Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of...

92
HAL Id: inria-00072297 https://hal.inria.fr/inria-00072297 Submitted on 23 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato To cite this version: Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato. Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework. [Research Report] RR-4290, INRIA. 2001. inria-00072297

Transcript of Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of...

Page 1: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

HAL Id: inria-00072297https://hal.inria.fr/inria-00072297

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Modeling, Stability and Control of Biped Robots AGeneral Framework

Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

To cite this version:Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato. Modeling, Stability and Control of Biped RobotsA General Framework. [Research Report] RR-4290, INRIA. 2001. �inria-00072297�

Page 2: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--42

90--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 4

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Modeling, Stability and Control of Biped RobotsA General Framework

Yildirim Hurmuzlu — Frank Génot — Bernard Brogliato

N° 4290

Octobre 2001

Page 3: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato
Page 4: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes655, avenue de l’Europe, 38330 Montbonnot-St-Martin (France)

Téléphone : +33 4 76 61 52 00 — Télécopie +33 4 76 61 52 52

� ���������� ��������� �������� �� � ���������� �!� "$#%�&'�(� )*� �'����+, - �(��.�/� �102�/��3 �.45� ��6

798;:;</8;=>8@? A2B/=C?DB�EF:;BHGJILK�=NMPO/QSR TFO�UPVXWYI[Z�\F=>OHMP=><]Z^=CU`_`:;8aMbVNU`c

d�ebfg2h�ikj lnmog^pbqsrutvmowyx2htzwy{|tvmog�mo}vrut~m�wyx� h�}��F}�tvfCg�hC}z�Cwyg�{bqoh��nhC}

���vwX��ht�������zr�{b{�wy��t � h���hC��ebh�v��ebh�xP�/iJ���y�'j ����t~wy�b��h����y�|��j �y��{�ru�yhC}

� �/¡¢>£Y¤b¥�¢J¦ d�ebmo}H{br�{`h�H}vhhC§¨}�t~w©��hªFmoh�«¬tvebh � h�ªyhCq�wy{bg�hCxJt~}�m�x^t~e|h.­�hCq � «(m�t~e|mox�tvebh® �~r�g�h«¯wy�v§^w ® }°t�r��bm�qom±t²�kr�x � �Cw�x¨tv�vwyq�w ® }��F}°t~hCg�}�}�pb�F��h�t�tvw�p|xbmoqorut~h�~r�qn�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}³�/r��°t~mo�pbqsru�´hCg�{be�ru}vmo}�mo}���m�ªyhx�t~w tveb�vhh�gµr�m�x�mo}�}vpbh}�t~e�rYt>¶·m�x�wypb�´ªFm�h«�¶ ® wy��g¸tvebhpbx � h�vq��Fm�xb�'t~ebhwy���¹m�x¹t~ebh }�tvp � �$w ® }vp|��eº}��F}�tvhCg�}C³1�²g2{br��t�w ® t~ebh q�wX«¯hC��q�mogk�|}«(m�t~e t~e|h «�r�qo§¨m�xb�2}�pb� ® ru�Ch�r�x � m±t~}(h»`hC��t´w�x9t~e|h «�r�qo§¨m�xb� � �nxbr�g2m��C}(mo}(�wyxb}vm � hC��h �­��v}°t>³[lnh�ªyh�~r�q�§�h��2m�}v}�pbhC}L}vpb��e r�}[gkpbq�tvmo{bq�h.mog�{�r���t~}¶J�vhC}°t~m±t~p|tvmowyx�r�x � ® �vm��tvmowyx�qsr>«(}¶r�x � h��nmo}°t~hCx|�Ch�rux � p|xbmo¼¨pbhxbhC}�}µw ® }vwyq�p|t~m�wyxb}�r���h½��hªFmoh�«�h � m�x � h�t�r�m�qa³$¾zh��Ft>¶�«¯h�Cwyxb}�m � h�´t~e|h � �Fx�r�g�mo�^}°t�r��|moqom±t²�½w ® �bmo{�h � ruq��Jrum�t>³�¿!h��vh�ªFmoh«Àt~e|hkpb}vh�w ® � mo}v��vh�t~hgµr�{|}Lm�x�}�t~p � �Fmoxb� t~ebhz}�t~r��bmoq�m�t²��w ® tvebhz�Cqow�}vh � wy���bm�tv}[tve�rutL�vh{b�vh}vhx¨t¯t~ebh � �Fx�r�g�mo�}w ® r2�|mo{�h � ¶�«(ebm���e��>r�xÁ�`h ��e�r��vr��tvhC�vm�ÂCh � r�}�r�eJ�n�|�vm � }��F}�tvhCg½³´ÃÄr�}°t>¶P«�h^�Cwyxb}�m � h�t~ebh��wyxJt~�vw�q�}v��ebhg2h}�tve�rut�e�r>ª�h2��hChxÅp|}vh � mox'��hC�ypbqorut~m�xb�µtvebh�g2w�tvmowyxÁw ® �bmo{�h � ruq}��F}�tvhCg�}C¶�r�x � «¯h�}�hChC§ tvw�m � hx¨tvm ® �2t~ebh�xbhh � h � ® p|tvpb�vh � h�ªyhCq�wy{bg�hCxJt~}³Æ9ÇJÈÊÉ�ËkÌ £YÍ�¡�¦ ��mo{�h � �vwy��w�t~}δxbw�xb}vg�wnwut~eÏg�hC��ebr�xbmo�}CÎ�g^pbq�tvmo{bq�h�mog�{�r��t2qsr>«(}Îe¨�F�b��m � }��F}�tvhCg½Î��Jr�m±t�}�t~r��bmoq�m�t²��Î|�wyxJt~��wyq�}��FxJt~ebh}vm�}C³Ð�Ñ©ÒvÓÕÔYÖ�×XØÙÓ°Ö�Ú�ÛP×XÜØÝ×YÒ°Ò°ÞaØß×XÜ�à�Ò°áYÖ�Þ;âaã�Ò�×Câ�ä�å>æ�çNâaÔXÒ°Þa×[Ñ©Ò°â@ÔXæNèNØÙéêâbëÄ×XØßì�Ò�Þaé@ØÝâêí�ä~à�Ö�ÚÝÚÙÖ�é�ävî·ï ð�ñ�òñ�òXä

ë/åNó[ôYÛPã�Ö�ØßÚ�õ�Ô>çXÞaãLçXö�ÚÝçy÷/é;ÒvÖ�é�ô é@ãLç¨ô Ò�èXçøFùêú�ûÄù ó û æNÓ°üCçXÒ�×YÓ�æçXÞ@â�ävýPÞ@æ�þêÒ�ânÑ ó�ÿ·åyä�à�æ�ã�Ö�Øß×XÒ�èXÒ���æ�ÚßçYÓ�ÒvÖ�ç����Êý����ñNä�ð��vñ ���FÒÊÿ`ÔXÒ�é@×YÖ~íÿ`ÒvèNÒ��Jä��YÞaÖ�×YÓ�Òô|Û�ã.Ö�ØÝÚoõ��XÞÕÖ�×���ô��/Ò°×Yæ�â²÷�Øß×XÞaØßÖYô � Þ

�Äùêú�û�ù ó û Ô���×XÒ��só�ÚÝá�Ò�é�äXýPÞaæ�þêÒ°â�� ù ýbä�� ùêû åXîHä��ññLÖ~ìÒ°×>çXÒ�èXÒ�Ú! ÛPçXÞaæ�á�Ò�äXÑ©æ×Câ#"�æ�×X×Xæ�â�ä��$%�%�%&å>â ù é;ã.ØßÒ°Þ�ÿ`Ò�èXÒ��Jä��XÞÕÖ�×YÓ°Ò�ôbÛPã�Ö�ØßÚoõ'�ÊÒ°Þa×YÖ�ÞÕèJô �`Þaæ�ÜÚÝØÙÖ�âaæ>÷�Øß×XÞaØßÖ�ÚÝá�Ò�é�ô � Þ

Page 5: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� ���������C+Ä�©�Ä���D�Å+·��� � �������� �.������������ ��� �(+ �/� �'����+*�½��&��(���(+ � �.� � �/� ���(��.�/� �

�� ¡���� � ¦�� h�tµru��t~m��Cq�hµ{�wy��tvh�}vpb��qsr�g�w ��� q�mo}~rYt~mow�xDht�q�h��CwyxJtv���yq�h � h }��F}�tvfCg�hC}� h�qowF�Cwyg�w�t~m�wyx�� � hpn� {�rYtvt~h}C³���qopb}©{|� � �mo}�hCg�g2hx¨tC¶Ämoq/{|�vwy{�wy}vh�pbx � t~rut � h�q��Ýr��°t� hC} ��� ª�hCq�wy{b{�hCg�hCxJt~}�� � �hCxJt~} � r�xb}��Ch � wyg2r�mox|h©}vwypb}zq��Ýr�xb��qoh � h qsr�}�t~r��bm�qom�t � ht � p�CwyxJt~���yqoh � h}´}°�n}°t~fg2h}©r>ªyhC���CwyxJtv�~r�m�x¨tvhC}�pbxbmoqorut � �~r�q�hC}³.Ã��ßru�C�ChxJt�hC}°t´g�mo}(}�pb��tv�vwym�}{b�vwy�|qofCg�hC} ® wyx � r�g2hxJt�r�pn� ¼¨pbmF�Cw�xb}�tvm�t~p|hCxJt>¶ � h�xbw�tv�vh¯{`wym�xJt � h¯ªFpbh�¶�pbxk�>r � �vhLt~e � w! �vmo¼¨pbh��wyg�{bqoh�t�{`wyp|�©q�� � t~p � h � h��ChC} }��F}°t~fCg�hC} � h�qowF�Cw�g2w�tvmowyxʳ#"�ruxb}�p|x!{b��hCg�moh�t~hCg�{b}¶Êxbwyp|}�r��`w�� � wyx|}´qoh�{be � xbwyg�fCxbh � �Ým�g2{�ru�t � hC}�g�hCgk�|�vhC}´mox ® � �vmohpb�v}´r>ªyhC��qor}vpb� ® r��Ch � �Ýr�{b{bpbm�r�m�xb}vmļ¨pbh }vwyx9h»`ht�}vpb��qsr � �Fx�r�g�mo¼¨pbhu³���qopb}�mohpb�v}({�wymoxJt~}z�Cq � t~hCq�}¼Fp|h©qohC}�m�g2{br��tv}.gkpbq±t~mo{|qohC}¶nq�hC}.q�wymo} � h��vh}�t~m±t~p|tvmowyxµht � h ® ��w�tvtvhCg�hCxJt(}vh��rumoxb}�mʼ¨pbhqohC}¯{b�vw��bqofg2h} � � h��nmo}°t~hxb�Ch©h�t � � pbxbm��Cm�t �´� h´qsr tv�~rX��h�tvwymo��hC}�}�wyxJt�{b� � }vhxJt � } � ruxb}.qoh}��� t~r�moq�}C³�ÃÄr^}�hC�Cw�x � h�{�r��°t~moh�hC}°t��Cwyx|}~r��� � h$�^q%� � t~p � h � h�qsr�}�t�ru�bmoq�m�t �(� �Fx�rug2m�¼Fp|h � hqsrµg2r��v��e|h�³'&�x g�wyxJt~�~rux¨t�¼Fp|h��ChC}�}°�n}°t~fg2h} g � �Cr�xbm�¼Fp|hC}©�Cw�xb}�tvm�t~p|hCxJt�pbxbh��qsr�}�}vh{�r���tvmo�pbqom�fC�vh � h�}°�F}�t~fg2h}´eJ�F�b�vm � hC}¶`x|wypb}z{b�vwy{�wy}�wyxb}(q�� p|t~m�qom�}~rutvmowyx � hC}z}vh�t~m�wyxb} � h��wym�xb�>r�� � {`wyp|��q�� � t~p � h � h�qsr�}�t~r��bmoq�m�t �´� h}ztv�~rX��h�t~w�mo�vh}��Cq�wy}vh}C³)(/mox�ruqohCg�hCxJtC¶ � m±» � �vhCxJtv}�}v��e � g2r�} � hz�Cw�x¨tv���yq�h�¶¨{b��wy{`w�} � } � r�xb}Lqsr�qom±tvt � �~rYt~pb��h�¶J{�wypb�L� � ��pbqoh�Lqor g2r�����ebh� hC} ��wy��w�t~}��bmo{�f � hC}µ}�wyxJt�{�r�}�} � } hCxº��hªFpbh�}�wypb} q%�ßruxb�yqoh � h9�Ch�tvt~hÁg2w ��� q�mo}vrut~m�wyx·³¾�wypb}��wyxb�qopbwyx|}zhx�t~hCxJt~r�xJt � �Ým � hCxJt~m±­�hC� � h ® p|t~pb��} ��� ª�hCqow�{b{`hg2hxJt~}(x � �hC}�}~r�m��vhC}*��Ch � wyg2r�mox|h�³+ Ì ¢X¡ É ¥-, � ¡!¦ �zwy��w�tv}��bm�{`f � hC}Î�g � �>r�x|mo¼¨pbh�xbwyx. Õqomo}�}vhuÎ/qow�mo} � h2��ebwn�}^gkp|q�t~m�{bqoh}CÎ}��F}�tvfCg�hC}ze¨�F�b��m � h}CÎP}�t~r��bm�qom�t �´� h�qor�g2r�����ebh�Îb}°�Fx¨tvebfC}�h � h��Cw�x¨tv���yq�hCpb��}C³

Page 6: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ;

< = ��������?> �L����

�²x��yhCx|hC�~ruqa¶`rµ�bmo{�h � r�q�q�wn�wyg�w�t~m�wyx�}��F}�tvhCg �Cwyxb}�mo}°t~}�w ® }vhª�hC�vr�qHg�hCgk��hC��}�t~ebrut©r���hmoxJt~h�v�Cw�xbxbhC��t~h � «(m±t~e½r��tvp�rutvh � ��wymoxJt~}³��²x hC}v}�hCxb�h�¶`r�gµr�x ²g2r � h´«�r�qo§¨m�xb���vwy��w�t�m�}xbw�t~e|moxb�kg�wy��h�t~ebr�x�rk�vw��`w�tvmo�zgµruxbmo{bp|qsrutvwy��«(m�t~e r � ht~r���e�r��bq�h©r�x � g�wNªFmoxb����r�}vhu³"´hC}�mo�yx�w ® �|mo{�h � r�q���wy��w�t~}[e�r�}L��hChCx2qsr����yhCq±�km�xA@�pbhxb�Ch � �J��t~ebh(g�wy}�tL}vw�{bebmo}°t~m��>rutvh �r�x � ªyhC��}~rutvmoq�h��|mo{�h � §Fx|wX«(xÅt~w½gµrux·¶�t~ebh�g2r�x!e|mog�}vhCq ® ³�d�ebhC��h ® wy��h�¶�g2wy}°t w ® tvebhg2w � hCq�}CBug2r���ebm�xbhC} � hªyhqowy{�h � �`hCr��µrÅ}�tv�vwyxb�!�vh}vhCg^�bqsr�x|�Ch t~w!tvebh½eFp|gµr�x¬�`w � ��³D qog�wy}°t�r�xJ� g�w � hCq`wy��gµru��ebmoxbh´�>r�x ��h©��e�r��~ru�t~h�vm�ÂCh � r�}�ebrNªFm�xb�kt²«�w�qowN«¯hC�.q�mogk�|}t~e�rut�ru�vh �Cwyx|xbhC��t~h � t~eb��wypb�ye¬r'�Chx¨tv�~r�q�g�hCg^�`h�C³ D q±t~ebwyp|�ye t~ebh �wyg2{|qoh��nm±t²� w ®}��F}�tvhCg � hC{�hCx � } wyx$t~ebh9x¨pbgk��hC��w ® � h�y�vhhC}2w ®´® ��hCh � wyg9¶¯t~ebh½h��nmo}°t~hxb�Ch9w ®´® hht}�t~��pb�tvpb�vh}C¶¯pb{b{�hC��qom�gk�b}^h�t~�u³�¶¯m�t�m�}^«(m � hq��D§Fx|wX«(x$t~ebrut�hª�hCxÏh��Ft~�vhg2hq��D}vmog�{bq�hpbx�r���t~p�rutvh � }��F}�tvhCg�}^�>ruxD�yhxbhC�vrut~h2r�gk�bp|qsrutvwy���Ág2w�tvmowyxʳ D �bm�{`h � r�q�qowF�Cw�g2w�tvmowyx}��F}�tvhCg �Cr�x�ebrNª�hLr�ªyhC�°�©}vm�g2{|qohH}°t~�vp|�t~p|�vh�«(m�tve�t~eb��hCh�{�wymoxJt�g2r�}v}�hC}Ä�Cw�xbxbhC��t~h � «(m±t~egµr�}�}vq�hC}v}¯qom�xb§¨}'EGF r����Cmor|¶ � e�rutvtvhC� ��hCh�¶b�zpbm�x�rIH � wyq�hCg2r�x�E°�N�y�KJKL+L�wy�¯ª�hC�°�µ�wyg2{|qoh��}�t~��pb�tvpb�vh¯t~e�rut�g�mog�mo�C}·tvebh�e¨pbg2r�xk��w � �MEON[pb§uwy�b�vrut~wNªFmo�u¶J��wy��wXªur��u¶Jlnp|�vqsr2H lFt~w�§Fm��E°�N�y����L+L�³/�²xµ��w�tve2�Cr�}vh}¯t~e|h�}°�n}°t~hg �Cr�x ru��ebmoh�ªyhz}�t�ru�bqohzqowF�Cwyg�w�tvmowyx·³�d�e|h´�vw��`w�tvmo�}�Cwyg�gkpbxbm±t²�ke�ru}L��hChx2m�xJªywyq±ªyh � mox�t~e|h(­bhCq � w ® g2w � hqomox|�©r�x � �CwyxJtv�vwyq�w ® �bm�{`h � } ® wy�gµr�xJ���yhCr��v}³¯d�e|h��`wFwy§¨}.�J�7N[p|§�wy�b�vrut~wNªFmo�PEON[pb§uwy�b�~rYt~wNªFmo�-E��N��J�Q�L�Î�N[p|§�wy�b�vrut~wNªFmo�u¶��wy�vwNªur��u¶[lnpb��qsrRH lFt~w�§Fm��SE��N�y�y��L5L�¶/��r�m��`h��tTE@�zr�mo��hC�°tTE��N�y�KQ�L5L rux � d�w �b� Eêd�w �b�E°�N�y�KUKL+LÄr��vhL«�w���t~e���h>r � moxb�©ru}�r�xkm�x¨tv�vw � pb��t~mow�x�t~w�t~ebh�­bhCq � ³H�(hC�ChxJt~q���¶�t~e|h.moxJt~h�vh}�t® wy���bmo{�h � ruq�qowF�Cwyg�w�t~m�wyx'e�r�} ��hChCx!�vhmox ® wy���Ch � �J� t~ebh��Cwyx|}�t~��pb�tvmowyx!�J�WVzwyx � r w ®r��Cwyq�qohC��t~m�wyxDw ® ��wy�`wut~}k«(ebwy}�h��`he�r>ªFmowy��ru}�r�eFp|gµr�x|wym � m�}k¼¨pbm�tvh�mog�{b�vh}v}�m�ªyhu¶Lr�}ªnm � hCw�}z«(m±t~xbh}v}C³(d�ebh�moxJt~h�vh}�t~h � �vhCr � h�´}ve|wypbq � �vh ® hC�(t~w2tvebh ® w�qoqowN«(m�xb�k«�h��{�r���hC}t~w��yht�r�x wNªyh��ªFmoh�« w ® t~ebh��wyg2g^pbxbm�t²�µw ® �vhC}�h>r�����ebhC��}z«¯wy��§Fm�xb��wyx �bmo{�h � �vwy��w�tv}�X

Y[Z\Z�]_^5`�`badcfe\eAg�h+i�j[kbZAlAimY_hnlKoKp�`�q�rdj\sdtfZdj[`fe3tm]dlKo�u[tmZAlvh�Y�ZKwxkY[Z\Z�]_^5`�`�y\y\y9h{z\|�t#h}oAl[`bo�tm~xt�u�tKcf�xu\`[t�][Z�`f�\�d�d`f][aAl�z[jAiKlA`f][aAl�z[jAiKlvhGY�Z�wxk

¾zhª�hC��tvebhCq�hC}�}C¶�rux �º� h}v{bm±t~hÁtvebhÁt~h��ebxbwyq�wy�ym��>r�q(h��n{bq�wym�tµr���ebm�hª�h � �J��Vzwyx � r � }hCxb�ym�xbhCh�v}�E��yr�{br�xÏm�}2�hC��t~r�mox|q�� tvebhÁ�wypbxJt~�°�1«(e|hC�vh9�bmo{�h � r�q(qowF�Cwyg�w�t~m�wyx¹e�r�}��vh �ChCm±ªyh � t~e|hÅg�wy}°t½rutvtvhCxJt~m�wyx r�x � e�r�}�t~ebhÅqow�xb�yhC}°t ebmo}°t~wy�°�AL�¶´}�wyg�h ® p|x � r�g�hCxJt�ruqg2w � hCq�moxb�År�x � �CwyxJt~��wyqz{b�vwy�|qohCg�}µebrNª�h�}�tvmoq�qzx|w�t ��hChx r �b� ��hC}v}�h � xbwy�2}vwyq±ªyh � m�xt~ebh���hCqsrYt~h � q�m�tvhC�~rYt~pb��h�³D�©x|h½g2r>�Dx|w�t~m��Ch�mox¹{br���tvmo�Cp|qsr�� t~e�rut�tvebh�qowF�Cw�g2w�tvmowyxÅw ®V�wyx � r �Ý}���;Á{b��w�t~w�t²�F{�h2��hCg2r�mox|} ® ru� ® ��wyg �Cqor�}v}�mo�>ruq�eFp|gµr�xÅ«.ruqo§¨moxb�½{�rut�t~h�vxb}^rutt~ebh�}vr�g2hµ}v{�hCh � }C³ D q�t~e|wypb�ye�Vzwyx � r�E�V��©¾ " D L � m � xbw�tk{bpb�bq�mo}ve¹g2r�xJ� � ht~r�moq�}

û�û ×�� &>ò��%�

Page 7: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

i � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

xbhCm±t~ebh�^wyx tvebh g�hC��e�r�x|mo�>ruq¯{�ru��t�xbw��^wyx tvebh mog�{bq�hCg�hCxJt~h � �Cw�x¨tv�vwyq¯ebhCp|�vmo}°t~m���¶Hm±tmo}�h>r�}°� t~wÁ}�hCh2wyxÅtvebh r>ªur�m�qsr��bq�h^ªFm � hwy}�t~e�rut^��; � } ® wFw�t }�tv�vmo§uh2m�}^ruxbwyg2r�qowyp|}�r�x �qoh>r � }µt~wD}vwyg�hÁt~�vr�xb}�mohCxJt�m�xb}�t~r��bm�qom�t²� EêeJtvt~{3X BKBX«�«�«�³Ýebw�x � r Õ{ ;|³ �Cwyg7L�³ d�ebh'x¨pbg �`h��w ®[® wnwut � h}vmo��xÅ{brut~hx¨tv}�t�r�§uhCx wyp|t��¨�RV�wyx � r E;pb{�tvw r�x r�mo� ²��ru� qom�§�h^{|qsr�xJt~h�r��v��e�L(�vh�ªyh>ruqo}�ru�Jr�mox t~ebrut ® wFw�t� Õ�y�vw�pbx � mog�{�r��tz��hCg2r�moxb}(wyx|h^w ® tvebh^g2r�m�x � m����Cpbq t~moh}�wyxbh½e�r�}�t~w ® r��h9m�x¹t~ebh � h}vmo��x¬w ® �vw��bpb}�t2�Cw�x¨tv�vwyq�qor>«(} ® w��k«.r�q�§¨moxb� �vw��`w�tv}r�x � «(moq�q��`h�Cwyg�hDt~e|h §�h�� mo}�}vpbh!«(m�t~e m�xb�C��h>r�}�moxb�Ïebwy�vm�ÂCwyxJt~r�q ª�hCq�wn�m�t²� �vh¼Fp|mo�vh g2hx¨tC³¬d�e|mo}�{b�vw��bqohg9¶LebwN«�h�ªyh�C¶�mo}�g�wy�vh�}�hCxb}�m�tvm�ªyh ® wy�kt²«¯w! ²q�hC�y��h � �vwy��w�t~}�tve�r�x® wy��gkp|q�t~m ²q�hC�y�yh � wyxbhC} � pbh�t~w�t~ebh©ruqog�wy}�t¯}�tv�~r�m��yeJt�q�hC�k�wyx|­��yp|�~rutvmowyx�rux � t~e|h��bmo� �yhC��q�wJr � rYt�mog�{�r���t´tvmog�h ® wy�zt~ebh ® wy��g2h�C¶`qoh>r � moxb��t~w�}°t~�vw�xb�yhC��ªyhCq�wn�m�t²����pbg�{b}�w ®t~ebh��hCxJt~h��w ® g2r�}v}³^¿ ebmoq�hPV�w�x � r � }�hCxb�ym�xbhCh�v}�}vhhCg tvw �Cwyxb}�m � h�©t~ebh}vh�ªyhqowF�Cm�t²���pbg2{|}�r�}�pbxJ«�r�xJt~h � {`h��tvpb�v��rYt~mow�xb}�r�x � tveFp|}�ru{b{`hCr�q`tvw�g2h��e�r�xbm��>r�qÊr�}�tvp|t~hxbhC}�}vhC}t~w�}vg�wFw�t~eÁtvebhkt~�vrX��hC��t~wy�°�y¶Ê«¯h�r��v��pbh^t~ebrut©mog�{�r���t�m�}�r�x moxJtv�vmox|}vmo� ® h>rYt~pb��h�w ® g2h ��e�r�xbm��>r�q¨}��F}°t~hCg�}�qom�§�hL�bmo{�h � �vwy��w�tv}/r�x � }vebw�pbq � ��h[t�r�§uhCx�r�}�}vpb��e�m�x�t~e|h��Cw�x¨tv�vwyq�qoh�� hC}�mo�yx·³���tvebhC�z�bm�{`h � r�q��vw��`w�tv}(e�r>ªyh^��hChx � h}vmo��xbh � ³ D g�wyxb��t~ebh g2w�}�t�r � ªur�xb�h �{b�vwY��h�tv}C¶�q�«¯h��Cm�tvhkt~ebh�¿Dr�}vh � r� �xbm±ªyhC��}vm±t²� V�pbg2r�xbw�m � �(wy��w�t~m��C}©�²xb}°t~m�tvp|t~h��|mo{�h �E;eJtvtv{ X B�BY«�«�«�³Ýe¨pbg2r�xbw�m � ³ �vm�}vh�³ «�r�}vh � r|³Ýr���³ ��{�Bu��wnw�§Fq�htCBu§Yrut~w��(ib³ eJt~g�q�L�¶Ytvebh��9�²d¬Ã�hC�Ã�ru�`wy�vrut~w������vwy��w�t~}�E;eJtvtv{ X B�BY«�«�«�³ßruma³ g2m±t>³ h � p�BY{b�vwY��h�tv}CBuq�hC�yqor���Bu��wy�`wut~}CBY�vwy��w�t~}³ÝeJtvg2q Lr�x � t~ebh[Ã���l- ²��¾´�(� D �����½}��F}�tvhCg E;eJt�t~{ X*BKBY«�«�«�³ moxb��msr�q�{`h}C³ ® �CBu�|mo{�L�³���tvebhC��{|�vwY��h�t~}�>r�x1�`h ® wyp|x � rYt�e¨t�t~{ X*BKBY«�«�«�³ g�hCqa³ �ywb³ ��{�Bu}�wy}ve|mo§¨m�Bu��wy��w�t�Bup|x � w\Bu§YrX��m±t�r�BY�bmo{�h � }�m�tvh h�³ e¨tvg2qÊr�x � rut�eJt�t~{ X*BKBY«�«�«�³Ýr�x � ��wym � «�wy��q � ³ �Cw�g�Bum�x � h��ʳ eJt~g½³ D g�wyxb��ruqoq`tvebhC}�h�h�� mo}�tvmoxb�Á�bmo{�h � }¶Ltvebh V�wyx � r'�vwy��w�t~}^}vhChg t~w ��h t~ebh g�wy}�t�r � ªur�xb�Ch � rYt�t~ebh tvmog�hw ® «(�vm±t~mox|�Áw ® t~e|mo}^{br�{`h��r���Cwy� � moxb�9t~wÁtvebh�mox ® w��vg2rut~m�wyx gµr � h�r>ª�rumoqsru�bqoh��J�!tvebhwX«(x|hC�v}³ V�wN«¯hª�hC�´tvebh�}�wyqopnt~mow�x ® w��z�wyxJt~��wyq � hC}�mo�yxbh � �J� V�w�x � r ���m�C. �3��� ��� )�� ����8���� �7 ������� �G!5���������{��!��?89��!":m.I�3��!-���m�C.P��v �����-��� �T��A.� ����(��.P�{��� ��8 �%�M.m��� �����O����A���� �{�+ ������ ��!C� �����?��� ����������!�����\.P�����A���m���!". �%� � �'�����9� �!�C��67�������� � ��!"���� ��S�� "$#�%�[�� �%��!�!5�����E;���~rut�t�E@���y�y�KL+L�³��Õt mo}�tvebh ® hChCq�moxb��w ® t~e|hµr�pnt~ebwy��}©t~e�rut�tvebh�{b�vwy�|qohCgw ®(® hCh � ��r���§¹�Cw�x¨tv�vwyq�w ® �bmo{�h � ruq.�vwy��w�tv}^«(moq�q�xbw�t���h�}vw�q�ªyh � {b�vwy{�hC��q�� r�}�qowyx|� r�}t~ebh � �nxbr�g2m��C}¯w ® }vpb��e }��F}°t~hCg�}�mo}¯xbw�t¯t~ebwy��wypb�ye|q���pbx � h�v}°t~wFw � ³��²x ® r���t>¶¨t~ebh©g2r�m�xg2w�tvm�ªurutvmowyx ® w���tvebh «(�vm�tvmoxb�'w ® t~e|mo}�{�r�{�hC��e�r�}��`hhCx1t~ebh ® wyqoq�wN«(moxb��w��b}vh��ªurut~m�wyxr��`w�p|t�«�r�qo§¨m�xb�TX/t~e|hC�vh©m�}.xbw�r�xbr�q��¨t~m��>r�q�}�tvp � �µw ® rk}�t�ru�bqoh��wyxJt~��wyqoq�hC�[«(m�t~e rk�wyg {bqoh�t~h´}°t�r��|moqom±t²��{b�vwFw ® r>ªur�moqor��bq�hzm�xµt~e|h��vhqsrutvh � q�m�t~h�~rutvpb�vhu³/�Õt�m�}�wyp|�.�`hqom�h ® tve�rut�tvebhgµr�m�x��vhCr�}vwyx ® wy��t~ebm�}(mo}�t~ebh qsru��§ w ® r�}vp|m�t�ru�bqoh©g�w � hCqa³�¿!h�{|�vwy{�wy}vh�r ® �~r�g�h«¯wy�v§t~e�rut.mo}.xbwut�wyxbq±�µ}�mog�{bqohzhCxbw�pb�ye�t~w�r�q�qowN« }vp|�b}vh¼Fp|hCxJt´}°t�r��|moqom±t²�2r�x � �Cw�x¨tv�vwyqÊ}�t~p � mohC}z�bp|t´r�q�}vw��vh>ruqomo}°t~m���r�}´}�wyg2h h��n{�hC��mog�hCxJt�r�q�ªur�q�m � rutvmowyx|}.{b�vwNª�h�³(�²x'r �b� m�t~m�wyx·¶|tvebh

ùêú�û�ù ó

Page 8: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": U

® �~r�g�h«¯wy�v§�{|�vwNªFm � h}�r pbxbm�­bh � g�w � hCq�moxb��r�{|{b�vwJru��e ® wy�LgµrYt~ebhgµrutvmo�Cr�qa¶uxFp|g2h�vmo�Cr�qa¶r�x � �Cw�x¨tv�vwyq¯{b�vw��bqohg2}¶H«(ebmo��e¹e�ru}k�`hhCx$g�mo}v}�moxb�|³��Õt�mo} ® wy�^m�xb}�t~r�xb�Ch�}�mo�yx|m�­��Cr�xJtt~e�rut©tvebh�gµrumox�h�»Êwy�°t~}�w ® t~ebh �9�²d5Ã�hC�½ÃÄr�� E@���~rut�t7Ea���y����L+L�ebrNª�h��`hhCx � mo�vh�tvh �t~wN«.ru� � t~hC��e|xbwyqow��ymo�Cr�q�E;r��tvp�rut~w��v}CL�m�g2{|�vwNªyhg2hx¨tzrux � t~hC}°t~m�xb��w ® e|hCpb��mo}�tvmo�©�wyxJt~�vw�qr�qo�yw��vm�tvebg�}�}vm�g2m�qsr��[t~w Vzwyx � r � }�«�w��v§¨}C³¿!hÁ«¯wypbq � r�qo}�wDq�mo§�h½t~w!}�t~��hC}�} t~e�rutµmoxÏtvebmo}2}vpb�°ªyh��Ï«¯h�gµr � h9tvebh���ebwym��Ch½t~w

gµr�m�xbq�� ® wF�Cpb}[wyx���wypb��x�r�q�{�r�{�hC��}C³ �½wy�vh(�vh ® hC��hCxb�hC}.�Cr�x2��h ® wypbx � �J� ® wyqoq�wN«(moxb�´tvebhqomox|§F}�m�x t~ebh r���wNªyh �ym�ª�hCx�«¯hC�Á{br��yhC}³

� - �(��.�H���$���(+ �L�/��&��Ä��� ��"S� �½��&'�(� � �$4�����6^�.�

D �bm�{`h � �>rux��`h��vh{b�vh}vhCxJtvh � �¨�9r�xÁmoxJªyh��t~h � {`hx � pbq�pbg¸}��F}�tvhCg t~e�rut�e�r�}�r2�Cw�x. }�t~�vr�mox|h � g�w�t~m�wyx � p|h�tvw t~ebh ® wy��«�r�� � r�x � ��r���§J«.ru� � mog�{�r��tv}�w ® t~e|h�}�«(mox|��qomog^�«(m�t~eÅt~ebh��y��wypbx � ³ D q�t~e|wypb�yeÅ}vm�g2m�qsr��´tvw9tvebhµ}°t~�vp|�t~p|�vhµw ® ªFmo�b�vrut~m�wyx � r�g2{�hC��}�m�xgµr�xJ� r�}v{�hC��t~} EalnebrN« H%lnebrN« E°�>�y�y��L5L�¶n«(e|mo��e9r��vh©��hCqsrYt~m�ª�hCq±�2«¯hCq�q·}�tvp � moh � ¶�}�tv�vpb� t~pb��h9w ® �bmo{�h � r�q(}��F}�tvhCg�}µe�r>ªyhÁr ® pbx � r�g�hCxJt�r�q � m±»Êh�vhxb�Ch9r��vm�}vm�xb� ® �vwyg tvebh9p|x. �Cwyxb}°t~�vr�moxbh � �CwyxJt�ru�t�w ® t~ebh qom�gk�b} «(m�t~e¹tvebh �y�vwyp|x � E;}vhh (�mo�b³_E°�fL5L�³D¿ ebm�qohµtvebhªnm��b�~rYt~mow�x � r�g�{`h� �vhgµrumoxb}2moxS�Cw�x¨t~r��t «(m±t~eºt~e|h'�vh ® h�vhxb�Ch ® �~rug2h'rYt r�qoqzt~m�g2h}�`h�>r�pb}�h�w ® tvebh�ebm�xb�yhkt~ebrut�mo}©q�wn�Crut~h � �`h�t²«�hhCx!tvebh�moxJªyh��tvh � {`hx � pbq�pbg r�x � tvebhªnm��b�~rYt~mox|�©gµr�}�}C¶ytvebh(qomog^�b}Hw ® t~ebh��|mo{�h � r��vh(r�q±«.r>�F} ® �vhh(tvw � ht~r���e ® ��wyg�tvebh�«.ruqo§ moxb��}vp|� ® r��h�³ "´h�t�r���ebg�hCxJtv}�wF�C�Cp|� ® ��hC¼¨pbhx¨tvq���r�x � qohCr � t~w�ªur��vm�wypb}�t²�F{`h}¯w ® g2wut~mow�x}vpb��eÅr�}´«�r�q�§Fm�xb�b¶`�vpbxbx|moxb�b¶J��pbg�{bmoxb�|¶`h�t~��³ D }©r g2rutvtvhC�´w ®�® r��tC¶Êwyxbh^�>r�x'�qsr�}�}vm ® ��bmo{�h � ruqzq�wn�wyg�w�t~m�wyx$}��F}�tvhCg�}�r�}µ�wyg�{bqohg2hx¨t~r����$}�qsr���§¨xbh}v}�}°�n}°t~hg2} E5E@Ã���t~}°t~h � tE°�N�y�ui\L+L�¶ E ª�rux � hC�2ln��ebr ® t H ln��e¨pbg2r���ebh� E°�N�y��Q�L+L5L�³ D }�{`w�moxJt~h � wyp|t���hCqowN« E;}�hCh(/mo�yp|�vh EGQKL+L�¶¯}vpb��eºrÅg�w � hCqom�xb� ® �~rug2h�«�wy��§ � wFhC}�xbw�t2rutµr�qoq.{|�vhC�qop � h½tvebh9m�xJt~�vw � pb�tvmowyx$w ® @�h��|m��bmoq�m�tvmohC}^rut�t~e|h½�wyxJt�r���t�{`wym�xJt~}C³$�Õt�}�mog�{bq��!g2hCr�xb}�t~ebrut�t~ebh ® hht�>r�x � ht�ru��e ® �vwyg t~e|hµ�y��wypbx � ³ D q�}vwÁm±tkruqoqowN«(} wyxbh�t~w�m�xb�Cq�p � h�w�t~ebh�^h�»Êh�t~}�q�mo§uh� wypbqow�gk� ® �vmo��t~m�wyx mox9r2}vm�xb�yq�h ® �~r�g�h«¯wy�v§P¶�«(ebm���e��>r�x9�`h ¼¨pbm�tvh�pb}vh ® pbq ® w��zx¨pbg�hC� mo�>ruq/}vm�gkpbqorut~m�wyxb}´m�x wy� � h�©t~w�ªur�qom � rut~h t~ebh��wyxJt~�vw�qoqoh�v}³ (/mo��pb�vh E��fL � hC{|mo�tv}�w�t~ebh�}��F}�tvhCg�}�t~e�rut ® r�qoqÄmoxJtvwµt~ebh�}vr�g�h^�>rYt~hC��wy����³ �²x�tvebhkqorutvtvhC�´{br���t©w ® t~ebh�r��°t~m��Cqohu¶�«¯h«(moqoq[}�ebwN« tve�rutk}�pb��e$}��F}�tvhCg�}��>r�x ��h�r�xbr�q��FÂCh � �J�Dt~e|h pb}vhµw ® mog�{�r��t ���wymoxb�Cr�� �gµr�{|}C¶Fr�x � {`w�}v}vh}v}¯�Cwyg�g2w�x ® hCrut~p|�vhC}Lmox�tvhC�vg�}[w ® g�w�tvmowyx��wyxJt~�vw�qa³/¿!h�«�wyp|q � q�mo§uht~w�}�t~��hC}�}´t~e�rYtztvebh ® wn�pb}�w ® t~ebm�}zr���tvmo�Cq�h�mo}(g2wut~mow�xb}�w ® }�pb��e'}��F}°t~hCg�}�tve�rutzmox|�Cqop � h�CwyxJt�ru�t>³#(�wy�´h��brug2{bq�h�¶�r �|mo{�h � �>ruxÅ��wn��§9��r���§'rux � ® wy��tve�«(ebmoq�h^t~e|h�}�«(mox|��qomog^�

û�û ×�� &>ò��%�

Page 9: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

Q � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

�vhCg2r�m�xb}(r���wXª�h©t~ebh�«.ruqo§¨moxb��}�pb� ® r��h ® wy�zr�qoq�t~mog�hC}³¯lnpb��eÁg�w�tvmowyxb}¯«(moqoqÊ�`h�wyp|tv}vm � ht~ebh ® wF�Cpb}(w ® t~ebh � m�}v�pb}v}�mowyxb}({b��hC}�hCxJt~h � ebh�vh�³

(a) (b)

(c)

(d) (e)

(/mo�yp|�vh��KX���m�{`h � }[r�}��Cw�g2{bq�hCg�hCxJt�ru���k}�qsr���§¨xbh}v}L}��F}�tvhCg�}�X�rKL��bmo{�h � ¶J��L/{`hx � pbq�pbg½¶mog�{�r��t � r�g2{�hC�¶¯��L�g2r�}�}�m�g2{br��t � r�g�{�hC�C¶ � L���pb�y�yq�hC�¶�r�x � h�L�g2r�xbm�{bpbqsrYt~wy�km�x�CwyxJt�ru�t(«(m�tve9r���mo�ym � «.r�q�q

"�pb�vm�xb��«.ruqo§¨moxb�|¶Jrut�q�h>r�}°t�wyxbh.q�mogk�^mo}Hm�xk�CwyxJt~r��t�«(m±t~ekt~e|h��y�vwyp|x � rut[r�q�qntvmog�hC}C³D t²�n{|mo�>ruq�«.ruqo§¨moxb�(���n�qoh�g2r>��mox|�Cqop � hHt²«�wz{be�ru}vhC} X�t~ebh[}vm�xb�yq�hH}vpb{|{`wy�°tÄ{be�r�}�h�¶Y«(ebhCxwyxbh�qom�gk��m�}©{bm�ª�w�t~h � tvw t~ebh��y��wypbx � «(ebm�qoh^tvebh�w�tvebhC��mo}´}�«(mox|�ymoxb��m�x�t~ebh ® wy�°«.ru� �� mo��hC�tvmowyx�E;w�{`hxµ§¨moxbhgµrYt~mo����ebr�mox2�Cwyx|­b�ypb�~rYt~mow�x�L�¶¨r�x � t~ebh � wyp|�bqohz}vpb{|{`wy�°t�{|e�r�}vhu¶«(ebhCx ��w�tve!q�mogk�b}©��hCg2r�mox m�x!�wyxJt�r���t�«(m±t~e!tvebh��y�vwyp|x � «(e|moqoh�tvebh2hxJt~mo��h2}°�F}�t~hg

ùêú�û�ù ó

Page 10: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": J

mo}�}�«(mox|�ymoxb�Åmox1t~ebh ® wy��«�r�� �º� mo��hC��t~mow�x E;�qowy}�h � §Fm�xbhCg2rutvmo� ��e�r�m�xº�Cwyxn­��ypb�vrut~m�wyx�L�³d�ebh'mog�{�r���t w ® t~ebh'q�h>r � moxb� q�mogk�1«(m�tveºt~ebh�«�r�qo§¨m�xb�¹}vpb� ® r��Ch g2r>�Ïq�h>r � tvw t²«�w{`wy}�}vm��bqoh©ªyhqowF�Cm±t²� wyp|t~�wyg�hC} ® wy��t~ebh�t~m�{9w ® t~ebh�t~�vr�moq�moxb��q�mogk� X�hm�tvebhC�(t~ebh�t~�vr�moq�moxb�qomog^� �vhgµr�m�xb}.m�x��CwyxJt�ru�t(«(m�tve tvebh©�y��wypbx � wy��m±t � ht~r���ebh}C³[¿ ebhCx½�`wut~e qom�gk�b}�r���h� ht~r���ebh � ¶Ftvebh(�bmo{�h � mo}�m�x�tvebh��{@�m��yeJt���{be�r�}�h´r�x � tvebh(�vhC}�pbq�tvmoxb��g�w�t~m�wyx�mo}���pbxbxbm�xb�wy��}vwyg�h©w�tvebhC��t²�F{`h�w ® xbwyx Õ«�r�qo§¨mox|��g�w�tvmowyx·³

D xJ�!h�»Êw���t�t~e�rYt�m�xJªywyq±ªyhC}�r�x�ruq��¨t~m��>r�qH}°t~p � � w ® tvebh � �nxbr�g2m��C}�w ® �Jr�m�t�x|hC�Ch}v}�m t�rutvhC}Lr�t~ebwy��wypb�ye�§¨xbwN«(qoh � �yh(w ® t~ebh�m�xJt~hC��x�r�q�}°t~�vp|�t~p|�vh(w ® t~ebh(qowF�Cw�g2w�tvmowyx�}��F}�tvhCg½³¿ ebhCx tvebh�}��F}°t~hCg mo}�e¨pbg2r�x�wy��r�xbm�gµr�q@¶yt~ebm�}.}�tv�vpb��t~pb��h©mo}¯h��Ft~��hCg�hCq��2�Cw�g2{bq�mo�Crut~h �r�x � qom�t�t~q�h^mo}©§¨xbwN«(xDr��`w�p|t©t~ebh��wyxJt~�vw�q�}�t~�vrut~h����tve�rut mo}©pb}�h � �¨� e¨pbg2r�x ��hCmox|�y}r�x � r�xbmog2r�q�}¯t~w��vhCr�qom�ÂCh�r�{�r��°t~m��Cpbqor��.g�w�t~m�wyx r�x � r���ebm�hªyh }�t~r��bq�h �yr�m�tC³�� ® t~e|h }°�F} t~hCg �vh{b�vh}vhx¨tv}^r2gµr�xÁgµr � hkgµru��ebmoxbh�wy�©r x¨pbg�hC��mo�>ruq�g�w � hCq��vhC{|�vhC}�hCxJt~m�xb� }vpb��er9g2r���ebmox|h�¶�wyxbhµebr�}�tvwÁ}��FxJt~e|hC}vm�ÂCh �wyxJt~��wyq¯}°t~�vrut~h�ymoh}^r�x � {`h� ® wy��gµruxb�Ch��C��m�tvhC�vmort~e�rut�tv�~r�x|} ® wy��g*gkpbq±t~m Õ�`w � ��}��F}°t~hCg�}�t~w�«.ruqo§¨moxb��rup|t~wyg2rut~r|³

"�hªFmo}�moxb�k{|�~r���t~mo�Cr�qP�CwyxJtv�vwyq�r�����ebm�tvhC�tvpb�vh} ® wy�L�bmo{�h � r�qP�vwy��w�t~}¶n��hCg2r�mox|}Ltvw^��h�r��e�r�qoq�hCxb��moxb��{b��wy�bqohg9³�d�e|h^{b��wy�bqohg mo}(t~m��yeJt~q�� �Cwypb{|qoh � «(m�t~e½t~ebh��CwyxJtv�vwyqÄ}�tvp � m�hC}mox t~e|h r��vhCr�w ® �vwy��w�t~m��µg2r�xbm�{bpbqsrYt~wy��}C³ �x|qomo§uh�gµruxbmo{bp|qsrutvwy�v}¶/ebwN«¯hªyh�C¶¯�bmo{�h � ruqgµr���e|moxbh}��Cr�x e�r>ªyh2gµrux¨� t²�F{�hC}kw ® g2w�tvmowyxʳ d�ebhµ�wyxJt~��wyq¯w��F��hC��t~m�ª�hC}�}vebwyp|q � ��h�>r���h ® pbq�q�� }vhqohC��t~h � tvw©�Cwyx ® w��vg�«(m±t~e�r�}�{`h�Cm�­b�(t²�F{�h�w ® g2wut~mow�x·³ D �CwyxJt~��wyqb}°t~�~rYt~hC�u�t~e�rutkmo}^}�hCq�hC�tvh � ® wy�^e|mo�ye¹}�{`hh � «.ruqo§¨moxb�Ágµr>�!�>r�pb}�h t~ebh�}°�F}�t~hg t~w�tv�~r�x|} ® hC��t~w�vpbxbx|moxb�b¶ � pb�vm�xb��«(ebmo��e9r�x hCxJtvmo�vhq�� � m�»`hC��hCxJtz�CwyxJt~��wyq�}�tv�~rutvhC��� }vebwyp|q � �`h�pb}�h � ³

A B

(a) (b) (c)

C

(/mo�yp|�vh´�[X�dL�F{�hC}�w ® g�w�tvmowyx X/r�L¯Ã�wF�Cwyg�w�tvm�ªyh���L¯¾zwyx. ÕqowF�Cwyg�w�t~m±ªyh�t²�F{`h}(w ® wy}v�moq�qsr t~mow�x�w ® r�}vm�g2{|qoh�{�hCx � pbqopbg �mL���h�vm�w � m��©g2wut~mow�x�²xJª�hC��tvh � {`hx � pbq�pbg g2w � hCq�}^w ® ªur���mowypb}��Cwyg�{bq�h��nm�tvmohC} e�r>ªyh ��hChx¹h��Ft~hxb}vm±ªyhCq±�

pb}vh � m�x t~ebhµg2w � hCq�moxb�9w ® �Jr�m±tkw ® e¨pbg2r�xb}�r�x � �bmo{�h � ruq¯«�r�qo§¨mox|�'gµr���e|moxbh}C³ D q

û�û ×�� &>ò��%�

Page 11: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

t~ebwyp|�ye·¶¨t~ebh � �Fx�r�g�mo�C}Lw ® �|mo{�h � r�q�qowF�Cw�g2w�tvmowyx�m�}¯m�xJt~pbm±t~m�ª�hCq±��}vm�g2m�qsr��/tvw�tve�rut.w ® r�xmoxJªyh��t~h � {�hCx � p|qopbg½¶bt~ebh�vh�mo}zr ® pbx � r�g�hCxJt�r�qļ¨pbh}�t~m�wyx9tve�rut�e�r�}(t~w2�`h�r �b� ��hC}�}vh �mox r�}�}vhC}�}vm�xb��t~ebhkªur�q�m � m±t²�9w ® tvebh�g�w � hqa³ d�ebh�¼¨pbhC}°t~m�wyxÅr��vm�}vhC} ® ��wyg¸t~ebh�m�xbebhC��hCxJtmoxb}°t�r��bm�qom±t²�9w ® m�x¨ª�hC�°t~h � {`hx � pbq�pbg�}©mox pb{b��mo�yeJt {`w�}vm�tvmowyx|}C³k�Õt mo}�«¯hCq�q�§¨xbwN«(x!t~ebrutwyxbh��Cr�xk��e�ruxb�yh�tvebh.}�tv�vpb��t~pb�vr�q|}°t�r��|moqom±t²�©w ® m�x¨ª�hC�°t~h � {�hCx � pbqop|gÀ}°�F}�t~hg2}��J�^r�{b{bq±�- moxb��t~wy��¼¨pbhC}©rYt�ªur���mowypb}H��wym�x¨tv}C³ � wyxb}�m � h��rµ}�moxb��qoh � hC���vhCh^w ®H® �vhh � w�g g�w � hCq�t~ebrut�Cwyxb}�mo}°t~}[w ® wyxbh(gµru}v}Lr�x � r�t~wy��}vmow�x�r�qb}�{b�vm�xb� rut�t~ebhz{bm±ªyw�t[{�wymoxJtC³/d[�n{|mo�>ruqbt²�n{�hC}Lw ®g2w�tvmowyxµmoxb�qop � h©w�}v�Cm�qoqorut~m�wyxb}¯r��`w�p|t�t²«�w�}�t~rut~m��©hC¼¨pbm�qomo�|�vmsr�r�x � rkt~ebm�� � t²�F{`h�«(ebh�vht~ebh {�hCx � p|qopbg p|x � hC���ywFhC}���F�Cq�mo� g2wut~mow�xb}C³¹d�ebh}vh t~eb��hCh t²�F{`h}µr���h � hC{bm��tvh � m�x(/mo�b³3Ea��L�¶brux � qsr���hCq�h � r�} D ¶��Sr�x � � �vh}v{�hC��t~m�ª�hCq±�y³L¾�wN«�¶|«¯h�r �b� t²«¯w�g�wy��h�qom�xb§¨}t~wÁtvebh wyxbh2qom�xb§'}��F}�tvhCg }�pb��e t~ebrut^tvebh }��F}°t~hCg qowFwy§¨}�q�mo§�h�t~ebh2wyxbh {|�vhC}�hCxJt~h � m�x(/mo�b³xE�;�L�³H¿ ebhx «�h©�wnw�� � m�x�rut~hzt~ebh´g2w�tvmowyx2w ® ªur��vm�wypb}.g�hCg^�`h�v}��J� r�{b{bq±�nm�xb�kru{. {b�vwy{|�vmsrYt~h/��wymoxJtLg�wyg2hxJt~}C¶J«¯h´g2r>��r��Jr�m�x2w��b}vh��ªyh�t~ebh(t~eb��hCh(t²�F{`h}.w ® g�w�tvmowyx�t~ebrut«�h©e�r>ª�h©wy�b}vh��ª�h � mox t~e|h�}vm�xb�yqoh�g2hgk��hC���Cr�}vh E�V�pb��gkpbÂqop?H �9wy}v§uwN«(m�t~ E��N�y��J�L+L�³�²x2t~e|h´{b��hC}vhxb�Ch´w ® t~e|hz«�r�qo§¨m�xb��}�pb� ® ru�Ch�tvebh´}°�F}�t~hg g2r>��}�tvmoqoq|�`h���e�r��~ru�t~h�vm�ÂCh � r�}t²�n{�h D wy���´¶Êru}´qow�xb�µru}�r�q�qÄtvebh^{br���tv}�w ® tvebh^}°�F}�t~hg ��hCg2r�mox9r���wNªyh^tvebh^�y��wypbx � ¶(/mo�b³AEG;n³ßr�LHrux � (/mo�b³9EG;n³Ý��L�³�¿ ebhx�tvebh�}��F}°t~hCg���hCebrNªFm�wy��mo}Hw ® t²�F{�h � ¶�ebwN«�h�ªyhC�¶Ftvebh}�«(mox|� qom�gk��«(moqoqÄ�wyxJt�r���t´t~e|hk�y�vw�pbx � EêebhChq/}°t~�vm�§�h�L�r�x � t~�vm��y�yh�´r���e�r�moxÁw ® hª�hCxJt~}t~e�rut¯g2rN��q�h>r � t~w^}°t�r��|qohz{b�vwy���vhC}�}vm�wyx·³�d�ebh�mog�{`wy�°t�r�x|�Ch(w ® t~e|mo}L�CwyxJt�ru�t.h�ªyhx¨t(�Cr�x�`h©��ht�t~hC�(pbx � hC��}�t~wFw � m ® tvebh�g2wut~mow�x�mo} � h{bmo��t~h � mox�tvebh�{be�r�}�h }�{�r��h w ® t~e|h©}�t�rYt~hª�ru�vmsru�bqoh}C³

(a) Type A (b) Type B (c) Type C

(/mo�yp|�vh ;AX�d[�F{`h}�w ® g�w�t~m�wyx�w ® r�tveb�vhh�hCqohg2hxJt��|mo{�h �

¿!h�}vm�g2{|qom ® �Át~ebh�{b��hC}�hCxJt � mo}��Cpb}�}vmow�x¹�¨� � hC}��C�vm��bmox|�Át~ebh�h�ªyhx¨tv}�tve�rut�q�h>r � t~w}�t�ru�bqoh�{b��wy�y�vh}v}�mowyx!w ® r �bmo{�h � ® wy��r½}�moxb��qoh � h�y�vhhµw ®¯® �vhCh � wyg }°�n}°t~hg9¶He|wX«¯hª�hC�t~ebm�}�r�{b{b��wJr���e��>rux2��h��yhCx|hC�~ruqomoÂh � tvw©ebmo�ye|hC��wy� � hC��g�w � hCqo}³�d�e|hz{|e�r�}vh�{|qsr�xbh�{�wy� t~�~rum�t��Cwy���vhC}�{`w�x � mox|�µt~wµtvebhk{b��hªFmow�pb}vq±� � h}v��vmo��h �'� �nxbr�g2m��^��hCe�r>ªFmow��´mo} � hC{|mo�tvh �mox (/mo�|³ E;i|³ßr�L�³ VzhC��h�¶¯tvebh }��F}�tvhCg g2rN� �`h ��e�r��vr��tvhC��moÂCh � r�}�r't~eb��hCh qom�xb§D�|mo{�h �

ùêú�û�ù ó

Page 12: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �

«(m�t~e9��w�moxJtk��w�t�rutvmowyx|}^w ®���� ¶ ��� ¶Lr�x � ��� ³Åd�ebh�}~r�g�{bq�hµ{be�ru}vh�{bqor�xbhµtv�~rX��h�t~w��vmoh}�Cwy���vhC}�{`w�x � mox|� tvw h>r���e t²�F{`h�w ® ��hCe�r>ªFmowy��ru�vh�qsru�`hqoh � ru�C�Cw�� � m�xb�yq���³^d�ebh�ªyh��tvmo�>ruq� r�}ve|h � q�moxbh}[�vhC{|�vhC}�hCxJt�tvebh(ª�ruqopbh}Lw ® t~e|h��wnwy� � moxbrut~h � h{bmo��t~h � mox�t~e|h�{bebr�}vhz{bqsruxbh® wy�¯«(ebm���e t~ebh´�CwyxJt�ru�t.wF�C�pb�v}³ (Pw��¯t~e|h´g�w�t~m�wyxb} � hC{bm��tvh � mox2t~ebm�}¯­��yp|�vh�¶Ft~ebh´wyxbq��t~�~rN��hC�tvwy���µt~e�rutzq�h>r � }.tvw2�wyxJt�r���tzmo} � ³�d�ebh �CwyxJt~r��tzhª�hCxJt ® w��.t~ebm�}�}vmog�{bq�h�g2w � hq{b�vw � pb�hC}�t²«�w2}vm�gkpbq�t~r�xbhwypb}.h�ªyhCxJtv}�X�y³(�²g2{br��tC¶X«(e|mo��e^m�}��vh{b�vh}vhCxJtvh � �J� r(}vp �b� hCx^��ebr�xb�yhLmox��yhxbhC�vr�qom�ÂCh � ª�hCqowF�Cm±t~m�hC}C³�n³�lF«(m�tv��ebmox|� � pbh©t~w�t~ebh©tv�~r�xb} ® hC�(w ® {bm�ª�w�t�t~w�tvebh�{`wym�xJt(w ® �wyxJt�r���t>³D t^t~ebm�}�m�xb}�t~r�xJt>¶/tvebh �vw�qoh�w ® t~ebh2qom�gk�b}�r��vh2h��n��e�r�xb��h � ¶�t~e|h wyq � }�t~r�xb�Chµqomog^�

�`h�Cwyg�hC}zt~ebh�xbh« }°«(moxb� q�mogk�½r�x � t~ebh�wyq � }�«(m�xb� q�mogk� ��hC�Cw�g2h}�t~e|h^xbh�«�}°t�r�x|�Chqomog^�·³ d�ebmo}kh��n��e�r�xb�yh�m�}^�qsr�}�}vmo�Cr�qoq±�'�vh�@�hC��t~h � �J�!}vp �|� hCx$��e�r�x|�yhC}�m�x!t~e|hµªur�qopbh}w ® �yhxbhC�vr�qom�ÂCh � {`w�}vm�tvmowyx|}µr�x � ªyhqowF�Cm±t~moh}C³ d�ebh��wygk�bm�xbh � h»`hC�tµw ® m�g2{�ru�tµr�x �}�«(m�tv��ebmox|�½w�xÅtvebh�{be�r�}�h�{|qsr�xbh�{�wy��tv�~r�m±t�m�} � hC{bm��t~h � m�x (/mo�b³ E;ib³ ��L�³ D } }vebwN«(xDm�xt~ebh�­��yp|�vh�¶Jtvebh�h»`hC��t�w ® t~e|hz�wyxJt�r���t[hª�hCxJt�«(m�qoq|��hzr©}vp �b� hCx2tv�~r�x|} ® hC��m�x�t~ebh({be�ru}vh® �vwyg {�wymoxJt9�Át~w {�wym�x¨t �n¶.«(ebm���eºmo}2�yhCx|hC�~ruqoq��$q�wn�Crut~h � wyxºr � m�»`hC��hCxJt � �Fx�rug2m��t~�~rN��hC�tvwy���'tve�r�x t~ebh�wy��mo�ym�x�r�q/w�xbh�³2� ® t~e|h � h}�tvmox�rutvmowyx w ® t~ebm�}©t~�~ruxb} ® h� m�}�wyxÅtvebhwy�vm��ymox�ruq�t~�vrX��hC��t~wy�°�y¶�tvebhCxÏtvebhÁ��hC}�pbq�tvmoxb�Åg2wut~mow�x1��hC�wyg�hC}µ{�hC��mow � mo��Eêma³ h�³[r!q�mog�m�t��F�Cq�h�ru}z}�ebwN«(x9m�x (/mo�b³ E;ib³ �mL5L�³

D xbw�tvebhC�z�y�~ru{bebmo�Cr�q·�wyxb}�tv�vpb��t~m�wyx9w ® t~e|h�h�ªywyq�p|t~m�wyx w ® tvebh�}°t�rutvh�w ® tvebh�}°�F}�t~hgmo} � hC{bm��tvh � m�x (/m��b³ E;ib³ � L�³ d�e|mo}µ�wyxb}°t~�vp|�t~m�wyxºm�}2wy�nt�r�m�xbh � �¨�$­���}�tµ��ebwnw�}vmox|� r��wym�xb�>r�� � }vh�t~m�wyx E;m�x'�>r�}�h�w ® �|mo{�h � r�q�qowF�Cwyg�w�tvmowyxÁrµ«�hqoq � h�­�xbh � mox|}�t�rux¨t � pb�vm�xb�t~ebhk�yr�m�t���F�Cq�hmL�³�(�wy�´h��|r�g�{bqohu¶Êqoh�t�pb}�r�}v}�pbg2hktve�rut�«�h���ebwFwy}�hkt~ebhke|hChCq/}�t~��mo§uh�r�}t~ebhz��w�moxb�Cr�� � }vh�tvmowyx·³/d�ebhCx·¶¨«¯h´�>rux2wy�nt�r�m�x2r©}�hC¼¨pbhCx|�Ch�w ® {`w�moxJt~}��wyxb}�tv�vpb��t~h � �J�{�r�mo��moxb��t~ebh�ªur�q�pbh©w ® r�}�t�rYt~h�ªur��vmor��bq�h©rut.tvebh�ebhChq�}�t~��mo§uh©w ® tvebh�� � ��F�Cq�h©«(m�t~e tvebhª�ruqopbhLw ® tvebh�}vr�g2h[ªur��vmor��bq�h¯rYt�tvebh�ebhhCqF}�tv�vmo§uh�w ® t~ebh������������F�Cq�h�³ D t²�F{bmo�Cr�qn{|qow�t�w ®t~ebm�}¯}�hC¼¨pbhCx|�Ch©mo} � hC{|mo�tvh � m�x�(/m��b³�E;i|³ � L5L�¶¨«(ebmo��eµmo}L�>r�q�qoh � r^��wymoxb�Cr�� � gµru{·³/�²xµtvebh­��ypb��h�¶Jh>ru��e�{br�mo�Hm�}Hqsru�`hqoh � r�}����Õ³�d�ebh(m�tvhC�~rYt~mow�x^{�wymoxJt�����t~e�rYt��Cwy���vh}v{�wyx � }�t~w�tvebh�Cqow�}vh � wy�v�bm±t.w ® (�mo�b³xE;i|³Ý��L+LLm�}�wyx2t~ebh���� � � h�y�vhh©qom�xbh���hC�Cr�pb}�h�«(ebhCx tvebh�g�w�t~m�wyx2m�}{`h�vmow � m�� ��� rutLebhChq`}°t~�vm�§�hzmo}[m � hCxJt~m��>r�q ® w��¯ruqoq�}vp|�C�Ch}v}�m�ªyh´qowF�Cwyg�w�t~m�wyxk}°t~hC{|}C³[�²x�tvebh�>r�}�h©w ® }�t�ru�bqoh�q�wn�wyg�w�t~m�wyx·¶Jt~ebh´}�t�rYt~h©w ® t~e|h©}��F}�tvhCg r�{|{b�vwJru��ebhC}�t~e|h©}�t~hCr � �µ}�t�rYt~hr�}¯}�ebwN«(x mox�t~e|hz­���pb�vhu³H¿Dhzgµr>��wy�|}vhC�°ªyh´tve�rutL{�wymoxJt~}Lwyx�t~ebh�gµru{µr���Cpbg^pbqsrutvhzrut���Lr�}¯tvebh´�bm�{`h � t~r�§�h}.}vpb��Ch}v}vm±ªyh©q�wn�wyg2wut~mow�x�}�t~h{b}�tvwX«�r�� � t~ebh�hC¼¨pbmoq�mo�b��mopbg½³Äd�ebh}~r�g�h��Cw�xb}�tv�vpb��t~mow�x��>r�x½r�q�}vwk��h�{�hC� ® w��vg�h � ® wy��tvebh��yhxbhC�vr�qom�ÂCh � ªyhCq�wn�m�t²�"!��� wy� ® wy�

û�û ×�� &>ò��%�

Page 13: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

�N� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

r�xJ�Áw�tvebhC�©§¨m�xbhCg2rut~m���¼¨p�rux¨tvm�t²��³ d�e|mo}´t²�F{�h�w ® {`h�vmow � m��Cm�t²� ebr�}�pbxbm�¼¨pbh�r � ªur�xJt�ru�yh«(ebhCx't~e|hkmoxJªyh��tvh � {`hx � pbq�pbg }��F}�tvhCg ��hC{b��hC}vhxJt~} r �bmo{�h � ³ D �t~pbr�qoq±�y¶`tvebmo}´mo}�tvebhwyxbq��¬g�w � h9w ® �`he�r>ªFmowy�µtve�rut tvebmo}µ�bmo{�h � �Cr�x r���ebm�hªyh {b��wy�y��hC}v}�mowyxʳÀd�e|h'g2wy}°t}�t~��mo§¨mox|� r�}�{`h�t�w ® tvebmo}�{�r���tvmo�pbqsr��zg�w � h�w ® ��hCe�r>ªFmowy��mo}zt~e�rut´t~ebhk�|mo{�h � r���e|mohª�hC}{`h�vmow � m��Cm�t²���¨�Dp|t~m�qom�ÂCmox|�½w�xbq��!rÁ{�wy��tvmowyx!w ® r � �Fx�rug2m���tv�~rX��h�t~w����y³'d�e|h mog�{�r���tr�x � }�«(m�tv��ebmox|��g�w � hC}[{b�vwNªFm � hztvebh��wyxbxbh�tvmowyx��`h�t²«�hhCx tvebh����F�Cqom��(g2w�tvmowyx|}Hw ® tvebh§Fm�xbhCg2rutvmo����e�rumox½r�x � t~ebh©«�r�qo§¨m�xb��r��tvmowyxʳ

(a)

12

Backward ContactLimit Forwar d Contact

Limit

C

AB AB

IMPACTSWITCHING

1

2

C

(b)

(c)

45o Accumulation point

(d)

pe

φ

1

n+

φn

φ.

1φ.

.

.

(/m��ypb�vh´idX��²g2{br��t�r�x � }°«(m�t~��e|moxb��wyx {be�r�}�h�{|qsr�xbh©{�wy�°t~�~rum�t

¿!h©�>rux½�qohCr��vq±�µwy�|}vhC�°ªyh ® �vwyg t~e|h {|�vhC�h � m�xb� � mo}��Cpb}�}vm�wyx�t~e�rut�tvebh©g�w�t~m�wyx w ® r�bmo{�h � moxJªywyq±ªyh}��CwyxJtvmox¨pbwypb}�{be�r�}�hC}�}�hC{�ru�~rutvh � �J�9r��b�vp|{|t���e�ruxb�yhC}´�vhC}�pbq�tvmoxb� ® �vwygmog�{�r��t�w ® t~ebh ® hCh�t2«(m±t~e¬tvebh9«�r�q�§Fm�xb�Å}vpb� ® r��Chu³ "�pb�vm�xb�ÅtvebhÁ�wyxJt~m�xFp|wypb}µ{|e�r�}vhu¶«�h gµr>� e�r>ª�h^xbwyx|h�¶Pwyxbhu¶�w��zt²«¯w ® hht�mox½}vmog^pbq�t~r�xbhCw�pb}��CwyxJt~r��t�«(m�t~e t~e|h��y��wypbx � ³�²xºt~ebh��Cr�}vhÁw ® wyxbh�w�� g2w��vh ® hCht �CwyxJt�ru�t~}¶ztvebh��bm�{`h � mo}µr � �Fx�r�g�mo�Cr�q�}°�F}�t~hgt~e�rut m�} }�pb�F��h�t t~w½pbxbmoqorut~h�~r�q/�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}³�lF�F}°t~hCg�}�«(m�t~eÅpbxbm�qsrutvhC�vr�qH�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}r��vh�}��F}°t~hCg�}^«(ebw�}vh��Cwyx|­b�ypb�~rYt~mow�x!}�{�r��Ch2mo}�l`¶�r�x � t~ebh��År��vh�xbw�t�xbw�t�r�q�qowN«¯h � t~w{`hxbhtv�~rutvh�moxJt~w'r��qowy}�h �¹� w�gµr�m�x�� ��� ³ �x � hC��}�wyg2hµ�vhC��pbqsr���m�t²�Å�Cw�x � m�tvmowyx|}t~ebh9r � g�mo}�}vmo�|qoh � wyg2r�m�x�������� �>r�x¬�`h � hC}��C��mo��h � �J�¬rÅ}�htµw ® m�xbhC¼¨p�r�q�m�tvmohC}

ùêú�û�ù ó

Page 14: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �y�

���������7E;ma³ h�³�t~ebh�moxJt~h�v}vh�tvmowyx2w ® t~e|h � wyg2r�m�xb}�� ���������|¶ � � �� ��� ������� �� L���³ (Pw��h��|r�g�{bqohu¶·mox'�bm�{`h � r�q�qowF�Cwyg�w�tvmowyx9}��F}�tvhCg�}C¶�t~ebh^�Cqow�}vh � � w�gµr�m�x � mo}´tvebh��y�vw�pbx �t~e�rut�t~e|h¯�bm�{`h � «�r�qo§¨}�wyx·³�d�ebh��wyxJt�r���t~}/��ht²«¯hChxkt~ebh ® hCh�tHrux � t~e|hL«�r�qo§¨m�xb��}�pb� ® ru�Ch�>r�x �`h'��ebr��~r���t~h�vmoÂh � r�} pbxbm�qsrutvhC�~ruq´�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}C³�d�ebhÅmox|hC¼¨p�r�q�m�t~m�hC}�� ��������� � hC}��C�vm��`h2t~ebh�xbw�xb{`hxbhtv�~rutvmowyxD�Cwyx � m�t~m�wyxb}³ � wyxb}vh¼¨pbhCxJt~q±�y¶[«(ebhCx1r ® wFw�tkm�g2{br��tv}t~ebh9�y�vwyp|x � }vp|� ® r��h�¶�«�h ® r��Ch9t~ebh9mog�{�r��t�{b��wy�bq�hCg w ® rDg^pbq�tvm ²q�moxb§Å��e�r�m�x¬«(m±t~epbxbmoqorut~h�~r�q��wyxb}°t~�~rumoxJt~}³��²x ® r��tC¶`tvebh^wNªyh�~r�q�q/g�w�t~m�wyx½w ® t~ebh��bmo{�h � gµr>�½moxb�qop � hkrªyhC�°�Á�wyg�{bqoh��Á}�hC¼¨pbhxb�Ch�w ® �wyxJt~mox¨pbw�pb}©r�x �Á� mo}��CwyxJt~m�x¨pbwypb}�{|e�r�}vh}C³©d�ebm�}´{�wy}vh}©rªyhC�°� ��e�ruqoqohxb�ym�xb�k�Cw�x¨tv�vwyq`{b�vw��bqohg9¶¨«(m�tve r�x r �b� h � �Cwyg�{bqom��>rutvmowyx�w ® �Cw�x¨tvmox¨pbwyp|}vq����e�r�xb�ym�xb�'g�w�t~m�wyx �Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}�r�x � qor��v�yh2ªyhCq�wn�m�t²�!{`h��tvpb�v��rYt~mow�xb}k�vh}vpbq±t~m�xb� ® �vwyg�y�vwyp|x � mog�{�r��tv}C³

� � �������(3 �©�Ä� ��� ��� �(+ �L�/��&��Ä��� � "D� � ��&'�(� � + � +·�µ+���Ä�(3 + >��� ·� �¯� �Ä� > ����©�Ä�.�H��� ���� +·���H���C���+

!#"�$ %'&)(+*�,.-0/�1��mo{�h � ruq�q�wn�wyg�w�t~m�wyx�}��F}�tvhCg�}�r���h �²pbxbmoqorut~h�~r�q�q��2�Cwyx|}�t~�vr�mox|h � � � �Fx�rug2m��>r�q�}°�n}°t~hg2}Eêt~hx "�r�g E��N�y��J�L+L�³ D «�rN�Ït~w¹g�w � hq�}vp|��e }°�n}°t~hg2} mo}2t~w$moxJt~��w � pb�Ch'r¹}�ht w ®pbxbmoqorut~h�~r�q`�Cwyx|}�t~�vr�moxJtv}�mox�t~ebh ® wyq�qowN«(mox|� ® wy�vg X

�2�3�4���5 ��7698;:< ��.=48�:?>A@B8DC«(ebhC��h����vh{b�vh}vhx¨tv}^t~e|h2�wyg2{|qohtvh�ªyhC��t~wy� w ® �yhCxbh�~r�q�moÂh � �CwFwy� � m�x�rutvhC}C¶Ät~ebrut mo}C¶��� hCxbwut~hC}�tvebh�x¨pbgk��hC��w ® � hC�y��hChC}©w ®L® ��hCh � wyg w ® t~ebh�}°�n}°t~hg «(m�tvebwyp|t´�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}¶ma³ h�³/«(ebhxE�2�3�4��F'|³�d�e|h©�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}�g�h>rux tve�rut.tvebh©��w � m�hC}�tve�rut(�wyxb}�tvm�tvp|t~h´tvebh}��F}�tvhCg �>r�x|xbw�tLmoxJt~h�v{�hCxbh�t~�vrut~hu³ (Pw��[r ��mo�ym � �bmo{�h � �vwy��w�tC¶G�©�Cwypbq � ��h(��ebwy}�hCxµtvw���ht~ebh��wyg2{|qohtvhkªyh�t~w�� w ® ��wym�xJt©�CwFwy� � mox�rutvhC}�{|qopb}�tvebh�hCpb�qom � msr�x�}�{�r��h��wnw�� � m�x�rut~h}w ® r {`wym�xJt rut�t�r���e|h � tvw!t~e|h9��wy�`wutSE t²�n{|mo�>ruqoq���¶¯w�xbhÁh��ntv�vhg2m±t²�$w ® t~e|h9§¨mox|hCg2rut~m����e�r�mox L�¶�«(ebhC��h>r�}¶H�2�3�4���Cw�pbq � ��h��vh � pb�Ch � ® wy�^{b�~r���t~m��>r�q¯�vh>ru}vwyxb}�tvw�t~ebh �vhqsrutvm�ª�h® hCht�tvw½���vwypbx �Å� mo}�t~r�xb�hC}C³�d�ebh � �Fx�r�g�mo�}©w ® r �. � h�y�vhh ²w ® ® �vhh � w�g g�hC��e�r�x|mo�>ruq}��F}�tvhCg }vpb�¨��hC�t2t~wI� pbxbm�qsrutvhC�vr�q.�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}�gµr>�¹��h½«(��m�t�t~hCx¬r�}�t~ebh ® wyq�qowN«(moxb�J ó'é@çLK(Ó�ØßÒ°×CâÄÞaÒ°Ü�çYÚßÖ�Þ@ØÝâêí(Ó�æ×YèNØÝâ@Øßæ�×Yé�Ö�Þ@ÒõnâaÔXÒ "�æ�çX×uèXÖ�Þaí�æ �NM�ØÙé�æ%�|Ó�æNèNØßã.Ò°×Yé@Øßæ�× ��äNæÞPOQ?R

Ö�×YèSM�ØÙé�Ó�æ×CìÒ��Jô

û�û ×�� &>ò��%�

Page 15: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

�X� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

}��F}�tvhCg � � �.w ® hC¼¨p�rutvmowyxb} X�.�������� ��� ��� !��� ��� ��� �������� �� ��������� !�4� E��fL ��� ������� � � ��7�5 ?�2�3�4��� E@�KL�(hC}�tvm�tvp|t~m�wyx qsr>«�� }vebwF��§ � �Fx�r�g�mo�} E�;�L"´�°� (P��mo��t~mow�x D g�wyxJt~wyx|} � w�pbqowyg^� �Ý}�g�w � hCq Eêi\L

«(ebhC��h�� �3�4��m�}.t~ebh�m�xbhC�°t~msrkg2rutv�vm±�`¶�� �3�� !�4��moxb�qop � hC} � wy�vm�wyqom�}C¶F�Chx¨tv�vm ® pb�Jr�q@¶|�y�vrNªFm t�rutvmowyx�ruqa¶brux � wut~ebh�(tvhC��g2}¶���9mo}zr�x½h��Ft~h�vx�ruq�m�xb{bp|tC³¯d�e|h���hC}�t�w ® t~ebh�t~h�vg�}zr�x �ª�ru�vmsru�bqoh}�r��vh � h�­�xbh � xbh��Ft>³

(�wy��t~ebh��bmo{�h � }�t~ebh�ÃÄr����~r�xb��h � �Fx�r�g�mo�}H�>rux��`h.��h«(��m�tvtvhCx�m�x�r´}v{�hC�m�­�� ® ru}vebm�wyxt~e�rutz�wy�v��hC}v{�wyx � }�t~w��Cw�x¨tv�vwyqÄwy�¨��hC�tvm�ª�hC}�rux � r�q�qowN«(}.t~e|h � h}vm��yxbhC�(t~w2�yht�r��`h�tvtvhC�pbx � h�v}�t~r�x � m�xb�'w ® tvebhCm�� � �Fx�r�g�mo�Cr�q ® hCrut~p|�vhC}TEê¿ moh�`h�?Ea�u�y�y��L�Î9F©�vm�ÂCÂqoh�¶ D �b��rSH�[q�hC}°t�r�x�Ea���y�n�fL+L�³��²x w�t~e|hC��«�wy� � }C¶�t~ebh2��ebwymo�hµw ® t~ebh2�yhCxbh�~r�q�moÂh � �CwFwy� � m�x�rutvhC} �mo} �C�vp|�Cmsruq ® wy���CwyxJtv�vwyqL{bpb��{`wy}�h�¶�rux � �Ch��t�rumoxbq±� gkpb��e q�hC}v}^wy�Jªnm�wypb} t~e�r�xDm�t�mo} ® wy�}vhC��msr�q�g2r�xbm�{bpbqorut~wy��}C³ (�wy�©h��|r�g�{bq�h�m�x (�mo�b³MUn¶����>r�x!�`h�}v{|qom�t�m�xÅt²«¯wÁ}�pb�b}�ht~} � �r�x � � � ³!d�ebh�ªyhC��t~wy� � � � ��� �A "!4� � h}v�C��mo��hC}�t~e|h½��qowy��ruq¯{�wy}vm±t~m�wyx¹w ® t~ebh ��wy�`wutmox }v{�ru�Ch�«(ebhC��h>r�}�t~e|h�ª�hC��t~wy� � � � �$# � ������ "#&%��©r��vhktvebh´��wymoxJt��CwFwy� � mox�rYt~hC}³�d�ebhªyhC��t~wy�D� � �wypbq � ��hzrutvt~r���ebh � t~w r�xJ��{�wym�x¨tHw ® tvebh(�bmo{�h � ³�¾�h�ªyhC�°t~ebhqoh}v}Lm�t[mo}�§¨xbwN«(x® �vwyg �|mowyg�h � m��>r�q�}�tvp � moh}9w ® e¨pbg2r�x �yr�m�t�tve�rut½wyxbhÅw ® tvebh {b�vm�gµru���ºw��F��hC��t~m�ª�hC}� pb�vm�xb�$qowF�Cwyg�w�tvmowyx¬mo}�t~ebh }°t�r��bm�qom�Â>rutvmowyx¬w ® tvebh ebh>r � «(ebh�vh t~ebh h��FtvhC�vwF�Ch{|t~m±ªyh}vhCx|}vwy��} E;mox|xbhC�khCr��C¶�}�mo�yeJtCL�r���h qowF�>rutvh � ³ÅlFhtvtvmoxb�E� � ��� � �� � � � ¶ E��fL�}v{|qom�tv}^m�x¹r�xpb{b{�hC�L{�r���t�r�x � r�q�wN«�h�¯{�ru��tL�Cwy���vh}v{�wyx � m�xb��tvw�ebhCr � g�w�t~m�wyx�r�x � ��wymoxJt � �Fx�r�g�mo�}�vhC}�{`h�tvm�ªyhq��SX' � � ������ � �����)( �� � ' � � �3�� !� �� � �3�� !� �*( �

' � � ( ���2�2�3�4� �� ����� ��� !� � EGUKL

�2�3�4� � �+�-,/.� �102.� 3�4,�5 3�40�5 � � 69876 E�Q�L�²x t~ebh©}�hC¼¨pbhCqvEê}vh�t~m�wyx?;|³ß�n³ß�KLL«¯h�«(moqoq��vh�ªFmoh« t~e|h�rNªur�m�qsr��|qoh(g2w � hqomox|��t~wFwyq�}¯«(eb�moe«(moqoq[ruqoqowN«�t~ebh � hC}�mo�yx|hC��tvwÁ�wyg2{|qohtvhREGUKL´«(m�tve EG;KL r�x � E;i\L�³?V�h�vh8� � � ½}vmox|�Cht~ebh �bmo{�h � e�r�}zwyxbq±����wym�x¨t�r���t~p�rYt~wy��}C³ D }´r�gµrYtvt~h��w ®H® r���tzebh>r � g2wut~mow�x½�Cr�x½wyxbq���`h9r���ebm�hªyh � t~ebr�xb§¨}2tvw r �CwFwy� � m�x�rutvh � r��tvmowyx1w ® ��wym�xJtµru�t~pbrut~m�wyxb}�r�x � �CwyxJt�ru�t® wy�v�hC}C³1d�ebm�} ® ru�t�mo}�{b��wy��r��|q��¹g�wy�vh ru{b{�r���hCxJt ® wy��t~ebhT@�m��yeJt�{be�r�}�hC}�E;�vp|xbxbmox|�\L� pb�vm�xb�9«(e|mo��eDtvebhC��h r���hµxbw��wyxJt�r���t ® wy���Ch}kr�x � t~ebh�t~�~rN��hC�tvwy���!w ® tvebhµ�hCxJt~h�kw ®gµr�}�} E@rut�t�r���e|moxb��t~e|mo}.t~m�g2h+� � t~w�t~ebh��ChxJt~hC�(w ® gµru}v}CL¯�Fm�hCq � }�wyxbq��2t~w��y�vrNªFm±t²�y³

ùêú�û�ù ó

Page 16: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �m;

�����������

�� � ���� � ���

� � � �

������

���

(/mo��pb�vh U�X D � "´w (¬��qsrux�r�����m�{`h �

D qoq[�Cw�g2{bq�hCg�hCxJt�ru�vm�t²�- Õ}vqsru��§Fx|hC}v} }��F}°t~hCg�} � hC{bm��t~h � mox (/m��b³vE°�fL©�>ruxD��hµ�vh{b�vh }vhCxJtvh � mox½t~ebh ® wy�vg �ym±ªyhx��J��E��fL �E;i\L�³*(�wy�zh��|r�g�{bq�h�¶�t~ebh�­��v}°t�wy� � hC� � �Fx�r�g�mo�C}zw ®r´��p|�y�yqoh�.�>rux9��h©«(�vm�t�t~hx9ru} X

���� ���!� � ��� � � � � ! � N�!� � ��� � � � � ! � 3 N� �#" � � � � � � � 5 9�5 " � � � � � �H�� wyq�qomo}�mowyxµgµr�{|{bmoxb�

EGJKL

d�ebh � � > � �nxbr�g2m��C}���hC{b��hC}vhxJt~}�t~ebh � �nxbr�g2m��C}kw ® tvebh ��w��F��hC��t��SEê«(ebm���e1g2r>�D��h r�vh>ruqLw��F��hC��t�qom�§�h2r9{bpb��§P¶�wy��t~e|hµ�ChxJt~�vhµw ® �y�vrNªFm±t²� � �nxbr�g2m��C} w ® r @|�nm�xb�Á}°�F}�t~hgqomo§uh�«(ebhx't~ebhk�|mo{�h � mo}´r�mo���`w��vxbh�E@����wy�yqomorut~w�E°�>�y�y��L5L�¶P«(ebmoq�h�t~e|h � � > � �nxbr�g2m��C}�m�}t~e�rut(w ® tvebh ���vw��`w�t ��³Hd�e|h�rux�r�qow����µ��ht²«¯hChx E�J�L.r�x � E�UKL E@�KL EG;�L Eêi\L��>rux9��h©gµr � h«(ebhC��h � � mo}.tvebh��ChCxJtvhC�zw ® ���~r>ªFm�t²� �wnw�� � m�x�rut~h}C³

VzwN«�h�ªyhC�µ�bmo{�h �1� �Fx�r�g�mo�}2{�wy}v}�hC}�}vhC}µ}vwyg�h9}�{`h�Cm±­�� ® hCrut~p|�vhC}�t~ebrutµg2r�§uh tvebh�CwyxJt~��wyq�}°t~p � � � m�»`hC�^}vmo��xbm�­��Cr�xJt~q±� ® ��wyg t~ebh��wyxJt~�vw�q�w ® w�tvebhC���wyg2{|qohCg�hCxJt~r��vm±t²� }vqsru��§Fx|hC}v}z}��F}°t~hCg�}IE;}vhh#(�mo�b³ E°�fL5L�³[��m�{`h � }�}ve�ru�vh�t~ebh ® wyq�qowN«(mox|� ® h>rutvpb�vh} X

û�û ×�� &>ò��%�

Page 17: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

�>i � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

�y³�¿ m�tveµ}��F}°t~hCg�} Eê��L�¶ E � L[r�x � E;hmL(X/t~e|h´�ChxJt~hC��w ® g2r�}v}¯mo}Lxbw�t¯�CwyxJt~��wyqoq�h � «(ebhCx��������F �E;r�}.t~e|h w��F��hC��t�w ® t~e|h.��p|�y�yqoh�.mox�EGJKL+L�¶

�n³�¿ m�tve�}°�F}�t~hg E;hmL X�tvebhCm�� � �Fx�r�g�mo�C}[m�}Ht~e�rutLw ® r g2r�xbm�{bpbqorut~wy��«(ebhCx2wyxbh ® wnwut}�tvmo��§¨}�t~w�t~ebh��y��wypbx � ¶

;|³�¿ m�tveÁ}��F}°t~hCg E;��L X�t~ebh��Ág2r>�9��h^p|x � hC�vr��tvp�rutvh � E;x|w�r�xb§¨qoh^r��tvp�rutvwy�CLzr�x �r��tzru}�rux½m�xJªyhC�°t~h � {�hCx � p|qopbg «(e|hCx½wyxbh ® wnwut(}�t~m���§¨}(tvw�t~ebh��y��wypbx � ³

d�ebh ® ru�tÄt~e�rYt��|mo{�h � }Äg�hC�v��h¯ruqoqyt~e|hC}vhL��e�r��vr��tvhC��mo}�tvmo�}�g2r�§uhC}Ät~ebhmo�Ä�CwyxJtv�vwyqFr�x�ruq��F}vm�}�Cwyg�{bqoh��`³º�²xÏt~e|mo}�}vpb�°ªyh�1«¯hÁwyxbq±�$�Cwyx|}vm � hC��}��F}�tvhCg�}µ«(m�tve¬q�pbg2{�h � @�h��|m��bmoq�m�tvmohC}E;}��F}°t~hCg�}�«(m±t~e � mo}°t~��mo�bp|tvh � @�h��nm��bqoh�h»`hC��t~}kru�vh�xbw�t��Cwyx|}vm � hC�vh � ebh�vh�L�³ &�¼¨p�rut~m�wyxE°�fL��vhC{|�vhC}�hCxJt~}�t~e|h }vg�wnwut~e � �Fx�rug2m��C}^«(ebhx$hCm�tvebhC��t~ebh }°�F}�t~hg hª�wyq�ª�hC}�mox ® �vhCh g2w�tvmowyxµwy��mox½r�{be�r�}�h w ® {�hC��gµr�x|hCxJtz�CwyxJt�ru�t>¶�m@³Ýhu³

� � � �3�4��� ® wy��}vw�g2h �D6��+�3�4����� �� ������� ����� �3�4��F' ® wy�� ��6��+����� E;��L

d�e|h^}vh�t�w ® hC¼¨p�rutvmowyxb}�moxWEa�KL��vh{b�vh}vhx¨tv}�t~ebh��Cwyg�{bq�hCg�hCxJt�r���m�t²���wyx � m±t~m�wyxb}(�`h t²«�hhCxSt~ebhÁxbwy�vg2r�q ® wy���Ch �� 6 8 C r�x � t~e|hÁ{�wy}vm±t~mow�x·³]d�ebhx·¶(moxºh¼¨p�rut~m�wyx E��fLE �2� � ����������� 6E8 : mo}.tvebh��y�~r � mohx¨t�ª�hC��t~wy�"L�X

� �� �� ��� ��� C��� � �2� �� ���� �¾�w�tvmo�Ch�tve�rut ® wy� �D6��+������¶�wyxbh��>r�x½h��n{b��hC}�} E@�KL�r�}

���� � !� �0����� � 5 � ���� � �5 !� � �3�4��� E;��Lwy�C¶bm ® !� ��������� ® wy� �D6��+�3�4��¶Pr�} X

���� � �� �0����� � 5 � ���� � �5 �� � �3�4��� E°�>��L�©x|h g2r>��}vhhklFmo�yxbw��vmox|m�� }.�Cwyx � m�tvmowyxb} EG��h>r�xWE°�>�y�K;�L5L ® wy�(w�t~e|hC� ® wy�vg^pbqsrutvmowyxµw ® tvebh�Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²� �vhqsrutvmowyx|}C³�¿!h }vebw�pbq � xbwut~mo�h2tve�rut E@�KL�¶ E;��L^r�x � E��N��L r��vh x|w�thC¼¨pbm�ªur�q�hCxJt>³��²x � hh � wyxbhLgµr>�©e�r>ª�h�� �0�3�5� �"!�� � � �r�x � !� �0�3�5� �"!�� ��F zwy� !� �0�3�5� �"!�� ��µr�x � �� �0��� �#�$!�� � F |³��²x9t~ebh ­��v}°t©�>r�}�h�¶ ® wyqoq�wX«(m�xb� Ea�KL�¶ ���� � � �«(ebm�qoh ® �vwyg E��N��L�¶ ��%� �� n¶�rux � }�mog�moqor��vq±� ® wy��t~ebh�}�hC�Cw�x � �Cr�}vhu³ �9w��vh�{b�vh�Cm�}vhCq±�'qoh�t�pb}�moxJªyh}�tvmo�Jrutvh

ùêú�û�ù ó

Page 18: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �fU

t~ebh��>ru}vh�«(ebhC��h^r�x9r���t~m�ª�h��wyxb}°t~�~rumoxJt �L��hC�wyg�hC}({�r�}�}vm�ª�h^rYt � �$!N¶�}�hCh7E@Ã���tv}�t~h � tE°�N�y�y�KL+L�³[��x �35 �"! � ¶|wyxbh�e�r�} X

� � � 5 !� � � �2� �� !� � 5 �� � � �2� �� �� � � �3�� !� �� 5�

d�e|h ® r��t�t~e�rYt/t~e|h.r���t~m�ª�h.�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨t �Ê��hC�wyg2h}/{�ru}v}vm±ªyh(rut �"!�g2hCr�xb}�tve�rut�t~ebh�vhh��nmo}°t~}�� !+F �}vpb��e½t~e�rutC¶�wyx � �"!L �"! ��� !���¶ � ��F'|³[¾�wN« X

� �0� � � � � �� � �"!�� !�5� �"!�� � ;> �"!�������� � ;> �"!�� � ��F'd�eFp|}C¶Pt~ebh�vh h��nmo}°t~}�� � F|¶�� �� � !N¶�}�pb��eÁt~ebrutzwyx �#�$! �$! ��� � ��¶ !� �;F|³�lnmog�moqor��vq±�t~ebh�vh h��|m�}�tv}� � F |¶�� ��� � � ¶ ® wy�^«(ebm���e¹wyx � �"!L �"! � � � ��¶ �� � F |³'d�ebm�}k}vebwN«(}t~e�rut-Ea�KL´m�}�ª�ruqom � wyx � 5 ����'��¶�E@�KL´wyx � 5 �"! ��� � ��r�x � E��N��L�w�xbq��Áwyx � 5 �"! ��� � ��³ÃÄh�t.pb}¯xbw�tvh´ebh�vh�tve�rutLt~ebm�}�{b��wn�hC}�}.w ® }�pb�C�hC}v}�m�ª�h � hC��m�ªurut~m�wyx��>r�x ��h´��hCm±t~hC�vrut~h � ��������� ��61X#NLr�x � hC��ln��e�r ® t�ht�r�qa³_Eêªur�x � hC�.ln��e�r ® t9H ln��e¨pbg2r���ebh� E°�>�y�KQ�L5L�}�{`hCr�§�w ®" � � E � "��Fx�r�g�mo�Cr�q � wyg�{bqohg2hx¨t~r��vm±t²�2�[��wy�bq�hCg �nL�³��©pbxbÂCh�r�x � ¾�hpbg2r�xbx E��©pbx|ÂChHÀ¾zhCpbg2r�xbx E��N�y��J�L+LLp|}vh©}vm�g2m�qsr��[ru�v�ypbg�hCxJtv}�t~wk}°t�r��|moqom�ÂChzt~ebh�m�x � h�� }�ht�m�x � � ���J�moxb�qop � m�xb�kebm��yebh��wy� � h� � hC��m�ªurut~m±ªyh}zm�x t~ebhmo� � h�­�xbm±t~mow�x·³d�e|h2r � ªur�xJt�r��yh�w ® E��N��L´mo}�tve�rut�pb}�moxb� E��fL�¶Äm±t�r�qoq�wN«(}´t~w wy�|t~r�mox r à � � E �°Ã�mox.

h>r�� � wyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²������wy�bqohg �%LL«(ebwy}�h^pbx|§Fx|wX«(xÁmo}.t~e|h�m�x¨tvhC�vr��tvmowyx ® wy���Ch�³¯d�ebh�>r�q��Cpbqorut~m�wyx^w ® r©pbxbm�¼¨pbh ���rut ���! m�}Hmoxktvpb�vx�r�}vp �2�mohx¨tL�wyx � m±t~mow�x ® wy�/tvebh�moxJt~h�y�~r t~mow�xWE ® wy��mox|}�t�ruxb�Ch x¨pbg2h�vm��>r�q�q��AL¯w ® � � �(wyx�� �"!� �"! ����� ® wy�zr��#F�}�gµruqoqÊhxbwypb��e·¶}vhChSE �9wy��h>r�p E��N�y��U�L+L�³�V�wN«¯hªyh��t~ebh m�xJt~hC���~rutvmowyxÅ�>r�x¹��hµtv�vh>rYt~h � m�x r�x �6 )�� ����® wy�vg�«(m�tvebwyp|t¯t~ebh©h��n{bqom��Cm�t¯�>ruqo�Cp|qsrutvmowyx�w ® t~e|h©�CwyxJt�ru�t ® wy���Ch}C¶�r�}�{b�vwy{�wy}�h � �J�2tvebh� }�«¯hCh{bmoxb��{|�vwF�ChC}�} � ¶�}�hCh?E �9wy��h>r�p�E��N�y�KQ�L5L�r�x � }vhC��t~m�wyxS;|³ß� ® wy��rux�moxJt~��w � pb�tvmowyx X!� �#���! ��mo}L�Cwyg�{bp|tvh �2� mo��hC�tvq�� ® ��wyg !� �#� �! �[r�x � t~ebhz�yhCx|hC�~ruqomoÂh � ® wy�v�hC} � > � �3�� !�4�r �b� m�xb� r�{|�vwY��h�t~m�wyx�{b�vwF�Ch � pb�vh�tve�rutL�yp�r��vr�xJt~hhC}Lxbwyx. aªnm�wyqsrYt~mow�x^w ® t~ebhz�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}rut ���! ³ (/moxbr�qoq±� t~ebh�g�w � hCq�}�m�x EG;�Lzr�x � Eêi\L�r���hkxbhh � h � tvw �Cw�g2{bq�htvh�t~e|h � �Fx�r�g mo�C}³º�²xÏ{br���tvmo�Cp|qsr��km±t�mo}�xbhC�hC}�}~r��°�¬tvwD�vhqsrutvh�t~ebh½{`w�}�t� Õmog�{�r���tkªyhqowF�Cm�tvmoh}�tvwÅtvebh{b�vh ²mog�{�r���t � rut�r^tvw��`h©ru�bqohzt~w��Cw�g2{bpnt~h�}�wyqop|tvmowyx|}¯t~ebrut(r���h��Cwyg�{�rutvmo�bq�hz«(m±t~eµtvebh�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~} E;m�x¨tvhC�y�vrut~h t~ebh^}��F}�tvhCg rux � �vhx � hC��t~ebh � wygµrumox ���� � �����2�3�4�+� moxJªur��vmor�xJt�L�³�d�ebh��qsr�}�}vmo�Cr�q � ��� ® �vm��tvmowyx�g2w � hq�m�xSEêi\LL{b��wNªnm � hC}Lt~ebh ® wy�vg w ® �&� �3�� !� �mox�E°�fL�¶b}vhh�}vhC��t~m�wyx�;n³*;|³

û�û ×�� &>ò��%�

Page 19: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

�mQ � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

¾zwN«�¶Fm ® «�hzr�q�}vw��wyxb}�m � h�Ht~ebh��wyg2{|qohCg�hCxJt~r��vm±t²����hCqorut~m�wyxb}ve|mo{·¶u�Cwyg�{bqomor�xJtHm�x¨tvhC� ® r��Ch}z�Cr�x �`h�hCr�}vm�q��2�>r�}°t�m�x t~ebh ® wy��g �ym±ªyhx½�J� E@�KL�³ (�wy��h��|r�g�{bqohu¶bqoh�t(pb}(�Cwyxb}�m � h�t~ebh�}��F}°t~hCg }�ebwN«(xDm�x (�mo�b³�E�Q�L�³ (�wy��tvebmo}©}�mog�{bqoh^�>r�}�h�tvebh��Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²�½«(moqoq�`h��ym±ªyhCx �J��X

��� � 5 ?� � ��2� � � � C > ���

xm

xe

(/mo��pb�vh QAX (�qoh��nm��bqoh��wyxJt�r���t

¿!hz}vebwyp|q � xbw�t~h(t~ebrut[t~ebhzh��|r�g�{bqoh�m�}[�ym�ª�hCx2tvw � hCg�wyxb}�tv�~rutvh�t~e�rut¯�Cw�g2{bq�hCg�hCx. t�r���m�t²���Cw�x � m�tvmowyx|}��Cr�x�r���Cwyg�g2w � rutvhv@bh��nmo�bq�h¯�wyxJt�r���t~}³H�²xkt~ebh¯hCxb}�pbmox|��{�r��°tHw ® tvebh{�r�{�hC�C¶�ebwN«�h�ªyhC�¶J«�h���ebwFwy}�h�t~w � hCr�qFwyxbq�� «(m�tvek�vm��ym � �Cw�x¨t~r��tC³Hd�ebh�g2r�mox �vhCr�}vw�x ® wy�}vpb��e�r���ebwym��Chzmo}�t~ebrut[t~ebhz�vm��ym � Õ�`w � �^r�{b{b��wJr���e2{b�vwNªFm � h}�r g2w � hq|t~e�rYt�m�}L}�pbm�t~r��bq�h® wy����w�t~e �Cw�x¨tv�vwyq � hC}�mo�yxÅr�x � r�xbr�q��F}vm�}C³ D �tvp�r�qoq±�Ág�wy}°t�w ® t~ebh�}°t~p � m�hC}�wyx �bm�{`h � }�CwyxJt~��wyqF�vhCq±��wyx�rz�vmo��m � Õ�`w � �©ru{b{b�vwyr���e^«(m�tvekmog�{bpbq�}vm±ªyh ® wy�v�hC}/rut/m�g2{br��tv}�«(m±t~e�tvebh�y�vwyp|x � ³z�Õt´m�}ztvebhC��h ® wy��hk¼¨pbm�tvh ® pbx � r�g�hCxJt�r�q@¶`��h ® w��vh �ywymox|��tvwµt~ebh��CwyxJtv�vwyq � hC}�mo�yxʶt~w'e�r>ªyh r��qohCr��kpbx � hC�v}°t�r�x � moxb�'w ® tvebh�pbx � hC�vq±�Fmoxb� � �nxbr�g2m��C}km�x¹wy� � hC�^tvw'gµr�§uhr��C�pb�~rutvh2x¨pbg�hC��mo�Cr�qH}vm�gkpbqorut~m�wyxb}-E;���vwy��qomsrYt~wb¶ÊtvhCx "�r�g½¶���r�wyq�ma¶ F � xbw�t H D ��r � m�hEa���y�n�fL�Î D ��r � moh Ea���y����L+L�³ (/m�x�r�qoq±�kt~e|h´�vm��ym � ²��w � �k�Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²��r�{b{|�vwJr���eµe�r�}�`hhCx�ªur�qom � rutvh � h��n{`h�vmog�hCxJt~r�qoq±� mox�}�hªyh�~r�q/moxb}°t�r�xb�hC}-E D ��r � moh?E@���y�y�KL�η� ® hm�»`hC�'HF�q�wn��§uhC�TE��N�y�KQKL+L�³Á�Õtkmo}kr�qo}�wÁmog�{�wy��t~r�xJt�tvw�xbw�tvmo�Ch2t~e�rut^qopbg�{�h � @�h��nmo�bm�qom�tvmoh} �Cr�x

ùêú�û�ù ó

Page 20: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �fJ

�`h moxJt~��w � pb�Ch � moxWE°�mL E ® wy�zmoxb}°t�r�xb�h�}°t~m±»Êxbh}v}�hC}�rYt�tvebh�§¨xbhhC}"L�¶·rux � «¯wypbq � ebhqo{Ám�x�`h�tvt~h��g�w � hCq�moxb� tvebh2ªFmo�|�~rutvmowyxb}©��vhCrut~h � �J�Åtvebh�mog�{�r��tv}C³ � q�h>r���q��'e|wX«¯hª�hC�^tvebh�CwyxJt~��wyq�{b��wy�bqohg �Cw�g2{bq�mo�Crut~h}©mox't~ebm�}��>r�}�h�³ � w�xb}vh¼Fp|hCxJt~q±�!tvebh�g2w � hCq�m�x E°�fL �E;i�Lmo}.ªyh���½�yhxbhC�vr�q�r�x � mox {�r��°t~mo�pbqsru��hCxb�wyg2{br�}v}�hC}�r�qoqÊtvebh g2w � hCq�}.«(ebmo��e9e�r>ªyh �`hhCx{b�vwy{�wy}�h � mox�t~ebh�q�m�t~h�~rutvpb�vh´wyx �bmo{�h � }(�wyxJt~�vw�qa³�Õt[m�}[r�{b{�ru�vhCxJt[t~ebrut�t~ebh(}�htLw ® hC¼¨p�rutvmowyxb}�m�x E°�fL �E°�>��L � h�­�xbhC}¯r©�Cwyg�{bq�h���eJ�F�b��m �

� �Fx�r�g�mo�>ruq�}��F}°t~hCg½¶Lmox¹t~ebh�}�hCxb}�h½tve�rut�m±t�g2m �nhC}k��w�t~e$�wyxJt~mox¨pbw�pb}�r�x �$� mo}��C��ht~h hªyhxJt�{bebhCx|wyg2hx�r|³�d�ebh�}�t~rut~h}�w ® tvebh � m�}v�C��htvh ²h�ªyhx¨t�}°�F}�t~hg E " &LldL´r���h � h�­�xbh ��¨��tvebh+� C g2w � h}Lw ® t~e|hz�wyg�{bqohg2hx¨t~r��vm±t²�k�wyx � m±t~mow�xb}[mox Ea�KL�³H�²xJt~h�y�~rutvmowyx�w ® }vpb��e}��F}�tvhCg�}.mo}¯g2wy��h � m ���Cpbq±t¯tve�r�xµtve�rut�w ® � " &�}.wy� " D &�}C³[�²x � hh � r�}�}vpbg�h´t~ebrut¯tvebhmoxbm±t~msruq|�Cw�x¨tvmox¨pbwyp|}¯}°t�rutvh7�3�"!� !�"!��[��hCq�wyxb�y}�t~w^r �hC�°t�r�m�xµg�w � h E t~e�rut[«¯h´g2r>� � hCxbwut~hg2w � h � ��� � !�� � ® �vwyg E;��L+L�r�x � tve�rut t~ebhµ�Cwy���vhC}�{`w�x � mox|��" D & mo}�«�hqoq ²{�wy}vh � ³ Eê�Õt}vhChg2}Htve�rutHtvebh�qohCr�}�tH�vhC¼¨pbm��vhg2hx¨t ® wy�/«¯hCqoq ²{�wy}vh � xbh}v}�w ® � � �/mo}�t~e�rut/t~w©h>ru��e2g�w � h� �����©t~ebh�vh �wy�v��hC}�{`wyx � }�r9«¯hCq�q ²{�wy}�h � }°�F}�t~hg2}�w ® " D &�¶H}vhh Eêªur�x � hC�kln��e�r ® t-Hln��e¨pbgµru��ebhC� E��N�y�KQ�L5L+L�³�d�ebhx�m�tHg2r>� e�r�{b{�hCx�t~ebrut ��� � �� !�5� � ���vhCr���ebhC}[r��`wyp|x � r��°��`h�t²«�hhCx t²«¯w E;wy�Lg2w��vhmL�{�wy}v}�mo�bq�hzg�w � hC}2XHwyxbh�r��tvm�ª�h´�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨t E � �0�3�4� � �L�g2rN��`h�Cwyg�h�mox�ru�t~m±ªyh E3� �0����� F �L�«(e|moqoh^wyxbh�wy�©}vh�ªyh�~r�q[w�tvebhC��}�«(e|mo��e «�h�vh�mox�ru�t~m±ªyhu¶�`h�Cwyg�hkr���t~m±ªyh�³©�²}©}�pb��eÅr2t~�vr�xb}�m�t~m�wyxÁ}�g2wFw�tve E;m@³Ýhu³´t~ebh^�CwyxJt~m�x¨pbwypb}©}°t�rutvh�rutvt~r�mox|}t~ebh���wypbx � ru��� mox }�pb��e r�«.r>�'tve�rut m�t � xbrut~pb�vr�qoq±� � E;wy� � t~r�xb�yhx¨tvmsr�q�q�� � L(hCxJt~h�v}^m�xr�xbw�tvebhC�.g�w � h������.m�}.m�t.xbhCh � h � t~w�r��b��pb{|tvq��2g2w � m ® ��tvebh©�CwyxJtvmox¨pbwypb}.ª�hC��t~wy��­�hq �� mo��hC�tvmowyx Eê}�t~rut~h·��pbg�{�L�� �²}�tvebh[�CwyxJt~m�x¨p�rut~m�wyx�w ® t~ebh[�Cw�x¨tvmox¨pbwyp|}�tv�~rX��h�t~w����©pbx|mo¼¨pbhr�x � mox rkp|xbmo¼¨pbh©g�w � h��9d�ebh�vh©g2rN�µ�`h´�>r�}�hC}(mox «(ebm���e�t~ebh´tv�~rX��h�tvwy���µmo}.pbx|mo¼¨pbh�bp|t �`hqowyx|�y}©t~w }vh�ªyhC�vr�qLg2w � hC}¶Äma³ h�³�hªyw�q�ªyh}�m�xDr �Cw � m�g2hxb}vm�wyx � � }vpb�b}�{�r��hµw ®t~ebh¯�Cwyx|­b�ypb�~rYt~mow�x^}v{br��Ch.�wy�v��hC}�{`wyx � moxb��t~w©r�x^mox � h�t~h�vg�mox�rutvh[�>r�}�h Eêªur�x � hC��lF��e�r ® tH lF��eFp|gµr���e|hC�-E��N�y�KQ�L5L�Î`t~ebh�vh^g2r>�9r�qo}�wµ��hk�>r�}�hC}�m�x9«(ebm���e'}vh�ªyhC�vr�q/tv�~rX��h�t~w��vmoh}�3�5� �� !�5� � �(hCg�hC�v��h ® ��wyg¸wyxbh }�t�rYt~h�¶`�vhqsrutvh � tvw � m±»Êh�vhx¨t " &LlÁ}�t~rut~h}C¶Êh�ªyhx'm ® tvebh}��F}�tvhCg mo}(rup|t~wyx|wyg2w�pb} Eêªur�x � h�´lF��e�r ® t2H�ln��e¨pbg2r���ebh� E��N�y�KQ�L5L�¶nh��|r�g�{bqoh� � �� wy��m ® t~e|h �wyxJt�r���t ® wy�v�hC} ���ru�vh©pbxbm�¼¨pbhCq±� � htvhC��g2m�xbh � E@�¯�vhC}�}~r�x E°�N�KU���L+L�³�Õt2m�}�r�qo}�w!m�g2{�wy��t~r�xJtkt~w!{`w�moxJt�wyp|t�t~e�rYt2}�pb��eº}°�n}°t~hg2} ® pbx � r�g�hCxJt~r�qoq±� � m±»Êh��m�xx�rut~p|�vh ® ��wyg tvebwy}�h�}�t~p � moh � mox E;�.r�mox|wXªWH lnmog�hCwyx|wXª E��N�y�y��L5L�¶/«(e|mo��e$�Cwyx|}vmo}°t�w ®gµr�m�xbq���wy� � moxbr���� � m�»`hC��hCxJt~mor�q·hC¼¨p�rYt~mow�xb}.«(m�tve½m�g2{|pbqo}�m�ªyh � mo}°t~pb����r�xb�hC}C³�²x½tvebh�}vhC¼¨pbhq�«�h }ve�ruqoqÊtv��� tvw�}�pb��ª�h��tvebh�{b�vm�xb�Cm�{�r�q·�wyxJt~�vm��bp|tvmowyxb}.tve�rut(�wyxb�Ch�vx�y³z�/r��°t~m��Cpbqor��.g�w � hqo}.w ® gkp|q�t~m�{bqoh�mog�{�r���t~}�mox�E�;�L¯«(m�tve½w��.«(m�t~e|wyp|t ® �vm��tvmowyx·¶

û�û ×�� &>ò��%�

Page 21: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

�N� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

�n³(d�ebh�}�tvp � �^w ® h��nmo}°t~hCx|�Ch�w ® }vw�qop|tvmowyxb}�{b�vw��bqohg2} ® wy��à � ��}��vhCqorut~h � t~w E@�KLÄ«(m±t~er�x � «(m�tvebwyp|t ® ��mo��t~mow�x·¶

;|³(d�ebh�}�t~p � �Åw ® h��|m�}�tvhCxb�h r�x � pbxbm�¼Fp|hCxbh}v}kw ® }vwyq�p|t~m�wyx't~w t~ebh�«(ebwyq�h2eJ�F�b��m �� �Fx�r�g�mo�Cr�qÊ}°�n}°t~hg � � �.m�xWE��fL �E;i\L�³

(P��wyg rkg2h��e�r�xbm��>r�q·hxb�ym�xbhCh��{`wym�xJt�w ® ªFmoh«�¶nt²«�w�¼¨pbhC}°t~mow�xb}�e�r>ªyh�t~w���h�r�xb}°«�h�vh �t~wb¶|«(e|hCxÁw�xbh©«.r�xJtv}(tvw2m�xJt~hC���~rutvh�t~ebh�}��F}°t~hCg E��fL �E;i\L E �9wy��h>r�pWE°�>�y�y��L5L�X� � D }v}�pbg2h�t~ebrut�� �����.m�}zx|wyx9hg2{nt²�½rut �$!N¶�r�x � tve�rut(t~ebh©ª�hCqowF�Cm±t²� !�5� � �! ��{�wym�x¨tv}

moxJ«�r�� � } �]wy��t�ruxb�yhCxJtvmsr�q�q��µtvw�� ���IX "´htvhC��g2m�xbh «(e|mo��e��wyxJt�r���t~}�� 6 � ������¶«(moq�q�{`h�v}vm�}�t�rYt � �� ³Á�²x w�tvebhC��«�wy� � } � h�t~h�vg�moxbh�t~ebhµ}vpb�b}�hC¼¨pbhx¨t�g�w � hREêwy�" &Ll }°t�rutvhmL�³

� � D t ���¶Xwyxbh�e�ru} !� � �� � � � � �0��� � ��L� � � ® wy�·}�wyg2h �D6 � �4 ������� ���r�x � � � �3�5� ��L� � �|³�d�eFp|}�r�}�ebwn��§�wF�C�pb�v}/rut ���³ "�ht~h�vg�moxbh[t~e|h��vm��yeJtĪyhCq�wn�m�t²� !� � �� ��³��²x^w�t~ebh�«�w�� � } � htvhC�vg�mox|h¯rz�vh ²mox|m�t~mor�qom�Â>rutvmowyxIEêªur�x � hC�/ln��e�r ® t�HSln��e¨pbg2r���ebh�(E°�>�y�KQ�L5Lw ® t~e|hTE;�wyxJt~m�xFp|wypb}CLz}�t�rYt~h�r�}´}vwFwyx'r�}�wyxbh?Eêwy�´}�hªyh�~r�q L�w ® tvebhk�Cw�g2{bq�hCg�hCx. t�r���m�t²�µ�Cwyx � m�t~m�wyxb}.m�x�Ea�KL�m�}��ywymox|�kt~w��`h©ªFmow�qsrutvh � ³

�²xDt~ebh2}vh¼Fp|hCq �� �� � 5 �� ��H�����Ê«(m�qoq[�yhxbhC��mo�>ruqoq�� � hCxbwut~h2tvebhµ}�pb�C�hC}�}vm�ª�h�mog�{�r���tmoxb}°t�r�xJt~}³

d�e|h(r�xb}�«¯hC��tvw´t~ebw�}vh�¼¨pbhC}°t~m�wyxb}�mo} ® r�� ® ��wyg���hCm�xb�´tv�vm�ªFmor�q|rux � e�r�}H��hChx�t~ebh.w��. ��hC�t�w ® g2r�xJ���vhC}�h>r�����ebhC}³¯d�e|h´­��v}°t.wyx|h´mo}L�vhqsrutvh � t~wk}�wyq�ªFmox|� tvebh©Ã � �$r�}v}�wn�msrutvh �t~w�t~ebh�}��F}�tvhCg½¶|ma³ h�³��`hmoxb�^r��bq�h(tvw^�Cr�qo�pbqsrutvhzrutLh>r���eµtvmog�h(w ® r �Cwyq�qomo}�mowyx ® �vhh.{be�ru}vht~ebhLmoxJt~h�~r���t~m�wyx ® w��v�Ch} � � �� �2�2�3�4� �� � �&���3�� !�4��¶YebhCx|�Ch�tvebh�ru�C�Chqoh�~rutvmowyx ��zr�x � tvebh}vpb�b}�hC¼¨pbhx¨t�g2w�tvmowyxʳ¯�Õt�e�r�}z�`hhCx9�~r�m�}vh � mox|m�t~mor�qoq±���¨� "�hCqsru}v}vp|}PE%"�hCqsru}v}vp|}PE°�>�|�fJKL5LE;}vhhzr�qo}�w E@� ® hCm±»Êh��H F©qowF��§�h� E°�N�y��Q�L+L ® wy�[r´ªyh����xbm��Ch(r�x � }�mog�{bqoh�/h��|r�g�{bq�hmL�³�d�ebh}vhC�wyx � ¼Fp|hC}�tvmowyx!mo}�tve�rut w ® � h­�xbm�xb�½{b�vwy{�hC����hC}�tvm�tvp|t~m�wyx �vpbq�hC}C¶�wy���Cw�qoqom�}vm�wyx�qsr>«(}³d�ebmo}��ywFhC}��br���§�tvw�tvebh� ��� �ChxJt~pb�°��r�x � t~e|h��ChCq�hC�b�vrut~h � ¾�h«�tvwyx � }¯�wyxY��h�t~p|�vh�¶¨}�hChE@����wy�yqomorut~wTE°�N�y����L�Î ��wyÂqowNª?H�d��vh}veb��e|hª E°�N�y�n�fL+L ® wy��g�wy��h � ht~r�moq�}C³��²x½{�r���tvmo�pbqsr��m ® }�hªyh�~r�q`eJ�n{�hC��}vpb� ® r��Ch} ��� � � � � � ������� � �r���h�rut�t�r�m�xbh � }�mogkp|q�t�ruxbhCwyp|}vq��?E;wy�¯m ®t~ebh©}°�n}°t~hg �vhC��wypbx � }(mox � h�­�xbm±t~hCq±�µw�x½}�hª�hC�~ruq ���/rux � «(m�t~e rk­�x|m�t~h�ru�C�Cp|gkpbqsrYt~mow�x ù ×�âaÔXÒ�Ó°Ö�é@Ò(æ%�Ä×Xæ�× � èNØ���Ò�Þ@Ò�×Câ@ØÙÖ "XÚßÒ�� M�ä�Ó�æ�ÞaÞaÒ�é@áuæ×YèNØß×XÜ�â@æ O Q RXä�æ�×XÒ(ÔuÖ�éLâ@æ�Ò��CâaÒ°×Yè�â@ÔXÒ

×Yæ�â@Øßæ�×ué·æ �FâÕÖ�×XÜÒ°×CâÄÖ�×Yè´×XæÞ@ã�Ö�Úyé@áYÖÓ�Ò�éÊâaæ�âaÖ�×YÜ�Ò°×CâÄÖ�×uè�×Yæ�Þaã.Ö�ÚJÓ�æ�×YÒ�é�äXé;Ò�Ò���Ñ©æ�ÞaÒ�Ö�ç�� �5�$%����²ô

ùêú�û�ù ó

Page 22: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �N�

w ® m�g2{br��t�tvmog�hC} ��mL�¶Fr 6�����G*)�� � �6 )A� ���|wn��Cpb��}C³��2lnpb��e�rux2h�ªyhCxJt¯wn��Cpb��}Lt²�F{bm��>r�q�q��� pb�vm�xb�©«.ruqo§¨moxb��rYt�t~ebh(hCx � w ® r�}vmox|�yqoh.}�pb{b{�wy��tL{bebr�}vh�«(ebhx2t~e|hz}°«(moxb��moxb�©q�hC� ® wnwutebm�tv}^t~ebh����vwypbx � ³ (�wy�^h��|r�g�{bqohu¶ ® wy�^t~e|h�{bqsr�xbr��k�bm�{`h �¹� hC{bm��tvh � mox (/m��ypb��hTUn¶Lr; ²m�g2{�ru�t�t~r�§�h}�{|qsr��h�rut ® wnwut(}�t~��mo§uh ��u¶|t~ebrutzmo}

�-,�5�� � � �10 5�� � � 5 �-,/.�� �HF'5 �102.�� �HF 5 ® wy� � ���-,�5�� ��L� ���40�5L� ��L� � �4,2.�� ���� � 5 !�4,2. � �� � � 5�"�h­�xbm�xb�Å�vhC}°t~m±t~p|tvmowyx$qsr>«(} ® wy��gkpbq±t~m�{bqoh m�g2{br��tv}�}vpb��e1t~e�rut�tvebh9}°�F}�t~hg E°�fL

E;i\L�mo}z«�hqoq Õ{`w�}vh � mo}�xbw�t´tv�vm±ªnmor�qvE;h�ªyhx tvebh^�Cr�}vh^w ® rµ}�mog�{bqoh mog�{�r���t���ht²«¯hChx't²«�w�`w � moh}�m�}Äxbw�tHh�ªFm � hx¨t�«(ebhCx ® �vmo��t~m�wyx�m�}�x|wyx. ²x|hC�yq�mo�ym��bqohu¶>}vhh E@���vr���e?E��N�y�|�fL�ÎJlFtv�vwyx|�yhE°�N�y����L+L5L�¶|}�hCh7E;�Õªur�xbwNª E��N�y��U�L+L�³�²xD}vpbg�gµru���y¶�t~ebh2eJ�n�|�vm �D� �Fx�r�g�mo�>ruqL}°�F}�t~hg m�x E°�mL �Eêi\L-E;wy�7E°�mL �E�;�L�¶ E°�>��L+L��vh

¼Fp|mo�vh}C¶Lmox$wy� � hC��t~w ��h moxJt~h�y�~rutvh � ¶[t~ebrut��`wut~e1¼Fp|hC}�tvmowyx|} � �½r�x � � �'r��`wNª�h9��hr�xb}�«¯hC��h � ¶.r�x � t~e�rYt�t~ebh pb}�h � g2w � hCq�}^�Fmohq � «�hqoq ²{�wy}vh � xbhC}�}C³¹d�ebm�}�g2hCr�xb}kt~ebrutwyxbh©}ve|wypbq � ��h r��bqoh�t~w��>r�q��Cpbqorut~h´mox½r�pbxbmo¼¨pbh©g2r�xbx|hC�C¶brut(hª�hC����tvmog�h �¶bt~e|h©}�t�rYt~hhªyw�qop|tvmowyx·³¹d�e|mo}�gµr>�¹��h � wyxbh m�x1{br���tvmo�Cp|qsr��^tveb�vw�pb�ye$t~ebh }�tvp � �$w ® à � �[}¶�m@³Ýhu³�>r�q��Cpbqorut~m�wyx w ® �CwyxJt~r��t ® wy���ChC}³d�e|h'r�{b{b��wJr���eºw�xbh�g2rN�$ebrNª�h'mox¬wy� � h�2tvw }vwyq±ªyh½t~ebm�}µ{b��wy�bqohg � hC{�hCx � }�wyx

wyxbh � }kwy�¨��hC�tvm�ª�hC}C³ �Õt^e�r�{b{�hCxb}ktve�rut^�vhC}�h>r�����ebhC��} ® �vwyg �Cw�g2{bpnt~hC��}v�mohCx|�Ch E@��r��~ru»E°�N�y��;�L�Î��.r��~rY»SE��N�y��i\L�ÎJÃ���t~}°t~h � t(E��N�y��i\L5L�¶�r�{b{bq�moh � gµrYt~ebhgµrutvmo�}9E;Ã���t~}°t~h � t E°�N���J�KL�Îd���moxb§¨qohu¶|��r�xb�b¶blnp � ru�v}v§J��HÀÃ�w?E��N�y��U�L�În�/r�xb� H d��vm�xb§¨qoh E°�N�y��Q�L�În�/r�w�qom�HÀln��e�rutv gµr�x7E°�>�y�K;�L�ÎJ�/r�w�qom�E°�>�y�K;�L�Î �9wyxJtvhCmo��w! �9r��v¼¨pbh} E°�>�y�K;�L�ΨlFt~h�«.ru��t�Hºd��vm�xb§¨qoh E°�N���KQ�L�Î��p|xbÂChMH ¾�hpbgµruxbx�E��N�y��J�L+L�¶��vw��`w�tvmo�} E;d��vmox|§Fq�h�¶��/r�x|�b¶�lnp � r��v}�§J�WH Ã�wWE°�N����UKL�Î�/r�xb� H d���moxb§¨qoh E��N�y�KQKL�Î�"´pb{�wyxJt7E°�N���J�KL+L�¶·g�hC��e�r�x|mo�C}ME �9wy�vhCr�p E°�N���y��L�Î�lFtv�vwyx|�yhEa���y����L�Î V�r�x·¶#F�m�qog�wy�vh H*���ywut E°�N���K;���L�Î#V�r�pb�b¶·¿!p�H��¯r�xb��E��N�y�KQ�L�ÎÄ� ® hCm�»`hC� HF�q�wn��§uhC��E°�N���KQ�L�Î�V´r�xIH F�m�qog�wy�vh E°�N�y��;�L+L�¶Y�wyxJt~��wyqFtvebhCw����ME@�¯�vwy�yq�msrutvwb¶X¾�m��Cpbq�hC}��Cp H�©��e�r�xJt E°�N����JKL�Ψ�¯�vwy�yq�msrutvw H��·r>ªur�qsr ��(mowPE@���y�y�KL�Î��·r>ª�ruqsr ²�zm�w'H ����wy�yq�msrutvw-E°�N���y��L�Î���vwy��qomsrYt~wb¶�¾zmo�pbqoh}v�Cp�H �9w�x¨tvhCm��vw! �Ár��v¼¨pbh}TE@���y�y��L�Î�d�wy��x�r�gk��h E°�N�y����L�ÎĪur�x � hC�

� å>çuÓÕÔLáXÔXÒ�×Xæ�ã.Ò�×YÖ�é@ÔXæ�çYÚßèL×Xæ�â "uÒ·Ó�æ× � çYé@Ò�è��ØÝâ@Ô�é;æ%�sÓ�Ö�ÚßÚÝÒvè� ��������������������������� �ÕôPÑ�ØßÓ°Þ@æ%�sÓ°æ�ÚßÚÝØÙé;Øßæ�×uéÓ°æ�ÞaÞ@Òvé;á�æ�×uè�âaæ�Ö�é;Ò�Þ@ØßÒ�é(æ �[é;ÒvüCçXÒ°×Câ@ØÙÖ�Ú�ØÝã.áYÖÓ²âaé "uÒ°â!�`Ò�Ò°×µâ!�Êæ�"uæNèNØßÒ�é � O#"%$ �²ô'î·ÔXÒ�í�ÞaÒ�é@çXÚ â� Þaæ�ãÀâ@ÔXÒ'&YÒ��NØ "XØÝÚßØÝâ@ØßÒ�é(Ö�×Yè2â@ÔXÒ é@ç�"Yé@Ò�üCçXÒ�×Câ(ìCØ "XÞÕÖ�âaØÝæ×Yé.ØÝ×uèNçYÓ�Òvè ">í�â@ÔYÒ é;ÔYæ>Ó ��ØÝ× âaÔXÒ "�æ>èXØÝÒvé°ôóÊâ´Ökã.ÖÓ�ÞaæéaÓ�æáXØßÓ�ÚßÒ°ì�Ò�Ú�â@ÔYÒ èNçXÞÕÖ�âaØÝæ×µæ%��âaÔXÒ'��ÔXæÚÝÒ�Ó°æ�×CâaÖÓ²â(áXÔuÖ�é@Ò©ã.Ö~í "uÒ ì�Ò°Þaí�é@ÔXæ�Þ@âzÖ�×uèÓ°æ�×Yé@ØÙèNÒ°ÞaÒ�è�Ö�é "uÒ�ØÝ×XÜzØÝ×Yé;âaÖ�×CâaÖ�×YÒ°æ�çué �±Ñ�Ö�Þ@ÜÔXØÝâ@ç)(+*ÄçXÞaãLçXö�ÚÝç � �5���$���-,�åCâaæ�ØÙÖ�×Xæ�ì>ØÙÓ�Ø.(+*ÄçXÞaãLçYö°Úßç� �5� �%���-,�*�çXÞ@ã¯çXö°Úßç � �+���% � ��ô(Ñ©ØßÓ°Þ@æ%�sÓ°æ�ÚßÚÝØÙé@ØÝæ×YéHÖ�ÞaÒ�é@æ�ã.Ò�âaØÝã.Òvé[Ó°Ö�ÚÝÚßÒ�è^ãLçYÚ âaØÝáXÚßÒ�� Ó�æÚÝÚßØÙé;Øßæ�×Yé/Øß×kâ@ÔXÒÚßØÝâ@Ò°ÞÕÖ�âaçXÞaÒ�äNÔXÒ�×YÓ�ÒHá�æéaé;Ø "XÚßÒHÓ°æ�× � çué;Øßæ�רô

û�û ×�� &>ò��%�

Page 23: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

��� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

ln��e�r ® tMH lF��eFp|gµr���e|hC�SE��N�y�KQKL�ίtvhCx "�r�g½¶ "z«.r���}ve¨pbm�}7H ¿ m�qoq�hCg�}TE°�>�y��JKL5L^e�r>ªyh�vhC�hCxJt~q±�µg2r � h�}vm��yxbm�­b�>r�xJt�r � ªur�xb�Ch}.�Cw�xb�Ch�vxbm�xb� � �Fx�r�g�mo�Cr�qP}��F}�tvhCg�}.«(m�t~eµpbxbmoqorut� hC�~ruq��Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}C³!�²x$tvebh ® wyq�qowN«(moxb�|¶�«¯h�{b�vwNªFm � h r��|�vmoh ® }vpb�°ªyh� w ® t~ebwy}�h��vh�ChCxJt«�wy��§¨}C³

D }L«¯hz{`wym�xJt~h � wyp|tLhCr��vq�mohC�¶�t~e|h�m�x¨tvhC�y�vrut~m�wyx·¶yg�w � hCq�moxb��r�x � �wyxJt~�vw�q�w ® }°�n}°t~hg2}qomo§uh � � ��e�r�}��vh�ChCxJtvq��'m�x¨tvhC��hC}�tvh � �vhC}�h>r�����ebhC��}�w ® � m±»Êh�vhx¨t ebw��vmoÂwyxb}³ "´hC}�{bm�tvh�tvebh® r��t�t~ebrut�t~ebhmo���ywJruqo}�g2rN� � m�»`hC��r�}�«¯hCqoq@¶Ltvebh ® pbx � r�g�hCxJt~r�q�{b�vw��bqohg mo}�r�q±«.r>�F}t~w ��h�r��|qoh t~w m�x¨tvhC�y�vrut~h½t~ebh½t~�vrX��hC��t~wy�°�y¶(}�t~r���tvmoxb� ® �vwyg r � g�mo}�}vm��bqoh mox|m�t~mor�q � rYt�r� �3G�� !� �3G��³ � q�h>r���q��Áh��nmo}°t~hCx|�Ch2r�x � pbxbm�¼Fp|hCxbh}v} w ® }�wyqopnt~mow�x'w ® � � ��m�}�r �br�}vm���r�x �¼Fp|m�t~h pb}�h ® pbq�{|�vwy{�hC�°t²�¹t~w't~e�rYtµrumog½³ d�ebh ® wyqoq�wX«(m�xb��}�pb��ª�h�1{�r��°t � wnh}�x|w�t2r�mogrut�g2r�§¨moxb�'r��qsr�}�}vm±­��>rutvmowyx r�g2w�xb��t~ebw�}vh «¯wy�v§¨}C³D�Õt���pb}�t�rumog�}krut�{|�vwNªFm � m�xb� r�xwyp|t~q�moxbh�w ® t~ebm�}.t~wy{bm���³[lFmoxb�h©mox�t~ebm�}.}vp|��ªyh���«�h ® wF�Cpb}(wyx �bm�{`h � r�q`�vwy��w�t~}¶|«¯h }�e�r�q�qhC}v}�hCxJt~mor�qoq±� � h}v�C��mo��hLtvebwy}�hL«¯wy�v§¨}Ät~e�rYt�ebr�x � q�hLtvebh[�>r�}�h�w ® gkpbq±t~mo{|qohH}�mogkpbq±t�r�x|hCwypb}�q��r��tvm�ªyh'�wyxb}°t~�~rumoxJt~}³��²x wut~ebh� «�wy� � } �vh}�t~m±t~p|tvmowyxSqor>«(} r�x � �CwFh ���Cm�hCxJt~} ® wy�µtvebh��r�}vm��k�>ru}vh�w ® t²«¯w �Cwyq�qom � moxb���`w � m�hC}�«(m�qoq�xbw�t©��h � m�}v�pb}v}�h � moxÁtvebh ® wyqoq�wN«(moxb� XztvebhmoxJt~h�vhC}°t~h � �vh>r � hC�Hg2r>� �Cwyxb}�pbq�t E@���vr���e?E��N�y�|�fL�ÎJ����wy�yqomorut~w E��N�y�y��L�ΨlFtv�vwyxb��h Ea�u�y�y��L5Lr�x � �vh ® hC�vhxb�Ch}�tvebhC��hCmoxʳ�¯h ® wy��h.�ywym�xb��r�xJ� ® pb��tvebhC�Hm�xJt~w´tvebh � h�t�r�m�qo}/w ® t~ebh � �nxbr�g2m��C}Hw ® }��F}�tvhCg�}�}vpb�F��h�t

t~w�pbxbm�qsrutvhC�~ruq|�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}C¶¨qoh�t[pb}[­��v}°t¯}°t~��hC}v}[t~ebrut ® �vwyg5wypb��{�wymoxJt[w ® ªnm�h«Ïwyxbq���t~wFw® h« rutvtvhCxJt~m�wyxµ«�r�}.{�r>��h � moxµtvebh´q�m�tvhC�~rYt~pb��hztvwkt~ebh�h��nmo}°t~hCx|�Ch©w ® tvebwy}vh´�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}³�²x ® ru�t�g�wy}�t w ® tvebh�«¯wy�v§¨} wyxºt~e|h'�CwyxJt~��wyq�w ® �bm�{`h � �vwy��w�t~}µg2w � hCqzt~ebh ��wy�`wutmox t~ebh�}vm�xb�yqoh�}�pb{b{�wy��t�{be�ru}vh ru}^r gµruxbmo{bp|qsrutvwy�´«(ebwy}�hµ��ru}vh��Cwy���vhC}�{`w�x � }�tvw½tvebh}vpb{b{�wy�°t~mox|� ® wnwut�r�x � r �b� }vw�g2h��Cqow�}vh � q�wnw�{Á�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv} ® wy�zt~ebh � wypb�bq�hk}vpb{|{`wy�°t{be�r�}�h�³'&Hª�hCxÅm ® t~e|mo}©r�{|{b�vwJru��eÅm�}´ªyh���'�wyxJªyhxbmohx¨t�tvw � hC��m�ªyhktv�~rX��h�tvwy���9t~�~ru��§Fm�xb�qsr>«(}·ªFmsr�t~e|hL�wyg�{bp|t~h � t~wy��¼Fp|h[tvhC��ebx|mo¼¨pbh�¶um�t � wnh}vx � t�r��C�wypbxJt ® wy��{`w�}v}vm��bqoh/}vqom�{b{�r���hxbwy� � h�t�r���e|g2hx¨t�rYt��y�vw�pbx � �Cw�x¨t~r��tv}�xbwy��}vrN� r�xJ�¨t~ebm�xb� r���wyp|tktvebh mox[@�pbhCx|�Ch�w ®mog�{�r��tv}.wyx½}�t~r��bmoq�m�t²� X

�d�ebh��wyxJt�r���t~}�r���h©r�}�}vpbg�h � tvwk�`h´�bmoqorut~h�~r�q � p|�vmox|�kh>r���e }�pb{b{�wy��t�{be�r�}�h�¶bm@³Ýhu³������� � mox't~e|h2xbw��vg2r�q � m��vh�t~m�wyxÅr�x � xbw½}vqom�{ mox't~ebh�t~r�xb�yhx¨tvmsr�q/�CwyxJt�ru�t� mo��hC��t~mow�xb}C¶

�d�ebhkwyx|q��½}vpb{|{`wy�°t©{be�ru}vhkt~�vr�xb}�m�t~m�wyxb}�r��vh ® �vwyg¸}�tvmo��§¨mox|� }vm�xb�yqoh�}vpb{|{`wy�°t�t~w «.ru� � }(}�tvmo��§¨mox|� � wypb�bq�h }�pb{b{�wy��tzrux � ªFm��Ch©ªyh�v}~rn³

�²x�w�t~e|hC��«¯wy� � }C¶ ® pbx � r�g�hCxJt~r�q�h�ªyhx¨tv}©qom�§�h � ht~r���ebg�hCxJt~}�w�� ® wFw�t�}vqom�{b{�r���h�ru�vh^x|w�t�Cwyxb}�m � h�vh � ³�¾�wut~mo�h�ebwN«�h�ªyhC��t~e�rut�tvebh2e¨pbg2r�xÅ«.r�q�§¨moxb� {�rut�t~h�vx rux � tvebh2p|x � hC�

ùêú�û�ù ó

Page 24: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �n�

q��Fmoxb���wyxJt~�vw�q�}�t~�vrut~h��� � m±»Êh�v}zxbw�t�ru�bq�� � hC{�hCx � m�xb��wyx½tvebh �y�vwyp|x � ��e�ru�~r���t~hC��mo}°t~mo�}E;mo�h�r���hCx�r|¶[��ru}v§�h�t~��ruqoq.{bqor>�n���vwypbx � ¶�t~�~rug2{�wyqom�xbh�¶�htv��³*L�³ D }�}vebwN«(x1mox$r�{|{`hx � m±�D rux � r�{|{`hx � m±� �´¶�tvebh��CwyxJt~��wyqHt~w��v¼¨pbhC}) e�r>ªyh�t~w½wy��h� �hC��t~r�moxÅ�Cw�x � m�tvmowyx|}�t~whCxb}�pb�vhz}�tvmo��§¨moxb��rYt�ruqoqntvmog�hC}³/d�ebh}vhz�Cwyx � m�t~m�wyxb}H�Cr�x��`h.«(��m�tvtvhCx�r�}2E�F � x|w�t2E°�N���y��L�ÎF � xbw�t>¶b���vwy��qomsrYt~wPH V�pb��gkpbÂCq�p�E°�N�y����L+L�X

� ��� ��P� ��� ��� !� ��P��F' E°���fL� pb�vm�xb��}vg�wnwut~e�g�w�t~m�wyx·¶brux � r�}�X

�� ��� � ��L�� �� � !� � �� ��F' E°�N�KLrut.m�g2{�ru�t�tvmog�hC}'E@r�x � ® w��.}vwyg�h���ebw�mo�Ch´w ® t~ebh � wypb�bq�h�mog�{�r���t.g�w � hq�L�¶¨«(e|hC�vh���m�}D g�wyxJt~wyxb} � wyp|qowygk� �Ý} ® �vm��t~m�wyx½�CwFh ���Cm�hCxJt©rut´�CwyxJt~r��tC³���w�tveÁm�xbhC¼¨p�r�q�m�tvmohC}(m�x�E°���fLr�x � E��X�KL�r���h7�3���C�C.C.���!��������M.%� " ������ ���Cwyx � m�t~m�wyxb}�t~w2�`h�}~rutvmo}°­�h � �¨� tvebh^�wyxJt~�vw�qmoxb{bpnt }vwDtve�rut � pb�vm�xb�Dtvebh 8�� ��� � 67���G�����G.�67�m����������� �3���A.�67�m��� �� }°t~m���§Fm�xb�mo}kg2r�moxJt~r�moxbh � r�x �¹� ht~r���ebg�hCxJt�mo}kg�wyxbm±t~wy��h � ³'d�w�t~ebh���hC}°t�w ® wypb�k§¨xbwN«(q�h � �yhu¶xbwyxbh�w ® t~e|h½�wyxJt~��wyq.qsr>«(}�{b��wy{�wy}vh � m�x t~ebh qom±t~h�~rutvpb�vh2pbxJt~moq�xbwN« «�r�}�}vebwN«(x$t~w�`h ��}°t�r��bq�h ��«(m±t~e!�vhC}�{`h�tktvw9tvebhC}�h ® pbx � r�g2hxJt�r�q[�Cw�x � m�tvmowyx|}C¶�gµr�m�xbq�� � pbh�t~w9tvebh® r��t(t~ebrut�tvebh pbx � h�vq��Fm�xb� � �nxbr�g2m��C}(w ® t~ebh �vwy��w�t � wFhC}�x � t��>ru{|t~pb��h tvebh pbxbmoqorut~h�~r�q® h>rutvpb�vh�w ® t~ebh ® hht� Õ�y�vw�pbx � �CwyxJt~r��tv}C³

!#" � ���5-0/�� -���(����P1 1 /��D(�� *D/�� 1d�ebhk}vp|�C�Chh � m�xb� }vpb�|}vhC��t~m�wyxb}�r���h � hª�w�t~h � t~wµtvebhk}�tvp � �Áw ® t~ebhkà � � mox�E°�N��L E;m@³Ýhu³t~ebh��>ruqo�Cp|qsrutvmowyx w ® tvebh��CwyxJt�ru�t ® wy�v�hC}"L(rux � g^pbq�tvmo{bq�h´mog�{�r���t~}.��hC}�{`h�t~m±ªyhq��y³

�������! " Ì�# ¢%$ # � Ì ��¡ � Ì ¢%$ Ì&#�²x�tvebh ® �vmo��t~m�wyxbqoh}v}H�Cr�}vh � � �H�vh � pb�Ch}¯tvw7E��fL�¶xE@�KLHr�x � EG;�L�«(m±t~e8������� !��� � n³H¾�wut~mo�ht~e�rut�tvebhz�Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²���vhCqorut~m�wyx Ea��L�m�}�x�rutvpb�~r�q�}�moxb�h(m�t[h��n{b��hC}�}vhC}¯t~e�rut[tvebhC��hzm�}xbw ® wy�v�h.w ® rut�t~�~ru�t~m�wyx^w���r � ebh}vm�wyx��`h�t²«�hhCx�t²«�w��wyxJt�r���t~mox|�©�`w � moh}C³��²x�{�r���tvmo�pbqsr��� � ��fC} E@� � �vf}'E��N��U�;KL+L/e�r�}�}�ebwN«(x2tve�rutLmoxktvebh(�>r�}�h � � �(t~ebh � �Fx�rug2m��>r�qbh¼¨p�rut~m�wyxE°�fL/t~w��yhtvebhC��«(m�tve�tvebhzpbxbmoqorut~h�~r�q�m�t²� w ® � mo}�{bqsr��hCg�hCxJt>¶Jtve�rutLmo} !�2�3�4��� wy� ��2�3�4���|¶|m�g2{bq�moh}[tve�rut.tvebh���w � mohC}¯�>r�x|xbw�t � h�t�r���e½r�}�qowyxb�^r�} �� F'|³Hd�wkt~e|h��`h}�t(w ® w�pb�§Fx|wX«(q�h � ��h t~ebm�}kmo} t~ebh�wyx|q��Å�>r�}�h «(ebhC��h�t~ebh �wyg�{bqohg2hx¨t~r��vm±t²�Å�vhCqorut~m�wyx E@�KL «�r�}h»`hC�tvm�ª�hCq��Å{b��wNªyhCx tvwÁ��h2x|hC�Ch}v}vr�����³ �9wy��h>r�p E �9wy��h>r�p�E°�N�KQ�;�L�Î �½wy�vhCr�p E°�>�KQKQ�L5L

û�û ×�� &>ò��%�

Page 25: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

�y� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

e�r�}´��hChx�t~ebh�­��v}°t�t~w }�ebwN« t~e�rut´moxÁtvebh^g^pbq�tvmo{bq�h �wyxb}°t~�~rumoxJt~}��Cr�}vh � � �y¶`pb}vm�xb�t~e�rut �� � � � � ��� � �3�� !� ��¶�t~ebh��Cw�g2{bq�hCg�hCxJt�ru�vm�t²���vhCqorut~m�wyx�E°�>��L��Cwygk�|moxbh � «(m±t~eE°�fL�¶b}vh�tvt~m�xb� " �3�� !��� � ��2> � ��� !� ��¶b�nm�hCq � }(r2Ã�m�xbh>r�� � w�g2{bq�hCg�hCxJt�ru�vm�t²�µ���vwy�|qohCgE@à � �vL�w ® tvebh ® wy�vg �� � � �� ��� �5 ��7� �rux � �� �� � E°��;�L«(ebhC��h

� � �2� � � � � �2�r�x �

� � � � � � � � " ��� !� ��� � �3�� !� �d�ebh(moxJt~h�vhC}°t~h � �vhCr � h�Lg2r>�ke�r>ª�h�r�qowFwy§�rut2E � wutvt~q�h�¶¨��r�xb� H lFtvwyxbh E°�N���J�KL+L ® wy�[r�xmoxJt~��w � p|�t~m�wyx½r�x � �yhCx|hC�~ruq���hC}�pbq�tv}zw�x�à � ��}C³.� ® t~ebh�r��tvm�ª�h �wyxb}°t~�~rumoxJt~}IE���6 � �����5Lr��vh©m�x � hC{�hCx � hCxJt>¶btvebhCx � m�}�{`wy}�m�tvm�ªyh´}��Fg2g�htv�vm�� � h­bxbm�tvh E@�Ll " L.r�x � m±t�mo}�§¨xbwN«(xt~e�rut�t~ebh(à � � mox?E��m;�LÄ{`wy}�}vh}v}vh}�r�pbxbmo¼¨pbh�}�wyqopnt~mow�x ��PE � w�tvtvqoh H "�r�xJtvÂCmo� E��N�KQy�KL+L�³� ® }vw�g2h��Cwyx|}�t~�vr�moxJtv}^r���h � hC{�hCx � hCxJt>¶HtvebhCx � m�} w�xbq��'}�hCg�m ²�¯l." r�x � pbxbm�¼¨pbhCxbh}v}wyxbq��kebwyq � } ® w��Ltvebh´ru�C�Chqoh�~rutvmowyx ���³ �9wy��hCwNªyh� �2�) ���m�}Lr�qo}�w�pbx|mo¼¨pbh�¶F}vhhPE �9wy�vhCr�pE°�N�KQ�Q�L�ΩÃ���tv}�tvh � t�E��N�y�J�KL5L2Ã�hCg�g2r � � �n¶zr�x � t~e¨pb} ® ��wyg tvebh � �Fx�rug2m��C} E��fL ��Dm�}pbxbmo¼¨pbh©tvwnwb³ D }zr��qsr�}�}vm��>r�q·h��|r�g2{|qoh©wyxbh©g2r>� t~e|moxb§2w ® r���e�rumo�.«(m�tve ® w�pb��qoh�y}�wyxr2�vm��ym � �y��wypbx � X�h�ªyhx'm ® tvebhkm�x¨tvhC�vr��tvmowyx ® wy�v�hC}��Cr�xbxbwut´��h^pbx|mo¼¨pbhCq±� � htvhC�vg�mox|h �t~ebh r���ChCq�hC�vrut~m�wyx�w ® t~ebh�g2r�}v}(�ChxJt~hC�zmo}�p|xbmo¼¨pbhME;p|{¨«�r�� � }CL�³ �}vm�xb� �©pbebx. Õd�p|��§�hC� �Ý}�t~ebhwy��� E��©pbebx�H d�pb��§uhC� E°�>��Un�fL5L�m�t�m�}k{�wy}v}�mo�bq�hµt~w }ve|wX«t~e�rut�r�xJ� }vw�qop|tvmowyx ���tvw�t~ebh à � ��m�x E°�m;KL mo}kr�qo}�w r�}vwyq�p|t~m�wyxDt~w�tvebh�¼¨p�r � �vrut~m��{b�vwy�|qohCg

�������� ! �� � � � �� �� �� � E°�Ci\L(P��wyg E "´wy��x E��N�KQy��L5LLt~e|mo}�mo}�m�x�t~pb��x9h¼Fp|m�ªur�qohxJt�t~w�}vwyq±ªFmoxb�ktvebh � p�r�q�{b��wy�bq�hCg

��� ������ � � � ��5 � �� ���+� E°�mUKL

lnpb�b}°t~m�tvp|t~m�xb� �2�) ��z�J� � ���� � �3�� !� � > ��ĶY}vhh E°�mL�¶�m�x�E��fUKL�wyxbh¯}�t~�vr�mo��e¨t ® wy��«�r�� � q��wy�|t�rumoxb}

����������� �� > � � � " �3�� !����� � � � �� >�� � � " ��� !� ���� � � �� � � ��� !� �H� E°��Q�L

ùêú�û�ù ó

Page 26: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ��;

«(ebmo��e�m�}¯§¨xbwN«(x½r�} F�r�pb}�} �n{b�vm�xb�Cm�{bqohIE � q�h>r�}°t � hªFmsrutvmowyx � L2E �9wy��h>r�p E��N�KQKQKL�Înà �ut~}�t h � tIE°�>�y�J�KL5L�³(P��wyg tvebh©{b��wy�y�~rug2g�moxb��{`w�moxJt(w ® ªnm�h« m�t(gkp|}�t(��h x|w�t~h � tve�rut(h��|�hC{|t�mox�tvebh�qsr�}°t� hC�Cr � h.t~e|h �Árut~e|hCg2rut~m��C}H�wyg2g^pbxbm�t²� {�rum � g�wy�vh�rYtvt~hxJt~mow�x^t~w � h�ªyhqowy{bm�xb�©�yhxbhC�vr�qr�qo�yw��vm�tvebg�} ® w�� � �[}.tve�r�x ® wy�¯t~ebh©g�wy�vh�{�r��°t~mo�pbqsru���Cqor�}v}�w ® t~ebh�à � ��}C³vV�hxb�Ch�tvebhmoxJt~h�vhC}°tzw ® tvebh r���wXª�h��Cm�tvh � hC¼¨pbm±ª�ruqohCx|�ChC}³(/mox�ruqoq��½q�ht pb} xbw�t~h�tve�rut��vhC�hCxJt «�wy��§¨}^{b��wy{`w�}vh�t~w½}vwyq±ªyh2à � �[}¶/wy��g�wy�vh��yhxbhC� r�qoq±�D¾ � ��}�E �°¾zwyxbqom�xbh>ru� � wyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²�!���vwy�bq�hCg�} �%L�¶Ht~e|�vwypb��e¹pbxb�Cw�xb}�tv�~r�m�xbh �wy{|t~m�g2m�Â>rutvmowyx�E (/mo}���ebhC� E��N�y�J�KL�Î ��r�xbÂwX« E°�>�y�KQ�L5L�¶Ê�J�ÁmoxJt~��w � p|�Cmox|� }vw! Õ�>r�q�qoh ��� ���$ �[� ��������A. � =�8 ���@B8 }vrut~m�} ® �Fmoxb�ktvebh��Cwyg�{bq�hCg�hCxJt�r���m�t²�2�Cwyx � m�tvmowyx

� ���< ��� � � ��� �+� 5 � � � E°�mJKL(Pw��.moxb}°t�r�x|�Ch r � g�mo}�}vmo�|qoh ® pbx|�t~m�wyxb}(r���h

� ��� � � � �� ����� � ���< ����

� ��� � � � �� � � � � ��� � > � > �� � � E°�>��L

�²x½w�pb�.�>ru}vh�� � ���r�x � � � ��kr��vh�ª�hC�tvwy�v}(w ® � m�g2hxb}vm�wyx � � �>ru� � � � ����� ��¶|tve�rut�m�}t~ebh�x¨pbgk��hC�(w ® hCq�hCg�hCxJt~}�m�x tvebh�}vh�t��+������³¯Ã�h�t�p|} � h­�xbh�t~e|h ® p|xb�tvmowyx

� =48�� �@ 8# �� �$ ���� � �������� ���

� � ���� � �� � � ��G� � E°�>��L

d�ebh�{b�vwy{�wy}�h � r�qo�yw��vm�tvebg�}���r�}�h�wyx½tvebh ® wyqoq�wN«(moxb�kq�hCg�gµr�LÇ � �D¤ / .C.%�[67�2���A��� ��� � �C��6 )�� ��67��� ����!���G�()�!"����� ��6 . .m����������� � ����� ���A��� � .� � ��� $ ��� ���G����S8����� � ���< ��������� ���< ���H6E8 � �"! � ���

$#� .I� �� ���C��� 6P�� �6���6 �%$%��� &#� .m�������C. � � ���C��6 )�� ��67��� ����!���G�')�!"����� ��6 ��9wy�vh2mox ® w��vg2rut~m�wyx wyx¹Ã � ��}C¶[¾ � ��}¶[r�x � tvebhCm�� � wyg2r�m�xb}�w ® r�{b{bq�mo�Crut~m�wyx �>r�x¹��h® wypbx � mox�E (Ph�v��mo}(H5��r�xb��E°�N����JKL+L�³¾zwN« tvw1}�pbg�gµr���moÂh�¶(m�tµmo}��Cq�h>r��2t~e�rut m ® wyxbh'm�}�r��bq�hÁt~w¹wy�nt�r�m�x rut t~m�g2h � �!

r9ªur�qopbh ® wy� ��|¶HtvebhCx$m�x¨tv�vw � pb�moxb�½t~ebm�}^ªur�qopbh2moxJt~w�Ea�KL^ruqoqowN«(} wyxbh tvw � htvhC��g2m�xbh«(ebmo��e!�CwyxJt�ru�t�{`h�v}vm�}�t^rut � �! r�x � «(e|mo��e ru�vh��ywym�xb��t~wÁ�|�vh>ru§�E;��hC�Cw�g2h�moxbr��tvm�ªyh�Lwyx � �"!L �$! �����´¶��#F'n¶��z}�gµruqoqÊhxbwypb��e·³

û�û ×�� &>ò��%�

Page 27: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

�ui � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

 Ç �D¤b£�� D }�«¯h�{�wymoxJtvh � w�p|t.m�x2t~e|h�moxJt~��w � pb�tvmowyx·¶Jtvebh�r�x|}�«¯hC��tvw � � � wFhC}�x|w�txbhC�hC}v}vr��vm�q��$��hC¼¨pbmo��h9tvebh9h��n{bqom��Cm�t��Cr�qo�pbqsrutvmowyx¹w ® t~ebh½�Cw�x¨t~r��t ® wy�v�hC} ��n³ Ã�ht2pb}�Cwyxb}�m � h�´t~e|hk}vm�g2{bq�h�h��|r�g2{|qohTE � � �fLzw ® r �br�qoqÄ�vh}�tvmoxb��wyx9t~ebhk���vwypbx � E3� � �fLrut � �! ³LlFpb{b{�wy}vh�t~e�rYt(r�x½h��Ft~h�vx�r�q ® w��v�Ch ��m�}(r�{b{bq�moh � tvwkt~ebh���ruqoq·rYt �$!N³�d�ebhx½tvebhr��C�hCqoh�~rutvmowyx����m�}��ym�ª�hCx �J� �� � ����� � 5 ��� Ea�u��LÃÄh�t(pb} � mo}��C�vh�t~m�ÂCh�t~e|h p|xb�Cwyx|}�t~�vr�mox|h � g2w�tvmowyx E�� F'�L.ru}

� � � � � � � � � " !� �!� � � � � !� � � " � Ea�F�fL

�}vm�xb� Ea�n�mL�¶ E@����L��>rux9��h©�vh�«(�vm�t�t~hxÁr�}

!��� � � � {b�vw>��� 8 �H !����� " �� Ea���KL«(ebhC��h�{b��w>� � hCx|w�t~h}(tvebh�{b�vw>�nmog2r�q·{�wym�x¨t�t~w !� � � " �%m�x?8 � ³d�e|mo} mog�{bqom��Cm±tµ}���ebhCg�h!�Cr�x �`h �yhxbhC�vr�qom�ÂCh � tvw1g�wy��hÅ��hCxbh�~r�q©}°�n}°t~hg2}WE � �

�y¶ � � �fL�¶�r�} {b��wy{�wy}vh � �J� �9wy�vhCr�p E �9w��vh>rup E°�N�y��Q�L+L�³ �½wy�vhwXª�hC� m�tµ�>r�x ��h�yhCxbh�~r�q�moÂh � t~w�{b�vwNªFm � h wyxbh�}�wyqop|tvmowyx�tvw�tvebh�g^pbq�tvmo{bq�h�mog�{�r���t({b�vwy�|qohCg¸ru}(«(m�qoq���h}vebwN«(xÁm�x t~ebh�xbh��Ft´}�pb�b}vh�tvmowyx·³

��������� + � ,ê¢%$��, Ç $ ���¤b¥�¢X¡d�ebh ® wy�vh�ywym�xb�Á{�ru�~r��y�vr�{beD«�r�} � h�ªyw�tvh � t~w�{br���tvmsr�q�q�� r�x|}�«¯hC��t~w � � r���wNªyhu³ ¿!hxbwN« ® wn�pb} wyx � �n³2�²xD�yhxbhC�vr�q�«.r�q�§¨moxb�½�vwy��w�tv} p|}vhµ}�hª�hC�~ruq¯}�pb{b{�wy��t�{`w�moxJt~} � pb� moxb�'q�wn�wyg2wut~mow�x E;�|mo{�h � �vw��`w�tv} EGVzpb�vgkp|ÂCqop H �9wy}�§�wN«(m�tv E��N�y�KQ�L�Î9Vzpb�vg^pbÂCq�p H�9wy}v§uwN«(m�t~ E��N�y��J�L�Î�V�p|�vgkpbÂqop E��N�y�K;KL+L�¶/¼Fpbr � �vp|{`h � ��wy��w�t~}�E � ebh�ª�ruqoqoh�vhCr�p·¶�(�wy� gµr�q%�Ý}�§J�IH ��h�v��mox E°�>�y��JKL�Ψ��hC���vm�x·¶ � ebh�ª�ruqoqoh�vhCr�p-H (Pw��vg2r�q�� }v§J�7E°�N����JKL+L5L�³��²x�w�t~ebh�«�wy� � }+� � �n³.d�e|mo}zg2hCr�xb}(t~e�rutzt~e|h���wypbx � r���� � �]w ® t~ebh^r � g�mo}v}�mo�bq�h � wyg2r�m�x �mo}´x|w�t���hC�ypbqor��C³��Õt~}�}�moxb��pbqsr���m�tvmohC}��wy�v��hC}�{`wyx � tvw }vp|� ® r��hC}´«(m±t~e��w � m�g2hxb}vm�wyx�� �F³d�eFp|}[tvebh�hª�hCxJt~pbr�qom±t²�^t~ebrutHt~e|h�}�t�rYt~h��Cw�qoqom � hC}�mox�r�x|hCmo��eF��wypb��ebwFw � w ® r©}�moxb�yp|qsr���m�t²��>r�xbx|w�tL�`h(h��n�qop � h � m�x�g�hC��ebr�xbmo�Cr�q�}��F}°t~hCg�}¯r�} � � ��³H�²x�t~ebh ® �~r�g�h«¯wy��§kw ® �bmo{�h � ruqqowF�Cwyg�w�t~m�wyx }vpb��e�hª�hCxJt~}[m�x¨tv�vm�xb}vm��>r�q�q�����hCqow�xb�´t~w�t~ebh � �Fx�rug2m��C}Hw ® «�r�q�§Fm�xb�b³�(Pw��/mox }�t�ruxb�Chz�Cwyx|}vm � hC�[t~ebh�{b�vwy�|qohCg5w ® r §Fm�xbhCg2rutvmo����e�r�m�x2w ® �vm��ym � ��w � mohC}�«(ebm���eµ�wyqoq�m � h}«(m�t~e t~e|h2�y��wypbx � rut wyxbh�{`w�moxJt � �L � 6 �+�3�4��«(ebmoq�h�}�t~m�qoq�e�r>ªFmox|�9}�hªyh�~r�q¯}vpb{|{`wy�°t{`wym�xJt~} � � � 6 � ������³ �9wy��h ® wy�vg2r�q�q��^tvebhC��h�h��nm�}�t~}�r�x m�x¨tvhC�°ª�ruq/� ��� �� > � ! ��L�[}vpb��e

ùêú�û�ù ó

Page 28: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �KU

t~e�rut �+�3�4�©�vhCg2r�m�xb}��Cwyxb}°t�r�xJt^wyx �%«(e|moqoh�� 6 �+����� � !�5� �� � � �2��� �3�5� ���� � � 9r�x ���� �3�5� ���� � � |³�d�ebh�g2r�m�x^r�x � xbw�t�t~��m�ªFmsr�q�{b�vwy�|qohCg m�}�tvw�­�x � wyp|t�mox�«(e|mo��e^«�r>� tvebhmog�{�r��t�rut � �´«(moq�qÊm�xA@�pbhxb�Ch�t~ebh�{�wymoxJtv} � �vX¯g2r>�µt~e|h�{�wymoxJtv}�moxbm±t~msruqoq���m�x �CwyxJt�ru�t� ht~r���e ® ��wyg%t~ebhz�y��wypbx � r�x � «(e�rut¯e�r�{b{�hCxb}¯rut � � �9lnmoxb�h´ru�Jr�mox�«¯h´�wyxb�ChxJt~�~rYt~hwyx��bm�{`h � r�q��vwy��w�t~}z«�h�}�e�r�q�q�t~r�§�hkm�xJt~w ru�C�Cw�pbxJt©t~e�rut�t~ebh^�Cwyq�qomo}�mowyx h�ªyhCxJtv}©w ® }vpb��e�vwy��w�t~}©g2r�m�xbq��9�Cwy���vh}v{�wyx � tvw �Cwyq�qomo}�mowyx|}�w ® t~ebh�}�«(m�xb�ym�xb� ® wnw�t©«(m±t~e't~e|h2�y��wypbx � ³�Õt�mo}kx|w�t�wypb��rumog t~w � m�}v�pb}v}�ebh�vh t~e|h��Cqsru}v}vm��>r�q�r�}v}�pbg�{|t~m�wyxDt~ebrut�t~ebh}vh�}�ebwn��§¨}r��vh mox|hCqsru}�t~m�� �bp|t2�~rYt~ebh��tvw!{|�vhC}�hCxJt�t~ebh � m�»`hC��hCxJt2r�{b{b��wJr���ebh}2{|�vwy{�wy}vh � m�x$tvebhqom�tvhC�vrut~pb��hkt~e�rYt^ruqoqowN«�wyxbh�t~w9}vwyq±ªyh�t~e|mo} {b�vwy�|qohCg ® �vwyg r �yhxbhC�vr�q[{`wym�xJt�w ® ªFmoh�«�³�²x w�t~e|hC�¯«¯wy� � }�q�ht¯pb}�ªFmoh�« ® wy�¯}�mog�{bqom��Cm±t²�^t~e|h´�bm�{`h � r�qP�vwy��w�t�r�}.r {`w�moxJt�� � �Lm�x rt²«�w! � mog�hCx|}vmow�x�r�q��yhxbhC�vr�qom�ÂCh � �Cwyxn­��ypb�vrut~m�wyxµ}�{�r��Chu³[d�ebh��Cqor�}v}�mo�Cr�qP}�t�rux � r�� � «.ruqo§ moxb�µr�}v}�pbg2{nt~mow�xÁ�>rux'�`h�}vhChxÅr�}�r � �bmoqorut~h�~r�q�}�qom � moxb��g2wut~mow�x � w ® t~ebh��yhCxbh�~r�q�moÂh �{`wym�xJt�� � �z�Cw�x|­�xbh � t~wµtvebh�t²«¯w��Cwyx|}�t~�vr�moxJt´�`wyp|x � r���mohC}¶`}�hCh (�mo�ypb��h JAE@r�L�³�lnm�xb�yq�h}vpb{b{�wy�°t[{be�r�}�hC}L�Cwy���vhC}�{`w�x � t~w�� � �H6 � � � ���2�!�� � � ¶ytvebh � wypb�|qoh�}vp|{b{`w���t[{be�ru}vht~w� � � � �2³�VzwN«�h�ªyhC��wyxbh��>ruxbxbw�tzr�{b��mowy��m·h��n�Cq�p � h

��vh�`wyp|x � mox|��g^pbq�tvmo{bq�h´}ve|wn��§¨}�rut��µ¶�}vhh$(/mo�yp|�vh JdEê��L

�� ht~r���ebg�hCxJt � pb�vm�xb�9}�moxb��qoh�}vpb{|{`wy�°t^{|e�r�}vh}C¶H}�hCh�t~ebh ® wy�vh�ywymox|�½{br��~r����~r�{beʶr�x � ­��yp|�vh JdE;��L�³

A

B

C

R(t)

a) b) c)

R(t) R(t)

(/mo�yp|�vh J[X���wy}�}vm��bqoh�g�w�t~m�wyxb}�r�x � }ve|wn��§ wyp|tv�Cwyg�hC}�m�xDr�x!r��b}°t~�vr��t��Cwyxn­��ypb�vrut~m�wyx}v{�r��h

d�e|h2g�wy}�t ��hC�ChxJt^}°t~p � m�hC} mox t~ebh�­�hq � �>r�x!�`h � m±ªFm � h � m�x tveb�vhh � m�»`hC�vhxJt^ru{. {b�vwJru��ebhC}³

�d�ebh9­b�v}�t2wyxbhWEGVzpb�vg^pbÂCq�p�H �Áru�v�yebm±t~p E°�N�y�ui\L�Î(V�r�x�H F©moq�g2wy��h E°�>�y�K;�L5L�Cwyx|}vmo}°t~}�m�x�r�xÁhCx¨pbg�hC�~rYt~mow�x�{b�vwF�Ch � pb��h�³�d�ebh��'r�{|{bq��9rµ��hC}�tvm�tvp|t~m�wyxÁqorN« ® wy�

û�û ×�� &>ò��%�

Page 29: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

��Q � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

}vm�g2{bq�h�m�g2{br��t´rut � ��r�x � }vhC¼¨pbhxJt~msruqoq��9{b��wy{�r��JrYt~h^m±t~}�h�»Êh�tv}©wyxÁt~e|h�w�t~ebh��CwyxJt~r��t´{`wym�xJt~} � � �)6 �+�3�4��³©¾zhªyh��tvebhCq�hC}v}�tvebh^wNª�hC�~ruqoq�{b�vwF�Ch}v}©mo}�r�}�}vpbg�h �t~w(��hLm�xb}�t~r�xJt�r�x|hCwypb}¶um@³Ýhu³�r�qoqy}�ebwF��§F}�wF�C�Cp|��}�mogkp|q�t�ruxbhCwyp|}vq��´rut�r�q�qutvebh[�CwyxJt�ru�t{`w�moxJt~}(X/tvebmo}Lmo}[t~ebh�vh ® wy�vhz�vhCr�qoq±��r�gkp|q�t~m�{bqoh�mog�{�r��tC³ D t�h>r���e {�wym�x¨t[tvebh��mox ªyh}�t~m��Jrutvh�«(ebh�t~ebh�(r�}v}�pbg2m�xb�^ÂhC��w�wy��xbw�x. ²ÂhC�vw^qowF�>r�qP{�hC�v�pb}v}�mowyx|}.�nm�hCq � �Cw�x. }vm�}�t~hxJt�wyp|tv�Cwyg�hC}³/d�ebh.g2r�m�x � �vr>«(��r���§^w ® t~ebh}vh.}°t~p � m�hC}Hm�}�tve�rut/tvebh� � w�x|w�t�vpbq�h�w�xµ«(ebhtvebhC��w��¯xbwut�t~e|h�{b�vw�{`wy}�h � r�q��ywy��m�t~e|g2}[r�q±«.r>�F}�tvhC�vg�moxbrut~h�«(m�tve�rpbxbm�¼Fp|h�}�wyqopnt~mow�x·³k�²x t~ebh��>ru}vh�w ® }�hª�hC�~ruq�r � g2m�}v}vm��bqoh�}vwyq�p|t~m�wyxb}¶·t~ebh�� � wyx � t�ym�ª�h�r��C��m�tvhC�vm�wyx^tvw g2r�§uh�t~ebh���e|wymo�h��`h�t²«�hhCx�t~ebh}vh(}vwyq�p|t~m�wyxb}³ VzwX«¯hª�hC�[t~ebm�}}vebw�pbq � x|w�t���h�}vhhCx½r�}.rk��h>r�q � �~r>«(��ru��§SE;h��n�ChC{nt ® wy��}�mogkpbqorut~m�wyx�t~wFwyq � hC}vm��yx{bpb��{`wy}�hmL�}vm�xb�Ch�r�xJ��ebhCpb��mo}°t~mo��tvw^g2r�§�h(t~ebh � �ywFw � � ��ebwymo�h�¶Fh��n�Cq�p � m�xb��m�x�tvebh}~r�g�h�tvmog�h.}vh�ªyhC�vr�q�r � g�mo}�}vmo�|qoh�}�wyqopnt~mow�xb}C¶ � �vwy{b}Htvebh(�vm��ym � ��w � �kru}v}vp|g2{|tvmowyxʳ

�d�ebh�}vh�Cwyx � ru{b{b�vwyr���e��Cwy���vhC}�{`w�x � }�t~w�tvebh � h�­�xbm�tvmowyx�w ® r �C����� .����� 6 ��)�)���� ��� = � ��� � >��2�3�5� ���� �� >A@ � ��� �����3�5� �� � ��

�3�5� �� �� !�5� �� � � � >A@ ��� � ��L�� !�5� �� � � Ea�b;�L

«(ebhC��h�������� � ��96 8 : =�� � 6 �+������ � � � � �0�����+� � hCx|w�t~h}´t~ebh t�r�x|�yhCxJt�Cwyx|hkt~w � ��rut � � ��¶�ma³ h�³�t~e|h�}vht w ® r � g2m�}v}vm��bqoh {�wy}�t ²mog�{�r���t´ª�hCqowF�Cm±t~m�hC}C³��²x�yhCx|hC�~ruq¯wyx|hµgkpb}°t�r�}�}vpbg�h2tve�rut����3�5� ���� ��mo} xbw�tkhg2{nt²��E �9wy��h>r�p E��N�y��U�L+L�³�Õt(mo}��qoh>ru�.t~e�rut�tvebh���ebwym��Ch�w ® ���L}vebw�pbq � �FmohCq � r�gµrutvebhCg2rutvmo�>ruqoq���¶¨g2h��e�r�xbm �>r�q�q�� rux � x¨pbg�hC��mo�>ruqoq�� �Cwyebh�vhx¨t ® wy�vg^pbqsrutvmowyx w ® t~ebh�}�t~p � moh � {bebhxbwyg�hCxbw�x·³d�ebh(}vw! Õ�>r�q�qoh � � }�«¯hCh{bmoxb��wy� �9wy��h>r�p �Ý}L{b�vwF�Ch}v} � E@�¯�vwy�yq�msrutvwPE��N�y�y��L�Î �9wy�vhCr�pE°�N����UKL�Î �9w��vh>rup�E��N�y�y��L5L`mo}Är.��hCxbh�~r�q ® wy��gkpbqorut~m�wyx´w ® t~e|h � �nxbr�g2m��C}�m�x E°�fL �E;i�L��r�}�h � wyx��Cw�x¨ª�h��½rux�r�q��F}�mo}�tvwnwyq�}C³H�Õt�r�qoq�wX«(}¯wyxbh�tvwk«(�vm�tvh´t~e|h � �Fx�r�g�mo�C}.r�}�r{�r��°t~mo�pbqsru� �9h>ru}vpb��h "´m±»Êh�vhx¨tvmsr�q|�²xb�Cq�pb}vm�wyx·¶¨r©t~hC��g%�Cw�moxbh � �J� �|³��|³ �9w��vh>rup·³�ÕtLmog�{bqom��Cm�tvq�� � h�­�xbh}.r��Cwyq�qomo}�mowyx�g2r�{b{|moxb�©��ru}vh � wyx�tvebhz�Cwyg�{bp|t~rut~m�wyx�w ® tvebh{`w�}�t� Õmog�{�r���t.g�w�t~m�wyx ªFmsr�r�{b�vw>�nmog2rut~m�wyx {b��wn�h � p|�vh mox t~e|h §¨m�xbhtvmo�©g�ht~��mo�

!� � �� � � {b�vw>� � � � � ��� � � � !�5� �� �� ������ � ��L� � � Ea�Yi\Ld�ebh�g2r�m�x^�Cw�x¨tv�vm��bp|t~m�wyxb}Ät~w�h��nmo}°t~hCxJtvmsr�qF�vh}vpbq±t~}/��hCqorut~m±ªyh¯tvw�tvebmo}/r�{b{b��wJr���e�r���ht~w��`h ® wypbx � m�x�tvebh���wnw�§ w ® �9wyxJt~hmo��w! �Áru�v¼¨pbhC} E �9wyxJtvhCmo��w! �9r��v¼¨pbh} E°�>�y�K;�L5Lr�x � mox�E �Ár��b��wypb§ E��N�y�y��L5L�³�d�ebh�� ��r�}�h w�x tvebh�pb}vh w ® rkt~mog�h � m�}v��vhtvmoÂCrut~m�wyx{b�vwF�Ch � pb��h¯}�mog�moqsru�`t~w Ea�n�mL�ÎYt~ebh � m�}v�C��htvmoÂCh � }�wyqop|tvmowyx|}Är��vhL}vebwN«(x^tvw��wyxJªyh�v�yh

ùêú�û�ù ó

Page 30: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": �KJ

t~w�r ® pbxb��t~mow�x�}vwyq�p|t~m�wyx�w ® � � ��³ (�wy��t~e|h g�wyg�hCxJt.tvebh� ru�vh��vh}�t~��mo��t~h � tvw�tvebh�>r�}�h�� � ��³½lnhChµr�qo}�w�E@��r�wyq�m�H¸ln��e�rutvÂCg2r�x E°�>�y�K;�L5L ® w�� ��hCqorut~h � �vh}vpbq±t~}MXmox {�r��°t~m��Cpbqor���h��nm�}�t~hxb�Ch2w ® }vwyq�p|t~m�wyxb} E;m@³Ýhu³2�5� �©r��|}vwyq�p|t~hq����wyxJt~m�xFp|wypb}�r�x �!� � � 6 � ��� � ���TL ® wy�kt~e|h½�Cr�}vh � F �½r�x � � � �� � � � � �� �ke�r�}��`hhCx{b�vwNª�h � m�x E@��r�wyqom�E°�N�y��;�L+L�¶|«(ebhC��h � � � � hCxbwut~hC}�tvebh�§Fm�xbhtvmo�©hxbhC�����y³�²x E ª�rux � hC�kln��e�r ® tIH ln��e¨pbg2r���ebhC�TE°�N�y��Q�L+L©r�xbwut~ebh���wyqoq�mo}vm�wyx'g2r�{b{bm�xb�9m�}moxJt~��w � pb�Ch � r�} ® wyq�qowN«(} X�qoh�t�� �3�5� �� � � � hCxbw�tvhkt~ebh^}vht�w ® �Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}�«(ebmo��e«�h�vh´r��tvm�ªyhz��h ® wy��h ���r�x � «(moq�qb�vhgµr�m�x�r��tvm�ªyhzmox�t~e|h�xbhCr�� ® p|t~pb��h�¶Fpbxbm�wyx�tvebh}vh�t�w ® tvebwy}vh�«(ebm���eDr���h��ywymox|� t~w½�`h�ªFmowyqorut~h � ³ ���zmo}©m�g2{|qomo�m�tvq�� � h�­�xbh � �J�t~ebh �Cw�x � m�tvmowyx !�5� �� � � �2� �4��� � ���� � � 5 � 6�� �3�5� �� � ��³���w�tve9g2r�{b{|moxb�y}zr���hhC¼¨pbm±ª�ruqohCxJt�m�xkt~ebh��Cr�}vh�w ® �Cr�� � ��� �3�5� �� � � � � �y¶J�bp|t�tvebh� � w�moxk�yhxbhC�vr�q � m±»Êh�wyxbh ® �vw�g t~ebh w�tvebhC�¶.r�} � h{bmo��t~h � mox¹­���pb�vh}µ� E;r�L�¶ E;� L�¶ E;�mL�³ &/�nmo}°t~hxb�ChÁr�x �pbxbm�¼Fp|hCxbh}v}�w ® }�wyqopnt~mow�x´t~w � � �·pb}vm�xb��t~ebm�}��Cwyq�qom�}vmow�x´g2r�{b{bm�xb��e�r�}���hChx�{b��wNªyh �® wy���bm�g2w � r�qy}°�F}�t~hg2}_Eêtvebh[�>r�}�h�� � �fL�r�x � «(m�t~e xbwzh��Ft~h�vx�ruq|r���t~m�wyxb}vE+ � r�x � xbw(�y�vrNªFm±t²�dLÊm�x Eêªur�x � h�/lF��e�r ® t#Hºln��e¨pbg2r���ebh��E°�N�y��Q�L+L�³Ä¿!h[}vebw�pbq � xbw�tvht~e�rYt©�`wut~e'mog�{�r���t���pbqoh}�r��vh � mo}v}�mo{�rYt~m�ª�h�³ D q±t~ebwyp|�ye�t~ebh�{br���tvmo�Cp|qsr��zmog�{�r���t�vpbq�h©moxJt~��w � pb�Ch � m�xWE �9wy��h>r�pWE°�N����UKL�Î �9wy�vhCr�pWE°�N�y����L+L�g2r�§�h}(m�t({�wy}v}�mo�bq�h�t~w{b�vwNª�h¯«¯hCqoq¨{�wy}vh � xbh}v} ® w��;� � � E�V�hChg2hqo}¶Jln��e¨pbg2r���ebh� HÏ¿!hCmoqor�x � E°�>�y�y��L5Lt~ebh(wyx|hzm�x Eêªur�x � hC�¯ln��e�r ® t_H]ln��e¨pbgµru��ebhC�'E°�N�y��Q�L+L � wnh}¯xbwut ® r��Cm�qom�t~rut~h¯}vpb��er�{b�vwFw ® ³Ã�htLpb}�x|w�t~h(t~e�rYtLtvebwy}�h�g2r�{b{bm�xb�y}Lr�{b{|qomoh � t~w�t~ebhz}vebwF��§�w ® t²«¯wk��mo�ym � �`w � moh}�Cwy���vh}v{�wyx � tvw½t~r�§¨moxb�½r ÂCh�vwÁ��hC}°t~m�tvp|t~m�wyx �CwFh ���Cm�hCxJt>³7V�hxb�Ch�t~ebh��Ågµr>�'��hx�r�g�h � � �yhCx|hC�~ruqomoÂh �¬� mo}�}vmo{brut~m±ªyh½mog�{�r��t���pbqoh} � ³ V�wN«¯hª�hC�C¶zm�t�m�}µ{�wy}v}�mo�bq�ht~w m�xJt~�vw � pb�hk}vw�g2h��vhC}°t~m±t~p|tvmowyx�?6 � 5 � � �J�9}vpb�|}�t~m±t~p|tvmoxb� !� � �� ��mox�Ea�ui\L(�J��� � ���� � !� � �� ��� �

� � � >�� � !�5� �� ��¶ E �9r��b�vw�pb§ E°�>�y�y��L5L�³�d�ebhÁtvebmo� � r�{b{|�vwJr���e E;Ã���t~}°t~h � t E°�>�y�J�KL5L��Cr�xS�`h9}vhhCx r�} ruxºh��Ft~hxb}vm�wyxSw ®F rupb}v} �u{b��moxb�mo{bq�h2E°�mQ�L·t~w�t~ebh¯mog�{�r��t � �Fx�r�g�mo�}C³�d�ebh.}�ebwn��§ � �Fx�r�g�mo�}/h¼Fpbr t~m�wyx�mo}��ym±ªyhx9�J� �.����� � !� � �2�2�3�4� � � Ea��UKL«(ebhC��h�� !� � !�5� �� �G> !�<� �� ���Cwy���vh}v{�wyx � }�t~w�t~ebh.ª�hCqowF�Cm±t²�(��p|g2{�rut�t~ebh�m�xb}�t~r�xJtw ® gkpbq�tvmo{bq�h´m�g2{�ru�t � �� r�x � � �kmo}�t~ebh©x|wy�vg2r�q·m�g2{bp|qo}vhu³F�hxbhC�vr�qom�ÂCm�xb��t~ebh �wyg�{bqohg2hx¨t~r��vm±t²�'�vhqsrutvmowyx�E°�N�KL©tvwÁt~ebh2mog�{bpbq�}vh�qohª�hCq�r�}

� û ØßÜ�ÔCâ/ÿ`æ×âaØÝ×>çXæçYé ��Ø âaÔ �¨æNÓ°Ö�Ú �`æçX×YèNÒvè �PÖ�Þ@ØÙÖ�âaØÝæ×

û�û ×�� &>ò��%�

Page 31: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

��� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

q-

q+=0

q-

q+

Sweeping process

q-

q+=0q1

+

van der Schaft-Schumacher

q1-q2

-

q2+=0

.

.

.

.

..

. .

.

.

(�mo�ypb��h©�AX � wyq�qom�}vmow�x gµru{b{bmox|�y}

® wyqoq�wN«(} �2� � !� � �� �H�5 �7�7�5 � � � �2� � !� � �� � � Ea�bQ�Lr�x � moxb}�hC��tvmoxb� t~e|h9h��|{|�vhC}�}vm�wyxSw ® !�5� �� � ® ��wyg Ea�KU�L�q�h>r � }�tvw!t~e|h ® wyq�qowN«(moxb�à � ��2� � !�5� �� � � � � � � � � �2��� � � � � � !� � �� �H�5 � � � �7�� � � � !�5� �� ��

Ea��JKLlnmog�moqor��vq±�´tvw�t~ebh��wyxJt~mox¨pbw�pb}�g2wut~mow�x^m�tH�>r�x���h.}vebwN«(x�t~e�rYtHt~ebm�}�à � �Dr�q±«.r>�F}{`w�}v}vh}v}�hC}�r�}�wyqop|tvmowyx �7�|³ D �Jr�m�x � ���7��mo}�p|xbmo¼¨pbhu³d�ebh à � �Ïmox�Ea��JKL�mo}�h¼Fp|m�ªur�qohxJt�t~w�t~ebh�¼¨p�r � �vrut~m��©{b�vw��bqohg

������� � � �� �

���� !�5� �� � > !�5� �� ��� � � � !� � �� � > !�5� �� ��� � � � !�5� �� �)� Ea�u��L

«(ebmo��eÏ�>r�xS��hÁ}�hChCx ru}�rD�yhxbhC�vr�qom�ÂCh � F rupb}v} ��{b��moxb�mo{bq�h�³ (��vwyg Ea�Yi\L�m±tµm�}�Cq�h>r���tve�rut(ru}.qowyx|��r�}�?��� � ���� �¯mo}�r�xbw�x. ²hg2{|t²�2�Cq�wy}vh � �CwyxJªyh�� �Cw�xbh�¶ E@����LLm�}hC¼¨pbm±ª�ruqohCxJt�tvw�tvebh�}�«¯hCh{bmoxb�2{b�vwF�Ch}v}(�vp|qoh©mox�E@�ui\L E �½wy�vhCr�p E��N�y�y�KL+L�³

ùêú�û�ù ó

Page 32: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ���

ÃÄh�t pb} g2hxJt~mow�xºt~e�rut tvebh'�Cqor�}v}�mo�>ruq � hC�wyg�{`wy}�m�tvmowyxºw ® tvebh mog�{�r��t {bebhCx|wyg2hx�rmoxJt~wÅr!{|e�r�}vh½w ® �Cwyg�{b�vh}v}�mowyx � , � �� ! �� � ® w�qoqowN«¯h � �J�1rÅ{bebr�}vh½w ® h��n{�r�xb}�mowyx� �� �� � �� � «(m±t~eÏÂhC��w ��w�mo}v}�wyx � }µ�wnh%�2�mohx¨tC¶(r�} � wyxbh½mox E@� ® hCm±»Êh�MH F©qowF��§�h�E°�N�y��Q�L+L�¶uq�h>r � }Ät~w�t~ebh¯}~r�g�h¯��hC}�pbq�tv}C³/d�e|h.{be�r�}�h�w ® �Cwyg�{b�vh}v}�mowyxk�Cr�xk��h ® w��vgkpbqorut~h �r�}�mox E@�KJKL¯�J��}�pb�b}�tvm�tvp|t~m�xb� �� ¶� �� r�x � � �^�J���vh}v{�hC�tvm�ª�hCq�� ,�¶� �� r�x � �7���/³[¾zh��Ftpb}vm�xb��rz}vmog�moqor��·}�pb�b}�tvm�tvp|t~m�wyx ® wy�Ät~e|h�{be�ru}vh�w ® h��n{�r�x|}vmow�x^�FmohCq � }Ät~ebh ® wyqoq�wX«(m�xb�zà � ��2� � !�5� ���� � �2� � � � � � ���7��� � �2� � !� � �� ���5 � ���I�5 � � ��� � � � !�5� ���� �

Ea�u��L«(m�t~eµ{�r���tvmo�pbqsr��L}vw�qop|tvmowyx � ��� � �qoh>r � moxb� t~wktvebh�pbxbm�¼¨pbh�}vw�qop|tvmowyx !�5� �� � � !�5� ��P��¶® wy��tvebhk}~rug2h��vh>ru}vwyx r�}�r��`wNª�h�³©�²x � hh � t~e|hkpbxbm�¼Fp|hk}vwyq�p|t~m�wyxÁw ® t~ebhk�wyg�{b�vh}v}vm�wyx{be�r�}�h ��p�r��~rux¨tvhCh}ztve�rut��2� � !�5� ��P��� |³¿Dh(moq�qopb}°t~�vrut~h�tvebh � m�»`hC��hCxJt¯r�{b{b��wJr���ebh}�g�hCxJt~m�wyxbh � ru�`wNªyhzwyx�t~ebh ; Õ��r�q�q�¾�h�«�t~wyx � }�C�~r � qohu¶�}vhCh�­���pb�vh}��½rux � �N�|³kd�ebh�m�xbm�tvmsr�q � rut~r�r��vh7� � � G� F � � � ��� �� � � G� � � � �3G�r�x � !� � �3G� � �� !� � � G� �.5 !� � �3G� �.|³��²x�t~ebh��wyx|­��yp|�~rutvmowyx�}�{�r��h�¶·t~e|hk}��F}�tvhCg m�}}vqom � mox|� r�q�wyxb�µtvebh��Cwyx|}�t~�vr�moxJt � � � ��> � � � � � �r�x � tvebh�gkpbq±t~m�{bqoh mog�{�r���t�wF�C�Cp|�v}rut � ���³[d�ebh�§¨moxbh�t~mo�©hxbhC����� qow�}v}�mo} � hCxbw�tvh � r�} ��� � � � �� � > � � �� ��³

q1 q2q3

(sliding, no friction)

(/mo��pb�vh��AX�; ²��r�q�qÊ}°�n}°t~hg

" Ì � � Ç # ¢X¡�y³(�²x�}vpbg�g2r�����¶n«¯hCqoq ²{�wy}vh � xbh}v}(w ® � � � � hC{�hCx � }(wyx t~ebh�«¯hCq�q Õ{`wy}�h � x|hC}v}�w ® tvebhà � ��¶Äwyx!tvebh � h­�x|m�t~m�wyx w ® r½�Cwyq�qom�}vmow�x�gµru{b{bmox|�WEêmog�{bqom��Cm±t~q�� w���h��|{|qomo�m�tvq��AL�¶r�x � wyxµt~e|h�r�{b{|qomoh � ® w��v�Ch} ��mox�E°�mL�³�(�wy�Lmoxb}°t�r�x|�Ch´m±tLmo}L}vebwN«(x�moxRE@����hC}�}~r�xE°�N�KU���L+L�t~e�rYt�xbwyx ²pbxbm�¼¨pbhCxbh}v}�w ® t~e|h^t~�vrX��hC��t~wy�°� �3�� !� ��w ® � � ���Cr�xÅr��vm�}vh ® wy��Ch��t�rumoxÅh��Ft~h�vx�r�q ® wy���Ch} «(ebh�vhCr�}�tvebhµÃ � � m�x�E��m;�L´e�r�}�r pbxbmo¼¨pbh�}vw�qop|tvmowyx·³

û�û ×�� &>ò��%�

Page 33: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

;y� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

!� � � �� � !� � � �� � !� � � �� � � �EGV´rux H F�m�qog�wy�vh E°�N���K;�L+L > � � � � � � � � �

� E@� ® hm�»`hC� H F©qowF��§�h� E°�N�y��Q�L+L > � � � � � � � � �

Eêªur�x � h��ln��e�r ® t2H�ln��e¨pbg2r���ebh� E��N�y�KQKL+L � � � � � � � � � � E �½wy�vhCr�p E��N�y�y�KL+L � � � � � � � � � �

> � � � � � � � � � E@Ã���tv}�t~h � tIE°�N����i\L+L � � � � � � � � � �

EGV´rupb�b¶|¿!p�H��¯r�xb��E°�N���KQ�L+L > � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

(/m��ypb�vh^�N�AX��²g�{�r��tzwypnt~�Cw�g2h}�mox�t~ebh ; Õ��r�q�qÊ}��F}°t~hCg

��x9t~e|h^�Cw�x¨tv�~r��°�y¶Êr�}z«¯hk��hCg2r��v§uh � r���wNªyhu¶`t~e|hC�vh^r��vh��>r�}�hC}z«(ebhC��h^t~ebh^à � �{`w�}v}vh}v}�hC}�}vh�ªyh�~r�q¯}vwyq�p|t~m�wyxb}�moxÅt~hC��g2} w ® tvebhµ�wyxJt�r���t ® wy���Ch}C¶H�bpnt � � ��{`wy} }vh}v}vh}�r�pbxbm�¼¨pbh�}vwyq�p|t~m�wyxI�3�� !� ��³

�n³ D }�q�wyxb��r�}.«¯hCq�q Õ{`wy}�h � x|hC}v}�w ® � � �.m�}�r�}v}�pb�vh � ¶�wyxbh©�Cr�x���ebwFwy}vh r�xJ�µ�Cwyq�qomo}�mowyxgµru{·³H�Õtzmo}(r�x|w�t~ebh�({b�vwy�|qohCg t~w�ªyh�vm ® ��m�tv}�{b�~r���t~m��>r�q·p|}vh ® p|qoxbh}v}C³

;|³ D q�qÄtvebh^{|�vwy{�wy}vh � {�wy}�t ²mog�{�r���tzwyp|t~�wyg�hC}´m�x9­���pb�vh2�N�µr���hkrµ{|�vmow��vmÄr���ChC{nt� r��bq�h�³�d�ebh2}�t~p � �Åw ® r�xDr�{b{b��wN�nm�gµrutvmoxb� }�hC¼¨pbhCx|�Ch�w ® �Cwyg�{bqomor�xJt {b�vwy�|qohCg�}C¶t~ebhÅ�Cw�x¨t~r��tv}Á��ht²«¯hChx]t~ebh!��r�q�qo}���hCmox|�¬g�w � hCqoh � �J� q�moxbhCr���}v{b��moxb��}½«(m±t~e}�tvm�»`xbhC}�}vhC} � � r�x � � � ¶�}vebwN«(}kt~ebrut � h{`hx � mox|�'wyx t~ebhµ�~rutvmow # � �".

��5 t~ebh�vhmo}'rux mox|­�x|m�t²� w ® {`wy}�}vm��bqoh w�p|t~�wyg2h}C³ d�ebh¹t²«�w }vw�qop|tvmowyxb}9mox ­���pb�vhS�N�n¶!� � �� � � ��> �

� �� � � � � r�x � !� � �� � � � 5 �5 � � � ¶.�Cw��v�vh}v{�wyx � ��hC}v{�hC��t~m±ªyhCq±�$t~w# � 9r�x � # � ���]¶/}vhhSE;���vwy��qomsrYt~w E°�>�y�y��L�ÎH¾�h�«(�J�����³ E°�N��Ju��L�Î��Õª�ruxbwNªE°�N����UKL+L�³

ib³ V´r�p|��ht(r�q@³(EGV�r�pb�b¶F¿Dp H �¯r�xb� E��N�y�KQ�L5L � hCr�q`«(m±t~e�§¨mox|hCg2rut~m��´��e�r�m�xb}�«(m±t~er pbxbm�¼Fp|h��Cwyq�qom � moxb��{`w�moxJt>¶Êrut�«(ebm���e!¾zh«�tvwyx � } �wyxY��h�t~p|�vh�mo}©ru{b{bqom�h � ³��Õt©m�}}vpb{|{`wy}�h � t~e�rut�r�q�q|t~ebh�r���t~m�ª�h(�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}L�vhgµrumox�r��tvm�ª�h�r ® t~hC��tvebh�}�ebwF��§�X�m�x­��ypb��h E�JKL[t~ebm�}��Cwy���vhC}�{`w�x � }�t~wktv�~rX��h�t~w��vmoh} ® �vwyg � t~w � r�x � tvebhCx ® �vw�g �t~w � ³ � q�h>r���q��2t~ebm�}�mo}�xbw�tz}�p ���CmohxJtztvw�g2w � hCq·r�«�r�qo§¨m�xb��gµru��ebmoxbhu³

ùêú�û�ù ó

Page 34: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ;|�

Un³(�Õt[mo}�m�x¨tvhC��hC}�tvmoxb�©tvw�xbwut~h.t~ebrut � hC}�{bm�tvh(tvebhCm�� � mo}��C��hC{�r�x|�Cmoh}�t~ebhzr���wNªyh(mog�{�r���t�vpbq�hC}2{b�vwy{�wy}�h � mox E�V´r�x�H F©moq�g2wy��h�E°�N�y��;�L�δ� ® hm�»`hC�TH F©qowF��§�h� E°�N���KQ�L�Î�9wy��h>r�p�E��N�y�y��L�Î V´r�p|�b¶Ê¿!p�H%�¯r�xb� E��N�y�KQKL+L(�Fm�hCq � !� � �� � � �0> �

� �� �� � � r�}r2}�wyqop|tvmowyxʶb«(ebhCx � � � |³��Õt�mo}zxbw�tvh«¯wy��tveJ�½tve�rutzt~ebh � �Cqor�}v}�mo�Cr�q � t~h��Ft~��wnwy§}vwyq�p|t~m�wyxÁm�}�pb}�p�r�qoq±�½�~rutvebhC����m�ªyhx'�J� !�5� �� � � � �5 � � � ¶Ê«(ebm���e'mo}´tvebhk{�wy}�t mog�{�r���tkg�w�t~m�wyx m ® w�xbh r�}v}�pbg�hC}�t~e�rYt7� � � ��L� � � � � ��L�^rux � t~ebh���hC}�tvm�tvp|t~m�wyx�CwFh ���Cm�hCxJt�� � ����ht²«¯hChx t~ebh';���r�q�qo}2E@r�}vpb��ChC}�}vm�wyx�w ® t²«¯wk}vm�g2{|qohzmoxbhqsr�}°t~mo�}vebwF��§¨}CL�³

!#"3! � �D(�� *�/ � 1�� - ����� , ��( � �D( 1� ����� ��,� ���1���� -0/ �5-��D(�²x�tvebh ® �vmo��t~m�wyxbqoh}v}H�Cr�}vh�«¯h�}vr>«Ït~ebrut[t~ebhzà � � E°��;�L�«.ru}[«¯hCq�q Õ{`wy}�h � }vm�xb�Ch�tvebh(wyxbq��{`wy}�}vm��bqoh mox � htvhC�vg�moxbr��Cm�hC}C¶¯�vh}vpbq±t~mox|� ® ��wyg � hC{�hCx � hCxJt½r���t~m�ª�h9�wyxb}°t~�~rumoxJt~}¶ � wyx � tmoxA@�p|hCxb�h2t~e|hµ�yq�wy��r�q[g�w�t~m�wyx w ® t~e|h g2h��e�r�xbm��>r�q[}°�n}°t~hg Eêpbxbmo¼¨pbhxbhC}�}�w ® tvebh r�� �ChCq�hC�vrut~m�wyx�w ® t~e|hk�Chx¨tvhC��w ® g2r�}v}"L�³©¿Dhk«(m�qoq�}vhh�mox�t~e|hk}vh¼Fp|hCqHt~ebrut�t~e|h�{b�vwy�|qohCg�`h�Cwyg�hC}�g�wy�vh/�Cwyg�{bqom��>rutvh � tveb�vw�pb�ye©t~ebh�m�xJt~�vw � pb��t~m�wyx�w ® � ��� ® �vm��t~m�wyx·¶Nrux h}v}�hCxJt~mor�q{�r��~rug2h�t~hC��w ® t~e|hkqoh�y�yh � q�wn�wyg�w�t~m�wyx·³z�²x�t~ebhk{br���t � h � m��>rutvh � t~w2t~ebhk�wyxJt~m�xFp|wypb}g2w�tvmowyxʶu«¯hz«(m�qoqb}�ebwN«Ït~ebrut¯r � hC�Cw�g2{�wy}vm±t~m�wyx�w ® t~ebh�t�ruxb�yhCxJtvmsr�q ® w��v�Ch�B�r���ChCq�hC�vrut~m�wyx��e�r��~ru�t~h�vm�}�t~m���qoh>r � }^ru�Jr�mox t~w9rÁà � ��¶Ä«(e|wy}vh p|xb§¨xbwN«(xDªur��vmor��bqoh} r��vh��vhqsrutvh � t~wt~ebh��Cw�g2{bq�htvh©moxJt~h�~r���t~mow�x ® wy�v�hC}C³

�������! " Ì�# ¢%$ # � Ì ��¡ � Ì ¢%$ Ì&#d�ebh¯­���}�t/}�t~h{k�Cw�xb}vm�}�t~}�mox ® wy�vgkp|qsrutvmoxb�.tvebh ® ��mo�tvmowyxbr�qyqsr>«¹m�xkr�r � hC¼¨p�rYt~h¯«�r>��tvw � h t~hC��g2m�xbh(t~ebh�t~r�xb�yhx¨tvmsr�q��yhxbhC�vr�qom�ÂCh � ® wy�v�hC} �&���3�� !�4��³�Ã�ht.pb} � hxbw�t~h�ru} !��� � � �3�� !� ��� � � ����� !�� �D6��+�3�4��t~ebh(��hCqsrYt~m�ª�h�t�ruxb�yhCxJtvmsr�q|ª�hCq�wn�m�t~m�hC}�rYtHt~ebh(�wyxJt�r���t¯{�wym�x¨tv}C³�¿ m�t~e wyp|t©rux¨�9qow�}v}´w ® �yhCxbh�~r�q�m�t²��¶`m�xÁt~ebh^}vhC¼¨pbhq/«¯h^«(moq�q ® wF�Cp|}�wyx � wyp|qowygk� �Ý} ® �vmo��t~m�wyx�r�qqsr>«]m�x�t~ebh�� " �>ru}vh�«(ebmo��e½�Cqor�}v}�mo�>ruqoq���}°t�rutvhC}(t~e�rut

� �D6��+�����H= �� � !�&� � ���3�� !� � � ��� � �� � � ��� � ! � �� ���� �!�&� � ���3�� !� � � ��� �� � � � � � �� ���� �!�&� � ���3�� !� � F ��� �� � � � >�� �� ���� � EG;���L

«(ebhC��h���! � ��r�x � � � � hxbw�t~h�tvebh ® �vm��t~m�wyxk�wnh%�2�mohx¨tv} ® wy��}�tvmo�tvmowyx�rux � }vqom � mox|��g2wut~mow�xrut�t~e|h��CwyxJt�ru�t�{�wymoxJt��¶Är�x � ������� !�4� � ��������� � � � �0������ �� � �a³^d�ebh���r�}�mo�km � h>r m�}´t~ebrut

û�û ×�� &>ò��%�

Page 35: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

;J� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

t~ebh �y�~ru{beÁw ® t~ebh �vhqsr>��E;wy�z}vm��yx¨pbg7L���ebr��~r���t~h�vmo}°t~m����Cr�xÁ��h�h��n{b�vh}v}vh � �¨�9r�}vht�w ®�Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²�- ²}�qsr���§¨xbh}v}��Cw�x � m�tvmowyx|}C³Llnh�tvt~m�xb�

���������� ���������

��� � � � ��! � �� ���� � �� �� � � �� � � � ��! � �� ���� � > �� � �!� �� � � � �

� � � !�&� � � ��� !�&� � �3�!� �� � � � �

� � � !�&� � � �L> !��� � � �EG;n�fL

t~ebh ® wyq�qowN«(moxb�^�Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²�2�vhCqorut~m�wyxb}.h��n{b�vh}v}(t~ebh ® �vm��tvmowyx�g�w � hCq

� �D6 �+�3�4��= �� � !� �� � � � 5 �� � � � !� �� � � �� � � �

!� �� � � � 5 �� � � � !� �� � � �� � � � EG;y�KL

ÃÄh�t�� ! �3�� !� � � �+�3�4����h©t~ebh�}�htzw ® {`w�tvhCxJt~mor�qoq±��}�t~m���§¨moxb���CwyxJt~r��tv}� ! ��� !�4� ��� �D6��+����� � !��� � � �3�� !� �� �� EG;�;�L

(P��wyg E�;y��L�t~ebh�t�ruxb�yhCxJtvmsr�q ® wy���ChC}zw ® t~ebh�}vqom � mox|���CwyxJt�ru�t~}��>r�x9�`h � m��vhC��t~q±���vhqsrutvh �t~w�t~ebhmo����hCqsrYt~m�ª�h©xbwy��gµr�q ® wy�v�hC}(�J�

� ��6 � ����� "� ! �3�� !� �� �� � � � >�� �� ���� �s}�mo�yx � !�&� � �3� EG;ui\Ld�ebhCx�}�moxb�h�t~r�xb�yhx¨tvmsr�qÄ��hCqsrYt~m�ª�h©ªyhCq�wn�m�tvmohC}�r�x � r��C�hCq�hC�~rYt~mow�xb}�ebrNª�h�tvebh^}vr�g2h }vm��yx® wy�kt~�vr�xb}vm±t~m�wyx ® �vw�g }�tvmo��§¨moxb�'tvwÅ}�qom � moxb�|¶[r �wyg�{bqoh�t~h g�w � hCq ® wy�ktvebh {`wut~hCxJtvmsr�q�q��}�t~m���§¨moxb���Cw�x¨t~r��tz�Cr�x9h��n{b�vh}v}vh � r�}

� �D6�� ! �3�� !� ��� � � �� � � � � � ! � � ��%� � ��� ��&� � � � �� � � � � � ! � � ��%� � ��� ��&� � � � �� � � � >�� ! � � ��%� � ��� ��&� � �;�

EG;KUKL

D }�}ve|wX«(x�mox E;� ® hCm�»`hC� H F©qowF��§�h� E°�N�y��Q�L�Îyd��vm�xb§¨qohu¶¨�/r�xb�|¶Flnp � r���}v§J�-H ÃÄw E��N�y��U�L+L�¶t~ebh��wyx � m±t~mow�xb}·mox E�;�UKL`�Cr�x r�qo}�w.��h��vhC{|qsr��h � hC¼¨pbm±ª�ruqohCxJtvq����¨�©r.}vht�w ® �wyg2{|qohCg�hCxJt~r��vm±t²� }vqsru��§Fx|hC}v}(�wyx � m±t~mow�xb}C³Hd�e|mo}�r�q�qowN«(}�w�xbh�t~w���h«(�vm±t~h´tvebh � �Fx�r�g�mo�}.moxSE°�fL�¶ E@�KL�¶ EG;�L¯r�}� �� � " � � � ������� �� ���� EG;�Q�L

ùêú�û�ù ó

Page 36: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ;K;

� � � � � ���� � 5 � � � � � � EG;KJKL

® wy��r�{b{b��wy{b��msrutvh�gµrutv�vm��ChC} � r�x � �N¶ � r�x � � ��� �� ��¶Ä«(e|hC�vh�t~ebh��wyg2{�wyxbhxJt~} w ® �r��vh©}�pbm�t~r��bqoh©}�qsr���§2ª�ru�vmsru�bqoh}C³

" Ì � � Ç # ¢X¡�y³ ��� �+��.m�d�ebh�r���wNªyh ® wy��gkpbqorut~m�wyx �>r�x¹��h h��FtvhCx � h � tvwÁt~e|hT; "*�>ru}vh��J�!«�r>� w ® tvebh� hC�wyg�{`wy}�m�tvmowyx9w ® t~ebhkt~r�xb�yhx¨tvmsr�q��Cwyg�{�wyxbhCxJt©w ® tvebh ® wy���ChmBur��C�hCqoh�~rutvmowyx�rutt~ebh���wyqoq�moxb�2�CwyxJt~r��t wyx't²«¯w9wy�°t~ebw��ywyx�r�q � mo��hC��t~mow�xb} ´r�x ��� mox�tvebhkt�r�x|�yhCxJt{bqsruxbh�³ � wyp|qowygk� �Ý} qsr>«�}°t~mo{|pbqsrutvhC}�t~e�rYt�tvebhµ�wyxJt�r���t ® wy���Chµ��hCg2r�mox|}�«(m±t~ebm�xwy��wyx�t~e|h ��wypbx � r���� w ®�® ��mo��t~mow�x��Cwyxbhu¶bt~e�rYt(mo}

� ��6 � ������ �� � � �� �� � � �� ���� � EG;���Ld�ebhC}�h¯x|wyxbqom�xbh>ru�·�Cwyx|}�t~�vr�moxJtv}��>r�pb}�hLtvebh�g�w � hq�t~w(��hC�wyg2h�x|wyxbqom�xbh>ru�C¶NqohCr � m�xb�t~w¹rD¾�wyxbq�moxbhCr�� � wyg2{|qohCg�hCxJt~r��vm±t²�$���vwy�bq�hCg E@¾ � ��L�¶�}�hCh Eêd���moxb§¨qohu¶(�/r�x|�b¶lnp � ru�v}v§J� H Ã�wWE��N�y��U�L�Î�lFtvh«�r���t H d���moxb§¨qoh E��N�y�KQKL+L�³ D «�rN�Át~w wNªyhC���Cwyg�ht~ebm�} � m ���Cpbq±t²� �Cwyx|}vmo}°t~}�mox!r�x¹r�{b{|�vw>�nmog2rut~m�wyx w ® t~e|h ® ��mo�tvmowyxÅ�Cw�xbhC}^rut�tvebh�vwyq�qom�xb���CwyxJt~r��tv}´�J� ® w�pb� Õ}vm � h � ® ��mo��t~mow�x½{J�F�~rug2m � }C¶��Cwyg�mox|���br���§½tvw r2à � ��³d�ebhÅ{b�vm��Ch't~w1{�r>�Smo}¶�ebwN«¯hªyh�C¶�r�x � moxb��vhCr�}vm�xb�$xFp|gk�`h�9w ® à � ��}9tvw¬��h}vwyq±ªyh � ³µd�ebh�moxJtvhC�vh}�tvh � ��h>r � hC� }vebwyp|q � �vh ® h� tvw Eêd���moxb§¨q�h�¶��/r�x|�b¶HlFp � r���}v§J�H�Ã�wSE°�>�y��UKL5L ® w�� ® pb�°t~ebh� � h�t�r�m�qo}¶`rux � t~wRE@��r�xb��H�d��vm�xb§¨qoh7E°�N�y��Q�L+L ® wy��r�xh��Ft~hxb}vm�wyx't~w�q�wn�Cr�qoq±��{bqsrux�r���­bxbm�tvhk�CwyxJt~r��t���hC�ym�wyxb}´tv�~r�xb}�g2m±tvtvmoxb��g2w�g2hx¨tv}r���wyp|t�t~e|h x|wy�vg2r�qo}�w ® tvebh � mo}°t~��mo�bp|tvh � �Cw�x¨t~r��tv}C³

�n³����K .��%��� �C� ����� �[� � � ���3�C.C. �%$'.m�������G����A. �{� ��� ��_���D } ® wy�´h�ªyhC�°�'à � � ® wy�vgkp|qsrutvmowyx�t~e|hk{b�vw��bqohg w ® t~ebh�h��nmo}°t~hCx|�Ch�w ® }�wyqop|tvmowyx|}mo} � mo��hC�tvq�����hCqsrYt~h � t~w^tvebh�{�wy}vm±t~m�ªFm±t²��{b�vwy{�hC�°t~m�hC}�w ® t~ebh�g2rutv�vm±� � mox E�;�JKL�³ � ._.����� �{� ���2� � !!#{6 ���G!� �I $2�����d���.�)�!��� ��*)A���[.%�A��6 ���G!� �C�C. �A�����(�3��� �3�� ��������������%��!�6P������ ��. � � . �+����� �+� � � #{6 ���G!� � $2�����d���.�)�!��� ��*)A���[.%�A��6 ���G!� �C�C. �A�����) �m.���G���� �����%��!�6P������ ��. � d�ebh�g2r�mox���hC}vp|q�tz�vhqsrutvm�ªyh�tvw�h��nmo}°t~hCx|�Ch^w ® }�wyqop|tvmowyx|}t~wk��hCxbh�~r�qÊà � �$}�t~rut~h}.t~e�rYt>¶|m ® � r�� ²g2rutv�vm±�`¶Jt~e|hCx ® wy�.h�ªyh���µª�hC��t~wy� �N¶ntvebhà � � m�x�E�;�JKLzebr�}�rµp|xbmo¼¨pbh�}vwyq�p|t~m�wyx·³ �xbm�¼¨pbhCxbh}v}©w ® tvebh^}�wyqopnt~mow�x9m�}´qow�}�t�m ®� mo}�wyx|q���r�� !� ²g2rut~��m±�`³

û�û ×�� &>ò��%�

Page 37: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

;�i � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

�Õt�mo}�x|w�t~h�«�wy�°t~eJ�'t~ebrut©mox'tvebh ® �vm��t~m�wyxbq�hC}v}��>r�}�h E!� ! � � � � � � 5 � �+6 �+�3�4�+L�¶EG;�J�L2�vh � pb�Ch}½tvw E°�m;KL�«(ebhC��h � mo} rut�q�h>r�}°t½r � ! ²g2rut~��m±� E;m�xºt~ebh �>ru}vh'w ®� hC{�hCx � hCxJt½r���t~m�ª�h'�Cwyx|}�t~�vr�moxJtv}CL�³ D ª�hC�°�ºpb}�h ® pbq�{|�vwy{�hC�°t²�ºw ® � ²g2rut~��mo�hC}C¶�vh}v{�hC�tvm�ª�hCq���� !� ²g2rut~��mo�hC}C¶�qom�hC} moxÅt~ebh ® ru�t^tve�rut�t~ebh��Dru�vhµm�xJª�ru�vmsrux¨t�pbx � hC�}vg2r�qoq�{�hC�°t~pb����rutvmowyxb}³H�²x w�tvebhC�[«¯wy� � }¶|m ® � m�}�r � ÕgµrYt~�vm �`¶J�vhC}�{`h�tvm�ªyhq�� � !� gµrYt~�vm �`¶�Eê«(ebm���e2m�}Ht~ebhz�>ru}vh(mox�t~e|h ® ��mo�tvmowyx|qohC}�}Hg�w�t~m�wyx�L�¶ut~ebhxµr�q�qbg2rut~��mo�Ch} ��}vp ���mohCxJtvq��9�Cqow�}vh�tvw � r���h�r�q�}vw � ²g2rutv�vmo�hC}¶`��hC}v{�hC��t~m±ªyhCq±� � !� Õgµrutv�vm��ChC}³´�²x}vm��yeJt�w ® t~ebm�}�{|�vwy{�hC�°t²�y¶/w�xbh2}�ebwypbq � xbwN« m�x¨tvpbm�tvm�ª�hCq���pbx � h�v}�t~r�x � tvebh�g2wy}°tr � ªur�xb�h � tvebhCwy��htvmo�>ruqn��hC}vp|q�tH«¯h��Cwyp|q � ­�x � mox^tvebh.qom±t~h�~rutvpb�vh E;d��vm�xb§¨qoh�¶��/r�x|�b¶lnp � ru�v}v§J��H�Ã�wSE°�>�y��UKL5L X��O$ ��� �-� �������� �C���A.��G!5���� ��.P��!"� ������{) ��������� ���v� � ���� � ��!"� ���K .��O. �') �m.���G����2.!�+��� ��! ���.%� ���T���A���� $ � � 6 � 5 �� � � �D6��+����� "� ! �3�� !� �C�� � � ��� �C��� ��� ��� )�!"����� ��6 8������������� ��6 � �C���3�-��!()���!5��6P������ ��)�)�!"� �K�6 ���������A��. �?.m������������ � �²xÅwut~ebh��«�wy� � }C¶Äm ® tvebh ® �vm��tvmowyx��wnh%���CmohxJt~} rut©t~e|h�}vqom � mox|��CwyxJt~r��tv}�r��vh´}vp ���Cm�hCxJt~q±� }�gµr�q�qa¶Jt~e|hCx rk}vw�qop|tvmowyx�t~wkt~e|h©Ã � �Ïr�q±«.r>�F}.h��nm�}�t~}³�O$ � ��6 � 5 �� � � � 6 �+�����"� � � ��� �[� � � ���3�C.C.7�%$I� � � .m������������W . ���*.m�- ��d��!5��� #�%�C�+� � d�ebh�g2r�moxÁ{b�vwy�|qohCg mo}�x|wX«�t~w�­�x � r��Cw��v�vh�t�h}�t~m�gµrYt~hkw ® t~e|h�pb{b{�hC��`w�pbx � ��H³Åd�ebh��Cw�g2{bpnt�rutvmowyx w ® }�pb��e¬r�x¹hC}°t~mog2rutvhµmo}^xbw�t~e|moxb�'�bpntkt~��m�ªFmsr�q}vm�xb�Ch � mo}Lr�qo}�w r ® pbx|�t~m�wyx�w ® tvebh�}°t�rutvh ��� !�4��³�(�pb��tvebhC��tvebmo}[hC}°t~m�gµrutvh(}vebwyp|q �xbw�t´r�{b{bq±�y¶�}vm�xb�Ch t~wFwµ}vg2r�q�qa¶bt~w2g2w � hq���h>r�q�}��F}°t~hCg�}C³�d�ebmo}�mo}z{b�vw���r��bq±� � pbht~w t~ebh ® ru�t�tve�rut¯t~ebh � Õ{b�vwy{�hC�°t²�y¶n�vhC}�{`h�tvm�ªyhq�� � !� ²{b��wy{`h��t²��w ® � ¶nwyx2«(ebmo��et~ebhµ{b�vwFw ® w ® t~e|h r��`wNª�h��ym�ª�hCx¹�vh}vpbq±t~}���ru}vhC}¶[mo}�rÁtvwnw�}°t~��wyxb�År�}v}�pbg�{|t~m�wyx�vhqsrutvm�ªyh�tvw^h��nm�}�t~hxb�Ch´w ® }vw�qop|tvmowyxb}�tvw�t~e|h�à � ��³F�Õt.m�}Lw�xbq���r }vp ���Cm�hCxJt��wyx � m t~m�wyx·¶Fr�x � wyx|h´}ve|wypbq � t~����t~w^�vhCqorY��m�tC³H�²x ® r���t�r�}¯}~r�m � r���wXª�h�¶ � Õ{b�vwy{�hC�°t²��wy�� !� ²{b��wy{`h��t²�½w ® � �yp�r��vr�xJt~hhC}´tvebhkh��nm�}�t~hxb�Ch^w ® }vwyq�p|t~m�wyx t~w E�;�JKL�¶ ® wy�P�%����!��ªyh�t~w�� �N³Ád�pb�vxbm�xb�9tvw�wypb��r � ªur�xJt~r��yh2tve�rut � r�x � ��ruqo}vw � hC{�hCx � }�wyx!tvebh}�t~rut~h �3�� !� ��¶¨r�{b�vr��tvmo�>ruqoq�� m�x¨tvhC��hC}�tvmoxb��¼¨pbh}�t~m�wyx�t~w��`hzr�x|}�«¯hC�vh � t~w�m�} X� �������� �_8����� �f)�) ��! ��������� � C���� � � �1� �%� � � � �4 �� ���� � ��?�3�����3���C�C.C.���!�� � �������M.��}��!������ $�!"��6 � �C���A.� .��{��� ��C����# ���!+������������ !�� ���A���_ .I� � � 9��� � �� ����6P��O.(� .m�������G���� � � � !��_ .(�3��� �3���C�C.C.���!�� � � #���! � !�6 ����!� � � ��8����m�C._� � �.��f.��{��6I�������M��� ��. � ����� ��� �%��������� ���²x w�t~e|hC�.«¯wy� � }¶3.��}��!������ 2$�!"��6 ���C��� #.� .��%��� � �C����# ���!5���G����A� ���m�C.-��� � .��m.��%��6 !"�+� ��� �� �C���A.� .��{��� ���C����# ���!+��������A.C� $ .%� ��� �C����# ���!5���G����A.I6 ����� ��6 ���G �+������ ���K .����9d�w t~ebh���hC}°t©w ® wypb�´§Fx|wX«(q h � ��h�¶¨t~ebm�}¯¼¨pbh}�t~m�wyx·¶¨«(ebhCx|hªyh��{b�~ru�t~m��>r�q�q��^�C�vp|�Cmsruqa¶J}vhhCg�}�xbwut¯tvw^e�r>ªyh��`hhCxmoxJt~hxb}vm±ªyhq��2r �b� ��hC}�}vh � pbxJt~m�q`x|wX« r�x � �vhgµr�m�xb}�hxJt~mo��hCq±�2w�{`hx·³L��xbh�{�wy}v}�mo�bq�h�vhCr�}vwyx t~w t~ebrut ® r��t�g2r>�'qom�h�mox't~ebh�pbx � hC�vq±�Fmoxb� g2rut~ebhgµrYt~mo�Cr�q � m ���Cpbq±t~m�hC}C³

ùêú�û�ù ó

Page 38: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ;�U

d�ebh[moxJt~h�vh}�t~h � ��h>r � h�Ä}vebwyp|q � �vh ® hC��t~w�t~e|hLg�wy��h�wyxbh[�Chx¨tvpb����w�q � ��hCxb��ebg2r���§�/r�m�xbqoh�ª � h��|r�g2{|qoh�r�x � tvebh�xbh�«%�vh}vpbq±t~}©��hCqsrYt~m�ª�h^t~w tvebh�r���wNªyh�¼¨pbhC}°t~mow�xÅm�xE�F � xbwut E°�N���y��L�Î�F � x|w�t>¶¨����wy�yq�msrutvwb¶��¯�~r���eMH d�e¨pbm�qow�t E��N�y��J�L+L�³�Ã�htLpb}�xbwut~mo�ht~e�rYt´t~e|h^moxJtv�vw � pb�tvmowyx9w ® D g2wyxJtvwyxb} � wypbq�wygk�Áqor>«Àrut�tvebh^t~r�xb�yhx¨tvmsr�qÄq�hªyhqmoxb��vhCr�}vh}ztvebh�x¨pbg^�`h�zw ® g�w � h}(mox «(ebmo��e½t~ebh�}��F}°t~hCg g2rN� hªyw�q�ªyhu³��²x � hCh �® �vwyg E�;J�KL�h>r���e�r���t~m�ª�h��wyxJt�r���t[r �b� }/i�g2w � h}C¶u«(e|hC�vh.tvebh�w�xbh.�Cw��v�vh}v{�wyx � m�xb�t~w !� �� � � F 2r�x � !� �� � � F'�mo}�mog�{�wy}v}�mo�bq�h�mox ªFmoh�« w ® EG;n�fL�³

;|³���xbh��qsr�}�}vm��>r�q�«�rN�½t~w2wNªyhC���Cwyg�h�tvebh^{|�vwy�bq�hCg w ® h��nmo}°t~hCx|�Chkrux � pbxbm�¼¨pbhCxbh}v}w ® }�wyqop|tvmowyx|}(tvw2tvebhkà � � r�x � tvw � � �z�wyxb}�mo}�tv}´m�x9t~e|h^moxJtv�vw � pb�tvmowyx½w ® �wyg {bqomor�xb�h�rut�t~ebh��CwyxJt~r��t {�wymoxJt~}ME;¾�hCm�gµru�v§�E��N�y��U�L+L�«(ebm���eDmox t~p|�vx � wnh}�x|w�t�FmohCq � rÅ}vpbm±t�r��|qoh½g2w � hCq ® wy���Cw�x¨tv�vwyq � h}vm��yx·³ lnwyg�hÁrup|t~ebw��v} ruqo}vw!{b�vw�{`wy}�hg2w � m±­��>rutvmowyx|}Lw ® � wypbq�wygk� � } ® ��mo�tvmowyxbr�q�qsr>« rut¯t~ebhzt~mog�h � mo}��C��ht~m�Â>rutvmowyx�q�hªyhq«(m�tvebwyp|t ® wypbx � h � {beJ�n}�mo�Cr�qng�w�tvm�ªurut~m�wyx-E;à �ut~}�tvh � t_E°�>�y��i\L�ÎJlFtvh«�r���t HÏd��vmox|§Fq�hE°�N���KQ�L+L�³

ib³z¾�w�tvmo�h�ebwN«¯hª�hC��tve�rut ® w��¯�qsr�}�}vmo�Cr�q�qowF�Cw�g2w�tvmowyx�h��nmo}�tvhCxb�h©r�x � pbxbmo¼¨pbhxbhC}�}.w ®t~ebh�t~�vrX��hC��t~wy�°�År��vh�r�}�}vpb��h � ru}�q�wyxb�½r�} xbw ® wFw�t� Õ�y�vw�pbx � �CwyxJt~r��t�mo}�}vq�m � m�xb�b³V�hxb�Chµ�/r�m�xbqoh�ª � {br��~r � wN�nh}kr�x � mox � h�t~h�vg�mox�r��moh} � wÁxbw�t�h��nm�}�t � pb�vm�xb�½tvebh�Cwyp|�v}vh�w ® xbwy��gµruqÊ«.ruqo§¨moxb�|³

��������� + � ,ê¢%$��, Ç $ ���¤b¥�¢X¡d�ebh©t~eb��hCh � m�»`hC��hCxJtzr�{b{b��wJr���ebh} � hC}v��vm��`h � m�x tvebh ® �vm��t~m�wyxbq�hC}v}��>r�}�h�m�x½}�pb�b}�pb�b}vh� t~mow�x?;|³Ù�F³Ù�k�>rux9��h�h��Ft~hx � h � t~w�t~e|h ® ��mo��t~mow�x�r�qÊ�Cr�}vhu³

�d�ebh�{b��wn�h � pb��hC}Ämox E�V´r�x H F�m�qog�wy�vh9E°�>�y�K;�L�ÎbV�r�x·¶bF©moqog�wy��h HÏ�©��w�tvE°�>�y�K;���L�ÎV�pb��gkpbÂqop?H �Ár��v��ebm�tvp E°�N����i\L+L¯r��vh��wyg�{bqoh�t~h � �J�2t~ebh©hxFp|g2h�~rutvmowyx w ® tvebh� m�»`hC��hCxJt(}�tvmo��§¨mox|� �u}vq�m � m�xb�k}°t�rutvhC}�rut�t~ebh��wyxJt�r���t�{�wym�x¨tv}C³

��9wy��h>r�p9{b�vwy{�wy}�hC}�r ® wy��gkpbqsrYt~mow�x ® wy�zr2}vm�xb�yq�h©{bpb�vhq�� m�xbhCqor�}�tvmo��}vebwF��§ moxÁ� "mox�E �9wy�vhCr�p�E°�>�y�y��L5L�¶�r�x � ® w���gkpbq±t~mo{|qoh mog�{�r��tv}�mox�E �9wy��h>r�p E��N�y��i\L5L�³ d�ebh­��v}°t�r�q��ywy�vm±t~ebg m�x E �½wy�vhCr�p�E°�N���y��L+L(��r�}�hC}©wyx r�x'h��Ft~hCx|}vmow�xÅw ® D g�wyxJt~wyxb} � wypbq�wygk� � }kqsr>« rutktvebh mog�{bpbqo}�h qoh�ªyhqa¶[}vm�g2m�qsr��©t~w'tvebh mog�{bqom��Cm�t�r�q��ywy��m�t~e|g2}w ® ¿ ebm±tvt�ru§�hC� Eê¿ ebm±tvt�ru§�hC�'E°�N����i\L+LLr�x � ��hC�vh} E@� � �vf} E°�N�KU�;�L+L�¶nm�xµ«(ebm���e½w�xbh}vpb{|{`wy}�hC}�tve�rutLt~ebh�mog�{bpbq�}vh � mo��hC��t~mow�x2m�} � h�­�xbh � ® �vwyg%tvebh´{�wy}�t ²m�g2{�ru�t�t�rux. �yhCxJtvmsr�qHª�hCqowF�Cm±t²�y³2d�ebhµ}�hC�Cw�x � r�q��ywy�vm±t~ebg mox E �½wy�vhCr�p E��N�y��i\L5L´mo}�{�r��°t^w ® r

û�û ×�� &>ò��%�

Page 39: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

;KQ � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

}vw! Õ�>r�q�qoh � �C��6 )�� ���%� �C��� ��� ��� � ��81r�x � ebr�x � q�hC}�gkp|q�t~m�{bqoh hCqor�}�tvmo�k}�ebwF��§F}©«(m±t~e�vh}�t~m±t~p|tvmowyx �wnh%�2�mohx¨tv}�mox t~e|h�xbw��vg2r�qÄr�x � t�r�xb��hCxJt~mor�q � mo��hC�tvmowyx|}z�br�}vh � wyxt~ebh�m�x¨tv�vw � pb��t~mow�x'w ® tvebh�}vw! Õ�>r�q�qoh � ������!5�m �� ����� �!�������rut hCr���e!�wyxJt�r���t>³2�/r�� t~m��Cpbqor��(rutvtvhCxJt~m�wyx½mo}({�r�m � tvw2t~e|h^r�{|{bqom��>rutvmowyx tvwµ�y�vr�x¨pbqsr���g2rutvhC�vmor�qo}¶bma³ h�³¯t~w}��F}�tvhCg�}´«(m�tve�g2r�xJ� � hC�y��hCh}©w ®H® �vhh � w�g E0� �L � Lzr�x � «(m±t~e9}vmog�{bq�h��wyxJt~mox pbwypb} � �Fx�rug2m��C}C³ D xbwut~ebh�zm�g2{br��t(��pbqoh ® wy��m�xbhCqor�}�tvmo�©mog�{�r���t(mo}�wy�nt�r�m�xbh � �J�}�t~rut~m�xb�µ�wyxb}vh��ªurutvmowyx�w ® �Ch��t�rumox'r�x|�ypbqsru��g�wyg�hCxJt�r|³zd�ebm�}´�vp|qohkru}v}vp|g2h}�xbw}vq�m � m�xb��t~wÅt~ebh9�CwyxJt�ru�t2{`wym�xJt~}2r�x � m�}�w ® t~hxÏpb}�h � ® wy���bm�{`h � ��wy�`wut~}�E��©pbwE°�N���y��L+L�³

�Ã���t~}°t~h � t©mox E;Ã���t~}°t~h � t E°�N����i\L+L(}vpb���yhC}°t~}�r�x'r {|�vmow��vm � x�rutvpb�~r�q � �yhxbhC�vr�qom�Â>r t~m�wyx!tvwÁt~ebh ® �vmo��t~m�wyx�r�q��Cr�}vh�w ® F�r�pb}�} ��{b�vm�xb�Cm�{bqoh��J� ��h«(�vm±t~m�xb�9tvebh Ã � ��m�xEa�KJ�L.r�}.t~ebh ® wyq�qowN«(mox|� � � X

����� �� � ��� � � � � � � � � ��� � !�5� �� �

�7�7�5 >�� � �7��� � � �7� � � � � � � �%� � EG;���L

«(ebhC��h � � ' �7�� � ( r�x � � � � � � � �J³-V�wN«¯hª�hC� ebh�}vebwN«(}�t~e�rut©tvebh

�©pbebx. Õd�pb��§uhC�z�Cwyx � m�tvmowyxb}(rYt�t~ebh�wy{|tvmog2r�q�{`wym�xJt��nm�hCq ��7� � � !� � �� � � E;iy��L

D q±t~ebwyp|�ye't~ebm�}©qowFwy§¨} q�mo§uh�r�x!w���t~e|wy�ywyx�ruqom�t²�9�vhqsrutvmowyx'��ht²«¯hChxDt~e|h�m�g2{|pbqo}�hr�x � t~e|hz{�wy}°t� ²m�g2{br��t�ªyhCq�wn�m�t²��¶�E;iJ��L�«(m±t~e�t~e|h ® ru�t�t~ebrut�t~ebh�m�g2{|pbqo}�h.�`hqowyx|�y}t~wzt~ebh ® �vm��t~m�wyx �Cwyxbh � wFhC}�xbw�t�mog�{bq���rux¨� �wyg2{|qohCg�hCxJt~r��vm±t²���vhqsrutvmowyx ��ht²«¯hChCxt~ebh�m�g2{|pbqo}�h�r�x � t~ebh[{�wy}�t ²m�g2{�ru�tʪ�hCq�wn�m�t²�©m�x�t~ebh(�3��!�6 �������!"�����G�����¶>«(ebm���e�m�}t~ebh¯g2m�xbmog^pbg �vh¼¨pbmo��hCg�hCxJt ® wy��r´{bqor�}�tvmo�[}ve|wn��§P³�d�ebm�}/g�h>r�xb}�t~e�rYt/m�x^�yhxbhC�vr�q}vpb��e½rk��pbqoh��Cr�x qohCr � t~w���hC��wypbx � }³ �9wy�vhwNªyhC�.tvebmo}��vpbq�h�mo}.x|w�t�hCx|hC�v��ht~m��>r�q�q���Cwyx|}vmo}°t~hx¨tLm�x��>r�}�hzw ® t~r�xb�yhx¨tvmsr�qFªyhqowF�Cm�t²�^�vh�ªyhC��}~r�q@³�d�ebmo}[ru{b{b�vwyr���e2ebr�}��`hhCxr�{b{bq�moh � t~w't~e|h�g2w � hCq�moxb�Áw ®(® hCht����vwypbx � m�g2{br��tv}kw ® �bmo{�h � ruq��vw��`w�tv} E;}�hChE%(�pY��m�g2w�tvw H ��r>«�r�gkpb�vr E��N�y�y�KL+L+L�³� ® hCm�»`hC��r�x � F�q�wn��§uhC�zmox�E;� ® hCm�»`hC�2H F©qowF��§�hC�IE°�>�y�KQ�L5L�� � e�r�{|tvhC������p|}vhk��wymo} }vwyx �Ý}�m�g2{�ru�tHqor>« E «(m�tve��Cwyg�{b�vh}v}�mowyx�r�x � h��n{�r�xb}�mowyx�{be�ru}vhC}"L�³�d�ebh��kh��ntvhCx �� wypbq�wygk� � } ® �vm��tvmowyx�qor>«�tvw tvebh�mog�{bpbq�}vhkq�hª�hCqa³^d�ebh�moxJt~��w � p|�t~m�wyx�w ® }vqor���§ ªur��vmor��bqoh}�}vm�g2m�qsr���q���t~w�t~e|h��wyxJt~mox¨pbw�pb}�g�w�tvmowyx r�q�qowN«(}.t~e|hCg*t~w ® wy��gkpbqsrYt~h�r

ùêú�û�ù ó

Page 40: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ;�J

à � � ® wy�(h>r���e�{|e�r�}vh�«(ebwy}�h^pbx|§Fx|wX«(x|}©r��vh©tvebh tvhC��g2m�x�rut~m�wyx ªyhqowF�Cm±t~moh}zr�x �mog�{bpbq�}vhC}³ �½w � m±­��>rYt~mow�xb}ztvwµt~e|hk��w�mo}v}�wyx � }��vh}�tvm�t~pnt~mow�xÁqsr>«Àr�x � � wypbq�wygk� � }qsr>« ® w���tvebh�h��n{�r�xb}�mowyxÅ{be�ru}vh ru�vh�moxJt~��w � pb�Ch � moxÅwy� � hC�©t~w½�Cw�{`h�«(m�tve!xbw�x. {`hxbhtv�~rutvmowyx^r�x � hCxbh�v�����Cwyx|}vmo}°t~hxb���³H�²xk{�r��°t~m��Cpbqor��C¶X}vm�xb�ChLt~ebh¯gµrYt~�vm ��w ® tvebhà � � ® wy��tvebh©�Cw�g2{b��hC}�}vmow�x�{be�r�}�h©e�r�}.t~e|h©}~r�g�h ® wy��g*r�} ® w���t~ebh©�wyxJt~m�xFp|wypb}g2wut~mow�x·¶Ftvebh� �Cr�xbxbwut(�yp�r��vr�xJt~hCh�h��|m�}�tvhCxb�h�xbw��zp|xbmo¼¨pbhxbhC}�}�w ® }vw�qop|tvmowyxb}³

��Õt^m�}�x|w�t~h�«�wy�°t~eJ� t~e�rYt�tvebh r���wNªyh2g2hx¨tvmowyx|h � «¯wy��§F}�E;m�xb�Cq�p � mox|�½d�ÂCm±t~Âwypb�vm�}xbh« qsr>« E;d�ÂCm±t~Âwypb�vm�} HÀ�/r�xb� E@���y�y��L5L+LLr�}v}�pb�vh�hCm±t~ebh�.h��nm�}�t~hxb�Ch�w ® }�wyqop|tvmowyx|}rut·tvebh[�Cwy}°tÄw ® tvebh[{beJ�F}vmo�Cr�qJ�Cw�xb}vm�}�t~hxb���w ® tvebh�mog�{�r���t�wyp|tv�Cwyg�h�wy�·{|e¨�F}�mo�>ruqoq��g2hCr�xbm�xb� ® pbqu}vwyq�p|t~m�wyxb}�rut�t~e|h¯�wy}�t�w ® t~ebhLh��nmo}°t~hxb�Ch�r�x � pbxbmo¼¨pbhxbhC}�}/{b��wy{�hC��t²��³

�lnwyg�h�r�pnt~ebwy��}.}�tvp � ��}�w! ²�Cr�qoq�h � �}���� ���� ��������C����� .�����A.�¶¨t~e�rYt�mo}Lt~ebh©��hCe�r>ªFmow�pb�w ® mog�{�r���t.�vp|qohC}.«(e|hCx t~ebh�xbwy��gµruq·r�{b{|�vwJr���e�ª�hCqowF�Cm±t²�2tvhCx � }(tvw�ÂChC��w Eê¿Dr�xb�H �9r�}vwyx E��N�y�J�KL�Î�lFtv�vwyxb��h Ea�����y��L�Î��.rut~q�qoh E°�N�y��;�L�Ω�¯�~r���e E°�>�y��JKL5L�³À��xbh}vebw�pbq � x|w�t~m��Ch2tve�rut�}�pb��e$�y�~ruÂCmox|�Á}ve|wn��§¨}�r�x � }�qom � moxb�9{be�r�}�hC}�r�xbr�q��F}vm�}kr���h¼¨pbm�tvh � m�»`hC��hCxJt>³��²x � hh � mox^tvebhC}�hz}°t~p � mohC}�t~ebh���hCqsrYt~m�ª�h�xbw��vg2r�q|ru�C�Chqoh�~rutvmowyxkm�}}�tv�vmo��t~q±��xbh�Jrut~m±ªyh`��pb}°t��`h ® wy�vh[�Cw�x¨t~r��t�m�}�g2r � hH«(e|hC�vhCr�}�r�qoqye|mo�yebh� � hC��m�ªurutvm�ªyh}w ® tvebh��vhCqorut~m±ªyh�xbwy��gµruq/ªyhqowF�Cm�t²�Åru�vh�m � hxJt~mo�Cr�qoq±��ÂhC�vw � pb��moxb�9r½�wyxJt~m�xFp|wypb}}vq�m � m�xb�k{be�ru}vh�³

!#"�� ��(�� ��� � * � -��D( � - ��� ( �+, ��� -0/�* ��� �5-�, � 1 � ����+-�(����* � � � � - ��� ,.1(P��wyg tvebh ® wy��hC�yw�moxb��}vh�tvmowyxb}�m�tzmo}z�Cq�h>r���tve�rutzt~ebh��Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²� ��hCqorut~m�wyxb}(�`h t²«�hhCx1�CwyxJt�ru�t ® wy���ChC}�rux � �vhCqorut~m±ªyh {�wy}�m�t~m�wyxb}�{bqsr>�¹r���vpb�msr�q¯�vwyq�h mox tvebh�wNªyh�~r�q�q� �Fx�r�g�mo�C}©w ® tvebh2}°�F}�t~hg9³�d�ebm�}©mo}�hª�hCxDg�wy��hkt~�vp|h�m�x't~ebh��>ru}vh�w ® g^pbq�tvmo{bq�h^�Cw�x. t�r���t~}�r�x � gkpbq�tvmo{bq�hkmog�{�r���t~}³ � wyx|}vhC¼¨pbhxJt~q��!x¨pbg�hC�vm��>r�q�m�xJt~hC���~rutvmowyx'}���ebhCg�hC} ® wy�}vpb��e�}��F}�tvhCg�}�gkp|}�tÄmox|�Cwy��{`wy�vrut~hHr�qoq�tvebh[xbwyxb}�g2wFw�tve�r�x � e¨�F�b��m � ® h>rutvpb�vh}Äw ® tvebh � �- x�r�g�mo�C}³/d�ebh´�vh>r � hC�¯mo}[�vh ® hC�v��h � tvwTE@�¯�vwy�yq�msrutvwb¶�tvhCx�"�rug9¶F�/ruwyqom@¶AF � x|w�t_H D ��r � m�hEa���y�n�fL+L ® wy�¯r��wyg2{|qohtvh�}�pb��ª�h�2wyx2tvebh´x¨pbg�hC��mo�Cr�qP}vmog^pbqsrutvmowyx�w ® �Cwyg�{bq�hCg�hCxJt�r���m�t²�� �Fx�r�g�mo�>ruqÊ}��F}°t~hCg�}C³

û�û ×�� &>ò��%�

Page 41: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

;y� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

!#"�� ���+, ,.* � & � � ��� � , � � -��;* � -��D(+1 � � � � 1 -0(� � ��� �5- ��-�� ��� &/���, � ��� , �P(�� * � - � & ��� *�, ��� � ��

�EG;KQKLvE�;�JKL�r�x � Ea�ui�LvE@��Q�L�Ea�u��L·�Cwyg�{�r���t~m ® ��mox�r�x^hqohC�yr�xJt ® ru}vebm�wyx^ruqoq � �Fx�r�g�mo�}moxJt~w r!� " & �¸�Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²�!�vhCqorut~m�wyxb} ® w���g2wyx|m�t~w��vmox|� � h�t�r���ebg�hCxJtv}C¶mog�{�r���t~}�r�x �9� �°� ® �vm��tvmowyx·¶|r�x � }vh�t�tvebh���r�}�mo} ® wy��x¨pbg�hC��mo�>ruq·}vm�gkpbqsrYt~mow�xb}C³

�¿ ebhCx¹«�r�qo§¨m�xb��wyx¹g�wy}�tk�y�vwyp|x � }C¶[xbw'w�xbh h��n{�hC��mohCx|�ChC}�r�xJ�Dwy}v�moqoqorut~m�wyxÅwy�g2wut~mow�x!w ® tvebh ® hht � p|hµt~w'}�wyqoh2wy�^�y��wypbx �D� h ® wy��gµrYt~mow�x E;m ® r�xJ�!h��nmo}°t~}C¶[m±t«(moq�qy�vhgµr�m�x��wyg�{bqoh�t~hCq±�©xbh�yqoh�t�ru�bqoh[�Cw�g2{�ru�vh � t~wzwNªyhC�vr�qoq¨��w � ��g2w�tvmowyx L�³�lnwg2w � hqomox|�k�CwyxJt~r��tv}z�J� pbx|moqsrYt~hC�vr�q��Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}(m�}(r���h>r�q�mo}�tvmo�´r�{b{b��wN�nm�gµrutvmowyxʳ

��Ár�m�x¬wy�|}�t�ru�Cqoh} � pb�vm�xb�!m�xJt~hC���~rutvmowyx$w ® t~ebh � �Fx�r�g�mo�} � pbh9tvw!�wypb{bq�moxb� w ®® �vm��t~m�wyxÅr�x � p|xbmoqorut~h�~r�q�m�t²�Ár��vh��J�n{br�}v}�h �$� pb��moxb�½«.r�q�§¨moxb�½}vm�xb�Ch2}vqom�{b{�r���h�m�}h��n�Ch{|t~m�wyxbx�ruqa³

�&/�ntvhCxb}�m�ª�h��Cwyg�{�r���mo}vw�xb}�w ® x¨pbg2h�vm��>r�q�r�x � h��n{`h�vmog�hCxJt~r�q���hC}�pbq�tv}´wyx��mo���Cpbm±t�b�vhCr�§�h�v}?E D ��r � moh�Ea�����y��L+L�e�r>ª�hµ}ve|wX«(x ª�hC�°�D�ywFw � {b��h � m��tvmowyx!�>r�{�ru�bmoq�m�t~m�hC}E ® wy��}°�F}�t~hg2}zg�wy�vh��wyg�{bqoh�� t~ebr�x9�|mo{�h � }¶<�� �4kªF}C³D�� ��L�³

�Ã�pbg2{�h � @�h��nmo�bm�qom�tvmoh}.rut/��wym�xJt~}��>rux9��h�moxb}�hC��tvh � mox tvebh�g2w � hCq@³

�d�ebhÅr�{b{b��wJr���e �`hxbh­|t~} ® �vwyg qow�tv}�w ® ��hC�hCxJt�r � ªur�xb�Ch}9m�x gµrutvebhCg2rutvmo�>ruqa¶g2h��e�r�xbm��>r�qÊr�x � x¨pbg�hC�vm��>r�q�­�hCq � }C¶brk{b�vh ²�vh¼¨pbmo}�m�t~h ® w��.}�t~r��bmoq�m�t²�2r�x � �wyxJt~�vw�q}�tvp � � Eê}vhCh ® wyq�qowN«(moxb�^}vhC��t~m�wyx�L�³

!#" � ���+, ,.* � & ��� ��� -01 � -�(� � � ����²x2t~e|h´{b��hC�Ch � mox|�^}vh�tvmowyxb}L«�h�e�r>ªyh�{|�vhC}�hCxJt~h � r��yhxbhC�vr�q ® �~r�g�h«¯wy��§ ® wy�Ltvebh´}°t~p � �w ® g�hC��e�ruxbmo�Cr�qÄ}��F}�tvhCg�}´«(m�tveÁpbxbm�qsrutvhC�vr�q·�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}C³(d�ebh�gµr�m�x moxb�y��h � m�hCxJt~}(t~ebruthCxJt~h�(tvebh � �Fx�r�g�mo�}zebrNª�h���hChx9�|�vmoh�@b����hªFmoh�«�h � ³¯�Õt(m�}�w ® moxJt~h�vhC}°t(t~w�{b�vwNªFm � h�tvebh�vh>r � hC��«(m�tve�r���hCxbh�~r�qb{|mo�tvpb�vh(w ® t~e|h�{b�vm�xb�Cm�{�r�qb�wyxJt~�vm��bp|tvmowyxb}�t~w � rutvh�³Hd�ebh�«¯wy�v§¨}t~e�rut�«¯h r�x�r�q±�FÂCh � r���h�t~ebw�}vh©{b��wy{`w�}vh � �J� �.r��vru» E;�.r��vru» E��N�y�K;�L�Î��.r��vru» E��N�y��i�L+L�¶Ã �ut~}�tvh � t�E;Ã���t~}°t~h � t�E°�N�y�y�KL�ÎYÃ���t~}°t~h � t�E°�N����i\L+L�¶fV�pb��gkpbÂqop�r�x � �Áru�v�yebm±t~p E�V�pb��gkpbÂqopH �Áru�v�yebm±t~p E��N�y��i�L�Î �Ár��v��ebm�tvp�H Vzpb�vg^pbÂCq�p E°�N�y�KUKL+L�¶Hd���moxb§¨q�h ht�ruqa³�E;d��vm�xb§¨qohu¶�/r�xb�|¶©lnp � r��v}�§¨� H Ã�w E°�N�y�KUKL+L�¶ �9w��vh>rup E �9wy��h>r�p E°�N���y��L�Î �½wyxJt~hCm��vw! �Ár���¼Fp|hC}E°�N�y��;�L+L�¶[� ® hm�»`hC��r�x � F©qowF��§�h� E@� ® hCm±»Êh�-H F©qowF��§�hC� E��N�y�KQKL+L�¶vV�r�x1r�x � F�m�qog�wy�vh

ùêú�û�ù ó

Page 42: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ;y�

EGV´rux H F©moqog�wy��h E��N�y�K;KL�ÎMV´r�x·¶PF�m�qog�wy�vh H ���ywut�E°�N���K;���L5L�¶ NLr�x � hC�ÅlF��e�r ® tr�x � ln��e¨pbg2r���ebh��Eêªur�x � hC� ln��ebr ® tSH ln��e¨pbg2r���ebh��E°�N�y��Q�L+L�¶���p|xbÂCh¹rux � ¾�hp. gµr�x E ��p|xbÂCh H]¾zhCpbg2r�xbx�E°�>�y��JKL5L�¶Jr�x � F � xbwutLr�x � ���vwy��qomsrYt~wPEGF � xbw�tC¶n�¯�vwy�yq�msrutvwb¶���~r���e H�d�e¨pbm�qow�t E��N�y��J�L�Î F � x|w�t E°�N���y��L�Î F � xbw�t H%����wy�yq�msrutvwTE°�>�y�y��L5L�³�y³ (��vmo��t~m�wyx

E@r�L�(��vm��t~m�wyxbq�hC}v}`�Cwyx|}�t~�vr�moxJtv}vE@Ã���t~}°t~h � t�E°�N���J�KL�Îu�.r��vru»?E��N�y�K;KL�ÎY�.r��vru»?E��N�y��i\L�Îd��vmox|§Fq�h�¶¯�/r�x|�b¶�lnp � r��v}�§J��H Ã�w E��N�y��U�L�Î��9w��vh>rup E°�>�y�y��L�Î.� ® hCm±»Êh�MHF©qowF��§�hC��E°�N���KQ�L�ÎvV�r�x·¶vF©moqog�wy��h-H ���ywut?E°�>�y�K;���L�Î�ª�rux � hC��ln��e�r ® t-Hln��e¨pbg2r���ebh� E��N�y�KQ�L5L

E;��L½lFt~rut~m�� D g�wyxJt~w�xb} � wypbqow�gk� (��vm��tvmowyx E@�.ru�~ru» E°�N����i\L�Î�d��vm�xb§¨qohu¶��/r�x|�b¶lnp � r��v}�§¨��H*Ã�wWE°�N����UKL�Î��9wy��h>r�p�E°�N���y��L�Î�� ® hCm±»Êh� H F�q�wn��§uhC�ME°�N���KQ�L�ÎV´rux·¶bF�m�qog�wy�vh#Hº���yw�t�E°�N�y��;���L�ÎNªur�x � h��ln��e�r ® t HÏln��e¨pbgµru��ebhC��E°�>�y�KQ�L5L

E;�mL "��Fx�r�g�mo� D g2w�x¨tvwyxb} � wypbq�wygk� (���mo�tvmowyx E@Ã���tv}�t~h � t�E°�>�y��i\L�Î��.ru�~ru»TE°�N�y��;�L�Î�.r��vru» E°�>�y��i\L�Î�d��vmox|§Fq�h�¶u�/r�x|�b¶ylFp � r���}v§J� HÏÃÄwIE°�>�y��UKL�Î �9wy��h>r�p�E°�N���y��L�Î� ® hCm±»Êh� H F©qowF��§�hC� E��N�y�KQKL�Î V´rux·¶ F�m�qog�wy�vh H*���ywut E°�N���K;���L�ηª�rux � hC�ln��e�r ® t H%ln��e¨pbgµru��ebhC�IE°�N���KQ�L+L

E � L?; � mog�hCxb}�mowyxbr�q�E@�.ru�~ru»RE°�N����i\L�Î�d���moxb§¨qohu¶y��r�xb�b¶¨lFp � r���}v§J�PH Ã�w-E°�>�y��UKL5L�n³z�zh}�tvm�t~pnt~mow�xÅ��pbqoh ® wy��gkp|q�t~m�{bqoh^mog�{�r��tME;Ã���t~}°t~h � tTE��N�y�J�KL�Î/Ã���tv}�tvh � t�E°�N����i\L�Î

�9wy��h>r�p7E°�N���y��L�Îu� ® hCm±»Êh�#H�F�q�wn��§uhC�vE°�>�y�KQ�L�Î�V�r�x H F�m�qog�wy�vh_E°�N�y��;�L�ÎXªur�x � hC�ln��e�r ® t H ln��e¨pbg2r���ebhC�7E°�>�y�KQ�L�Î#Vzpb�vg^pbÂCq�p H �Ár����yebm±t~p E°�N����i\L�Î�d�ÂCm±t~Âwypb�vm�}H5��r�xb��Ea���y����L+L

;|³ (�wy�vgkp|qsrutvmowyx�«(m�tve�r©Ã �wy�[¾ � � E;à �ut~}�tvh � t2E��N�y�J��L�ΨÃ���t~}°t~h � t2E°�N����i\L�Îy�.r��~rY»E°�N���K;�L�δ�.r��vru» E��N�y��i�L�δd��vm�xb§¨qohu¶(�/r�xb�|¶´lFp � r���}v§J� H Ã�w E°�N����UKL�Î �9wy�vhCr�pE°�N���y��L�Î|� ® hCm�»`hC�(H F�q�wn��§uhC� E°�>�y�KQ�L�Î��©pbxbÂCh H�¾�hCp|gµr�x|x E��N�y��JKL5L

ib³ D x�ruq��F}vm�}�w ® m�xb�Cw�xb}vm�}�t~hxb�Cm�hC} E;�Õ¿ By� � L X�xbw2�`wyp|x � h � }�wyqopnt~mow�x½tvwµt~ebh^à � �E@�.ru�~ru»TE°�N�y��;�L�Î �9wy��h>r�pME��N�y�y��L�ÎulFt~h�«.r��°t#H1d��vm�xb§¨qoh(E��N�y�KQ�L�ÎKF � x|w�t>¶X����wy�yq�msrutvwb¶���~ru��e�HÀd�eFp|moqowut E°�N�y�KJKL�ÎdF � xbw�t H%����wy�yq�msrutvwTE°�>�y�y��L5L

Un³ D x�ruq��F}vm�}�w ® m�x � h�t~hC��g2m�x�r��mohC} X�}vhª�hC�vr�q�}�wyqopnt~mow�xb}�t~w�tvebh à � �E@r�L �²x � h�t~h�vg�mox�r��moh} � pbh�t~w ® �vm��t~m�wyx E;à �ut~}�tvh � tIE��N�y��i\L�Î��.r��vru»�E��N�y�K;�L5L

û�û ×�� &>ò��%�

Page 43: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

iJ� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

E;��L��²x � h�t~h�vg�mox�r��moh} � pbh�t~w��~r�x|§�� � � � E@Ã���t~}°t~h � tIE°�N�y�y�KL+LQ|³z¾�pbg�hC��mo�Cr�qÊ}�mogkpbqorut~m�wyx�r�}�{`h�tv}

E@r�L�"´m�}v�C��htvmoÂ>rYt~mow�xµw ® tvebh � �nxbr�g2m��C}L{b�vwF�Ch � pb��h-E@Ã���tv}�t~h � t E��N�y��i�L�Î �9wy�vhCr�pE°�>�y�y��L5L

E;��L D q��ywy��m�t~e|g tvw�}�wyq�ª�h©t~ebh à Lwy�(¾ � �ma³(Ã�hg2§uh7E;�.r��vru»�E°�>�y�K;�L�Îb� ® hCm±»Êh�(H F�q�wn��§uhC� E��N�y�KQ�L5Lm�ma³(lF{`h�Cm�­b� E@Ã���tv}�tvh � t�E°�N�y�ui\L�Î��.ru�~ru» E°�>�y��i\L�Î�d���moxb§¨qohu¶��/r�x|�b¶klFp. � r��v}�§¨�MH Ã�wTE��N�y��UKL�Î��½wy�vhCr�pSE��N�y�KQ�L�Î��½wy�vhCr�p E°�>�y�y��L�ÎFd�ÂCm±t~Âwypb�vm�}H��/r�x|�RE@���y�y��L5L

Jn³ &/�|m�}�tvhCxJt~mor�q·{b��wy�bqohg2}E@r�L�à � � E;Ã���t~}°t~h � t E°�>�y�J�KL�ÎFd��vm�xb§¨qohu¶|��r�xb�b¶blnp � r���}v§J�7HÀÃ�w�E°�N�y�KUKL�ÎnlFtvh«

r��°t H5d���moxb§¨q�h E°�N�y��Q�L+LE;��L ¾ � � Eêd���moxb§¨q�h�¶���r�xb�b¶�lnp � r��v}�§J� H5Ã�w E°�N�y�KUKL+LE;�mL ¿!hCqoq ²{�wy}vh � xbh}v}.w ® � � � E �9wyxJt~hmo��w! �Áru�v¼¨pbhC} E°�N�y��;�L�Ψªur�x � hC��ln��e�r ® t(H

ln��e¨pbg2r���ebh� E°�N�y��Q�L�Î�ª�rux � hC��lF��e�r ® t H ln��e¨pbg2r���ebh� E°�N�y��Q�L�ÎÊ�/r�wyq�m Hln��e�rYt~ÂCg2r�x E��N�y�K;�L�Î�ln��ebrut~Âgµr�x E��N��J��KL�Î|ln��e�rutvÂCg2r�x�E°�N�y����L�În��h�v�Cm��>r�q�hE°�>�y��UKL�Î���h�v�Cm±ªur�qoh E��N�y�|�fL5L

�|³ &/�|{�hC��mog�hCxJt�ruquªur�qom � rutvmowyxb}�w ® t~ebh�g�w � hCq�}�E@� ® hm�»`hC� H F�q�wn��§uhC�vE°�>�y�KQ�L�Î D ��r � m�hEa�����y��L+L

� � � � +·�����½�������P� "Y�/��3 �.45� ��6

d�ebhkg�wy}�t´�C�vp|�Cmsruq�{b��wy�bq�hCg¸�Cwyx|�ChC��xbmox|� t~ebh � �nxbr�g2m��C}�w ® �bmo{�h � r�q���wy��w�t~}�mo}�tvebhCm��}�t�ru�bmoq�m�t²�y³ D }(e�r�}(��hChx9h��|{|qsr�m�xbh � mox }�hC�tvmowyx|}´��r�x � ;|¶br��|mo{�h � mo} ® r�� ® ��wyg*��hCm�xb�rµ}vm�g2{bq�h^}�ht©w ® Eê�CwyxJt~��wyqoq�h � L � m±»Êh�vhCxJtvmsr�q�hC¼¨p�rutvmowyx|}C³ �9wy��hCwNªyh��tvebhkwy�¨��hC�tvm�ª�hC}©w ®«.r�q�§¨moxb� r���h�¼¨pbm�tvh�}v{�hC�Cm±­���³��©x|h�m�}´t~e|hC�vh ® wy�vh�q�h � t~w�­���}�t�r�xb}°«�h�©t~ebh�¼¨pbh}�t~m�wyx�X«(e�rut�mo}�r }°t�r��|qoh��bm�{`h � � D x � �wyxb}�hC¼¨pbhCxJtvq��'«(e�rut�g2rutvebhCg2rut~m��>r�qÄ��e�ru�~r���t~hC��moÂCr t~mow�x!w ® t~ebm�}�}°t�r��|moqom±t²���Cr�xD��h2�wyxb}°t~�vp|�t~h � ® �vwyg t~ebh2�Cwyg�{bqohg2hxJt�r���m�t²��g�w � hCq�} �D }(«�h «(moqoqÊ}vhCh�xbh��FtC¶�tvebmo}(mo}(�qowy}�hCq�� �vhCqorut~h � tvw2tvebh ® ru�t(t~e�rYt´�bm�{`h � }(�>r�x9�`h �Cw�x. }vm � hC�vh � r�}�e¨�F�b��m � � �nxbr�g2m��>r�q[}°�n}°t~hg2}¶/t~ebhµ}�t�ru�bmoq�m�t²��w ® «(ebmo��e �Cr�x ��h rut�t�r���§uh �

ùêú�û�ù ó

Page 44: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": ib�

® �vwyg ªur���mowyp|}�ruxb�yqoh}C³�d�ebh��ywJruqLw ® t~e|mo} }vhC��t~m�wyxDm�}�tvwÁ{b��hC}�hCxJtk}�wyg2h�t~wFwyq�}�«(ebmo��e�>r�x'}�hC��ª�h ® wy�´t~e|hk}�t~r��bmoq�m�t²�9r�x�ruq��F}vm�}´w ® g�w � hqo}´r�}©mox E@�KL E�;�LIEêi\L E�U�L�¶�r�x � «(ebmo��er��vhk}�pbm�t~r��bq�h ® wy���|mo{�h � }���hC�Cr�pb}�hkt~ebh���hCx|�>r�{b}�pbqsrYt~hkt~e|hCmo��gµrumox ® hCrut~pb��hC}PXzwn��Cpb� �vhCx|�Ch'w ® m�g2{�ru�t~}¶�}�«(m±t~��ebm�xb�¹�`h�t²«�hhCx t²�F{`h}�w ® g2wut~mow�x·¶�{be�r�}�hC}�w ® �wyxJt~m�xFp|wypb}g2w�tvmowyx�Eêgµruxbmo{bp|qsrutvwy� Õqomo§uh���hCebrNªFm�wy�CL�³ (�mo�v}°t~q±�Á«¯h2}�{`hx � }�wyg2h�tvmog�h�wyx � hC}v��vm��. moxb��moxJªur���msr�xJt�}�ht~} ® wy���wyg2{|qohCg�hCxJt~r��vm±t²� }��F}°t~hCg�}C³Ld�ebh {`w�moxJt(w ® ªnm�h« tve�rut(m�}z{|p|t® wy��tve!m�}�tve�rut�ªur��vm�wypb}�h��nm�}�t~m�xb�b¶�wy�©t~w½�`h�moxJª�hC}�tvmo�JrYt~h � ¶�}°t�r��bm�qom±t²� ® �~rug2h�«�wy��§¨}^r���h�`h�tvt~h��pbx � h�v}�tvwnw � «(e|hCxDm�xJª�ru�vmsrux¨t�}vhtv}kr���h��Cqsru}v}vm±­�h � ³ lnh�Cwyx � q���«¯h��vhªFm�h«�}�w! �>r�q�qoh � m�g2{�ru�t[��wymoxb�Cr�� � g2r�{b}C¶J«(ebm���e2ebrNª�h´��hChxµpb}�h � h��Ft~hCx|}vm�ª�hCq±�2m�x�t~ebh D {b{|qomoh ��Árut~e|hCg2rut~m��C}(r�x � �9hC��ebr�xbmo�Cr�q�&�xb�ym�xbhCh�vmox|�2q�m�t~h�~rutvpb�vh ® wy��ªnm��b�vw ²mog�{�r���t.}°�n}°t~hg2}E �Ár�}��vm�H � r�pb�yebh�� E°�N��QKQ�L�Î�lFe�r>« H Vzwyqog�hC}-E��N�y�K;KL�Î#F�p|��§�hCx|ebhCm�g2h�IH V�wyq�g2h}E°�N�y�KUKL�Îylne�r>«�H lne�r>« E°�N���y��L�Î��.r��bm±t~}�§¨�7E��N�y�y��L5L�³�d�ebmo}�{�wymoxJt�w ® ªFmoh�«$}vhChg2}�x�rutvp. �~r�qbm ® wyxbh��Cw�xb}vm � hC��}L�|mo{�h � }Lr�}`��pb���yqoh�v}[r�}�m�x�EGJKL�³ V�wN«¯hªyh��m±t�{b�vh}vhx¨tv}¯q�mog�m�t~rut~m�wyxb}«(ebmo��e «�h�{�wymoxJt(wypnt>³

� "�$ ��( �;* � -0*D(�� 1 ���51 ��� 1 &)1 � � ,.1 1�� �� �P/�� � � �+( -���* � ��� * � /&�D( 1 � �5*�-0(�� 1

D {b{bq�mo�Crut~m�wyx©r�x � pb}�h[w ® g2r�{b{|moxb��tvhC��ebx|mo¼¨pbhC}�mo}·tvmo�yeJtvq����Cwypb{|qoh � «(m±t~e©t~ebh[}°t~�vp|�t~p|�vhw ® t~e|h^moxJªur���msr�xJt�}vht�t~e�rYt��vh{b�vh}vhx¨tv}�t~ebh^}�t~hCr � �9}�t~rut~h�g2w�tvmowyxʳzlF�F}�t~hg2}´}vpb�F��h�tt~w^p|xbmoqorut~h�~r�q��wyxb}�tv�~r�m�xJt~}L�`he�r>ªyh�m�x r�g�wy��h��wyg2{|qoh���g2r�xbx|hC�[t~e�r�x�t~ebh�wyxbh}¯t~ebrutr��vh�xbw�t7E;��p �b� H�"´pn� E��N�y��i�L+LPE;�Õªur�x|wXª E��N�y�K;KL+L�³ (�wy��h��brug2{bq�h�¶Äqoh�t�pb} �Cwyxb}�m � h�t~ebh�}°�F}�t~hg*�ym±ªyhCx m�x�(/mo�|³ E��y�y³Ýr�L�³[lFpb{b{�wy}vh�«¯h�«�w�pbq � q�mo§�h�t~w � h�ªyhCq�wy{ rk�Cw�x¨tv�vwyq�qoh�t~w�{bqor��Ch2t~ebh g2r�}�}krut�r½t~mog�h2ªur��°�Fmoxb�9{`wy}�m�tvmowyx � �4� � � � � ��� ��� ��� ���}°t�r��°t~m�xb�® �vwyg r�x1r��v�|m�t~�vr����!mox|m�t~mor�q[�Cwyx � m�tvmowyx m�x t~ebh½r � g2m�}v}vm��bqoh2�vh�ymowyxʳ ��xbh��Cr�x$pb}vh½r}vmog�{bq�h��CwyxJtv�vwyq�qohC�¯t~e�rut��Fm�hCq � }.t~ebh ® wyq�qowN«(moxb�^�Cqow�}vh � qowFwy{ � �Fx�rug2m��C}�X

�I� ��?> �� �4� � ��� � � � !�?> !� � � � � � � � � ��> � � � � � � ������� ��������� � �5 !� � � > � !� �; �� � ��� � 6 � 5 � � E;i|�fL

�©p|�^wy�F��h�tvm�ªyhµebhC��h�mo} xbw�tktvw�h��n{bq�wy�vhµr�qoq[{�wy}v}�mo�bq�h2t²�F{`h}�w ® moxJªur���msr�xJt�}vhtv}^t~ebrutgµr>����h rutvt~r�moxbh � �¨� tvebh�}��F}�tvhCg¸�ym�ª�hCx9�¨��Eêib�fL�³¯�²xb}°t~hCr � ¶�«�h�«¯wypbq � qom�§�h©t~w�}ve|wX«t~e�rut(tvebh�m�xJª�ru�vmsrux¨t(}�htv}�w ® t~ebh �Cq�wy}vh � q�wnwy{ }°�n}°t~hg �Cr�xÁ��h �Cqsru}v}vm±­�h � pbx � hC�(t~eb��hCh�>rutvhC�ywy��moh} E;}vhh#(�mo�b³ E°�y�y³ ��L5L�X$�� �����A.���!+���� ��� ���� ���G��� ���� ����!����� ��� ����. E � N��°lAL

û�û ×�� &>ò��%�

Page 45: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

i¨� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

D x'm�x¨ªur���msr�xJt´}vht©tve�rut©m�xb�Cq�p � h}©rut�q�h>r�}°t©wyxbh��wyqoq�mo}�mowyx «(m�tveÁt~ebh��wyxb}°t~�~rumoxJt}vpb� ® r��Ch�{�hC�(��F�qoh�w ® g2w�tvmowyxSE;mox|�Cqop � moxb��w��v�bm±t~}.t~ebrut(}�t~r��bmoq�moÂh�mox�­�xbm±t~h�tvmog�hwyx t~ebh��Cw�xb}�tv�~r�m�x¨t }�pb� ® r��h�r ® t~h��rux!m�x|­�xbm±t~h�x¨pbgk��hC��w ® �Cwyq�qomo}�mowyx|}CL�³ V�hCx|�Chr�x?�6 )A� ��� �(���� �+��! (6 ��)�)���� �]m�}H«�hqoq � h­bxbh � t~e�rYt[�>r�{|tvpb�vh}LtvebhC}�h(wy�v�bm±t~}³d�ebmo}(t²�F{`h^w ® moxJªur���msr�xJtz}vh�t�mo}�r2p|xbmo¼¨pbh ® h>rutvpb�vh�w ® }��F}°t~hCg�}�}�pb�F��hC��t�t~w2pbxbm qsrutvhC�vr�q[�Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}³ D q�q[tvebh }°�n}°t~hg2}�}�ebwN«(x1m�x (/m��b³�E°�fL��>r�x ��h g2r � h�t~wh��nebm��bm�t t~ebm�}^��hCe�r>ªFmow���«(m�tve rÁ}�ht�w ® {b�vwy{�hC��q�� }�hCqoh�tvh � {�r��vr�g�ht~h��ªur�q�pbhC}³ln{�hC�Cm±­��>ruqoq���¶ ® wy�/qowF�Cwyg�w�t~m�wyx }��F}�tvhCg�}C¶Jt~ebm�}/«(moq�qn��h.t~e|h.wyxbq±�^g�w � h.w ® g2wut~mow�xt~e�rYt��>r�x � h}v��vmo��h©�vp|xbxbmox|��r�x � «.ruqo§¨moxb�|³Hd�ebh©}��F}°t~hCg m�x E;ib�mL¯gµr>�2{`w�}v}vh}v}}vpb��e9moxJªur��vmor�xJt�}vh�t~} ® wy��{b��wy{�hC�(��ebwym��Ch�w ® � �4� �.r�x � � � ¶ � � ³

$ $ � � � �C���A.���!5����3�+����� ����!����� ��� ����. E ��°ldLD x m�xJª�ru�vmsrux¨t¯}vh�t�t~e�rYt � wFhC}.x|w�t.m�xb�Cq�p � h´�wyqoq�mo}�mowyxb}�«(m±t~eµtvebh´�wyxb}�tv�~r�m�xJt�}vpb� ® r��Chu³k�²x t~ebh�}�moxb�yq�hkg2r�}v}©�Cr�}vhu¶Ätvebmo}©�wy�v��hC}�{`wyx � } tvw t~ebh����n�qom���g2w�tvmowyx|}´w ®t~ebh^gµr�}�}´t~ebrut©wF�C�Cp|�´t~wµtvebh�qoh ® t�w ® tvebh��Cw�xb}�tv�~r�m�x¨t�}vpb� ® r��Ch?E � F � � � � � L�³9d�ebmo}�t²�n{�h w ® m�xJª�ru�vmsrux¨t }�ht��Cr�x¹�`h2wy�b}�hC��ª�h � ® wy��r�qoqL}��F}�tvhCg�}kw ®(/mo�|³�E°�fL�h��|�hC{|t�t~ebh���pb�y��qohC�³ (�wy�©tvebh2�|mo{�h � ¶�t~e|mo}��Cwy���vh}v{�wyx � } t~w½�vwF��§Fm�xb�«(ebhCx½wyxbh�wy�.t²«¯wµq�mogk�|}.r���h m�x �CwyxJt�ru�t(«(m�tve tvebh��y�vw�pbx � ³

$!$ $ � 4 �[���� �C���A.���!+����3�+� ��� ����!����� ��� ���O. E%( � �°ldLD x1moxJªur��vmor�xJt�}vht�t~ebrut�xbhª�hC�µq�h>r>ªyh}2tvebh9�wyxb}°t~�~rumoxJt�}vpb� ® r��Chu³ºd�ebmo}��Cw��v�vh }v{�wyx � } ® wy��t~ebh�}��F}°t~hCg m�x�E;ib�mL�t~w½r }�t~rut~m���hC¼¨pbmoq�mo�b��mopbg «(ebh�vh�t~e|h�}°�F}�t~hg�vh}�t~}�w�x tvebh©�Cw�xb}�tv�~r�m�x¨t.}vpb� ® r��Ch E �;� �� � � � � � L�³ D qoqPt~ebh©}°�n}°t~hg2}mox (/m��b³3E°�fL��Cr�x h��nebmo�|m�t.tvebmo}.��hCebrNªFm�wy�.«(m�tve9rk}�{`h�Cm±­�����ebwymo�h©w ® t~ebh��wyxJt~�vw�q{�r��vr�g2h�t~h�.ª�ruqopbh}(r�x � moxbm±t~msruq��wyx � m±t~m�wyxb}C³

 Ç �D¤b£�� � ! � �T��!5���������%��!����%$?�S.��m.��{��6 6 ������� �������W4_� ����������� ��� � 4 ��!7�� #.��}��� �C�'� � �I��������6P �C.I�%$ �M6 ��� *) �[� ���{��! .%�A� �������v�{� � ������{) ��������� ������ ���{��!5��� � ��� ��#�3��6P � �C���A.��G!5���� ��.��+��� ���78�!���G�{��� ���� .m��� �%$I ����3��!5�������+� �C�m��!5��������%�C.?��� � � � �C�� � 6 8 C �v.%� ���R���A���_��� � �m �!5���� ��-� � �d��������A. ��!"� .{)������� �%�7��89� )A��!���. �G� �b� � ��6�#!C�!�������P���� ������ � ���3��)A��!��� .��7> � ���67���A.��������������� . � � �'!C�+��� �C�+�7��!+����!$�!C�C�%#{67�������� .��m.��{��6I����� � ��� � ��!9)A��!��� . ���R��� �����!+�� �'!"��� ���G����A.���*) �����G89�C��� � � �� ��# �!+���� �� 6�����G*)�����! ����� � � � !� � �)�� � � � ��� �C�I��� �P��!5���������%��!���C.P��!"�-��������� ��� ��� � !� � ������ ����� � ��� � !� � � � � � �+��!���� $ � ��� � � ����� � �9$ �[��� .��f.��{��6 .��C���A.���!+����3�+�?������ � � ��!+���������{��!��W .?4_� ��� � ��� �C��!������� �+��.m�C.?.��6P�� ��!������� � �G!5���������{��!���8����� ���R����� �

ùêú�û�ù ó

Page 46: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": i�;

� � �C� ����� � ��� � �����A.������! �3���K� � ��*) �+����� !C�������9� �A���_!"�!�C:m. 8���������3� ��6 �M��� � � � �!C�������R8����� � � � �?����� ��!-.�8���� �.($�!"�C����m� 8����� �P.���!� :���� �R�������8����� � �A��6P67��!-��� � �?!� ������A����� � ! � � �C��!�!"�C.{) ��������� �� ����!����� � .m����$���!���� �R������!5�����v.��m.��%��6 6 ������ ��� ��.C.� �_�+�T��.7� � ��� # � ��� #�4_� ��� � ���6P�� ��!��� $I�� � ��� ��. � ���[�+��8v����� 8��������� �I� �O$���A����� � ��� ��� � �+��.m�C��� � � �C��� ��!C���d)�!"����� ��6 8����� ��� .��6 )�� �_�+�T���7!"�%#{8�!���G��� ���� � ��� #����6P �C.7�� �7)�!C�C) ��!-.m���I�%$P ����3��!5�������+� �C�m��!5��������{�C.C� �}��:���� R�� �{� � ���C����� �'8��� ����C���A.��G!5���� ��. ��!"�I������� )A��!��(�%$ ��� �I��������6P �+��� �����A���m����[! �

&/�nmo}°t~hxb�Ch�w ® ªur��vm�wypb}�t²�F{`h}µw ® g2w�tvmowyx$q�h>r � }�t~wÅ}vm��yxbm±­��>r�xJt��Cw�g2{bq�h��nm�tvmoh}�m�x�CwyxJt~��wyqoq�moxb� tvebhµg�w�tvmowyx w ® }°�F}�t~hg2}�«(m�t~eÅpbxbm�qsrutvhC�vr�q��Cwyx|}�t~�vr�moxJtv}C³ �Õt^m�}�x|w�t~h�«�wy� t~eJ�Átve�rut�tvebh�r���wXª�h��Cqor�}v}�m�­��Crut~m�wyx�mo}´xbw�t r�x r��°t~m±­��Cmor�q�w�xbh�¶·�|p|t � wFhC}©�Cw��v�vh}v{�wyx �t~w�tveb�vhh�¼¨pbm�tvh � m�»`hC�vhxJt.g�w � h}�w ® �Cwyg�{bqohg2hxJt�r��°� Õ}vqor���§¨xbhC}�}.}��F}�tvhCg�} E@�¯�vwy�yq�msrutvwb¶¾�mo�pbqoh}v�pPH �9wyxJt~hmo�vw �Ár���¼¨pbhC}(E@���y�y�KL�ÎJ����wy�yq�msrutvwb¶X¾�m��Cpbq�hC}v�p-H �©��e�r�xJt(E��N�y��J�L+L�³D �t~pbr�qoq±��wypb��{�wym�x¨t¯ebh�vh�m�}Ltve�rut�tvebh � hC}v��vm�{|t~m�wyx w ® tvebh�g�w � hC}�ebr�}¯tvwk�vhq���wyxµtvebhx�rut~p|�vh(w ® tv�~rX��h�tvwy�vm�hC}C¶Fr�x � xbwut¯w�xbq���w�x�tvebh��wyg�{bqohg2hx¨t~r��vm±t²�k�wyx � m±t~mow�xb}C³ V�hCx|�Chr��C�wy� � m�xb��t~w�t~ebm�}���ebw�mo�Chu¶�t~ebh�}��F}�tvhCg¸mox ­��ypb��hµ�y� mo}(xbwut´�bm�g2w � r�qÊ�bp|t�e�r�}(t~eb��hChg2w � hC}³D�²x${�r��°t~m��Cpbqor��^xbwut~mo�hµt~ebrut�r�q±t~ebwyp|�ye t~ebh��wyg�{bqohg2hx¨t~r��vm±t²�Å�vhCqorut~m�wyxb}km�xE;ib�fL�¶`m@³Ýhu³� � |¶ �� � |¶2� �� � S�I)�!����!� � h­bxbh^t²«¯w�g2w � hC} � F  r�x � � � E;ebhxb�Ch�r ���67�������Ê}��F}°t~hCg Eêªur�x � hC��lF��e�r ® tPH ln��e¨pbg2r���ebh� E°�N���y��L+L5L ® wy�^�wyxJt~�vw�qr�x ��� �Fx�r�g�mo�(}��F}�tvhCg�}.r�xbr�q��F}vm�}[{bpb�v{�wy}�h´wyxbh(m�}¯q�h � t~w �Cwyxb}�m � h�Ltvebwy}�h�{bebr�}vh}¯t~ebrut�Cwy���vhC}�{`w�x � tvw � N´�°l^r�}�mox � h{`hx � hx¨t�wyxbh}�XÄt~ebh�� r��vh � h}v�C��mo��h � xbhCm±t~ebh���J�©t~e|h ® ��hChg2w�tvmowyx�x|wy�[�¨��tvebhz�Cwyxb}°t~�vr�moxbh � g�w�tvmowyx � �Fx�r�g�mo�}[�bp|tL�J��t~ebh(«(ebwyq�h � �nxbr�g2m��C}[w ®t~ebhkeJ�F�b��m � }��F}°t~hCg Eêt~e|h�ÃÄr��y�~ruxb�yh^h¼¨p�rut~m�wyxb}¶Êt~ebh^mog�{�r��t´�vpbq�hkr�x � t~ebhk�wyg�{bqoh g2hx¨t~r��vm±t²�^��hCqorut~m�wyxb}CL�³ D }Lr´t²�n{|mo�>ruqb}��F}�tvhCg%«(ebw�}vh�t~�vrX��hC��t~wy��mohC}[ru�vh � N��°l ® wyq�qowN«�h ��¨� ( � �°l`¶Êw�xbh^g2r>�9�wyxb}�m � h��t~e|hk�Cqor�}v}�mo�>ruq���wypbx|�Cmox|� ��r�q�qÄ«(e|wy}vh � �nxbr�g2m��C}z«(ebhCx��F � wµxbw�t�{`wy}�}vh}v}�r�xJ� ­|�nh � {�wymoxJtC¶�«(ebh�vhCr�}´t~e|h�«(ebwyq�h�}°�F}�t~hg � wFhC}�{`w�}v}vh}v}r ��qowy��ruqoq�� }°t�r��|qoh h¼Fp|moqom��b�vm�pbg rut9��� !� � �B�35 �G�?6 ( � �°l`³�d�e|mo}�h��|r�g�{bq�h�ebhCq�{b}pbx � h�v}�t~r�x � m�xb�Dtvebh ® p|x � r�g�hCxJt�ruq � m±»Êh�vhxb�Ch9�`h�t²«�hhCxS�Cw�g2{bq�hCg�hCxJt�ru���- ²}�qsr���§¨xbh}v}}��F}�tvhCg�}kr�x � }��F}°t~hCg�}^w ® � " &�}�«(m±t~eÅmog�{bpbqo}�m�ª�h � mo}°t~pb����r�xb�hC}TE;�.r�m�xbwNª H lnm�g2h wyxbwNª�E°�>�y�y��L5L�³��²xÅtvebmo}�}vhxb}vh�t~ebh�}��F}°t~hCg m�x�Eêib�fL´mo}�h¼Fp|m�ªur�qohxJt tvw½tvebh��`w�pbxb�Cm�xb���r�qoqP«(ebhx � � � �Lt�r�§uhC}���w�t~e�{�wy}�m�t~m±ªyh´r�x � xbhC�yrut~m±ªyh´ªur�q�pbhC}³�d�ebh©eJ�n�|�vm � xbrut~pb��h�w ®}vpb��e'}°�n}°t~hg2}��Cr�qoq�} ® w���xbh�«À�CwyxJt~��wyq�r�{b{b��wJr���ebh}´t~e�rYt´�Cr�x'r���Cwyg�g2w � rutvh ªur���mowyp|}t²�n{�hC}�w ® g�w�t~m�wyx·¶`«(e|mo��eÅgµr>��m�xb�Cq�p � h � mo}v�wyxJt~m�xFp|wypb} r�x � pbxb�wyxJt~��wyqoqor��bqoh�{be�r�}�hC}}vpb��eÁr�}.t~ebh�m�g2{�ru�t(�>ru}vh�³[d�ebm�}�«(moqoq`�`h � m�}v�pb}v}�h � m�x�t~ebh�xbh��ntz}�pb�b}vh�tvmowyx·³

û�û ×�� &>ò��%�

Page 47: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

iyi � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

x

um

Admissible Region

Inadmissible Region

A

(a)

(b)

0

FCIS CVIS UIS

(/mo��pb�vhk���KX � wyxJt~��wyqoq�h � gµru}v}�}vp|�F��hC��t´t~w�r�pbxbm�qsrutvhC�vr�qÊ�wyxb}�tv�~r�m�xJt

� " � � - � � �+* � � � � � 1 *D1���& �5-�� � &H(+*�,.-0/�* � 1�&)1 � � ,.1d�ebh r���wNªyh2�Cqsru}v}vm±­��>rYt~mow�xÅw ® t~ebh�moxJªur���msr�xJt }vh�t~}^xbrut~pb�vr�qoq±�'qohCr � }�wyxbh�t~w9�Cwyxb}�m � h��Cwyg�{bqohg2hxJt�r��°� Õ}vqor���§¨xbhC}�}µ}��F}°t~hCg�}�r�}2mox (/mo�b³��Ár�}µeJ�F�b��m �º� �Fx�rug2m��>r�q�}°�n}°t~hg2}«(ebwy}vh$"´m�}v��vhtvh &�ª�hCxJt� �lF�F}�tvhCg E%" &LldL.}�t~rut~h}´ru�vh � h�­�xbh � ® �vwyg t~ebh � h}v��vmo��h � mox ª�ru�vmsrux¨tz}�ht~}³��²x½t~ebh ® wyqoq�wN«(moxb�k«¯hk}vebr�qoq��yhxbhC��mo�Cr�qoq±� � hCx|w�t~h t~ebh�{be�r�}�hC}�tve�rut��Cwy� �vhC}�{`w�x � t~w � N��°l r�} � ��r�x � t~ebw�}vh't~e�rYt��Cwy���vh}v{�wyx � t~w ( � �°l rux � Buwy� ��°l r�}� ��³D¿ m±t~e¹}vw�g2h r��|pb}vh w ® xbw�t~rut~m�wyx·¶H«¯h }ve�r�q�q � hxbw�t~h tvebh " &Ll$}°t�rutvhC}�r�x � tvebh�Cwy���vhC}�{`w�x � mox|�^t~m�g2h(moxJtvhC��ªur�q�}¯m�xµt~e|h´}~rug2h�gµr�x|xbhC�³ D }�«¯h�}�e�r�qoqP}�hCh ® pb�°t~ebh�.}vp|�. � m�ªFmo}�mowyx|}.«(moqoq���h xbhCh � h � ³ D }´ruxÁh��|r�g�{bq�h q�htzpb}��Cwyxb}�m � h�´rux9m�g2{�ru�t � r�g�{`h�zr�}mox (�mo�b³��RE;�mL r�x � «(m±t~eDr9}vm�x¨pb}vwym � r�q[h��n�m�t�rYt~mow�x r�{b{|qomoh � tvw9tvebhµ��ru}vmo}�gµru}v}�X ® wy�rÁ{b�vw�{`h�k��ebwym��Ch w ® tvebh�}v{|�vmox|�! � ru}veb{�w�t>¶�t~ebh h��n�Cm�t~rut~m�wyx {�ru�~r�g�htvhC�v}^r�x � w ® tvebhmoxbm±t~msruq��wyx � m±t~m�wyxb}C¶·tvebh�}��F}°t~hCg {�wy}�}vhC}�}vh}^{�hC�vm�w � mo�^tv�~rX��h�t~w��vmoh}�«(m�tveÅw�xbh�mog�{�r���t

ùêú�û�ù ó

Page 48: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": i\U

) ��!�{�hC�vm�w � EêebhCx|�Ch � N��°ln}"L E �Ár�}v��m H � r�p|�yebh��E��N�KQKQKL+L�³/d�eFp|}�wyx|h ebr�}8 � � �$! E;iJ�KL

� wyxb}vm � hC��x|wX«]rkg2r�xbmo{|pbqsrutvwy�Lr�}�mox (�mo�b³�� E;h�LLt~e�rYt({`h� ® wy��g2}�rk�Cwyg�{bqoh�t~h���wy��w�t~m��t�r�}�§ «(m�t~e1r }vpb��Ch}v}vm�wyxºw ®�® �vhh ²g�w�tvmowyx$r�x � �wyxb}�tv�~r�m�xbh � g�w�t~m�wyxb}�{be�ru}vhC}¶ � pb� moxb��«(ebmo��eµm�t¯mo}Lh��n{bqom��Cm±t~q��^�vh¼Fp|mo�vh � t~w t~�vr���§ � hC}�mo�vh � g�w�t~m�wyxµrux � Buwy�L�Cw�x¨t~r��t ® wy�v�hE+E@�¯�vwy�yq�msrutvw E°�N�y����L�Î����vwy��qomsrYt~wb¶Y¾�m��Cpbq�hC}��CpPH ���ve�rux¨t E°�N����JKL�Îy���vwy��qomsrYt~wb¶Y¾�m��Cpbq�hC}��CpH �9wyxJtvhCmo��w! �9r��v¼¨pbh}7E@���y�y�KL+L+L�³'"´p|�vmox|� t~ebh ® wy���ChmBY{`wy}�m�tvmowyx��wyxJt~��wyq�{be�r�}�hC}¶Ätvebht~�~rN��hC�tvwy�vm�hC}�«(m�qoq�mox'�yhxbhC�vr�qH��h��`w�tve ��°l E;m�x�t~ebh�t�ruxb�yhCxJt � m��vh�t~m�wyxÁtvw tvebh��Cw�x. }�t~�vr�moxJt�}�pb� ® ru�ChmL.rux � ( � �°l Eêmox t~e|h©xbwy�vg2r�q � mo��hC�tvmowyx L�¶F}vhCh���hCg2r��v§µ�n³ "´pb��moxb�ktvebh® �vhCh ²g�w�t~m�wyxk{bebr�}vh}Ltvebh.t~�vrX��hC��t~wy��mohC}[ru�vh ��°l`³J�Õt[m�}Ht~ebh�vh ® wy�vh�x�rYt~pb�vr�q|t~w�}�{bqom±t�}vpb��et�r�}�§Åm�xJt~w9tveb�vhhµ{bebr�}vh} � � �y¶ � � � � � r�x � ���2tve�rut��Cwy���vhC}�{`w�x � t~w ��°l`¶�( � �°l r�x �� N��°l��vhC}�{`h�tvm�ªyhq���¶�m@³Ýhu³

8 � � � ! ���$! � � � � � � � � � ������� E;iK;�L� wyxb}vm � hC��x|wX« t~ebh��bm�{`h � ³��Õt(mo}��CqohCr��.t~ebrut(mox�wy� � hC��tvw � hC}��C�vm��`h©«�r�qo§¨m�xb�b¶|��pbxbxbm�xb�r�x � ebwy{b{|moxb��g�w�t~m�wyxb}¶nwyx|h x|hCh � }zg�wy��h´t~e�rux tvebh�r���wNªyh©t~eb��hCh©t²�F{`h}(w ® moxJªur��vmor�xJt}vhtv}C³ �9wy��hCwNªyh��wyxbh2xbhCh � }�g2w��vh2tve�r�x tvebhµt~e|�vhChµ{be�r�}�hC}�{b��wy{`w�}vh � ® w���t~e|h gµr xbmo{bp|qsrutvwy���Cr�}vhu³¯�²x � hCh � r�}�«¯h�ruqo�vhCr � �µ{`wym�xJt~h � wypnt(�Cwyxb�hC��xbmoxb��t~e|h ��e|wymo�h©w ® tvebh��wym�xb�>r�� � }�hC�tvmowyxʶ � hC}��C�vm��bmox|� ® wy�/m�xb}�t~r�xb�h�r�«�r�qo§¨mox|��g2wut~mow�x�m�x¨ª�wyq�ª�hC}Htvw´t�r�§uh.�>ru�vhw ® tvebh^xbw�x. ²}�qom � moxb���wyx � m±t~mow�xb}C³ VzhCxb�h^wyx|h�m�}�q�h � t~w � m�»`hC�vhxJt~msrYt~h��CwyxJt~r��t�{be�r�}�hC}E%( � �°lÅrux � z�°ldL©r�x � mog�{�r���t©{be�r�}�hC}�E � N��°l r�x � ( � �°l!r�x � Buwy� z�°ldL´t~e�rut }�qom � hr�x � tvebwy}�h�tve�rut�}�t~m���§P³ ¾�w�tvmo�Ch�g�wy�vhwNªyhC��t~ebrut�tvebmo}�g2r>� �`h � wyxbh�mox � hC{�hCx � hCxJt~q±�w ® t~ebh�{|�vhC}�hCxb�h�w ® D g�wyxJt~wyx|} � w�pbqowyg^� ® �vm��t~m�wyx�rYt�t~ebh^�CwyxJt�ru�t�{�wymoxJt~} X ® ��mo��t~mow�xr �b� }�g�w � hC}/tvw�t~ebh�{bqor�xJt�g�w � hqa¶Y«(ebhC��h>r�}[wypb� � hC}v��vm�{|t~m�wyx��Cwyx|�ChC��xb}�t~ebh�x�rut~p|�vh�w ®t~ebh�tv�~rX��h�t~w��vmoh}�r�x � m�} � mo��hC��t~q��2�vhqsrutvh � tvw�}°t�r��|moqom±t²�2r�x � �Cw�x¨tv�vwyqÊwy�F��hC��t~m±ªyhC}³��¯p|tm�t.m�}��qoh>ru��t~e�rYt�t~e|h©{bqsr�xJt�g2w � hCq�moxb� «(moq�q�}°t~��wyxb�yq±�µm�xA@�pbhxb�Ch�tvebh��Cw�x � m�tvmowyx|}�pbx � hC�«(ebmo��e�tvebwy}vh�g�w � hC}´«(m�qoq��`hkr��tvm�ªurut~h � ¶Ê}�hCh´��pb}°t©�`hqowN«�³�lnpb��eÅr � h�­�xbm�tvmowyx9�nm�hCq � }�yhCxbh�~r�q�q���r^qor��v��h´x¨pbgk��hC�¯w ® " &Ll }�t�rYt~hC}³ (�wy�.r^}°�F}�t~hg «(m�tve?� �Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}C¶bw�xbh�yhtv}

�Cr�� � � � � � � � C �C���� � � � � C � � � �C E;i�i\L

«(ebhC��h � �C � C �� � � C � � � � r�x � � ��mo}(t~ebh#" &LlÁ}�t�rYt~h^}�{�r��h�³´d�e|h ® wy�vg^pbqsr�mox E;iyi\L�g2rN��`h ® wyp|x � �¨� moxb}�{`h�t~m�wyx X ® wy��moxb}°t�r�xb�h©«(ebhCx t~ebh�vh�mo}�x|w�m�g2{br��tC¶FtvebhCx t~ebh�vh�g2rN�

û�û ×�� &>ò��%�

Page 49: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

i�Q � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

�`h�hCm�tvebhC�¯}vq�m � m�xb��w���}�tvmo��§¨mox|�k�CwyxJt~r��tC¶|wy� � ht~r���ebg�hCxJt(rut.r�xJ�2w ® t~ebh � �wyxb}°t~�~rumoxJt}vpb� ® r��Ch}C¶Hebhxb�Ch � C {`w�}v}vm��bqoh�g�w � hC}C³��²xÅt~ebh2�>r�}�hµw ® r9�bm�{`h � «(m±t~e�� � �WE t²«�w® hCht´r�x � t~ebh �vh}�t´w ® tvebh��wyxb}°t~�~rumoxJt~}zmo}zxbw�t(t�ru§�hCxÁmoxJt~w2r��C�wypbxJt�L�¶`w�xbh�w��|t�r�m�xb}��KU� m�»`hC��hCxJt�g�w � hC}³ D x2hCx¨pbg�hC�~rYt~mow�x2w ® t~ebw�}vh´�KU�g�w � hC}Lmo}[pb}�hCqoh}v}¯ebhC��h�¶|}�w «¯h´}�e�r�q�q� h­�x|hÁwyxbq±� t~e|wy}vh t~e�rYtµru�vh½xbhCh � h � tvw � h}v��vmo��h t~ebh t~eb��hCh½g2hxJt~mow�xbh � t²�F{`h}µw ®g2w�tvmowyx3X

����� X�@�mo�yeJt({bebr�}vh} Eê�`w�tve ® hCht � h�t�r���e|h � L�³

������ X�qoh ® t ® wnwut�}�tvmo��§¨}C¶P�vm��yeJt ® wnwut � ht~r���ebh � ³

������ X��vmo��e¨t ® wFw�t�}°t~m���§F}¶Pqoh ® t ® wFw�t � ht�ru��ebh � ³

��� � �� X � wypb�bq�h�}vpb{b{�wy�°t({be�r�}�h�¶P�`wut~e ® hCh�t�}°t~m���§�³

��� �� XLm�g2{br��tv}.wyx t~ebh��vm��yeJt ® wFw�t>¶bq�h ® t ® wFw�t(}°t~mo��§¨}³

��� �� X�m�g2{�ru�t~}�w�x tvebh�qoh ® t ® wnw�tC¶|��mo�yeJt ® wFw�t � ht~r���ebh � ³

d�ebhCx «�h wy�|t~r�mox tvebh ® wyqoq�wN«(moxb�dX¿ r�q�§¨moxb�dX 8 � � �

���! � � � �! � �� ���! � �

���! � �� �! � �

� ���� � ����� � ����� E;i\U�rKL

V�wy{|{bmoxb�AX 8 � � � �! ��� � �! � � � � � � � �� ������� E;i\UY��L�zpbx|xbmoxb�AX 8 � � ���! ��� � �! � �

���! � ��� � � � � �� � ����� � ���� � � � �� ������� E;i\Uu��L

d�ebh��br�}vm�� m � h>r�m�}(tvebh ® wyqoq�wN«(moxb�dX�t~ebh��KU � m�»`hC��hCxJtz{be�r�}�hC}��Cwy���vhC}�{`w�x � tvwµ��U " &Ll}�t�rYt~hC}³[��xbh.�Cr�x��Cwyx|}�t~��pb�tLr��y�~r�{|e E;�y�vr ® �Ch�t>¶J��ht~��mbxbh�t�L�tve�rutH��hC{b��hC}�hCxJt~}[t~ebh " &Ll`³d�ebh(�Cwyx � m�t~m�wyxb}Hw ® r���t~m±ª�rYt~mow�xkw ® wyxbh�g�w � h�e�r>ªyh(t~w��`h�}°t~p � moh � ³�(�wy��moxb}°t�r�x|�Ch��Cw�x. � m�tvmowyxb}2}vpb��eStve�rut�}°t~mo��§¨m�xb�¹wn��Cpb��} rut r�xSm�g2{br��tµwy� � pb��moxb� r }�t~h{ ebrNª�h'�`hhCx}�t~p � moh � mox E@�(pb��r�x|wXªFm���eSH(�wy�vg2r�q�� }v§J� E��N�y�|�mL+L�¶#E�V�pb��gkpbÂCq�p�E��N�y�K;�L5L�¶ E � e�r�xb�THV�pb��gkpbÂCq�p E°�N����i\L+L�¶zr�x � E�F � x|w�t>¶����vw��yqomorut~w�H Vzpb�vgkp|ÂCqop E��N�y�y�KL+L�³ d�ebh��ºh�ªnm � hCxJt~q±� }°t~�vw�xb�yq�� � hC{�hCx � wyx�tvebh©{b�vwF�Ch}v}(g�w � hqÊq�mo§�h D g�wyxJt~wyxb} � wyp|qowygk� ® ��mo��t~mow�xr�x � tvebh gkpbq�tvmo{bq�h©mog�{�r���t(�vhC}°t~m±t~p|tvmowyx½qsr>«�³�d�ebh��Cwyxb�Crut~hx�rutvmowyx½w ® {bebr�}vh}´moxWE;i�UKL�Cwy���vhC}�{`w�x � }/tvw � hC}�mo��h � moxJªur���msr�xJt�}vhtv}Hw ® tvebh " &Ll?E@ru�C�Cw�� � m�xb��tvw-E@��r�}v}�moxbwb¶ �9mo��ebhqH D xJt~}vr�§¨qomo}_E°�N����i\L+L·t~e|hC�vh�r��vhLt²«�w�t²�F{�hC}Hw ® moxJªur��vmor�xJt/}�htv}Hmox#" &LlxX�hm�t~e|hC��tvebh�}°�F} t~hCg5�vhCg2r�m�xb}�}�tvpb��§�mox�wyxbh(}°t�rutvh�ru}Lm�x E;i¨�KL�¶Jwy��t~ebh�vh(mo}[r���F�qohzr�}�t~ebh(wyx|hC}Lmox E;iK;�Lwy�ME;i\UKL5L�³ (P��wyg r �yhCx|hC�~ruq[ªFm�h«�{�wymoxJtC¶/r�xJ� }°t�r��bm�qom±t²���C��m�tvhC�vm�wyx }vebw�pbq � t�r�§uhµm�x¨tvw

ùêú�û�ù ó

Page 50: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": i\J

r��C�wypbxJt���w�t~e½t~ebh�xbwyxb}�g2wFw�tve�r�x � t~ebh�eJ�n�|�vm � x�rut~p|�vhC}�w ® }�pb��e'�Cwyg�{bq�hCg�hCxJt�r��°�- }vqsru��§Fx|hC}v}µ}��F}�tvhCg�}C³ D }2m�t�mo}�§¨xbwN«(x·¶(wyxbh½gµr>�$e�r>ª�hÁ}vh�ªyh�~r�q�{`wym�xJt2w ® ªFmoh�«(}µw ®e¨�F�b��m �9� �Fx�r�g�mo�>ruq·}��F}�tvhCg�}�X.�wyxJt~m�xFp|wypb} at~m�g2hu¶ � mo}��C�vh�t~h ²hª�hCxJt>¶`wy�(g2m �nh � ¶�}�hCh^hu³Ý�|³E;� & & &]d D � ln{�hC�Cmor�q/�²}�}vpbh E��N�y�y��L�Î D p|tvwyg2rut~m��>rSE��N�y�y��L5L�³ �Õt�mo}�x|w�t��Cq�h>r��©rYt�t~ebm�}}�t�ru�yh´«(ebh�t~ebh�.wyxbh�w ® t~ebh}vh©g2r�xbxbh�v}¯tvw�h��|r�g�moxbh��yhCx|hC�~ruqÊeJ�F�b�vm � � �Fx�r�g�mo�Cr�q`}°�F} t~hCg�}�ru{b{bqom�hC}��`h�tvt~h�´t~wµ�Cwyg�{bqohg2hxJt�r��°� Õ}vqor���§¨xbhC}�}�}��F}�tvhCg�}C¶�rux � �bmo{�h � r�q���wy��w�t~}¶t~e�r�x�t~ebh¯w�t~ebh�v}³ D �yr�mox·¶�r�q�w�t�«(m�qoq � h{`hx � wyx^tvebh � hC}vm��yxbh� � }�r�x � tvebh¯t~r�}v§ � }H�ywJruqo}C³¿ ebhCx!r½�|mo{�h � r�q/�vwy��w�t�mo}©��hC¼¨pbm��vh � t~w½}�tv�vm�§�h�r�x�r�moq/wy�©t~w {bpb}�e r�x wy�F��h�tC¶�tvebhCxt~ebh©�wyxJt~mox¨pbw�pb} at~mog�h�q�hªyhq·w ® }�t~r��bmoq�m�t²�2r�x � �wyxJt~�vw�qÊ«(moq�qÊ�Ch��t~r�moxbq±�µ}�pb{�hC�v}�h � h}ztvebh" &LlÅwyxbhu³TV�wN«¯hª�hC�^«(ebhx¹r �yhCxbh�~r�q�«�r�qo§¨m�xb�½t~r�}v§'m�}��vhC¼¨pbm��vh � ¶/m±t�mo} qomo§uhCq±�Át~ebrutwyxbh g2r>�Dxbwut�e�r>ªyh�t~w9t�r�§uh��>r���h r��`w�p|t�r���Cpb�vrut~hµtv�~r���§¨m�xb�'w ® t~ebhµqohC��}�r�x � ® hhtg2w�tvmowyx�Eê}vwyg�h � �C��p � h � q�wX« Õqoh�ªyhCq��wyxJt~��wyqoq�hC�v}�g2r>�'�`h´��p � �yh � mox't~ebm�}��>r�}�h�tvw9��h}vp ���Cm�hCxJt�L�³µd�ebhx r }vpb{�hC�°ªFmo}vw�� ²q�mo§uh��wyxJt~��wyqH«(moq�qH�`h�}�pbm�t~r��bqohbX©t~ebh��vw��`w�t�«(m�qoqH��h�vhC¼¨pbm��vh � t~wÁtv�~r���§ � r½t²�n{�h w ® g2w�tvmowyx � ¶�«(e|mo��e m�x g2w��vh�}v�Cm�hCxJt~m±­��2tvhC��g2} «(moqoq[��ht~�~ruxb}vqorut~h � m�xJt~w½r " &¯l'moxJªur���msr�xJt�}vh�t>³ � qohCr��vq±��}�pb��e r ebmo��e. ²q�hªyhqH�Cw�x¨tv�vwyq�ebr�}©t~webmoxb��h©pb{`w�x9}�wyg2h�}°t�r��bm�qom±t²� �C��m�tvhC�vm�wyx t~ebrut(«(moqoqÊhCx�r��|qoh©t~ebh��wyxJt~�vw�qoqoh�.t~w�§�hhC{9tvebht~�~rN��hC�tvwy�vm�hC}´«(m±t~ebm�x�}vw�g2h�r � g2m�}v}�mo�bq�h�}�ht>³ d�ebh��hCqoh�b�~rYt~h � � �9� ��hCqow�xb�y}�tvw t~ebm�}�>rutvhC�ywy�°� w ® ��vm�tvhC��msr|¶Pr�x � «¯h^}vebr�qoqÄ�Cw�g2h ��r���§ wyx½t~ebm�}�m�x9}�hC�tvmowyxSUn³Ù�F³*;|³.��p|t�w�xbhgµr>��x|w�t©�>ru�vh�r���wyp|t�tvebh�}�«(mox|�ymoxb�µqohC��tvw�{`h� ® wy��g m�tv}©}�tvhC{'«(m�tve!r�}°t~�vw�xb�½r��C�p. �~r����y³ D ® t~h��r�q�qa¶�e¨pbg2r�x���hCm�xb�y}(t~ebhg2}�hCq�ª�hC}�hCr���e'{�wy}v}�hC}v}�t~ebhmo�zwX«(x�«�r>� t~wµ«�r�qo§� hC{�hCx � moxb��wyx t~ebhmo��{beJ�F}vm��>r�qÄrux � {|e¨�F}�mowyq�wy�ymo�Cr�qÊ�Cr�{�r��|moqom±t~m�hC}C³

� "3! � ��-0( /�* ��� ,.* � 1 *D( � 1 � *� +-���- � &lFt~��wyxb��mog�{�r��tv}(gµr>� � r�g2r��yh���mo�ym � }°t~��pb�tvpb�vh}�r�x � }vebw�pbq � t~ebh�vh ® w��vh �`h�r>ªywym � h �® wy�^«�r�qo§¨mox|�'�vwy��w�t~}³ ¾zhªyh��tvebhCq�hC}v}�mog�{�r���t�mo}^{�r���t�w ® tvebh «(ebwyq�h � �Fx�r�g�mo�}�r�x ��>r�xbx|w�tk��hµxbh�yqoh�tvh � X�«(ebhx$tvebhµ��wy��w�tkm�} tv�~r���§¨mox|�'rÁ�vh ® hC��hCxb�h t~�~rN��hC�tvwy���Åh�ªyhCx«(m�t~e �Cr�p|t~m�wypb} ® wFw�t©{bqor��Cm�xb�b¶·m�g2{br��t©wF�C�pb�v} }vm�xb�Chktvebh�wy�v�|m�t©«(moq�q/��hCg2r�mox'wyx|q���m�xr�ªFmo�moxbm±t²��w ® t~ebh �vh ® hC�vhxb�Ch t~�vrX��hC��t~wy�°��E;hª�hCxÁ«(m±t~e½ebmo��e9�Jrumoxb}(wyx t~ebh �Cw�x¨tv�vwyq�qoh�CL�³(P��wyg t~e|mo}/m�xJt~pbm±t~m�ª�h¯�wyxb}�m � h�~rutvmowyx�wyxbh.�wypbq � t~ebm�xb§©t~e�rut/mog�{�r���t~}�r��t/moxkr � hC}°t�r��bm qomoÂmoxb��gµruxbxbhC�³�¿!h(r��v��pbh�rutHtvebh�wy{b{�wy}�m�t~h¯t~e�rutHmog�{�r��tv}(Eê«(e|mo��e � mo}�}vm�{�rut~h�hCxbh�v���AL{bqsr>��rux9m�g2{�wy��t~r�xJt.��wyqoh©m�x�}�t�ru�bmoq�moÂCm�xb�^tvebh�}��F}�tvhCg½³

F©hCx|hC�~ruqoq���¶¯tvebhÁru{b{b�vwyr���eÏt~w t~e|hÁ}�t~r��bm�qom�t²� r�x�r�q±�F}vmo}�t�ru§�hC}2moxJt~w!r���CwypbxJt2t²«�w�yhCxbh�~r�q�q��9h��n�Ch{|t~h � ® r���t~} r���wyp|t��bm�{`h � r�q�qowF�Cwyg�w�t~m�wyx·³ d�ebh�g2wut~mow�x�mo} � m�}v�wyxJt~mox pbwypb}���hC�Cr�pb}�h�w ® t~ebhkm�g2{br��t´w ® t~ebh�q�mogk�|}z«(m±t~eÁtvebhk«.ruqo§¨moxb�µ}vpb� ® r��Ch?E�V�pb��gkpbÂqop

û�û ×�� &>ò��%�

Page 51: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

iJ� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

H��½wy}v§uwX«(m±t~ E��N�y��JKL�Î V�p|�vgkpbÂqop E��N�y�K;KL�Î ��rutvwyeSH��9wy��m E°�>�y��i\L�Î �Êebhxb� E°�N���y��L�ÎF���moÂCÂqohu¶ D �b�br H �[q�hC}°t�r�x Ea�����|�fL+L�³kd�ebh � �Fx�r�g�mo�}©mo}©ebm��yebq��9xbwyx|qomox|h>r��©rux � q�mox. h>r���moÂ>rYt~mow�x¬ru�`wypnt2ª�hC��tvmo�Cr�q(}�t�ruxb�Ch9�yhCxbh�~r�q�q��¹}�ebwypbq � ��h�r>ªyw�m � h � EON[p|§�wy�b�vrut~wNªFmo�u¶��wy�vwNªur��u¶[lnpb��qsr�H lFtvwy§¨mo�RE°�N�y����L�Î�Vzpb�vgkp|ÂCqop E°�N�y��;�L�ÎvF©�vm�ÂCÂCq�h�¶ D �b�brSH ��q�hC}�t~r�xE°�N�y����L+L�³

D �Cqsru}v}vm��>r�qÄt~h��ebxbm�¼Fp|hkt~w�r�xbr�q��FÂCh � �Fx�r�g�mo�>ruq�}°�n}°t~hg2}�«�r�} � h�ªyhqowy{�h � �J�9tvebhxbmoxbh�t~hhCxJt~eÅ�Chx¨tvpb��� (��vhxb��eÅgµrutvebhCg2rutvmo�Cmor�xSVzhCxb�°� ��wym�xb�>ru� � ³ D ® wy��gµr�q�gµrYt~ebh gµrutvmo�Cr�q � h}v�C��mo{|tvmowyx w ® tvebh[t~hC��e|xbmo¼¨pbh.�Cr�x^��h ® wypbx � mox gµr�xJ��{b��hªFmow�pb}vq±��{bpb�bq�mo}ve|h ��`wFwy§¨}�r�x � r���tvmo�qohC} E�F©pb��§�hxbebhmog�hC�'H Vzwyqog�hC} E°�N�y�KUKL�Î`�/r���§�h� H � e¨p�r E��N�y�y�KL+L�³V�hC��hµ«¯h ® wyqoq�wX«�r�x mox ® wy�vg2r�q[{b�vh}vhx¨t~rut~m�wyx t~ebrut � h}v��vmo��hC}ktvebh g2r�mox ® h>rutvpb�vh}kw ®t~ebh r�{b{|�vwJr���eʶ�m�t~}(r � ªur�xJt�r��yh}C¶Pr�x � m±t~}���hCqoh�ªur�xb�Ch�m�x½�yr�m�t�}°t~p � mohC}³�²x�tvebh�tveb�vhh Õqomox|§½�|mo{�h � r�qÄg�w � hCq�w ® }vh�t~m�wyx �n¶�«�h^e�r>ªyh�}ve|wX«(x�tve�rut©{�hC��mow � mo�

g2w�tvmowyx|}kw ® r }vm�g2{|qoh��bm�{`h � �Cr�x¬��h½�vhC{|�vhC}�hCxJt~h � r�}��Cq�wy}vh � wy���bm�tv}�mox¹t~ebh½{be�ru}vh}v{�r��h�³ (/m��ypb�vhWE;i|³ � L � h{bmo��t~}2rÅ­���}�t ��htvpb�vxºg2r�{1wy�|t~r�moxbh � ® ��wyg t~ebh½{�wymoxJt~}�w ®t~ebh�tv�~rX��h�t~w����Ïtve�rut��wymox|�Cm � hÁ«(m�tveºt~ebh'm�xb}�t~r�xJt�w ® ebhChq�}�tv�vm�§�h�³5��wym�xb�>ru� � g2r�{® wy� r �yhxbhC�vr�qom�ÂCh � �CwFwy� � mox�rutvh ��� Eê«(ebm���e m�}2t²�F{bm��>r�q�q��¬r½��wymoxJt r�xb�yq�hÁmoxÏ�bmo{�h � ruq}��F}�tvhCg�}CLµrut�t~e|h�moxb}°t�r�xJt2w ® ebhhCq�}�t~��mo§uhÁxbwN« �>r�xÏ�`h9wy�|t�rumoxbh � �J�Ï{|qow�t�t~mox|� tvebhª�ruqopbh}¯w ® ��� rYt � ���ª�hC��}vpb}�tvebh�ªur�q�pbhC}¯rutS��� � � � ��ebhChq`}°t~�vm�§�hu³�d�ebh´m±t~hC�vrut~m�wyx�{`wym�xJtt~e�rut.�Cwy���vhC}�{`w�x � }�t~wktvebh©�Cq�wy}vh � {�hC��mow � mo��wy�v�|m�t�m�}.wyx t~e|h� � � � h�y�vhh©qomox|h��`h�>r�p|}vh«(ebhCxSt~e|h�g2wut~mow�xÏmo}2{`h�vm�w � m�� ��� rut�ebhhCq�}�t~��mo§uh'mo}µm � hCxJtvmo�>ruq ® wy�µr�qoqz}vp|�C�Ch}v}�m�ªyhqowF�Cwyg�w�t~m�wyxk}°t~hC{|}C³H¿!h´r�q�}vw wy�b}�hC��ª�h�tve�rut¯{`wym�xJt~}[wyx�t~ebhzgµru{µr���Cpbg^pbqsrutvhzrut ���Lr�}t~ebhL�bmo{�h � t�ru§�hC}�}vpb��Ch}v}vm±ªyh.q�wn�wyg�w�t~m�wyx©}�tvhC{b}³/d�ebh¯}~r�g�h[�Cwyxb}°t~��pb�tvmowyx��>r�x^r�qo}�w���h{`h� ® wy��g2h � ® w��.t~ebh��yhxbhC�vr�qom�ÂCh � ª�hCq�wn�m�t²� !��� w�� ® w��(r�xJ��w�t~e|hC��§¨moxbhgµrYt~mo�´¼Fpbr�xJt~m�t²��³�©x|h��>r�x h¼Fpbr�qoq±�¬�wyxb}°t~�vp|�t½r � m�}v�C��htvh'gµr�{ ® wy�µt~e|h�ªyhCq�wn�m�t²�¬w ® t~e|h'�ChCxJtvhC��w ®gµr�}�}�w ® t~ebh�pb{b{�hC��g2hgk�`h�´rux � moxJª�hC}�tvmo�JrYt~h�t~ebh�hªyw�qop|tvmowyx½w ® q�wn�wyg2wut~mow�x½}�{`hh �«(m�t~e�}vp|�C�Ch}v}�m�ªyh©}°t~h{b}C³��²xb}°t~hCr � w ® ��ebwnw�}vmox|��ebhhCq�}�tv�vmo§uhz«¯h´�wypbq � e�r>ª�h´��ebwy}�hCxµtvebhmoxb}°t�r�xJt(w ® t~wFh©w�» ® wy�.tvebh�{b�vh}vhCxJt�g2w � hq�r�x � wy�|t~r�mox|h � }vm�g2m�qsr��L{bqowut~}C³�²x'g�wy��hk�yhCx|hC�~ruq�t~h�vg�}C¶Êtvebh���wymoxb�Cr�� � g�htvebw � mo}���r�}vh � wyx�t~ebh��wyxb}°t~�vp|�t~m�wyx

w ® r'­b�v}�t���htvpb�vx$g2r�{¹�J�¹�Cwyx|}vm � hC�vm�xb��t~e|h�moxJt~h�v}vh�tvmowyx$w ® {�hC�vm�w � mo�µw��v�bm±t~}^«(m±t~er�x ��> � � m�g2hxb}vm�wyx�r�q/�C�vw�}v}^}�hC��t~mow�x!m�xÅtvebh � � m�g2hxb}vm�wyx�r�qH}°t�rutvh2}�{�r��h�³ Ã�ht�pb}g2hx¨tvmowyx�r©{b��wy�bq�hCg5w�xbh(e�r�}�t~w ® r��h�mox�t~ebhzr�{|{bqom��>rutvmowyxkw ® tvebmo}�g�htvebw � tvw��bmo{�h � ruqqowF�Cwyg�w�t~m�wyx «(ebhCxÅg2w � hqomox|�2t~e|h����vwypbx � ® wnw�t��CwyxJt�ru�t~}��J���|moqsrYt~hC�vr�q��Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}³ln{bqom±tvtvmoxb��r.qowF�Cwyg�w�t~m�wyx´���F�Cqoh�m�x�r.qoh ® t ® wnwut�}vpb{|{`wy�°tÄ{be�r�}�h�¶ur � wypb�|qoh�}vp|{b{`w���tÄ{be�ru}vhr�x � r��vm��yeJtL}vpb{b{�wy�°t�{bebr�}vhu¶|r�t~�~ruxb}vm±t~mow�x ® ��wyg%wyx|h�}�pb{b{�wy��t¯{be�r�}�hztvwkr�x|w�t~ebh�¯w�xbh�Cwy���vhC}�{`w�x � }´tvw �vhg2wNªur�q�r�x � Buw���r �b� m�t~m�wyx½w ® §¨moxbhgµrutvmo���Cw�xb}�tv�~r�m�x¨tv}-EGVzhCg2r�g�m#H

ùêú�û�ù ó

Page 52: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": iJ�

¿!�Fg2r�x E°�N��Ju��L+L�³¹d�ebmo}�{b��wy�bqohg �>rux¬��h }vhChxºr�}�r't²«�wÅ{�wymoxJt���wypbx � ru��� ªur�q�pbh{b�vwy�|qohCg*«(e|hC�vh�}�pb��e�t~�vr�xb}�m�t~m�wyxb}zqohCr � tvwµ��e�r�x|�yhC}©m�x9t~e|h � m�g2hxb}vm�wyxÁw ® t~ebh�}�t�rYt~h}v{�r��hk�vh¼¨pbmo��h � tvw � hC}��C��mo��h�t~e|h � �Fx�r�g�mo�}�r�x � t~e¨pb}´tvwµ��e�r�x|�yhC}©m�x9t~e|h�ªyh�tvwy��w ®�yhCxbh�~r�q�moÂh � �CwFwy� � mox�rYt~hC}³�¾�w�tvmo�Ch�e|wX«¯hª�hC�Ät~e�rYt�t~ebm�}·�Cwyg�{bq�mo�>rYt~mow�x´mox�tvebh � �Fx�r�g�mo�}mo}�w ® {bpb��hCq��¹r���tvm�­��msr�q¯x�rut~p|�vh�¶L}vm�xb�Ch m±t � mo}vr�{b{�h>r���}�mox¹t~ebh pbx|moqsrYt~hC�vr�q��wyxb}°t~�~rumoxJt�CwyxJt�ru�t ® wy�vgkp|qsrutvmowyx·¶n}vhh^}vh�tvmowyx ;|³ß�n³.�²x ® ru�t>¶btvebh � mog�hCxb}�mowyx½w ® t~ebh }�t~rut~h }v{�ru�Ch�vhCg2r�m�xb}.�Cw�xb}�t~r�xJtPE �3�� !� �)698 � :�L�r�x � mo}�m�x � h{`hx � hCxJt�w ® t~ebh�}vp|{b{`w���tz{be�r�}�h�³Ld�ebh® r��t tve�rut2t~ebh ® hht��Cr�xbxbw�t {`hxbhtv�~rutvh'moxJt~wDtvebh��y��wypbx � w�xbq��1g�h>r�xb}2t~e�rut }vwyg�h�vhC��mowyx�w ® t~e|h }°t�rutvh�}v{�r��h�m�}�pbxb��h>r���e�ru�bqohu³

1

2 3

1

2

3

4

5

6

4

5 6

(a)

(b) (d)

(c)

yTR

yTL

yTL

> 0 yTR

> 0

and

yTL

< 0

yTR

< 0

(/mo��pb�vh��X��XH¿ r�q�§¨moxb�b¶nebwy{b{|moxb��r�x � ��pbxbxbm�xb�"�pbh½tvw't~ebh ��r�}�mo��x�rYt~pb��h½w ® � m�}v��vhtvh gµr�{|}C¶[t~ebh hª�hCxJt~}�t~e�rYt�wn��Cpb��wyp|tv}vm � h

t~ebh½�C��wy}v}�}vh�t~m�wyx¬r��vh½mo�yx|wy�vh � ³ (�wy��h��|r�g2{|qoh�¶¯wyxbh �>ruxÏpb}�h9}�mog�{bqoh�}�§�htv��ebhC}�m�xt~ebh��Cwyxn­��ypb�vrut~m�wyx!}�{�r��hSE;}�hCh (/mo�b³�E°�X�n³Ýr�L5L�tvw9��hC{b��hC}�hCxJtkt~e|h�tveb�vhhµg�w�t~m�wyxb}�t~ebrutr���ebmoh�ªyhk{|�vwy�y��hC}�}vmow�x�mox9�bmo{�h � ruq�}°�F}�t~hg2}³ (/m��ypb�vh}PE��X�n³ ��L�¶ E°�X�F³Ý��L�¶`r�x � E��X�n³ � L � h {bmo��t�t~ebh½�vh{b�vh}vhCxJt~rut~m�wyxb}�w ® «�r�qo§¨m�xb�b¶Lebwy{b{bm�xb�b¶¯r�x � �vpbxbx|moxb� �vh}v{�hC��t~m�ª�hCq±�y³¬¿!h

û�û ×�� &>ò��%�

Page 53: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

U�� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

xbw�t~h t~e�rYt´t~e|h � hC{|mo�tvh � }�§�htv��ebhC} r���h�t²«¯w � mog�hCx|}vmow�x�r�qÄ{b�vwX��hC�tvmowyx|}�t~ebrut��Cr�{|t~p|�vht~ebh.h}v}�hCxJt~mor�q � �Fx�r�g�mo�Cr�q ® hCrut~p|�vhC}�w ® e|mo�yebh� � m�g2hxb}vm�wyx�r�qF�bm�{`h � r�qF}��F}�tvhCg�}C³ D }vm�g {bqoh���ebw�mo�Ch�w ® t~e|h2��wymox|�>r�� � }vhC��t~m�wyx!g2r>��xbwut�q�h>r � tvwÁr�g2r�{b{bm�xb�b³ (�wy�´h��|r�g�{bqohu¶qohtLpb}¯��ebwFwy}vhzt~ebh�}vhC��t~m�wyx rutLt~e|h´mox|}�t�rux¨tL«(ebhxµt~ebhzqoh ® t ® wFw�tL�Cw�x¨t~r��tv}¯tvebh�«�r�qo§¨m�xb�}vpb� ® r��Ch E�� ���� �´m�x (/mo�|³AE��X�n³Ýr�L+L�³�d�e|mo}/}�hC��t~mow�xk«�wyp|q � xbwutH��h.�C��wy}v}�h � �J��tv�~rX��h�t~w��vmoh}t~e�rut¯�Cw��v�vh}v{�wyx � t~w^e|wy{b{bm�xb��w�x2t~e|h´�vm��yeJt ® wnw�tC³/d�e¨pb}¶|«�h��>r�x|xbw�t � h­�x|h�t~e|h´g2r�{t~e�rutz�wy�v��hC}v{�wyx � }�t~w�ebwy{|{bmoxb��wyx½t~ebh �vm��yeJt ® wFw�tC³.��xbh �>r�x9��ebwFwy}vh�r�xÁh�ªyhx¨t´}vpb��er�}Ht~ebh(g�hC��h�wn��Cpb���vhCx|�Ch(w ® ebhChq�}�t~��mo§uh�¶Jt~w � h�­�xbh�t~ebhz��wymoxb�Cr�� � }�hC��t~mow�x�E�V�pb��gkpbÂqopH �9wy}v§uwN«(m�t~ÂPE°�N�y�KJKL�Î �©pbwTE��N�y�y��L5L�³�d�ebmo}L«.r>�y¶|wyxbhz�>r�x �Cr�{|tvpb�vh©rux¨��w ® t~ebhzt~eb��hCh{b�vh�ªnm�wypb}�q���g2hxJt~mow�xbh � t²�n{�hC}�w ® g2wut~mow�x·³ �Lh�t>¶nhªyhx�t~ebm�}¯��ebw�mo�Chz«�w�pbq � x|w�t.q�h>r � t~wgµr�{|{bmoxb��} ® w��z�wyxJt�r���t ® ��hCh �vwF��§Fm�xb�µg�w�tvmowyxb}�w ® t~ebh��bmo{�h � ³.d�ebmo} � m��2�pbq�t²� m�}�x|w�t}v{�hC�Cm±­��¯tvw��bm�{`h � r�q¨}��F}�tvhCg½³Hd�ebh¯{`hx � pbq�pbg mog�{�r��t � r�g�{�hC��r�x � tvebh�g2r�xbm�{bpbqsrYt~wy�w ® (�mo�b³ E°�fL¯«¯wypbq � r�q�}vw�e�r>ª�h tvebmo} � m����Cpbq±t²�y³�²x r �b� m�t~m�wyx·¶zr�q±t~ebwyp|�ye }vpb��e r1}�hCq�hC�tvmowyxS«¯wypbq � ��h }vp ���mohCxJt ® wy��g�wy}�t m�g

{�r��tvmoxb��}°�F}�t~hg2} Eê}vhCh E@lne�r>« H V�w�qog�hC} E��N�y�K;�L5L+L�¶|wyxbh©x|hCh � }(tvw��Cwyx|}vm � hC�.t~e|h©}vqom�{�Cwyx � m�t~m�wyxb}�t~w � h�ªyhqowy{�g2r�{b{bm�xb�y}�tve�rut � hC}v��vm��`h � �nxbr�g2m��C}Hw ® q�wn�wyg�w�t~m�wyx�}��F}�tvhCg�}C³� wyxb}vm � hC�Lt~ebh�«.r�q�§¨moxb��g2w�tvmowyx2r�x � t~ebh��wy�v��hC}�{`wyx � moxb� ® r�g2m�q��^w ® wy�v�|m�t~} � h}v�C��mo��h ��¨�2t~ebh�}�hC¼¨pbhCx|�Ch � @ �kmox (/m��b³ E��X�n³ ��L�³�d�e|h�r��tvp�r�qÊ«�r�qo§¨m�xb��g2wut~mow�xb}¯«¯wypbq � ��h�r}vpb�b}�ht©w ® t~ebm�} ® rug2m�q�� �qsr�}�}vm±­�h � ru�C�Cw�� � m�xb��tvwµt~e|h^}vq�mo{½�Cwyx � m�tvmowyxb}³z��xbh^�Cr�x��Cw�x. }�t~��pb�t[}�hª�hC�~ruq�g2r�{b{|moxb�y} � hC{�hCx � moxb��wyx�tvebh.t²�F{`h�w ® g�w�t~m�wyx·³Ä�²x��yhCxbh�~r�q@¶yebwN«¯hªyh�C¶t~ebh�}vh�tvmowyx �>rux9��h©«(�vm�t�t~hx9ru} ® w�qoqowN«(} X

� �� � �N��� !�4�H6�� � : � � ����� � � �� ����� � E;iKQ�L«(ebhC��hLtvebh¯�wyx � m±t~m�wyx�hC}�t~r��bq�mo}ve|hC}Ät~ebh¯��wym�xb�>ru� � }vhC��t~m�wyx·³��²x^w�tvebhC�Ä«�w�� � }�� �� � �� � � wy� � �� � �� � � Eêwy�´��w�t~e L�³©�²x �>r�}�h^t~e|hC�vh�m�}�r�x'm�g2{br��t�rut´tvebh��CwyxJt~r��tvmoxb� m�xb}�t~r�xJtE;ebhxb�Ch'rŪyhCq�wn�m�t²� � m�}v�Cw�x¨tvmox¨pbm±t²�dL�wyxbh9gµr>�1�Cwyx|}vm � hC�2tvebh���mo�yeJt�ªyhCq�wn�m�t²� !� �� � �� �r�x � Buw�� !� �� � �� �Lt~w � h­�xbh�tvebh�g2r�{b{bm�xb�?Eêqoh ® t¯ªyhqowF�Cm�tvmoh}��>rux��`h�p|}vh � r�}�«¯hCq�q�L�³Hd�ebh}vpb�b}��C��mo{|t �zmox E;i�QKL´�vhC{|�vhC}�hCxJt~} � m�»`hC��hCxJt g2wut~mow�x�t²�n{�hC}³µd�ebh�x¨pbgk��hC�� � h{`hx � }wyx't~ebhkt²�F{�hC}�w ® �CwyxJt�ru�t©«(m�tve'hCxJªFmo��wyxbg�hCxJt>³ (�wy�´h��|r�g�{bqoh��wyxb}vm � hC�©e|wy{b{bm�xb��wyxr }vmox|�yqoh9qomog^�·¶.«(ebhC��h't~ebh�vh'mo} r }vmox|�yqoh9�CwyxJt�ru�t {�wymoxJt>³ (�wy�µtve�rut��Cr�}vh� � �F¶® wy�©�`w�pbxb�Cm�xb��«(m�tveÅw���«(m±t~ebw�p|t�}vq�mo{b{�ru�yh�³ D ��Cwy� � moxb��q��y¶·tvebh�t²«�w½}vh�tvmowyxb} �>rux!��h«(�vm�t�t~hx9ru}�X � � � ���N��� !� �H6�� � : � � �� � !� � � � � �� � � � E;i�JKL

� �� ���N��� !� �H6�� � : � � �� � !� � � � � �� � � � E;iy��L

ùêú�û�ù ó

Page 54: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": Un�

d�w���h�}v{�hC�m�­��u¶|t~e|hC�vh�«�wyp|q � ��h´t²«�w�t²�F{�hC}�w ® �Cw�x¨t~r��tv}�X�m�xb}�t~r�xJt�r�xbhwypb} Eê�vhC��wypbx � Lwy�L­bxbm�tvh � pb�vrut~m�wyxSEê�CwyxJt~r��t�mo}�g2r�m�x¨t~r�mox|h � ® wy��r «(ebmoq�h´r ® tvhC�Lt~ebh�}vebwF��§[L�³[�²xµt~h�vg�}w ® tvebh�gµru{b{bmox|�b¶|ebwN«¯hª�hC�C¶P«¯h�«(m�qoq·��h©wyxbq±� �wyxb�Ch�vxbh � «(m±t~e½}vqom�{b{�r���h��Cwyx � m�tvmowyxb}³d�e|h � m�}v�C��htvh�g2r�{�wy�|t�rumoxbh � �J� ® wyqoq�wN«(moxb��tvebh´{b��wn�h � p|�vh � hC}��C�vm��`h � r���wNªyh´�Cr�x

�`h©«(�vm±tvtvhCx mox�t~e|h ® w�qoqowN«(m�xb�^�yhxbhC�vr�q ® wy��g

� � ����� � � � � � E;iy��L«(ebhC��h � mo}�rk��h � p|�Ch � � m�g2hxb}vm�wyx }°t�rutvh�ªyhC��t~wy�¶�r�x � tvebh�}vp|�b}v��vmo{nt~} � hCx|w�t~h�tvebh�� ���r�x � � > � �+� �vh�t~pb��x½ªur�q�pbhC}���hC}�{`h�t~m±ªyhq��y³��hC��mow � mo�©g�w�t~m�wyxb}.w ® tvebh��bmo{�h � �Cw��v�vh}v{�wyx � t~w�t~e|h�­n�|h � {�wymoxJtv}�w ® ��«(ebhC��h

� # ��� � � � # ��� E�Uu��L«(ebhC��h�� � mo}^tvebh � ��� m�tvhC�~rYt~h�³'d�e|h�}�t�ru�bmoq�m�t²� w ® � � �vh�@�hC��t~}ktvebh�}�t~r��bmoq�m�t²� w ® tvebh�Cwy���vhC}�{`w�x � mox|� @�wN«�³ D q±t~ebw�pb�ye·¶Fr �b� m�t~m�wyx�r�q|�Cwyx � m�t~m�wyxb}¯r��vhz�vh¼¨pbmo��h � tvw^}°t�rutvh�t~ebrutt~ebhÁÃ��yr�{bpbx|wXªÏ}�t~r��bmoq�m�t²�$w ® � # m�}µhC¼¨pbm±ªur�qohx¨t2t~wDtvebh�÷�yr�{bpbxbwNªÏ}�t�ru�bmoq�m�t²�$w ® tvebhwXª�hC�vr�qoq.tv�~rX��h�t~w����1w ® � � ��³ ��xbh½w ® t~e|hC}vhu¶.x�r�g�hCq±� t~e|h9�wyxJt~mox¨pbw�pb} � h{`hx � hxb�Chw ® t~ebhktv�~rX��h�t~w����'wyx�tvebh�mox|m�t~mor�qÄ�Cwyx � m�tvmowyxb}¶Ê«�r�}�}vebwN«(x t~w���h�xbw�t©ªyh�vm±­�h � wyxÅr}vmog�{bq�hz�|mo{�h � g�w � hCq#E�F©wy}�«�r�g�ma¶¨d�e¨pbmoq�w�t9H &[}�{bmsrup E°�N���KQ�L�ÎAF©wy}�«�r�g�ma¶¨d�e¨pbmoq�w�t_H&[}�{bmsrup?E°�N����JKL+L � p|�vmox|�´{�r�}�}vm±ªyh.�Jrum�t>³ D xbw�t~e|hC�Hwyx|h�mo}Ät~e|h��Cw�x¨tvmox¨pbm±t²��w ® t~ebh¯mog�{�r���tgµr�{|{bmoxb�k«(e|mo��e �Cwyp|q � r�qo}�w��`h©¼¨pbh}�t~m�wyxbh � «(ebhxÁr���Cwyp|x¨tvmoxb� ® wy� � ��� ® ��mo�tvmowyx'Înt~wt~ebh½�`h}�tµw ® wypb��§¨xbwN«(qoh � �yh�¶�x|wD�vh�ypbqor��vm�Â>rutvmowyx$w ® D g2w�x¨tvwyxb} � wypbq�wygk� � }�}�tvmo��§ }vqom�{ � m�}v�Cw�x¨tvmox¨pbwyp|}©g2w � hCq�«.ru}©{b�vwNªyhxÅtvw �FmohCq � �CwyxJtvmox¨pbwypb}©m�g2{br��t´gµr�{|{bmoxb� ® wy�������{b�vh ²mog�{�r���t´}°t�rutvhC}³�¾�hª�hC�°t~ebhqohC}�}C¶�m±t�}vhhCg�}��vhCr�}vw�x�r��bq�h�t~w r�}v}�pbg2h�t~e�rut´t~ebh}vh�Cwyx � m�t~m�wyxb}Lr���h�g�ht¯mox2{b�~rutvmo�h ® wy�¯r «(m � hz}vpb�b}�ht�w ® t~�vrX��hC��t~wy��mohC}[«(m�tve r�xµmoxbhqsr�}°t~mo�mog�{�r��t.gµr�{|{bmoxb�|³d�e|h ­n�|h � {�wym�x¨t � # mo} }vr�m � t~w$��h'}�t~r��bqoh�«(e|hCx t~ebh hCm��yhCxJªur�q�pbhC}�� �Õ¶´w ® tvebh

qomox|h>r���moÂCh � gµru{·¶� � � ����� � � � # � � � � � � E�UF�fL

e�r>ªyh[g2w � pbq�muq�hC}�}·t~e�rutÄw�xbh�³�d�ebmo}·tvhC��ebx|mo¼¨pbh[hCg�{bqowN��h � mox E�V�pb��gkpbÂCq�p H �9w�}v§�wN«(m±t~ÂE°�N�y�KJKL�Î �©pbw?E°�>�y�y��L�ÎdF©�vm�ÂCÂCq�h�¶ D �b�brPHÀ��q�hC}�t~r�x E°�>�y�y��L�ÎdF©�vm�ÂCÂCq�h�¶ D �b�br H���q�hC}�t~r�xEa���y�n�fL+L�e�ru}z}�hª�hC�~ruq/r � ª�rux¨t~r��yh}C³ (�mo�v}°t>¶|tvebh }�t�ru�bmoq�m�t²�2w ® �Jrum�t(xbwN« �wyx ® wy��g2}.«(m±t~et~ebh ® wy��gµr�qÊ}�t�ru�bmoq�m�t²� � h­�x|m�t~m�wyx½r��C�hC{|tvh � m�x xbwyxbq�moxbhCr���g2h��e�r�xbm��C}³¯d�ebh hCm��yhCxJªur�q pbhC}�w ® tvebh©qom�xbh>r���moÂh � g2r�{ E%(�qowF¼Fp|ht��½pbq�tvmo{bq�mohC��}CL�{b�vwNªFm � h©¼Fpbr�xJt~m�t~rut~m±ªyh�g�h>ru}vpb��hC}w ® t~e|hµ}�t~r��bm�qom�t²��w ® �bm�{`h � r�q[�Jr�m±t>³�(/m�x�r�q�q��y¶�tvw�r�{b{|q��'t~e|h r�x�ruq��F}vm�} tvwÁqowF�Cw�g2w�tvmowyx

û�û ×�� &>ò��%�

Page 55: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

Uy� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

wyxbh wyx|q��!�vhC¼¨pbm��vh}�tvebh §¨mox|hCg2rut~m�� � rut~rÁt~e�rYt��vhC{|�vhC}�hCxJt2r�qoq[t~e|h��vhCq�hªur�xJt � h�y�vhhC}w ®.® �vhh � w�g9³½¾�w9}v{�hC�m�­��2§Fx|wX«(q�h � ��hµw ® tvebhµm�xJt~hC��x�r�q[}�tv�vpb��t~pb��h w ® tvebhµ}°�F}�t~hg m�}xbhCh � h � ³d�e|mo} ® h>rYt~pb��h�r�qo}�w gµru§�hC}©m±t©{�wy}v}�mo�bq�h^t~w�h��ntvhCx � t~e|h�r�x�r�q±�n}�mo}zt~w�t~ebh�}°t~p � ��w ®

eFp|gµr�xÅ�Jr�m±t>³� �}vm�xb�9tvebmo} r�{|{b�vwJru��e wyxbh��>r�x � hª�hCq�wy{D¼¨p�r�xJtvm�t�rYt~m�ª�h2g�h>ru}vpb��hC} ® wy��Cqom�xbmo�Cr�qÊh�ªur�qop�rYt~mow�x�w ® tvebh�eFp|gµr�x½�Jr�m±t EGVzpb�vgkp|ÂCqop H%��r�} � w��Jr�xWE°�N�y�ui\L�Î Vzpb�vg^p. ÂCqopʶ��.r�} � wy�Jr�x H�l¨t~wymor�xbwNªFmo�Cm E°�N����UKL+L�³Ã�h�t�pb}��vhC�Cr�qoq�tve�rutzt~ebh�}�t~�vr�mo��e¨t ® wy��«�r�� � r�{b{|qomo�Crut~m�wyx w ® ��wymoxb�Cr�� � �Ý}�g2h�t~ebw � m�x

wy� � h��t~w�m � hxJt~m ® �µ}�t~r��bqoh�{�hC��mow � mo��w��v�bm±t~}��vh¼¨pbmo��hC}�t~ebh��wyxb}�tv�vpb��t~m�wyx9w ® r � mo}��C��ht~h t~mog�h g2r�{ ® �vwyg 8 � tvw�8 � ³ "´pbh t~w't~ebh xbw�xbqom�xbh>r�� � �Fx�r�g�mo�C}�w ® �bm�{`h � ��wy��w�t~}¶t~ebh��wyxb}�tv�vpb��t~m�wyx¹w ® t~ebm�}kg2r�{¹�>r�x$wyx|q��!�`h�ru��ebmoh�ªyh � �J�¹x¨pbg�hC�vm��>r�q¯moxJt~h�y�~rYt~mow�xmox � p|�Cmox|�$r$e¨pb��hÅ�wyg�{bp|t�rYt~mow�x�r�q´h�»Êw���t>³5d�ebmo} � m��2�pbq�t²�Ï�>r�x ��h'wXª�hC���Cwyg�h ® wy���pbg2{|moxb�'��wy�`wut~}��J�¹qom�xbh>ru�vmoÂCrut~m�wyxDw ® tvebh��CwyxJtvmox¨pbwypb} � �Fx�rug2m��C}�r���wypbx � r'�ym�ª�hCxt~�~rN��hC�tvwy���TE%(��~rux��Cwym�}�H l|rug2}�wyx E°�N���KQ�L+L�r�x � ® wy��}vw�g2h��qsr�}�}�w ® «�r�q�§Fm�xb�©�vw��`w�tv}��J��vh � pb�Cm�xb� tvebh � mog�hCxb}�mowyx�w ® t~ebhzmog2r��yh�w ® t~e|h���wymox|�>r�� � g2r�{�t~e�ruxb§¨}¯t~w�­�xbm±t~h Õt~m�g2h�CwyxJªyh�v�ym�xb� ® hCh � ��r���§¨}zr�{b{|qomoh � wyx�}�wyg2h�}vhqohC��t~h � {br���t�w ® t~ebh©xbw�xbqom�xbh>r�� � �Fx�r�g�mo�}E�F©�vmoÂÂCq�h�¶ D �b��r H5��qoh}�t~r�x E��N�y�y�KL�Î F©�vm�ÂCÂqoh�¶ D �b�brMH%��q�hC}�t~r�x�Ea�����|�fL+L�³

� �À�^��������¹� " #%�&'�(� ���1)*���'����+

d�ebh��CwyxJtv�vwyqy{|�vwy�bq�hCg w ® �bmo{�h � ruq��vw��`w�tv}��>r�x���h � h­bxbh � r�}���ebwFwy}vm�xb�(r�{b�vw�{`h�·moxb{|p|tÅm�x � � �´}vp|��e tve�rut�t~ebh�}°�n}°t~hg ��hCe�r>ªyh}�mox'r � h}vm��vh � ® ru}vebm�wyx·³©d�ebh�§uh��m�}v}�pbhkw ®�CwyxJt~��wyqoq�moxb�2t~ebh�g2wut~mow�x'w ® �bm�{`h � }�}�tvmoqoq/ebmoxb��hC}�wyx t~ebh�}v{�hC�m�­��Crut~m�wyxÅw ® r � h}vmo��h �g2w�tvmowyxʳ�d�ebh�vh�r��vh(x¨pbg�hC��wypb}�«.r>�F}¯tve�rutLwyxbh(�Cr�x2}�{`h�Cm ® ��t~ebh � h}vmo��h � �`he�r>ªnm�wy��w ®r��|mo{�h � ¶b«(ebm���e9m�x m�t~}�hCq ® m�}zr�x wy{`hx9¼¨pbh}�tvmowyx·³Ld�ebh��Cw�x¨tv�vwyq�{|�vwy�bq�hCg*�Cr�x½�`h�Cwyg�hªyhC�°�µ}�mog�{bqohzwy�¯h��Ft~��hCg�hCq����wyg2{|qoh�� � h{`hx � m�xb�kwyxµtvebh�}�{`h�Cm�­bh � � h}vm��vh � ��hCebrNªFm�wy�r�x � t~ebh }°t~�vp|�t~p|�vh½w ® tvebh }��F}�tvhCg½³$dL�F{bm��>r�q��bm�{`h � r�q.g2r���ebm�xbhC}�r���h � hC}�mo�yx|h � t~w{`h� ® wy��g5t�r�}�§¨}Ltve�rutLr���hzx|w�tL�Cwyx|­bxbh � t~w�}vm�g2{bq�h.«.ruqo§¨moxb� r���t~m�wyxb}C³Hlnpb��e�t�r�}�§F}Lg2rN�moxb�qop � h�g2r�xbhp|ªyh�vm�xb�9m�x't~mo��e¨t�}�{�r��hC}C¶�«.ruqo§¨moxb� wy����pbg�{bm�xb��wNªyhC� wy�b}°t�r��qoh}C¶�r�x ��vpbxbx|moxb�b³��²x!tvebmo} r��°t~m��Cqoh�«�h2{bqsr��h�wypb��gµrumox ® wF�Cpb} wyx t�r�}�§F} t~e�rYt^ru�vh�{b�vm�gµru�vmoq±��vhCqorut~h � t~w «.r�q�§¨moxb�b³�d�ebh�vh ® wy�vh�«�h�«(moq�qHxbw�t���h��Cwyxb�hC��xbh � «(m�t~e!r���t~mow�xb}©}vpb��e r�}{`h� ® wy��g2m�xb�kg2r�xbmo{|pbqsrutvmowyx�t�r�}�§¨}z«(m±t~e�t~ebh�pb{|{`h�zq�mogk�|}C³

ùêú�û�ù ó

Page 56: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": U�;

�)"�$ � *�1�1�-�� ��� * ���)-0(�d�ebhkm � h>rµw ® r �|mo{�h � «�r�qo§¨m�xb�2«(m±t~ebwypntL��wym�x¨t�r��tvp�rutvmowyx � pb�vm�xb� �hC��t~r�moxÁ{be�r�}�hC}©w ®qowF�Cwyg�w�t~m�wyx2«�r�}zmoxbm±t~mor�qoq±��{b�vw�{`wy}�h � �9wF��ebwyx9r�x � �9�!�Áruebwyx�E �9wF��ebwyx H �9�!�9r ebwyx�E°�N���y�yr�L5L�³�d�ebh r�p|tvebwy��}(tvhC��g2h � tvebmo}.t²�F{�h «�r�qo§µr�}��°�.ruqoqom�}�tvmo�(¿ r�q�§¨moxb� � ³Hd�ebhmoxb}�{bmo�vrut~m�wyx w ® t~e|mo}�m � h>r�wy�vm��ymoxbrut~h � ® �vwyg hªFm � hCxb�h�m�x�eFp|gµr�x �Jrum�t�}°t~p � m�hC}¶b«(ebmo��e{`wym�xJt~h � wyp|t¯t~wk��hCqsrYt~m�ª�hCq±��qowN« qoh�ªyhCq�}�w ® gkpb}v�qoh´r��tvm�ªFm�t²��mox�t~ebh´}�«(mox|�kqom�gk� � pb�vm�xb�t~ebh�}�«(m�xb��{`h�vmow � E;}�hCh7E@�.r�}�gµrN��msr�x E��N��J�Q�L5L.r�x � E��·r����vpb��eWE��N��J�QKL+L+L�³�d�«¯wµ{|qsr�x�ru�g2w � hCq�}�«�h�vh�pb}�h � X$�fL�rÅtveb�vhh�hCq�hCg�hCxJtµg�w � hCq�«(m�tveºrD}�moxb��qoh qom�xb§¹}�t~r�xb�Ch�r�x �t²«�w�q�moxb§Á}�«(mox|��qoh�b¶��KL�r ® w�pb��hqohg2hx¨t^g2w � hq[«(m±t~eÅt²«�w�q�moxb§'}°t�r�x|�Ch rux � }�«(m�xb�qomog^�b}C³H�²x9h>r���e½�>ru}vh�¶�tvebh r�p|t~e|wy�v}(}vhCr��v��e|h � ® wy��m�xbm�tvmsr�q��Cw�x � m�tvmowyx|}(rut(t~ebh�wyxb}�htzw ®t~ebh�}°«(moxb�^{be�r�}�h�}vpb��e�tve�rut.tvebh�}vp|�b}vh¼Fp|hCxJtzg2w�tvmowyx2}~rutvmo}°­�h � rk}�ht�w ® §Fm�xbhtvmo�´r�x �§Fm�xbhCg2rutvmo�´�wyxb}°t~�~rumoxJt~}³Ld�e|hCx·¶btvebh��m�}vwyqorut~h � t~ebh©m�xbm�tvmsr�q��Cw�x � m�tvmowyx|}�t~e�rYt�}~rutvmo}°­�h �t~ebh�mog�{`wy}�h � �Cwyxb}°t~�vr�moxJt~}³�d�ebh´}�mogkp|qsrutvmowyx��vh}vpbq±t~}L«�h�vh��wyg2{br��vh � t~w�h��n{`h�vm�g2hx. t�r�q�q�� g�h>r�}�pb�vh � §Fx|hCh�r�xb��qohC}´r�x � �y��wypbx � ��h>r���t~m�wyx ® wy���ChC}³�d�ebh�Á�Cwyxb�qop � h � t~ebrutt~ebhmo��wyp|t~�wyg�hC} rux � e¨pbgµrux � rut~r!e�r � t~ebh�}vr�g�hÁ�yhxbhC�vr�q�}�e�r�{�h�³ �²x E �9wF��ebwyxH �9�!�9r�ebwyx�E°�N�y������L+L�tvebh� m�g2{|�vwNªyh � tvebhCm��©g2w � hCq��J�År �|� moxb��tvebh�}�t�ruxb�Ch2§Fx|hChEêt²«¯w½hqohg2hx¨t�}°t�r�x|�Ch�qom�gk��L�³©¿ m±t~e't~ebm�}�g�wy�vhk}�wy{bebm�}�tvmo�>rYt~h � g�w � hCqa¶�t~ebh�r�pnt~ebwy��}r�x�r�q±�nÂh � tvebh^g�w � hCq��vh}v{�wyxb}vh^�¨�9pb}�moxb�µtveb�vhh^wypnt�w ® tvebh�­bª�hk�Jr�m±t � ht~h�vg�mox�rux¨tv}Eal|r�p|x � hC��}C¶P�²xbg2r�x H &���hC�vebr���tIE°�>��U�;�L5L�³d�e|hL{|�vhCg�mo}�hHw ® «�r�qo§¨mox|�.«(m�t~e|wyp|tn��wym�xJtÄr��tvp�rutvmowyx·¶N{|�vwyg�{|t~h � �9�mF©hCh��E �9��F�hhC�

E°�N�y����L+LÊt~w�{b�vw�{`wy}�h¯tvebh ���/r�}�}vm�ª�h¯¿Dr�qo§¨m�xb� � ³ �9��F�hhC� � h�ªyhqowy{�h � x¨pbg�hC��mo�Cr�qFr�}�«¯hCq�qr�}�h��|{�hC��mog�hCxJt�ruqÊg�w � hqo}Lw ® �bm�{`h � }�t~ebrut.e�r>ª�h��Cwyg�{bq�ht~hq�� ® �vhh[��wym�xJt~}C³�Vzh � hg2wyx }�t~�vrut~h � tve�rut�tvebhC}�hL}�mog�{bqohu¶Npbx�r���t~p�rYt~h � �bm�{`h � }��>r�x�r�gk�|pbqsrutvhHwyx � wN«(xJ«.ru� � {|qsr�xbh}wyxbq��2«(m�tve tvebh r��tvmowyx�w ® �y�vrNªFm±t²�y³¾zwN«�¶n��ht~p|�vxbm�xb� tvw�E��fL�¶Jtvebhzt²�F{bm��>r�q�{br�}v}�m�ªyh��CwyxJtv�vwyqP}v��e|hCg�h�m�}L�wyxb�hC�vx|h � «(m±t~e

t~ebh ® ��hCh � �Fx�r�g�mo�C}^w ® t~ebh2}��F}�tvhCg � � � �ym�ª�hCx m�x }vh�t~m�wyx ;|³±� E;m@³Ýhu³9tvebh � �Fx�r�g�mo�}w ® t~ebhµ}��F}�tvhCg }�pb�F��hC��t�t~w �� �L�³'d�ebhCxʶ¯ru}^«�hµe�r>ªyh }vebwN«(x$moxD}vhC��t~m�wyx¹ib³±�y¶�r��wym�xb�>r�� � }�hC�tvmowyx � � �>r�x���h´}�hCqoh�tvh � E;}�hCh Eêi�Q�L+LHt~w^wy�|t�rumox r�xbwyx. Õqomox|h>r��[g2r�{b{bm�xb�mox�t~ebh ® wy��g w ® X

� � ���?� � � � � �� � E�U��KL«(ebhC��h�t~e|h�{�ru�~r�g�htvhC��ªyh�t~w����$t²�F{bm��>r�q�q��µmoxb�qop � h}ztvebh }vqow�{`h�w ® tvebh�«.r�q�§¨moxb��}vpb� ® r��Chu¶yg2hgk��hC�/q�hCxb�ut~eb}¶Jr�x � g�hCgk��hC��«�hmo�yeJtv}C³Hd�ebhx·¶Jt~ebh�pbx � h�vq��Fm�xb��¼¨pbhC}°t~m�wyx��`h �Cwyg�hC}�tvebh©h��nm�}�t~hxb�Ch r�x � }�t�ru�bmoq�m�t²��w ® t~e|h�­|�nh � {`w�moxJt~}.w ® tvebmo}�gµr�{SE��©pbw E°�>�y�y��L5Lr�x � tvebhµ��hC}vhgk�bqor�xb�Chµw ® t~e|h �vh}vpbq±t~mox|�Ág�w�t~m�wyxb}©t~w��|mo{�h � r�q�«�r�qo§¨m�xb�b³½d�ebmo} t�r�}�§

û�û ×�� &>ò��%�

Page 57: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

Uui � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

mo}.�yhxbhC�vr�qoq±��ªyhC�°� � m��2�pbq�t�t~w��vhCr�qom�ÂCh´«(m±t~e tvebh©h��n�Ch{|t~m�wyx w ® ªyh����}�mog�{bqoh�}��F}�tvhCg�}C³(Pw���h��|r�g2{|qoh�¶Lmox$t~e|h9�Cr�}vh9w ® ªFmo�|�vw! Õmog�{�r��tk}��F}�tvhCg�}C¶(r�x�ruq��¨t~m��>r�q.h��n{b�vh}v}vm�wyxb}�t~w}vebwN« h��nm�}�t~hxb�Ch��>r�x9�`h ® wypbx � E5Ealne�r>« H�lFe�r>« E°�N�y����L+L.r�x � E@��r��bm�tv}v§J��E°�>�y�y��L5L+L�³�²x2t~e|h��Cr�}vhzw ® }�qomo��e¨tvq��^g2wy��h(�Cwyg�{bqoh���}��F}°t~hCg�}�}�pb��e h��|{|qomo�m�t[�Cr�qo�pbqsrutvmowyx|}��`h�Cwyg�hmog�{`wy}�}vm��bqohz}vm�xb�Ch©t~e|h ® �vhCh ²g�w�t~m�wyx � �Fx�rug2m��C}(r���h©xbw�qowyx|�yhC�.m�xJt~hC���~r��bq�h�³�d�ebhx9w�xbhe�r�}^tvw��vhq��Åwyx¹x¨pbg�hC�vm��>r�q[t~wFwyq�} tvw � hC��m�ªyhµ�`w�tveDt~e|h���wym�xb�>ru�vh g2r�{b{bm�xb��rux � m�tv}qowF�>r�q`}�t�ru�bmoq�m�t²�RE��©pbw E°�N���y��L+L�³d�e|hkgµrumoxÁhxbhC������q�wy}v}�mox½t~ebh}vh��bm�{`h � }�r���h � pbh�t~wµtvebhk�vh{`h�t~m±t~m�ª�h^m�g2{�ru�t~}zw ®

t~ebh ® hCh�t�«(m±t~e t~ebh��y�vwyp|x � }�pb� ® ru�Ch�³�d�e|h^�y�vrNªFm±t�rutvmowyx�ruqÊ{�w�t~hx¨tvmsr�q�hxbhC�����½{b�vwNªFm � hC}t~ebh©�wyg2{�hCx|}~rutvmowyx ® wy�.tvebmo}�q�wy}v}¶|t~e¨pb}(��hC}vp|q�t~m�xb��mox�}°t~hCr � � r�x � }°t�r��|qoh©qowF�Cw�g2w�tvmowyx® wy�µ�hC��t~r�mox¬}vq�wy{`h}�r�x � �Cwyx|­b�ypb�~rYt~mow�xb}C³ d�ebh��y��wypbx � m�g2{�ru�t~}�E;}�hCh E�V�pb��gkpbÂqopH �9wy}�§�wN«(m�tvÂRE��N�y�KQ�L5L+L�{|�vwNªFm � h2r�pbxbmo¼¨pbh�g�hC��e�r�x|mo}vg t~e�rut�q�h>r � }�tvw9}°t�r��|qoh�{b��w! �y�vh}v}vm�wyxDm�xŪ�hC�°�!}�mog�{bqoh��bm�{`h � }�r�}�ebr�}���hChx �vh�Chx¨tvq�� � hg2wyx|}�t~�vrut~h � �J�Å}vh�ªyhC�vr�qmoxJªyh}�t~m��Jrutvwy�v}³H�²x E�F©wy}�«�r�g�ma¶¨d�e¨pbmoq�w�t9H &�}�{bmsr�pSE°�N�y��Q�L+L[r�x � EGF�w�}�«�r�g2m@¶¨d�eFp|moqowutH &�}v{bmor�p�E°�N����JKL+L¯tvebh�r�p|tvebwy��}z�wyxb}�m � h��r�}�mog�{bqoh�g2w � hCq`t~e�rut(m�xb�Cq�p � h}.t²«�w�ª�ru�vm r��bqohµqohCx|��t~e$g�hCgk��hC��}k«(m�t~e$q�pbg2{�h � g2r�}�}vhC}���hC{b��hC}vhxJt~mox|�Åtvebh pb{b{�hC���`w � � r�x �t~ebhµt²«¯w'qom�gk�b}³Ád�ebhµt²«¯w g2hgk��hC�v}^r��vh2�Cwyx|xbhC��t~h � rut^wyxbh hx � «(m�tve¹r ® �vm��tvmowyx. qohC}�}^ebm�xb�yhu³ D t~e|mo� � qop|g2{�h � gµr�}�}�m�}^rYtvt�ru��ebh � tvw9tvebmo} {`w�moxJt>¶�«(ebmo��e!�vhC{|�vhC}�hCxJt~}t~ebh pb{b{�hC�(��w � ��³�d�ebh��9r�x�r�q±�nÂh©t~ebh xbwyxbq�moxbhCr�� � �Fx�r�g�mo�}(w ® EGUy�KL.}vpb�¨��hC�t�t~w�{b�vh }v�C��mo��h � ªur��vmorut~m�wyxb}km�x$tvebh hCq�hCg�hCxJt~}�w ® �¯³$d�ebh�${b��mog2r��vm�q�� ® wF�Cpb}�wyx$t~ebh h�»Êh�tw ® t~ebh^�y�vwyp|x � }vq�wy{`hu¶Êg2r�}v} � mo}°t~��mo�bp|tvmowyxʶÊr�x � qomog^�9q�hCxb��tveb}C³�¾zpbg�hC�vm��>r�q�r�x�ruq��F}vm�}w ® t~e|h^xbwyx|qomox|h>r��(g2r�{·¶��vhC}�pbq�tv}´m�x9t~e|h � h�t~hC��t~m�wyx�w ® }°t�r��|qoh^q�mog�m�t����F�Cqoh}©r�}z«�hqoq�r�}��e�r�w�tvmo��t~�vrX��hC��t~wy��moh}(tve�rutzr���h©�vhCr���ebh � t~eb��wypb�ye½{�hC�vm�w ��� wypb�bq�moxb���Cr�}v�Cr � h�³

D }�mog�{bqoh�C¶/t²«¯wÅqomox|§Åg�w � hCqL«.r�}��wyxb}vm � hC��h � mox EGF ru�v�Cmor|¶ � e�rut�t~h�ê��hChu¶��(pbm�x�rH � wyq�hCg2r�x�E°�N����JKL+L�³^d�ebh�r�pnt~ebwy��}�r�x�r�q±�FÂCh � r��bmo{�h � tve�rut�e�ru}�tvebh�}~r�g�h�}�tv�vpb� t~pb��h2ru} tvebh�wyxbh��Cwyx|}vm � hC�vh � m�x�EGF�wy}°«.rug2m@¶�d�eFp|moqowut H�&�}v{bmor�p�E��N�y�KQKL+L´�bp|t�«(m±t~e­|�nh � qohxb��tveDqom�gk�b}³½d�e|h }vm�g2{bq�m�­�h � g2w � hCqLhCxbr��bqoh � t~e|h r�p|tvebwy��}�t~w � hª�hCq�wy{$r�xr�{b{b��wN�nm�gµrutvh r�xbr�q��¨t~m��>r�q ® wy�^tvebh g2r�{b{bm�xb� ��³ d�ebh�¹p|}vh � tvebmo}kg2r�{ tvw r�x�r�q±�nÂht~ebh � �Fx�rug2m��C}©w ® t~ebh�g�w�tvmowyx�}�pb�F��h�t t~w ªur��vmorut~m�wyxb}�mox't~ebh�{br��~r�g�htvhC��} E;mox�tvebhCm���>r�}�h�t~e|h�½�Cwyx|}vm � hC�vh � �y��wypbx � }�qowy{�h�r�x � g2r�}�}´�~rYt~mow�}CL�³�d�ebh�Ár�qo}�w � hg2w�xb}�tv�~rutvh �t~e�rut�tvebmo}�}�mog�{bqoh´�bmo{�h � �>rux9{b��w � pb�Ch�}�t~r��bq�h©qowF�Cwyg�w�t~m�wyx ru}(«¯hCq�qÄr�}.ªyh��� �wyg2{|qoh����e�r�w�tvmo�©g�w�t~m�wyxb}.��h>r���ebh � tveb�vwyp|�ye ® �vhC¼¨pbhxb�� � w�pb�bqom�xb���>ru}v�>r � h�³d�e|h�gµr�m�xÁ��e�ruqoqohxb�yh�w ® t~ebh�}°t~p � ��w ® {�ru}v}vm±ªyh��Jrum�t�mo}´tvwµt~�vr�xb}vqorut~h t~ebh�p|x � hC�

}�t�rux � mox|���Jr�mox|h � �J��}�tvp � �Fmox|��{br�}v}�m�ªyh�}°�n}°t~hg2}�t~w�r���t~m±ªyh©}��F}°t~hCg�}C³[d�ebh �9�²d]Ã�hC�Ã�ru��{bqsr�xbr��¯�|mo{�h � }�ru�vh��wyxJt~�vw�qoqoh � t~e|mo}�«�r>� E@���vrutvt Ea���y����L+L ® wy��{�hC��mow � mo�z«.r�q�§¨moxb�b³

ùêú�û�ù ó

Page 58: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": UKU

�²x1wut~ebh�^«�w�� � }�t~e|h � hC}�mo�vh � t~�~rN��hC�tvwy�vm�hC} � � � �kr���h � hC}�mo�yx|h � ® �vwyg t~ebh�}°t~p � � w ®{�r�}v}�m�ª�h «�r�q�§Fm�xb�b³!d�ebmo}�m�}�xbw�t�t~e|h��>r�}�h ® w��^t~ebh Vzwyx � r'�vw��`w�tv}k«(ebhC��h � � � �kr���hwy�|t�rumoxbh � ® �vw�g eFp|gµr�xÁ�vhC�wy� � moxb�y}³��©x|h^w ® tvebh^g2r�mox½wy�b}°t�r��qoh}�t~w2�bpbm�q � �bmo{�h � ruq�vwy��w�t~}���hCg2r�moxb}ktvw!��h�t~ebh½{b��wyebmo�|m�t~m±ªyhq��!ebmo�yeÁ��wym�xJt�tvwy�v¼¨pbh}�tve�rut2r���h½w ® t~hCx1�vh ¼Fp|mo�vh � t~wÁ�vh>ruqomoÂhµh�ªyhCx$��wyp|t~m�xbh2«�r�q�§Fm�xb�9t~r�}v§¨}³ D �Cwyg�{b��hCebhxb}vm±ªyh m�x¨ª�hC}°t~mo�yrut~m�wyxt~e�rutÄ�|�vm � �yhC}�t~e|hL{br�}v}�m�ªyh[}°t~p � m�hC}Ät~w(��htvtvhC� � h}vmo��x�w ® r���t~m�ª�h[�CwyxJt~��wyqJ}v��e|hCg�hC}Ä«�wyp|q ��`h r�x�rutvpb�~r�qÊh��Ft~hxb}vm�wyx9w ® {�ru}v}vm±ªyh qowF�Cwyg�w�tvmowyx2�vhC}�h>r�����e·³

�)" � � * ���H-�(� � - ��� � /�� -�� � � ��( � � � �D }.«¯h ebrNª�h�}vhChx9m�x�}vh�t~m�wyx9�k�bmo{�h � ruqÊqowF�Cw�g2w�tvmowyx � �Fx�r�g�mo�}�mo}�r�eJ�F�b�vm � {b�vwF�Ch}v}t~e�rutzm�xb�Cq�p � hC}z��w�t~e½}vg�wnwut~e9r�x �½� mo}��C�vh�t~h�hªyhxJt � �Fx�r�g�mo�}C³ D {b��wy{�hC�vq±� � h}vmo��xbh ��CwyxJt~��wyq[}��F}�tvhCg �>ruxD��h�h�»Êh�tvm�ªyh2moxÅ�vh�ypbqsrYt~mox|� t~ebh�g2wut~mow�x'w ® tvebh2�|mo{�h �D� pb�vm�xb�}vg�wnw�tve�{be�ru}vhC}©w ® g2w�tvmowyx½t~e�rYt©wn��Cpb�´�`h�t²«�hhCxÅ}vpb��ChC}�}vm±ªyh ® hCht��y�vwyp|x � mog�{�r���t~}C³�©x tvebh�w�tvebhC��e�rux � ¶[mox¹{b�vr��tvmo�h�¶[wyxbh��Cr�xbxbw�t�m�xY��hC��t � m��vhC��t��Cw�x¨tv�vwyq.r��tvmowyx¹m�x¨tvwt~ebhkm�g2{br��t�{b�vwF�Ch}v}¶Ê«(ebmo��e �wyxb}�tvm�tvp|t~h}©rµg2rX��wy�z{�r���t�w ® t~ebh � mo}��C�vh�t~h � �nxbr�g2m��C}³d�ebmo}�qomog�m�t~rut~m�wyx g2r�§�h}´t~e|h^�Cw�x¨tv�vwyq�w ® �bm�{`h � r�q��vwy��w�tv}´rµ��ebr�qoq�hCxb�ym�xb�2r�x � pbx|mo¼¨pbh{b�vwF�Ch}v}C³

�������! " Ì�# ¢N£ Ì ,%, Ç £�Í Ç ¡ $�� #d�ebh��wyxJt~�vw�qnru�t~m�wyx^g^pb}�t/r�}v}�pb�vhLt~e�rYt�tvebh�g�w�t~m�wyx�w ® rzgkpbq�tvm Õqomox|§z§¨m�xbhCg2rut~m��[��e�r�moxʶ«(ebmo��eº�Cr�xº��e�ru�~r���t~hC��moÂh�rÅt²�F{bm��>r�qz�bm�{`h � ¶.mo}�t~ebrut w ® rÅ«�r�qo§uhC�C³ D q±t~ebwyp|�ye·¶¯tvebh��e�r��~ru�t~h�vm�}�t~m��C}[w ® t~ebhzg2wut~mow�x�w ® r©«.r�q�§�h�¯m�}L}°t~m�qoqbwy{�hCx�t~w moxJt~h�v{b��ht~rut~m�wyx·¶J«�hzg2rN�t~�~ruxb}vqorut~hktvebmo}��vh¼¨pbmo��hCg�hCxJt�tvw½r½}�ht�w ® t~r��v�yh�t�Buw��F��hC��t~m�ª�h ® p|xb�tvmowyxb}��ym±ªyhx!m�x tvebh® wy�vg X

� � �3� � � �� !� � � �� �� �� �� 3A� � � � �� ������� � � � E�Ub;�L«(ebhC��h��Ïmo}�rzª�hC�tvwy�Hw ® {�r��~rug2h�t~hC��}�tve�rut/{b�vh}v�C��mo��hC}��ChC�°t�r�m�xkr�}�{`h�tv}Hw ® tvebh¯«�r�qo§¨m�xb�r��tvmowyx�}�pb��e�r�}({b��wy�y��hC}v}�mowyx }�{`hh � ¶P}�tvhC{9qohCx|��t~e·¶|ht~�u³¾zw�t~h�t~ebrut ® wy�©tvebhµ}vr�§�h w ® }vm�g2{|qomo�m�t²�Áw ® t~e|hµxbw�t~rut~m�wyxb} ��«(moq�q � hCxbwut~hµm�xÅtvebh

}vhC¼¨pbhq�t~ebh ª�hC�tvwy��w ® �yhCxbh�~r�q�moÂh � �CwFwy� � mox�rutvhC}�w ® tvebh g2w � hCq¯�Cwyx|}vm � hC�vh � �J� tvebh�vh ® h�vhxb�Ch � r�p|tvebwy�v}¶Pma³ h�³�hm�tvebhC�(w ® t~ebh ® pbqoq�w�� � h�zg�w � hCq@¶�wy�(w ® tvebh���h � p|�Ch � wy� � h�g2w � hCq(«(ebhx ru}v}vp|g2m�xb�Dt~ebrut t~e|h'�y�vwyp|x � �Cw�x¨t~r��tv}C¶z«(ebhCx r���t~m�ª�h�¶�r��vhÁ�bmoqorut~h�~r�q�CwyxJt�ru�t~}³

û�û ×�� &>ò��%�

Page 59: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

U�Q � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

�²xJª�hC}�tvmo�JrYt~wy��}�m�x tvebh�­�hCq �!� h�ªyhqowy{�h � r ªur���moht²��w ® �wyxJt~��wyq[g2h�t~ebw � }C¶Ä�vr�xb�ym�xb�® �vwyg }vm�g2{bq�h´q�moxbhCr����wyxJt~�vw�qoqoh�v}Lt~w�}vwy{|ebmo}°t~mo�Crut~h � xbwyxbq�moxbhCr���}���ebhCg�hC}(}�pb��eÁru}.ª�ru�vm r��bqoh©}°t~��pb�tvpb�vh��Cw�x¨tv�vwyqÄrux � x|hCpb�vr�q�xbht²«¯wy��§��CwyxJt~��wyqa³d�e|h^�Cw�x¨tv�vwyqÄ{b��wy�bq�hCg*�Cr�xÁ��h � hC}v��vm��`h � r�}z}v{�hC�m ® �Fmoxb��t~e|h�ªyh�tvwy��w ® ��wymoxJtzr��

t~p�rutvwy�©t~wy��¼¨pbhC})¹mox E°�fL©}vpb��e!t~e�rut t~e|h2}°�n}°t~hg ��hCe�r>ª�hC}km�x r �ChC�°t�r�m�x!«�r>�y³ d�ebh}vmog�{bq�hC}�t�«.r>�!t~w'{b��wn�hCh � m�}^t~w'}�{`h�Cm ® �!tvebhµt~m�g2h2{b�vwu­�qoh}kw ® t~ebh���wymoxJt^tv�~rX��h�tvw! �vmoh}C³��²x¨ª�hC}°t~mo�yrut~wy��}�mox�t~e|hk­�hCq � p|}vh � §¨moxbhgµrYt~mo�}�w ® e¨pbg2r�x �Jr�m�t�r�} � h}vmo��h � {b��w! ­�qoh} E;}vhh EGV�hgµrug2m H (Pr���xb}�«¯wy��tve�E��N��JKJ�L�Î �©ebwb¶ �Lpb��§�wNªFmo��e�H VzhCg2r�g2m_E°�N����JKL�ÎN[pb§�wy�|�~rutvwXªFm���¶[��wy��wNª�ru��¶Llnpb��qsrRH lFtvwy§¨mo� E��N�y�y�KL+L+L�³'��xbh �Cr�x$r�q�}vw�}�mog�{bq�� }�{`h� m ® �9�ChC�°t�r�m�xÅr�}v{�hC��t~}�w ® qowF�Cwyg�w�t~m�wyxÁ}�pb��e!r�}©«.r�q�§¨moxb��}�{`hh � ¶Ä}�tvhC{Åqohxb��t~eʶ�pb{b�vm��yeJtt~wy��}vwb¶Phtv��³ E � e¨p � moxbwNªWE°�N���y��L�Î�ÃÄr>ªF�vwNªF}v§¨mom_E°�N��Ju��L�Î�ÃÄr>ªn��wNªn}�§¨mom9E°�N�y����L�Î � e¨p � m�xbwNªE°�N�y�ui\L�Î��¯hCqoh�t~}�§Fm�m(E°�>��JKUKL�Î���hCq�htv}v§¨mom�H �©mo��}~r�xbwNªur E°�>��J�Q�L�Î���hCq�htv}v§¨mom H � e¨p � m�xbwNªE°�N��J�Ju��L�ÎF��hqoh�t~}v§¨m�m�H � e¨p � mox|wXª�E��N�y�y��L�ÎF��hCq�ht~}�§¨moma¶¨�¯hC�v�J�Fpb§ H l|rug2}�wyxbwNª E°�N���J�KL�ÎF���mo}ve|mox H(Pw��vg2r�q�� }v§J� E��N�y�y��L�ÎʾzwNªywyÂebmoq�wXª�E��N�y��i�L�ÎxV�pb��gkpbÂCq�p�E��N�y�K;�L�Î � e�r�xb�THV�pb��gkpbÂCq�pTE��N�y��i\L�Î �¯r�x|�PE°�>�y��i\L5L�³��²x?E@��hqoh�t~}v§¨m�m[H � e¨p � moxbwNª�E°�N�y����L+L�¶Ytvebh.r�pnt~ebwy��}pb}vh©t~e|h©�Cwyg�{`w�xbhCxJt~}�w ® tvebh��y�vw�pbx � �vhCr��tvmowyx ® wy���Ch}�mox r �b� m�t~m�wyxµtvw�§¨m�xbhCg2rut~m��C}.m�xwy� � h�.t~w��Cwyg�{bq�ht~hq��2}v{�hC�m ® � tvebh��CwyxJt~��wyq·t~w��v¼¨pbhC}³��xb�h't~ebh wy�F��h�tvm�ªyh ® pbxb��t~m�wyxb} r���h'}v{�hC�Cm±­�h � ¶�wyxbh e�r�}�tvw1��e|wnwy}�hÅr1�wyxJt~�vw�q

}v��ebhg2h�mox½wy� � h��t~wµ}�{`h�Cm ® ��t~ebh.��wymoxJt(g�wyg�hCxJt~}IE;�wyxJt~�vw�q·t~wy��¼Fp|hC}CL�t~e�rYt � �vm�ª�h tvebh}��F}�tvhCg t~wN«�r�� � t~ebh � hC}�mo��h � ��hCebrNªFm�wy�C³[¿Dh hCx|�CwypbxJtvhC�´}�hª�hC�~ruq/r�{|{b�vwJru��ebhC}(t~w�t~ebm�}{b�vwy�|qohCg t~e�rYt(�>r�x½�`h�hxFp|g2h�~rutvh � r�} ® wyqoq�wX«(} X�y³�#��3�+��! �C��� �G!"���d�ebh´h¼¨p�rut~m�wyxb}¯w ® g�w�t~m�wyx�r��vh�qomox|h>r���moÂCh � r��`w�p|t¯tvebh�ª�hC�°t~mo�Cr�q�}�t�ruxb�Chu¶br�}�}vpbg moxb��tve�rutzt~ebh {`w�}�t~p|�vh^w ® t~e|h��bm�{`h �Á� wFhC}zxbw�t�h��n�hC}v}�m�ª�hCq�� � h�ªnmorut~h ® �vw�g t~ebm�}{`w�}vm�tvmowyxʳ (Pw��©h��|r�g�{bqohu¶�m�x E��yr�q�mo�C}¶ V�hgµr�g�m�H � q±�Fg2h�7E��N�y��J�L�Î ��rX��m�t~r Hd/ruxbm E��N�y�KQKL�Î � rN��m�t�rn¶.�¯r�g2r�pb�vrIH ��w���r>�Jr�}�ebm�E°�>�y�J�KL�ÎdF©�vm�}vebm�x·¶ (Pw��vg2r�q�� }v§J�y¶Ã�hCxb}�§¨�PH �Êebm±t~wyg�mo��}v§J�7E°�N����i\L�Î �Êe|hCxb� H V�hgµr�g�m E��N�y��i�L�Î�VzhCg2r�g2m@¶ �Êebhxb�H V�mox|hC}CÎ�F©wyq�qom � rN� H VzhCg2r�g2m3E°�>��JKJKL�ÎKV�hgµrug2m[H (Pr���xb}�«¯wy�°t~e E°�>��JKJKL�Î\F�p �bmoxbr|¶dVzhCg2r�g2m H �9��F�ebhh�E��N��Jui�L+L�r�� "��wyxJt~�vw�qoqoh�.mox�tvebh ® wy�vg X ��� : �3� > � ������� � � !� > !� � � E�UYi\L«(m�tve�� : rux � � �zr���h´{�wy}vm±t~m±ªyh � h­�xbm±t~h��Jr�mox2gµrYt~�vm��Ch}L«¯hC��h � h­�x|h � t~w�t~�~ru��§��wymoxJt�t~�vrX��hC��t~wy��mohC}³/d�ebh�q�moxbhCr����CwyxJt~��wyqoq�hC�¶uebwN«¯hª�hC�C¶F�>ruxbxbw�t�t~�~ru��§�t~m�g2h ® pbxb� t~m�wyxb}C³/d�eFp|}C¶|tvebh©r�p|tvebwy��} � mo}��C��ht~m�ÂCh � t~ebh � hC}vm��vh � ��wymoxJt¯{b�vw�­bqohC}.r�x � qoh�t¯tvebh�CwyxJtv�vwyq�qohC�¯t~�~ru��§µt~ebh©tv�~rX��h�t~w�����m�x9r�{�wymoxJt Õt~w ²{�wymoxJt ® ru}vebm�wyx·³

ùêú�û�ù ó

Page 60: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

������������ ����������������������������� ��!"���#�%$'&(*) �+�-,(��������. /102���3��!+���343!5��67��89��!": UKJ

�n³ ����6 ) �[�{�+�M�{��! � �����C��� ��!"���¿ ebhCx � hªyhqowy{|moxb�^r^�Cwyg�{bp|tvh � tvwy�v¼¨pbh�r�qo�yw��vm�tvebg½¶�«�h � h­�x|h©r�x h�v�vw�� ® pbxb� t~m�wyx r�}C¶

�� �3�� !� ��4� � � � �� � � � !� � � � � � � �3�4���� ��#�3�� !�4��= � E�U�UKL

«(ebhC��h � � � � � ����� � � � ¶ � � ¶ � � r�x � � � r���h � � �'gµrutv�vm��ChC}´�CwyxJt�rumoxbm�xb�t~ebh � h}vm��yx {�r��~rug2h�t~hC��}�t~e�rYt «(m�qoq��`h�h��|{|qsr�m�xbh � �`hqowN«�³�� ® � �[m�}�rWE ªnm���tvp�r�q�Lebwyq�wyxbwyg�mo�9�Cwyxb}°t~�vr�moxJt>¶zt~ebhx � ��!�vwN« w ® � � mo}�}�ht½t~w � �a¶´«(ebh�vh>ru}9m ® tvebh�Cwyx|}�t~�vr�moxJtÄm�}�EêªFmo�°t~p�ruq�L`xbw�x. ²ebw�qowyxbw�g2m���¶tvebhCx�t~e|h � �� ��wX«!w ® � � mo}�}vh�tÄt~wz�(r�x �t~ebh � �� �vwN« w ® � � m�}z}�htzt~w � ��«(ebhC��h � � � � �� � ������� � ¨¶ � � � � 5 �� ������ � ¶nh�t~�u³Ld�e|h�gµrYt~�vm��Ch} � � r�x � � � r��vh � msru�ywyx�r�q�r�x � �CwyxJt~r�mox {br��~r�g�htvhC��}¯t~ebrut�>r�xD�`h ��e|wy}vhx1}�pb��e¹t~e�rYt^t~e|h }vwyq�p|t~m�wyxD}�ht�w ® �� m�}kr�}°�ng�{|tvw�t~m��>r�q�q��'}°t�r��bq�hr���wyp|t�t~e|h w��vmo��mox Eêma³ h�³ � �A@ �r�} D@ � L�³� wygk�bm�xbmox|�?E°�fL�r�x � EGUKUKL¯�Fmohq � }����vhqsrutvmowyx|}vebm�{b}.mox�tvebh ® wyqoq�wX«(m�xb� ® w��vg X� �3�4� � �3�4� � � � � � �3�4� �.����� � � � >�� ��� !�������2�2�3�4� �� ���&� �3�� !� � � � � ��� !��� �

E�UbQ�Ld�e¨pb}C¶Fr�xJ�k�wyxJt~��wyq|ªyh�tvwy� �tve�rut�}vrut~m�}�­�h} E�U�Q�L�mo}�r�}�}vpb��h � t~w ® wy���Ch�}°t�rutvh.t~�~r ��hC��t~wy��mohC}�w ® tvebh©}��F}°t~hCg*tvw��CwyxJªyh�v�yh�t~wktvebh � hC}�mo��h � wyxbhu³Ld�e|mo}�g�ht~e|w � «�r�}r�{b{bq�moh � E�V�hgµr�g�m�H ��rutv��r���E°�N�y�y�KL�ÎuÃ�hCh�HºÃ�msr�w E°�>�y�y��L�ÎKV�p|�vgkpbÂqop7E°�N���K;�L�Î�¯r�xb� E��N�y��i�L�Îv�yr�q�mo�C}¶ VzhCg2r�g2mvH � q��Fg�hC��E°�N�y�KJKL+L�t~w��|mo{�h � r�qLqowF�Cw�g2w�tvmowyxg2w � hqo}�«(m±t~e�ªur��vm�wypb}�qoh�ªyhq�w ® �wyg�{bqoh��|m±t~m�hC}C³d�ebh��Cwyg�{bp|tvh � tvwy�v¼¨pbh�g�ht~e|w � {b�vwNªFm � hC}�r�x!h%���CmohxJt�r�x�ruq��F}vm�}�tvwnw�qHw ® tvebh}��F}�tvhCg �vh}v{�wyxb}vh�}vpb�¨��hC�t´t~w2tvebh wy�F��hC��t~m±ªyh ® pbx|�t~m�wyxb}³ �Lht>¶�m�tv}(pb}vh�mo}z{b�~r�� t~m��>r�q�q���qom�g2m±t~h � ��hC�>rupb}vh�m�t¯«�w��v§¨}(wyxbq���«(ebhx½«¯h�e�r>ªyh�{`h� ® h�t(§¨xbwN«(qoh � �yh©w ®t~ebh�}°�n}°t~hg {�r��~rug2h�t~hC��}C³

;|³ � ��!������� �'.��G! � ��� ��!"���C��� �G!"���D xbwyxbq�moxbhCr��.�wyxJt~�vw�q�g2h�t~ebw � t~e�rut(��hC}�wyq�ª�hC}(t~ebm�}�{b�vwy�|qohCg mo}.ªur���msr��bq�h�}�tv�vpb� t~pb��hk�Cw�x¨tv�vwyq E@�.r�m�qoh���H D �vr�{`w�}�t�rYt~ebm�}PE°�>�y��JKL�Î�lnqow�tvmoxbhIH Ã�m(E��N�y�|�mL+L�³�d�ebm�}g2h�t~ebw � �vh}vpbq±t~}�mox1r ® hCh � ��r���§¹qor>« t~ebrut�hCxb}�pb�vh}�tv�~r���§¨m�xb� � hC}�{bm�tvh½p|xb�Ch� t�r�m�xJt~moh}�m�x�}��F}�tvhCg*{�ru�~r�g�htvhC�v}³��²x�t~ebm�}�r�{b{b��wJr���e·¶|wyxbh©��ebwFwy}vh}�t~ebh©�wyxJt~�vw�qªyh�t~w���ru}�X �� ����� > � � � ��� � ��� � E�U�JKL

û�û ×�� &>ò��%�

Page 61: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

U�� � �� ���!��6����[!�6��������\��43!+���A:T0��3���O��& ��!�����!5�-& !C�+ ������{�

«(ebhC��h ���¨m�}·t~ebh¯lnq�w�t~m�xbh ²Ã�mu�wyxJt~�vw�qoqoh�Ê«(m�tve©­|�nh � hC}�tvmog2rut~h � {�r��~rug2h�t~hC��}C³�d�ebh}vh�Cwyx � tvhC��g9¶Hm�} tvebhµªur���msr��bq�h�}�t~��pb�tvpb�vhµ{�r���t^w ® t~e|hµ�Cw�x¨tv�vwyq¯moxb{|p|t>¶�«(ebmo��emoxb}�pb�vh}��vwy�|pb}�t(t~�vr���§¨moxb� � h}v{bm±t~h�pbxb�hC�°t�r�m�x¨tvmoh}�mox }��F}�tvhCg {�ru�~r�g�htvhC�v}³�d�ebh® pbxb��t~mow�x � � h­�xbh}.t~ebh´}vqom � mox|�^}vp|� ® r��h�t~e�rut��vh{b�vh}vhCxJtv}(tvebh � h}vm��vh � g�w�t~m�wyx·³d�ebmo}�mo}µr!ebm��yeÏ�yr�mox¬r�{b{b��wJr���eÏtve�rutµmo}2r � ªur�xJt�r���hCwypb}2�`h�>r�p|}vh�m±tµhxb}vpb��hC}�CwyxJª�hC�v��hCxb�h�m�x ­�xbm�tvh´t~m�g2h Eꫯh�«(moq�qÊ�Cw�g2h��br���§µqorut~h�.wyx t~e|h�r � ªur�xJt�r���hC}�w ®pb}vm�xb�2­bxbm�tvh Õtvmog�h��CwyxJªyh�v�yhxJt©�CwyxJtv�vwyq�qohC��}CL�³z�²xÁqowF�Cwyg�w�t~m�wyx·¶|tvebh^}°t�r��|moqom±t²��w ®t~ebh�wNª�hC�~ruqoqbg�w�t~m�wyxk��hCqom�hC}�wyx�tvebh(h»`hC�tvm�ª�hCxbh}v}Lw ® tvebh��Cw�x¨tv�vwyq�qoh�Hmox�hCq�mog�mox�rYt� moxb��tvebh(hC���vwy��}�mox � p|�Ch � �J��mog�{�r���t � pb��moxb�©tvebh�}vpb�|}vhC¼¨pbhxJt�}�tvhC{·³Hd�e|hz��h>r � hC��>r�x'��e|hC��§ E � e�r�xb�?H V�pb��gkpbÂqop�E°�>�y��i\L5L(t~wµ}vhChktvebh�r�{b{|qomo�Crut~m�wyx½w ® }vpb��eÅr�CwyxJtv�vwyq�qohC�¯t~w�rk­bªyh ²hCq�hCg�hCxJtz{bqsrux�r���g�w � hqa³

ib³ � )��G�6 �����C��� �G!"�����{|t~m�gµr�qÊ�CwyxJt~��wyq�g2h�t~ebw � }ze�r>ªyhk��hChx�pb}vh � �J�9��hC}�h>r�����ebhC��}�t~wµ��hC�yp|qsrutvh�tvebh}vg�wnwut~e � �Fx�r�g�mo� {be�r�}�h^w ® �|mo{�h � r�q�q�wn�wyg�w�t~m�wyx�}��F}�tvhCg�}C³�d�«¯w�r�{b{|�vwJr���e|hC}e�r>ªyh���hChx t�r�§uhCx tvw^t~ebh´wy{|t~m�g2m�Â>rutvmowyx�{|�vwy�bq�hCg½³Hd�ebh´­b�v}�t.g2h�t~ebw � m�}���r�}�h �wyx^�wyg�{bp|t~m�xb��tvebh¯ªur�q�pbhC}�w ® }vhqoh�t~h � {�r��vr�g2h�t~h�v}/m�x�tvebh�wy�¨��hC�tvm�ª�h ® pbxb��t~mow�xb}t~e�rYt´g�moxbm�g2m�ÂCh�hxbhC�����9��r�}vh � �Cwy}°t ® pbx|�t~m�wyxb}IE%(��~ruxb§�E°�N��Ju��L�Î N[pb§uwy�b�~rYt~wNªFmo�E°�N�KJ�Q�L�Î/��hCq�htv}v§¨mom�H � e¨p � m�xbwNª E°�N��J�J�r�L�Î/��hCq�htv}v§¨mom@¶��¯hC�v�J�Fpb§�H¸l|r�g�}vwyx|wXªE°�N���J�KL�Î/�zpnt~§�wNªF}v§¨m�m E°�>�y��UKL�Î � e�r�xbx|wyx·¶ Vzwy{b§¨mox|} H ��e�r�g E°�>�y�J�u��L5L�³�d�ebm�}r�{b{b��wJr���e¬�>r�xbx|w�t��`h½��e�r��vr��tvhC�vm�ÂCh � r�}�wy{|tvmog2r�q.�Cw�x¨tv�vwyq(ru�C�Cw�� � m�xb�ÅtvwÅtvebh«(m � hq��Dr��C�hC{|tvh � t~hC��g2m�xbwyq�wy���y³Åd�ebh }vh�Cwyx � r�{|{b�vwJru��e¬m�}���r�}vh � w�x$ªur���msr t~m�wyx�r�qng2h�t~ebw � }Ht~w wy�|t~r�mox��wyxJt~��wyqoq�hC�v}Htve�rut[g�moxbm�g2m�ÂChL�Cwy}°t ® pbxb�tvmowyx|} E;��hCq�ht }v§¨mom�H]��wyqowut~mox E��N�y�K;KL�ÎF��wyq�w�t~m�x E°�N�y�ui\L�Î (�pb�vp|}vebw H l|r�x|w�E��N�y�y��L�Î � e�r�xbxbw�x·¶V�wy{|§Fm�xb} HS��e�rug E��N�y�KQyrKL�Î � ebr�xbxbwyxʶ�V�wy{|§Fm�xb} H ��e�r�g E��N�y�KQ�� L+L�³��ÕtHm�}�tvebh� mo��hC��t^ru{b{bqom��>rutvmowyxÁw ® �qsr�}�}vmo�Cr�q�wy{|tvmog2r�q/�wyxJt~��wyq[g2h�t~ebw � }©t~w½�bmo{�h � r�q�qowF�Cw! g2wut~mow�x·¶y}vhhPE � e�r�xbxbw�x·¶AVzwy{b§¨mox|}�H ��e�rug E°�N�y��Q��mL5L ® wy��t~ebhzg2w�}�t¯r � ªur�xb�h �«�w��v§ moxÅt~ebm�}�t~w�{bmo�u³ VzhC��hµt~ebhµr�p|tvebwy�v}��vh�ypbqsrYt~h�t~ebh2g2w�tvmowyxÅw ® tvebhµ�|mo{�h �wNªyhC�zr�}vpb{|{`wy�°t({be�r�}�h «(m±t~e½r��Cwy}°t ® pbxb�tvmowyx w ® t~e|h ® w�qoqowN«(m�xb� ® wy��g X

� � ������ ���� � ����������������� �����! � �#"%$'& �)(*� +��-, + �.�0/ � �01 � �),*20�.�0/ �3�54�687:9;=<*>@?A> ��BDCFE <*>HGI>@J E3K ?=LM>@NDO K8PQE <*>H?3>RO*S*J@>RO K ?AO*>@?=O�TVUMW8X B J C J K ?3?3> C3Y�K U*O B U*ZE[K W\X K8E[B]K U^; BDE <`_ B NaW E >@?3WINbZI? K S*U�OcJ K U E WIJ Eed6 dgfgh:ikj�l.monIprqts0uMl.v[s0wx�y{z|x�}

Page 62: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� 6�� <*>gWIOMW Y�E3B GI>%J K U E ? K N W Y*Y ? K WIJt< <MW C ?3>RJ@> B G'>RO G'>R?AT N B E3E N]>FW E3E >RU E[B]K U B U _ B]Y >@OJ K U E ? K N d"! >R?3<MW Y*C B E B]C O K > C U K8E <*W GI>g?A>eWIN W8O�G8WIU E WIZ'> B U�J K U E ? K N]N B U*Z _ B]Y >@OMW8NN K J K X KIE3B]K U d$# >RGI>@? E <*>@ND> CAC&%(' WIU�Z 4 ' WIU*Z 4*)+����, 939 <*W C W Y*Y N B >@O WIO*W Y�E[B G'>=J K U(-E ? K N W Y�Y ? K W8Jt< E3K W E <*?A>@> N B U/. %�Y N]WIUMWI? ? K _ KIEed�0#EFB]C J@ND>eWI? E <MW E WIU:T`WIOMW Y�E[B GI>E >RJt<*U B21 S*> E <MW E B]C C S B E WI_�N]> P�K ? ? K _ KIE[B JgX WIU BDY S*NaW E[K ? C JeWIU^_�> W Y*Y N B >@O E[K E <*>J K U E ? K N KIPMC X KVKIE < O�TVUMWIX B J CQY <MW C > KIP _ BDY >ROMWIN N K J K X KIE3B]K U C T CAE >RX CRd�354�Y >R?*-B X >@U E[C <MWeG'> _�>@>@U`ND>@O W E E <*>76 0 à >@Z à WI_ 4 ! ?3W E3E 498�:;:�::939 S C3B U*Z�WIOMW Y�E[B GI>J K U E ? K N d

< d=�/>�ikj�mou�� hIm2� qkv[pkl prpknIpkuMlFh�0u�i��\m�q?� <*> WI_*?3S Y�E U*W E S*?A> K8P�B X Y WIJ E X [email protected]> CgBDE=Y ?3WIJ E3B J@WIN]N T B X Y�K'C3CAB _*ND> E[K O B ?A>@J E NDTJ K U E ? K N BDE3C >�A�>RJ EHK U E <*> C T CAE >@X C E W E > dCB ? K X W E <*> K ?A> E3B JeW8N Y�K'B U EgKIP G B >k; %J K U E ? K NDN B U�Z E <*> C T C E >RX O�S*? B U*Z B X Y WIJ E3C ; K S*N]O ?3> 1 S B ?3> E <*>=S C > KIPbB X Y S*N CAB GI>B U Y S E[C � d < BDC BDC JRN]>@WI?3N T\U KIE Y�K'C3CAB _*ND>%_ KIE < P�K ? X W E <*>RX W E[B J@WIN*W8U*O Y ?3W E[B JeWIN?3>@W C3K U C@dD0 U*O*>@>RO E <�> ; >@>RNE- YbK'C >@O*U�> C3CgKIPQC T CAE >@X C W C 4*) 9 - 4F, 9 ; BDE < � W�G B ?3WIJX >@W C S�?3> B]C WIU K'Y >@U B]CAC S*> dHB S E <*>@?AX K ?A>�>RG'>RU WIU W Y*Y ? KI4�B X W E[BDK U KIP G B ?3WIJ; K S*N]O)O*>@X WIU*O5W8J E S*W E[K ? C ; B E < E3K�K < B ZI< _MWIU�O�; B O E < 4 E3K C WeT U KIE < B U�Z KIPB U*O�S*J@>RO G B _�?[W E3B]K U C B U E <*> X >RJt<MWIU B JeWIN C E ?AS*J E S*?3> 9 dKJ U WIN E >R?3UMW E > W Y*Y ? K WIJt<JeWIU _b> P�K S*U*O B U C <MW Y�B U*Z E <*> C T C E >RX CAE W E > Y ? BDK ? E3K E <*> B X Y WIJ EQB U CAE W8U E�C S*Jt<E <MW E W�O�> C3B ?3>RO K S E J K X > BDC W C3C S*?3>RO dL S*Jt< WIU W Y*Y ? K WIJt<�; W C E [email protected]>@U B U 4M S*?AXrS  N]S 4*)I�;�;N:9PO$Q <MWIU*ZSR M S*?AXrS  N]S4*)+����, 939 dT0 U E <�> C > C E S*O B > CU% W C > E`K8P K _�VA>@J E[B G'> P S*U*J E[BDK U C^B U E <*> P�K ?3X KIP4�6�N'9 ; W CrE W B N K ?A>@O dWJgC3C S*X B U*Z Y >@? P >@J E\E ?[WIJ?. B U*Z %�E <�>`WIS E < K ? C O�>@? B G'>RO E <*>> 4�Y ?A> C3CAB]K U P�K ? E <*> C T CAE >@X CAE W E > B X X >@O B W E >@NDT _�> P�K ?A> E <*> B U CAE WIU E KIP�B X Y WIJ EB U E >@?3X C KIP�E <�> Y WI?[WIX > E >@? GI>@J E[K ?YX d L S�_ C > 1 S�>@U E N T %ME <*> Y�K'CAE=B X Y WIJ E CAE W E >;FW C J K X Y S E >@O P�K ? CAY >RJ B LMJ G8WINDS*> CgKIP�E <�> Y WI?3WIX > E >R?%GI>@J E[K ? d <*> Y WI?[W8X >P-E >R? C3Y WIJR>H;FW C%Y WI? E[B E[B]K U*>@O B U E[K ?3>RZ B]K U C WIJ@J K ?3O B U*Z E[K�C N B]Y�Y WIZ'>HW8U*O`J K U E W8J EJ K U�O BDE3B]K U C E <MW E ?3> C S*N EFP ? K X E <�> P�K�KIE B X Y WIJ Eed <*>RU %*E < B]CFY W8? E[B E[BDK U B U�Z ; W CS C >RO E3K C3Y >@J B P T\J K U E ? K NDN]>R? Y WI?3WIX > E >R? C C S�Jt< E <*W E E <*>=?A> C S�N E[B U*ZHZ:W B E Y W EAE >R?3U<MW C K U*N T C3B U�Z'N]> C S Y*YbK ? E Y <MW C > WIU*O E <*> P >@> E ; K S*NDO U KIE C N B]Y W C W ?3> C S*N EKIP E <*> P >@> E B X Y WIJ E@d GgS*U*U W8U*O M K ; > 4 G S*U�UZR M K ; > 4*)+�;�@, 939 O*>kG'>RN K'Y >@OJ K U�O BDE3B]K U C B U E >@?AX C%KIP X K8E[B]K UcW8U*O C E ?AS*J E S*?[WIN Y W8?[WIX > E >@? C=C S*Jt< E <*W E=E <*>kTX B U B X B  >+[8>RN B X B UMW E > E <*>\G'>RN K J BDE THVAS�X Y*C O*S�> E3K Z'? K S*U*O B X Y WIJ E WIU*O N B X _C ; B E Jt< B U*Z d < S C&% B U E <*> B ? J@W C > %�E <*> K _�VA>RJ E[B G'> KIPFE <�> C <*W Y*B U�Zc; W C E3K ?3>P-X K GI> E <*>H>�A�>RJ E K8P{E <*> B X Y W8J E W8N E[K Z'> E <*>@? d 6 B S�?[WrWIU�O L < B X K T:WIX W 4 6 B S*?3W

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 63: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

< : � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl sR L < B X K T:W8X W 4*)+�'7@, 939 S C >@O W P >R>@O P�K ? ;FW8?3O B U Y S E E <MW E X K O B LM> C E <*> X K -E[BDK U W E E <*>%>@U*O KIP >@WIJt< C E > Y P ? K X X >eW C S*?A>@X >@U E[C B U P�K ?3X W E[BDK U C@d�� S K 4 � S K4*)+���;�:939 Y ? KIYbK'C >@O E[KHC E WI_ B N B� >FW8U S�U CAE WI_*N]> 4 ;=<*>@U S*U*J K U E ? K N]ND>@O 9 N B X BDE JRTVJRN]>J@?A>eW E >@O B U^W Y W CAC3B GI> ;FWeT K U`W N G�_ BDY >RO 4 WrJ K X Y W C3C ; BDE <^W NaW E >@?3WINbO�>@Z'?A>@>KIP P ?3>R>@O K X E <MW E W8N]N K ; C ? K J?. B U*Z C3B O�> E3K C3B O*> 9 _:T�X K O B P T B U*Z E <*>�N]>RZ CHY N]W TO*S*? B U*Z E <*> CAE > Y*C@d

� d=� l#i��@mow mol iIu�h jMpkv m�s@hIm�q � s0l-m�s0u`�L E W8_ B N BDE T K8P E <*> K G'>@?3WIN]N%Z:W B E B]C KIPoE >RU K G'>R?3N KVK .8>@O B U N K J K X KIE3B]K U C E S*O B > CRd T Y*B JeWINDNDT % J K U E ? K NDN]>R? C <MWeGI>%_�>@>RU�O*>RGI>@N KIY >RO % WIU*O P >R;)Z:W B E JkT�JRN]> C <MWeG'>=_b>R>@UC < K ;=U E3K O*>RX K U CAE ?3W E > E <*W EgE <*> _ B]Y >@O��#;FW8N2. C�� ; B E < E <*> Z B GI>@U J K U E ? K N]ND>@? dJ E < K ? K S*Z'< WIU*WINDT C3BDC=KIPQE <*> U K U*N B U*>@WI?FO�TVUMWIX B J C=KIP W Y NaW8UMWI? % L*G'> >@ND>@X >@U E_ B]Y >@O 4 M S�?3XrS N]S 4�)+�;�;N'939 ?A>RGI>eWIN C W ? B Jt< C > E�KIP=CAE WI_*N]> %�Y >@? BDK O B J X KIE3B]K U CE <MW E O K U KIE U�>@J@> C3C WI? B NDT J K U P�K ?AX E3K^E <*>\JRNaW CAC3B J@WIN Y >@? B]K O K U*>\N K J K X KIE[BDK U d ?3WIJ?. B U*Zg>@?A? K ? C�B U E <*> J K U E ? K NVWIJ E[B]K U X W T ND>eWIO E[KgCAE W8_*N]> Z:W B EQY W E3E >@?3U CQE <*W EWI?3>HO B Ab>@?3>RU E%E <MWIU E <�> K U*> C E <*W E WI?3> B U E >@U�O*>@O _:T E <*> K _�VA>RJ E3B G'> P S*U�J E[BDK U CRd� U*> ; W T E[K K GI>@?AJ K X > E < BDC O B�� J@S*N E T BDCgE3K Y WI? E3BDE3B]K U E <*> Y WI?[W8X > E >@? C3Y W8J@>C S*Jt< E <MW E�K U*>F; K S*N]OrJt< K�K'C > C3Y >@J B LMJ G8WINDS*> CQE <MW E N]>eW8O E[K W O�> C3B ?3>RO\Z:W BDEQY W E -E >R?3U d < B]C W Y�Y ? K W8Jt< B]C=E W�.8>@U B U 4M S*?AXrS N]S 4�)+�;�;N'9�O Q <*WIU*Z R M S*?AXrS N]S4*)+����, 9397 d��FlF>MpkvC� jMptqkm.iIw m��0p3h^qts0uMl-v[s0w�� q?>Mp�� p?�L >RGI>@?3WIN B U:G'> CAE[B Z:W E3K ? C 4�� ? BDC < B U�R BMK ?3X WIN�� C .:T 4�)+�;�;:'9�O�� ? B]C < B U % B K ?3X WIN�� C .:T %� >@U C . T R���< BDE[K X B ? C .:T 4*)I�;��, 9PO! >@ND> E3C . B]B 4*)+� � 6'9�O Q < S*O B U K G 4�)+�'7�,:9�O Q < S*O B -U K G 4�)+�'7;::9PO � W E3K <SR 6 K ? B 4*)I�;��, 9PO � WeG�? K G C . B]B 4*)I� � �:9PO � WeG�? K G C . B]B 4*)I�'7;::9A9S C >RO C3B X Y N B L*>@O X K O*>@N C ; BDE < K S EgB X Y WIJ E WIU�O J K U CAE ?AS*J E >@O Y >@? B]K O B J E ?3W VA>@JP-E[K ? B > C _:T J K U*J@W E >RUMW E[BDK U KIP=K ?3_ B E[C K _ E W B U*>@O P ? K X B U�O B G B O�SMWIN]N T J K U E ? K N]N]>ROC >RZ'X >RU E[C�KIP=E <*> Z'W BDE JkTVJ@N]> d < BDC W Y*Y ? K WIJt< B]C 1 S B E > C3B X B NaWI? B U CAY*B ? BDE E[KE <*> �gK _�? B U C . B]B X > E < K O 4 �gK _*? B U C . B]B 4*)I� < 6'9A9 E <MW E B]C S C >@O E <*> > 4�B]CAE >@U*JR> KIPE ?3W VA>@J E[K ? B > C KIP E <*> B X Y WIJ E OMWIX Y >R? WIU�O E <*> B X Y WIJ E3B U*Z B U:GI>@? E >@O Y >@U*O�S*N]S*X4 C >@> B�B Z d 4�)939 d 4" NaW VA>R? R L Jt< B >@ND>@U 4*)I�;��8'9A9 J K X Y S E >�W U K U*N B U*>@WI? P >R>@O P�K ?�-;FW8?3O E3K ? 1 S*> J K ?3?3> C3Y�K U*O B U*Z E[K W�� U K U(- B X Y WIJ E3B U*Z$#g?A> P >@?A>@U*JR> ; WIN2.^WIU*O S C >! G X KIE3B]K U WIU*O !�0 P�K ?3JR> P >@>RO*_MWIJ?. E3K CAE WI_ B N B% > WI? K S*U*O E <*>r?A> P >@?A>@U*JR> E ?[W -VA>@J E[K ? T d B S & T N K Z B J J K U E ? K N ;FW C S C >RO 4 L < B < % � ?3S�GI>@?�R'��< S 4�)+�;�`) 939 E[KO*>RGI>@N K'Y W P�K ?AJ@> J K U E ? K N]ND>@? E <MW E ?3>RZ'S*N]W E > C ZI? K S*U�Oc?A>eWIJ E[B]K U P�K ?AJ@> C%B U C ;FWeT�-

x�y{z|x�}

Page 64: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� < )

B U*Z WIJ E3B]K U C�KIP WIU\> 4�Y >R? B X >@U E WIN�_ B]Y >@O d <*>=WIS E < K ? C ; >R?3> X KIE[B G8W E >RO _:T E <*>P WIJ E E <MW E P S & T N K Z B J X > E < K O C JeWIU P WIJ B N BDE W E > E <*>%O*>RGI>@N K'Y X >@U EFKIP WIO�G8WIU*JR>@OJ K U E ? K NDN]>@? C|E[K O*> C3B Z'U _ BDY >RO CQE <MW E JeWIU ; WIN . K UrJ K X Y ND> 4 E >@?3?3W B U d J Z'? K S Y KIPB U:G'> CAE3B Z:W E3K ? C Jt<MWIU�Z'>@O E <*> Y WI?3WIX > E >R? C{B U E <*> K _�VA>@J E[B GI> P S*U*J E[BDK U C�C S*Jt< E <*W EE <*>%O*> C3B ?A>@O X KIE3B]K U BDC W8OMW Y�E >@O E3K Jt<*WIU*Z B U*Z E >@?3?3W B U J K U*O BDE3B]K U C 4 0 Z:WI?3W C < B R#gK Z'W B 4*)+�;�;8'9�O L < B R � N]> B U 4*)+�;��N:9�O ��<�>@U*Z=R L <�>@U*Z 4�)+�;�;::9A9 d ��<*>@U�Z 4 ��<*>RU*Z4*)+�I7;�:939 S C >@O^WIU^WIJRJ@>RN]>@?3W E[BDK U J K X Y >RU C W E[B]K U X > E < K O E[K >@N B X B UMW E >F> 4VE >@?3U*WINO B]C E S*?A_MWIU*JR> CHP ? K X E <�>\X KIE3B]K U KIP W8U > 4�Y >R? B X >@U E WIN�> B Z'< E V K'B U E ? K _ KIEed M >S C > C X W 4�B X S*X WeG8W B NaWI_*ND>cJ K U E ? K N WIJ E3B]K U B U K ?3O*>R? E[K >@N B X B UMW E > E <*> O B]C -E S*?A_MWIU*JR> C B U X B U B XrS*X E[B X > d � S K 4 � S K 4�)+�;�;�:9A9 O*>R? B GI> C U S*X >R? B JeWINDNDTcWIUB X Y WIJ EC!{K'B U�JeWI? � X W YcE <MW E ?3> Y ?3> C >@U E3C E <*> ;FWIN . B U*Z JRTVJ@ND> % WIU*O Y ? K'Y�K'C > C WN B U*>eWI? C E W E > P >R>@O*_*WIJ?. E <MW EgCAE WI_ B N B% > C E < BDC JRTVJ@ND> d Q N]>@WI?3N T E < BDCgBDC J K U*JR> Y�E S(-WIN]N T�J K X Y ND> E >@NDT O B Ab>@?3>RU E P ? K X E <*> ; K ? . C O�> C JR? B _b>RO WI_ K GI> 4 C >@> B E >@X 4�)9� mou�p3iIv=qts0uMl.v[s0w 9 CAB U*JR> E <*> O�> C3B Z'U BDC _*W C >RO K UrW=N B U*>eW8? B% W E[BDK U KIP�E <*> !QK'B U*JeWI? �X W Y B E[C >@N P WIU*O U KIE KIP E <�> J K U E[B U S K S C O�T�U*WIX B J C K U K U*> CAE > Y d � ? B% N]>\> EWIN d 4�� ? B� & ND> %$J _�_MW R ! N]> CAE WIU 4*)I�;�;�:9PO � ? B% ND> %$J _*_*W�R ! N]> CAE W8U 498@:;:`)9A9CAE S*O�T W 8 G 6 - N B U/. _ B]Y >@O ; BDE < U K WIU/. N]>gWIJ E SMW E3K ? d <�> C T C E >@X O*S*? B U*Z J K U(-E WIJ E Y <MW C > C B]C E <*>@?A> P�K ?A> S*U�O*>@?3WIJ E SMW E >RO d <*>RT Y ? K'Y�K'C > WIU B U Y S E [ K S E[Y S EN B U*>eWI? B% W E[BDK U C Jt<�>@X > WIU�O LMU B E >P- E[B X > J K U:G'>R?3Z'>RU E WIN]Z K ? B E <*X C ;=< B Jt< WINDN K ;E <*>RX E3K%CAB X Y N B P T E <*> !{K U*JeW8? � X W YHCAE S*O�T %8C3B X B NaWI?ANDT E3K 49Q <MWIU�ZCR M S*?AXrS N]S4*)+����, 9�O � WeG8WINaW -�� B]K R ? K Z'N B W E[K 4�)+�;�;�:9PO ? K Z'N B W E3K R � W G8WIN]W�-�� B]K 4 8�:;:;:'939 d <*> >R? K -#O�TVUMWIX B J CHBDC WIUMWIN T >@O d L E WI_ B N B E T BDC E > CAE >RO U S*X >@? B J@WIN]N T WIU�O E <*>X > E < K O BDCFC < K ;=U E[K _�> E ?[WIJ E WI_*ND> 4�� ? B� & N]> %�J _�_MW R ! ND> CAE WIU 4*)I�;�;�:9A9 d"0#E BDCU KIE3B J@>@WI_*ND> E <MW E E <*> X K O�>@N B U*Z W Y*Y ? K WIJt< E <�>RT S C > J K ?3?A> CAYbK U�O CFE[K W Y WI? E3B JP-S*NaW8?FO�TVUMWIX B J@WIN ?3>RZ B X > KIP 4*) 9 - 4F, 9 d

�������� ��� ����������������������� "!L >RGI>@?[W8N CAE S�O B > C�P W8N]N B U E < BDC JeW E >@Z K ? T E <*W E�B]C K8PoE >@U _MW C >@O K U W C > E{KIP ?3S�N]> C ?A>@Z'S�NaW E >@O_ T W < B Z'< N]>kG'>RN CAE ?[W E >@Z B > C X K'CAE NDT B U C3Y*B ?3>@O P ? K X _ B]K N K Z B JeWIN C T CAE >@X C@d < B]C W Y -Y ? K W8Jt< BDC S�U BDP�K ?AX N TrW Y*Y N B >@O E3K ?A>@Z'S*N]W E > E <*>%N K J K X KIE[BDK U KIP > 4�Y >@? B X >@U E WINM? K _ KIE[CRd0 U Y ?[WIJ E[B J@> K U�> P WIJ@> C X WIU:T O B�� JRS*N E3B > C{E <MW E JeWIU�_�>F?3> C3K N G'>RO _:T C ; BDE Jt< B U�Z WIX K U*ZC >RGI>@?3WIN�N K ; ND>RGI>@N C3B X Y N]> J K U E ? K N C Jt<*>RX > C@d

JgC ; > <MWeGI> C < K ;=U B U C S*_ C >@J E[B]K U , d 8 % ; WIN . B U*Z J K ?A?3> CAYbK U*O C E3K W Y WI? E3B JRS*NaWI?C > 1 S*>RU*J@> KIP WIJ E[B GIW E[B]K U C KIP�E <*> X K O*> C%KIPQE <*> G B]C J@?A> E > 3 G'>RU E L T CAE >RX W C3CAK J B W E >@O

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 65: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

< 8 � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl sE[K E <*>^_ BDY >RO C >R>@U W C W J K X Y N]>RX >RU E WI?AT�- C NaW8J?.VU�> C3C X >RJt<MWIU B JeWIN C T CAE >@X d L S*Jt< WC > 1 S*>RU*J@> JeW8U _�> C >R>@U W C WIU B U:G8WI? B WIU E C > E`KIP E <*> G 3 L O�TVUMWIX B J C&% C >@> 4,:6 W 9 d <*> C > J K U E ? K N E >@Jt<*U B 1 S*> C W B X W E CAE WI_ B N B% RB U*Z E < BDC B U G8WI? B WIU E C > E=B U E <�> C >RU C > E <*W EE <*>c? K _ KIE C < K S*N]O)S*N E3B X W E >RNDT _�>cWI_*N]> E[K ?3>RJ K G'>R? P ? K X P W8N]N C W8U*O ?3> CAE WI? E ;FW8N2.;-B U*Z d #gK8E[B JR> E <MW E E < B]C W Y*Y ? K WIJt<5O K > C U KIE >@X Y <MW CAB% > E <*>cN K ;K- ND>RG'>RNgO�> E W B N C KIPE <*>�;FW8N2. 4 ;FWIN . B U*Z C3Y >@>RO %�C E > Y�C N]>RU*Z E < % > E J d 9 d J U B U E >R?3> C E[B U*Z W Y*Y ? K WIJt< B U E <*>WI?3>@W B]C E <�> � 6 ! 4 ��>R? K 6 K X >@U E !{K'B U E 9 X > E < K O Y ? K'Y�K'C >RO LM? CAE _:T�� S/. K _*?[W E[K G B JWIU*O < BDC J K -#; K ? .8>@? C 434 � S`. K _*?3W E[K G B J R��IS�? B J B J 4*)+� < �:9�O � S/. K _*?3W E[K G B J % K ? K G8WIJ %L S*?3N]W R L E[K . B J 4*)+�;��::939A9 d <*> ?3>@WIO*>@? JeW8U ?A> P >@? E3K 4"� K'C ;FW8X B 4�)+�;�;�'939 WIU*O ?3> P ->@?3>RU*J@> C ; BDE < B U P�K ?rW O�> E W B N]>RO O BDC JRS C3CAB]K U�?A>@Z:WI?AO B U�Z E <�>^?3>@WIN X >eW8U B U*Z KIP � 6 !{dL >RGI>@?[W8N O B A�>R?3>@U E&% _*S E > 1 S B G8WIND>@U EI% O*>kLMU B E[B]K U C K8P E <*>�� 6 ! W8?3>^Z B G'>RU 4 M >@X WIX BR B WI?AU C ; K ? E < 4*)+� � � 9�O W�.0WIU B]C < B9%�0 C < B OMW %�' WIX W @B . B R � W E[K 4�)+�'7:6'9PO J ?[W�.0We;FW RB S`.VS�OMW 4*)+�;� � 9�O M B ?3W B9% M B ? K'C R � >RUMWIOMW 4*)I�;�'7:9A9 d <*> CAB X Y N]> CAE K U�> BDC 4 M >@X WIX BR B WI?AU C ; K ? E < 4*)+� � � 939 lF>Mp jMs0mouMlD�5>Mpkv[p lF>MpHnIpkvkl.m�q3iIw�v[p3iVqkl.m�s0u es0v[qtp mouMl pkv�� ptqklF� lF>Mp�Ivts �Vu�h�% B�d > d�E <*>%J@>@U E >@? K8P|Y ?3> C3C S*?3> d <�> � 6 ! C E WI_ B N B E TrJ@? BDE >@? BDK U CAE W E > C E <MW E E <*>_ B]Y >@O ; B N]N U K8E P WINDN O K ;=U W C N K U*Z W C E <*> � 6 ! ?3>RX W B U C B U CAB O*> E <*> J K U:G'> 4 < S*NDNKIPgE <*> P�KVKIE - C S Y*Y�K ? EedZ0 U E <*> C > CAE S*O B > C\E <*> WIS E < K ? C\B X YbKIC > E <�> X KIE3B]K U K8P%E <*>N K ; >R? N B X _ . B U*>@X W E3B J C�P ? K X < S*X WIU . B U*>@X W E3B J OMW E W % ;=< B Jt< E <�>RT E >R?3X C T�U�>@?3Z B > CRd < B]C ; WeT % E <*> � 6 ! J@? BDE >R? BDK U B]C S C >@O E[K�C ; BDE Jt<)_�> E ; >@>RU)N K ;K-#N]>kG'>@N J K U E ? K N]ND>@? C4 ;=< B Jt< C W E[B]C P T C3K X > K _�VA>RJ E[B G'> P S*U*J E[B]K U C N B .8> E ?[W VA>RJ E3K ?AT E ?[WIJ?. B U�Z 9 %MCAK W C=E[K CAE W�-_ B N B% > E <*>SG 3 L K ?3_ B E\B U 4,:6 W 9 4 B U E <*> C >RU C > KIP 4 ! W C3C3B U K/% 6 B Jt<*>RN R J U E3C W�. N BDC4*)+�;�@, 939A9 d <*> � 6 ! X > E < K O�; W C WIN CAK W Y*Y N B >@O�; BDE < KIE <*>R? J K U E ? K N]ND>@? C E <MW E WI?A>U KIE _MW C >@O K U Y ?A> C J@? B _ B U�Zr< S*X W8U O*W E W 4 K ? K G8WIJ % � S/. K _*?[W E[K G B J R L S*?3N]W 4*)+�I7;�:9�OB S`.VS�OMW % �gK X KIE W R J ?3W�.0We;FW 4*)I�;� � 9PO L < B9% � ?3S�GI>@?7R � >R> 4�)+�;�;N'939 d � U�> K8P E <*>_b> CAE > 4 WIX Y ND> KIPQE <*>H< B Z'<`O*>@Z'?A>@> KIP > � J B >@U�JRT E <*W E=C S*Jt< J K U E ? K N�W Y*Y ? K WIJt<*> C WI?A>WI_*N]> E3K W EAE W B U WI?A> E <*> _ B]Y >@O C J K U CAE ?AS*J E >@O�_:T M K U�OMW 4M B ?3W B9% M B ? KIC R � >@U*WIOMW4*)+�;�I7:9�O M B ?[W B 4*)+�;� � 9�O ! ?[W E3E 4 8�:;:;:'939 % ;=< K'C >^J K U E ? K N X W B U*N T�?3>RNDT K U�W C S BDE WI_*ND>J K Xr_ B UMW E3B]K U KIP N K JeWIN�N B U�>eWI?�J K U E ? K N]ND>@?�; B E <�< B ZI<(- ND>RG'>RN 4 K ? N K Z B JeW8N 9 J K U*O BDE[BDK U CRd 0 U4 ! ?[W EAEI% Q <�>R; % K ?3?A> C&% G B ND; K ? E < R ! ?[W EAE 498�:�:`)939 WIU B U E S BDE3B GI> W Y�Y ? K W8Jt< P�K ?�X W�.;-B U*Z CAK X >\_ B]Y >@OMWIN�X WIJt< B U*> C ;FWIN . BDCHY ? K'Y�K'C >@O d 0#E B]C _MW C >RO K U CAK - J@WIN]ND>@O G B ? E SMW8NX K O*>@N�J K U E ? K N % ;=< K'C > K _ VA>@J E3B GI> BDCFE[K�CAE WI_ B N B% > E <*>7G 3 L K ?3_ BDE=B U 4F, 6 W 9 d

x�y{z|x�}

Page 66: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� < N

� ������������ ������������ �� ��������� ����������������� !���"���������#�$�&%

< B]C{C S*? G'>kT B]C O*>kG KIE >@O E[K%E <*> Y ? K _*N]>RX K8P X K O*>RN B U�ZgW8U*O J K U E ? K N KIP WgJ@N]W C3CQKIP U K U(-C X K�KIE < U K U�N B U�>eWI?%X >RJt<MWIU B JeWIN C T C E >@X C&% U*WIX >RNDT _ BDY >ROMWIN{? K _ KIE[CRd=0#EHB]CgY ? KIYbK'C >@OE[K ?A>@J@W CAE^E <*> C > O�TVUMWIX B J@WIN C T CAE >@X C^B U E <*> P ?[WIX >R; K ? . K8P X >RJt<MWIU B JeWIN C T C E >RX CC S*_�VA>RJ ErE3K J K X Y N]>RX >RU E WI? B E T�- C N]WIJ?. U*> CAC J K U*O B E[BDK U C@d!' U B NaW E >@?[W8N J K U C E ?3W B U E[C E <*W E?3> Y ?3> C >@U EHY�K'C3CAB _*ND> O*> E WIJt<�X >RU E KIP E <�> P >@> E P ? K X E <*> Z'? K S�U*O�WIU*O Q K S*N K Xr_ P ? B JP-E[B]K U X K O*>RN JeW8U _�> ;=? BDE3E >@U E < B]C ; WeT d L S*Jt< W Y�K'B U E KIP G B >R; Y�K'C3C > C3C > C C >kG'>@?3WINWIO�G8WIU E WIZI> C)() d 0#EHY ? K G B O*> C W^S�U B LM>RO W Y*Y ? K WIJt< P�K ? X W E <*>@X W E3B JeW8N % U S*X >@? B JeWIN�WIU*O�J K U E ? K NB U:G'> CAE3B Z:W E3B]K U C@d < BDC BDC W 1 S BDE > B X Y�K ? E WIU E Y�K'B U E C3B U*J@> UVS�X >R? B J@WIN CAE S*O B > CWI?3>HX WIU*O*W E[K ? T B UcW8U T^X >RJt<MWIU B JeWIN|W8U*O [ K ? J K U E ? K N|O*> CAB Z'U d8 d < B]C P ?[WIX >R; K ? . >RU*J K X Y W CAC > C3C WIN]N E <�>^X K O*>RN C ;=< B Jt< <MWeG'> _�>@>RU�S C >RO E[KCAE S*O�T N K J K X K8E[B]K U B U E <*> J K U E ? K N�WIU*O ? K _ KIE3B J C N B E >@?3W E S�?3> dN d < K S*ZI< ; > ?3> CAE ? B J E|K S*? C >@N G'> C�E3K ? B Z B O _ K O�T J K U E WIJ E [ B X Y W8J E X K O�>@N CU% N]S�X Y >@O* > 4�B _ B N BDE[B > C J@WIU^>eW C3B N T _b> B U E ? K O*S�J@>@O % _ KIE < W E E <*> J K U E WIJ E K ? B U E <*> CAE ?3S*JP-E S*?A> BDE3C >@N P 4 * > 4�B _*N]> V KIB U E[C 9 d 0 U E ? K O*S*J B U*Z * > 4�B _ B N BDE[B > C X WeT _b> U*>RJ@> CAC WI? T4 ! ?[W E3E 498@:;:;::9PO ! ?[W EAE R,+ B NDN B W8X CAK U 4�)+�;�:6I939 d < B]C ; B NDN < K ; >RG'>R? X W�.I> E <*>J K U E ? K N Y ? K _*ND>@X <*WI?3O*>R? E[K�C3K N G'> d, d L S*Jt< X K O*>RN C <*W GI> Y ? K G'>RO E3K�Y ?3>RO B J E 1 S BDE > ; >@NDN E <�>�X KIE3B]K U W C C >kG'>@?3WIN> 4�Y >@? B X >RU E WIN�G8WIN B OMW E[B]K U C WeG8W B N]WI_*ND> B U E <*> N BDE >@?3W E S*?A> C < K ; d6 d J C%C < K ;=U B U E < B]C%C S�?AG'>kT %�E <*> Y ? KIYbK'C >@O X K O*>@N B U*Z�W Y�Y ? K W8Jt< WINDN K ; C=K U*> E[KJ@N]WI? B P T^;=< B Jt< C E WI_ B N B E T E[KVK N C%K U*>rX W T`S C > E3K Jt<MWI?3WIJ E >@? B� > E <*> C E WI_ B N B E T KIPW\_ B]Y >@OMW8N ? K _ KIE@d< dYB�B U*WIN]N T B E B]C E <*> K'Y*B U B]K U KIP E <*> WIS E < K ? CHE <MW E E <*> K U*NDT E < B U*Z E <MW E BDCHCAE3B N]NX BDC3CAB U*Z B U E <*>\LM>RN]O KIP _ B]Y >@O C O*> C3B Z'U B]C W`J@N]>@WI? WIU*O Z'>RU*>@?3WIN >@U K S*Z'< E <*>P-K ?3> E[B JeWIN WIUMWIN T C3B]C P ?[WIX >R; K ? . % _*W C >RO K U�?3>eW8N B]C E[B J X K O�>@N CU%�E <*W E WINDN K ; C E <*>O*> CAB Z'U�>@? E3K O*>@? B GI> CAE WI_*N]> J K U E ? K N]ND>@? C E W@. B U*Z B U E[K WIJRJ K S�U E\E <*> ;=< K N]> <:T�-_*? B O`O�TVUMWIX B J CRd

B�B ? CAEI% WIU K G'>R?AG B >k; K8P E <*>rX W B U P >@W E S*?A> CHKIP J K X Y N]>RX >RU E WI?AT�- C NaW8J?.VU�> C3C X >RJt<MWIU B -JeWIN C T C E >RX C B]C Y ? K'Y�K'C >RO %:P ? K X E <*>=X K O*>RN B U*ZHWIU*O U S*X >@? B JeWIN*WIUMWIN T CAB]C G B >k; YbKIB U E[CRdz{z]\�^`_IaPb�c

Page 67: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

< , � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s! ? K _*ND>@X C W CAC3K J B W E >RO E[K XrS*N E[B]Y N]> J K U E WIJ E [ B X Y WIJ E ; BDE < K S E WIU*O ; B E < P ? B J E[BDK U % WIU*OC3Y >@J B LMJ E[B X >=O B]C J@?A> E[B� W E3B]K U E >@Jt<*U B 1 S*> C�� ;=< B Jt< WI?3>%_ KIE < KIP Z'?A>eW E B X Y�K ? E WIU*JR> B UE <*> LM>RN]O KIP _ B]Y >@O C J K U E ? K N|WIU�OcO*> C3B Z'U � W8?3>HO*> C J@? B _�>@O B U CAK X >HO�> E W B N d L >@J K U*O %BDE%B]C=Y ? K'YbKIC >@O E[K JeW C E C S*Jt<�X K O*>RN C B U E <�> P ?[W8X >k; K ? . KIP <:TV_*? B O O�T�U*WIX B JeWIN C T C -E >@X C&%|B-d > d WIU WIS E3K X W E[K U�J K U*U*>RJ E >RO ; B E < O B Ab>@?A>@U E[B WIN�> 1 SMW E[BDK U CRd <�> G B]C JR?3> E >3 GI>@U E L T CAE >RX 4 G 3 L 9 Y WI? E J K X > C P ? K X E <*>HGIW8? B]K S C X K O*> C B U ;=< B Jt< E <�> C T CAE >RX>RG K NDG'> C ;=< B N]> ; WIN . B U*Z % < K'Y�Y*B U*Z K ?g?AS*U*U B U*Z dCB K ? B U CAE WIU*J@> ;FW8N2. B U*Z J K ?A?3> CAYbK U*O CE[K=E <*?A>@> X K O*> C 4 ;=< B Jt< J K U C E[BDE S E > G 3 L C E W E > C 9 (QK U*> P�KVKIE{B U CAE3B J?. B U�ZgJ K U E WIJ E ; B E <E <*>^ZI? K S*U�O 4 CAB U*Z'ND> C S Y*Y�K ? E\Y <MW C > C 9 % K ? _ KIE < P >R> E\B U CAE3B J?. B U*Z J K U E W8J E 4 O K S*_*ND>C S Y*Y�K ? ErY <MW C > 9 d <*>^J K U E[B UVS K S C Y WI? E X >R?3>@N T J K ?A?3> C3Y�K U*O CrE3KcE <�> � WIZ'?[W8U*Z B W8UO�TVUMWIX B J C ;=<�>@U E <*> C T CAE >@X >RG K NDGI> C B U K U*> KIP%E <*> G 3 L C E W E > C�� K ?\X K O*> C�� %;=< B Jt< % > 4 JR> Y�E BDP _ KIE < P >R> E WI?3>=O*> E WIJt<*>RO P ? K X E <*>%Z'? K S*U*O % WI?A>%G B >k; >RO^W C _ B NaW E >@?*-WIN]N T`J K U C E ?3W B U*>RO C S*_ C T CAE >@X C@d � U*>�W8O�G8WIU E WIZ'> KIP C S*Jt< W X K O�>@N B U*Z G B >R; Y�K'B U E BDCE <MW E BDE WINDN K ; C K U*> E[K JRNaW CAC3B P T C3K X > C E WI_ B N B E T�WIUMW8NDT C3BDC Y ? K'Y�K'C >RO B U E <*>gN B E >@?3W E S�?3> (P�K ? B U CAE W8U*J@> J@>R? E W B U J K U E ? K N]N]>R? C X WeT K U�NDT^ZISMWI?[W8U E >@> E <MW E E <�> C > 1 S*>RU*J@> KIP�E <*?A>@>X K O*> C P�K ? ; WIN2. B U*Z K J@J@S�? C B U^W ? K _�S CAE X WIU*U*>R? % ; BDE < K S E E W�. B U*Z JeWI?A> KIP WIJ@JRS*?[W E >E ?[W8J?. B U*Z K8P�E ?3W VA>@J E[K ? B > C O*S�? B U�Z E <*> C E > Y�C@d <*>R?3> P�K ?3> E <*>RT W CAC S*?A> E <�> C E WI_ B N B E T KIPC3K X > B U:G8WI? B WIU EFK ?3_ B EFKIP�E <�> G 3 L Y W8? E KIP�E <*> C T CAE >@X d � E <*>@? J K U E ? K N]ND>@? C X WeT K UE <*>\J K U E ?[W8?AT P�K J@S C K U WIJRJ@S*?3W E > E ?[WIJ?. B U�Z O�S*? B U*Z E <*>�J K U E[B U S K S C Y <MW C > C&%{B U�J K ?�-YbK ?3W E[B U*Z E <*> B X Y WIJ E (�K U*>%X W T E <*>@U C3Y >eW�. KIP � N K ;K-#N]>RGI>@N � C E WI_ B N B E T d + BDE < B U E < BDCJ K U E > 4VEI% B X Y WIJ E�!QKIB U*J@WI? � X W Y*C W Y*Y >eWI? E3K _b>=W Y�K ; >R? P S*NMW8U*O C S B E WI_*ND>FWIU*WINDT E[B JeWINE[KVK N E3K Jt<MWI?3WIJ E >@? B� > E <*> CAE WI_ B N BDE T KIP W _ B]Y >@O ? K _ KIE@d <*> B ?FS C > WIU*O E <�>HJt< K'B JR> KIP!QK'B U*JeWI? � C >RJ E3B]K U C WI?3> O B]C JRS C3C >@O d 0 U Y W8? E[B J@S*N]WI? BDEFC >@>RX CFE <MW E L*U BDE >�- E3B X >gJ K U:G'>R?*-Z'>@U E J K U E ? K N]N]>R? C 4 > d Z d O*>@WIO(-#_b>@W ErK ? C N B O B U*Z X K O�> C B U Y S E3C 9 Y�K'CAC > CAC\B U E >R?3> CAE[B U*ZP >eW E S*?3> C B U E < BDCFC > E3E3B U*Z C3B U*J@> E <*>RT P WIJ B N BDE W E > E <�>HJt<MWI?[W8J E >R? B� W E3B]K U KIP J@N K'C >RO(- N K�KIY!QK'B U*JeWI? � X W Y�C&% W E W C . E <MW E B]C XrS*Jt< <MWI?AO*>@? ; BDE < W C TVX Y�E3KIE[B JeWINDNDT CAE WI_*N]> C Jt<*>@X > C;=<*>@U K U*> E W�.I> C�B X Y W8J E�B U E3K WIJRJ K S�U E@d � N K _MW8N]NDT E <�> O�TVUMW8X B J C WIU*O O*> CAB ?3>RO E ?3W VA>@JP-E[K ? B > C KIP _ B]Y >@O C E <*W E J@WIU ; WIN . Y NaWIJR> E <*>@X CAK X >R;=<*>R?3> B U(- _�> E ; >@>RU^X WIU B]Y S*NaW E3K ? C; BDE <cS*U B NaW E >@?[W8N{J K U C E ?[W B U E[C 4" ? K Z'N B W E[K`% #gB JRS*N]> C JRSWR � ?A<MWIU E 4�)+�;� � 9�O ? K Z'N B W E3K/%#gB JRS*N]> C JRS R 6 K U E > B ? K -*6 WI? 1 S*> C 498�:�:;::939 WIU*O VAS*Z'Z'N B U*Z C T C E >RX C 4 � WeG8WINaW -�� B]K R ? K ZIN B W E[K 4�)+�;�;�'9�O ? K Z'N B W E[K R � WeG8WINaW�- � BDK 4 8�:;:;:'939 d M K ; X S*Jt< <*W CHE[K _�> _ K ?�-? K ; >RO P ? K X >eW8Jt< Y WI? E WIU*O < K ;5XrS*Jt< U*>@>RO C E3K _�>gWIO*O*>RO E3K WIJt< B >RGI> C E WI_�N]> ;FW8N2.;-B U*Z^?A>@X W B U C NaWI?AZ'>@N T K'Y >@U d B�B UMW8N]NDT W^?A>RG B >k; K8P G8WI? B]K S C V K S*?AUMWIN Y W Y >@? C O�>RG K8E >@OE[K _ B]Y >@O C J K U E ? K N Y S*_�N B]C <*>@O S*U E[B N ?3>RJ@>RU E NDT BDC Y ? K'Y�K'C >@O d

x�y{z|x�}

Page 68: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� < 6� p iIw � s >MstjMp l s hVpknIpkw]stj�l ptq?>Vu�s0w]s �Im�p?�C� s l�>�iIl l�>Mp�>���� iIu�s0m.h v[s��ks0l q3iIu ��u�q��l-m�s0u u�s0lgs0uMw i��\i � iVq?>Vmou�p?�K�&�VlY�@w]pku�h`mou�s ��v7� s qkm.iIw pkuMn mov[s0u � pkuMlFiIu�h`mouMl pkvAiVqkl

� molF>^jMptstj�w]p?�%iIu�h�j�w i� � s0vtp\m�� jMs0vkl�iIuMl=v[s0w]p?��mou)s �Vv � s qkm�pkl 4M B ?3W B 4�)+�;� � 9A9 d KWIJt< B >kG'> E < B]C W8Xr_ BDE3B]K S C Z K WIN %�P S E S*?A> KIP E <�>r?3> C >eW8?3Jt< B U�_ BDY >ROMWIN{N K J K X KIE[BDK U`; B N]N_b> C <MW Y >@O _:T E <*> J K X Y N]> E >RU*> CAC WIU*O^J K X Y N]> 4�B E T KIP|E <*> B U E >RU*O*>RO J K U E ? K N C T CAE >RXO*> CAB Z'U d <*>�O*>RZ'?3>R> KIP qts0uMl.vts0wow]pkv\i�� iIvtpku�p?�?�=E <MW EHK U*> ; B]C <*> CHE3K^B U*J K ? Y�K ?3W E > B UC T CAE >@X!O�> C3B Z'U C < K S*NDO Z'S B O*> E <*> P S E S*?A> KIP ?A> C >@WI?3Jt< B U _ BDY >ROMWIN{N K J K X KIE3B]K U dKB K ?> 4 WIX Y N]> %|K U*>\X W T O*>RGI>@N K'Y W J K U E ? K N]N]>R?HW CAC S*X B U*Z E <MW EHE <*> P >@> E ; B N]NQU*>RGI>@? C N BDYO*S*? B U*Z^N K J K X K8E[B]K U dC0 U�J K U E ?[W CAEI%�BDP E <�>\J K U E ? K N�W8J E[BDK U >RU C S*?A> C U K C N B]Y ;FWIN . B U*Z %BDE XrS CAE _�> We; WI?3> KIP E <�> P ? B J E[BDK U�J K U CAE ?3W B U E WIU�O Y�K'CAC > CAC E <*>�JeW Y WI_ B N BDE T KIP Y ?3>P-G'>@U E3B U*Z C N B]Y�Y WIZ'> 4�� � U KIE&% ? K Z'N B W E[K R M S*?AXrS NDS 4*)+���'7:939 d + > X WeTc>@U S*X >@?[W E >E <*> J K U E ? K NDN]>@?%We; WI?3>RU*> CAC Jt<MWI?[W8J E >R? BDCAE[B J C WIU*O E <*> B ? B U * S�>@U*JR> K U P S E S*?A> ?A> C >@WI?3Jt<W C P�K N]N K ; C�() dgf qkl ��iIl s0v i�� iIv[pku�p?�?�

Q K U E ? K N WIJ E3B]K U C < K S*N]O _b> E W B N K ?3>@O C S*Jt< E <*W E E <*> J K U E ? K N E[K ? 1 S*> C O K U KIE> 4 J@>R>@O W C3Y >@J B LM>RO�N]>kG'>RN W8J E S*W E[K ?`J@W Y WIJ BDE T d � U*> K8P E <�> X W B U5N B X BDE3B U*ZP WIJ E3K ? C B UcO�>RG'>RN K'Y�B U*Z Y ?3WIJ E3B JeW8N�;FW8N2. B U*Z�X WIJt< B U*> C=B]CFE <*> NaWI?AZ'> JeW Y WIJ B E T KIPWIJ E SMW E3K ? C=E <MW E WI?A> ?A> 1 S B ?A>@O E3K ?A>eWIN B% > W Y WI? E3B JRS*NaWI?=J K U E ? K N C E ?3W E >RZIT d <*>WIU C ; >R? C >@>RX C E[K _�> B U E W�. B U*Z W8O�G8WIU E WIZ'> K8PbE <*> CAE ?3S*J E S*?3WIN*J K U�LMZ'S*?3W E[BDK U KIPE <*> < S*X W8Ur_ B]Y >@O B U WIJt< B >kG B U*ZgX B U B X WIN'>�A K ? E ; WIN2. B U*Z d ! ?A> C >@U E N T % ?A> C >@WI?3Jt<O B ?A>@J E >@O E[K ; WI?3O E <*> _�> EAE >R? S*U�O*>@? CAE W8U*O B U�Z KIP|Y W C3C3B G'>gZ:W BDE C >@>@X C E3K _�> E <*>X W B U O B ?A>@J E[B]K U E <MW E B]C C <MW Y*B U*Z P S E S*?3> ?3> C >eW8?3Jt< E[K ?3> C3K N G'> E <*>cWIJ E SMW E3K ?Y ? K _*N]>RX d L E S*O B > C E <MW EHC >@>&. E[K O*>kG'>@N K'Y WIJ E[B GI>\J K U E ? K NDN]>@? CgE <MW E WI?A>r_MW C >@OK U`O�TVUMWIX B J Y ? B U*J B]Y ND> CFK8P�Y W C3C3B G'> ;FW8N2.^X WeT Y ? K G B O*> E <*> WIU C ; >R? d8 d � s0u`�kl-vAiImouMl i�� iIv[pku�p?�?�

G S*? B U*Z N K J K X KIE3B]K U %=E <*> _ B]Y >@O B]C C S*_�VA>@J E E3K S*U B NaW E >@?3WIN J K U CAE ?[W B U E[C _b>P-E ; >R>@U B E[C P >@> E WIU*O E <*>%;FWIN . B U*Z C S*? P WIJ@> d ! ?A> C >@?AG8W E3B]K U K ? G BDK NaW E3B]K U KIP�E <*> C >J K U CAE ?3W B U E3C CAB Z'U B LMJ@WIU E NDT W@Ab>@J E[C`E <*> O�TVUMWIX B J�Jt<*WI?[WIJ E >R? B]C E[B J KIP E <*> Z:W B EWIU*O E <*> ?A> C S�N E[B U*Z�J K U E ? K N C T C E >RX O�> C3B Z'U dDB >@> E O�> E W8Jt<*X >RU E[C [8W E3E WIJt<*X >@U E[CK JRJ@S*? ;=<*>RU E <*> _ B]Y >@O S*U*O�>@?3Z K > C E ?3WIU CABDE[BDK U C WIX K U*Z E <*> C3B U*Z'ND> C S Y*Y�K ? E&%O K S*_�N]> C S Y*Y�K ? E3C&%�K ? W B ?3_ K ?3U*> CAE WIZ'> CRd L < K S*N]O E <�>\J K U E ? K N WIJ E[BDK U WIJ@J K S*U EP�K ? E <�> C > E ?[WIU CABDE3B]K U C W8U*O B U*JRN]S*O*>HX >@Jt<*WIU B]C X CFE3K ?A>@Z'S�NaW E > E <*>RX��

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 69: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

<;< � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s < B]C J K U*JR>@?AU C E <*>FG B W8_ B N BDE T KIP E <�> J@N KIC >@O�N K�K'Y J K U E ? K N 4 B�d > d�K8P�E <*> ?3> C S*N E[B U*ZK ?3_ BDEI%�C >R> 4 ? K ZIN B W E[K R � WeGIW8NaW�- � BDK 498@:;:;::9A9 P�K ?=W\O*>RL*U BDE3B]K U KIP G B WI_ B N B E T B UE < BDC J K U E > 4VE 9 dH0#E B]C U K8E K U*NDT C S � J B >@U E E <MW E E <*>�J K U E ? K N _*? B U*Z C E <*> CAE W E >E[K ; WI?3O W O*> C3B ?3>@O E ?[W+VA>@J E3K ?AT d 0#E <MW C`E[K W8N C3K W CAC S*?A> E <MW E E <*>R?3> WI?3> U KS*U:;FW8U E >@O B X Y WIJ E3C W EHE <*> P >@> E E <MW E X WeT JeW8S C > CAE S*Xr_*N B U*Z d B >@> E C N BDY*Y WIZI>B]C W8U KIE <�>@? B X Y�K ? E WIU E J K U CAE ?[W B U E G B]K N]W E[BDK U E <MW E X WeT E W�.I> Y N]WIJ@>�O�S*? B U*ZN K J K X KIE3B]K U W C ; >RN]N%W C W E E <*> B U CAE WIU E^KIP B X Y WIJ E3C@d <*> J K U E ? K N E[K ? 1 S�> C<MWeG'> E[K K _b>kT E <*> B U*> 1 SMW8N BDE T^J K U*O BDE[BDK U C 4*);) 9 WIU�O 4*)+8'9 CAK E <*W E O�S*? B U*Z E <*>�5>Ms0w]pW� s0l.m�s0u�� ��� s s0l�> iIu�h)u�s0u`��� s s0l�>���( B 9 CAE3B J?. B U�Z BDC X W B U E W B U�>@O %gB]B 9O*> E WIJt<*X >@U E BDC X K U BDE3K ?3>RO d50#E BDC JRN]>eW8? E <MW E WIU:T^J K U E ? K N C Jt<*>@X >H<MW C L*? CAE E[K_b> C < K ;=U E3K C W E[BDCAP T E <*> C > E ; K B U*> 1 SMWIN B E[B > C&%�KIE <�>@?A; BDC > JeW8U*U KIE _�> O*>@JRNaWI?A>@OE[K _b> CAE WI_*N]> % ;=<MW E >kG'>R? KIE <�>@?%J@N KIC >@O�- N KVK'Y Y ? KIY >R? E[B > C%BDE X W T Y�K'CAC > CAC@d <*>B U*> 1 SMWIN B E[B > C B U 4*);) 9 WIU*O 4*)+8'9 JeW8U % B U E S*?AU % _b> J K U C3B O*>@?A>@O)W C J K U*O BDE3B]K U CKIP E ?3WIU CABDE[BDK U _�> E ; >@>RU G 3 L C E W E > C WIU�O�X WeTc_b>rS C >@O W C W X >@W C S�?3> KIP E <*>? K _�S CAE U*> CACQKIPVE <�> J K U E ? K N C Jt<*>RX > d G >kG'>RN K'Y*B U*Z%J K U C E ?3W B U E We;FW8?3> J K U E ? K N]ND>@? C; K S*N]O _�>�WIU B X Y�K ? E WIU EgCAE > Y�E[K ;FW8?3O�O*>kG'>@N K'Y*B U*Z _ B]Y >@O*WINQ? K _ KIE[C E <MW E J@WIU<MWIU*O�N]>HS*U S C SMWIN E >R?3?[W B U J K U*O BDE3B]K U C@d

N d��bpkv vAiImou�i�� iIv[pku�p?�?�L < K S�N]O K U*>�S C > XrS*N E[B]Y N]> J K U E ? K N C E ?[W E >@Z B > C E <MW E J@WIU _b> WIO*W Y�E >RO WIU*OC ; B E Jt<*>RO P�K ? G8WI? BDK S C E >@?A?[W B U C � � ? %�C < K S*NDO^; >HO*> C3B Z'U WIU > 4�E ?3>RX >RNDT ? K _*S CAEJ K U E ? K NDN]>@? P�K ? >RGI>@U E >R?3?[W B U E <*W E JeWIU WIN C3K\K'Y >@?3W E > W E X K ?A> O B�� JRS*N E E >@?A?[W B UJ K U�O BDE3B]K U C � <�> C > 1 S*> C E[B]K U C ?A>@X W B U E3K _�> W8U C ; >@?A>@O % WIU*O E <*> B ? ?3> C3K NDS E[BDK UX WeT O*> Y >@U�O K U < K ; ; >RN]N�; >H; B NDNbS�U*O*>@? CAE WIU*O E <*>H?A>@NaW E[B]K U C < BDY WIX K U*Z E <*>J K U E ? K N|W8N]Z K ? BDE <*X %VCAE WI_ B N BDE T % WIU�O E <*> S*U B NaW E >@?[W8N P >@> E J K U C E ?3W B U E[CRd, d=� l#i��@mow mol i�� iIv[pku�p?�?� L E S*O�T B U*Z K'Y�E[B X W8N E ?[W+VA>@J E3K ? B > CU% O*>@JR?3>@W C3B U*ZH>@U*>R?3ZIT J K U(-C S*X Y�E3B]K U % > E J d K U K U�> C E > Y X WeT JR>@? E W B U�NDT _�> S C > P S*N % _*S E ?3> Y ?3> C >@U E[C K U*NDTW P ?3WIJ E3B]K U KIP ;=<MW E C < K S*N]O _b> W`J K X Y ND> E > W Y�Y ? K W8Jt< d 6 K ?3> K GI>@? %�C S B E WI_ B NE-BDE T KIP J K U E ? K N]ND>@? CgC < K S*N]O _�> VAS�O*Z'>@O�_*W C >RO K U E <*> B ? Y >R? P�K ?AX W8U*J@> K GI>@? E <*><:T�_�? B O O�TVUMWIX B J C@d � U*> X WeT ?3>eW8Jt< >@?A? K U*> K S C J K U*JRN]S CAB]K U C _MW C >@O K U J K U(-E ? K N]ND>@? Y >@? P�K ?3X WIU*JR>\O*S*? B U*Z E <*>�J K U E3B U S K S C Y <*W C > K U*N T d J � s0v�� p 4 B U E <*>C >RU C > KIPFY >@?A<MW Y*C N]> C3C ? K _�S CAE&% N]> C3C C S BDE W8_*N]> P�K ? WIO*W Y�E[B G'> J K U E ? K N % ND> CAC KIY -E[B X WIN % > E J d 9 B U Y S E X WeT ; >RN]N ND>eWIO E[K _�> EAE >@? N K J K X KIE[BDK U CAE W8_ B N BDE T E <MWIU W

�kpkl-l pkv K U*> d B]Y >@O C J K U C3B O�>@?3>RO`W C J K X Y N]>@X >@U E WI?AT C NaWIJ?. U*> C3C C T C E >@X C O B A�>R?C3B Z'U B L*JeWIU E N T 4 W C O�TVUMWIX B J@WIN C T CAE >RX C 9 P ? K X C X K�KIE < C T CAE >@X C@d < S CU%�E <*> B ?x�y{z|x�}

Page 70: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� < �

J K U E ? K N*X WeTrW8N C3K ?A> 1 S B ?3>=X K ?3> K ? B Z B UMWIN U*>k; X > E < K O C W8U*O WIN]Z K ? BDE <*X C{E <MWIUE <*> K U�> C E <MW E <MWeGI> _�>@>@U O*>RGI>@N K'Y >RO P�K ? ? K _ K8E[B J X WIU BDY S*N]W E[K ? C@d <*> K U(- N B U*>X K O B LMJeW E3B]K U KIP�E <*>HO�> C3B ?3>RO K ?3_ B E[CF���I� &A� B]C W Y ? K X B]C3B U*ZrW Y*Y ? K WIJt< 4 + B >R_b>R?498�:�:;::9�O ! WI? . R Q < K 498@:;:;::9A9 % ;=< B Jt<^<*W C WIND?3>eW8O�T�_b>R>@U`W Y�Y N B >@O > 4�Y >R? B X >RU(-E WINDNDT 4 M B ?[W B 4*)+�;� � 9�O M B ?[W B % M B ? K'C R � >@UMW8OMW 4�)+�;�'7:9A9 d J N C3K`E <*> O*> CAB Z'U KIP���0� &A� BDC\B U B E[C >RN P W�Jt<MWINDN]>@U�Z'> ( B E JeWIU _�>cW�J K U C > 1 S*>@U*JR> KIPgY W CAC3B G'> ;FW8N2.;-B U*Z WIU*WINDT C > C W C%P�K ? E <*> 6 0 ? K _ KIE3C 4 ! ?3W E3E 4 8�:;:;::9A9 K ?%_b> J K X Y S E >@O P ? K X< S*X W8U ?3>RJ K ?AO B U*Z C 4 M K U*OMW � C ? K _ K8E[C 9 d <*>rO*> C3B Z'U KIP P >@>RO*_MWIJ?. J K U E ? K N]ND>@? C;=< B Jt< C E WI_ B N B� > E <*> C T CAE >@X W8? K S*U�O C S*Jt< K ?A_ BDE3C&% ;=<MW E >RGI>@? E <�>RT X WeT _b> %?3>RX W B U C K'Y >@U�;=<*>RU C >RGI>@?3WIN CAE > Y*C 4 <*>RU*J@>�U K U C X K�K8E <�>UAb>@J E[C 9 W8?3>\J K U C3B O(->@?A>@O B U E <�>^WIUMW8NDT C3BDC&% W8N E < K S*Z'< C3B ZIU B LMJ@WIU E Y ? K Z'?A> CAC B U E < BDC O B ?3>RJ E[BDK U <MW C_b>R>@U X W8O*> B U 4"� ? B% & N]> %YJ _*_MW R ! ND> CAE WIU 498�:;:()939 d J U KIE <*>R? Y ? K X BDC3B U�ZW Y*Y ? K WIJt< X W T _b> E3K > 4VE >@U�O � T:W Y S*U K G � C C >RJ K U*O)X > E < K O E[K U K U C X K�KIE <J K X Y ND>@X >@U E WI? BDE T X >@Jt<*WIU B J@WIN C T CAE >@X C&% B U K ?AO*>@? E[K O*> C3B Z'U�W C T�X Y�E3KIE[B JeWINDNDTCAE WI_*N]>�N K ;K-#N]>kG'>@N J K U E ? K N]ND>@? CRd < B]C <MW C E[K B U*J K ? Y�K ?3W E > WINDN E <*> U K U C X K�KIE <P >eW E S*?3> C�KIP ; WIN . B U*Z %8B U Y WI? E3B J@S�NaWI? B X Y WIJ EQY <*>@U K X >RU K U KIPME <*> P >R> E ; B E < E <*>Z'? K S*U*O 4 _ T E < B]C ; > X >eW8U^U KIE K U*NDT E <*> B X Y W8J E Y <*>RU K X >@U K U B E[C >@N P�% _*S EFBDE3CJ K U C > 1 S*>RU*J@> K U E <*> C S*_ C > 1 S*>RU E C T CAE >RX %IB�d > d E <*> J@?A>eW E3B]K U KIP WgU*>k; _ B N]W E >R?[WINJ K U CAE ?3W B U E � O*S*> E[K E <*> J K X Y N]>RX >RU E WI? B E T ?A>@N]W E[BDK U C � WIU*O BDE3C|B X Y N B JeW E3B]K U K UCAE WI_ B N B% W E[BDK U 9 d L S*Jt<^WIU W Y*Y ? K WIJt< <MW C _�>@>@U E W�.8>@U B U 4" ? K Z'N B W E[K`%;#gB J@S*ND> C J@SR � ?3<MWIU E 4*)+��� � 9�O ? K Z'N B W E[K`% #gB J@S*ND> C JRS R 6 K U E > B ? K -�6 WI? 1 S*> C 4 8�:;:;::9A9 P�K ?E <*> JeW C > K8P|P S*N]N T W8J E S*W E >RO ? B Z B O X WIU BDY S*NaW E[K ? C C S*_�VA>@J E=E[K W C3B U*Z'ND> P ? B J E3B]K U(-N]> C3C S*U B NaW E >@?[W8N�J K U CAE ?[W B U E@d�0#E%B]C C < K ;=U E <*>R?3> B U E <MW E W Y ? K'Y >R?=O*>RLMU BDE[BDK U KIPE <*>�O*> C3B ?3>@O E ?3W VA>@J E[K ? B > C WINDN K ; CHK U*> E[K Z'> E W C TVX Y�E[KIE3B J E ?3WIJ?. B U*Z 4 W8U*O E <*>B X Y WIJ E[C Y NaWeT W X W V K ? ? K N]> B U E <*> CAE W8_ B N B% W E[B]K U Y ? K JR> CAC&%|C3B U*J@> E <*> . B U�> E[B J>@U*>R?3ZIT N KIC3C E <*>RT B U*O*S�J@> BDC ; B]C >@N T S C >@O B U E <*> � T'W Y S*U K G P S�U*J E3B]K U^O�> C3B Z'U 9 d <*>^J@W C > KIP _ B]Y >@O C >kG B O*>RU E NDT ?3> 1 S B ?3> CrE <*> > 4VE >RU C3BDK U KIP E < KIC >^; K ? . CrE[K -;FW8?3O C�� � J K U C E ?[W B U E[C ; B E < P ? B J E3B]K U d M K ; >kG'>@?�O*S�> E3K E <*> U*W E S*?A> KIPB X Y WIJ E[C 4 Y S*?A>@N T B U*>@N]W CAE3B J 9 WIU*O E <*> C S*_ C > 1 S*>@U E � ?3>RO*S*JR>@O O B X >@U C3B]K U # 4 C >@>B�B ZIS*?3> < 9 KIP E <*> C S*_ C3Y WIJ@> B U);=< B Jt< E <*> C T CAE >@X >RG K NDGI> C O*S�? B U�Z W E T Y*B -JeWIN{;FW8N2. B U*Z E W C . 4 E <*>�WIS E < K ? C B U 4�� KVK O�; B U*> R S*?AO B J?. 4 8�:;:`)9A9 C3Y >eW@. KIPCAE ?[W E3B LM>RO J K U�LMZ'S*?3W E[BDK U C3Y WIJR> P�K ?%J K U E ? K NDNaWI_ B N B E T CAE S�O B > C 9 %�BDE%BDC 1 S B E > YbK'C -C3B _*N]> E <MW E E <*>%O*> CAB Z'U X W T C3B X Y N BDP T d Q N]>@WI?3N T C S*Jt< W N K ;K- N]>kG'>RN E ?[W8J?. B U*Z E W C .; K S*N]O K U*NDT J K U CAE3BDE S E > W X K O*S�N]> KIP W X K ?A> J K X Y N]> E > J K U E ? K N]ND>@? % B U*J K ? YbK -?[W E3B U*Z W C S Y >R?AG B]CAB U*Z J K U E ? K N 4 LMU B E >^W8S E[K X W E3K U 9 >@UMWI_�N B U�Z E <�> C T CAE >@X E[K

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 71: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

< 7 � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl sJt< KVK'C > _:T BDE[C >@N P W C S B E WI_�N]> E ?3W VA>@J E[K ? T E[K _b> E ?3WIJ?.I>RO % WIU*O [ K ? W C S BDE WI_*ND>N K ;K- ND>RGI>@N J K U E ? K N]N]>R? ; BDE < E <*> ?3> 1 S B ?A>@O ? K _*S CAE U�> C3C JeW Y WI_ B N BDE3B > CRd

� > E S C >RU*O E < B]C Y W Y >@? _:T ?3>RJeWINDN B U�Z E <MW E W`J@>@U E ?[WIN B]CAC S*> B U Y ? K G B U�Z E <*> C E WI_ B NE-BDE T KIP X >@Jt<*WIU B J@WIN C T CAE >RX C ; B E < C >kG'>R?[WIN 4 � � 9 S*U B NaW E >@?3WIN{J K U C E ?3W B U E[CHBDC E <*W EKIP O B]C J K U E[B U S BDE T KIP K ?3_ B E[C ; B E <�?A> C3Y >@J E E[K B U BDE[B WIN�J K U�O BDE3B]K U C 4" ? K Z'N B W E[K 4*)+���;�:9�O ?3> C3C W8U 4*)+�'6��:9�O L Jt<*W E X WIU 4*)+� � 7:939 d M K ; >RGI>@? W C O*> Y*B J E >@O B U B�B ZIS*?3> < % E <*>%JeW C >KIP ; WIN2. B U�Z B]CY1 S BDE > CAY >RJ B LMJ B U E <�> C >RU C > E <MW E J K U E3B U S BDE T ; B E < ?A> CAY >RJ E E3K^B U BDE[B WINOMW E W B]C N B .I>RNDT E[K _�> GI>@? B LM>@O P�K ?g?3>@W C3K U*WI_*N]> XrS*N E3B]Y ND> B X Y WIJ E NaWe; C W CgE < K'C > Y ?3>P-C >@U E >@O B U C >RJ E3B]K U N d 8 d 8 WIU*O B X Y N B J BDE >RNDTcW CAC S*X >@O B U 4"� ? B% N]> % J _*_MW R ! ND> CAE WIU4*)+�;���:9�O � ? B% & N]> %/J _*_*W R ! ND> C E WIU 498@:;:`)9A9 d

��� ���������� �������������������������� ���������� ����� ��! #" �" $"%� ��� �� ��&'������)(

�� ���� *& �������� ���+�,�� -�. %��& /�� ��021.����3�� ���

�� ���� 4& �������� ���5�,�� 4�23�������� ��0

BQB Z'S*?A> )+N ( G B]C J K U E[B UVS BDE T^; d ? d E%B U B E[B W8NbJ K U*O B E[B]K U C < B]C X >@WIU C=E <MW E=E <*> C E S*O�T KIP W�; WIN . B U*Z X WIJt< B U*> JeW8U _�> ?A> CAE ? B J E >RO E[K J K U(-CAE ?3W B U E C S�? P WIJR> CFKIPbE <*>gJ K U�LMZ'S*?3W E[BDK U CAY WIJR> 4 W C WIO�G K JeW E >@O B U 4�� KVK O�; B U*> R S*?�-O B J?. 498@:;:`)9A939 P�K ?FW CAB X Y N]>R?FJ@N]W C3C K8PQC ; BDE Jt< B U*Z C T C E >RX C 9 %MBDP{K U�> W C3C S�X > C=E <MW EFE <*>J K U C E ?3W B U E[C K U E <�>^J K U E ? K NDN]>@? � Z B G'>@U B U 4*)�)9 W8U*O K U E <*> Y ?A>�- B X Y WIJ E CAE W E > B U

x�y{z|x�}

Page 72: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� < �

4*) 8'9 WI?A> C W E[BDC LM>RO d Q K U C > 1 S*>RU E NDT K U*> Y ? K X BDC3B U*ZHO B ?A>@J E[B]K U P�K ? J K U E ? K N�O�> C3B Z'U J@WIU_b> P�K S*U�O B U�X K O�>@N Y ?A>@O B J E[B G'>%J K U E ? K N C E ?[W E >@Z B > C ;=< B Jt< >@U*WI_*N]> E3K X B U B X B� > C3K X >K _�VA>@J E[B G'> P S*U*J E[BDK U^;=< B ND> Z'SMW8?[WIU E >R> B U*Z B U*> 1 SMWIN B E[B > C N B .8> 4*)�)9 4�) 8'9 WIU�OcW8J E S*W E[K ? CN B X BDE W E[BDK U CRd����������� ��������������������������������������������� ����!�"�����#��!�$����������&%$')(+*,��������.-/�� #�0

�1���#������325476!"���#�89�����:;"��32��3<=������#������?>A@��1���B��?C

D � ��� ����������

6)��2E����FGCIHKJ?L?L?LNMOC�P=Q;��8R��B�����8S"�� �����#��T#�UV����W?��2X��#Y2E������Z[F\#;2�����������W9#�U]U^����B�����#����]B�#��E0�1�B��_CY`ba!c�dNe�f^g�h^i9j&k�eOlYd�i�hKe�d�mno�gOfpkOaqg�r5s)i�d�mto�gOh g!d�iAu3awv_uxkOm^myhzi;{N>Y*;��������WN���|-I��B���"����'=#�����������}[�;QY����B��)~|������5�A>��+C��$��#�W?��� ���#w��25C�>�E�b�A���?��C

6)����������B�"�FGC/��}V#����1T@$C/6SC|H��_�?�N�?MOC]@�#���83"�� �������W�2EQY��8R��Bw8S"�������0�����W?��2Y0���#Y2EQ�B�#��x�1�B������#�������8w�=��������U^����B�����#�����)�1#�����������3�������_��=B�#�8R������8w���;�1������pQ\����#�������8w�_CI�.v�i�myh^i�k�d���.o�iAd�a�hKeOgO> �Y�/>�J?�E�b�YJ��;�YC

6)�1��?��$9��C���@�"��Y"�2�R��C/H��_�?�N�?MOCA'=���"��1��I8w#�����#��TWN�������1�����#��T#�U������� ��2X��#���#���"�������W�������������1���B�����B_������1�����B���#���Q3WN�������1�����#��R8w������#Y2qB�#���������������W�#�U�<+6q>���}&� _QN�����_CN $��v_e¢¡v�£.f^lEk+`�¤�¤�¤¦¥[v�i_£_¡]v?iX§�v;¨�v?fp¡[d�i�u�s)©Ef�v�awd?fp¡ > �A>Eª����������W?��#��TP�%=>AJE�?�b�YJE�_�EC

s)©Ef�v�awd?f«hKe�d9H��_�?�?�NMOC6¬��� ��B�� ��I­®����"���#���¯)Q;������2T*;QE������8w�_>�°��I±�°5²¢>�F\���B1�IC������������YQG³qC7­OC!H��_�?�?´NMOCqµ/l�k�v��OoGv�£·¶IhK¨O��v�¸¹hza)cEdNe_f.no�g�fpkOaqg�d?iAu\s$cNcAmyh«e1d?f«h«v?i�gOC�*;��������WN���

³������ �W�>@�#�"���2������#����)#�U[F\��B�������B_��]����W?��������������W�C���������QX��C���6!�1�� #?���1��������_>6SC/H��_�?´N�?MOC *;��8R������*;����2E����WºFT#Y2��S%$#��;����#��»*YB�����8w�q6)����������2

��#R()#���#���F&�������"�� ���#����_C `bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m�¼�v�©;�OiAd�mVv�£9¥[v�if«��v�m�>����I±��I²¢>I�?�_�N�_�A�_J?L?�EC�������#¢��P�CNP�Cx�½*;��8w��#���#¢�9}VC;*�CH��_�?´?�NMOC�nAo�g�fpkOaqg�¾[h^f^lRh^a!c�©;mtg�k�k^¿)k�e�f^g1r»gOf�d;¨Ohzmyh«f«o�ÀVf^lEk�v��Oo

d?iAuÁdbcNcAmyh«e1d?f«h«v?i�gOC��[�������¯=#�����#Y#Y2Ã*Y���������Â���ÄF&�������89�����B��X���2·�����º6!��������B_�����#����¢>ªÅ������QNC

����1�Æ,PqC�H��_�?�?�NMOC?­®����"����V���wB�#�8R��"�������W.B�#��x�1�B���U«#���B����VUK#��»��#��E0������������1�������W.����W?��2�� #Y2E�����_Cs)m7{Nv��Oh«f^lxa�h«e�dN>5�YÇ/>�J?�?J¢�Y�?È?JEC

����1�ÆÃPqC�H��_�?���;MOC[@�����B�#��;�1�B���U«#���B��,B�#�8R��"��1�����#��ÉUK#�����#��������������1�������W�����W?��2Ê� #Y2E�����_Cn�`�Ë�Ë|§�s! �ÌTÍ Î¢Ï�>�Ð)��� ���2�#�>Ñ?"���QN>J?�¢�Y����C

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 73: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� : � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s�����89���� ��&Ñ�C³�C»H��_�N���NMOCA������¯)"�89��\�$��B�QEB����?C���h«v?awk�eOlYd�i�hKeOg ¶5¸Ks�>��!#�8R�[}]C�³�C�>A�|25C�>

�)�����N���������¹Q,}»����X}[�������_>�J?�N�_�Y�?L?JEC����������=Ñ�CY6SC H��_�?�?�NMOCEÐ)�,'=������#��I47�����2,}V#�������#��I47�$��"�������#�UI������B�"��1�����N�)2EQY��8R��B��_C�s=n�jX¤

�E¡»v�£)s�cxcAmth�k�u9j&k�e�lYd�i�hKeOgO>��Ç/>��N���¢�Y�?´E�?C�������������Y���Y³qC¢³qCEH��_�N��ÈNMOC�P)QY��8R��B��»#�U��p�$#)����W?WN��2q������;����W�>N­1­bC?h���¡;s)�Ãn�nnE§.¡Yj�k��_lYd�ih ��d

µ��kO��uxv�{Nv µ�kOm�dN>5�YÇ]±��5²¢>�¢�A�_�EC�������������Y���E³qC�³�C�>N�������xQY"��S³�C���C?�½*E�8w��#���#_�q³�C�6qC�H��_�?´?JNMOCN}»��1�8w��������B!#�������8R���¢�����#��9#�U

8w#�����#����+#�U$9����� ��2���]������;����W,��#�� #��_C/h���¡Vs!� n�n�nE§.¡Vj&k��_lYd?i�h ��dʵ��kO��uNv�{xvʵ�kOm�dN>��� ±O�²¢>J?´¢�x�xLEC

�������������Y����³�C?³qCN�½�$#���#���������C�³�C�H��_�?´?�NMOCxF\#;2�������������89�����#��Â#�U ��������������WN������B���#�U ����� ��2���������;����Wº���2X��"���������W�C5j&k�eOlYd�i�hKeOgSv�£+n v�mthKu�g�> ���/±��I²¢>´N�_�Y�?JEC

�������������Y��� ³qCY³�CY��%��;"�2E����#_�X}]C*�CIH��_�N�?�?MOC�}»��1�8w��������B.#�������8R���¢�����#������,�����+����#�������8 #�U����� ��2���I��#YB�#�8w#�����#��IC5h���¡5s)� n�n�nE§.¡Ij&k��_lYd�i�h���d�µ��kO��uNv�{xv µAkOm�d?>5���I±O�²¢>J?È¢�Y�?ÈEC

�������������Y����³�CI³�C/��%��;"�2E����#_��}VC[*�C�H��_�N�?�?MOC/�����9�������_��q���1����������¢�����#��Ê����#�������8 U«#��3�p��#����W?WN��2T�83��"�� �����#��IC]h����¡5s!� n�n�n�§.¡Ij&k��_lYd?i�h ��d&µ��kO��uxv�{Nv�µ�kOm�d?> ���/±�� ²¢>�?È¢�E����C

�������������Y����³qCV³�C[� %��;"�2E����#_� }VC|*�C�H��_�?´?LNMOC|%$#��x����#��!#�U=8w#�����#��·#�U=\����� ��2�����$����Y����W��#�� #��_C5h���¡5s)� n�n�nE§.¡Ij&k��_lYd�i�h���d�µ��kO��uNv�{xv µAkOm�d?>5���I±�°5²¢>�?L¢�Y�?´EC

�������������Y���/³�C�³�CA���+�����b���#_�?9��C *�C]H��_�N���NMOC�}[� ����3�������_��)8w#;2������=#�U[��������2���#;B�#�8w#�����#��ICh���¡5s!� n�n�nE§3¡5j�k��_lYd�ih ��d�µ��k���uNv1{Nv�µ�kOm�dN> ���±��I²¢>ÈE�b�Y�?JEC

�$� �������ª C;�¬*YB1�����������ª CH��_�?�?JNMOC;ª�����;����WS��������#�"�����8R��B��������.8w#�����#�� �¢U«#���B��=B�#��x����#������#�������8�C s=n�jX¤!�E¡[v�£)�.o�i�d�a�h«e3no�gOfpk�aSgbÀ[j&k�d�gO©;��kOa9kOif�d�i�u\¥[v?if«��v?my> �A�;�/>A�?�?L¢��?�?ÈE>P=��B���8S�����_C

��#���#������"��C]³�C�H��_�?´��;MOC»�[������WN������B_�����QÊ#�������89���Wx�������#�U)���������2���$�$����Y����W&��#���#��_C|j&kO¸e�lYd�i�hKeOgSv�£+n�v?mthKu�gO>���#/±�� ²¢>��?���YÈE�?C

��#���#¢���B��+C�>$³["��N#����1���#_�Y��B\FÊC�� *;"���� �P�C!H��_�?´?�NMOC�6)�·6!������#N�B1�·��# �$��� ��2Ä%$#��x����#��*;QY�x�����������_CA§�vx¨�v?f«h«e1d?>$� >�J?�E�b�YJ����?C

�$�1�B1��(3C�FGCIH��_�?�E�¢MOC j&k�e�lYd�i�hKe�d�m5`ba!c�dNe�f[��o�iAd�a�hKeOgO>�Ñx#�����ªÄ������QN>')���%�|#���� C�$�1�B1�Â(3CxFÊCH��_�?�N�?MOC;­p8R��B��$B�#;��&9B������;���$���29�1���WN���x��� �����8R��B����_CYs+n�j,¤'�Y¡/v�£$s$cNcAmyhKk�u

j�k�eOlYd�ih«eOg�>°��V±��5²¢>I�_LE�����A�_LE�_�EC

x�y{z|x�}

Page 74: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� � )

�$�������b��·6SC�H��_�?È?�NMOC�­p��B�#�8R�����������������Ê2���������#�����8R�=2E�!���������������¢���2E��"�����B������ 2����!8w#���#� ���$"��º����� #S8w#�����#qB�#�8S"������!����WN#�� �����2E� ����������8R� 8w��B�B_�����B���C§�k�iAux¡5n�e�©�¡��3v��Oaw¡]u�h �h g�d?>��?�?�¢�Y���x´EC

�$��#�W?��� ���#&�+C$H��_�?�?�NMOC��3v�i�gbawv_vNf^l j&k�eOlEd�i�hKeOgO>�*;��������WN����³������ �W�>�%�%$�$*�C[�[���1���"�8 ���2�2�2�����2E"�8 ����x�����IZ � ��������0�� �W�C7����������W�C ������W�C U«������"�������B_�����#����_C �Y��8R��C

�$��#�W?��� ���#\�+C�>V')��B�"�������B�" *�C/­OC]� Ð)�����x��}]C�>�H��_�?�N�?MOC[Ð)�Ê�����ÂB�#��x����#���#�U����������º2E��8w���E0����#����/8w��B�������B_��[��QE������8w�)��������"������ ������1��[B�#��������1����;���_C `�¤|¤�¤�µ���d�i�g_¡/s)©Ef�v�awd?f«hKe¥[v?if«��v?my>����I± ��²¢>AJ?L?L¢�YJE�_ÈEC

�$��#�W?��� ���#.�+C�>N')��B�"�������B�"º*�C?­OCN�ÃF\#��x��������#�0pF&���:x"����$FÊC�HKJ?L?L?LNMOCYÐ)�R���������1�B��Y����W3B�#��x����#��#�U5=B�� ����[#�UAB�#�8R������8w���x�1������¹Qx0p��� �B��Y�������$�xQY������2�8w��B�������B_����QE������8w�_C;no�g�fpkOaqg�d�i�u¥[v?if«��v?m��/k�fKfpkO�bgO>A°�#I>�J?È?È¢�YJ?�?�EC

�$��#�W?��� ���# �+C�>$����� P��8 6qC[6SC�>$}»�#����)-�C�>�<�����#��9@�C|� 6)��2E����FGC�HKJ?L?LE�¢MOC|')"�8w������0B_��]����83"�� �����#��\#�U����������S2E��8w��������#����/8S"���������#Y2EQ,��#�����8w#;#����T8w��B�������B_��V��QY������8w�_Cs+n�j,¤Ås�cNc�mth�k�u9j&k�eOlEd�i�hKeOg=§�k�_h�kO¾»g�C

�$��#�W?��� ���# �+C|� _���� �0p(!��# 6qC�HKJ?L?L?LNMOC$Ð)�É������B�#��;����#��)#�U�B�#�8R������8w���x�1���Q·��� �B1�;�����1���"�W?W?������W�8w��B�������B_��I��QE������8w�_C�`�¤�¤�¤ µ���d�i�g_¡As)©Ef�v�awd?f«hKe9¥[v�if«��v�m�>;� �I± � ²¢>EJ?�?È¢�YJ��x�EC

�$"�2�2 %=CI� P="��\@�C[H��_�?���;MOC/%���������������WT���2\����� �����2&�����_�;��#�"��.���&��8R��B��.#?��B������ ���#����¢C ���v_e�¡I§.¡/n�v_e�¡ �Iv�i�uNv�i�À]s�>A°��$� >��?�?È¢�Y�?´?�EC

%�����WT��CI¯SCI� ¯)"���83"�����" ��C�H��_�?���;MOCV*;����2E����W\%$#��x����#�����������#�"��S(!�_�B1������W�}[�����Â���2�����R6)��������B_�����#��É��#��$������2����-I#YB�#�8w#�����#��IC�s+n�j,¤ �Yv�©;�OiAd�m!v�£R�.o�iAd�a�h«e,no�gOfpkOaqg1Àj�k�d�gb©Y��kOa9kOif^À�d?iAuT¥[v?if«��v?my> �EÇA�5>E�?�;�_�x�xÈ?ÈEC

%�������#��É}VC»¯SC�>[¯=#����;�����w*�CV¯SC»��}[��8 PqC»��C�H��_�?�?JNMOC»FT#Y2�����������W ���2ÊB�#��;����#���#�U=����� ��2���I��#�� #��_C$�;v�©Y�OiAd�m]v�£.no�gOfpkOaqg!¤$i;{�h^i�k�kO�Oh^i;{?>��I>E�x�¢�YÈ?�EC

%�������#��T}]C�¯qC�>�¯)#����Y�����!*�C�¯qCE� }���8 PqC���CIH��_�?�?JNMOC�P+�������?�����#���#�UV#�������89��/�$����Y����W8w#�����#�����U«#��!q����� ��2���I������;����WÂ��#���#��_C§�v;¨�v?f«hKe�d?>]�YÇI>5�_�?È¢�A�¢��JEC

%�������#��T}]CA¯SC�>�¯=#����;�����=*�C�¯SC� }���8 P�C���CIH��_�?�?�NMOC6¬W?�1��Y���pQXB�#�8R� �����1�����#�������B��E0����:;"��!U«#�����º�E0�����W?WN��2,��#���#��_C� $��v_e¢¡5`��=n[µ5� j,¤�¥I̬¤��RË|§=n�À5`ba9k�eOl?¤�> � �YÇ/> �b�A����C

%�������#��º}]Cx¯SC�>N¯=#����Y������*�CN¯qCN� }[��8 P�CN��C�H��_�?�?�NMOCEÐ)������89�� %$#��x����#���#�U5��R�E0�����W?WN��2��#�� #��_C �Yv�©;�OiAd�mVv�£+no�gOfpkOaqg.d�iAu&¥[v�if«��v�mA¤$iY{�hzi k�kO�Ohzi;{N> � �EÇI>�ÈE�b�Y�?�EC

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 75: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� 8 � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s%�������#��T}]C�¯qC�>�¯=#����;�����)*�C�¯qC�� }[��8 P�C���CIH��_�?�?�NMOC�6¬�?���� �����#����]�������#N�B��T��#������

#�������8R���¢�����#��º#�U�Wx�����U«#��|=����� ��2������#�� #��_C; $��v_e¢¡`��+n»µ5�½j,¤�¥IÌä��wË|§)n�À�`ba9k�eOl�¤�>�5�YÇ/>5�¢�?�_�A�_´?�EC

%������?����������_�"T%=C�>�@�#���89���47���YQÂ6qCE�¬}V�����������+C H��_�?�N�?MOC%$#��x����#��/#�UVS������;����WR��#�� #����������UK������UK#�����#_������WXR���OUK��������B��.���1�����B���#���Q�2��������N��2�U^��#�8���������������B.8w#�����#��IC5`�¤�¤�¤ ¥[v?i_£�¡§�vx¨�v?f«hKeOgSd�iAuRs)©Ef�v�awd?f«hKv�i>�J?L�0¹J?ÈR6)��������>�6!����"�:;"�����:;"��?>�')���½F\� �E��B�#�> �+*Y6qC

%��;"�2E����#_��}VC�*�CVH��_�?´?LNMOC�Ð)���3����#�������8�#�U|���W?"�� ��=���1����������¢�����#��T#�U[��������2���]��#;B�#�8w#�����#��ICh���¡5s!� n�n�nE§3¡5j�k��_lYd�ih ��d�µ��k���uNv1{Nv�µ�kOm�dN> �E�I±��5²¢>��x�¢�YÈ���C

%��;"�2E����#_�\}]CI*�C»H��_�?´��;MOC�}���#�������8 #�U����W?"�� ������1����������¢�����#���#�U|����� ��2���V��#;B�#�8w#�����#��ICVh���¡s)� n�n�nE§.¡Ij&k��_lYd�i�h���d�µ��kO��uNv�{xv�µAk�m�d?> ��#/±O�²¢>I�_�?�¢�A�_�?�EC

%$#��������=(3CNª Cx� P���x������W9<�CN�+CAH��_�?�?´NMOC�%$#�8R������8w���x�1���QÂ�����N#���������#���Qw#�UI89�������89�����B_������#�W?�1�8R8R����W�C �»h^i�k�d��+s)m {xk¢¨O��dXd?iAuwh«f^g)s�cNc�mthKe�d?f«hKv�i�g�> �A>5�_L?�¢�A�_J?ÈEC

%$#��������$(3C�ª C�>�}»���W�Ñ�C?*�C��Ã*;��#�����(3C7��CEH��_�?�?JNMOCIµ/lEk �»h^i�k�d?�+¥[v�a)cAm�kOa9kOif�d?�bh«f«o! $��v;¨Om�k�a�>6�B_�2���8R��BS}[�������_>���#?����#��I>F\����b�B��x"��1�������_C

P+��� �����"�����C/H��_�E�¢�?MOCAF ��8w#������.��"���� ���� ��#������32�������� ����1#���������������"������ �� ���1������¢C�s)i�i�¡In�e�hK¡¤�e�v�m�k��.v��Oawd�m�k.n©¢c5¡ >�°��]>��?È¢�A�¢���EC

P+#����Tª C *�CVH��_�?�?LNMOC�P="������pQ����\:x"�2E�1�����BS����#�W?�1�8R8R����W�C � ©Ed?fpk��bmyo,v�£+s�cxcAmth�k�uºj&d?f^lEkO¸awd?f«hKeOg�> ���/± � ²¢>I�_È?È¢�A�_�?JEC

P="����&��C � ¯=#_�$�q(SCP�C»H��_�?���;MOC��]#_�����2�*;8w#;#������$������2���Vª�����Y����W�C5`�¤|¤�¤½`bifp¡�¥[v?i_£�¡v?iX§�v;¨�v?f«hKeOgSd�iAuRs)©Ef�v�awd?f«h«v?i>�°I>A*E���P=����WN#�>A%$6q>J��x´?�¢�YJ��x����C

P="�� #��x�$}]CY��CAH��_�?�?JNMOCY�����!�OÆ5��B���#�U]%$#�"���#�8S�9U«����B�����#��º#��9�����!� �E����������B��)���29"�����:x"����������#�U������|UK#����$���2�2EQ;��8R��B��V����#�������8�CN`�¤�¤�¤�`bifp¡/¥[v?i_£�¡v�iq§�v;¨�v?f«hKeOg�d?iAu!s)©Ef�v�awd?f«h«v?i>')��B��?>�@��1���B��?>AF\_QN>I���?�xJ¢�A���?�;�YC

����2E89����wFÊC�H��_�?���;MOCxÐ)�w)���������������x�1�����#��º#�U�U^����B�����#��R���RB�#�����W?"��1�����#��9����B��?C?`biAfp¡��Yv�©Y�b¸i�d�m/v�£)§�vx¨�v?f«h«e�g+§�kbg_k�d���eOl;>I�E°/±�°5²¢>�Ñ?"����?>J��xL¢�YJN�Y�?C

@���������.FÊCI%=CI� }»���W�Ñ�C/*�C�H��_�?�N�?MOCI����W?��������������WT���2���B�#���#�8R��B96)��������B_�����#���#�U�%$#�8�0������8w���;�1������pQ�}���#�������8w�_C nE`�s+j §�k_hKk�¾�>°�#]±�� ²¢>�?�?�¢�E�Y�_�EC

@V����B1�����S6qC|H��_�?�?JNMOCV6 ������B�� ��$')������#��E0��¹Q;� �9#�������8R���¢�����#��Á8w������#Y25C��]c�f«h^aqh��_dNf«h«v�iA> ���]>J?�?�¢�YJ?´���C

x�y{z|x�}

Page 76: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� � N

@��1�����#����=%=C�� *E�8w��#��T%=C]H��_�?�?�NMOC��[������W?QX��&9B�������#��TB�#��;����#��/#�UV��"���������WÂ����W?WN��2X��#�� #����_C6�B_����X����"�2EQ Z,�����,��� ����9#����O0�����W?WN��2 ��#���� ���_C|`��!§!`�s�§�kOg�k�d���eOlʧ�kpc�v��OfK>�°AÇ ��� >�;�����IZ � �������.C ������� EC U^����()(!(»� ��(!(�0¹�?L?JN�YC �x��8R��C

@��1���� 6SC=H��_�N��LNMOC|6)�Ä6)������#N�B��Å��# ������P=QY��8R��BT6)����QE�����Â���2Ã*;Q;�;�����������Â#�U3�$��� ��2-/#;B�#�8w#�����#��\F\�B1���������_C j&k�u?h«e�d?mVd�iAu ��h«v�m�v�{�hKe�d�m5¤$i;{�h^i�k�k��bh^i;{?>��I>E�x�?È¢�x�;���EC

@�"��®��8w#���# ��CV� �._�$�83"��1&6qC�H��_�?�?´NMOC[*;��83"�� �����#��É#�U)��Á�"���#���#�8w#�"��S����� ��2Ê�$����Y����W��#�� #��V����B���"�2E����W+���;�;����#���8w���;�1��EU«#���B������x�����1�B�����#��ICx`�¤|¤�¤�§�v;¨�v?f«hKeOg�d?iAu!s)©Ef�v�awd?f«h«v?ij&d_{Nd ��hzi�k�>�I± ��²¢>A�?�¢�x�xJEC

@�"��;"�2�Â��C�>��!#�8w#��1 ��C � 6)�1��?��$º��C»H��_�?�N�?MOCI*;�1����������¢�����#��Ê%$#��x����#��[#�U|�$������2\-I#YB�#�08w#�����#��,(!#�� #��|���1��2Â-I�_���������W���������<�������Y����WR*Y����U^0¹�2���������N�+F�"��1�����#��X���2Â()�O0B�"��������;�)'=��"��1��/'=���p��#����E�_CA`�¤|¤�¤ ¥[v�i_£_¡A§�v;¨�v?f«hKeOgqd�iAu�s)©Ef�v�awd?f«h«v?i>�6!����"�:;"�����:;"��?>'=���½F\� �Y��B�#�> ��*Y6q>�JE�¢�_�YJ?J?JEC

@�"���"�����#.Ñ�CN�½*E���#�6qC�H��_�?�?LNMOC;*Y������#���������2RB�#��;����#��#�U =���������������3����� ��25Cx`bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m�Yv�©Y�biAd?m]v�£)§�vx¨�v?f«h«e�g=§�kbg�k�d���e�l;>�#]± ��²¢>´?�¢�Y�?´EC

<.���B�� XFÊC�>[%����������«�����96qC�>/(�"�����6SC/��%$#�����89��ÊFGC|H��_�?�N�?MOC/�����Â*;��8R���������3ª�����Y����WF\#Y2�����ZX*;�1����������¹QN>����2·*YB_�������W�C|s=n�j,¤ �;v�©Y�OiAd�m�v�£ ��hKv�a9k�eOlEd�i�hKe�d�m$¤$iY{�hzi k�kO�Ohzi;{N>����Ç/>�J?´E�b�YJ?´?´EC

< ����#�� @�C¦H��_�?�?´NMOC ¥[v�if«�Oh�¨O©Yf«hKv�i�g�� m�d awv_u��Omyhzg�d?f«hKv�i k�f�� m�d e�v�a�awd�iAuxk uxkbggOo�gOf��Oa9kbg a��e�d�i�h��©�kbg�uxk�e�v��pcg��bh�{�hKuxkbg d �k�e e1v�if«��d�hziAfpkbg�©;i�h^m�d?f��O��d�m�kOgOCG}[��P�����������_>¬­¹����������"���'+�����#����½}]#���QY����B�������:;"�� 2�� <=������#������?> @��1���B��?>�@�������"���QN>�;�����IZ � �������.C ������� ��������¢C U^���������IC

< ����#���@$CN�Ã�$��#�W?��� ���#.�+C�H��_�?�?�NMOCN'=��� (!����"������[#��w}V���������� �!���1�2�# �����_C;¤$©Y��vOc�k�d�i �Yv�©Y�b¸i�d�m/v�£+j&k�e�lYd�i�hKeOg=s �An�v�myh«u�g�> ���]±��5²¢>�?È?�¢�Y�N�?�YC

< ����#��q@�C�>[�$��#�W?��� ���#��+C�>[���1�B1�É(3C/FGC»� ���;"�����#��w�=C�H��_�?�N�?MOC�Ð)�G-V%$}��w���2G�1���WN���E0��� �����8R��B����3���Ê����W?��2 � #;2EQ&8w��B1������B��S�������Ê"������ ������1��$B�#��������1����x���R���2�2E��Q&U«����BO0����#��IC�`���s�¥,no�a)cEv�gOhz©Ya v�i3§�v;¨�v?f�¥[v�if«��v�m���n ��§ �.¥ �9Í Î�����>¢��0¹È)*Y��������83� ���_>�'+��x�����¢>@��1���B��?C

< ����#��|@�C�>x�$��#�W?��� ���#3�+Cx� ¯)"���83"�����" �RC�H��_�?�?´NMOCY%$#��x����#�� #�U5������B��Y����W3���������|���w8w��B����E0��B_��.��QY������8w�,������� "������ ������1��3B�#��������1����x���¢C�_f^l ¥[v?i_£�¡Sv�iÅ�3v�i�myhzi k�d��½¶5h�¨O��d?f«h«v?i�g1Àn�f�dx¨Oh^mth«f«o�À�d�i�u���o�iAd�a�hKeOgºv�£9nAf«�O©Ee�f«©Y��kbgO>�ÑN"���QÊJ?��0¹�?LE>[³=����W?����� T}V#���QY����B�������BX­¹�����_C�>�$� �B1�Y����"���W�>��+*Y6qC

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 77: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� , � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s<�#�������2��QG%=CV-�C»� ¯=��89�8R��¯SC$H��_�N�?�?MOCV6)�G�������#N�B1�É��#\�����Q�������W\��������2Ê��#;B�#�8w#�����#��

2EQY��8R��B��3���2 2�������W?������W���#���#�����#YB�#�8w#�����#���B�#��;����#���CV`�¤�¤�¤ µ���d�i�g�dNe�f«hKv�i�gwv�i�s)©;¸f�v?aRdNf«h«eº¥[v�if«��v�m�>����I±��5²¢>�?�?�¢�Y�N��JEC

<�#;#Y2E�������|�+C�� �$"���2E��B��qÑ�C¢ª C;HKJ?L?LE�¢MOCN%$#��;����#���� ����������pQ�#�U��;������89�����B�B�#��x����#�����QE������8w�]#�������1���� ���2XB�#�����W?"��1�����#�������B����_C�`�¤�¤�¤¦µ���d�i�g_¡�s)©Ef�v�awd?fp¡�¥[v�if«��v�m;���/±�°5²¢>E�?È?´¢�Y�?�?´EC

<�#?���$�8R�56qC�H��_�?�?�NMOCE}V#?����"��1��]*;�1����������pQº#�U]�$������2º(!#�� #��������2Â�����=@�#Y#���0p(!#��1�����#���­¹��2E��0B_���#��!H«@»()­�MV}V#����x�_CE`bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m��;v?©;�OiAd�m ��£�§�vx¨�v?f«hKeOg$§�kbg_k�d���eOl;>����]±�� ²¢>xÈ?J?�¢�YÈ?�?�EC

<�#?���$�8R�=6SC�>����;"�����#��º�+C�� ������� �"Å�=C=H��_�?�?�NMOC$%$#�8R�����º-5���N�\�$������2���=(!#�� #��9}V����­OZ�*;�1����������pQ·���2É�$��U«"���B_�����#��·#�U+}»��������N�\<�������_C|`��!§!`�s�§�kOg�k�d���eOlʧ�kpc�v��OfK> ��#�#��/>�;�����IZ � �������.C ������� EC U^����()(!(»� ��(!(�0¹J?�?�?�EC �x��8R��C

<�#?���$�8R�E6SC�>����;"�����#��V�+C�� ������� �"��+C;H��_�?�?´NMOC�6É����"�2EQ.#�U����������1�����N�|Wx����V#�UA�B�#�8R������0�����N����������2É��#�� #��_Z���QY8R8w������QÉ���2 B���#?�_C�`bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m �Yv�©;�OiAd�m!v�£Â§�vx¨�v?f«hKeX§�kO¸g_k�d���eOl;>/� � ±O����²¢>I�_J?´?J¢�A�_�?LE�?C

<+�����������R6SC�6SC?�Å@�#���89���47���YQS6qC�FÊCEH��_�?�?LNMOCx%$#��x����#���#�U���������2���E������;����W���#�� #��»�xQ38w�_����#�U���8R��"����1���V#�U �����������8R��������"�2��?CYh����¡xs)�Ån�nnE§.¡Yj�k��_lYd�ih ��dºµ��kO��uNv�{Nv,µ�kOm�dN> �A�I± � ²¢>�N�_�E����C

<+�����������R6SC�6qC�>?@�#���89���47���YQS6qC�FGC�>?-I�������YQS6qC�³qC?� A������#�8R�������YQ�*�C�³qC�H��_�?���;MOC?P=QY��8R��B#�U».�N������B����=�������,�p�$#�����������B�#�����B=����WN�$B�#��;����#�������2,�xQÂ�p��#�2E�����N���_C�µ/lEk!`bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m�Yv�©Y�biAd?m]v�£)§�vx¨�v?f«h«e�g=§�kbg�k�d���e�l;>/�E°/± � ²¢>I�_�N�_�A���;�YC

<+������������Ñ�C ª C�>?6)���+<RC��Ä}[�������1��R@�CYH��_�?�?�NMOC�}[��#¢�;����W.���QY8R����#�����B����1����������pQq#�UA)�$����Y����WB�QEB����XUK#�� ���N��2�#�U���������2·��#���#��Â8w#;2�����C��NiAu&`bifp¡�¥[v�i_£_¡q¥Vmth^a9¨Oh^i;{Nd�iAu���d�m ��hzi;{§�vx¨�v?f^g�>�}]#�������8w#�"����I> � �R>�����������83� ���_>A�?�¢�Y´E�?C

<+�����������!Ñ�C ª C�>E6!���q<�C;� }[�������1��,@$C�HKJ?L?LE�¢MOC;6=��QY8R����#�����B_�����Qw���1�������������;����WqUK#�������� ��2��#�� #����_Z=6!����QE�����=�Y� Â��QY������8w�+����������8R��"����1�q�OÆ5��B����_C/`�¤�¤|¤ µ���d�i�g�¡�v�i&s)©Ef�v�awd?f«hKe¥[v?if«��v?my>����/±O��²¢>AÈE�b�Y����C

<+"������w@�C�>¯=��89�8R�]¯qC� F\B¢<=�����S(3C��+C/H��_�N���;MOC5Ð)�������S2EQ;��8R��BS���1����������pQ�#�U[����� ��2��#YB�#�8w#�����#��ICA`�¤�¤|¤ µ���d�i�g�dxe�f«h«v?i�g3v�i ��hKv�a9k�u�hKe�d�m ¤�i;{�h^i�k�kO�OhziY{?> � � ± ��²¢>I�_L?J¢�A�_L?´EC

<+"�B��N����������8w���ÂÑC�� ¯)#���8w���R}VC!H��_�?´?ÈNMOC|�.v?i�mth^i�k�d?� ��g�e�h^mzm�d?f«hKv�i�g1ÀSu?o�i�d�a�h«e�d?m�gOo�gOfpkOaqg1Àd?iAuº¨�h £O©;��e�d?f«hKv�i�gSv�£ �k�e�f�v����$kOm�u�g�>*;��������WN����0�³������ �W�>A'=���%�|#�����C

x�y{z|x�}

Page 78: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� � 6¯+���­OC�¦<+����8w#����3�+C�Ñ�CVH��_�?�?�NMOCFT"�������0���#Y2EQ,��8R��B��)8w#�����#��T��������U«����B�����#��X�º6)����QY�����_>

����83"�� �����#��Ê���2�� �E��������8w���;�1����?�����2������#��IC/s=n�j,¤ �Y¡$v�£qj&k�e�lYd�i�hKe�d�m]�qkbgbh�{�i>���E�I>*Y��������8S�����_>���_J¢�x�xJ?JEC

¯+��Ê­OC�>[<=����8w#����Â�+C]Ñ�C]� Ð)WN#��qFGCIFGC�H��_�?�?�NMOCV�����w����B�#���� #��1�����#��Á#�U)���B9��#�"���2������������2R������B��;0p�������RU«����B�����#��w���9=��"����O0�������29����83"�� �����#��Â���WN#���������8 U«#���2EQY��8R��B�8w��B����E0��B_��)��QY������8w���������·B�����W?����WÊ��#���#���#�W?�����_C$s=n�j,¤ �Y¡=v�£ºj&k�eOlYd�i�hKe�d�m��SkOgbh�{�i>)��E�I>*Y��������8S�����_>�xJ?�¢�x�x����C

¯+�"�WX��C Ñ�C�>5ª�"�*�CI%=C5� �����WT*�C FGCVH��_�?´?�NMOC5P=QY��8R��B���#�U�8w��B1������B_��|��QE������8w�=�������%$#�"���#�8S�3U«����B�����#��I>�������B�����#��I>���8R��B��V���23B�#��������1����x�[�2�2E������#��E0p2�����������#��ICxj�k�eOlYd�ih gOaSgd?iAuRj&dNeOlxh^i�k,µ/lEk�v��Oo?>�� � ±���²¢>��xLE�b�x�xL?�EC

¯=��89�8R�[¯SC � @��������$#������ (3C�-�C[H��_�N�?�?MOC�}V#?����"��1��|���2\Wx��������1����������pQ\#�U$Â��� ���� ���N�������������� ��2S�xQ.����8S"�� �����#��IC?`�¤|¤�¤½µ���d�i�g�dNe�f«hKv�iÂv?iqs)©Yf�v?aRdNf«h«e.¥[v?if«��v?my> ���I>¢�xÈ?J¢�x�xÈ?´EC

¯=��89�8R�|¯qCI� �.������Ê6qC�H��_�?´?JNMOC]%$#��������1�������2Ê­p�;�N��������2 }]����2E"���"�8 F\#;2����»UK#��.�[�?���0"�������W �)������W?�x�.}V#?����"��1���*;�1����������pQNCVs=n�j,¤��;v�©Y�bi�d�m�v�£��.o�iAd�a�hKeOg3no�g�fpkOaqg1À$j&k�d�¸gO©;��kOa9kOif^À�d�iAu\¥[v�if«��v�my> �EÇ��]>����x�¢�Y���x�EC

¯=��89�8R�I¯qCY� ª�QY89��X�=C�@�C5H��_�N���NMOC�F\#;2���������Ww���2�%$#��x����#��]#�U[%$#��������1�������2XP=QY��8R��B*;QE������8w�Â������� 6!��������B_�����#��Ã��#G����� ��2Å-I#;B�#�8w#�����#�� ���Å�����\@���#��x�1��.}[� ����?C�`�¤�¤|¤µ���d�i�g�dxe�f«h«v?i&v�i�s)©Ef�v�awd?f«h«eº¥[v�if«��v�m�> ���V±��5²¢>�È?J?�¢�YÈ?�?ÈEC

¯=��89�8R�A¯qC�> A������W ��Cx@$CAH��_�?´��;MOCxP=Q;��8R��B������29B�#��;����#��A#�U58w#�����#��,#��w������W?��#�"���2º���2���X�����S������������T���������B_�����#�����#������ ��2X��#�� #��_C$�Y¡I§�vx¨�v?f«hKe3no�gOfpkOaqgO> � ±O��²¢>I�_LE�b�A�?�_�EC

¯=��89�8R��¯qC�> A������W ��C/@$C]��¯!�������SFÊC/Ñ�C�H��_�?´?JNMOC]­p������� �����#��G#�U�����������2���������#Y�9#�U!��� ����!���������������Â����� ��25C j\dNf^lEkOawd?f«hKe�d�m���h«v�g�e�h�kOiAe1kOgO> �I�A>5�_�?�¢�A�_´?�EC

¯=����8w�����+ª C�}VC5FGC�¯qC�>/*YB��;"�89�B�������Ñ�C FÊC5� ª ����� ���2�*�C[H��_�?�?�NMOC5-5�����_��3B�#�8R������8w���E0�1������¹QX��QY������8w�_C�nE`�s=j �Y¡»v�£)s$cNcAmyhKk�uÂj\d?f^lEkOawd?f«hKeOg_¡�> �AÇ/±��5²¢>/�_J?�����A�_J?�?�EC

¯)���1����RCVH��_�?�N�?MOC %�"��������;�.���2XU«"���"����3� ������� ��B������N�3#�U|¯=#���2�w¯)"�89���#���2T()#���#����_C  $��v_e¢¡`�§ �$n��?ÎNÎ��_>È?L?L¢�YÈ?L?´EC

¯)���1����RC�>A¯!����#?�1�3FGCA� ������2�9��C��CVH��_�?�?´NMOCA�����q2����N����#���8w���x��#�U�¯)#���2�¯)"�89���#���2()#���#��_CY $��v¢e¢¡Iv�£�`�¤�¤�¤É`bifp¡»¥[v�i¢£�¡ v�i9§�v;¨�v?f«hKeOg+d�i�u+s)©Ef�v�awd?f«hKv�i>N-/�������I>E������W?��"�8�>F&�QN>/�_�?JE�b�A�_�?J?�EC

¯=#Y2EW?�����qÑC�>�()���� �����RFÊCV¯SC�H��_�?´N�?MOC[�$��� ��2�W?QY8R��������B��_C�§�vx¨�v?f«h«e�g9§!kbg�k�d?��eOl��·µ/lEk�Ïf^l`biAfpkO�bi�d?f«h«v?iAd�m�no�a)cEv�gbh^©Ya�>���#��������)�=C����2�(!#������+C���2��_>A%��8S������2EWN�?C

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 79: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� < � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s¯�Ð='=P�6SC �SC *�CT}V������;��� �x"�8S������Z ÈE> �x�?JE> ���¢��� ÈE> �E�?�?>��_L?��� ÈE> �?È?ÈE> L?����� ÈE> ���x�E> JN�?���

ÈE> �xJ?�E> È?´?����ÈE> �xÈ?�E> �?È?���AÈE> �?ÈN�Y> �x�?���ÈE> �xL?JE> L?È?L���ÈE> J?È?JE> �?LE�?C¯)"���W��qC�> �.������N# �RC�>��|#��N#�� �RC��.��®���1&*�C�> �!#���#��Y"G��C�> �)#_Qx�B�����'qC�>»6!�1��$¯SC�>»­¹89�0

8S"��1�'qC�> �!#�8w#�����Qx �RC�� �]������ �RC�HKJ?L?L?LNMOC����� ���B���B�#��;����#��!#�U.������ ��2Á��#�� #��B�#�8S����������WÂ#�Æ�0��������+�����������������������_���0�����8w��8w#Y2E� �B_�����#��IC� ���v_e�¡[v�£.f^lEk ��������`�¤�¤|¤`biAfpkO�bi�d?f«h«v?iAd�m�¥[v�i_£_kO��kOiAe1k�v�i�§�vx¨�v?f«h«e�gqd�iAu�s)©Yf�v?aRdNf«h«v�iAC

¯)"���83"�����" �RCH��_�?�?�NMOC;P=QY��8R��B���#�UI����� ��2���Wx������;}»�����­/0�Ð)�E����B������N�!U«"���B�����#����$���29�����B�#��;�1�B������N���x��#�U[3��� ���� ���N�=�������Â��������25CE}»�����­�­»0�*;�1����������pQX�����QY�����$#�U[S��� �������N�.�������Â����� ��25CAs=nj,¤ �;v?©;�OiAd�m/v�£)s$cNcAmyhKk�uÂj&k�eOlYd?i�h«e�gO>��AÇ/± ��²¢>Ñ?"����?>�?�E�b�Y���?��C

¯)"���83"�����" �RC��¦�����2�#�Wx���%=C[H��_�?���;MO>5Ð)�&�����qFT�_���"�����8w���x�.#�U�P=QY��8R��BR*;�1����������¹QT#�U¯)"�89��Ä-/#;B�#�8w#�����#��IC�>)s+n�j,¤ �;v?©;�OiAd�m)v�£ ��hKv�a9k�eOlEd�i�hKe�d�m�¤$i;{�h^i�k�kO�Oh^i;{?>+����/±O�²¢>�?L¢�Y�?�EC

¯)"���83"�����" �RCV��F&���W?������"GP�CV�=C�H��_�?���;MOC»(���W?��2Ê��#Y2EQ B�#�����������#�����#�U!��� ������Y������89�����BB1�������$�������983"������������+B�#��;�1�B��$� #����x���¢CE`bifp¡$�Y¡Iv�£�§�vx¨�v?f«h«e�g�§�kOg�k�d���eOl;> �E°/±O�²¢>;@�������"E0���QN>A´?J¢�Y�?JEC

¯)"���83"�����" �RC��ÄFT#?���N#_�������!<�C�PqCEH��_�?´?�NMOC���������#����$#�U���8R��B��»���S�����$���1����������¹QS#�U������ ��2�����#YB�#�8w#�����#��ICA�.o�iAd�a�h«e�g.d?iAuRn�f�dx¨Oh^mth«f«oÂv�£+no�g�fpkOaqgO> ��±�°5²¢>JE�¢�_�YJ?����C

¯)"���83"�����" ��C��ÁFT#?���N#¢��������<�C¢PqC;H��_�?´N�?MOC_�$������2���;��#;B�#�8w#�����#��q���1����������_��2��xQ+��8R��B��»���2��������B�������WXZ[­bCY�I�$#R���2Â���������+2E��8w��������#�����>E���������+������8w���;����8w#;2������_>E­�­OCY*;����"�B���"��1�����1����������pQG�����QE������#�U=�U«#�"���������8w���x�R����� ��2������#;B�#�8w#�����#��Á8w#Y2�����C���o�iAd�a�hKeOgºd�i�un�f�dx¨Oh^mth«f«oÂv�£+no�g�fpkOaqgO> �I± � ²¢>A���¢�A�?�_JEC

¯)"���83"�����" �RC�>A�����2�#�Wx�� %=CA� *;��#�� ���#_�Y��B��»P�CVH��_�?�?ÈNMO>��+������89�����B������2TP)QY��8R��BR*;�1�0���������¹Q #�U.������-I#YB�#�8w#�����#��Ã#�U3}]#�����#G}V��������;���_>)s+n�j,¤ �;v�©Y�OiAd�m)v�£ ��hKv�a9k�eOlYd?i�h«e1d�m¤�i;{�h^i�k�kO�OhziY{?>5����I>E�xL?È¢�x���?�?C

¯)"���83"�����" �RC H��_�?�?´NMOCY6)�,�[������W?QÂ�������2�%$#Y��&9B������x��#�U]()����������"�����#��ºU«#��$�����+-I#_�ó�����#YBO0���¹QT­¹8R��B�����#�U�*;������2����.������+��������F\��1�����N��� �Y����������*;"���U��B����_CIs=nj,¤ �;v?©;�OiAd�m�v�£s$cNcAmyhKk�uwj�k�eOlYd�ih«eOg�>��A�/±��5²¢>�?È?J¢�Y�?�E�?C

`�¤|¤�¤ µ���d?i�g�dNe_f«h«v�i�g�v�iRs)©Yf�v�awd?f«hKe3¥[v?if«��v?m;H��_�?�?´NMOCx*;����B�� ��E­®����"��$#��q¯)Q;������2�P=QY��8R��B_��*;QE������8w�_>���°/±��I²¢>�6!��������C

­¹Wx��1������I��CA��')#�Wx��I��C]H��_�?�?JNMOCA*;��"�2EQX#�UV��#¢�����!�����N���V�2���������N���$����Y����W9���X�����.�b�W?�����1����� ����.�xQX���������2,��#YB�#�8w#�����#�����#�� #��_CAs!u �d�iAebk�u9§�vx¨�v?f«h«e�gO>��]±��5²¢>��?���b�x�xÈ?�EC

x�y{z|x�}

Page 80: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� � �

­¹�?���#_��6SC�}]CYH��_�?�?�NMOC�*;�1����������¢�����#���#�UA��.��8R��B��»#?��B������ ���#��V���_��/W?�1 ������W!����B���2�����B��$#_������W��#������1#�����B��?C �Y¡»v�£+n�v�©YiAuÂd?iAuÁ¶5h�¨O��dNf«h«v�i�gO> �����I±�°5²¢>È?�?J¢�YÈ?�?ÈEC

­¹�?���#_�Ã6SC�}VC3H��_�?�?ÈNMOC=Ð)� 8S"������������ ��8R��B����_C= $�bh��¢m�¡3j\d?f^lE¡�j&k��¢lE¡�>3��#/±��5²¢>+�?�?L¢�Y���x�ECµ���d�i�gbm�¡]h^i �Y¡�v�£)s�cNc�m�¡/j&k�eOlE¡ >A� #]±�� ²¢>´?´N�_�Y�?L?JEC

Ñ;�����B��3-�C�>V¯)��89�8R��¯SC/��%���Q;8w���3�+C|H��_�?�N�?MOC]6¦B�#��;����#��$�����1�����W?QTUK#��.�������1����Ê�2���������N������ ��2���I��#YB�#�8w#�����#�����C�s)©Ef�v�iAv�awv�©;g)§�vx¨�vNf^gO>��]>J��x�¢�YJ?ÈN�YC

Ñx�_�� FÊC�H��_�?�?�NMOC�*;��8S"�� �����#�� �x"�8 ������:;"���2���������#�������8w���92��,B�#��;�1�B��Â��N��B,U«��#�������8w���x�_Cj&d?f��O�Oh«d�©��Xk�f�µAk�e�lxi�h��©�kOgO>I�������b°/>EJ?J¢�Y�?JEC

�.������19*�C�>����89�"��19��C����!#��_Qx������»6SCIH��_�?�?JNMOCAP)QY��8R��B�������;����W9B�#��;����#��V#�U�q����� ��2��#�� #��|���#���WS=� #������x��� ����������W?QRB�#����������Y����W3#��������_C;`�¤|¤�¤¬µ���d�i�g�dxe�f«h«v?i�g!v�i9§�vx¨�v?f«hKeOgd?iAuqs)©Ef�v�awd?f«hKv�i> �]±��5²¢>��x�E�b�x�x�?´EC

�.������19*�C� �]������RC]H��_�?�?�NMOC� �E��������8w���;�1��[*;��"�2EQX#�U��$������2XP=QY��8R��B.ª�����Y����W�C�`�¤�¤|¤¥[v?if«��v?m no�gOfpkOaqgO> ���I>�@�������"���QN>]�_�¢�A�_�EC

�.����_#¢� %=C�H��_�?�?�NMOC;'=#����������_���B�#�8R������8w���x�1������pQX���"���B�#��������1�������2,#�������8R���¢�����#��IC��Yv�©Y�b¸i�d�m/v�£ �]c�f«h^aqh��_dNf«h«v�iɵ/lEk�v��Ooºd?iAuqs$cNcAmyh«e1d?f«h«v?i�gO> � �/±O��²¢>Ñx��x"���QN>V�_�?�¢�A�_È?ÈEC

�.���#��\(3C�� F\#����]FGC/H��_�?´��;MOC %$#��;����#��VF\������#Y2�#�U|�$������2T-I#YB�#�8w#�����#���<=���Y����WÂ6=��QY8R�E0��#�����Bq*;�1����������pQX#�U»�/�1�����B���#���QNC s)©Yf�v?aRdNf«h«e�dN> ��Ç]±��5²¢>��xL?È¢�x������C

�+��#?���1��Y�Y�+C�> ��"����N#_�Y��B��Â*�C�� ¯=��89�8R��¯SCYH��_�?´N�?MOC?%$#��;����#���#�UA�UK#�"��/�������.����� ��2S���q!��B���1#�8w�����1�"����.89�����"��N���_CV`�¤|¤�¤ µ���d�i�g�dNe�f«hKv�i�g9v�iÊno�gOfpkOaqg1À�j&d�i�À=d�i�uÊ¥Vox¨�kO�Oi�k�f«hKeOg�>��� ± � ²¢>�?L?�¢�Y�?J?ÈEC

�)#������������Y���E6qC¢�!CEH��_�?�?ÈNMV�.o�i�d�a�h«eOg�v�£�a9k�eOlYd�ih gOaSg$¾[h^f^lRkOm�d�gOf«hKe!e�v�ii�k�e�f«hKv�i�g!d�iAu�hza)cEdNe_fgOo�gOfpkOaqgO>�-/#���2�#��I>­¹����U«�=� #;#��E��-5��25C

�)# ����#_�ijqC|³qC$� �/��������B������ÅPqC|³qC+H��_�?�E�¢MOC ��h^mzmyhKd���u�g�¡�s {;kOi�k�f«hKe&h^if«��v¢u�©Ee_f«h«v�i½f�vGf^lEku?o�i�d�a�h«eOg3v�£+gOo�gOfpkOaqg�¾[h^f^lºhza)cEdxe�f^gO>�6)8w���_C�F&����IC*Y#;B?C�>}[��#_�Y��2�����B��?>()­bC

�+"����ʯSC ª C/� �I"�B1�N���q6qC ª C|H��_�?ÈE�¢MOCI'=#����������_��3����#�W?�1�8R8R����W�CV ���v_e�¡�v�£wf^lEkRg�k�e�v�iAu�=kO����kOm�kOo+no�a)cEv�gOhz©Ya v�i�j&d?f^lEkOawd?f«hKe�d�m;nAf�d?f«hzgOf«hKeOg�d�iAu� ���vx¨�dx¨Oh^mth«f«o?>��|25C¢Ñ�C_'=��QY89��I>�)�����N���������¹Q,#�U|%������UK#������ E>�}[�������_C

�+"����_�|FÊC_�É'=��"�89����3Ñ�C;H��_�?�N�?M -5�����_��»%$#�8R������8w���;�1������pQR*;QY������8w�]���2������|*;��83"�� �����#��#�U5�����)FT#�����#��º#�U5(!��W?��25Cx��#Y2EQw*;QE������8w��*;"��E����B�����#q%$#�"���#�83����@�����B�����#��IC�s=j�j�¸�5Àj&d?f^lE¡/j&k�e�l;>���� >�´?�?�¢�Y´?�?´EC

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 81: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� 7 � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s�+"�#S6SC;P�CAH��_�?�?�NMOC�*;�1����������¢�����#��º#�UI� ������1���8w#�����#��Â���Â���������N�)2EQ;��8R��B!�$����Y����W�C�`biAfp¡��Y¡

v�£)§�vx¨�v?f«hKeOg=§�kOg�k�d���eOl;>]���]±�# ²¢>�E�¢�_�Y�?�?LE> *Y��������83� ���_C-]����������T³�CA³qCVH��_�?�E�¢MOC�F\#�����#��&B�#��x����#���#�U�9����W?WN��2�89�B1�����������T�����q��"���� #������������!�����1�

#�U»��#���������W�CA`bifp¡ �E¡»v�£)§�vx¨�v?f«h«e�g+§�kbg_k�d���eOl;>I�EÇ/±��I²¢>�?JN�_�Y�?�N�YC-]��Y��#_�E���;���»��C��RCVH��_�N���NMOC�­¹8R��B��=��������#�8w���Â���\����#�������8w�+#�U|B�#��x����#��[#�U���������2���»��#YB�#�0

8w#�����#��ICIh����¡5s!� n�nnE§.¡5j&k��_lYd?i�h ��d µ��kO��uNv�{Nv µ�kOm�d?>5�;�V±���²¢>E���b�x�;�YC-]��Y��#_�E���;������C$�RC�H��_�?´?LNMOCIP=Q;��8R��B��3#�U������ ��2������#;B�#�8w#�����#��G�������W?� �N����#;B����¹QNC[h���¡»s!�

nn�nE§.¡Ij&k��¢lYd�i�h���d�µ��kO��uNv�{Nv µ�kOm�d?>5���I±��5²¢>AÈ?L¢�YÈ?´EC-/���º��CV��C[� -I� �#\ÑCV¯qC�H��_�?´?´NMOCV�/�1�����B���#���QÊ��� ���������W����2ÁB�#��x����#���#�U=\��0�������� ����� ��2

��#�� #��_CA $��v_e¢¡/`�¤�¤�¤ ¥[v�i_£_¡ §�vx¨�v?f«hKeOgSd�i�uqs)©Ef�v�awd?f«hKv�iT¸��SkO¾ ��v?� �w>�´?J?L¢�Y´?J?�EC-�����������2E�º}VC+H��_�?´?JNMOC|F\��B�������B_�����QE������8w�9#�U.����W?��2·��#Y2E�����Â��"��E����B��Â��# "������ ������1��+B�#��E0

�����1����x���_C n�`�s=j �Y¡5s�cxcAm�¡/j&d?f^lE¡ >����I± � ²¢>J?´E�b�YJ?�?�E>�6)��������C-�����������2E��}VC.H��_�?´��;MOC�'!"�8w������B_��S����83"�� �����#�� #�Uq����8w�O0p2���������2����;�\B�#��;�1�B��T���2ÅU«����B�����#��

����#�������8w�����,����W?��2º� #;2EQw8w��B1������B��_C�nE`�s+j �Y¡In�e�h�¡5nAf�d?fp¡�¥[v�a)cA©Yfp¡ >��I± � ²¢>E�N��L¢�Y�?�?�E>ÑN"����?C

F&�����#�"���FÊC;H��_�?�?´NMOC¢6G"���� ���2.�?���� �����#����x8w#Y2����NUK#��5�����|2EQY��8R��B��/#�U�� ����U«��B��I"������ ������1��B�#��������1����x��� ��C ¤$©;��vbc�k�d�i �Y¡[v�£+j&k�eOlYd?i�h«e�g=s �n�v?mthKu�gO> ��� ±�� ²¢>´E�_�¢�Y´��x´EC

F&���W?������" P�C5�+C � ¯)"���83"�����" ��C[H��_�?�?�NMOC5'=#����������_��32EQ;��8R��B��3#�U��� ��� �������B���#Y2\�������U«����B�����#����I��8R��B��_C �.v�i�myh^i�k�d��)�.o�iAd�a�h«e�gO> �YÇ/>5�_´N�_�YJ?LE�?C

F&���W?������"ÁPqC]�+C]� ¯)"���83"�����" �RC�H��_�?�?ÈNMOCV���������ÂP=��8w��������#�����(���W?��2G��#;2EQ�%$#�����������#������������FT"������������9%$#��x�1�B��3}V#����x���¢C/s=n�j,¤��;v�©Y�bi�d�m|v�£.s�cNcAmyh�k�uXj�k�eOlYd�ih«eOg�> � �I>/��J?È¢����?JEC

F&������I*�CE@$CE��%��"�W?����Qº��C��RC5H��_�?�?�NMOCÐ)�,�����=���1����������pQÂ#�U]�����)��8R��B���2��8R� ���_C�s=n�jX¤�E¡»v�£)s�cxcAmth�k�u9j&k�e�lYd�i�hKeOgO>�°°/>�È?´?�¢�YÈ?�?JEC

F\B¢%�� �8R��#YB�� 'qCA¯qC�� ª����W�P�CVH��_�?´?´NMOC5@����2E��B��&���1����������¢�����#�� ���2T���1�B1�;����W�#�U$B�#��E0�����1�������2X��#���#����¢C`�¤�¤�¤ µ���d�i�g_¡Vv�i�s)©Yf�v�awd?f«hKeº¥[v�if«��v�my>�°A°/±�� ²¢>����_�¢�x�xJ?�E>F&�QNC

F\B¢<+�����=��CVH��_�?�?LNMOC�}V��1�����N��P)QY��8R��BSª�����;����W�C5`bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m��;v�©Y�bi�d�m»v�£+§�vx¨�v?f«h«eq§�kO¸g_k�d���eOl;>�#/± ��²¢>A�?J¢�Y´?JEC

FT��"��1º¯SC5� *;����8w#¢Qx�89X­bC[H��_�?´��;MOCIP=QY��8R��Bq�$����Y����W�#�U�Â����� ��25C/`bifp¡ �E¡$v�£3§�vx¨�v?f«hKeOg§!kbg�k�d?��eOlY>�°]± ��²¢>�?L¢�E����C

x�y{z|x�}

Page 82: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� � �

F\#YB���#��\*�C���F\B�F&���#�����C�6SCIH��_�?´?LNMOC���������������B�ª�����;����W�C �Y¡ ��h«v?awk�eOl;>5�E°I>E�x�¢�YÈN�YCF\#YB���#��,*�CY�½F\B�F\���#��º��Cx6qCH��_�?´?LNMOCY���������������B�ª�����Y����W�Z[6!�9­¹8R����#_�N��2ºF\#;2�����C�j\d?f^lE¡

��hKv�g�e�h�¡ >���5>�J����b�YJ?�?LECF\#��x��������#�0pF&���:;"����|FGC?PqC�}VCH��_�?�?�NMOC;�.h ¿)k���kOiAf«h«d�mE`biAe�my©xgOh«v�i�g�h^iw�.v�i�gOawv_v?f^lqj&k�eOlYd?i�h«e1d�m

 ���vx¨�m�kOaqg �!n�lEv_e��_gSd�i�uq�.�bo � �Oh«e�f«hKv�i>��$�����Y��"������_>���#?����#���}|')-IP+�Å�ECF\#����_�"ÉÑ�C»Ñ�C�H��_�?�?�NMOC»-I������� �����#����q"������ �� ���1������w�������9��������B���� �X2��X<��"����_C+¥�¡t§3¡|s�e1dNux¡

n e�hKk�iAe1kbg= �d?�bhzgO> �A� �/>�´N�Y�b�Y´N����CF\#����_�"TÑC�Ñ�C]H��_�?�?�NMOC �)"�2E�1�����BS����#�W?�1�8R8R����WÂ���T8w��B�������B��qZ�2EQY��8R��B��)#�U�#����.����2���2

B�#��������1����x���_C��Y¡/nE`�s+j ¥[v�if«��v�m�>��]±O�²¢>5�_È?�¢�A�_È?´ECF\#����_�"&Ñ�C Ñ�CVH��_�?´?ÈNMOCI*;�1���2����2&������� �������B�����#YB��E�+���2T�����q2EQY��8R��B���#�U|"������ ������1��[B�#��E0

�����1����x��� ��C��/ihzm�d?fpkO��d�mx $��vx¨Om�kOaqg�h^iRnAf«�O©�e�f«©;��d�mYs)i�d�mto�gOh g�>�<�C7P+���E}[������#.���2q@$C�F&�B������H«��2E����#����OMO>A%$­�*YF %$#�"��������=���2X-I��B���"�������� � �I> *;��������WN����0�³������ �W�C

F\#����_�" Ñ�C!Ñ�C3H��_�?´?�NMOC!P=QY��8R��:x"���2�� ��QE��� ��8w��� �Á��� �����#�����"������ �� ���1������\_�N��B�U«��#������O08w���;�Â����B ���N���x��"���� �!�����1����w�x"�8 ������:;"���� ��C�µ�k�eOl�¡=iAv?fpk �A���_��>�-IF&<3%=> �!�����N��������� �2E"�-]���W?"���2�#;B?>AFT#��;���������������_>A@��1���B��?C

F\#����_�" Ñ�CIÑC�>/}»���W?��#���#���#�"���#?�q}]C/PqC�H��_�?´?´NMOC �!����� ������1��$B�#��x�1�B��S���2 2E��QTU«����B�����#�� �������������U«������2�#�8�2EQ;��8R��B��_C?�.v?i�gbawv_v?f^lqa9k�eOlYd�ih«eOg!d�i�u3dbcNc�mthKe�d?f«hKv�i�g�>x%$­�*YF�%$#�"����1������2�-I��B���"������)°AÇ �5>*;��������WN���)³������ �W�>I�b�Y´?JEC

F\#����_�"�Ñ�CÑ�C/H��_�?���;MOC�*Y#�8w�.�x"�8w������B_��V8w������#;2��!����83"�������� #;2EQX2EQY��8R��B��3Z|���������B_�����#����#�W?�1��;"�� ��!89�������� ����_C ¤$©Y��vbc�k�d�i �Y¡�v�£+j&k�eOlEd�i�hKeOg=s �n v�mthKu�g�> �Y°/±��I²¢>�?�¢�A�?����C

'=����89���� �RCA­OC]H��_�?�?ÈNMOC�}V����������N�q���1�2�# �E���+�����Y����������25C/j&k�eOlYd?i�h«e�g�v�£3n�v�myh«u�g�>�°AÇ/±O�²¢>��_È¢��_�EC`����kbg�f«hzoNdR§�s!�+À[j&k��_lEd�i�h���d�µ��kO��uNv�{Nv µ�kOm�d?>5�A>5�¢�_�YJE�?>/�_�?�?ÈEC

'=�����xQqÑ?�_C�'SC�P�C�H��_�N���NMOC�-5�����_���B�#�����������#����[������������8w#�����B�#?��B������ ���#��»UK#���B�����ZI���������x�N�����1��1B_�������������Ww����#�������8�C�s)a9kO�Oh«e1d�i �Yv�©Y�biAd?m]v�£= �l;o�gOh«e�gO>��$� >5�_�E�b�A�_�?ÈEC

'=#_�N# ��������#¢� ­bCI³qC|H��_�?´��;MOC»%$#��x����#��$#�U����������O0p2E��8w��������#�����8w#�����#��G#�U�X��������2�����$����Y����W��#�� #��_C5h���¡5s)� n�n�nE§.¡Ij&k��_lYd�i�h���d�µ��kO��uNv�{xv µAkOm�d?>5��#/±��I²¢>��;�_�YÈ?�EC

}»���W�Ñ�C?*�C��·�I�������Y���$ÑC�%=CEH��_�?�?�NMOC�P)QY��8R��B�83"�������0�����W?��2Y0�� #;2EQq��QY������8w�/�������RB�#���B�"��������x�2E������������"�����2�B�#��x�1�B����_C *;"���8R��������2���# �Yv�©Y�biAd?m]v�£)s�cxcAmth�k�u9j&k�e�lYd�i�hKeOgOC

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 83: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

7;: � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s}»�#����-�C�H��_�?�?�NMOCYs)iAd�myo�g_k�i©;a�O�Oh �©�k=uxk _h�¨O��d?f«h«v?i�g)d �k�e�e1v�if«��d�hziAfpkbg�©;ihzm�d?f��O��d�m�kbgO>;}[�IC7P�C

�����������_> �)�����N��������� �=%�� �"�2��)����������2R0]-5QN#��&�?>x-]���#��1���#������=25476!����QE����')"�8 ������:;"��?>@��1���B��?C

}»�#���� -�Cx�¬*YB1������89��ºFGCH��_�?�?�NMOCYFT#�"��N��8w���;� ����#�83����� �����A2���2���W?� ���$2�������� ����� �)_�N��BB�#��;���1����x�����|"������ �� ���1������!Z/B_�����N��B�� ��������254 ��������W?��� ��CEj\d?f^lEk�aRdNf«h«e�d?m�j\v_uxk�mzmyhziY{Sd�i�u��©;a9kO�OhKe�d�ms)iAd�myo�gbhzg �Kj\v_u �Omthzg�dNf«h«v�iXawd?f^l �Oawd?f«h �©�kSk�f�d�iAd�myo�g�k)i�©Ya�O�Oh �©�k ��>���� ±��5²¢>�N���¢�E�Y�¢�YC

}»����.Ñ�C7¯qC��Å%���#!¯qC %=C;HKJ?L?L?LNMOC¢6)�S#��E0��������|���1�����B���#���Q�8w#Y2E� ����]U«#��I�����|��������������#�U������ ��2��#�� #����S��#���������B��º��#;B�#�8w#�����#��Á���1����������¹QNC[ ���v_e�¡�v�£ºf^lEk �������X`�¤|¤�¤ `bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m¥[v?i_£�k���kOi�e1k�v�i�§�vx¨�v?f«hKeOgSd�i�uqs)©Ef�v�awd?f«hKv�iC

}»����N������C *�C��Å%��;"+-�C ÐqCYH��_�?´?�NMOCx ���dNe_f«h«e�d?m�i�©;a9kO�OhKe�d�md�m7{Nv��Oh^f^l;aSg�£�v?��e�lYdNv?f«hKe�gOo�g�fpkOaqg�¡ >*;��������WN����0�³������ �W�>�'=���%�|#�����C

}»���������# �RC�FGC�>�F���B1�����]6qC�'qC��6)�x���1��Y�����!}VCÑ�C]H��_�?���;MOCA-5Qx���"���#¢�����1����������pQ�#�U|RB�� ��1�#�U32E���1B��������\���N���;�X��QY������8w�_C$`�¤�¤|¤ µ���d�i�g�dNe�f«hKv�i�gTv�iÄs)©Ef�v�awd?f«hKeG¥[v?if«��v?my>!° #/± � ²¢>J?�?�¢�YJN���E>@�������"���QNC

}V����B����?����$P�CYH��_�?´?ÈNMOC �)����:;"����������/���S��������� �������B|� #�"���B��|����#�������8�C��;v?©;�OiAd�m�v�£���h ¿)kO��kOif«hKd�m¤ �©EdNf«h«v�i�gO>A���I>�J?L?�¢�YJE�_ÈEC

}V����B����?����=P�C H��_�?�E�¢MOC��!����:;"����������$���Â�����+��� �������B)� #�"���B��)����#�������8�>E­�­OC��Yv�©Y�biAd?m5v�£��.h ¿)k��b¸k�if«h«d?mA¤ �©�d?f«h«v?i�gO>�#AÇI>��?L����Y�E�_ÈEC

} ��� ���!ÑC/H��_�?È?�NMOC j ��e1d�i�h��©�k.{��Oi �O��d�m�k�>F&�����#��I>�}»������_C}V���������Ê�+C�>[%�����������������_�"É%=C/��@�#���89���47���;Q 6qC�H��_�?�N�?MOCV%$#��;����#��$#�U�X:;"�2E��"�����2��$����;0

����W���#���#��Â��������#�"��wUK�����RU«#��º&Wx�����#��·Wx����_C�`���s�¥ no�a)cEv�gbh^©Ya v�i §�vx¨�v?f,¥[v�if«��v�m��n ��§ �.¥ �9Í Î�����>���0¹Èw*Y��������83� ���_>'+��x�����¢>�@��1���B��?C

}[U«����Æ5����@�C��½<+��#;B1�N���$%=C�H��_�?�?�NMOCEj�©Ymyf«h�¨�v_u�o���o�iAd?aqhKeOg�¾[h«f^l �]i�hzm�d?fpkO��d�m/¥[v�iAf�dNe�f^gO>NªÄ������Q*Y��������������')#����������_��+*YB�������B��?C

}��1����=<�C76qCE� ªÅ������� �8w��#���FGC7FGC H��_�?�?ÈNMOC�*Y������������� �������B3�B���"���#����_C�`�¤�¤�¤¦¥[v�i_£_¡A`bifpk�mzmyhz¸{;kOif[§�vx¨�v?f^gSd?iAuRnAo�g�fpkOaqgO> ��>��?�?�¢�x�xL?�EC

}��1�����<�C76qCHKJ?L?L?LNMOCY-I��W?WN��2w��#�� #�������$FT­®��Z?ªÅ���_47�������Ä������B���()���� �����_CY`�¤�¤|¤É§�vx¨�v?f«hKeOgd?iAuqs)©Ef�v�awd?f«hKv�iTj\d_{Nd ��hzi k�>�� ±�°5²¢>�����������83� ���_>/�_È¢�A�_�EC

x�y{z|x�}

Page 84: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� 7`)}��1����qÑ�C�>|%������ %=C 0pFGC�>[�/#���������6SC�>»P=������#������É}VC�>[}[�1����_>|<�C$HKJ?L?LE�¢MOCV6)�Ê­¹�x��"��������N�,6)�E0

����#N�B1� UK#�������� ��2���3-I#YB�#�8w#�����#��IC=`biAfpkO�bi�d?f«h«v?iAd�m �;v�©Y�bi�d�m.v�£�§�vx¨�v?f«hKeOgT§�kbg_k�d���eOl;>�Ç/± � ²¢>I�_J?�¢�A���x�EC

(=�����������FGC�¯qCIH��_�?´?�NMOC��/kK{¢{xk�u§�vx¨�v?f^gºµ/lYdNf �)d�m�d?iAe1k�>AFT­®� }[�������_>%��8S������2EWN�?>AF&����_C(!"�����#_�Y��B��&��C�FGC� @#���89���47���;Q�6qC�FGC]H��_�?´E�¢MOC�*Y#�8w�3����#�������8w�)#�U�2EQY��8R��B��)#�U[8S"���0

���������X������8w���;�Â��QE������8w�w����1#;B�� �����2Á�������É��8R��B��w��������#�8w���E>�­�­OC$h����¡$s!� n�n�nE§.¡j�k��_lYd�ih ��d�µ��k���uNv1{Nv µAk�m�d?>I���/±�°5²¢>I�_J?È¢�A�_�?�EC

(!"����N#_�E���Y����*�C�³qC=H��_�?´?ÈNMOC$ª�����;����W�>)���;����������WÉ���2Ä��"���������WÁ#�U� ����� ��2���)��#�� #��º������������#¢�$���B��3U«#�����8R��B��_C5j&k�eOlYd?i�h«e�gqv�£+n�v�myhKu�gO> ��Ç]±���²¢>��?���x�x�EC

*E�"���2������=Ñ�C��+C�>�­¹��89���³�C���C� �[�����������=¯SCPqC]H��_�?È?�NMOC�����3F&���#��!P+��������8R�����x���=���'=#���89��]���2X}»�����#���#�W?��B_��|<�����_C$�Y¡$�)v�i�k �xfp¡Vn©;�K{xkO�Oo?>°A�/± � ²¢>�È��x�¢�YÈ?È?´EC

*YB1������89�� FÊCVH��_�N��´NMOC 6 B�� ����=#�U|��#����������_���2E��Æ �������;��� �����:x"�����#����+#�U�����B�#���2\#���2����+�������8w�?C��.v�i�myh^i�k�d��)s)iAd?mto�gbhzg1À)µ/lEk�v��bo�À�j�k�f^lYv_u�gSd?iAuqs$cNcAmyh«e1d?f«h«v?i�gO>��/±�° ²¢>�?È?È¢�Y�N���EC

*YB1������89�� FÊCRH��_�?�?´NMOC �)����:x"���������� ���2 B�#��x�����;"�#�"���2���� ����2�����B��É#���2���1 UK#��&#����O02E��8w��������#����/��8R��B�������#�������8�CIj\d?f^lE¡$¥[v�a)cA©Efp¡/j\v_uxk�mth^i;{?> ���/±�� ��� ²¢>I�b�A�_´EC

*;�_� Ñ�C�� ¯)#���8w���X}VC.H��_�?´?�NMOC�6 }V������#Y2E��B_�����QÃ@#���B���2 }[����B�����������-5�����_��\Ð=�1B������ ���#��_C�Yv�©Y�biAd?m]v�£+n�v�©YiAuºd�iAuG¶5h�¨O��d?f«h«v?i>�#Ç/>5�_J?�¢�A�_È?ÈEC

*;�_�ÄÑ�CN�¬*;���Ã*�C�H��_�?´?�NMOC;�����)Ð)�������|#�U/%���#?�����º+�I��#�0pP+��W?�����O0p#�U^0p@�������2�#�8 ­¹8R��B���0����W,*;QY������8�Cs+n�j,¤ �;v�©Y�OiAd�m]v�£)s$cNcAmyhKk�uwj�k�eOlYd�ih«eOg�>����I>5�_�?´¢�A�¢����C

*;�����É%=C7-�C�>|<=��"��N���Sª C76qC]� A�x""��C|H��_�?�E�¢MOCV@�"�����Q�-/#�W?��BÂ@�#���B��,%$#��x����#��$UK#��q��$��� ��2()#���#��_CN $��v_e¢¡/v�£�f^lEk ��ÎNÎ �=`�¤|¤�¤Ê`biAfpkO�bi�d?f«h«v?iAd�mEno�a)cEv�gOhz©Ya v�i9`bifpkOm^mth�{xkOiAf�¥[v�if«��v�m�>J?�?�¢�YJN���EC

*;������%=C7-�C�>N<=��"��N���/ª C76SC��É-I���|��C7��C;H��_�?�?�NMOC¢­¹�x�N������� �+������89�����B��V���2S­p�;�N��������P=Q;��8R��B��UK#���%$#��;����#��$#�U)��$������2�ª�����;����W&F\�B1�������?C �Yv�©Y�biAd?m$v�£q§�vx¨�v?f«hKeºno�gOfpk�aSg�>|�EÇ/±��I²¢>È?�E�b�YÈ?È?ÈEC

*;������%=C7-�CA� �+�������&%=C6qC/H��_�?�?�NMOCA6!�T�2���������N�SWx�����UK#�������W?WN��2T�$����Y����W989�B����������+#¢�N�����#�"�W?�G�������1����IC[`�¤�¤�¤ µ���d�i�g�dNe�f«hKv�i�gÂv?iÊnAo�g�fpkOaqg1À=j\d�i�À�d�iAuÁ¥Vox¨�kO�Oi�k�f«hKeOgO> �°/±��I²¢>�?�_È?L¢�A�?�_È?ÈEC

*;��#��������TÑ�C|ÑC���C$� -5��>�ª C)H��_�?�E�¢MOC�s�cNc�mth�k�u��.v�imth^i�k�d��G¥[v�if«��v�my>�}[�����;����B��&¯=�����>�'=���Ñx��������QNC

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 85: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

7�8 � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s*;����������|P�C?��C�H��_�?�N�?MOCN� �E����������B���#�U5��#���"�����#����[��#+����W?��2�� #;2EQq2EQ;��8R��B������2R������}V���������� �

���1�2�# �E���¢C|¥�¡t§3¡�s!e�dNux¡»n�e�h�¡  �d��Oh g�>° �A�I±O��²¢>��?´?�¢�Y�?�?�EC*;����������VP�C���C;H��_�?�?´NMOC?%$#��x�N����WN����B���#�UA�����8w�O0p��������������W=��B1����8w��UK#��/����W?��23��#Y2EQ�2EQ;��8R��B��

���2&�����1#���"�����#�� #�U$}»���������� �?47�.���1�2�# �����_C]s)��eOlxh �kbg9v�£3§�dNf«h«v�i�d�m/j�k�eOlYd�ih«eOgSs)iAd?m�¡ >�Y���I>�JE�_È¢�YJ?�?LEC

*;����������[PqC���C�� �I�������Y���$Ñ�C�%=CYH��_�?�?�NMOC�6!�S��8R������B����]����8w�O0p��������������W���B1����8w��U«#��]����W?��23� #;2EQ2EQY��8R��B��+�������&������� �������B�B�#�����������#����.���2 %$#�"���#�83�&U«����B�����#��IC/`bifpkO�OiAd?f«hKv�iAd�m �;v�©Y�OiAd�mv�£)�+©Yawk��bhKe�d�m/j&k�f^lYv_u�g.hziX¤$i;{�h^i�k�kO�Oh^i;{?>A° #/±O����²¢>�J?�N���¢�YJ?�?�E�?C

*;��#�� ���#¢�;��B��$P�CI� ¯!"���8S"�����" ��C�H��_�?�?�NMOC/6 B���������B_�������"�2EQT#�U������w���������B_����������pQ #�U�����W?��2� #Y2EQÂB�#�����������#���������#���QNC s=n�jX¤!�Yv�©;�OiAd�mVv�£)s�cNc�mth�k�u9j&k�eOlEd�i�hKeOgO>��A°/± � ²¢>�?LN�_�Y�E�_�EC

*;����#���WN�!ª CxÑ�CH��_�?�?LNMOCx(!��W?��2R� #;2EQRB�#�����������#��w�������9U^����B�����#��ICE $��v_e¢¡�§.¡n�v_e¢¡��Iv�i�ux¡�s�>x�A°5��>�_�?�¢�A�_´E�?C

*;����#���WN�.ª C�Ñ�C]HKJ?L?L?LNMOCA`ba)cEdNe�f|j&k�eOlEd�i�hKeOgO> %��83������2EWN� �)�����N���������¹Q,}��������_C�V��������������6qC�>V­®������2�XFG>$�+89 �¢��Y� � � �.���#T­bC|H��_�?´?ÈNMOCV�����w���_������¢�����#��É#�U�2EQY��8R��B

��� ��Y����WR�xQº�����+����� ��2,��#���#���ªÃ- 01�_L�(!P�C $��v_e¢¡»v�£.f^lEk)`biAf«m�¡$¥[v�i_£_¡]v�iXs!u �¡5§�v;¨�v?fp¡ >�]#��;QN#�>��xÈ?��0��x�?�EC

�����ÅP��8 6qC|6qC�>$P=��������x"����,��C�� ªÅ��������8w�ÂÑC$%=C)H��_�?�N�?MOC$������B�#��;�1�B��,����#�������8 UK#���������_��)B�#��x�����x"�#�"��)����8w�.2EQY��8R��B_��/��QE������8 Z�qWN��#�8w��������BS�������#N�B1�IC�`�¤�¤|¤¦µ���d?i�g�¡s)©Ef�v�awd?f«hKeÂ¥[v?if«��v?my>����I±��5²¢>��xÈ?´¢�x�;��JEC

�����½P��8 6qC�6qC.H��_�?�N�?MOC �/i�h^m�d?fpkO��d�mzmyo·e�v�i�gOf«��d�hzi k�uÄu?o�i�d�a�h«e�d?m)gOo�gOfpkOaqgO>+}[��P�C������������_>(!� �®�E��"������N���������������)<+��#�������WN���I>'=-�>�;�����IZ � �������.C "��IC ��"�W�C ����������2�#;B ��2E��������B�������B�� ��EC �C �����IC72�8 �YC

�]#;2�2ÂP�CNÑ�CAH��_�?´?ÈNMOC �qd?m �¢h^i;{qawdNeOl;hzi�kOg �$s)iºh^if«��v_u�©�e�f«hKv�i�f�vqm�k�{_{xk�uw��vx¨�v?f^gO>��!#�Wx��º}V�WN�?>-/#���2�#��IC

�]#�����83� ��6qC�H��_�?�?�NMOC|F\#;2���������WG���2 B�#��x����#��=#�U=�����X��8R��B��9��� 8w��B�������B_��=��QY������8w�_C`�¤|¤�¤¦µ���d�i�g�¡5s)©Ef�v�awd?f«hKeÂ¥[v?if«��v?my>��A�]± � ²¢>�J?�����Y�?L?�EC

�/�������;���=Ñ�C�%=C�>E}V���W�Ñ�C�*�C�>�*;"�2�������;QÂ*�CE�½-I#R<�C�H��_�?�?ÈNMOC�Ð)�,2EQY��8R��B!8S"�������0�����W?��2Y0���#Y2EQB�#��;�1�B��.����#�������8w�.�������Ê%$#�"���#�8S� U«����B�����#��IC)µ�k�eOl�§�kpcEv���f #����bÇAÇ°I>/�/� ����.6¦� F�)�����N���������¹QN>�P+����������8w���x�+#�U�%$#�8R��"�������*YB�������B��?C

x�y{z|x�}

Page 86: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� 7;N� �������_#�"������9Ñ�C[6qC�� }V���WÊÑ�C�*�C�HKJ?L?L?LNMOC�6 ����8w�O0p��������������WÊB�#�8R������8w���x�1������¹QÄ�������#N�B��

UK#���U«����B�����#�������������QE������8w�)#�U|����W?��2�� #Y2E�����_C �.��d�£Of3µ�k�eOl;i�h«e1d�m/§�kpcEv���fK>$�ÇAÇI>������qÑx#����¯=#����Y����� �!�����N���������pQN>�F&�������89�����B_��»*YB�������B����)P=�����1���8w���;�_C

�?��.2����V*YB1��U^�/6qC_Ñ�C_�Ä*YB��x"�89�B1�����[Ñ�C_FGCNH��_�?�?´NMOC�%$#�8R������8w���x�1������¹Q38w#Y2���������W)#�UE�xQY������2��QY������8w�¢C�`�¤|¤�¤ µ���d�i�g�dxe�f«h«v?i�g&v�i s)©Yf�v?aRdNf«h«eÄ¥[v�if«��v�my>+��� ��B�� ���������"���#��¬¯!QY������2*;QE������8w�_>���°/±��I²¢>��x´?�¢�x�x�?LE>�6)��������C

�?��92�����*YB���U«��6qCNÑ�C;�¬*YB��x"�89�B1������Ñ�CxFGCH��_�?�?�NMOC;�����!B�#�8R������8w���x�1���Q;0p��� �B1�;��������B�� ��1�#�U»�xQY������2���QE������8w�_C�j&d?f^lEkOawd?f«hKeOg3v�£9¥[v�if«��v�mtÀ[nh�{�iAd�mtg3d�iAuwno�gOfpkOaqgO> #/>�J?�?�¢�Y�?LE�?C

³["��N#����1���#¢�;��B,FGC/� ÑN"�����B���BÂP�C|H��_�?�?�NMOC[%$#��x��������"�����#��Á��#������Â��QY�x�����������q#�U���������2�Wx����_C`�¤|¤�¤¦µ���d�i�g�¡»v?i ��h«v?awk�u�h«e1d�m ¤$iY{�hzi k�kO�Ohzi;{w���]±O��²¢>I�b�Y�EC

³["��N#����1���#¢�;��BTFÊC�H��_�N���NMOC �qd�m �¢h^i;{���vx¨�v?f^gTd�iAuÊd�if^lx��v�awvbcEv�awv��pclxhKe�awk�eOlYd�i�hKeOg�>$F\­®(�������1�_>�(�"������ ����I�1������ �����#��I>AFT#?���N#¢�.C

³["��N#����1���#¢�;��BSFÊC�>���#���#¢���B.�+C�>*;"���� RP�C�� *;��#��Y��B.P�CIH��_�?�?LNMOC n�e�h�kOif«h ��e � ©YiAuNd�a9kOiAf�d�m gv�£)§�vx¨�v?f«hKeOg� � ��h c�k�u �Iv¢e�v�awv?f«hKv�i>A*;��������WN����0�³������ �W�>A')��� �|#���� C

ª����W ��CV��F&���#��ÊFGC|H��_�?�?JNMOCV�I��#�0p2E��8w��������#���������W?��2Y0���#Y2EQ B�#�����������#����S������� U«����B�����#��ICs+n�j,¤ �Y¡»v�£)s$cNcAmyhKk�uwj�k�eOlYd�ih«eOg�>���#I>��?�?È¢�Y���xJEC

ªÅ����� ���I}]C7�+C;HKJ?L?L?LNMOCNj\v_u���mthzg�d?f«hKv�i9k�f5e�v�a�awd�iAu;k�u/Í ©Yi���v;¨�v?f awd���eOlEkO©Y��d?if^lx��vbcEv�awv��pclEk�C}���P������������_>�­®')()­¹6½(!�������O0p6!��� ���_>�@��1���B��?>�2���B���83� ���_C

ªÅ�������1��N���_>���C���C5H��_�?L��;MOCAs f«��k�d?f«h g_k3v?iTf^lEkSd�iAd�myo?f«h«e1d�m/u�o�iAd�a�hKeOg+v�£�cEd?�Of«hKe�m�kbgSd�iAuw�bh�{�hKu¨�v_u�h�kbgO> %��83������2EWN�?>�� �R>A%��8S������2EWN� �)������C�}[�����1�_C

�����W�ÑC5*�C�H��_�?���;MOC56¦B�#��x����#�������"�2EQ\#�U�Â�Y�������������+��������2&��#YB�#�8w#�����#�� ��QE������8�C �;v�©Y�OiAd�mv�£.f^lEk � ��d�i��¢myhzi�`bi�g�f«h^f«©Efpk�>�°°I����± ��²¢>I�_J?È¢�A���x�EC

�����"�W?�XFGC �RC H��_�N���NMOC�¤�i�kO�K{�oÂd�iAuS �v�¾�kO�+h^iºÌ+©Yawd�i ��d�m ��hzi;{N>Y}��IC7P¬�����������¢>��)����� C;#�U%������UK#������ E>��������N������QNC

_���� �0p(!��#Á6SC�� ����#�W?��� ���#Á�+C�H��_�?�?�NMOC�Ð)�Å�����&B�#��;����#��.#�Uq�#����&2���W?�����O0p#�U^0KU^������2�#�8��"�W?W?������Ww��#�� #��_CA�.o�i�d�a�h«eOg.d�iAu\¥[v�if«��v�m�>�#/±��A²¢>�N�_�Y�?LEC

A������W �RCE@�CE� ¯=��89�8R�I¯qC H��_�?´��;MOC�­¹8R��B������»Æ5��B�����#�U»����� ��2�%$#��x�1�B����������X���������x�Y��0��#���8w���;�_CA`�¤�¤�¤¦µ���d�i�g�dNe�f«hKv�i�g.v�iXno�g�fpkOaqg1À»j\d�i�À�d�iAuT¥Vox¨�kO�Oi�k�f«hKeOgO>����� �_�Y�]±�°5²¢>�x�N�_�x�?�x�EC

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 87: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

7�, � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl sA������W �RCV@$C�H��_�?´?�NMOC�6�B�B��������1�����#��ÄB�#�8R�������1�����#��ÁUK#�����������2G��#�� #�����#&���®����B��R� �E���������

2E������"�������B����_C$`�¤�¤|¤ µ���d�i�g�dxe�f«h«v?i�g�v�iÅno�gOfpkOaqg1ÀSj\d�i�Àwd�iAuÅ¥Vox¨�kO�Oi�k�f«hKeOgO>+��#/±O�²¢>�����Y´���C

A������W �RC7@�C�� *;������W�Ñ�C�H��_�?�?LNMOC|<�����w��QY�x������������U«#���������*YP)0¹J\����� ��2Á��#���#��R��#&B�����83�����#�������W9��"���U��B��?C`�¤�¤�¤ µ���d�i�g�dNe�f«hKv�i�g3v�i�§�vx¨�vNf«h«eOgSd?iAuqs)©Ef�v�awd?f«hKv�i> �]±O��²¢>´?�¢�Y�?�EC

� ����� �� �� ������� ���� ����

ª�����Y����WRB_��,���+�������X���3�1��:x"�����B��+#�U]������B1�;����Ww��"�����#��������������_C�Ð)����#�U/�����=89����,�1����������B�#��;����#���� �� ����#�"���2��B1�������N�R���=��#Â8w#�������#��3�����S���1�����������#����������¹�������������R��"�B�B����1�����N�B�#��;�1�B��Â8w#Y2����_>$�����9���w��# W?"��1��x�����T������89����;��������B��&#�U��1#�8w�X��#��E0p������2E����WGW?��#�"���2B�#��;�1�B�����#��,��#Á��8R��#?�1�T�����_��Y����W·��X��#�8w�&#�����������H^���1�����������#��ÃU«��#�8 2�#�"������&��#G������W?�����"�����#����bMOC�-/����"������x����#Y2E"�B��������+UK#�����#_������Wº��������#�U��B������N�.B�#��������1����;���

��� ������ ���������������������� �!"��#%$���� ��'&)( *#+$�� ��,&)(-�����"(.# � ��/ + �$ �� ��,&10���������324�5���768�����������º�����T#���2����X#�U3�����T89 �E��89��+2��������?�����#��IC Ð)"������8 ���º��#G2��������N�����B����1�1���Q ���2���"�&9B������;�SB�#���2E������#����q#��������wB�#��;����#���� _�:9G��#�89����x�1����Á��#�8w�w������B��Y����WB�#��;�1�B������%;=<>� � 2 � �� ����2���#qU«#���B��������_��Y����WÂ��������.#������������%?>�@� � 2 � ��� BAC�%; C

D ���E�F� 2 �7�� %G H#+$I�'&J� H#+KML $%�'& ��UN�O�E�%;H# $NP & #��������������1� HKÈ?�NM

-/���RQ ; � B_���2+S� ; +���2�Q ? �¦B_���2%S� ? OCR­p�&�����w�1��:x"�����>5��UUT ���.º�N��B���#��_>+T ; �@VCWYX»>�������ICFTZ?'�[V W]\ >�������V2�����#����q�����S��"��;�N��B���#��+����� ������N�3��#^�%; >�������IC���#^�%?�CSHKÈ?�NM!B_��T� ������������������&��

H#N; � & HK�?LNM

H#+KML ; � & HK�E�¢M

H# ? P & HK�?JNM6¬����B������1���QX���2���"�&9B������x�)B�#���2E������#��T��#�W?"��1��x�����,HK�?LNM�UK#�����#_����U«��#�8 �����.B�#�8R������8w���E0�1������¹Q,����� �����#��ÊH��_LNM$� ���p�������T��������#���89��]�B�B��������1�����#�� H# ; ���2X�����+��#���89��IUK#���B����`_ba L ;_ a L ; P & HK�?�NM­¹�&#���2�������#9UK#���B���������B�����#��I>]%$#�"���#�8S�I47�.2E��Q�U«����B�����#���� �������:;"��������+������B�#��x�1�B���UK#���B����+��#����89����T��������B�����Q,��������2��+�����+U«����B�����#���B�#����

ced � L $f_ a L $Ngh_bKML $Cg d � L $f_ a L $]�i�O���j����������� �!x�y{z|x�}

Page 88: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� 7:6��������� d � L $ ���S�����wU«����B�����#��GB�#Y��&9B������x�w��qB�#��x�1�B�� �1C�­¹�x����#Y2E"�B�����W&�����Â2E� �WN#����$89������ �d � L ;E�4K2E� �W � d � L $�� ��O���j��������� �Q ;1! �>E�������1��B�#���2E������#����)� �E���������

d � L ;b_ a L ;�� _ KML ; P & HK���;Md � L ; _ba L ; c _ KML ; P & HK�?ÈNM

�=������W �Wx����É�����,B�#�8R������8w���x�1������¹Q H��_LNMS�����¹������� H#N?����2 _ a L ?�>[���qUK#�����#_����U«��#�8 HK�?JNM����� _ a L ?>�'&�>���2ºU«��#�8 %$#�"���#�83�I47�!U«����B�����#��I>�_ KML ?)�'&�C

-I��� _ � ; ��� _ � a L ; _ � KML ;� ���2� ; � R�����i# ; � � ; � � ����������� ; ���.��"�B1������ *#%KML ;Z��� � ; *�EC[�����.2EQY��8R��B��3H��¢M$����2E"�B�������#

�- � H� ���% �8� *�J�9B ���U;I � _ HK�?�NM

-/��� *� �; ��� *# �; *# �KML ;�� H� ;Z�� �; H���! ;B �8� *� HK�N�?M���������" �; �#� �a L ; �KML ; � Cº­¹��������������W H��� �Y���1�B�����2 U^��#�8 HK�?�NMO>�HK�?LNM.���2ÄHK�E�¢M.B_���� ������������������&�� �; � / + ; _ ; � c �; � / + � c ;­¹�������q����:;"����/���S�������V��1��"�8w��U;���#w� ��U«"����/�1���� C�­p�T�������)B_��1�� �; � / + U;����!��#?���������N���Q;8R8w��������B.2�� ���������?>����x"������;�N�������������

_�;Z� c �$ �; � / + U; � / + �% �; �4/ + � ;��& ; � HK�?´NM

­¹�x����#Y2E"�B�����Ww�����.#�������#�WN#����]����#�����B�����#����)#��'�i#)(; ���*�+(; ���X�����.8w��������B)� / +,.- 1�/X10 2�354 �7658 W X:9 W X c �i# ; ;�i# �; � / + �i# ; / + �i# �; � / +

,=< /X10 2�354 �76>8 W]X 9 WYX c � ;%?� � ; �4/ + �R; 7/ + � � ; �4/ +������� �E������������#����)#�UV�����+��#���89��»���2,�1���WN���x��� ��]U«#���B�����U«#�����#¢� U^��#�8 HK�?´NM

_ a L ;B �8� *���9B � @A�i# �; � / + , < /XB0C2�3D4 �i#N;FE / + � �E# �; � / + �R; � � � ; � / + �R; � / + KML ;c a L ; c �i# �; � / +G, < /XB0 2H3D4 � E HK�?�NM

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 89: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

7 < � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s���2

_bKML ;I �8� *���9B � @ � � ; � / + , - 1 /X10 2�354 �R; E / + � � � ; � / +B�i#N; � �i# �; � / +G�E#C; � / + a L ;c KML ; c � � ; � / + , - 1�/X10 2H3D4 �:E H���LNM

@V��������Q

H#N? � �E# �? H���! a L ?� �E# �? � / + ?���!�i# ; _ba L ; ��� ; _ KML ; �! a L ? P & H��Y�¢M

'=#�����B��������)�����.� �Y�������1����#�����#�U[�����.B�#��x�1�B��)UK#���B�����#����1�������2����GHK�?�NM����2�H���LNM�����.��#��E0�������_������������9���1�������"����������_������������wB�#��x����#���9]C����x"����������.��#?�����������S��#ºUK#���83"�� ����w���������B����1�1���Q,���2���"�&9B������x�=B�#���2E������#����SHK�?�NMO>/HK���;MO>/HK�?ÈNM����2�H��Y�¢M���

� �8� d � L ; 9 ���= ��� *�8� d � L ; P & H���JNM

��������� � �=V ��� W]X��1WY\ � 9 a ���2��-�=V � WYX��1W]\ C

� � ����� � ��%���� ����

6)��#�������������#�������8 ����������.��+��8R��B�������8w�?Cq*;����B1�;����WTB�#��x�1�B����3��+�����O0���8R��B��3B_��&�����_��#��R������2��X���� #?����0���8R��B��_C�P="��º��#\�����º:;"�����0��������1��;�1�����#�"��RUK�_���"����,#�U!��8R��B��9���2Á��#�����)����8R������2º����2E����2E���X#�U/�����)B�#��;����#��������������)#�����Q9�$�QÂ���9���1�����B��=��#S8w#�������#��$�����)8w#Y2�����1�����������#��Ê��.��8R��B��3���.��#X��� ���#��1����º,B�#��x����#��������R������R��#X��������W������w��QY������8 ���Gº�����O0��8R��B��)���1�����B�#�8R��������������������������� �E����B�����2���#?����0���8R��B���B�#��;�1�B��!8w#Y2��?C�*;��8R��� �������Q,��#������B�#��;�����x"�#�"��=8w#�����#����$��89�QX���8����� �E��������������Ww������B�#��������1����;���!#�� � ����� ����2 *� �� /� ��"�B��,��������#�8w�+������B��Y����WwB�#��x�1�B�� �%; < � � + � �� /� $��������O0���8R��B�������������#���������2��=��#��������_����=� #?����0���8R��B��.���2�������#����������"�%? � � � + � �� /� CAN�%;��������[2����1�B��IC�'=#�����B��3�����U� � + � �� /� B�#��;�1���������#��!#�����QX�����H«������B1�;����W;M�B�#��x�1�B����+��������O0���8R��B��!��"��)�����#������.��8R��B�������WÂ#������_C

*;����B�����������8R��B��$#�"���B�#�8w�)2���� ����2��|#��Â�����!B�#�������2�������29��8R��B���� _�.>x�����!B�#��������1����x���#��9�����������O0���8R��B������1�����2���� ����2Â�����#.������#���W?��Q�#��9�����!��������B�����29� ��.C»ª ��#����|U«#��������!#��������#�� #?����2��xQ�}»UK����Æ5���=���2�<=��#;B1�N����H«}[U«����Æ5���+� <=��#YB��N���RH��_�?�?�NM�MOC)­¹�!�������=#��T}V#�������#��I47�� _�.> ����������������WÂ�����S��8R��B��+���&w�������q#�U|B�#�8R������������#�� H^����2�� � 3M�� ���������WÂU^��#�8 ���)� � /���# ���$>�U«#�����#¢����2&�xQ&Â�������R#�U�� �E��������#��·H^����2�� ����M�� ���������W,U^��#�8 ���É��# ��� �.� �� C.ª ��������[2�#º������B�� �������B_��������"�8R������#��&UK#��=��������2\��#�� #��=�����+������8S"���������������8R��B������)��� �������B

x�y{z|x�}

Page 90: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

� s@hVpkw mou������ l�i��@mow mol^iIu�h�� s0uMl.v[s0wQs� ��=m jMp3h��=s��ks0l�� f��gpku�pkv3iIw���vAi�� p�� s0v�� 7 ���������#�"��[�1���WN���;��� �������#��1�WN�?C»­p���������»B_����$������� �Y��������#��R�������$��������������¢Z *�J�� �� � *� �� � OCª �.���8 ������_�����������Ww�����+UK#�����#_������Wº#�"���B�#�8w�

*# �1L ; � & H����NM*#+K �1L ; � & H����;M*# �1L ? P & H���ÈNM�����R����2&#�U$�����RB�#�8R������������#����������XHK���2&���x"��3#�U���������8R��B��bM)����B����1�B����������_��2����&�����UK#�����#_������W989��������

� *;����B����Oa L $�� &J� D �"� � � � �� � �p>� a � L $ � &J� D ���i� � + � ���� H����NM

� 6��q�����Â����2G#�U������ºB�#�8R������������#��Á�������?>»�����,�������#N�B��É� ���p�������Á�����Â�p�$#T� #Y2E��������;�N#����N��2 ��� ������������25>���C7�?C·����Wx������N���?���"����9#�U+�����X����� ������N����#���89��)�N����#;B����¹Q ����UK#�������2�2���� *# �1L $ � &J� D ���E� � + � ���� H��?�?M

� ­pU�� a �1L $C� &w�������\�����qB�#�����������#���2E����W,B�#��������1����;�=���!"������������+���2 *# �1L $�B_��T���q��xQ� #?���������N�R�?���"��?C�Ð)���������������9�����9����2�#�U������9B�#�8R������������#������3��"�B�������� *# � L $F� &�C���;"��������=UK#�����#_������WÂB�#�8R������8w���;�1������pQT����� �����#��

��a �1L $ *# �1L $ �'&J� D ���i� � + � ����� H���´NM

�����.��8R��B���� ��½���������+�1���WN���x��� ��»2E������B�����#�������W?���N�����;Q� ��K � L $ � g d � L $�� a � L $ *#%K �1L $%�'& H����NM��K � L $B��� d � L $�� a � L $ *#%K �1L $�� & HK´?LNM� K � L $ � cFd � L $ �Oa � L $ *# K �1L $�� & HK´E�¢M

­¹��UK#�����#_���=2E������B�����QÂU«��#�8 ���������;����W?�1�����#��\#�U�%$#�"���#�8S�I47�!� _�¬#�UVU^����B�����#��\#_�N���������3��8R��B�������1�?C�')���N���������������1�����!2�#Y�����I4 ����8R����Q,������������B�#��x�1�B��!U«#���B�������89������!���X�����+U«����B�����#����B�#����R2E"�������W�����������#����wB�#�8R������������#�� ����#YB������_Cw*Y# H����NMO>|HK´?LNM.���2 HK´E�¢M+����#�"���2&� �R���������w��Á����2���� ����2����x�Â��8R��B��R� ������Á�����,�1���WN���x��� ��=2E������B�����#��I>�������H«}»UK����Æ5���9� <+��#;B1�N���H��_�?�?�NMO>/�?�_L¢�A�?�_�NMOC

6)�/U«#��VB�#��x�����;"�#�"��»8w#�����#��I>�U^��#�8 H���´NMO>�H���ÈNM ���_�2��V��# � a � L ? �'&)���23U«��#�8 ��������8R��B��� _�½���X�������1���WN���;��� ��V2E������B�����#���� K �1L ? �,&�C���������8R��B��!2EQY��8R��B�������2E"�B����!��#

� *� �>��� *� ���!�i#N;�� a �1L ;����R;��OK �1L ; HK´?JNM

z{z]\�^`_IaPb�c

Page 91: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

7'7 � mow hImov m�������vP�����@w�� � ��v3iIu`� �ku�s0lF��� pkvku�iIvAh�� vts �Iw m.iIl s�����=� �E������������B���2Â���_�2����������������N�)��#�����B���2º�����������B�#�8R��"��1�����#�����89�2���UK#��|�����=B�#��x�����E0"�#�"��38w#�����#��ÅHK���� ����2E� ��6+M=B_��Ê���w���1�������#?�1��2���#X����� ��8R��B��S����#�������8 ������#�"�W?�Ê�����UK#�����#_������W9��"������!#�U[��"�����������"�����#��

����������������� ����������������

H#C; ��� *# �1L ;H#%KML ; ��� *#+K �1L ;H#C? ��� *# �1L ?H� ��� *� � a L ; ��� & KML ; ��� & a L ? ��� &� ���`9 c ��� � *� �_ a L ; ��� � a � L ;_ KML ; ��� �OK �1L ;

­¹��UK#�����#_���!2E������B�����Q H^"���2����������3�1�8w�.�����"�8R������#�������� U;,����U«"����5�1�����M

�OK �1L ; � c @ � � ; � / +1, - 1 /X10 2H3D4 � ; E / + � � ; , �- 1 /X10 2 354 *� ��7/� �� � K � L ; � ���� *�b�� /� HK´?�NM

� a �1L ; � c @ # �; � / + , < /X10 2H3D4 #C; E / + # �; , �< /X10 2H3D4 *�8�� /� �� � a �1L ;I � ����� *� �� /� HK´��;M*# �1L ? � �i# �? �4/ + � � �&�i#N; � a �1L ; ���R; �OK �1L ; � *� �� /� �� *# �1L ?F � ����� *� �� /� P & HK´?ÈNM���2������+����B������1���Q����2X��"�&9B������x�=B�#���2E������#����

� a �1L ;I � ���� *� �� /� P & HK´?�NM� d � L ; ��a �1L ; � ����� �� � K �1L ; �J���� � *�J�� /� P & HK´N�?M� d � L ; � a �1L ;B � ����� c ��K �1L ;% �J���� � *�J�� /� P & HK´?´NM*# �1L ?F � ���� *� ��7/� P & HK´?�NM*;��8R��� �������Q,��#R������B�#��;�����x"�#�"��=8w#�����#��I>����������3B�#���2E������#����!B_���� �+W?��#�"�����2T��

� � ����� � d � L ;� *�b�� /� P & HK�?LNM��������� � �=V ��� W]X��1WY\ � 9 a C

x�y{z|x�}

Page 92: Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General ... · Modeling, Stability and Control of Biped Robots A General Framework Yildirim Hurmuzlu, Frank Génot, Bernard Brogliato

Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot-St-Martin (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399