en trois

dimensions. Il se trouve que la simulation de règles très simples établies à ce niveau que l’on peut

qualifier de pré-microscopique permet de retrouver les équations de Navier-Stokes.

Dès lors il est possible d’introduire de nouvelles règles telles que des règles de choc contre une paroi

solide et de simuler la circulation d’un fluide dans un milieu poreux à géométrie quelconque. Pour un

nombre de particules suffisant, on peut ainsi simuler l’apparition de la loi de Darcy, en simulant une

différence de pression par l’injection de particules sur une face du réseau. Pour représenter un milieu

non saturé, on utilise deux "couleurs" de particules. Pour deux fluides non miscibles, on donne un poids

plus élevé aux règles de collision qui favorisent le regroupement des particules de même couleur, ce qui

permet de faire apparaître l’équivalent de la tension superficielle aux interfaces entre différentes phases

prévue par la loi de Laplace. D’autres processus physiques sont reproduits de façon analogue.

Cette méthode fournit un exemple fondamental du passage de comportements microscopiques simples

à un fonctionnement macroscopique dont la complexité rejoint celle observée dans le monde réel. Elle

donne de l’espoir dans le principe même de toute recherche d’un monde simulé composé d’objets

élémentaires au comportement simple dont la cohabitation en grand nombre résulterait en l’émergence

d’un comportement macroscopique reproduisant les phénomènes réels.

1.5 Caractérisation hydrique - Les sols

1.5.1 Dynamique en milieu saturé

La description des processus de transferts dans un milieu poreux tel que le sol est rendue

particulièrement ardue par la complexité même du système poral dans lequel ils se déroulent [Perrier,

1994]. Les trajectoires d’écoulement d’un fluide quelconque circulant au sein de ce milieu empruntent

une série de micro-cavernes, reliées entre elles par d’étroits canaux. L’irrégularité des sections de


cheminement confère ainsi à la mécanique des fluides dans les milieux poreux un caractère bien

particulier. On se trouve en effet confronté à deux types d’approches du phénomène. D’une part une

approche microscopique qui repose sur l’étude de la dynamique des écoulements dans des micro-

conduits, les tubes capillaires, et de l’autre une approche macroscopique, qui repose sur l’étude

quantitative globale du phénomène de transfert dans un milieu poreux.

1.5.1.1 Approche microscopique A l’échelle microscopique, les transferts d’eau dans le sol s’effectuent dans le réseau de micro-cavités

reliées par de fins canalicules que forme son système poral. Une relation entre force motrice. forces de

frottement et vitesse d’écoulement peut être établie aisément dans le cas d’un écoulement laminaire

dans un conduit de géométrie fixe.

L’équation de Poiseuille (section §1.4.1.1) décrit l’écoulement de l’eau dans un tube capillaire à

géométrie fixe. Si l’on considère le sol comme un faisceau de tubes rectilignes de diamètre constant sur

toute leur longueur, le débit total de l’eau qui transite dans ce milieu peut être estimé en additionnant

"hydrauliquement" les débits élémentaires de chaque tube capillaire. Cette hypothèse est toute fois très

peu réaliste car la géométrie et la direction des conduits sont très variables.

1.5.1.2 Approche macroscopique Dans le cadre d’une approche macroscopique, on considère que l’écoulement au travers d’une portion

ou élément de sol s’effectue globalement de manière uniforme sur toute sa section. Les spécificités

locales de l’écoulement ne s’expriment ainsi pas de manière explicite, mais se reflètent dans un

comportement global [Crawford, 1994].

La vitesse réelle de l’eau au travers d’un élément de sol varie d’un point à un autre. Si l’on considère

une section donnée, la vitesse réelle moyenne ou vitesse moyenne de pore Vr s’exprime par le rapport

du débit Q à la section globale des pores qui participent à l’écoulement Sr .

rr S

Qv = (1.33)

Comme cette section ne peut en général être mesurée, une vitesse fictive v, exprimant le rapport entre

le débit Q et la section totale de la portion de sol considérée S, est substituée à la vitesse moyenne de

pore:


SQv = (1.34)

La vitesse fictive et la vitesse moyenne de pore sont liées par la porosité du sol. Ce paramètre

représente en effet le rapport du volume de sol effectivement utilisé par l’écoulement au volume total de

l’élément de sol considéré, donc le rapport de la section réelle d’écoulement à la section totale:

fvvf

SS

rr == et (1.35)

Il apparaît ainsi que la vitesse moyenne de pore est supérieure à la vitesse fictive. Comme la

description des processus de transfert dans le sol repose sur une approche macroscopique, la

cinématique de la phase liquide est décrite par la vitesse fictive.

La loi de Darcy a été établie dans des conditions d’écoulement particulières qui limitent sa validité. Les

principales hypothèses qui sous-tendent cette loi sont les suivantes :

- matrice solide homogène, isotrope et stable,

- fluide homogène, isotherme et incompressible,

- énergie cinétique négligeable,

- régime d’écoulement permanent,

- écoulement laminaire.

Les variations spatiales de masse volumique (compressibilité, hétérogénéité) et de viscosité

(température) de la phase liquide sont suffisamment faibles pour que leur effet puisse être

généralement négligé. Il en va de même des variations de ces paramètres sous l’effet de l’interaction

solide-liquide dans le cas d’une matrice solide peu stable. Le caractère hétérogène et anisotrope de la

phase solide peut être pris en compte en exprimant la conductivité hydraulique non plus comme un

scalaire, mais comme un tenseur. Finalement, les faibles vitesses d’écoulement rencontrées dans les

sols permettent de ne pas tenir compte de l’énergie cinétique. Les principales limitations à la validité de

la loi de Darcy découlent par conséquent des deux dernières hypothèses, à savoir un écoulement

laminaire et un régime permanent.

1.5.1.3 La conductivité hydraulique à saturation

La conductivité hydraulique Ks à saturation apparaissant dans la loi de Darcy est une manifestation de

l’effet de résistance à l’écoulement dû aux forces de frottement. La double origine de ces forces est


mise en évidence par une analyse plus détaillée de ce paramètre. Celui-ci est en effet d’une part

proportionnel à la perméabilité intrinsèque k du sol, ce qui traduit l’influence des caractéristiques de la

matrice solide sur les frottements, et de l’autre inversement proportionnel à la viscosité dynamique η du

liquide, ce qui traduit l’effet de ses spécificités propres sur l’intensité des forces de friction interne, selon

:

ηρgkK s = (1.36)

La perméabilité intrinsèque d’un sol exprime le pouvoir de résistance à l’écoulement que manifeste un

sol face à n’importe quel fluide. Il s’agit donc d’une caractéristique du sol, qui s’exprime en m2. Les

facteurs dont dépendent la perméabilité intrinsèque et, par suite, la conductivité hydraulique du sol,

relèvent de sa texture aussi bien que de sa structure. En effet, au niveau textural, la distribution

granulométrique des particules minérales détermine la surface spécifique du sol et ainsi l’intensité des

forces d’adsorption dont d'écoulement les frottements. Au niveau structurel, le mode d’arrangement de

ces particules, en définissant l’espace d’écoulement, détermine d’une part les profils de vitesse et par là

la vitesse maximale (plus le diamètre des pores est élevé et plus la résistance moyenne est faible),

mais également les trajectoires d’écoulement. Celles-ci peuvent s’éloigner notablement de la ligne

droite. La tortuosité τ d’un échantillon de sol est définie par le rapport moyen de la longueur du

cheminement réel parcouru entre deux points à la distance rectiligne qui les sépare. En règle générale,

plus la tortuosité est élevée et plus la conductivité hydraulique du milieu est faible. Pour chaque type de

sol, la loi de Darcy peut ainsi être représentée par une droite liant le flux au gradient hydraulique et dont

la pente correspond à la conductivité hydraulique à saturation.

1.5.2 Dynamique en milieu non saturé

La plupart des processus de transfert d’eau dans les sols se déroulent dans des conditions

caractérisées par une teneur en eau inférieure à la saturation. La complexité du domaine d’écoulement

est encore accrue dans le cas des écoulements non saturés par le fait que le taux de saturation du sol

devient une variable dans l’espace et dans le temps [Haverkamp, 1997].

Lorsque l’on s’éloigne de la saturation, des discontinuités apparaissent dans la masse de fluide. Il

s’ensuit que les forces de pression hydrostatique, qui avec la pesanteur constituaient les forces

motrices de l’écoulement saturé, ne peuvent plus se transmettre intégralement dans le liquide. Leur

influence s’estompe dès lors rapidement.

La force motrice de l’écoulement en milieu non saturé est donc un gradient de potentiel total, résultant


de la somme des potentiels de pression matricielle et de gravité. Comme l’intensité des forces de

rétention et le potentiel de pression qui en découle dépendent de la teneur en eau, grandeur elle-même

variable au cours du processus, la force motrice de l’écoulement varie non seulement d’un point à

l’autre du sol, mais également localement au cours du temps. Elle est, de plus, conditionnée par le

phénomène d’hystérèse.

En milieu non saturé, la relation entre la vitesse fictive de l’écoulement et les diverses forces qui la

conditionnent, s’exprime de manière analogue à la loi de Darcy en milieu saturé.

Le comportement dynamique global de la phase liquide en milieu non saturé est décrit par une relation

flux-gradient de potentiel essentiellement non linéaire. La loi de Darcy ne s’applique ainsi que de

manière discrète, si bien que sa généralisation aux écoulements non saturés implique que le gradient

de potentiel soit exprimé de manière ponctuelle et la conductivité hydraulique sous la forme d’une

fonction de la teneur en eau ou du potentiel de pression, puisque ces deux grandeurs sont liées :

( ) HgradhKq −= ou ( ) HgradKq θ−= (1.37)

que l'on peut développer de la manière suivante:

( ) [ ]zhgradhKq +−= équation en h (1.38)

( ) ( )[ ]zhgradhKq +−= θ équation en θ (1.39)

Dans l’équation en h, la description des caractéristiques du sol repose sur la seule relation K(h),

synthèse des relations K(θ) et h(θ). La conductivité hydraulique est alors affectée par le phénomène

d’hystérèse. C’est la raison pour laquelle l’usage de cette formulation se limite en pratique aux cas où la

variation de la charge de pression est monotone, c’est-à-dire lorsqu’elle croît ou décroît de manière

continue.

1.5.2.1 La Conductivité hydraulique En conditions saturées, le potentiel de pression matricielle est nul et la teneur en eau maximale. La

conductivité hydraulique est alors constante à sa valeur maximale, la conductivité hydraulique à

saturation. En conditions non saturées, la teneur en eau θ et la charge de pression h diminuent à

mesure que l’on s’éloigne de la saturation. Par l’augmentation de la tortuosité et la diminution des

vitesses, la conductivité hydraulique diminue alors également rapidement. Les relations liant la

conductivité à la charge de pression ou à la teneur en eau sont complexes et dépendent du type de sol


considéré, par le biais de ses caractéristiques structurales et texturales [Koppi, 1991].

La diminution de la teneur en eau entraîne en général une baisse rapide de la conductivité hydraulique.

En effet, alors même que la charge de pression ne passe que de 0 à 1m, la conductivité hydraulique

peut diminuer, selon les sols, de plusieurs ordres de grandeurs. La relation K(h) étant davantage sujette

à l’hystérèse, on préfère généralement décrire le sol par la paire de relations K(θ) et h(θ), dénommées

courbes caractéristiques du sol. L’allure de la relation K(θ) indique que la conductivité est nulle au-

dessous d’un seuil θo, et qu’elle croît de façon exponentielle pour atteindre sa valeur maximale à

saturation.

Les tentatives de déduction de la courbe de conductivité hydraulique d’après des grandeurs

caractéristiques de la texture et de la structure du sol n’ont pas débouché sur des résultats probants.

C’est la raison pour laquelle, comme dans le cas de la courbe caractéristique d’humidité du sol,

l'expression mathématique des courbes de conductivité hydraulique repose sur l’ajustement de valeurs

expérimentales sur des lois mathématiques empiriques, telles que :

Brooks & Corey [Brooks & Corey, 1964] : λ est un paramètre reflétant la porosimétrie du sol.

Pour h(θ) λ

θθθθ

=

−−

hhbc

rs

r (1.40)

( )λ

θθθθ

θ23+

−−

=rs

rsKK (1.41)

Van Genuchten [Van Genuchten, 1980]: m est n sont de constantes empiriques lies à la "structure" et

"texture" du sol

Pour h(θ)

mn

vgrs

r

hh

−

+=

−− 1

θθθθ

ou n

m 21−= (1.42)

( )

21

21

11

−−

−−

−−

=

mm

rs

r

rs

rsKK

θθθθ

θθθθ

θ (1.43)


1.5.3 Détermination expérimentale

La relation entre conductivité hydraulique d’un sol et teneur en eau peut être déduite de l’analyse de

l’évolution spatio-temporelle des profils hydriques et tensiométriques obtenus lors d’une infiltration à flux

constant. La loi de Darcy pour un écoulement vertical s’exprime en effet comme :

( )zqKq

∂∂

−= θ (1.44)

Soit à la cote altimétrique z :

( ) ( )z

z

zHqK∂

∂−=θ (1.45)

D’après les développements effectués précédemment, le flux au temps t et à la cote z et se produisant

à une teneur en eau θt,z est déterminé par l’équation de continuité:

( )z

z

z ooz St

qzt

qq ∫ −=∂= 2

1

11_ ∆∆

θ∆∆

(1.46)

L’intégrale étant prise entre les profils hydriques des temps ti-1 et ti+1 et entre les cotes z=O et z=z. Ainsi,

si l’on dispose de trois profils hydriques successifs, il est possible d’évaluer les flux correspondant à

diverses valeurs de teneur en eau, chacune d’entre elles correspondant à une cote z différente au

temps t. En relevant sur le profil de charge totale au temps t les pentes correspondant à ces diverses

cotes, on obtient finalement pour chaque valeur de teneur en eau un couple (qz,δH/δz), duquel on déduit

la valeur de la conductivité hydraulique correspondante. Ces valeurs sont alors reportées en fonction de

la teneur en eau sur un graphique et ajustées par une loi empirique (§1.4.2.1).

1.6 Synthèse du Chapitre

L'approche les plus simple du problème des transferts de liquide dans le milieux poreux considérés à

l'échelle microscopique est constituée par les modèles de faisceaux de tubes capillaires. Ceux-cis

permettent notamment de mettre en évidence l'origine des phénomènes d'hystérésis. Ces modèles

peuvent être affinés en introduisant des tubes présentant des irrégularités géométriques. Les modèles

plus élaborés de réseaux aléatoires 2D et 3D, étudies au moyen de la théorie de la percolation, mettent

en évidence le rôle de la topologie, c'est à dire de l'organisation des connexions entre les éléments

constitutifs de l'espace poreux.


La loi de Darcy décrit à l'échelle macroscopique l'écoulement des fluides dans les milieux poreux. En

théorie, elle découle de l'intégration des équations de Navier-Stokes dans un domaine spatial définie

comme l'élément de volume représentatif, en présence de frontières solides extrêmement complexes.

Mais il est rarement possible de réaliser effectivement cette intégration. Les modèles de gaz sur réseau,

dans lesquels le fluide est représenté par des particules soumises à ses règles de collision, offrent une

alternative plus économique en calcul pour intégrer la topologie complexe du milieu, et mettre en

évidence le comportement macroscopique darcien.

Dans le domaine particulier de la physique des sols, la théorie des écoulements en milieux poreux

apporte les outils nécessaires à l'étude des principaux processus. Elle permet de mettre en évidence,

par exemple, l'influence de la texture et de la structure des sols sur les caractéristiques

hydrodynamiques.

Un premier objectif de ce travail est élaborer une formulation mathématique robuste de la structure

complexe du milieu basée sur les concepts de la géométrie (2D et 3D), pour essayer de prendre en

compte la réalité géométrique dans les modèles de simulation de propriétés de transfert. Pour cela, la

"Géométrie Discrète" (adaptée aux contraintes de l'informatique) est introduite. Les concepts qui sont

développé permettent une représentation de la forme par des opérateurs géométriques (chapitre §2).

Ainsi, seront exposés les outils mathématiques nécessaires à la mesure des paramètres

morphologiques et topologiques de la structure (chapitre §3).


DESCRIPTION DES MILIEUX POREUX - PHENOMENES DE TRANSFERTS ...........5

1.1 Introduction ...............................................................................................................................................7

1.2 La Géométrie des Milieux Poreux............................................................................................................8

1.2.1 La structure solide ...............................................................................................................................8

1.2.2 La structure poreuse ............................................................................................................................9

1.3 L’eau en Milieu Poreux...........................................................................................................................10

1.4 Transport d’eau en milieu poreux .........................................................................................................13

1.4.1 Echelle microscopique – pores..........................................................................................................13

1.4.1.1 Loi de Poiseuille ............................................................................................................................13

1.4.1.2 Imbibition et drainage....................................................................................................................14

1.4.1.3 Phénomène d’hystérése .................................................................................................................15

1.4.1.4 Modèles de Simulation ..................................................................................................................16

1.4.1.4.1 Faisceau des tubes capillaires..................................................................................................16

1.4.1.4.2 Réseaux de pores .....................................................................................................................18

1.4.1.4.3 Théorie de la percolation.........................................................................................................18

1.4.1.4.4 Distribution des éléments solides ............................................................................................21

1.4.2 Echelle macroscopique......................................................................................................................21

1.4.2.1 La loi de Darcy ..............................................................................................................................22

1.4.2.2 Modèles de Simulation ..................................................................................................................23

1.4.2.2.1 Volume élémentaire représentatif - V.E.R. .............................................................................23

1.4.2.2.2 Equations de Navier Stokes.....................................................................................................24

1.4.2.2.3 Simulation "Gaz sur Réseaux" ................................................................................................26

1.5 Caractérisation hydrique - Les sols .......................................................................................................26

1.5.1 Dynamique en milieu saturé ..............................................................................................................26

1.5.1.1 Approche microscopique...............................................................................................................27

1.5.1.2 Approche macroscopique ..............................................................................................................27

1.5.1.3 La conductivité hydraulique à saturation.......................................................................................28

1.5.2 Dynamique en milieu non saturé .......................................................................................................29

1.5.2.1 La Conductivité hydraulique .........................................................................................................30

1.5.3 Détermination expérimentale ............................................................................................................32

1.6 Synthèse du Chapitre ..............................................................................................................................32

Chapitre 2. La Géométrie Discrète et la Description de Formes - 35

Chapitre 2

La Géométrie Discrète et la Description de Formes


2.1. Introduction Les milieux poreux naturels ont une structure géométrique complexe qu'il est difficile d'interpréter sans

l’aide des outils informatiques. Diverses méthodologies mathématiques de discrétisation [Thovert,

1992] et de modélisation de l’espace poreux ont été proposées tels les éléments finis et les volumes

finis [Quintard, 1993; Hammecker, 1993], ou la théorie de la percolation [Essam, 1980; Daian, 1994]).

Le problème principal de ces méthodologies, est la représentation discrète de la géométrie réelle du

milieu de façon optimale, pour permettre l’analyse de structures multi-poreuses telles que les fissures.

Le premier objectif de ce chapitre est la présentation des notions de base et les concepts développés

pour l’adaptation de la géométrie Euclidienne à l’espace discret Zn, interprété par ordinateur. Seront

introduits d’abord les concepts dans le plan et les extensions nécessaires à la dimension supérieure :

l’espace 3D.

A partir des concepts de la géométrie discrète et ses algorithmes, l’objectif principal du chapitre est le

développement des descripteurs structuraux de la forme en 2D et 3D. Les techniques et méthodologies

développées sont basées sur les concepts des squelettes centrés dans la forme pour conserver et

représenter la morphologie et la topologie du milieu.

La structure du chapitre présente dans un premier temps les concepts et les algorithmes séquentiels de

la géométrie discrète nécessaires au plan 2D, puis les développements dans l’espace 3D. Les concepts

géométriques de cercles discrets et les erreurs associées sont développés, ainsi que pour les sphères

en 3D selon les métriques étudiées. Les opérateurs structuraux pour la description de formes sont

introduits pour le plan, à partir des squelettes pondérés et avec les bases mathématiques nécessaires.

Ainsi, les développements des opérateurs de squelette en 3D sont présentés avec les extensions et

simplifications (filtres, orthogonalités), proposées de façon à optimiser leur application.

2.2. La Géométrie Discrète Depuis les années 1950, l'association de l'image et de l'ordinateur connaît un essor considérable, tant

en ce qui concerne le domaine de l'analyse que celui de la synthèse d'images. L'analyse d'images

s'attache à construire une description explicite du contenu de l'image, tandis que la synthèse d'images

modélise d'une scène.

L'élément commun à tous les domaines est l'image, qui intervient aussi bien du point de vue du

stockage et de la visualisation de l'information que des traitements à réaliser. Ces aspects sont

fortement liés à la donnée informatique, tant au niveau logiciel qu'au niveau des capteurs, des matériels


d'affichage et de l'architecture des unités de traitement. Ces contraintes ont conduit à représenter

l'image dans l'espace discret, puis à raisonner en restant dans cet espace : il s'agit de la géométrie

discrète [Rosenfeld, 1986; Chassery, 1991].

2.2.1. Définitions et notions de base en 2D – L’Analyse d’image L'analyse d'images par ordinateur doit travailler sur des données discrètes, de support fini [Pratt, 1991;

Chassery, 1996]. La représentation de base est l'image discrète, dont le support est associé à un

maillage, qui précise l'arrangement des points entre eux.

L'échantillonnage de la scène est fourni par un capteur, dont les cellules sont le plus souvent disposées

régulièrement. On a donc tout intérêt à se placer dans l'espace de l'acquisition, où le maillage est

régulier. Les trois maillages réguliers utilisés dans le plan [Chassery, 1991] sont les maillages carré,

hexagonal et triangulaire.

Le maillage carré est bien sûr le plus commun, les capteurs ainsi que les écrans d'ordinateur l'utilisent.

Le support est le réseau fondamental de Ζ2, qui est le plus aisé à manipuler. Il faut cependant tenir

compte des types de connexité, avec 4 ou voisins, directs ou indirects. Les écrans de télévision ont

utilisé le maillage hexagonal pour améliorer le rendu de l'image (entrelacement, antialasing, densité des

points).

2.2.1.1. Voisinages et connexité Une image binaire de taille N x M à valeurs dans [0, 1] est codée par une matrice d'entiers de même

taille [Rosenfeld, 1986]. Elle contient des objets, qui sont des ensembles connexes de points étiquetés

à 1, le fond étant à 0 (figure 2.2).

0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 → 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0

Fig. 2.2 - Représentation d'une image discrète

Un point p de l'image est défini par ses coordonnées cartésiennes (abscisse, ordonnée). Le point p a 4

voisins directs et 4 voisins indirects (figure 2.3).

On définit donc le 4-voisinage et le 8-voisinage, en considérant respectivement les voisins directs, ou

les voisins directs et indirects.


P P a b

Fig. 2.3 - Voisins directs (a) et indirects (b)

Un chemin de po à pk est une suite de points po, pi, ..., pk telle que pi est voisin de pi-1, pour 1 ≤ i ≤ k. On

dit que le chemin est n-connexe (n = 4 ou 8) selon le type de voisinage, ou *-connexe si le type n'est

pas établi.

Un arc est un chemin tel que chaque point a exactement 2 voisins, sauf les extrémités qui n'en ont

qu'un. Enfin une courbe est un arc fermé.

Deux points voisins sont dits adjacents et deux points reliés par un chemin sont connectés. Les

définitions d'objet, d'arc et de courbe sont toutes à prendre pour un type de connexité fixé.

Le théorème de Jordan discret se formule alors:

Théorème 2.1 (Jordan discret): Le complémentaire de toute courbe discrète connexe (respectivement

8-connexe) est formé de deux composantes 8-connexes (respectivement 4-connexes): l'intérieur et

l'extérieur de la courbe.

Les nombres de connexité donnent en un point p le nombre de composantes connexes formées par son

8-voisinage en 'tournant' autour du point. Ils sont donc compris entre 0 et 4. Soit B=bi ∈ [0, 1] , i= O..7

l'ensemble des points constituant le 8-voisinage de p, numérotés dans l'ordre

765

04

123

bbbbpbbbb

et soit ii bb −=−

1 . Les indices sont à prendre modulo 8.

Le "crossing number" X4 est le nombre de composantes 4-connexes [Rutovitz, 1966]

( ) ∑=

+ −=7

014 2

1k

kk bbBX (2.1)


Le "connectivity number" C8 est le nombre de composantes 8-connexes [Yokoi, 1975]

( ) ∑=

+

−

+

−−−

−+=

3

022122264208

kkkkk bbbbbbbbBC (2.2)

(si le premier terme b0b2b4b6 vaut 1, alors p est 4-interne, et le second terme vaut 0; on néglige parfois

le calcul du premier terme).

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 x 0 0 x x 0 0 0 x 0 x 0 0 x x x 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 0 0 x x x 0 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Courbe 4-connexe et

Intérieur 8-connexe Courbe 8-connexe et

intérieur 4-connexe Fig. 2.4 - Dualité des connexités

2.2.1.2. Distances discrètes L'idée centrale de la plupart des distances discrètes consiste à approcher dE (distance euclidienne) par

propagation de distances locales [Rosenfeld, 1966]. La raison en est l'efficacité de calcul, car pour

étiqueter un point, seul un petit voisinage est consulté.

La notion de distance est utile pour quantifier et décrire les objets présents dans une image. La volonté

de rester dans l'espace de l'image impose l'utilisation de distances spécifiques, qui fournissent des

résultats exclusivement entiers.

Définition 2.1 (Distance discrète): On appelle distance discrète sur un espace IE une application d:IE

x IE -> lN vérifiant: ∀ A, B, C ∈ IE

( ) ( ) BABAdBAd =⇔=≥ 0, ;0, .1 définitie positive (2.3)

( ) ( )ABdBAd ,, .2 = symétrique (2.4)

( ) ( ) ( )BCdCAdBAd ,,, .3 +≤ inégalité triangulaire (2.5)

Pour deux points A(xa,ba) et B(xb,yb), les normes usuelles pour (ξ1,…,ξn) dans lRn


∑=

=n

iid

11 ξ ∑

=

=n

iid

1

22 ξ i

id ξsup=∞ (2.6)

vont devenir respectivement d4 ≥ dE ≥d8 dans Z2, en l'occurrence

( ) abab yyxxBAd −+−=,4 city block,Manhattan, diamond (2.7)

( ) ( )abab yyxxBAd −+−= max,8 chessboard, échiquier, square (2.8)

( ) ( ) ( )22, ababE yyxxBAd −+−= distance euclidienne (2.9)

Les distances discrètes d4 et d8 sont les premières à avoir été employées dans les images de distance,

car elles sont simplissimes à calculer, tandis que dE n'est pas une distance discrète. Les distances d4 et

d8 tirent leur notation de leur disque unité (figure 2.5).

(a)

1101

1 (b)

111101111

Fig. 2.5 - Disques unité de (a) d4 et (b) d8

Définition 2.2 (Image de distance) Etant donné un ensemble X dans un espace métrique (lE,d), on

appelle image (ou carte) de distance l'image notée DMX telle que la valeur attribuée en tout point p est

égale à la distance de p au complémentaire de X:

( )

∈=

→−−

XqqpdXpdpDM x ,,inf,

a

ΝΕ (2.10)

Les cartes de distance de d4 et d8 présentent des courbes de niveaux caractéristiques (figure 2.6). En

effet ces distances sont relatives à la connexité entre points d'une image.

Les boules de d4 et d8 n'étant pas circulaires (§2.1.6), les valeurs obtenues sont sensiblement

différentes de celles associées à dE, d'où une anisotropie, et une non-robustesse à la rotation de l'image

des traitements fondés sur d4 et d8.

Les images de distance sont utilisées dans de nombreuses applications, [Serra, 1982; 1988]. En

général, les résultats seront d'autant meilleurs que la distance employée approximera correctement dE.


Mais une "meilleure" distance requiert souvent plus de calculs ou de mémoire. Il est donc intéressant de

disposer de distances variées.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1

a b Fig. 2.6 - DM pour (a) d4 et (b) d8

2.2.1.3. Distance Euclidienne Utiliser la distance euclidienne serait bien entendu la solution idéale, mais [Rosenfeld, 1986] ni (dE)2,

int(dE), ou trunc(dE) ne sont des distances. Ces fonctions ne respectent pas l'inégalité triangulaire1, en

particulier pour les petites valeurs.

On est donc contraint de changer de système de représentation, en stockant des vecteurs au lieu de

distances. Ces vecteurs indiquent le point le plus proche du fond, et peuvent être signés, ou stockés en

valeurs absolues.

L'isotropie des propriétés et la fiabilité des mesures sont importantes en analyse d'images. Mais son

emploi présente un certain nombre de désagréments, dont l'absence de définition locale est une cause.

Que l'on stocke l'information de distance sous la forme vectorielle (x, y), par le carré x2+y2 voire même

en réel √(x2+y2), les transformations de distance que l'on a passées en revue sont complexes et

relativement coûteuses. Il est donc judicieux de se placer dans l'espace discret, et de construire des

distances qui réalisent un bon compromis entre efficacité et maniabilité.

2.2.1.4. Distance de Chanfrein Le principe des distances de chanfrein, notées dC, est de pondérer les déplacements dans un voisinage

donné avec des entiers, puis de fixer la distance entre tout couple de points au chemin de coût minimal

les rejoignantent formé des déplacements autorisés. L'ensemble des pondérations affectées aux

déplacements autorisés définit un masque. Ces distances sont conçues dès le départ dans l'espace

discret, mais la caractéristique la plus importante réside dans l'efficacité des algorithmes de

transformation de distance.

1 Contre exemple: pour l'équation 2.5 selon la définition 2.1 dans le plan, avec la distance Euclidienne calculée par l'équation 2.9, trois éléments A, B et C de coordonnées A(0,0), B(10,5) et C(5,0): pour (dE)2: (dE)2

AB=125; (dE)2AC=25 et (dE)2

CB=50, alors (dE)2AB

>(dE)2AC + (dE)2

CB -NE SATISFAIT PAS; et pour dE: (dE)AB=11,18; (dE)AC=5,0 et (dE)CB=7,07, alors (dE)AB <(dE)AC + (dE)CB .


La définition de d4 et d8 revient à associer un coût de 1 aux déplacements directs ou diagonaux (figure

2.7 a,b). Il semble naturel de donner des poids plus significatifs du déplacement euclidien réalisé,

comme à la figure 2.7.c avec (1, √2). Mais cela n'est pas suffisant, car si l'erreur est annulée suivant les

directions multiples de 45°, elle prend des valeurs importantes ailleurs.

1 √2 √2 √5 4 7 110 1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 5 a b c d e f

Fig. 2.7 - Pondérations locales

Montanari [Montanari, 1968], a ainsi eu l'idée de pondérer d'autres déplacements dans des voisinages

plus grands avec par exemple (1, √2, √5) (figure 2.7.d). La distance rationnelle qu'il obtient en prenant le

chemin de longueur minimale d'un point à un autre, formé des déplacements autorisés, peut en théorie

approcher dE autant qu'on le souhaite. Comme ces distances ne sont pas entières, le premier utilise les

poids (2, 3), ce qui revient à approcher (1, √2) par (1, 3/2).

C'est Borgefors qui popularise ces distances de chanfrein [Borgefors, 1984]. Elle préconise et justifie

l'approximation de (1, √2) par (1, 4/3) et celle de (1, √2, √5) par (1, 7/5, 11/5) (figure 2.7.e,f). Les

distances résultantes sont le chanfrein (3,4) et le chanfrein (5,7,11), notés d3,4 et d5,7,11. Des cartes de

distance les utilisant sont montrées en figure 2.8.

3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 3 6 6 6 6 3 5 10 10 10 10 5 3 6 7 7 4 3 5 10 11 11 7 5 3 3 4 6 3 5 5 7 10 5 3 3 3 5 5 5

a b Fig. 2.8 - DM pour (a) d3,4 et (b) d5,7,11

2.2.1.5. Carte de distances – schéma algorithmique Une transformation de distance convertit une image binaire en carte de distance DM. Le calcul des

distances est en principe une tâche globale. La méthode exhaustive, qui pour chaque point teste toute

l'image, est excessivement coûteuse. Heureusement il est possible de restreindre les tests à de petits

voisinages, puisque les distances de chanfrein sont basées sur la propagation de distances locales.

L'algorithme séquentiel qui suit est dit de 'Rosenfeld'. On décompose le masque de voisinage en deux

demi-masques symétriques par rapport à 0 (figure 2.9).

Le demi-masque avant contient les points antérieurs au milieu 0 dans le sens du balayage. Ses n points


( i [1…N/2] où N=total d'éléments du masque sans le centre et n=N/2 éléments) ont les coordonnées (xi,

yi) et le poids wi. Le demi-masque arrière est donc constitué des n points ( i[N/2...N] ) (-xi, -yi) de poids

wi. Aucun des deux demi-masques ne contient le point 0.

11 11 4 3 4 11 7 5 7 11 3 0 5 0 a c 0 3 0 5 4 3 4 11 7 5 7 11 b 11 11 d

Fig. 2.9 - Masques séquentiels de d3,4 et d5,7,11 avant (a,c) et arrière (b,d)

Parcours avant: pour un élément de l'image A[x,y] , de haut en bas et de gauche à droite

[ ] [ ] iii wyyxxAyxA +++= ,min, (2.11)

Parcours arrière: pour un élément de l'image A[x,y] , de bas en haut et de droite à gauche

[ ] [ ] [ ] iii wyyxxAyxAyxA +−−= ,,,min, (2.12)

Cet algorithme est très efficace dans le plan discret, puisqu'il ne nécessite que deux consultations par

point de l'image A, et ce sur un voisinage restreint du point, indépendamment de la taille des objets à

traiter (figure 2.10).

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 4 3 6 6 6 6 3 3 6 9 9 8 4 → 3 6 7 7 4 3

3 6 9 12 8 3 3 4 6 3 3 6 4 3 3 3

Fig. 2.10 - DM pour d3,4 en 2 balayages séquentiels

2.2.1.6. Transformation inverse La transformation inverse part d'une image de poids, et génère le disque associé à chacun de ces

poids; elle permet par conséquent de générer des formes. Le type de l'algorithme est le même que celui

du §2.1.4, et utilise les mêmes demi-masques.


Parcours avant: pour un élément de l'image A[x,y] , de haut en bas et de gauche à droite

[ ] [ ] [ ] iii wyyxxAyxAyxA −++= ,,,max, (2.13)

Parcours arrière: pour un élément de l'image A[x,y] , de bas en haut et de droite à gauche

[ ] [ ] [ ] iii wyyxxAyxAyxA −−−= ,,,max, (2.14)

La surface est extraite de DM et permet de retrouver la forme initiale par une transformation inverse de

distance (figure 2.11).

2 3 3 2 1

4 6 6 3 1 4 6 6 5 4 1 3 2 3 7 8 5 2 → 3 2 4 7 8 5 2 3 4 5 4 1 3 4 5 4 1 1 2 1 1 2 1

Fig. 2.11 - DM-1 pour d3,4 en 2 balayages séquentiels

2.2.1.7. Les Cercles Discrets Alors que le disque de la distance euclidienne est un cercle, les distances de chanfrein sont des

polygones réguliers.

On peut obtenir un cercle discret de rayon R pour un masque (a, b, ... ) donné en étiquetant chaque

point à sa distance à l'origine. Le cercle est alors l'ensemble des points de valeur inférieure ou égale à

Ra+r, où r ∈ [0, a-1]. Pour un rayon R discret il y a donc une famille de a cercles, en faisant varier r

(figure 2.12).

3 4 3 4 0 3 0 3 3 0 3 3 4 3 4 a b c

6 7 6 7 8 7 6 7 8 4 3 4 7 4 3 4 7 7 4 3 4 7

6 3 0 3 6 6 3 0 3 6 6 3 0 3 6 4 3 4 7 4 3 4 7 7 4 3 4 7 6 7 6 7 8 7 6 7 8

d e f Fig. 2.12 - Cercles discrets de d3,4 avec R=1(a,b,c) et R = 2 (c,d,f).


L'allure générale de ces cercles (figure 2.13) est un losange pour d4, un carré pour d8, un octogone pour

d3,4, un hexadécagone pour d5,7,11, etc. A mesure que l'on enrichit le masque, le nombre de côtés de ces

polygones augmente.

Fig. 2.13 - Les cercles discrètes selon la distance.

2.2.1.8. Taux d’erreur Les taux d'erreur relativement à la distance euclidienne vont de 41% pour d4 à 1% pour d5,7,11. En

pondérant des masques plus grands il est possible d'approximer plus finement encore la distance

euclidienne (figure 2.14 – 2.15).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 5 10 15 20

Rayon (pixel)

Dis

tribu

tion

de P

ores

círculod3-4d5-7-11

Fig. 2.14 - L'erreur rapportée à la distance Euclidienne dans la mesure

du rayon d’un cercle (dE= triangule, d34=cercle et d5711=carré)

B CP A

A B C

|d4-dE|/dE 0% 41,42% 34,16%

|d8-dE|/dE 0% 29,29% 10,56%

|d34-dE|/dE 0% 5,71% 4,29%

|d5711-dE|/dE 0% 1,00% 1,00% Fig. 2.15 - L'erreur rapportée à la distance Euclidienne


2.2.2. Définitions et notions de base en 3D – l’Analyse du volume

Il serait logique de penser que toutes les définitions données pour Z2 sont généralisables dans Z3,

malheureusement ce n'est pas toujours le cas, l'espace offrant beaucoup plus de possibilités que le

plan.

La représentation de volumes 3D par ordinateur requiert un échantillonnage du volume afin d'en extraire

des valeurs discrètes. Cet échantillonnage de l'espace continu est effectué à l'aide d'un maillage,

tableau tridimensionnel de points régulièrement espacés. Chaque point de l'espace discret référence un

volume élémentaire cubique appelé voxel (le terme voxel abrège l'expression "volume element" comme

le fait pixel pour "picture element" en deux dimensions).

Cet échantillonnage de l'espace nécessite un pavage polyédrique fermé compact. Parmi les cinq

polyèdres réguliers que sont le tétraèdre (quatre faces), le cube (six faces), l'octaèdre (huit faces

triangulaires), le dodécaèdre pentagonal (douze faces pentagonales) et l'isocaèdre (vingt faces qui sont

des triangles équilatéraux égaux), seul le cube permet d'effectuer un échantillonnage régulier. Cela est

différent du cas 2D où trois maillages réguliers sont utilisées.

En dehors des polyèdres réguliers d'autres motifs sont utilisables pour échantillonner l'espace (modèle

"cubique face centré" par exemple) mais leur champ d'utilisation est très réduit à cause des difficultés

de raisonnement qu'ils occasionnent. Dans la suite nous n'utiliserons que le maillage cubique.

Ainsi échantillonné, tout volume discret peut être défini par sa fonction caractéristique f.

( ) ( )kjiff

,,kj,i, : 3

→→ ΙΖ

(2.15)

Si I se réduit à l'ensemble ( 0 , 1), le volume est dit binaire. Comme pour les images 2D, les volumes

peuvent être codés à l'aide de matrices, cette fois elles doivent être tridimensionnelles.

2.2.2.1. Voisinage, connexité et nombre d’Euler La notion de chemin connexe est la même que dans le plan [Barr, 1987]. Elle est directement liée à la

notion de voisinage utilisée qui détermine les points potentiellement consécutifs d'un point donné. Un

chemin 26-connexe peut donc être décomposé en trois sortes de voisins d'un voxel: une partie où les

voxels sont 6-voisins, une partie où les voxels sont 18-voisins et non 6-voisins, et une partie où les

voxels sont 26-voisins sans être ni 6- ni 18-voisins.

Les notions de courbe et de composante connexe sont les généralisations de celles données dans le


plan.

De même qu'en 2D, le complémentaire d'un volume doit être analysé avec la distance duale de celle

utilisée pour l'objet. Par exemple si on utilise la 6-connexité pour l'objet il faut utiliser la 26-connexité

pour le fond, et vice versa. Dans le cas où on utilise la 18-connexité il est nécessaire de définir sa

distance duale, parfois notée d'18.

A l'aide des notions de voisinage, on déduit la notion de point bord:

-On appelle point bord d'un objet tout point dont l'un des 6-voisins est dans le complémentaire de cet

objet.

-On appelle point de type "Ouest" (respectivement Est, Nord, Sud, Haut et Bas) tout point dont le voisin

dans la direction Ouest (respectivement Est, Nord, Sud, Haut et Bas) et dans le complémentaire de

l'objet considéré.

Les directions Nord, Sud, Est, Ouest, Haut et Bas sont définies selon le schéma de la a figure 2.16.

Fig. 2.16. Les 6 directions de l'espace.

- On appelle trou de l'objet toute composante connexe finie du complémentaire de l'objet.

On définit ainsi deux sortes de trous:

-Les cavités sont définies comme les composantes connexes finies (au sens de la connexité

complémentaire de l'objet) du complémentaire de l'objet.

-Le fond est donc simplement la composante connexe infinie du complémentaire.

On défini aussi la notion d'anse, elle se forme quand, à partir d'un solide, on perce un tunnel le

traversant de part en part. Ces objets comportant des anses peuvent être mis en bijection avec tores.


C'est à partir du nombre d'anses qu'est défini le "genre" de l'objet, c'est un invariant topologique. On

montre que :

TfaS 22 −=+− (2.16)

où S est le nombre de sommets de l'objet, a le nombre d'arêtes, f le nombre de faces et T représente le

nombre d'anses (tunnels) (figure 2.17).

On peut généraliser la notion de nombre de connexité défini dans le plan en définissant le nombre de

d'Euler e :

CTKe +−= (2.17)

où K est le nombre de composantes, T le nombre d'anses et C le nombre de cavités.

Objet K C T S a f e

a 1 0 0 32 60 30 1

b 1 0 1 32 64 32 0

c 1 1 0 56 108 54 2

(d) K : nombre de composantes, C : nombre de cavités, T : nombre d'anses, S : nombre de sommets, a : nombre d'arêtes, f :

nombre de faces, e : nombre d'Euler

Fig. 2.17 - Objets 3D : (a) objet fermé, (b) objet avec anse, (c) objets

avec cavité, (d) invariants topologiques.

2.2.2.2. Distances discrètes dans Z3 - Distance Euclidienne La distance euclidienne entre deux voxels U et V est définie par:


( ) ( )( )( )

( )∑=

−=

=3

1

2

321321

,,,,,

iii

EE

uv

vvvuuudVUd (2.18)

La distance entre les coins opposés d'un cube N x N x N est N√3 et celle entre deux des coins opposés

de l'une de ses faces est N√2. Elle permet de définir des boules euclidiennes (figure 2.18).

Fig. 2.18 - Une sphère réel et ça boule euclidienne discrète.

Ces valeurs n'étant pas entières et les fonctions pour les rendre entières n'étant pas compatibles avec

les propriétés nécessaires à la définition d'une distance, il est nécessaire, là aussi, de définir des

métriques à valeurs entières.

2.2.2.3. Distance d6 La distance d6 est la généralisation de la distance de Manhattan. Sa définition est :

( ) ∑=

−=3

16 ,

iii vuVUd (2.19)

Elle permet de définir la notion de 6-voisinage d'un point :

( ) ( ) 1uuu que tel,, 3322113216 =−+−+−= vvvvvvVUN (2.20)

En fait deux voxels sont 6-voisins s'ils partagent l'une de leurs faces (ils sont six) (figure 2.19). La

distance entre les coins opposés d'un cube N x N x N est 3N, celle entre les coins opposés de l'une de

ses faces est 2N.


Fig. 2.19 - La voisinage d'un point selon d6

On peut démontrer que :

( ) ( )VUdVUdVU E ,,,, 63 ≥∈∀ Ζ (2.21)

Pour la distance d6 , l'image de distance (on devrait dire "volume de distance") peut être calculée en

deux passages sur le volume à l'aide de pondérations locales. Le principe d'obtention est le même que

celui utilisé en 2D (§2.2.3.2), le premier passage se fait selon l'une des diagonales et le second dans le

sens inverse. Les masques utilisés sont cette fois tridimensionnels.

2.2.2.4. Distance d26 Elle est la généralisation dans l'espace discret de la distance de l'échiquier définie dans le plan. Elle est

donnée par:

( ) iiivuMaxVUd −==

=

3

126 , (2.22)

Dans ce cas, le 26-voisinage d'un voxel est constitué de tous les voxels partageant avec lui, soit l'une

de leurs faces (ils sont six), soit uniquement une de leurs arêtes (ils sont douze), soit uniquement un de

leurs sommets (ils sont huit). Le 26-voisinage d'un voxel comprend donc vingt-six voxels (figure 2.20).

La distance entre deux coins opposés d'un cube N x N x N est N, de même que la distance entre deux

coins opposés de l'une des faces de ce même cube.


Fig. 2.20 - La 26-voisinage d'un point selon d26

On peut démontrer que :

( ) ( )VUdVUdVU E ,,,, 263 ≤∈∀ Ζ (2.23)

Là encore l'image de distance peut être calculée en deux passages à l'aide de deux masques. La

distance d26 est la distance duale de d6.

2.2.2.5. Distance d18 Il n'en existe pas de définition formelle simple. Elle est en fait définie par l'intermédiaire de la notion de

voisinage. On a :

( ) ( )

≤−<= ∑=

3

2

2i32118 2u0 que tel,,

iivvvvVUN (2.24)

Deux voxels sont voisins (18-voisins) s'ils ont, soit l'une de leurs faces, soit uniquement une de leurs

arêtes en commun. Chaque voxel a ainsi dix-huit voisins (figure 2.21).

La distance entre les coins opposés d'un cube N x N x N est 2N, celle entre deux coins opposés de

l'une de ses faces est N. On démontre que, pour tous les points de l'espace à l'exception des huit points

(±1,±1,±1), on a:

( ) ( )VUdVUdVU E ,,,, 183 ≤∈∀ Ζ (2.25)

Cette propriété, adjointe à ses semblables pour les distances d6 et d26, permet de définir d'autres

distances telles que les distances (hyper) octogonales 6/18, 6/26 ou même 18/26, en combinant les

distances correspondantes.


Fig. 2.21 - Le 18-voisinage d'un point selon d18.

2.2.2.6. Distances du chanfrein Comme dans le plan discret, il semble intéressant d'approcher mieux la distance euclidienne dans

l'espace (§2.1.3.2) [Coquin, 1994]. Les distances du chanfrein sont utilisées, elles sont basées sur la

même idée qu'en 2D. Ainsi, la distance du chanfrein d345 permet d'approcher √2 par 4/3 et √3 par 5/3

(figure 2.22)

5 4 5 4 3 4 5 4 5 4 3 4 3 0 3 4 3 4 5 4 5 4 3 4 5 4 5 a b c

Fig. 2.22 - La masque de chanfrein d345 (d26-vosinage);

2.2.2.7. Volume de distances – schéma algorithmique Une transformation de distance convertit un volume binaire en carte de distance volumique VDM. Le

calcul des distances est analogue à celui du plan. On décompose le masque volumique 3D en deux

demi-masques volumique symétriques par rapport à 0 (figure 2.23).


(a) (b)

Fig. 2.23 - Masques séquentiels pour la distance du chanfrein d345 , avant (a) et arrière (b)

Le demi-masque avant contient les points antérieurs au milieu 0 dans le sens du balayage. Ses n points

ont les coordonnées (xi, yi, zi) et le poids wi. Le demi-masque arrière est donc constitué des n points (-

xi, -yi, -zi) de poids wi. Aucun des deux demi-masques volumiques ne contient le point 0.

Parcours avant: pour un élément voxel du volume VA[x,y,z], de haut en bas et de gauche à droite

[ ] [ ] iiii wzzyyxxVAzyxVA ++++= ,,min,, (2.26)

Parcours arrière: pour un élément voxel du volume VA[x,y,z], de bas en haut et de droite à gauche

[ ] [ ] [ ] iiii wzzyyxxVAzyxVAzyxVA +−−−= ,,,,,min,, (2.27)

Cet algorithme est aussi très efficace en O(N3), puisqu'il ne nécessite que deux consultations par point

du volume VA, et ce sur un voisinage restreint du point, indépendamment de la taille des objets à traiter.

2.2.2.8. Transformation inverse La transformation inverse part d'un volume de poids, et génère la sphère associée à chacun de ces

poids; elle permet par conséquent la génération de formes. Le type de l'algorithme est le même que

celui du §2.1.5, et utilise les mêmes demi-masques volumiques §2.2.4.

Parcours avant: pour un élément voxel du volume VA[x,y,z], de haut en bas et de gauche à droite

[ ] [ ] iiii wzzyyxxVAzyxVA −+++= ,,min,, (2.28)


Parcours arrière: pour un élément voxel du volume VA[x,y,z], de bas en haut et de droite à gauche

[ ] [ ] [ ] iiii wzzyyxxVAzyxVAzyxVA −−−−= ,,,,,min,, (2.29)

Il est extrait de VDM et permet de retrouver la forme initiale par une transformation inverse de distance.

2.2.2.9. Les Sphères Discrètes Les sphères discrètes définies par d6 sont des octaèdres discrets dont les faces sont inclinées de plus

ou moins 45° par rapport à chacun des axes; c'est l'équivalent du diamant en 2D (figure 2.24.a). Les

boules définies par d18 sont des polyèdres discrets à quatorze faces; ce sont en fait des cubes boules

de d26 qui ont été tronqués parallèlement aux faces de l'octaèdre boule de d6 (figure 2.24.b). La boule

d26 forme un cube centré en V et ayant sur une arête 2r+1 voxels (figure 2.25).

(a) (b)

Fig. 2.24 - La boule discrète selon d6 (a) et selon d18 (b).

Fig. 2.25 - La boule discrète selon d26

Les boules discrètes pour les distances de chanfrein varient selon le schéma de voisinage, ou le


masque de chanfrein d34 donne une boule de faces tronquées pour le d18-voisinage (figure 2.26.a) et

une boule carrée pour le schéma d26-voisinage avec la masque de chanfrein d345 (figure 2.26.b).

(a) (b)

Fig. 2.26 - La boule discrète avec la distance de chanfrein d34 selon d18 –voisinage (a) et avec la distance de chanfrein d345 selon d26 –voisinage (b).

2.2.2.10. Taux d’erreur Les taux d'erreur maximale relative à la distance euclidienne volumique rapportée à la distance de

chanfrein volumique d345 sont les même que pour la distance d34 dans le plan (les direction A,B,C -

§2.1.7 – table figure 2.15), mais pour la distance D (diagonale dans l'espace de coordonnés x, y, z )

l'erreur est de seulement 3%.

2.3. La Description de formes La description de formes est une étape importante en analyse d'images de l’espace. Si l'objet a une

forme simple, par exemple une silhouette compacte ou une frontière convexe, sa description peut être

donnée en termes géométriques comme l'aire, le périmètre, le facteur de forme, les moments, etc. Ces

traits sont parfois suffisants pour classifier, mais non pour décrire de façon appropriée une forme

complexe, de frontière non convexe et pouvant être perçue comme l'union de régions simples. Dans ce

cas, il vaut mieux suivre une approche structurelle.

La notion de squelette comme représentation structurale est intuitive; il s'agit de modéliser, dans

l'espace continu, l'intersection d'un front d'onde partant du bord d'un objet, de façon à obtenir une

représentation filiforme de l'objet [Chassery, 1991].

Les propriétés majeures que l'on attend du squelette sont au nombre de trois : i) centré 1, ii) homotope,

et iii) réversible. L'homotopie signifie que l'image et son squelette ont le même nombre de composantes

connexes, et pour chacune d'entre elles, le même nombre de trous. Centré dans la forme, le squelette


fournit une représentation monodimensionnelle équivalente à l'objet. La description de l'objet peut alors

se faire entièrement à travers celle du squelette, qui possède toute l'information synthétisée sous forme

de valeurs de distances.

Le calcul du squelette est une opération difficile. Ce calcul, quasiment impossible dans l'espace continu,

conduit à trois familles de méthodes :

¤ A partir d'une polygonalisation du contour, une formulation analytique en segments de droites et en

arcs de paraboles est déduite [Martinez, 1987];

¤ Une autre méthode semi-continue prend comme entrée un échantillonnage du contour, où l’on calcule

le diagramme de Voronoï [Bertin, 1994], duquel on extrait un squelette sous forme de graphe [Attali,

1994].

¤ Quant à la famille de méthodes dédiées à l'espace discret, on distingue les squelettes binaires,

(résultats d'un calcul itératif) et des squelettes pondérés (construits sur une image de distance)

[Montanvert, 1987; Chassery, 1991].

Les méthodes de calcul des squelettes binaires sont fondées sur la suppression itérative de points du

contour. Les points à supprimer sont détectés par analyse de leur voisinage, en faisant intervenir la

plupart du temps des masques de détection. Le squelette pondéré est généralement considéré comme

une bonne représentation de formes binaires lorsque leur épaisseur varie ou est non négligeable, et il

est utilisé comme un puissant outil pour la décomposition et la description de formes [Pieritz, 1994;

Thiel, 1994].

2.3.1. Modèles de représentation en 2D La description de formes nécessite des méthodes pour extraire les caractéristiques importantes des

objets présents dans une image. Un objet binaire est un ensemble de points qui, pris séparément, ne

donnent pas d'information pertinente. C'est pourquoi les objets sont fréquemment représentés par leur

contour. Une alternative intéressante consiste à rechercher un "axe de symétrie généralisée" dans la

forme, appelée "axe médian" [Blum, 1967].

2.3.1.1. L'axe médian Dans l’espace l’axe médian est un concept qui fait intervenir le recouvrement d’un objet par des

éléments géométriquement connus, de manière à accéder à une représentation minimale d’une image.

Par exemple, voici schématisé figure 2.27, l'axe médian recouvrant une forme par des cercles

euclidiens.


Fig. 2.27 - Axe médian obtenu avec des cercles.

Dans l’espace discret à n dimension, la définition de l’axe médian est :

Définition 2.3 (Axe médian) L'axe médian, noté AM, est le lieu des centres des boules maximales dans

la forme.

Définition 2.4 (Boule maximale) Une boule est dite maximale dans la forme si elle n'est complètement

incluse dans aucune autre boule. Une telle boule peut cependant être incluse dans l'union de plusieurs

autres.

Dans une image comprenant un ensemble O de points objets (avec le fond F) codés avec une distance

d, une boule discrète Bd(P,r) de centre P et de rayon r est définie par :

( ) ( ) rQPdQrPBd ≤= ,:, (2.30)

Ainsi, l’axe médian, noté AM(O), est alors caractérisé par :

( ) )( Q, R B) ( P, RO, B Q O AMP QdPd ⊄∈∀⇔∈ (2.31)

L'image de distance DM est une des premières approches utilisées pour donner une structure à une

image binaire, et pour identifier ses propriétés. En effet, pour une distance donnée, les boules

considérées sont des disques de rayons différents (équation 2.32).

( ) Qp RP, R Q O AMP ≥∀⇔∈ de voisins-i (2.32)

L’identification des boules maximales, pour les approximations de distances présentées, est faite à

partir de la caractérisation des "maxima locaux".


2.3.1.2. Maxima locaux Considérons un masque de chanfrein (xi, yi, wi). Dans la carte de distance DM calculée sur forme X,

chaque point p reçoit l’information de distance de l’un au moins de ses voisins ni(p) (sur le masque).

Tout voisin de ce type est placé sur un chemin minimal, constitué uniquement de déplacements permis

du fond à p. De même, le point p peut propager l’information de distance à certains voisins, qui sont

plus internes dans l’objet que p. Lorsqu’une telle propagation a lieu d’un point p à un voisin ni(p), alors

ni(p)=p+wi.

Définition 2.5 (Maximum local) On appelle maximum local un point p qui ne propage l’information de

distance à aucun de ses voisins, c’est-à-dire

( ) iwppn ii ∀+< (2.33)

Un maximum local p peut avoir des voisins plus grands que lui, mais ils reçoivent leurs poids depuis

d’autres points, plus petits que p. Pour d4 et d8, les maxima locaux coïncident exactement avec l’axe

médian.

Pour des distance de chanfrein cette condition n’est plus exacte, car elle peut sélectionner des centres

de boules non maximales appelées points redondants ou pseudo-maximums locaux (ils ne sont pas

nécessaires pour retrouver la forme originale).

Le problème de points redondants est résolu en recherchant dans son voisinage de pondération ni(p)

l’existence d’un point q∈X , dont le disque recouvre complètement celui de p. Dans ce cas, la présence

de q interdit à p d’appartenir à l’axe médian.

Pour toute valeur de p, on doit connaître les valeurs minimales de ces voisins q, qui sont stockées

chacune dans une "table de correspondance" LUTi pour la distance dC calculée avant [Thiel, 1994].

Alors

( ) ii LUTpniAMp <∀⇔∈ , (2.34)

Pour la suppression des faux maximums, le résultat de cette table de correspondance pour la d34 fait

que les valeurs de distance 3 deviennent 1 et les valeurs 6 deviennent 5 (figure 2.28). Pour d’autres

métriques, la table de correspondance doit être recalculée.

3 3 3 3 3 1 1 1 3 6 3 6 1 5 1 5 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c d

Fig. 2.28 - L’axe médian pour l’image (a) avec les pseudo-maximum (b) et après correction par la LUT (c,d)


2.3.1.3. Réversibilité L’axe médian AM est par la position des centres, et le rayon des boules maximales. Cette information

est suffisante pour retrouver la forme, car elle correspond à un recouvrement. L’axe médian joue donc

aussi un rôle pour la compression de données. Le retour à la forme initiale à partir de AM est aisé,

grâce à l’algorithme de transformation inverse de distance du §2.1.5. Celui-ci a été conçu pour que

chaque point de l’axe médian génère le disque associé à son poids, en deux passages séquentiels

globaux sur l’image.

2.3.1.4. Propriétés de l’axe médian L’axe médian caractérisé pour les distances de chanfrein possède un certain nombre de propriétés,

classiques ou moins connues, que nous énumérons ici.

Réversibilité : L’axe médian correspond à un recouvrement de la forme par des boules de la métrique

choisie. Pour retrouver la forme initiale, il suffit de régénérer les boules, connaissant leur position et leur

rayon.

Codage : La simplicité du stockage et du décodage de l’axe médian en font une propriété appréciable

dans le maniement des images binaires. L’utilisation de cette forme de codage est facilitée par

l’indépendance de l’axe médian par rapport à la position de la forme dans l’image.

Stabilité : L’application de la transformation de distance inverse à un axe médian génère la forme

originale d’un objet, où les points sont étiquetés souvent de manière différentes à l’étiquetage de

l’image de distance de départ, car les labels proviennent des poids de AM, et non plus de point du fond.

Déconnexion : Une propriété essentielle de l’axe médian est sa déconnexion. Elle distingue l’axe

médian discret des squelettes continus, qui sont simultanément connexes et réversibles. Cette

déconnexion limite l’exploitation de l’axe médian, qui ne respecte pas l’homotopie de la forme. La

principale origine de cette déconnexion est l’existence de directions préférentielles de non propagation

de l’information du bord aux éléments à l’intérieur sur la carte de distances, appelles "cônes d’influence"

est abordée en [Thiel, 1994; 1991].

Epaisseur : On remarque également que l’axe médian peut comporter localement une certaine

épaisseur, due par exemple à un diamètre pair de la forme.

2.3.1.5. La ligne médiane Les squelettes sont significatifs de la forme de l’objet aminci, mais non réversibles, et les axes médians

sont des codages exacts centrés dans l’objet, mais non connexes. Un autre concept proposé dans la

littérature est celui de la ligne médiane obtenue sur les distance au fond DM. Ce concept est utilisé de


manière à tirer parti des avantages majeurs de ces deux représentations, à savoir la réversibilité et le

pouvoir descriptif.

Des algorithmes pour extraire la ligne médiane ont été proposés à partir du pelage d’un objet par la

morphologie mathématique, ou par les opérateurs d’érosion et dilatation avec contrôle de connexité

(voir annexe A) [Serra, 1982; 1988]. Les principaux problèmes de ces algorithmes sont la réversibilité

partielle de la forme et le temps de calcul (processus itéractif de pelage et de conservation de la

connexité).

Une autre façon d’extraire la ligne médiane est basée dans la reconnexion des points de l’axe médian

[Thiel, 1994; Pieritz, 1994]. Les principaux avantages de cette méthode sont la rapidité de calcul et la

conservation de toutes les propriétés importantes de l’axe médian (unicité, réversibilité, codage minimal

et algorithmes performants). La caractérisation de la ligne médiane, notée ici LM, est faite à partir de la

propagation de chemins de reconnexion entre les points de AM.

2.3.1.6. Propagation des chemins En général, l’ensemble des points AM n’est pas connecté, ce qui nécessite des points supplémentaires.

La méthode habituellement retenue pour les distances de chanfrein, consiste à propager des chemins

suivant les gradients positifs ; la structure de la carte de distance garantit la bonne reconnexion du

résultat (figure 2.29).

3 3 3 3 3 3 4 6 4 3 3 4 4 3 3 6 7 7 4 3 3 3 4 7 7 4 3 3 6 8 7 6 6 6 6 7 8 8 6 3 3 6 7 4 3 3 4 7 8 11 8 6 3 3 4 6 3 3 4 7 8 7 4 3 3 3 3 3 4 6 6 3 3 3 3 3

Fig. 2.29 - Les points de AM (gris) et les points de reconnexion (carré)

La propagation ne doit, en principe, démarrer que dans les configurations selle au niveau des

extrémités des crêtes. En effet seuls ces points dans la crête ont des voisins de poids supérieur. Un

seul chemin est tracé pour chacun d’entre eux, excepté lorsque la longueur de cette crête est de 1 (ses

extrémités sont confondues), auquel cas 2 chemins proviendront du même point selle.

Nous n’opérons aucun test pour distinguer les extrémités d’une crête des autres points selle, ou pour

mesurer la taille des crêtes. Les points selle pouvant faire partie de l’AM, le suivi des chemins doit être


effectué pour tout point de l’AM ou pour tout point selle. Soit p un tel point, N(p) contient au plus 2

composantes 8-connexes de points plus grands que p, desquels un chemin ascendant peut être

commencé. Pour chaque point de la composante courante, le gradient est calculé. Le voisin ni(p) qui

maximalise le gradient dans sa composante est marqué comme premier point du chemin. De là, les

voisins nk(ni(p)) sont inspectés pour trouver le prochain point (plus grand que ni(p)), nécessairement

unique, qui continuera le chemin. Le tracé du chemin se poursuit sur le plus grand gradient, tant que

des points possédant un gradient positif sont trouvés.

(a) (b)

Fig. 2.30 - L’axe médian (a) et la ligne médiane (b) pour les objets grises.

2.3.1.7. Graphe de la ligne médiane Le pouvoir descripteur d’un squelette dans l’espace montre le rapport entre l’organisation de la structure

et la forme. Cette possibilité permet la construction d’un graphe de représentation de formes à partir de

la ligne médiane, appelé "graphe de la Ligne Médiane", dénommée GLM.

La première approche pour le GLM a été proposée par [Montanvert, 1987], où seulement d4 et d8 ont

été explorées dans un algorithme de recherche de configurations de voisinages. A partir de modelés de

connexion, l’algorithme recherche dans tous les points de la LM (sur l’image de la carte de distances

DM) pour extraire les objets centraux de la forme, dénommés "nœuds" et les "arcs" qui sont

caractérisés par un parcours sur les éléments restants. Les principaux problèmes de cette formulation

sont la non généralité pour d’autres distances et dimensions, la non unicité de la solution, le parcours

interactif de toute l’image et la conservation de la DM pour analyse (grande quantité de données).

Une nouvelle approche pour le GLM, appelée "Graphe de la Ligne Médiane Généralisée" GLMG, a été

proposée par [Pieritz, 1994], détaillée dans l’annexe B [Pieritz, 1995], où seuls les points de LM sont


explorés. La méthode est basée sur la recherche de maxima locaux absolus et de minima locaux

absolus (le point peut satisfaire les deux conditions) dans le 8-voisinage d’un point sur LM pour

caractériser les centres de nœuds. Les 8-voisins sur la ligne médiane sont pris comme des éléments du

nœud pour éviter la formation des arcs redondants. Les points restants, forment les arcs de connexion.

Un troisième élément a été introduit : l’arc entre nœuds (voir annexe B).

Maxima locaux absolus :

( ) ( ) Qp RRP, OLM Q OLMPsi ≥∈∀⇔∈ de voisins-i (2.35)

Minima locaux absolus :

( ) ( ) Qp RRP, OLM Q OLMPsi ≤∈∀⇔∈ de voisins-i (2.36)

Les principaux avantages de cette méthode sont la formulation générale pour toutes les distances et

dimensions, l’unicité de solution et la rapidité de calcul. Dans la figure 2.31.b, est présenté le GLMG

avec les nœuds et les arcs (en couleur blanche) dans l’espace.

(a) (b)

Fig. 2.31 - Le graphe de la ligne médiane généralisée (a) et la visualisation de la structure dans l’espace (b)

2.3.2. Modèles de représentation en 3D Etant donné la taille des données nécessaires à la mémorisation d’un volume sous forme matricielle,

divers modèles de représentation des volumes ont été développés. On retrouve les modes de


représentation utilisés en 2D ; deux approches sont généralement utilisées : soit une approche de type

surface (contour), soit une approche de type volume (région).

Les approches de type surface tentent de modéliser le volume par l’intermédiaire de sa surface,

généralement par facettes, chacune de ces facettes pouvant être une surface plane (triangle ou

carreau) ou une courbe paramétrique. Ces différentes méthodes permettent, en ne stockant que le

contour, d’obtenir des représentations dont le volume de données n’est pas trop important. Elles

fournissent une description assez naturelle des volumes. Ces descriptions facilitent les transformations

géométriques telles que les rotations et translations ; ce sont d’ailleurs ces méthodes de représentation

qui sont largement utilisées en infographie et en conception assistée par ordinateur. Ces méthodes sont

basées sur des structures arborescentes, dont les principales sont les arbres CSG (Constructive Solid

Geometry), les octrees, les arbres multiples (décomposition de l’espace jusqu’à ce que chaque

composante soit homogène) et la realité virtuelle (VRML ‘Virtual Reality Meta Language’ - codage des

mondes virtuels sur internet).

La représentation par surface ne permet pas de distinguer le plein du vide ce que rend difficile et même

impossible certains calculs de volume, de masse ou l’élimination de parties cachées. Cette modélisation

ne permet d’ailleurs pas de donner un sens physique aux objets construits.

Les approches par volume modélisent l’ensemble du volume par répartition ou recouvrement de l’objet

à l’aide de volumes élémentaires. L’idée générale du squelette est la même qu'en 2D, il s’agit de

représenter un volume à l’aide d’une structure "mince" mais ayant, autant que possible, les mêmes

propriétés topologiques. Ce modèle de représentation doit être mince selon au moins l’une des trois

directions de l’espace (une épaisseur de deux voxels est permise dans le cas où l’objet est d’épaisseur

paire) et centré (à un voxel près) dans l’objet. L’approche la plus simple est basée sur l’extraction de

l’axe médian, défini par le plan dans la section §2.3.2.1, et elle est utilisé dans l’ensemble de ce travail.

2.3.2.1. Axe médian Il est défini, de la même manière qu’à 2D, comme étant le lieu des centres de boules maximales

incluses dans l’objet (équation 2.30, 2.31 et 2.32). L’ensemble de ces centres forme une surface

déconnectée (figure 2.32).

Le processus de calcul et d’extraction de l’axe médian 3D, nommé ici AMV, pour l’espace discret est

fondé sur un calcul de distance au fond VDM (§2.2.4), suivi d’une extraction des maximas locaux

(§2.1.1.1). Comme dans le plan pour la distance d34 , la définition 2.4 pour le volume discret peut

sélectionner des centres de boules non maximaux.


(a) (b)

Fig. 2.32 - L’axe médian 3D (b) pour une sphère (a).

Le problème des pseudo-maximums dans le volume est résolu pour d345 à partir de la définition 2.5

(calcul des sphères de recouvrement - table de correspondance LUTi), où seulement le valeur de

distance 3 doit être remplacée par la valeur 1. Dans la figure 2.33, l’axe médian 3D obtenu avec la

correction de distance présentée. Pour d’autres distances, la LUT doit être recalculée.

(a) (b)

Fig. 2.33 - L’axe médian 3D pour la sphère (a) obtenue sans LUT (b) et avec l’application de la LUT (figure 2.34) pour la distance d345

L’axe médian définit un recouvrement de l’objet par des boules de taille maximale. Lors du calcul de

l’axe, les tailles des boules dont les centres constituent l’axe médian sont mémorisées. Comme dans le

plan, la transformation est alors réversible et les propriétés dans le volume sont les mêmes qu’au

§2.3.1.4, soit : réversibilité, codage, stabilité, déconnexion et épaisseur (figure 2.35)


Fig. 2.34 - L’axe médian 3D avec l’application de la LUT

pour le volume de la fig.2.33.a - distance d345

(a) (b)

Fig. 2.35 L’axe médian discret (avec d345) (b) pour un cube (a) (largueur 24 voxel dans un volume 32x32x32 voxel – d345)

Pour un ensemble connexe (figure 2.36), où les sphères de rayon 8 voxel sont connectées par

l’interférence d’un seul voxel dans la direction des axes coordonnées, l’axe médian identifie les

éléments de connexion et les centres géométriques des sphères.

L’axe médian dans l’espace discret Z3 borné est très sensible à l’interférence des objets du volume au

frontières, où le résultat est un axe médian plus complexe (Figure 2.37). La perturbation dans la forme

de l’axe est fonction de la propagation de l’information du bord jusqu’à l’intérieur du volume par la carte

volumique de distance VDM, très sensible au rapport entre la taille du volume et de la frontière.


(a) (b)

Fig. 2.36 - L’axe médian (b) pour un ensemble de boules connectées (a) de rayon 8 voxel dans un volume 32x32x32 voxel – d345

Une deuxième source de perturbation dans la détermination d’un axe médian mince est le rapport de

taille entre les bruits de surface et la taille représentative du volume. Dans le volume, les petits

protubérances dans les surfaces ne sont pas traduites pour les petits rayons (sur le VDM – proche de la

surface) mais pour les grands rayons. Pour les volumes avec un rayon important et une surface très

perturbée l’axe médian devient un élément avec plusieurs voxels d’épaisseur.

L’axe médian dans le volume est plus robuste du point de vue de la connexion de ces éléments (figure

2.35 – l’axe médian d’un cube) en fonction de la meilleur couverture de l’espace par les masques de

chanfrein qu’en 2D, traduit par les ‘cônes d’influence dans le plan' [Thiel, 1994]. Pour le volume, les

cônes d’influence sont minimisé par l’existence de deux diagonales dans le masque de chanfrein, avec

une erreur absolue plus petite pour la deuxième (§2.2.2.10). Ainsi, les boules en 3D on un pouvoir

descriptif de couverture de la forme plus important que les cercles en 2D.


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Fig. 2.37 - L’axe médian (b, d, f, h) pour un volume générique (a, c, e, g) composé par 4 objets connexes traverse les frontières de l’espace Z3 ( 37% d’occupation du volume 40x40x40 voxel – d345)


2.3.2.2. Surface médiane

L’axe médian n’est pas nécessairement connexe ni dans le plan ni dans l’espace. La reconnexion des

points de l’axe médian 3D permettre obtenir un squelette connecté et centré dans la forme, appelé

surface médiane - LMV (l’équivalent de la ligne médiane en 2D) [Rolland, 1994; Marion-Poty, 1994;

Fernandez-Vidal, 1996](figure 2.38).

(a)

(b) (c)

(d) (e)

Fig.2.38 - La surface médiane (a) pour le volume de la fig.2.36.a, et (b, c, d, e) pour le volume

de la fig. fig.2.37.a - pour la distance d345


L’approche d’extraction des points de LMV à partir des points déconnectés de AMV est le même que

dans le plan (§2.3.1.6): propager les chemins de reconnexion suivant les gradients positifs. A partir d’un

élément de l’axe médian déconnecté, les gradients positifs sur la carte de distances VDM dans les 26-

voisinages sont identifiés et explorés jusqu’à la complète reconnexion. Le nombre de tests pour un point

dans l’espace Z3 est plus important qu’un 2D mais le temps de calcul global n’est pas trop élevé en

fonction de la presque connexion de toutes les éléments de l’axe médian dans le volume.

2.3.2.3. La Surface Médiane Normale aux Bords - LMVn La sensibilité de l’axe médian aux frontières du volume est traduite par une épaisseur plus importante et

des déformations (figure 2.38.b), celle-ci est minimisée par l’introduction d’une frontière placée à l’infini

pour la phase analysée Le déplacement de la frontière à l’infini pour l’espace Z3 est la génération de la

propagation des objets sur les bords dans la direction normale aux frontières sur une longueur finie. La

longueur adoptée est fonction du diamètre moyen de l’intersection des objets avec les bords. La figure

2.39 est présente la propagation de la frontière pour la phase de couleur blanche sur le plan (cas 2D)

pour un rectangle et une géométrie quelconque, où la LM obtenue normale aux frontières est appelée :

ligne médiane normale, notée ici LMn.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig.2.39 - La LM d'un rectangle blanc inscrit dans l'image 2D (a), la LMn (c) pour le rectangle obtenue par le déplacement

de la frontière (b), la LM d'une géométrie (d), le déplacement de la frontière (e) et la LMn résultante (f) – distance de chanfrein d34

La méthode de déplacement de la frontière dans le 3D est la même que pour le plan, où les bords sont

propagés selon une distance finie. Dans la figure 2.40 est présentée la surface médiane volumique


normale aux bords, ici notée LMVn, pour le volume présenté dans la figure 2.37.a.

(a) (b)

Fig.2.40 - La LMVn (a, b) pour le volume de la fig. 2.37.a

La LMVn représente un filtrage des effets de bord du volume sur les objets et permet d’avoir une

représentation perpendiculaire au bord des opérateurs squelettes. Cette propriété d’orthogonalité sera

explorée au chapitre §4 pour la simulation de transferts dans le volume.

2.3.2.4. La Surface Médiane Filtrée LMVF – Filtre Topologique La description de formes par les opérateurs géométriques structuraux présentés respectent les

propriétés de l’homotopie et la réversibilité de forme, mais ne respectent pas toujours la propriété

d’épaisseur minimale. En effet, la propriété de réversibilité est liée à l’épaisseur de l’axe médian,

fonction du recouvrement de la forme par les sphères discrètes (§2.3.2.1), et par conséquent

interprétation des bruits de la surface.

Un filtrage topologique de la LMV est proposé, basée sur la conservation de l’homotopie de la forme,

fonction des notions de courbe et de composantes connexes. Le processus interactif est basé sur la

suppression des éléments non nécessaires pour conserver le nombre d’Euler initial e0 de chaque

composante connexe (section §2.2.2.1), à partir du plus petit rayon jusqu’au plus grand sur le squelette.

Pour un composant connexe Cn de l’ensemble Y des squelettes du volume, on vérifie que le point

candidat Pi est conservé s’il satisfait la condition

( ) ( ) YCCPCPPPCePPPCe ninininininnin ∈⊄⊂⇒≠ −−− avec et ,...,,...,,..., 000 (2.36)


(a) (b)

(c) (d)

Fig.2.41 - La surface médiane filtrée LMVF (a, c) et la LMVFn (normal) (b,d) pour le volume de la fig.2.38.a, avec quatre composantes connexes - distance d345

Dans la figure 2.41.a est présentée la LMV filtrée par le squelette de la figure 2.38.b, notée ici LMVF, où

l’homotopie de la forme est conservée mais la LMVF ne permet pas retrouver le volume complet après

la transformation inverse du squelette (figure 2.42). On observe que le principal problème est la

reconstruction des éléments du bord.

L’application de l’opérateur de filtrage topologique sur la LMVn, noté ici LMVFn, permet l’obtention d’un

volume avec un degré de reconstruction effectif amélioré. Dans la figure 2.42, le profil de volume2

reconstruit par la LMV est de 37% (taux effective d’occupation), pour la LMVFn il est de 35% et pour

LMVF il est seulement de 26%. Effectivement, l'utilisation de la LMVFn pour la représentation complète

du milieu dans une modélisation géométrique d'un processus de transfert (chapitre §4)3 est limitée par

le dégré de réversibilité de la forme, mais la LMVFn permet l'identification d'une abstraction graphique

2 Le profil de volume représente le taux d'occupation d'une phase par section (dans le cas XY rapporté à la direction de la profondeur Z ). 3 Le squelette utilisé pour la simulation géométrique d'un processus d'invasion dans le chapitre §4 est la LMVn, en fonction de la complète représentation de la forme (réversibilité) et l'orthogonalité aux bords.


(section §2.3.2.5) améliorée du point de vue de la vitesse d'exécution, de la simplicité d'analyse et de

l'orthogonalité aux frontières.

0

20

40

0,0 0,5 1,0Surface de la section XY

Prof

onde

ur Z

(vox

el)

LMVFnLMVLMVF

Fig.2.42 - Comparaison entre le profil du volume reconstruit par

la transformation inverse des LMV, LMVF et par la LMVFn, pour le squelette de la figure 2.37.a. (1,0 corresponde à la taille maximale 40x40 voxels)

2.3.2.5. Graphe de la surface médiane généralisé Comme dans le plan, la forme représentée par LMV peut être décrite par le GLMG adapté au volume.

La formulation dans l’espace pour la description graphique GLMG est la même que dans le plan

(§2.1.3.7), ce qui signifie que l’on recherche, dans le n-voisin sur la LMV d’un point, le maximum local

absolu ou le minimum local absolu pour caractériser les nœuds (équations 2.35 et 2.36). Les points

restant sur la surface médiane, caractérisent les arcs. Dans la figure 2.43.a, le GLMG en 3D représente

les nœuds et les arcs pour les 26 boules connectées du squelette LMV de la figure 2.36.a.

Le GLMG du squelette filtré (pour LMVFn - figure 2.43.b) a l’avantage d’être aussi orthogonal aux bords

est adapté directement aux formulations de transfert avec une complexité réduite, en fonction de la

suppression de connexions redondantes. Ainsi, le principal avantage de la représentation hiérarchique

du GLMG est la possibilité de manipuler l’information volumique (ou de la forme dans le plan) à travers

une matrice associée au graphe, toujours carré.


(a)

(b) (c)

Fig.2.43 - Le GLMG pour la LMV de la fig.2.36.a (a) et pour la LMVFn de la fig.2.41.b (b, c)

(distance d345 - centre des nœuds et des arcs).

2.4. Synthèse du chapitre Le chapitre a introduit les concepts de base de la géométrie adaptée au monde numérique, appelée

"géométrie discrète". Ces concepts explorent les contraintes de la représentation numérique de

l’espace et proposent des algorithmes très performants pour le codage des formes (vitesse et

simplicité).

L'analyse de l’espace 2D a d'abord été introduite avec ses concepts fondamentaux, et ensuite les

notions dans l’espace de dimension supérieure (3D). Les contraintes de chaque approximation de la

distance euclidienne à des distances de chanfrein sont analysées, avec leurs qualités intrinsèques et

leurs potentialités. Les concepts du cercle et de la sphère discrète sont présentés, basés dans les

approximations par les distances de chanfrein (et voisinages respectifs) avec les erreurs

caractéristiques.


L’approximation par la distance de chanfrein d34 (dans le 2D) et par d345 (dans le 3D) a été retenue pour

l’ensemble des développements de ce travail en fonction de leurs similitudes (forme) et conséquente

rapidité de calcul.

Les concepts de la géométrie discrète présentés permettent de mettre en œuvre les techniques de

représentation de la forme basées sur des objets élémentaires, dans le cas du cercle (pour l’espace

2D) et de la sphère pour l’espace 3D. Un objet est décrit par les opérateurs géométriques centrés dans

la forme ou dans le volume, dépendant de la dimension d’analyse. Les opérateurs structuraux plus

connus sont les squelettes n-dimensionnels qui peuvent avoir une formulation discrète basée sur la

métrique et sur la relation de voisinage dans l’espace.

La représentation la plus simple d’un squelette est l’opérateur axe médian, qui dans sa formulation

discrète est utilisé comme un outil de compression de l’information image (2D), ou du volume (3D). La

principale propriété de l’axe médian est la conservation de l’information morphologique sans être

complètement connecté. La formulation algorithmique présentée pour l’extraction des maxima locaux a

pour principale avantage (par rapport aux méthodes classiques de pelage itéractif) la rapidité de calcul

due à un seul parcours des données.

Le concept d’une ligne médiane LM et LMV centrée dans la forme mais connectée est présenté, basé

sur la reconnexion des points de l’axe médian. Le squelette discret LM a comme principal propriété la

conservation de la morphologie avec la conservation de la topologie. Deux techniques d’amélioration de

la LMV sont introduites : le concept d’un squelette orthogonal aux bords du volume (LMVn) et une

opération de filtrage topologique - LMVF.

La description de formes basés dans les opérateurs squelettes est complétée par la représentation du

graphe de ligne médiane généralisé, où l’objet, décrit par le squelette, est décomposé et analysé à

partir de géométries de base. La description graphique de la forme et/ou du volume à partir du GLMG

est unique dans sa dimension caractéristique, et permet de mettre en relation le plan et le volume.

Les opérateurs mathématiques discrets permettent l’étude et la mise enouvre de méthodes

performantes d’analyse de la forme pour les milieux poreux, qui pourront prendre en compte les

géométries réelles, telles que les milieux fissurés. Dans chapitre 3 seront formulés et caractérisés les

échantillons numériques et expérimentaux pour les développements de ce travail.


LA GEOMETRIE DISCRETE ET LA DESCRIPTION DE FORMES............................................................35

2.1. INTRODUCTION ..........................................................................................................................................37

2.2. LA GEOMETRIE DISCRETE..........................................................................................................................37

2.2.1. Définitions et notions de base en 2D – L’Analyse d’image ..............................................................38

2.2.1.1. Voisinages et connexité.............................................................................................................................38

2.2.1.2. Distances discrètes ....................................................................................................................................40

2.2.1.3. Distance Euclidienne.................................................................................................................................42

2.2.1.4. Distance de Chanfrein ...............................................................................................................................42

2.2.1.5. Carte de distances – schéma algorithmique...............................................................................................43

2.2.1.6. Transformation inverse..............................................................................................................................44

2.2.1.7. Les Cercles Discrets ..................................................................................................................................45

2.2.1.8. Taux d’erreur.............................................................................................................................................46

2.2.2. Définitions et notions de base en 3D – l’Analyse du volume ............................................................47

2.2.2.1. Voisinage, connexité et nombre d’Euler ...................................................................................................47

2.2.2.2. Distances discrètes dans Z3 - Distance Euclidienne...................................................................................49

2.2.2.3. Distance d6 ................................................................................................................................................50

2.2.2.4. Distance d26 ...............................................................................................................................................51

2.2.2.5. Distance d18 ...............................................................................................................................................52

2.2.2.6. Distances du chanfrein ..............................................................................................................................53

2.2.2.7. Volume de distances – schéma algorithmique...........................................................................................53

2.2.2.8. Transformation inverse..............................................................................................................................54

2.2.2.9. Les Sphères Discrètes................................................................................................................................55

2.2.2.10. Taux d’erreur.............................................................................................................................................56

2.3. LA DESCRIPTION DE FORMES.....................................................................................................................56

2.3.1. Modèles de représentation en 2D......................................................................................................57

2.3.1.1. L'axe médian .............................................................................................................................................57

2.3.1.2. Maxima locaux..........................................................................................................................................59

2.3.1.3. Réversibilité ..............................................................................................................................................60

2.3.1.4. Propriétés de l’axe médian ........................................................................................................................60

2.3.1.5. La ligne médiane .......................................................................................................................................60

2.3.1.6. Propagation des chemins ...........................................................................................................................61

2.3.1.7. Graphe de la ligne médiane .......................................................................................................................62

2.3.2. Modèles de représentation en 3D......................................................................................................63

2.3.2.1. Axe médian ...............................................................................................................................................64

2.3.2.2. Surface médiane ........................................................................................................................................69

2.3.2.3. La Surface Médiane Normale aux Bords - LMVn.....................................................................................70

2.3.2.4. La Surface Médiane Filtrée LMVF – Filtre Topologique .........................................................................71

2.3.2.5. Graphe de la surface médiane généralisé...................................................................................................73

2.4. SYNTHESE DU CHAPITRE ............................................................................................................................74

Chapitre 3. Génération et Analyse Morpho-Topologique de Structures 3D - 91

3.3 Méthodologies d'analyse Comme dans l'espace Euclidien En, les méthodologies de mesure des paramètres géométriques

doivent être adaptées à la méthode d'analyse pour tenir compte de la spécificité du milieu avec ses

contraintes. Dans le cadre de ce travail, les outils informatiques développés sont basés sur les

distances pondérées §2, pour tirer parti du codage par entiers et de la performance informatique qui en

résulte.

Selon les paramètres d’intérêt, les outils sont divisés en deux catégories : morphologiques et

topologiques.

3.3.1 Mesures Morphologiques

Les mesures développées sur la forme sont classifiées comme mesures morphologiques parce qu’elles

ne reproduisent pas le rangement dans l’espace des objets. Selon la phase à laquelle on s'interesse,

sont effectués la mesure de la porosité, de la distribution granulometrique, du volume élémentaire et du

volume élémentaire d'un index de surface spécifique.

3.3.1.1 Porosité La porosité discrète εd dans l'espace Zn est définie par

( ) IVV ii id =⇒=∑ε (3.14)

c'est-à-dire, l'addition finie des voxels qui ont la même valeur I donnée par la fonction caractéristique

(éq.2.15), où

dsV ε−= 1 (3.15)

représente le taux d’occupation du volume pour la phase complémentaire, dans le cas du solide.

3.3.1.2 Granulométrie La distribution de taille des éléments ou granulométrie (selon la phase analysée), donne une première

idée de l'occupation de l'espace par les objets qui le composent. Dans le cas du vide, cette distribution

donne une information concernant la manière dont le transfert de masse pourra être réalisé.

Dans l'espace discrèt Zn, la distribution des est obtenue par des transformations effectuées à travers


des opérateurs de la morphologie mathématique (présentés dans l’annexe A), appelée "Opération

d'Ouverture".

L'ouverture de l'espace par des érosions et dilatations successives à travers des éléments structurants

est un processus itératif très coûteux du point de vue informatique, dû aux temps de calcul prohibitifs en

3D. La géométrie discrète, par le biais de pondérations de distance par les masques de chanfrein,

permet de raccourcir le temps nécessaire [Laurent, 1991; Moschetto, 1991; Peysson, 1992; Magnani,

1996], qui reste toutefois important.

Dans l'approximation de chanfrein pour l'espace Z3, l'élément structurant Bx est une sphère discrète

dont le volume peut être obtenue par l’opération inverse (éq.2.28 et éq.2.29) selon le rayon imposé.

L'érosion et la dilatation pour chaque itération sont effectués à partir de la carte de distance sur les

éléments de rayon inférieur au rayon courant. Comme dans Z2, la fonction de distribution sera donnée

par l'équation A.19.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 5 10 15Rayon (voxel - pixel)

Dis

tr. C

umul

ée

Cercle2DSphère3D

Fig. 3.9 - Comparaison entre Granulométrie par ouverture 2D (cercle euclidien)

et 3D (sphère euclidienne) à travers de masques de chafrein.

Dans le cadre de ce travail, l’opération d'ouverture est réalisée en 3D et en 2D pour permettre la

comparaison directe entre les mesures morphologiques et topologiques qui seront développées. Ainsi,

dans la figure 3.9, la granulométrie par ouverture avec la distance chanfrein d345 est utilisée en 3D sur

une sphère1 de rayon 12 voxel, et comparée avec la granulométrie par ouverture avec la distance de

chanfrein d34 sur un cercle de rayon 12 pixel.

La granulométrie par la morphologie mathématique pourra être interprétée comme le recouvrement de

l'objet par des éléments structurants de tailles différentes (ex. la surface d'un carré mesurée par

1 La sphère et le cercle sont euclidiens (comme dans la figure 2.32.a) et la granulométrie par ouverture est faite par un élément structurant discret avec la masque de chanfrein d345 (en 3D) et d34 (en 2D).


l'élément structurant cercle), jusqu'au remplissage de tout le volume (ou surface en 2D). Cela explique

l’apparition de plusieurs rayons dans la distribution de la figure 3.9, ainsi que des erreurs commises par

les approximations à la distance euclidienne par les distances de chanfrein (§2.2.1.8 et §2.2.2.10).

3.3.1.3 Volume élémentaire Comme introduit dans la section §1.3.2.2.1, la définition d'un volume élémentaire représentatif (VER),

est conditionnée par l'identification d'une dimension caractéristique ro, où une, ou plusieurs propriétés,

seront constantes. Pour la géométrie d'un milieu, la porosité est usuellement prise en compte comme

un des indicatifs.

La mesure discrète du longueur caractéristique pour un VER est réalisée à partir du centre de gravité

d'échantillon, par le changement incrémental de la dimension d'un domaine représentatif Dr de la forme

globale Dg, à partir de l'unité jusqu'à la longueur effective du volume. Pour chaque itération, la propriété

λ à laquelle on s'interesse est mesurée (dans notre cas le volume spécifique occupé - éq. 3.24). La

fonction obtenue donne une indication de la longueur à partir de laquelle la propriété devient constante

pour les échelles observées.

( )( ) ( )rDDDDV rgr

r

i i ,...,1 ,⊂∀⇒= ∑ λλ

(3.16)

3.3.1.4 Index de Surface Spécifique - ISS Un deuxième paramètre géométrique indicatif de l'existence d'un VER est la surface occupée par

l'interface considérée.

La mesure de la surface d'un objet est un domaine de recherche très important dans la géométrie

discrète (Borianne (1994)[23]), fonction de la difficulté qu'un processus volumique discret a pour

caractériser une géométrie dans une dimension inférieure. Dans le cas 2D, la frontière est représentée

par la longueur des éléments du bord, directement liée à la fonction de voisinage du pixel §2.1.2 et

caractérisée par la mesure des déplacements sur la carte de distances. Les éléments convexes ou

concaves sont directement caractérisés par des codages simples; la longueur effective est aussi

caractérisée. Pour l’espace Z3, le calcul de la surface demande des algorithmes très complexes utilisant

la détermination itérative d’enveloppe discrète [Chassery, 1991] pour chaque composant de surface,

composant qui est aussi très difficile à mesurer.

En Z3, le seul paramètre direct indicatif de surface est le déplacement minimal (rayon Rb d’une boule B)

défini par le masque de chanfrein dx utilisé, repéré sur la carte de distance volumique. Ainsi, l'index ix de


surface spécifique ISS est définit par

( ) min , RROBBi Bi ix =∈∀⇒=∑ (3.17)

où Vt est le volume total de l'échantillon.

Le VER de l'index de surface spécifique est obtenue à partir de l'algorithme présenté dans la section

§3.3.1.3, par le changement incrémental de la dimension d'un domaine représentatif Dr de la forme

globale Dg, depuis l'unité jusqu'à la longueur effective.

3.3.2 Mesures Topologiques

On appelle méthodes de mesure des paramètres topologiques les outils numériques qui mettent en

évidence la relation entre les objets d'un domaine et son arrangement dans l'espace. Ces méthodes de

mesure sont fonction d'un modèle structurel qui permet sa caractérisation selon un réseau organisé.

La représentation d'un volume, par un modèle structurel basé sur les squelettes et par le GLMG

( §2.3.1.7 et §2.3.2.5), permet la distinction entre les sites et les liens qui réalisent les connexions selon

un modèle de réseau comme dans la représentation par les réseaux de percolation (§1.3.1.4.3). Le

principal avantage est le développement d'une représentation qui respecte et conserve la vraie

géométrie du milieu, avec un traitement mathématique unique pour toutes les structures (fissures,

grains, etc.). Les mesures développées ici sont la fonction distribution de sites, la fonction distribution

de liens une fonction distribution topologique qui mettent en évidence le rangement entre les objets.

3.3.2.1 Distribution de Sites et Liens

La modélisation des phénomènes de transferts d'un milieu poreux est conditionnée par un modèle de

description de la structure spatiale, selon son rangement et forme. Plusieurs modèles de structure ont

été étudies (§ 1.4.1.4 - Modèles de simulation), pour lesquel la description de la structure par des sites

et liens (Théorie de la percolation § 1.4.1.4.3 - [Neimark, 1989; Kantzas, 1988] parmi d'outres) est la

plus proche (même intuitive) d'un concept de réseaux connectés. Les sites caractérisant les éléments

de l'espace poreux ont la contribution géométrique la plus importante (taille des objets) et le liens

représentent les structures de l'espace poreux qui permettent la connexion entre les sites, en général

avec une géométrie caractéristique de taille inférieure (figure 3.10).

La description d'une structure complexa par un opérateur géométrique du type squelette (LM - § 2.3.1

et § 2.3.2) permet l'extraction de son GLMG (§ 2.3.1.7 et § 2.3.2.5) avec une description du type

nœuds. Les nœuds peuvent être associes directement aux centres géométriques de sites et liens, et


ainsi à un modèle de réseaux connecté (figure 3.10).

Fig. 3.10 - La caractérisation d'un réseaux de pores par la LM (2D), la représentation de la structure par le GLMG et la modélisation par un réseaux de sites et de liens.

.

La représentation d'une structure par le GLMG est construite à partir de l'extraction des nœuds qui

représentent les centres géométriques principaux des objets composant la forme (éq.2.35 et éq.2.36).

Les objets non identifiés comme des nœuds sur la ligne (ou surface) médiane forment les arcs de

connexion. Une représentation hiérarchique de la structure du GLMG est construite par classification

des nœuds selon le rapport de connexion et les rayons caractéristiques.

Définition 3.1 (nœud central NC) : Un nœud est appelé un nœud central quand le point P est

connecté seulement à des nœuds de rayon inférieur, ou quand il est isolé (non-connecté), c'est-à-dire

( )( ) QP RRP,QOLMVNCP >∀⇔∈ deconnexion -i (3.18)

Définition 3.2 (nœud proéminence NP) : Un nœud est appelé un nœud de proéminence quand le

point P est connecté en même temps à des nœuds de rayon supérieurs, inférieurs ou égals, c'est-à-dire

( )( ) QP RouRP,QOLMVNPP ≤≥∀⇔∈ deconnexion -i (3.19)

Définition 3.3 (nœud connexion NCo) : Un nœud est appelé un nœud de connexion quand le point P

est connecté seulement à des nœuds de rayon supérieurs, c'est-à-dire

( )( ) QP RRP,QOLMVNCoP <∀⇔∈ deconnexion -i (3.20)


Définition 3.4 (nœud strict NS) : Un nœud est appelé un nœud strict quand le point P est connecté

seulement à des nœuds de rayon supérieur par un seul arc, c'est-à-dire

( )( ) QP RR,PQOLMVNSP <=∀⇔∈ 1 deconnexion -i (3.21)

Dans le plan, une méthode de segmentation selon le GLMG (Pieritz (1994)[116] et (1995)[117])

(annexe B) permet la partition d'une forme en plusieurs objets à partir des nœuds de connexion. La

ligne médiane est segmentée en deux ensembles à partir de l'extraction des nœuds de connexion et de

la transformation inverse (§2.1.5) de chacun de ces ensembles : l'ensemble nœuds central, strict et de

proéminence plus les arcs; et l'autre, défini par les nœuds de connexion. La partition de la forme est

faite par comparaison de la valeur pour chaque pixel P entre les cartes de distance de l’image de liens

IMl reconstruite et l’image restant IM reconstruite, selon un critère défini par

)()()( PIMPIMOIMP ll ≥⇔∈ (3.22)

Ainsi, la surface de connexion (lien) est associée au rayon du nœud de connexion et la surface restante

représente les sites, chacun étant associée au rayon du plus grand nœud dans sa surface.

Le processus de segmentation dans l'espace 3D est développé de la même façon, selon l'identification

des nœuds de connexion sur le GLMG à partir de la surface médiane. Le volume occupé par les liens

(figure 3.11) est obtenu par la segmentation de la surface médiane en deux sous-ensembles, la

transformation inverse (§éq.2.28 et §éq.2.29) et la comparaison de la valeur de chaque voxel selon

l’éq.3.30 .

Comme pour le plan, le volume des liens dans l'espace est associé au rayon du nœud de connexion et

chacun des volumes des autres objets est associé au plus grand rayon d'un nœud dans chacun de ces

volumes.

Selon le modèle de segmentation développé, la fonction de distribution de liens est le rapport

d'occupation de l'espace par les rayons des volumes associes aux éléments de liaison. La fonction de

distribution de sites est le rapport d'occupation de l'espace par les éléments restant (figure 3.12), selon

deux approches différentes: la distribution par decoalescence et la distribution par volume effectif.


Fig. 3.11 - Le volume des liens pour l’ensemble de 27 boules de la fig. 2.36.a.

Fig. 3.12 - Le volume des sites pour l’ensemble de 27 boules de la fig. 2.36.a.

La distribution de sites par decoalescence est la fonction déterminée par un modèle de réseau où les

liens n'ont pas de volume, ils ont seulement une contribution en nombre. Pour chaque élément identifié

comme un lien, le volume est réparti également entre les sites que lui sont connectés. Ce modèle de

structure permet la comparaison directe entre la distribution topologique et la distribution morphologique

(§3.3.1.2) pour associer tout le volume du domaine aux rayons plus effectifs de la forme (les plus

grands), c’est-à-dire : les rayons des sites.

Comme pour la distribution de liens, la distribution de sites effectifs correspond au rapport d'occupation

de l'espace uniquement par les sites, fonction des rayons associés aux objets respectifs.

3.3.2.2 Fonction Distribution Topologique Le rangement dans l’espace des objets d’un volume selon un réseau détermine la propriété physique


de transfert de l’ensemble. Le premier indicateur de ce arrangement est le nombre de coordination

(§3.3.2.2) mais cette information est insuffisante pour caractériser complètement l’organisation

apparente du milieu.

Dans la théorie de la percolation (§1.3.1.4.3), la perméabilité relative au fluide est nulle en dessous du

seuil de percolation qui dépend de la coordination du réseau, c'est à dire le nombre de liens se

rencontrant en chaque nœud. Un nombre de coordination du réseau est mesuré sur le volume

segmenté §3.3.2.1 à partir de l’identification pour chaque site des liens qui lui sont connectés. Le

nombre de coordination pour les liens est aussi facilement obtenu par l’identification pour chaque lien

des sites connectés. Ainsi, une fonction distribution de nombre de coordination est obtenue par rapport

aux rayons des sites dans le volume segmenté.

Selon la méthode de segmentation du volume par le GLMG développée dans ce travail, une fonction de

distribution topologique est construite par l’identification des liens connectés à chaque site, et exprimé

en fréquence de connexion. La fonction topologique est représentée par une surface à partir de trois

axes : rayon de site, rayon de lien et fréquence de connexion. L’analyse de cette surface constitue un

indicateur de la topologie du réseau et de comparer les structures qui ont la même morphologie mais

une organisation topologique différente.

3.4 Génération de Structures 3D Pour permettre l’étude de la morphologie et de la topologie sur des géométrie représentatives des

structures réelles tout en ayant un ensemble de données minimum, quatre différents arrangements

spatiaux sont générés : deux géométries régulières et deux géométries irrégulières. Les deux géométrie

régulières sont générées à partir des algorithmes introduits dans la section §3.2.1, et une géométrie

irrégulière à partir d’une fonction gaussienne (§3.2.2). Un milieu fissuré est généré à partir de la

structure gaussienne selon l’algorithme de la section §3.2.2 pour permettre l’étude de l’action d’une

porosité secondaire dans le réseau. A la fin du chapitre, un échantillon de neige 3D est aussi étudié

pour mettre en évidence les potentialités des techniques développées ici sur des échantillons réels.

Par simplification, les termes solide et poreux seront utilisés même quand le cas physique n’existe pas,

et dans tous les exemples, les deux phases (solide et poreux) seront étudiées en 2D et en 3D pour

permettre la comparaison et l'interprétation des paramètres morphologiques et topologiques. La

méthode d’extraction des opérateurs structurants en 3D utilise la LMVFn pour l’obtention du GLMG et

la segmentation du volume, où les résultats sont corrigés (si nécessaire) en fonction de la différence de

volume reconstruit (§2.3.2.4) par la transformation inverse du squelette.

3.4.1 Structure régulière

L’objectif de l’étude d’une morphologie et d'une topologie sur des échantillons réguliers est de pouvoir


observer et interpréter simplement les résultats. Ainsi, une structure exemple non-realiste est d’abord

générée à partir d’un arrangement régulier de sphères sans contact selon une grille cubique. Ensuite, la

même morphologie de base est étudiée avec pour changement topologique le passage à un

empilement cubique de face centré selon un contact de superficie (sans interférence).

3.4.1.1 Sphères sans connexion

L’empilement des sphères1 sans connexion est généré avec un rayon caractéristique de 8 voxel

séparés par une distance régulier de 3 voxel selon les axes ordonnés (figure 3.13.a et figure 3.14). La

dimension caractéristique d’échantillon est 182x182x182 voxels pour permettre la segmentation dans

les centres des sphères sur les bords du volume, selon l’image de la section représentative 2D de la

figure 3.13.b. On appelle phase solide l’ensemble des sphères avec un taux d’occupation du volume

30,63% (porosité ε3D=0,69). Le taux d’occupation de la phase solide dans la section représentative 2D

est 55,98%, ceci correspond à une porosité ε2D=0,44.

(a) (b)

Fig. 3.13 - L’empilement régulier de sphères sans contact (a) et la section 2D représentative (b).

La dimension caractéristique d’un VER pour la phase solide, la phase poreuse, l'index de surface solide

et poreuse n’est pas observée dans cet échantillon (figure 3.15.a), avec un profil de porosité dans la

direction Z selon la figure 3.15.b. Cela indique que le rapport entre la taille caractéristique du volume et

les grains n’est pas optimale pour ce rangement topologique.

1 Les sphères générées sont euclidiennes (comme dans la figure 2.32.a) selon la méthodologie présentée dans la section § 3.2.1.


Fig. 3.14 - L’empilement régulier de sphères sans contact.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 50 100 150 200Taille (voxel)

Volu

me

SolideSurf.SolidePoreSurf.Pore

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0,0 0,5 1,0Porosité section XY

Dire

ctio

n Z

(vox

el)

(a) (b)

Fig. 3.15 - La mesure d’un VER pour la phase solide, la phase poreuse, l'index de surface du solide et pour l’index de surface du pore (a) et le profil de porosité en Z (b).

La granulométrie de la phase solide par l’opération d’ouverture en 3D ainsi que sur la section

représentative 2D (ouverture 2D) sont présentées dans la figure 3.16, où on observe la bonne

concordance entre les résultats. L'importante contribution des éléments du contour est observée pour

les éléments de rayon 4 dans la distribution (dans le plan et le volume). La perturbation de la distribution

morphologique observée dans les valeurs de rayon 7 voxel (pixel dans le plan) est l'effet des erreurs

commises par la mesure granulométrique d'une sphère euclidienne approximée par avec une distance

de chanfrein (effet observé dans la figure 3.9 - pour le sphère euclidienne et le cercle euclidien).


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

(a) (b)

Fig. 3.16 - Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D (a) et pour la phase solide de la section représentative 2D (b).

Les distributions de taille de pores pour les phases poreuses 3D et 2D selon l’opération d’ouverture sont

présentées dans la figure 3.17, où on observe une différence significative entre les rayons

caractéristiques. La différence entre les distributions confirme que l’image de la section 2D n’est pas

représentative de la phase poreuse du volume, ce qui a été déjà observé par la différence entre les

porosité 2D et 3D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

(a) (b)

Fig. 3.17 - Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D (a) et pour la phase poreuse de la section représentative 2D (b).

Par segmentation de la phase solide dans la section représentative par le GLMG1 2D on atteint la

distribution de sites2 (figure 3.18.a), sans détection de liens. Dans la figure 3.18.b est présenté la

distribution topologique de sites de la phase poreuse de la section 2D (par le GLMG en 2D).

1 GLMG obtenue à travers de la LM 2D. 2 Les distributions de sites sont toujours présentées avec une contribution nulle en surface (ou en volume en 3D) des liens observés : la distribution de sites par decoalescence.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist.

Hist.Topol.

Dist.Cum.Topol

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist.Hist.Topol.Dist.Cum.Dist.Cum.Topol.

(a) (b)

Fig. 3.18 - Distribution de grains pour la phase solide (a) et pour la phase poreuse (b) par le GLMG de la section représentative 2D (comparaison avec les résultats morphologiques).

L’image de la partition de la phase poreuse en 2D par les sites et liens est présentée dans la Figure

3.19.a (liens en noir), où la distribution de liens pour la phase poreuse représente une porosité ε2D

=0,14. Dans la figure 3.19.b est présentée la distribution topologique1 de connexions entre les sites et

liens pour la phase poreuse, où 100% de connexions sont observées entre les liens de rayon 2 pixel

avec les sites de rayon 5 pixel.

(a) (b)

Fig. 3.19 - Image des liens dans la phase poreuse segmentée (a) et la surface topologique (b) pour la phase poreuse de la section représentative 2D.

L’application de la technique de segmentation du volume de la phase solide par le GLMG2 en 3D

observe une distribution de sites sans liens (Figure 3.20), qui représente une distribution topologique de

connexions nulle. La comparaison des résultats morphologiques et topologiques en 3D montre un

accord entre les résultats pour le rayon caractéristique de la structure de 8 voxel (rayon de bulles), où

les effets du bord du volume représenté par un signal de rayon 4 voxel (comme pour la distribution de

sites en 2D) sont filtrés par la LMVFn, parce qu’ils sont attribués au rayon 8 voxel (centre des sphères

1 Pour simplification et avec l’aide de l’analyse de la surface topologique, le résultat présenté est l’interpolation d’une superficie à partir de données mesurées par le GLMG (2D ou 3D) en fonction du logiciel utilisé, qui peut ne pas représenter correctement la distribution discrète observée. Dans ce cas, la méthode d’interpolation utilisée est la fonction radiale avec le logiciel ‘Surfer’ version Windows3.1. 2 Le squelette utilisé est le LMVFn, qui dans ce cas est l’équivalent de la LMV de la phase solide 3D car il reproduit intégralement le volume à partir de la transformation inverse.


sur la frontière du volume). La distribution morphologique observe dans la section et dans le volume

(figures 3.16 et 3.20) mettrent en évidence les erreurs de l'approximation par la distance de chanfrein

[Chassery, 1991] pour les mesures morphologiques d'une sphère euclidienne [Serra, 1982; 1988], sur

tout pour l'apparition d'un valeur important associé au rayon 7 (erreur déjà observé dans la figure 3.9,

sur le rayon 11 voxel).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Morph.Hist. Topol.Dist.Cum. Topol.Dist.Cum. Morph.

Fig. 3.20 - Distribution de grains pour la phase solide par le GLMG

comparé avec les résultats morphologiques.

La distribution de sites et de liens pour la phase poreuse 3D est présentée dans la figure 3.21, où on

observe le rayon caracteristique de la section (8 voxel) dans les distributions morphologique et

topologique. Dans la figure 3.21.b sont présentées les distributions pour les liens qui représentent une

porosité ε3D = 0,27, et on observe une similitude entre la distribution de liens 3D et la distribution

topologique de sites pour la phase poreuse en 2D en fonction de la reproduction préférentielle de ces

éléments dans la section.

Dans la figure 3.22 est présentée la distribution topologique de connexions entre les sites et liens de la

phase poreuse, où les liens de rayon 2 voxel ont 58% de connexion avec les sites de rayon 8 voxel

alors que les rayons 5 voxel ont seulement 42%.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist.Morph.Hist.Topol.Dist.Cum.Topol.Distr.Cum. Morph

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

ame

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.21 - Distribution de sites pour la phase poreuse (a) comparé avec les résultats morphologiques et de liens (b) par le GLMG 3D.

Fig. 3.22 - La surface topologique pour la phase poreuse 3D.

3.4.1.2 Sphères avec connexion Un empilement cubique de face centrée est généré avec un longueur caractéristique de 196x196x196

par des sphères1 de rayon 8 voxel selon la figure 3.23.a, avec un taux d'occupation de la phase solide

de 70,65% (représentée par les grains sphériques) et une porosité ε3D=0,29. Le contact entre les grains

et la surface sans interférence est représenté par l'image de la section 2D (figure 3.23.b). Dans la

section représentative 2D le taux d'occupation de la phase solide (couleur noir) est de 82,40% et la

porosité apparente est ε2D=0,17.

1 Les sphères générées sont euclidiennes (comme dans la figure 2.32.a) selon la méthodologie présentée dans la section § 3.2.1.


(a) (b)

Fig. 3.23 - L’empilement régulier de sphères (a) et la section 2D représentative (b).

L’échantillon numérique est considéré comme un VER pour les paramètres volumique et surfacique

parce qu’on observe un longueur caractéristique pour la phase poreuse et solide à partir de 100 voxels,

et pour les index de surface solide et poreuse à partir de 80 voxels (figure 3.24.a). Le profil de porosité

selon la direction Z est donné par la figure 3.24.b.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 50 100 150 200

Taille (voxel)

Volu

me

Solide Surf.SolidePore Surf.Pore

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200


Prof

onde

ur Z

(vox

el)

(a) (b)

Fig. 3.24 - VER pour la phase solide, index de surface du solide, pore et pour l’index de surface du pore (a) et le profil de porosité en Z (b).

Dans la figure 3.25.a est présentée la distribution granulométrique de la phase solide 3D est 2D

obtenue par l'opération d'ouverture, où on observe le bon accord entre les résultats. Dans la figure 3.26

sont présentées les distributions de tailles de pores par l’opération d'ouverture pour le volume et pour la

section 2D représentative.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

(a) (b)

Fig. 3.25 - Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D (a) et pour la phase solide de la section représentative 2D (b).

L'application de la technique du GLNG 2D sur l'image de la section segmente la surface solide en sites

et liens, présentée dans l'image partitionnée de la section 2D en noir pour les liens (figure 3.27.a). La

comparaison entre la distribution topologique de sites1 pour la phase solide et la granulométrie par

ouverture est présentée dans la figure 3.27.b, et la distribution topologique de connexions entre les sites

et liens de la phase solide est présentée dans la figure 3.28. Pour la phase poreuse de la section 2D,

100% de sites ont un rayon de 2 voxels avec une distribution nulle de liens.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

(a) (b)

Fig. 3.26 - Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D (gauche) et pour la phase poreuse de la section représentative 2D (droite).

1 Distribution de sites par decoalescence.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


Fig. 3.27 - Distribution de taille de grain pour la phase solide de l’image de

la section représentative 2D par le GLMG et MM.

(a) (b)

Fig. 3.28 - Image des liens dans la phase solide segmentée (a) et la surface topologique pour la phase solide de la section représentative 2D (b).

La distribution de sites par décoalescence de la phase solide 3D par le GLMG 3D1 est présentée dans

la figure 3.29 et comparée à la distribution morphologique. On retrouve dans la phase solide du volume

100% de liens avec un rayon égal à 1 voxel, avec une contribution de 9,82% du volume.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist.Morph.Hist.Topol.Dist.Cum.Topol.Dist.Cum. Morph.

Fig. 3.29 - Distribution de taille de grain pour la phase solide 3D par le GLMG comparée à

la morphologie mathématique.

1 Le GLMG est obtenu à partir de LMVFn qui dans ce cas est l'équivalent de la LMV car il reproduit intégralement le volume.


La distribution de taille de pores (ou sites) par le GLMG 3D1 est présentée dans la figure 3.30.a et

comparée à la distribution morphologique. La distribution cumulée de liens est présentée dans la figure

3.30.b avec une contribution dans la porosité ε3D=0,02. La surface topologique de connexions entre

sites et liens de la phase poreuse est présentée dans la figure 3.31.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Morph.Hist.Topol.Dist.Cum.Topol.Dist.Cum. Morph.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rayon (voxell)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.30 - Distribution de taille de pores pour la phase poreuse 3D par le GLMG comparée à la morphologie mathématique (a) et les sites et liens (b).

Dans la figure 3.31 est présentée la distribution topologique des connexions entre les sites et les liens

de la phase poreuse, où les liens de rayon 1 voxel ont 43% de connexion avec les sites de rayon 3

voxel, et les rayons 2 voxel ont seulement 57% de connexion.

Fig. 3.31 - La surface topologique pour la phase poreuse 3D.

3.4.1.3 Comparaison de résultats On a observé que la morphologie de la phase solide qui a été générée est la même pour les deux

volumes réguliers avec une différence dans les distributions de la phase poreuse, due aux changement

de paramètres topologiques. L'influence de la topologie est déjà observée dans l'identification d'une

longueur caractéristique pour le VER qui n'est pas observée dans le premier échantillon, mais est

retrouvé dans le second. Les sections 2D obtenues sont représentatives uniquement d'une phase sans

1 La LMVFn est l'équivalent de la LMV car il reproduit intégralement le volume.


avoir un pouvoir descriptif du volume car la topologie n'est pas complètement traduite. Ainsi, les

volumes sont morphologiquement équivalentes pour la phase générée (dans le cas du solide) mais

toutes les propriétés géométriques d’intérêt sont modifiées en raison du changement topologique mis

en évidence par les distributions topologiques observées par les opérateurs géométriques GLMG.

3.4.2 Structure irrégulière

Une structure irrégulière est générée par l'algorithme présenté dans la section §3.2.2 pour les

distributions de taille de grains de la phase solide selon une loi statistique et pour l'algorithme de la

section §3.2.3 pour le milieu fissuré. L’objectif de ces structures est de mettre en évidence le rôle d'une

porosité secondaire dans le réseau par le changement topologique du milieu.

3.4.2.1 Fonction Distribution Gaussienne Un milieu poreux irrégulier est généré à partir d'une distribution gaussienne d'éléments de la phase

solide selon un rangement spatial quelconque. La distribution gaussienne est centrée dans un rayon

caractéristique de 6 voxel, avec un variance de 3 voxel, taux d'occupation de la phase solide de 60% ±

5%. Le milieu résultant est présenté dans la figure 3.32, avec une longueur caractéristique de

256x256x256 voxel, avec un taux final d'occupation de la phase solide de 61,79% et une porosité

ε3D=0,38.

Fig.3.32 - Le milieux discret généré avec une distribution gaussiene.

Trois sections caractéristiques selon les axes ordonnées sont obtenues (figure 3.33), les sections

centrales respectivement dénommées les plans XY (cordonnée Z=127), XZ (cordonnée Y=127) et YZ

(cordonnée X=127).

Un longueur caractéristique pour le VER volumique est observée dans la figure 3.34.a à partir de 128

voxel et pour les paramètres surfaciques à partir de 90 voxel. Le profil de porosité selon la direction Z


est présenté dans la figure 3.34.b, où on observe une variance de profil pour les éléments dans la

profondeur 0-25 voxels. Cette variance est fonction de la partition du volume de génération selon la

direction Z pour la gestion de mémoire informatique, et un déplacement incrémental pour la suite de la

génération. Ainsi, l'algorithme travaille dans un premier temps avec un taux d'occupation nul et un

temps de convergence plus grand.

(a) (b) (c)

Fig. 3.33 - Image de la section XY (a) , section XZ (b) et de la section YZ (c) (256x256 pixel).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 50 100 150 200 250 300

Taille (voxel)

Volu

me


0

50

100

150

200

250


Dire

ctio

n Z

(vox

el)

(a) (b)

Fig. 3.34 - VER pour la phase solide, la phase poreuse, index de surface du solide et pour l’index de surface du pore (a) et le profil de porosité en Z (b).

Pour conserver la condition d’isotropie du milieu et par la détection d'un VER à partir d'un longueur 128

voxels, le volume est découpé et analysé par la suite dans un sous échantillon de longueur

caractéristique 192x192x192 voxel, centré dans la forme originale (les sections respectives 2D sont

aussi découpées). Le taux d'occupation de la phase solide du sous échantillon est 62,31% (porosité

ε3D=0,37). Pour la section XY, la porosité ε2DXY=0,40 et pour les sections XZ et YZ une porosité

respective de ε2DXZ=0,36 et ε2DYZ=0,36.

La distribution morphologique de taille de grains pour la phase solide dans le sous échantillon analysé

par l’opération d’ouverture en 3D et 2D (pour les trois sections) est présenté dans la figure 3.35. On

observe la concordance des résultats entre les trois sections et le volume avec la distribution selon une


loi gaussienne centrée dans un rayon de 6-7 voxels. Dans la figure 3.36, la granulométrie par ouverture

de la phase solide 2D de l’échantillon complet est présentée et reste en accord avec les résultats déjà

observés.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

(a)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

HistXZ.Hist.YZHist. XYDistr.Cum. YZDistr.Cum. XZDistr. Cum. XY

(b)

Fig. 3.35 - Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D (a) et pour la phase solide

des sections XY,XZ et YZ en 2D (192x192 pixel) (b).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


Fig. 3.36 - Granulométrie par ouverture pour la phase solide

des sections XY,XZ et YZ en 2D (256x256 pixel).


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

(a)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

éeHistXZ.Hist.YZHist. XYDistr.Cum. YZDistr.Cum. XZDistr. Cum. XY

(b)

Fig. 3.37 - Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D (a) et pour la phase poreuse des les sections XY,XZ et YZ en 2D (192x192 pixel) (b).

La distribution de taille de pores pour la phase poreuse 3D et 2D du sous échantillon est présentée

dans la figure 3.37, avec l'observation d'une distribution selon une loi gaussienne centrée dans un rayon

3-4 voxel. Le résultat pour les trois sections 2D de l'échantillon complet est présenté dans la figure 3.38,

où on peut aussi observer la bonne concordance entre les résultats morphologiques 2D et 3D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul


Fig. 3.38 - Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse

des sections XY,XZ et YZ en 2D (256x256 pixel).


3.3 METHODOLOGIES D'ANALYSE ....................................................................................................................91

3.3.1 Mesures Morphologiques..................................................................................................................91

3.3.1.1 Porosité ..........................................................................................................................................................91

3.3.1.2 Granulométrie ................................................................................................................................................91

3.3.1.3 Volume élémentaire.......................................................................................................................................93

3.3.1.4 Index de Surface Spécifique - ISS .................................................................................................................93

3.3.2 Mesures Topologiques ......................................................................................................................94

3.3.2.1 Distribution de Sites et Liens.........................................................................................................................94

3.3.2.2 Fonction Distribution Topologique................................................................................................................97

3.4 GENERATION DE STRUCTURES 3D .............................................................................................................98

3.4.1 Structure régulière ............................................................................................................................98

3.4.1.1 Sphères sans connexion .................................................................................................................................99

3.4.1.2 Sphères avec connexion...............................................................................................................................104

3.4.1.3 Comparaison de résultats .............................................................................................................................108

3.4.2 Structure irrégulière........................................................................................................................109

3.4.2.1 Fonction Distribution Gaussienne................................................................................................................109


A travers le GLMG 2D la distribution de sites par décoalescence de la phase solide de la section 2D XY

est présentée dans la figure 3.39.a, et comparée avec la distribution morphologique associée. Dans la

figure 3.39.b, la distribution de liens est présentée avec une contribution dans le taux d'occupation 2D

de 18,33%.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Morph.Hist.Topol.Dist.Cum. Topol.Dist.Cum. Morph.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Rayon (pixel)

His

togr

amm

e / D

ist.

Cum

.

Hist.Lien

Dist.Cum.Lien

(a) (b)

Fig. 3.39 - Distribution de taille de grains pour les sites (a) et pour les liens (b) de la phase solide de la section XY par le GLMG.

Dans la figure 3.40.a est présentés la distribution de sites (par décoalescence) de la phase poreuse de

la section XY par le GLMG 2D et comparées à la respective distribution morphologique associée. La

contribution des liens dans la porosité est de ε2DXY=0,14 avec une distribution observée par les courbes

présentées dans la figure 3.40.b

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e / D

ist.

Cum

. Hist.Lien

Dist.Cum.Lien

(a) (b)

Fig. 3.40 - Distribution de taille de grains pour les sites (a) et pour les liens (b) de la phase poreuse de la section XY par le GLMG.


(a) (b)

Fig. 3.41 - Surface topologique pour la section XY 2D solide (a) et pour la phase poreuse (b) (192x192 pixel).

(a) (b)

Fig. 3.42 - Surface topologique pour la section XZ 2D (a) et pour la phase poreuse (b) (192x192 pixel).

(a) (b)

Fig. 3.43 - Surface topologique pour la section YZ 2D (a) et pour la phase poreuse (b) (192x192 pixel).

Les distributions topologiques des sites et des liens connectés pour les phases solide et poreuse des

sections 2D du sous échantillon sont présentées dans les figures 3.41-3.43, respectivement pour les


sections XY, XZ et YZ. Les mêmes distributions sont analysées pour les sections du volume initial, pour

la phase solide et poreuse dans les figures 3.44-3.46. On observe un bon accord entre les tendances

des surfaces de connexion pour les phases et sections respectives mais on observe une inégalité

quand elles sont comparés entre elles. Ainsi, on vérifie la différence topologique entre les trois différents

sections.

(a) (b)

Fig. 3.44 - Surface topologique pour la section XY 2D (a) et pour la phase poreuse (b) (256x256 pixel).

(a) (b)

Fig. 3.45 - Surface topologique pour la section XZ 2D (a) et pour la phase poreuse (b) (256x256 pixel).

(a) (b)

Fig. 3.46 - Surface topologique pour la section YZ 2D (a) et pour la phase poreuse (b) (256x256 pixel).


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.47 - Distribution de taille de grains (a) et de liens (b) de la phase solide 3D par le GLMG.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.48 - Distribution de taille de pores (a) et de liens (b) de la phase poreuse 3D par le GLMG.

On observe dans la figure 3.47.a la distribution de sites par décoalescence à travers le GLMG 3D

obtenue à partir de la LMVFn1 de la phase solide volumique et la comparaison avec la distribution

morphologique. Les liens ont une contribution dans le taux d'occupation de 6,7%, selon une distribution

relative donnée par la figure 3.47.b. La distribution de sites et liens pour la phase poreuse2 est

présentée dans la figure 3.48, et comparée à la distribution morphologique. Les liens ont une

contribution à la porosité du volume de ε3D=0,07.

Les distributions de connexions entre les sites et les liens des phases solide et poreuse sont présentées

dans la figure 3.49. La comparaison entre les distributions topologiques de connexions de sites et de

liens 3D et 2D met en évidence la différence topologique entre les sections et le volume, avec une

morphologie identique observé dans les distribution de grains et pores. Ainsi, avec la conservation de la

morphologie entre les sections et les volumes, les propriétés physiques de transport dépendants de la

1 Le volume reconstruit par la transformation inverse la LMVFn est 59,23%. 2 Le volume reconstruit par la transformation inverse de LMVFn est ε=0,36.


topologie auront un effet macroscopique différent selon la section analysée, par comparaison avec le

résultat volumique

(a) (b)

Fig. 3.49 - Surface topologique de la phase solide (a) et pour la phase poreuse (b) du volume 3D.

3.4.2.2 Le Milieu Fissuré Un milieu fissuré est généré à partir de l’échantillon gaussien présenté dans la section §3.4.2.1, avec un

taux d’occupation de la phase solide de 59,43% et une porosité ε3D=0,40. Les fissures sont orientées

selon la diagonale du volume (figure 3.50) de 192x192x192 voxel, avec une contribution ε3D=0,0288

dans la porosité du volume, et une distribution morphologique de rayon égale à 1 voxel. Trois sections

2D centrées dans le volume sont présentées dans la figure 3.51, dénommées respectivement plan XY

(porosité ε2DXY=0,41), XZ (porosité ε2DXZ=0,38) et YZ (porosité ε2DYZ=0,38).

Un longueur caractéristique pour le VER volumique est observée dans la figure 3.52.a à partir de 120

voxel, avec une longueur pour le VER des index de surface déjà observés à partir de 60 voxel. Le profil

de porosité pour les fissures et pour l’échantillon selon la direction Z est présenté dans la figure 3.52.b,

où l'on vérifie l’isotropie des fissures de l’échantillon.

Fig.3.50 - L’image des fissures (24x24x24 voxel - fissures "solides") introduites dans le volume irrégulier généré dans la section §3.4.2.1.


(a) (b) (c)

Fig. 3.51 - Image de la section XY (a) , section XZ (b) et de la section YZ (c) pour le milieu fissuré.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 50 100 150 200

Taille Representative (voxel)

Volu

me

SolideSurf.SolidePoreSurf.PoreSurf.FissuresFissures

0

40

80

120

160

200

0,0 0,5 1,0Porosité

Prof

onde

ur (v

oxel

)Total PoresFissures

(a) (b)

Fig. 3.52 VER pour la phase solide, pour l'index de surface du solide,la phase poreuse et pour l’index de surface du pore (a) et le profil de porosité en Z (b)

La distribution de taille de grains de la phase solide 3D et 2D pour les trois sections par l’opération

d’ouverture est présentée dans la figure 3.53. La comparaison entre la distribution de grains en 3D pour

les échantillons fissuré et non-fissuré montre le changement morphologique que les 3% de fissures ont

provoqué dans la phase solide.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

éeDistr.Cum.Distr.Cum.Fiss.Hist.Hist.Fissure

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

éeHist. XYHistXZ.Hist.YZDistr.Cum. YZDistr.Cum. XZDistr. Cum. XY

(a) (b)

Fig. 3.53 - Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D comparée à la distribution originale (a) et pour la phase solide des les sections XY,XZ et YZ en 2D (b).


Dans la figure 3.54 est présentée la distribution de taille de pores pour les section 2D et pour le volume

à partir de la morphologie mathématique. La comparaison entre la distribution fissurée et non-fissurée

met en évidence la contribution des fissures dans les petits rayons, où on peut considérer que la

distribution poreuse morphologique du milieu n’a été pas changée. On vérifie que les distributions

morphologiques pour les phases poreuse et solide dans les sections et dans le volume sont en bon

accord.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

éeHistogr.Hist.FissuresDistr.Cum.FissuresDistr.Cum

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul


(a) (b)

Fig. 3.54 - Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D comparée à la distribution original (a) et pour la phase poreuse des sections XY,XZ et YZ en 2D (b).

La distribution de sites par décoalescence à partir du GLMG 2D pour la section XY est présentée dans

la figure 3.55.a, et comparée à la distribution morphologique. La distribution de liens de la phase solide

a une contribution dans le taux d’occupation de 26,84% et est présentée dans la figure 3.55.b.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

éeHist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.55 - Distribution de taille de grain pour les sites (a) et pour les liens (b) de la phase solide de la section XY par le GLMG.

La distribution de liens et de sites pour la phase poreuse de la section XY est présentés dans la figure

3.56, et comparés avec les résultats morphologiques respectifs. La distribution de liens de la phase

poreuse a une contribution ε2DXY=0,11 et est présentée dans la figure 3.56.b.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (pixel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.56 - Distribution de taille de grain pour les sites (a) et pour les liens (b) de la phase poreuse de la section XY par le GLMG.

Les fonctions de distribution topologique de connexion entre les sites et les liens des phases poreuse et

solide des sections 2D sont présentées dans les figures 3.57-3.58, où on observe les différentes

topologies selon les sections.

(a) (b)

Fig. 3.57 - Surface topologique pour la section XY 2D solide (a) et pour la phase poreuse (b).

(a) (b)

Fig. 3.58 - Surface topologique pour la section XZ 2D solide (a) et pour la phase poreuse (b).


(a) (b)

Fig. 3.59 - Surface topologique pour la section YZ 2D solide (a) et pour la phase poreuse (b).

Les granulométries par le GLMG 3D1 pour les phases solide et poreuse sont présentées

respectivement dans les figures 3.60 et 3.61. La contribution de liens dans le taux d’occupation de la

phase solide est 7,5% (figure 3.60.b) et ε3D=0,05 pour la phase poreuse (figure 3.61.b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

éeHist. Morph.Hist. Topol.Dist.Cum. Topol.Dist.Cum. Morph.

(a)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(b)

Fig. 3.60 - Distribution de taille de grain (a) et des liens (b) de la phase solide 3D par le GLMG.

1 Le volume reconstruit par la LMVFn de la phase solide est 58,10% est pour la phase poreuse est ε=0,39.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Rayon (voxel)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. LienDist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.61 - Distribution de taille de pores (a) et des liens (b) de la phase poreuse 3D par le GLMG.

Les distributions topologiques de connexions pour les phases solide et poreuse en 3D sont présentées

dans la figure 3.62., où on observe une grande différence entre les résultats topologiques pour les

sections et le volume.

(a) (b)

Fig. 3.62 - Surface topologique pour la phase solide (a) et pour la phase poreuse (b) du volume 3D fissuré.

3.4.2.3 Comparaison de résultats topologiques 2D et 3D La comparaison de résultats morphologiques entre les sections et les volumes respectifs confirment la

détection d’un longueur caractéristique VER pour le rapport de taille de grains et volume, et que les

sections sont représentatives de la morphologie du volume. Les différences observées pour les

distributions topologiques de connexions entre les sections et les volumes respectifs sont l’indication

que les sections 2D ne sont pas représentatives de la topologie du volume, surtout vis-à-vis de

l’orientation préférentielle des fissures. L’observation de la différence entre les surfaces topologiques de

connexion des phases solide et poreuse des volumes confirme le changement des propriétés

topologiques par un sous réseau poreux, caractérisé par un petit diamètre de fissures.


3.4.4 Analyse d'un échantillon de neige 3D

Un échantillon de neige en 3D (figure 3.63) a été obtenu1 au centre d'étude de la neige (Météo France -

Grenoble) selon la méthode décrite dans l'annexe D, à partir de 64 plans de coupe au microtome

observé en lumière reflechie et reconstruites par ordinateur. La longueur caractéristique du volume est

128x128x128 voxel, avec une résolution de 20 µm (longueur de 2,56 mm). Le taux d'occupation des

grains de neige (phase solide) est 58,53%, avec une porosité ε3D=0,47.

Fig. 3.63 - Sections du volume de neige regelée (128x128x128 voxel)

reconstruites par ordinateur.

Dans la figure 3.64, trois sections caractéristiques centrées dans le volume sont présentées selon les

axes ordonnés: section XY (porosité ε2DXY=0,40), section XZ (porosité ε2DXZ=0,39) et section YZ

(porosité ε2DYZ=0,30).

A travers la figure 3.65.a on observe la non existence d'un longueur caractéristique d'un VER volumique

pour le rapport de taille de grains et de volume, mais on atteint un VER pour les index de surface. Le

profil de porosité présenté dans la figure 3.65.b confirme la inhomogenéité du volume par rapport à la

longueur Z: sera donc considéré le volume comme non représentatif d’un VER.

1 Dans cette section l'échantillon de neige analysé est le résultat de l'analyse humaine (traitement réalisé manuellement par deux chercheurs pendant deux semaines) pour être considéré comme le meilleur résultat possible.


(a) (b) (c)

Fig. 3.64 - Image de la section XY (a) , section XZ (b) et de la section YZ (c).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 500 1000 1500 2000 2500

Taille (microns)

Volu

me


0

500

1000

1500

2000

2500

0,0 0,5 1,0Surface de la Section

Prof

onde

ur (m

icro

n)

(a) (b)

Fig. 3.65 - VER pour la phase solide, l'index de surface du solide, pour la phase poreuse, pour l’index de surface du pore (a) et le profil volumique de la phase solide en Z (b).

La comparaison entre les granulométries par ouverture 3D et 2D de la phase solide pour les trois

sections présentées dans la figure 3.66, confirme la non existence d'une longueur caractéristique pour

un VER, et également la non existence d'une section représentative de la morphologie du volume.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

Rayon (micron)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

Rayon (micron)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


(a) (b)

Fig. 3.66 - Granulométrie par ouverture pour la phase solide 3D (a) et pour la phase solide des sections XY,XZ et YZ en 2D (b).


Les distributions de taille de pores pour le volume et les sections 2D par analyse morphologique

présentées dans la figure 3.67 met en évidence la non représentativité de la morphologie du volume par

les sections 2D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

Rayon (micron)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Histogr.Distr.Cum

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

Rayon (micron)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul


(a) (b)

Fig. 3.67 - Granulométrie par ouverture pour la phase poreuse 3D (a) et pour la phase poreuse des sections XY,XZ et YZ en 2D (b).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

Rayon (micron)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Morph.

Hist.Topol.

Dist.Cum.Topol.

Dist.Cum. Morph.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

Rayon (micronl)

His

togr

amm

e / D

ist.

Cum

.

Hist.Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.68 - Distribution de sites par le GLMG pour la phase solide 2D (a) de la section XY comparée à la morphologie, distribution de liens (b).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

Rayon (micron)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Morph.Hist.Topol.Dist.Cum. Topol.Dist.Cum. Morph.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

Rayon (mic ron)

His

togr

amm

e / D

ist.

Cum

. Hist.Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.69 - Distribution de sites par le GLMG pour la phase poreuse 2D (a) de la section XY comparée à la morphologie, distribution de liens (b).


Dans les figures 3.68 -3.69, les distributions topologiques de sites par décoalescence des phases solide

et poreuse par le GLMG 2D pour la section XY sont comparées aux résultats morphologiques.

Les distributions topologiques pour la connexion des sites et des liens pour les phases solide et

poreuse des sections 2D sont présentées dans les figure 3.70-3.72, où on observe la complète

incompatibilité entre les surfaces.

(a) (b)

Fig. 3.70 - Superficie topologique pour la phase solide (a) et pour la phase poreuse (b) de la section XY 2D.

(a) (b)

Fig. 3.71 - Superficie topologique pour la phase solide (a) et pour la phase poreuse (b) de la section XZ 2D.

(a) (b)

Fig. 3.72 - Superficie topologique pour la phase solide (a) et pour la phase poreuse (b) de la section YZ 2D.


La distribution des sites et des liens pour la phase solide 3D par le GLMG 3D sur la LMVFn est

présentée dans la figure 3.73, et pour la phase poreuse dans la figure 3.74. Dans la figure 3.75, sont

présentées les surfaces topologiques pour la connexion des sites et des liens des phases solide et

poreuse respectivement.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

680

Rayon (micron)

His

togr

amm

e

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

Rayon (micron)H

isto

gram

me

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.73 - Distribution de sites (a) et des liens (b) de la phase solide 3D par le GLMG.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

680

Rayon (micron)

His

togr

ame

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

680

Rayon (micron)

His

togr

ame

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Dis

tr. C

umul

ée

Hist. Lien

Dist.Cum. Lien

(a) (b)

Fig. 3.74 - Distribution de sites (a) et des liens (b) de la phase poreuse 3D par le GLMG.

(a) (b) Fig. 3.75 - Superficie topologique pour la phase solide (a) et pour la

phase poreuse (b) du volume 3D.


Les résultats obtenus confirment la non existence d'un longueur représentative d'un VER pour le

rapport de taille entre les grains de neige et le volume de l'échantillon, et que les sections 2D ne sont

pas représentatives ni de la morphologie ni de la topologie du volume.

3.5 Synthèse du Chapitre Le chapitre a introduit le développement de techniques de génération de structures régulières et

irrégulières à partir des concepts de la géométrie discrète, avec l’objectif de reproduire les paramètres

mesurés sur des échantillons réels avec une performance informatique améliorée. Les méthodes de

génération sont capables de reproduire les propriétés statistiques observées dans les géométries

régulières et irrégulières. Les échantillons réguliers sont les structures modèles pour les

développements et les essais des techniques de mesures pour la compréhension des résultats

topologiques. Les géométries irrégulières sont capables de reproduire des arrangements spatiaux

rencontrés dans les milieux réels, ainsi que la génération des réseaux poreux complexes tels que les

milieu fissurées et les colonnes de sols stratifiés.

Des méthodes de mesure et d’analyse des paramètres morphologiques et topologiques basées sur la

géométrie algorithmique (ou discrète) ont été développées. Les méthodes d'analyse de la morphologie

de la structure développées ici sont la mesure de la porosité discrète, l'identification d'un longueur

caractéristique d'un VER volumique par la mesure du taux d'occupation du volume par le solide (ou

poreux) et un VER surfacique, pour un index de surface (solide ou poreux) obtenu directement par la

géométrie discrète. Le principal paramètre morphologique développé a été la granulométrie par

ouverture en 3D à partir des masques de chanfrein.

Les paramètres topologiques développés sont basés sur les squelettes structuraux pondérés (§2) et la

représentation graphique (GLMG). Le modèle de partition du volume poreux dans un modèle de réseau

de sites et de liens a été développé en 3D à partir de la représentation du squelette LMVFn par son

graphique associé. La classification du graphe en nœuds de connexion et centrales de la forme avec

ces respectives arcs, permet la partition et l'identification de sites et de liens avec leurs distributions

statistiques respectives. La partition de l'espace poreux dans un réseau de sites et de liens permet de

proposer une fonction de distribution topologique de connexions afin d'identifier l'arrangement structurel

de la topologie.

Dans le chapitre, cinq structures géométriques différentes ont été présentées: deux régulières, deux

irrégulières et une reconstruction volumique. Les structures régulières ont permis l’identification et

l'observation de l'importance de la topologie quand la morphologie reste constante, avec une

modification complété du rangement spatial de la structure de la phase complémentaire.


Les structures irrégulières ont permis de mettre en évidence l'importance de la donnée topologique pour

faire la différence entre les structures morphologiquement identiques, comme entre les sections 2D et le

volume. L'analyse d'un milieu fissuré à partir d'une structure connue a montré l'importance d'un sous

réseau et le changement global de la topologie de la structure même avec la conservation d'une

morphologie apparente, par de faibles perturbations dans les données globales.

Un échantillon réel de neige reconstruit par ordinateur a été étudié et a montré l'importance de

l'identification d'un VER pour l’expérimentation, surtout en ce qui concerne les mesures géométriques.

On a montré l'influence de la taille représentative des données sur la connexion apparente du réseau

entre les sections et le volume.

Les méthodes de mesure et l'interprétation des données morphologiques et topologiques développées

par l'espace discret interprété par l'ordinateur ont permis l'observation de l'influence de l'arrangement

spatial sur la structure global d'un milieu, surtout l'exploration de la géométrie réelle complexe (la neige

3D - un milieu de granulométrie gaussienne) par un outil performant du point de vue mathématique et

informatique. Cela permet l'étude de milieu multi-poreux tel que les milieux fissurés.

Dans le prochain chapitre les techniques d’interprétation de la géométrie par les opérateurs

géométriques seront utilisées pour représenter la géométrie réelle dans les processus et les

méthodologies de simulations de propriétés des transferts, et ainsi faire le lien avec des résultats

comparatifs pour l'importance de la représentativité de la topologie dans les processus de transferts.


3.4.4 Analyse d'un échantillon de neige 3D 123

3.5 SYNTHESE DU CHAPITRE 128

Chapitre 4. Modélisation et Simulation de Propriétés de Transferts - 131

Chapitre 4

Modélisation et Simulation des Propriétés de Transferts


4.1 Introduction

La modélisation des transferts multiphasiques et l'estimation des propriétés de rétention en milieux

poreux doivent prendre en compte la complexité interne de leur géométrie au niveau microscopique. Ces

propriétés sont liées au positionnement de ménisques sur le front d’intrusion ou d'extrusion à l’échelle du

pore [Adler, 1992 ; Thovert, 1992 ; Maier, 1993 ; Plumb, 1992 ; Fernandes, 1990 ; Fernandes, 1994].

L’écoulement dans la zone non-saturée du sol est un cas spécifique de transfert multiphasique en milieu

poreux. Dans ce cas, l’espace poreux est rempli par l’eau et l’air, les deux fluides les plus importants

dans l’environnement naturel. Les problèmes de prise en compte de deux ou plusieurs fluides non-

miscibles dans le milieu poreux ont été très étudiés dans le domaine pétrolier [Spearing, 1991 ;

Hammecker, 1993 ; Ferreol, 1995 ; Zhou, 1993] où les écoulements d’eau, de vapeur, d'huile et de

solutions liquides sont très importants dans les opérations secondaires d’extraction.

Dans ce chapitre, nous présentons les méthodes que nous avons développées pour simuler des

déplacements capillaires dans des structures poreuses réelles et pour estimer la perméabilité de tels

milieux. Ces méthodes sont basées sur les éléments de géométrie discrète et les opérateurs

topologiques précédemment introduits.

Il est divisé en deux parties: la première est consacrée à la méthode que nous appelons géométrique1 et

la seconde à une méthode de type matriciel.

La méthode géométrique est basée sur l’application directe de la notion de squelette discret. Elle est

utilisée pour la modélisation et la simulation des effets capillaires dans la structure. Nous formalisons

d'abord les concepts physiques d'écoulements multiphasiques non-miscibles à l'aide des opérateurs

géométriques introduits au chapitre §2. Nous précisons également les conventions que nous avons

adoptées dans ce travail. La modélisation géométrique est ensuite appliquée sur les sections

représentatives 2D du milieu Gaussien et du milieu Gaussien Fissuré déjà étudiés au Chapitre §3.

L’analyse des sections de connexion en relation avec les volumes connectés correspondants permet de

comparer les résultats de nos simulations afin de mettre en évidence le rôle de la connexion du réseau.

Dans la seconde partie, la méthodologie baptisée matricielle est formulée pour l’estimation de la

perméabilité du milieu. Elle est basée sur l’application d’une analogie électrique de la représentation du

GLMG. Les principes fondamentaux de cette analogie électrique fondée sur une représentation

graphique sont d'abord introduits. Ensuite, la méthode de résolution numérique adoptée est décrite.

Enfin, des exemples d'application de la méthode matricielle à des structures modèles et sur les

1 Le terme "méthode géométrique" est ici utilisé seulement pour faire la différence entre l'application directe d'un opérateur squelette discret et sa représentation graphique (appelée ici méthode matricielle), car toutes les études théoriques/numériques de transfert en milieu poreux sont basées sur l'interaction entre la géométrie de la structure et le fluide, donc "géométriques".


géométries Gaussienne et Fissurée (Chapitre §3) sont présentés.

4.2 Méthode géométrique : simulation de l 'intrusion et de l’extrusion d'un fluide non-mouillant

4.2.1 Présentation de la méthode La simulation de l'intrusion d'un fluide non-mouillant correspond soit à l'essai dit de "porosimétrie au

mercure" soit au drainage d'un milieu poreux initialement saturé en eau. Dans le premier cas, le fluide

non-mouillant est le mercure en équilibre avec sa vapeur dans un réseau poreux initialement vide. Dans

le deuxième cas, le fluide mouillant est l'eau et le fluide non-mouillant l'air qui prend la place de l'eau lors

de la désaturation. Ces deux cas sont conceptuellement identiques à condition de négliger les effets du

transport polyphasique ce qui, en d'autres termes, revient à considérer que l'intrusion du fluide non-

mouillant n'est pas gênée par la présence d'un flux contarire de fluide mouillant.

L'équilibre entre fluide mouillant et non-mouillant dans le milieu poreux est régi par l'équation de Laplace

(section §1.3.2, équation 1.15) qui fait intervenir les propriétés caractéristiques des interfaces fluide/fluide

(tension superficielle) et fluide/solide : angle de mouillage. Ces notions sont normalement définies à

l'équilibre mais nous ferons l'hypothèse qu'elles sont aussi utilisables en dynamique.

La méthode géométrique que nous proposons utilise la représentation de l'espace poreux par son

squelette LM telle que nous l'avons introduite au Chapitre §2.

Le modèle simplifié de simulation des états d'équilibre successifs lors de l'intrusion d'un fluide non-

mouillant à différentes valeurs de pression capillaire dans un réseau est construit, à partir du choix d'une

ou plusieurs faces d'alimentation pour le fluide entrant, en considérant qu'à chaque nouvelle valeur de la

pression capillaire Pc, le fluide envahit un pore si et seulement si : i) le rayon satisfait la loi de Laplace

(pour la pression capillaire Pc correspondant) et ii) il existe un chemin continu de pores déjà envahis par

ce fluide le reliant à la face d'alimentation.

Notre méthode de simulation des états d’équilibre est basée sur l’algorithme de reconstruction du volume

poreux selon les éléments du squelette associé (§2.2.1.6 et §2.2.2.8) avec un contrôle de la conductivité

du milieu (contrôle topologique) à partir du front d’intrusion/extrusion sur la topologie du squelette. La

différence de pression détermine un rayon capillaire Rc de forme sphérique par l’équation de Laplace

(§1.3.2). Pour l’ensemble de boules O dans le squelette connecté LM, on vérifie si la boule candidate

P(Rc) est connectée au front d’intrusion/extrusion FID(O) selon un des ses i-voisins (8-voisins en 2D et

26-voisins en 3D) (équation 4.1).


( ) )O(FIDQ ),R(P de voisinsi Q OFIDP c ∈−∃⇒∈ (4.1)

Ainsi, le squelette LM, pour une différence de pression capillaire quelconque, est la représentation de

deux sous ensembles complémentaires : le sous ensemble FID(O) (front d'intrusion) et son

complémentaire NFID(O) (les objets restants sur le squelette pour l'état d'équilibre imposé) ce qui se

traduit par l’équation 4.2.

( ) ( ) ( )ONFIDOFIDOLM ∪= (4.2)

Pour l’intrusion/extrusion d’un fluide non-mouillant, le volume pour chaque différence de pression

capillaire imposée au système est déterminé par la reconstitution à partir du squelette FID(O) (section

§2.2.1.6 et §2.2.2.8).

Le fluide va pénétrer par les pores qui touchent la face d'entrée ou sortir par ceux connectés à la face de

sortie. Les diamètres correspondants définissent donc la condition initiale du processus considéré et,

localement, les points d'entrée et de sortie qui touchent la frontière sur la LM sont donc les points de la

LMn (squelette normal aux frontières) tels que nous les avons définis au §2.3.2.3.

Rappelons que la LMn est obtenue en déplaçant la frontière à l’infini. Le squelette LMn ainsi obtenu,

détermine donc l’information nécessaire pour générer l'image initiale du fluide (le volume du fluide en 3D)

ainsi que la pression capillaire initiale du système. Un exemple d'un squelette LMn normal à l'entrée et à

la sortie de fluide pour une structure 2D modèle (100x60 pixel) est présenté dans la Figure 4.1 ci-

dessous obtenue avec le masque de chanfrein d34.

(a) (b) (c)

Fig. 4.1 - Un modèle de système poreux (a) et son squelette LM, le déplacement de la frontière (b) et le squelette normal à la frontière LMn (b)

Ainsi, l'équation 4.2 peut donc être ré-écrite sous la forme :

( ) ( ) ( )ONFIDOFIDOLMn ∪= (4.3)

La Figure 4.2 présente un exemple d’intrusion d’un fluide non-mouillant à partir de la frontière gauche


selon 4 états d’équilibre différents jusqu’à la saturation pour le modèle de structure 2D présenté dans la

Figure 4.1. La différence de pression initiale imposée correspond par la loi de Laplace au plus grand

rayon sur l'intersection de la LMn avec la frontière gauche de l’image : dans ce cas 17 pixel avec le

masque de chanfrein d34. La pression1 d'intrusion est successivement augmentée (inverse du rayon qui

décroît) jusqu'à la pression de percolation observée sur la LMn (valeur 15 unités avec le masque de

chanfrein d34 - 5 pixel) qui correspond à la plus petite région de connexion observée dans la section. On

observe la formation d’un "ménisque" qui représente l’image de l’union des sphères reconstruites à partir

du sous-ensemble FID(O).

Fig. 4.2 - Intrusion d’un fluide non-mouillant (couleur blache) pour le modèle

de système poreux de la Figure 4.1 à partir de la frontière gauche uniquement.

La Figure 4.3 présente l'extrusion d’un fluide non-mouillant (imbibition du fluide mouillant - diminution de

la pression capillaire sur les valeurs de la métrique adoptée) selon 5 états d’équilibre intermédiaires

effectuée à partir de la frontière droite du modèle poreux de la Figure 4.1, à partir de la saturation

jusqu’au plus grand rayon sur l’intersection de la LMn avec la frontière. On observe bien l’apparition de

l’effet bien connu de "bouteille d’encre" (rétention capillaire) dans le système en fonction de la rupture de

la continuité de la connexion entre le front d’extrusion et les rayons capillaires pour la différence de

pression imposée.

Fig. 4.3 – Extrusion d’un fluide non-mouillant (couleur blache) pour le modèle de système poreux de la Figure. 4.1 à partir de la frontière droite uniquement.

1 La variation de la pression correspond à la variation d'une unité discrète à partir de la carte de distance générée selon la métrique adoptée (Chapitre §2 - métrique d34 en 2D et d345 en 3D).


4.2.2 Limitations

Le modèle géométrique proposé est limité par la représentation de l'angle de contact qui reste constant

en fonction du caractère tangentiel des cercles (sphères en 3D) par rapport aux parois des pores ce qui

correspond au cas idéal d'un fluide parfaitement mouillant ou parfaitement non-mouillant.

Le pas de pression imposé au système n'est pas constant puisque la simulation est faite à partir de la

variation constante d'une valeur du rayon sur le squelette discret. Cela représente une surestimation des

résultats pour les pressions capillaires élevées (les plus petits rayons proches de la résolution de

l'image/volume). Le plus petit pas de pression que l'on peut appliquer correspond à une variation d'une

unité selon la métrique discrète. On ne peut donc obtenir qu'une représentation discrète de la relation

pression/taux de saturation dans la simulation qui dépendra de la résolution de l'image.

Les effets d'instabilité de l'interface lorsqu’il y a rupture de la phase non-mouillante lors de l'extrusion ne

pouvent être représentés. On pourrait étudier une correction sur la fonction d'extrusion ainsi déterminée

mais cela n'a pas été abordé dans le cadre de ce travail.

4.2.3 L’intrusion et l'extrusion d'un fluide non-mouillant dans les sections 2D La méthode géométrique pour la simulation de l'intrusion et de l'extrusion de fluides non-mouillants que

nous venons de décrire à été appliquée sur les sections des volumes Gaussien et Gaussien Fissuré déjà

introduits au chapitre §3. On a comparé les résultats de ces simulations sur trois sections représentatives

de chaque échantillon et, ensuite, on a analysé la contribution du sous-réseau de "fissures" (sur les trois

sections représentatives). Dans la Figure 4.4 sont présentés les squelettes normaux aux frontières LMn

de trois sections du volume Gaussien prises, respectivement, dans les plans XY, XZ et YZ.

(a) (b) (c)

Fig. 4.4 - Images des sections XY (a), XZ (b) et YZ (c) avec le squelette LMn pour la phase poreuse du milieu Gaussien.

L'intrusion et l'extrusion du fluide non-mouillant en 2D sont réalisées à partir de toutes les frontières pour

la section XY (porosité ε2DXY=0,37) du milieu Gaussien et les images résultant de l'intrusion (saturation) et


de l'extrusion sont présentées dans les Figures 4.5.a & b. La surface occupée par le fluide non-mouillant

pour l'intrusion/extrusion est représentée en gris, la phase solide en noir ainsi que les squelettes

normaux aux frontières (à l'extérieur de la section), la porosité non accessible en blanc.

(a)

(b)

Fig. 4.5 - Image de la section XY du milieu Gaussien (phase solide en couleur noire, le

squelette LMn à l'extérieur en couleur noire) après l'intrusion (a) et après l'extrusion (b) pour un fluide non-mouillant (couleur grise) à partir de toutes les frontières (simulation en 2D).

La Figure 4.6 présente : le résultat numérique d'une simulation d'intrusion avec la métrique discrète d34

sur le squelette LMn, la conversion du résultat en pixel (4.6.b) et la pression capillaire équivalente

proportionnelle à l'inverse du rayon (4.6.c). On observe un taux de saturation final du milieu inférieur à 1

due à l'existence d'une fraction de la porosité inaccessible au fluide.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333

Métrique discrète (d34 - intiers)

Taux

de

Satu

ratio

n

Extrusion Section XYIntrusion Section XY

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (pixel)

Taux

de

Satu

ratio

n


(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Pression Capillaire 1/r (r pixel)

Taux

de

Satu

ratio

n


(c)

Fig. 4.6 - Courbes d’intrusion et d’extrusion en 2D d'un fluide non-mouillant

pour la section 2D XY - l'échantillon Gaussien, le résultat numérique (métrique discrète - a), le résultat en pixel (b) et la pression capillaire (l'inverse du rayon) (c).

L'intrusion et l'extrusion d'un fluide non-mouillant équivalent en 2D sont réalisées à partir de toutes les

frontières pour la section XZ (porosité ε2DXY=0,36 - Figures 4.7.a-b) et pour la section YZ (porosité

ε2DXY=0,36 - Figures 4.9.a-b) du milieu Gaussien. Les mêmes conventions de couleurs que

précédemment sont utilisées pour représenter les différentes phases.

Les résultats de la simulation pour les sections XZ et YZ, respectivement les Figures 4.8 et 4.10, sont

présentés selon la métrique discrète (a) avec d34 (sur le squelette LMn), la conversion du résultat en

pixel (b) et la pression capillaire équivalente proportionnelle à l'inverse du rayon (c),


(a) (b)

Fig. 4.7 - Image de la section XZ du milieu Gaussien (phase solide en couleur noire, le squelette LMn à l'extérieur en couleur noire)

après l'intrusion (a) et après l'extrusion (b) pour un fluide non-mouillant (couleur grise) à partir de toutes les frontières (simulation en 2D).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333


Taux

de

Satu

ratio

nExtrusion Section XZIntrusion Section XZ

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (pixel)Ta

ux d

e Sa

tura

tionExtrusion Section XZ

Intrusion Section XZ

(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


Taux

de

Satu

ratio

n Extrusion Section XZIntrusion Section XZ

(c)

Fig. 4.8 - Courbes d’intrusion et d'extrusion en 2D d'un fluide non-mouillant

pour la section 2D XZ - l'échantillon Gaussien, le résultat numérique (métrique discrète - a), résultat en pixel (b) et la pression capillaire (l'inverse du rayon) (c).


(a) (b)

Fig. 4.9 - Image de la section YZ du milieu Gaussien (phase solide en couleur noire, le


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333


Taux

de

Satu

ratio

nExtrusion Section YZIntrusion Section YZ

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (pixel)

Taux

de

Satu

ratio


(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


Taux

de

Satu

ratio

n

Extrusion Section YZIntrusion Section YZ

(c)

Fig. 4.10 -Courbes d’intrusion et d’extrusion en 2D d'un fluide non-mouillant pour la section 2D YZ - l'échantillon Gaussien, le résultat numérique (métrique discrète - a),

résultat en pixel (b) et la pression capillaire (l'inverse du rayon) (c).


On observe sur ces résultats des différences de teneurs à saturation et de volume résiduel de fluide

après l'extrusion. Ces résultats démontrent l'influence de la topologie de la phase poreuse alors que les

sections considérées conservent la même morphologie (distributions morphologiques et topologiques

observées dans les résultats présentés au chapitre §3).

L'intrusion et l'extrusion en 2D d'un fluide non-mouillant à partir des squelettes normaux au frontières

LMn ont également été simulées sur le milieu Gaussien fissuré du § 3.4.2.2. Les squelettes

correspondants pour les sections XY, XZ et YZ sont présentés sur la Figure 4.11.

(a) (b) (c)

Fig. 4.11 - Image des sections XY (a), XZ (b) et YZ (c) avec le

squelette LMn pour la phase poreuse du milieu Gaussien fissuré.

La simulation de l'intrusion et de l'extrusion d'un fluide non-mouillant équivalent en 2D a été réalisée à

partir de toutes les frontières pour la section XY (porosité ε2DXY=0,41 - Figures 4.12.a-b), pour la section

XZ (porosité ε2DXY=0,38 - Figures 4.14.a-b) et pour la section YZ (porosité ε2DXY=0,38 - Figures 4.16.a-b)

du milieu Gaussien Fissuré. La surface du fluide non-mouillant pour l'intrusion/extrusion est représentée

par la couleur grise, la phase solide par le noir, les squelettes normaux aux frontières étant en noir (à

l'extérieur de la section) et la porosité non-accessible en blanc.

Les courbes caractéristiques correspondantes sont présentées sur les Figures 4.13, 4.15 et 4.17

(respectivement pour les sections XY, XZ et YZ). Sont tracés sur ces figures :i) le résultat numérique (a)

de la simulation de l'intrusion avec la métrique discrète d34 (sur le squelette LMn), ii) le résultat en pixel

(b) et iii) la pression capillaire équivalente proportionnelle à l'inverse du rayon (c).


(a) (b)

Fig. 4.12 - Image de la section XY du milieu Gaussien Fissuré (phase solide en couleur noire, le


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333


Taux

de

Satu

ratio

n


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (pixel)

Taux

de

Satu

ratio

n


(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


Taux

de

Satu

ratio

n


(c)


pour la section 2D XY - l'échantillon Gaussien Fissuré, le résultat numérique (métrique discrète - a), résultat en pixel (b) et la pression capillaire (l'inverse du rayon) (c).


(a) (b)

Fig. 4.14 - Image de la section XZ du milieu Gaussien Fissuré (phase solide en couleur noire, le


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333


Taux

de

Satu

ratio

nExtrusion Section XZIntrusion Section XZ

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (pixel)Ta

ux d

e Sa

tura

tionExtrusion Section XZ

Intrusion Section XZ

(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


Taux

de

Satu

ratio

n

Extrusion Section XZIntrusion Section XZ

(c)


pour la section 2D XZ - l'échantillon Gaussien Fissuré, le résultat numérique (métrique discrète - a), résultat en pixel (b) et la pression capillaire (l'inverse du rayon) (c).


(a) (b)

Fig. 4.16 - Image de la section YZ du milieu Gaussien Fissuré (phase solide en couleur noire, le


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333


Taux

de

Satu

ratio


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (pixel)

Taux

de

Satu

ratio


(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


Taux

de

Satu

ratio

n

Extrusion Section YZIntrusion Section YZ

(c)


équivalent pour la section 2D YZ - l'échantillon Gaussien Fissuré, le résultat numérique (métrique discrète - a), résultat en pixel (b) et la pression capillaire (l'inverse du rayon) (c).


Les résultats observés pour la simulation 2D de l'intrusion et de l'extrusion des sections du milieu

perturbé par des "fissures" confirment les différences topologiques entre des sections qui ont la même

morphologie caractéristique (chapitre §3).

La comparaison des courbes d'intrusion et d'extrusion des sections des milieux Gaussien et Gaussien

fissuré permet l'observation des conséquences du changement de topologie entraîné par l'introduction de

perturbations dans la structure poreuse (les fissures). Ces perturbations dans les sections n'agissent pas

comme un sous-réseau complètement connecté mais le transfert au niveau macroscopique est modifié

par l'addition d'objets géométriques dans la phase poreuse (changement de forme et de structure). Les

paramètres principalement affectés par ces modifications sont les taux de saturation et de fluide résiduel.

Ainsi, on vérifie que notre méthode de simulation est capable de rendre compte de la complexité du

réseau poreux dans une section et de fournir des indicateurs de l'influence de modifications de la

structure poreuse.

Dans l'annexe C, des résultats comparatifs du même type que ceux que nous venons de commenter sont

présentés pour le cas d'une image 2D réelle de béton cellulaire (AAC : Autoclaved Aerated Concrete).

Une simulation comparative a été réalisée sur l'image initiale de la macroporosité d'une section

(microscopie optique en lumière réfléchie) puis, de nouveau, après introduction d'un réseau de fissures

secondaires (perturbations par des lignes droites aléatoires). Les réseaux de fissures sont complètement

connectés dans l'image de la section, avec un rayon caractéristique de 2 pixel.

4.2.4 Intrusion et extrusion d'un fluide non-mouillant en 3D

Pour simuler un processus d'intrusion, ou d'extrusion, à partir d'un opérateur squelette discret en 3D, il

suffit d'appliquer l'équation 4.3 sur un squelette LMVn, cette fois, volumique comme celui de l'exemple

de la Figure §2.37.a.

Les pressions finale et initiale sont déterminées par l'identification du plus grand rayon sur l'intersection

de la LMVn avec la surface supérieure. Les valeurs de pression capillaire sont exprimées en rayon, avec

une variation dans les pas de pression égale à l'unité discrète (carte de distance dans le volume - 1

voxel).

Dans la Figure 4.18, l'intrusion du volume (Figure 4.18.a - couleur grise) par un fluide non-mouillant est

effectuée à partir de la surface supérieure uniquement, avec 4 différents états d’équilibre intermédiaires

(Figure 4.18.b - 4.18.e - couleur grise) jusqu’à la saturation (Figure 4.18.f - rayon 1 voxel).


(a)

(b) (c) (d)

(e) (f)

Fig. 4.18 - Intrusion 3D d’un fluide non-mouillant dans le volume à partir de la surface supérieure de la Figure 2.37.a (a :le volume poreux ; b :le volume de fluide pour la pression Pc = rayon 10 voxel ; c :le volume de fluide pour la pression Pc = rayon

8 voxel ; d : le volume de fluide pour la pression Pc = rayon 4 voxel ; e : pour Pc = rayon 2 voxel ; f :pour Pc = rayon 1 voxel - saturation)

L'extrusion 3D d'un fluide non-mouillant à partir de la saturation (rayon d'intrusion 1 voxel) est présentée

dans la Figure 4.19 pour le volume exemple de la Figure 2.37.a où le seul chemin de sortie du fluide

(l'extrusion) est la surface supérieure. Trois états d'équilibre intermédiaires sont présentés (Figure 4.19.c

- 4.19.e - couleur grise) à partir de la saturation (Figure 4.19.b) jusqu'à la rétention résiduelle du fluide

dans la structure (Figure 4.19.f).


(a)

(b) (c) (d)

(e) (f)

Fig. 4.19 - Extrusion 3D d’un fluide non-mouillant à partir de la surface supérieure dans le volume de la Figure 2.37.a (a :le volume poreux ; b : le volume de fluide non-mouillant pour la pression Pc = rayon 1 voxel - saturation; c : le volume de fluide

pour la pression Pc = rayon 22 voxel ; d :le volume de fluide pour Pc = rayon 28 voxel ; e : le volume de fluide pour Pc = rayon 36 voxel ; f : le volume de fluide pour Pc = rayon 40 voxel)

Les profils de saturation partielle pour les états intermédiaires des processus d'intrusion/extrusion

(Figures 4.18 et 4.19) sont présentés graphiquement dans la Figure 4.20 et représentés par la couleur

grise. Les profils représentent le taux de saturation partielle dans chaque section XY du volume comparé

à la porosité des sections.

On observe dans le profil de saturation à la pression maximale (qui correspond à un rayon de 1 voxel


dans la simulation) le volume correspondant à la macroporosité complètement déconnectée du réseau

selon le front d'intrusion/extrusion à partir de la surface supérieure.

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

Fig. 4.20 - Profils pour 3 états (a-c) intermédiaires d'équilibre pour l’intrusion d' un fluide non-mouillant en 3D (pour les volumes

présentés dans la fig. 4.18.a) jusqu'à saturation (d) et 3 états (e-g) intermédiaires pour l'extrusion d'un fluide non-mouillant en 3D jusqu'au fluide résiduel (h) (intrusion et extrusion à travers la surface supérieure uniquement).

4.2.4.1 Le milieu Gaussien 3D

La simulation d'un processus d'intrusion et d'extrusion d'un fluide non-mouillant a été réalisée sur la

structure Gaussienne 3D (192x192x192 voxel - porosité ε3D=0,37) introduite dans le chapitre §3. Les

sections centrales de la LMVn correspondantes sont présentées sur la Figure 4.21.


Fig. 4.21 - Deux sections centrales du squelette normal aux frontières en 3D (LMVn – gris clair) de

la phase poreuse du milieu Gaussien présenté dans le chapitre §3.

Le processus de simulation a été réalisé à partir de l'identification du plus grand rayon de pore sur les

frontières du volume dans la LMVn, pour l'intrusion et l'extrusion du fluide à partir de toutes les frontières

(surfaces) du volume. Les profils successifs de saturation partielle à partir de la pression initiale jusqu'à la

pression capillaire de saturation (1 voxel), sont présentés Figure 4.22.a. Cinq états intermédiaires de

saturation partielle du milieu sont présentés sur la Figure 4.22.b-f jusqu'à la saturation du milieu (rayon

d'intrusion 1 voxel - 3 unités discrètes - Figure 2.22.g).

Dans la figure 4.23.a sont présentés les profils successifs pour l'extrusion du fluide non-mouillant dans la

structure du milieu gaussien 3D à partir de la saturation (figure 4.23.b). Trois états intermédiaires pour

l'extrusion du fluide sont présentés dans la Figure 4.23.c-e, jusqu'à l'observation d'un fluide résiduel à la

fin du processus de simulation (pression 10 voxel - 30 unités discrètes - Figure 2.23.f).


(a)

(b) (c) (d)

(e) (f) (g)

Fig. 4.22 - Profils successifs (a) pour l'intrusion d'un fluide non-mouillant pour le milieu Gaussien 3D, avec l'illustration de 5 états intermédiaires d'équilibre (b, c, d, e, f) jusqu'à saturation (g)

(intrusion à partir de toutes les surfaces du volume).


(a)

(b) (c) (d)

(e) (f)

Fig. 4.23 - Profils successifs (a) pour l'extrusion d'un fluide non-mouillant pour le milieu Gaussien 3D (a) à partir de la saturation (b),

avec l'illustration de 3 états intermédiaires d'équilibre (c, d, e) jusqu'à l'observation d'un fluide résiduel (f) (extrusion à partir de toutes les surfaces du volume).


La Figure 4.24 présente le résultat numérique de l'intrusion et de l'extrusion du fluide non-mouillant dans

le volume Gaussien avec la métrique d'entiers (a) (d345 - pas de pression égale à 1 unité), la conversion

du résultat en voxel (b) et la pression capillaire équivalente proportionnelle à l'inverse du rayon (c).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (voxel)

Taux

de

Sat

urat

ioExtrusion VolumeIntrusion Volume

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333


Taux

de

Sat

urat


(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Pression Capillaire 1/r (r voxel)

Taux

de

Sat

urat

io

Extrusion VolumeIntrusion Volume

(c)

Fig. 4.24 - Courbes d’intrusion et d'extrusion (fluide non-mouillant) en 3D pour le milieu Gaussien à partir

de toutes les surfaces, pour la métrique discrète (a), pour le voxel (b) et pour la pression capillaire équivalente (l'inverse du rayon) (c).

Les taux de saturation finaux observés sur les résultats de la figure 4.24 correspondent bien à la porosité

totale ce qui indique que le réseau poreux est réellement complètement connecté en 3D à toutes ses

frontières. La comparaison entre ces résultats et la simulation géométrique dans les sections 2D

correspondantes (§ 4.2.2) confirme la différence topologique entre un volume et ses sections. Ceci

implique que les phénomènes d'intrusion et d'extrusion de fluides ne peuvent effectivement être étudiés

qu'en 3D


4.2.4.2 Le milieu fissuré 3D

Le processus de simulation d'intrusion et d'extrusion d'un fluide non-mouillant a été réalisé en 3D sur la

structure du milieu Gaussien Fissuré (192x192x192 voxel - porosité ε3D=0,40) introduit dans le chapitre

§3. Les fissures ont une contribution dans la porosité totale de ε3D=0,0288. Dans la Figure 4.25 sont

présentées en couleur grise claire les sections centrales du squelette LMVn pour le milieu. On observe

visuellement dans la section les projections ponctuelles du squelette du sous-réseau de fissures, en

fonction de leur orientation préférentielle dans la diagonale principale du volume.

Fig. 4.25 - Sections du squelette normal aux frontières (LMVn - gris clair)

pour la phase poreuse du milieu Gaussien fissuré

Le processus de simulation est réalisé à partir de l'identification du plus grand rayon de pore sur les

frontières du volume dans la LMVn pour l'intrusion et l'extrusion du fluide à partir de toutes les frontières

(surfaces) du volume. Les profils successifs de saturation partielle de la pression initiale jusqu'à la

pression capillaire de saturation (1 voxel) sont présentés Figure 4.26.a. Un état intermédiaire de

saturation partielle du milieu est présenté Figure 4.26.b et la saturation finale du milieu Figure 2.26.c

(rayon d'intrusion 1 voxel - 3 unités discrètes).


(a)

(b) (c)

Fig. 4.26 - Profils successifs (a) pour l'intrusion du fluide non-mouillant pour le milieu Gaussien Fissuré en 3D (section §3.4.3.2),

avec l'illustration d’un état intermédiaire d'équilibre (b) et de la saturation (rayon 1 voxel) (c) (intrusion à partir de toutes les surfaces du volume).

Sur la figure 4.27.a sont présentés les profils successifs pour l'extrusion du fluide non-mouillant dans la

structure du milieu Gaussien Fissuré à partir de la saturation. Un état intermédiaire pour l'extrusion du

fluide est présenté Figure 4.27.b et la répartition du fluide résiduel à la fin du processus de simulation

(pression 10 voxel - 30 unités discrètes) peut être observée sur la Figure 4.27c.


(a)

(b) (c)

Fig. 4.27 - Profils successifs (a) pour l'extrusion du fluide non-mouillant pour le milieu Gaussien Fissuré en 3D

(section §3.4.3.2), avec l'illustration d’un état intermédiaire d'équilibre (b) à partir de la saturation jusqu'au fluide résiduel (c) - la fin de la simulation (intrusion à partir de toutes les surfaces du volume).

La Figure 4.28 présente le résultat numérique de l'intrusion et de l'extrusion du fluide non-mouillant dans

le volume Gaussien Fissuré avec la métrique d345 (a), la conversion du résultat en voxel (b) et la pression

capillaire équivalente (c).


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3132333


Taux

de

Sat

urat


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1234567891011

Rayon (voxel)

Taux

de

Sat

urat


(a) (b)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Pression Capillaire 1/r (r voxel)

Taux

de

Sat

urat

io

Extrusion VolumeIntrusion Volume

(c)

Fig. 4.28 - Courbes d’intrusion et d'extrusion en 3D pour le milieu Gaussien Fissuré à partir de toutes les surfaces (fluide non-mouillant), pour la métrique discrète (a), pour le voxel (b)

et pour la pression capillaire équivalente (c).

Comme déjà observé pour le milieu Gaussien, les résultats dans la Figure 4.28 indiquent que la topologie

du volume est différente de la topologie des sections 2D correspondantes (§ 4.2.2).

La comparaison entre les résultats de la Figure 4.28 (milieu fissuré) et ceux de la Figure 4.24 (milieu non-

fissuré) indique une faible contribution de la conductivité dûe aux fissures. La méthode de génération de

fissures impose une connexité préférentielle dans l'orientation de la diagonale principale du volume

(Chapitre §3). Cela se traduit par un rapprochement entre les courbes d'intrusion et d'extrusion (Figure

4.28.c) à partir de la pression capillaire équivalente de 0,4 (petits rayons).

4.2.5 Distribution de la taille de pores en 3D

La détermination des courbes de pression capillaire obtenues par intrusion de mercure (porosimétrie au

mercure) est devenue un moyen d’étude classique de la distribution de la taille de pores, [Metz, 1992]. La

procédure consiste à sécher le matériau pour éliminer toute l’eau, à faire le vide puis à I’immerger dans

un bain de mercure à pression atmosphérique. Le mercure n’imbibe pas spontanément le milieu car il est


non-mouillant. Le volume de mercure déplacé correspond donc au volume apparent de l'échantillon. On

fait croître ensuite par paliers successifs la pression du mercure qui pénètre ainsi graduellement dans le

réseau poreux. La pression P est reliée au rayon R des pores envahis, par la relation de Laplace (section

§1.3.2 équation 1.15). Classiquement, on reporte le volume occupé par le mercure en fonction de R.

Cette courbe indique la fraction du volume poreux accessible via des rayons supérieurs à R.

On peut utiliser les courbes de porosimétrie au mercure pour quantifier de façon simple les paramètres

structuraux du milieu poreux, [Daian, 1992]. On définit, à partir des courbes de porosimétrie mercure, la

fonction de distribution du volume poreux. Plus précisément la fraction de volume poreux dVp/Vp pour

laquelle les rayons d’entrée du fluide non-mouillant sont compris entre R et R+dR est

( )dRRFVdV

dSp

p −== (4.4)

dS étant la variation de saturation en fluide non-mouillant (mercure). Puisque la pression capillaire est

inversement proportionnelle au rayon capillaire, dR/R = - dP/P, d’où :

( ) ( ) dPRRFP

dPRRFdSασ cos2

2

== (4.5)

La fonction de distribution F(R) est obtenue à partir des courbes S(R)ou S(Pc) :

( ) 2

cos2RdP

dSdRdSRF ασ

=−= (4.6)

F(R)dR représente l’accroissement de la fraction de volume poreux accessible au fluide non-mouillant

pour des rayons d’entrée compris entre R et R+dR. Les résultats ci-dessus ne présupposent aucun

modèle particulier de réseau poreux.

On peut obtenir la fonction de distribution "discrète" de taille de pores, notée ici Fd(Rd), directement à

partir des courbes d'intrusion discrète obtenues par la méthode de simulation géométrique (§4.2). Pour la

variation discrète de saturation en fluide non-mouillant dSd fonction de la variation du rayon discret Rd (1

unité d'entiers par la métrique utilisée - d345), l’équation 4.6 devient

( )d

ddd dR

dSRF −= (4.7)


Dans la Figure 4.29 est présentée, pour le milieu Gaussien en 3D, la comparaison entre la porosimétrie

obtenue par la méthode de simulation géométrique calculée par l'équation 4.7 et la distribution

morphologique obtenue par ouvertures successives du volume poreux : Chapitre §3. On observe pour la

méthode de simulation géométrique une surestimation de la distribution de la taille de pores pour les

rayons compris entre 2 et 6 voxel. Ce résultat est dû à la représentation topologique de l'arrangement

structurel du réseau de pores traduit par le squelette LMVn, information qui n'existe évidemment pas en

morphologie mathématique classique (Annexe A).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 2 4 6 8 10

Rayon (Voxel)

His

togr

amm

e

Simulation d'Intrusion

Morphologie Math.

Fig. 4.29 - Comparaison entre les distributions de taille de pores déterminées par

la morphologie mathématique et par la simulation de l’intrusion pour le milieu Gaussien 3D.

Sur a Figure 4.30 est présentée pour le milieu Gaussien Fissuré en 3D la comparaison entre la

porosimétrie obtenue par la méthode de simulation géométrique et la distribution morphologique par

ouverture. Comme pour le milieu Gaussien simple, la méthode de simulation géométrique surestime la

contribution de la taille de pores pour les rayons compris entre 2 et 6 voxel, mais on observe un meilleur

accord entre les rayons inférieurs à 2 voxel. Ce meilleur accord résulte de l’existence d’un sous-réseau

de fissures complètement connecté, avec un rayon caractéristique de 1 voxel (section §3.4.2.2).


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 2 4 6 8 10

Rayon (Voxel)

Hist

ogra

mm

e

Simulation d'Intrusion

Morphologie Math.

Fig. 4.30 - Comparaison entre les distributions de taille de pores discrètes obtenues par

la morphologie mathématique et par la simulation de l’intrusion pour le milieu Gaussien Fissuré 3D.

4.3 Méthode matricielle : estimation de la perméabilité sur le GLMG

En 1856, G. H. Ph. Darcy observa expérimentalement la relation entre le débit Q d’écoulement à travers

un matériau poreux et la différence de pression appliquée ∆P. De cette expérience, Darcy a déduit une

relation expérimentale de proportionnalité entre ces deux paramètres et il formula la loi qui porte

maintenant son nom :

[ ]1312 −−= sm

L)PP(kSQ

η (4.8)

où S est la surface de la section d'entré du fluide [m2];

η est la viscosité dynamique du fluide [kg.m-1.s--1] ;

P est la pression [kg.m-1.s-2];

k est la "perméabilité" du matériau [m2] .

La perméabilité a la dimension d'une surface. Dans ce sens, il s'agit d'une propriété intrinsèque du milieu.

Si on prend le modèle très simplifié d'un écoulement laminaire dans un tube cylindrique de rayon R, la loi

de Poiseuille s'écrit:

]s[m )(8

134

−∆−=

LPRQ

ηπ

(4.9)

La combinaison de l'équation 4.8 et 4.9 permet d’établir formellement que la perméabilité k d'un tel tube


est donnée par :

][m 8

22Rk = (4.10)

et, si on raisonne en terme de conductivité hydraulique K, on obtient:

][m.s 1-

ηρ kgK = (4.11)

où ρ est la masse volumique du fluide [kg.m-3] et g l'accélération de la pesanteur [m.s-2] Pour un modèle

du type "électrique" (Chen (1997)) le débit Q qui traverse un tube cylindrique sera fonction de la

conductance hydraulique G du milieu et de la différence de pression ∆P, donnée par

].s[m -13P GQUGI élec ∆=⇒∆= (4.12)

où ∆U est la différence de potentiel entre deux points [Volts];

Gélec la conductance électrique [Ohms-1];

I le courant électrique [Ampère];

Ainsi, en combinant les équations 4.8 et 4.12, on obtient une expression de la conductance hydraulique

G du milieu, donnée par

]s.m[ L

R g LS kgG

412

8−==

ηπρ

ηρ (4.13)

et de la conductivité hydraulique K :

][m.s SL GK 1-= (4.14)

Donc, si la conductance hydraulique Géq d'un réseau poreux de cylindres est connue, on pourra en

déduire la conductivité Ks du milieu.

Sur cette base, nous proposons une méthode simplifiée de calcul de la conductivité hydraulique à

saturation Ks d'un milieu à partir d'un modèle de réseau de pores cylindriques. Le réseau de pores est

obtenu à partir de la représentation géométrique par le squelette LM introduit au chapitre 2 réduit à sa

représentation graphique GLMG : rayons des nœuds et distance entre nœuds.


La méthode que nous proposons est basée sur l'estimation de la conductance équivalente Géq du

réseau. Pour cela, nous utilisons une analogie électrique : le réseau est vu comme un ensemble

complexe de résistances interconnectées en série et en parallèle [Chen, 1997 ; Gondran, 1995 ; Laurent

1992 ; Frendo-Rosso, 1991]. Le problème est de réduire cette complexité en trouvant la résistance

équivalente Re entre les bornes extrêmes du réseau : Figure 4.31,.

Fig. 4.31 – Principe de l'analogie électrique utilisée.

Pour rechercher la conductivité hydraulique à saturation, on considère que la conductance Gij

élémentaire entre deux nœuds i et j du GLMG (respectivement rayon Ri et Rj ) séparés par une la

longueur Lij, est donnée par

28ji

ijij

4ij

ij

RRR avec

LR

g G +

==ηπρ

(4.15)

Avec cette formulation, le rayon effectif de passage du fluide sera donc la moyenne arithmétique des

rayons des deux nœuds connectés pour représenter un cylindre élémentaire.

A partir de la conductance Géq calculée par analogie électrique (section §4.3.2) on pourra calculer une

conductivité équivalente Kéq du milieu (pour une longueur Lv du volume et une section Sv ) par :


][m.s SL

GK 1-

v

véqéq = (4.16)

L'estimation du Kéq du réseau dépend de la distribution de taille de pores et des propriétés physiques du

fluide. Pour les calculs, la taille caractéristique de pores est imposée par une échelle arbitraire du voxel

(en mètres) et les propriétés physiques du fluide sont celles de l'eau à 20°C (η = 0,00101 kg.m-1.s-1,

ρ =1000 kg.m-3).

La méthodologie proposée a été appliquée sur les échantillons numériques présentés au chapitre 3. Ces

échantillons ont un nombre réduit d'échelles de taille de pores et ne pourront pas représenter fidèlement

une structure réelle. On utilisera donc cette méthode matricielle uniquement pour estimer l'influence de la

complexité de la géométrie sur la conductivité hydraulique du milieu à saturation. Les résultats seront

seulement un indicateur des changements structuraux observés sur la représentation du GLMG et ne

pourront pas constituer un résultat proche d'une véritable mesure.

4.3.1 La matrice de représentation du graphe - MR

Les graphes peuvent être orientés ou non. Leur représentation géométrique est naturelle et ne pose pas

de problèmes particuliers : voir exemple de la Figure 4.33.

(a) (b)

Fig. 4.33 - Graphes non-orienté (a) et orienté (b);

La représentation des graphes peut également être matricielle. A chaque nœud i du graphe sont

associées la colonne j et la ligne i d'une matrice. La diagonale de cette matrice représente la relation

entre le nœud et lui-même, et ses éléments (ij) sont la relation entre les nœuds i et j du graphe. On

choisit de voir les indices de ligne comme ceux des points de départ, et ceux de colonnes comme ceux

des points d'arrivée.

Si le graphe n'est pas orienté, la matrice est symétrique, sinon elle est antisymétrique : Figure 4.34. Ce

problème d'orientation est particulier à chaque cas. Pour nous, les relations entre les nœuds se font au

travers de résistances électriques. Ces éléments étant réels et non orientés, la matrice de représentation

4 2

1 3

5

42

1 3

5


du graphe (MR) est donc symétrique réelle.

xaaaxaaxaa

aaxaaax

4535

4524

352313

242312

1312

0000

0000

−−−

−−−

xaaaxaaxaa

aaxaaax

4535

4524

352313

242312

1312

0000

0000

(a) (b) Fig. 4.34 - Représentation matricielle d'un graphe non-orienté (a) et orienté (b)

Les seuls éléments non nuls d'une MR sont ceux situés à l'intersection des indices de nœuds liés entre

eux. Comme la coordination des points d'un graphe est toujours très inférieure au nombre total de points,

une MR est toujours très creuse. En résumé, les MR sont:

-carrées;

-de dimensions égales au nombre de points du graphe qu'elles décrivent;

-symétriques, comme dans notre cas, ou antisymétriques;

-creuses.

Ces propriétés permettent de réduire notablement la mémoire nécessaire au stockage des MR (Press

(1988)). Dans notre cas, la Matrice de Représentation MR du graphe GLMG des liens hydrauliques sera

carrée, symétrique, réelle et très creuse.

4.3.2 Analogie électrique : les Matrices YBus

Le graphe GLMG obtenu à partir du squelette de la phase poreuse d'un volume peut être considéré

comme un réseau de conductances hydrauliques semblable à un réseau électrique (équation 4.12). Pour

mesurer la conductance hydraulique, ou l'admittance électrique, les conditions aux limites équivalentes

sont :

-bords supérieur et inférieur du volume équipotentiels;

-bords latéraux isolants.

La méthode la plus générale de calcul d'impédance d'un réseau électrique est celle de la "Matrice Bus

Admittance" ou "Matrice Bus Impédance", nommée simplement Ybus ou Zbus [Austen, 1964]. Cette

technique matricielle permet le calcul de la tension et du courant entrant dans le réseau en chaque

nœud, le nœud 0 étant supposé être la référence de potentiel nul. Le réseau est décrit par son graphe

(Figure 4.35), chaque nœud est numéroté, le numéro 0 étant "la Terre".


Fig. 4.35 - Graphe associé d'un réseau électrique.

A chaque nœud i sont associés une tension Ui, et un courant Ii entrant dans le réseau par ce point. La

matrice Ybus décrit l'admittance présente sur les liens entre les nœuds, tandis que Zbus décrit

l'impédance correspondante. Ces deux matrices sont carrées, et de dimension NxN, si le réseau

comporte n+1 nœuds (nœud 0 implicite). En considérant les nœuds du graphe numérotés de 0 à n, les

matrices Ybus et Zbus apparaissent donc comme suit

[ ] [ ] [ ] [ ]UYbusIIZbusU =⇔= (4.17)

où [Ui]= Tension au nœud i, et [Ii] = Courant entrant dans le réseau par le nœud i

En revenant aux problèmes hydrauliques, et en faisant l'analogie entre impédances et admittances

électriques et hydrauliques, on obtient :

[ ] [ ] [ ] [ ]PYbusQQZbusP =⇔= (4.18)

où [Pi] est la pression au point i, et [Qi] le flux de masse entrant en i. Si l'échantillon ne reçoit le flux que

par le point n, on trouve enfin:

[ ] [ ] nini QZbusPQYbusP =⇒= −1 (4.19)

L'impédance équivalente de l'échantillon est alors : Zeq = Zbusnn Le coefficient qui nous intéresse

principalement est Zbusnn ce qui imposera, soit de calculer directement Zbus, soit de calculer puis

d'inverser Ybus. Les deux méthodes étant strictement équivalentes [Jegatheesan, 1987], on peut choisir

celle qui convient le mieux.

En plus de conduction, ou de l'admittance, équivalente, cette méthode permet donc d'obtenir la pression

en chaque point du réseau et d'imposer une condition de flux en un point quelconque du réseau. Elle est

donc très générale.


Les matrices Ybus et Zbus se construisent itérativement en partant du nœud 0 et en ajoutant de

nouvelles branches ou de nouveaux liens. Une branche est un lien créé entre un nœud du réseau déjà

pris en compte et un nouveau nœud. Un lien est une connexion créée entre deux nœuds du réseau déjà

construits [Jegatheesan, 1987 ; Stagg, 1968 ; Nagappan, 1970].

Construction de Ybus :

- On considère d'abord les nœuds 0 et 1 : Ybus=[y01].

- Lorsqu’un nouveau nœud i est lié au nœud j déjà présent dans la matrice par une admittance y, on

a pour K1=[0,0,…,0,1j,0,…,0] :

TYYyKYyY

YYYbusYYbus 1001110

10

01 et où =−=

=⇒= (4.20)

Soit, 3 affectations pour l'ordinateur où le dernier indice de Ybus est associé au nœud i du graphe.

- Lorsqu'un lien d'admittance y est ajouté entre les nœuds i et j déjà présents, on a pour

K2=[0,0,…,0,1j,0,…,0,-1i,0,…,0] :

22 KyKYYbusYYbus T+=⇒= (4.21)

Fig. 4.36 - Schéma d'ajout de branches et de liens.


Construction de Zbus :

- Comme pour Ybus, on considère d'abord les nœuds 0 et 1 : Zbus = [z01]

- Pour greffer une branche liant le nœud j au nouveau point i via l'impédance z, on calcule pour

K1=[0,0,…,0,1j,0,…,0] :

TT ZKKzZZzKZzZZZ

ZbusZZbus111111001110

1110

01 et et où ==−=

=⇒= (4.22)

Le dernier indice de Zbus est associé au nœud i du réseau.

- Enfin, pour ajouter un lien d'impédance z entre les points i et j du réseau déjà construit, on a pour

K2=[0,0,…,0,1j,0,…,0,-1i,0,…,0] :

zZKKZKZKZZbusZZbus T

T

+−=⇒=

22

22 (4.23)

Parmi ces deux possibilités, Ybus et Zbus, Ybus présente l'avantage d'une formation plus rapide.

L'aspect "symétrique, réel et très creux" de Ybus apparaît lors de sa construction. En effet,

géométriquement elle a exactement la même forme que la matrice descriptive du graphe MR. Si l'un des

éléments de la matrice du graphe est nul, le même élément de Ybus est également nul. De plus, si MR

est symétrique, Ybus l'est aussi.

En plus de l'économie en place mémoire que représente Ybus par rapport à Zbus, on va voir que la

géométrie particulière de cette matrice permet une diminution importante du temps nécessaire à son

inversion, rendant le calcul de Zeq plus rapide par le calcul et l'inversion de Ybus que par le calcul direct

de Zbus.

4.3.3 Résolution numérique optimisée : décomposition LU

Comme la formation de Zbus est incompressible en nombre d'opérations et que celle de Ybus est très

rapide, nous avons choisi de ne plus utiliser que Ybus en se concentrant sur l'accélération de l'inversion

matricielle. L'inversion matricielle utilisée est basée sur la décomposition LU [Press, 1992]. Le principe

de la décomposition LU repose sur la résolution successive de deux systèmes plus simples que le

système initial. Si L est une matrice triangulaire inférieure et U une matrice triangulaire supérieure, on

montre que pour toute matrice inversible M, on peut trouver L et U uniques telles que:


ULM ×= (4.24)

Si L et U sont connues, résoudre :

YXM =× (4.25)

revient à calculer :

XUZYZL ×==× avec (4.26)

On trouve X simplement par :

ZUXYLZ ×=×= −− 11 avec (4.27)

La méthode LU s'effectue en deux étapes: calcul des coefficients de L et U, puis inversion de ces deux

matrices. L'inversion de matrices triangulaires, même de grande taille, ne nécessite que quelques

secondes, si bien que le calcul des coefficients de L et U est le facteur limitant.

On calcule par Ybus l'impédance équivalente du réseau ainsi formé, entre un nœud du bord supérieur du

volume et un nœud du bord inférieur (tous les nœuds de ces bords étant reliés entre eux par une

impédance nulle pour respecter la condition de bords équipotentiels). Le résultat de ces calculs est une

impédance électrique qu'on peut relier à la conductance hydraulique par

éqGYbus 11 =− (4.28)

4.3.4 Sensibilité géométrique

La méthode d'estimation de la conductivité équivalente Keq à partir de l'analogie électrique sur le GLMG a

été appliquée sur trois exemples numériques pour l'évaluation de la sensibilité de la méthode aux

changements de la structure poreuse. Le fluide utilisé est l'eau avec une échelle fictive pour le voxel

de 100 µm (0,0001m). Un milieu exemple (cube 3x3x3 voxel : Figure 4.37) est traversé pour un tube de

diamètre 1 voxel dans l'espace discret avec une porosité ε = 0,11 (1x1x3 voxel). Au travers de la

représentation de la matrice associée du GLMG (Figure 4.37.b, nœuds de diamètre 1 voxel) et de la

construction de Ybus, nous avons obtenu la conductance Géq=7,94x10-8 m2.s. Pour une longueur Lv =


0,0003 m et une surface Sv= 9x10-8 m2, on obtient par l'équation 4.16 une conductivité équivalente

Keq=2,64x10-4 m.s-1.

(a) (b) Fig. 4.37 - Volume 3x3x3 voxel traversé par un tube (a) et

son GLMG associé (b).

Le volume de référence est modifié et traversé par un tube de même géométrie mais avec une

orientation selon la diagonale principale du volume (Figure 4.38). A partir de la représentation de la

matrice associée du GLMG (Figure 4.38.b - nœuds de diamètre 1 voxel) et de la construction de Ybus,

on obtient, cette fois, pour la conductance Géq = 5,70x10-8 m2.s et, pour Lv = 0,0003 m et Sv= 9x10-8 m2,

Keq=1,9x10-4 m.s-1.

(a) (b) Fig. 4.38 - Volume 3x3x3 voxel traversé par un tuyau transversal (a) et

son GLMG associé (b) .

Dans la Figure 4.39, un troisième cas est présenté avec un tube de géométrie plus complexe selon une

orientation présentée dans la Figure 4.39.a . A partir de la représentation de la matrice associée du

GLMG (Figure 4.39.b - nœuds de diamètre 1 voxel) et de la construction de Ybus, on obtient la

conductance Géq=6,98x10-8 m2.s et, par l'équation 4.16, la conductivité équivalente Keq=2,32x10-4 m.s-1.


(a) (b)

Fig. 4.39 - Volume 3x3x3 voxel traversé par un tuyau (a) et son GLMG associé (b) .

Ainsi, on observe que les résultats obtenus par analogie électrique appliquée à la représentation

graphique de la géométrie du milieu sont sensibles aux changements structuraux du milieu.

4.3.5 Estimation de K pour les échantillons numériques

La méthode d’estimation de la conductivité hydraulique K à la saturation par analogie électrique a été

utilisée pour permettre la comparaison entre le volume Gaussien et le Gaussien Fissuré. Le squelette

utilisé pour l'extraction de la représentation GLMG dans les deux analyses est la LMVFn (introduits dans

le chapitre §2). La taille caractéristique du milieu utilisé est réduite (64x64x64 voxel) pour rester

compatible avec la capacité informatique dont nous disposions1. Cette taille de matrice est liée au

processus de décomposition LU en fonction du nombre de nœuds du graphe. Le fluide utilisé est l'eau

avec une échelle fictive pour le voxel de 20 µm.

La Figure 4.40 présente le GLMG pour le milieu Gaussien (porosité ε =0,36) pour une taille

caractéristique du volume de 64x64x64 voxel (Sv =1,63x10-6 m2 et Lv =1,28x10-3 m). Le nombre de

nœuds sur le GLMG est 1429 pour une quantité de liens de 4314. A partir de la représentation de la

matrice associée et de la construction de Ybus, on obtient pour la conductance Géq = 21,9x10-8 m2. et par

l'équation 4.16 la conductivité équivalente Keq = 11,2x10-5 m.s-1.

La Figure 4.41 présente le GLMG pour le milieu Gaussien Fissuré pour une taille caractéristique du

volume de 64x64x64 voxel. La porosité est ε=0,40, où le nombre de nœuds sur le GLMG est 2188 pour

une quantité de liens de 11259. A partir de la représentation de la matrice associée et de la construction

de Ybus, on obtient pour la conductance Géq = 6,19x10-8 m2.s. et Keq = 4,8x10-5 m.s-1.

1 La capacité informatique disponible pour ce travail a été d’approximativement deux matrices de 2500 nœuds, ce qui représente une capacité de mémoire en Point Fluctuante de la station de travail Sun SparkStation 5 (année 1993) sous SUNOS.4.1.3 avec 64MBytes de mémoire.


Fig. 4.40 - Le GLMG obtenu à partir de la LMVFn pour le milieu

Gaussien (taille caractéristique du volume 64x64x64 voxel)

Fig. 4.41 - Le GLMG obtenu à partir de la LMVFn pour le milieu

Gaussien Fissuré (taille caractéristique de 64x64x64 voxel).

On observe, au travers de la valeur de Kéq, la sensibilité de la représentation graphique aux changements

géométriques du milieu en fonction des perturbations introduites dans la matrice solide par les "fissures"

(sous-réseau connecté). L'incorporation de ces éléments a changé considérablement la valeur estimée

par rapport à la structure originale (milieu Gaussien). Cette grande variation est due à la présence d'un

nombre considérable de petits chemins supplémentaires disponibles pour le transfert dans l'échantillon

fissuré qui se traduit par une augmentation considérable du nombre de liens et nœuds ce que l'on peut

observer directement en comparant les figures 4.40 et 4.41.


4.1 INTRODUCTION 133 4.2 METHODE GEOMETRIQUE : SIMULATION DE L 'INTRUSION ET DE L’EXTRUSION D'UN FLUIDE NON-MOUILLANT 134

4.2.1 Présentation de la méthode 134 4.2.2 Limitations 137 4.2.3 L’intrusion et l'extrusion d'un fluide non-mouillant dans les sections 2D 137 4.2.4 Intrusion et extrusion d'un fluide non-mouillant en 3D 146 4.2.5 Distribution de la taille de pores en 3D 157

4.3 METHODE MATRICIELLE : ESTIMATION DE LA PERMEABILITE SUR LE GLMG 160 4.3.1 La matrice de représentation du graphe - MR 163 4.3.2 Analogie électrique : les Matrices YBus 164 4.3.3 Résolution numérique optimisée : décomposition LU 167 4.3.4 Sensibilité géométrique 168 4.3.5 Estimation de K pour les échantillons numériques 170

Conclusion Générale - 173

Conclusion Générale


Un milieu poreux est une structure complexe composée d'un squelette solide et d'un réseau lacunaire :

la porosité. Ce dernier espace est le lieu où se produisent de nombreuses interactions physico-

chimiques (absorption/désorption de vapeur, effets capillaires…) et les phénomènes de transfert

hydriques ou thermiques. L'étude et la modélisation de ces phénomènes suppose le choix d'une échelle

pertinente de description géométrique du milieu. En particulier, le concept de topologie – arrangement

d'objets dans l'espace - apparaît comme essentiel pour décrire l'organisation de la connexion entre les

éléments de la structure poreuses, par exemple en termes de "sites" et de liens" avec, le cas échéant,

des perturbations à une échelle supérieure de type "fissures".

Nous avons retenu le concept de squelette codé par la ligne médiane sur des sections ("LM") ou

volumique ("LMV") pour décrire ces structures en utilisant, de plus, les outils de la géométrie discrète.

En effet, on peut ainsi conserver une fidélité aux structures réelles proche de celle obtenue en

géométrie euclidienne classique tout en optimisant les traitements informatiques liés à une arithmétique

entière.

Deux techniques d’amélioration de la LMV ont été introduites : d'une part, le concept de squelette

orthogonal aux bords "LMVn" et, d'autre part, une line médiane filtrée "LMVF" avec conservation de

l'information topologique. La composition de ces deux techniques permet d'obtenir un puissant

opérateur de description de forme, très général, que nous avons naturellement appelé "LMVFn" pour

"Ligne Médiane Volumique Filtrée Normale". C'est cet opérateur que nous avons mis en œuvre pour

simuler le transfert de fluides dans des structures poreuses. Les squelettes ainsi obtenus peut être

ensuite décomposés et analysés pour être finalement décrits sous forme de graphes.

Toujours à partir des concepts de la géométrie discrète, nous avons d'abord développé des techniques

de génération numérique de structures capables de reproduire des propriétés statistiques à l'échelle

macroscopique. L'analyse morphologique – caractérisation de formes et de tailles - de ces structures

permet d’obtenir la granulométrie par ouvertures successives en 3D et d'autres paramètres d'intérêt

comme : l'élément de volume représentatif (VER), la porosité, surface spécifique, etc… Là encore, nous

avons implémenté ces outils en utilisant des masques de chanfrein pour simuler la distance euclidienne.

L'analyse de VER avec les paramètres volumiques et surfaciques – pour les structures modèles

générées et aux échelles prises en compte – est confirmée par les mesures directes de granulométrie

et de distribution de diamètres de pores. Sur ces cas, on vérifie bien qu'il y a conservation de la

morphologie entre sections d'un volume et le volume correspondant.

Nous avons ensuite développé le concept de surface topologique pour construire un modèle de

connexion entre les éléments du réseau de pores, ou de grains, qui permet la caractérisation et la

comparaison de la topologie entre milieux statistiquement identiques en termes de : porosité,


distribution granulométrique, distribution de diamètres de pores… Les paramètres topologiques

développés sont basés sur les squelettes structuraux pondérés LMVFn - LMV et leur représentation

sous forme de graphe (GLMG). Ces méthodes discrètes d'analyse de la topologie de l'espace nous ont

permis de mettre en évidence l'importance de la topologie pour différencier des structures

morphologiquement identiques. Des mesures effectuées sur des échantillons numériques réguliers et

irréguliers comportant un réseau connecté nous ont montré que l'information topologique mesurée dans

les différentes sections d'un volume n'est pas capable de reproduire la complexité structurale dans le

volume lui-même. Des phénomènes liés à la topologie du milieu – comme le transfert d'un fluide, par

exemple – doivent donc être directement étudiés en 3D.

L'analyse d'un milieu "fissuré" à partir d'une structure connue a, par ailleurs, montré l'importance d'un

changement global de la topologie de la structure même si celui-ci reste faible et/ou s'il y a conservation

d'une morphologie initiale pour une des phases. La méthode géométrique de simulation des transferts

que nous proposons est donc un outil très sensible, notamment à l'existence d'un sous-réseau de type

"fissures".

Les développements informatiques réalisés dans le cadre de ce travail et le partenariat que nous avons

pu établir avec d'autres chercheurs (CEN-Météo-France1, TIMC/Infodis2-IMAG) montrent que les outils

d'analyse d'image dérivés de l'application de la géométrie discrète permettent effectivement d'améliorer

les méthodes géométriques de simulation de transferts dans des structures complexes.

La perspective principale de ce travail est l'application des outils développés et validés sur des

échantillons numériques à des échantillons réels obtenus par imagerie 3D (imagerie X au Synchrotron,

par exemple). Par ailleurs, il faudra disposer de mesures directes de propriétés de transfert pour les

comparer avec les résultats de nos techniques de simulation. A plus long terme, l'étude du rapport entre

les topologies de section et de volume pourrait sans doute être avantageusement réalisée en faisant

appel à des techniques de reconstruction volumique basées sur des méthodes de traitement de signal

comme les ondelettes discrètes. Par ailleurs, l'amélioration des masques de chanfrein utilisés en 3D

pourrait aussi améliorer la qualité des descripteurs de la forme : épaisseur, centrage des squelettes…

Enfin, il serait souhaitable d'introduire dans nos outils un mode de représentation multi-échelle pour

améliorer la qualité des estimations dont il faudrait également évaluer l'incertitude en fonction des

traitements numériques appliqués.

1 Centre d'Etude de la Neige, St. Martin d'Hères, J.D. Brzoska. 2 Informatique et Formes Discrètes, A. Montanvert, E. Thiel.

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ANNEXE B

THE GENERALIZED MEDIAN LINE GRAPHICS TECHNIQUE

IN POROUS MEDIA GEOMETRY CHARACTERISATION

Article publiée dans le QCVA 95 – International Conference on Quality Control by Artificial Vision

France - Mai - 1995

ANNEXE C

DISCRETE MULTIPHASE EQUILIBRIUM SIMULATION

IN POROUS MEDIA

Article publiée dans le ENCIT 96 - Brazilian Congress of Engineering and Thermal Sciences LATCYM 96 – Latin American Congress of Heat and Mass Transfer

Brésil - Novembre - 1996

ANNEXE D

CALCUL NUMERIQUE DE COURBURES TRIDIMENSIONNELLES:

APPLICATION A LA NEIGE HUMIDE

Article publiée dans le Colloque SHF - Societe Hydrodinamique Francaise - Section Glaciologie

CEMAGREF/Grenoble - Mai 1998

ANNEXE E

DEVELOPPEMENTS

E.1 Introduction La géométrie discrète est née avec la volonté d'appliquer l'outil informatique pour aider à résoudre les

problèmes de reconnaissance de formes et la modélisation de l'espace. Ce développement est

directement lié à la progression du niveau technologique de l'industrie informatique. La généralisation

de l'ordinateur personnel dans les divers domaines de la recherche scientifique a permi l'adoption des

ces concepts mathématiques avec la dispersion dans des disciplines diverses, aussi spécifiques que

l'étude du milieu poreux. La première étape importante pour la généralisation de ces concepts avec

l'application de la mathématique algorithmique pour aider la compréhension et modélisation de l'espace

est le développement des algorithmes et interfaces adaptés à la philosophie de chaque domaine. Cela

passe par la compréhension des concepts de la mathématique algorithmique et par l'apprentissage des

langages informatiques pour l'implémentation et l'exécution optimale d'analyse.

L'objectif de cet annexe est l'introduction des outils informatiques développés pour la réalisation de ce

travail de thèse et dans les travaux en partenariat, avec les concepts et les technologies utilisées. Les

outils développés se situent dans le domaine de l'interface graphique pour le contrôle et la visualisation

des traitements et des résultats (en 2D et 3D), dans l'interprétation informatique des données par

analyse d'images et dans la simulation et l’analyse d'équipements de mesures des propriétés physiques

sur le terrain.

La structure de l'annexe introduit d'abord l'environnement VRlab, développé pour rassembler dans une

interface les divers outils de traitement géométrique et de visualisation en 3D et 2D. Les logiciels de

simulation sont introduits ensuite, avec la présentation de quelques interfaces. Les développements en

partenariat pour l'application de l'imagerie et la géométrie discrète sont présentés : la reconstruction des

profils verticaux pour les expériences d'invasion de colorants dans les sols, le logiciel de mesure de la

longueur de racines, la mesure du front d'invasion de fluides et d'autres algorithmes généraux. Dans la

fin d'annexe les conclusions et perspectives technologiques seront analysées.

E.2 L’environnement VRLab Les développements des algorithmes en 3D et 2D pour l'analyse et la modélisation des géométries

réelles a conduit à l'implémentation d'un environnement appelé VRlab (acronymie pour Virtual Reality

Laboratoire). L'objectif principal de cet environnement est de promouvoir une interface de contrôle

unique pour les différents logiciels disponibles et leurs développements. Dans la figure E.1 est présenté

un écran de l'environnement VRlab (barre de contrôle à droite) et quelques applications (visualisation et

calcul).

Fig. E.1 - L'environnement Vrlab.

L'environnement VRlab est développé sur la plate-forme UNIX pour une station de travail Sun

SparkStation5 avec 64Mbytes de RAM, sur la version du système opérationnel SUNOS4.1.3. L'interface

est codée en C++ avec une librairie informatique d'objets d'interface (fenêtres, boutons, environnements

de visualisation 3D, etc.) appelée COILib1 version 1.02, laquelle permet le développement multi-

plateforme sans réécriture de code (simple opération de recompilation pour outres plate-forme Unix et

Linux) [Maliska Junior, 1996]. Une importante caractéristique informatique de cette plate-forme de

développement est l'existence des objets d'interface pour la visualisation en 3D (perspective, position,

couleurs, etc.), de maillages structurés avec la simple définition d'une fenêtre (Win3D) et le passage

des données (matrice associée).

La philosophie de programmation en C++ (orientée objets) utilisée pour le développement de l'interface

est "l'orientation à la procédure", ce qui veut dire que toutes les classes sont développées en fonction

des procédures (ou taches) à faire, et non en fonction du type de données à analyser. Cette spécificité

particulière est adoptée en fonction de l'environnement hétérogène qui est présent, constitué par des

logiciels divers en 2D et 3D (logiciels développés, freeware ou en permission d'utilisation) et l'utilisation

du parallélisme concurrent entre les applications3.

1 COILibTM - Classes and Objects for Interfacing - ESSS Engineering Simulation and Scientific Software - http://www.esss.com. 2 Suite informatique utilisée gratuitement dans le cadre de cette thèse. 3 Plusieurs taches peuvent être exécutées en même temps sur le même donnée.

L'interface de contrôle fait la gestion des opérateurs et divers logiciels, par une interface POSIX

compatible, permettent le passage de paramètres et le contrôle par une console Unix standard. Les

prototypes de logiciels disponibles sont :

Traitement Géométrique 3D :

-VRskel3D : traitement et analyse géométrique des données en 3D développé avec la géométrie

discrète §2. Les principales routines sont : calcul des squelettes, opération de filtrages sur les

squelettes, la mesure du VER, les mesures de granulométries par morphologie mathématique,

opérations booléennes sur les volumes (découpage, rotation, etc.), mesures de porosité, profils

géométriques, génération des fichiers VRML pour la visualisation de volumes et graphes, etc. ;

Visualisation 3D :

-SliceView3D : visualisation en 3D des sections du volume ;

-VRview : adaptation d'un freeware de visualisation en VRML 1.0 des fichiers en 3D ;

Simulation 3D :

-Vrinflow3D : simulation d'invasion de fluides mouillants et non mouillants;

-Vroutflow3D : simulation de drainage de fluides mouillants et non mouillants;

Traitement Géométrique en 2D :

-Porous Image Analysis : logiciel pour la segmentation d'images de milieux poreux en 2D;

-Binary : logiciel pour le seuillage de micrographies de milieux poreux en niveau de gris;

-Pore : logiciel de traitement et d'analyse d'images développé au LTHE, porté de l'environnement

HPview (plataforme Unix HP) à SUNOS.

-Routines IPS1 - "Image Package System" : Prototypage et développement de routines pour l'analyse

d'images 2D (morphologiques, images en niveau de gris, etc.) dans une interface de contrôle

graphique;

-Xview : logiciel freeware pour la conversion d'archives graphiques (tiff, raster, ANSI, etc);

Simulation 2D :

-Vrinflow2D : simulation d'invasion de fluides mouillants et non mouillants dans les 2D;

-Vroutflow2D : simulation de drainage de fluides mouillants et non mouillants dans les 2D;

Les logiciels de visualisation en 3D ont été développés et adaptés en fonction de la non-existence d'un

modèle de visualisation avec l'abstraction volumétrique requise pour les systèmes et les technologies

de ce travail [Borianne, 1994; Debled-Rennesson, 1994]. La solution étudiée a été l'adaptation du la

1 IPS v3.1 est un progiciel pour l'imagerie en 2D dévéloppé au sein de l'équipe TIMC du IMAG/UJF/Grenoble, disponible sur la plateforme SUNSOS4.1.3, utilisé avec permission.

meta-langage VRML (Virtual Reality Markup Language) développé sur Internet pour la visualisation de

"mondes virtuels" (imagerie en 3D). Le codage en VRML est déjà un standard pour la visualisation en

3D et profite de l'existence d'un nombre considérable d'interfaces freeware sur les réseaux et privilégie

la portabilité et la diffusion des résultats. La principale caractéristique technologique est le codage de

volumes non-structurés par des primitives géométriques simples (le cube, la sphère, etc.). Le

désavantage est la grande capacité informatique (carte graphique, mémoire vidéo) nécessaire à la

représentation d'un volume important1. Une deuxième solution développée a été la visualisation des

sections du volume par la bibliothèque d'objets COILib, avec la construction de facettes de visualisation

dans un volume structuré. Le principal avantage a été la possibilité de contrôle des résultats avec la

visualisation partielle d'un volume complet.

Fig. E.2 - L'interface du logicielle de simulation 2D d'invasion et

drainage d'un fluide non-mouillante - INview2D.

Les logiciels de simulation de propriétés physiques ont des particularités uniques selon chaque

dimension, avec des contraintes technologiques importantes. Les simulateurs en 2D permettent la

visualisation directe des résultats sur chaque interaction du calcul avec la sortie sur l'écran des images

caractéristiques, avec les graphiques d'accompagnement. Dans la figure E.2 est présentée un écran du

logiciel VRview2D où on observe les fenêtres de contrôle et le résultat. L'interface offre les possibilités

ordinaires d'une interface moderne et permet la sauvegarde des images simulées pour l'édition

d'animations dans le format MPEG1.0 (format standard pour les animations numériques de petit taille).

1 La volume maximal visualisé sur la plataforme informatique disponible a été de 4000 primitives géométriques (un squelette d'un

Le principal problème dans la simulation en 3D est l'interdiction de l'accompagnement visuel des états

d'équilibre pour la simulation des processus d'invasion et de drainage en fonction de la grand taille

informatique des échantillons pour la visualisation. La solution adoptée a été le contrôle graphique du

profil d'invasion et de drainage par la mesure du taux volumique de remplissage de l'espace poreux par

profondeur, avec la sauvegarde des états intermédiaires pour la visualisation à posteriori. Dans la figure

E.3 est présenté l'interface du simulateur d'invasion en 3D d'un fluide non-mouillant (à partir de toutes

les surfaces) avec les sorties graphiques d'accompagnement.

Fig. E.3 - L'environnement VRlab et la simulation d'un processus

d'invasion d'un fluide non-mouillant en 3D par toutes les frontières.

E.3 Reconstruction du Profil d’invasion 3D L'étude du phénomène des écoulements préférentiels dans les sols [Posadas, 1996; Onody, 1995] est

basée sur des observations expérimentales de terrain [Moran, 1989; Moran, 1992] et de laboratoire par

l'utilisation des marqueurs [Soeder, 1990] (colorants, solutions, etc.) pour l'analyse du chemin parcouru

par le flux hydrique. En général les mesures et les estimations sont réalisées de façon indirectes par

des méthodes gravimétriques ou par l'analyse de la concentration par échantillonnage. La principale

contrainte est la non-observation directe du profil vertical du passage du marqueur dans le volume.

Une méthode de génération des profile verticaux et d'acquisition d'images pour l'estimation du profil

volume de 100x100x100 voxel aproximativement)

vertical du passage d'un marqueur dans les sols a été développée lors d'un séjour à l'université de

Cornell (NY,USA), proposé par le professeur T. Steenhuis (Soil and Water Lab. - ABEN). L'objectif

principal du travail a été la détermination des profils verticaux du marqueur dans le sol pour l'estimation

des principales dimensions fractales [Sarkar, 1992; Weatcrapft, 1988] de la géométrie du profil dans le

cadre d'un travail de recherche du groupe.

La méthode est basée sur l'acquisition et le traitement d'images des sections horizontales de l'invasion

d'un colorant dans le sol (DYE Infiltration Experiment) pour quatre expériences différentes sur le terrain.

Dans la figure E.4 est présenté l'empilement de 16 images des sections horizontales pour un essai,

avec l'observation dans le pseudo volume du chemin préférentiel du flux hydrique.

Fig. E.4 - Le pseudo volume généré par l'empilement des images séquentielles.

Un protocole d'acquisition d'images a été élaboré pour la circonstance à partir du détourage des

sections séquentielles, présenté dans la figure E.5.a1 (marqueur en couleur vert foncé). Les images des

sections horizontales sont soumises à une déconvolution du signal couleur pour la segmentation de la

palette dans le passage de l'espace colorimétrique RGB au HUV (Wood, 1992], présentées dans la

figure E.5.b. Cette segmentation permet la détermination de la forme de la surface marquée par le

colorant et la suppression de tous les bruits divers. La surface colorée est interprétée comme une

cartographie des concentrations par le passage de la palette à la représentation avec des fausses

couleurs en niveaux de gris (figure E.5.c).

1 L'image représente une section de 64x64 cm

(a) (b) (c)

Fig. E.5 - L'image du marqueur dans le sol (a), la déconvolution de la palette de couleurs (b) et la cartographie de concentrations (c).

La principale contrainte de la méthode est la taille informatique des images pour chaque sections (20

Mbytes - résolution 1mm) qui interdit la manipulation du volume dans les ordinateurs personnels. La

solution proposée pour l'interpolation des profils verticaux est l'interpolation interactive des sections

intermédiaires entre deux images consécutives jusqu'à la résolution requise. D'abord la section

moyenne est interpolée linéairement avec les cartographies des images, suivi de l'interpolation de la

moyenne entre la section calculée avant et la section elle même. Le processus se termine lorsque la

quantité des sections interpolées entre les images consécutives satisfait la résolution requise

(homogénéisation de la résolution pour les trois axes de symétrie). L'interpolation des sections est faite

avec l'observation d'un voisinage restreint (+/- 20 pixel de largeur) au profil pour limiter la taille de

mémoire requise (schéma de la figure E.6).

Top Photo 1

Top Photo 2

Interpolated slice

Profile

Fig. E.6 - Schéma pour l'interpolation entre les images séquentielles.

Le résultat pour l'extrapolation de la géométrie du profil du marqueur dans le sol est présenté dans la

figure E.7 pour deux profils selon la direction X et Y, avec la projection dans le volume avec l'image

supérieure et inférieure respectivement. Les profils présentés représentent une expérience dans un sol

avec une profondeur caractéristique de 33 cm. Les profils dans la direction XZ et YZ sont présentés

dans l'image de la figure E.8.

Fig. E.7 - Les profils verticaux interpolés (direction X et Y) et

la projection dans le volume.

Fig. E.8 - Les sections de profils simulées dans les directions XZ et YZ.

L’algorithme a été implémenté en ANSI C (POSIX compatible), avec l’encapsulement des routines pour

la portabilité du code. Les résultats présentés pour la reconstruction volumique sont exécutés sur

station de travail SUN (SparkStation5 – SunOS4.1.3).

E.4 Logiciel Vrflowmap Un logiciel d'analyse d'images pour la caractérisation géométrique du front d'invasion d'un fluide a été

développé pour un sujet de thèse [Gandola, 1998] à l'Ecole de Mines de Douai. Le logiciel analyse

l'image en couleur [Soeder, 1990]d'une section 2D d'un front d'invasion d'un fluide pour permettre la

caractérisation du front d'avancement et la morphologie de la zone saturée (figure E.9) et mettre en

évidence les développements expérimentaux pour sa caractérisation.

Le processus fait la déconvolution du signal couleur (le passage de l'espace colorimétrique RGB au

HUV - [Wood, 1992] pour déterminer morphologiquement la surface d'invasion (dans le plan) et le front

d'invasion par l'application de la géométrie discrète avec les masques de chanfrein. Le squelette ligne

médiane est extrait pour retrouver le centre géométrique de la forme et caractériser le centre de gravité

de la section. Dans la figure E.10 sont présentés 5 contours successifs du front d'invasion dans le sable

déterminé par le logiciel.

Le logiciel est développé en C++ avec la bibliothèque d'objets d'interface COILib2.0 (version Bêta2) sur

la plateforme informatique Windos95/NT. La principale caractéristique technologique est la portabilité du

logiciel pour d'autre environnements (Unix et Linux) avec la simple recompilation du code.

Fig. E.9 - Logiciel Vrflowmap développé pour mesurer les caractéristiques

morphologiques du front d’invasion à partir d’images 2D.

Fig. E.10 -Visualisation du front d’invasion à différents instants.

E.5 Logiciel VRroot Un logiciel pour le traitement informatique d'images des racines pour la détermination de la longueur et

du diamètre moyen [Kaspar, 1997] a été développé pour le LTHE dans le cadre d'une thèse. Dans la

figure E.11 est présenté un écran du logiciel VRroot avec l'image en niveaux de gris de quelques

racines.

L'analyse est faite à partir d'images en niveaux de gris des racines avec la seuillage pour la

détermination de la morphologie. Un filtre de connexité et taille est appliqué pour la suppression des

petits bruits résultants de l'étape antérieure, en général plus petit que 1% de la superficie de l'image. Le

squelette ligne médiane est construit pour la détermination de la longueur et le diamètre moyen à partir

de la distance de chanfrein associée.

Fig. E.11 - Logiciel VRroot pour mesurer la longueur et le diamètre

moyen de racines à partir d’images 2D.

Le logiciel est développé en C++ avec la bibliothèque d'objets d'interface COILib2.0 (version Bêta2) sur

la plataforme informatique Windos95/NT.

E.6 Routines IPS L'équipe INFODIS du laboratoire TIMC-IMAG de Grenoble développe depuis 1985 le logiciel Image

Package Software - IPS. Il est composé autour d'une bibliothèque d'opérateurs et d'une interface

multifenêtres chargée de l'activation des opérateurs. Le but du projet IPS est triple, avec l'illustration des

méthodes, leurs tests (protocoles, faisabilité) et l'autoformation.

IPS est maintenant distribué en deux versions :

- La version globale (G.IPS). Il s'agit de transformations géométriques, algébriques ou locales,

morphologie mathématique, segmentation, représentation par régions ou par contours, Fourier,

pyramides, etc.

- La version personnelle (P.IPS). Elle comprend l'interface proprement dite, et un Builder qui facilite

l'intégration de nouveaux opérateurs. Chaque utilisateur peut donc définir sa version autonome, tout en

ayant la possibilité de communiquer avec d'autres P.IPS et avec G.IPS.

L'interface de IPS a été conçue comme un ensemble d'objets - image, opérateur, macro, graphe, etc. -

qui ont chacun leur menu contextuel et leur icône appropriés. Les icônes peuvent être sélectionnées,

déplacées, superposées, dupliquées, etc. Le menu contextuel d'une icône image permet d'ouvrir des

fenêtres d'édition et de changer les propriétés (taille, palette de couleurs, nom). On peut également

éditer l'image en double-cliquant sur l'icône.

L'éditeur inclus dans IPS permet les manipulations classiques et quelques dessins, le zoom et le mode

loupe. Dans ce dernier sont superposables les valeurs d'une image avec les couleurs d'une autre, ce

qui est utile par exemple pour localiser l'axe médian sur une image de distances.

Chaque opérateur possède une boite de contrôle, elle précise le nombre d'images en entrée et en

sortie, et demande les paramètres à appliquer. Pour exécuter un opérateur, il faut sélectionner dans

l'ordre les images en entrée (obligatoire) et en sortie (facultatif). Les images non sélectionnées en sortie

sont créées (puis ajoutées dans la sélection), sinon elles sont réutilisées, au besoin en changeant leur

taille.

La grande qualité d'IPS est de faciliter l'intégration de nouveaux opérateurs, tout utilisateur désirant

développer sa version personnelle PIPS, lance un programme d'installation, qui crée les répertoires,

importe les librairies et le Builder. L'environnement IPS est disponible aujourd'hui sur les plates-formes

SUNOS4.1.3 et Linux version 2.x avec l'exploration du langage C avec le compilateur de domaine

publique GCC de la fondation GNU.

Dans ce travail de recherche l'environnement IPS a été utilisé pour le développement et le prototypage

des routines d'analyse d'images en 2D, morphologiques, traitement du signal et de la géométrie

discrète. Une application développée a été la simulation des sondes à Neutrons et TDR pour

l'estimation de la qualité des données des mesures expérimentales sur le terrain à partir des mesures

gravimétriques de teneur en eau (décrit dans l'annexe E). Dans la figure E.12 est présentée la

cartographie des mesures gravimétriques pour le teneur en eau à partir des fausses couleurs (en

niveau de gris) et dans la figure E.13 et E.14 les résultats pour les simulations, respectivement TDR et

neutrons.

Fig. E.12 - La cartographie en niveaux de gris pour la teneur en eau gravimetrique.

Fig. E.13 - Le résultats pour la simulation de la mesure du teneur en eau de

la sonde TDR à partir des attenuations gaussiennes et linéares.

Les routines développées dans le cadre de ce travail sont: seuillages statistiques (multi-classes),

squelettes (AM, LM) et graphes (GLMG) en 2D, les générateurs de structures discrets en 2D,

prototypage des outils de simulation de fluides et les convertisseurs pour les fichiers des différentes

applications.

Fig. E.14 - Le résultats pour la simulation de la mesure du teneur en eau de

la sonde Neutronique à partir des attenuations gaussiennes et linéares.

E.7 Synthèse Le chapitre a introduit les développements informatiques réalisés dans le cadre de ce travail et dans le

partenariat avec d'autres chercheurs. Les applications sont présentées avec les illustrations de

quelques résultats et les solutions informatiques adoptées (plate-forme, vitesse d'exécution, etc.) ce que

ne représentait pas l'objectif premier de ce travail.

D'abord l'environnement Vrlab est introduit avec l'objectif de rassembler dans une seule interface de

contrôle tous les outils disponibles. Les applications en 3D pour l'analyse géométrique sont introduites

avec la spécificité informatique et les technologies explorées.

L'application des concepts de la géométrie discrète et les descripteurs de forme (squelettes) sont

abordés avec l'illustration des interfaces développées et la spécificité informatique dans le cadre de la

coopération entre divers chercheurs. L'environnement IPS (IMAG/Grenoble) est présenté avec ses

propriétés technologiques et quelques applications développées sur son interface, à travers des

résultats pour la simulation d'équipements de mesures de propriétés physiques.

Les développements présentés dans l'application de cette technologie mathématique pour les différents

domaines présentés met en évidence le besoin de son développement futur avec le rapprochement et

la symbiose des domaines de recherche de l'informatique, mathématique algorithmique et de la

physique appliquée.

Modélisation et Simulation de Milieux Poreux par …hydrologie.org/THE/PIERITZ.pdf · Résumé Les...

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